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Estatística Descritiva

Prof. Henrique Dantas Neder

Instituto de Economia

Universidade Federal de Uberlândia

– Typeset by FoilTEX – 1

Tópicos introdutórios

• A estatística descritiva trata dos métodos estatísticos empregados para descr-ever os dados.

• Em geral quando os dados são coletados ou organizados em uma tabelaexiste grande dificuldade em observar ou detectar quais são as suas principaiscaracterísticas.

• A estatística descritiva subdivide-se em três importantes seções: 1) os métodosde apresentação gráfica dos dados e os métodos; 2) métodos de apresentaçãotabular de dados e 3) os métodos de construção de indicadores estatísticos.


• No primeiro grupo são tratados os distintos tipos de gráficos. Entre elestemos os gráficos gerais, tais como gráficos de barras, gráficos de setor, etce os gráficos mais propriamente voltados para a análise estatística tais comohistograma, diagrama Box-Plot, diagrama de dispersão.

• No segundo grupo são tratadas as formas tabulares de apresentação de dados,indicando os principais tipos de frequencia.

• No terceiro grupo são propostos diversos indicadores de posição, de dispersãoe de forma das distribuições estatísticas.

Iremos tratar incialmente deste último grupo. Os principais indicadores deposição são a média, a mediana e a moda da distribuição. A média amostral éindicada pelo símbolo x.


A fórmula matemática para indicar o cálculo de uma média amostral é:

x̄ =

∑xin

(1)

Muitas vezes os dados podem ser apresentados na forma agrupada, tal como:

intervalo frequência (fi)

1-50 2050-100 30100-150 40150-200 50200-250 35250-300 25

A partir destes dados podemos calcular a média da seguinte forma:


intervalo frequência (fi) ponto médio da classe (mi) fi ×mi

1-50 20 25 50050-100 30 75 2250100-150 40 125 5000150-200 50 175 8750200-250 35 225 7875250-300 25 275 6875soma 200 31250

Neste caso, para o caso do cálculo da média da amostra, vamos aplicar aseguinte expressão:

x =

∑fipmi

n(2)


x =

∑fipmi

n=

20 × 25 + 30 × 75 + 40 × ×125 + 50 × 175 + 35 × 225 + 25 × 275

200= 156, 25

Outro indicador importante da estatística descritiva. Neste caso iremosdistinguir entre dois tipos de variância: a variância calculada a partir de umaamostra e a variância calculada a partir de uma população. As expressõesmatemáticas que representam estas duas variâncias são respectivamente:

s2 =

∑(xi − x̄)2

n− 1(3)

σ2 =

∑(xi − µ)2

N(4)


Os valores dos desvio-padrões são iguais a raiz quadrada dos valores dasrespectivas variâncias. Por exemplo, se tivermos uma sequencia de valores parauma variável correspondente a uma amostra, digamos:

3, 10, 15, 17, 15, 5, 10, 12

xi (xi − x)2

3 (3− 10.875)2 = 62.01562510 (10− 10.875)2 = .76562515 (15− 10.875)2 = 17.01562517 (17− 10.875)2 = 37.51562515 (15− 10.875)2 = 17.0156255 (5− 10.875)2 = 34.51562510 (10− 10.875)2 = .76562512 (12− 10.875)2 = 1.265625

soma 170.875


Como estamos supondo que os dados da primeira coluna da tabela acimareferem-se a uma amostra, então utilizaremos a expressão (3):

s2 =∑

(Xi−X̄)2

n−1 = 170.8758−1 = 24.4107

s =√

24.4107 = 4.94072

Fazemos uma demostração deste cálculo através do Stata. Em um primeiropasso, utilizamos o comando summarize para calcular a média da variável. Observeque através deste comando já obtemos o valor do desvio padrão amostral que é4,94072. Depois pedimos através do comando generate para calcular uma variáveligual aos valores dos desvios da primeira variável em relação a média elevados aoquadrado. Em terceiro lugar, através do comando tabstat, calculamos a somadestes desvios e o resultado é 170.875 (que é a soma dos quadrados dos desvios).Finalmente, através do comando display pedimos para o Stata mostrar o resultadoda raiz quadrada da divisão desta soma de desvios ao quadrado pelo valor de n-1.


. summ var1

variable obs mean Std.dev. min maxvar1 8 10.875 4.94072 3 17

. gen var2 = (var1 - r(mean))^2

. tabstat var2, s(sum)

variable sumvar2 170.875

. disp sqrt(170.875/(8-1))

4.94072

O cálculo da variância quando temos os dados apresentados na forma agrupadaem classes de frequencias segue um procedimento semelhante ao adotado para


a média quando os dados estão neste formato. Vamos usar o mesmo exemploanterior para o cálculo da média:

intervalo frequência (fi) ponto médio da classe (pmi) fi(pmi − x̄)2

1-50 20 25 20.(25-34,72)2

50-100 30 75 30.(75-34,72)2

100-150 40 125 40.(125-34,72)2

150-200 50 175 50.(175-34,72)2

200-250 35 225 35.(225-34,72)2

250-300 25 275 25.(275-34,72)2

soma =4071096

s2 =∑

(xi−x̄)2

n−1 = 4071096199 = 20457.768

Existem também métodos que podem ser empregados para calcular valoresda mediana, quartis, decis e percentis. A mediana é uma medida de posição


que indica o valor da variável correpondente a um valor de frequencia relativaacumulada igual a 0.50 (ou 50%). Em outras palavras, a mediana é o valor davariável que supera 50% dos valores desta variável quando são ordenados do manorpara o maior (ordem crescente). Vejamos um exemplo - a seguinte sequencia denúmeros já ordenada:

3,4,4,4,7,10,17,17,23,2425,31,33

Como temos um número ímpar (13) de observações, o valor da mediana éigual ao valor do elemento central na sequencia, ou seja, o sétimo elemento. Portanto a mediana é igual a 17.

Se a sequencia incluir mais um elemento:

3,4,4,4,7,10,17,17,23,24,25,31,33,50

A mediana é igual a semi-soma dos dois elementos centrais da sequencia.


Neste caso a mediana é também igual a 17. Pode-se perceber que a medianatem uma caracteristica curiosa que a média não possui: o valor da mediana não éafetado pelos valores extremos de uma distribuição. Por exemplo, se trocarmos,na sequência anterior, o valor 50 por 1000, a mediana continuará a ser 17. Noentanto, o valor da média ficará bastante alterado.

O cálculo da mediana para dados agrupados segue uma idéia distinta docálculo da média para dados agrupados. Suponhamos o mesmo exemplo doquadro anterior:


intervalo frequencia (fi) frequencia acumulada (Fi) frequencia relativa acumulada

1-50 20 20 0,100

50-100 30 50 0,250

100-150 40 90 0,450

150-200 45 135 0,675

200-250 40 175 0.875

250-300 25 200 1.000

Vamos introduzir uma expressão para a determinação aproximada da medianapara os dados acima:

X.5 = Linf +(n/2− Fa)

fi,.5× a (5)

onde:


X.5 é o valor da mediana, Linf é o limite inferior da classe de frequênciaque contem a mediana, Fa é a frequência acumulada da classe que contém amediana, n é o tamanho da amostra, f i,.5 é a frequencia absoluta da classe quecontem a mediana e a é a amplitude do intervalo de frequência que contém amediana. No caso do exemplo anterior:

X.5 = 150 + 100−9045 × 50 = 161.111

Os valores dos quartis, decis e percentis podem ser determinados através deum cálculo semelhente utilizando a mesma idéia.

Vamos agora desenvolver algumas expressões referentes ao cálculo da variânciae do desvio padrão. A expressão para o cálculo da variância de uma populaçãopode ser manipulada da seguinte forma:

σ2 =∑

(Xi−µ)2

N =∑

(X2i−2Xiµ+µ2

N =∑X2i−

∑2Xiµ+

∑X̄2

N =


∑X2i−2 ¯µ

∑Xi+Nµ2

N =∑X2i−2µ×Nµ+Nµ2

N =∑X2i−Nµ

2

N =∑X2i

N − µ2

σ2 =

∑X2i

N− µ2 (6)

Na sequencia de dados de um exemplo anterior - 3, 10, 15, 17, 15, 5, 10, 12,podemos calcular a variância de duas formas, de acordo com a tabela abaixo:


Xi X2i (Xi − µ) (Xi − µ)2

3 9 -7,785 62.01562510 100 -0,875 0.76562515 225 4,125 17.01562517 289 6,125 37.51562515 225 4,125 17.0156255 25 -5,875 34.51562510 100 -0,875 0.76562512 144 1,125 1.265625

soma 1117 0 170.875

A média µé igual a 10,875. A primeira forma de calcular a variância é:

σ2 =∑

(Xi−µ)2

N = 170,8758 = 21.359375

A segunda forma é:


σ2 =∑X2i

N − µ2 = 11178 − 10, 8752 = 21.359375

As mesmas relações podem ser deduzidas para a variância amostral e para asexpressões referentes ao cálculo da variância para dados agrupados.Neste últimocaso, a variância pode ser calculada de duas formas distintas. Vejamos umexemplo anterior:

intervalo frequência(fi) ponto médio (mi) fi ×mi fi ×m2i fi × (mi − µ)2

1-50 20 25 500 12500 344531.25

50-100 30 75 2250 168750 198046.875

100-150 40 125 5000 625000 39062.5

150-200 50 175 8750 1531250 17578.125

200-250 35 225 7875 1771875 165429.6875

250-300 25 275 6875 1690625 352539.0625

soma 200 31250 6000000 1117187.5

Cálculo da média:


µ =∑XiN =

∑fi×miN = 31250

200 = 156.25

Primeira forma de calcular a variância:

σ2 =∑fi×(mi−µ)2

N = 1117187.5200 = 5585.9375

Segunda forma de calcular a variância:

σ2 =∑fi×m2

iN -µ2 =6000000

200 − 156.252 = 5585.9375

EXERCÍCIOS

Exercicio 1)Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributofinanceiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço deuma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A colunaClasses representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representaa freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com osextremos das classes.


classes P(%)70-90 590-110 45110-130 40130-150 70150-170 85170-190 95190-210 100

Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa deobservações de X menores ou iguais a 145.

a) 62,5% b) 70,0% c) 50,0% d) 45,0% e) 53,4%

Exercicio 2)Para a solução da próxima questão utilize o enunciado que sesegue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra


de tamanho 100, obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabelade freqüências seguinte:

classes frequencia (f)29,5-39,5 439,5-49,5 849,5-59,5 1459,5-69,5 2069,5-79,5 2679,5-89,5 1889,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde à estimativa do número de indivíduos napopulação com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que50,5.


a) 700 b) 638 c) 826 d) 995 e) 900

Exercício 3) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por umaempresa eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variânciado conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é:

a) 1,1627x107 b) 1,1627x106 c) 1,1627x105 d) 1,1627x104

Exercício 4) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desviopadrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumentode 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de:

a) 10.000, b) 10.100, c) 10.500, d)10.900, e) 11.000

Exercício 5) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foramobtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsade valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6,


6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10,10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Os valoresseguintes foram calculados para a amostra:∑

Xi = 490 e∑X2i − (

∑Xi)

2/50 = 668

Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respecti-vamente (com aproximação de uma casa decimal).

a) (9,0 13,6) b) (9,5 14,0) c) (8,0 15,0) d) (8,0 13,6) e) (9,0 14,0)

Exercício 6) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas areceber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostralM = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinalea opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.


a) 3,0 % b) 9,3% c) 17,0% d)17,3% e) 10,0%

Exercício 7) Um atributo W tem media amostral a6=0 e desvio padrao positivob6=1. Considere a transformacao Z=(W-a)/b. Assinale a opcao correta.

a) A media amostral de Z coincide com a de W. b) O coeficiente de variacaoamostral de Z e unitario. c) O coeficiente de variacao amostral de Z nao estadefinido. d) A media de Z e a/b. e) O coeficiente de variacao amostral de W e ode Z coincidem.

Exercício 8) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foramobtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsade valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano.4, 5, 5, 6, 6, 6,6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10,10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 Pode-se afirmar que:

a) a distribuição amostral dos preços tem assimetria negativa. b) a distribuição


amostral dos preços tem assimetria positiva. c) a distribuição amostral dos preçosé simétrica. d) a distribuição amostral dos preços indica a existência de duassub-populações com assimetria negativa. e) nada se pode afirmar quanto àsimetria da distribuição amostral dos preços.

Exercício 9) Assinale a opção correta.

a) Para qualquer distribuição amostral, se a soma dos desvios das obser-vações relativamente à média for negativa, a distribuição amostral terá assimetrianegativa.

b) O coeficiente de variação é uma medida que depende da unidade em queas observações amostrais são medidas.

c) O coeficiente de variação do atributo obtido pela subtração da média decada observação e posterior divisão pelo desvio padrão não está definido.


d) Para qualquer distribuição amostral pode-se afirmar com certeza que 95%das observações amostrais estarão compreendidas entre a média menos doisdesvios padrões e a média mais dois desvios padrões.

e) As distribuições amostrais mesocúrticas em geral apresentam cauda pesadae curtose excessiva.

Exercício 10) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermer-cado forneceram os seguintes sumários: média aritmética=$1,20 , mediana=$0,53e moda=$0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta:

a) A distribuição é assimétrica à direita.

b) A distribuição é assimétrica à esquerda.

c) A distribuição é simétrica.


d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é amelhor medida de tendência central.

e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25.

TEOREMA DE CHEBYSHEV (OU DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV)

Enunciando de forma livre (e nem um pouco rigorosa) o enunciado poderiaser:

“Para qualquer distribuição estatística de uma variável X(tendo esta variávelqualquer forma de distribuição, simétrica ou assimétrica) , pode-se afirmar que:

P (|X − µ| ≥ kσ) ≤ 1k2 ou P (|X − µ| ≤ kσ) ≤ 1− 1

k2

Vamos exemplificar com o seguinte exercício resolvido:


Exercício 10) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma comN empregados produziram as estatísticas:

µ = 1N

∑Xi = R$14300, 00 e σ = [ 1

N

∑(Xi − X̄)

2]0.5 = R1200, 00

Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo {R$12.500,00; R$16.100,00}. Assinale a opção correta:

a) P é no máximo ½

b) P é no máximo 1/1,5

c) P é no mínimo ½

d) P é no máximo 1/2,25

e) P é no máximo 1/20


Solução: Vemos que o limite inferior 12500 = 14300 - k*1200 e k =(14300-12500)/1200=1,5

Pela desigualdade de Chebyshev acima podemos afirmar que:

P (|X − 14300| ≥ 1, 5 ∗ 1200) ≤ 11,52

Exercício 11) Tem-se um conjunto de N mensuracoes X1, ... , XN com mediaaritmetica µ e variancia σ2, onde µ = (X1 + ... + XN )/ N e σ2 = 1

N

∑(Xi−µ)2.

Seja θ a proporcao dessas mensuracoes que diferem de µ, em valor absoluto, porpelo menos 2σ. Assinale a opção correta.

a) Apenas com o conhecimento de µ e σ nao podemos determinarθ exata-mente, mas sabe-se que 0,25 ≥θ.

b) O conhecimento de µe σe suficiente para determinar θexatamente, narealidade tem-se θ= 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , XN .


c) O conhecimento de µe σe suficiente para determinar θ exatamente, narealidade tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , XN .

d) O conhecimento de µ e σ e suficiente para determinar θ exatamente, narealidade tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , XN .

e) O conhecimento de µ e S e suficiente para determinar θexatamente, narealidade tem-se θ= 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , XN .

Exercício 12) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas areceber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostralM = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinalea opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.

a) 3,0 %

b) 9,3%


c) 17,0%

d)17,3%

e) 10,0%

Exercício 13) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributofinanceiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço deuma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A colunaClasses representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representaa freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com osextremos das classes. A próxima questão refere-se a esses ensaios.


classes P(%)70-90 590-110 15110-130 40130-150 70150-170 85170-190 95190-210 100

Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se∑Z2i fi = 1680 , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio

de classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributoX.

a) 720,00


b) 840,20

c) 900,10

d) 1200,15

e) 560,30

Exercício 14) Um atributo W tem média amostral a 6=0 e desvio padrão positivob6=1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta.

a) A média amostral de Z coincide com a de W.

b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário.

c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido.

d) A média de Z é a/b.


e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem.

Exercício 15) O atributo Z=(X-2)/3 tem média amostral 20 e variânciaamostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variaçãoamostral de X.

a) 12,9%

b) 50,1%

c) 7,7%

d) 31,2%

e) 10,0%

Exercício 16) A média e variância de uma primeira série de 15 observaçõessão respectivamente: x̄1 = 30 s2

1 = 25, e a média e variância de uma segunda


série de 20 observações são: x̄2 = 40 s22 = 36. Qual a média e a variância do

conjunto das 35 observações?

Exercício 17) Numa série de n = 25 medições obteve-se x̄ = 56 m e s = 2m. Depois de obtidos estes resultados descobriu-se que tinha sido cometido umengano numa das medições, que foi registada com o valor 64m. Determine amédia e o desvio padrão, admitindo que a medição incorrecta é omitida.

Exercício 18) A média e o desvio-padrão obtidos num lote de produção de 100peças mecânicas são respectivamente, 16 Kg e 40g. Uma peça particular do lotepesa 18Kg. Assinale a opção que dá o valor padronizado do peso dessa peça.

a) –50

b) 0,05

c) 50


d) –0,05

e) 0,02


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