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Universidade Nove de Julho

UNINOVE

Material de apoio

Fundamentos de Matemática

Curso: CIÊNCIAS CONTÁBEIS

Material elaborado por: Professora Marcia Terezinha dos Reis Santos

Professor Ms. Marcio Dorigo

Professora Nadya Aparecida de Ávila

Professor Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva

Professor Sérgio Rollo dos Santos

Professora Simone Santana

São Paulo, 2013

Marcia Terezinha dos R. Santos,Marcio Dorigo, Nadya Aparecida de Ávila, Paulo Sergio P. da Silva, Sérgio R. dos Santos e Simone Santana -


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APRESENTAÇÃO

Caro(a) aluno(a),

Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam diante

de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras específicas,

diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e profissional. Esse

universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será que conseguiremos

dominar todas essas novidades e sobreviver a elas?

Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e linguagens e,

assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas que seguem,

oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e acadêmico. Não

pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída, longe disso. Você só

aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das ferramentas. No início

lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a decodificá-las e a utilizá-las

corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu vocabulário quanto de seu repertório

de práticas.

O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o desejo de

aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da

realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo principal

mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, os conceitos fundamentais de matemática e suas

aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil compreensão.

Vale salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e

apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve como

complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui, em hipótese

alguma, a pesquisa em livros específicos.

Os autores,

Todos os direitos reservado e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/98.

Nenhuma parte desta apostila, sem autorização prévia por escrito dos

autores, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem

os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos,

gravação ou quaisquer outros.



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EXPRESSÕES NUMÉRICAS

As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem números. Devemos lembrar de que

existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão numérica.

Resumidamente:

1) Parênteses ( )

2) Colchetes [ ]

3) Chaves { }

4) Potência ou Radiciação

5) Multiplicação

6) Soma ou Subtração

Veja o exemplo abaixo:

[6 + (9 / 3) . (2 + 2 + 42) - 14

0 . (40 : 8 -3)] / (5 – 3)

[6 + 3 . (4 + 16) - 1 . (5 -3)] / 2

[6 + 3 . (20) - 1 . 2] / 2

[6 + 60 - 2] / 2

64 / 2

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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também

denominadas expressões literais.

Exemplos

A = 2a + 7b

B = (3c + 4) – 5

C = 23c + 4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser

substituída por um valor numérico.

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

Potenciação ou Radiciação

Multiplicação ou Divisão

Adição ou subtração



4

4

Observações:

Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver

dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto ( . ) ou às vezes sem sinal, desde que fique clara

a intenção da expressão.

Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.

Exemplos:

Consideremos P = 2A+10 e tomemos A = 5. Assim

P = 2(5) + 10

P = 10 + 10

P = 20

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão

indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

A = 2(9) + 10

A = 18 + 10

A = 28

Quando A = 9, o valor numérico de P = 2A+10 é igual a 28.

Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A = 5 e B = 7. Desse modo:

X = 4(5) + 2 + 7 – 7

X = 20 + 2 – 0

X = 22

Quando A = 5 e B = 7, o valor numérico de X = 4A + 2 + B - 7, é igual a 28.

Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C = -2 e D = 1. Então :

Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2)

Y = 18 + 2 + 9 + 1 –16

Y = 30 –16

Y = 14

Se C = -2 e D = 1, o valor numérico de Y = 18 – C + 9 + D + 8C, é 14.

Operações Algébricas

Adição e Subtração

Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes.

Ex: 7xy – xy + 5xy. Os termos xy são semelhantes, portanto basta adicionar ou subtrair a parte numérica

e conservar a parte literal.

Solução: (7-1+5).xy = 11xy.

OBS: Quando a expressão algébrica tiver sinais de associação e for precedido por um sinal negativo,

devemos trocar todos os sinais de dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x – 5x = 3x

b) 7x – ( 4x – 5) = 7x – 4x + 5 = 3x + 5



5

5

E X E R C I C I O S

1) Calcule o valor das expressões numéricas;

a) (-3)2 – 4 – (-1) + 5

2 =

b) 15 + (-4) . (+3) – 10 =

c) 52 + 9 - [(+20) : (-4) + 3] =

d) 5 + (-3)2 + 1 =

e) 10 + (-2)3 – 4 =

f) 18 - (+7) + 32 =

g) (-2)3 + (– 3)

2 – 25 =

h) (-3)2 . (+5) + 2 =

i) 49 + 23 – 1 =

j) 40:[(-1)9 + (-2)

3 – 11] =

k) 10 – [5 + (-2) + (-1)] =

l) 2 – {3 + [4 – (1 -2) + 3] -4} =

m) 50:{-5 + [-1 – (-2)5 + (-2) + 3]} =

n) 72 – [6 – (-1)

5 – 2

2] =

2) Resolva as expressões algébricas:

a) 5ab – 2ab + ab =

b) 3y + (-2y) =

c) 4xy + (-3xy) + 5xy =

d) 5y + 4y – 3 =

e) 6a + 2ab + (-3a) =

f) 19x3 – 34x

3 + (-2y) =

g) 5x9 + 12 x

9 =

h) 4x5y

6 – 6 x

5y

6 =

i) (6x3 + 2x

2 – 3x + 1) + (2x

3 - 4x

2 + 2x - 2) =

j) (x5 - 3x

2 + 2) - (4x

5 + x

3 - 4x

2 + 2) =

3) Para as expressões a seguir se, x = 2 e y = -3, encontre o valor de A.

a) A = 3x + 2y

b) A = -4x + 3y

c) A = y + 3x

d) A = -5x + y

Respostas:

1a)31 1h) 47

b) -7 i) 14

c)30 j) -2

d)15 k) 8

e) -2 l) -5

f) 20 m) 50/27

g)) -24 n) 46

2 a) 4ab 2f) -15x3 – 2y

b) y g) 17x9

c) 6xy h) -2x5y

6

d) 9y – 3 i)8x3 – 2x

2 – x - 1

e) 3a + 2ab j) -3x5 – x

3 + x

2

3a) A=0 b) A =-17 c) a=3 d)A = -13



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6

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

* Adição e subtração com denominadores iguais

Para se efetuar o cálculo com frações com denominadores iguais, siga os exemplos abaixo:

4/20 + 5/20 + 6/20

Neste caso, soma-se ou subtrai-se os numeradores e conserva-se os denominadores:

Resultado da fração acima: 15/20

* Adição e subtração com denominadores diferentes

Neste caso efetua-se a substituição das frações dadas por outra equivalentes, fazendo uso do cálculo do

MMC dos denominadores.

1/4 + 1/2 + 2/3

MMC (4,2,3) = 12

Assim:

3/12 + 6/12 + 8/12 = 17/12

* Multiplicação de frações

Os passos para se efetuar uma multiplicação de frações são simples:

1) Multiplicar o numerador, dando origem a outro númerador

2) Multiplicar o denominador, dando origem a outro denominador

Exemplos:

a) 2/5 x 3/2 =6/10

b) 4/3 x 1/5 x 1/4 =4/60 (Neste caso podemos simplificar por 4) =1/15

* Divisão de frações

Para dividir uma fração deve-se multiplicar o primeiro número pelo inverso do segundo número da

equação dada, ou seja, o dividendo pelo inverso do divisor.

Exemplos:

a) 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 x 7/2 =21/10

b) 2/3 ÷ 1/6 = 2/3 x 6/1 = 12/3 (Neste caso podemos simplificar) =4



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7

E X E R C I C I O S

1. Calcule os resultados das expressões

a)11 + (1/2 + 2/5) R.11 9/10

b) 2 /3 x 4/5 R. 8/15

c)7/3 x 3/4 R. 7/4

d ) 1/2 ÷ (1 +3/4) R. 2/7

2 - Quanto vale 3/4 de 480 ? R.360

Problemas com frações:

01 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18

metros de couro ? R. 30 cintos

02 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ? R. 135

03 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5.456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio,

quantos ladrilhos seriam necessários ? R. 5.115

04 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?

R. R$ 8.344,00

05 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?

R. 15

06 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ? R. R$ 170,00

07 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número? R. 189

08 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ? R. 48

09 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é

esse ? R.72

10 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ? R. 128

11 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00.

Quanto tinha o velho Áureo? R. R$ 1.722,00

12 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ?

R. R$ 139,50

13 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$

18,00. Quanto sobrou? R. R$ 136,00



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REGRA DE TRÊS SIMPLES

Utilizamos o conceito para o estudo de grandezas que se relacionam através de uma proporção.

Quando duas grandezas aumentam ou diminuem temos grandezas diretamente proporcionais.

Quando, entre duas grandezas, uma das grandezas aumenta e a outra diminui, temos grandezas

inversamente proporcionais.

Problemas de aplicação

Grandezas diretamente proporcionais

1. Uma máquina, trabalhando durante 4 horas, produz 600 peças. Quantas peças iguais serão

produzidas por essa máquina se ela trabalhar durante 9 horas?

horas peças

4 600

9 x

Resolução: x

600

9

4 350.1

4

540054004600.94 xxxx peças

Grandezas inversamente proporcionais

2. Para realizar um certo serviço 6 máquinas gastam 24 dias. Em quantos dias 8 máquinas iguais as

primeiras fariam o mesmo serviço?

máquinas dias

6 24

8 x

Resolução: 188

14414486.248

6

824 xxxx

x dias

Exercícios Propostos

1. Se 12 m de certo tecido custam R$ 600,00, qual é o preço de 20 m do mesmo tecido?

2. Com 5 kg de farinha de trigo são fabricados 200 pães. Quantos pães iguais aos primeiros serão

fabricados com 8 kg de farinha de trigo?

3. Uma torneira despeja 40 litros de água em 8 minutos. Quanto tempo levará para encher totalmente

um recipiente cuja capacidade é 600 litros?

4. Um automóvel com velocidade média de 60 km/h percorre certa distância em 45 minutos. Se a

velocidade média fosse de 75 km/h em quantos minutos o automóvel faria a mesma distância?

5. Numa marcenaria 10 operários produzem certo número de peças em 8 dias. Quantos operários

seriam necessários para produzirem o mesmo número de peças em 5 dias?

6. No transporte de cimento para a construção de um edifício foram utilizados 12 caminhões de 6 m3

cada um. Quantos caminhões de 9 m3 cada um seriam necessários para fazer o mesmo transporte?

7. Pra pintar uma parede de 30 m2 foram gastos 15 litros de tinta. Quantos litros da mesma tinta

serão gastos para pintar uma parede de 18 m2 ?

8. Um relógio atrasa 4 minutos em cada 24 horas. Quantos minutos atrasará em 60 horas?

9. 24 operários levam 60 dias para construir uma loja. Em quantos dias 30 operários farão o mesmo

serviço?

10. Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas. Se houvesse 30 linhas em cada página,

quantas páginas teria o mesmo livro?



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Problemas de aplicação para porcentagem

1. Sobre um salário de R$ 9.000,00, é descontado 8% de INSS. Qual o valor do desconto?

% R$

100 9.000

8 x

Resolução: 00,720$100

000.72000.721008.000.9100 Rxxxx

2. Qual é a taxa trimestral proporcional à taxa de 2,5% ao mês?

Mês %

1 2,5

3 x

Resolução: %5,73.5,21 xx ao trimestre

Problemas de porcentagem

1. Na compra de uma bicicleta cujo preço é R$ 900,00, dá-se um desconto de R$ 135,00. Determinar

a taxa de desconto dada nesta bicicleta.

2. 15.000 candidatos inscreveram-se para o vestibular da PUC de São Paulo. Foram aprovados 9.600

candidatos. Qual a taxa de aprovação?

3. Uma prova de Matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 40 dessas questões. Qual foi a sua

taxa de acerto?

4. Numa empresa de 2.500 funcionários, 800 tem curso superior, 1.000 tem o ensino médio e o

restante concluiu o ensino fundamental.

a) Qual a porcentagem de funcionários que tem o ensino superior?

b) Qual é a porcentagem de funcionários que tem o ensino médio?

c) Qual é a porcentagem de funcionários que concluiu o ensino fundamental?

5. Numa classe, 20% dos alunos são meninas. Quantos alunos existem na classe, sabendo-se que o

número de meninas é igual a 9.

6. a) Qual é a taxa mensal proporcional à taxa de 12% ao trimestre?

b) Qual é a taxa anual proporcional à taxa de 6% ao bimestre?

c) Qual é a taxa diária proporcional à taxa de 15% ao mês?

d) Qual é a taxa semestral proporcional à taxa de 36% ao ano?

Respostas

1. R$ 1.000,00 Porcentagem:

2. 320 pães 1. 15 %

3. 120 minutos 2. 64 %

4. 36 minutos 3. 80 %

5. 16 operários 4. a) 32% b) 40% c) 28%

6. 8 caminhões 5. 45 alunos

7. 9 litros 6. a) 4% a.m. b) 36% a.a. c) 0,5% a.d. d) 18% a.s.

8. 10 minutos

9. 48 dias

10. 300 páginas



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REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente

proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão

necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha,

as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas --------caminhões-----------volume

8↑----------------20↓----------------------160↑

5↑------------------x↓----------------------125↑

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a

relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é

diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x

com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Horas --------caminhões-----------volume

8↑----------------20↓----------------------160↑

5↑------------------x↓----------------------125↑

20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima fração foram invertidos. Simplificando fica:

20/x = 4/5

4x = 20 . 5

4x = 100

x = 100 / 4

x = 25 Logo, serão necessários 25 caminhões

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão

montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens----- carrinhos------ dias

8-----------------20--------------5

4-------------------x-------------16

Observe que:

Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente

proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é

diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo

x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

20/x= 8/4 . 5/16



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11

20 / x = 40 / 64

40x = 20 . 64

40 x = 1280

x = 1280 / 40

x = 32 Logo, serão montados 32 carrinhos

E X E R C I C I O S

1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirão em

10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (R=5600)

2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para

construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10)

3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerão

em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340)

4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão.

Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)

5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas

serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8)

6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates são necessários para

que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ? (R=6)

7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem

de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8)

8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas

deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10)

9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2

piscinas? (R: 6 horas.)

10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada

para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? (R: 35 dias).

11) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto

tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

(R: 15 dias.)

12) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média

de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma

velocidade média de 60 km/h? (R: 10 horas por dia.)



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12

EQUAÇÕES

Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade.

Exemplos:

a) x -3 = 12 a variável (ou incógnita) é x.

b) 3y + 7 = 15 a variável (ou incógnita) é y.

A expressão à esquerda do sinal = chama-se 1º membro.

A expressão à direita do sinal = chama-se 2º membro.

c) 2x – 1 = x + 7 2x -1, é o 1º membro x + 7 , é o 2º membro

Resolução de uma equação do 1º grau

Resolver uma equação é determinar o seu conjunto verdade.

a solução de uma equação é chamada de raiz da equação.

Obs.: Para “passar” um termo de uma equação de um membro para outro, troca-se o sinal desse termo.

Importante: Veja a equação –x = 5

Interessa-nos o valor de x e não o valor de –x. Então, devemos multiplicar os dois membros da equação

por -1.

Observe: -x = 5 (-1) x = -5

Exemplos:

a) x + 1 = 8 b) 3x -1 = 14 c) x -1 + 8 = 6x

x = 8-1 3x = 14 +1 -1 +8 = 6x –x

x = 7 3x = 15 7 = 5x

x = 15/3 7/5 = x ou x = 7/5

x = 5

E X E R C I C I O S

1) Dada a equação 7x – 3 = x + 5 – 2x, responda:

a) qual é o 1º membro? b) qual é o 2º membro? c) qual o valor de x?

2) O número que, colocado no lugar de x, torna verdadeira a sentença x -7 = 10 é:

a) 3 b) 4 c) -3 d)17

3) Resolva:

a) x - 3 = 5 g) 242

xx m) 6x - 4 = 2x + 8

b) x + 2 = 7 h) 0 = x + 12 n) 17x -2 + 4 = 10 + 5x

c) 3

x + 15

2

x i) -3 = x + 10 o) 4x – 10 = 2x + 2

d) x -7 = -7 j) y/4 = 3 p) 5x + 6x – 16 = 3x + 2x -4

e) x – 109 = 5 k) x/5 = 2 q) 5(2x -4) = 7(x + 1) - 3

f) 15 = x +1 l) 3x = 12 r) 4(x + 3) = 1

Respostas:

1 a)7x -3 b) x+ 5 – 2x c)1 d)0

2) letra d

3 a)8 3 f) 14 3 l) 4

b) 5 g) 8/3 m) 3

c) 18 h) -12 n) 2/3

d) 0 i)-13 o) 6

e) 114 j) 12 p) 2

k) 10 q) 8

r) -11

4



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13

FUNÇÃO DO 10 GRAU

Chamamos de função do 1o grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax + b, onde a

e b são números reais e a é não nulo.

Definição: f: IR IR definida por f(x) = ax + b, a IR* e b IR

OBS.:

a) O gráfico da função do 1o grau é uma reta.

b) O conjunto imagem da função do 1o grau é IR.

c) A função do 1o grau com b = 0, ou seja f(x) = ax é chamada linear.

Exemplo

Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR. Considerar x =

0 e 1.

a) f(x) = x +2

x f(x) = x +2

0 0 + 2 = 2

1 1 + 2 = 3

b) f(x) = 5x

x f(x) = 5x

0 5 . 0 = 0

1 5 . 1 = 5

Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem (0, 0), pois para

x = 0 temos f(x) = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto.

Raiz ou zero da função do 1o grau

Dada a função do 1o grau f(x) = ax + b, chama-se raiz ou zero da função, o valor de x para qual ax

+ b = 0, ou seja o valor de x que anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou zero da função,

fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equação.

Exemplo

Determine a raiz das seguintes equações:

a) f(x) = 3x - 6

Resolução:

3x – 6 = 0

3x = 6

x = 6/3 x = 2

Observe que em f(x) = 3x – 6, f(x) = 0 e x = 2, calculado anteriormente, o ponto (2, 0) é a intersecção da

reta com o eixo x .

f(x)

3

2 Im = IR

1

0 1 x

f(x)

5

Im = IR

1 x

b) f(x) = –8x

Resolução:

-8x = 0 . (–1)

x = 0/8 x = 0



14

14

E X E R C I C I O S

1) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de

R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez

durante o mês.

a) Expressar a função que representa seu salário mensal. R. f(x) = 0,08x + 300

b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 10.000,00 em produtos. R. R$ 1.100,00

2) Dada a função f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22. R. a = 5

3) Construir o gráfico das seguintes funções para x = 0 e x = 1 e ache suas raízes:

a) f(x) = 3x + 4

b) f(x) = 3

1x + 6

c) f(x) = -4x + 8

4) A empresa “KCK” comprou um equipamento por R$ 30.000,00 e o mesmo apresenta uma

expectativa de se valorizar à razão constante de R$ 2.000,00 por ano. Determine a equação que

representa o valor previsto do bem. R. f(x) = 2000x + 30000

5) Conforme a equação representada no exercício anterior, qual será o valor do bem daqui a 2 anos? R. R$= 34.000,00

6) A venda de certos produtos fabricados pela empresa “KCK” é representada lei: p = -x2 + 34, onde x

representa a quantidade em milhões de demanda e p o preço por unidade em reais. Determine a

quantidade de demanda quando o preço for R$ 9,00. R. X = 5.000.000 unidades

7) Sabendo-se que a função que representa a oferta do produto fabricado pela “KCK” é qo = 80p +

720. Para uma oferta igual a 1280 unidades, qual será o preço? R. R$ 7,00

8) Um vendedor de livros ganha salário mínimo fixo mensal, mais uma comissão de R$ 2,00 por livro

vendido. Sendo x o número de livros vendidos por mês, expresse o salário(S) do vendedor como função

de x. R. S(x) = R$ 2,00x + 622,00

9) Baseado no exercício anterior, se o vendedor vender 210 livros em um determinado mês, quanto será

seu salário? R. R$ 1.042,00

10) (ENEM – 2008) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola,

referente ao mês de junho de 2008.

Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então

se o boleto for pago em atraso a função corresponde a:

a) M(x) = 500 + 0,4x

b) M(x) = 500 + 10x

c) M(x) = 510 + 0,4x

d) M(x) = 510 + 40x

e) M(x) = 500 + 10,4x

Correta letra ( c)



15

15

SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU – duas variáveis

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas

equações do primeiro grau nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja

2 x + 3 y = 38

3 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem

simultaneamente a ambas as equações. Podemos observar que x = 10 e y = 6 são as soluções deste

sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10, 6) }

Método da Adição: este método consiste na eliminação de uma das incógnitas, adicionando-se membro

a membro as duas equações. Ë necessário que os coeficientes da incógnita que se deseja eliminar sejam

simétricos.

Exemplos: Seja os sistemas:

a) x + y = 5

x – y = 1

b) 4x – y = 2

3x + 2y = 7

E X E R C I C I O S

1) Resolva os sistemas a seguir:

a) x – 2y = 3

2x + 4y = 6

Resolução: (a)

Somando-se membro a membro as duas equações:

x + y = 5

x – y = 1

2x = 6

x = 6/2 x = 3

substituindo-se esse valor de x em uma das equações dadas:

x + y = 5 3 + y = 5 y = 5 –3 y = 2

Logo: V = {(3, 2)}

Resolução: (b)

Nesse caso não temos coeficiente simétricos. Vamos, então, multiplicar

todos os termos da primeira equação por 2:

8x – 2y = 4

3x + 2y = 7

11x = 11 x = 11/11 x = 1

Vamos substituir este valor de x em uma das equações dadas:

3x + 2y = 7

3 . 1 + 2 y = 7

3 + 2y = 7 2y = 7 –3 2y = 4 y = 4 /2 y = 2

Logo: V = {(1, 2)}



16

16

b) 4x + 2y = 16

5x – 3y = 9

c) 2x + y = 4

x – y = -1

d) x + 2y = 10

4x – 6y = 6

e) 2x + 3y = 3

5x + 6 y = 12

Respostas.:

a) S = {3; 0} b) S = {3; 2} c) S = {1; 2} d) S = {36/7; 17/7} e) S = {6; -3}

2) A Companhia “KDT” produz e vende mouse a um preço único igual a R$ 8,00 a unidade. Sabe-se

que a esse preço a demanda mensal é igual a 12.000 unidades. Ao oferecer um desconto de 25% no

preço do mouse, a demanda aumenta para 14.000 unidades mensais. Determine uma função linear

que representa a demanda mensal dos mouses da empresa “KDT” .

R. qd = -1000p + 20000

3) A empresa “MIT´S” produz e distribui à várias perfumarias braceletes pelo preço de R$ 4,50. A esse

preço, a procura pelo produto atinge 150 unidades por semana. Verificou-se que, quando o preço sofre um

desconto de R$ 0,50, a procura pelos braceletes aumenta em 30 %. De acordo com a situação descrita

acima, a equação de 1º grau que representa a demanda semanal dos braceletes é igual :

a) qd = 45p + 345

b) qd = - 45p + 345

c) qd = - 90p + 555

d) qd = 90p – 555

e) qd = - 90p - 555

R. (c)

4) Quando o preço unitário de um produto é R$ 10,00, 5000 unidades são colocadas no mercado por mês;

se o preço for R$ 12,00, 5500 unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função ofertada seja do 1º

grau e linear afim, obtenha suas equações e determine a função que representa a lei da oferta.

R. qo = 250p + 2500



17

17

EQUAÇÃO DO 2O

GRAU – (quadrática)

As funções do segundo grau, utilizando-se os mesmos critérios de equivalência das funções do primeiro

grau, reduzem-se à seguinte expressão:

f(x) = ax2 + bx + c

Esta maneira de apresentar a equação de segundo grau recebe o nome de forma ou fórmula geral.

Temos três coeficientes: onde a, b e c são números reais, com a 0, e x é a incógnita. Os números a, b e c

são os coeficientes da função.

Exemplos:

a) f(x) = 5x2 + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = -2

b) f(x) = -x2

+ 4x a = -1 b = 4 c = 0

c) f(x) = x2 – 5 a = 1 b = 0 c = -5

Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do 2o

grau e sim uma função do 1o grau.

Cálculo das raízes da função do 2o grau

A existência e o número de soluções da função f(x)= ax2

+ bx + c = 0 dependem do número b2

- 4ac, a

que chamaremos discriminante e representaremos pela letra grega (delta maiúscula). Sempre terá duas

raízes, elas até podem ser iguais.

Portanto, = b2 – 4ac

No entanto, utilizaremos a fórmula de Báskara:

Logo,



18

18

Exemplos:

Resolver as seguintes equações:

a) x2 – 8x + 12 = 0

a = 1, b = - 8 e c = 12

(primeiro vamos calcular o valor de delta)

(substituímos a por 1, b por –8 e c por 12)

(Delta positivo)

(fórmula de Baskara)

x = -(-8) + 16 (substituímos b por – 8, delta por 16 e a por 1)

2(1)

x = 8 + 4

2

x’ = 12 / 2 = 6

x” = 4 / 2 = 2

S = {6 ; 2}

b) x2 – 12x + 36 = 0

a = 1, b = - 12 e c = 36

(Delta igual a zero)

S = {6}



19

19

c) 2x2

– 4x + 3 = 0

a = 2, b = - 4 e c = 3

(Delta negativo)

S = { }, não existe raiz de número real negativo

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO DO 2O GRAU

O gráfico desta função é uma curva plana denominada parábola, o domínio :Dom(f)=R e a imagem:

Im(f)=R.

O coeficiente "a" desempenha no gráfico a propriedade de concavidade da parábola. Significa que se o

"a" for positivo (a>0), a parábola terá concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo:

Se este for negativo (a<0), a parábola teria concavidade para baixo (boca triste). Veja o exemplo:

Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais os valores de x que a parábola "corta" o eixo dos X.

Veja no exemplo o que é "raiz" graficamente:



20

20

Exemplo: Faça o esboço gráfico da seguinte função

:

Resolução:

Vamos primeiro calcular as raízes usando BÁSKARA. Os coeficientes são: A=1, B=-1 e C=-

2. Colocando na fórmula, temos:

As duas raízes são 2 e –1, então já sabemos os pontos por onde a parábola corta o eixo X. No gráfico,

fica:

Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o “c”. Ele vale –2, então o

gráfico da parábola com certeza corta o eixo Y no ponto –2. Vamos marcá-lo:



21

21

Pelo coeficiente “a” sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo “b” sabemos que logo

após o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traçando o esboço, temos o seguinte:

Estudo do Vértice

O que é vértice de uma parábola?

- É o ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo.

Veja os exemplos abaixo:

O vértice de todas as parábolas tem uma característica própria, ele sempre se encontra "eqüidistante"

de ambas as raízes, ou seja, a coordenada "x" do vértice fica exatamente no meio das coordenadas das

duas raízes. A coordenada "x" do vértice é a média aritmética das coordenadas "x" das raízes, isto é, a

soma das duas dividido por dois. Esta é a fórmula para encontrarmos o Xv.



22

22

Agora que já sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vértice). Portanto a fórmula para o

cálculo de Yv é:

Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax2 + bx + c:

Exemplo : Determinar os vértices (Xv e Yv) da função y = x2 - 2x + 3, escreva se a função admite um

máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo.

Resolução: Vértices

Xv = -(-2)/2(1) = b2 - 4ac Yv = -(-8)/4(1)

Xv = 2/2 = (-2)2 - 4 (1)(3) Yv = 8/4

Xv = 1 = 4 - 12 = -8 Yv = 2

S = (1, 2)

a > 0 , a função assume um valor mínimo

Yv = -a4

= -(-8) = 2

4(1)

E X E R C I C I O S

1) Determine as raízes e calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as seguintes

funções:

a) f(x) = x2 – 6x + 5 R. x´= 5 e x´´=1 Xv = 3 e Yv = -4

b) f(x) = -x2 + 2x -2 R. não existe raís Xv= 1 e Yv= -1

2) Escreva se a função admite máximo ou mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo:

a) f(x) = 5x2

– 3x – 2 R. a > 0, assume um valor mínimo -49/20

b) f(x) = -x2 + 3x –2 R. a < 0, assume um valor máximo 0,25

Se a > 0, a função assume um valor de mínimo:

Yv = -a4

Se a < 0, a função assume um valor de máximo:

Yv = -a4



23

23

3) Dada a função f(x) = x2 – 2x – 3, determine:

a) as raízes da função; R. x´= 3 e x´´ = -1

b) vértices da parábola; R. Xv = 1 e Yv= -4

c) identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo; R. a > 0, assume um ponto de mínimo

d) o gráfico da função para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.

4) Determine as raízes das funções, se houver:

a) f(x) = 6x2 + 5x - 4 Resp. x ’= ½ e x ” = - 4/3

b) f(x) = - x2

- 2x - 1 Resp. x ’= x ” = -1

c) f(x) = 6x2 + 3x + 7 Resp. < 0, ou seja = -159 portanto, S = { }

5) Determinar as coordenadas do vértice das funções abaixo e dizer se assumem ponto de máximo ou de

mínimo.

a) y = x2 – x – 2 Resp. Mínimo: Xv = ½ Yv = -9/4

b) y = -x2 – x + 4 Resp. Máximo: Xv = -1/2 Yv = 4,25

c) y = -x2 – 2 x Resp. Máximo: Xv = -1 Yv = 1

d) y = 3x2 + 2x + 3 Resp. Minimo: Xv = -1/3 Yv = 8/3

6) O gestor de uma empresa percebeu que alguns resultados não condiziam com o previsto no planejado,

ocasionando assim um valor negativo em sua produção que pode ser representado através de uma das

raízes da função: f(x) = x2 + 10x – 600. Assinale a alternativa que condiz com esse resultado.

a) Sua área de produção apresentou o resultado de -30;

b) A área de produção apresentou o resultado 20 atingindo assim a área como um todo;

c) A empresa detectou um resultado de -20 na área de produção;

d) Sua área de produção apresentou um resultado de 30;

e) A área de produção apresentou o resultado 15, atingindo assim a área como um todo.

R. (a)

7) Represente graficamente as funções a seguir. Para x = -3; -2; -1; 0; 1; 2 e 3.

a) f(x) = x2 + 4x + 1

b) f(x) = - x2

+ 2

c) f(x) = x2 + 1

d) f(x) = - x2 + 3x - 4



24

24

MONÔMIOS E POLINÔMIOS

Multiplicação de monômio por Polinômios

Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio.

Ex: 4a . (2 a – 3x ) Propriedade distributiva

Solução: 8 a

2 – 12 ax

Multiplicação de Polinômio por Polinômio

Devemos multiplicar cada termo do polinômio por todos os termos do outro polinômio e a seguir

reduzimos a termos semelhantes através das operações de adição e subtração.

Ex: (2x+3).(4x-5) Propriedade distributiva

Solução: 8x2 – 10x + 12x – 15 (Reduzindo a termos semelhantes)

8x2

+ 2x – 15

Modo Prático

Solução: 2x + 3

4x - 5

8x2

+ 12x

- 10x -15

8x2

+ 2x -15

Divisão de Polinômio por Monômio

Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio.

Ex: (15x3 – 4x

2) : ( 5x)

Solução x

x

x

x

5

4

5

15 23

= 5

x4x3 3

Divisão de Polinômio por Polinômio

Para efetuarmos esta divisão devemos seguir alguns passos.

Ex: (2x2 – 5x – 12): (x – 4)

1º Passo: Observar se as potências de x estão em ordem decrescente;

2º Passo: Colocar a chave de divisão;

3º Passo: Dividir o primeiro termo do dividendo (2x2) pelo primeiro termo do divisor (x) e obtenha o

primeiro termo do quociente

2x2 – 5x –12 x – 4 .

2x

4º Passo: Multiplicar o primeiro termo do quociente (2x) pelos termos do divisor, colocando os produtos

com sinais trocados embaixo dos termos semelhantes do dividendo.

5º Passo: Reduza a termos semelhantes ( Adição ou Subtração)

2x2 - 5x -12 x – 4

-2x2 + 8x 2x

+ 3x – 12

6º Passo: Repete-se as passagens anteriores até que o dividendo termine.



25

25

2x2 - 5x -12 x – 4

-2x2 + 8x 2x +3

+ 3x -12

- 3x +12

0 Resposta: 2x + 3

Divisão por Briot Ruffini

Para efetuarmos a divisão (2x2 – 5x – 12): (x – 4) devemos seguir alguns passos.

1º Passo: Vamos montar a casa da divisão

2º Passo: Se o polinômio está dividido por x-4, podemos dizer que o dividendo é x=4 e assim

colocaremos o 4 no lado esquerdo superior da casa.

3º Passo: Colocaremos os multiplicadores de x do divisor na parte interna superior da casa em ordem

decrescente.

4º Passo: O termo independente é colocado no lado superior direito

5º Passo: Copiar o 1º divisor abaixo dele

6º Passo: Vamos multiplicar o primeiro número superior pelo primeiro número inferior e somar com o

terceiro superior

4 2 -5 -12

2 3 0

7º Passo: a parte inferior é o resultado, sendo que multiplicado pelos seus respectivos valores de x com

um valor a menos do expoente.

Resposta: 2x + 3

E X E R C I C I O S

1) Efetue:

a) (2x2

- 9x + 2) + (3x2

+ 7x - 1) Resp: 5x2

- 2x + 1

b) (x2

- 5x + 3) + (-4x2

- 2x) Resp: -3x2

- 7x + 3

c) (4x – y - 1) – (9x + y + 3) Resp: -5x - 2y - 4

d) (6x2

- 6x + 9) – (3x2

+ 8x - 2) Resp: 3x2

- 14x + 11

e) (x2

+ 2xy + y2) – (y

2 + x

2 + 2xy) Resp: 0

2) Calcule os produtos:

a) a2

. (m+a3) Resp: a

2m + a

5

b) 2x .(x-2x+5) Resp: -2x2

+ 10x

c) (3x2-4x-3) . (x+1) Resp: 3x

3 - x

2 - 7x - 3

d) (x2+x+1) . (x-3) Resp: x

3 -2x

2 - 2x - 3

e) (2x+5) . (2x-5) Resp: 4x2

– 25

3) Efetue as divisões:

a) (x3

+ 2x2

+ x ) : (x) Resp: x2

+ 2x + 1

b) (3x4

- 6x3

+ 10x2) : (-2x

2) Resp: 53

2

3 2 xx

c) (x2

+ 5x + 6) : (x + 2) Resp: x + 3

d) (2x2

+ 6x + 4) : (x + 1) Resp: 2x + 4

e) (x3

- 27) : (x - 3) Resp: x2

+ 3x + 9

f) (x2

- 9) : (x - 3) Resp: x + 3



26

26

NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE

Seja a função f(x) = 2x +1, vamos dar valores para x que se aproximem de 1, pela sua direita

(Valores maiores que 1) e pela sua esquerda (Valores menores que 1), e calcular y.

À medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende a 1 ( x 1 ),

y tende a 3 ( y 3 ), então temos a notação ...

Genericamente temos ...

lim f(x) = b

x a

… mesmo que em alguns casos para x = a resulte y b.

PROPRIEDADES DOS LIMITES

Limite da Soma ou Limite da Diferença

O limite da soma ou da diferença de duas funções é igual à soma ou a diferença dessas funções, isto

é:

lim [ f(x) g(x) ] = lim f(x) lim g(x) = a b

xa xa xa

x y = 2x + 1

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y = 2x + 1

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

Y = 2x + 1

0

3

1

x

y

lim ( 2x + 1 ) = 2(1) + 1 = 3

x 1



27

27

n

3

Exemplos :

a) lim ( x + 4x² ) = lim x + lim 4x² = 2 + 4 . 2² = 2 + 4 . 4 = 2 + 16 = 18

x 2 x 2 x 2

b) lim ( 4x² - x ) = lim 4x2 - lim x = 4 . 2² - 2 = 4 . 4 - 2= 16 - 2 = 14

x 2 x 2 x 2

Limite do Produto

O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções, isto é:

lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) = a . b

xa xa xa

Exemplo :

a) lim 4x2

= lim 4 . lim x2 = 4 . 3

2 = 4 . (3 . 3) = 4 . 9 = 36

x 3 x 3 x 3

Limite do Quociente

O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções (exceto

quando o limite do divisor for igual a zero), isto é:

ax

xg

ax

xf

axxg

xf

)(lim

)(lim

)(

)(lim

Exemplo :

lim ( x + 3 )

a) lim ( x + 3 ) = x2 = 2 + 3 = 5

x2 ( x + 4 ) lim ( x + 4 ) 2 + 4 6

x2

Limite de uma potência

O limite de uma potência enésima de uma função é igual à potência enésima do limite dessa função,

isto é:

lim f(x)n = lim f(x) , n N

* = a

n se a > 0

xa

Exemplo :

a) lim ( x² - 2 )3 = lim ( x² - 2 ) = ( 2² - 2 )

3 = ( 4 – 2 )

3 = 2

3 = 8

x2 x2



28

28

Limite de uma raiz

O limite da raiz enésima de uma função é igual à raiz enésima do limite dessa função., isto é:

.0)(,)(lim)(lim *

xfn

ax

xf

ax

xfn

n

( Se f(x) 0, n é ímpar )

Exemplo :

111481222

1lim

2

1lim 232323

x

xx

x

xx

outra propriedade (Forma indeterminada)

É quando uma expressão sem significado, ou seja 0/0 não fornece uma solução para um determinado

problema. Uma estratégia que pode ser utilizada para resolver este tipo de problema é a seguinte:

Substitua a função dada por outra mais apropriada que assuma os mesmos valores que a função

original em todos os pontos exceto x = a .

Calcule o limite desta função quando x se aproxima de a

Exemplos:

1) lim 4(x² - 4) (como tanto o numerador como o denominador desta expressão se aproxima de zero

x 2 x - 2 quando x se aproxima de 2, temos aqui a forma indeterminada 0/0). Podemos escrever:

4(x² - 4 ) = 4(x – 2) ( x +2)

(x – 2) (x – 2)

que, após cancelamento dos fatores comuns, é equivalente a 4(x + 2), e tomamos o limite quando x se

aproxima de 2, obtendo:

lim 4(x² - 4) = lim 4( x + 2) = 4 ( 2 +2) = 4 . 4 = 16

x 2 x - 2 x2

2 ) lim x² - 4 = lim ( x + 2 ).( x – 2 ) = lim ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4

x 2 x – 2 x2 ( x – 2 ) x2

► Nota-se a impossibilidade de calcularmos 2

42

x

x para x = 2 ( Indeterminação ).

Trocamos então 2

42

x

x por x + 2 , possibilitando assim o cálculo quando x = 2.

3 ) lim x² - 4x + 3 = lim ( x – 3 )( x – 1 ) = lim x –1 = 3 – 1 = 2 = 1

x 3 x² - 9 x3 ( x + 3 )( x – 3 ) x 3 x + 3 3 + 3 6 3

4) lim 2x3 + x

2 – 4x + 1 = 0 , os polinômios se anulam.

x 1 x3 – 3x

2 + 5x – 3 0

Portanto, pelo teorema de D´Alembert, são divisíveis por (x – 1), isto é, (x - 1) é um fator comum em:

(2x3 + x

2 – 4x + 1) e (x

3 – 3x

2 + 5x – 3) .



29

29

Então, faz-se:

2x3 + x

2 – 4x + 1 |x – 1 nnnn

-2x3 + 2x

2 2x

2 + 3x - 1

3x2 - 4x

-3x2 + 3x

- x + 1

+ x – 1

0

Logo: lim 2x2 + 3x – 1 = 2

x 1 x2 -2x + 3

E X E R C Í C I O S

1) Calcular

a ) 2

)432(lim 2

x

xx Resposta:10

b ) 4x3lim2x

= Resposta:10

c ) 1x

5lim

0x = Resposta: - 5

d )

1

)43(lim 2

x

xx Resposta: 2

e ) lim 3x - 9 = Resposta: 3

x 5 x - 3

f ) lim x2

– 7x = Resposta: 0

x 7 x + 2

g) lim 2x² - 3x + 1 = Resposta: 0

x 1 3x² + 2x - 1

h) lim x5 - 4 = Resposta: 9

x - 2 x - 2

i) lim 2x – 5

= Resposta:2 x 6

j) lim x² + 3 = Resposta:2

x 3 x2

l) lim x² + 3 Resposta: 13

x 7 4

m) lim x² + 4x - 2 = Resposta: 43 x 5

n) lim (5 + 3x )7 = Resposta: -1

x - 2

o) lim 132 xx = Resposta: 5 x 1

x3 – 3x

2 + 5x – 3 |x – 1 nnnn

-x3 + x

2 x

2 -2x + 3

-2x2 +5x

+2x2 - 2x

3x - 3

-3x + 3

0



30

30

p) lim x2 + 2x -3 = Resposta: 4/7

x -1 4x - 3

2

q) lim 2x2 – x + 1 = Resposta: 4

x 1 3x - 2

r) lim 32

23

34

232

xx

xxx Resposta: -2

x - 2

s) lim 3

23

34

253

x

xxx Resposta: 2

x - 2

2) Calcule os limites indicados, caso existam.

a) lim x² -1 = Resposta: 2

x 1 x - 1

b) lim x² - 4 = Resposta: - 4

x -2 x + 2

c) lim 2x² - 3x = Resposta: -3

x 0 x

d) lim 2(z2 – 4) = Resposta: 8

z 2 z - 2

e) lim 3x3 – 4x

2 – x + 2 = Resposta: 5/3

x 1 2x3 – 3x

2 + 1

f) lim x3 – 3x

2 + 2 = Resposta: 3/5

x 1 x3 – 4x

2 + 3



31

31

g) lim x3 – 3x

2 + 6x - 4 = Resposta: 1

x 1 x3 – 4x

2 + 8x - 5

3) APLICAÇÃO: A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de

bilheteria é aproximada pela função T(x) = 4

1202

2

x

x onde T(x) é medido em milhões de dólares e x é o

número de meses do filme em cartaz. Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro mês de

lançamento? E após o segundo mês? E após o terceiro mês?

Resp. $ 24 milhões; $ 60 milhões; $ 83,076923 milhões aproximadamente $ 83,1 milhões



32

32

D E R I V A D A S

Seja f(x) uma função e x um ponto de seu domínio. Chamamos de derivada de f no ponto x o limite dado

por:

x

xfxxf

x

fxx

)()(limlim 00

e indica-se por f’(x) ou y’.

ALGUMAS REGRAS DE DERIVAÇÃO

Nem sempre necessitamos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite

da razão incremental, mas esse método, além de ser repetitivo para certos tipos de funções como as

lineares e polinomiais, por exemplo, só é prático para funções muito particular e simples. Por este motivo,

temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais

fácil e rápida.

1.Derivada de uma função constante

Se f(x) = c (função constante), então f’(x) = 0 para todo x real.

Ex: f(x) = 2 então,

f’(x) = 0 Logo, f(x) = 2 f’(x) = 0

2. Derivada de uma Função Potência

Se f(x) = xn então f’(x) = n.x

n-1

Exs: f(x) = x2 logo f’(x) = 2x

f(x) = x8 logo f’(x) = 8x

7

f(x) = 3x2 logo f’(x) = 6x

f(x) = 4x3 logo f’(x) = 12x

2

f(x) = 5x logo f’(x) = 5

3.Derivadas Sucessivas de uma função

Seja f’a função derivada de uma função f, num intervalo aberto I. Se f’é derivável em I podemos

considerar a função f’’ derivada de f’em I. Tal função recebe o nome de derivada segunda de f em I. De

modo análogo podemos definir as derivadas terceiras, quartas etc., de f em I. Estas derivadas serão

indicadas por: f’’; f(2); d2f; d

2y; y’’ – derivada segunda.

Exs.

1) f(x) = x2

f’(x) = 2x (derivada primeira)

f’’(x) = 2 (derivada segunda)

f’’’(x) = 0 (derivada terceira)

E X E R C I C I O S

1) Calcule a derivada para as funções abaixo:

a)y = 2x + 3 b)y = -4x c)y = x2 -4 d)y = x

2 -3x

e)y = 5x f)y = 6 + x g)y = 2x2 + 2

2)f(x) = x4 – x

3

f’(x) = 4x3 – 3x

2

f’’(x) = 12x2 – 6x

f’’’(x) = 24x - 6

f(4)

(x) = 24

f(5)

(x) = 0



33

33

2) Calcule a derivada para as funções abaixo:

a)y = 7x b)y = -2x c)y = 2x + 9 d)y = 5 – 3x

e)y = x – 3 f)y = 6x – 1 g)y = 4x2

3) Calcular a derivada das funções abaixo:

a)y = 5 b)y = -8 c)y = x3 d)y = x

5

e)y = x20

f)y = 6x g)y= -6x3 h)y = 2x

4

i)y = 1/3 x j)y = ¾ x k) y=3x2 l)y = 5x

3

4) Calcule as derivadas sucessivas f(´´´) das funções:

a) f(x) = 3x2 + 5x + 6 b) f(x) = 4x

3 + 2x

c) f(x) = 2x3 + 4 d) f(x) = 3x

2

e) f(x) = x6 f) f(x) = x

4 - 3x

2 + 2x + 1

Gabarito:

1)a)2 b)-4 c)2x d)2x-3 e)5 f)1 g)4x

2)a)7 b)-2 c)2 d)-3 e)1 f)6 g)8x

3)a)0 b) 0 c) 3x2 d) 5x

4

e) 20x19

f) 6 g) -18x2 h) 8x

3

i) 1/3 j) ¾ k) 6x l) 15x2

4) a)0 b)48 c)12 d)0 e)120x3 f)24x



34

34

PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO

1º Momento – Cálculo das coordenadas (abscissas e ordenadas) de pontos de máximos e/ou mínimos

absolutos.

2º Momento – Cálculo de áreas e volumes de algumas figuras planas.

Demonstrações:

Consideremos y = f(x) uma função de variável real )( x com as seguintes condições:

- Definida – Existe o valor numérico para qualquer ponto de intervalo considerado.[a,b] =

bxax / , seja [a,b] – condição de )(xf ser definida: )(f .

- Derivável – Existe o limite da função para x tendendo a qualquer ponto do intervalo considerado:

)(lim xfx

- Contínua – O valor numérico deverá ser igual ao limite de f(x)

)()(lim

fxfx

Portanto, sendo a função dada definida, derivável e contínua podemos esboçar graficamente:

Os pontos B, D e F são pontos de mínimo relativos.

O ponto F é chamado de mínimo absoluto.

Os pontos A,C e E são pontos de máximo relativos.

O ponto E é chamado de máximo absoluto.

Nosso objetivo está focado em calcular os pontos de máximos e mínimos absolutos. Descreveremos a

seguir um roteiro, ou seja, uma seqüência de procedimentos para chegarmos ao nosso objetivo:

Para uma função f(x),

a

A

.

.

.

.

.

. b

x

B

C

D

E

F



35

35

I) Calcular a derivada de 1ª ordem da função dada. (f’(x));

II) Transformar a função derivada de 1ª ordem numa equação (f’(x) = 0)

III) Achar as raízes da função obtida.

''

'0)('

x

xxf sendo e raízes da função

IV) Calcular derivada de 2ª ordem. (f’’(x));

V) Estudar o sinal de f’’(x) para as raízes obtidas.

Se:

0)('' f , então abscissa de mínima.

0)('' f , então nem máxima nem mínima.

0)('' f , então abscissa de máxima.

Mesmo procedimento para )('' f ;

VI) Para calcular a ordenada basta achar o valor numérico da função para as raízes obtidas,

(substituir x na função dada).

EXEMPLOS:

1) Seja a função f(x) = -x2 + 2, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.

I) f´(x) = -2x

II) -2x = 0

III) x = 0/(-2) x = 0

IV) f´´(x) = -2

V) f´´(x) = -2 ( -2 < 0, abscissa máxima)

VI) f(x) = -x2 + 2

f(x) = (-0)2 + 2

f(x) = 2 Portanto, PM ( 0; 2)

2) Seja a função f(x) = x2 + 6x - 3, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.

I) f´(x) = 2x + 6

II) 2x + 6 = 0

III) 2x = -6 x = (-6) / 2 x = -3

IV) f´´(x) = 2

V) 2 (2 > 0, abscissa mínima)

VI) f(x) = x2 + 6x - 3

f(x) = (-3)2 + 6(-3) - 3 =

f(x) = 9 – 18 - 3 = -21 + 9 = -12

Portanto, Pm (-3; -12)



36

36

3) Seja a função f(x) = -x2 + 6x - 3, determine os pontos de máximo ou de mínimo se houver.

I) f´(x) = -2x + 6

II) -2x + 6 = 0

III) -2x = -6

x = (-6) /(- 2) x = 3

IV) f´´(x) = -2

V) f´´(x) = -2 ( -2 < 0, abscissa máxima )

VI) f(x) = x2 + 6x - 3

f(x) = -(3)2 + 6(3) - 3

f(x) = -9 + 18 - 3 = 6 Portanto, PM ( 3; 6)

4) Dada a função 1853

2)( 23 xxxxf , determine os pontos de máximos e mínimos da função, se

houver:

I) 8102)(' 2 xxxf

II) 2x2 – 10x + 8 = 0

III)

8

10

2

08102 2

c

b

a

xx

36

64100

8.2.4)10( 2

2.2

36)10( x 4

4

16

4

610'

x

14

4

4

610'

x ; raízes = 4 e 1

IV) 104)('' xxf

V) para x = 4 para x = 1

06

6)4(''

1016)4(''

104.4)4(''

f

f

f

06

6)1(''

104)1(''

101.4)1(''

f

f

f

então, abscissa de mínima então, abscissa de máxima

VI) para x = 4 para x = 1



37

37

3

19)4(

3

147128)4(

493

128)4(

132803

128)4(

13216.564.3

2)4(

14.84.54.3

2)4( 23

f

f

f

f

f

f

3

8)1(

3

62)1(

23

2)1(

1853

2)1(

181.51.3

2)1(

11.81.51.3

2)1( 23

f

f

f

f

f

f

Solução: o par ordenado

3

8,1 é um ponto de máximo e o par ordenado

3

19,4 é um ponto de mínimo.

E X E R C I C I O S

1) Determine os pontos de máximo e mínimo das seguintes funções:

a) f(x) = x2 b) y = x

2 - 7x + 12 c) y = 10x

2 + 5x

d) y = x 2

+ 1 e) y = x 3

- 3x + 4 f) y = (x 3/3) - 5x

2 + 21x

2) O lucro total da Cia Alfa é dado pela fabricação e venda de x unidades de suas mercadorias que esta

representada pela função L(x)= -0,02x2

+ 300x - 200000. Quantas unidades a Cia deve produzir para

aumentar seus lucros ao máximo?(ponto de máximo).

3) Entre 1990 e 1998, o consumo C de carne de frango nos Estados Unidos (em libras sem osso por

pessoa) pode ser modelado pela função C(x) = -0,073x2 + 1,64x + 42,4. Determine o valor máximo

absoluto.

4) Uma lanchonete determinou que a demanda mensal de hambúrgueres vendidos aumente cada vez

mais. A função lucro para hambúrgueres é L(x) = 2,44x – x2/20000 + 5000, determine o nível de

produção para qual o lucro em reais é máximo.

5)Uma empresa verificou que a receita total (em reais) com a venda de um produto pode ser modelada

pela função R(x) = -x3 + 45x

2 + 525x. Maximize a receita da empresa.

GABARITO

1)a) Pm(0;0) b) Pm(3,5; -0,25) c) Pm(-0,25; -0,625

d) Pm(0; 1) e) Pm(1; 2) e PM(-1; 6) f) Pm(7; 16,3) e PM(3; 27)

2) PM(7500; 925000) = 7500 unidades 925.000,00 de lucro

3) máximo absoluto 51,61 libras

4)PM(24400 hambúrgueres e 34.768,00 de lucro)

5)Pm(-5; -1375) PM (35; 30.625) este ponto é o que representa a maximização da receita da

empresa.



38

38

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DOWLING, E.T. – Elementos da Matemática Aplicada a Economia e Administração – Rio de Janeiro –

Editora Mac Graw Hill.

IEZZI, G.E Outros – Fundamentos da Matemática Elementar – Vols 1 e 2 – Atual Editora, 1993.

MEDEIROS e Outros – Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis.

Volume 1 - Editora Atlas – 5ª edição –SP.

NERY, Chico E. Totta, Fernando – Matemática Curso Completo – Editora Moderna ,1994 – SP.



39

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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA - GRADE: 2º SEMESTRE/ 2013

CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS - 1º Semestre Carga Horária Semanal 04 – Carga Horária Semestral 68 horas O aluno poderá ter no máximo 25% de faltas durante o semestre

EMENTA

Revisão dos principais tópicos de Álgebra complementos de matemática elementar. Estudo e representação de funções de uma variável. Aplicações à demanda, oferta e lucro.

OBJETIVO

Ao final do curso, o aluno deverá estar apto a resolver problemas da vida prática: identificar os problemas e resolvê-los com as ferramentas do cálculo, utilizando a linguagem e o raciocínio matemático e aplicando os conceitos matemáticos na economia e em outras disciplinas, possibilitando maior acuidade nos processos decisórios e na análise dos resultados dos diversos nichos de negócios no âmbito das Ciências Contábeis.

Conteúdo

1. Operações com números inteiros: expressões numéricas e problemas envolvendo números inteiros; 2. Operações com números fracionários: adição, subtração, multiplicação e divisão, problemas com

números fracionários e expressões fracionárias; 3. Regra de três simples e composta; 4. Porcentagem; 5. Equação do 1º grau; 6. Sistemas de equações do 1º grau; 7. Equação do 2º grau; 8. Função de 1º grau 9. Função de 2º grau 10. Limites 11. Derivadas 12. Pontos de Máximo e Mínimo

METODOLOGIA DE ENSINO

A metodologia de ensino consiste em aulas expositivas, durante as quais são apresentados e discutidos os conceitos, exercícios e suas aplicações principalmente na área econômica, busca-se a participação contínua do corpo discente, visando dinamizar as aulas práticas e consolidar os conceitos, além de permitir avaliar o grau da aprendizagem e absorção do discente em relação ao conteúdo ministrado.

SISTEMA DE AVALIAÇÃO:

São tres avaliações valendo de Zero à 10,0 As avaliações A1, A2, A3, prova escrita sem consulta e individual. * Data aplicação das provas: A1 – de

A2 – de

A3 – de

ATENÇÃO !!!!!!!!!

Avaliação substutiva será aplicada mediante concessão do regime domiciliar deferido e expedido pela Secretaria;

BIBLIOGRAFIA

Dowling,E.T. – Elementos da Matemática Aplicada a Economia e Administração – Rio de Janeiro –

Editora Mac Graw Hill.

Iezzi, G.E Outros – Fundamentos da Matemática Elementar – Vols 1 e 2 – Atual Editora, 1993.

Medeiros e Outros – Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis.Volume 1 - Editora Atlas – 5ª edição –SP.

Nery, Chico E Totta, Fernando – Matemática Curso Completo – Editora Moderna ,1994 – SP.

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