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Uma importante aplicação da Matemática está presente na Economia através das FunçõesCusto, Receita e Lucro.

Função Custo A função custo está relacionada aos gastos efetuados por uma empresa, indústria, loja, naprodução ou aquisição de algum produto. O custo pode possuir duas partes: uma fixa e outravariável. Podemos representar uma função custo usando a seguinte expressão: C(x) = Cf +Cv, onde Cf: custo fixo e Cv:custo variável

Função Receita A função receita está ligada ao faturamento bruto de uma entidade, dependendo do número devendas de determinado produto.

R(x) = px , onde p: preço de mercado e x: nº de mercadorias vendidas.

Função Lucro A função lucro diz respeito ao lucro líquido das empresas, lucro oriundo da subtração entre afunção receita e a função custo.

L(x) = R(x) – C(x)

Exemplo

Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixomensal de R$ 950,00 inclui conta de energia elétrica, de água, impostos, salários e etc. Existetambém um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a unidadeR$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão no mercado seja equivalente a R$ 120,00,monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1000pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro.

Função Custo total mensal:C(x) = 950 + 41xFunção ReceitaR(x) = 120xFunção LucroL(x) = 120x – (950 + 41x)

Lucro líquido na produção de 1000 pistõesL(1000) = 120*1000 – (950 + 41 * 1000)L(1000) = 120.000 – 950 + 41000L(1000) = 120.000 – 41950L(1000) = 78.050

O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$ 78.050,00.

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 Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o custo.

R(x) > C(x)120x > 950 + 41x120x – 41x > 95079x > 950x > 950 / 79x > 12Para ter lucro é preciso vender acima de 12 peças.

Em economia, demanda, procura, ou "demandada" é a quantidade de um bem ou serviço

que os consumidores desejam adquirir por um preço definido em um dado mercado, duranteuma unidade de tempo. A demanda pode ser interpretada como procura, mas nem sempre como consumo, uma vezque é possível demandar (desejar) e não consumir (adquirir) um bem ou serviço. A quantidadede um bem que os compradores desejam e podem comprar é chamada de quantidadedemandada.A quantidade demandada depende de variáveis que influenciam a escolha do consumidor pelacompra ou não de um bem ou serviço: o seu preço, o preço dos outros bens substitutos oucomplementares, a renda do consumidor e o gosto ou preferência do indivíduo. Para estudar a

influência dessas variáveis, considera-se separadamente a influência de cada uma nas decisõesdo consumidor (condição coeteris paribus).Como a demanda é o desejo ou necessidade apoiados pela capacidade e intenção de compra,ela somente ocorre se um consumidor tiver um desejo ou necessidade, se possuir condiçõesfinanceiras para suprir sua necessidade ou desejo e se ele tiver intenção de satisfazê-los.Sempre que damos prioridade para o consumo de alguma coisa em detrimento de outra,estamos demonstrando um desejo. O desejo é a maneira específica na qual buscamos asatisfação de nossa necessidade.A demanda sempre influencia a oferta, ou seja, é a demanda que determina o movimento daoferta. Por isso, para as empresas, além de identificar os desejos e as necessidades de seusconsumidores, é muito importante identificar a demanda para um determinado produto ouserviço, pois é ela que vai dizer o quanto se comprará da oferta que a empresa disponibilizano mercado. Isto é, quem e quantos são os consumidores que irão adquirir o produto ouserviço.

Função procura

A função procura é a relação existente entre a procura de um bem ou serviço e os variosfactores determinantes da procura desse mesmo bem ou serviço, em equação: Q = -a1PX +a2PS -a3PC +a4EP +a5R +a6POP +a7PUB +a8FE

Sendo que:Q é a quantidade procurada.

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 Ponderadoresa1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, são as ponderações dos diversos determinantes da procura,chama-se à atenção para o facto dos sinais (+/-) dos ponderadores, que indicam o efeitopositivo (+), ou negativo (-), na procura.Determinantes:PX é o preço do bem (-). PS é o preço de bens substitutos (+). PC é o preço de benscomplementares (-). EP corresponde às expectativas sobre preços futuros. R é o rendimentodos consumidores. POP corresponde à dimensão do mercado, população (+). PUBcorresponde os gastos em publicidade (+). FE são os factores específicos de cada bem, porexemplo, frio no caso da venda de aquecedores.A Demanda Individual e a Demanda de Mercado

A demanda de mercado é a soma de todas as demandas individuais, que são a quantidade

demandada a cada preço por cada um dos compradores. Por isso, a curva de demanda de ummercado é determinada somando-se horizontalmente as curvas individuais de demanda.Elasticidade da Demanda

Para a lei da demanda, coeteris paribus, a quantidade demandada de um bem diminui quandoo seu preço aumenta. Graficamente, então, a demanda é quase sempre negativamenteinclinada no plano preço e quantidade. As únicas duas exceções são os casos extremos deDemanda Perfeitamente Inelástica e Demanda Perfeitamente Elástica, quando uma variaçãoqualquer no preço resulta, respectivamente, numa variação zero ou infinita da quantidadedemandada.

Demanda é tudo aquilo que um consumidor almeja adquirir em determinado espaço detempo. Temos que entender que é somente o desejo de adquirir certo bem, e não aconsumação de tal, que seria caracterizado como consumo.

A demanda pode ser influenciada por vários fatores, como:

  O gosto do consumidor;

  A relação entre o preço do bem – quanto maior, menor será a procura pelo mesmo;

  A relação de seu preço com o preço de bens substitutos. Ex.: o preço da manteiga e damargarina;

  A relação de seu preço e o poder de compra do consumidor.

  Oferta é a quantidade de bens ou serviços que os produtores dos mesmos desejamvender em determinado espaço de tempo. Depende de algumas variáveis:

  A quantidade ofertada de um bem;

  O preço deste bem;

  O preço dos bens concorrentes a este;

  O custo de produção destes bens;

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  A tecnologia empregada na fabricação destes produtos.

Assim, podemos ver que quanto há o aumento do preço de um produto, maior é o estimulopara a fabricação deste bem. Quando a quantidade deste bem se normaliza no mercado, há aredução de seu preço, estimulando a demanda e desestimulando a vontade dos fabricantes deproduzi-lo.Essas forças de mercado vivem em conflito, fazendo com que o preço dos produtos sejaregido pela oferta, que oferecerá pouco para o mesmo elevar-se, e pela demanda, que almejarámuitos produtos para ele chegar a preços mais acessíveis. E esta lei econômica serve paraqualquer produto. Como exemplo, podemos citar o vídeo-cassete, que no início da década de80 custava muito caro. Seu preço foi declinando com a chegada de marcas diferentes, etambém de produtos concorrentes (como o DVD) no mercado  –  ou significa, sua ofertaaumentou para uma demanda estabilizada.

Um bom exemplo que encontramos em nosso dia-a-dia é o supermercado. Em épocasespecificas como Páscoa, Natal, etc., os produtos de época tendem a ficarem mais caros, poisa demanda pelos mesmos aumenta em uma proporção muito maior que o aumento de suaoferta

1 – A DEMANDA E A OFERTA

Estruturas de mercado, função demanda, função oferta, preço de equilíbrio no mercado deconcorrência perfeita, escassez e excedente, tabelamento, deslocamentos das curvas de demanda e

de oferta.

1.1 – CLASSIFICAÇÃO DOS MERCADOS

O mercado é o local onde se encontram os vendedores e compradores de determinados bens e

serviços. Antigamente, a palavra mercado tinha uma conotação geográfica que hoje não mais

subsiste, uma vez que os avanços tecnológicos nas comunicações permitem que hajam transações

econômicas até sem contato físico entre o comprador e o vendedor, tais como nas vendas por

telefone e/ou Internet. 

Os economistas classificam os mercados as seguinte forma:

Concorrência perfeita – Trata-se de um mercado caracterizado pelos seguintes fatores:

a)  Existência de um grande número de pequenos vendedores e compradores;

b)  O produto transacionado é homogêneo; c)  Há livre entrada e saída de empresas no mercado; d)  Perfeita transparência, ou seja, perfeito conhecimento pelos compradores e vendedores, de

tudo o que ocorre no mercado; e)  Perfeita mobilidade dos recursos produtivos Como se percebe por suas características, o

mercado de concorrência perfeita não é facilmente encontrado na prática, embora possa se

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afirmar que os mercados que mais se aproximam dela são os mercados de produtos

agrícolas. 

O mercado de concorrência perfeita é estudado pelos economistas para servir como um paradigma

(referencial de perfeição) para análise dos outros mercados.

Monopólio  – é o mercado que se caracteriza pela existência de um único vendedor. O monopólio

pode ser legal ou técnico.

Oligopólio  – é o mercado em que existe um pequeno número de vendedores ou em que, apesar de

existir um grande número de vendedores, uma pequena parcela destes domina a maior parte do

mercado.

Monopsônio – é um mercado em que há apenas um único comprador.

Oligopsônio – é o mercado caracterizado pela existência de um pequeno número de compradores ou

ainda que, embora haja um grande número de compradores, uma pequena parte destes é

responsável por uma parcela bastante expressiva das compras ocorridas no mercado.

Concorrência Monopolística  – trata-se de um mercado em que apesar de haver um grande número

de produtores (e, portanto, ser um mercado concorrencial), cada um deles é como se fosse

monopolista de seu produto, já que este é diferenciado dos demais.

Esta não é a única classificação possível dos mercados, embora seja a mais utilizada.

Uma importante diferenciação entre as estruturas de mercados reside no grau de controle quevendedores e compradores têm sobre o preço pelo qual o produto é transacionado no mercado.

Na concorrência perfeita, nenhum vendedor ou comprador, considerado isoladamente, tem

influência sobre o preço de mercado.

Neste mercado, portanto, é somente a influência conjunta de todos os vendedores e de todos os

compradores quem determina o preço de mercado.

Nas demais estruturas de mercado, ou o vendedor ou o comprador, isoladamente, pode impor um

preço ao mercado.

1.2. A DEMANDA - CONCEITO:

A demanda de um determinado bem é dada pela quantidade de bem que os compradores desejam

adquirir num determinado período de tempo. Ela será representada pelo símbolo DX.

A demanda do bem x depende de uma série de fatore, dos quais, os economistas consideram como

os mais relevantes:

O preço do bem x (Px);

A renda do consumidor (Y);

O preço de outros bens (Pz);

Os hábitos e gostos dos consumidores (H).Matematicamente, pode-se expressar a demanda do bom de x pela seguinte expressão:

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Dx = f(Px, Y, Pz, H, etc.)

Onde a letra f significa que Dx é função de e a palavra etc. abarca as outras possíveis variáveis.

A demanda do bem x é, portanto, a resultante da ação conjunta ou combinada de todas essas

variáveis.

Assim, por exemplo, caso se deseja saber o que ocorre com a demanda do bem x se o preço do

mesmo aumentar, é preciso supor que todas as demais variáveis que influenciam a demanda

permaneçam com o mesmo valor, de modo que a variação da demanda seja atribuível

exclusivamente a variação de preço.

Nesse caso, podemos rescrever a demanda do bem x como sendo apenas a função do preço de x, já

que as demais variáveis ficam com seu valor inalterado:

Dx = f (Px)

A esta relação denominaremos de função da demanda do bem de x e à sua representação gráfica

será chamada de curva de demanda do bem x.

Supondo-se que o bem x seja perfeitamente divisível, sua curva de demanda provavelmente

assumirá o formato a seguir:

Matematicamente, pode-se dizer que a demanda do bem x é uma função inversa ou decrescente do

seu preço.Embora seja perfeitamente aceitável ao bom senso comum que a quantidade procurada do bem x

varie inversamente ao seu preço, os economistas justificam tal comportamento da demanda em

função de dois efeitos:

a) Efeito-renda – quando o preço do bem x aumenta, o consumidor fica, em termos reais, mais pobre

e, portanto, irá reduzir o consumo do bem; o inverso ocorrerá se o preço do bem x diminuir.

b) Efeito-substituição  – se o preço do bem x aumenta e o de outros bens fica constante, o

consumidor procurará substituir o seu consumo por outro bem similar; se o preço diminuir, o

consumidor aumentará o consumo do bem x às expensas da diminuição do consumo dos bens

sucedâneos.

1.2.2 – EXCEÇÕES À LEI DA PROCURA

Há dias exceções à lei da procura: os chamados bens de Giffen e bens de Veblen.

Os bens de Giffen são bens de pequenos valor, porém de grande importância no orçamento dos

consumidores de baixa renda.

Os bens de Veblen são bens de consumo ostentatório, tais como obras de arte, jóia, tapeçarias e

automóveis de luxo.

Tanto os bens de Giffen como os de Veblen têm curvas de demanda com inclinação positiva, ou seja,ascendentes da esquerda para a direita.

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1.2.3 – CURVA DE DEMANDA DO MERCADO

Tudo o que foi exposto até agora referia-se ao consumidor individual, mas vale também para o

mercado como um todo, já que a curva de demanda do mercado resulta de agregação das curvas

individuais.

Assim, por exemplo, se o mercado for composto por dois consumidores (A e B), Ter-se-ia:

Consumidor A Consumidor B Mercado

1.3 – A OFERTA

Q quantidade do bem x, por unidade de tempo, que os vendedores desejam oferecer no mercado

constitui a oferta do bem x. Similarmente à demanda, a oferta também é influenciada por diversasvariáveis, entre elas:

a) o preço do bem x (Px);

b) preço dos insumos utilizados na produção (Pi);

c) tecnologia (T);

d) preço de outros bens (Pz).

Matematicamente, pode-se expressar a oferta do bem x (Ox) pela seguinte função:

Ox = f (Px . Pi . T . Pz . etc.)

OBS.: etc. = refere-se a outras possíveis variáveis que possam influenciar a oferta.

Assumindo-se a hipótese do carteris paribus:

Ox = f (Px)

Expressão que é denominada função de oferta do bem x; a sua representação gráfica, mostrada a

seguir, é denominada de curva do bem x.

A oferta do bem x é uma curva ascendente da esquerda para a direita, mostrando que, quanto maior

o preço, maior será a quantidade que os produtores desejarão oferecer no mercado.

A oferta do bem x é portanto, uma função direta ou crescente do preço.

1.4 – O EQUILÍBRIO DE MERCADO NA CONCORRÊNCIA PERFEITA

1.4.1 – CONCEITO: A oferta e a demanda do bem x conjuntamente determinam o preço de equilíbriono mercado de concorrência perfeita. O preço de equilíbrio é definido como o preço que iguala as

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quantidades demandadas pelos compradores e as quantidades ofertadas pelos vendedores, de tal

modo que ambos os grupos fiquem satisfeitos.

1.4.2 – TRATAMENTO MATEMÁTICO

Embora os economistas refiram-se às curvas de demanda e de oferta, estas também podem ser

expressas linearmente.

QDx = 280 - 4Px (demanda)

QOx = - 20 + 2Px (oferta)

Px QDx = 280 – 4Px QOx = 20 + 2Px

30 280 – (4 x 30) = 160 - 20 + (2 x 30) = 40

40 280 – (4 x 40) = 120 - 20 + (2 x 40) = 6050 280 – (4 x 50) = 80 - 20 + (2 x 50) = 80

60 280 – (4 x 60) = 40 - 20 + (2 x 60) = 100

Observando-se a tabela acima, percebe-se facilmente que o preço de equilíbrio é $50.

Para se obter o preço de equilíbrio, seria mais fácil igualar-se as quantidades demandadas e

ofertadas (já que o preço de equilíbrio iguala as duas quantidades).

280 - 4Px = 20 + 2Px

300 = 6Px

Px = 3006

Px = 50

1.4.3 – TABELAMENTO: Num mercado em concorrência perfeita, caso o Governo tabele o preço num

valor inferior ao de equilíbrio, ocorrerá escassez do bem (excesso de quantidade demandada sobre a

oferta).

Tendo em vista que a solução adequada para esta escassez, que seria a elevação do preço de

mercado, não é possível pois o mesmo está tabelado, não há outra alternativa ao não ser a

administração da escassez.

1.5  – MUDANÇA NO PREÇO DE EQUILÍBRIO DE MERCADO EM VIRTUDE DE DESLOCAMENTOS DAS

CURVAS DE OFERTA E PROCURA

1.5.1 – DESLOCAMENTOS DAS CURVAS DE DEMANDA

A curva de demanda se desloca em relação à sua posição original quando uma daquelas variáveis que

supusemos constantes quando traçamos a curva mudar de valor. Ela se deslocará para a direita da

posição original quando a mudança do valor da variável antes suposta constante contribuir para

aumentar a demanda e para a esquerda da posição original quando contribuir para diminuir ademanda.

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1.5.1.1 – MUDANÇA NA RENDA DOS CONSUMIDORES

1.5.1.1.1 – BENS NORMAIS: Bens normais são aqueles cujo consumo aumenta à medida que a renda

do consumidor se eleva.

Suponha-se que um determinado nível de renda dos consumidores, a curva de demanda do bem x

apresente os seguintes pares e quantidades procuradas:

Px QPx

10 100

11 90

12 81

13 76

O gráfico seria o seguinte:

Caso a renda dos consumidores se eleve, provavelmente eles aumentarão também as quantidades

demandadas do bem x de tal forma que, para os possíveis níveis de preços:

Px QPx QP’x 

10 100 110

11 90 10012 81 91

13 76 86

1.5.1.1.2  – BENS INFERIORES: bens inferiores são bens cuja demanda diminui quando o nível de

renda do consumidor aumenta e aumenta quando o consumidor fica mais pobre.

Se o bem x for um bem inferior, o aumento de renda dos consumidores reduz a sua demanda, a

curva desloca-se para a esquerda e o preço e a quantidade de equilíbrio diminuem.

1.5.1.2  – MUDANÇAS NOS PREÇOS DE OUTROS BENS (PZ)Um determinado bem Z pode Ter as

seguintes relações com o bem x:

a)  Z é um bem de consumo independente de x;

b)  b) Z é substituto de x; c)  Z é complementar de x. 

1.5.1.2.1 – BENS SUBSTITUTOS: São aqueles bens em que o consumo de um deles exclui o consumo

do outro. A substituição não precisa ser total, basta o fato de ele comprar maiores quantidades de

manteiga implicar certa redução do seu consumo de margarina.

1.5.1.2.2  – BENS COMPLEMENTARES: São os bens cujo consumo é feito geralmente de forma

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simultânea. Da mesma forma que a substitubilidade, a complementaridade não precisa ser total, ou

seja, o consumo de um implicar necessariamente no consumo do outro, bastando que o consumo de

ambos seja associado de alguma forma. Exemplo: Pão e manteiga.

1.5.1.3  – HÁBITOS E GOSTOS DOS CONSUMIDORES: Esta variável é influenciada principalmente por

campanhas de publicidade e propaganda do bem x. Por exemplo, se uma campanha publicitária

convencer o consumidor que o consumo de um determinado produto faz bem a saúde, a demanda

deste deverá aumentar e, conseqüentemente, elevar seu preço e quantidade de equilíbrio.

1.5.2  – DESLOCAMENTOS DA CURVA DE OFERTA: A curva de oferta se desloca em relação à sua

posição original quando uma daquelas variáveis que foram supostas constantes ao se traçar a curva

mudar de valor. Se a mudança do valor da variável aumentar a oferta, ela se deslocará para a direita

e de diminuir, para à esquerda da posição original.

1.6 – TRATAMENTO MATEMÁTICO DA FUNÇÃO DEMANDA REVISITADO

A demanda do bem x pode ser expressa matematicamente da seguinte forma:

Dx = f (Px, Y, Pz, H, etc.)

Assumindo-se que a função demanda seja linear, pode-se Ter, por exemplo:

QDx = - 2Px + 0,05Y – 1,5Pz

Aplicando-se a hipótese do cateris paribus, se for suposto que a renda do consumidor e o preço do

outro bem permaneçam constantes em 1.000 e 8, respectivamente, obter-se à curva de demanda do

bem x:

QDx = -2Px + (0,05 x 1000) – (1,5 x 8)

QDx = -2Px + 50 – 12

QDx = 38 – 2Px 

Juro

Juro é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como um percentualsobre o valor emprestado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou

 juros compostos.O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seriauma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até odia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe uma compensação por não poder usar essedinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco

de inadimplência).

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História

Documentos históricos redigidos pela civilização suméria, por volta de 3000 a.C., revelamque o mundo antigo desenvolveu um sistema formalizado de crédito baseado em doisprincipais produtos, o grão e a prata. Antes de existirem as moedas, o empréstimo de metalera feito baseado em seu peso. Arqueólogos descobriram pedaços de metais que foram usadosno comércio nas civilizações de Tróia,  Babilônia, Egito e Pérsia. Antes do empréstimo emdinheiro ser desenvolvido, o empréstimo de cereal e de prata facilitava a dinâmica docomércio.Na Idade Média, considerava-se crime( chamado crime de usura), alguém emprestar dinheiropretendendo receber uma quantia maior do que o valor emprestado após um tempo.Existem diversas teorias que tentam explicar porque os juros existem. Uma delas é a teoria daEscola Austríaca, primeiramente desenvolvida por Eugen von Boehm-Bawerk. Ela afirma queos juros existem por causa da manifestação das preferências temporais dos consumidores, já

que as pessoas preferem consumir no presente do que no futuro.Taxa básica de juros

A taxa básica de juros corresponde à menor taxa de juros vigente em uma economia, funcionando como taxa de referência para todos os contratos. É também a taxa a que umbanco empresta a outros bancos.No Brasil, a taxa de juros básica é a taxa SELIC, que é definida pelo Comitê de PolíticaMonetária (COPOM) do Banco Central, e corresponde à taxa de juros vigente no mercadointerbancário, ou seja, é a taxa aplicada aos empréstimos entre bancos para operações de umdia (overnight ) - operações estas lastreadas por títulos públicos federais. A taxa básica de

  juros, estabelecida pelo governo, através do Banco Central, para remunerar os títulos dadívida pública, é um importante instrumento de política monetária e fiscal. De forma análoga, nos Estados Unidos, a taxa básica de juros é fixada pelo Comitê Federal deMercado Aberto do Fed  (o sistema de bancos centrais dos EUA), com base na remuneraçãodos Federal Funds, que são os títulos que lastreiam empréstimos interbancários overnight ,que têm como finalidade a manutenção do nível das reservas bancárias depositadas no bancocentral. Taxa preferencial de juros

A taxa preferencial de juros (em inglês,   prime rate) é a taxa de juros bancária cobrada dosclientes preferenciais, isto é, aqueles que têm as melhores avaliações de crédito. Édeterminada pelas condições de mercado (custos bancários, expectativas inflacionárias,remuneração de outros ativos, etc.). Em geral, a taxa preferencial de juros adotada por grandesbancos tende a ser a referência para todo o setor bancário e normalmente será a menor taxa domercado. [1] Geralmente a taxa preferencial supera em alguns pontos a taxa básica. Mas, na Inglaterra e naEurozona, a taxa preferencial de juros corresponde exatamente à taxa vigente no mercadointerbancário, e funciona como taxa básica de juros. É o caso da Libor e da Euribor. A Libor(  London Interbank Offered Rate) é a taxa preferencial de juros que remunera grandesempréstimos entre os bancos internacionais operantes no mercado londrino e é também

utilizada como base da remuneração de empréstimos em dólares a empresas e instituiçõesgovernamentais. Euribor ( Euro Interbank Offered Rate) é a taxa de juros usada nas operaçõesinterbancárias, feitas em euro, entre os países da Eurozona. [2] 

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Juros simples

No regime dos juros simples, a taxa de juros é aplicada sobre o principal (valor emprestado)de forma linear, ou seja, não considera que o saldo da dívida aumenta ou diminui conforme opassar do tempo. A fórmula de juros simples pode ser escrita da seguinte maneira:

, onde   FV : Valor Futuro (do inglês Future Value)   PV : Valor Presente (do inglês Present Value)  i: Taxa de juros (do inglês Interest Rate)   n: Número de períodos

Exemplo numéricoUma pessoa toma emprestado $100 ( PV = 100) para pagar em 2 meses ( n = 2) com taxa de

 juros de 10% ao mês (i = 0,1), calculados conforme o regime de juros simples. Depois de 2

meses essa pessoa irá pagar $120, conforme a fórmula:

Juros compostos

No regime de juros compostos, os juros de cada período são somados ao capital para o cálculode novos juros nos períodos seguintes. Nesse caso, o valor da dívida é sempre corrigida e a

taxa de juros é calculada sobre esse valor. A fórmula de juros compostos pode ser escrita daseguinte maneira:

, onde   FV : Valor Futuro (do inglês Future Value)   PV : Valor Presente (do inglês Present Value)  i: Taxa de juros (do inglês Interest Rate)   n: Número de períodos

Exemplo numérico

Uma pessoa toma emprestado $100 ( PV = 100) para pagar em 2 meses ( n = 2) com taxa de juros de 10% ao mês (i = 0,1), calculados conforme o regime de juros compostos. Depois de 2meses essa pessoa irá pagar $121, conforme a fórmula:

Taxa de juros continuamente compostaO regime de juros compostos também pode ser expresso através da taxa de juroscontinuamente composta. Apesar de ter o mesmo funcionamento do regime de juros

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compostos, a taxa de juros continuamente composta apresenta uma fórmula de cálculodiferente. A fórmula da taxa de juros continuamente composta pode ser escrita da seguintemaneira:

, onde   FV : Valor Futuro (do inglês Future Value)   PV : Valor Presente (do inglês Present Value)   r: Taxa de juros continuamente composta   n: Número de períodos  e:Número de Euler, que é equivalente a 2,718281828459...

O valor da taxa de juros  r, que é continuamente composta, possui significado diferente dovalor da taxa de juros i, usada na primeira fórmula. Porém, como ambas são usadas no regimede juros compostos, existe uma fórmula para fazer a "tradução" de uma taxa para outra:

ou, invertendo os termos,

Diferente da taxa de juros composta, a taxa de juros continuamente composta pode sersomada. Por exemplo, se a taxa de juros continuamente composta de janeiro é 3% e a defevereiro é 4%, a taxa desse bimestre é 7% (esse cálculo não pode ser feito com taxas que nãosão continuamente compostas). Devido a essa propriedade, elas podem ser usadas parafacilitar a interpretação e o tratamento de bases de dados, além de possibilitar que alguns tiposde modelos estatísticos sejam aplicados.

Apesar dessas vantagens, o uso da taxa continuamente composta está concentrado na áreaacadêmica e no mercado de capitais. Devido à dificuldade de interpretação e cálculo, essataxa não é usada para divulgar empréstimos bancários ou alternativas de investimento para opúblico geral.Exemplo numéricoUma pessoa toma emprestado $100 ( PV = 100) para pagar em 2 meses ( n = 2) com taxa de

  juros continuamente composta de 10% ao mês ( r = 0,1). Depois de 2 meses essa pessoa irápagar $122,14, conforme a fórmula:

Juros simples vs. compostos

A tabela abaixo mostra os valores de um empréstimo de $ 100 com taxa de juros de 10% aoperíodo sob o regime de juros simples e juros compostos. Note que essa tabela apresenta trêsmomentos diferentes:

  Para períodos inferiores a 1 ( n< 1), o regime de juros simples apresenta valoressuperiores ao regime de juros compostos.  No período 1, o valor é igual para ambos regimes.

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  Para mais de um período, o regime de juros compostos apresenta valores superiores aoregime de juros simples.

 n Juros Simples Juros Compostos

0,00 100,00 100,000,25 102,50 102,41

0,50 105,00 104,88

0,75 107,50 107,41

1,00 110,00 110,00

1,25 112,50 112,65

1,50 115,00 115,37

1,75 117,50 118,15

2,00 120,00 121,002,25 122,50 123,92

Taxa nominal vs. taxa real

A taxa de juros nominal é remuneração pelo empréstimo de dinheiro do modo como foiexplicado até este ponto. A taxa de juros real leva em consideração mais um fator: inflação. Ou seja, é a taxa nominal "menos" inflação.A taxa de juros real reflete a alteração no poder de compra do dinheiro conforme o tempopassa e é calculada conforme a equação de Fisher: 

, onde  i r: Taxa de juros real  i n: Taxa de juros nominal  π: Taxa de inflação

todos os cálculos são feitos no regime de juros compostos.Exemplo numéricoUma pessoa toma um empréstimo com taxa de juros nominal de 10% ( i n = 0,1). No período, ainflação é de 5% (π = 0,05). A taxa de juros real nesse caso é de 4,76%, conforme a fórmula:

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Cansado de Pagar Juros? Entenda os Cálculos de Juros 

Quem nunca ouviu falar do tal dos Juros? Ou das taxas de juros fixadas pelo Copom (BancoCentral do Brasil), taxas selic e etc?Primeiramente, passamos o que é juros: Juros é um atributo de uma aplicação financeira, ouseja, referimos a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor (o que pedeemprestado), pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).Existem dois tipos de juros:Os Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicaçãoJuros Compostos - São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de

aplicação, formando com esta soma um novo capital.Capital é o valor que é financiado, seja na compra de produtos ou empréstimos em dinheiro.A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples obtem

um montante (valor total a pagar) inferior ao que financia por juros compostos.A fórmula do Juro Simples é: j = C. i. t Onde:

 j = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo. Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 2.000,00, a juros simples,pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?Antes de iniciarmos a resolução deste problema, devemos descobrir, o que é o que, ou seja,quais dados fazem parte das contas.Capital Aplicado (C) : R$ 2.000,00

Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 mesesTaxa (i): 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)Fazendo o cálculo, teremos:J = c .i. t → J = 2.000 x 3 x 0,03 → R$ 180,00 Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros.Observe, que se fizermos a conta mês a mês, o valor dos juros será de R$ 60,00 por mês eesse valor será somado mês a mês, nunca mudará.

t A fórmula dos Juros Compostos é: M = C. (1 + i) Onde:M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros, t = tempo.Considerando o mesmo problema anterior, da pessoa que emprestou R$ 2.000,00 a uma taxade 3% (0,03) durante 3 meses, em juros simples, teremos:Capital Aplicado (C) = R$ 2.000,00Tempo de Aplicação (t) = 3 mesesTaxa de Aplicação (i) = 0,03 (3% ao mês)Fazendo os cálculos, teremos:M = 2.000 .( 1 + 0,03)³ → M = 2.000 . (1,03)³ → M = R$ 2.185,45 Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 185,45 de juros.

Observe, que se fizermos a conta mês a mês, no primeiro mês ela pagará R$ 60,00, nosegundo mês ela pagará R$ 61,80 e no terceiro mês ela pagará R$ 63,65.

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Normalmente quando fazemos uma compra nas "Casas Bahia", por exemplo, os Juroscobrados são os Juros Compostos, praticamente todas lojas comerciais adotam os Juros sobreJuros (Juros Compostos). 

Matemática Financeira/Montante

Origem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.<Matemática FinanceiraIr para: navegação, pesquisa[editar]Montante

Montante (também conhecido como valor acumulado) é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado tempo. Para se chegar a essa conclusão através de umarelação direta pode se fazer uso do seguinte:P = C + ( t • i • C) 

onde,P = MontanteC = Capitalt = tempo de investimentoi = taxa de juroObservações: Perceba que se a taxa de juros for mensal o tempo deverá ser descrito emmeses, e assim por diante, os dois devem estar na mesma unidade de tempo.Além disso outra informação muito importante e que as vezes passa por despercebido é o ataxa de juros (i) deve estar em forma decimal e não em percentual.

 Exemplo: Um Capital (C) de R$20.000 é aplicado durante o periodo (t) de 6 meses a uma taxa de juros(i) de 10% ao mês, qual o montante ao final do período de investimento?

P = C + ( t • i • C ) =>P = 20000 + ( 0,10 • 6 • 20000 ) =>P = 20000 + ( 12000 ) =>P = 32000 

Por tanto, o montante será de R$32.000

Perceba que dessa relação que definimos podemos ainda definir o que seria somente o valorganho no período, basta retirarmos o Capital (C) da adição, assim ficaria:G = t • i • C onde,G = Ganho no Periodot = tempo de investimentoi = taxa de jurosC = Capital Investido

Montante simples

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Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como ValorFuturo. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pelatecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas:

M = P + j = P (1 + i n)

Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessáriospara dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?Objetivo: M=2PDados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in)Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logon = 2/3 ano = 8 meses

Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principalé P=R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no

dia 12 de abril do mesmo ano?Contagem do tempo:

Período Número de dias

De 10/01 até 31/01 21 dias

De 01/02 até 28/02 28 dias

De 01/03 até 31/03 31 dias

De 01/04 até 12/04 12 dias

Total 92 diasFórmula para o cálculo dos juros exatos:

 j = P r (d / 365) / 100

Cálculo:

 j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05

MONTANTE (M) é a soma do CAPITAL (C) aplicado no início da operação financeira comos JUROS (J) acumulados no final do prazo de aplicação.Por exemplo:Se eu apliquei R$ 2.000,00 por um determinado prazo e ganhei R$ 500,00 de juros, vou ficarcom R$ 2.500,00 no final desse prazo  –  esse é o meu montante.A definição matemática do montante é dada pela seguinta fórmula básica:M = C + JNo mercado financeiro o regime de juros compostos é o mais comum, neste processo os juros

de um dado período entram no cálculo do capital inicial para o cálculo dos juros de umperíodo seguinte. De uma maneira simples podemos dizer que ocorrem juros sobre juros.A equação que descreve este tipo de atividade é explicitada da seguinte forma:

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M = P . (1 + i)n

onde:M = Montante;

P = Capital Inicial;i = taxa de juros (em percentual);n = número de períodos;Atenção: A taxa de juros “i” deve ser expressa na mesma medida de tempo do período “n”,

 por exemplo uma taxa de juros ao mês para “n” meses.  Para compreender melhor, veja o exemplo:Qual o montante ao final de 1 ano de um capital inicial de R$ 6000,00 aplicado num sistemafinanceiro de juros compostos e taxa de 3,5% a.m.?P = R$6.000,00

t = 1 ano = 12 mesesi = 3,5 % a.m. = 0,035M = ?Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12Ou seja, o Montante ao final do período indicado é de R$ 9.054,00.