universidade federal do rio grande do norte · seja a transformação : t: m 2x2 f a pertence a m...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

Álgebra Linear

AulaTransformações lineares hlcs

Resumo

•Transformações lineares

•Definição

•Núcleo

•Imagem

Transformações Lineares

•Definição

•Relação entre espaços vetoriais

•Preservação de operações*

•Aplicação linear ou Mapa linear


•Definição

•Uma transformação T de um espaço vetorial E em um espaço vetorial F será denotada por

T: E F

v T(v)

Onde u ϵ E, v ϵ E; T(u) ϵ F, T(v) ϵ F.

i) T(u + w) = T(u)+ T(w)

ii) T(.u) = λ.T(u), λ ϵ R


•Exemplo 1

Seja M2x2 o espaço vetorial da matrizes de ordem 2 x2 a valores reais, e F o espaço vetorial euclidiano R4. Seja

a transformação : T: M2x2 R4

Verifique que ela é uma transformação linear

d

c

b

a

dc

baT )(


•Exemplo 2

Seja M2x2 o espaço vetorial da matrizes de ordem 2 x2 a valores reais, e F o espaço euclidiano R, formado pela determinante de qualquer matriz de M2x2.

Seja a transformação : T: M2x2 F

A pertence a M2x2

Verifique que ela é não é transformação linear

)det()( AAT


•Propriedades importantes• Considere A e B duas transformações lineares :

• Então A+B é outra transformação linear.

• λ A é outra transformação linear.

•Definição: Seja T: E E

v T(v), então T é chamado

de operador linear.

Exemplo: I: E E

v I(v)=v; I é operador identidade.


•Exemplo: Seja n, m dois espaços euclidianos

Arbitrários.

A função T: n m é dita uma transformação linear se satisfizer as seguintes condições:

i) T(v + w) = T(v)+ T(w)

ii) T(.v) = .T(v), ϵ

Onde v=(v1,v2,..., vn); w=(w1,w2,..., wn)

e T(v)=z=(z1,z2,..., zm); T(w)=(y1,y2,.., ym)


•Exemplos•T: 2 2 (operador dilatação |k|>0, contração 0<|k|<1)

•T(v)=k.v •T: 2 3

•T(x,y)=(3x,-2y,x-y)•T: 3 2 (projeção)

•T(x,y,z)=(x,y)

•T: 5

•T(x,y,z,w,s)=(x+y-z+w-s)


• Mais exemplos

1. Seja TA : Rn Rm uma operação tal para todo

v ϵ Rn, T(v)= A v, onde Amxn é uma matriz. Provar que ela é uma T.L.

2. Provar que para toda T.L. entre dois espaços vetoriais, T(-u)= - T(u), T(u-v)=T(u)-T(v).

3. Defina geometricamente no plano a seguinte T.L. T: R2

R2 , T(v) = w, v = (x,y), w = (x+α.y,y). V e w são vetores de R2.


• Mais exemplo4.- Seja Pn o e.v. dos polinômios de grau maximo n. Seja

D : Pn Pnum operador derivada. Tal que

D(f) = f’, para todo f de Pn e com as propriedades

usuais de derivação. Mostre que D e linear.

5.- Explique se T: 4 2 , T(x,y,z,w)=(x+y+1,z-w), é uma transformação linear.

6.- Seja E=C0[a,b] Ϲ , o espaço vetorial das funções contínuas f: [a,b] → . Podemos definir a funcional σ: E → , mostre que ela

é funcional linear dxxffb

a )()(


•Continua7. Considere a matriz de rotação R(ϴ), tal que

V´ = R(ϴ) V, onde V´=(x´,y´) ϵ 2 e V=(x,y) ϵ 2

Esta matriz transforma o vetor V no vetor V´ ao realizar uma rotação do vetor V no ângulo ϴ ao redor do eixo “Z”. Sendo a matriz R

Mostre que a matriz de rotação R é uma transformação linear

)cos()sin(

)sin()cos(R


•Observação

Em toda transformação linear T: EF, tem-se que

• T(0) = 0 (provar).

• T(-u)= -T(u)

•T(u - v)=T(u) – T(v) para todo u,v ϵ EExercício 8.- Seja L: 2 , L(x,y) = 2x + 4

é uma transformação linear?

Exercício 9.- F(u) = |u|2 é uma transformação linear?,

u é um vetor de Rn


Transformações do plano no planoVamos apresentar uma visão geométrica das transformações lineares, dando alguns exemplos de transformações do plano no plano.•Expansão ou contração uniforme:

T : R2 R2, R tal que T(u) = .u(x,y) (x,y)

• Reflexão em torno do eixo x:T: R2 R2

(x,y) (x, -y)• Reflexão na origem:

T: R2 R2

(x,y) (-x, -y)•Rotação de um ângulo t no sentido anti horário:

R: R2 R2 , R(x,y) (x cos t – y sen t, y cos t + x sen t)


Continua...• Reflexão em relação ao eixo y = x:

T : R2 R2, (x,y) (y,x) (verificar que é uma reflexão)

• Dilatação na direção x:T: R2 R2

(x,y) (α x, y) , 1< α, α é número real.• O cisalhamento do exercício 3

T: R2 R2

(x,y) (x + α y, y)Rotação no espaço euclidiano R3

•Rotação de um ângulo ϴ no sentido anti horário ao redor do eixo +z:R(ϴ): R3 R3 , R(x, y, z) (x cos ϴ – y sen ϴ, y cos ϴ + x sen ϴ,z)


•Teorema

•Se T:EF é uma transformação linear, {e1,e2,...,en} é base de E e 1, 2,..., n são números reais, então:

T(1 e1+ 2 e2+... n en)=

1 T(e1)+ 2 T(e2)+…+ nT(en);

Provar que:

{T(e1),T(e2),...,T(em)} é L.I. em F


•Exemplo

1. Seja T: 3 2 uma transformação linear e B={v1,v2,v3} uma base do 3 , onde v1=(0,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(1,1,0); determine T(V) sabendo que

V=(5,3,-2), T(v1)=(1,-2),T(v2)=(3,1) e T(v3)=(0,2).


•Exemplo

2. Encontre, caso exista, T: 2 3 tal que T(1,1)=(3,-2,1) e T(0,-2)=(0,1,0).

Rpta: T(x,y)=(3x, -(3x+y)/2 , x)


•Núcleo


•Núcleo: Definição• Seja T:EF, o núcleo de uma transformação linear esta formado pelos vetores de E tal que T(V)=0.

• N(T)=Ker(T)={v E; T(v)=0}

• O núcleo de T também e chamado de Kernel de T.

Importante:

• N(T) é um subespaço vetorial de E (provar)

•Exemplo: calcule o núcleo de T: R2 R2

T(x,y) = (x+y, 2x-y)


•Imagem


•Imagem

•Seja T:EF

Imagem de uma transformação linear: conjunto de vetores w F que são imagens de pelo menos um vetor v E.

•Im(T)= {w F; T(v)=w, para algum v E}

•Provar que Im(T) é subespaço de F.


•Teorema

•Sejam E e F espaços vetoriais de dimensão finita e T:EF uma transformação linear, tem-se:

dim(E) = dim(N(T)) + dim(Im(T)),

Dim(N(T)) = nulidade da transformação linear.

Dim(Im(T))= Posto da transformação linear


•Exemplos1.- Seja T: 3 3 , uma transformação linear

(x,y,z) T(x,y,z)=(x,y,0)

2.- Seja T: 2 , uma transformação linear(x,y) T(x,y)=x+y,

3. Seja a transformação linear T: 3 3 , onde T(x,y,z)=(x-y+2z , 2x+y-z , 3x+z).a) Determine o núcleo e a imagem de T em cada casso.

b) Determine a dimensão do núcleo e da imagem em cada casso.


•Exemplo: Seja a transformação linear T:

M2x2()M2x2(), definida por: T(x)=A x – x A. Encontre o núcleo e a Imagem de T. A matriz A é dada por :

•Observe que x é uma matriz de M2x2()

10

21A


•Solução:

Núcleo={x / T(x)=0}, ou seja A x – x A = 0

A x = x A

Considerando

dc

bax

10

21

10

21

dc

ba

dc

ba

dcc

baa

dc

dbca

2

222


•continuação:

•Núcleo de T é o subespaço de M2x2() gerado pela base:

ad

badb

c

aca 22

0

2

00

10

10

01

0ba

a

bax

00

10,

10

01


•continuação:

Imagem: Im(T)={ y / Y=T(x)}, y=A x – x A. para algum x.

10

21

10

21

43

21

dc

ba

dc

ba

yy

yy

dcc

baa

dc

dbca

yy

yy

2

222

43

21

c

adc

yy

yy

20

222

43

21

00

20

20

02

00

20

43

21dca

yy

yy


•Segue...

Como existem apenas dois vetores LI, a base da Imagem é:

O conjunto imagem esta formado pelo espaço gerado por estes 2 “vetores”

10

01

00

10

b

abba

010

01

00

10.I


• Dim(E= M2x2())= 4

Dim(N(T))=2,

Dim(Im(T))=2, logo se verifica que

Dim(E)= 4= Dim((N(T))+ Dim(Im(T))


•Exercícios importanteSeja T uma transformação linear de R3 em R3

tal que T: v T3x3 v (multiplicação matricial da matriz de T pelo vetor coluna v ). v’= T v

Ou seja

a) Determine a núcleo e a imagem de Tb) Determine a dimensão do cada um deles.Resposta: Dim(N(T)) = 1, Dim(Im(T)) = 2

z

y

x

z

y

x

602

031

110

'

'

'


•Exercícios Anton

•Pag. 262

•3-10, 12-14, 16

•Pag. 266

•1-8, 11

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

www.ect.ufrn.br

universidade federal do rio grande do norte · seja a transformação : t: m 2x2 f a pertence a m...

Documents