matemática 9º ano ef

QUESTÃO (Descritor: interpretar o texto apresentado utilizando os números apresentados para os cálculos e comparações que se fizerem necessárias)

Nível de Dificuldade: Médio

Assunto: Conjuntos Numéricos

Segundo um autor de Matemática: “no final do século XX havia cerca de 6 bilhões de pessoas vivendo sobre a Terra, e 70% delas bebiam água não-tratada e, portanto, tinham piores condições de vida. Durante este último século, a população de Terra dobrou a cada 20 anos, aproximadamente.”

Supondo que o crescimento continue na mesma proporção no próximo século, não podemos afirmar que:

A) As condições de vida das pessoas no final do século XX serão melhores do que nos próximos séculos.B) Se não for melhorada a condição de vida da população, 8,4 . 109 pessoas não receberão água tratada em

2020.C) Cerca de 1,8 . 109 pessoas, no final do século XX, bebiam água tratada, enquanto o restante da população

bebia água não-tratada.D) Para calcularmos o número de pessoas que terão acesso à água tratada no ano de 2020, caso não haja

melhoria nas condições de vida, basta calcular o produto cujos fatores são: 0,3 e 1,2 . 1010 pessoas.

Resposta: Letra A

1

BANCO DE QUESTÕES

Disciplina: Matemática Série: 8ª Série ou 9º Ano Segmento: Ensino Fundamental (séries finais) Observação para o professor: para localizar um tema ou uma palavra, digite as teclas Ctrl + L, simultaneamente.

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor numérico e a incógnita de uma fórmula representada por uma equação de 2º grau)


Assunto: Equações

Na fórmula

S é a soma dos n primeiros números naturais maiores do que zero. Por exemplo, para calcular a soma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 podemos fazer n = 5 na fórmula e ter

.

Analise as seguintes afirmativas relacionada às informações fornecidas acima:

Afirmativa I - A soma dos 10 primeiros números naturais maiores do que zero é igual a 55.

Afirmativa II - Devemos somar 11 números naturais maiores do que zero para que o resultado da soma seja 66.

Afirmativa III - Para que a soma dos n primeiros números naturais maiores do que zero seja nula, o valor de n deverá ser -1.

Afirmativa IV - A diferença entre a soma dos 30 primeiros números naturais maiores do que zero e dos 20 primeiros números naturais maiores do que zero é 255.

Marque a opção CORRETA:

A) Apenas a afirmativa I é correta.B) Apenas a afirmativa II é correta.C) A única afirmativa falsa é a afirmativa III.D) Todas as afirmativas são corretas.

Resposta: Letra C

2

QUESTÃO (Descritor: formular equações de 2º grau e resolvê-las de acordo com o problema proposto)


Assunto: Equações

Um terreno situado no centro de certa cidade possui a forma de um triângulo retângulo, de acordo com a figura a

seguir, e área de 144 m2

.

O proprietário deseja murar todo o terreno, poisnão irá realizar nenhuma construção a curtoprazo.

Marque a afirmativa CORRETA a seguir:

A) O valor da incógnita m, representada na figura poderá ser calculada através da equação

.

B) Para que possa murar todo o terreno, o proprietário terá que construir metros de muro.

C) O maior lado do terreno corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo e poderá ser calculado através da

expressão matemática .

D) A única incógnita necessária para o cálculo do custo do muro a ser construído pelo proprietário é o perímetro do terreno.

Resposta: Letra B

QUESTÃO (Descritor: estabelecer uma conclusão a partir da resolução de uma equação 2º Grau, obtida a partir dos dados do problema)


Assunto: Equações

Tio Geraldo ganhou uma “bolada” na loteria e destinou R$ 160.000,00 do prêmio para distribuir igualmente entre os seus sobrinhos. Mas dois sobrinhos não quiseram receber nada. Com isso, cada um dos demais sobrinhos acabou ganhando R$ 4.000,00 a mais do que iria ganhar inicialmente.Considerando x o número inicial de sobrinhos, marque a opção CORRETA relacionada ao problema apresentado acima.

A) A quantia que cada um dos sobrinhos receberia é de .

B) Cada sobrinho acabou recebendo a quantia de .

C) Tio Geraldo possui, ao todo, oito sobrinhos, dos quais somente seis receberão uma parte do prêmio.D) Na partilha feita por Tio Geraldo, cada um dos seus sobrinhos contemplados, recebeu R$ 20.000,00.

Resposta: Letra D

3

.m

3 m

QUESTÃO (Descritor: relacionar o valor do discriminante de uma equação 2º Grau com as características de suas raízes reais.)

Nível de Dificuldade: Difícil

Assunto: Equações

Considere a equação , com C .

Marque a alternativa CORRETA relacionada à equação do 2º grau expressa acima:

A) Se o valor de C for igual a a equação terá duas raízes reais e iguais.

B) O valor do discriminante para a equação é = 1 + 16 C.

C) A equação , não possui raízes reais, porque < 0.

D) Para qualquer valor de C > , a equação possui duas raízes reais e diferentes.

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: formular e resolver um sistema de equação de 2º Grau através do método de tentativas)


Assunto: Equações

Uma revista de Matemática ofereceu uma assinatura anual gratuita ao primeiro leitor que acertasse este problema:

“O produto das idades de duas pessoas é 50 e a diferença entre os quadrados das idades é 75. Se uma delas nasceu no ano 896, em que século nasceu a outra?”

Os quatro primeiros leitores que enviaram a solução do quebra-cabeça obtiveram os seguintes resultados:

1º leitor: século VIII. 2º leitor: século IX ou século X. 3º leitor: século IX. 4º leitor: século VIII ou século IX.

Marque a opção que apresenta o leitor que ganhou a assinatura anual gratuita da revista.

A) 1º leitor.B) 2º leitor.C) 3º leitor.D) 4º leitor.

Resposta: Letra B

4

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor de uma incógnita na equação de 2º grau que satisfaça às condições do problema.)


Assunto: Equações

Quatro colegas de classe, ao estudar sobre as aplicações das equações de 2º grau, se entusiasmaram para resolver o seguinte problema proposto em um livro de matemática:

Carla tem N anos de idade e Paulo tem a idade de N2

anos.

Daqui a 8 anos, Paulo terá o quádruplo da idade que Carla terá daqui a 2 anos.

Após certo tempo, cada um chegou a uma conclusão, como podemos observar a seguir:

Marque a opção que apresenta o nome do (a) aluno (a) que formulou uma conclusão FALSA relativa ao problema proposto.

A) Ana Flávia.B) Fernando.C) Priscila.D) Henrique.

Resposta: Letra B

5

QUESTÃO (Descritor: estabelecer equações 2º grau que representem áreas e volume de um paralelepípedo)


Assunto: Equações

Um pedaço de cartolina mede 10 cm a mais de comprimento que de largura. Cortando quadrados de 2 cm de lado em cada canto do papel, de acordo com a figura a seguir, e dobrando os extremos, formamos uma caixa aberta

(sem tampa) de 1872 cm3

de volume.

Podemos afirmar CORRETAMENTE que:

A) O volume da caixa é dado pela equação

de 2º grau ( x + 10 ) . x . 2 = 1872 cm3

.

B) A área da base da caixa pode ser representada

pela equação x2

+ 10x = 1872 cm2

.

C) Para a construção da caixa foram utilizados ( 1872 - 4 . 2 . 2 ) cm2

de cartolina, que corresponde à sua área total menos as somas das áreas dos quatro cantos recortados.

D) A cartolina possui 40 cm de comprimento e 30 cm de largura, medidas obtidas através do valor de x calculado

na equação ( x + 6 ) . ( x - 4 ) = 936 cm2

.

Resposta: Letra D

QUESTÃO (Descritor: formular uma equação de 2º grau que represente o problema proposto e calcular o valor da incógnita x)


Assunto: Equações

De uma folha retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de lados medindo x cm (de acordo com a figura apresentada). Dessa maneira, a área que sobrou da folha é de 404 cm2.

Marque a opção que apresenta a classificação CORRETA do valor de x.

A) Um número par.B) Um número múltiplo de 3.C) Um número primo.D) Um número decimal exato.

Resposta: Letra B

6

Fonte: Foto de Sérgio Dotta Jr.

QUESTÃO (Descritor: determinar o resultado de um problema utilizando classificação das equações.)

Nível de Dificuldade: Fácil

Assunto: Equações

Observe a pergunta feita por um aluno da 8ª série do Ensino Fundamental.

Marque uma das alternativas a seguir que responderia CORRETAMENTE a pergunta formulada pelo aluno.

A) Essa equação é classificada como Irracional, porque a incógnita aparece no radicando, e, após resolvê-la, não podemos deixar de verificar se as soluções encontradas serão válidas.

B) Para resolver essa equação, basta elevar ambos os membros ao quadrado, obtendo assim dois valores para a incógnita x: 4 e – 5, que serão as soluções da equação.

C) É uma equação biquadrada e deverá ser resolvida através de uma mudança de variável, ou seja (por exemplo),

transformamos a incógnita x na letra z2

.

D) Ela possui sempre duas raízes reais distintas, que poderão ser calculadas transformando-se a equação dada em uma equação do 2º grau completa.

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: determinar os valores da variável a para que a função do 2º grau tenha duas raízes reais distintas ou duas raízes reais iguais)


Assunto: Equações

Assinale a alternativa CORRETA relativa à função do 2º grau .

A) Tem sempre duas raízes reais distintas.B) Tem exatamente uma raiz real para a = 2.C) Tem exatamente uma raiz real para infinitos valores de a.D) Tem exatamente uma raiz real para a = 0.

Resposta: Letra B

7

Fonte: Piadas Matemáticas – Internet – Autor Desconhecido

QUESTÃO (Descritor: estabelecer a condição necessária para que uma equação seja representada por uma parábola)


Assunto: Equações

Leia, atentamente, a piada a seguir:

Jesus disse aos seus apóstolos:

- Irmãos, y = ax2

+ bx + c ...

Os apóstolos, confusos, responderam:

- Mas Senhor... O que é isso?

Jesus disse:

- Apenas uma parábola.

O autor dessa piada cometeu um erro matemático ao afirmar que y = ax2

+ bx + c é uma parábola.

Escreva a condição necessária para que essa piada esteja matematicamente correta.

Resposta:

y = ax2

+ bx + c, só será uma parábola se a constante a ( coeficiente numérico do termo x2

) for

diferente de zero.

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QUESTÃO (Descritor: calcular o resultado do problema proposto utilizando equações de 2º grau.)


Assunto: Equações

As despesas de um condomínio totalizaram R$1.200,00. Quatro condôminos não dispunham de dinheiro para pagar as suas partes, e os demais foram obrigados a pagar um adicional de R$25,00 cada um.

Calcule quantos eram os condôminos desse prédio.

Resposta:

Cálculo do número de condôminos: ( considerando N o número total de condôminos )

Resolvendo a equação de 2º grau

O prédio possuía 16 condôminos

QUESTÃO (Descritor: representar o problema proposto através de uma equação do 2º grau e resolvê-la)


Assunto: Equações

Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto.A quantidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma:

Por um preço y ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação

Sabe-se que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi de R$ 1.250,00.

Marque a alternativa, a seguir, que possui o valor correto da quantidade de produtos vendidos.

A) 25 unidadesB) 35 unidadesC) 40 unidadesD) 50 unidades

Resposta: Letra D

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QUESTÃO (Descritor: formular uma equação de 2º grau a partir dos dados do problema e resolvê-la.)


Assunto: Equações

A caçamba da caminhonete de Ricardo tem 3 m de comprimento e 2 m de largura, e ele quer comprar um pedaço de plástico para cobri-la, de maneira que sobre um pouco no comprimento e o mesmo tanto na largura.

Chegando à loja, o vendedor lhe diz que tem apenas um plástico retangular de 12 m2

e que, se ele for esperto, conseguirá deixar um pouco no comprimento e o mesmo tanto na largura. Ricardo comprou o plástico e, em vez de cobrir direto a caçamba, calculou quanto deveria sobrar de plástico de cada lado da caçamba.Realmente o vendedor tinha razão!

Calcule a sobra de plástico obtida corretamente por Ricardo, de acordo com as condições do problema.

Resposta:Cálculo da sobra de plástico:

Esquema representativo da questão:

equação equivalente:

O valor da sobra X = 0,5 mQUESTÃO (Descritor: calcular a solução de um problema proposto utilizando equação do 2º grau.)

10


Assunto: Equações

Em uma estação de esqui, será construído um teleférico que ligará os cumes de duas pequenas montanhas com alturas aproximadas de 600 m e 300 m, respectivamente. Sabendo-se que a distância entre elas a ser considerada é 400 m ( conforme a figura ), determine o comprimento mínimo do cabo necessário para a construção desse teleférico.

Resposta:Cálculo do comprimento do cabo:

Esquema matemático do problema em questão

Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

Comprimento mínimo do cabo é de 500 m

QUESTÃO (Descritor: utilizar expressões algébricas e calcular a incógnita em uma equação do 2º grau)


11

.400 m

300 m

Comprimento do Cabo ( x )

Assunto: Equações

A figura a seguir representa a planta baixa de um escritório. Sabendo-se que as duas salas e o corredor têm,

juntos, 40 m2

de área, faça o que se pede.

A) Escreva a expressão algébrica que representa a área total do escritório.

B) Escreva, na forma geral, a equação que nos permite calcular as dimensões do escritório.

C) Determine as dimensões de cada sala.

Resposta:A) Considerando A a variável que representa a área total do escritório temos:

B) Forma Geral da expressão que nos permite calcular a Área do Escritório:

C) Cálculo das dimensões de cada sala:

Resolvendo a equação do 2º grau, o valor de x será: 1 metroDimensões da Sala I: Comprimento 5 m Largura 4 m

Dimensões da Sala II: Comprimento 3 m Largura 4 m

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QUESTÃO (Descritor: representar a situação proposta em forma de sistema e resolvê-lo)

Assunto: Equações


Observe o Mural Informativo de uma escola, na forma retangular, no qual foi fixada uma informação sobre a reciclagem de papel.

Sabendo que esse mural tem perímetro 13 dm e área 10 dm2, marque a alternativa que apresenta a soma correta de suas dimensões(largura + comprimento).

A) 6,5 dmB) 7,0 dmC) 7,5 dmD) 8,0 dm

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: calcular as raízes de uma equação do 2º grau e selecionar a que será solução do problema proposto)


Assunto: Equações

O nível N de óleo em um reservatório varia com o tempo t, contado em horas, conforme a lei:

.

Calcule aproximadamente o tempo gasto para que o nível de óleo chegue a zero.

Resposta:

Cálculo do tempo para que o nível de óleo atinja o zero:

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Mural Informativo

QUESTÃO (Descritor: formular uma equação do 2º grau que represente o problema proposto e calcular a raiz que será solução para esse problema)


Assunto: Equações

Renata tem 18 anos e Paula tem 15 anos. Calcule daqui a quantos anos o produto de suas idades será igual a 378.

Resposta:Cálculo do tempo:

QUESTÃO (Descritor: transformar o problema proposto em uma equação do 2º grau e calcular a raiz que satisfaça as condições do mesmo)


Assunto: Equações

Rosângela pensou em um número irracional negativo.

Em seguida elevou esse número ao quadrado, subtraiu 12, elevou a diferença ao quadrado e obteve 9 como resultado.

Calcule o número que Rosângela pensou.

Resposta:

Cálculo do Número Irracional Negativo:

substituindo temos:

O número que Rosângela pensou foi

14

?

QUESTÃO (Descritor: calcular as soluções das equações apresentadas no problema em questão)


Assunto: Equações

Resolva as seguintes equações:

A)

B)

Resposta:

Cálculo das Soluções das Equações:

A)

Substituindo por Z temos:

Calculando o valor de x temos:

B)

Substituindo por Z temos:

Calculando o valor de x temos:

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QUESTÃO (Descritor: transformar o problema proposto em uma equação e resolvê-la)


Assunto: Equações

Considere um número x. Adicione, multiplique o total por 2 e subtraia 5 do produto. Se o resultado final é igual a

, x é um número:

A) entre -3 e 0. B) entre 0 e 3. C) maior que 6. D) entre 3 e 6.

Resposta: Letra D

QUESTÃO (Descritor: calcular o conjunto solução da equação irracional apresentada)

Nível de dificuldade: Fácil

Assunto: Equações

Marque a opção a seguir que apresenta o conjunto solução CORRETO da equação irracional.

.

A) { 3, - 1 }B) { 1, - 3 }C) { 1 }D)

Resposta: C

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QUESTÃO (Descritor: calcular o coeficiente de um dos monômios de uma equação do 2º grau sendo fornecida uma de suas raízes)

Nível de dificuldade: Médio

Assunto: Equações

Paula entrou na sala de aula, após o intervalo para o lanche, e viu no quadro algumas anotações da aula anterior de Matemática, referente às Equações do 2º Grau, parcialmente apagadas.

Essa situação está representada na figura a seguir.

Marque a opção que apresenta o coeficiente do monômio do 1º Grau que foi apagado da Equação do 2º Grau.

A) 20B) 22C) 13D) 12

Resposta: B

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Fonte: Site / WWW.ser.com.br (adaptação)

QUESTÃO (Descritor: representar o problema proposto através de uma equação, resolvê-lo, e justificar o fato dessa equação não ser do 2º grau)


Assunto: Equações

Calcule a quantidade de abelhas no problema a seguir apresentado sob forma tão poética no livro Lilaváti, do geômetra indiano Bháskara, e justifique, por escrito, porque a equação que representa o problema não é do 2º Grau.

Resposta:

Cálculo da Quantidade de Abelhas:

Considerando a quantidade de Abelhas igual a Q, temos: ( ) + 1 = Q

Q = 15 Abelhas

Essa equação é do 1º Grau porque só possui uma solução.

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-

QUESTÃO (Descritor: identificar a equação algébrica apresentada como uma equação do 2º grau e calcular uma de suas variáveis de acordo com os dados fornecidos)

Nível de dificuldade: Difícil

Assunto: Equações

A Matemática contribui significativamente para a simplificação da descrição e a compreensão dos fenômenos físicos. Analise, a seguir, a fórmula utilizada para o cálculo da energia cinética que um corpo possui quando está em movimento.

onde:

Existe uma explicação física para entendermos o fato de que a energia (EC) de um corpo em movimento depende

de sua massa (m) e de sua velocidade (V). Utilizando os conhecimentos sobre proporcionalidade e os procedimentos de resoluções de equações, é possível observar em algumas situações a relação entre os conceitos matemáticos e os fenômenos físicos. A unidade de medida de energia é chamada de joule e representada pela letra J.

Resolva cada item a seguir de acordo com as informações fornecidas acima.

a) Escreva qual seria o aspecto de um gráfico, no qual as grandezas Energia Cinética e Velocidade do corpo fossem representadas nos eixos das ordenadas e abscissas, respectivamente.Justifique, por escrito, como você chegou a essa conclusão.

O.B.S: Considere a massa do corpo constante.

b) Calcule a velocidade de um corpo de massa 10 kg que, em determinado instante, possua 1280 J de Energia Cinética.

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EC = Energia de um corpo em movimento, em joule

m = massa do corpo, em kg, que se movimenta

Adoro acelerar!

Adrenalina pura!

Nossa quanta Energia!!!

E a desaceleração? Dói! E dói muito!!!

Fonte: Site cbpf.br

Resposta:

a) O aspecto do gráfico seria uma parábola, porque, para uma massa constante, a Energia Cinética é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade do corpo.

b) Cálculo da velocidade: V = 16 m/s

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QUESTÃO (Descritor: escrever uma equação de 2º grau que represente a área especificada no problema proposto e resolver essa equação)


Assunto: Equações

Fabrício deseja pintar somente a fachada de sua casa (parte frontal da casa).

A fachada da casa possui 45 m2 e é formada por um triângulo e um retângulo, conforme a figura representativa a seguir. As medidas estão indicadas em metros.

Resolva o que se pede:

a) Escreva uma equação que relacione a área a ser pintada (A), considerando que a porta não será pintada.

b) Calcule o valor da incógnita Y, em metros.

Resposta:

a) Equação: A = m . ( ) m - 2 m . 1,5 m + . ( ) . 2 m

A = y 2 + 6y + 2

b) Cálculo do valor da incógnita y:

Resolvendo a equação y 2 + 6y + 2 = 42 vamos obter duas raízes -10 e 4

Como não existem dimensões negativas, y = 4 m

21

2 m

Y m

1,5 m

2 m Porta

( Y + 5 ) m

Fonte: Site / www.paisagismobrasil.com.br/ (adaptações)

QUESTÃO (Descritor: analisar o método utilizado na resolução de uma equação do 2º Grau e resolvê-la da maneira convencional comparando assim os resultados)

Assunto: Equações


A professora de Matemática propôs que seus alunos resolvessem a seguinte equação do 2º Grau:

X 2 - 6 X + 25 = 0

Analise atentamente a resolução feita por Clara, representada “passo a passo” no quadro a seguir.

Agora resolva o que se pede.

a) Explique, por escrito, cada uma das etapas( I, II, III e IV ) apresentadas no quadro.

b) Clara resolveu corretamente a equação do 2º Grau? Justifique sua resposta, por escrito, utilizando cálculos matemáticos.

c) Você concorda com o método de resolução utilizado por Clara? Justifique sua resposta.

Resposta:

a) Explicação de cada etapa:

I - Cópia da equação do 2º Grau proposta pela professora.II - Transposição do termo independente da equação para o 2º membro.III - O número 9 foi adicionado em ambos os membros da equação.IV - O 1º membro da equação foi transformado em um produto notável e foi realizada a operação entre os números inteiros do 2º membro

A conclusão de Clara foi a de que não existe nenhum número real que elevado ao quadrado dê um resultado negativo.

b) Clara resolveu corretamente a Questão pois durante a resolução da mesma ela não utilizou nenhum algoritmo impróprio.

Resolução Convencional: Utilizando a fórmula de Báskara.

= b2 – 4 . a . c então = ( - 6 )2 – ( 4 . 1 . 25 ) = 36 - 100 = - 64

Como < 0 não existem raízes pertencentes ao conjunto dos Números Reais.

c) O aluno poderá responder que Sim ou Não. Cabe a você, professor, analisar a coerência entre a resposta de seu aluno e a justificativa para tal.

O.B.S: O aluno só não poderá afirmar , na sua justificativa, que o método utilizado por Clara é Incorreto.

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QUESTÃO (Descritor:analisar o gráfico apresentado e verificar a veracidade das afirmativas)


Assunto: Estatística

Analise o gráfico abaixo:

Fonte: Ciência Hoje Vol.37, novembro de 2005, pág.39

A pedreira, a floresta recente e a floresta antiga receberam a mesma quantidade de energia solar por uma unidade de tempo.A partir da análise do gráfico e de outros conhecimentos, é possível concluir corretamente que:

I. Quanto menor a quantidade de espécies, mais numerosos são os caminhos pelos quais a energia pode ser degradada resultando menor temperatura de superfície.

II. À medida que aumenta a complexidade de um ecossistema, maior é a sua eficiência em degradar a energia solar e, por isso, menor a liberação de radiação infravermelha, resultando em menor temperatura de superfície.

III. Por degradar mais energia solar, através da evapotranspiração (transpiração das plantas somada à evaporação do solo e dos cursos d’água), uma floresta irradia menos energia, na forma de radiação infravermelha, do que uma pedreira.

IV. A temperatura de superfície da floresta recente é caracterizada pelo grande número de animais jovens presentes no ambiente.

As afirmativas CORRETAS são: A) I, II e III apenas. B) II, III e IV apenas. C) I, II, III e IV. D) II e III apenas.

Resposta: Letra D

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QUESTÃO (Descritor: simplificar a fração algébrica apresentada e calcular seu valor numérico de acordo com os dados do problema em questão)


Assunto: Expressões e Frações Algébricas

Seja . O valor de M quando a = 81 e b = 79 é:

A) 160 B) 320 C) 240 D) 2

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: simplificar a fração algébrica apresentada e calcular seu valor numérico de acordo com os dados do problema em questão )


Assunto: Expressões e Frações Algébricas

A aluna Ana Clara ficou surpresa quando seu professor de matemática pediu aos alunos que calculassem o mais rápido possível, o valor da expressão matemática a seguir:

Pedro, aluno atento às aulas, aprendeu bem as propriedades da potenciação, o que permitiu fosse ele o primeiro aluno a dar o resultado correto para a expressão.O resultado dado por Pedro foi:

A)

B)

C)

D)

Resposta: Letra B

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QUESTÃO (Descritor: estabelecer expressões que permitam verificar a veracidade das afirmativas apresentadas de acordo com as informações fornecidas)


Assunto: Expressões Numéricas

Observe os dados sobre a cidade de Belo Horizonte. População e Domicílios - Censo 2000 com Divisão Territorial 2001 Pessoas residentes - resultados da amostra 2.238.526 habitantes

Com base nesses dados, podemos afirmar que:

A) Cada estabelecimento de saúde, em média, possui mais que 11 leitos. B) Mais de 70% dos leitos hospitalares estão disponíveis ao SUS. C) Existe aproximadamente um leito para cada 143 habitantes. D) Existe em média um estabelecimento de saúde para 2200 habitantes.

Resposta: Letra A

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QUESTÃO (Descritor: simplificar ao máximo a expressão algébrica em forma de potência utilizando propriedades da potenciação e calcular seu valor numérico para valores atribuídos às variáveis)


Assunto: Fatoração e Produtos Notáveis

Carolina se assustou com o tamanho da expressão algébrica que viu em um de seus livros de matemática.

Podemos obter uma expressão equivalente a essa, bem mais simples, utilizando propriedades estudadas nas potenciações.

A) Escreva a expressão algébrica acima na forma mais simplificada.

B) Calcule o valor da expressão algébrica para e .

Resposta:

A) Simplificação Máxima da expressão algébrica:

B) Valor Numérico:

26

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor numérico de uma expressão envolvendo radicais após simplificá-la ao máximo)


Assunto: Fatoração e Produtos Notáveis

Calcule o valor numérico da expressão para X = 2024 e Y = 2023

Resposta:

Simplificação da expressão algébrica:

1

27

Resolva as Três Questões Seguintes baseadas no seguinte enunciado:

No quadro a seguir foi representada a conta de água de uma residência.

Além do valor a pagar, a conta mostra comocalculá-lo em função do consumo de água(em m3). Nessa conta de água, existe umatarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.

QUESTÃO (Descritor: calcular o consumo de água da residência de acordo com a conta apresentada)


Assunto: Funções

Marque a alternativa que apresenta o valor CORRETO do consumo de água, em m3 , de acordo com a conta apresentada.

A) 7B) 11C) 17D) 20

Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: calcular o custo da conta de água se o consumo hídrico da residência for o triplo do mês apresentado) Nível de Dificuldade: Difícil

Assunto: Funções

Suponha que, no próximo mês, triplique o consumo de água dessa residência. Marque a alternativa que apresenta o valor correto da conta.

A) R$ 44,73B) R$ 67,23C) R$ 92,83D) R$ 120,36

Resposta: Letra B

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QUESTÃO (Descritor: associar o tipo de gráfico à função dada em forma de tabela)


Assunto: Funções

Analise os gráficos apresentados a seguir.Marque a alternativa que possui o aspecto do gráfico que representa o valor da conta de água (em R$), de acordo com o consumo de água (em m3), de acordo com o quadro apresentado.

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: desenhar o gráfico de uma parábola e calcular as coordenadas do seu vértice)


Assunto: Funções

Em geral, a trajetória da bola, em um chute, descreve uma parábola. Supondo que a altura H (em metros) na qual

a bola se encontra t segundos após o chute seja dada pela fórmula , resolva cada item, a

seguir:

A) Desenhe o gráfico dessa função.

B) Calcule a altura máxima atingida pela bola, bem como o tempo gasto para atingi-la.

Resposta:

A) Esboço gráfico: B) Cálculo da altura máxima e do tempo gasto para atingi-la:

Média Aritmética das raízes =

Altura Máxima Atingida =

29

B) C) D)R$

m3

R$

m3

R$

m3

R$

m3

A)

H (m)

t (s)

0 63

9

H (m)

t (s)

0 6

QUESTÃO (Descritor: expressar o custo em função de duas variáveis e calcular seu valor de acordo com a situação proposta)


Assunto: Funções

Ao alugar um veículo, a conta a pagar depende de duas variáveis: do número de dias (D) que você aluga o carro e do número de quilômetros (Q) que você percorre com ele. Analise atentamente, a seguir, os anúncios de duas locadoras de veículos, “Aluga Fácil” e “Aluga Rápido”.

Resolva o que se pede em cada item abaixo:

A) Escreva a fórmula que fornece o custo total (C), em função do número de dias (D) e do número de quilômetros percorridos (Q), para cada uma das locadoras.

B) Um cliente deseja alugar um carro durante 7 dias e irá percorrer uma distância de 1.000 km.Qual das duas locadoras oferece maior vantagem nesse caso? Justifique sua resposta por escrito, utilizando recursos matemáticos.

Resposta:

A) Expressão do custo:

“Aluga Fácil”: C = 30 . D + 0,45 . Q “Aluga Rápido”: C = 35 . D + 0,20 . Q

B) Cálculo da locadora mais vantajosa:

“Aluga Fácil”: C = 30 . D + 0,45 . Q C = 30 . 7 + 0,45 . 1000 = 210 + 450 = R$ 660,00

“Aluga Rápido”: C = 35 . D + 0,20 . Q C = 35 . 7 + 0,20 . 1000 = 245 + 200 = R$ 445,00

A Locadora “Aluga Rápido” possui menor custo para o problema em questão.

30

QUESTÃO (Descritor: analisar o gráfico de duas funções de 1º grau e calcular grandezas relacionadas a ele)


Assunto: Funções

Marcos desafiou seu pai para uma corrida de 100 m rasos. Seu pai permitiu que ele começasse a corrida 30 m a sua frente. Um gráfico simplificado dessa corrida é apresentado a seguir:

A) Escreva uma explicação de como é possível saberquem ganhou a corrida, bem como o nome do vencedor.

B) Calcule a diferença de tempo entre o vencedor e o perdedor da corrida.

C) Calcule a que distância do início da corrida o pai deMarcos o alcançou.

Resposta:A) Quem percorrer a distância de 100m no menor intervalo de tempo será o vencedor.De acordo com o gráfico apresentado Marcos percorreu 100m em 17s e seu pai percorreu a mesma distância em 14s. Portanto o vencedor da corrida foi o pai de Marcos.

B) A diferença de tempo gasto por Marcos e seu paina corrida é de 3s, ou seja Marcos gastou 3s a mais que seu pai para completar os 100m.

C) Após percorrer 70m o pai alcançou Marcos.

QUESTÃO (Descritor: determinar a expressão matemática que relaciona o salário de um vendedor com a quantidade de produtos por ele vendidos e calcular essa quantidade para um dado salário)


Assunto: Funções

Na loja “Super Legal”, foram contratados dois vendedores, Fabrício e Paulo, cada um deles com uma remuneração fixa de R$ 500,00, acrescida de uma comissão de vendas no valor de R$10,00 para cada venda efetuada.Em um mês no qual o gerente da loja autorizou uma grande liquidação, Fabrício recebeu R$ 1.860,00, e Paulo recebeu R$ 1.740,00. Considerando V o total de vendas no referido mês, marque a afirmativa CORRETA.

A) O vendedor Paulo realizou 12 vendas a mais que o vendedor Fabrício.B) A expressão que representa a remuneração (S) de cada vendedor é S = R$ 10,00 ( V + R$ 50,00 ).C) Os dois vendedores, Fabrício e Paulo, fizeram, juntos, 360 vendas.

D) A remuneração máxima que os vendedores dessa loja podem receber é de R$ 1.860,00.

Resposta: Letra B

31

QUESTÃO (Descritor: transformar uma função do 3º grau em uma do 1º grau e uma do 2º grau, calcular suas raízes e o ponto de mínimo da parábola )


Assunto: Funções

Uma viga metálica, de seção transversal variável, está presa nas suas extremidades, A e B, e sofre uma deflexão (medida em metros) na vertical, em relação ao segmento horizontal AB, dada por:

em um ponto de AB que dista x metros de A, conforme ilustra a figura abaixo.

Com base nessas informações calcule:

A) A distância entre os pontos A e B.

B) A deflexão máxima apresentada pela viga.

Resposta:A) Cálculo da distância entre os pontos A e B:

Raízes da equação do 2º grau:

distância = 6 m

B) Cálculo da deflexão máxima: ( x = 13 m )

32

Viga Flexionada

A Bx

y

QUESTÃO (Descritor: estudar o sinal de uma função do 1º grau)


Assunto: Funções

Os Bancos são instituições financeiras, privadas ou públicas, que fornecem serviços financeiros à sociedade. Existem relatos de sistemas financeiros desde a antiguidade, onde os povos fenícios já utilizavam várias formas diferentes de realizar pagamentos como documentos de crédito. Mas, foi no século XVII que os Bancos se firmaram, com o lançamento do dinheiro de papel (papel-moeda) pelo Banco de Estocolmo. Hoje os Bancos são regulados pelos Bancos Centraisde cada país, que possuem a função de emitir dinheiro, capturar recursos financeiros e regular os Bancos comerciais e industriais.

Um certo Banco paga as contas de um cliente. As contas vencem,

no mês de junho, segundo a função , na qual

D é o dia do Mês ou seja D { 1, 2, 3, ..., 30 }, e S é o saldo do cliente, em milhares de reais, no dia D de junho. Quatro funcionários desse Banco forneceram as seguintes informações referentes ao saldo desse cliente:

Funcionário I - O saldo chega a R$ 0,00 no dia 27 de junho.Funcionário II - O saldo é positivo de 01 de junho a 26 de junho.Funcionário III - O saldo é negativo de 28 de junho a 30 de junho.Funcionário IV - O saldo é positivo durante todo o mês de junho.

Marque a opção que apresenta o número do funcionário que forneceu a informação ERRADA.

A) Funcionário IB) Funcionário IIC) Funcionário IIID) Funcionário IV

Resposta: Letra D

33

Sede do Banco Central de Brasília

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor mínimo e o minimante de uma função do 2º grau)


Assunto: Funções

O coração é um órgão muscular oco que bombeia o sangue de forma que circule no corpo.

Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, oNúmero N de batimentos cardíacos, por minuto, varia em função da temperatura ambiente t ( em graus Celsius ), segundo a função:

.

Marque a opção que apresenta corretamente o número mínimo de batimentos por minuto e a temperatura em que ocorre, nessa ordem.

A) 50 e 20ºCB) 50 e 40ºCC) 80 e 20ºCD) 60 e 30ºC

Resposta: Letra A

34

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor máximo de uma função do 2º grau após analisar uma situação-problema)


Assunto: Funções

A Ginástica Olímpica no Brasil iniciou-se com a colonização alemã no Rio Grande do Sul, em 1824, dando origem à sociedade ginástica de Joinville, de Santa Catarina, fundada em 16 de novembro de 1858, a mais antiga da América do Sul. Mas, infelizmente, os ginastas brasileirosainda não figuram entre os melhores do mundo.

Como destaque na categoria feminina, podemos citar a ginastaRussa Anna Anatolyevna Pavlova, em russo Анна Анатольевна Павлова, conhecida pelas medalhas conquistadas e pela elegânciade suas apresentaçõesQuando uma ginasta salta, a trajetória do seu centro de gravidade(baricentro) é parabólica, se desprezarmos os efeitos da resistênciado ar. Observe a representação dessa trajetória a seguir:

Em uma competição de ginástica olímpica, no salto Solo ( um dos exercícios mais bonitos, no qual as atletas devem combinar equilíbrio, ritmo e virtuosismo com a música, durante 1min e 30s ), uma atleta, a partir do momento em que saiu do chão até retornar, descreveu uma parábola definida por: (unidades em metros). Marque a opção que apresenta o valor correto do ponto mais alto que essa atleta alcançou.

A) 16 mB) 5 mC) 4 mD) 1 m

Resposta: Letra C

35

Sociedade Ginástica de Joinville, a mais antiga da América do Sul.

Trajetória do Centro de Gravidade de uma Atleta durante o Salto.

Imagens da Ginasta Russa Anna Pavlova

Fonte: Tevescopio.blogger.com

x x x

y

QUESTÃO (Descritor: calcular o tempo necessário para se obter uma certa quantidade de água em uma caixa d’água a partir da equação do 2º grau que representa seu volume em função do tempo)


Assunto: Funções

O volume de uma caixa d’água, inicialmente vazia, é de 1000 litros, e é dado pela função

, onde t é o tempo em minutos e f ( t ) é o volume em litros. Uma torneira é aberta e uma

quantidade de água é colocada constantemente. Marque a opção que possui o valor correto do tempo gasto para a caixa ter 350 litros de água.

A) 8 minutosB) 7 minutosC) 6 minutosD) 5 minutos

Resposta: Letra B

QUESTÃO (Descritor: determinar as funções do perímetro e área de um terreno em função dos lados e calcular o valor máximo de uma função do 2º grau bem como os valores dos lados desse terreno)


Assunto: Funções

O Sr. Augusto possui 180 metros de tela, para fazer um cercado retangular, aproveitando, como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte paralela ao muro e três outras perpendiculares a ele, de acordo com a figura a seguir.

Sabendo que o Sr. Augusto deseja cercar amaior área possível com a tela disponível,marque a opção que possui, respectivamente,os valores corretos de x e y nesse caso.

A) 45 m e 45 mB) 40 m e 60 mC) 30 m e 90 mD) 36 m e 72 m

Resposta: Letra C

36

QUESTÃO (Descritor: representar o problema proposto na forma de uma função do 1º grau e calcular algumas de suas grandezas para um valor fixo da outra)


Assunto: Funções

A troposfera, que é a primeira camada da atmosfera, estende-se do nível do mar até a altitude de 40.000 pés; nela, a temperatura diminui 2ºC a cada aumento de 1.000 pés na altitude.

Sabendo que para um ponto A, situado ao nível do mar, a temperatura é de 25ºC, CALCULE:

A) A altitude, acima do ponto A, cuja temperatura é de 0ºC.

B) A temperatura a 35.000 pés acima desse mesmo ponto A.

Resposta:

A) Cálculo da altitude, acima do ponto A, cuja temperatura é de 0ºC.

Considerando T a temperatura, em ºC, e H a altura, em pés, acima do ponto A temos:

B) Cálculo da temperatura a 35.000 pés acima desse mesmo ponto A.

37

Divisão Simplificada da Camada Atmosférica

Mesosfera

Estratosfera

Troposfera

15 km

50 km

80 km Termosfera

QUESTÃO (Descritor: escrever a função que relaciona as grandezas expressas no gráfico dado e calcular o valor numérico dessa função sendo fornecido o valor de uma das grandezas)


Assunto: Funções

A Propaganda é a Alma do Negócio!

Todos nós já ouvimos essa célebre frase.De forma neutra, propaganda é definida como forma propositada e sistemática de persuasão que visa influenciar com fins ideológicos, políticos ou comerciais, as emoções, atitudes, opiniões e ações de públicos-alvo através da transmissão controlada de informação parcial (que pode ou não ser factual) através de canais diretos e de mídia. Pensando nisso, o gerente de um supermercado resolveu testar a influência que a propaganda poderia exercer nas pessoas.Ele verificou que, quanto mais anunciava nos jornais, mais vendia.Essa relação foi expressa pelo gráfico representado a seguir, no qual V representa o número de mercadorias vendidas durante a semana, e n o número de anúncios publicados nos jornais durante a semana.

Resolva cada item a seguir:

A) Escreva a função que relaciona a quantidade de mercadoriasvendidas durante a semana (V) com o número de anúnciospublicados nos jornais durante a semana (n).

B) Calcule quantas vezes o gerente deverá anunciar esta semana, para que o supermercado venda 230 mercadorias.

Resposta: A) Determinação da Função que relaciona a quantidade de mercadoriasvendidas durante a semana (V) com o número de anúnciospublicados nos jornais durante a semana (n).

Pontos pertencentes ao gráfico da função apresentada:( 40, 140 ) e ( 80, 200 ); como a equação da reta é do tipo

Y = a x + b então V = a n + b

Resolvendo o sistema a seguir temos:

Então a função será: V = . n + 80

B) Cálculo do número de vezes que o gerente deverá anunciar esta semana, para que o supermercado venda 230 mercadorias:

V = . n + 80 230 = . n + 80 n = 100 vezes

38

V

n

0

140

200

40 80

.

.

V

n

0

140

200

40 80

.

.

QUESTÃO (Descritor: determinar e escrever a função que relaciona as grandezas apresentadas no problema, calcular a raiz dessa função e estudar o sinal da mesma)


Assunto: Funções

O ferro (do latim ferrum) é um elemento químico, símbolo Fe, de número atômico 26 e massa atômica 56u.À temperatura ambiente, o ferro encontra-se no estado sólido. É extraído da natureza sob a forma de minério de ferro que, depois de passar para o estágio de ferro-gusa, através de processos de transformação, é usado na forma de lingotes. É o quarto elemento mais abundante do crosta terrestre (aproximadamente 5%) e, entre os metais, somente o alumínio é mais abundante.Sua temperatura de fusão é de 1.535 ºC.Uma panela de ferro, com temperatura inicial de - 10 ºC, foi aquecida até 30 ºC. O gráfico a seguir representa a variação da temperatura da panela em função do tempo gasto nessa experiência.

Resolva cada item a seguir, de acordo com o enunciado dessa questão.

A) A panela de ferro derreteu nos 5 minutos de aquecimento? Justifique por escrito sua resposta.

B) Determine e escreva a função que fornece a temperatura T da panela com a variação do tempo t.

C) Calcule em quanto tempo após o início da experiência a temperatura da panela atingiu 0ºC.

D) Calcule o intervalo de tempo no qual a temperatura da panela ficou positiva.

Resposta:

A) A panela de ferro não derreteu nos 5 primeiros minutos de aquecimento porque a temperatura alcançou 30ºC e a temperatura de fusão do ferro é de 1535ºC.

B) Função que fornece a temperatura (T) da panela de ferro em função do tempo de aquecimento (t):

A equação da reta édo tipo: Y = a x + b, na qual o coeficiente a corresponde a inclinação da reta e o coeficiente linear b é o ponto deInterseção da reta com o eixo y. Então temos:

e então a função será:

39

T (ºC)

t (min)

0

- 10

30

5

.

Fonte: marmeleiro. blogs.sapo.pt

T (ºC)

t (min)

0

- 10

30

5

.

C) Cálculo do tempo gasto, após o início da experiência, para que a temperatura da panela atinja 0ºC.

D) Cálculo o intervalo de tempo no qual a temperatura da panela ficou positiva.

Calculando a raiz da função temos:

A temperatura permaneceu positiva de 1 min e 15 s até 5 min totalizando um intervalo de 3 min e 45 sou 5 min – 1,25 min = 3,75 min

QUESTÃO (Descritor: calcular o ponto de interseção de uma função do 1º grau e outra do 2º grau no mesmo sistema cartesiano em um gráfico.)


Assunto: Funções

Um foguete, lançado acidentalmente de uma base militar, cairá perigosamente de volta à Terra.

A trajetória plana do mesmo segue o gráfico de . Para interceptá-lo, da mesma base é lançado

um míssil, cuja trajetória é dada pela função .

O.B.S: As variáveis x e y são medidas em metros.Resolva o que se pede a seguir:A) Faça um esboço do gráfico dessas duas funções no mesmo sistema cartesiano.

B) Calcule a que altura do solo o foguete deverá ser atingido.

Resposta:

A) Esboço Gráfico

Ponto de Interseção dos gráficos:

x’ = 0 e x” = 150

B) Cálculo da altura em relação ao solo na qual o foguete foi atingido:

Como podemos observar no gráfico acima o foguete foi atingido a uma altura de 7500 m.

40

Foguete

Míssil

0

Y (m)

X (m)

200150

7500

QUESTÃO (Descritor: calcular a distância entre as raízes de uma equação do 2º grau cujo valor mínimo é conhecido)


Assunto: Funções

A urbanização de determinadas áreas de uma cidade prevê a instalação de iluminação pública com postes de 7 m de altura, de modo que a distância entre o cabo de energia e o solo nunca seja inferior a 6 m.

Admitindo que a curva formada pelo cabo de energia possa ser descrita pela parábola

(unidades em metros), calcule a distância máxima d, em metros, entre dois postes de iluminação vizinhos (consecutivos).

Resposta:

Esboço gráfico:

Então a distância máxima entre dois postesconsecutivos é a distância do ponto de abscissa-10 ao ponto de abscissa 10 que correspondea 20 m.

41

6 m7m

x

x- x d

y

(m)

(m)

0

f (x) (m)

x (m)

-10

6

10

7

Fonte: Revista Veja - Editora Abril

QUESTÃO (Descritor: aplicar o conceito de relação para solucionar o problema proposto)


Assunto: Funções

Leia, atentamente, o anúncio a seguir, publicado na revista Veja:

Marque a opção que não apresenta uma relação baseada na reportagem acima:

A) A evolução das técnicas e do instrumental cirúrgico e o número de procedimentos cirúrgicos.B) A idade média dos pacientes que realizam cirurgias plásticas e o número de procedimentos cirúrgicos.C) Total de cirurgias plásticas por hora no país e a satisfação dos pacientes.D) O aprimoramento das técnicas e do instrumental cirúrgico e a segurança das intervenções estéticas.

Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: determinar a expressão de uma função do 2º grau que represente a variação da altura em função do tempo de acordo com o problema proposto)


Assunto: Funções

Um menino chutou uma bola em um campo de futebol totalmente plano.A bola atingiu altura máxima de 12 metros e retornou ao solo 8 segundos após o chute.Sabendo que uma função do 2º grau expressa a altura (H) da bola em função do tempo (t) de percurso, marque a opção que apresenta corretamente essa função.

A)

B)

C)

D)

Resposta: Letra D

42

QUESTÃO (Descritor: utilizar os conceitos de variáveis dependente e independente, bem como interpretação do gráfico apresentado)


Assunto: Funções

No gráfico a seguir estão representadas as velocidades de duas partículas A e B em função do tempo.Essas partículas partem de um mesmo ponto, a partir do repouso, e percorrem uma mesma trajetória retilínea.

Marque a afirmativa CORRETA relacionada ao gráfico apresentado.

A) A velocidade é uma variável dependente e o tempo é uma variável independente.B) No instante de tempo de 4 segundos as duas partículas se encontram.C) A velocidade de cada partícula independe do tempo considerado.D) Após o tempo de 4 segundos a partícula A está na frente da partícula B.

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: determinar o valor dos coeficientes de uma função do 1º grau a partir do gráfico apresentado)


Assunto: Funções

A figura a seguir representa o gráfico da função f (x) = ax + b.

Marque a opção que apresenta o valor CORRETO da razão .

A) - 4

B) 4

C) -

D)

43

Tempo (s)

Velocidade (m/s)

1 2 3 40

10

Partícula A

Partícula B

f (x)

x

4

3

0

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: identificar se o gráfico apresentado representa uma função)


Assunto: Funções

Durante uma prática de laboratório sobre o processo químico de destilação simples, um aluno, coletou os dados relacionados ao volume de água coletado no recipiente erlenmeyer com o passar do tempo.Após o final da experiência esse aluno confeccionou um gráfico Volume x Tempo, utilizando os dados obtidos. Observe, atentamente, o gráfico desenhado por ele, a seguir:

Após minuciosa análise gráfica, marque a opção CORRETA relacionada ao gráfico.

A) Representa uma função f que relaciona todos os elementos do intervalo de tempo [ 20 min, 45 min ] a apenas um elemento pertencente aos números reais.

B) Não representa uma função de [ 20 min, 45 min ] em porque existe elemento t [ 20 min, 45 min ] com mais de uma imagem.

C) Não representa uma função de [ 20 min, 45 min ] em porque existe elemento V que não é imagem de qualquer t [ 20 min, 45 min ].

D) Representa uma função f que relaciona todos os elementos do intervalo de tempo [ 20 min, 45 min ] a elementos pertencentes ao intervalo [ 20 ºC, 40 ºC ].

Resposta: Letra B

44

Destilação Simples Gráfico Volume x Tempo

V ( cm3 )

t ( min )

20

30

40

20 45

Recipiente denominado

Erlenmeyer

QUESTÃO (Descritor: determinar a expressão de uma função do 1º grau a partir do gráfico apresentado)


Assunto: Funções

O gráfico a seguir mostra como o dinheiro gasto (Y) por uma empresa, na produção de óleo, varia com a quantidade de óleo produzida (X).

Marque a opção que apresenta uma afirmativa CORRETArelacionada às informações fornecidas.

A) Quando a empresa não produz nada, não gasta nada.

B) Se a empresa gasta R$ 170,00, então ela produz 5 litros de óleo.

C) Para produzir 1 litro de óleo a empresa gasta R$ 54,00.

D) Para fabricar o terceiro litro de óleo, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro.

Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: representar a função de 2º grau de acordo com o problema proposto e calcular o seu máximo)


Assunto: Funções

Observe a seguir uma representação plana de um recinto no qual um proprietário deseja construir um depósito. A área destinada ao depósito é a soma das áreas dos retângulos sombreados.

Determine a medida x, indicada na figura, de modo que a área do depósito seja máxima.

Resposta:Cálculo do máximo da função:

Considerando A (x) = Área da região sombreada na figura temos:

A (x) = x . ( 27 m - x ) + x . ( 21 m - x )

A (x) =

A área máxima é de 288 m 2 e acontece quando x = 12 m.

45

Y (R$)

X (litros)

190

20

50

x

x

27 m

21 mDepósito

Depósito

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor de uma função do 2º grau para dado valor de x e interpretar esse resultado de acordo com o problema apresentado)


Assunto: Funções

Um mergulhador queria resgatar a caixa preta de um avião que caiu em um rio amazônico. Como havia um pouco de correnteza, a trajetória descrita pelo mergulhador foi como na figura abaixo.

Sabendo que a distância horizontal do bote de resgate ao local onde estava a caixa é de 5 m e que a trajetória do

mergulhador é descrita pela função f (x) = , marque a opção que apresenta o valor CORRETO

da profundidade que o mergulhador terá de alcançar.

A) 23,4 mB) 19,5 mC) 33,2 mD) 55,7 m

Resposta: Letra B

46

Y (m)

X (m)

5 m

QUESTÃO (Descritor: para uma função representada a partir de seu gráfico: calcular o valor mínimo, determinar os intervalos do domínio nos quais a função é decrescente e calcular o valor da função para um determinado valor de x) Nível de Dificuldade: Fácil

Assunto: Funções

Na figura a seguir está representado o gráfico da função y = f (x).

Com relação a essa função resolva cada item.

A) Determine os intervalos nos quais a função f (x) é decrescente.

B) Calcule o valor mínimo da função.

C) Calcule o valor de f ( f ( -2 )).

Resposta:A) Intervalos nos quais a função f (x) é decrescente:

] - , - 2 ], [ 1, 4 ]

B) Mínimo da função: f (x) = - 3

C) f ( f ( - 2 ) ) = f ( 3 ) = 0

47

Gráfico da Função y = f (x)

QUESTÃO (Descritor: estudar o sinal da função do 2º grau que representa a questão apresentada bem como calcular seu máximo e maximante)


Assunto: Funções

Pesquisadores do departamento de Microbiologia da Universidade de Massachusetts, nos Estados Unidos, descobriram uma superbactéria. Ela é extremamente resistente e está derrubando os limites em que os cientistas acreditavam que a vida fosse possível.

Essa bactéria suporta altas temperaturas. Só para se ter uma idéia, ela vive normalmente a 130 graus Celsius e cercada de substâncias tóxicas, em um ambiente completamente inóspito, sem luz, sob uma pressão atmosférica incrível, nas chaminés vulcânicas submarinas, bem longe do contato com seres humanos.

A temperatura de uma estufa, em graus centígrados, utilizada para esterilização de materiais, é regulada em

função do tempo t em segundos, de acordo com a lei f (t) = , sendo t 0.


A) A temperatura máxima alcançada pela estufa citada acima é suficiente para matar a superbactéria?Justifique sua resposta por escrito, utilizando argumentos matemáticos.

B) Calcule o tempo para o qual a temperatura da estufa é máxima.

C) Calcule o intervalo de tempo para o qual a temperatura da estufa é negativa.

Resposta:A) Cálculo da temperatura máxima alcançada pela estufa.

Temperatura Máxima da Estufa = 121 ºC,Não é suficiente para matar a bactéria que vivenormalmente a 130ºC.

B) No tempo de 9 segundos a estufa alcança a temperatura máxima.

C) A partir de 20 segundos a temperatura da estufa é negativa ( abaixo de 0ºC )

48

Estufa de Esterilização e Secagem Marca Fanem

QUESTÃO (Descritor: determinar a função do 2º grau que corresponda ao gráfico apresentado e calcular o mínimo dessa função)


Assunto: Funções

Na produção de x unidades mensais de um certo produto, uma fábrica tem um custo, em reais, descrito pela função de 2º grau, representada parcialmente na figura.

Calcule o custo mínimo, em reais, dessa fábrica.

Resposta:Cálculo do mínimo da função:

Considerando C (x) = Custo em reais para a produção de x unidades temos:

C (x) =

c = 900, como a parábola passa pelos pontos ( 10, 700 ) e ( 40, 1300 ) podemos calcular o valor dos coeficientes a e b através do sistema:

C (x) =

Mínimo =

49

Custo (R$)

X (unidades)

10 40

700

900

1300 .

..

0

QUESTÃO (Descritor: fazer um esboço do gráfico de uma função do 2º grau, estudar seu sinal e calcular o valor que corresponderá ao lucro máximo)


Assunto: Funções

O lucro L obtido por uma companhia de viagens em certa excursão é função do preço x cobrado. Se x for um número muito pequeno, o lucro é negativo, ou seja, a companhia de viagens terá prejuízo. Se x for um número muito grande, o lucro também será negativo porque poucas pessoas farão a excursão. Um economista, estudando a situação, deduziu a fórmula para L em função de x: .O.B.S: A unidade de L e x é R$.

A) Calcule para quais valores de x: a companhia de viagens terá lucro; não terá nem lucro nem prejuízo; terá prejuízo.

B) Calcule quanto essa companhia deverá cobrar pela excursão para ter lucro máximo.

Resposta:A) Cálculo para quais valores de x: a companhia de viagens terá lucro; não terá nem lucro nem prejuízo; terá prejuízo. Esboçando o gráfico da função (em relação ao eixo x) que relaciona o Lucro (L) com o preço (x) a ser cobrado temos:

A companhia terá lucro se o preço da viagem estiver entre R$ 20,00 e R$ 70,00 , ou seja R$ 20,00 < x < R$ R$ 70,00.

A companhia não terá nem lucro nem prejuízo se o preço da viagem for R$ 20,00 ou R$ 70,00.

A companhia terá prejuízo se o preço da viagem for menor que R$ 20,00 ou maior que R$ 70,00ou seja x < R$ 20,00 ou x > R$ R$ 70,00.

B) Cálculo do valor a ser cobrado para se ter lucro máximo.Cálculo da abscissa do vértice da função (ponto de máximo):

50

x

7020

+

- -

QUESTÃO (Descritor: estabelecer a função entre duas variáveis com a finalidade de calcular as incógnitas A e B apresentadas na tabela )


Assunto: Funções

O carrinho representado na figura abaixo se move em uma estrada retilínea com velocidade constante. A tabela indica a posição D do carrinho em determinado instante T de tempo. É possível afirmar corretamente que:

A) Se A = 1,0, então B = 0,5. B) Se A = 1,0, então B = 0. C) Se A = 2,0, então B = 1,0. D) Se A = 2,0, então B = 1,5

Resposta: Letra B

QUESTÃO (Descritor:interpretar os gráficos apresentados e identificar o que representa a variação de uma bola em função do tempo ao ser lançada verticalmente para cima)


Assunto: Funções

Jussara lança uma bola verticalmente para cima. Desprezando qualquer tipo de atrito, suas colegas Júlia, Juliana, Janaína e Janete, traçaram os seguintes gráficos. A colega de Jussara que traçou um gráfico que pode representar a velocidade da bola em função do tempo, até o ponto mais alto da trajetória, foi:

A) Júlia. B) Juliana. C) Janaína. D) Janete.

Resposta: Letra A

51

L

L

Fonte: Site / sofisica.com.br (adaptação)

QUESTÃO (Descritor: identificar a afirmativa correta a partir da relação entre grandezas apresentadas no problema em questão )


Assunto: Funções

Pêndulo simples é um instrumento ou uma montagem que consiste num objeto que oscila em torno de um ponto

fixo. O tempo que um Pêndulo leva para efetuar uma oscilação completa é chamado Período e representado pela letra (T). Esse tempo pode ser calculado, aproximadamente, pela expressão:

, em que L, em cm, representa o comprimento do fio do pêndulo.

Marque a seguir a afirmativa CORRETA de acordo com as informações dadas.

A) A relação entre período e comprimento do pêndulo representa uma função do 6º Grau.B) Se o valor do comprimento do pêndulo for 640 cm, seu período será 2 segundos. C) O período do pêndulo não se altera quando variamos o seu comprimento.D) Se multiplicarmos por 2 o valor do comprimento do pêndulo, o seu período duplicará.

Resposta: B

52

QUESTÃO (Descritor: calcular um dos catetos de um triângulo retângulo, utilizando o teorema de Pitágoras)


Assunto: Funções

A seguir está representada uma “parte” de uma das historinhas da revistinha da Magali intitulada de:

Após analisar a “historinha” e considerando que a forma da rede, após instalada pela Magali nas árvores, pode ser

representada pela função Y = - 0,4 X 2 + 0,8 X (em metros) e considerando as árvores como raízes dessa função, resolva cada item a seguir:

a) Calcule a distância entre as árvores utilizadas pela Magali para fixar sua rede.

b) A Mônica, num determinado instante, pulou no ponto central da rede e ela desceu o máximo possível. Calcule a altura do ponto mais baixo da rede ao chão após ser instalada pela Magali e antes do “pulo” da Mônica.

Resposta:

a) Cálculo da distância entre as árvores ( distância entre as raízes da equação):

- 0,4 X 2 + 0,8 X = 0X . ( - 0,4 X + 0,8 ) = 0 raízes = 0 e 2 distância entre as raízes = 2 m

b) Cálculo do Mínimo da Função:

Yv = - 0,4 (1) 2 + 0,8 (1) = 0,4 m = 40 cm

53

Fonte: Revistinha da Magali - Número 399 - Agosto 2006 / Maurício de Souza Editora

y

x

m

p

QUESTÃO (Descritor: determinar o resultado de um problema utilizando semelhança de triângulos.)


Assunto: Geometria Plana

Na figura a seguir, os ângulos assinalados são retos.

Marque a opção que apresenta uma relação VERDADEIRA entre os lados x, y, m e p da figura acima.

A)

B)

C)

D)

Resposta: Letra D

QUESTÃO (Descritor: determinar o resultado de um problema utilizando semelhança de triângulos.)



As bases de um trapézio isóceles ABCD (representado na figura) medem 50 cm e 30 cm. A altura desse trapézio é de 10 cm.

Prolongando-se os lados não-paralelos, eles se interceptam em um ponto E.

Marque a opção que apresenta a altura CORRETA, em centímetros, do triângulo ABE.

A) 25B) 20C) 16D) 15

Resposta: Letra A

54

.

.

A B

CD

E

F

A

B P

C D

2 3

4

12

QUESTÃO (Descritor: determinar o resultado de um problema utilizando a conseqüência do teorema de Tales)



Na figura abaixo, o segmento de reta é paralelo ao segmento (base do triângulo ACD).

As medidas indicadas na figura estão em centímetros.

Podemos afirmar, CORRETAMENTE, que:

A) O triângulo ABP é semelhante ao triângulo ACD,porque todos os triângulos são semelhantes entre si.

B) O perímetro do triângulo ABP é a metade doperímetro do triângulo ACD.

C) Se o segmento BC é o dobro do segmento AB, então,o segmento PD é o dobro do segmento AP, medindo 6 cm.

D) De acordo com o teorema de Tales, o segmento BP é do segmento CD, portanto o perímetro do triângulo

ABP é 9 cm.

Resposta: Letra D

55

QUESTÃO (Descritor: calcular medidas desconhecidas utilizando as relações métricas em um triângulo retângulo)



A professora de Matemática pediu aos alunos que levassem, na próxima, aula um triângulo retângulo de papel com as seguintes características:

A altura relativa à hipotenusa deveria ser no máximo 30 cm.

Sua área mínima seria de 500 cm2

. O maior dos catetos não poderia ultrapassar a medida de 50 cm.

Marcelo recortou um triângulo de papel de acordo com a figura ao lado:

Marque a alternativa CORRETA a seguir:

A) Marcelo não conseguiu confeccionar um triângulo com todas as características definidas pela professora.

B) O triângulo de papel que Marcelo recortou possui todas as característicaspré-determinadas pela professora.

C) A professora pediu aos alunos que realizassem uma tarefa que, devido às condições impostas, seria impossível de ser realizada.

D) A única característica que o triângulo retângulo confeccionado por Marcelo não possui, é área mínima de 500

cm2

.

Resposta: Letra A

56

QUESTÃO (Descritor: resolver o problema proposto utilizando o teorema de Pitágoras)



Após uma manhã de pescaria mal sucedida, Chico Bento retorna para casa com sua vara de pescar de 2,0 metros de comprimento e uma latinha completamente vazia. Ao chegar em casa, ele deseja guardar sua vara de pescar sem danificá-la, de maneira que a mesma fique completamente dentro de uma caixa cúbica de dimensões 1,5 metros.

Podemos afirmar CORRETAMENTE que o Chico Bento:

A) não conseguirá colocar sua vara de pescar inteiramente no interior da caixa em nenhuma posição, porque o comprimento da mesma é de 2 m e as dimensões da caixa são de 1,5 m.

B) conseguirá guardar sua vara de pescar na caixa em qualquer posição, porque a soma das dimensões da caixa ultrapassa o comprimento da vara.

C) conseguirá colocar a vara de pescar inteiramente na caixa somente se optar pela posição da diagonal da base da caixa.

D) poderá optar por duas posições, a diagonal da caixa cúbica ou a diagonal da base da caixa, as quais possuem

comprimento maior que o da sua vara de pescar.

Resposta: Letra D

QUESTÃO (Descritor: calcular um dos catetos de um triângulo retângulo, utilizando o teorema de Pitágoras)



É comum encontrarmos uma ripa na diagonal de portões de madeira como nesse apresentado na foto a seguir. Isso se deve a rigidez dos triângulos, que não se deformam com movimentos.

O portão de uma fazenda mede 1,20 m de comprimento e a ripa,que forma a diagonal, mede 1,36 m.

Marque a opção que apresenta a altura correta desse portão.

O.B.S: Considere o portão perpendicular ao solo.

A) 2,56 mB) 1,80 mC) 0,64 mD) 0,16 m

Resposta: Letra C

57

Fonte: Foto de Neil Rabinowitz

QUESTÃO (Descritor: determinar o caso de semelhança entre dois triângulos na figura dada.)



Observe atentamente a figura a seguir.

Nessa figura DEFG é um quadrado, e o ângulo é reto.

Escreva uma argumentação matemática que demonstre a semelhança dos triângulos ADG e GCF.

Resposta:Como DEFG é um quadrado, os segmentos de reta e são paralelos.

Então os segmentos de reta e ( base do triângulo ABC ) também são paralelos.

Os ângulos e assinalados na figura são

correspondentes, portanto são congruentes.

Se = então os triângulos ABC e CGF,

possuem dois ângulos congruentes ( 90º e = ).

Podemos então comprovar que os triângulos ABC e CGF são semelhantes de acordo com o Caso A.A.

58

/

/

QUESTÃO (Descritor: determinar o valor de uma incógnita utilizando semelhança de triângulos.)



Na figura que se segue as retas r e s são paralelas.


A) Justifique, por escrito, a afirmação: Os triângulos ABC e CED são semelhantes.

B) Calcule o valor de X na figura acima.

C) Calcule a medida do segmento de reta .

Resposta:

A) Os triângulos ABC e CDE possuem ângulos opostos pelo vértice ( os quais são congruentes ).

Os ângulos e assinalados

na figura, são alternos internos, portanto são congruentes.

Então os triângulos ABC e CDE são semelhantes pelo Caso A.A.

B) Cálculo do valor de X:

Relação entre os lados homólogos dos triângulos semelhantes ABC e CDE

C) Cálculo da medida do segmento

Relação entre os lados homólogos dos triângulos semelhantes ABC e CDE

QUESTÃO (Descritor: explicar o cálculo do valor de uma incógnita utilizando semelhança de triângulos)

59



Um dos matemáticos gregos da antiguidade clássica foi Tales, que viveu de 640 a 550 a.C.Ele era de Mileto, uma região outrora rica da Grécia.Consta que foi bom comerciante e que,após enriquecer, pôde se retirar dosnegócios e dedicar-se aos estudos, especialmente à matemática.Assim, embora só tardiamente tenha se dedicado aos estudos,Tales foi reconhecido, ainda em vida, como o “pai da astronomia,da geometria e da aritmética”, e considerado o primeiro dos setesábios da Grécia.

Um fato histórico pelo qual ele é sempre lembrado é o de ter calculado a medida da altura da pirâmide de Quéops através da semelhança de dois triângulos.Consta que, no plano onde se assenta a pirâmide, Tales fez fincar uma estaca na posição vertical e observou simultaneamente a sombra da estaca projetada pela luz do Sol e a sombra da pirâmide.

Escreva o procedimento matemático utilizado por Tales, que o possibilitou obter a altura da pirâmide de Quéops.

Resposta:

Como os triângulos eram semelhantes,

Tales estabeleceu a seguinte relação:

Como eram conhecidas as variáveis medida da sombra da pirâmide, medida da altura da estaca e a medida da sombra da estaca, Tales pôde então calcular a medida da altura da pirâmide através da equação do 1º grau acima.

60

QUESTÃO (Descritor: calcular a altura de um objeto a partir da semelhança de triângulos.)



A Luz propaga-se em linha reta.

Há vários exemplos que comprovam esse princípio. A câmara escura é um deles.Ela consiste numa caixa de paredes opacas, com um pequeno orifício em uma delas, pelo qual a luz penetra. O anteparo ( a parede oposta ao orifício ) deve ser de material translúcido, como, por exemplo o papel vegetal. Colocando um objeto em frente ao orifício, sua imagem aparecerá invertida no anteparo. O papel vegetal possibilita ao observador ver a ocorrência dessa imagem, que será tanto menor quanto mais afastado se encontrar o objeto.

Os triângulos formados fora e dentro dessa câmara escura são semelhantes

A figura a seguir mostra a chama de uma vela de 2,0 cm de altura diante de uma câmara escura.De acordo com as medidas, determine a altura da imagem da chama

Resposta:

Cálculo da altura da chama ( h ):

61

QUESTÃO (Descritor: efetuar cálculos, utilizando as relações métricas no triângulo retângulo, para solucionar o problema proposto.)



Determine o lado a de um triângulo ABC, sabendo que b . c = 7 dm e que a altura relativa à hipotenusa, h = 2,4 dm.

Resposta:

Cálculo do valor da hipotenusa:

62

.a

A

B

Cb

ch

90º

.a

A

B

Cb

ch

90º m

n

QUESTÃO (Descritor: utilizar relações métricas no triângulo retângulo para solucionar o problema proposto)



Num triângulo retângulo, a projeção de um cateto sobre a hipotenusa é o dobro da projeção do outro cateto sobre a hipotenusa. Sabendo que a altura correspondente à hipotenusa mede 1 cm, resolva o que se pede a seguir:

A) Faça um desenho esquemático representativo da questão.

B) Calcule a medida da hipotenusa.

Resposta:

A) Esquema matemático representativo da questão:

B) Cálculo da hipotenusa:

O valor da hipotenusa é de 4,5 cm

63

C.a = ?

A

B

h = 1 cm

90º 2n

n

QUESTÃO (Descritor: determinar o comprimento de uma corda da circunferência utilizando teorema de Pitágoras)



Dois círculos concêntricos, isto é, possuem o mesmo centro, têm raios que medem 20 cm e 36 cm.Observe a figura a seguir.

Calcule o comprimento da corda do círculo maior, tangente ao círculo menor.

O.B.S: A tangente à um círculo, forma um ângulo de 90º com o raio dessecírculo no ponto de tangência.

Resposta:

Cálculo do comprimento da corda:

Considerando metade da corda = x temos:

, então a medida da corda é

64

.36 cm

20 cm

CORDA

.36 cm

20 cm

x

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor da soma de incógnitas utilizando as relações métricas no triângulo retângulo.)



Observe o triângulo retângulo representado a seguir:

Calcule o valor da soma a + b + c2

.

Resposta:Cálculo das incógnitas a, b e c

Cálculo da soma a + b + c2

=

65

QUESTÃO (Descritor: calcular o perímetro de um circuito utilizando a conseqüência do Teorema de Tales )



Figuras semelhantes são muito utilizadas na cartografia para confecção de mapas.

O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S.

Assinale a alternativa, a seguir, que indica corretamente o valor do perímetro do circuito.

A) 19,5 km.B) 20,0 km.C) 22,5 km.D) 24,0 km.

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: utilizar o teorema de Pitágoras com a finalidade de identificar os Ternos de números Pitagóricos)



Ternos de Números Inteiros Positivos a, b e c que obedecem à relação são chamados Ternos

Pitagóricos.

Marque a alternativa a seguir que apresenta Ternos Pitagóricos.

A) 9, 10 e15B) 7, 10 e 11C) 11, 60 e 61D) 12, 13 e 24

Resposta: Letra C

66

Rua TS = 3 km

Rua SQ = 3 km

Rua PQ = 2 km

Av. QR = 4 km

QUESTÃO (Descritor: calcular o tamanho de um segmento de reta utilizando a conseqüência do Teorema de Tales )



Na construção civil (ou em qualquer atividade econômica), devemos fazer um uso racional de recursos. Faz-se necessário, em certos casos, efetuar medições que, por sua vez, geram custos. Podemos usar segmentos proporcionais para diminuir esses custos.A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações.

Analisando a figura e admitindo que as linhasretas r, s e t sejam paralelas, marque a alternativa que apresenta o valor correto da medida da barragem.

A) 33 mB) 38 mC) 40 mD) 48 m

Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: calcular o ângulo agudo de um triângulo retângulo utilizando a tabela apresentada e os dados fornecidos no problema em questão)



Em certa hora do dia, um poste de 5 m de altura projeta uma sombra de 1,85 m.De acordo com a tabela a seguir, marque a opção que possui o valor aproximado do ângulo de inclinação do sol nesse momento.

Seno Cosseno Tangente68º 0,92 0,37 2,469º 0,93 0,35 2,670º 0,94 0,34 2,771º 0,95 0,32 2,9

A) 68º B) 69º C) 70º D) 71º

Resposta: Letra C

67

56 m

24 m30 m

Rio

Barragem

r

s

t

QUESTÃO (Descritor: estabelecer o caso de semelhança entre dois triângulos, calcular a razão de semelhança entre eles a partir de suas áreas bem como calcular alguns de seus segmentos)



O triângulo ABC determina uma região plana com área de 120 cm2. O triângulo DEC determina também uma região plana, mas sua área é de 270 cm2.

Resolva cada item que se segue:

A) Escreva qual é o caso de semelhança entre os triângulos ABC e DEC.

B) Calcule a razão de semelhança entre os triângulos DEC e ABC.

C) Calcule a medida dos segmentos , e .

Resposta:

A) Caso de semelhança Ângulo – Ângulo (A.A)

B) Cálculo da razão de semelhança =

Os segmentos de reta do triângulo DEC são 1,5 vezes maior que os segmentos de reta dotriângulo ABC.

C)

68

. .A

B

C D

E

3y - 3

z + 11

z 4x - 1

4y

x

AB = x = 10 cm

CD = 4y = 36 cm

DE = z = 15 cm

. .A

B

C D

E

3y - 3

z + 11

z 4x - 1

4y

x

QUESTÃO (Descritor: calcular a área de um triângulo retângulo utilizando quatro artifícios diferenciados) Nível de Dificuldade: Médio


O proprietário de um sítio deseja construir um jardim na forma de um triângulo retângulo (ABC) de acordo com a figura a seguir. Essa área será toda gramada.

Calcule a área de grama que esse proprietário deverá comprar utilizando quatro artifícios distintos, matematicamente corretos.

Resposta:

Cálculo da área de grama:

1 º Artifício :

2 º Artifício :

3 º Artifício :

4 º Artifício :

69

.

.4,8 m

8 m6 m

3,6 m

10 m

A

B C.

H

D.

..4,8 m

8 m6 m

3,6 m

10 m

A

B C

QUESTÃO (Descritor: escrever um pequeno texto que apresente uma maneira de calcular a razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes, sem a necessidade de se calcular cada área separadamente)



Os dois triângulos retângulos da figura ao lado são semelhantes.

Escreva um pequeno texto, utilizando argumentação matemática correta, que explique como podemos calcular a razão entre as áreas desses triângulos, sem calcular a área de cada um separadamente.

Resposta:

Primeiramente devemos calcular a razão de semelhança entre os comprimentos dos lados homólogos dos triângulos I e II. O valor dessa constante elevado ao quadrado representará a razão entre as áreas dos triângulos I e II respectivamente.

Exemplo:

Cálculo da razão entre os lados homólogos:

então a constante de proporcionalidade é de

A razão entre as áreas dos triângulos I e II respectivamente será de .

Isso quer dizer que a área do triângulo I é aproximadamente 3 vezes maior que a área do triângulo II.

QUESTÃO (Descritor: calcular a quantidade de degraus para substituir uma rampa utilizando razões trigonométricas no triângulo retângulo – sen 30º)



Marque a opção que possui a quantidade correta de degraus, de 19 cm de altura, que são necessários para substituir uma rampa de 9,5 m de extensão com inclinação de 30º com o solo.

A) 30B) 25C) 20D) 15

Resposta: Letra B

70

III

QUESTÃO (Descritor: calcular a distância mencionada no problema proposto utilizando semelhança de triângulos)



Durante um dia ensolarado, foram fixadas varetas de diversos comprimentos no chão.Como os raios de Sol são aproximadamente paralelos, todosos triângulos formados pelas varetas e as suas sombras sãosemelhantes. Utilizando essa propriedade, resolva o problemaa seguir:

Um pinheiro de 7,2 m projeta no solo uma sombra de 11,2 m.Dois passarinhos pousaram nessa árvore, um bem perto dotopo e o outro um pouco mais abaixo. Se a distância entre as sombras que esses passarinhos projetamno chão é de 4,2 m, calcule o valor da distância entre os dois passarinhos.

Resposta:

Cálculo da distância (d) entre os passarinhos:

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor do raio de uma circunferência a partir da relação entre duas secantes)



Por um ponto P exterior e situado a 5 m do centro de uma circunferência, traça-se uma secante que encontra a circunferência em dois pontos M e N, cujas distâncias ao ponto P são respectivamente 2 m e 8 m, de acordo com a figura a seguir. Marque a seguir a afirmativa CORRETA.

A) As duas secantes possuem o mesmo comprimento.B) O diâmetro da circunferência é 3 m.

C) O segmento é o dobro do segmento .

D) O comprimento da circunferência é 3 m.

Resposta: Letra A

71

..PC

M

O r D

N

QUESTÃO (Descritor: fazer um desenho representativo do problema em questão e calcular certa distância, utilizando relações métricas no triângulo retângulo)



Pedro desenhou um retângulo ABCD com dimensões e .

Depois ele traçou a diagonal e o segmento mais curto possível interligando o ponto a um ponto de .

Resolva o que se pede a seguir:

A) Faça um desenho que represente a figura confeccionada por Pedro, indicando os dados fornecidos acima.

B) Calcule a medida do segmento mais curto possível, desenhado por Pedro, interligando o ponto a um ponto

de .

Resposta:

A) Desenho representativo: B) Cálculo do segmento :

QUESTÃO (Descritor: utilizar o conceito de proporcionalidade de segmentos de reta e base média de um trapézio para solucionar o problema proposto)



As bases de um trapézio medem 3 cm e 9 cm. Os segmentos x, y e z, determinados pelas diagonais do trapézio sobre a base média, são proporcionais aos números:

A) 1, 1, 1B) 1, 2, 1C) 1, 4, 1D) 2, 3, 4

Resposta: Letra B

72

A B

CD

6 cm

8 cm

90º

h

xy

z

9 cm

3 cm

Base média = 6 cm

QUESTÃO (Descritor: calcular a razão entre os três lados de um triângulo retângulo a partir das razões trigonométricas do ângulo dado identificando assim a relação verdadeira) Nível de Dificuldade: Fácil


Acredita-se que a palavra seno surgiu a partir do seguinte fato:Por volta do ano 500, os hindus utilizavam para seno a palavra ardha-jya, que em sânscrito significa “meia corda”. Esta palavra foi abreviada para jya; escrevendo-a em árabe, virou jyba. Como os árabes omitiam vogais, então o símbolo para a palavra jyba era jb, que também poderia ser lida como jayb, palavra que significa golfo ou seio. Em aproximadamente 1.150, os europeus traduziram os trabalhos dos árabes interpretando o símbolo jb como jayb e usaram o equivalente em latim: sinus, dando origem então à palavra seno, sendo uma das relações trigonométricas que nos permite estabelecer uma relação entre um dos lados de um triângulo retângulo (cateto oposto) e a hipotenusa desse mesmo triângulo

Considere o triângulo retângulo da figura apresentada e marque a opção que apresenta uma relação verdadeira.

A) Cateto oposto = Cateto adjacente B) Hipotenusa = 2 . Cateto adjacenteC) Cateto adjacente = 2 . Cateto opostoD) Hipotenusa = 2 . Cateto oposto

Resposta: Letra B

QUESTÃO (Descritor: calcular distâncias e consumo utilizando as relações métricas em um triângulo retângulo)



Analise atentamente a representação Matemática das posições relativas entre as cidades A, B e E a seguir.Um motorista, dirigindo um veículo cujo consumo é de 16 km por 1 litro de combustível, foi da cidade A até a cidade E passando pela cidade B.

Marque a alternativa CORRETA.

A) A distância percorrida pelo veículo foi de 41 km.B) O consumo de combustível foi de 2,25 litros.C) O menor caminho que interliga as cidades A e E mede 15 km.

D) Percorrendo o trajeto cidade A B E A, o veículo percorreria mais que 48 km .

Resposta: Letra B

73

QUESTÃO (Descritor: calcular um segmento de reta através da relação entre cordas de uma circunferência)



Analise atentamente a figura que representa o contorno de um jardim circular todo gramado de centro O.

Há uma placa no jardim com os dizeres: “Não Pise na Grama” (localizada no ponto P) e algumas medidas indicadas nessa figura. Quatro pessoas estão localizadas nos pontos A, B, C e D da circunferência. Marque a afirmativa CORRETA.

A) As cordas representadas pelos segmentos de retas

e são congruentes.

B) O segmento de reta excede em 2 m o segmento

de reta , sendo ambos cordas da circunferência.

C) A pessoa localizada no ponto C está mais distante daplaca de advertência quando comparada as demais.

D) Utilizando a relação entre cordas de uma circunferência,

pode-se concluir, corretamente, que . = . .

Resposta: Letra B

QUESTÃO (Descritor: calcular o lado de um pentágono regular inscrito em uma circunferência de raio r)



A seguir foi apresentada uma figura na qual um pentágono regular está inscrito em um círculo de raio r e centro C.Considerando que: sen 36º = 0,59, cos 36º = 0,81 e tg 36º = 0,73; marque a opção que possui o valor do lado desse pentágono em relação ao raio r do círculo.

A) 0,57 rB) 0,73 rC) 0,97 rD) 1,18 r

Resposta: Letra D

74

O

AC

D

P

9 m 4 m

3 m

B

C

r

QUESTÃO (Descritor: calcular o raio de um círculo a partir da relação entre tangente e secante e o comprimento desse círculo bem como seu diâmetro)



Evolução tecnológica não tem mesmo fim!

Ultimamente a “Samsung” está desenvolvendo teclados para computadores na forma circular como o apresentado na figura a seguir, na qual C é o centro desse círculo. Observe também algumas medidas em centímetros apresentadas nessa figura.

Marque a afirmativa CORRETA referente às informações fornecidas.

A) Esse teclado possui o comprimento aproximado de251 cm.

B) Para utilizar esse tipo de teclado, o espaço mínimo deveráter, pelo menos, 50 cm de largura e comprimento.

C) O raio desse teclado é de 20 cm, portanto seu diâmetro é de 40 cm.

D) O triângulo formado pelos pontos A, T e C como vértices é isósceles.

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor de um dos catetos do triângulo retângulo apresentado utilizando as razões trigonométricas)



Um homem vê o topo do prédio sob um ângulo a uma distância de 60 m, conforme indica a figura a seguir. Sendo cos = 0,8 e sen = 0,6, marque a opção que possui o valor da altura desse prédio.

A) 50 mB) 49 mC) 47 mD) 45 m

Resposta: Letra D

75

..C

B

T

A

15 cm

5 cm

QUESTÃO (Descritor: calcular a área de um hexágono regular e de um triângulo equilátero inscritos em uma circunferência cujo raio deverá ser calculado a partir do perímetro do hexágono regular)



O hexágono regular e o triângulo equilátero a seguir estão inscritos em uma circunferência de centro O e raio r, de acordo com a figura apresentada. O perímetro desse hexágono regular é 24 cm.

Marque a opção que apresenta uma afirmativa CORRETA.

A) A área do triângulo FBD é de .

B) O diâmetro da circunferência mede 4 cm.

C) A área do hexágono regular é de .

D) O triângulo EOD possui metade da área do triângulo FBD.

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor da incógnita apresentada utilizando a relação entre cordas de uma circunferência)



Na figura a seguir as medidas estão em centímetros.

Analise as quatro afirmativas abaixo formuladas de acordo com essa figura:

I - Quando duas cordas de uma circunferência se interceptam, elas são congruentes.

II - O valor de x, em cm, poderá ser calculado através da equação do 1° grau: 3 . 8 = ( x - 3 ) . ( x + 2 ).

III - O raio dessa circunferência, com certeza, é maior que 5,5 cm.

IV - Existem dois valores de x, em cm, que satisfazem a equação: 3 . 8 = ( x - 3 ) . ( x + 2 ).

Marque a opção que apresenta o número da afirmativa CORRETA.

A) IB) IIC) IIID) IV

Resposta: Letra C

76

..P

8

M

O

R

Q

N. ...3

x - 3x + 2

QUESTÃO (Descritor: identificar a afirmativa correta relacionada aos polígonos regulares inscritos e circunscritos na circunferência)



Leia atentamente cada afirmativa a seguir referente aos polígonos regulares e aos polígonos regulares inscritos e circunscritos na circunferência.

I - Para um polígono ser classificado como regular, basta ter todos os lados congruentes.

II - Se um polígono é regular, existem várias circunferências que passam pelos seus vértices.

III - As circunferências inscrita e circunscrita a um polígono regular são concêntricas.

IV - Em todo polígono regular, a medida do apótema é igual à medida do raio da circunferência circunscrita a esse polígono.

Marque a opção que apresenta o número da afirmativa CORRETA.


Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: calcular o raio de uma circunferência a partir da relação entre cordas)



Na circunferência representada a seguir, O é o centro e todas as medidas são dadas em centímetros.

Calcule o raio dessa circunferência, em centímetros.

Resposta:

Cálculo do raio da Circunferência:

Utilizando a relação entre cordas temos:

( r + 2 cm ) . ( r - 2 cm ) = 4 cm . 7 cm

77

QUESTÃO (Descritor: calcular um dos catetos do triângulo retângulo utilizando razões trigonométricas)



Sapatos de salto alto (frequentemente abreviado como salto-alto) são calçados que deixam o calcanhar da usuária significativamente mais elevado do que os dedos, isto é, inclinam o pé de tal forma que sua planta forma um ângulo com o chão. Quando tanto o calcanhar quanto os dedos dos pés são levantados igualmente, como em um sapato plataforma, não é considerado um “salto alto”. De acordo com os grandes estilistas de calçados, um salto baixo é aquele com menos de 6 cm, de 6 cm a 8,5 cm os saltos são considerados saltos médios e acima de 8,5 cm são considerados saltos altos.Na figura a seguir é possível imaginar um triângulo retângulo como o destacado.Considerando o ângulo entre a planta do pé e o chão de 54º, e a distância entre o ponto de apoiodo salto e o ponto de apoio da planta dos pésigual a 7,8 cm, calcule, aproximadamente, a medida do salto, em cm, e depois classifique-o de acordo com o critério citado acima.

Considere: sen 54º = 0,81, cos 54º = 0,59 e

tg 54º = 1,38

Resposta:Cálculo da altura do salto do sapato:

Como a altura do salto é maior que 8,5 cm ele é classificado como Salto Alto.

78

54º

7,8 cm

54º

7,8 cm

QUESTÃO (Descritor: calcular o comprimento da hipotenusa e o valor de um dos ângulos agudos do triângulo)



A posse de um presidente no Brasil é marcada para o dia 1º de janeiro do ano seguinte à eleição, tendo os eleitos um prazo de dez dias após esta data para se apresentarem ao Congresso Nacional, caso contrário os cargos serão declarados vagos. Normalmente, a solenidade inicia-se com uma missa na catedral de Brasília, depois continua no Congresso, onde os eleitos fazem um juramento à Nação. Já empossados, os novos presidente e vice seguem no carro oficial do cerimonial, um conhecido Rolls-Royce, até o Palácio do Planalto, onde sobem a rampa e o titular recebe a Faixa Presidencial do antecessor. O Palácio do Planalto é a sede do Poder Executivo do Governo Federal Brasileiro. O edifício está localizado na Praça dos Três Poderes, em Brasília, tendo sido projetado por Oscar Niemeyer. Feito isso, tem início a nomeação dos novos ministros de Estado, começando pelo Ministro da Justiça, que se encarrega de dar segmento legal à cerimônia. Presidente e vice devem então seguir para o parlatório e cumprimentar o povo.À noite há um coquetel no Palácio do Itamaraty apenas para os convidados da cerimônia.

Ao percorrer 12,3 m da rampa do Palácio do Planalto, uma pessoa se eleva de 1,5 m em relação ao solo.Considerando que o ponto mais alto dessa rampa está a uma altura de 4 m do solo, calcule o comprimento total dessa rampa e o ângulo aproximado que a mesma forma com o solo.O.B.S: Considere a superfície da rampa como a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Atenção Professor, como ferramenta de auxílio ao aluno na resolução dessa questão, encontra-se, no final do Banco de Questões, a tabela das razões trigonométricas.

Resposta:

= comprimento total

da rampa

79

Palácio do Planalto Sede do Poder Executivo

Fonte: Wikipédia.org

Rampa do Planalto

.12,3 m

1,5 m

4,0 m

QUESTÃO (Descritor: calcular o comprimento de uma ponte utilizando a razão trigonométrica tangente)



Quando você constrói a ponte mais alta do mundo, você não pode recorrer a pilares, afinal, construir sustentações de 560 m de altura não é algo que se possa dizer simples. Uma das soluções para este tipo de problema é o uso da ponte pênsil, uma ponte sustentada por cima, seja com vigas, seja com cabos de aço; e foi justamente o uso de cabos de aço a solução para construir a Ponte Grande Siduhe, na China.O detalhe curioso é a forma adotada para transportar os cabos de aço que formam o feixe de sustentação de um lado para o outro, através de mísseis.É isso mesmo! MÍSSEIS!

A ponte Siduhe é a mais alta do mundo e a primeira na qual se usaram mísseis sem explosivos para comunicar os extremos. Na figura a seguir foi apresentado um esquema representativo simplificado da ponte, bem como uma forma inteligente de usar mísseis para o avanço da humanidade e não para sua destruição. Analise atentamente essa figura.

Calcule o comprimento aproximado (em metros) da Ponte Siduhe.

Considere: sen 16º = 0,27 cos 16º = 0,96 tg 16º = 0,29

Resposta:

Cálculo do comprimento (em metros) aproximado da Ponte Siduhe.

80

90º Comprimento (d)

350 m 16º

A Ponte Siduhe é a mais alta do mundo e a primeira na qual foram utilizados mísseis (sem explosivos) para o transporte dos cabos de sustentação de um extremo ao outro do vale.

Esquema Representativo da Ponte

QUESTÃO (Descritor: calcular um dos catetos do triângulo retângulo apresentado utilizando o teorema de Pitágoras e determinar o valor de um dos ângulos agudos desse triângulo)



Um engenheiro deseja construir uma escada conforme a figura a seguir. Sabe-se, de acordo com o projeto

estrutural, que a altura é de 3,60 m, a distância é de 7,20 m e a altura de cada degrau

(espelho) é 20 cm. Considerando que o engenheiro fez todos os cálculos corretamente, calcule:

A) O número de degraus necessários para que a escada atinja o ponto C.

B) O ângulo BÂC de elevação da escada também determinados pelo engenheiro.

Resposta:

A) Cálculo do número de degraus necessários para que a escada atinja o ponto C.

B) Cálculo do ângulo BÂC de elevação da escada:

Ângulo = 30º

QUESTÃO (Descritor: calcular a altura alcançada por um avião utilizando razões trigonométricas e comparar essa altura com a altura de uma serra para verificar a possibilidade de colisão)



Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 15º com a horizontal.A 2 km do ponto B encontra-se a projeção vertical C doponto mais alto D de uma serra de 600 m de altura conforme a figura apresentada.

Considerando: cos 15º = 0,97, sen 15º = 0,26 e tg 15º = 0,27 marque a afirmativa CORRETA.

A) Não haverá colisão do avião com a serra.B) Haverá colisão do avião com a serra no ponto D.C) Haverá colisão do avião com a serra antes do avião alcançar 540 m de altura.D) Se o avião decolar 220 m antes de B e mantiver a mesma inclinação ele não colidirá com a serra.

Resposta: Letra C

81

.A B

C

.A B

C

3,6 m7,2 m

.BC

D

15º

A

B

C

Cabo Torre

60º

Considere: AC = 15 m

BÂC = 60º

QUESTÃO (Descritor: calcular o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo utilizando, para tal, a definição do cosseno de um dado ângulo bem como a quantidade de lâmpadas a serem utilizadas em um cabo sendo dado o espaçamento mínimo entre essas lâmpadas)



Uma empresa possui uma torre em sua fachada frontal que é sempre decorada na época do Natal.Para decorar essa torre, os decoradores utilizam cabos de mesmo tamanho, nos quais se colocam lâmpadas.

Analise atentamente o esquema simplificado a seguir contendo dados sobre a colocação de um desses cabos.

Resolva o que se pede a seguir:

A) Cada cabo suspenso, devido ao próprio peso, tem uma curvatura que faz com que seu comprimento sofra um

acréscimo de 5% em relação à medida do segmento . Calcule o comprimento de cada cabo, considerando-

os congruentes ao da figura apresentada.

B) Se duas lâmpadas consecutivas, em um mesmo cabo, distam pelo menos 50 cm entre si, calcule o número máximo de lâmpadas que podem ser usadas em cada um dos cabos.

Resposta:A) Cálculo do comprimento do cabo:

Comprimento do Cabo = 30 m + 5% . 30 m = 31,5 m

B) Cálculo do Número Máximo de Lâmpadas:

Cálculo da quantidade de espaçamentos:

Cálculo da Quantidade Máxima de Lâmpadas: Número de espaçamentos + 1 = 63 + 1 = 64 lâmpadas

82

A

B

C

Cabo Torre

60º

Considere: AC = 15 m

BÂC = 60º

http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_aiaDaSlkadA/SxRUHifUDBI/AAAAAAAAB2E/eHL7tYJZvqc/s1600/luzes_natal_sor_label.jpg&imgrefurl=http://saboiasim.blogspot.com/2009_12_20_archive.html&usg=__htyTkwrLf6Cgr4EpYxf7Hp4qyPw=&h=480&w=640&sz=36&hl=pt-BR&start=4&sig2=-GtDOBqJM4dAk5OFShpnIg&um=1&itbs=1&tbnid=d7IZ7buHkFFEiM:&tbnh=103&tbnw=137&prev=/images%3Fq%3Dimagens%2Btorre%2Benfeitada%2Bpara%2BNatal%26um%3D1%26hl%3Dpt-BR%26sa%3DN%26rlz%3D1T4GGLL_pt-BRBR327BR327%26ndsp%3D20%26tbs%3Disch:1&ei=4sRITP37MY_KjAe1zN2rDg%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

QUESTÃO (Descritor: calcular a distância entre uma pessoa e um determinado ponto utilizando a relação entre cordas em uma circunferência e utilizar a noção de velocidade para solucionar o problema proposto)



Em uma praça circular, representada a seguir, existe uma fonte de água localizada no ponto E e os seguintes prestadores de serviço:

- Um pipoqueiro, localizado no ponto A, a uma distância de 25 m da fonte de água.

- Um jornaleiro, localizado no ponto B,a uma distância de 14 m da fonte de água.

- Um sorveteiro, localizado no ponto C,a uma distância de 35 m da fonte de água.

- Um fotógrafo, localizado no ponto D.

Ocorreu um grande vazamento na fonte de águae todos os quatro prestadores de serviço localizadosna praça correram no mesmo instante até a fonte para tentar solucionar o problema.


A) Calcule a que distância o fotógrafo, localizado no ponto D, está da fonte de água.

B) Justifique, por escrito por que é impossível, de acordo com os dados do problema, saber qual dos prestadores de serviço chegou primeiro à fonte de água.

Resposta:

A) Cálculo da distância do fotógrafo à fonte de água: Utilizando a relação entre cordas de uma circunferência temos:

14 m . = 35 m . 25 m = 62,5 m

B) Porque apesar de sabermos a distância de cada prestador de serviço à fonte de água, essa não é a única grandeza que influencia na rapidez de um movimento.

83

A

B

C

D

E35 m25 m

14 mFonte de Água

.C

...

.

PA

B

D

QUESTÃO (Descritor: calcular o raio da circunferência menor a partir da relação entre tangente e secante a uma circunferência)



Uma conexão hidráulica é uma peça que deve ser rosqueada em um cano cilíndrico de centro C. Na conexão representada na figura a seguir, a “boca” é circundada por um anel hexagonal regular, permitindo o encaixe de uma chave para apertar a rosca.

Sabendo que:

Calcule o raio da circunferência menor, sabendo que omesmo é 1,5 vezes menor que o raio da circunferência maior.

Resposta:

Cálculo do raio da Circunferência Maior:

( 2R + 2 ) . 2 = 52

4 R = 25 - 4 R =

Cálculo do raio da Circunferência Menor:

r = : 1,5 = 3,5 cm

QUESTÃO (Descritor: determinar o maior lado possível de um quadrado inscrito em um círculo de raio conhecido)



Com um pedaço de papel de seda de forma circular cujo raio mede 20 cm, Gabriel deseja confeccionar uma pipa quadrada, do maior tamanho possível. Marque a opção a seguir que possui o valor aproximado do lado desse quadrado.

A) 14 cmB) 28 cm

C) 35 cm

D) 56 cm

Resposta: Letra B

84

QUESTÃO (Descritor: calcular a área de um círculo bem como a razão entre o maior e o menor raio do símbolo apresentado)



O câncer de mama é uma doença séria que tem feito um número maior de vitimas a cada ano. Ele se manifesta em mulheres de todas as idades e pode ser fatal quando o tratamento não é realizado corretamente. Diversos fatores estimulam o aparecimento de tumores, que podem ser benignos ou malignos. Diante dessa ameaça à saúde da mulher, uma campanha preventiva foi criada para conter o avanço do câncer de mama. O projeto conta com a participação de personalidades famosas e tem um símbolo bastante conhecido. As orientações priorizadas pela campanha mostram para a mulher a importância de fazer o autoexame das mamas toda a semana e também realizar mamografia depois do 40 anos, faixa etária onde o câncer se desenvolve com mais frequência. Analise atentamente, a seguir, a figura do símbolo utilizado em uma das camisas da campanha e considere constante a variação dos diâmetros dos círculos que compõem esse símbolo.


A) Calcule a área, em cm2, do menor círculo desse símbolo.Considere = 3.

B) Calcule a razão entre o maior e o menor raio do símbolo apresentado.

Resposta:A) Cálculo da Área do menor Círculo:

Cálculo do diâmetro do menor círculo: 12 cm – 8 cm = 4 cmEntão o raio do menor círculo = 4 cm : 2 = 2 cmÁrea do Círculo =

B) Cálculo da razão entre o Maior e o Menor Raio:

Razão = , isso quer dizer que o raio do maior círculo é quatro vezes o raio do menor círculo do

símbolo.

85

QUESTÃO (Descritor: escrever a definição de um hexágono regular e calcular sua área de acordo com os dados do problema em questão)



A piscina representada na figura a seguir tem o formato de um hexágono regular com 3 m de lado.

Responda cada item a seguir:

A) Escreva um pequeno parágrafo que explique com clareza e veracidade o conceito de um hexágono regular.

B) Calcule a área dessa piscina em m2.

Considere:

Resposta:A) Hexágono regular é um polígono convexo que possui todos os lados congruentes entre si eos ângulos internos possuem todos a mesma medida.

B) Cálculo da Área da Piscina:

Área de um Hexágono Regular =

= 22,95

QUESTÃO (Descritor: calcular a lado e o apótema de um hexágono inscrito em uma circunferência)



A figura a seguir representa um hexágono inscrito numa circunferência de centro C cujo raio mede 8 cm.

Considerando , marque a opção que apresenta o valor correto do lado e do apótema desse

hexágono, respectivamente.

A) 8,0 cm e 6,8 cmB) 8,0 cm e 13,6 cmC) 5,8 cm e 8,0 cmD) 4,0 cm e 6,8 cm

Resposta: Letra A

86

3 m

.a

rC Raio

Apótema

Resistência Elétrica

Circunferência Circunscrita ao Pentágono

QUESTÃO (Descritor: calcular o comprimento de uma resistência a partir da soma de quatro lados de um pentágono regular inscrito em uma circunferência de raio conhecido)



Hoje, um objeto imprescindível em toda residência, onde equipa de forma indispensável os banheiros, o chuveiro, na realidade, é um equipamento bastante antigo. Pinturas retratam sua existência no Egito e na Grécia, e seu uso nas casas de banho da Roma Antiga era comum. Desenvolvido no Brasil, na década de 1940, o chuveiro elétrico procurou substituir nesse país a fonte principal de calor – uma vez que redes de gás eram praticamente inexistentes nas grandes cidades – ao contrário da energia elétrica. Com a rápida urbanização observada no Brasil desde então, esta solução foi sendo a principal adotada, embora convivesse com outras formas de aquecimento da água. De concepção bastante simples, o chuveiro elétrico era constituído de um elemento de aquecimento, chamado de "resistência", feito de um fio espiralado composto de metais com alto ponto de fusão, como o níquel, o cromo ou uma liga dos dois metais, que ao aquecer, esquenta imediatamente a água.

Observe atentamente um esquema simplificado de um chuveiro elétricoque utiliza resistência e energia elétrica para aquecê-la.

A resistência estende-se ao longo de cinco pontos de apoio que constituem os vértices de um pentágono regular inscrito na circunferência hipotética tracejada na figura apresentada cujo raio é de 3 cm.

Calcule o comprimento da resistência utilizada nesse chuveiro elétrico.Considere: sen 36º = 0,59 ; cos 36º = 0,81 e tg 36º = 0,73

Resposta:Cálculo do comprimento da resistência utilizada:

L = 3,54 cm

Comprimento da resistência = 4 . 3,54 cm = 14,16 cm

87

Ducha improvisada nas trincheiras da I Guerra Mundial.

C

r

36º 2

L

http://pt.wikipedia.org/wiki/Egipto_Antigo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Banheiro

Altura (cm)

Comprimento (cm)

2

4

6

2 4 6 8

AB

C D

QUESTÃO (Descritor: calcular a área de uma lâmina cujo contorno é formado somente por semicírculos)



Uma indústria necessita produzir lâminas de máquinas moedoras de carne, conforme a especificação a seguir. A área da lâmina está diretamente relacionada com a potência do motor da máquina.Calcule a área dessa lâmina, em centímetros quadrados, considerando que o contorno da lâmina é constituído somente de semicírculos.

Resposta:

Cálculo da Área da Lâmina:

Área do Retângulo ABCD – 2 Áreas de dois Círculos (espaços em branco dentro do retângulo ABCD) + 2 Áreas de dois Círculos (espaços em negrito fora do retângulo ABCD)

Como os círculos são idênticos temos:

4 cm . 4 cm - 2 . . (1 cm)2 +

2 . . (1 cm)2 = 16 cm 2

88

Altura (cm)

Comprimento (cm)

2

4

6

2 4 6 8

QUESTÃO (Descritor: determinar a expressão matemática que relaciona o ângulo central com a área do setor circular e calcular o ângulo central para uma determinada área)



A figura a seguir apresenta um esquema simplificado rotativo de irrigação sobre uma região plana, que gira em torno de um eixo vertical perpendicular à região. Se considerarmos a medida em graus do ângulo AÔB por , a área irrigada, representada pela parte do setor circular, será uma função A, que dependerá do valor de , com variando de 0º a 360º.

Considerando , e ,

resolva cada item a seguir:

A) Determine a expressão matemática para a função que relaciona o valor da área irrigada (A) em função do ângulo .

B) Calcule o valor do ângulo , em graus, se a

área irrigada for de .

Resposta:A) Expressão Matemática para a função que relaciona o valor da área irrigada (A) em função do ângulo .

B) Cálculo o valor do ângulo , em graus:

89

OA

B

C

D

3 m1 m

Eix

o V

erti

cal

Água Utilizada para a Irrigação

QUESTÃO (Descritor: calcular o diâmetro de uma seção circular a partir do lado de um quadrado inscrito nesse círculo)


Assunto: Geometria Plana Fresadora é uma máquina de movimento contínuo, destinada à usinagem de materiais. Removem-se cavacos por meio de uma ferramenta de corte chamada fresa.A operação de fresagem consta da combinação de movimentos simultâneos da ferramenta e da peça a ser usinada, simultaneamente.Essa máquina foi inventada por Eli Whitney, em 1818.

Um operador de fresadora deseja desbastar um tarugo cilíndrico de metal para produzir uma peça em forma de paralelepípedo de base quadrada, conforme apresentada na figura a seguir. As medidas indicadas estão em centímetros.

Calcule o diâmetro x desse cilindro, em centímetros.

Resposta:

Calcule o diâmetro x desse cilindro, em centímetros.

Diâmetro = 2 . R =

QUESTÃO (Descritor:calcular o valor de um ângulo a partir das bissetrizes de outros dois))

90

Fresadora em Operação

Fresas utilizadas numa fresadora

Fonte: Wikipédia .org



Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas e a reta b é a bissetriz do ângulo agudo formado pelas retas p e t. O valor do ângulo α é:

A) 10o

B) 20o

C) 35o

D) 70o

Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: calcular a área de um quadrado formado pelos diversos segmentos de reta no interior das figuras e da cruz representada na figura para que sejam equivalentes)



Observe as figuras a seguir. Cada figura representa uma cruz formada por cinco quadrados idênticos.

Todas as figuras possuem a mesma área, porque são iguais. Nessas figuras foram desenhados diferentes segmentos de reta (de comprimentos diferentes), no interior de cada cruz que representa uma figura.Com cada um desses segmentos formaremos um quadrado.

Marque a opção que apresenta a figura que contém o segmento de reta que forma um quadrado de área igual à área da cruz.

A) Figura IB) Figura IIC) Figura IIID) Figura IV

Resposta: Letra D

QUESTÃO (Descritor:analisar a figura apresentada e utilizar conceitos de centro de uma circunferência para resolver o problema proposto))

91

Figura II Figura III Figura IVFigura I



As figuras abaixo representam duas visões distintas de universo, observe-as:

A partir da observação dos modelos, é CORRETO afirmar que:

A) A figura 2 caracteriza a Teoria Heliocêntrica, que afirmava ser a Terra fixa, e que todos os demais astros, giravam em torno dela.

B) As duas figuras mostram que a Terra faz parte de um sistema planetário que tem movimento de rotação e movimento de translação em torno do Sol.

C) Na figura 1, os corpos celestes giravam em torno da Terra, considerada o centro do universo. Esta teoria ficou conhecida com o nome de geocentrismo.

D) A figura 2 representa o Sol como centro do universo, onde os planetas giram em torno dele, representando a Teoria Geocêntrica.

Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: calcular a distância solicitada no problema utilizando o Teorema de Pitágoras)



Um acampamento para meninas fica a 300 m de uma estrada reta. Nessa estrada, um acampamento para meninos fica localizado a 500 m do acampamento das meninas. Deseja-se construir uma cantina na estrada que fique exatamente à mesma distância de cada acampamento.Marque a alternativa que apresenta o valor correto dessa distância, em metros.

A) 312,5B) 305,0C) 308,5D) 315,0

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: calcular a soma de um dos catetos e a hipotenusa do triângulo retângulo para solucionar o problema proposto)

92



Dois nadadores, localizados do mesmo lado de uma piscina retangular, estão a 5 metros de distância um do outro. Um deles atravessa a piscina perpendicularmente, e o outro, sob um ângulo de 60º como ilustra a figura a seguir. Ambos atingem o mesmo ponto do lado oposto da piscina.A soma da distância que os dois nadaram é:

A)

B)

C)

D) 15 m

Resposta: Letra B

QUESTÃO (Descritor: calcular uma área irregular a partir da diferença entre as área do círculo e dos oito triângulos congruentes)



Observe a seguir uma placa circular de alumínio, na qual foram recortados vários triângulos consecutivos, formando um tipo de “cata vento”. A circunferência possui raio R e os arcos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HÁ são congruentes.

Marque a opção que apresenta o valor correto da área sombreada (desperdiçada) em função de R, para formar a figura desejada.

A) 2 R2

B) R2

( - 2 )

C) 2R2

( - 1 )

D) R2

( - 1 )

Resposta: Letra B

93

60º

5 m

.

Antigo Terreno de Camila

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor da tangente do ângulo oposto ao menor lado de um triângulo retângulo)



Se um dos catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem, respectivamente, x e 3x, então marque a opção a seguir que apresenta o valor correto da tangente do ângulo oposto ao menor lado.

A)

B)

C)

D)

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: calcular a área de um terreno a partir das condições impostas pelo problema)



Camila, proprietária do terreno sombreado na figura, cujo preço é de R$ 1.000,00 o metro quadrado, trocou-o por outro, do mesmo valor, situado numa região onde o metro quadrado valia R$ 900,00.

Marque a opção a seguir que apresenta o valor correto da área do novo terreno adquirido por Camila.

A) 3.600 m2

B) 12.600 m2

C) 14.000 m2

D) 16.200 m2

Resposta: Letra C

94

QUESTÃO (Descritor: determinar o sistema que possibilita determinar a distância entre um observador e um referencial fixo utilizando a tangente do ângulo nos diversos triângulos apresentados )



O ângulo sob o qual um observador vê o topo de um prédio de 88 metros de altura duplica quando esse observador se aproxima 110 metros do prédio , e triplica quando ele se aproxima mais 50 metros.Observe atentamente a figura a seguir.

Nesse instante, a distância entre o observador e o prédio pode ser calculada utilizando umsistema formado por:

A) sen , sen 2, sen 3B) cos , cos 2, cos 3C) tg , tg 2, tg 3 D) Teorema de Pitágoras nos triângulos de ângulos , 2 e 3

Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: utilizar a tangente dos ângulos dados para calcular a distância entre cidades)



Um passageiro em um avião avista duas cidades A e B sob ângulos de 15º e 30º, respectivamente, conforme a figura a seguir.

Sabendo que o avião está a uma altitude de 3 km, marque a opção que apresenta o valor aproximado da distância entre as cidades A e B.

A) 7,0 kmB) 6,5 kmC) 6,0 kmD) 5,5 km

Resposta: Letra C

95

Considere: sen 30º = 0,5

cos 30º = 0,87

tg 30º = 0,58

QUESTÃO (Descritor: utilizar as propriedades dos ângulos na circunferência para calcular o ângulo desejado de acordo com o problema proposto)



Na figura, A, B, C e D são pontos de uma circunferência, a corda CD é bissetriz do ângulo no e as cordas

AB e AC têm o mesmo comprimento.

Se o ângulo no mede 40º, marque a opção a seguir

que apresenta a medida correta do ângulo no

A) 25º B) 20º C) 15ºD) 10º

Resposta: Letra B

QUESTÃO (Descritor: calcular os lados e apótemas de um quadrado e um hexágono regular inscritos em um círculo de diâmetro conhecido)



A respeito do círculo a seguir, com 4 cm de diâmetro, no qual estão inscritos o quadrado ABCD e o hexágono regular AEFCGH marque a opção INCORRETA:

A) O apótema do hexágono regular mede cm.

B) A diagonal do quadrado mede 4 cm.

C) O perímetro do hexágono regular é o dobro do perímetro do quadrado.

D) Os lados do quadrado e do hexágono regular medem, respectivamente, cm e 2 cm.

Resposta: Letra C

96

A

B C

D 40º

QUESTÃO (Descritor: calcular a incógnita x através do cálculo das áreas do retângulo e trapézios de acordo com o problema proposto)



O retângulo ABCD representa um terreno e o trapézio sombreado, uma construção a ser feita nele. Por exigências contratuais, essa construção deve ter uma área, no mínimo, igual a 45% e no máximo igual a 60% do terreno. Marque a opção a seguir que representa o intervalo correto a que pertencem todos os valores possíveis da incógnita x.

A) [ 17, 26 ]

B) [ 14, 18 ]

C) [ 17, 18 ]

D) [ 18, 26 ]

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: calcular o ângulo central x, na circunferência representada na questão)



Na figura a seguir as semi-retas e tangenciam

o círculo de centro D, respectivamente, nos pontos B e C.

Se o ângulo mede 70º, marque a opção que apresenta

a medida do ângulo .

A) 135º B) 125º C) 115º D) 110º

Resposta: Letra D

97

A

B

C

D.

QUESTÃO (Descritor: calcular diâmetro e lado de um quadrado, de forma que o círculo fique inscrito no quadrado)



A base de uma lata de tinta na forma de um cilindro tem área 75 cm 2

. Para que sejam transportadas em segurança (sem nenhuma deformação), o fabricante deseja encaixá-las completamente numa embalagem na forma de prisma de base quadrada.

Marque a opção correta relativa à situação descrita acima.

A) O menor comprimento (pertencente aos números naturais) do lado que o prisma de base quadrada poderá ter para comportar a base da lata de tinta é de 18 cm.

B) A menor área que a base quadrada da embalagem em forma de prisma poderá ter para encaixar a lata de

tinta é de 75 cm 2

.

C) O fabricante jamais conseguirá atingir seu objetivo, porque o quadrado se inscreve em uma circunferência e não vice-versa.

D) O menor comprimento do lado da base do prisma que pertence a embalagem a ser utilizada deverá ser igual ao comprimento do raio do círculo que compõe a base da lata de tinta.

Resposta: Letra A

98

TINTA

Base da lata de Tinta

QUESTÃO (Descritor: calcular a área de círculos para solucionar o problema proposto)



Observe o desenho de um CD a seguir e a sua representação matemática.

Considere: raio do orifício interno = 0,7 cm raio da área não utilizável = 2 cm raio do CD = 6 cm = 3,14

Foram feitas quatro afirmativas referentes aos círculos de acordo com as figuras apresentadas e os dados acima:

I - A área do orifício interno do CD é de aproximadamente 4,4 cm2

.

II - Os círculos que representam o CD e o orifício interno do mesmo, não são concêntricos

III - A área utilizável do CD é de aproximadamente 100 cm2

.

IV - A área não utilizável do CD é de aproximadamente 16 cm2

.

Marque a opção a seguir que apresenta aafirmativa correta:

A) Afirmativa IB) Afirmativa IIC) Afirmativa IIID) Afirmativa IV

Resposta: Letra C

99

Área utilizável

Orifício interno

Área não utilizável

.

Representação Matemática

QUESTÃO (Descritor: relacionar gráficos de diferentes funções à situação prática descrita no problema)


Assunto: Funções

A figura a seguir ilustra três tipos diferentes de reservatórios de água, sendo que o reservatório A é um prisma retangular reto, o reservatório B é um cone circular reto com vértice para baixo, e o reservatório C é um cilindro circular reto na posição horizontal. Esses reservatórios inicialmente vazios, estãosendo abastecidos com água a uma taxa

constante de unidade igual a .

Os esboços gráficos a seguir representam a altura h do nível de água, em metros, em função do tempo t, em minutos, para cada um dos reservatórios. Preencha a tabela com o número do gráfico correspondente a cada reservatório. Justifique por escrito sua resposta.

Recipiente Gráfico Correspondente

ABC

Resposta: Relação entre cada reservatório e o esboço gráfico:

Reservatório Gráfico

CorrespondenteA IIB IC III

100

Como a vazão é constante, no recipiente I a altura da coluna d’água aumenta proporcionalmente com o passar do tempo. No recipiente II, para um mesmo intervalo de tempo, a altura aumenta cada vez menos, já que as seções planas do recipiente aumentam. Finalmente, no recipiente III, as seções planas do mesmo aumentam e depois diminuem, então a altura d’água aumenta cada vez menos, para um mesmo intervalo de tempo, até atingir o centro dos círculos do cilindro. Após esse instante, a altura aumenta cada vez mais para um mesmo intervalo de tempo.

QUESTÃO (Descritor: obter o valor da altura de uma pipa em relação ao solo utilizando razões trigonométricas no triângulo retângulo)



Um garoto empina uma pipa com um fio esticado de 96 metros. O ângulo entre o fio e o chão é de 30º e o menino segura a ponta do fio a uma altura de 1,5 metros em relação ao chão.


A) Faça um desenho representativo da questão,registrando, no mesmo, os dados fornecidos.

B) Calcule, nessas condições, a que altura está a pipa.

Resposta:A) Desenho representativo B) Cálculo da altura

sen 30º =

H = 48 m + 1,5 m = 49,5 m

QUESTÃO (Descritor: calcular a quantidade de cerâmicas necessárias para revestir um piso de forma retangular de acordo com as condições do problema)



Para colocar o piso de um terraço retangular, um construtor usaria 880 unidades de cerâmica nas dimensões de 20 cm x 30 cm. Entretanto, ele possui, em estoque, 1.300 cerâmicas do mesmo tipo, nas dimensões 20 cm x 20 cm. Calcule quantas cerâmicas 20 cm x 20 cm o construtor deverá comprar sendo que ele irá aproveitar a cerâmica que possui.

Resposta:

Cálculo da Área do Terraço: 880 . 20 cm . 30 cm = 528000 cm2

Área de Cerâmica 20 cm x 20 cm = 1300 . 20 cm . 20 cm = 520000 cm2

Área de Cerâmica 20 cm x 30 cm = 528000 cm2 - 520000 cm2 = 8000 cm2

Cálculo da quantidade de cerâmicas 20 cm x 20 cm = = 20 cerâmicas

101

Autor da Foto: Sérgio Dotta Jr.

30º

1,5 m

96 m

Solo

H

h

QUESTÃO (Descritor: calcular altura utilizando razões trigonométricas)



Uma caixa d’água está localizada num ponto P de um terreno plano, conforme representada a seguir. A mesma é vista do ponto A sob um ângulo de 30º e do ponto B sob um ângulo de 45º.

Sabendo-se que a medida do ângulo é 90º e a distância

entre os pontos A e B é 100 metros, calcule,em metros, a altura da caixa d’água.

Resposta:Cálculo da altura da caixa d’água

Considerando , e altura

da caixa d’água = H temos:

então

como temos:

então

102

QUESTÃO (Descritor: utilizar as razões trigonométricas no Triângulo Retângulo para determinar a hipotenusa do triângulo retângulo no problema proposto)



Uma telha de um galinheiro quebrou. Em dias chuvosos, uma goteira produz no chão, embaixo da telha quebrada, uma pequena poça d’água, a 1,85 metros de uma das paredes do galinheiro, conforme a figura a seguir. Considerando que a espessura dessa parede é 15 centímetros e que d é a distância do ponto mais alto do telhado e a quebra da telha, calcule o valor de d.

Resposta:Cálculo do valor de d

cos 45º =

d =

103

.2 m

45º

d

QUESTÃO (Descritor: obter a solução para o problema proposto utilizando a razão trigonométrica sen do ângulo dado)



Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120º à direita em um ponto C, de modo que seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura a seguir.

Com base na figura, calcule a distância emquilômetros que o avião voou partindo da cidade A até chegar à cidade B.

Resposta:Cálculo da Soma das distâncias

tg 60º = =

=

sen 60º = = =

+ =

104

QUESTÃO (Descritor: utilizar a razão trigonométrica tg dos ângulos fornecidos para solucionar o problema proposto)



Dois pescadores P1 e P2, estão na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na outra

margem. Sabendo que a distância entre os pescadores é de 63 metros, ou seja, = 63 m, os ângulos

e e e , resolva o que se pede em cada item a seguir:

A) Faça um desenho representativo da questão contendo os dados fornecidos.

B) Calcule a distância entre as margens, em metros.

Resposta:A) Desenho representativo da questão

B) Cálculo da distância entre as margens do rio

tg

tg

então temos:

X = 21 m

A distância entre as margens do rio é de 4 . 21 metros = 84 metros.

105

63 mP1 P2

B

63 - x x

B

P1 P2

Distância d

.

QUESTÃO (Descritor: calcular o comprimento de uma circunferência)



Pode parecer brincadeira!!!

Mas não é!

A imagem acima se refere a uma construção estranha, exótica, curiosa, bizarra ou incrível (escolha o adjetivo que você achar mais apropriado). Essa é apenas uma de diversas obras fora dos padrões mundo afora...

Sabendo que os círculos presentes na parte da frente dessa construção possuem diâmetro igual a 1 metro cada um, calcule o comprimento referente a esses três círculos.

Considere = 3,14

Resposta: Cálculo do comprimento dos três círculos:

Então o comprimento relativo às três circunferências =

106

Fonte: The World According to Google / Edifício na Polônia cujo projeto foi inspirado num desenho dos artistas Szancer e Dahlberg, que tem uma obra inspirada em Dali.

QUESTÃO (Descritor: calcular a área de uma circunferência a partir do lado de um hexágono inscrito)



Existem normas que definem a área mínima de janelas de acordo com a área e a utilização do ambiente.O projeto de edificações e as especificações das aberturas dos compartimentos devem seguir o Código de Obras e Edificações (COE) da prefeitura de cada cidade. O COE estabelece regras para a disposição e dimensionamento de vãos de janelas, portas e outros dispositivos utilizados para ventilação e iluminação nos projetos arquitetônicos.O valor mais comum encontrado para a área de aberturas destinadas à ventilação e à iluminação de dormitórios e salas equivale a 1/6 da área do compartimento (piso), valendo a somatória das áreas das aberturas existentes.Com base nas informações acima responda:

Um quarto com área do piso igual a 12 m2, possui uma única janela circular. Sabendo que se um hexágono regular fosse inscrito nesse círculo ele teria 60 cm de lado, a área dessa janela estaria em conformidade com o valor adotado como padrão citado acima?

Justifique sua resposta através de cálculos.

Considere = 3,14.

Resposta: Cálculo da área do círculo:

Raio do círculo = Lado do hexágono inscrito

R = 0,6 m

Área =

O valor da área da janela é menor que o valor padrão

107

CURIOSIDADES:

Data da Construção: 1994Custo: Aproximadamente 9 bilhões de librasAltura: Você irá calcular esse valorComprimento: 50,45 quilômetrosProfundidade: entre 40 a 75 metros abaixo do solo do marNúmero de trabalhadores: 13.000Tempo de construção: 6 anosMaterial de construção: cimento armado e açoNúmero de janelas: nenhumaVolume de terras removidas: 4 milhões de metros cúbicos, só no lado inglês

QUESTÃO (Descritor: calcular o diâmetro de uma circunferência a partir do lado de um triângulo eqüilátero e um quadrado inscritos)



Um túnel conectando a Inglaterra e a França tem sido o cálice sagrado da engenharia desde o século XIX.A 50 km ponta a ponta de Kent a Normandia, com 39 km passando a 40 m abaixo do leito do mar do Canal Inglês, o Túnel do Canal da Mancha é o maior metrô marítimo do mundo. Considerado o projeto de engenharia mais ambicioso e custoso de sua época, o Túnel custou 9 bilhões de libras – o suficiente para pagar a ponte Golden Gate 700 vezes.

O túnel conta com três passagens individuais: 2 túneis cujas seções são circunferências nas quais podem ser

inscritos triângulos eqüiláteros cujos lados medem m carregando os trens, e um túnel central cujas seções

são circunferências nas quais podem ser inscritos quadrados cujos lados medem m para serviços e

acesso de emergência.

Calcule: o diâmetro dos túneis que contém os trens e do túnel central utilizado para serviços e acesso de emergência.

108

Eurotúnel - a maior passagem submarina do mundo – Algumas Imagens

Resposta:Cálculo do diâmetro dos túneis:

Diâmetro dos dois túneis que contém os trens:

Cada túnel que contém os trens possui diâmetro igual a 2 . 3,8 m = 7,6 m

Diâmetro do túnel central, utilizado como serviços ou acessos de emergência:

O túnel central possui diâmetro igual a 2 . 2,5 m = 5,0 m

QUESTÃO (Descritor: determinar a razão entre a soma das áreas de losangos e a área de um quadrado subtraída das áreas dos mesmos losangos)



O mosaico da figura a seguir foi desenhado em papel quadriculado 1 x 1.Calcule a razão entre a área da parte escura e a área da parte clara, na região compreendida pelo quadrado ABCD.

Resposta:

Cálculo da área dos losangos = 16 . = 48

Cálculo da área do retângulo subtraída da área dos losangos = 12 . 12 - 48 = 96

Razão entre a área da parte escura e a área da parte clara =

109

m2

25,2

45º R

m2

38,3

30º R

QUESTÃO (Descritor: utilizar as relações métricas na circunferência para solucionar o problema proposto)



Em um jogo proposto pelo professor de Matemática, um grupo de alunos tinha que responder quem ia chegar antes ao bolo que estava na grama do parque: Lelé ou Lulu, em duas situações diferentes, situação I e situação II, de acordo com o desenho abaixo.

Os alunos receberam alguns dados para que pudessem resolver o problema: , ,

, , além de considerar que os cachorros corriam com a mesma velocidade.

Qual a resposta dada pelo grupo de alunos para as duas situações propostas, sabendo que os mesmos acertaram a questão?

Justifique sua resposta utilizando cálculos.

Resposta:Situação I: Situação II:

Como 18 m > 12 m, Lelé chegará primeiro. Como 6,4 m < 8 m, Lulu chegará primeiro.

110

Situação I

A

L

P

M

B

Situação II

T

CE

B

QUESTÃO (Descritor: calcular a área dos semicírculos representados na figura )



Em cada lado de um triângulo retângulo cujos catetos medem 16 cm e 30 cm, apóiam-se dois semicírculos idênticos como mostra a figura a seguir.

Calcule a área total da região sombreada em cm2.

Resposta:

Cálculo da hipotenusa do triângulo retângulo: x2 = (16 cm)2 + (30 cm)2

x = 34 cm

Cálculo da área sombreada: Um círculo de raio 4 cm = 16 cm2

Um círculo de raio cm = cm2

Um círculo de raio cm = cm2

Área total sombreada = 16 cm2 + cm2 + cm2 = cm2

111

QUESTÃO (Descritor: através do cálculo de áreas das figuras planas apresentadas, determinar o valor da área que satisfaça as condições do problema)



Considere a representação de uma bandeira do Brasil formada por um retângulo de lados 7,5 cm e 5,0 cm que possui no seu interior um losango cujas diagonais medem 6,5 cm e 4,5 cm.Calcule a área da região verde da bandeira, (representada pela região hachurada).

Resposta: Cálculo da região verde da figura que representa a bandeira do Brasil:

Área do retângulo = 7,5 cm . 5,0 cm = 37,5 cm2

Área do losango = = 14,625 cm2

Área hachurada = 37,5 cm2 - 14,625 cm2 = 22,875 cm 2

112

QUESTÃO (Descritor: calcular a área de uma coroa circular de acordo com os dados fornecidos no problema em questão)



As Corridas são esportes que sempre fascinaram a humanidade. As bicicletas são usadas para competições de diversas formas. Temos o Ciclismo de Estrada, Ciclo-Cross, Montanha, Pista, BMX e Corridas de Velocidade. O Ciclismo de Velocidade é uma forma de corrida que tem lugar numa curta pista circular ao ar livre, delimitada por duas circunferências, uma interna e uma externa, que possuem comprimentos respectivamente de 70 metros e 90 metros. Observe a figura a seguir.

Calcule o valor da área da pista circular em m2. Considere = 3.

Resposta: Cálculo da área da pista circular de ciclismo:

Área da Pista =

113

Pista Circular

Raio externo

Modelo Matemático

.Raio interno

QUESTÃO (Descritor: identificar, no problema, proposto a aplicação do teorema de Tales e utilizá-lo com a finalidade de calcular medidas desconhecidas) Nível de dificuldade: Médio


Analise, atentamente, a figura representativa de três lotes a seguir com algumas medidas de comprimento realizadas por um topógrafo.

Temos três lotes cujas frentes estão voltadas para a rua A e os fundos para a rua B.

Sabendo que // // // marque a afirmativa CORRETA.

A) É impossível, com os dados que foram fornecidos, calcular os comprimentos dos fundos dos lotes.B) Para calcular os comprimentos dos fundos dos lotes, podemos utilizar o Teorema de Tales.C) A soma do comprimento da frente e do fundo de cada um dos lotes é um valor constante.D) O perímetro de cada um dos três lotes poderá ser calculado utilizando o Teorema de Tales.

RESPOSTA: B

QUESTÃO (Descritor: identificar a condição necessária para o cálculo de uma grandeza de acordo com os dados do problema)



Você pode medir o comprimento da ponte representada a seguir utilizando a estratégia indicada na figura.

Marque, a seguir, a opção que apresenta a condição necessária para utilizar tal estratégia.

A) Os triângulos UPV e XPY devem ser semelhantes.B) O comprimento da ponte deverá ser maior que 500 m.C) Existam ângulos Opostos pelo Vértice nos triângulos UPV e XPY.

D) A distância do segmento do triângulo UPV deve ser fornecida.

RESPOSTA: A

114

Lote I

Lote II

Lote III

Representação Matemática dos Lotes

Lote ILote II

Lote III

Planta Baixa dos Três Lotes

Fonte: Site www.integral.com.br (adaptação)

Fonte: Site www.integral.com.br (adaptação)

http://www.integral.com.br/

http://www.integral.com.br/

QUESTÃO (Descritor: identificar a afirmativa correta relacionada aos triângulos retângulos)



Marque, a seguir, a opção que apresenta uma afirmativa CORRETA.

A) A área de um triângulo retângulo é calculada pela fórmula:

B) Todo triângulo retângulo que possui um ângulo obtuso possui também dois lados congruentes.C) Em qualquer triângulo retângulo, a hipotenusa é sempre maior que a soma dos dois catetos.D) A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao maior ângulo existente nesse triângulo.

RESPOSTA: D

QUESTÃO (Descritor: calcular a área de uma figura plana aplicando o Teorema de Pitágoras )



O engenheiro de uma fábrica de brinquedos para playground e parques deseja calcular quantos metros quadrados, aproximadamente, de uma chapa de polipropileno serão utilizados em um escorregador com as dimensões representadas no desenho a seguir.

Marque a opção que apresenta o valor CORRETO dessa área.

A) 2,8 m2

B) 2,8 cm2

C) 280 m2

D) 280 cm2

RESPOSTA: A

115

.Fonte: Site / sofisica.com.br (adaptação)

QUESTÃO (Descritor: calcular o comprimento aproximado de uma viga utilizando o teorema de Pitágoras)



A figura a seguir mostra a vista de uma parede lateral de uma casa que tem o formato de um triângulo retângulo. O engenheiro projetou a parte de vidro com 7 m de comprimento e 3,5 m de altura.

Respeitando estas medidas, calcule o comprimento aproximado da viga da cobertura, na qual se apoiam as telhas, considerando 80 centímetros para o beiral.

RESPOSTA:

Cálculo do comprimento aproximado da viga:

Utilizando o Teorema de Pitágoras temos: x2 = ( 3,5 m )2 + ( 7 m )2 x 7,8 m

Comprimento = 7,8 m + 0,8 m = 8,6 m

116

Fonte: Site / www.paisagismobrasil.com.br/ (adaptações)

Parte de Vidro

3,5 metros

7 metros

Beiral .

QUESTÃO (Descritor: utilizar o teorema de Pitágoras com a finalidade de calcular incógnitas e citar padrões utilizados na construção da Espiral Pitagórica)



Leia atentamente e texto a seguir:

A figura a seguir chama-se Espiral Pitagórica porque é composta somente por triângulos retângulos.

Responda cada item seguinte:

a) Escreva um pequeno parágrafo que cite, pelo menos, dois padrões utilizados na confecção dessa espiral.b) Calcule o valor da incógnita y, em cm.

RESPOSTA:

a) Três padrões mais simples de serem observados por nossos alunos:

A Espiral Pitagórica é formada somente por triângulos retângulos, a hipotenusa de um triângulo é o cateto do seguinte triângulo e assim sucessivamente, todos os triângulos que compõem a espiram possuem pelo menos um dos catetos medindo 1 cm.

O.B.S: Lembre-se de que a questão pede que o aluno cite apenas dois padrões.

b) Cálculo da incógnita Y:

Iniciando o cálculo do triângulo que possui o valor dos dois catetos, aplicando o Teorema de Pitágoras e considerando H a hipotenusa, temos:

H2 = ( 1cm )2 + ( 1cm )2 H = cm

No triângulo seguinte, considerando H’ a hipotenusa, temos:

H’2 = ( 1cm )2 + ( cm )2 H’ = cm

No triângulo seguinte, considerando H” a hipotenusa, temos:

H”2 = ( 1cm )2 + ( cm )2 H” = 2 cm

117

Fonte: Revista Por Incrível que Pareça – Editora Abril - Ano 2005 (adaptação)

QUESTÃO (Descritor: concluir que a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e calcular as dimensões de um retângulo a partir de sua diagonal de acordo com os dados do problema)



Para embalar uma “vara de pescar retrátil” foi utilizada uma caixa de papelão na forma de um paralelepípedo retângulo. Como a “vara de pescar retrátil”, mesmo contraída, ainda era grande, foi posicionada na diagonal do fundo da caixa como ilustra a figura a seguir.


a) Escreva um pequeno parágrafo que explique por que podemos garantir que a diagonal é a maior dimensão do fundo da caixa.

b) Calcule o comprimento e a largura da caixa utilizada sabendo que a “vara de pescar retrátil” possui 0,5 metros de comprimento e um dos lados da base da caixa é 10 cm menor do que o outro.

O.B.S: Retrátil, quando associado a um objeto, é um termo utilizado quando algumas das partes que compõem o objeto podem ser retraídas diminuindo seu comprimento.

RESPOSTA:

a) Porque a diagonal da caixa representa a hipotenusa de um triângulo retângulo. A hipotenusa, com certeza, é o maior lado desse triângulo porque é o lado oposto ao maior ângulo.

b) Cálculo do Comprimento e da Largura da Caixa

( x – 10 ) 2 + x 2 = ( 50 ) 2

x 2 – 10 x – 1200 = 0 Raízes: 40 e - 30 Comprimento: 40 cm e Largura: 30 cm

118

Fonte: Site / WWW.ser.com.br (adaptação)

X cm

( X – 10 ) cm0,5 m

QUESTÃO (Descritor: analisar o gráfico de setores com a finalidade de identificar a afirmativa correta)


Assunto: Gráficos / Porcentagens

Analise, atentamente, o gráfico a seguir:

Marque a afirmativa CORRETA de acordo com os dados do problema.

A) O fator que mais interfere na longevidade é o Meio ambiente.

B) O gráfico apresentado é chamado Gráfico de SeçõesCirculares.

C) Morrem, a cada ano, 10 pessoas em um grupo de 100,devido à falta de assistência médica.

D) O Estilo de Vida de uma pessoa é o fator mais importante na longevidade.

Resposta: Letra D

119

Os pesos dos fatores que levam uma pessoa a ultrapassar os 65 anos de idade.

Fonte: Universidade Stanford, Estados Unidos

QUESTÃO (Descritor: analisar o gráfico apresentado e, utilizando o conceito de funções, identificar a afirmativa verdadeira)


Assunto: Gráficos / Porcentagens

Analise, atentamente, o gráfico a seguir.

Marque a afirmativa CORRETA relacionada às informações acima.

A) O gráfico apresenta todas as variáveis que influenciam na longevidade.B) A interdependência dos fatores com a longevidade pode ser representada por uma função do 2º Grau.C) Os fatores apresentados são as variáveis mais significativas para a longevidade.D) A Longevidade e os fatores apresentados representam uma função do 1º Grau.

Resposta: Letra C

120

Fonte: Pesquisa realizada na Universidade Stanford, Estados Unidos

QUESTÃO (Descritor: determinar o valor da razão áurea a partir da construção geométrica dada)


Assunto: Grandezas Proporcionais

As manifestações da Geometria na natureza vêm intrigando muitas pessoas ao longo do tempo.Nas proporções do corpo humano e na forma da concha do Nautilus, por exemplo, observa-se a chamada “razão áurea”, que pode ser obtida através da seguinte construção geométrica:

No quadrado PQRS, representado na figura ao lado, considere M o ponto médio do segmento PS. Construindo um círculo com centro no ponto M e raio MR, obtemos o ponto T no prolongamento de PS.

O retângulo de lados PT e QP é áureo e a razão entre esses lados é a razão áurea.

Calcule o valor dessa razão.

Resposta:Cálculo da razão Áurea:

Considerando L o lado do quadrado e x o raio do círculo temos:

121

Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci. As idéias de proporção e

simetria aplicadas à concepção da beleza humana.

Concha do Caramujo Nautilus.

A proporção em que cresce o raio do interior da concha dessa espécie de caramujo é a razão áurea

P

Q R

SM T

U

P

Q R

SM T

U

x

xL : 2

L

QUESTÃO (Descritor: utilizar o conceito de escala, calcular distância no mapa e distância na realidade de acordo com o problema proposto)



Nos mapas, nas maquetes e nas plantas de construções, as dimensões no desenho e na realidade mantêm uma proporcionalidade que é definida por uma escala.Observe o mapa, a seguir, no qual a escala utilizada é de 1 : 1 000 000.

Marque, a seguir, a afirmativa CORRETA, de acordo com ainformação fornecida.

A) A distância real de duas cidades que estão separadas 1,7 cm, no mapa, é de 170 km. B) A distância, no mapa, de duas cidades que estão afastadas 400 km uma da outra é de 40 cm.C) Para a escala fornecida, 1 cm, no mapa, corresponde a 1 000 000 m, na realidade.D) A escala utilizada é uma razão entre o comprimento real e o comprimento no mapa.

Resposta: Letra B

QUESTÃO (Descritor: calcular a escala de uma planta arquitetônica bem como as dimensões reais do quarto apresentado)



Na figura abaixo, estão representados dois cômodos da planta de uma casa. Na realidade, a sala é quadrada com lados de 6 m.

Calcule:

A) a escala na qual foi desenhada a planta da casa.

B) as dimensões reais do quarto da figura.

Resposta:

A) Cálculo da escala do desenho =

B) Cálculo das dimensões reais do quarto Como cada 1cm na planta corresponde a 200cm na realidade temos:

Comprimento =

Largura =

122

QUESTÃO (Descritor: calcular as dimensões solicitadas em uma maquete, a partir da escala dada)



A maquete de um prédio é uma redução, em escala, em três dimensões. Na maquete, todas as medidas de comprimento são proporcionais às medidas reais correspondentes.

Observe as seguintes fotos de um prédio de 48 m de altura, representado na maquete com escala 1 : 75.

Resolva o que se pede em cada item a seguir:

A) Calcule a altura da maquete.

B) A largura real das portas é de 85 cm. Calcule a largura aproximada das portas na maquete.

Resposta:

A) Calculo da altura da maquete:

B) Calculo da largura aproximada das portas na maquete:

QUESTÃO (Descritor: calcular a escala em um mapa a partir dos dados fornecidos no problema)



A distância aproximada de Belo Horizonte (M.G) a Brasília (D.F) é de 700 km.Marcela mediu essa distância em um mapa e obteve 20 cm. Calcule em que escala foi desenhado esse mapa.

Resposta:

Cálculo da Escala do Mapa:

123

Edifício na Cidade de São Paulo

Maquete do Edifício

Fonte: Fotos de Sérgio Dotta Jr.

QUESTÃO (Descritor: verificar se a razão entre a largura e altura do Partenon se enquadra em um retângulo de ouro)



Você acha que pode existir um número com propriedades mágicas, que represente beleza, perfeição e harmonia? Que teria sido utilizado através dos séculos por matemáticos, cientistas, artistas e por incrível que pareça, estaria presente na natureza?Pois esse número existe!

É um o irracional , de valor aproximado 1,618034 e é conhecido por número de ouro, razão de ouro ou

razão áurea.

Para os gregos, o número de ouro representa harmonia, equilíbrio e beleza. Por esse motivo, muitas construções gregas tinham como base esse número. Mas foi no século XIII que o matemático Fibonacci constatou que o número de ouro está presente também na natureza.

O Partenon tem 30,70 m de largura por 18,24 m de altura.

Essa construção se enquadra em um retângulo de ouro?

Justifique sua resposta por escrito utilizando argumentos matemáticos.

Resposta:

Sim. Porque a razão entre a largura e a altura é aproximadamente o valor da razão

áurea.

124

Foto do Partenon na Grécia

É possível desenhar vários retângulos de ouro um dentro do outro e, com eles, traçar uma espiral, modelo matemático da concha do caramujo

QUESTÃO (Descritor: utilizar a razão fornecida no texto apresentado com a finalidade de calcular uma incógnita em uma proporção)

Nível de Dificuldade:


Recomenda-se, ao motorista, não ingerir bebidas alcoólicas ao dirigir.Uma das conseqüências mais graves do consumo de álcool é o índice de acidentes registrados, muitos deles comvítimas fatais. Mesmo ingerido com moderação, o álcool provoca retardamento dos reflexos. Pelo atual código de trânsito, a velocidade limite nas rodovias brasileiras é de 110 km/h (aproximadamente 30,56 m/s), o que quer dizer que o veículo percorre uma distância de 30,56 metros a cada segundo.Imagine, então, um veículo se movendo em uma rodovia a 110 km/h, quando o motorista observa uma emergência em sua frente e aciona, firmemente, os freios. Essa reação do motorista ainda leva um certo intervalo de tempo para acontecer e iniciar, então, a desaceleração do veículo, o qual sofrerá ainda um certo deslocamento, até parar.Outro motorista, só que alcoolizado, levará, por exemplo, 0,5 segundos a mais que o anterior para acionar o freio. Nesse caso, o veículo vai percorrer um deslocamento maior e essa distância “a mais” poderá significar perda de vidas.

De acordo com o as informações acima, a distância que o motorista alcoolizado vai percorrer a mais que o outro, é de,aproximadamente,

A) 15 m.B) 10 m.C) 55 m.D) 60 m.

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: calcular a massa a partir da densidade de uma substância – razão entre sua massa e volume )



Um artigo recente na revista Veja ( Outubro 2007 ), informou que todo o ouro extraído pelo homem, desde a Antiguidade até os dias de hoje, seria suficiente para encher uma caixa cúbica de lado igual a 20 m. Como a densidade do ouro vale cerca de 20 g / cm3, pode-se concluir que a massa total de ouro extraído pelo homem, até agora, é de:

A) 1.600.000 quilogramas.B) 1,6 . 105

quilogramas.C) 1.600.000 toneladas.D) 1,6 . 105

toneladas.

Resposta: Letra D

125

QUESTÃO (Descritor: a partir de relações entre grandezas apresentadas no texto analisar as afirmativas)



“Sob uma força gravitacional 1 milhão de vezes menor do que a existente na superfície da Terra, a chama de uma vela não é amarela, mas azul. É que, “lá em cima”, o ar alimenta a chama mais lentamente e o pavio não solta fuligem, que, ao queimar, produz a cor amarelada. Se o homem conseguir controlar processos de queima como o da vela, a eficácia dos sistemas de combustão utilizados em indústrias aumentará significativamente. É a tecnologia sendo utilizada para o bem estar do nosso planeta.”

Fonte: Revista Super Interessante - Outubro 2007

Observe as figuras a seguir:

Marque a afirmativa INCORRETA de acordo com as informações anteriores.

A) A redução da queima de fuligem está relacionada diretamente com a melhoria da qualidade da chama, que, nesse caso, tornar-se-á mais azulada à medida que a combustão se tornar mais eficaz.

B) Em um local de gravidade 106 vezes menor do que a da Terra, a chama de uma vela será azul e de forma

aproximadamente esférica.C) A gravidade do nosso planeta é um dos fatores responsáveis pela forma e cor da chama proveniente da

queima da fuligem do pavio de uma vela.D) A eficácia dos sistemas de combustão utilizados em indústrias será maior se a chama for amarelada como

aquela causada pela queima da fuligem do pavio de uma vela.

Resposta: Letra D

126

QUESTÃO (Descritor: analisar a veracidade das afirmativas apresentadas a partir da relação entre as grandezas: massa, gravidade e peso)



“Perder peso” é prioridade de muitas pessoas que se submetem às mais diversas dietas, algumas absurdas do ponto de vista nutricional. O gato Garfield, personagem comilão, também é perseguido pelo padrão estéticoque exige magreza, mas resiste a fazer qualquer dieta, como mostra a tirinha a seguir:

Fonte: Folha de São Paulo

Analisando a “resposta” de Garfield, podemos afirmar corretamente que:

A) está incorreta, pois seu peso não poderá diminuir se sua massa permanecer constante, independente do valor da gravidade no planeta.

B) está correta, pois o peso de um corpo diminui quando a atração gravitacional exercida pelo planeta sobre ele é menor.

C) está correta, pois, se o seu peso se tornar menor em outro planeta, sua massa também diminuirá devido à redução da gravidade no planeta.

D) está incorreta, pois, se a gravidade do outro planeta for menor, a massa diminui, mas o peso não sofrerá nenhuma alteração.

Resposta: Letra B

QUESTÃO (Descritor: interpretar o texto apresentado e estabelecer uma relação entre massa de um corpo e sua inércia além de compreender e aplicar a 1ª Lei de Newton)



Um motorista desatento coloca malas em cima do seu veículo, sobre o bagageiro, e se esquece de amarrá-las. Em seguida, ele inicia sua viagem, mas na primeira curva da estrada as malas acabam caindo.Observe a figura a seguir.

A explicação para tal fato é simples: com o veículo em movimento, a bagagem têm a tendência de seguir em movimento reto e uniforme, devido às suas inércias. Quando o motorista gira o volante para realizar a curva, o atrito dos pneus com o solo vence a inércia da bagagem no veículo. A bagagem, por sua vez, segue em movimento reto e uniforme e acaba caindo.Comparando a inércia da bagagem em questão, podemos afirmar CORRETAMENTE que:

A) Toda a bagagem possui a mesma inércia.B) Quanto menor a massa da bagagem maior será sua inércia.C) A massa da bagagem é diretamente proporcional a sua inércia.D) A inércia da bagagem independe da massa da mesma.

Resposta: Letra C

127

QUESTÃO (Descritor: analisar o texto apresentado e identificar a relação entre grandezas que contribuem para o efeito estufa)



As Lâmpadas LED já substituem com grandes vantagens a velha invenção de Thomas Edison.

“... Enquanto uma lâmpada comum tem vida útil de 1.000 horas e uma fluorescente de 10.000 horas, a LED rende entre 20.000 e 100.000 horas de uso ininterrupto.

Há um problema, contudo: a lâmpada LED ainda custa mais caro, apesar de seu preço cair pela metade a cada dois anos. Essa tecnologia não está se tornando apenas mais barata. Está também mais eficiente, iluminando mais com a mesma quantidade de energia. Uma lâmpada incandescente converte em luz apenas 5% de energia elétrica que consome. As lâmpadas LED convertem até 40%. Essa diminuição no desperdício de energia traz benefícios evidentes ao meio ambiente. Nos países em que a energia é produzida a partir da queima de combustíveis fósseis, essa economia significa nove vezes menos gases do efeito estufa na atmosfera. Se metade de toda a iluminação mundial fosse convertida à tecnologia LED até 2025, seria possível economizar 120 gigawatts de eletricidade. Isso reduziria as emissões de dióxido de carbono em 350 milhões de toneladas por ano. As lâmpadas LED são a prova de que o desenvolvimento tecnológico é a forma mais eficiente de combater o aquecimento global.”

Fonte: A Evolução da Luz – Rafael Correa / Revista Veja – Editora Abril / edição 2039 – ano 40 – no 50 / 19 de dezembro de 2007

De acordo com o texto acima podemos afirmar corretamente que:

A) a emissão de gases responsáveis pela intensificação do efeito estufa seria nove vezes menor, se fosse utilizada apenas iluminação com a tecnologia LED,

B) A atual iluminação mundial é responsável por lançar, anualmente, 350 milhões de toneladas de dióxido de carbono na atmosfera.

C) As lâmpadas LED são 35% mais eficientes quando comparadas às lâmpadas incandescentes, por isso ajudam a combater o aquecimento global.

D) A perda de energia das lâmpadas incandescentes é oito vezes maior quando comparadas às lâmpadas que utilizam a tecnologia LED.

Resposta: Letra A

128

QUESTÃO (Descritor: interpretar o texto apresentado e, utilizando conceitos de razões, figuras semelhantes e cálculo da aresta de um cubo a partir do seu volume, resolver as questões propostas) Nível de dificuldade: Difícil


Leia, atentamente, o texto a seguir:

Na ilha grega de Delfos, existia um altar na forma de um sólido regular – um cubo.

Conta-se que, no século V a.C., uma epidemia de peste começou a se alastrar por Atenas. Foi formada uma comissão representando os habitantes dessa cidade, que procurou auxílio no oráculo de Delfos.

Receberam, como resposta da divindade, o seguinte:

“Construam um altar igual ao dobro do que já existe, também na forma de um cubo, e a peste terminará”.

Então, construíram esse novo altar, tomando-se como medida o dobro do lado do cubo já existente.A peste tornou-se ainda mais violenta.

Resolva cada item seguinte.

a) Dobrando-se as arestas do novo altar, ele ficou semelhante ao antigo altar?Justifique, por escrito, sua resposta.

b) Escreva qual o erro cometido pelos habitantes ao não compreenderem a instrução fornecida pela divindade no oráculo de Delfos.

c) Escreva o que a divindade quis dizer com: “Construam um altar igual ao dobro do que já existe, também na forma de um cubo...”

d) Calcule qual o valor do lado do novo altar, de forma que ele tenha o dobro do volume do altar já existente. Considere 1 m a aresta do altar já existente.

O.B.S: Imagine como seria difícil para os gregos resolverem essa situação, obedecendo a solução apresentada pela divindade, usando somente régua e compasso (instrumentos de trabalho dos gregos da época).

129

Apolo, Deus da Luz, Divino Arqueiro

Altar de Apolo

Ruínas do Templo de Apolo em DelfosFonte das Imagens: magiadailha.blogspot.com

Resposta:

a) Sim, porque a razão entre as arestas do novo altar e do antigo é constante.

b) Eles entenderam que deveriam multiplicar por 2 todas as arestas do cubo que representa o altar.

c) Construam um altar que possua o dobro do volume do altar existente.

d) Calculo do valor do lado do novo altar:

Volume do altar já existente: 1m . 1m . 1m = 1 m3

Volume do novo altar: 2 . 1 m3 = 2 m3

Valor do lado: x3 = 2 m3

130

xx

x

Fonte: Revista Veja – Editora Abril, edição 2066 – ano 41 – no

25 / 25 de Junho de 2008

QUESTÃO (Descritor: transformar números representados em potências de 10)


Assunto: Potenciação

Notação Científica é uma forma de escrever números muito grandes ou muito pequenos. Essa notação consiste em representar um fator n, que possui o intervalo de variação 1 n < 10 e a potência de dez correspondente. Os textos científicos geralmente utilizam essa notação por ser extremamente simples, além de facilitar qualquer cálculo que envolva esses números.

Leia atentamente o texto a seguir:

Qual a maior estrela conhecida?

Em termos de massa e brilho, a maior estrela é Pistola, na nebulosa de mesmo nome. Acredita-se que sua massa

seja 102

vezes maior do que a do Sol e que emita 107

vezes mais luz. Levando-se em conta apenas o tamanho -

e não a massa -, a maior estrela conhecida é uma gigante vermelha no sistema VV Cephei, cujo raio é 4 .103

vezes maior do que o do Sol. Se fosse colocada no lugar do Sol, ela engoliria Mercúrio, Vênus, Terra, Marte e Júpiter.

Marque a afirmativa INCORRETA relativa ao texto acima.

A) A massa da maior estrela é 100 vezes maior que a massa do Sol.B) A maior estrela conhecida, em relação ao tamanho, possui raio 4.000 vezes maior que o raio do Sol.C) Em relação ao Sol, a maior estrela conhecida possui massa 100 vezes maior e raio 4.000 vezes maior.D) O Sol emite 10.000.000 de vezes menos luminosidade, quando comparado com a estrela mais luminosa

Resposta: Letra C

131

QUESTÃO (Descritor: aplicar o conceito de potências no cálculo de áreas)



Na sala dos professores de uma escola, existe um mural de feltro com uma

moldura de madeira. A moldura ocupa uma área de 3100 cm2

, de acordo

com a figura representativa ao lado:

Analise as seguintes afirmativas feitas relacionadas às informações acima, e marque a CORRETA.

A) A área do feltro é dada pela potência ( a + 5 )2

.

B) O valor da área da moldura é maior que a área do feltro: 3100 cm2

> a2

.

C) A área ocupada pelo mural de feltro e a moldura de madeira poderá ser representada pela potência:

( a + 10 )2

+ 3100 cm2

.

D) O valor de a, representado na figura é calculado através da equação:

( a + 10 ) . 5 . 2 + ( a . 5 ) . 2 = 3100 cm2

.

Resposta: Letra D

QUESTÃO (Descritor: calcular potências e determinar uma sentença matemática utilizando potenciação)



O pessoal do controle de poluição jogou no lago um tipo de planta que fica na superfície da água e que vai crescendo e absorvendo as substâncias poluentes. Mais ou menos a cada 15 dias, dobra de tamanho a área da

superfície do lago coberta pela planta que, inicialmente, era de apenas 1 m2

.

Considere que um mês possui 30 dias.

A) Calcule a área coberta pela planta após 3 meses.

B) Agora calcule a área coberta pela planta após 6 meses.

C) Escreva uma sentença matemática ( em forma de potência ) para o cálculo da área coberta pela planta após n meses, para isso analise os cálculos realizados por você nos itens a e b acima.

Resposta:A) Cálculo da área coberta pela planta após 3 meses:

Considerando que em 3 meses temos 6 grupos de 15 dias, temos: 1m2

. 26

= 64 m 2

B) Cálculo da área coberta pela planta após 6 meses:

Considerando que em 6 meses temos 12 grupos de 15 dias, temos: 1m2

. 212

= 4096 m 2

C) Sentença matemática: A = 1m 2 . 2

2n , onde A = área coberta pela planta após n meses

132

n = número de mesesQUESTÃO (Descritor: determinar a solução do problema utilizando operações com potências de mesma base)



Leia atentamente a dúvida do aluno a seguir:

Escreva, utilizando artifícios matemáticos, a resposta para o questionamento do aluno.

Resposta:

Considerando o número desconhecido igual a X temos:

X = 4

O enunciado lido pelo aluno não é válido para qualquer número, apenas para o número 4.

QUESTÃO (Descritor: calcular as potências propostas)



Analise, atentamente, as seguintes afirmativas:

I ) III )

II ) IV )

Marque, a seguir, a alternativa CORRETA:

A) I, III e IV são verdadeiras.B) II, III e IV são verdadeiras.C) I, II e III são verdadeiras.D) I, II e IV são verdadeiras.

Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: calcular o expoente da potência de acordo com os dados do problema proposto)

133



Numa população de bactérias, há bactérias no instante t medido em horas (ou fração da

hora). Sabe-se que, inicialmente, existem bactérias. Marque a alternativa que possui o valor do tempo, em

minutos, que é necessário para que se tenha o dobro da população de bactérias inicial.

A) 30 minB) 15 minC) 12 minD) 10 min

Resposta: Letra D

QUESTÃO (Descritor: elaborar uma equação, utilizando potências, com a finalidade de verificar se a afirmativa apresentada é válida para qualquer número)



Marcelo, aluno curioso, encontrou a seguinte inscrição em um livro de matemática:

Quatro colegas de Marcelo deram as seguintes respostas:

Cláudia - A afirmativa do livro é válida para qualquer número, desde que seja natural e diferente de zero.André - Resolvendo a equação podemos verificar que não existe solução que satisfaça a condição proposta.Fabiana - Existe apenas um número que satisfaz a condição proposta no livro: o número 4.Gabriel - A afirmativa do livro só é válida para os números 0 e 4.

Marque a seguir a opção que representa o nome do (a) aluno (a) que respondeu corretamente ao questionamento feito por Marcelo.

A) Fabiana.B) Gabriel.C) André.D) Cláudia.

Resposta: Letra B

QUESTÃO (Descritor: transformar o problema proposto em uma expressão utilizando a potenciação)134



O pessoal do controle de poluição de certa cidade jogou no lago um tipo de planta que fica na superfície da água e que vai crescendo e absorvendo as substâncias poluentes. Mais ou menos a cada 15 dias, dobra de tamanhoa área da superfície do lago coberta pela planta que, inicialmente, era de apenas 1m2.

Com base nas informações acima, podemos afirmar CORRETAMENTE que:

A) a área da superfície do lago coberta pela planta após 3 meses é de 32 m2.B) a sentença matemática para o cálculo da área coberta (A) pela planta após n meses é A = 22n.C) para calcular o tempo em dias gasto pela planta para cobrir totalmente a superfície da água, basta resolver a

equação 2n = área total da superfície do lago.D) depois de 4 meses a área coberta pela planta é calculada através da potência 24.

Resposta: Letra B

135

QUESTÃO (Descritor: utilizar a Notação Científica e transformações de unidades para os cálculos propostos de acordo com dados do problema)


Assunto: Potências

Kilobyte, megabyte, gigabyte são algumas das unidades que indicam a capacidade de armazenamento de dados dos computadores, discos rígidos, pen-drives e demais instrumentos. A unidade mais elementar delas é o bit. Um conjunto de 8 bits forma um byte. Cada byte pode armazenar uma letra, um acento, um número, etc. Os múltiplos do byte são representados por potências de base 2. Mas, para facilitar os cálculos, os especialistas em computação utilizam potências de base 10.

Analise a notação utilizada:

Leia, atentamente, as informações de um microcomputador Contidas na gravura.

Responda cada item, considerando as informaçõesfornecidas nessa questão.

a) Escreva, em Notação Científica, a capacidade de bytes quea memória e o disco rígido deste computador possuem.

b) A capacidade de armazenamento de um CD “comum” é de700 MB. CALCULE, aproximadamente, quantos CDs equivalem à capacidade de memória do disco rígido do computador apresentado.

RESPOSTA:

a) Notação Científica:

Memória do computador = 128 MB = 128 . 1 000 000 bytes = 128 000 000 bytes = 1,28 . 10 8 bytes

Disco rígido do computador = 40 GB = 40 . 1 000 000 000 bytes = 40 000 000 000 bytes =

4,0 . 10 10 bytes

b) Cálculo aproximado da quantidade de CDs: 57 CDs

136

Fonte: Texto, Tabela e Imagem / Site: wwwintegral.com.br

QUESTÃO (Descritor: calcular a probabilidade de ocorrência de certo evento)


Assunto: Probabilidades

Uma montadora de veículos oferece quatro modelos, em cinco cores distintas, nas versões duas ou quatro portas. Um dos modelos, quando montado na versão quatro portas, apresentou defeito. A probabilidade de um consumidor adquirir um modelo com defeito é de:

A) 20% B) 12,5% C) 25% D) 40%

Resposta: Letra B

137

QUESTÃO (Descritor: aplicar a transformação de radicais em números com a finalidade de compará-los)


Assunto: Radiciação

Observe as quatro cartelas apresentadas a seguir:

O menor número, resultado das operações indicadas nas cartelas, está associado à cartela cujo animal é:

A) Um porcoB) Um gatoC) Um coelhoD) Uma borboleta

Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: calcular a aresta de um cubo utilizando o cálculo da raiz cúbica de um número natural)



O volume de um cubo é de 729 cm3

. Um segundo cubo tem medida de aresta 1 cm maior do que a do primeiro.

Marque a alternativa CORRETA relacionada às informações fornecidas acima.

A) O valor da aresta do primeiro cubo é de cm.

B) A área da face do segundo cubo possui duas unidades a mais que a do primeiro cubo.

C) A aresta do segundo cubo poderá ser calculada através da expressão .

D) O volume do segundo cubo possui 271 cm3

a mais que o volume do primeiro cubo.

Resposta: Letra D

138

aa

a

a + 1

a + 1

a + 1

Primeiro Cubo

Segundo Cubo

A

B C

11228

175

QUESTÃO (Descritor: calcular os lados e perímetro do triângulo apresentado bem como classificá-lo quanto aos ângulos utilizando operações com radicais.)



A professora de matemática apresentou o seguinte triângulo ABC para seus alunos.

Quatro alunos fizeram as seguintes afirmativas relativas à figura apresentada:

Aluno I - O triângulo apresentado é retângulo.

Aluno II - O perímetro do triângulo é .

Aluno III - O ângulo Â é obtuso.

Aluno IV - A diferença entre o maior e o menor lado desse triângulo é .

Marque a opção que apresenta o aluno que formulou uma afirmativa FALSA.

A) Aluno I.B) Aluno II.C) Aluno III.D) Aluno IV.

Resposta: Letra A

QUESTÃO (Descritor: aplicar propriedades dos radicais com a finalidade de obter o resultado de uma expressão numérica)



As simplificações são artifícios matemáticos de grande utilidade para que possamos calcular com rapidez o valor de uma expressão numérica.

Calculando o valor da expressão podemos afirmar

CORRETAMENTE que:

A) o antecessor do número natural representado pela expressão numérica é o número 3.B) o número natural que representa o valor da expressão numérica é um número par e primo.C) o sucessor do número natural representado pela expressão numérica é o número 4.D) o número que representa o valor da expressão numérica é um número irracional.

Resposta: Letra C

139

QUESTÃO (Descritor: calcular o resultado de uma expressão algébrica matemática utilizando operações com radicais)



Observe a seguinte expressão:

=

=

=

Resumindo, chegamos a esta sentença: =

Marque, a seguir, a afirmativa CORRETA:

A) A igualdade apresentada no final das simplificações da expressão apresentada é verdadeira para qualquer valor de a.

B) A expressão é igual a , desde que os valores atribuídos à variável a, sejam

maiores ou iguais a - 2.

C) Se atribuirmos o valor - 3 à variável a da expressão , seu valor numérico seria - 1, o mesmo

valor calculado através da expressão .

D) A igualdade apresentada no final das simplificações da expressão apresentada é falsa para qualquer valor de a.

Resposta: Letra B

140

0,16 m

0,20 m

0,16 m

0,20 m

0,16 m

0,20 m

0,16 m

0,20 m

QUESTÃO (Descritor: efetuar cálculos utilizando radicais para solucionar o problema proposto)



Uma parede quadrada de 10,24 m2

de área será revestida com azulejos retangulares de 0,20 m por 0,16 m.

A) Calcule quantas “fileiras” de azulejos serão colocadas na horizontal da parede se eles forem assentados de acordo com a figura a seguir: (deve-se desprezar o espaço de junção entre os azulejos)

B) Calcule neste item, quantas “fileiras” de azulejos serão colocadas na horizontal da parede se eles forem assentados de acordo com a nova figura a seguir: (deve-se desprezar o espaço de junção entre os azulejos)

C) Escreva um parágrafo, justificando sua resposta, se a quantidade de azulejos utilizada para revestir a parede depende da posição em que forem assentados.

Resposta:

A) Cálculo da quantidade de “fieiras” horizontais: Azulejos na posição

Quantidade de “fileiras” = 16 “fileiras” horizontais

B) Cálculo da quantidade de “fileiras” horizontais: Azulejos na posição

Quantidade de “fileiras” = 20 “fileiras” horizontais

C) A quantidade de azulejos necessários para o revestimento da parede não depende da posição do azulejo, pois será calculada, através do quociente entre a área da parede e a área do azulejo ( que é a mesma em ambas as posições).

141

QUESTÃO (Descritor: calcular o perímetro e a área de um retângulo cujas dimensões foram expressas utilizando radicais)



Observe o retângulo a seguir, que representa as dimensões, em metros, de uma sala de aula utilizada como laboratório de Ciências.

A) Calcule o perímetro do laboratório de Ciências.

B) Considerando que a bancada reservada para o professor ocupa uma área de 9 m2

e que cada aluno ocupa

uma área de 1,5 m2

, calcule aproximadamente quantos alunos cabem nessa sala.

Resposta:

A) Cálculo do perímetro da sala:

25,8 m

B) Cálculo da área da sala:

Cálculo da área da sala disponível aos alunos:

Cálculo da quantidade aproximada de alunos: ( ) : 31 alunos

QUESTÃO (Descritor: calcular o valor da expressão matemática envolvendo operações de radiciação e potenciação)



Calcule o valor da expressão matemática .

Não se esqueça de escrever sua resposta da forma mais simplificada possível.

Resposta:Cálculo do valor da expressão matemática:

=

142

5+3

7+5

QUESTÃO (Descritor: efetuar cálculos utilizando racionalização de denominadores.)



Calcule o número inteiro mais próximo do resultado da diferença entre e

Resposta:

Racionalizando os denominadores temos:

Inteiro mais próximo = - 9

QUESTÃO (Descritor: calcular o sucessor numérico do resultado de uma expressão matemática envolvendo radiciações e potenciações)



Calcule o Sucessor Natural do resultado da expressão numérica:

Resposta:

Cálculo do valor da expressão numérica:

Sucessor Natural do número 3 é o número 4.

143

QUESTÃO (Descritor: calcular o intervalo ao qual pertence o número irracional dado)



Observe a representação de uma parte da reta dos números reais a seguir:

Marque a alternativa que apresenta o intervalo correto ao qual pertence o número irracional .

A) Entre -1 e 0.B) Entre 0 e 1.C) Entre 1 e 2.D) Entre 2 e 3.

Resposta: Letra C

QUESTÃO (Descritor: calcular e classificar o resultado da expressão matemática, racionalizando os denominadores)



A professora de Matemática escreveu a seguinte expressão no quadro:

Quatro alunos simplificaram a expressão e formularam as afirmativas seguintes:

Aluno I - O resultado da expressão é um número irracional positivo.Aluno II - O resultado da expressão é um número inteiro negativo.Aluno III - O resultado da expressão é um número inteiro negativo.Aluno IV - O resultado da expressão é um número irracional negativo.

Marque a alternativa que apresenta o número do aluno que formulou uma afirmativa CORRETA.


Resposta: Letra A

144

0 1 2 3- 1

51

5

51

13

QUESTÃO (Descritor: realizar operações de potenciação e radiciação com a finalidade de calcular um dos lados, o perímetro, a área e as medidas das duas diagonais de um trapézio)



Calcule a medida do lado , o perímetro, a área e as medidas das duas diagonais da região plana

determinada pelo trapézio retângulo da figura apresentada a seguir.

Resposta:

Cálculo da medida do lado :

Cálculo do perímetro do Trapézio:

Cálculo da área do Trapézio:

Cálculo da diagonal do Trapézio:

Cálculo da diagonal do Trapézio:

145

.

. 3 cm

7 cm

2cm

A B

CD

.

. 3 cm

7 cm

cm

A B

CD

QUESTÃO (Descritor: calcular o perímetro e a área de um retângulo de lados representados por números irracionais)


Assunto: Radicais

A seguir foi apresentada uma propaganda veiculada na Revistinha da “Emília”.

O espaço utilizado pela propaganda é um retângulo quepossui as dimensões apresentadas na gravura.

Marque, a seguir, a afirmativa CORRETA.

A) A área do espaço utilizado pela propaganda é de .

B) Os radicais que representam as dimensões não são semelhantes .

C) O perímetro do espaço utilizado pela propaganda é de .

D) As dimensões representadas na figura são dízimas periódicas.

Resposta: C

QUESTÃO (Descritor: racionalizar o denominador da fração apresentada e identificar o resultado na forma irredutível)


Assunto: Radicais

Racionalizando o denominador da fração , quatro alunos obtiveram os seguintes resultados:

Marque a opção que apresenta o aluno que obteve a resposta CORRETA.

A) Aluno IB) Aluno IIC) Aluno IIID) Aluno IV

Resposta:A

146

Fonte: Revistinha da Emília 2001 TV Globo Ltda / Monteiro Lobato

-

-

Aluno I Aluno II Aluno III Aluno IV

- - -

cm3

20

cm274

QUESTÃO (Descritor: aplicar o conceito de soma de grandezas vetoriais de mesma direção e sentidos opostos e identificar o “erro” cometido por Aristóteles relacionado ao movimento dos corpos)


Assunto: Vetores

Aristóteles apresentou idéias marcantes sobre o Universo ao longo de sua vida e, mesmo depois de 2000 anos de sua morte, muitas delas ainda perduram. De acordo com as idéias aristotélicas, a explicação para o fato de uma bola que rola no chão parar após percorrer certa distância é:

A) Que os corpos em movimento tendem a parar devido à força de atrito. B) Que todo corpo em movimento tem força contrária que o faz parar. C) Que todo corpo tende a parar devido à inércia. D) Que objetos em movimento sempre voltam ao estado natural.

Resposta: Letra D

147

matemática 9º ano ef

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