Matemática para Economia III

Turma A1

Profa. Ana Maria Luz

Informações: Página da disciplina:http://www.professores.uff.br/anamluz/Ensino.html E-mail professora:anamaria_luz@vm.uff.br(no título do e-mail colocar nome da disciplina) Atendimento (com professora – agendar por e-

mail):Local: Gab 14 . Departamento de Análise – 4º

andar do Instituto de Matemática – Campus do Valonguinho (ao lado do Plaza)

Dia disponível: Quinta-feira 15:00 as 16:00

Bibliografia Básica:

Álgebra Linear com Aplicações, H. Anton e C. Rorres, Bookman, 2001.

Matemática para Economistas: A. Chiang Editora Mc Graw Hill

Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno – Boyce e Di Prima

Outras referências utilizadas: STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE. Álgebra Linear *Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, Kolman,

B. e Hill, D. R., LTC, RJ,2006.

Datas das Provas:

T1: 16/05 (?) P1: 11/06/13 T2: 04/07 (?) P2: 01/08/13, VR: 06/08/2013  VS: 13/08/2013 

Sobre a disciplina:

Álgebra Linear Equações Diferenciais Ordinárias

Estudo de matrizes e tópicos relacionados

Estudo de equações que contém derivadas em relação à uma

variável

Álgebra Linear: motivação: Modelos Econômicos Lineares (Leontief)

Wassily Leotief (1905-1999) – Pêrmio Nobel em economia em 1973

Foi notável por pesquisas sobre como as mudanças em um único setor da economia afetam os demais.

De origem russa, em 1931 emigrou para os Estados Unidos, onde se naturalizou.

Recebeu o Prémio de Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobelde 1973, pelo desenvolvimento da matriz de insumo-produto (input-output), conhecida como a "matriz de Leontief", e a sua aplicação à economia. O modelo input-output foi apresentado pela primeira vez no seu livro The Structure of the American Economy, publicado em 1941. O modelo tornou-se um instrumento essencial para o planejamento, tanto nos países de economia centralmente planejada quanto para aqueles que adotam a economia de mercado.

Os gastos do fazendeiro são:

Enquanto sua renda é p1, pois ele produz uma unidade de comida. Como as despesas tem que ser iguais à receita temos:

321 16

3

2

1

16

7ppp

No contexto econômico o problema é encontrar uma solução p cujas componentes pi são não negativas com pelo menos um pi positivo, já que p=0 significa que todos os preços são nulos, o que não faz sentido

Álgebra Linear: motivação: Teoria dos Jogos

John Nash (1928) – Pêrmio Nobel em economia em 1994

É uma teoria matemática criada para se modelar fenômenos que podem ser observados quando dois ou mais “agentes de decisão” interagem entre si. Aparecem modelos matriciais, usa-se programação linear. A teoria dos jogos tenta determinar a melhor jogada para cada jogador.

Atraiu a atenção dos economistas com a publicação em 1944 do livro “Theory of games and economic behavior” escrito pelo matemático John Von Neumann e pelo economista Oskar Morgenstern, este livro foi um marco em teoria dos jogos. Eles detalharam a formulação de problemas econômicos e mostraram várias possibilidades de aplicação da Teoria dos Jogos em economia procurando apresentar as motivações, os raciocínios e conclusões de forma acessível.

Em 1994, o matemático John Nash recebeu o prêmio Nobel de economia trabalhando em teoria dos jogos

Exemplo de jogo matricial (sempre se supõe que ambos os jogadores são igualmente capazes, que cada um está jogando o melhor possível e que cada jogador escolhe sua jogada sem saber o que seu oponente vai fazer), e de soma-zero (quantidade ganha por um jogador é exatamente a quantidade perdida pelo outro jogador)

Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para os condenar, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 10 anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a 6 meses de cadeia cada um. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro. A questão que o dilema propõe é: o que vai acontecer? Como o prisioneiro vai reagir?

A, B Nega Confessa

Nega -1/2, -1/2 -10, 0

Confessa 0, -10 -5, -5

Matriz de pay-off

(o ganho de A está representado em primeiro lugar)

A

B

Dilema do prisioneiro: O dilema do prisioneiro é um problema da teoria dos jogos e um exemplo claro, mas atípico, de um problema de soma não nula.

Matriz de pay-off

(o ganho de A está representado em primeiro lugar)

A, B Nega Confessa

Nega -1/2, -1/2 -10, 0

Confessa 0, -10 -5, -5

Matriz de pay-off

(o ganho de A está representado em primeiro lugar)

A

B

Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para os condenar, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 10 anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a 6 meses de cadeia cada um. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro. A questão que o dilema propõe é: o que vai acontecer? Como o prisioneiro vai reagir?

B

A, B Nega Confessa

Nega -1/2, -1/2 -10, 0

Confessa 0, -10 -5, -5

Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para os condenar, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 10 anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a 6 meses de cadeia cada um. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro. A questão que o dilema propõe é: o que vai acontecer? Como o prisioneiro vai reagir?

B

A

A, B Nega Confessa

Nega -1/2, -1/2 -10, 0

Confessa 0, -10 -5, -5

A

B

A, B Nega Confessa

Nega -1/2, -1/2 -10, 0

Confessa 0, -10 -5, -5

A

Matriz de pay-off

(o ganho de A está representado em primeiro lugar)B

A, B Nega Confessa

Nega -1/2, -1/2 -10, 0

Confessa 0, -10 -5, -5

A

Este jogo possui como Equilíbrios de Nash a estratégia:A e B confessam: neste caso, é o Equilíbrio dominante.

(Equilíbrios de Nash representa uma situação em que, em um jogo envolvendo dois ou mais jogadores, nenhum jogador tem

a ganhar mudando sua estratégia unilateralmente.)