PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

PRODUTOS NOTÁVEIS

MATEMÁTICA – 9º ANO

PROF. HENRIQUE

RESOLUÇÃO CONTINUAÇÃO LISTA 1

QUESTÃO 11. APLICANDO AS PROPRIEDADES ADEQUADAS,

SIMPLIFIQUE AS EXPRESSÕES A SEGUIR E DETERMINE SEU VALOR:

A) A = (-2)3 . (-2)5 . (-2)-2

B) A = 32.64.128

256.4

C) A = 6.4.144 :(18:54)

162.8

−1

D) E = 2𝑎3 4

. 4𝑎8 5. 16𝑎−2 −3

8𝑎5 7. 2−3..𝑎2

−2

QUESTÃO 11. RESOLUÇÃO

A) A = (-2)3 . (-2)5 . (-2)-2 = (- 2 )3 + 5 – 2 = (- 2)6 = 64

B) A = 32.64.128

256.4 , VAMOS FATORAR OS NÚMEROS 32 , 64 , 128, 256 E 4 , ASSIM COLOCANDO

TUDO NA BASE 2 E

SUBSTUINDO OS RESPECTIVOS VALORES NA EXPRESSÃO TEREMOS :

A = 25.26.27

28.22 =25+6+7

28+2 =218

210 = 218−10 = 28 = 𝟐𝟓𝟔

C) A = 6.4.144 :(18:54)

162.8

−1

, VAMOS FATORAR 6 , 4 , 144 , 18 , 54 , 162 E 8 , ASSIM TEREMOS:

A = 2.3 .22.24.32 :(32.2):(33.2)

(34.23) =

27. 33 :(3−1)

(34.23) =

33:1

3 : 27:

1

3

(34.23) =

27:1

3 : 128:

1

3

(34.23) =

9 : 128.3

(34.23) =

9 : 384

(34.23) =

9

384

(81.8)=

9

384

648 =

9

384.

1

648 =

9

384.648

−1=

384.648

9= 384 . 72 = 27648

D) E = 2𝑎3 4

. 4𝑎8 5. 16𝑎−2 −3

8𝑎5 7. 2−3..𝑎2

−2 , VAMOS FATORAR 4 , 16 E 8 E

COLOCAR TODOS NA BASE 2

E = 2𝑎3 4

. 22𝑎8 5. 24𝑎−2 −3

23𝑎57

. 2−3..𝑎2−2 , APLICANDO AS PROPRIEDADES DA

POTENCIAÇÃO TEREMOS,

E = 24𝑎12 . 210𝑎40 . 2−12𝑎6

221𝑎35 . 26..𝑎−4 =

22𝑎58

227𝑎31

E = 22𝑎58

227𝑎31 = 2-25A27

QUESTÃO 11. CONTINUAÇÃO

RESOLUÇÃO LISTA 2

I. (X + Y)2 = X2 + 2XY + Y2

II. (X – Y)2 = X2 – 2XY + Y2

III. (X + Y) · (X – Y) = X2 – Y2

A) O QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS É IGUAL AO

QUADRADO DO 1º TERMO, MENOS DUAS VEZES O 1º TERMO VEZES

O 2º, MAIS O QUADRADO DO 2º TERMO. (II)

B) O QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS É IGUAL AO

QUADRADO DO 1º TERMO, MAIS DUAS VEZES O 1º TERMO VEZES O

2º TERMO, MAIS O QUADRADO DO 2º TERMO. (I)

C) O PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS É

IGUAL AO QUADRADO DO 1º TERMO MENOS O QUADRADO DO 2º

TERMO. (III)

QUESTÃO 1. ASSOCIE CADA IGUALDADE A UMA DAS AFIRMAÇÕES,

ESCREVENDO A LETRA E O SÍMBOLO ROMANO CORRESPONDENTES.

QUESTÃO 2: DESCOBRINDO PARCEIROS. INDIQUE AS EXPRESSÕES

EQUIVALENTES RELACIONANDO UM NÚMERO ROMANO A CADA LETRA

D ( I ) ; C ( II ) ; A (IV ) e B ( III )

A) QUAL CONTEÚDO QUE VOCÊ ESTUDOU FOI UTILIZADO POR RICARDO

PARA REALIZAR ESSE CÁLCULO?

PRODUTOS NOTÁVEIS: QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

B) DE MANEIRA SEMELHANTE, CALCULE. *152 *212 *362 *982

QUESTÃO 3. RICARDO CALCULOU 482 E REGISTROU

EM UMA FOLHA OS PROCEDIMENTOS UTILIZADOS

152 = (17 -2) 2 = 172 – 2 . ( 17 ) . ( 2 ) + (2)2 = 289 – 68 + 4 = 221 + 4 = 225

212 = (23 – 2)2 = 232 – 2 . ( 23 ) . ( 2 ) + (2)2 = 529 – 92 = 4 = 437 + 4 = 441

362 = (38 – 2)2 = 382 – 2 . ( 38 ) . ( 2 ) + ( 2)2 = 1444 – 152 + 4 = 1292 + 4 = 1296

982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2 . (100) . (2) + (2)2 = 10000 – 400 + 4 = 9600 + 4 = 9604

a) (4 + x)2 = 16 + Δ + x2

b) (2a – 3)2 = 4a2 – Δ + 9

RESOLUÇÃO:

a) (4 + x)2 = 16 + 8x + x2 = 16 + Δ + x2

Δ = 8x

b) (2a - 3)2 = 4a2 - 6a + 9 = 4a2 + Δ + 9

Δ = - 6a

QUESTÃO 4. COPIE AS IGUALDADES SUBSTITUINDO

CADA Δ PELO MONÔMIO ADEQUADO.

c) (2x + 2y)2 = x2 + 8xy + 4y2 + Δ

d) a2 – 6ab + 9b2 = (a – Δ)2

RESOLUÇÃO

c) (2x +2y)2 = 4x2 + 8xy + 4y2 = x2 + 8xy + 4y2 + Δ

Δ = 3x2

d) a2 - 6ab + 9b2 = a2 – 2a Δ + Δ2

- 2a Δ = - 6ab

- 2a Δ = - 6ab . (-1)

2a Δ = 6ab

Δ = 6ab : 2a

Δ = 3b

QUESTÃO 4. COPIE AS IGUALDADES SUBSTITUINDO

CADA Δ PELO MONÔMIO ADEQUADO.

a) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

b) (a + 7)2 = a2 + 14a + 49

c) (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1

d) (10y + x)2 = 100y2 + 20xy +x2

e) (a + 3x)2 = a2 + 6ax + 9x2

f) (xy + 5)2 = x2 y2 + 10xy + 25

g) (3m2 + 4n)2 = 9m2 + 24mn + 16n2

h) (xy + p3)2 = x2 y2 + 2xyp3 + p6

i) (0,3 + x)2 = 0,09 + 0,6x + x2

j) (10x + 0,1)2 = 100x2 + 2x + 0,01

QUESTÃO 5. CALCULE UTILIZANDO PRODUTOS NOTÁVEIS:

a) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

b) (m – 3)2 = m2 – 6m + 9

c) (2a – 5)2 = 4a2 – 10a + 25

d) (7 – 3c)2 = 49 – 42c + 9c2

e) (5x – 2y)2 = 25x2 – 20xy + 4y2

f) (4m2 – 1)2 = 16m4 – 8m2 + 1

g) (3m2 – 4n)2 = 9m4 – 24m2n + 16n2

h) (2 – m3)2 = 4 – 4m3 + m6

i) (xy – 5)2 = x2y2 – 10xy + 25

j) (10x – 0,1)2 = 100x2 - 2x + 0,01

QUESTÃO 6. CALCULE UTILIZANDO PRODUTOS NOTÁVEIS:

a) (x + 9) · (x – 9) = x2 - 81

b) (m – 3) · (m + 3) = m2 - 9

c) (2a – 5) · (2a + 5) = 4a2 - 25

d) (3x + 5) · (3x – 5) = 9x2 - 25

e) (5x – 2y) · (5x + 2y) = 25x2 – 4y2

f) (m2 – 5) · (m2 + 5) = m2 - 25

g) (p3 – 3) · (p3 + 3) = p6 - 9

h) (a2 + b5) · (a2 – b5) = a4 – b10

i) (7x + 5z) · (7x – 5z) = 49x2 – 25z2

j) (5x2 + 2y) · (5x2 – 2y) = 25x4 – 4y2

QUESTÃO 7 . CALCULE UTILIZANDO PRODUTOS NOTÁVEIS

QUESTÃO 8. VERIFIQUE SE A IGUALDADE A SEGUIR É VERDADEIRA.

JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA.

(4m + 1)2 – (m + 2)2 = 15m2 + 5m – 4

RESOLUÇÃO:

16m2 + 8m + 1 – (m2 + 4m + 4)

16m2 + 8m + 1 – m2 – 4m – 4

16m2 – m2 + 8m – 4m + 1 – 4

15m2 + 4m – 3

LOGO A IGUALDADE É FALSA, POIS 15m2 + 4m – 3 ≠ 15m2 + 5m - 4

a) x + y + 52.

b) (x + y + 5)2.

c) (x + y)2 + 5.

d) x2 + y + 52

QUESTÃO 9. (SARESP-SP) A EXPRESSÃO ALGÉBRICA QUE REPRESENTA A

SITUAÇÃO “O QUADRADO DA SOMA DE DOIS NÚMEROS, MAIS 5 UNIDADES” É:

a) 16

b) 48

c) –16

d) – 48

RESOLUÇÃO:

1º passo: Desenvolvendo (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

2º passo: Desenvolvendo (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

3º passo: Substituindo os resultados na expressão teremos:

x2 – 2xy + y2 – ( x2 + 2xy + y2 ) =

x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2 =

x2 – x2 – 2xy – 2xy + y2 – y2 =

– 4xy =

– 4 (12 ) =

– 48 (LETRA D)

QUESTÃO 10. SABENDO QUE XY = 12, QUANTO VALE (X – Y)2 – (X + Y)2?

QUESTÃO 11. (ESCOLA TÉCNICA FEDERAL-RJ) CONSIDERE AS EXPRESSÕES:

RESOLUÇÃO:

I. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ( FALSA )

II. (a + b)2 – 2ab = a2 + 2ab + b2 – 2ab = a2 + b2 – 2ab + 2ab = a2 + b2

(VERDADEIRA )

III. a2 + 2ab + b2 – ( a2 - 2ab + b2 ) = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2

= a2 – a2 + 2ab + 2ab + b2 – b2 = 4ab (VERDADEIRA)

RESPOSTA: (LETRA C)

a) São todas falsas.

b) São todas verdadeiras.

c) Somente II e III são verdadeiras.

d) Somente I e III são verdadeiras.

a) 0.

b) –1.

c) 5.

d) 10.

RESOLUÇÃO:

1º passo: Desenvolvendo (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

2º passo: Desenvolvendo (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

3º passo: Substituindo os resultados na expressão teremos:

x2 – 2xy + y2 – ( x2 + 2xy + y2 ) = x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2

x2 – x2 – 2xy – 2xy + y2 – y2 = – 4xy

– 4xy = - 20. (- 1)

4xy = 20

xy = 20 : 4 = 5 (LETRA C)

QUESTÃO 12. (MACK-SP) SE (X – Y)2 – (X + Y)2 = –20, ENTÃO X · Y É IGUAL A:

QUESTÃO 13 (OLIMPÍADA BRAS. DE MATEMÁTICA)

SE X + Y = 8 E XY = 15, QUAL É O VALOR DE X2 + 6XY + Y2?

a) 109

b) 120

c) 124

d) 1

RESOLUÇÃO:

(x + y) 2 = (8)2 : elevando ambos os membros ao quadrado , teremos:

x2 + 2xy + y2 = 64 : vamos adicionar ambos os membros o monômio

4xy

x2 + 2xy + y2 + 4xy = 64 + 4xy : Reduzindo os termos semelhantes ,

teremos:

x2 + 2xy + 4xy + y2 = 64 + 4xy

x2 + 6xy + y2 = 64 + 4xy : substituindo no lugar de xy por 15 , teremos:

x2 + 6xy + y2 = 64 + 4( 15) = 64 + 60 = 124 (LETRA C )

QUESTÃO 14. (PUC-SP) A EXPRESSÃO (X + Y) · (X2 + Y2) · (X – Y) É IGUAL A:

a) x4 + y4.

b) x4 – y4.

c) x3 + xy2 – x2y – y3.

d) x3 + xy2 + x2y + y3.

RESOLUÇÃO:

1º PASSO:

(x + y) . (x2 + y2 ) = x3 + y3 : Multiplica-se primeiro as duas

expressões que estão entre parênteses

2º PASSO:

(x3 + y3) . (x – y) = x4 – y4 : Multiplica-se o resultado do 1º passo

com a expressão que está entre parênteses, logo teremos:

x4 – y4 ( LETRA B)

QUESTÃO 15 (SEE-SP). SENDO A = X + 2 E B = X – 2,

A EXPRESSÃO A2 + AB – B2 É EQUIVALENTE A

a) x2 + 4.

b) x2 – 4.

c) x2 + 8x + 8.

d) x2 + 8x – 4.

RESOLUÇÃO:

Dada a expressão A2 + AB – B2 e substituindo respectivamente os

valores de A e B dados no enunciado da questão teremos e

desenvolvendo os produtos notáveis teremos:

(x+2)2 + ( x+ 2 ) . ( x – 2) – ( x – 2 )2

(x2 + 4x + 4 ) + ( x2 – 4 ) – ( x2 – 4x + 4 )

x2 + 4x + 4 + x2 – 4 – x2 + 4x – 4

x2 + x2 – x2 + 4x + 4x + 4 – 4 – 4

x2 + 8x – 4

( LETRA D )

QUESTÃO 16. SE X – Y = 7 E XY = 60, ENTÃO O VALOR DA EXPRESSÃO X2 – Y2 É:

a) 53.

b) 109.

c) 420.

d) 169.

RESOLUÇÃO:

(x - y) 2 = (7)2 : elevando ambos os membros ao quadrado , teremos:

x2 - 2xy + y2 = 49 : vamos ISOLAR no 1º membro a expressão x2 +

y2

x2 + y2 = 49 + 2xy : substituindo no lugar de xy por 60 , teremos:

x2 + y2 = 49 + 2(60)

x2 + y2 = 49 + 120

x2 + y2 = 169 (LETRA D )

QUESTÃO 17 (FCC-SP). A EXPRESSÃO (X – Y)2 – (X + Y)2 É EQUIVALENTE A:

a) 0.

b) 2y2.

c) –2y3.

d) – 4xy.

RESOLUÇÃO:

1º passo: Desenvolvendo (x – y)2 = x2 – 2xy + y2

2º passo: Desenvolvendo (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

3º passo: Substituindo os resultados na expressão teremos:

x2 – 2xy + y2 – ( x2 + 2xy + y2 ) = x2 – 2xy + y2 – x2 – 2xy – y2

x2 – x2 – 2xy – 2xy + y2 – y2 =

– 4xy (LETRA D)

OBRIGADO!

ATÉ A PRÓXIMA AULA