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Resumo 01: Matemática Básica, Teoria dos Conjuntos e Noções de Lógica 1
MÚLTIPLOS E DIVISORES
I. Divisão entre Naturais
Numa divisão entre números Naturais, podem-se identificar os seguintes elementos e suas relações:
1) N = D.Q + R.
2) R < D.
3) Divisão Exata R = 0.
4) Maior Resto Possível: D – 1.
II. Sistema Decimal
No Sistema Decimal de Numeração, os números são formados pela composição de dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) que tem seu peso, variando com a posição por estes ocupada.
Exemplo:
No número 632 temos:
632 = 6.(10)² + 3.(10)¹ +2.(10)0
III. Números Primos (em N)
Diz-se que um número natural p é primo se, e somente se, ele é divisível apenas por si mesmo e pela unidade.
• p 0 e p 1.
• D(p) = {1, p} (divisores naturais de p).
𝐏 = {𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑 … }
(Números naturais primos)
ATENÇÃO:
a) 2 é o único número par que é primo.
b) Um número natural, diferente de zero, que possui mais de dois divisores, chama-se de
NÚMERO COMPOSTO.
IV. Número de divisores (em N)
Sendo N um número natural, demonstra-se que o número de divisores de N pode ser obtido da seguinte maneira: a) Fatore o número N.
b) Some 1 a cada expoente das potências dos fatores primos e em seguida multiplique seus resultados.
Exemplo:
150 2 75 3 25 5 5 5
1 21 ∙ 31 ∙ 52
No D (150) = (1 + 1).(1 + 1).(2 + 1) = 12
Do exemplo acima podemos concluir que
150 possui 12 divisores.
V. Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Seja M(n) o conjunto dos múltiplos naturais de um determinado número n, então: M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 48, 54, 60, ...}
M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...}
M(6 ) M(8) = {0, 24, 48, ...}
OBSERVE QUE:
• Com EXCEÇÃO DO ZERO (que é múltiplo
comum de quaisquer números), 24 é o menor múltiplo comum de 6 e 8, logo: M.M.C.(6, 8) = 24.
• O Mínimo Múltiplo Comum de dois ou mais números naturais é o menor número natural, diferente de zero, divisível pelos números dados.
Obtenção do MMC a) Método da fatoração simultânea:
Exemplo:
6, 8 2
3, 4 2 3, 2 2 3, 1 3 1, 1 Então: M.M.C.(6, 8) = 23.3 = 24.
VI. Máximo Divisor Comum (MDC)
Seja D(n) o conjunto dos divisores naturais de um determinado número n, então: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
D(18) D(24) = {1, 2, 3, 6}
OBSERVE QUE:
• 6 é o maior divisor comum de 18 e 24, logo: M.D.C.(18, 24) = 6.
• O Máximo Divisor Comum de dois ou mais números naturais é o maior número natural que é divisor dos números dados.
Obtenção do MDC a) Método das divisões sucessivas (Algoritmo
de Euclides)
• Divide-se o maior número pelo menor.
• Se o resto da divisão anterior não for nulo, divide-se o menor dos números pelo resto.
• Proceder como no item anterior, até que o resto obtido seja nulo. O último divisor exato será o M.D.C.
Exemplo:
1 3
24 18 6
6 0 M.D.D.(24, 18) = 6
IMPORTANTE:
✓ Dois números Naturais são PRIMOS ENTRE
SI, se M.D.C.(x, y) = 1.
Exemplo:
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
8 e 15 são números primos entre si. ✓ M.M.C.(A, B) x M.D.C.(A, B) = A x B.
POTÊNCIAS E RAÍZES
I. Propriedades
a) b0 = 1, b 0. b) b1 = b.
c) 𝑏−𝑛 =1
𝑏𝑛, b 0.
d) 𝑏𝑚+𝑛 = 𝑏𝑚 ∙ 𝑏𝑛.
e) 𝑏𝑚−𝑛 =𝑏𝑚
𝑏𝑛, b 0.
f) (𝑎 ∙ 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚.
g) (𝑎
𝑏)
𝑚
=𝑎𝑚
𝑏𝑚, b 0.
h) (𝑏𝑚)𝑛 = 𝑏𝑚∙𝑛.
i) ( √𝑏𝑛
)𝑚
= 𝑏𝑚
𝑛 , b 0.
j) √ √𝑏𝑚𝑛
= √𝑏𝑛∙𝑚
.
k) √𝑎𝑛 ∙ √𝑏𝑛
= √𝑎 ∙ 𝑏𝑛
.
l) √𝑎𝑛
√𝑏𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛.
Nota: As propriedades acima são válidas se forem atendidas as condições de existência de cada uma das expressões.
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Resumo 01: Matemática Básica, Teoria dos Conjuntos e Noções de Lógica 2
PRODUTOS NOTÁVEIS
Existem produtos que comumente encontraremos nas mais diversas expressões algébricas e, por isso, daremos um destaque
especial. Os principais PRODUTOS NOTÁVEIS
são:
Quadrado da soma
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Quadrado da diferença
(x + y)2 = x2 - 2xy + y
Produto da soma pela diferença
(x + y).(x – y) = x2 – y2
Cubo da soma
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Cubo da diferença
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
FATORAÇÃO
I. Definição
A FATORAÇÃO é um processo algébrico que
TRANSFORMA uma SOMA de duas ou mais
parcelas, num PRODUTO de dois ou mais
fatores.
II. Casos Típicos
Fator comum
Se um fator é comum a todas as parcelas da expressão, devemos colocá-lo em evidência.
Exemplos:
• 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎. (𝑥 + 𝑦).
• 𝑎3. 𝑏2 − 𝑎4. 𝑏3. 𝑐 = 𝑎3. 𝑏2. (1 − 𝑎. 𝑏. 𝑐).
Agrupamento
Se uma expressão possui uma quantidade par de termos, e não possui um fator comum a todos, devemos agrupá-la, por partes, até transformá-la em um produto.
Exemplo:
• 𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒙 + 𝒃𝒚 = (𝒂 + 𝒃). (𝒙 + 𝒚)
III. Simplificação Algébrica
A SIMPLIFICAÇÃO ALGÉBRICA é um processo
que consiste na eliminação de termos comuns, no numerador e no denominador de uma fração, levando-se em consideração a sua condição de existência.
Exemplo:
𝑥2−6𝑥+9
𝑥−3=
(𝑥−3)2
𝑥−3=
(𝑥−3).(𝑥−3)
(𝑥−3)= 𝑥 − 3,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 3.
RACIONALIZAÇÃO
A racionalização de uma fração consiste na sua transformação, sem alteração do seu valor, de modo que o radical, antes presente no denominador, desapareça.
FATOR RACIONALIZANTE: É a expressão,
com radicais, que multiplicada por outra, resulta numa expressão sem radicais.
Exemplos:
• √3 é fator racionalizante de √3, pois √3 ∙ √3
é igual a 3.
• √225 é fator racionalizante de √235
, pois
√225. √235
= 2.
• (√2 + 1) é fator racionalizante de (√2 − 1),
pois: (√2 + 1). (√2 − 1) = 2 – 1 = 1.
EQUAÇÕES
I. Equação do 1o grau
Denomina-se equação polinomial do 1o grau, na incógnita x, a qualquer expressão redutível à forma:
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, 𝒄𝒐𝒎 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹 𝒆 𝒂 ≠ 𝟎 A resolução de uma equação do 1o grau consiste na obtenção do valor de x que verifica a igualdade acima.
II. Equação do 2o grau
Denomina-se equação polinomial do 2o grau, na incógnita x, a qualquer expressão redutível à forma:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒄𝒐𝒎 𝒂, 𝒃 𝒆 𝒄 ∈ 𝑹 𝒆 𝒂 ≠ 𝟎 O cálculo das soluções, raízes, de uma equação do 2o grau é feito através da fórmula de Bhaskara:
𝒙 =−𝒃 ± √∆
𝟐𝒂, 𝒄𝒐𝒎 ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
IMPORTANTE:
a) Em relação ao valor de :
> 0 Duas raízes reais e distintas.
= 0 Duas raízes reais e iguais.
< 0 Duas raízes não reais. b) Para uma equação do 2o grau, de raízes x’
e x”, pode-se demonstrar que:
{𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐
𝑎
SISTEMAS LINEARES
I. Sistemas Lineares
Um sistema de duas equações do 1o grau, com incógnitas x e y, é um conjunto de equações do tipo:
{𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 = 𝒇
Com: 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆, 𝒇 ∈ 𝑹. A resolução do sistema acima consiste na obtenção dos valores de x e y que atendam, simultaneamente, as duas equações.
Método da Substituição
Consiste em isolar uma incógnita numa das equações e SUBSTITUÍ-LA, na outra equação.
Exemplo: {𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟓
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟑
Isolando x na 1a equação:
x = 5 – 2y (I)
Substituindo seu valor na 2a equação:
2.(5 – 2y) – 3y = 3
Resolvendo a equação obtida:
10 – 4y – 3y = 3
-7y = -7 y = 1.
Substituindo o valor de y em (I):
x = 5 – 2.(1)
x = 3.
Então:
S = {(3, 1)}
Método da Adição
Consiste na transformação das duas
equações de modo que uma das incógnitas se apresente com coeficientes simétricos.
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Resumo 01: Matemática Básica, Teoria dos Conjuntos e Noções de Lógica 3
Exemplo: {𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟓
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟑
Logo:
{𝟑𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟏𝟓 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟔
(+)
7𝑥 = 21 → 𝑥 = 3.
3 + 2y = 5
2y = 2 y = 1 Então: S = {(3, 1)}.
II. Problemas
Dentre as dificuldades observadas na resolução de problemas práticos, utilizando a Matemática, podemos citar: ✓ A inexistência de métodos específicos para
a resolução de problemas. ✓ A dificuldade de equacionamento de
problemas, através de símbolos e operações matemáticas.
Com o objetivo de minimizar tais
dificuldades, recomenda-se a adoção dos seguintes procedimentos:
1) Fazer uma leitura atenta do enunciado,
identificando quais são as incógnitas do problema e representando-as por símbolos (x, y, ...).
2) Escrever as equações de acordo com as
informações do problema.
3) Resolver as equações obtidas, através de
procedimentos matemáticos.
4) Interpretar a solução obtida no referido
problema.
TEORIA DOS CONJUNTOS
I. Conjuntos Numéricos
a) NATURAIS:
𝑵 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … }
b) INTEIROS:
𝒁 = {… , −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … }
c) RACIONAIS:
𝑸 = {𝒙|𝒙 =𝒑
𝒒, 𝒄𝒐𝒎 𝒑, 𝒒 ∈ 𝒁 𝒆 𝒒 ≠ 𝟎}
d) IRRACIONAIS:
𝑸′ = {… , √𝟐, √𝟓𝟒
+ 𝟏, 𝟐√𝟑, 𝝅, … }
e) REAIS:
𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑸′
II. Operações
a) UNIÃO:
𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩}
b) INTERSEÇÃO:
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩}
c) DIFERENÇA:
𝑨 − 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∉ 𝑩}
d) COMPLEMENTAÇÃO:
𝑩 ⊂ 𝑨 ⇒ 𝑪𝑨𝑩 = 𝑨 − 𝑩
III. Propriedades
a) Se A B A B = B e A B = A.
b) ∅ A, para todo A.
c) A ∅ = A e A ∅ =∅.
IV. Intervalos numéricos
São subconjuntos contínuos de IR. Exemplos: [a, b] a b
[a, b[ a b
]-, a[ a
[b, +[ b
LÓGICA MATEMÁTICA
I. Simbologia
a) : e.
b) : ou.
c) →: se, ..., então.
d) : se, e somente se.
e) ~p: não p (“~” : negação).
f) : para todo, qualquer que seja.
g) : existe.
II. Operações
a) NEGAÇÃO: modifica o valor lógico da
proposição.
p ~p
V F
F V
b) CONJUNÇÃO: “p e q”.
p q pq
V V V
V F F
F V F
F F F
c) DISJUNÇÃO: “p ou q”.
p q pq
V V V
V F V
F V V
F F F
d) CONDICIONAL SIMPLES: “se p, então q”.
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
e) BICONDICIONAL: “p se, e somente se, q”.
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
IMPORTANTE:
✓ ~(~p) = p.
✓ ~(p q) = ~p ~q.
✓ ~(p q) = ~p ~q.
✓ ~(p → q) = p ~q.
✓ ~(p q) = ~p q ou p ~q.
✓ TAUTOLOGIA: Proposição sempre “V”.
✓ CONTRADIÇÃO: Proposição sempre “F”.
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