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¿Qué tienen de especial los divisores de 24 que no tienen otros enteros positivos?TRANSCRIPT
UNA CARACTERIZACIÓN SOFISTICADA
DE LOS DIVISORES DE 24
Luis Carlos Araúz
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 2
ÍNDICE
Página
Agradecimiento 3
Dedicatoria 4
Introducción 5
Contenido
1. Planteamiento del problema 6
2. Consideraciones generales 8
3. Prueba utilizando el Teorema Chino de los Restos 10
4. Prueba utilizando el Teorema de Dirichlet relativo
a los primos que se encuentran en progresiones aritméticas 12
5. Prueba utilizando la Estructura de la Teoría de las Unidades 13
6. Prueba utilizando el Teorema de Bertrand – Chebyshev 15
7. Prueba utilizando los Teoremas de Erdös y Ramanujan 17
Conclusión 20
Recomendaciones 21
Bibliografía 22
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 3
AGRADECIMIENTO
En primera instancia a la Vida, por haberme concedido las herramientas suficientes para
progresar académicamente, así como la oportunidad de elaborar este documento; a mis
padres y hermanos, que sin dudar han extendido la mano en mi ayuda siempre que lo he
necesitado; a todos los Profesores que me dictaron clase durante mis estudios, de manera
particular al profesor Jaime Gutiérrez por guiar mi trabajo de graduación. Finalmente a
mis amigos, que han sabido decirme las palabras apropiadas en los momentos en que lo
he necesitado; y a quienes, en mayor o menor escala, han contribuido en mi formación
universitaria.
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 4
DEDICATORIA
A mis padres Eriberto Araúz y Aura Ma. Doris Valdés, a mis hermanos y al barrio de El
Chorrillo, de donde he salido y en el que me he educado.
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 5
INTRODUCCIÓN
Antes de iniciar en sí con el contenido de este documento, debemos mencionar y resaltar
una característica del ser humano que le ha permitido, a lo largo de la historia, haber
desarrollado o descubierto resultados muy importantes; no sólo en el Mundo Matemático,
sino en otras disciplinas científicas… Y es que la curiosidad matemática es precisamente
la que se hace “tangible” en la manera en que surge nuestro tema a desarrollar; y el cual no
se escapa de la manera natural en que se presentan los problemas en la Teoría de
Números: “entendibles hasta para quienes no son matemáticos, pero cuya demostración no
resulta tan fácil de concebir como su formulación”.
¿Qué tienen los divisores de 24 que no tiene ningún otro entero positivo? En este
documento se dará una caracterización de los divisores de 24, basándonos en las tablas de
multiplicar modular. Se realizarán los análisis pertinentes para dar respuesta a una simple
pregunta formulada por un estudiante en un salón de clase.
¿Cuáles son todos los valores de n para los cuales, en las tablas de multiplicar modular de
, se producen 1’s en la diagonal y nunca fuera de ella? Se dará respuesta a esta
interrogante utilizando diversas herramientas de la Teoría de Números; éstas son: el
Teorema Chino de los Restos, la Teoría de la estructura de las unidades en , el Teorema
de Dirichlet sobre primos en una progresión aritmética, el Teorema de Bertrand-
Chebyshev y algunos resultados de Erdös y Ramanujan. No hay duda de que algunas de
estas herramientas son bastante complejas, sin embargo, el objetivo lúdico, y el punto de
este documento, es introducirnos en temas de interés en la Teoría de Números como
posible vía a esta pregunta que surgió de forma natural en clase; y para mostrar el
resultado de las interconexiones entre estos temas.
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 6
¿QUÉ TIENEN DE ESPECIAL LOS DIVISORES DE 24?
1. Planteamiento del problema
Los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Para despertar el interés y curiosidad del
lector se plantea el siguiente acertijo: ¿Qué hay de interesante en una caracterización
teórica de los divisores de 24 entre todos los enteros positivos? Probablemente hay varias
caracterizaciones de estos números. En este documento se dará una caracterización en
términos de las tablas de multiplicar modular. Esta idea evolucionó (se desarrolló) a partir
de una interesante pregunta formulada por un joven (llamado Elliot) a su profesor (Sunil
Kumar Chebolu) en la clase de Teoría Elemental de Números... Poco después de
presentar el nuevo mundo de , el profesor pidió a los estudiantes que escribieran las
tablas de multiplicar para , , y . Luego, con la ayuda de un software, les mostró la
tabla de multiplicar para ; con el objeto de dirigir su atención a algunas diferencias entre
las tablas modulares para números primos y compuestos.
Tabla 1. Tabla de multiplicar modular para
Al ver estas tablas Elliot preguntó: “Veo que los 1’s, en las tablas de multiplicación,
aparecen solo en la diagonal. ¿Esto siempre es cierto?” Por supuesto, su tutor buscó una
respuesta satisfactoria. Los 1’s no siempre aparecen en la diagonal y un ejemplo a
* 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 0 2 4 6 0 2 4 6
3 0 3 6 1 4 7 2 5
4 0 4 0 4 0 4 0 4
5 0 5 2 7 4 1 6 3
6 0 6 4 2 0 6 4 2
7 0 7 6 5 4 3 2 1
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 7
considerar es en , donde el número 1 aparece en la posición (2,3), es decir, fuera de la
diagonal; y que corresponde a la multiplicación
(2)(3) = 1 en
De igual manera, en , aparece el número 1 en la posición (2,5); fuera de la diagonal.
Después de haber visto algunos ejemplos con 1’s solo en la diagonal y algunos con 1’s
fuera de ella, la siguiente pregunta pide ser contestada. ¿Cuáles son todos los valores de
n para los cuales, en las tablas de multiplicar de , se producen 1’s en la diagonal y
nunca fuera de ella?
En este documento se investigará este asunto utilizando diversas herramientas de la Teoría
de Números y lo vincularemos con algunos temas interesantes, a priori, lejos y sin relación
con este tópico. Específicamente, las herramientas a usar son el Teorema Chino de los
Restos, la Teoría de la estructura de las unidades en , el Teorema de Dirichlet sobre
primos en una progresión aritmética, el Teorema de Bertrand-Chebyshev y algunos
resultados de Erdös y Ramanujan. No hay duda de que alguna de estas herramientas son
bastante complejas a la, relativamente simple, cuestión bajo investigación. Sin embargo, lo
divertido, y el punto de este documento, es introducirnos en temas de interés en la Teoría
de Números como posible vía a esta pregunta que surgió de forma natural en un aula, y
para mostrar el resultado de las interconexiones entre estos temas.
La pregunta objeto de investigación se responde en el siguiente teorema.
Teorema. La tabla de multiplicación para contiene 1’s solamente en la diagonal si y
solo si n es divisor de 24.
Se debe señalar que el divisor trivial 1 de 24 correspondiente a , consiste en un solo
elemento (0). Por lo tanto el requisito de los 1’s en la diagonal es vacuamente cumplido en
este caso.
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 8
Se darán cerca de cuatro a cinco pruebas diferentes de este teorema, pero antes de ahondar
en estas pruebas, se inicia con algunas generalidades.
2. Consideraciones generales
Comenzamos examinando, más de cerca, la condición de que “los 1’s en la tabla de
multiplicar de ocurren solo a lo largo de la diagonal”. Para mayor comodidad, nos
referiremos a esto como la condición diagonal (como propiedad de n). Fijemos los
representantes de los elementos de :
Supongamos que hay un 1 en la posición (a,b) en la tabla de multiplicar para . Esto
significa que ab=1 en (a, y por tanto también b, es llamado inversible en ). Si la
condición diagonal vale para n, entonces (a,b) tiene que ocupar una posición en la
diagonal. Esto significa que a=b, y por lo tanto a2=1 en , o equivalentemente n| a
2 -1.
Teniendo ya estas consideraciones se formula la siguiente proposición.
Proposición 2. 1. Sea a . Entonces a es inversible en si y solo si (a,n)=1.
Demostración.
( ) Si a es inversible en , existe b en tal que ab=1. Lo cual se puede expresar
como:
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 9
( ) Si , por la ecuación de Bezout se tiene que:
Luego queda probado que a es inversible en si y solo si (a,n)=1. □
También con facilidad se observa que los siguientes enunciados son equivalentes.
Proposición 2. 2. Sea n un entero positivo, luego las siguientes afirmaciones son
equivalentes.
(1) Los 1’s en la tabla de multiplicación de se producen sólo en la diagonal.
(2) Si a es un elemento inversible en , entonces a2=1 en .
(3) Si a es un entero que es primo relativo con n, entonces n divide a a2-1.
(4) Si p es un primo que no divide a n, entonces n divide a p2-1.
Demostración. Sólo probaremos que las proposiciones (3) y (4) son equivalentes.
( ) Si p es un primo que no divide a n, se tiene que , por tanto se cumple que
.
( ) Sean y p un divisor primo de a, en consecuencia ; entonces n divide
a p2-1, pero p
2-1 divide a a
2-1. Luego, transitivamente, n divide a a
2-1. □
Se utilizarán estas declaraciones equivalentes (indistintamente) para referirse a los
números enteros que tiene la propiedad diagonal.
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 10
3. Prueba utilizando el Teorema Chino de los Restos
El Teorema Chino de los Restos es una forma clásica de hablar acerca de las soluciones
simultáneas a un sistema de congruencias lineales. Lo mismo puede afirmarse como un
isomorfismo de anillos
siempre que a y b sean enteros positivos que son primos entre sí. (La multiplicación de
se hace componente a componente). Argumentamos esto en base a lo siguiente:
Si a y b son enteros positivos y son primos relativos entre sí, entonces:
donde βa es la clase de equivalencia de β en y de igual forma βb es la clase de
equivalencia de β en . Ahora probamos que f es un isomorfismo:
Utilizando las propiedades de congruencia modular, es fácil mostrar que f es un
morfismo de anillos.
Es sobreyectiva, porque por el Teorema Chino de los Restos el sistema:
tiene solución única módulo el producto ab, pues por hipótesis (a,b)=1; y la cual,
con una construcción adecuada, está dada por la siguiente suma
. Ahora probamos que x es la solución al sistema de congruencias:
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 11
Por tanto x es la solución simultánea a las dos congruencias.
Como f es sobreyectiva y además tienen la misma cantidad de
elementos, se tiene que f es inyectiva.
Luego f es un isomorfismo de anillos, es decir: . Y es precisamente este
isomorfismo el que utilizaremos para dar la prueba geodésica del teorema principal.
Para iniciar, primero considere el caso cuando n es impar. Si n es impar, (2,n)=1. Luego
con el fin de que n posea la propiedad diagonal, n tiene que dividir a 22
-1 = 3. Esto
significa que n puede tener tiene que ser 1 ó 3, los cuales tienen la propiedad diagonal.
Consideremos ahora el caso en que n es una potencia de 2, es decir 2t. Ahora tenemos que
(3,n)= 1. Al igual que antes, para n tener la propiedad diagonal, n tiene que dividir 32 -1 =
8. Es fácil ver que todos los divisores de 8 tienen la propiedad diagonal. Se exponen estos
dos casos, junto con la simple observación de que cualquier número entero positivo n
puede ser escrito de manera única como:
n = 2t k,
donde k es impar y t es un número entero no negativo. Entonces por el Teorema Chino de
los Restos obtenemos el siguiente isomorfismo:
A partir de este isomorfismo es fácil ver que n tiene la propiedad diagonal si y sólo si
ambos 2t y k tienen la propiedad diagonal. Combinando estas piezas, se deduce que los
únicos números enteros con la propiedad diagonal son los divisores de (8)(3)=24.
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4. Prueba utilizando el Teorema de Dirichlet relativo a los primos que se encuentran
en progresiones aritméticas
4.1. Antecedentes históricos
La progresión aritmética de los números
impares 1, 3, 5,…, 2n+1,… contiene una
cantidad infinita de números primos. Es
natural preguntarse si otras progresiones
poseen esta propiedad... Fue Johann Peter
Dirichlet (1805 – 1859) el primero en
demostrar que una progresión aritmética de
primer término h y diferencia k, cuyos
términos son todos de la forma , con
, contiene una infinidad de primos si
(h,k)=1. Resultado que, además, es una
extensión de gran alcance del teorema de
Euclides de la infinitud de los números
primos y uno de los más hermosos de toda
la Teoría de Números.
Recordemos que Euler demostró la existencia de una infinidad de números primos
probando que la serie , extendida a todos los primos, diverge. La idea de Dirichlet
consiste en demostrar un teorema análogo cuando los primos se hallan obligados a
pertenecer a la progresión dada en el párrafo anterior. En una famosa memoria publicada
en 1837 Dirichlet alcanzó este objetivo por métodos analíticos ingeniosos, pues se salió
del reino de los enteros e introdujo instrumentos de Análisis tales como los límites y
continuidad.
Fig. 1 Johann Peter Gustav
Lejeune Dirichlet
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 13
4.2. Prueba
El Teorema afirma que dado dos enteros cualesquiera s y t que son primos relativos entre
sí, la progresión aritmética contiene infinitos números primos. Usaremos
este resultado para demostrar el teorema principal.
Sea n un entero que tiene la propiedad diagonal. Entonces n tiene la característica de que
para cualquier primo p que no le divide, se cumple que . Si , luego para
todo divisor primo q de n, q divide a ó . En otras palabras, cada primo p que
no divide a n tiene que ser de la forma para cada divisor primo q de n.
Esto es claramente una condición fuerte sobre n. Si existe un divisor primo de n que es
mayor que 3, entonces tenemos una progresión aritmética , donde ,
1 ó y . Note que y por el Teorema de Dirichlet
sabemos que esta progresión aritmética tiene un número infinito de números primos. En
particular, contiene un primo que no divide a n. Esta elección de no cumple con el
requisito de que es uno de la forma para cada divisor primo q de n; se
produce un error en la construcción de . El resultado es que no hay ningún divisor
primo de n que es mayor que 3, lo que significa que n es de la forma . El número
primo más pequeño que es primo relativo con cada número de la forma es 5. Nuestra
proposición dice entonces que, n tiene que dividir a , como se deseaba.
5. Prueba utilizando la Estructura de la Teoría de la Unidades
El conjunto de elementos invertibles en son denotan por . Este conjunto forma un
grupo abeliano bajo la multiplicación, lo cual se puede comprobar rápidamente. La
estructura de grupo de ha sido completamente determinada. Para explicarlo sea
la descomposición en primos de n (> 1). Usando el Teorema Chino de
los Restos, se demuestra que existe el siguiente isomorfismo de grupos
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 14
Por tanto, es suficiente explicar la estructura de . La misma está dada por:
Donde es el grupo cíclico de orden k, y es la función de Euler, que indica el
número de enteros positivos menores que x que son primos relativos con x.
Volviendo a nuestro problema, recordamos la proposición anterior que dice que n tiene la
propiedad diagonal si y sólo si para todo a en . Por lo tanto nuestra tarea es
simplemente identificar a los grupos de la lista anterior que tienen la propiedad de que
cada uno de sus elementos tiene, a lo sumo, orden dos. y , obviamente tienen esta
propiedad. tendrá esta propiedad si y sólo si ó . Finalmente,
tendrá esta propiedad para p impar si y sólo si . Es fácil
ver que esto es posible precisamente cuando . A partir de estos cálculos se observa
que un entero n con la propiedad diagonal no puede tener un divisor primo mayor que 3.
Por otra parte, la potencia máxima de 3 en n tiene que ser 1 y la de dos tiene que ser 3. La
colección de estos enteros se da por
, donde
que son exactamente los divisores de 24.
Nota: Tenga en cuenta que el grupo abeliano tiene una natural estructura del espacio
vectorial , precisamente cuando para todo a en . Por lo tanto podemos decir
que n tiene la propiedad diagonal si y sólo si es naturalmente un espacio vectorial
sobre .
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 15
En las dos secciones siguientes vamos a utilizar algunos resultados en Teoría de Números
para demostrar que si n tiene la propiedad diagonal, entonces . Los valores de un
número finito de n hasta 24 pueden ser tratados por separado para probar el teorema
principal.
6. Prueba utilizando el Teorema de Bertrand - Chebyshev
6.1. Antecedentes históricos
En el año 1845, Joseph Bertrand
(1822-1900) postula que si ,
entonces siempre hay un número
primo entre n y 2n. Aunque no dio una
prueba, él lo verificó para todos los
valores de n hasta tres millones. Unos
años más tarde (1850) Pafnuti
Chebyshev (1821-1894) dio una
prueba analítica de este resultado. Una
prueba elemental, sin embargo, tuvo
que esperar casi un siglo. En su primer
artículo en 1932, Erdös dio una bella
prueba elemental de este teorema
usando nada más que algunas
propiedades de los coeficientes
binomiales que son fácilmente
verificables.
Veamos lo que este teorema tiene que decir acerca de nuestro cuestionamiento.
Fig. 2. Joseph Louis Bertrand (izq.) y Pafnuti
Lvóvich Chebyshov (der.)
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 16
6.2. Prueba
Sea n un entero con la propiedad diagonal. Esto es, dado un primo p que no divide a
n, . Tenga en cuenta que si n divide a , entonces , ó
. De manera equivalente, mirando la contrarecíproca, tenemos la siguiente
declaración, que es más atractiva. Si entonces p divide a n.
Hay varias maneras de proceder desde este punto, y aquí se presenta una. Supongamos
que y consideramos los intervalos siguientes
Por el teorema de Bertrand-Chebyshev cada uno de estos intervalos tiene al menos un
primo. Tenga en cuenta que estos dos números primos son menores que . También,
los primos 2, 3 y 5 son menores que porque se supone que es mayor o igual
que 5. Por lo tanto, todos estos números primos, así como su producto, dividen a n. En
particular, el producto de estos primos es a lo sumo n. De esto tenemos la siguiente
desigualdad
Que se simplifica a
Esto es imposible, por lo tanto debemos tener que , lo que significa que
ó . Ahora afirmamos que . Si no es así, entonces el producto 210
de los primos 2, 3, 5 y 7 dividiría a n. Puesto que , sólo hay una posibilidad, es
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 17
decir, n=210. Sin embargo, 210 no tiene la propiedad diagonal, porque
. Por lo tanto ó .
Ahora veamos qué pasa si . En este caso, los primos 2, 3 y 5 dividen a n. Por
lo tanto, también su producto, 30, divide a n. El único múltiplo de 30 menor que 48 es 30
mismo, que no tiene la propiedad diagonal, porque . Por lo
tanto , lo que significa que , sin duda el mejor salto que se puede
obtener.
El cálculo anterior se puede simplificar un poco, si se utiliza una generalización del
teorema de Bertrand-Chebyshev debido a Erdös, como veremos en la siguiente sección.
7. Prueba utilizando los Teoremas de Erdös y Ramanujan
7.1. Antecedentes históricos
Existe diferentes variaciones impresionantes,
así como generalizaciones del Teorema de de
Bertrand - Chebyshev. Un ejemplo de estas
generalizaciones se le debe a Paul Erdös
(1913-1996); ésta dice que si , entonces
hay por lo menos dos números primos entre n
y 2n. Este teorema fue demostrado de forma
independiente por Ramanujan (1887-1920).
Y se usará dicho teorema para simplificar la
prueba anterior. Pero antes, para conocer un
poco más de la gran historia de Ramanujan,
tomaremos una cita de la biografía de este
gran matemático elaborada por André Weil:
Fig. 3 Paul Erdös (izq.) y Srinivasa
Ramanujan (der.)
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 18
“Este joven cuya carrera fue bloqueada por su pobre conocimiento del inglés, tuvo que
vegetar en trabajos inferiores como contable, que consiguió gracias a la protección de
algunos patronos a los que interesó su trabajo; por su cuenta y sin ningún apoyo llevó a
cabo sus investigaciones en teoría de números, la teoría de las series y las fracciones
continuas. Habiendo tenido acceso tan sólo a anticuados y mediocres libros de texto
británicos, no conocía ni tan siquiera la noción de convergencia de una serie. Por un
accidente fortuito algunos de sus resultados cayeron en manos de Hardy, que se apresuró a
arreglar su viaje a Inglaterra hacia 1916. Allí Ramanujan escribió sus trabajos más
importantes a los cuales debió, algunos años después, su elección como Fellow de la
Royal Society, un título de gran prestigio nunca hasta entonces concedido a alguien de
India. Pero durante su estancia en Inglaterra Ramanujan contrajo tuberculosis; murió en
1920, al poco tiempo de regresar a su país, donde nunca llegó a concedérsele una posición
académica. Así pues, nunca fundó escuela ni tuvo alumnos”.
Ahora veamos cómo utilizamos los resultados de estos grandes matemáticos de la historia
en la demostración de nuestro teorema principal.
7.2. Prueba
Asumimos que n tiene la propiedad diagonal. Entonces, como antes, tenemos la
implicación, “ ”. Ahora consideremos un solo intervalo
Si , este intervalo tiene por lo menos dos primos por el
Teorema de Erdös. Desde , los números primos 2, 3 y 5 serán menores que
. Argumentando como antes, entonces tenemos la siguiente desigualdad
que se simplifica para obtener , y que es una contradicción. Por lo tanto,
ó . Ahora se procede como antes, en primer lugar demostrar
que . Si no, entonces los primos 2, 3, 5 y 7; así como su producto 210, dividen
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 19
a n. Esto es imposible porque . Así lo que significa que .
Del mismo modo, si , los primos 2, 3 y 5; y también su producto 30, dividen a
n. El único múltiplo de 30 menor que 48 es el mismo 30, que no posee la propiedad
diagonal. Por tanto , lo que quiere decir que .
Esto es sólo el comienzo. Aquí se encuentra una generalización salvaje y genial, debido a
Ramanujan. Sea que denota el número de primos menores o iguales a x. Ramanujan
demostró que:
respectivamente
Los números 2, 11, 17, 29, 41, … son llamados los primos de Ramanujan. Tenga en
cuenta que el Teorema de Bertrand – Chebyshev está cubierto por el caso especial
y el Teorema de Erdös en el caso
Hace falta decir, en la misma forma de antes, que también se pueden utilizar estos
resultados más exóticos de Ramanujan para hacer frente a nuestra pregunta.
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 20
CONCLUSIÓN
Luego de haber demostrado que la tabla de multiplicación para contiene 1’s solamente
en la diagonal si y solo si n es divisor de 24, debo decir que: indudablemente la Teoría de
Números es una de las áreas de la Matemática que más me ha llamado la atención, sobre
todo ahora que se ha profundizado un poco en algunos resultados importantes de la
misma: el Teorema Chino de los Restos, el Teorema de Dirichlet sobre primos en una
progresión aritmética, y otros. Pero no sólo por los resultados, sino también por la forma
en que fueron obtenidos o bien por algunas particularidades en la vida de quienes
trabajaron en ellos. Por ejemplo: Ramanujan demostró de manera independiente que si
, entonces hay por lo menos dos números primos entre n y 2n; y que es una
variación del Teorema de de Bertrand – Chebyshev formulada por Erdös. Lo
impresionante es que, este y otros trabajos, los realizó sin haber tenido una formación
universitaria; y por lo cual es considerado uno de los mayores genios naturales de la
historia.
Por otro lado, se ha aprendido a valorar la estimulación que ejercen los estudiantes al
momento de formular preguntas en el salón de clase, pues este documento surge
precisamente por ello. Además, de que las complejas herramientas utilizadas en las
demostraciones, independientemente del área en el que se hayan descubierto, se pudieron
enlazar para dar respuesta a la pregunta de Elliot; poniendo de manifiesto la característica
particular de los problemas en la Teoría de Números: “entendibles hasta para quienes no
son matemáticos, pero cuya demostración no resulta tan fácil de concebir como su
formulación”.
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 21
RECOMENDACIONES
1. Uno puede evitar toda la fuerza del Teorema de Dirichlet como se usó aquí. Es
suficiente asumir el caso especial de que la progresión aritmética (o bien )
contiene un número infinito de números primos. Esto nos permitirá mostrar el resultado
(exactamente como antes) que el 5 no puede dividir a n. Por lo tanto n tiene que dividir a
. La prueba anterior es, sin embargo más natural. Se explica, naturalmente,
porque sólo los primos 2 y 3 se pueden producir en la factorización de n.
2. Cubos de Multiplicación.
En lugar de las tablas de multiplicar, también se pueden considerar los cubos de la
multiplicación. Esta es una extensión natural de la noción de una tabla de multiplicar y se
define de manera similar. Dado un entero positivo n, una multiplicación cúbica para es
un cubo cuya entrada en la coordenada es el
producto . Ahora podemos formular la misma pregunta para estos cubos.
¿Cuáles son todos los valores de n para que la multiplicación cúbica de tienen 1’s solo
en la diagonal?
Encontrar todos enteros positivos que tienen esta propiedad, de tantas maneras como sea
posible, es un proyecto divertido.
Una Caracterización Sofisticada de los Divisores de 24 22
BIBLIOGRAFÍA
1. TOM APOSTOL. Editorial Reverté. 2002. Introducción a la Teoría Analítica de
Números. España.
2. HUGO BARRANTES. Editorial EUNED. 2007. Introducción a la Teoría de Números.
Costa Rica.
3. ANTONIO SANTIAGO. Editorial Visión Libros. Teoría de Números. España.
4. SUNIL KUMAR SHEBOLU. April 28, 2011. What is special about the divisors of 24?
Departmenth of Mathematics, Illinois State University, USA.