matemÁtica - multiplos e divisores · 2020-03-20 · matemÁtica - multiplos e divisores prof....

2020 – 3ª SÉRIE / PRÉ-VESTIBULAR

MATEMÁTICA - MULTIPLOS E DIVISORES

Prof. Anselmo

QUESTÃO 1

Um estudante recebeu um kit para montagem de minirrobôs. Para a parte eletrônica, havia peças de três tipos diferentes, com as seguintes quantidades:

O estudante distribuiu as peças em saquinhos, colocando um único tipo de peça em cada um deles, de modo que todos os saquinhos ficassem com a mesma quantidade de peças. Foram necessários para distribuir todas as peças, no mínimo, a) 17 saquinhos. b) 13 saquinhos. c) 9 saquinhos. d) 5 saquinhos. QUESTÃO 2

O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo: a) [1,16000]

b) [16001,17000]

c) [17001,18000]

d) [18001,19000]

e) 1900[ 1, )

QUESTÃO 3

Uma gerente de loja e seu assistente viajam com frequência para São Paulo e voltam no mesmo dia. A

gerente viaja a cada 24 dias e o assistente, a cada 16

dias, regularmente. Em um final de semana, eles viajaram juntos. Depois de x viagens da gerente e y

viagens do assistente sozinhos, eles viajaram juntos novamente.

O menor valor de x y é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 QUESTÃO 4

Dona Lourdes trabalha em uma livraria, precisa guardar 200 livros em x caixas e vai utilizar

todas elas.

Se em 30 das x caixas ela guardar 4 livros em cada

caixa e, nas demais, guardar 5 livros em cada caixa,

então, sobrarão alguns livros para serem guardados.

Entretanto, se em 20 das x caixas ela guardar 4

livros em cada caixa e 5 livros em cada uma das

demais, então, não haverá livros suficientes para ocupar todas as caixas. Assim, a soma dos algarismos do número x é igual a a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 QUESTÃO 5

Maria e Paula são amigas de infância e, sempre que podem, saem para pedalar juntas em torno do Estádio do Maracanã. Um dia, empolgadas com a ideia de saberem mais sobre o desempenho da dupla, resolveram cronometrar o tempo que cada uma levava para dar uma volta completa em torno do estádio. Constataram que Maria dava uma volta completa em 6

minutos e 40 segundos, enquanto Paula demorava 8

1


minutos para fazer o mesmo percurso, ambas com velocidades constantes. Paula, então, questionou o seguinte: “Se sairmos juntas de um mesmo local, no mesmo momento, mas em sentidos contrários, em quanto tempo voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, no mesmo ponto de partida?” A resposta correta para a pergunta de Paula está presente na alternativa a) 48 minutos b) 40 minutos c) 32 minutos d) 26 minutos e 40 segundos e) 33 minutos e 20 segundos QUESTÃO 6

Ana listou em ordem crescente os primeiros 30

números naturais N que satisfazem às três condições a seguir.

1) N deixa resto 7 na divisão por 24.

2) N deixa resto 7 na divisão por 32.

3) N é maior que 20.

O primeiro número listado por Ana tem soma de algarismos igual a a) 4. b) 9. c) 11. d) 12. e) 15. QUESTÃO 7

O transporte intermunicipal por ônibus é bastante comum na região de Limeira e há algumas empresas que disponibilizam o serviço para as mesmas rotas,

mas em horários distintos. A empresa A possui ônibus de Limeira para Campinas a cada uma hora e vinte

minutos (1h 20 min); já a empresa B faz esse mesmo

itinerário de duas em duas horas (2 h). Sabendo-se

que partem ônibus das duas empresas às 6 h da

manhã, quantas vezes, ao longo do dia, partirão, ao

mesmo tempo, ônibus das empresas A e B juntos, considerando-se que as viagens se encerram às 23

horas? a) 5 vezes b) 4 vezes c) 7 vezes d) 6 vezes QUESTÃO 8

Maria adora séries de televisão e pretende assistir, durante um ano, a todos os episódios (de todas as temporadas e sem pular nenhum episódio) das suas três séries preferidas. Para isso, ela assistirá a três episódios por dia, sendo um de cada série. Sabe-se que cada temporada da série A tem 20 episódios, da

série B tem 24 episódios e da série C tem 18

episódios. Nenhuma das três séries tem mais que 365

episódios ao todo. Ela decidiu que começará, hoje, a assistir ao 1º episódio da 1ª temporada de cada uma dessas três séries. Maria também sabe que haverá um

certo dia X em que conseguirá, coincidentemente, assistir ao último episódio de alguma temporada das três séries.

Ao final do dia X, Maria já terá assistido, ao todo, a) 12 temporadas completas das três séries. b) 15 temporadas completas da série A. c) 18 temporadas completas da série B. d) 20 temporadas completas da série C.

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

O Brasil e a Fome

São mais de 3 milhões de brasileiros que convivem

com a fome de alguma forma todos os dias. É por isso que existe tanta campanha de doação de alimentos, para oferecer dignidade e um prato de comida para quem precisa.

Disponível em: <<https://www.lbv.org/doacao/campanha-de-doacao-de-alimentos>>.Acesso em: 20 jul. 2018. (Adaptado)

QUESTÃO 9

O Colégio Militar do Rio de Janeiro (CMRJ) promoveu uma campanha junto a seus alunos com o intuito de angariar alimentos não perecíveis e doá-los a instituições assistenciais do bairro da Tijuca e entorno. Ao saber da campanha do colégio, Maria, aluna do 6º ano, prontificou-se a conscientizar todos os demais alunos do CMRJ da importância em se ajudar o próximo. No final da campanha, foram arrecadados

528 kg de açúcar, 240 kg de feijão e 2.016 kg

de arroz. Maria, então, sugeriu que esses alimentos fossem acondicionados em cestas e distribuídos de forma que cada cesta tivesse os três alimentos e que as quantidades de alimentos do mesmo tipo fossem as mesmas em todas as cestas. Sabendo que todos os alimentos foram doados de acordo com essa distribuição e o número de cestas era o maior possível, quantos quilos de arroz havia em cada uma das cestas? a) 11 b) 20 c) 31 d) 42 e) 48

2


QUESTÃO 10

Para comemorar o sucesso da campanha de doação de alimentos, Maria resolve fazer bolinhos de coco para as amigas, revelando seu lado Master Chef. Em sua

receita de 12 bolinhos, ela precisa de exatamente cem gramas de açúcar, cinquenta gramas de manteiga, meio litro de leite e quatrocentos gramas de farinha. Em seu armário de cozinha, há quinhentos gramas de açúcar, duzentos gramas de manteiga, quatro litros de leite e cinco quilogramas de farinha. Utilizando somente os ingredientes que ela possui, a maior quantidade desses bolinhos que pode ser feita é igual a a) 48 b) 60 c) 96 d) 120 e) 150 QUESTÃO 11

Uma pessoa tem massa corporal de 167 kg. Sob

orientação de um nutricionista, submeteu-se a um regime alimentar, em que se projeta que a perda de

quilos mensais seja inferior a 5 kg. Após iniciar o

regime, observou-se, nos três primeiros meses, uma

perda de 4 kg por mês, e nos quatro meses seguintes,

uma perda mensal de 3 kg. Daí em diante, segundo as

recomendações do nutricionista, deveria haver uma perda mensal fixa em cada um dos meses subsequentes, objetivando alcançar a massa corporal

de 71kg ao final do regime.

Segundo as projeções e recomendações do nutricionista, para alcançar seu objetivo, a duração mínima, em mês, que essa pessoa deverá manter o seu regime será de a) 15. b) 20. c) 21. d) 22. e) 25. QUESTÃO 12

Uma professora do Colégio Militar do Rio de Janeiro tem três filhas matriculadas regularmente numa escola. O produto da idade da professora com as idades de suas três filhas é 26.455. Desta forma, pode-se afirmar

que a soma das idades da filha mais velha e da filha mais nova é um a) número ímpar. b) número primo. c) número múltiplo de 3. d) número múltiplo por 5. e) número divisível por 7. QUESTÃO 13

Um torneio de xadrez terá alunos de escolas militares. O Colégio Militar de Campo Grande (CMCG) levará 120 alunos; o Colégio Militar do Rio de Janeiro

(CMRJ), 180; e o Colégio Militar de Brasília (CMB),

252. Esses alunos serão divididos em grupos, de

modo que cada grupo tenha representantes das três escolas, e que o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser formados é a) 10. b) 12. c) 15. d) 21. e) 46. QUESTÃO 14

Considerando que x e y são números naturais, tais

que, m.m.c (x, y) 102 e m.d.c (x, y) 17, assinale o

que for correto. 01) x y 80.

02) x e y são números pares.

04) xy é um número divisível por três.

08) xy é um número menor que 1.500.

QUESTÃO 15

Um torneio de xadrez terá alunos de 3 escolas. Uma

das escolas levará 120 alunos; outra, 180 alunos; e

outra, 252 alunos. Esses alunos serão divididos em

grupos, de modo que cada grupo tenha representantes das três escolas, e o número de alunos de cada escola seja o mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem ser formados é a) 12 b) 23 c) 46 d) 69

3


GABARITOS E RESOLUÇÕES Resposta da questão 1: B

Temos um total de 65 peças. Calculando o MDC entre 15, 20 e 30 obtemos 5.

Portanto, o total de saquinhos para distribuir as peças será dado por:

65 5 13

Resposta da questão 2: C

3 2 21800 2 3 5

O total de divisores positivos do número 1800 é:

3 1 2 1 2 1 36

Note que 36 2 2 3 3, daí, o menor natural ímpar que possui 36 divisores positivos é:

2 23 5 7 11 17325

17001 17325 18000, logo, 17325 17001,18000

Resposta da questão 3: C Tem-se que

3 4

4

mmc(24,16) mmc(2 3, 2 )

2 3

48.

Desse modo, a gerente e o assistente viajam juntos a cada 48 dias.

Ao fim de quarenta e oito dias, a gerente realizou uma viagem sozinha e outra acompanhada pelo assistente, enquanto que o assistente realizou duas viagens sozinho e uma acompanhado da gerente.

A resposta é x y 1 2 3.

Resposta da questão 4: B Tem-se que

30 4 (x 30) 5 200 5x 230

e

20 4 (x 20) 5 200 5x 220.

Desse modo, como o único múltiplo de 5 compreendido entre 220 e 230 é 225, vem

5x 225 x 45.

A resposta é 4 5 9.

Resposta da questão 5: B

Desde que Maria leva 6min 40 s 6 60 40 400 s para dar uma volta completa e Paula demora

8min 8 60 480 s para percorrer o mesmo percurso, podemos concluir que elas se encontrarão após

4 2 5

5 2

mmc(400, 480) mmc(2 5 , 2 3 5)

2 3 5

2400 s

40min.

Resposta da questão 6: A

N 7 é múltiplo de 24

N 7 é múltiplo de 32

Portanto, N 7 é múltiplo do MMC(24, 32) 96.

O primeiro número listado será dado por:

N 7 96 N 103

A soma de seus algarismos será 1 0 3 4.

4



2 h 120 min.

1h20 80 min.

mmc(120, 80) 240.

23h 6h 17h 1020

10204,25

240

Portanto num período de 17h os ônibus das empresas A e B partirão juntos 4 vezes. Como estes ônibus partiram juntos às 6 da manhã pela primeira vez, o total de vezes partiram juntos neste

dia será:

4 1 5

Resposta da questão 8: D Calculando:

3 2

24 20 18 2

12 10 9 2

6 5 9 2 A 360 20 18 temporadas

3 5 9 3 MMC 2 3 5 360 B 360 24 15 temporadas

C 360 18 20 temporadas1 5 3 3

1 5 1 5

1 1 1

Resposta da questão 9: D

Tem-se que o número de cestas corresponde ao máximo divisor comum de 528, 240 e 2016, ou seja,

4 4 5 2

4

mdc(528, 240, 2016) mdc(2 3 11, 2 3 5, 2 3 7)

2 3

48.

A resposta é 2016

42kg.48

Resposta da questão 10: A Desde que o mínimo múltiplo comum dos ingredientes é

2 2 2 2 3 4 2

4 3

mmc(100, 50, 500, 400) mmc(2 5 , 2 5 , 2 5 , 2 5 )

2 5

2000,

podemos concluir que o maior número de dúzias de bolinhos que poderá ser feito é igual a 2000

4.500

Em

consequência, a resposta é 12 4 48.

Resposta da questão 11: D Após os sete primeiros meses, a massa corporal da pessoa atingiu

167 3 4 4 3 143kg.

Em consequência, ela deverá perder 143 71 72kg nos meses subsequentes. Portanto, sendo 72 14 5 2,

podemos concluir que, decorridos os 7 primeiros meses, ainda serão necessários, no mínimo, mais 15 meses,

totalizando, assim, 7 15 22 meses.

5


Resposta da questão 12: C Sejam x, y, z e w, respectivamente, a idade da professora e de suas filhas. Suponhamos que x y z w.

Daí,

x y z w 26455

x y z w 37 13 11 5

x 37, y 13, z 11 e w 5.

Portanto,

y w 13 5

y w 18 anos

18 3 6, ou seja, é um múltiplo de 3.

Resposta da questão 13: B Seja x o maior número de grupos que podem ser formados.

Do enunciado, x divide 120,180 e 252. Como queremos o maior x possível, x é o máximo divisor dos números

120,180 e 252.

Como mdc (120,180, 252) 12, o maior número de grupos que podem ser formados é 12.

Resposta da questão 14: 01 + 04 = 05. Calculando:

mmc(x, y) mdc(x, y) xy

102 17 xy xy 1734

Decompondo:

17 x 17 2 341734

17 y 17 3 51102

2 ou6

3 x 17 6 1023

y 17 1 171

Analisando as alternativas uma a uma: [01] CORRETA. Calculando:

x y 80

34 51 85 80

102 17 119 80

[02] INCORRETA. Apenas um dos números é par. [04] CORRETA. 1734 é divisível por 3.

[08] INCORRETA. 1734 1500.


O resultado pedido corresponde ao máximo divisor comum dos números 120,180 e 252, ou seja,

3 2 2 2 2

2

mdc(120,180, 252) mdc(2 3 5, 2 3 5, 2 3 7)

2 3

12.

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MATEMÁTICA - NOÇÕES DE LOGICA

QUESTÃO 1

São proposições equivalentes para a negação da proposição “todo homem ama lógica”:

“pelo menos um homem não ama lógica”; “algum homem não ama lógica”; “existe um homem que não ama lógica”.

Assim, a forma correta de negar a proposição “todas as vagas deste vestibular são de ensino superior” é a) “algumas vagas deste vestibular são de

ensino superior”. b) “existem vagas deste vestibular que não são de

ensino superior”. c) “nenhuma das vagas deste vestibular é de

ensino superior”. d) “pelo menos uma vaga deste vestibular é de

ensino superior”. e) “todas as vagas deste vestibular não são de

ensino superior”. QUESTÃO 2

Ana, Bia e Carla são amigas. Uma delas é loira, outra morena e outra ruiva, não necessariamente nessa ordem. Apenas uma das afirmações abaixo é verdadeira:

Ana é loira. Bia não é loira. Carla não é morena.

Podemos afirmar, com certeza, que: a) Ana é loira e Bia é ruiva. b) Carla é morena e Bia é loira. c) Bia é ruiva e Carla é morena. d) Ana é morena e Carla é ruiva. e) Carla é loira e Ana é morena. QUESTÃO 3

Na primeira fase da Copa do Mundo de 2018, fase de grupos, as trinta e duas seleções foram divididas em oito grupos de quatro seleções, sendo que as duas seleções melhor classificadas de cada grupo avançaram para a próxima fase. Cada uma das quatro seleções, de cada grupo, jogou uma vez com as outras três seleções.

Segundo o critério de pontos (Pt), a cada vitória, a

seleção computava três pontos e, a cada derrota, zero ponto. Em caso de empate no jogo, somou-se um ponto para cada seleção. Em caso de igualdade na pontuação, ao final da primeira fase, os critérios de desempate foram:

1) Melhor saldo de gols (total de gols feitos menos o total de gols sofridos);

2) Maior número de gols feitos (gols pró); 3) Confronto direto; 4) Menos cartões vermelhos e amarelos; 5) Sorteio.

Numa simulação dos jogos da primeira fase, de um grupo qualquer, ocorreu o descrito abaixo:

houve um time que ganhou todas as partidas por um a zero;

houve um outro time que perdeu todas as partidas por zero a um.

Considerando apenas os critérios de pontos (Pt), o

critério 1 de desempate (Sd) e o critério 2 de

desempate (Gp), qual das opções abaixo pode

representar as pontuações das quatro seleções desse grupo? a)

Pt Sd Gp

1ª 9 3 3

2ª 6 0 3

3ª 3 1 2

4ª 0 3 0

b)

Pt Sd Gp

1ª 9 3 3

2ª 6 1 3

3ª 3 1 2

4ª 0 3 0

c)

Pt Sd Gp

1ª 9 3 3

2ª 4 0 2

3ª 4 1 1 4ª 0 3 0

d)

Pt Sd Gp

1ª 9 3 3

2ª 4 0 2

3ª 4 0 1

4ª 0 3 0

e)

Pt Sd Gp

1ª 9 3 3

2ª 4 1 1 3ª 3 1 1

4ª 0 3 0

QUESTÃO 4

Não é verdade que Paulo foi à escola e João não foi. Então, podemos afirmar que: a) Se João foi à escola, Paulo não foi. b) Se João não foi à escola, Paulo também não foi. c) Ambos foram à escola. d) Nenhum deles foi à escola. e) Apenas um deles foi à escola.

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QUESTÃO 5

Para organizar uma fila, a professora foi fazendo trocas de lugar de dois em dois alunos entre si, de modo que o mais alto sempre ficasse atrás do mais baixo.

Para passar da configuração A para a configuração B,

foram necessárias, no mínimo: a) 5 trocas.

b) 4 trocas. c) 6 trocas.

d) 7 trocas. e) 3 trocas.

QUESTÃO 6

Considere a proposição P = “Não é verdade que, se Ana estuda, ela será aprovada”. Uma proposição equivalente a essa é: a) Ana não estuda e será aprovada. b) Se Ana não estuda, ela não será aprovada. c) Ana estuda e não será aprovada. d) Ana estuda ou não será aprovada. e) Ana não estuda e não será aprovada. QUESTÃO 7

Os sobrenomes de Roy, Edu e Luan são Todeka, Sharifa e Arrabeca, não necessariamente nessa ordem. O de sobrenome Sharifa, que não é o Roy, é mais velho que Luan. O de sobrenome Arrabeca é o mais velho dos três. Concluímos, então, que os sobrenomes de Roy, Edu e Luan são, respectivamente: a) Todeka, Sharifa e Arrabeca. b) Todeka, Arrabeca e Sharifa. c) Arrabeca, Sharifa e Todeka. d) Arrabeca, Todeka e Sharifa. e) Sharifa, Todeka e Arrabeca. QUESTÃO 8

O professor de medicina Helton faz as seguintes afirmações sobre as notas de: Marcelo Carlos e Zélia Yara; Marcelo Yara e Carlos Yara se e somente se Yara Zélia; Roberto Carlos, se e somente se Yara Marcelo.

Sabendo se que todas as afirmações do professor são verdadeiras, conclui-se que a nota de a) Marcelo Roberto Zélia Carlos. b) Marcelo Roberto Yara Zélia. c) Marcelo Zélia Carlos Roberto. d) Marcelo Carlos Roberto Zélia. e) Marcelo Zélia Roberto Carlos. QUESTÃO 9

Lauro, Pedro e Carlos foram a uma festa, cada um acompanhado de uma garota. Perguntados sobre suas respectivas companhias, deram as seguintes respostas: Joana: “Eu estava com o Lauro”. Pedro: “Se eu não estivesse com Bruna, Joana estaria com Lauro”. Carlos: “Ou Pedro estava com Joana ou Lauro estava com Estela”. Soube-se depois que apenas Joana não falou a verdade. Podemos, então, concluir que: a) Pedro estava com Joana e Lauro com Estela. b) Pedro estava com Joana e Carlos com Bruna. c) Lauro estava com Bruna e Carlos com Joana. d) Lauro estava com Estela e Carlos com Joana. e) Pedro estava com Estela e Carlos com Bruna. QUESTÃO 10

Considere a proposição “Se gosto de churrasco, então gosto de cerveja”. Uma proposição logicamente equivalente a ela é: a) Gosto de churrasco e de cerveja. b) Gosto de churrasco ou não gosto de cerveja. c) Se não gosto de churrasco, então não gosto de

cerveja. d) Não gosto de churrasco ou gosto de cerveja. e) Se gosto de cerveja, então gosto de churrasco.

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GABARITOS E RESOLUÇÕES Resposta da questão 1: B Uma negação possível da proposição “todas as vagas deste vestibular são de ensino superior” é “existe uma vaga deste vestibular que não é de ensino superior”. Resposta da questão 2: D Se “Bia não é loira” for falsa, então “Ana é loira” também é falsa. Portanto, “Carla não é morena” é verdadeira. Concluímos, então que Bia é loira, Carla é ruiva e Ana é morena. Então, a resposta correta é a [D]. Resposta da questão 3: B

Sejam A,B, C e D as seleções.

Se A ganha de B, C e D por um a zero, então A faz 3 3 9 pontos, fica com Sd 3 e Gp 3.

Se B perde de A, C e D por zero a um, então B faz zero pontos, fica com Sd 3 e Gp 0.

No último jogo restante, as seleções C e D disputam a classificação. Antes do jogo decisivo, ambas têm três

pontos, Sd 0 e Gp 1. Analisando os resultados possíveis para essa partida, é fácil ver que o único resultado

que produz alguma das classificações exibidas nas alternativas, sem perda de generalidade, é o de dois a um

para a equipe C. Nesse caso, C terminaria com seis pontos, Sd 1 e Gp 3; enquanto que D terminaria com

três pontos Sd 1 e Gp 2.

Resposta da questão 4: B Através do conectivo “e” podemos concluir que as afirmações, Paulo foi à escola e João não foi, nunca poderão ser ambas verdadeiras ou ambas falsas. Portanto, a única afirmação correta é a [B]. Resposta da questão 5: B Supondo que cada aluno tenha um número, sendo o aluno mais alto o número 5 e o mais baixo o número 1, pode-se relacionar a ordem dos alunos em A e fazer trocas até chegar em B. Ou seja:

4 1 2 5 3 5 1 2 4 3 5 4 2 1 3 5 4 3 1 2 5 4 3 2 1

Resposta da questão 6: C Se “Não é verdade que, se Ana estuda, ela será aprovada”, então podemos reescrevê-la como “Ana estuda e não será aprovada”.

Resposta da questão 7: C O de sobrenome Sharifa, que não é o Roy, é mais velho que Luan. Esta Afirmação nos diz que o sobrenome de Edu é Sharifa. O de sobrenome Arrabeca é o mais velho dos três. Esta informação me diz que o de sobrenome Arrabeca é Roy. Portanto a opção [C] é a correta.

Resposta da questão 8: B De acordo com as afirmações, concluímos que: Marcelo > Carlos (Roberto) > Yara > Zélia. A única opção que se encaixa nas desigualdade acima é a [B] (Marcelo Roberto Yara Zélia.). Resposta da questão 9: D Como Joana mentiu, ela não estava com Lauro. A proposição dita por Pedro: “Se eu não estivesse com Bruna, Joana estaria com Lauro.” têm valor lógico verdade. Como Joana não estava com Lauro, a proposição “eu estaria com Bruna” têm valor lógico falso, ou seja, Bruna estava com Pedro. Como Pedro estava com Bruna, Bruna não estava com Lauro. Como Lauro não estava com Bruna nem Joana, estava com Estela e Joana estava com Carlos. Assim, Lauro estava com Estela e Carlos com Joana.

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Resposta da questão 10: D Sejam r e s duas proposições quaisquer.

A proposição “Se r, então s." é equivalente a proposição “Não r ou s.".

Assim, a proposição “Se gosto de churrasco, então gosto de cerveja.” é equivalente a “Não gosto de churrasco ou gosto de cerveja”.”

MATEMÁTICA - TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETANGULO

QUESTÃO 1

Uma das finalidades da Ciência Forense é auxiliar nas investigações relativas à justiça civil ou criminal. Observe uma ideia que pode ser empregada na análise de uma cena de crime. Uma gota de sangue que cai perfeitamente na vertical, formando um ângulo de 90º com a horizontal, deixa uma mancha redonda. À medida que o ângulo de impacto com a horizontal diminui, a mancha fica cada vez mais longa. As ilustrações mostram o alongamento da gota de sangue e a relação trigonométrica envolvendo o ângulo de impacto e suas dimensões.

Considere a coleta de uma amostra de gota de sangue e a tabela trigonométrica apresentadas a seguir.

α sen α cos α tg α

31 0,51 0,85 0,60

37 0,60 0,80 0,75

53 0,80 0,60 1,32

59 0,85 0,51 1,66

74 0,96 0,28 3,50

De acordo com as informações, o ângulo de impacto da gota de sangue coletada na amostra foi de a) 37

b) 74 c) 59

d) 53

e) 31

QUESTÃO 2

À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT (Veículo Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura

desprezível, com raio de 3 m, estacionado

paralelamente ao solo a 30 m de altura.

O VANT está a uma distância y metros de um holofote

que foi instalado no helicóptero. O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT incide sobre a região plana e produz uma sombra

circular de centro O e raio R.

O raio R da circunferência da sombra forma um ângulo de 60 com o feixe de luz, conforme se vê na figura

seguinte.

Nesse momento, uma pessoa que se encontra num

ponto A da circunferência da sombra corre para o

ponto O, pé da perpendicular traçada do holofote à

região plana. A distância, em metros, que essa pessoa percorre de A até O é um número entre

a) 18 e 19

b) 19 e 20

c) 20 e 21

d) 22 e 23

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QUESTÃO 3 3.

A imagem mostra uma cama com escorregador

acoplado. Sabendo que o escorregador tem 1,10

metros de altura e que sua inclinação, em relação ao

plano horizontal, é de 32 , o comprimento desse

escorregador (parte por onde se escorrega), em metros, é, aproximadamente,

Dados: sen 32 0,53; cos 32 0,85 e tg 32 0,62.

a) 0,935.

b) 1,294.

c) 1,774.

d) 0,583.

e) 2,075.

QUESTÃO 4

De acordo com a norma brasileira de regulamentação de acessibilidade, o rebaixamento de calçadas para travessia de pedestres deve ter inclinação constante e

não superior a 8,33% (1:12) em relação à horizontal.

Observe o seguinte projeto de rebaixamento de uma

calçada cuja guia tem altura BC 10 cm.

a) Calcule a medida de AB na situação limite da regulamentação.

b) Calcule o comprimento de AC na situação em que

a inclinação da rampa é de 5%. Deixe a resposta

final com raiz quadrada.

QUESTÃO 5

A acessibilidade urbana é um tema que merece atenção, especialmente quando as cidades crescem sem que haja planejamento de ações que garantam o bem-estar, a segurança e a autonomia no uso de equipamentos urbanos por pessoas com algum tipo de limitação, seja ela de mobilidade, idade ou percepção. Assim, para a construção de uma rampa de acesso, calculando-se sua inclinação, usa-se a seguinte expressão matemática:

hx100i ,

C em que:

i é a inclinação da rampa em porcentagem;

h é a altura do desnível; C é o comprimento da projeção horizontal.

Qual é o ângulo formado em uma rampa que possui 100% de inclinação?

a) 180

b) 90

c) 60

d) 45

QUESTÃO 6

Após a instalação de um poste de energia, há a orientação de que ele fique apoiado por um período de 48 horas, após a sua fixação no terreno, por meio de

4 cabos de sustentação. A figura a seguir ilustra um modelo de um desses cabos de sustentação.

Sabendo que o cabo de sustentação do poste forma um ângulo de 60 com a vertical e que ele está

conectado ao poste a uma altura de 10 metros,

determine o comprimento mínimo do cabo.

a) 10 m

b) 5 m

c) 25 m

d) 20 m

e) 12 m

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QUESTÃO 7

Na imagem abaixo, temos uma rampinha onde muitos cachorrinhos adoram brincar.

A rampinha tem 1,4 metros de altura e uma inclinação

de 45 . Usando a aproximação 2 1,4, podemos

afirmar que o comprimento da rampinha, dado pela hipotenusa do triângulo em destaque, em metros, é a) 3.

b) 1,4.

c) 2,8.

d) 1,96.

e) 2. QUESTÃO 8

O prefeito de uma cidade turística pretende construir um teleférico unindo o parque cultural ao topo de uma

montanha de 200 m de altura, como mostra a figura

abaixo. Considerando que a plataforma de embarque

do teleférico deve estar a uma altura de 5 m do chão e

que o pico da montanha possa ser observado sob um

ângulo de 30 , determine a distância percorrida pelo

teleférico do ponto de embarque ao topo da montanha.

a) 350 m

b) 370 m

c) 390 m

d) 410 m

QUESTÃO 9

O retângulo PQRS é a representação de uma mesa

de sinuca. O objetivo é alcançar a bola verde,

representada pelo ponto V, com a bola branca,

representada pelo ponto B. Sabe-se que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, como destacado na figura abaixo.

Qual o valor da tangente do ângulo ?β

a) 32 37

b) 33 37

c) 36 37

d) 32 35

e) 33 35

QUESTÃO 10

Uma forma pouco conhecida de arte é a de preenchimento de calçadas com pedras, como vemos na calçada encontrada em Brazlândia – DF, conforme a figura.

Em relação ao desenho da calçada, considere o seguinte:

todos os triângulos são retângulos; cada triângulo possui um ângulo de 30°; e a hipotenusa de cada triângulo mede 100 cm.

Com base nas informações acima, os catetos de cada triângulo medem, em cm,

a) 25 e 25 3.

b) 25 e 25 2.

c) 25 e 50 3.

d) 50 e 50 3.

e) 50 e 50 2.

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GABARITOS E RESOLUÇÕES Resposta da questão 1: A Desde que o seno do ângulo de impacto, ,α é dado pela razão entre a largura e o comprimento da gota de

sangue, temos

1,5sen 0,6.

2,5α

Portanto, da tabela, segue que 37 .α

Resposta da questão 2: C Considere a figura.

Desde que os ângulos BAO e BCD são correspondentes, temos

BD ytgBCD tg60

3CD

y 3 3 m.

Portanto, segue que

BO 3 3 30tgBAO tg60

xAO

30x 3

3

x 3 10 3

x 20,3 m.

É imediato que x ]20, 21[.

Resposta da questão 3: E Calculando:

x comprimento do escorregador

1,10sen 32 0,53x 1,10 x 2,075 m

x

Resposta da questão 4:

a) Seja A ' a projeção de A sobre o plano da pista. Tem-se que A 'CA BAC. Logo, vem

BC 1 10tgBAC AB 120 cm.

12AB AB

b) Se a inclinação é de 5%, então

1 10AB 200cm.

20 AB

Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos

2 2 2AC 10 200 AC 40100

AC 10 401 cm.

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Resposta da questão 5: D Considerando que α o ângulo forma do pela inclinação da rampa, temos:

hx100 h100 1 tg 1 45

C cα α

Resposta da questão 6: D Sendo x o comprimento do cabo, pode-se calcular:

10 1 10cos60 x 20 m

x 2 x

Resposta da questão 7: E ou D Gabarito Oficial: E Gabarito SuperPro®: [D] ou [E] De acordo com o triângulo retângulo destacado na figura e considerando que d seja o comprimento da

rampa, temos:

1,4sen45

d

2 1,4

2 d

2 d 2 1,4

Substituindo 2 por 1,4, obtemos d 2 m (opção [E])

Observação: Se continuarmos a resolução da equação acima, obtemos: d 1,4 2

Fazendo 2 1,4 o valor de d será 1,96. (opção [D])

Portanto, este problema terá duas soluções. Resposta da questão 8: C

195 1 195sen30 x 390 m

x 2 x

Resposta da questão 9: B Do enunciado e da figura, temos:

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Os triângulos CBF e VDE são semelhantes, logo:

x 0,90,75x xy 0,315

0,35 0,75 y

Os triângulos CBF e CDP são semelhantes, logo:

x 0,9xy 1,35 0,9x

1,5 x y

Substituindo xy 1,35 0,9x na equação 0,75x xy 0,315,

0,75x 1,35 0,9x 0,315

0,75x 1,35 0,9x 0,315

111x

110

Assim, no triângulo CBF, temos:

0,90tg

111

110

33tg

37

β

β

Resposta da questão 10: D

1y 100 sen30 100 50

2

3x 100 cos30 100 50 3

2

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matemÁtica - multiplos e divisores · 2020-03-20 · matemÁtica - multiplos e divisores prof....

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