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1 Cálculo I – Profa. Adriana Cherri

________________________________________________________________________________ Notas de aula baseadas no livro Cálculo v1– James Stewart e Cálculo A – Flemming e Gonçalves

Funções

Sejam A e B subconjuntos de ℝ. Uma função f: A B é uma lei que associa cada

elemento x de A exatamente a um elemento f (x) de B.

Os conjuntos A e B são chamados respectivamente de domínio e contra-domínio de

f. A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f (x) quando x varia por

todo o domínio.

Notação:

f: A B

x f (x)

Exemplo:

f: A B

x x + 1

Contra-exemplo:

g: A B

x x - 3

A representação gráfica de f também nos permite visualizar o domínio sobre o eixo x

e a imagem sobre o eixo y.

Exercícios:

1) Dados os conjuntos A e B, determine o domínio, o contra-domínio e a imagem.



2) Determine o domínio e a imagem da função:

f: ℝ ℝ

f (x) x2

3) Determine o domínio das funções:

a) 𝑓(𝑥) = 1

𝑥

b) 𝑓(𝑥) = √𝑥

c) 𝑓(𝑥) = −√𝑥 + 4

d) 𝑓(𝑥) = 1

𝑥2−𝑥

e) 𝑓(𝑥) = 1

𝑥−5+

1

√𝑥−4

f) 𝑓(𝑥) = √𝑥−2

√4−𝑥

g) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4𝑥 + 3



O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, f (x)) de um plano

coordenado. Para saber quais curvas no plano coordenado xy são gráficos de funções,

pode-se realizar o “teste da reta vertical”, ou seja, uma curva no plano xy é o gráfico de

uma função de x se e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez.

Operações com funções

Sejam f e g funções e k uma constante, define-se:

i. ( f + g ) (x) = f (x) + g (x)

ii. ( f - g ) (x) = f (x) - g (x)

iii. ( f g ) (x) = f (x) g (x)

iv. (𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

v. (k f (x)) = k (f (x))

Função composta

Sejam f e g duas funções quaisquer. Se x é um número no domínio de g, então g(x) é

a sua respectiva imagem. Se este número g(x) estiver no domínio de f, então pode-se

calcular o valor de f (g(x)). O resultado é uma nova função h(x) = f (g(x)), obtida pela

substituição de g em f. Esta nova função é chamada de composição (ou composta) de f e g

e denotada por f g.

Definição: Dadas duas funções f e g, a função composta f g (também chamada de

composição de f e g) é definida por:

(f g)(x) = f (g(x))

f g

x g(x) f(g(x))



O domínio de f g é o conjunto de todos os x no domínio de g tais que g(x) está no

domínio de f.

Df g = {x D( g ) / g(x) D( f )}

Exercícios:

1) Se 𝑓(𝑥) = √𝑥 e 𝑔(𝑥) = √2 − 𝑥, encontre f g, g f, f f, g g e seus domínios.

2) Se 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 16 e 𝑔(𝑥) = √𝑥, encontre f g e g f e seus domínios.



Propriedades de uma função

Função sobrejetora: uma função é sobrejetora se sua imagem é igual ao seu

contradomínio. Isto é, cada elemento no contradomínio será relacionado com algum

elemento no domínio.

Função injetora: uma função é injetora se nenhum elemento do contradomínio é

imagem de dois elementos distintos no domínio. Isto é, cada elemento no domínio será

relacionado a um único elemento no contradomínio.

Função bijetora: uma função bijetora se é ao mesmo tempo sobrejetora e injetora

Funções inversa

Seja f: A B uma função bijetora, tal que y = f (x). Desta forma, é possível obter

uma função f -1: B A, tal que f -1(y) = x. Para chamar a variável independente de x,

troca-se x por y e chega-se à equação y = f –1(x).

O princípio de trocar x e y para encontrar a função inversa também fornece um

método de obter o gráfico f –1 a partir de f. Como f (a) = b se e somente se f –1(b) = a, o

ponto (a, b) está no gráfico de f se e somente se o ponto (b, a) estiver no gráfico de f –1.



A partir do ponto (a, b), obtém-se o ponto (b, a) refletindo-o em torno da reta y = x.

Desta forma, os gráficos de f e f -1 são simétricos em relação à reta y = x.

Exercícios:

Determine a inversa das funções e faça seus gráficos em um mesmo plano cartesiano:

a) f (x) = 2x + 1

b) 𝑓: ℝ+ → ℝ+

𝑥 → 𝑦 = 𝑥2



Funções definidas por partes

Funções definidas por partes, são definidas por fórmulas distintas em diferentes

partes de seus domínios.

𝑓(𝑥) = {1 − 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1

𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥 > 1

Uma função definida por partes bastante conhecida é a função valor absoluto.

Lembre-se de que o valor absoluto de um número a, denotado por |a|, é a distância de a

até 0 sobre a reta real. Como distâncias são sempre positivas ou nulas, temos |a| ≥ 0, para

todo número a. Em geral, tem-se:

|a| = a, se a ≥ 0

|a| = – a, se a < 0

Exercício:

Esboce o gráfico das funções:

a) f(x) = |x|

b) 𝑓(𝑥) = {𝑥, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 12 − 𝑥, 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 20, 𝑠𝑒 𝑥 > 2

c) f(x) = |x + 1|



d) f(x) = |x| + 1

e) f(x) = |x+2| + x – 1

Simetrias

Se uma função f satisfizer f (–x ) = f (x) para todo x em seu domínio, então f é

chamada função par. Por exemplo, a função f (x) = x2 é par, pois

f (–x) = (–x)2 = x2 = f (x)

O significado geométrico de uma função ser par é que seu gráfico é simétrico em

relação ao eixo y.

Se f satisfaz f (–x) = –f (x) para cada número x em seu domínio, então f é função

ímpar. Por exemplo, a função f (x) = x3 é ímpar, pois

f (–x) = (–x)3 = –x3 = –f (x)

O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.



Exercícios:

Determine se as funções são par, ímpar ou nenhum dos dois.

a) f (x) = x5 + x

f (–x) = (–x)5 + (–x) = (–1)5x5 +

(–x)

= –x5 – x = –(x5 + x)

= –f (x)

Portanto, f é uma função

ímpar.

b) g (x) = 1 – x4

g (–x) = 1 – (–x)4 = 1 – x4 = g

(x)

Assim, g é par.

c) h (x) = 2x – x2

h(–x) = 2(–x) – (–x)2 = –2x – x2

Como h(–x) h (x) e h(–x) –h (x),

concluímos que h não é par ou ímpar.

Funções crescentes e decrescentes

Seja f uma função definida em um intervalo I. Logo, f é crescente nesse intervalo se,

para quaisquer x1, x2 I, sempre que x1 x2 f (x1) f (x2). A função f é decrescente

nesse intervalo se, para quaisquer x1, x2 I sempre que x1 x2 f (x1) f (x2).

No gráfico a seguir, a função f é crescente no intervalo [a, b], decrescente em [b, c],

e crescente novamente em [c, d].



Exercício:

Determine os intervalos em que f (x) = x2 é crescente e decrescente.

Função Afim (primeiro grau)

A representação gráfica de uma função afim é uma reta. Esta função é definida por

y = f (x) = mx + b, em que m é o coeficiente angular da reta e b é a intersecção com o eixo

y. Quando m = 0, f (x) é conhecida como função constante e, quando b = 0 tem-se uma

função linear.

Para valores de m > 0, f (x) é crescente e para m < 0 f (x) é decrescente.

- Função afim

- Função constante



- Função linear

Quando m = 1 e b = 0, f (x) é conhecida como função identidade.

Funções Polinomiais

Uma função P é denominada polinômio se

P (x) = anxn + an –1x

n –1 + . . . + a2x2 + a1x + a0

em que n é um inteiro não negativo e os números a0, a1, a2, ..., an são constantes chamadas

coeficientes do polinômio.

Se o coeficiente dominante an 0, então o grau do polinômio é n. Por exemplo, a

função P(x) = x6 +2x4 – 3x3 +5 é um polinômio de grau 6.

Um polinômio de grau 1 é da forma P (x) = mx + b, portanto, é uma função afim.

Um polinômio de grau 2 é da forma P (x) = ax2 + bx + c e é chamado função quadrática.

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola que tem concavidade para cima se

a > 0 e para baixo quando a < 0.

Um polinômio de grau 3 tem a forma P (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) e é chamado

função cúbica.

Funções Potências

Uma função da forma f (x) = xa, em que a é uma constante, é chamada função

potência. Para esta função, vários casos surgem:



(i) a = n, em que n é um inteiro positivo

A forma geral do gráfico de f (x) = xn depende de n ser par ou ímpar. Se n for par,

então f (x) = xn será uma função par e seu gráfico será similar ao da parábola y = x2. Se n

for ímpar, então f (x) = xn será uma função ímpar e seu gráfico será similar ao de y = x3.

(ii) a = 1/n, em que n é um inteiro positivo

A função 𝑓(𝑥) = 𝑥1𝑛 = √𝑥

𝑛 é uma função raiz. Para n = 2, tem-se a função raiz

quadrada, 𝑓(𝑥) = √𝑥.

Para outros valores pares de n, o gráfico de √𝑥𝑛

é similar ao de 𝑓(𝑥) = √𝑥.

Para n = 3, tem-se a função raiz cúbica 𝑓(𝑥) = √𝑥3

. O gráfico de 𝑓(𝑥) = √𝑥𝑛

para n

ímpar (n > 3) é similar ao de 𝑓(𝑥) = √𝑥3

.

(iii) a = –1

A função f (x) = x –1 = 1/x também é conhecida como função recíproca. Seu

gráfico tem a equação y = 1/x, ou xy = 1, e é uma hipérbole com os eixos coordenados

como suas assíntotas.



Função Racional

Uma função racional f é a razão de dois polinômios:

𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)

em que P e Q são polinômios. O domínio desta função consiste em todos os valores de x

tais que Q(x) 0.

A função 𝑓(𝑥) =2𝑥4−𝑥2+1

𝑥2−4 é uma função racional com domínio {x / x 2}.

Funções Algébricas

Uma função f é chamada função algébrica se puder ser construída por meio de

operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes)

a partir de polinômios. Toda função racional é automaticamente uma função algébrica.

Exemplos:

Os gráficos das funções algébricas podem assumir diversas formas:



Funções Exponenciais

As funções exponenciais são da forma f (x) = ax, em que a base a é uma constante

positiva. Esta função é crescente sempre que a > 1, decrescente se 0 < a < 1 e uma

constante para a = 1.

Todos os gráficos da função exponencial passam pelo mesmo ponto (0, 1), pois, para

a 0, ax = a0 = 1. Para x > 0, a função exponencial cresce mais rapidamente à medida que

a fica maior.

Se n é um inteiro positivo, então:

• para x = n 𝑎𝑥 = 𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎 …𝑎⏟ 𝑛 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠

;

• para x = –n 𝑎𝑥 = 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 ;

Se x for um número racional, x = p /q, em que p e q são inteiros e q > 0, então

𝑎𝑥 = 𝑎𝑝𝑞 = √𝑎𝑝

𝑞

Propriedades da função exponencial:

Se a e b forem números positivos e x e y números reais, então:

i) ax+y = axa y ii) ax-y = ax/a y iii) (ax)y = axy iv) (ab)x = axbx

a > 0 0 < a < 1 a = 1



Exercício:

Esboce o gráfico da função y = 3 – 2x e determine seu domínio e imagem.

O número e

Entre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há uma que é mais

conveniente para os propósitos do cálculo. A escolha de uma base a é influenciada pela

maneira que o gráfico de y = ax cruza o eixo y. As figuras a seguir mostram as retas

tangentes (reta que toca o grafico em um único ponto) para os gráficos de y = 2x e y = 3x

no ponto (0, 1).

O coeficiente da reta tangente em (0, 1) para y = 2x é m 0,7, e para y = 3x é m 1,1.

Entretanto, muitas fórmulas do cálculo ficam mais simplificadas quando escolhemos

como base a aquela para a qual resulta uma reta tangente a y = ax em (0, 1) com uma

inclinação de exatamente 1. O número que atende essa condição é denotado pelo caractere e.

(Essa notação foi escolhida pelo matemático suíço Leonhard Euler em 1727,

provavelmente porque é o primeiro caractere da palavra exponencial.)

O valor de e até a vigésima casa decimal é e 2,71828182845904523536.... Por

estar entre 2 e 3, o gráfico de y = ex está entre os gráficos y = 2x e y = 3x.

A função f (x) = ex também é conhecida como função exponencial natural.



Exercício:

Faça o gráfico de 𝑦 =1

2𝑒−𝑥 − 1 e diga qual o domínio e a imagem.

Funções Logarítmica

Se a > 0 e a ≠ 1, a função exponencial f (x) = ax admite inversa. Assim, existe uma

função inversa f –1, chamada função logarítmica com base a, denotada por loga, que

associa a cada número x o número loga x. Desta forma,

y = loga x ay = x

O gráfico da função logarítmica é a reflexão do gráfico de y = ax em torno da reta

y = x.

O fato de y = ax é uma função que cresce muito rapidamente para x > 0 está refletido

no fato de que y = loga x é uma função de crescimento muito lento para x > 1.

A função logarítmica é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. Uma vez que

loga 1 = 0, os gráficos de todas as funções logarítmicas passam pelo ponto (1, 0).



Propriedades dos logaritmos

Se x e y forem números positivos e r um número real qualquer, então:

• loga(xy) = loga x + loga y

• loga(x/y) = loga x – loga y

• loga(xr) = rloga x

Logaritmos Naturais

Entre todas as possíveis bases a para os logaritmos, a escolha mais conveniente para

uma base é o número e. O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural e tem uma

notação especial:

loge x = ln x

A função logaritmo natura é definida por:

ln x = y ey = x

Exercício

Encontre x se ln x = 5.

Propriedades dos logaritmos naturais

Se x é um número positivo, então:

i) ln(ex) = x ii) eln x = x iii) ln e = 1

Em razão de a curva y = e x cruzar o eixo y com uma inclinação de 1, segue que a

curva refletida y = ln x cruza o eixo x com uma inclinação de 1.

Exercício

Esboce o gráfico da função ln (x) – 2.



Funções Trigonométricas

Funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo de problemas

geométricos e na modelagem de fenômenos periódicos, cujos valores são obtidos a partir

de razões entre os lados do triângulo retângulo, construídos no ciclo trigonométrico.

Para se obter valores de uma função trigonométrica, muitas vezes é convencional

dar sua medida de ângulos em radianos. Por exemplo, quando utilizamos a função

f(x) = sen x, entende-se que sen x seja o seno de um ângulo cuja medida em radianos é x.

Função seno

A função f(x) = sen(x) possui domínio definido em ℝ e a imagem no intervalo

fechado [–1, 1]. Dessa forma, para todos os valores de x, tem-se:

-1 ≤ sen(x) ≤ 1 ou | sen(x) | ≤ 1

Uma propriedade importante da função seno é que ela é periódica e tem período 2.

Isso significa que, para todos os valores de x, sen (x + 2π) = sen(x).

Graficamente:



Função cosseno

A função f(x) = cos(x) possui domínio definido em ℝ e a imagem no intervalo

fechado [–1, 1]. Dessa forma, para todos os valores de x, tem-se:

-1 ≤ cos(x) ≤ 1 ou | cos(x) | ≤ 1

Uma propriedade importante da função cosseno é que ela é periódica e tem período

2. Isso significa que, para todos os valores de x, cos (x + 2π) = cos(x).

Graficamente:

Função tangente

A função f(x) = tg(x) relaciona-se com as funções seno e cosseno pela equação:

𝑡𝑔(𝑥) =𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos (𝑥)

O domínio da função tangente é definido para todos valores reais de x, tais que

cos(x) ≠ 0, ou seja, x ≠ ( /2 + k ), k inteiro. A imagem é definida em ℝ.

A função tangente tem período , ou seja, para todo x, tg (x + ) = tg(x).

Graficamente:

Função cotangente

A função f(x) = cotg(x) relaciona-se com as funções seno e cosseno pela equação:

𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) =𝑐𝑜𝑠(𝑥)

sen (𝑥)



O domínio da função cotangente é definido para todos valores reais de x, tais que

sen(x) ≠ 0, ou seja, x ≠ ( + k ), k inteiro. A imagem é definida em ℝ.

A função cotangente tem período , ou seja, para todo x, cotg(x + ) = cotg(x).

Graficamente:

Função secante

A função f(x) = sec(x) relaciona-se com a função cosseno pela equação:

𝑠𝑒𝑐(𝑥) =1

cos (𝑥)

O domínio da função secante é definido para todos valores reais de x, tais que

cos(x) ≠ 0, ou seja, x ≠ ( /2 + k ), k inteiro. A imagem é definida para ℝ - ]-1, 1[.

A função secante tem período 2, ou seja, para todo x, sec(x + 2) = sec(x).

Graficamente:

Função cossecante

A função f(x) = cossec(x) relaciona-se com a função seno pela equação:

𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) =1

sen (𝑥)

O domínio da função cossecante é definido para todos valores reais de x, tais que

sen(x) ≠ 0, ou seja, x ≠ ( + k ), k inteiro. A imagem é definida para ℝ - ]-1, 1[.

A função cossecante tem período 2, ou seja, para todo x, cossec(x + 2) =

cossec(x).



Graficamente:

Exercícios

Esboce os gráficos de f(x) = 2 sen(x) e f(x) = 1 + 2 sen(x).

Funções Trigonométricas Inversas

Todas as funções trigonométricas são periódicas e desta forma, nenhuma delas é

invertível em seu domínio, pois, não são funções bijetoras. Porém, para cada função,

pode-se considerar uma restrição no domínio tornando-as funções bijetoras.

Função arco-seno

Para obter a inversa da função seno, restringe-se seu domínio ao intervalo ,2 2

.

Com a restrição no domínio da função seno, ela torna-se estritamente crescente.

Função seno

f : ,2 2

[-1, 1]

x y = sen(x)

Função arco-seno

f -1: [-1, 1] ,2 2

x y = arcsen(x) = sen-1(x)

f(x) = sen(x)



f(x) = arcsen(x)

Exercício

Determine 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (1

2).

Função arco-cosseno

A função cosseno admite inversa quando seu domínio restringe-se ao intervalo

0, .

Função cosseno

f : 0, [-1, 1]

x y = cos(x)

Função arco-cosseno

f -1: [-1, 1] 0,

x y = arccos(x)=cos-1(x)

f(x) = cos(x)

f(x) = arccos(x)

Exercício

Calcule:

a) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (√3

2)

b) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 [𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (1

3)]

Função arco-tangente

A função tangente admite inversa quando seu domínio restringe-se ao intervalo

aberto ,2 2

.

Função tangente

f : ,2 2

ℝ

x y = tg(x)

Função arco-tangente

f -1: ℝ ,2 2

x y = arctg(x) = tg-1(x)



f(x) = tg(x)

f(x) = arctg(x)

Exercício:

Calcule:

a) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0)

b) 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1)

Função arco-cotangente

Para obter a inversa da função cotangente, seu domínio restringe-se ao intervalo

aberto 0, .

Função cotangente

f : 0, ℝ

x y = cotg(x)

Função arco-cotangente

f -1: ℝ 0,

x y = arccotg(x)

f(x) = cotg(x)

f(x) = arccotg(x)

Exercício:

Calcule:

a) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(−1)



Função arco-secante

A função secante admite inversa quando seu domínio restringe-se ao intervalo

0, ,2 2

. Consequentemente, o contradomínio restringe-se ao intervalo

(-∞, -1][1, ∞).

Função secante

f : 0, ,2 2

(-∞, -1][1, ∞)

x y = sec(x)

Função arco-secante

f -1: (-∞, -1][1, ∞) 0, ,2 2

x y = arcsec(x)

f(x) = sec(x)

f(x) = arcsec(x)

Exercício:

Calcule:

a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 [𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 (−2√3

3)]

Função arco-cossecante

A função cossecante admite inversa quando seu domínio restringe-se ao intervalo

,0 0,2 2

. Consequentemente, o contradomínio restringe-se ao intervalo

(-∞, -1][1, ∞).

Função cossecante

f : ,0 0,2 2

(-∞, -1][1, ∞)

x y = cossec(x)

Função arco-cossecante

f -1: (-∞, -1][1, ∞) ,0 0,2 2

x y = arccossec(x)



f(x) = cossec(x)

f(x) = arccossec(x)

Exercício:

Calcule:

a) 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(1)

Funções Hiperbólicas

Além da circunferência, outra maneira de definir a medida de um ângulo é

utilizando uma hipérbole. As funções hiperbólicas são análogas, de muitas maneiras, às

funções trigonométricas e possuem a mesma relação com a hipérbole que as funções

trigonométricas têm com o círculo.

x2 + y2 = 1

x2 - y2 = 1

Seja a medida do ângulo AÔM e M o

ponto sobre a curva, de modo que o setor

OAM tenha área /2. O segmento de reta

AR define a tangente à curva em A.

Define-se:

ON = cos | NM = sen | AR = tg

Seja a medida do ângulo AÔM e M o

ponto sobre a curva, de modo que o setor

OAM tenha área /2. O segmento de reta

AR define a tangente à curva em A.

Define-se:

ON = cosh | NM = senh | AR = tgh



As funções hiperbólicas são definidas por combinações das funções exponenciais ex

e e–x. Por exemplo, as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:

𝑓:ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2

Domínio: ℝ e Imagem: ℝ

𝑓:ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) =𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2

Domínio: ℝ e Imagem: [1; ∞)

As funções hiperbólicas tangente e cotangente, são obtidas pelas relações:

𝑡𝑔ℎ(𝑥) =𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)

cosh(𝑥) e 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) =

𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)

senh(𝑥)

𝑓:ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑡𝑔ℎ(𝑥) =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

Domínio: ℝ e Imagem: (- 1; 1)

𝑓:ℝ∗ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) =𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

Domínio: ℝ∗ e Imagem: (-∞; -1) (1; ∞)

As funções hiperbólicas secante e cossecante, são obtidas pelas relações:

𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =1

cosh(𝑥) e 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =

1

senh(𝑥).



𝑓:ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =2

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

Domínio: ℝ e Imagem: (0; 1]

𝑓:ℝ∗ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =2

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

Domínio: ℝ∗ e Imagem: ℝ∗

As funções hiperbólicas satisfazem diversas identidades que são análogas às bem

conhecidas identidades trigonométricas. Sabe-se que sen2(x) + cos2(x) = 1. Para as funções

hiperbólicas, tem-se:

cosh2(x) - senh2(x) = 1

(𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙

𝟐)

𝟐

− (𝒆𝒙 − 𝒆−𝒙

𝟐)

𝟐

= 𝒆𝟐𝒙 + 𝟐(𝒆𝒙𝒆−𝒙) + 𝒆−𝟐𝒙

𝟒−𝒆𝟐𝒙 − 𝟐(𝒆𝒙𝒆−𝒙) + 𝒆−𝟐𝒙

𝟒=

=𝒆𝟐𝒙 +𝟐+ 𝒆−𝟐𝒙

𝟒−𝒆𝟐𝒙 −𝟐+ 𝒆−𝟐𝒙

𝟒=𝟒

𝟒= 𝟏

Além dessas, várias outras identidades podem ser obtidas para as funções

hiperbólicas.

Exercício:

Mostre que 1 – tgh2(x) = sech2(x).

A aplicação mais famosa das funções hiperbólicas é o uso do cosseno hiperbólico

para descrever a forma de um fio dependurado. Pode ser demonstrado que se um cabo

flexível pesado (como uma linha de telefone ou de eletricidade) estiver suspenso entre

dois pontos na mesma altura, então ele assume a forma de uma curva com a equação

y = c – a cosh (x/a), chamada catenária (a palavra latina catena significa “cadeia”).

Outra aplicação das funções hiperbólicas ocorre na descrição das ondas do mar.



Funções Hiperbólicas Inversas

Com exceção das funções hiperbólicas cosseno e secante, as demais não precisam de

alterações em seus domínios para admitirem inversa.

Função argumento do seno hiperbólico

𝑓−1:ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 + 1)

Função argumento do cosseno hiperbólico

𝑓−1: [1;+∞) → ℝ+

𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 − 1)

Função argumento da tangente hiperbólica

𝑓−1: (−1; 1) → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑡𝑔ℎ(𝑥) =1

2ln (

1 + 𝑥

1 − 𝑥)

Função argumento da cotangente hiperbólica

𝑓−1: (−∞;−1) ∪ (1;∞) → ℝ∗

𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) =1

2ln (

1 + 𝑥

1 − 𝑥)



Função argumento do secante hiperbólica

𝑓−1: (0; 1] → [0;+∞)

𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =1

2ln (

1 + √𝑥2 − 1

𝑥)

Função argumento do cossecante hiperbólica

𝑓−1: ℝ∗ → ℝ∗

𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑟𝑔𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =1

2ln (

1

𝑥+√𝑥2 + 1

|𝑥|)

funções - fc.unesp.bradriana/calculol/funcoes.pdf · determine se as funções são par, ímpar...

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