DIVISORES DE UM NÚMERO NATURALProfessor: André da Silveira Gonçalves6º ano

Os Divisores

Vimos anteriormente que o conceito de MÚLTIPLOS tinha relação com a operação de multiplicação. Levando isso em consideração, os divisores, tem relação com que operação matemática?

Isso mesmo, eles tem relação com a DIVISÃO.

Observe a divisão a seguir:

Dizemos então que se a divisão de 52 por 4 é EXATA, então o 4 é DIVISOR DE 52 ou que 52 é DIVISÍVEL POR 4.

52 44 13121200

Os Divisores

Porém, OS DIVISORES não tem relação apenas com a divisão, mas com a MULTIPLICAÇÃO também. Observe a multiplicação a seguir que é a prova real da divisão primeira divisão:

Veja outra DIVISÃO EXATA que podemos construir a partir dessa multiplicação:

Dizemos então que OS FATORES (números que são multiplicados) dessa multiplicação, que são o 4 e o 13, são os DIVISORES DE 52 ou que 52 É DIVISÍVEL POR 4 E 13.

13 . 4 = 52

52 1352 400

Os Divisores

Veja outro exemplo:

Se a divisão de 55 por 4 NÃO é EXATA, então dizemos que o 4 NÃO é DIVISOR DE 55 ou que 55NÃO É DIVISÍVEL POR 4.

55 44 13151203

Os Divisores

Observe essas divisões e a prova real:

Podemos dizer então que:

36 é múltiplo de 4 e 36 é múltiplo de 9

4 é divisor de 36 e 9 é divisor de 36.

36 é divisível por 4 e 36 é divisível por 9.

9 . 4 = 4 . 9 = 3636 436 900

36 936 400

Definição de Divisores

Portanto, os DIVISORES de um número são exatamente os FATORES das multiplicações que tem esse número como resultado, ou seja, são os DIVISORES dessa DIVISÃO EXATA.

Exemplo: Quem seria o primeiro DIVISOR de 14?

Seria o número UM.

Pois essa divisão é EXATA.

14 114 1400

Definição de Divisores

Se fizermos a prova real, observe:

Os primeiros DIVISORES de um número são o 1 e o próprio número:

O UM E O PRÓPRIO NÚMERO SÃO OS PRIMEIROS DIVISORES DE TODO E QUALQUER NÚMERO

NATURAL.

14 . 1 = 14

A Quantidade de DIVISORES

Se formos escrever os DIVISORES de um número, será que eles são infinitos como os múltiplos?

Quantos DIVISORES de um números existem?

Diferentes dos múltiplos, os divisores são FINITOS, ou seja, acabam, pois existe um número limitado de multiplicações que tem um determinado resultado:

A QUANTIDADE DE DIVISORES EXISTENTES DE UM NÚMERO É FINITA.

OS DIVISORES

Vamos, por exemplo, pensar em que seriam todos os divisores de 14:

. Já sabemos que o 1 e o próprio 14 são divisores dele mesmo.

Que outras multiplicações tem resultado igual a 14?

Vamos pegar todos os números que são menores que 14 na tabuada para tentar encontrar seus divisores:

1 . 14 = 142 . ? = 143 . ? = 14

4 . ? = 145 . ? = 146 . ? = 14

7 . ? = 148 . ? = 149 . ? = 14

10 . ? = 1411 . ? = 1412 . ? = 14

13 . ? = 1414 . ? = 14

OS DIVISORES

Podemos observar então que só obtemos 14 como resultado nas seguintes multiplicações:

1 . 14 = 142 . 7 = 147 . 2 = 1414 . 1 = 14

Então os DIVISORES DE 14 são apenas:1, 14, 2 e 7

Como escrever os DIVISORES?

Então como representar os divisores de um número natural?

Vamos escrever, por exemplo, os divisores de 8.

. Usamos a letra D (maiúscula) para representar que vamos escrever os DIVISORES e colocamos entre parênteses o número do qual vamos calcular os divisores.

. Colocamos o sinal de igual e abrimos o símbolo de CHAVES e vamos descrevendo os fatores das multiplicações cujo o resultado é 8, e NÃO acrescentamos as reticências pois eles são finitos. Então:

D (8) = {1, 8, 2, 4}

Como escrever os DIVISORES

Quando vamos escrever os divisores de um número, eles sempre vão existir em DUPLAS, pois existe sempre dois números, que quando multiplicados, dão aquele resultado. Olhe os divisores de 24:

1 . 24 = 242 . 12 = 243 . 8 = 24

4 . 6 = 24Não tem ninguém, que eu multiplique por 5 que dê 24.

Como o 6 já foi multiplicado, a partir daqui, os fatores vão só se repetir, então:

D (24) = {1, 24, 2, 12, 3, 8, 4, 6} ou D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Exemplo

Vamos escrever os divisores de alguns números para treinar:

a) DIVISORES DE 6.

b) DIVISORES DE 10.

c) DIVISORES DE 12.

d) DIVISORES DE 20.

.

D (6) = {1, 2, 3, 6}

D (10) = {1, 2, 5, 10}

D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Para facilitar o processo de encontrar os divisores de um número, vamos estabelecer várias regrinhas, que chamamos de CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE, que vão nos ajudar a definir de maneira mais rápida se um número é ou não é DIVISÍVEL POR OUTRO.

NÃO SE PREOCUPEM QUE VOU ENTREGAR UMA LISTA COM ESSAS REGRAS PARA VOCÊS COLAREM NO CADERNO.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 2

UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 2 QUANDO TERMINA EM 0, 2, 4, 6OU 8, OU SEJA, QUANDO ELE É PAR.

Exemplosa) 5736 é divisível por 2, pois termina em 6.b) 5673 não é divisível por 2, pois termina em 3.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 3

UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 3QUANDO A SOMA DOS VALORES ABSOLUTOS DE SEUS ALGARISMOS É DIVISÍVEL POR 3.

Exemplosa) 65367 é divisível por 3, pois 6+5+3+6+7=27 e 27 é

divisível por 3 pois está na tabuada de 3.b) 45143 não é divisível por 3, pois 4+5+1+4+3=17 e

17 não é divisível por 3 pois não está na tabuada de 3.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 4

UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 4QUANDO SEUS DOIS ÚLTIMOS ALGARISMOS SÃO ZERO OU FORMAM UM NÚMERO DIVISÍVEL POR 4.

Exemplos

a) 436700 é divisível por 4, pois termina em 00.

b) 653576 é divisível por 4, pois termina em 76 e 76 é

divisível por 4, pois essa divisão é exata.

c) 76325 não é divisível por 4, pois termina em 25 e 25

não é divisível por 4 pois não tem 25 na tabuada do 4.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 5

UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 5QUANDO TERMINA EM 0OU 5.

Exemplosa) 5040 é divisível por 5, pois termina em 0.b) 8235 é divisível por 5, pois termina em 5.c) 6323 não é divisível por 5, pois termina em 3.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 6

UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 6QUANDO É DIVISÍVEL POR 2 E POR 3AO MESMO TEMPO.

Exemplosa) 330258 é divisível por 6, pois é divisível por 2 (é par) e por 3.(3 + 3 + 0 + 2 + 5 + 8 = 21)a) 90530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3.(9 + 0 + 5 + 3 + 0 = 17)a) 78941 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2 (não é

par) nem por 3.(7 + 8 + 9 + 4 + 1 = 29)

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 8

UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 8 QUANDO SEUS TRÊS ÚLTIMOS ALGARISMOS FOREM ZERO OU FORMAREM UM NÚMERO DIVISÍVEL POR 8.

Exemplosa) 7000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são

000.b) 35064 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos

formam o número 64, que é divisível por 8.c) 43225 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos

formam o número 225, que não é divisível por 8.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 9

UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 9QUANDO A SOMA DOS VALORES ABSOLUTOS DE SEUS ALGARISMOS FORMA UM NÚMERO DIVISÍVEL POR 9.

Exemplos

a) 25461 é divisível por 9, pois 2 + 5 + 4 + 6 + 1 = 18

e 18 é divisível por 9.

b) 3759 não é divisível por 9, pois 3 + 7 + 5 + 9 = 24

e 24 não é divisível por 9.

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 10

UM NÚMERO É DIVISÍVEL POR 10QUANDO TERMINA EM ZERO.

Exemplosa) 97040 é divisível por 10, pois termina em zero.b) 254321 não é divisível por 10, pois não termina

em zero.

Máximo Divisor Comum (M.D.C.)

Outro conceito muito importante em MATEMÁTICA é o cálculo do

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C)

Ele consiste em encontrar o maior divisor que dois números tem em comum.

Vamos ver um problema onde usaremos esse resultado, e como o encontraremos:

Exemplo 1

Vamos fazer um exemplo para ver se entendemos:

Quem seria o máximo divisor comum entre o 12 e o 20?

Divisores de 12:

Divisores de 20:

Dizemos então que:

O máximo divisor comum entre 12 e 20 é o 4.

M.D.C (12,20) = {4}

D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Exemplo 2

Quem seria o máximo divisor comum entre o 18 e o 30?

Divisores de 18:

Divisores de 30:

Dizemos então que:

O máximo divisor comum entre 18 e 30 é o 6.

M.D.C (18,30) = {6}

D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

DEVER DE CASA

NÃO PRECISA COPIAR OS ENUNCIADOS, APENAS RESPONDER AS QUESTÕES COM TODOS OS CÁLCULOS, SE NECESSÁRIOS.

PÁGINA 110

EXERCÍCIOS DE 12, 13, 14, 15, 18 e 19

PÁGINA 115

EXERCÍCIOS 21, 22, 23, e 24.

NÃO ESQUECER O LIVRO NA PRÓXIMA AULA.