CONJUNTOS NUMÉRICOS 1

Conjunto dos números naturais (IN)

Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto IN.Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma

reta, como mostra o gráfico abaixo:

Conjunto dos números inteiros (Z)

O conjunto IN é subconjunto de Z.Temos também outros subconjuntos de Z:Z* = Z-{0}Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z+=IN.Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta,

conforme mostra o gráfico abaixo:

1 http://www.somatematica.com.br

IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Conjunto dos números racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.

Exemplos:

Assim, podemos escrever:

É interessante considerar a representação decimal de um número racional , que se obtém dividindo a por b.

Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:

Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:

Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.

Dízimas periódicas    Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

                         

    Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

    Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

    As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

 (período: 5) (período: 3) (período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.  

Período: 2

Parte não periódica: 0

Período: 4

Período não periódica: 15

Período: 23

Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

 

Geratriz de uma dízima periódica

    É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

    Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

    Dízima simples

    A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

 

    Dízima Composta:

    A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

Mínimo Múltiplo Comum MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

        Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.        24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então

dizemos que ele é múltiplo desse outro.

        Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

        Exemplo: os múltiplos de 7 são:                            7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ...  =  0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

        Observações importantes:        1) Um número tem infinitos múltiplos        2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

 

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

            Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

            Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:            Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30,...            Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...            Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...

            Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números.

Usamos a abreviação m.m.c.

 

CÁLCULO DO M.M.C.

            Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

    1º) decompomos os números em fatores primos    2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

                   12   =  2  x  2  x  3                   30   =          2  x  3   x  5        m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5

        Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:        12 = 22  x  3        30 = 2   x  3  x  5         m.m.c (12,30)  = 22  x  3  x  5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores

comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

   

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

            Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)

            Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

 

PROPRIEDADE DO M.M.C.

         Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então

ele é o m.m.c. dos números dados.

         Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

Conjunto dos números irracionais

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:

Um número irracional bastante conhecido é o número =3,1415926535...

Conjunto dos números reais (IR)

Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:

IR=Q {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}

O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:

Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes de IR temos:

IR* = IR-{0}IR+ = conjunto dos números reais não negativosIR_ = conjunto dos números reais não positivos

Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo: Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:

1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...

Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...

Mínimo Múltiplo Comum MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

        Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.        24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então

dizemos que ele é múltiplo desse outro.

        Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

        Exemplo: os múltiplos de 7 são:                            7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ...  =  0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

        Observações importantes:        1) Um número tem infinitos múltiplos        2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

 

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

            Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

            Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:            Múltiplos de 6:  0, 6, 12, 18, 24, 30,...            Múltiplos de 4:  0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...            Múltiplos comuns de 4 e 6:  0, 12, 24,...

            Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números.

Usamos a abreviação m.m.c.

 

CÁLCULO DO M.M.C.

            Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

    1º) decompomos os números em fatores primos    2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

                   12   =  2  x  2  x  3                   30   =          2  x  3   x  5        m.m.c (12,30)  = 2  x  2  x  3   x  5

        Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:        12 = 22  x  3

        30 = 2   x  3  x  5         m.m.c (12,30)  = 22  x  3  x  5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores

comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

   

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

            Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)

            Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

 

PROPRIEDADE DO M.M.C.

         Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então

ele é o m.m.c. dos números dados.

         Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

F A T O R A Ç Ã O

Revisão: s.f. ação ou efeito de rever, de examinar de novo; segunda leitura ou vista.Recordação:s.f. ação ou efeito de recordar.Recordar:v.tr. tornar a trazer à memória.Recordar: título do samba enredo do carnaval de 1957

Ao fazer uma recordação ou revisão desses itens, não se pode pretender rever com os mesmos detalhes, como

foram vistos no Ensino Fundamental e no Ensino Médio. Por isso e por outros motivos, esta é apenas uma tentativa de lembrar alguns itens importantes para o desenvolvimento de seu curso. Aproveite, e tire suas dúvidas com seus professores sempre que precisar, ao longo do ano.

1---Fatorar um número significa escrever esse número como uma multiplicação equivalente.

Exemplos a) 72 = 6 x 12................................( dois fatores 6 e 12 ) b) 72 = 3 x 2 x 12 .........................( três fatores 3 , 2 e 12 ) c) 72 = 3 x 2 x 6 x 2 .....................( quatro fatores 3, 2, 6 , 2 )

d) 72 = 3 x 2 x 3 x 2 x 2 ...............( cinco fatores 3, 2, 3, 2, 2 ) No caso do exemplo acima, temos em resumo: 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2.2.2.3.3 =

, que é denominada, em matemática, a fatoração completa do número 72, onde os fatores são todos números primos.

OBS: Um número primo é um número inteiro maior que um e que tem somente dois divisores positivos: o número 1 e ele mesmo.

Exemplos a) 60 = 2.2.3.5 = ------( fatores primos : 2,3,5 ) b) 18 = 2.3.3 = ----------(fatores primos : 2,3 )

c) 15600 = --------( fatores primos : 2,3,5,13 )OBS: A palavra fatorar ( fatoração) lembra fator, que é o nome que se dá aos elementos de uma multiplicação; daí, temos que:

Fatorar uma expressão algébrica ( que é uma soma ) significa transformar essa soma em uma multiplicação equivalente.

Exemplos: a) b)

c) nesse caso, dizemos que 2 e (a+2) são fatores da adição 2.a+4.Examinando as fatorações mais usuais, podemos dividi-las em casos simples, tais como:

1) Caso do fator comumExemplo 1) Observe as expressões a) e b)

Os fatores em negrito são os fatores comuns; então, a soma de a) com b) fica assim:

tem fatores comuns e pode ser escrita assim, colocando-se em “evidencia” os fatores comuns.

Exemplo 2) Para se obter a expressão entre parênteses, é suficiente dividir a expressão inicial pelos fatores comuns

Exemplo 3) tem fator comum ; então,

e teremos

OBS: Se a propriedade distributiva for aplicada à forma fatorada, devemos encontrar a expressão inicial dada antes de fatorar.

Exemplo 4) dividindo-se por Exemplo 5) dividindo-se por onde

OBS: Quando não se tem fatores comuns também é possível fatorar.

Exemplo 6) para , não há fator comum , é só dividir

por x.

Exemplo 7) para , não há fator comum, é só

dividir por m.

Exemplo 8) para , não há fator comum, é só dividir por

x.

Exemplo 9) para , não há fator comum, é só dividir

por .

2) Caso do Agrupamento

Você pode encontrar em qualquer livro da 7a. ou 8a. séries do Ensino Fundamental.

3) Caso da Diferença de dois quadradosA fatoração é feita a partir do produto ----( chamado de produto notável)OBS: Em geral, é usada quando se tem dois quadrados.

Exemplo 10) Aqui, temos dois quadrados: ; então, calculamos a raiz quadrada de cada um deles para se obter os valores de a e b.

e , se (não é permitido “ cortar “ o dois )

Exemplo 11) usando-se o mesmo critério do exemplo anterior.

Exemplo 12)

Exemplo 13)

Exemplo 14) Exemplo 13)

OBS: Quando não se tem dois quadrados, também podemos fatorar.

Exemplo 15) , calculando-se a raiz quadrada de 25 e m. (verifique)

Exemplo 16) , calculando-se a raiz quadrada de e com Exemplo 17) ?????????????

Exemplo 18) . Este resultado pode ser simplificado,

observe os passos;

então, podemos escrever

=

Racionalização de denominadores

Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente  possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

 

Principais casos de racionalização:

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

 

 é o fator racionalizante de , pois . = = a

 

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o fator racionalizante de

 

 é o fator racionalizante de

 é o fator racionalizante de

   é o fator racionalizante de

Potência com expoente racional

Observe as seguintes igualdades:

ou

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo geral, definimos:

, com a R,m,n, N, a >0, n>0, m>0

Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.

Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:

PRODUTOS NOTÁVEIS

É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

Produtos notáveis Exemplos(a+b)2 = a2+2ab+b2 (x+3)2 = x2+6x+9(a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9(a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2+5x+6(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x2-2x+4) = x3+8(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x2+2x+4) = x3-8

ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) Desenvolva:a) (3x+y)2

(3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2

b) ((1/2)+x2)2

((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4

c) ((2x/3)+4y3)2

((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6

d) (2x+3y)3

(2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3

e) (x4+(1/x2))3

(x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6)

f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5))((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2

2) Efetue as multiplicações:a) (x-2)(x-3)(x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6

b) (x+5)(x-4)(x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20

3) Simplifique as expressões:a) (x+y)2–x2-y2

(x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy

b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) = x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29

c) (2x-y)2-4x(x-y)(2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2