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Formas cuadráticas
Prof. Jesús Hernández TrujilloFacultad de Química, UNAM
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 1/16
Ecuación cuadrática en dos variables:
ax2 + 2bxy + cy2 = d
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 2/16
Ecuación cuadrática en dos variables:
ax2 + 2bxy + cy2 = d
Forma cuadrática en dos variables:
q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 2/16
Ejemplos:
f(x, y) = x2 + y2
0.5
1
1.5
2
–1
–0.5
0.5
1
–1
–0.5
0.5
1
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 3/16
Ejemplos:
f(x, y) = x2 + y2
0.5
1
1.5
2
–1
–0.5
0.5
1
–1
–0.5
0.5
1
Contornos: f(x, y) = k
En este caso:circunferencias
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 3/16
f(x, y) = 2x2 + xy + 3y2
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 4/16
f(x, y) = 2x2 + xy + 3y2
Contornos?
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 4/16
f(x, y) = 2x2 + xy + 3y2
Contornos?
–1
–0.5
0.5
1
–1–0.50.51
Elipses
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 4/16
f(x, y) = 2x2 + xy + 3y2
Contornos?
–1
–0.5
0.5
1
–1–0.50.51
Elipses
Gráficas de las ecuaciones cuadráticas: cónicas
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 4/16
Cualquier forma cuadrática
q(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2
puede expresarse como un producto matricial:
(
x y
)
(
a b
b c
)(
x
y
)
= XtMX
donde
X =
(
x
y
)
y M =
(
a b
b c
)
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 5/16
Forma cuadrática en n variables {x1, x2, . . . , xn}:
q(x1, x2, . . . , xn) =
n∑
i
n∑
j
λijxixj
En forma matricial:
q(x1, x2, . . . , xn) = XtΛX
donde la matriz Λ tiene elementos (Λ)ij = λij
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 6/16
A partir de la matriz Λ es posible obtener una matrizsimétrica
M =1
2
(
Λ + Λt)
tal que
q(x1, x2, . . . , xn) = XtMX
M es simétrica pues M t = M
Además, toda matriz simétrica es diagonalizable
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 7/16
Mediante una transformación lineal, es posible reducircualquier forma cuadrática a la forma canónica:
q(x′1, x′
2, . . . , x′
n) =n∑
i
di(x′i)
2 = X ′tDX ′
en las variables {x′1, x′
2, . . . , x′
n}, donde
D =
d1 0 . . . 0
0 d2 0 . . ....
......
...0 . . . 0 dn
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 8/16
A partir de M se obtiene la matriz diagonal D mediante laecuación de valores propios:
Mv = dv
o de manera equivalente:
Mv = dIv ; (M − dI) v = 0
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 9/16
A partir de M se obtiene la matriz diagonal D mediante laecuación de valores propios:
Mv = dv
o de manera equivalente:
Mv = dIv ; (M − dI) v = 0
Los valores propios se obtienen a partir de
det (M − dI) = 0
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 9/16
Sustituir d = d1, d = d2, . . . en la ecuación de valorespropios:
(M − d1I) v1 = 0 , (M − dI) v2 = 0 . . .
Para obtener los vectores propios:
v1 =
v11
v12
...
, v2 =
v21
v22
...
, . . .
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 10/16
La transformación lineal (rotación de coordenadas) selleva a cabo con la matriz
V =
v11
v12
...
v21
v22
......
......
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 11/16
La transformación lineal (rotación de coordenadas) selleva a cabo con la matriz
V =
v11
v12
...
v21
v22
......
......
La matriz diagonal es
D = V tMV
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 11/16
La transformación lineal (rotación de coordenadas) selleva a cabo con la matriz
V =
v11
v12
...
v21
v22
......
......
La matriz diagonal es
D = V tMV
Las nuevas coordenadas son
X ′ = V tX
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 11/16
Ejemplo:
Describe la cónica 2x2 + xy + 3y2 = 2
La ecuación puede escribirse en forma matricial como
XtMX = 2
donde
X =
(
x
y
)
y M =
(
2 1
21
23
)
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 12/16
D =
(
5+√
2
20
0 5−√
2
2
)
=
(
3.207 0
0 1.793
)
y la matriz
V =
(
0.383 −0.924
0.924 0.383
)
realiza la transformación a las nuevas coordenadas:
X ′ =
(
x′
y′
)
= V tX =
(
0.383x + 0.924y
−0.924x + 0.383y
)
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 13/16
Es decir, la matriz V realiza la rotación al nuevo sistema decoordenadas
x′ = 0.383x + 0.924y
y′ = −0.924x + 0.383y
de donde
x = 0.383x′ − 0.924y′
y = 0.924x′ + 0.383y′
Mediante combinaciones lineales de los vectores base{ı̂, ̂} se obtiene {ı̂′, ̂′}
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 14/16
Es decir, la matriz V realiza la rotación al nuevo sistema decoordenadas
x′ = 0.383x + 0.924y
y′ = −0.924x + 0.383y
de donde
x = 0.383x′ − 0.924y′
y = 0.924x′ + 0.383y′
Mediante combinaciones lineales de los vectores base{ı̂, ̂} se obtiene {ı̂′, ̂′}
Calcula los vectores ı̂′ y ̂′
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 14/16
Al sustituir x y y en
2x2 + xy + 3y2 = 2
se obtiene la ecuación de la cónica en los ejes x′ y y′:
3.208(x′)2 + 1.794(y′)2 = 2
o bien(
x′
0.790
)2
+
(
y′
1.506
)2
= 1
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 15/16
Al sustituir x y y en
2x2 + xy + 3y2 = 2
se obtiene la ecuación de la cónica en los ejes x′ y y′:
3.208(x′)2 + 1.794(y′)2 = 2
o bien(
x′
0.790
)2
+
(
y′
1.506
)2
= 1
¿A qué tipo de lugar geométrico corresponde?
Formas cuadráticas/Jesús Hernández Trujillo– p. 15/16
Se trata de una elipse:
x
y x ′
y ′
x′ y y′ son los ejes principales
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