matemática 2 teórico-prática 1 - paginas.isep.ipp.pt · g. y = x2 + 1 e y = 2x2 – 3 2....

Licenciatura em Engenharia Geotécnica e Geoambiente

Matemática 2

Teórico-prática 1

1) Calcule, caso sejam convergentes, os integrais impróprios:

a) ò+¥

0

2 dxe x

b) ò¥-

+1 12 2

dxex x

c) ò¥- +

0

2 dxx1x

d) ò+¥

¥-

dxex2x3

e) ò-¥+

0

2 24 dxx

xx

f) ò+¥

-0 21dx

ee

x

x

g) ò¥-

13 dxexx

h) ò+¥

¥-

dxex x

2) Determine os valores de k que tornam convergente o integral 𝒆𝒌𝒙𝒅𝒙&'𝟎

3) Determine o valor de k que verifica a igualdade 𝟐𝟒&𝒙𝟐

𝑑𝑥 = ./

&'0

Soluções

1)

a) Div

b) Div

c) Div

d) 0

e) Div

f) Div

g) 1234 12

h) Div

2) k < 0

3) k = 0


Matemática 2

Teórico-prática 2

1) Usando a definição, calcule a transformada de Laplace de cada uma das seguintes

funções:

a) 𝒇 𝒕 =2

b) 𝒇 𝒕 = 𝟐𝒕 + 𝟏,𝟎 ≤ 𝒕 < 𝟏𝟎,𝒕 ≥ 𝟏

c) 𝒇 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏𝒕,𝟎 ≤ 𝒕 < 𝝅𝟎,𝒕 ≥ 𝝅

d) 𝒇 𝒕 =𝟐,𝟎 ≤ 𝒕 < 𝟏𝒕𝟐

𝟐,𝒕 ≥ 𝟏

e) 𝒇 𝒕 = 𝐭𝐞𝟒𝐭

2) Utilizando as propriedades, calcule a transformada de Laplace de cada uma das seguintes

funções:

a) 𝒇 𝒕 = 𝟏 +𝐞𝟑𝐭

b) 𝒇 𝒕 = 𝟓𝐭𝟑 − 𝟒𝐜𝐨𝐬(𝟐𝐭)

c) 𝒇 𝒕 = 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐭

d) 𝒇 𝒕 = 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐭 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝐭)

3) Calcule a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:

a) 𝒇 𝒕 = 𝐭𝟑𝐞=𝐭

b) 𝒇 𝒕 = 𝐞𝟐𝐭𝐬𝐞𝐧𝐭

c) 𝒇 𝒕 = (𝐭 + 𝟐)𝟐𝐞𝐭

d) 𝒇 𝒕 = 𝐮𝟏(𝐭)(𝐭 − 𝟏)

e) 𝒇 𝒕 = 𝐮𝟐(𝐭)𝐭𝟐

f) 𝒇 𝒕 = 𝐮𝟑 𝐭 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝐭 − 𝟔)

g) 𝒇 𝒕 = 𝟐𝐬𝐞𝐧 𝐭 𝐮𝟎 𝐭 + 𝐞𝟐=𝐭𝐮𝟎 𝐭


Matemática 2 – 2010/2011

Teórico-prática 2

2

Soluções

1)

a) ℒ 𝑓 𝑡 = CD

b) ℒ 𝑓 𝑡 = CDE+ F

D− 𝑒=D C

DE+ H

D

c) ℒ 𝑓 𝑡 = IJKLMFFMDE

d) ℒ 𝑓 𝑡 = NDEMIJK =HDEMCDMCCDO

e) ℒ 𝑓 𝑡 = FN=D E

2)

a) ℒ 𝑓 𝑡 = FD+ F

D=H

b) ℒ 𝑓 𝑡 = HPDQ− ND

DEMN

c) ℒ 𝑓 𝑡 = FCD+ F

CDEMR

d) ℒ 𝑓 𝑡 = CDEMFS

3)

a) ℒ 𝑓 𝑡 = SDMF Q

b) ℒ 𝑓 𝑡 = FDE=CDMH

c) ℒ 𝑓 𝑡 = NDE=NDMCD=F O

d) ℒ 𝑓 𝑡 = IJK

DE

e) ℒ 𝑓 𝑡 = IJEK NDEMNDMCDO

f) ℒ 𝑓 𝑡 = DIJOK

DEMN

g) ℒ 𝑓 𝑡 = CDEMF

+ IE

DMF


Matemática 2

Derivadas parciais

1. Usandoadefiniçãodederivadaparcial,determinef’x(0,0)ef’y(1,−1)paraf(x,y)=xy2

2. Determineasderivadasparciaisdeprimeiraordemdasfunçõesdefinidaspor

a) f(x,y)=3x2-6xy+3y2

b) f(x,y)=x2ey+xy3sen(xy)

c) f(x,y)=ln(cos(xy))

d) f(x,y)=3xy

e) f(x,y)=sen(x/y)

f) f(x,y)= 3xy

3. Calculeasderivadasparciaisdesegundaordemdasfunçõesdefinidaspor

a) f(x,y)=sen(x+y)–sen(x–y)

b) f(x,y)=ln(xy)

c) f(x,y)=sen(xy)

d) f(x,y)=x2ln(y)+yex

4. Mostrequeasfunçõesdefinidasaseguirverificamasigualdadesindicadas

a) 02 22 =++÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ= ''

yy''xy

''xx fyfxyfx

xytg

xycos)y,x(f

b) ( ) ''yy

'y

'x

''xx

x/y fyffyfxex)y,x(f 22 2 =++-= -

c) ( ) 0224 =-= - ''yy

'x

x ffysene)y,x(f

d) 0=-++-= ''yy

''xx gg)yxlog()yxcos()y,x(g

e) ( )3 3 '' ' '( , ) ln xy x yh x y x y h h h= - + =

f) ( )2 2 '' ''( , ) ln 0xx yyw x y x y w w= + + =

5. UsandooteoremadeSchwarz,mostrequenãoexistenenhumafunçãof:IR2®IR

cujasderivadasparciaisdeprimeiraordemsão:

a) ( ) ( ) 22 1 yy,xf;xyy,xf 'y

'x =+=

b) ( ) ( ) xsenyy,xf;ysenxy,xf 'y

'x ==

6. Seja ( ) ( )( ), lnf x y sen xy= ,comx(t)=3t2e ( ) 21 tty += .Calcule ( )tdtdf

7. Considere ( ) ( )xysenyexy,xf xy 22 += ,ondex(t,s)=s2te ( ) tety = .Calculesfe

tf

¶¶

¶¶ .

8. Sendo )u(Fyz += ,comu=x2-y2proveque xyzx

xzy =

¶¶

+¶¶ .


Matemática 2

Derivadas parciais

Soluções

1. f’x(0,0)=0ef’y(1,−1)=-2

2. a) f’x=6x–6yef’y=6y–6x

b)f’x=2xey+y3sen(xy)+xy4cos(xy)ef’y=x2ey+3xy2sen(xy)+x2y3cos(xy)

c)f’x=( )

( )xycosxyseny- ef’y=

( )( )xycosxysenx-

d)f’x=3yxy-1ef’y=3ln(x)xy

e)f’x= ÷÷ø

öççè

æyxcos

y1 ef’y= ÷÷

ø

öççè

æ-yxcos

yx2

f) f’x=3

3

2 xy

y ef’y=3

2

2

3

xy

xy

3. a) f‘’xx=f’’yy=sen(x-y)-sen(x+y)ef’’xy=f’’yx=-sen(x+y)-sen(x-y)

b)f‘’xx= 21x- ef’’xy=f’’yx=0ef’’yy= 2

1y-

c)f‘’xx=-y2sen(xy)ef’’yy=-x2sen(xy)ef’’xy=f’’yx=cos(xy)–xysen(xy)

d)f‘’xx=2log(y)+yexef’’yy= 2

2

yx- ef’’xy=f’’yx= xe

yx+

2

6. ( ) ÷øö

çèæ +

+

+= 22

2

313

1

96 ttgcott

tttdtdf

7. ( ) ( )( ) ( )

( )( ) stxycosyyexxesfe

xysenyeexysyxycosexysxxsetf

xyxy

tttxy

22

22

32

2233222

++=¶¶

+++++=¶¶

comx(t,s)=s2te ( ) tety = .


Matemática 2 Integrais duplos

1. Calcule os integrais duplos seguintes, sendo D o domínio plano limitado pelas condições

indicadas:

a. x3ye0y,3x,1x,dydxyD

====òò

b. 2xyeyx,2x,1x,dydxxy3 2

D====òò

c. ( ) 2y,1y,x2y,2xy,dydxyx

D====+òò

d. xy2,xy,2x,0x,dydxyxx

D 22====

+òò

e. 2xy,xy,2y,1y,dydx 2

D====òò

f. ( )

2y,1y,x2y,xy,yx

dydxD 2

==-==+òò

g. ( ) ( ){ }0y0x4yx:y,xD,dydxyx 222D

³Ù³Ù£+ÂÎ=+òò

h. ( ){ }1y0y1x0x:y,xD,dydxxe 2D

y £Ù³Ù£Ù³ÂÎ=òò

i. ( ) ( ){ }2yxyx:y,xD,dydxy2x6 22D

2 £+Ù³ÂÎ=+òò

2. Inverta a ordem de integração nos seguintes integrais:

a. ( )òò4

3

2

1

dyy,xfdx

b. ( )òòx

x

1

0 3

dyy,xfdx

c. ( )òò-

-

2x1

0

1

1

dyy,xfdx

( ) ( )òòòò

-

+23

0

3

10

1

0

2y

ydxy,xfdydxy,xfdy.d

3. Calcule, invertendo a ordem de integração:

a. òò+

-

x1

x

1

0

dydx b. òò3

x3

y1

0

dyedx2

c. òò+

ydx

xdy02

1

0 11

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores


Teórico-prática 11

Soluções 1. a) 39 b) 67/32 c) 63/8

d) 212

2arctg-

p

e) 32411-

f) (1 – ln 2)/2 g) 16/3 h) (e – 1)/2

i) 99/2

2.

a) ( )òò2

1

4

3

, dxyxfdy

b) ( )òò3

2

,1

0

y

y

dxyxfdy

c) ( )òò-

--

2

2

1

1

1

0

,y

y

dxyxfdy

d)

dx0

1

∫ f x, y( ) dyx

3−2 x

∫

3. a) 2 b) (e9 – 1)/6 ( )2

4ln)c -

p


Matemática 2

Integrais duplos (cont.)

1. Calcule, utilizando integrais duplos, a área dos domínios planos limitados por:

a. y = x, y = -2 e x = 0

b. y = x+2, y = x-2, y = 2-x e y = -x

c. y = x e y2 = x

d. y = x2 e y = 2x + 3

e. y = x2 e x + y = 2 e y = 0

f. y = x e y = x2 – 2x

g. y = x2 + 1 e y = 2x2 – 3

2. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x no 1º Quadrante 3. Determinar a área da região limitada pelas curvas x=1, y = 2x e y = x no 1º Quadrante. 4. Calcule o valor de cada um dos seguintes integrais duplos passando a coordenadas

polares:

a. òò-

++

2y1

022

1

0

dydxyx1

1

b. ( ){ }001222 ³Ù³Ù£+ÂÎ=òò yxyx:y,xD,dydxxyD

c. ( )òò +D

dydxyx2 , sendo D limitado pelas circunferências x2 + y2 = 1 e

x2+y2 = 5.

d. òò --D

dydxyx 2216 , sendo D limitado pela circunferência x2 + y2 = 4.

e. òò- 24

0

2

0

ydydxy

f. ( )òò-

+

29

0

23223

0

xdxdyyx

g. òò- 22

0

2

0

xxdxdyxy

h. ,dydxxyarctg

Dòò ÷øö

çèæ

( ){ }xyyxyx:y,xD ££Ù£+Ù³+ÂÎ= 041 22222




2

Soluções 1.

a. 2

b. 4

c. 1/6

d. 32/3

e. 5/6

f. 9/2

g. 64/3

2. 4 3. 1/2 4.

a. 42lnp

b. 1/8 c. 6p

d. ( )338316

-p

e. 8/3 f. 243p/10 g. 2/3

h. 643 2p


Matemática 2

1) Determine e represente geometricamente os domínios de cada uma das seguintes funções:

a) ( )1

1322

2

++

-=

yxxy,xf

b) ( ) ( )221 yxlogy,xf --=

c) ( )xy

y,xf1-

=

d) ( )12

2

+

-=y

xyy,xf

e) ( )22

3yxxyy,xf+

=

f) ( ) 22 44 yxy,xf -+-=

g) ( ) yxexyy,xf 2+=

h) ( ) xeyyey,xf -+-= 2

i) ( )( )yxln

y,xf+

=1

2) Determine e represente geometricamente os domínios e as curvas de nível de cada uma das

seguintes funções: a) ( ) yxy,xf +=

b) ( ) 22 3yxy,xf +=

c) ( ) 22 yxy,xf +=

d) ( ) 22 3xyy,xf += e) ( ) ( )yxlny,xf -=

f) ( ) 224 yxy,xf --= 3) Quais das seguintes funções

( ) ;yxy,xf 22 3-= ( ) ;xyy,xg 22 3-=

( ) yxy,xh -=

têm as seguintes curvas de nível


Matemática 2

Soluções 1)

a) 𝐷 𝑓 = ℝ0

b) ( ) ( ){ }122 <+= yx:y,xfD

c) ( ) ( ){ }10 ³Ù¹= yx:y,xfD

d) ( ) ( ){ }2xy:y,xfD ³=

e) 𝐷 𝑓 = ℝ0\{(0, 0)}

f) ( ) ( ) ( ){ }2222 ££-Ù³Ú-£= yxx:y,xfD

g) 𝐷 𝑓 = ℝ0

h) ( ) ( ){ }2eye:y,xfD x ££=

i) ( ) ( ){ }xy:y,xfD ->= 1

2)

a) 𝐷 𝑓 = ℝ0; curvas de nível: rectas paralelas

b) 𝐷 𝑓 = ℝ0; curvas de nível: elipses com centro na origem

c) 𝐷 𝑓 = ℝ0; curvas de nível: circunferências com centro na origem

d) 𝐷 𝑓 = ℝ0; curvas de nível: elipses com centro na origem

e) ( ) ( ){ }yx:y,xfD >= ; curvas de nível: rectas paralelas

f) ( ) ( ){ }422 £+= yx:y,xfD ; curvas de nível: circunferências com centro na

origem

3) f – C e h - B


Matemática 2

Teórico-prática 9

1) Prove que não existem os limites:

a) ( ) ( ) yx

yxlim,y,x +

+®

200

b) ( ) ( ) yx

yxlim,y,x -

+® 00

c) ( ) ( ) 2200

2yxxylim

,y,x +®

d) ( ) ( ) 2200 yx

yxlim,y,x +

-®

2) Calcule, caso existam, os seguintes limites:

a) ( ) ( ) 22

2

00 yx

yxlim,y,x +®

b) ( ) ( ) 22

2

00 yxxlim

,y,x +®

c) ( ) ( ) 24

2

00 yxyxlim

,y,x +®

d) ( ) ( ) 22

2

00

2yx

xylim,y,x +®

3) Considere a função ( )22 yx

xyy,xf+

= . Calcule ( ) ( )

( )y,xflim,y,x 00®

ao longo das rectas

y = mx e ao longo da curva x = y2. Que conclusão pode tirar?

4) Prove que:

a) ( ) ( )

022

22

00=

+® yxyxlim

,y,x

b) ( ) ( )

( ) 6222

=+®

yxlim,y,x

c) ( ) ( )

( ) 101

=+®

yxlim,y,x

d) ( ) ( )

222

11=

--

® yxyxlim

,y,x

5) Verifique se são contínuas as funções:

a) ( )22

22

yxyxy,xf+

=

b) ( ) ( ) ( )

( ) ( )ïî

ïí

ì

=

¹+=

000

0022

22

,y,xse

,y,xseyxyx

y,xf

( ) ( ) ( )

( ) ( )ïî

ïíì

=

¹--

=330

3332

,y,xse

,y,xsexy

y,xf)c

( ) ( ) ( )

( ) ( )ïî

ïí

ì

=

¹--

=

112

1122 2

,y,xse

,y,xseyxyx

y,xf)d

Soluções 2) a) 0 c) Não existe limite b) Não existe limite d) 0 3) Não existe limite 5) a) Contínua em ℝ2\{(0, 0)} c) Contínua em ℝ2\{(3, 3)}



Teórico-prática 9

2

b) Contínua em ℝ2 d) Contínua em ℝ2\{(1, 1)}


Matemática 2


1. Usandoadefiniçãodederivadaparcial,determinef’x(0,0)ef’y(1,−1)paraf(x,y)=xy2

2. Determineasderivadasparciaisdeprimeiraordemdasfunçõesdefinidaspor

a) f(x,y)=3x2-6xy+3y2

b) f(x,y)=x2ey+xy3sen(xy)

c) f(x,y)=log(cos(xy))

d) f(x,y)=3xy

e) f(x,y)=sen(x/y)

f) f(x,y)= 3xy

3. Calculeasderivadasparciaisdesegundaordemdasfunçõesdefinidaspor

a) f(x,y)=sen(x+y)–sen(x–y)

b) f(x,y)=log(xy)

c) f(x,y)=sen(xy)

d) f(x,y)=x2log(y)+yex

4. Mostrequeasfunçõesdefinidasaseguirverificamasigualdadesindicadas

a) 02 22 =++÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ= ''

yy''xy

''xx fyfxyfx

xytg

xycos)y,x(f

b) ( ) ''yy

'y

'x

''xx

x/y fyffyfxex)y,x(f 22 2 =++-= -

c) ( ) 0224 =-= - ''yy

'x

x ffysene)y,x(f

d) 0=-++-= ''yy

''xx gg)yxlog()yxcos()y,x(g

e) ( ) 'y

'x

''xy hhhyxlog)y,x(h =+-= 33

f) 022 =+÷øö

çèæ += ''

yy''xx wwyxlog)y,x(w

5. UsandooteoremadeSchwarz,mostrequenãoexistenenhumafunçãof:IR2®IR

cujasderivadasparciaisdeprimeiraordemsão:

a) ( ) ( ) 22 1 yy,xf;xyy,xf 'y

'x =+=

b) ( ) ( ) xsenyy,xf;ysenxy,xf 'y

'x ==

6. Seja ( ) ( )( )xysenlogy,xf = ,comx(t)=3t2e ( ) 21 tty += .Calcule ( )tdtdf

7. Considere ( ) ( )xysenyexy,xf xy 22 += ,ondex(t,s)=s2te ( ) tety = .Calculesfe

tf

¶¶

¶¶ .

8. Sendo )u(Fyz += ,comu=x2-y2proveque xyzx

xzy =

¶¶

+¶¶ .

9. Verifiqueque,parau=f(x−y,y−x),setemux+uy=0.

10. MostrequeasseguintesfunçõessãohomogéneasesatisfazemoTeoremadeEuler.

a) f(x,y)=xey/x+y

b) ( )22

2

yxxyxy,xf

+

+=

c) ( ) ÷øö

çèæ +

=xyxseny,xf 2




2

d) ( ) 22 yxy,xf +=

Soluções

1. f’x(0,0)=0ef’y(1,−1)=-2

2. a) f’x=6x–6yef’y=6y–6x

b)f’x=2xey+y3sen(xy)+xy4cos(xy)ef’y=x2ey+3xy2sen(xy)+x2y3cos(xy)

c)f’x=( )

( )xycosxyseny- ef’y=

( )( )xycosxysenx-

d)f’x=3yxy-1ef’y=3ln(x)xy

e)f’x= ÷÷ø

öççè

æyxcos

y1 ef’y= ÷÷

ø

öççè

æ-yxcos

yx2

f) f’x=3

3

2 xy

y ef’y=3

2

2

3

xy

xy

3. a) f‘’xx=f’’yy=sen(x-y)-sen(x+y)ef’’xy=f’’yx=-sen(x+y)-sen(x-y)

b)f‘’xx= 21x- ef’’xy=f’’yx=0ef’’yy= 2

1y-

c)f‘’xx=-y2sen(xy)ef’’yy=-x2sen(xy)ef’’xy=f’’yx=cos(xy)–xysen(xy)

d)f‘’xx=2log(y)+yexef’’yy=2

2

yx- ef’’xy=f’’yx= xe

yx+

2

6. ( ) ÷øö

çèæ +

+

+= 22

2

313

1

96 ttgcott

tttdtdf

7. ( ) ( )( ) ( )

( )( ) stxycosyyexxesfe

xysenyeexysyxycosexysxxsetf

xyxy

tttxy

22

22

32

2233222

++=¶¶

+++++=¶¶

comx(t,s)=s2te ( ) tety = .


Matemática 2


1. Calcule os integrais duplos seguintes, sendo D o domínio plano limitado pelas condições

indicadas:

a. x3ye0y,3x,1x,dydxyD

====òò

b. 2xyeyx,2x,1x,dydxxy3 2

D====òò

c. ( ) 2y,1y,x2y,2xy,dydxyx

D====+òò

d. xy2,xy,2x,0x,dydxyxx

D 22====

+òò

e. 2xy,xy,2y,1y,dydx 2

D====òò

f. ( )

2y,1y,x2y,xy,yx

dydxD 2

==-==+òò

g. ( ) ( ){ }0y0x4yx:y,xD,dydxyx 222D

³Ù³Ù£+ÂÎ=+òò

h. ( ){ }1y0y1x0x:y,xD,dydxxe 2D

y £Ù³Ù£Ù³ÂÎ=òò

i. ( ) ( ){ }2yxyx:y,xD,dydxy2x6 22D

2 £+Ù³ÂÎ=+òò

2. Inverta a ordem de integração nos seguintes integrais:

a. ( )òò4

3

2

1

dyy,xfdx

b. ( )òòx

x

1

0 3

dyy,xfdx

c. ( )òò-

-

2x1

0

1

1

dyy,xfdx

( ) ( )òòòò

-

+23

0

3

10

1

0

2y

ydxy,xfdydxy,xfdy.d

3. Calcule, Invertendo a ordem de integração:

a. òò+

-

x1

x

1

0

dydx b. òò3

x3

y1

0

dyedx2

c. òò+

ydx

xdy02

1

0 11




Soluções 1. a) 39 b) 67/32 c) 63/8

d) 212

2arctg-

p

e) 32411-

f) (1 – ln 2)/2 g) 16/3 h) (e – 1)/2

i) 99/2

2.

a) ( )òò2

1

4

3

, dxyxfdy

b) ( )òò3

2

,1

0

y

y

dxyxfdy

c) ( )òò-

--

2

2

1

1

1

0

,y

y

dxyxfdy

d)

( )òò- x

x

dyyxfdx231

0

,

3. a) 2 b) (e9 – 1)/6 ( )2

4ln)c -

p


Matemática 2


1. Calcule, utilizando integrais duplos, a área dos domínios planos limitados por:

a. y = x, y = -2 e x = 0

b. y = x+2, y = x-2, y = 2-x e y = -x

c. y = x e y2 = x

d. y = x2 e y = 2x + 3

e. y = x2 e x + y = 2 e y = 0

f. y = x e y = x2 – 2x

g. y = x2 + 1 e y = 2x2 – 3

2. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x3e y = 4x no 1º Quadrante 3. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = 2x e y = x no 1º Quadrante. 4. Calcule o valor de cada um dos seguintes integrais duplos passando a coordenadas

polares:

a. òò-

++

2y1

022

1

0

dydxyx1

1

b. ( ){ }001222 ³Ù³Ù£+ÂÎ=òò yxyx:y,xD,dydxxyD

c. ( )òò +D

dydxyx2 sendo D limitado pelas circunferências x2 + y2 = 1 e

x2+y2 = 5.

d. òò --D

dydxyx 2216 sendo D limitado pela circunferência x2 + y2 = 4.

e. òò- 24

0

2

0

ydydxy

f. ( )òò-

+

29

0

23223

0

xdxdyyx

g. òò- 22

0

2

0

xxdxdyxy

h. ,dydxxyarctg

Dòò ÷øö

çèæ

( ){ }xyyxyx:y,xD ££Ù£+Ù³+ÂÎ= 041 22222




2

Soluções 1.

a. 2

b. 4

c. 1/6

d. 32/3

e. 9/2

f. 9/2

g. 64/3

2. 4 3. 2/3 4.

a. 42lnp

b. 1/8 c. 6p

d. ( )338316

-p

e. 8/3 f. 243p/10 g. 2/3

h. 643 2p


Matemática 2


1. Determine e represente geometricamente o domínio e as curvas de nível da função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 16 − 𝑥* − 𝑦* .

2. Mostre que não existe ( ) ( ) 24

2

00

3yxyxlim

,y,x +®

3. Calcule, caso exista, o limite( ) ( ) 22

2

00

5yxyxlim

,y,x +®

4. Considere a função f : IR2 ® IR definida por

( )( ) ( )

( ) ( )ïî

ïí

ì

=

¹+=

000

0022

,y,xse

,y,xseyx

xyy,xf

a) Mostre que f possui derivadas parciais de primeira ordem em todos os pontos.

b) Verifique que f é descontínua em (0, 0).

c) Estude a diferenciabilidade de f em (0, 0).

5. Considere a função: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦*—2𝑦 + 5𝑥*𝑦*, mostre que x2 f ’’

xx – y2 f ‘’yy + xy f ‘’

xy = 20 x2 y2

6. Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥*𝑦 − 𝑦*, onde𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑡 e 𝑦 = 𝑒4. Calcule 5654 quando t = 0.

7. Prove que a função 𝑓 𝑥, 𝑦 = 789:7

;

8, é homogénea e verifica a igualdade de Euler.

8. Inverta a ordem de integração e calcule òòòò-

+xx

dxdydxdy4

0

4

20

2

0

9. Calcule o valor do integral duplo passando a coordenadas polares: ( ) ( ){ }0y4yx:y,xD,dydxe 222

Dyx 22

³Ù£+ÂÎ=òò +-

Soluções

1. ( ) ( ){ }16222 £+ÂÎ= yx:y,xfD

3. 0 6. -2 8. 2 ( )1

29 4 -

p- -e.

matemática 2 teórico-prática 1 - paginas.isep.ipp.pt · g. y = x2 + 1 e y = 2x2 – 3 2....

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