araújo, a. (2011) introdução à economia matemática

124
Introdução à Economia Matemática

Upload: fanee-ulrich-brasil

Post on 18-Jan-2016

8 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Livro de introdução à matemática econômica.

TRANSCRIPT

Page 1: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

Introdução à EconomiaMatemática

Page 2: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática
Page 3: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

Publicações Matemáticas

Introdução à EconomiaMatemática

Aloísio AraújoIMPA

impa

Page 4: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

Copyright 2011 by Aloísio Araújo

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Noni Geiger / Sérgio R. Vaz

Publicações Matemáticas

• Introdução à Topologia Diferencial – Elon Lages Lima

• Criptografia, Números Primos e Algoritmos – Manoel Lemos

• Introdução à Economia Dinâmica e Mercados Incompletos – Aloísio Araújo

• Conjuntos de Cantor, Dinâmica e Aritmética – Carlos Gustavo Moreira

• Geometria Hiperbólica – João Lucas Marques Barbosa

• Introdução à Economia Matemática – Aloísio Araújo

• Superfícies Mínimas – Manfredo Perdigão do Carmo

• The Index Formula for Dirac Operators: an Introduction – Levi Lopes de Lima

• Introduction to Symplectic and Hamiltonian Geometry – Ana Cannas da Silva

• Primos de Mersenne (e outros primos muito grandes) – Carlos Gustavo T. A. Moreira e

Nicolau Saldanha

• The Contact Process on Graphs – Márcia Salzano

• Canonical Metrics on Compact almost Complex Manifolds – Santiago R. Simanca

• Introduction to Toric Varieties – Jean-Paul Brasselet

• Birational Geometry of Foliations – Marco Brunella

• Introdução à Teoria das Probabilidades – Pedro J. Fernandez

• Teoria dos Corpos – Otto Endler

• Introdução à Dinâmica de Aplicações do Tipo Twist – Clodoaldo G. Ragazzo, Mário J.

Dias Carneiro e Salvador Addas Zanata

• Elementos de Estatística Computacional usando Plataformas de Software Livre/Gratuito –

Alejandro C. Frery e Francisco Cribari-Neto

• Uma Introdução a Soluções de Viscosidade para Equações de Hamilton-Jacobi – Helena J.

Nussenzveig Lopes, Milton C. Lopes Filho

• Elements of Analytic Hypoellipticity – Nicholas Hanges

• Métodos Clássicos em Teoria do Potencial – Augusto Ponce

• Variedades Diferenciáveis – Elon Lages Lima

• O Método do Referencial Móvel – Manfredo do Carmo

• A Student's Guide to Symplectic Spaces, Grassmannians and Maslov Index – Paolo

Piccione e Daniel Victor Tausk

• Métodos Topológicos en el Análisis no Lineal – Pablo Amster

• Tópicos em Combinatória Contemporânea – Carlos Gustavo Moreira e Yoshiharu

Kohayakawa

• Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos – Paulo Ruffino

• Compressive Sensing – Adriana Schulz, Eduardo A.B.. da Silva e Luiz Velho

• O Teorema de Poncelet – Marcos Sebastiani

• Cálculo Tensorial – Elon Lages Lima

• Aspectos Ergódicos da Teoria dos Números – Alexander Arbieto, Carlos Matheus e C. G.

Moreira

• A Survey on Hiperbolicity of Projective Hypersurfaces – Simone Diverio e Erwan

Rousseau

IMPA - [email protected] - http://www.impa.br - ISBN: 978-85-244-0003-2

Page 5: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �

��������

��� ������

��������� � ���������

���� �� � ���������� ����� � �� �� � ��

��� ������

�� � ���������� � � �����

��� � ����������� ������������ �!�"������ � � �� �����!�#�$�� �� ������������ �� �!�"������

�%� �� �� �������� ��� ������������ � � ���#�$�� �� �������

��� � &��� ��� �!�!�'�

�� �� �����$��� �� �����#�� �� �����!�(�

��� � !����� �� �!�"����� �� ����� �� '�� )������ � *������!���

�%� � �'���$�� �� ����� � ������ �� ����+,-��!! � ��� �����&����

��� .����� �������!�� � ���� ��'����� �����!���(�#�$���

���� ��� � ���������� �����!� �� �� � ��

��� ������

�� � �� ����/�"����� �� �������"����� �����"� �� ��!������ �� ����+

�� � �0��"12/��� ����" +�"������� � ��� �3��!������

��� 4�!����#�$��

�%� 53��!������

��� 6��������

�7� 8�����"�(�#�$�� � ��12!����

Page 6: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �

"

9� � �&�������� �� -���!� � ���� ��"�#�$��� ��� � �0��"12/��� +�"�������

:� � �1��"�� �� �������� � ��� ��"�#�$�� ��� � �0��"12/��� +�"�������

� ;����� �� <����

��� <���� �� ���� (��� � � !������ �� �3��!������ �� ��"�#�$�� ����,��3

�%� � ������!� �� �0��"12/��� �� )��= > ��� �3��!������ � � "���#�$���

��� <���� ��� ������!�� "�!����� > � '�"�� �� ?=� "�@

Page 7: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9

#

��$��%��� ���

� �/A�!�'� ���!� "�'�� 1� � �� � �����!�� �� "��!�� �"����� ��� ����� ��� ��1���� �� !����� ���������� '��!�� �� �� �����"� ���,��"� )� ������� ��!� ��!������ � ��� ��!����!� ���"��� ����������� ������������ )� ������� �� 12!�"� �/������� � ��� ��,!����!� �� ����������� ;��!���� � 0���!$�� �� �� �����!�#�$�� �� ������������ �� �!�"������ /�� ���� �� �� �������� /1������ ��� ������������ � � ���!�������� �� ���#�$�� �� �������� 5�!����������� ����� �� 12!�"� � ��� ��!����!� �� &����

� ������� �� 12!�"� 1� �������� �� ��/"��� �� ��� ��!����!��������" ����!� �� �����!�(�� � �� 12!�"� ����#�� ��� � !����� ���!�"����� �� ����� �� '��,)������ � *������!���� 5� ������� ��!������ � ������ �� �'���$�� �� ����� �� ����+ � -��!! /�� ������� A��!�&��#�$�� �� !����� �� ������ �� ����� � �� ��/�/�"������� ������ ����"�12��� � ������� �� 12!�"� ��� � � �����!�#�$�� ���� !������ 0�� ��!�/�"��� � �0��'�"������ �� ��'����� ���!1����� ��������#�$�� ��� �������

)� ������� ��!� �� "�'�� � �����!���� � ��!��� �� ��� ��,!����!� ��"�!�'�� ����#����� �"� !������ �� �� ����/�"����� ������+� *��� ���������!� ������!����� 0�� �$�� 1� ���12'�" �/!����� ����������� �����" �� �� �1�!��� 0�� ��� ��!� � ������������ � ���� ��������� ��� �"!����!�'�� ����"�'��!�� � ����� 0�� ��!��1�!��� ��A� ��!�!����"� )� ������� �� 12!�"� ���!� ������� ��!� ��,!������ � �0��"12/��� ����" B�"�������� � �����!���� ��� �����,�!��#�$�� �� �3��!������� )� �� 12!�"� ��/��0���!� � �����!���� ����!1���� �� �&�������� �� -���!� � � ������!��#�$�� �� ��!� 0�� !����0��"12/��� B�"������� 1� 1�!��� �� -���!� � '���,'����� !��� 1�!����� -���!� ��� ��� '��!� ���� �� �0��"12/��� B�"������� ��� �"�,

Page 8: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :

&

��#�$��� �������� � �� ������� )� �� 12!�"� !���� � ������!� �� �1��"�� ����� �������� 1� ��&���� ���� � ���A��!� ��� ��!�� 0�� �$�� �$��/"�0��1�'��� �� ���=�� ��/���A��!� ��� ��!��� ��!�� �� �����,��� ��!� 1� ���=�� ��� � �� ����'12���� ���!� �������� ��� ��,"=���� ��� ��!��#�$�� � ��!�� �� �� ��!� �� �1��"��� )��!� �� 12!�"�������!����� 0�� !��� �0��"12/��� B�"������� ��!1� �� �1��"�� � ��,/��� � ���12 ���� �$�� ��A� '��������� ������!����� 0�� '�"� � ���,A��!��� �� 5���+��!=� ���� ��� �"���#�$�� 0�� �$�� ��A� �0��"12/���B�"������� ��!$�� �"� !��/1�� �$�� ��!��1� �� �1��"�� �� ��� �����,��� ��� �� �1����� ��&����!����!� ������ �� ��!��� ��!�� ��!�1� C� ������ �� 0�� �����!� � �1����� �� ��!��� ��!�� � �����,��� !����,�� ���� ��� �!�!�'� � ��!��!� � �1��"�� ���'���� ��� ����A��!� ��� �"���#�$��� 0�� �$�� �0��"12/��� B�"�������� ����"���!� �� 1�"!��� �� 12!�"� � �����!���� �"����� ��� ��1���� ����� ��� ��!����� ��� A����� � !������ ������3 1� ������!���� �� ���� ��0�� �3��!�� ���� A�������� � �� �1����� &��!� �� ��!��!1����� ���� ��� ���� A������� 5� ������� ������!����� � �3��!������ �� ���0��"12/��� �� )��= /�� ���� �����!���� ��/�� � '�"�� �� ?=� "�@� A���� ��� ������!�� "�!������

-��� &��"�(�� ���!��12���� �� �����"!�� 0�� ��������� �����,'�� ��!� "�'�� �� ���� � !���1�,"� �����12'��� � �� 1�/"��� � ������ "� ���12'�"� -��� !��!� &(���� '1����� �������$���� ���!��� 1� ��������1�'�" 0�� � "��!�� !��=� ���!� ������ �� �1�"��"� 1�"��/��D����� 4�!����#�$�� C� ��1�"��� ��1�"��� �� �� � 4�!����#�$�� C� ;�������� -��/�/�"������� �/'�����!� ���=������!�� �1�'��� �� 5����,��� �A���� � ��� �����$�� �� !�3!� ��� �$�� �$�� �� �������12'����

� ��!�� �������� � ��'��$�� �� !�3!� ���"�(��� ��� � ���#�$�� �����:>��� �� <��1� E�"��� ���� � D������ 4� �� ���!��� ����� ���!�� !��/1�� 1� ���!� �"� �3��"��!� !��/�"=� ��1�&�� � �� ����!�#�$�����!� �� .��1���� 7��� ;��������

Page 9: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ���

'

(��$� %� ����)�(��

� F ���A��!� ��� �1������ ����� �� F �� � � ��� �� �� �����

� � F ��� �� �� � � � �

� F ��������� � � � � � F ����� �� � � �� ��F ������ F �� F ���� � � � � ��� � ��G �� � � � F �� � � � � ���

���� F �� F ���� � � � � ��� � ��G �� � � F �� � � � � ���

?� � � �� � F

���

���

���

����

1� ����� ���"������ � �� F��

���

��1� � ����� ���

7���� �� � �� � � �� �� � � � F �� � � � � �G

� �� � � � ��F �� �� �� � � F �� � � � � ��

����� F �� F ���� � � � � ��� � ��� �

�����

�� F ���

������ F �� F ���� � � � � ��� � ���� �

�����

�� F ���

������ F �� F ���� � � � � ��� � ��� �

�����

�� F �� �� � ���H 1� � �1����� �� �"����!�� �� �� ���A��!� ��� �� �1�����&��!� �� �"����!���

� F �� � � �� � ���� � ��� "����!� �� �

�� 1� � ���#�$�� ���������� �� ���A��!� ����� ����� F

��� � � �� � �� �

�� F �� � � � �� ���

Page 10: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� I

*

7��� � �� � 1� � ����!���� �� ���A��!� ���� � F �� ���� ���� � ��� �� � � � ��� � � ��� � � ����

1� � ��!����� �� ���A��!� � �� �

F � � �

1� � ���=� �� ���A��!� � �� F � � � 1� ���=��� �� F �

����� 1� � /�"� ���=��� �� ���� � � � ���!�� � � �� ��� � ��������"������

����� F � � ��� � � � ���

-��� �� � �� � ����!� ��!���� �� �� 1� ���� �� � F��

���

����

Page 11: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �

���$� �

� ������$����$� ���(�%� %��

���%�%�� ���� ������

Page 12: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� J

+

� , � ������$����$� ���(�%� %��

���%�%�� ���� ������

� �/A�!�'� ���!� ������� ��!� ���!� "�'�� 1� � �� ��!���� ���������� ����������� ��� �� ���� ��� � ����� �#�$�� �� '����� ��,�� �"�� ��!������� )� ������� �� 12!�"� ��!������ �� ��������������� ������������ � � ��� �� �����!�#�$�� �� ���#�$��� �� �!�"�������� ������������ �$�� ��������"���!� � ���!1���� �"� 0��" �� �����,����� ������ 0��" ��!�� ���� ���A��!�� �� /��� 1� ���� ����A1�'�"�)��!� �� 12!�"� !��/1�� ��!������ � ������ ��������� �� �����,�� �� ���������� � 0�� 1� � ������ ��������� 0�� ������� � ���� ��#�� � � ����� � ���!� �� /��� ���� 0�� "=� �� ������� ��!��,��#�$�� �1�3��� � 0�� ���� �� �"� ��� ��0������ ���� ��!�A� ���� � ��

�� �� � ��� ���� � 1� � ���!� �� �������� ��������� ;��,������� � �� 12!�"� !������ ��� � ��!��� �� ��� ��!����!� ����� &��� 0�� ��A� �����!���(��� �� �� ��/���A��!� ��!��!����!����'�3� � "���!��� �� �� � ��A� ����'� �� ��"�#�$�� ��� ��#���� 4�!�1� ��� &��� 0�� ����"=� � 0���!����� � ��� ����(��� !������ �� ��#��� �� ������� � ����!�� ���� ������

)� ������� �� 12!�"� ��!������ � ��� ��!����!� �� �������,��� �� ��� ��!��#�$�� �� �����!�(�� 4�������� ��� � !����� �� �!�,"����� �� ����� �� '��,)������ � *������!���� 5�!� !����� �����( 0�� ��/ =� 1�!���� �� ���!�������� � ���� ��������� !��� ��,��������� �� �� �#�� �� "�!����� ����� ��/�/�"������ �� �� �� �#��/���� ��� ��� �� �����!��� �� ��� �!�"����� "����� ��� ��/�,/�"������ 0�� �� ��� '�( 1� ���� �"� �!�"����� �� ������ 5�������� � �����!���� � ������ �� �'���$�� �� ����� �� ����+ �-��!! /�� ���� ��� A��!�&��#�$�� �!��'1�� �� !������ 0�� ��� ��(0�� �� �� ���������� !�� ����� �'���$�� �� ����� 0�� ��!�� ��!$��

Page 13: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� K

-

�"� �3��� ����� ������ �� ������� �� ��!�������� ������ ;��,������� � �� 12!�"� ��� � ��!��� �� ���������!� ��� ������ ������� '���1�'��� �"��!1������ )��!� �� 12!�"� ��'���� � �0��'�"������ ����'����� ���!1����� �� ����� ����������� 6� ���!�� ���!1����� ��� ��(0�� ��� '���1�'�" �"��!1���� 1� ���� ��������� 0�� ��!�� �� �� ��,����� ����� �!�"����� � !��� ����'12��� ��� ��� ���#�$�� �� �!�"�,���� ������'�� 6� ��!�� ���!1���� ��( 0�� ��� '���1�'�" �"��!1���� 1����� ��������� 0�� ��!�� �� !�� ������� �=����� �� ������� '�"�������!��!�� �� �1�����

Page 14: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

./

.0 � �������%�� � � 1����

?�A� � � ���A��!� �� /��� ����������� � ��� ����������� ����� ���� ��!��#�$��� ����� �� �3�� "� � ��� ���� ��

� ������� ���������� ��������� �� /��G �� �� �#�� �� ��0L�������� ��,������� /��� ��!���� � �� �1����� ���!1�'�" �� ��12����G � ���A��!�

���� ��� � � � � ��� � ���� �

�����

�� F �

��������� �� ��/�/�"������

�� �� �/!�� ��� ��!�'����!� �� 0���!��� .M ��� � � � � �M���

2�3 � ������ ��� ���4�� �����5 ���� � �� � � �������6������ � ���4�� ����� ��� ���� � ��0

%�7������ .0 6�� ���#�$�� �� �!�"����� 1� ��� ���#�$�� � 0�� �������� ���� �"����!� � � � �� �12'�" �� ��!����#�$�� �����

� � � � ��

%�7������ "0 6�� ����������� � �� � 1� ��� ��,����� ��� "�!��� �� 4�!� 1� � 1� ��� ��"�#�$�� �� � ���/���A��!� �� � ��� !�"0���

��� � 1� ��� "�!�� ��� !��� �� � � �� �� �� ���

���� � 1� !�����!�'�� ��� !��� �� � � � � �� �� � �� ��!$������

�����!������� ��� �� �����&�� ��� � � ��

��� 5����'���� � � ���� �� � ���

Page 15: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

..

�9� -�� ��� !���� 0�� � 1� ��N�3�'� ���� ��� � � � ��

�8�����0 ?�A� � F ��� ����� ��� F ����

���� � � � � ��

)� �"��!��#�$�� ��1�&�� ����� ��������� �"����� ���'�� �� ��,�������#�� �� ����������� 4�!� 1� ��� � � � !��#����� �� ���'�� ���12'�" �� F ����� ��� � ��

� � ����� ��� F �������� F ���

�� ��&��#�$��� ����� ��� �$�� ���� ������ ���!��!�� �� ������'���� ����������� �� ���#�$��� �� �!�"������ �$�� ���� ���'�����!���� ��!� �� '��!� �� ���� �"�#�$�� ���"12!���� -��� ��"��"�� ���1�3��� �� ��� ���#�$�� �� �!�"����� �� �� ���� ���A��!� ���3�� "� ������ ��� '�"�� ��� ��"!� "�������� �� D�������� -����!�� "��� �� �3������� 0�� �� ���������� ����� ��� ���#�$�� ���!�"����� ��!������ ����� ���� 0�� �"� ���/� �������� �� ��12'�"�� ��!����#�$��� � ���� ���!� �� /��� � ��!�� �� ��� 5�0���!� ��!�1� ��� �1�'��� ��� =� 1�!��� ���!� � �3��!������ �� ��� ��������������� "�!�� ����� $�� � ���� 0�� ����� ���!�� � � � ����������!�� �����������!� ��� ��(�� �� ����� ������!��!� �� 0��" ���

Page 16: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

."

���� ������ �� 0�� 1� ���������!� ��!�� ��/��� -��1�� ���� '���,��� � ������ � �3��!������ �� ��� ����������� �� �� ��� ���#�$�� ���!�"����� ��!$�� /��!��!� ��"��������� ��!�� ���

4�����"���!� �������!���� �� ��� ��&��#�$�� 0�� ��� ����0��0����� ��� �!�"����� � ��� ����������� �3 ������ � ����� ���!��� �����������

%�7������0 7�(���� 0�� ��� ����������� � � ��� �!�"����� ���!$�� ���������� �� 0�� � �� �����!� � ����!� ���� ����!��� ����� 0�� � �� �����!� � ����!� ���� ����!��� ��� �� ���� �� 0�� ��� !��� � � �� �

�� � ���� � ����

7��� ��� �!�"����� � ������ ��&��� !��'��"���!� ��� ��,��������� �� �� �����!���� ��

��� � ���� � ����

� �����!� ���12 ���� 1� � 0�� � �����!� �� ����� ��!������� 7�,�� ����������� � ������ �����!��� ��� �!�"����� �� �� �����!��,�� �O � �3�� "� � ������ ��� ��( 0�� ��!� �����!� ��� ��� ��!�� ��� ��� ��!� �&���!�'��

�8�����0 ?�A� � � ����������� �"��/1�!��� �� "�3�����1�&�� ��� F ��

�� 4�!� 1� ���� ������ �� � �� � �� �� F � ��� � �� ?� ��=���� 0�� �3��!� � � �� � � �� �����!���� ��P���� ���!��� ��!$�� 0�� �3��!� � � � � � ��A�!�'� � 0�� 1� ���/�����G '�� D��� ��K�I� ����"1���� � �� 9K � ����"1���� � ��IK� ��� ����!� ���� ��� �� ��� �� !���� 0�� ����� ��� ����� ����D��� �3��!� ���� �������" !�" 0�� ����� ��� � ���� � ����� ���� ?�A�

Page 17: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �9

.#

�� �� ���� ���� �� ���� �� !���� 0�� �3��!� ����� �������" !�"0�� ������ ��� ����� ������ ���� -��!��!�

����� ����� �� ���� �� �����

4�!� 1� � 1� �������!��

�� �� ����� ����

� ��!��!� ��A�!�'�� � 0�� 1� �� �/������

P���� ��� ���!������ ����� � �� �#��� �� /��� � 0�� ��A��!� �"1������� �� "��!���� �$�� ����"����(���� ��� �� ������!�� ��!� �"���� ����" ���� ������ ���� ����� �� ��/���A��!� ���=�,�� �� ���

%�7������0 6�� ����������� � 1� ��!� ���!12��� ���� � 0���������������� ���� ��/���A��!� �� � �� ��� ���=����

� ������ � �����!���� �� !������ ��� �����#�$��� ��&����!�� ��� 0�� � ��� ��!� C� �����!� ����12 ����� ����� ��A� ���!�'��

$������0 ����� � � ������ ���������� ��� ����� �� ������ ������ � � � � � � �� ������������ ��� ����� �� ��� ���� � �������� �� ������� � � � � � �� �������� � ��

�����!������� .��������� �� "��!�� 0�� � 1� ��!� ���!1�'�" �� ��,����� ����� �� �3��!�� ��� ���12"�� ������1�'�" �� �/��!�� �� � � ����� !�" 0�� ��� !��� �/��!� � � ������ �����!���� � � ��� F

���

�� D��/����� !��/1�� �� "��!�� 0�� !���

��/���A��!� ���=��� �� �� 1� ���!1�'�" �� ������� ����� 0���������������� ��� � !� �"���� ����(��� �"� !� �"���� ���"�������

Page 18: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �:

.&

%������������ 7��� � � � ��A� � F �� � �� � � ��� !��� � �� � ���� F

����

���

�� � �F � � ���� F � �� � F �� 5�!$��

�� F � � �� F ���� � ����

5

� � � � �� � � ���

�� �� � ���D���

�� � �� � �� � � ���*�� � ���!12��� �� "��� 0�� �� ���� ���A��!�� �$�� �/��!�� �'�A��3���12��� ��� -��!��!� �� � � � 0�� ������!� ��� � ����� 5����"�� � ������!��#�$�� �� !�������

� ��!�� �� �� "��� ��'��� � %�+�� ��KIJ� ������ ��'���� !������ �� 7�/��� ��KI:� �&������ 0�� ������ �����!������ ���#�$�� ���!12��� �� �����!���� ��

$������0 �� � �� � ������ ���������� �� ������ ����� � � �� � � �� �� ������������ ��� ����� �� ��� ���� � �� ������ �� ������� � � � � � ��� ���� �������� ���� ��

2�3 ������� � �� �� ���4�� ����� � � 4������ � ��� �0

� ������ '���� ��!���� �"����� �� �������� �� ��!��!�� ����!�"������ � ������������ � ����� �!�"�(���� ��!��������!�� �!1� �&��" �� �� 12!�"� '���� �� �� 0�� � � �� � 0�� ��!��!� � ��� � ���

Page 19: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �

.'

%�7������0 ��� � 1� ��!� ��!��!����!� ���1�!��� �� ���� � ��!$�� ���

���� � 1� ��!� ���1�!��� �� ���� � ��!$�� � � ������ � 1� ��!� "���"���!� �$�� ������� �� ����� � � � � � �

�3��!�� � � ��� �� � � � � ��

�����!������� 15 1�/'�� 0�� �� � ��!����( � ��� ��!$�� ���� !��/1�� 1���!�����!� � �� � ��!����( � ���� ��!$�� ����� !��/1�� 1� ��!�����!��

�8�����0 ����� ��� F �� ��!����( � ���� ��� �$�� � ��� ����� ��� F�� � �� ��!����( � ����� ��� �$�� � �����

�� �� �������� ��� � ���� ����� ��� ��(�� 0�� �� ����������!�� ����� ��!����#�$�� 0����� "=� 1� ��������� ����� 0���!����� ��/���� 5� ��!���"�� ��� ��� ��( 0�� �� ���������� ������ ������!� 0�� !��=� �� ����� ��� 0���!�� ����� �� �"��� ��� � /����� �� ������� ����� ��� ��( 0�� �$�� �3��!� �� ��!� �� �!�"������1�3��� "���"� 4�!� 1� �� ���� '�(��=��#�� �� ���� ���!� �� /����3��!� ��� ��!�� ���!� 0�� "=� ��'1�� ����� �!�"������

��!�� !� � �� ��� ��!����!� 0�� �� ������������ ����� �����!�� � 0�� ���1� �� ��!��!� ��� ���!�� !������� 1� � ���,'�3������ 5�!� �� ������� ������ 0����� � ���������� ���!� ����'����&���� -�� �3�� "� �� � ���������� !�� ������������ ���,'�3�� � 1� ���������!� ��!�� : /������ � � ��#��� ��!$�� �"� ������� /������ � � ��#�� � 0��"0��� ��� ������ ���� ����/�"���������!�� �� ��!��!� ��!�� ��!�#�$�� �� ���'�3����� ���1� ���� �� �� 12,!�"� ��!����� 0����� ��!������� � �'���$�� �� ������

Page 20: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �I

.*

%�7������0 ?� ��=� � ���'�3��

��� 7�(���� 0�� � 1� ��������!� ���'�3� �� �� � � � � � ���!$�� ��Q ��� ����

���� 7�(���� 0�� � 1� ���'�3� �� � � � � � � ��!$�� �� Q��� �� � �

����� 7�(���� 0�� � 1� ��!��!����!� ���'�3� �� � � � �F �� � � ��!$�� ��Q ��� �� � ��

�����!������� ?� � 1� ���!12��� ��!$�� ����� � ���� � ���� -��� ��!�����"!��� '�� 7�/��� ��KK��

�8�����0

� ����������� �� ������ � ����� ���� � ���'� �� ���������#���� 1� ��=���� ��!����( � ��� ��� �$�� � ����� � ����������� ���� ��

Page 21: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

.9

����� ��� F ������� ��� ��!����( � ���� ��� �$�� � ������ ?� ����� ��� F��� Q ����� Q �� ��!$�� �� ��!����( � ������

P���� � ��!�� �� ����� �� �� 0�� � ���������� �"1�� ����� ����������� ����� ��� ���!� �� /��� � � � 0�� ��!�� ��!�,��� ���� ��� ��!�#�$�� ������"� =���� 0�� ��� !��/�"=�� ��1�'��� �!���12"��� �!�� P���� �� �� !��/1�� 0�� � F ��

�� 6� ���!����� ��#��� ��� ��� "�����!� �� ��#��� 1� �� �"����!� � �� ��

�� ���!�� ��!�#�$�� �� � 1� 1�/'��� �� �����&�� � �0���!��� 0�� ���!� ���������� �� /�� �� 6�� ���!� � ���!� ��!��!� ��� 7��� �� ��#�� � '���� �� �� 0�� � ���������� ���=��� ��!� ��#�� ������,��#�$�� �����!�� ���� !��/1�� ��� ��� ��� � '����� ��� ���!����!� ��#��� 4�!� 1� '���� �� �� 0�� � ���������� 1� ����'� ����"�#�$�� ��� ��#���� �/'�����!� '���� �� �� 0�� � ����������!��=� 0�� ���� �"�� /��� ��0�������� ����� � ���������� !��0�� ���!������ ��� ����"=� �� ���A��!� ��� ���!�� �� /��� 0�� �$��������'��� �� ��� ���� �� ��� �� ���� �� ��� �/!���� ����� ��=����� ���!��#�$�� ��#�����!1�����

���� �� F �� � ���� �� � ����

P���� !���� ���� =� 1�!��� � ��!� �� � ���������� � �����,!�� �� ��� ��!����!� �������" ��!� 1� �"� '�� ����"=�� �� ��!�� ������ ���� �3��!�� �� ���� �� 0�� ����� ��!����#�$�� "=� �� ��,������� 7�!� �� ��!�� ����� ���� �� 1� ��� ������ ��������� ����#�$��0�� ������� ���A��!�� � ��!��� �� ������� �� ���������� 1� ��&��,�� ��

� � ��� � ��

� �� ���

��� �� ��� ���� �� F �� � ���� �� � � � ���� �� ����

�"����� �� �������� �� � �$�� ������!��� 4�����"���!� ��!����0�� �� � � ��!$�� ����� ��� F ���� ��� -��!��!� ����� ��� F

Page 22: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �J

.+

���� �� ��!� 1� � 1� =��������� �� ���� (���� D��� /��!� ��� ���,

!��������� � � � ����� F �� � ����

�����

�� F ��� 6� ��!�� ��!�

��� "�� 1� 0�� �� � 1� "���"���!� �$�� ������� ��!$�� � ������� F � ���D�� �� B�"����� )��!� ���� � ���������� ��� �� ���!� !��� ���� ����� ��� '�( 0�� ��� ������������ "���"���!� �$�� ��������� �� � �� ��!$�� �3��!� �� � � ��� ��� � ��� ����� ��!�� �� ������� �"����!�� 1� 0�� �� � 1� ��!��!����!� ���'�3� ��!$��H������ � �� -��� �� �� � ���� �� � � �F � � ��!$�� � �� � � � ��Q ����� � � ���� !��/1�� ��Q ����� � ���� �� ��� ����Q��� ��� F �� ����� !���� �� �/������

�8�����0

?� ��=���� ����� 0�� � 1� ���!12��� � 0�� � �F ������ ��A�"���!���� -�"� !������ �� 7�/��� A1� �����!��� �3��!� ��� �� ��,���!�#�$�� �� ���!12���� )�!���� ����� 0�� � 1� "���!��� � ��!��!� �� ��� ��!�� -�"� !������ �� B�����!���� !���� 0�� �� �!����

Page 23: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �K

.-

�� �1�3��� �� � � ���!� ���� ������ �F �� *�� �� �� F � ����"��� � � ��� � � � � �� ��!$�� � 1� �"���!��� � ���!� ���� ������ ������ '�(���

�8�����0

-��� �'�!�� ��!� !� � �� ��/"��� '���� ��&��� ��� �

���� �� � F �� � ���� �� � ��� � � �

� ��� ��!�'����!�

���� �� � F �� � ���� �� �� � � ������ � ����-������ ����� ������!��� 0�� � ���#�$�� �� ������� ���!��!� 0����� �� �3��!� 1� ���!12����

$������0 ���� � �������� � ���� �������� �� �� ���� � ������� ���� ����� ������ � �� �� ��� ���� �� � �� ��� ���� �� ��

Page 24: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

"/

%������������ ?� ��=� � ������!12��� �� � � ����� � 5�!$�� �3��!� ��0L������� ���� !�" 0�� �� � � � ����� �� � �� ������ ������ ����� �� � � ������ �/!�� ��F ������ � � �3!������/��0L������� 0�� ����� ����!���� �� �� !�" 0�� ����� � ��

���� ������� �� � � ��� � ����� �� � � !���� 0���� � �� � � � ���� � � ������ �� -��!��!� ���� �� � � ��-�"� ���!�������� �� � �3��!� !"� � ��� �� !�" 0�� � � ���������� ��� � � � ������ � �� 5� ��!���"�� �3��!� ��� !�" 0�� ��� !���� � ���

� ����� �� ��

������

���

�� F � � � � !���� 0�� �� � ��A� � � � �

������� ��

��� �� � �� � ��� !�" 0�� � � ��

�� � � � ���

��

� �

��

���Q ��

F ��� ������ Q� �

#

���

# ��3

�� ��

�� � ��

5�!$��

� ���� � �����Q � � �� � ��

"��� � ��������� � �� ���������!�

� ������ �� ���R�

Page 25: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

".

*�� � �

��� � ���� F ��� ��������� Q� ����

#� ����

� ��� ������� Q ��� �� ��

9 Q

� ��

#

Q�

#

���9

� �� Q���

9��Q ��

��� �Q

#� �

�� Q ��� ���

9Q�

9Q��

9

��

#� � �� Q

��

9Q��

9Q��

9

F

#� �

�� Q �

� � ��

��� � ���� �

��� ��� '�( 0�� # ���

����� *��

��� � ����� � � �� �R� �=������ ���� ���!����#�$���

�8������ P���� !���� �� ���������� ��� ���#�$�� �� �!�"���������� ���� F

��� Q

����

��� ?� ���� ��!�#�$�� � F ��� �� � ��#��� � F ���� ����� �/!����0���

���� �� �� F

��������

�� ��� ���

�����

���

���

����� �� � � � �� � �

��� �� �� �� F �

)�!���� 0�� � ������� 1� ������!12��� ��'��� �� ��!� �� �� F ��

Page 26: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

""

�/� ?� ���� ����� ��� ��!�� ��!�#�$�� � F ��� �� �/!���� 0���

���� �� �� F

��������������� ������

��� ����

��� �� � � �� � �� � ��

����� �

��� �����

����

��� ����

��� ��

P���� 0�� ����� ���� � 1� ���!12��� ��'��� �� ��!� �� 0��� ��

2�3 � 7��� �������!�0

P���� ��!���� ����� � ��� ��!����!� ��� &�����

%�7������0 6�� &��� 1� �����!���(��� �� ��� !����"���� 0�� 1��� ���A��!� $ � �� !�" 0���

��� $ 1� ���'�3�

���� $ 1� ��� ��!�

����� � � $

Page 27: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �9

"#

� ��!�� ��!�#�$�� ���������� �� ��� &��� ���� ��&���� ����� 1���� "��� $ 1� � ���A��!� ��� ��!�� ��� 0���� � &��� ���� � ����G�� � � � � &��� ��!1� ������ � /�� � ���� ������ ��� ����#�$�� �� � � � � &��� ��!1� ����(���� � /�� ��

� ���'�3����� �� $ ��� ��� A��!�&���� �� ������!� ������ ��� &��� ��� � ���� �� � � �� � ��!$�� �"� ��� � ���� �!�"�(�������� !��#��� ��� ������� 0�� �!�"�(� �� � ���� �� !��#�� ��� ��,����� 0�� �!�"�(� �� � ��� ����(�� ���� !��#��� �� ����!� 0���/!1�� �� � � �� !��#�� �� ����!� �� �� � =� 1�!��� �� $ ���"���!��� 1� /��!��!� ���!��!�'� � �$�� 1� ������1���� ��� �� !�������� ������� )1�� � ���!���� �0�� ��� � �/A�!�'� �� ��� "�&��� �"��,��� ������!��#�$���� � =� 1�!��� �� 0�� � � $ ��( 0�� � &��� ������3�� �� � ���� ��� �������� �� ���!�� ���� �$�� �3��!�� ���!��&3���� 7��� �� ��#�� � � ����� � ��� �!�'����� � $ � "���� ��&��� 1� ��&���� �� �� -������ �����'�� � ���� � ���� �� ����!������ � ������� ���!�'� ��������� � �����!��

���������

���G � �

������� ����!�'� ��������� � ��� �����

��������

���� �/'�����!�

� "���� �� &��� 1� � �����!� ����� � ��� ��� �� &���� � ��/"����� &��� 1� � �� /����� �� �12'��� �� �!�'����� %��� $ � 0�� ��3���(����� "������

��3���� � �

���� $ 1� ��� ��!� � ��/"��� ����� !�� ��"�#�$���

� =� 1�!��� ����� ���'� ��� ��������� 0�� � &��� ��� � ������� ��A�12(�� ��� '�( 0�� �%��� $ � � � � � F ��

P�A���� �"���� �3�� "���

�������� ��� �� ���� ���� ���� ����� �� ���� ����� � ��� ���

��� �� �� �

Page 28: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �:

"&

�8����� .0

$ F ����� ���� �� � �� � �� � � �� � �������

%��� $ � F

����������

��

���������

�� �� �� �F ��

�������

� ����

�� F =���� �� !��/�"=� �� F !���"���� �� ��"=�

�� � �� �� ��

Page 29: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �

"'

�8����� "0

$ F ����� ���� � � �� � �� � � �� � ����� � �� �� F ���

%��� $ � F ����� ���� & � �� � �� �� F �����6�� ��� ���'���������� �� ��&��#�$�� �� !����"���� �� ��� &�,

�� �� �� ���A��!� �� ��'1�� �� ��� ���#�$�� �� ����#�$�� ����� ��� ���#�$�� 0�� ������� ������� � �� 1����� ����!�� 1� � ����/�"�,���� �� �3��!������ �� ����#�$�� ���A��!� ���� � �3�� "� � �������"��!���

�8����� #0

$ F ����� ��� ��� ���� �� � �� � �� �� � �� � ��

� � �� Q �� � ���

������������

Page 30: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �I

"*

�� � �� �� � �� �� ��

�� F =���� �� !��/�"=��

�� F =��!���� �� !���� �� F !���"���� �� ��"=�

�� F !���"���� �� ��A��

���� '���� �"� 53�� "� � ����� %��� $ � ��� ��� �� ���,A��!� ��� ���� �� �� ��!� � 0�� ��� ��!�'� �� ��&��#�$��� ��������

%�7������� ?�A�� � �� $ � ��� 6�� ������ ��������� �� ���#�$����"!�'��� � 1� ��� ��"�#�$�� 0�� ������� ��!�� ��� � ��/���A��!���� $

� � � � $�� ���� � $�

%�7������0 6�� ������ ��������� � � � � $ 1� ��!� ����,���!12����� ����� �������� �� � � � �� ��� !���� ��0L�������� �� � � �� � ����� !��� 0�� �� � � � � � !��=���� 0�� � �����7������ 0�� � � � � $ 1� ������ �� ��!� ��� ������ ��� !��� � � ��

�8����� &0

���� F

�S�� �T � � � � 9

S���� ��T � � 9

Page 31: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

"9

�8����� '0

���� F

���

���

�� � � � �

��� � F �

)� 53�� "� : !���� ��� ������ ��������� ������� )�!���� 0������ � � ���� � ��9� ��� !��� � �� �9� �� 9 Q ��� � ��1��� �������� �� �� ��!� �� 1� 0�� � � ��� �3 ������ �� ���

)� 53�� "� !���� ��� ������ ��������� 0�� �� ��!� 1� ������#�$�� �H���� F � � � � S�� �T�� )�!���� 0�� � 1� ������ ��� �'��!� ���� ��� ���#�$�� �$�� 1� ���!12���� ;���'�� ��/ �����#�$��� ��� ������ � H���� F � � � � � /��!� 0�� $ ��A� ��� ��!� ��� 0��� '��!� ���� ��� ���#�$�� ��A� ���!12���G '��� �3���12��� I �� &��"���!� �� 12!�"��

Page 32: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �J

"+

�����!������� 7�&����� � ��1�&�� �� ������ ��������� � � � � $�����

'� F ���� � � � � $ � � �����1� �1���" '�� 0�� '� 1� ���=��� �� � � $ �� � �����!� �� � 1� ������

%�7������0 6�� ������ ��������� � � � � $ 1� ��!� ����,���!12����������� �������� �� � �� ��� !��� ��0L������� �� � � ��� �� � �� � ���� �3��!�� ��/��0L������� �� ��� �� � ������ !�" 0���� � �

7������ 0�� � 1� ������ �� ��!� ��� ������ ��� !��� � � ��

�8�����0

���� F

�S�� :T � � � � �

S�� 9T � � �

Page 33: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �K

"-

� �3�� "� 1� �� ��� ������ ��������� ������ � )�!���� 0�� ����� � ���� � ���� ��� !��� � � �� � �� � Q ��� � ��1��� �� �������� �� ��!� �� 1� 0�� � � ��� ���!����� �� ���

����� 1� �1���" '�� 0�� �� ������ ���������� ��� ���� �3�� "�� ���������$�� �$�� ������ � 7������!����!� �� ���� �� ������ ��� ������, ��������� ������ 0�� �� ��!� ��� ��� ���#�$�� 1� ���!12��� �����0�� $ �$�� ��A� ��� ��!�G '��� 53���12��� � �� &��" ���!� �� 12!�"��

%�7������0 6�� ������ ��������� � � � � $ 1� ���!12��� 0�������!� ��� ������ � �������

$������0 ���� � � � � ( � � �� ������ ��� ���� � � � � � (�� ���������������� ������ � ��� ������� ������ ��� ����

%��� F � � ���� ���� � F ��3������

���� ���

�� ��� % �� ������

Page 34: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9�

#/

�8�����0 � F ����� ( F $ ��� ��!� � ���'�3� ���� F $ � � � ����� ���� � F � � � 5�!$�� %��� F �����3��� � � 1� ������

6� ��� �3���12���� ���!� �� 12!�"� ���!�� ���� �/!�� � ���,!�������� �� ������ ��������� �� ������� �� �/!����� 0�� � ���,��� ��������� � � ���� �� 1� ������ .�"��/����� 0�� �/!���� ��������� ��������� �� ������� � �$�� ��� ���#�$�� �� ��"�3����� �=� 1�!��� �� ���'�3����� ��!��!� �� ����������� �� �����������

%����������� � ������� ?�A� �� � � � � � � %�����)������!���� ���!��� 0�� � %���� 4�!� 1� ��������� ���!���

� � � ����� ���� �� � ���� ��

���� � 1� ������ �� � � � � � ���� ������!�� � �3��!������ ����� � ������ ��� ��� � ��

-�� ���������!�

����� � ���� � ����� � ����

D��� �"� ���!�������� �� �

���� �� � ���� ��

-��� 0�� %��� $ � ��A� ��� ���#�$�� /��!� �3������� 0�� $ ��A� ��,!��!����!� ���'�3� � 0�� ��&����� � �������

%�7������0 ?�A� $ � �� !�" 0���

$ �F �� $ 1� ��!� ��!��!����!�

���'�3� �� � �� � $ � � � � � � � �� � ��� �� ��

$ �

Page 35: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9�

#.

�8�����0

)�!���� 0�� $� 1� ��!��!����!� ���'�3� ��1�� $� 1� � �������'�3� ��� �$�� ��!��!����!��

?���� $ ��!��!����!� ���'�3� 1� �1���" �� '�� 0�� %��� $ � 1� ������#�$�� �'�� �3���12����� 0�� 1� ���!12���G ��!� ������� �� ��!� ���!���� ��� ������ ��������� ������ � '�"���� ���!���� �� ��� ��!� $ �� &� !���� 0�� H%��� $ � F � � � � ����� � 6� ��!�� �3���12������!�� 0�� � ������� �� ���������� �� ���� �� 0�� �"� !�� ��� ��!��� �#�$�� ��� "����� ��� &���� �������� ���!12����

�8���������

�� *��!�� 0�� ��� 1� ��!��(1�'�" ��!$�� � 1� ���!12��� �� � �����!��� � � � � �� ��� � �� ��� �$�� ���=�����

�� -�� 0�� � �3�� "� �� ����� "�3�����1�&�� �$�� ���!����( �

Page 36: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9�

#"

!������ �� �� �����!�#�$�� �� ������������ ���� �� ��12��� ���� 12!�"�O

9� 7����!�� 0�� � � ! �!�"������ �� ��� ���!12���� � ��!��!�,

���!� ���1�!���� �� �����!�� � ����� ����������� �� � �1� ���3��!�� ) � ����

�� � � ��!��!����!� �������!� !�" 0�� ! F ) ������������ ?�A� U F ���� � � � � �� � �� � � � ��� ?����� � � � � �� F � ��A� )��� F !��� � � � � ��� 5�!$�� !�U F ) ���U� ?� � � ��

� ��!$�� ���� � ���� � ����3�����

��� � � � ���3�����

����

���� � 1� ���1�!��� � ���!12��� �� U �3��!� � � �� � ��3��!�" 0�� ����� � � � � ��� F ����� D��� )����� F !���� � � � � ��� F!����

:� ?�A� � ��!��!����!� ���1�!��� � ���!12��� �� ���� 7�� ��!��

������!��#�$�� �� �3��!������ �� �� ���!12����

��������� 7��� � F ��� � � � � �� � � � ��A� ����� F ��7��� � � ��

� 0��"0��� ��������� �� F �� � ��� � � � � ������ �� F �� � ��� � � � � �� � �� �"� ���!�������� �� � ��

� �� �$�� ���=���� � � ��

���3�����

��� � � � ���3�����

��

�� ��

�� � �� F �� "��� �� ���'�3����� �3��!� �� � �� � �� 0�� 1� 1����� �� ����!��������� ��!��!�� ?�A� ����� F ���-��� � ������!��#�$�� �� ���!�������� ��������� �� ���A��!���� ����� ������� �T� ����S������

� ?� ��=� 0�� � � ��� � � ����!� ��� �3!���$�� � �� �/��!�

���!���� ��� ���� '�(�� ���!�������!� ���������1�'�"� ?� �,

�=� 0�� � � � ��� *+

�����* � � �� ,����* F � * �F � �0�� 1� ��� ����� ���!� �� 0����,�����'������ ?� ��=� 0��� ��� �� � ��

�� � ��� ���� �� � ����� 7�����!�� 0�� ���� ��

1� &� �� ���� � ���� -��'� � ���12 ���� ���� �� ���� �� � &�

��!$�� *,�����* � � �* !�" 0�� ,����* F � *�F ��

Page 37: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 99

##

��������� *��!�� 0�� ��!� �����#�$�� 1� ������1���� � ��&����!� ��� � ��'��!�/�"����� ��0������ ��� � ��� �� !������ �����#�$�� �� "12��!��

���0� ���� �� 1� ��&���� ���� � ��"�#�$�� �� ��3���������� �����

I� 7�����!�� 0�� �� � 1� ��� ���#�$�� ������ � � � � $ $ ���, ��!� ��!$�� � 1� ���!12����

�� 7�����!�� 0�� �� � � � � $ 1� ��� ���#�$�� ������ ��!$�� � 1����!12����

J� *��!�� 0�� �� � 1� ���#�$�� ���!12��� ��!$�� � 1� ������ � ������

K� *��!�� 0�� ��� �����#�$��� �� 1�"!��� !������ ���!� �� 12!�"� � ���#�$�� - ��� F ��3������ ���� �� 1� ���!12����

��������� *��!�� 0�� � � ��� %���� 1� ������ �� ��� ���, ���#�$�� �� ���� ������ ��������� ������ � ��� � 53���12��� I�

��� *��!�� 0�� �� � � ��!$�� �� ���� �� � 1� ������

��� -��'� 0�� �� $ 1� ��!��!����!� ���'�3� ��!$�� %��� $ � 1� ������#�$�� 0�� 1� ���!12����

��� ?� ��=� 0�� %��� $ � 1� ��� ���#�$�� ���� 1� � ���� �� $� �����!��!����!� ���'�3� . F �� � � � �/� 7��� � � ����� � ?�A�

����� F ��� Q�����

0���%��� $�� � ����� �� ���������� � ��

���� �� �"� ������ � ��!��� �#�$�� 0�� � � ��� "����� �� &���.� ?� ��=� ����� � �� ��� '�(��=��#�� �� � � ����� ����1� � ���� �� �� �� *��!�� ��� ��� �0���� ����&��#�$���� �� !������ ��� ��'��� 0�� ������� ��� ��&���� ���� �1�!��� �� �� �� �� � ��

�� �� � ������ 1� ���!12��� �� ����#�� �� =� 1�!���� ������1����� �� ���

Page 38: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9:

#&

"0 �� %�������� �� ���������

%� �����$�:�

)��!� ��#�$�� '���� ���������� � �� �#�� �� ������� � ��������� � ���A��!� �� ������� �� ��/�/�"������ ��/�� �� �� �#�� ��/��� /1����� V� ����� �� �3�� "� � ��� ��� ������ ���� ����A��!� ��� ��/�/�"������ �� "�!����� ��/�� � ���A��!� �� /���V F ���� � � � � ���� �� ����"=�� ��� "�!���� � F ���� � � � � ��� � � ����������� !�� �����!� � ����/�� � /�� �� ��� ��/�/�"����� ���

�����"���!� !���� �� �� �#�� �� /��� /1������ V ������ ������ 1,1�"��/�� � � � 1� � ���A��!� ��� ������� �� ��/�/�"��������/�� V� �� "��!���� �$�� ����"����(���� ��� � !����� �� ��!����#�$�� ���� ���������� V ���� !���� �� �1����� &��!� �� �"����!�� �� ���� ����� � ���A��!� ��� ��!�� �� V ��!� 1� � F � � �V� F ��

2�3 � ����� � ���� � � ������ � � ;� ����� � ���6<����0

?�A� � ��� ����������� �������" �� �� -�"� ��#�$�� ��!���,�� ��/���� 0�� ��/ ���!�� =� 1�!���� �3��!� ���#�$�� �� �!�"������� � � � � �� �����!���� �� )��!� ��#�$�� ��!���� ��!������,��� �� ����/�"����� �� ��� �� �����!�#�$�� ���� �3 "12��!� ��� ��W������� ��/�� �� �3��!� � � V � � !�" 0�� ��� � � �

����� F

��2���+2��

�� �� ���� &��!� �� 0�� HV F � �� ����� F �

���

��2����� ����

Page 39: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9

#'

��� 1� � ��/�/�"����� �� �/!�� 2� � � F ����� � � � � ����� 4�!� 1� �� 0�� �� �����!� � 1� � �!�"����� �� ����� �� ����A� ���"12!��� ���!����� ��� "�� 0�� ��� �!�"����� �/�!��!� �� V�

� ��1��� �� ��� �!�"����� "����� ��� ��� ��!� C�� ��/�/�"����������� !�" 0�� ��� � � � � � ����� Q �� � ��� F ������ Q�� � ������� �����!� �"� ����� � %�����""� ��� ��� �3 ��,!�!�'� ����"� ���!��� �� �������� � �3����!�(1�,"� ����� P��,)������ � *������!��� �� ;=���@ �� 8���� ��� 5������� %�,=�'���� ��K::�� � �����"�#�$�� 0�� � �����!���� �0�� 1� ��'��� �E���!��� � *�"��� ��KI9��

� �1����"� �� �!�"����� �� ����� ���1� ����� ��!��������!� ���,!� ��#�$�� ��� � ��!��� �� �'���$�� �� ����� � �� ���������!� ����������

P���� �������!�� �� ���� �3����� ���!� ���!�� � ���� '�����������!� ���!��'��!�����

��,�� ���!��������� � �� � � � � �� � S�� �T � ��Q ��� ������ �� � S�� �T � ��Q ��� �� � �� �$�� ���=�����

��,�� 4��� ���������� ?� � � ��!$�� � � � � � � � � �

��Q ��� ��� � � Q ��� ����

� �3���� �� 4��� ��������� !�� ���� ��!� ���!����� � �3 �,�����!�� ���"�(���� !��� ���!���� 0�� �"� 1� ��A��!��� �� ���!����!��#�$��� �� ����'12���� ��/��!���� C� !��!�� � ���� ��!1�'�" ��12!����� !����� �� �!�"����� �� ����� 1� ��� �1�'��� *� �""���� � ������ ������� � ������'�� �"����� ������ �/A�#�$����

?� ��=���� 0�� �� ����'12��� !��=� � ����/�"����� �� ����"=��

Page 40: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9I

#*

��!�� � ��"=$�� �� ����� ��� ��/�/�"����� �� � � "�!���� 0�� "=� ��� ������ ��� ��/�/�"����� � � ���� ��"=$��� �� ����� ��� ��/�/�"������ � �� ?� �"� ������ ��� �!�"����� �� ����� �"� '�� ������� �������� �"!����!�'� �� ����� Q �� � ��������� ���� ���� �� � ������������������������� � 4�!� ����� �� ���!������� ��� '�( 0�� � ��������"!����!�'� A1� "=� �����!�� � ��"=$�� �� ����� ��� ���!�(� � �� ���

!�� ��/�/�"������ �"!�� �� ����/�� ���� ��� '�( 0�� ������������������������

��� ��!�� �1�3��� �� � ��� �"� ����� "���� �� (�����

� =� 1�!��� �� ���!�������� !�� ���� ���!����� �� ������!�� ��!���$�� ��!��!�'�� ����� �� �� ����'12��� ������� �� ��" ����� �� � �������� ��� �"� ������ ��� ���!� ��� ��� ���!� ��/�/�"����� � � �����/�� �� ��" ����� ��� ��/�/�"����� �� � � ����/�� ��� �����������"���!�� � � � � !�" 0�� ����� �� ��

5�!�� �/A�#�$��� ��� ��'�� ��(�� ���!�"���� ��� ��� ��!� � !������� �!�"����� �� ����� 0�� ���!��� ���!���� � ��� ���!� �� ��,!��!� ��'��� C� ��� � ��������"������ ���'1�� !��/1�� �����"!�� ��� ��!������ �� !��/�"=�� ���� � �� *��=��� ��KJ�� 0�� ���������"�3�� � =� 1�!��� �� ���� ��������� � ��� � ��!��!� � �!�"������� ������

-������ ����� ������!��� �

$������0 �53��!������ �� �!�"����� "������� �� � ������������ � �������� � �� � � �� ���� !"�#$ � !"�%$� �� ��� ���� � �� � � � �

�� �� � � � � � � � �� � � �����Q ��� ��� F ������ Q ����������

"������� �� ��� ��&��� �� ������� ������ ���� � �� ��� ���� ��� �� 3 � � �� �� �� F ���� Q 3�

%������������ P���� �� �� ������"���!� 0�� �3��!�� �� �����

Page 41: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9�

#9

�"����!� � � ����� �"����!� �� 4�!� 1� � � � � � � � � ����� �������!��#�$�� ��!1� ��'����� �� '1����� �&���#�$����

�7�������� .0 ?� � � � ��!$�� �3��!� � � � � � !�" 0�� � ���Q ��� ����

%����������� � .0 ?�A� % F �� � S�� �T � ��Q �� � ������0�� 1� �$�� '�(�� � ���=��� �� ��,��� ?�A� % F �� � S�� �T � ��Q�� � ��� � �� 0�� !��/1�� 1� �$�� '�(�� � ���=���� ���� � 1���� "�!� % �% F S�� �T "��� % �%�F � ��� S�� �T 1� ����3�� 4�!� 1� �3��!� � !�" 0�� ��Q ��� ��� � ��

�7�������� "0 ?� � � � � � � � � ��!$�� � � ��Q ��� ���

%����������� � "0 ?� ��=� �� �/����� � F ��Q������� �� 7� ������!��#�$�� �� �&���#�$�� � ��/���� 0�� �3��!� 4 � S�� �T!�" 0��

� � 4� Q ��� 4� F 4��Q 4��� �� Q ��� 4�

F 4��Q S4��� �� Q ��� 4�T

F 4��Q ��� 4���

?�A� % F �4� � S�� �T � � 4���Q S�� 4��T�� � �������!� ��������!�� 0�� % 1� �$�� '�(�� � ���=��� �� ��,���

D��� �3��!� 4� F �������4�� ?�A�

��� F 4���Q S4���� �� Q ��� 4��T � ��

Page 42: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9J

#+

-�� ��,��

� F ��Q ��� �� � ���� Q ��� ��F �4���Q ���� 4��� Q ��� ��F ��4��Q ��� ��4���

*�� � � 4� Q ��� 4� � �� ��,���

� � 4� Q ��� 4� � 4S��4���Q ��� ��4��T Q ��� 4�

F 4��4��Q S�� 4��4�T����� � � � � ��!��!� 4��4� � 44� � 4� !���� ���!����#�$�� ���� ��&��#�$�� �� 4��

�7�������� #0 ?� � � ��!$�� � � � 4 � � � �� Q ��� �� �4�Q ��� 4��

%����������� � #0 ?�A� � � � � 4 � �� 5�!$�� �� ��!���1�"��� � � �� Q �� � �� � � ���� �

�� � ��'����!� �� �

!��,��

��Q ��� �� � 4�

S��Q ��� ��T Q�

�� 4�

� F 4�Q ��� 4��

.��� �������!� �� 4 � � � �������!� ����� ���!�� 0��

4�Q ��� 4����Q ��� ��� 0�� ���!����( � =� 1�!��� �� 0�� ��Q ��� �� � 4�Q ��� 4� �

-�� 9 !��,�� ������!����!�

�7�������� &0 ?� � � � ��!$�� �3��!� 1����� �� !�" 0�� � � ���Q��� �����

Page 43: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9K

#-

?�A� ������� F �� ���� �� �&���#�$�� : ��!$���

�7�������� '0

��� � � � ���� �������

���� �������Q ��� ��� F �������� Q ��� ��������� �� � S�� �T

%����������� � '0 ��� 1� ������!� � ��!�� �� 9� ?�A�

� �������Q ��� ���������

6����� ��,�� �� �!���� '�(�� !��,���

��Q ��� ��� �S��������Q ��� ���������T Q ��� ��S�������Q ��� ��������T

� S�������� Q ��� ��������T�Q S�� S�������� Q ��� ��������TT��

D��� �"� ��&��#�$��

�������Q ��� ��� F �������� Q ��� ���������

�7�������� * �6���������� ?�A�� ���� � ����� �� �����!���� �� ?�A�

� F�������� �������

��������� ��������

�3 F �������� ����������

5�!$�� ���� F ������ Q 3�

Page 44: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :�

&/

%������������ ?�A� � � � ��!$�� �3��!� � !�" 0��

� � ��Q ��� ����

D��� �� "����������

�������� ���������

F �������� Q ��� ���������

� �������� �������

��������� ��������S��������� Q ��� ����������T

F �������� ��������� F 3�

���� 0���12���� ������!����

-������ ����� ������!��� � ���� ����"� 4�!� 1� � ���� �� 0��� �$�� ����� �� �"����!�� ��3����� � � ��

?�A�� � � � � � � &3��� �?� � �� � � � � � ������!��#�$��1� !��'��"�� 7��� � � � �3��!�� � !��� 0�� � � � � � � � � � � 7�&��

!������ F�������� ��������������� ������� �

��!$�� ! �� �����!� � �� � � � 1� "������ -�"� �����������&���#�$�� I� ! �$�� �� ���� �� �� � ����"=��� ��� '�( 0����� �� !������ F � � !������ F � � 0�� ������!� !������ F !�������� ��� 0��"0��� �� �� �� � !�" 0�� � � � � � � � � � � � ��� ��'� �� !������ ��!1� ��!��!� ����"�12���

-��� � �/!��#�$�� �� �1����"� �� �!�"����� �� ����� �� ���� � FHV �� /��!� ��&��� ��� 2 � V

��2� F ���������

Page 45: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :�

&.

-��� �� � F��

��

�������� ��!$�� �� "����������

5���� F 5�

���

��

��������

F����

�����������

F����

�����2��

� �/!��#�$�� �� �!�"����� �� ����� � ��!�� �� �!�"����� "����� �3����"���� �3����� !1������� ���������� � �$�� ���1� ���!� �0�� �� ��'�"'���"����!�� �� !����� �� ��!����#�$�� 0�� �$�� �$�� �� ��,��0����!� ��� ��!�� ��!���

2�3 � �!������ �� �����5 � �� � � � ����=6��� � �����<�7�� �0

P���� ���!����� �0�� � ��!���� � ���������� ����!� � �����!��#�$�� �� �����!�(�� 4�!� 1� �"� ����"=� "�!����� � �$�� ��!�� ����� �� �#�� �� /��� /1������ ���� ���/���� �� '�� ��/ �"�����=� 1�!���� ������ ���������� � ���������� �������� ��� ��!�"�,���� �� ������ �� �� �#�� �� "�!����� � 0�� ������� � ������� P������ �� !��/1�� 0�� V F �� � � � �� � � � � &� ����� ��)��!�� ��!�� '���� �� �� ��� �� 0�� �� '���1�'��� �"��!1����� !�� !�,��� �� �����!�� &��!��� ���� �"��!��#�$�� ������" �������������� � �����3� �� ?$�� -�!���/���� ?� ��=�,�� �� A��� �� ���� �� ������� 0��" � ��/�/�"����� �� �� �/!�� ���� ��A� ���� � �� A������ 1���������� � ������!� �� ��!�� <���,�� � ����� �!1� 0�� �� �/!��=�� ������� ����� ?� � 1� � �1����� �� '�(�� 0�� �� �������!�� A����

Page 46: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :�

&"

� ����� ��!$�� ���,�� �� A������ � ������ ���� � A������ �� ��, ��!���� �����!� ��� � �����!��� �� '�"�� �� ����� ��� �!�"��������!� A��� ����� ��&��!� ��� '�( 0�� � '�"�� �� ����� �� A��� 1������

���

� F �� -��!��!� ���!� ���� � A������ 1� ���������!� ��!��

��!� A��� � ��� ���!��� �� ��&��!�� ������

5�!� ��������� 0�� �$�� ����� ��!���" 1� ���=����� ��� � ������ �����3� �� ?$�� -�!���/����� P1����� �� ��!� ����� ���!�� ������!����� ��!� ��/"���� 6�� ��"�� ��'��� � %�����""� ������0�� �� A������ !12 ��� !��=� ��� ���#�$�� �� �!�"����� ���� ���3�� "� ���� F "���� Q �� � � � �� ���� F

�� � � � ���!�

���� ��� ��/�� � �!�"����� �� A��� ��� "�!����� �$�� /��!� "�'���� ���������#�$�� ��� '�"�� �� ������ ?� �� �3�� "� ���� F

��

��!$�� � �!�"����� �� A��� ����� 1� ���6� F����

���

���� F ����� ���

-��!��!� ���!� ���� � A������ 1� ���������!� ��!�� ��!� A��� � ������ ��� � !�" 0��

�� F ��

��� � 5� ����" �� A������ ��� ��!�!� � �� ���#�$�� �� �!�"����� �1� ��!1� ��� ��!� � ���� ��� 0���,!�� ���!� �������� �� '�"�� �� ������ ���� '������ � ������ ��,!� 1� ��� �� ������� �� �����'������ )��!� ���� � A������ 1���'���� �� ������� 5�!�� ��� "�!���� � � '�"�� �� ����� �� "�,!���� � A������ &�� ��� � '�"�� �� ������ ��� ����!� �� ��=��� A������ 0�� !�'���� ������"���!� � ����� � !�'���� � �� ��!��� ������!� A��� �� '�"�� �� ����� (���� Q� ����� ��� ��/�/�"�,���� �

�� �� ��� ��/�/�"����� �

�� 5�!$�� �"� �$�� ����!���� � ��,

��!� ���� !�'���� ��� ���#�$�� �� �!�"����� ��!��!����!� ������'������ F �

�����Q *� Q �

���� *�� �

����Q*�Q �

�����*�� -�� ��!��

"��� � A��� ����� ����!� �� � ���#�$�� �� �!�"����� ����� ��!��!����!����'�3� ��� ���!� ����� ���� � �

����Q*�Q �

�����*�� )� ���� ��

�!�"����� "����� � A������ ����� ���������!� ��!�� ����!�� � �� ��!��� �$�� ��� � '�"�� �� ����� �� A��� 1� (����

Page 47: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :9

&#

8��&�����!� '���� 0�� � A������ ��A��!���� � A��� �� � ����&����� �� /��3� �� ���'� �� ������'�� � ����!���� � A��� ���� � ����&����� �� ���� �� ���'� �� ���'�3���

-��� ��!������� � ���� �� �'���$�� �� ����� ����+ � -��!! ��KI:� �� ������ � ������!� �������

���� F ������������

Page 48: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ::

&&

�/'�����!� ���� � ��� � ������'� ���� F � ��� � "����� ����� � � ��� � ���'�3�� )�!���� !��/1�� 0�� � �� ���� �� �12'�"�� ��0��(� ������" �� ����'12��� ��

� A��!�&��!�'� �� � ���� ������ �� �'���$�� �� ����� ��� ������!� �"� !������ � ������� 7��� '���1�'�" �"��!1���� 7 0�� �� ��,���!� �� A��� ��� ��� "�!����� � ��0��(� ������" � � ������ �"������ �� 7 8���7� 1� ��&���� �� "���!����!� ���

���Q9�7�� 8��� 7�� F 9���Q 7��

?� 97 F � �� �3�� "� 8��� 7� 1� � ������ 0�� � A������ !�� 0������/�� ��� ����� ��� &��� ��� � ����� �12'�" �� �!�"����� ������ �"� A��� �� �����!��� �� 7� ?� � 1� ������'� ��!$�� 8��� 7� � ������ � A������ ���� ��� !��� �12'�" �� ��0��(� � � 7 ��� 97 F ��

��!�� ������!� �� ��!��!� ���!� ���!�3!� 1� � �� ������ ��,/�/�"12�!��� ��&���� �� !�" ����� 0�� � ����'12��� &0�� ���������!���!�� � '�"�� � ��� ���!�(� � ��� "�!���� 0�� ��� � Q * ��� ��/�/�"����� :��7 F *� � � � * ��� ��/�/�"����� :��7 F�*� F �� :��7 F *�� � ������ ��/�/�"12�!��� 1� ��&���� �����

���� *� F :��7 F *� � :��7 F �*� F �:��7 F *� � ��

�� !�" ����� 0��

9���Q 7� F�

�S� Q ���� *�T���Q *� Q

�S�� ���� *�T���� *��

���� � 1� &� �� �3 �������� � ��"�#�$�� ����� �� !���� �� ��/!������

���� F ���� Q *���� *������ Q�

�*������� Q 0�*���

-��!��!�

���� *� F�

�*���� Q 0�*���

Page 49: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :

&'

4�!� 1� ���� 1� � ��3��������!� ���� '�(�� � ����� ��/�/�"12�!�����0������ �� ������� �� ������

?�A�� �� 8 � � � ������ �� �'���$�� �� ����� � ������ �� ������ � ������ ��/�/�"12�!��� ������ �����!�� C� � � F �� ��

-������ ����� ��'�� � ����� �" ����"!��� A��!�&����� � ��,��� �� �'���$�� �� ������

$������0 ���� � �� ������ ���� ���������� �� ������� ������ "���������� �&���� ���� �������� ��� �� � ��� � ��

��� '��� ��� � � ������ � ��������

���� '��� ��� � � � � ��������� ���� ����� 7 �� �� 7 Q � � � ������&�&������� �

8����7� � ��8���� 7��

���� ���� � ���� �� ������� ��&��� �� 7 ���� ���� ���� �� ���� ���&�&������� ��

����� '��� ��� � � � � * �� �� �� �� * � �

����� *� � ������� *��

%������������ P���� ������!��� 0�� !��!� ��� � �� ���� ���� � ��� � ������ � ������!��#�$�� �� !������ ��!$�� ��!��1���� "�!� ��� '�( 0�� ���� ���� ��A� '��������� ��� � ��� �$���� '���&0�� ��� ��!$�� ��� �� '���&����� ��� �� � �� ��� � 1���!������� � � �� '�( �� � ��!� ������!���� ���� ��� � � �� � ����� � 1��� !������� �� �� ��/��!��'�"� � 0�� ���!����( � =� 1�!���

Page 50: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :I

&*

�� 0�� ���� 1� '���������� 7� ����� ����� ������!��,�� 0�� ���� ���� ��� � � ����� � ��� ��� � ��

7�����!������� ������"���!� 0�� ��� � ����� ������� � ��,����!��#�$�� �����!� ��� ��� '�( 0�� � ���� � 1� ����"=��!��?� ��=���� ��!��!� ��� ��� '���� ���!��� ����� 0�� �� ����� �3� 1� ��!��!����!� ������'� �� 3 � ������ -��� !�" /��!� '���&���0��

+

+3�� � ���� �3� F

�������� �3��

�������� �3��

1� ��!��!����!� ���������!� �� 3 � ������ D��� /��!� ���!��� 0��

"�����

����

��

����

�1� ��!��!����!� ���������!� �� � � �� � 0��" �� �����

�� ���

"����

����

��

����

F ������ ����� � � '1�"��� ��� � � �� *��!�����

����� 0�� ���� 1� '��������� ���

8��� 7� F �Q9�7 � ��� 9����Q 7���

D���

8����7�� 8���� 7� F ���� �9�����Q ����� ���� �9�����Q ���

F ���� �9����Q ���� ���� 9������� �����Q ����

� ���� 9����Q ��� ���� ������ 9����Q �� F �

���� � �������"���� ��!��!� 1� ���� �"� �����'����� �� �� � ���� � ��������"���� �� <������

9������ �� � ���

��� 9��

�� 1� '���1�'�" �"��!1���� ��� '�"���� �� ����� � �$�� ����!��!� ��� ��/�/�"����� ���

����� ����� ���� � � ���

Page 51: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :�

&9

P���� ������!��� ����� ��� � ������ ������� � ������!��#�$�� �����!� �� ���� �� ��� � ���� � ��1�"����

?� ��=� 0�� ��� ��A� '��������� ��� � ��#����� � ��!����#�$�� ����/�� �� ���/��� �� �������"���� �� � � ���� � �� � ���/!���� ��!$��

� "��

������������

� � "��

������������

�� 0�� 1� �0��'�"��!� �

����������

�����������

� � � �� � ��

� 0�� �"� !������ �� '�"�� �1���� ������!�

������ ����������

������� ����������

� � � � �� � � � ��

6����� ��'����!� � !������ �� '�"�� �1���� �� ���#�$��

;�� F����� ����������� ����� �

����� ����������� �����

�/!�����

������ ���������� ���!� �

������ ���������� ���!� � ! � � � � �� �� � � ��

-�� ���������!�

�� ����� *�� Q ����� *�

F����Q *�� ����������� ����� *� �

����Q *�� ����������� ����� *�

F�� ����� *�� Q ����� *�

Page 52: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :J

&+

� 0�� ����"�� � ������!��#�$�� �� ������

�8�����0 ���1�"��� �� �1����,'�����������

?� ��=���� �� ���������� ��� ��� ���#�$�� �� �!�"����� 0��,��1�!��� ���� F ��� Q �� 5�!$�� ���� ����� 7 ��� 97 F 4 P��7 F 1� !��,�� 9���Q7� F �1�Q����Q4�Q��4Q���Q�� D��� �� � � � ���� � ���������� 1� �'���� �� ����� ��!$�� ��� �!�"������� ����� �����!� ��� � ����1������ �� 1� ���� ��� � �������#�$�� ��'��������� �� 7 � �����!� ��� � �����!� �� 4 ����� 0�� �������

� ���� �� � � �������

��(���� 9��� Q 7� F � ������ !��#��� �� ����'�� �� ������,���#��� �� ���������� 0�� �� ���� �� �'���$�� �� ����� � � � !�� ������ �� ��0����� �� ������ �: � �� ���� � � �� �� ���$�� ������� � ����� �� �����!��

?� � ���!��/��#�$�� �� '���1�'�" !�� ���!��/��#�$�� �����" �� 8��������!��/1�� 1� '������ 0�� /��!� ���� �� ���� 0����1�!��� ��(�� ���

Page 53: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :K

&-

��1�"��� �� ����� �� !����� �� �1���� � '��������� '�A� �3���12����� &��" �� �� 12!�"�� -�� ��� ����"����� �� !��!����!� ���"12!���� ��1�"��� �� �1����,'��������� 0�� ��� �����'�"'��� �� *��X�+�!( �;�/�� ���=������ ��� ��!�'����!� �� ������ )�/�" �� 5��������� �KK� � �KJ� !�� !��� ��� ��� ������"�(��� �� �1�!���� ���,!��� ��!� ���������!� ��� "�'�� � ����"��$��� ��������� ���� �53�� "� � �� ��#�$�� ������!� ������!���

2�3 ������ �������� � ���� �!����� ��������>�������0

)� !1� ��� ���1�� ��!����� '���� 0�� � ������ �� �'���$�� ������� ��� �1� ��� ����� �� '�� 0��" ��!�� ��'����� ��������������!1� ��� ��!� � ����!�� �� ��!�������� ������ )��!� ��#�$�� '������!���� 0��" ��!�� ��'����� ������ 1� � ���� �1���" �� ��� ����!� ���� ��!�������� ����������� 4�!� 1� ��0���!� � !������ �����������'� �� ������������ 0���!� � ����!�#�$�� �� ������ � !������� ������ '�� ��!����(�� ��� ��"�#�$�� �� ����� ��!�� �� ������� ������������ ��� � 0�� ���1� �3 ��!� 1� � ��!��� �� .�!=��=�"� � ?!��"�!(��K���� *�� � "��!�� 1� !��/1�� ������"=��� � �����"!�� � ��!����� ?�=����"�� ��K�K� 0�� ��� �1� �� ������������ ��� !��/�"=�� ����!��1�!���� ���� E���@ D�!!"�+��� � -�"@� � %"��X+�"" 0�� ����!� ��������� � .�!=��=�"� � ?!��"�!( �� ��!��� ���!�� 0���!$����

P�A���� ����� �"����� ������ �� �� �#�� ��� '���1�'��� �"��!1�,���� 0�� �3 ������ � ��#�$�� �� ���� ����������

%�7������0 ?�A�� � � $ '���1�'��� �"��!1����� ��� '�"���� �� S�� �T��� ���#�$��� �� ���!��/��#�$�� < � ' ��� ��!�'����!�� 7�(���� 0��

��� ���$ �� ��� !��� � � S�� �T � � ������'�

9���� � 9��$ ��

Page 54: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �

'/

���� � �

����+< ��� �� �

����+'����

�/� ���$ ��

�/��

� �

����+� F �

�/��

� �

���+ � � ��� !��� � � ��

���� ���� F < ����'���G

��� ���$ �� �3��!�� '���1�'�" �"��!1���� 7 !�" 0�� � !��=� � ���,�� ���#�$�� �� ���!��/��#�$�� �� $ Q 7 � 9�7$ � F � ��� ��/�/�"����� ��G

��� ���$ �� P����� � P���$ � � 9� F 9$ �

� �����#�$�� �� �!�� ��� ��� ��( 0�� !��� ���������� ��� ������#�$�� �� �!�"����� ������'� � ��!��!� �'���� �� ����� !�� ������!�"����� ��� $ �� 0�� ��� �� 4�!� 1� $ 1� �������� C� � ��!��� ���������� �'���� �� ������ )�!�,�� 0�� ���� ���� F � ����� F �� �$�� ��/�� ������'�� �� ���$ ��!$�� � F 9$ � ������#�$�� �� �/�� ��� ��( 0�� 9� F 9$ � � �����#�$�� �� �/�� ��� ��(0�� � !�� ����� ����� 0�� $ ���� < �!��/�� ����� ��/�/�"������ '�"���� ���� ���!��!�� �� �1���� 0�� '�

� �����#�$�� �� ��� ��� ��� 0�� � 1� ����" �� ���!��/��#�$�� � $������ � ��� ��!�� '���1�'�" 7 �� '�"�� �� ����� ����������� � $ �(���� 4�!� 1� � ����� ����� '����/�"����� 0�� $ � ����"���!� �������#�$��� �� ��� ��� ��(�� ��� "�����!� 0�� �"1�� �� 9� F 9$ 0�� 1� �����#�$�� ������1���� ��� � ��� ���/�"����� ��!��� � $ ���������� �� ���������� 0�� � '��������� �� � 1� ����� 0�� � '����������� $ �

Page 55: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �

'.

�� ��&��#�$��� ��� �/� � ��� �$�� �0��'�"��!�� ���� � !�������/��3� '�� ���!��� � �����"���!���

�/'�����!� �� ���$ ��!$�� ���� ���� F ��� 1� ������'� �����,�� 0�� ���$ � ���!��� ���� �� �3���12��� �� &� �� �� 12!�"����!�� ���$ � ���$ �

$������0 ?�A�� � � $ '���1�'��� �"��!1����� ��� '�"���� �� S�� �T��� �� ���#�$��� �/��3� �$�� �0��'�"��!���

��� ���$

�/� ���$

��� ���$

%����������� �-�����"�� P���� ������!��� �����!� 0�� �����/� � ��� � ���� � "��!�� ��� �����!��� �� .�!=��=�"� � ?!��"�!( �������!��#�$�� �� 0�� ��� � ����

7�����!��#�$�� �� ��� � �/��

Page 56: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �

'"

-�� =� 1�!��� !���� 0�� ��� !��� � ������'�� ������+���� � ��

���� ���� F � � ���� F �� �$�� ������'�� �����,�� 0��

� �

�+���� F ������� �

����+�

F �� �

����+� � �

� �� ����� ������ ������+� � �� D���

� ������+� F � 0�� 1� �/���

?�A�

���� F

��� � � � � � ��� � �G

0�� 1� ������'�� 5�!$��

� �� �

����+���� F

� �

�+����� �� �

+�������

F ������� �

����+�� �� �

+�������

F �� �

����+���9�

� 0�� ������!�� �/���

7�����!��#�$�� �� 0�� �/� � ����

P���� ������!��� 0�� ��� !��� � ������'� &� � ������+���� �

�� � ����"!��� �����,�� ��!$�� ��� '�( 0�� ���#�$��� ������'���� S�� �T ���� ��� � ��3������ �����������!� �� ���#�$��� &�

Page 57: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� 9

'#

������'��� �

����+���� F ���������� �

���������+�

F ������

� �

����+�Q

� �

�������� �

���+

�+�

F

� �

�������� �

���+

�+� � �

��� '�( 0�� ������ � � �� �����+ � ��

7�����!��#�$�� �� 0�� ��� � ����

?�A� � ������'�� 5�!$�� 9���� F 9��$ Q 7� F 99� ��$ Q 7����� 9� 1� � '�"�� �� ����� ������������ � $ �'�A� <���� ��KJ����D��� �"� �������"���� �� <����� �'�A� <���� ��KJ��� � �3 ����$������� 1� ����� �� ����" �

9��9� �$ Q 7�� F 9��$ ��

�8�����0 �.�!=��=�"� � ?!��"�!(�� ?� ��=� �� ���������� �����0��(� � � 0�� 0����� ��3���(�� ��� �!�"����� 0�� �� ���� ��������� =�A� �� � �� ������� ����=$� ��� � 0�� �"� �$�� �������=�A� �"� ��'��!� ��� ��� !�3� �� ��!���� � �"��!1���� �� ���������'��!���� ?� ��=�,�� 0�� � ���������� ��A� �'���� �� ������

����� ��� ��/"��� 1� ��3���(�� 5����Q9����� F �����=���Q9��=��� ���� = 1� � �����!���� �� ��0��(� ������" �� ���� �'�"�� �� = 0�� ��3���(� � ��/"��� ����� 1� ���� �� "���!����!� �"� �0��#�$��

������ =��� F 9���=�������R�

Page 58: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� :

'&

?� � ��1�"��� �� �1���� '��������� ����� '��������� ��!$�� �� �����!��� ����� ������!���� ��� �������#�$�� �� =� ;�" 1� � ���� �� ���� F���Q� �� � �� ���� � "��!�� ��� '���&���� ���!��� �� ����� F���>����� �> � >�F �� �� �3�� "� ��!$�� �� �����!� �� ����������!� = �� � �1� �� > �� -��� �� ����� ��!$�� ��� !��� ���#�$��������'� � 9���� � 9������ -��!��!� �� ���� F ����=��� ���������'� �� � � "��� �����!� �� �R� ����� ������� ��� �� �����!��� � � ��� 0�� � ����"���� �� �R� ���!���� �� '���&����� !����0�� !�� �� �����!� �� �������!� �� �� ���� ��� �������#�$�� �� =�-��!��!� ��� ������!��� � �������#�$�� ������ �� �� ����� /��!�'���&��� 0�� �����=��� 1� ������'� �� � �� � �1� �� > � ��

�8���������

�� ?�A� V F ��� �� �� � F ����� Q �� � ������ ��� � � � � �

��&�� ���� F ��� 15 � ��� �!�"����� �� �����O � ������������ ����(��� �� � �� � F �� � � F ����� Q �� � ������ � � � � �� ��!����( ��,�� � ��,��O W��" 1� � �!�"����� �� �������������� � � O

�� ?�A� V � � ���� �� 53���12��� �� ?�A� ���� F �������� �3��!��!�"����� �� ����� ��� �O

��������� ��,�� 1� �����#�$�� ������1���� ��� � �3��!������ ���!�"����� �� ������

9� ��������� �� ���������� ��� ���#�$�� �� �!�"����� ���� F"���� � "��� � � � ��0��(� ������" ��� 0�� !��=� 0�� ����,"=�� ��!�� �� ��'��!����!� ��� ��!���� ���� �"� ���������)��� F ���� � ����� � � � � � � ��!�� ��� ���������;��� F J���� ����� � � � � �� W��" � ��� ��"=�� ����"=�O

Page 59: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ���

''

:� W��" ��� ���� ���#�$��� �� �!�"������ ����� F ��������� Q �� ����� F �� "�� �Q �� �3��� ����� ������ �� ����� 8��� 7� ��� ��0��(� ������" 1� �� � � ����� � ��� ����������� 1� ���� ����� '���1�'�" �"��!1���� ��� ���!��/��#�$�� �������� �� S�� �T�

� 7�����!�� 0�� �� �� ���������� !�� �'���$�� �� ����� ����,!��!� ���� F � ��!$�� ��� ���#�$�� �� �!�"����� !�� ��� ���������!�� ������� ���� F � �� � F � ���� F �"��� �� � � �� ���� F "��� �� � � ��

I� ��!�� ������ �� �'���$�� �� ����� ���������� �� �'���$����"�!�'� �� ����� 1� ��&���� ��

����� F ��������

������

*��!�� 0�� �� �� F � ��!$�� ���� F ���� �� ����� F � � � ���� F "�� � �� ����� F � ���� F �������� �� ����� F � ��

�� 7�����!�� 0�� �� � ����� 7 1� ��� '���1�'�" �"��!1���� �����"��� �1���� 4 � '��������� 1� � � ���������� !�'�� ��� �!�,"����� �� ����� �� F 9�� ��� � ������'� ��!$�� '�"�� ������"��$��� �� ��1�"��� �1���� '���������� 4�!� 1� ���4� 1� 1� ��,!��!����!� �������!� �� 4 � ��!��!����!� ���������!� �� 1�

J� 7�� �3�� "� �� '���1�'��� �"��!1����� � � $ ��� ���$ ���!��� 0�� ���$ �$�� ��A� '����������

K� 7�����!�� �� �&���#�$��� &���� �� 53�� "� �� ?�#�$�� 2�3 ���,���

Page 60: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� I

Page 61: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �

���$� ��

� ������$����$� ��(�$�;�

%�� ���%�%�� ���� ������

Page 62: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� J

'+

�� , � ������$����$� ��(�$�;�

%�� ���%�%�� ���� ������

)��!� ������� ��!� '���� ��!���� ��'����� ����"�� 0�� �3 "�,��� ���� �� ����'12���� �� ��� �������� ��!������ �� ��������� !���� ���������� '������ ��� ��"=���� ����'����"� ����� '�,��� ���!����� ��� � =� 1�!��� �� 0�� �� ����!�� ���� �� ����� ���3���(�� ��� /�� ��!�� ����'����"� -��!��!� �� ������!�� � ����",!���� �/!���� �� ������� ��!� ���$�� �!�"�(���� �0��� �����"���!� ������ ������'�� ��� �������� ��� � /��� ��� ����#�$�� �� �����'12���� ��� ��!�#�$��� �������� � � �

�� � ������������ ���!12����� � �

� � �� � F �� � � � � �� ?� ! 1� � ���A��!� ��� ������������

���!12���� �� �� ��!$�� ��� �������� 1� ��� "�����!� �� �"�,

���!� � F ������ � � F �� � � � � �� � ���� � !�� 5�!���� ��!�,

�������� �� �3������ �� ��'����� ��!�� ���!12'��� �� �G ��!� 1� ������"���#�$��� ��� ��!�#�$��� ���������

< �F

�� � ��

� �����

� �����

4�!� ��0�� � ��!�� �� ���� ��!�#�$��� �������� �Y� �� ������������ ���� !��!�� ��"=���� �!��'1�� �� �������� �� !���� �� �� ��������� ����" �!��'1�� �� �������� �"���!�'�� � ��� � � � � �� � �

� 0���/���#��� C�� ���!��#�$��� �12����� �� �������� �� ��!�� �"�� ��!�#�$����������� ��� ������������ ���� � ���� � � � � ���� � < �

)� ?�#�$�� � ��!������ � ����/�"����� �� �� �/!�� �� ����� ���,!��1�!��� ��� ����������� �����" � ��!�� ��� ������������ ����'���,��� � 0�� ����� �� ��!���"�� �� ������� �"���!�'�� )��!� ��#�$�� �� '������ �� ������������ ����'������ /�� ���� �� ������������

Page 63: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� K

'-

������� �$�� �� ��!�� �� �� �� �#�� �/�!��!� � ��� �� �1����� ���"����!�� ���!��!�� ����� �� ����" � !����� ����� 0������� ������#�$�� ? � !� � : � � !������ �� �� ����/�"����� �� ����+ �����( 0�� �� �3������ ���!�� �� �������� ���!� ������� ������!�'� �� ������������ ������������ � ���� ��������� ��� �"!����!�'�� ����"�,'��!��� ��!$�� � 1����� ? 0�� 1� ���12'�" 1� ��!�!����" ���� � ����������������" 0�� ��'�"��� 1� ��� �� � ����������� �� �� 1����� ����'12��� � ��!���� �� ����������

)� ?�#�$�� � ��!������ �������� �"���!�'�� �/!���� �� �����,���� ������!��"�(����� )��!�� ��������� !���� �� "��"����� 0����!� ��#��� � � ��!�� ���!�� ��#��� �� ����!�� ����������� ���, ��� � '����� ����������� /������� �� ���!1���� �� �!���"���������'����" ��� �� ����� �� ��� � ��� �!�/�"����� ��������� �!������ �� �3��!������ �� �0��"12/��� ��'��� ���!� ��#�$�� �����!� 0���3��!�� ��#��� ��� 0���� � ����"=� ��� ����'12���� ����� ��� ���#�$�� ���������� �$�� �"����!�� �� < � 5�!� �0��"12/��� 1� !��/1�� �=������� B�"������� �� �� ����+,7�/����

)� ?�#�$�� 9 � �����!���� � ���!1���� �� �!���"����� �� -���!� 0�� �� �������� �"���!�'�� ��'�� � �����!��� -��� 0�� � � < ��!����#�� ��!� ���!1���� 1� �3����� 0�� �$�� �3��!� ���=�� ��!�� � < 0�� ��"=��� !���� �� ��!��� ��!�� �� ��������� *��!����� ��������� 0�� !��� �0��"12/��� B�"������� 1� 1�!��� �� -���!�� .���, �������!� ���!����� 0�� !��� 1�!��� �� -���!� 1� �� �0��"12/���B�"������� ��� �"���� ���!��/��#�$�� �� ��!�#�$��� ���������

� ?�#�$�� : ��!��� �� �������� �"���!�'�� ��'�����!�� �� A�,��� ��� ���!�'��� � ������ �� �1��"�� �� �������� 1� � ���A��,!� ��� ��!�� �� < 0�� �$�� ���� ��� ��"=������ �� 0��",0��� ��/��� � �� ����'12���� 0�� ����A�� !����� � ���� ��!�� ���*��!����� 0�� ��!� ������!� �"���!�'� ��/��� ���!��!� �� �"���#�$��B�"������� ��!1� ��!������!� ��� �"� ��"��������� ;��� �0��"12/���B�"������� ��!1� �� �1��"�� � !��� �"���#�$�� 0�� �$�� ��A� �0��"12/���

Page 64: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� I�

*/

B�"������� �$�� ��!1� �� �1��"�� �� ��� �������� ��� �� �1�������&����!����!� ������ �� ��!��� ��!���

)� ?�#�$�� ��!������ �"���� ������!�� �� A���� �$�� ��� ���,!�'��� 4�!� 1� �� A���� ��� 0���� �� A�������� ���� �� ����� ��,�� �����!� ��� �� ����� �� �� ������ ���"�($��� ��� �/!��#�$���� '��!����� �1�!���� 4�������� � ��#�$�� ��� � ��!��� ��� A������ ���� (��� ������"���!� ��!������ �� %���" � �� ��� ��� ���� ����������� �� '��,)������ � *������!���� )��!�� A���� ��,�� � ���� ������ �� ���� � �3��!������ �� ��� ���!� 0���!�� &3��(��� �� ��� "�������� �� �� 1����� /�� �� �3�� "� ����� � ����� ��!��� ��!�� �� A��������� � !� � �� ��!��#�$�� 0�� ���/���� ��������'�� !�� ��� ��!������ �� ��!� �� '��!� ���������� ������������ '�( 0�� �3�"�� � ����/�"����� �� ���=�� �1�!��� �� !���� ���!� 1�"!��� 1� ��� �1�'��� � ��!��#�$�� ���� �� ��!��!� �� ��!� ��'��!� ����������� ��!�� ������!� �� �0��"12/��� ��!����� �� ��#�$�� 1�� ��'��� � ������!,)��=� 6�� �"���#�$�� � 1� ��!� �� ������!,)��=�� ���� A������ � ��!1� ��3���(���� � ��� ��!���� �� � 0������� ����"=�� ��� ������ ��!1� &3� �� �� .�F � � � �� � 1� ����!���'������ 5�!� ������!� �� �0��"12/��� 1� �� ��!��!� ��� � ������#�$�� ���� ������� ���� �3��!�� &���� 0�� �$�� �$�� ����'�� ��� ��� ��!���� ��#���� 5�!� ��!��#�$�� 1� �=����� �� ������������� ���� �"��!� �1� �/���'��� �� ���"����� ���������� ��� �������� ���� �3��!�� ���1����� �0���� �� &���� ���� �� �3�� "� �� ������� �� ��,!��1�'��� �� �� �������� �1������ � ?�#�$�� &��"�(� ��� �� /��'���!��� ��� A���� ��� ������!�� "�!����� ���� 1� � �����!��� �������!� �� �0��"12/��� ���������� �� '�"�� �� ?=� "�@�

Page 65: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� I�

*.

.0 � �������)�(�%�%� %�

�������(�%�%� �����(�

�� %�$�%���� %� ����?

5� �� !��/�"=� 0�� ��� �� ������ ��!� ��� ���1�'�" �"� -������)�/�" 0�� ����/�� Z� ����+ ��KI9� �� ��� � ����"'�� � ������!� ��/"���� ?�A� � �� ���A��!� ��� !���� �� ���� �"����!�� ���,!��!��� ?�A� ! � ���A��!� ��� ������������ � � � � �� ������������ ����� � ���A��!� �� ������� ����������� ���!� ��#�$�� 1��� ���A��!� �/�!��!�� ��� ��!� �����"�#�$�� ������ �����������"1�� �� ��!��#�$�� ����" � F < ��!��� ���� �� �3�� "� � F�������!�� �� ��� ���� �"��#�$�� � F �"���� �� ��� ����"� �!����

?� ��=���� 0�� ����� � ������������ �� ! 0�������� �/!����� ��!�� � !��/1�� �� ! 0�� �� �����!� � ���!� �� � ������� ������� �� ��"�!�'������ -�� �3�� "� �� � F < � ���� ��,��'12��� !��=� ��� ����� �� ����"=�� ��!�� �� �"����!�� �� < � � ��������� ��'� !��/1�� �����!��� �� ���� �� ������� ��!���� ����/�"������ ���!12'��� /������� ��� ���!�� ����'������ �� ������ �����$�� ��/� ����"=�� 0��" ��!�� ���� �������!�� �� �� �������A��!� � ������G � ��������� ��'� ��/�� ��� ����� �� ��(����� �"��#�$��� 4�!� 1� ��!���� ��!��������� �� �����!��� ��� ���#�$��

? � !� �� !?���� � � � ���� F ���

;�"'�( ��A� ��(�1�'�" !��/1�� �3���� �"����� �� �������� ��?�

��,�� �3���� �� ������������

Page 66: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� I�

*"

?� ��� !��� � �� ��!$�� ����

��,�� �3���� �� ���� ����������

?�A�� ������ � ���

���� ������������ �� ! � ?�A��

�� F ?���� � � � ���� ��� F ?���

�� � � � ������ 5�!$��

�� �� �� � ���� � ���� � ���

���

)������!���� !��/1�� �� ������!��

%�7������0 7�(���� 0�� ? 1� ��!�!����" �� �3��!�� � � � � � !�" 0�� ��� !��� � � �� � �� �� ��!$�� �?���� � � � ����� 4�!� 1� ? 1���!�!����" �� �3��!�� �� ����'12��� 0�� ��� �� ��#�� ��'�"���� � ��� ������������

-������ ����� �������� � ����"!��� �� ����+�

$������0 ?� ? ��!����( ��,�� � ��,�� ��!$�� ? 1� ��!�!����"�

��!�� �� ������!��� � !������ ���'1�� ��(�� �"���� �����!1�������/�� �� �3����� ������ 5� ������� "���� '�"� �����"!�� 0�� ��,/��� �� ����� �$�� !$�� �3 "12��!� � =� 1�!��� �� 0�� � ��������� ��(���� ����"=�� � ��!�� �� ��� ����������� � ��!��!� �� �������� "�!� ��N�3�'� � !�����!�'�� 5�!� =� 1�!��� ��� ���!� �� �������,��� 0�� � ���!�����12��� �� ? 1� ! � � ��N�3�'����� � � ��!� ����� ��� "�!� ���� �$�� � �����!�� ������� ��/"����� ���!��� � ������!� �����3� �/���'��� �"� ������� '�( �� ��������! ���!�� 0�� � !�����!�'����� A1� �3�"�� ���!�� ��� ������ �� �����$�������" �������!� �!�"�(���� ���� 1� � ���� �� '�!� ��A���!1�����

�8�����0 ?� ��=� 0�� �3��!�� !���� �������!�� � �� ��!��������

Page 67: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� I9

*#

��!�� �� � �� �� ��=� 0�� �3��!�� !���� �"��!���� ��� �� ������!�� �������������

5"��!�� �� � �� �� �

5"��!�� �� �� � �� �

5"��!�� 9� � �� � ��

5�!$�� ��� � ����� ��A���!1���� ��!� 1�

?���������� F �� 1�

!�" 0��

���@� H��� ��@� � ��

;����

���� ���

� �� ��!��!� ����G � 0�� ��� ���!�� � �$�� !�����!�'����� �� ���

5�!� �3�� "� �/'�����!� �3��� 0�� � !��=� �"� ����� 9 �"�,���!�� � 0�� ��� �1�'��� 1� �� �������!� � ��'�� �� /� ��!������,��� 6�� ��� ������ �� 0�� � ������ �� =� 1�!��� �� !�����!�'������� ����������� �����" ��� ��� ���!� 1� ��� /��� �� ��1��� �� 0�� ���������� !�� 0�� ��(�� ����"=�� ��0�������� � 0�� ��!��!� ��'��� �!�"�(�� �� ���������!�� 0�� �'�!�� � ���� �������!��

-������� ����� �� �����!1���� �� �3���� �� 4��� ���������!��/1�� �=����� �� ���� ��������� ��� �"!����!�'�� ����"�'��!���5�!� �3���� ��� ��� �1�'��� �� ��� ���� ���!������ ��!�� �� ��,0������� �"� !������ �� �� ����/�"������ 5"� �3��� ��������",���!� 0�� ��� ����"=�� ��!�� ���� �"!����!�'�� � � � �����#���� �$�� �� � ���� �"!����!�'� 1� ����"�'��!�� � �3�� "� � �������A����1� C� ��� �����$�� ���!� �3�����

Page 68: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� I:

*&

�8�����0 ?� ��=���� ��'����!� !���� �������!�� � F ��� � ��� ���!� '�( ��'� �"��!���� ��� �� ������!�� �������������

� �� �� �� �� �� �� �� �� �

� �� � �� � � � � � � � �

� �� � �� � �� � �� � � � �

?� ���� 0�� � ����� �� ����"=� �����" ��A� ���� ���

��� � �� F H��� ��� ���� � F H��� ��� ���

��!� 1� ��� ���� �������!� ���!���� � �1����� �� �"��!���� �� 0��� ������� ��� ������ � ��!$�� ��!�� ���� �������!�� ����"=���� ��� ����� ���!�����

?����,�� 0���

�� F :� � F �� �� F 9�

"��� � �� � �� �

?� ��=���� 0�� ��/���� 0�� '�� ��� �����!��� �/������ ���� �!� ��!� 1� ��������� 5�!$�� �� ������������ ����'������ ������ ����

� ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���

� ��� � ��� � �� � �� � �� � ��

� �� � �� � ��� � ��� � ��� � ���

-��!��!� ��� F :� �� F �� ��� F �

� �� ���������!��� ��� � ��� �

4�!� 1� �� �� ��!���� ����!�� � '�!1���� �� � ��/�� � � 0�� ��!���$�� ��������

Page 69: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� I

*'

� "��!�� ����1� '���&��� 0�� �����"���!� � �3���� �� ����, ��������� ��"=� ��� � � ��� � ���

� � �� ��!��!� ����� *�� ���

�� 1� ��"���

P���� ����� ������!��� � !������ �� �� ����/�"������

%������������ �=������ �� ���"�($�� � 0��"0��� ��/���A��!� ��� ��� � � � � ��� 7���� � � �� � � ���"�($�� � 1� ��!� ��!�������!��� � ���!�� � ����!��� �+��� � ��

�� � � � ��� � �� �

� �?���� � � � �����

� 1� ��!� ��!�������!� �� �+��� � ��� !��� � � �� �� P����������!��� � !������ �!��'1�� �� '1����� �&���#�$����

�7�������� .0 ?� ��� 1� ��!�������!� ��!$�� � 1� ��!�����

)������!���� ���!��� 0�� ��� ��� �� ��( ��'�"���� � ��� � �,��$��� *�� �� ��� 1� ��!�������!� ��!$�� �� ��&��#�$�� � ��( ��'�"�,��� ��� � ���$�� ��� �� 0�� �� ��!��� ��!$�� ���!��� ?� ��=���� 0���� � � � � � � �$�� ������������ !��� 0��

����

���� � ��� .�F ������ ��� +��� �� !���� 0�� �?���� � � � ���� � �� ��,���?���� � � � ����� -�� !�����!�'����� �?���� � � � ����� D��� �,"� �3���� �� ���� ��������� ��� �� 0�� �

�Y� ����� !��� 0�� ���

��!$�� �?���

�� � � � ����� � 0�� ������!�� 0�� � 1� ��!�����

�7�������� "0 53��!�� �� � � � � � � � � !��� 0�� ���+��� ��

Page 70: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� II

**

?�A� " F �� � ��� � � � � �� �� � �� �+��� ��� -�� ��,�� ��� � � � � �� � "� ?���� " �$�� '�(�� �3��!� � � " !�" 0�� H� � H� �� � "� -�� ��,�� ? � "� D��� H� � �� ?� ��=���� 0��

H� � �� ��������� � !�" 0�� � F � � ��� ��� � �� �� ?�A�� �F �� ��0�� ��!���� ������ � ��!� �� H� � 9�� ������������ ������������ ��� �� ������!�� �����!��12�!�����

����

������ . � ������� A �� �

���� �+��� � !���� ���� ?� !�'������� !��/1�� ��� !��12����

�� ��,�� 0�� �+��� � � 0�� 1� �� �/����� �"� ����"=� �� � ���

H� � H�� 5 ���!� ���� � � "� ���� �� 1� ��� "�!� !����0�� ��� � �� !�����!�'����� ����� *�� ��12 �� ��,�� !����0�� ���+��� ��� -��!��!� ��� � "� 4�!� 1� �� �/����� ��� '�(0�� H� � � � � ��� ����"=��� ���� � ���"�($�� �� " ��� � ������������"������ ���/���� �� '�� ��!��!� 0�� � =� 1�!��� H� � ���� "�'�� � �� �/����� ��!���� �� ��������!� ������!���� ��&���#�$���

-��� &��"�(�� � ������!��#�$�� �� !������ /��!� ������!��� �������!�

�7�������� #0 ��� 1� ��!�������!��

%������������ ;���� 0�� ���+��� �� ?�A� � �F �� � ?� ���� ������������ !��� 0��

����

������ .�F ��

Page 71: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� I�

*9

5�!$�� �� ��,�� ��� � �� ���+��� � ���� D��� �� !�����!�'�,���� ����� -�� ��,�� !���� 0�� ���+��� ��� ?�A� ����� ��F �� �������������� �� �������������

�����

������� .�F ��

-�� ������12��� ��1�"��� �� ����� � �� � � ��!��!� ���+��� ������� � � � �$�� ��/�!�1����� � ��'� ��!� ����������

-��� &��"�(�� ��!� ��#�$�� ���!��12���� �� ��������� �� ����"!�,�� ��'��� � %���X� ?� ��=���� 0�� �� �"��!���� !��=�� �� ���!� �"12!��� �� �� ��!�� "�/���",������'���� �� �����!��� �"� ��!��'�,"� S�� �T� ?� ��=� 0�� � ����������� �� ���� �� ��� � �"��!������ 12� ��� ��A� ���� �� ��� ���#�$�� ) � � � � �� 4�!� 1� � � � )��� � )��� ?� ��=� 0�� ) !��=� �� 1����� �1�3��� � ��A� �������!� �� � � � � � ���������!� �� � � � � � � ���1�!���� �� !���� �� � ����� )�� Q �� F )�� � �� �� � � � � � � Q � � � � � ���

5�!$�� ������ ��'�� 0�� � '�!� ��A���!1���� 0�� �����!� ��!����(� ��,�� � ��,�� 1� !��/1�� !�����!�'�� ���� � '�!� ��A���!1����1� �/'�����!� �$�� ��!������" ������ '�� � 0�$�� ���!��!�'� 1� �"���!�#�$�� �� �����#�$�� ��� ������������ �� !� � ������!� ����� ����=����� �� �����"� ��X�������

Page 72: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� IJ

*+

�8���������

�� ��������� � ������!� ���!1���� ��� �'�"��#�$�� �� �"����� 53��,!�� 9 ��!1������ -��!������ *�!��1�!��� � �12����� 5� ������!1���� 1� ���!� ��� ������#�$�� ��� �"���� ������� ��� ��,���������� 5�!$�� �����,�� �� ��!�� �� ���� �"��� ����� �� ��!� ������#�$�� ��� � �/!��#�$�� �� ��� �"����&��#�$�� ��,��"� 5�!� ���!1���� ��!����( � ��,��O � ��,��O 15 !�����!�'�O

�� -������ ����� � ���!1���� �� �'�"��#�$�� ��� ����"�� �� ���/����� ��� ? ���!� �� 12!�"�O

9� -�� ����"!���� �� �� 12!�"� � �� ������� ��!� ���!�� ��!����/���� 0�� � ���� ����������� ������ �������� '1����� �!�"�,����� ������� � !� �"1����� � ��������� �����!� ���������������!12������ ?� ��=���� 0�� � ���� ����������� � ������,���� ��� ���!�� �!�"������ ��� ?�A� �����

? � !� �� !

?���� � � � ���� F����

����� � � � ��

5�!1� ? /�� ��&����O ? ��!����( � ��,��O � ��,��O � ���#�$��? 1� ��!�!����"O

:� ���� '���� �"� ����"!��� �� %"��X ��� ��� ������ �� ����������� ? �$�� ��!�!����" � ��!����(���� � ��,�� � ��,�� 1� ���,!�������� ��� ���12��� � �� ��/���A��!� �� !� 7�� �3�� "���

Page 73: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� IK

*-

"0 � �@��(��)��� A���( ?�(��������

�B��$ �����

2�3 ��� ������

� ���!��� B�"������� �� �� ����+,7�/��� 0�� ������� � ���,���'�� 1� ��� �1�'��� � ���� ��� "�!� � �"����!� �����"�(�#�$�� �����"����� ���������� �!1� ����� �/!���� ���� � ���� ������ ��!����!��� ��� ������"���!� �����'�"'��� �� D��� B�"��� �� &� ���1���"� ������� ���!��� � ������#�$�� �� B�"��� ��� /��!��!� ��,��� "�!� �� ��!� �� '��!� ��!��1�!���� ��� �����!� �� �K:0�� ����+ � 7�/��� ����� ��� �����"�#�$�� ����" � �������� C����������� B�"��������� 5 � 0�� 1� ���� �� ��!��!� ��'���� ��!������ �� �3��!������ �� �0��"12/��� ��� ��!�� ���������� -��� !�" ����+ � 7�/��� �������!���� �� !������ �� ��!� &3� �� Z�X�,!���� ���� ��!� !������ � ����� � �� ��!� &3� �� %���+�� �1������ �/!���� ���!� � 1�� B�"��� ������ ��!����� �� "���!�#�$������ �3 ���#�$��� �������� �� �0��"12/��� ����"� -��!��������!� 7�/�����KK� �"���&��� � ������"�(�� ����� ���� ��!�� ����"!����� 6��1�!��� �3 ���#�$�� ���!� !����� ���"���'� ��� �� /��'� =��!1����� 1����� �� ����+,E�=� ��K����

� '���$�� 0�� '���� � �����!�� �0�� 1� /�� ����� ����" 0�� ��� 7�/��� ��KK� �� ����+,E�=� ��K���� ?�A� ��� �������� ���� ������������ � / &���� � F ����� $�� 0� � � F �� � � � � �G . F�� � � � �/� ���� � � � �$�� ��� ��!�'����!� �� ��!�#�$��� �������� ��� ������������ �� ���������� �G $� 1� � ���A��!� �� ����/�"������ �� ����#�$�� �� &��� . � 0� 1� � ��!��� �#�$�� �����1���� �� ���������� �

�� &��� . �/'�����!� 0� � � ����

0� # �� � ������!� �� �0��"12/���

Page 74: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

9/

1� ���� �"�

%�7������0 ��� � �� � ��� �������� 1� ��!� �0��"12/��� B�"�������

�5�B�� ��� � ���

��� � 1� ��������� �"� ���������� � ��� ��#��� � ����� �� ��� Q

�����

0��� � ��� !��� � � �� !�" 0�� ��� � �� Q

�����

0��� !���� ����G

���� � ��3���(� � "���� �� &��� . ���� � � $� � �� � �� ���!��� � �� $�G

����� �� �������� ��!$�� �� �0��"12/��� ���� � ������� 1� ����" C�����!� �� !���� �� ���������

����

� F�����

� Q����

��

?� � � ���� 1� !�" 0�� �3��!� ��� � � ��� � �� ��� ��� � ��

5�B� �=������ !��/1�� � �� 5�B� � ����� ���� ��� �!�" 0�� �3��!� � � ��� ��� ��� � �� 5�B� � � ��#�� B�",������� 1� ��!��!� �0��"� 0�� ��( ��� 0�� � ����!� ��A�����" C� ������� ����� ��� �� ����!�� ����������� �������� ����� ������!��"�(��� � '������ � ��!������ �1� ���� 4�!�1� ����� ��� ���� ���������� "�'���� �� ������� � ��,����� 0�� ��3���(� ��� ����������� ����'����" ��A��!� C� ������!��#�$�� ��#�����!1���� � ��� ���� &��� ��� ����� �� ��,����� � '������� �� ����!�� 0�� ��3���(�� ��A��!� C� ��� ����/�"����� �� ����#�$�� ��� "�����

Page 75: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

9.

5�!�� �� �������� �"���!�'�� �!1� �0�� ��!������ �"�� ��������,!�� � 5�B� 1� ��� �1�'��� � ���� �!����!�� 4�!� �� ��'� � ���,!�� �����!��12�!���� ���� � ������!��"�(�#�$�� � � �!�"�(�#�$�� �� ����������� ��� "�� ���� � ���!��� �� ��#��� ��� � �/!��#�$�� ���,!� ������!��"�(�#�$��� ��!�� �� ������� ��"�'��!� ���!� ���!��� 1�0�� �����!��12�!���� �� ��!��!�� ���� � �����!�(� � � �� ���������!�� ���" �� ��!� ���������� ���� ��� ����� ������ C� �����"�#�$��B�"������� �!��'1�� �� /��� ���!�����!�� ��� ��!���� �� ��!���(�� /��� ��!���� ��� ��!�'����!�� ;�" ���������!� 1� ��!����� ���3�� "� ������!��

�8�����0 � 5������� ����� ���� /��� /1������� ���A$�� � �����!�G�3��!�� !���� ��12����� =�A� ����=$� � � �� ��� �� ����=$�G � ���� ���12'��� ��!���� �� ��!���(�� !�� � /�� � !�� � ����� -�������� �����!�� �� !� �� �� ���A$�� �� �������� �"� �1��'���� �/��3��

;���� ��!� !� �� �� ���A$�� � !���� �� �����!� 0�� �$�� �� ������� !�� � � ��!��!� �� !�!�" �� ��( /��� �� ��������� ��

Page 76: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

9"

������������ ����'������ ���� �������� ��� �����!�(� ��� ��� ��!� � �� '��,)������ *������!��� ��� ���� ���������� �!��/���,�� ��� ���!� ��/�/�"����� ��/A�!�'� � ���� ��!��� �� ��!���(����/� �����"!�� ���!� ��!� 0�� � =� 1�!��� �� ���'�3����� ��� ��,���������� ��������" ��� � �3��!������ �� �0��"12/��� B�"������� ��!1���"�������� ��� � �'���$�� �� ����� ���� '���� � ��� � ���� � F ���� �� 12!�"� ��/�� �����!�(�� 6�� &��� ���!� �������� ��� ��� ��!� ��

$ �(�(�� F ��<B�< (��<, (�(�� � ���� ��� ���

� ��� � <B � �� < (�� F ���<B�

<, (�(� F ���< (��� ���� � < (�� � ��

< (�� Q < (�� F < (���

?���"�����!� !��12���� �� ���A��!� �� ����/�"������ �� ����#�$�� ��� ���� ��� ��� ��!��� "��=�� �� �'��!�� (�(� (�(� (�(� ��� �� ��'���� �����#���� ����� ����12���� !�� < (� F �<B�4�!� 1� ���� =��'���� !�� � ���� � ����!�� �/!���� � ���� �������!�� �!�"�(���� �� ��12��� ��!������ � ���A��!� �� ����/�"�,

����� �� ����#�$�� �� &��� ����� ��!$�� $ F�!��

$ �"� ���� �� "

����!�� �� ��'����� "��=�� �� �'��!��� � ��/"��� �� &��� ����� ���� ��� �� � �� ��3���(�#�$�� �� "������ ?� ��=� 0�� � �����,��� !�'���� �� ������� ��� ���� �� ���!�� /��� ���!�����!�� C����"�(�#�$�� �� ��� ��!�'� �'��!� ��� !���� �� �������� �!�'�� =�A��4�!� 1� � "��"����� ��������� ����"�� =�A� � ����!� � � ������� ��!���� �� /��� �� �������� �����!�� ��!���� � ������������ ����'��!��� � /�� ����� �/'�����!� �3��� 0�� �� ����!���� 0���� �/�������� � ��!����� ���A$�� ��� !�� � ���� ����=$� &��������� ������� ���!� ��!���� ���� ����=$� &(���� !�� � /�� � ����,"�����!� ��� �� ������������G 1� ��!� � ���!��� ��� �������� ����������������� ��� �'��!��� � �3�� "� �� �������� ����� ��/���

Page 77: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �9

9#

������!�� � N�3�/�"����� �� ����"� �� ����+,7�/��� ��� ��������� 0�� �3��!�� �������� �!�'�� ��� !���� �� /��� � !���� ���'��!�� ��!����� 7� ��!� ����+ ��K9� ������!��� 0�� ��/ ���!��=� 1�!���� /��!� � �3��!������ �� �� ������� ��� ���� �'��!� ��$�� �� ��� ���� �'��!� � ���� /�� ����� ��!��!� ������1������ ���� �Q � �������� ���� � 1� � �1����� �� �'��!�� � �$�� � � ��

���!��� ����� � �3�������� ���� �1�/�" �� ����+ �$�� �� '���&,�� �� �1�!��� ���� ������ �/���'�� � ���� �� �1����� /��!��!�"���!��� �� �������� ��!���� ���!�� ��������!���� ������� ���#�$��� �!�� � =� 1�!��� �� 0�� �3��!�� �������� ��� "�!�� �� ���,!��� �� ����+,7�/��� 1� ��!��!� ��� =� 1�!��� ��������� ���!��5�!� ��&�������� !�� 0�� ��� �� ���� �� �1�!��� �"� ���������#�$���� ����"�� ��� �������� ����� "�!��G ��!���"�����!� �� ��!��!�0����� �� ��!1� �� �����#�� �� �����!�(��

-��� ���!�� �� 1���!�� 1� �"������!�'� � ���������#�$�� �� �"��,!��#�$�� ������!� ���=����� ���� ���3� �� 5���+��!=�

Page 78: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �:

9&

� ���3� �� 5���+��!= 1� ��� �� �����!�#�$�� ��1�&�� �� ����������� ��� ���� ������������ ���� /��� � ��� ����#�$��� 6� ��!� �� ���3� �� �����!� �� 0���!������ �� /�� � ��3� =���(��,!�" � �� /�� � ��3� '��!���" �� ���������� � 0�� �$�� "���� !�������� ����������� � ������ �� �� ����� ��!� ������ ����� ��0���!������ �� /�� � ��3� =���(��!�" � �� /�� � ��3� '��!���" �������!�� �� ���������� � 0�� �$�� "���� ��� ��� ��!� C� �������� � ��� �����!� =���(��!�" �� ���3� 1� ���� �"� ��� ���/�"�����!�!�" �� /�� �� ��� Q ��� � ����"�����!� ��� � ��� �����!�'��!���"� ����� �� ��!�� �� ���3� �$�� �� ��!�� ���!12'��� ���!���������� � ��!�� �� ������ � !��#����� �� ���'�� �� ���������#���� ���������� � � C� ��!�� �� ������ � �� �� ���������� �� 6����!� 0�� ���� �"� ��!� � ��� ��!�#�$��� ������� ��!������ �� ���!��������� ��� ��� ���'� �� ���������#�� �� � � ��!� ��������� �� � �� ��#�� ���� �"� ��!� � ����"�����!� ��� �� ����� �� �� ������������ ����� ���'�3�� ��� �"���#�$�� B�"������� 1� �� ��!��� ���3� !�" 0�� � ��!� 0�� ���� �� �"� � �"� ��!� 0�� �� ��,���!� �� ��!�#�$��� �������� 1� !�����!� C�� ���� ���'�� �� ���������#��0�� ����� �� ��!� ��!��

)��!� �� 12!�"� '���� �� �� 0�� � 1� ���!12��� ��!��!����!����'�3� "���"���!� �$�� ������� � 0�� $ 1� ��!��!����!� ���'�3��� �3����� �� ������� �� �������� 1� ��&���� ����

9��� � F����

������ �� �

������

%��� $�������

��

6� 5�B� 1� ��!��!� �� ��#�� � !�" 0�� 9��� F � ���� 9��� 1� ��3����� �� ������� �$�� ���!��!��

6� ��!� !��'��" ��� ��� �����0L������� ����������� ��!�������!��

Page 79: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �

9'

1� �

(�� � ?������ -��� !��� � � ���� �9��� � F ��

%������������ ���� � ���������� ���!� !��� � ��� �����

�9��� � F �����

������ �� ������

�� ������

�%��� $��

F����

�� Q����

�����

0��%��� $�������

��

������

�%��� $�� F ��

� ��!�� ��!�#�$�� ���������� ���!� ��!� ��� ��� ���!� ��(���� 0�� �� !���� �� �������� ����� �� ��!1� �� �0��"12/��� � �� � ��#�� ��������� ���!��!� 1� ���!�'� !���� 0�� ��!� ������� !��/1�� !��0�� ��!�� �� �0��"12/����

2�3 �8�� ����

-��� � ������!��#�$�� �� !������ 0�� ��� �����!� � �3��!�������� �� �0��"12/��� B�"������� '���� �������!�� �� !������ �� ��!�&3� �� %���+�� 0�� ���������� � ������ ��� ������!�1�,"�� -������ ������!��#�$�� ���!� !������ '�� D��� ��KJ���

$������ �%���+���� ?�A� ) � ���� � ���� ���!12���� 5�!$�� �3��!�� � ���� !�" 0�� )��� F ��

-������ ����� ������!��� 0�� � �0��"12/��� B�"������� �3��,

Page 80: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �I

9*

!�� -��� ��� "�&��� � ������!��#�$�� '���� ������"���!� ������������������� ��� ����#�$�� ���� / F ��

$������ �53��!������ �� �0��"12/����� ?� ��=� 0�� �� ����������������'������ ��A�� ���!12���� ��!��!����!� ���'�3�� � ��!��!����!����1�!����� ?� ��=� !��/1�� 0�� � � � F �� � � � � �� 5�!$�� ��0��"12/��� B�"������� �3��!��

%������������ ?�A�

"""" ����

"""" � ���������

; � ���� � ����

C��� F� Q ��3��� 9��� ��

� Q�

��� ��3��� 9���� ��

���� 9� 1� � ���#�$�� �3����� �� ������� �� A,1����� /��� 5�!$�� �"� !������ �� �� 12!�"� � 0�� �����!� � ���!�������� �� ���#�$���� ������� ���!��!� C 1� ���!12����

-�"� !������ �� ��!� &3� �� %���+�� �3��!� � � ���� !�" 0��C��� F ��

P���� ���!��� 0�� � 1� 5�B�� ��� ����!� �� ����"���� �����!���� 0��

� Q �

����

��3��� 9���� �� F � Q ��3��� 9��� ���

Page 81: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

99

*�"!� "������ ��/�� �� "���� �� 9��� � � ����������

��

�9��� �

���

��

��3��� 9��� ���

F�

��

9��� � ��3��� 9�����

D��� �"� D�� �� B�"����

���

9��� � ��3��� 9��� �� F ��

*�� ���� !���� �� ���� 1� �$�� ����!�'� � ���� � ���� 1� !��/1��(��� ����� 0�� ���� !���� ������ ��� �� ��!� (���� -��!��!�

9��� � ��3��� 9��� �� F �

� �� ���������!�

9��� � � ��

*��

9��� � � �

������!� �"� D�� �� B�"���

� F ��

� 0�� �� "��� �"� ����!��������� ��!��!� �� �� ������� ��� � F ��� !��� A� D��� ��� � /�� �

9��� � F � ���

���

�� �

Page 82: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �J

9+

�"� ����"=� �� � � 0�� ���!����( 9��� � � � � ������!��0�� 9��� � F � ��� !��� /�� � ���� � 1� �0��"12/��� ��� � �����,��� �� 0��" �� ������������ ��3���(�� ���� ������������ ��� ���,A��!�� ��#�����!1����� ���!��!�� C� /�"� �� ���� � P���� ���!��� ����� 0�� � 1� �� ��!� �� 5�B� ��� � �������� �$�� ���!��!������ A1� '���� � �F � � �� D��� ������� ��� �3��!� ��� !��� ���,������� A� ?� ������� ��� F ������� ��� � ��� !��� A ��!$�� ���� =1� � ������!���� � 1� 5�B� �� �������� �$�� ���!��!�� ?� �,�=���� 0�� ��� �"��� A ������� ��� �F ������� ��� �� ����������� � � ���� ��� !���� 0�� ������� ��� �� ������� ��� ��D��� �� ���'�3����� ��!��!� �� � � � � �

�������� ��� � Q ��� ��������� ��� �� ������� ��� ��

-�� ��!�� "���

������� ��� �"""""

�����

������� ��� �

""""" F

"""""��

���

��

""""" � ������ ����"=���� � ��&����!����!� �1�3��� �� � ������ �/!���� ��!� �� ���� ��� � 0�� ��( � ���������� ���� ��"�( �� 0���� ������� ��� � � 0�� 1� �� �/������

�����!������� ?� ��=� 0�� �� '�( �� � ��!��!����!� �������!��� ������� � ���� � "���"���!� �$�� ������� �� !������ ������5�!$�� ���� � "��!�� ����1� '���&��� ��� �0���� ����&��#�$���� ������!��#�$�� ��� ����!� ����"��� 0�� �3��!� ��#�� � !�" 0���$�� �3��!� �3����� �� ������� ���� 9��� � �� -�"� D�� �� B�"��� ������ ����"��� !��/1�� 0�� ��� �� /��� A ��� �� 0���� �3��,!�� �3����� �� ����!� ��'���� !�� �� F �� 6� �3���12��� �� &��"���!� �� 12!�"� ������ 0�� �� �� ������������ ������ ������������� ���� �$�� ����1�'��� � �$�� ��!��!����!� ���1�!���� ��!$�� ���,��� !�� ��������� ��� �"���� ��#��� (��� � ��� �� 0���� �3��!��3����� �� ����!��

Page 83: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� �K

9-

��� ��312"�� ��� ����"!���� �� �� 12!�"� � 0�� �$�� � ���!���������� ���#�$�� �� ������� �� ���������� � � � ���#�$�� �� &��� % ������ ������!��� �� !������ �� �3��!������ �� �0��"12/��� B�",������� ��� ��������� ��� ����#�$��� � ������!��#�$�� ���!� !����,�� 1� /��!��!� ����"=��!� � �� !������ ��!������ � 1����� �������#��1� �� ����"=� �� 0�� ���!� ���� ��'� ��� ���!� �� ���� 0���

"""""����

"""""Q ��3

��� � �

�����

$�

$������0 ?� ��=� � ���!12��� ��!��!����!� ���'�3� � ��!��,!����!� �������!� � � � � F �� � � � � �� ?� ��=� $� ��!��!�,���!� ���'�3��� 5�!$�� �3��!� 5�B� ��� � F ��� �� $�� 0� � � F�� � � � � �G . F �� � � � �/��

2�3 ���� � �

-�"� ��#�$�� ��!����� ��/���� 0�� ������ �����!�� � �3��!�������� �0��"12/��� B�"������� �� ��� ���� �������� �� �3������� ���,!�� �����#�$��� �$�� ���!� ���!�� ��� ������������ � !����"����� ���,!� ��������� ���!��� �$�� ������������� 0�� ��!� �0��"12/��� ��A�1����� � ����� 0�� ��!�A���� ��� ��!�� � ��(�� ���!�� =� 1�!������/�� � ��������� � ���� ���=����� ���!�� =� 1�!���� 1� � �� ���/�,!�!�!�� /��!��� 0�� ��&����� � �������

%�7������0 ?� ��=� �� ���#�$��� �� ������� &��6�� �������� 1���!� ��!����(�� � =� 1�!��� �� ��/�!�!�!�� /��!�� �� ��� !��� /�� �� . ��� ��F . � !��� ��#�� � !�'�����

�9���

��� ��

Page 84: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� J�

+/

� ��!�� ��!�#�$�� ���������� ���!� �����#�$�� 1� 1�/'��� �� � ��#�� ��/�� . ��/� ��!$�� � ������� �� 0��"0��� ��!�� � �����!� ���'�( 0�� ��� �� ��#��� �� /�� . ���� �"!�� �� ������������ '$�� ������� �� ��!��� /���� 4�!� 1� '$�� ��/�!�!��� � ������� �"� /�� . �� ��!�� /�� �� �/'�����!� ��� 0�� ��!� �� '���&0�� 1� ������1����0�� � /�� � � � /�� . ��A�� ���/�!�!�12'���� ���� 1� � ���� �� !��,������ ��� � "����A� �� ��� ��!��1�'��� ���� � �=�'��"�!� -��1�� ��!� �$�� 1� � ���� �� ���� � ����"��� �� �3�� "� �� � ��#�� ������"��� ��/�� 1� ��'1�'�" 0�� � ������� �� ���� �������� -����!� /��� ���!� !� � �$�� �=������ �� ��� "����!����� ����� ����������� 0�� ��!����#�� � =� 1�!��� �� ���/�!�!�!�� /��!��� �$�� �������!�� /��� ��� "����!����� 5� �� �3���12��� �� &� �� �� 12!�"���!1� � �����!$�� �� ���� ������!��� �

$������0 ?� ��� �������� �� ��� !���� ����� / F �� !�� ����#�$�� ������� �� ������� &� � ��!����( � =� 1�!��� �� ��/�!�!�!��/��!�� ��!$�� � 5�B� �� �3��!� 1� 1������

��!�� =� 1�!��� �!�"�(��� ��� � ������!��#�$�� �� ��������� ���0��"12/��� 1� � �3���� ����� �� ����������� ��'�"���� 5�!� =� 1�!��� 0�� �$�� ���1� ���"����� �0�� ��������"���!� �3��� 0�� � ���#�$�� ��������� �� �������� �� ��� ��!� ���� ��� ���#�$�� �� �����������'����" ���� ���� �� � �������� ���� �� !��� ��3���(������� ���#�$�� �� �!�"������

6�� ��!�� �/������� ���"�(��� ��/�� � ��/"��� �� ����������� �0��"12/��� ��� ���� �� 7�/��� ��K���� )��!� !��/�"=� 7�/���������!��� 0�� �3��!� ��� �� �1����� ��� ��(12'�" �� ��������� !���� �����!� �� �1����� &��!� �� �0��"12/���� � �"1�� ����� ��,�� �� ���!� �0��"12/���� '���� �� ����� ���!12��� ��� �� ��!�#�$����������� �� ���������

Page 85: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� J�

+.

*��� ���������!� �� ��=� 0�� �� ������������ ����'������ ��!$��&3��� � � F �� � � � � �� ?� ��=� !��/1�� 0�� '�"� � ������!� ��, ������� ��� !��� ���������� �� �� �� � ����� �� � � ��� �� F � �"��� A ��!$�� �������� �� � �� 4�!� 1� �� � ��#�� �� �� /��'�� ��� (��� ��!$�� � ������� ��� ��!� /�� '�� ��� ��&��!��

�8�����0 ��� � � �� ���

� ;������ �� 7�/��� 1� ���� �� ������

$������0 ?� ��=� 0�� �� ���#�$��� �� ������� �$�� &� �� ���

� ��!����(�� �� =� 1�!���� ������ 5�!$�� �3��!� �� ���A��!� & �������� �� D�/����� ��"� �� ��

� !�" 0�� �� � F ���� � � � � ��� ���� � & � F ��� �� � F �� � � � � �� !�� �����!� �� �1����� &��!� � �� �0��"12/����G � �3��!� '�(��=��#�� - �� � ���!��� �� ��

� � & ����#�$��� ���������1�'��� ��� � � � � �� ��&����� �� - � ��� '�"���� ������ !�" 0�� ��� � � - ������ � � � � ����� �$�� �� 1������ �0��"12/������ � F ��� �� � F �� � � � � ��� � &���� �/��3� �"��!�� � ��!��#�$���

Page 86: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� J�

+"

5�!� ����"!��� �$�� ���1� ������!���� �0�� ��� �� ���� �� !�������� ?��� � 0�� ���� ��� �/A�!�'�� ���!�� ��!���

*��!�� ������"�(�#�$��� ���!� !������ ����� �/!����� ��� ��,�"��� ��������� ��� ����#�$��G ��� ��(�� '����� �� ������������ ������� ����� 0�� �� ��!�#�$��� �������� �!��

2 3 A������>������� � ��������

*��!�� ��� =� 1�!���� 0�� &(���� ����� ��� � ������!��#�$�� ���3��!������ �� �0��"12/��� B�"������� ���� ��� ��"�3����� � ���'�,3����� ��!��!� ��� ������������ ��� ��� ��/�!�!�12�� �� ������ /�������� �� ���'�3������ )��!� ���� � ������!��#�$�� �� !������ ���3��!������ ��� ��� ���!� ��� � ��312"�� �� !������ �� ��!� &3� ��Z�X�!���� �� '�( �� !������ �� ��!� &3� �� %���+��� ���!��� ���'1�� �����"!�� 0�� �"���� ����� �� ���'�3����� 1� ������1���� ��� � �3��!������ �� �0��"12/��� ���� � �3�� "� �/��3� �������

Page 87: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� J9

+#

5�!� ��"!� �� �0��"12/��� ��'��� � �$�� ���'�3������ ��� ��� ���,!������ �"� =� 1�!��� �� �3��!������ �� �� �1����� ������ �� �������&��!� �� ��!��� ��!�� �� ��������� � �3��!������ �� �� �������1����� �� ��!��� ��!�� �� �������� ��� ��� ����� ��� � ���,'�3�&��#�$�� ���!� ��������� -��� !�" ������ �!�"�(�� !���� �/��,������ ���!��!��� � !������ �� ���'�3�&��#�$�� �� ?=� "�@,��"X��� �!�"�(��� ��� ��'�� � �3��!������ �� 0���� �0��"12/���� �� ?!��� �!������ �� ���'�3�&��#�$�� �� D�� ���' �!�"�(��� �� ������ � &��"���!� � �/������� 0�� �!�"�(� � !������ �� ?��� �����'�"'�,�� �� ?��������� *��,��"�"" � � ��!�� ���!�� ��!��� -��� ���������#�$�� ��� ���� �������� �/�������� '�� ����+,E�=� ��K����-��� � �/������� 0�� �� �!�"�(� �� !������ �� ?��� '�� ����A�,*��,��"�"" ��K�J��

*��!�� ��!��� ������"�(�#�$��� �� !������ �� �3��!������ �� �0��"12,/��� ����� ���!�� ��� ��� �� ���!���� � ������!��#�$�� ���3��!������ �� �0��"12/��� ��� ��������� ��� ������������ �$�� !���,��!�'�� ���!� �� ����A�,*��,��"�"" ��K�:� �'�A� !��/1�� 8�"�,*��,

Page 88: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� J:

+&

��"�"" ��K���� ��!�� ����"!��� ��!1�'�" �/!��� �� 1�"!��� �1����� 1� ��'��� � ?�������=��� ��K�9� '�A� !��/1�� 7�/��� ��K�:�� 5�!�����"!��� ��( 0�� 0��"0��� ���#�$�� ) ���!12��� ��&���� �� �����

� D � � ��� '�"���� �� �� =��������� �� ���� (��� ��!����(����

� D�� B�"���� �)��� # �G 1� � ���#�$�� �3����� �� ������� �� ����������� ���� �3��!�� � F � ������������ ��� ������������ � �

��!�#�$��� �������� � � ��� !�" 0�� )��� F

����

������� ��� ���7�� ��12!���� 0�� �� ����� ��(�� �� ���!��� B�"������� ���,

��� ���!���� � 0�� A1� ��� ���!� �� ��!����#�$�� ���!� �� 12!�"� 0����( ��� ��!� C� �� ���#�$�� �� �������� ��� "�!��� ���� '���� !�"�� ���#�$�� 1� ��(�1�'�" �� ���� �� ��������� ��!1�!���� �� ����� ����� �1����� �0���� �� ��12��� ��!����� ���!��� ��� �����,���� ��� �� �1����� ���!� ������ �� ��12���� ��!���� �� ���,�� ��� �����!�(� � =� 1�!��� �� �������� ��� "�!�� 1� �����"��!��-��� �����(�� ��!� ��!��#�$�� '1����� ���������� ����� �����'�"'�,��� ��/���� ���!���� � �0��"12/��� !�� ��1���� ���� �� ��������������(�� �� ���#�$��� ��/�� �� ��#��� ��!���� ��� �����$��� �� =�A� ��� �� ��#��� ��!���� �$�� !�� � �/����!�������� �� ����� �� ��#����� �0��"12/��� �� ��12��� ��!���� ��/� ���!���� !��/1�� � ������!��� �3 ��!�!�'�� ��������� ���� �� ����!�� ����������� ��(�� ��, ���#�$��� ��/�� � ���!��/��#�$�� �� ��/�/�"����� ��� ��#��� ��!���� � ��!�� �� ���#�$��� �� ���!��� ��� �� �����!��� 4�!� 1� � ���!��/��#�$���� ��/�/�"������ ��� ��#��� ��!���� ������ ���� C�� �3 ��!�!�'����� ����!�� ������������ � ��12!��� 0�� �� ��� ��(�� �0�� 1�� �� ����������� ��� "�!�� ��!���� �� ���� �������� 0�� �$�� �3��!�� ���������� �� ��(����� � =� 1�!��� �� �3 ��!�!�'�� ��������� !�"'�(��!�A���� ��(���� =� 1�!���� ��������� ���!�� ��/�� � �������"������� ����������� 4�!� 1� 1� ������ !�� ������� �� ��� ��� �3 ��!�,!�'�� ��������� ��� � ��!��� �$�� 1� �����!����!� ����(12'�"� 6����!�� ��12!��� 0�� ������ ��(�� �� ����"� B�"������� ��( ��� ��!��� "��"����� B�"�������� ���� ����������� ����� B�"��� �� ���

Page 89: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� J

+'

� �3��!������ �� �� "��"����� 0�� ����� ��!���� '1����� ��#��� �!1�0�� �� �/!�'���� �� 0�� ����"���� � ����!� � � �������� W���,�� ��!$�� �� ���"�(����� �� !����� ����������� ��!� ������� ������������� �� �!�!�������!� �� B�"���� �"1�� �� ��� ��� &��,�� ��!�&���" �� �� ����� �!1� =�A� �$�� �� �/!�'� ��� �����"�#�$��/�� �� ��!� �� '��!� ���������� �� ���� � "��"����� �=��� ���0��"12/��� �!��'1�� �� ������� ����� ������!�� 7�'���� �����"!��0�� ��/��� �����"�#�$��� "������!� ��!����!1���� �$�� !��=�� �����/!���� �!1� =�A� �3��!� '��!� "�!���!��� 0�� ��!��� � ��!�/�"������� ���!�� �0��#�$��� ������������ 0�� ������'�� � ������� �� �A��!�,���!� ��� � �0��"12/���� 4�!� 1� ��!���� � ��!�/�"����� �� �0��#�$��������������� �� !� � � F )�9���� ���� ) 1� ��� ���#�$�� 0�� �����'�� ����"�

�8���������

�� ��"��"� � �0��"12/��� �� �������� ��� ����#�$�� � ��� ��,���������� ���� �"�� ���#�$��� �� �!�"������

����� � � � � �� F�

���

�� "����� Q �� �� ��

�� 7�����!�� � !������ �� ��!� &3� �� %���+�� ��� � F ��

9� 7�� �3�� "� �� ��� �������� ��� �� �1����� ��&��!� ���0��"12/�����

��������� ����� � F ����� � F ������ ��

:� 7�� 0��!�� ��($��� ���!��!�� ��� � �$�� �3��!������ �� �0��"12/����� ��� �������� ��� ����#�$���

Page 90: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� JI

+*

� 7�����!�� 0�� �� ��� �������� ��!����( � =� 1�!��� �� ��/�,!�!�!�� /��!�� ��!$�� � 5�B� �� �3��!� 1� 1������

��������� ?� ��=� 0�� �3��!�� ���� 5�B� � � �� ?�A� � F���

��

��

� . !�" 0�� ��� F ��� 5�!$�� �� 1� �0��"12/��� � ��

����������� !���� �� ��#��� �� �� ��� � ��'���� !�� �������� �� /�� . ������ � 0�� 1� �/����� ��� '�( 0�� � 1��0��"12/����

I� �8�"��� )��� �������� �� !����� �3��!�� ���� /���� /��������� � ��#�$�� �� � !���� ����'12����� � ����'12��� � ����� ���,���"���!� �� �������� �� /������ � � �� ��#���� � ����'12���� ����� ������"���!� �� �������� �� /������ � � �� ��#����;���� �� Q �� F �� � ����'12��� 9 ����� ������"���!� � ��/������ � 9 �������� �� ��#���� �� ���#�$��� �!�"����� �$���

5����� �� F ����:��� ��5����� �� F ������� :��5����� �� F ������� ���

?� ���� �� � �� ���!�'��

�� ������ ��������� � �3��!������ �� �� �0��"12/��� ��� �,!�!�'�O

��� ��� 0�� '�"���� �� �� � ���!��� ���� ��� �� ��#��� ���0��"12/��� 1� ��!��!����!� ���!�'�O

���� ��� �� F �� ������ ��������� � ��������� �� �0��"12/���O

�� �8�"��� )� �3���12��� ��!����� ��� �"���� �1�"��"�� ����"�12���0�� �� �� F �� F � �3��!� �� 1����� �0��"12/��� ��� �!�!�'��� ���!��� �� ��#��� ��G ��J� � ��� �� ��!�� �� ���������� :G �� �K�G ��� KIG �� �:�G ��� :�G �� :�� ��� ��!�'����!�� 7�,���������� �� �"���#�$�� � ���� �0��"12/��� ��� �!�!�'��

Page 91: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� J�

+9

%��3���� �� ��� �� KI �/!���� �� ��'� 1����� �0��"12/������ �!�!�'� �� ���!��� �� ��#��� ��G �� �I9� � ��� ��!�� ��������� ��� JG �� 99� ��� ��G �� �� ��� :�G �� :�� ��� ��!�'�,���!�� �/'�����!� ����� ��'� �0��"12/��� �� ����'12���� � �� ��!$�� ��"=�� � � ����'12��� 9 ��� �� 0�� �� �"���#�$�� ��

?� ���� 0�� ������"���!� �� F �� F �� 5�!$���

�� � �3�� "� ���!�� 0�� �� � ����'12��� � ����� ���!��!�,���!� :[ �� ��� ��!�#�$�� ������" ��� � ����'12��� � ��,/�� ��"=����$�� � 0�� ���!�� 0�� =1� ����� �� 0�� � ���� �� ��!�#�$�� ������" ��� ��� /��1�&���

��� � �"���#�$�� � ��/��� ��A� �� �0��"12/��� ��� �!�!�'� �$�� ��!���� �� �1��"�� �'�A� � �� 12!�"� : � ������ ��� ���&��#�$�� �� �1��"���G ��� ����!� ��� ���"�($�� �� � � � ����!� 0�� ��/�� ��"=���� �� ��!�����!� �� 9 /"�,0������ ��� � �"���#�$�� �� 4��� �����&�� 0�� � �3�� "�'��"� �"���� =� 1�!��� ����� �� !������ 0�� ��'� 0��!��� �0��"12/��� ��� �!�!�'� ��!���� �� �1��"�� �� ����������� �� !������

J� 7�����!�� � !������ �� �3��!������ ��� ��������� ��� ��,��#�$�� ��������� �� ��#�$�� / ������

K� 7�� �3�� "� �� ��� �������� ��� ������������ "���"���!��$�� ����1�'��� �� 0��" � ��#�� �� �0��"12/��� �� �� ��� /��� 1�(����

��� 6� /�� 1� �=����� �� /�� 1�/"��� �� � ������� �� ���������� ���!� /�� �� �� ���������� �$�� �3�"�� � ����������!� ����� ������� �� ��!��� 7�� �3�� "�� �� ����������� � ��� ����#�$�� � ��� /��� 1�/"���� � ��� �!� ����0��"12/��� ���� �3��!��

Page 92: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� JJ

++

#0 � �1��� ����� %� ����$� � ���

��(��� ��� ��� � �@��(��)���

?�(�������

)���� �/A�!�'� ���!� ��#�$�� 1� � �� ��!���� �� ���!1���� �� �&,�������� �� 0��" ��'�� ��� ��/��!���� �� �"���#�$��� ���!12'���� ������/���� �� ��� �������� !���� ��!��#�$��� ���N�!�'�� ��� 0�����"���� ���� /��� ��� �� ��!��� ��!� �����&�� ��/!���� �� �� ��,!��� � ���� �3!���� �� !�" ��!��#�$�� 1� 0����� ��!���� �"�������� 1����� /�� �� �3�� "� ������ ;�" ��!��#�$�� ���1� ��!����� ���� 12!�"� ��� A���� �� ���� (���� ���!��� �� ��� ���������3��!�� ���!�� ����/�"������ �� ���=�� �1�!��� �!��'1�� �� !�����15 A��!����!� ��!� ��1��� 0�� ��!�'� ��

%�7������� ?�A� � F ��� �� � F �� � � � � �� ��� �������� ��� ����#�$��� 6�� �"���#�$�� � � < 1� ��!� �&����!� �� -���!� ��1�!��� �� -���!� �� ����!��� ��-�� �� �$�� �3��!�� �� � < ����� � � ��� !��� �� 4�!� 1� ��� �"���#�$�� 1� ��!� ��-� ���� �$���3��!� ���=��� ��!�� �"���#�$�� 0�� ��"=���� !���� �� ��!��� ��!���� ���������

-��� ��������� ��� ����#�$�� !���� ��

%�7������� ?�A�� � F ��� �� 0�� $� � � F �� � � � � �� . F �� � � � �/���� �������� � < F �� � ��

� ���

�� � F��

���Q��

��� �� � �$�� � ���A��!� �� �"���#�$��� ���!12'���� 6�� �"���#�$�� � � < 1���!� ��-� �� �$�� �3��!�� �� � < !�" 0�� �� � � ��� !��� �� 7�,��������� ��� � ��-� �� � � < � 1� ��-�

���� � �

����� � F��

��� � � � $� �

Page 93: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� JK

+-

�8����� .� ?� � F � � � ����� ��!��!����!� �������!�� ��!$��!��� �"���#�$�� ���!12'�" 1� ��-� ��� ����!� ���� ��� �"���#�$�� ���!12'�"0��"0��� ��!�� ���!12'�" ���� �"��1���

�8����� "� ?� � ��� ��!��!����!� �������!� � � ��!$�� � �"���#�$�������

�� �� �� � � � � �

�1� ��-� � 4�!� 1� � �"���#�$�� 0�� �1� !���� �� /���

�� �������� ��� �� 1����� ����'12��� ��� ������������ ��!��!����!��������!�� 1� ��-� �

5�!� �3�� "� ���!�� 0�� �$�� �3��!� ���=��� ��1��� �� A��!�#���� ������!� �� ��-�G ���� 0�������� !�" ��1��� !���� 0�� ��!����(12,"��� ��!�� ����� ���� �� �3�� "� �!��'1�� �� ��� ���#�$�� �� /����!�� �����"� �P�� �3���12������ � ������!� �� ��-� '��� � ���� ��"������ �� �"���#�$��� ��� �� 0���� �3��!�� ��!�� 0�� ��( !���� �� ��!��� ��!�� �� �������� ���� ��"�(���

15 ��!���" !��!�� � 5�B� � ���� �� ��!��!� ��� �������� �"���,!�'�� 0���!� C� �&�������� �� -���!��

$������� ?�A� � F ��� �� 0�� $� � � F �� � � � � �G . F �� � � � �/���� ��������� 5�!$�� �� ��� � �� 1� 5�B� ��� � 1� ��-� �

%������������ ?� ��=� 0�� �3��!� ���� �� � < !�" 0�� �� � �� F �� � � � � �� ���� ��� � �� 1� 5�B� ����� 0�� � � ��� �� Q�����

0� �� � -��� ���� ���!�1���� � ���������� !���� �������� �� �

?������ �� � �/!1���� 0��

����

���

����

�� Q�����

�� ��R�

Page 94: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� K�

-/

*�� �� ��� ���� �� ���!12'�"�

����

�� F����

� Q�����

�� �

-��!��!�

�����

�� �����

�� Q�����

��� �

*�� � ��3���(� � "���� �� &��� . �� ���������!� ��� � ��. F �� � � � �/� �����

����

��� �����

�� Q��

���

��

� 0�� ���!����( �R� ������

5� ������� '���� ������!��� �� !������ ���12 ���� 0�� ��(0�� �� ��� �"���#�$�� ��� � 1� ��-� ��� � F ��� �� 0�� $�� � F�� � � � � �� . F �� � � � �/� ��!$�� �3��!� ��� �����!��/��#�$�� �� ��!�#�$���

�������� ��� � � F �� � � � � � �����

�� F����

�� ��� � 0��" �3��!� � ����� !�" 0�� ��� � �� 1� 5�B� � ����� 0��"0��� ��-� ��� ��� �/!����!��'1�� �� �� ������� ������!��"�(���� 5�!� �"�1�� ��� �� ��!�/��!��!� ����!�(��� �� B�"���� � !������ ��!����� � � 0�� '��� ������ �$�� ���=������ ���� �� !������� ��������!��� �� /����!�� ����������� <��!� �"�� ��(�� 0�� � ���A��!� ��� �"���#�$���-���!����� 1� ����" �� ���A��!� ��� �"���#�$��� B�"�������� �/!���� �"� �����!��/��#�$�� ��� ��!�#�$��� ��������� ���!��� � !������ � ���������!���� � ������ �� ���� �� ���'�3����� ��� ������������ ���� &���� �� � ���#�$�� �� !������ 0�� ��( 0�� ��� 5�B� 1� ��-� 0�� �� ���� � ���� �� ��!� �� �� ������������ ���!���� !��� � �������� � 0�� 1� '��������� �� �� ������������ ����� "���"���!� �$��

Page 95: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� K�

-.

����1�'���� �P�A� �� �3���12���� ��� ��� �������� ��� ����������������1�'��� ��� 5�B� � ��� �3����� �� ����!� 0�� �$�� 1� ��-���

-��� � ������!��#�$�� �� !������ 0�� !���� �� '��!� ����������� �� !����� �� �� ���#�$�� �� ���A��!�� ���'�3�� ��A� ������!��,#�$�� ���3���� ��� �� �3���12���� �� ��� ��� "�� � �"����!���

$������� ��� ���� � �� � ����� � ������� � � � �� �� ������� � ���������� ��������� � � � (� � ��� ���� � � � ��� ��F �� ���� �� � �� � � � �

!&$ ����� � � ���� ����� �� �������� �� �� ��� ��� � ����� ������� ���� ��� �� ����� �� ��� ���� � ���������� ��������� � �� (� � ��� ���� � � � ��� � �F �� �� �� �� � �@� � � � �� @ � ��

�8������ > ������ ��

-������ ����� ��'�� � !������ 0�� �����!� � ������!��"�(�#�$����� 1�!���� �� -���!��

$������� ?�A� �\�� \� �� ��-� �� �������� � F ��� �� 0�� $� �

Page 96: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� K�

-"

� F �� � � � � � � . F �� � � � �/� ��� \� � � F �� � � � � �� ?� �,�=� 0�� � �$�� ���!12���� ��!��!����!� ���1�!���� � ��!��!����!����'�3��� 5�!$�� �3��!� \� � � !�" 0�� �\�� \� \�� 1� �0��"12/��� ���� �������� � �� ���!��� �� 0�� �� &���� ��3���(�� "���� �� \� �� ������������ ��3���(�� ���� ������������ �� \� �� ���A��!��� � �

�� �� � �\���

%������������ ?�A� ! F �� � ��� � F

����

�� � � � � \��� ?�A�

� F �� � ��� � F � Q

�����

� ��� � � $�� ���� � F��

���

�� �

5�!$�� ! � � �$�� ���'�3�� � ! � � F � ��� �\�� \� 1� ��-� � D��� �"� !������ �� �� ���#�$�� �� ���� ���A��!�� ���'�3�� ����� �3��!�\��F � !�" 0��

\�� � \�� � � ! � � � � � �P���� ��'�� 0�� � � \� �� -�"� ����!��������� ��!��!� ���

������������ !���� 0�� � F����

\� Q ��� �� � � � � �� �� � � � � �� � ! ����

� � ������ �� �,1����� ����������� D���

\�� � \E����

\� ���� \� � ��

���� � � 1� ��/�!�1���� ������ ����"��� 0�� \� � �� P���� ���!����� ������� 0�� �\�� \� \�� 1� �0��"12/��� �� ���!��� ������!� ������

4�����"���!� '���� '���&��� 0�� � �� �� ��� �� \�� ��!$������ � �\�� � ��� ����!� �"� ���!�������� �� �� �� ��� �� \�� ��!$�� �3��!� � � !�" 0�� ��� � ����

��

� �� � �� ;����

�� �� \�� �

-�"� ����!��������� ��!��!� �� �� �3��!� A� !�" 0��

����� \���� �

Page 97: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� K9

-#

?�A�� � �� � ��������� � \����� ��

� ������������ � ������!� �"���#�$��

����� F

������ � ��� A F A�

����� A�F A�� ��� ��F ��

���� F

���\��� Q

��

���� ��� A F A�

\��� A�F A�5�!$�� � � ��� � \� � D���

����

��� � !�

-�� ���������!�

� � \�����

��� � \�����

\� �

� \���� � \����Q \�� ���

\� Q

Q \�����

�� \�

����

\� F

F \���� � \�\�� � \����

���� \��� � � !���� 0�� \���� � \�� ���� 0���12�����

P���� ���!��� ����� 0�� ��� � ����� �� \�� � ���� �\�� �

Page 98: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� K:

-&

� � ��'� �� 0�� \�� ��3���(� �� �� �� � ��� �� � �\��� ��!��1�

!���������

��� ����!� �� ��=� 0�� ��� �� \�� ��!$�� ���� ���/���� ��'�� ���� � �\�� � ?� ��=� �� �/����� 0�� ���� F �\�� � -�����!������� �3��!� � � � � � !�" 0�� ���� �� \�� � 0�� �����!������ � �\�� �

-�� ���������!� ��\�� � �\��

����\�� � � � � �� ��F ��

!���� 0���\�� �

� 0�� ������!�� � �

� 0�� 1� �/������

����"���!� � ������!��#�$�� �� 0��

� � � $� F �� � �\�1� ���3��� ��� � "��!���

P�A���� ���� 1� � ��"�#�$�� ��!�� �!���"����� �� -���!� � �0��"12,/��� B�"������� ��� ��������� ��� ����#�$�� �� ��� ���3� ��5���+��!=�

���� '���� ���� ���3� �� 5���+��!= �� ��!�� �&����!�� ��-���!� �$�� �0��"�� �� !��������� �1�!�� ��� ���'�� �� ���������#����� ���� ������������� ���� A1� '���� ��!��������!� �� 5�B� �$�� !��/1�� ��!�� �� !��������� ����� ��� ���'�� �� ���������#��� ��,��� � ���"��$�� 5�B� � ��-� � �'����!�� � �"��!��#�$�� ��1�&�� �� ����!�� ��"�#�$�� ����� ��!�/�"����� !��/1�� 1� 1�/'��� 7��� �� ��!�

Page 99: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� K

-'

0�� 1� ��-� � �� !�'����� ���'�3����� �"1�� ��� ��!��� =� 1�!���� ��!$�� � ��!� !�����!� ����� C�� ���� ���'�� �� ���������#�� 0�� ����� �� ��!� ��!� ��� �1� �� ��#�� ��� �!�!�'��

�8���������

�� *��!�� 0�� �� �$�� !�'����� ���'�3����� ��!$�� ��� �3��!����-� 0�� �$�� ��A� ���12'�" �� ������!��"�(�#�$���

�� *��!�� 0�� \� ��3���(� �� < ��� ���#�$�� �� /�� ��!��

���������� �� !� �����

����� ���� � �� ��!$�� \� 1� ��-� �

9� *��!�� � ���12 ���� �� 53���12��� � ���� �� \� 1� ��-� ��!$�� \�

��3���(� �"���� ���#�$�� �� /�� ��!������

����� ��� � ��

Page 100: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� KI

-*

:� ;������ � ������!��#�$�� �� ������!��"�(�/�"����� ��� 1�!������ -���!��

� 7�����!�� � ��!� ��� �� !������ �� �� ���#�$�� �� ���A��!�����'�3�� �� ���� � �� \ �

?����!$��� -��'� 0�� �3��!� \� � \ !�" 0�� �� \� F ��������

\�� D��� � � � \� Q ��� � \�� � �� � \� � �� � � � � �� 53 ������� �� ����!�� ��!����� �/!�����

����� \�� \�� �� Q ����� \�� �� \�� � �

"��� ���\�� \���� � � � �� ���������!� ��� \���� � �\�� \�����%��!� ��!��!� !���� � F \�� ��

I� -��'� � ��!� ��� �� !������ �� �� ���#�$�� �� ���A��!�� ���,'�3�� �� ���� � � \ �

?����!$��� ?�A� �� �� \ !�" 0�� �� � �� ?�A� �� ���� ��

�3���12��� ��!����� � ������������� F ��� �3!���� ��/��0L�������

���'�����!� �� ��� � ��A� � ��� "���!��

�� 7�����!�� � ��!� �/� �� !������ �� �� ���#�$�� �� ���A��!�����'�3���

?����!$��� ��������� � ���A��!� ���'�3� � �� 5�!$�� � ��� ���� � � ����"!��� ����� �"� ��!� ��� �� !�������

J� 7�� �3�� "� �� ��� �������� ��� ������������ 0�� �$�� ��A�"���"���!� �$�� ����1�'��� � ��� �� 5�B� 0�� �$�� 1� ��-� �

K� 7�&�� ��-Y� ���� � ���A��!� �� ��!�� � � < !��� 0�� �$���3��!� �� � < ��� ��� �� �� � � � �� � � � W��" � ��"�#�$����!�� ��-� � ��-��O 7�� �3�� "���

Page 101: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� K�

-9

&0 � ����(�� � ��� ��(��� ���

��� � �@��(��)��� ?�(�������

� ������� �"���!�'� 0�� '���� ������'�� ���!� ��#�$�� 1� /����,�� ���� ��1��� �� A��� ��� ���!�'�� 4�!� 1� �� ��!��� ��!�� ���������� !��!�� ������ ��/��� �� 0�� "=�� ����� !��(�� !�������!�����!� '��!�A����� �����"���!� !���� � ������!��

%�7������� 6�� ���"�($�� � 1� ��� "�����!� �� ��/���A��!� �$��'�(�� �� ���A��!� ��� A�������� ���� � �F � � ��� � � � � ���

)��!� �� 12!�"� '���� ���������� �����!� ��������� �� ���!���� ���� ��� ����#�$���

%�7������� 6�� ���"�($�� � /��0���� ��� �"���#�$�� ���!12'�" � � ���

�� �3��!�� �"���#�$�� � ������ !�" 0���

������

F���

� ���� � �"���#�$�� 1� ���!12'�" ��� � ���"�(�#�$���

���� � � � � � � ���� � �"���#�$�� ��"=��� �� ���/��� �����"�($�� � �� ��"�#�$�� � �"���#�$�� ��

%�7������� 6�� �"���#�$�� � � < 1� ��!� ��!����� �� �1��"�� �������� �� �$�� �3��!�� ���"�($�� 0�� � /"�0�����

���� '���� � �1��"�� 1� �� ������!� !�!�"���!� ���!��!� ���0��"12/��� B�"�������� � �1��"�� �� �3�� "� �$�� ��'�"'� ��#������ 1� ������!��"�(���� )��!� ������!� !���� �����!� � ��1��� 0���� ��� �������� �� ����'12����� ���� ���� �$�� ��!�A�� ��!��,���!�� ��� � ��� 0���=$�� ������ ���"�($��� ��� /����12��� �1�!��

Page 102: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� KJ

-+

/"�0������ ����� ��� �"���#�$�� 0�� �� �����'���#��� -�� �3�� "� �� �����$��� ��� 5�!���� 6����� ���"������ ��� ���� ��������� ��4��"�!���� ��0�� �$�� !��=�� ��!���� ���0���� ��� �� ��!�� 0�� ���'���

����� ���� � ������!��� 1� ��� �������!� 0�� ��!� ������!�� �����!� �� ���A��!� �� ��"�#�$��� !$�� ��"�������� ��� � 5�B� ���� '������ � �������

$������� ?� � ��!1� �� �1��"�� ��!$�� � 1� ��-� �

%������������ ?� ��=� 0�� � �$�� ��A� ��-� ��!$�� �3��!� �� �< !�" 0�� �� � � ��!��!� � ���"�($�� � F ��� �� � � � � �� /"�0����� 0�� �$�� ��� ��!�� �� �1��"���

$������� ?� � 1� 5�B� ��!$�� � ��!1� �� �1��"���

%������������ ?� ��=� 0�� � �� �1��"�� ��!$�� �3��!� � �F �/"�0������ � ���� � �

����� !�" 0���

��

F���

� � � � � ��5�!$�� � �� F �+� � 0�� ������!�

����

� F ����

����

� F ����

� �

0�� 1� ��� ���!����#�$���

� ���12 ���� �� !������ ����� 1� ��"��� 4�!� 1� �3��!� ��!� 0����!1� �� �1��"�� � �$�� 1� �0��"12/��� B�"������� �'�A� �3���12������ ���,!��� 0����� � �1����� �� ������������ ������ � �1��"�� ��������

Page 103: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� KK

--

��� � 5�B� � 5�!� ��� ��� ���A��!��� ���!� �� �1���"� ������ �� 5���+��!= � ��'��� �����������!� �� 7�/��� � ?���� ��KI9��-��� ��� �����#�$�� �������� ���!� ����"!��� �3��!�� ���� �1�!������ �1�!��� 0�� � �����!���� �0�� �� $�� ������"���!� ��� �����,��� ��� �� �1����� &��!� � �� !� �� �� ����!�� ����������� "� ��"!� "��� ���� ��������� �� ��������� ��� ��� 9�� � � � � ��� � � � ����!�� ����� �� 9� � � � � � �� ���� !� �� � ������� �1�!��� �������,�� � �������� ���� ����� �� �����!��� �� ��� ������ �� ��,/�/�"����� ��� 1�!���� �� �� �#�� �� �����!��12�!���� ��� ����!�� ���� �� ����!� ���!������ �� �

� ���!�#�$��� ��������� ��� � �� �#���� ������������ ������������ ��� !� �"���� ���'�����!� �� !� �"�,��� �� E������] �� �� ���'��������� ���=��� �� �3�� "��� 6� ��!� ����� ���!��� � ��!�� ���� �1�!���� 1� 0�� ��"�� ���� ��,��'12��� �� �������� ��� ��� ����������� ��� ��(12'�" �� ��!� ��'��!� �� �������� ���� �� !��� ��!� 1� ���=�� ����!� ����������!�� ���� �� �������� ����� ��� ���!�� ����!�� � ������!� ���1��"�� �0�� ����!� �� ����'12���� �3 "������ � ���� �� /�����=��&�� �0��'�"��!� �� �0��"12/��� B�"������� ��� ������!� ������!���� �!�!�'� ���� �� ������!� �1� ��� ��� ���!�� ����!� 0�� �$��!��=�� ����'����"���!� ���� �� ���������

-������� ����� C�� �����"�(�#�$����

%�7������� -�� ��� �,�1� "��� �� �������� ��� ���� ����!�� ���

� ��� � ���� ��� ��'���� ��!����� ��� �������� �� ��� �������������� ����� �� � �������� ��� �����!��12�!���� ������� ��� � ������!�� ��� �����!12�!���� ��������

P���� ������� ��� ��

(��� �;��!����!� ����" �� �1��"���� ?�A�� � �� F ��� ��!��,!����!� ���'�3�� ��!��!����!� ���1�!���� � ���!12����� 5�!$�� ��

Page 104: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ���

.//

� � �1��"�� �� �� !���� 0�� � F �� �� � � . �$�� �� ����� !� ��

%������������ ?� ��=� 0�� ���� ����'12���� �� !� � � �$�� ��,��/�� � ����� ���!� �� /���� ?�� ���� �� ������"����� '������ �� 0�� � ����'12��� �� !� � ��� ��� !��!����!� �� �1��"�� 1�� �� �1����� �� ����

��� � �� . F �� � � � � �

� ��A� � � Q � � ��� !��!��� �� !� � � ����

�������� . F � Q �� � � � � ���

?�A� ����� � ���"�($�� � F ��� � Q �� � � �"���#�$���

\�� F�

�����

�� � \�� F�

��������

�� �

���� �"���#�$�� 1� ���!12'�"� ��� �&�!� �"� ���!�/�"����� �� �

\�� Q \�� F�

������

�� F�

���� Q ���� F �� Q �� �

-�� ���'�3����� ��!��!�

\�� �� ��

\�� �� ���� �

-�� ���!�������� � ����!��������� ��!��!� ������ ��!���� �� ������� /��� �� � �� ��1�,"�� � � Q � � ����� �/!�� ��� ��'� �"���#�$�����!12'�" ��� � ���"�($�� � 0�� ��"=��� ��!��!����!� � � � � � Q ��

Page 105: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ���

./.

����� ��!� ���"�($�� � /"�0���� � 0�� �$�� ���� ��!��!� ��!���� �1��"���

;���� �� '��!� � !��!����!� ����" �� �1��"�� ������ �����,����� �� ��!�� �� �1��"�� �� �,�1� "��� �� ��� �������� ��� ��������!�� $ ���� ���� ��!���� �� ��

� � )�!���� !��/1�� 0�� � � �� 5�B� ���� F 5�B� ���� ���!� ��!�� ��!�#�$�� �� �������� �� �P���� ����� �� !������ �� �0��'�"������ �� �1��"���

$������� ?� ��=� ��� �� � ��� �� �� ��!��!����!� ���,

'�3�� ��!��!����!� �������!�� � ���!12���� ��!$��

�#���

$ ���� F 5�B������

%������������ ���� 5�B����� F 5�B����� � $ ���� /��!�

���!��� 0�� �� � ��$���

$ ���� ��!$�� � � 5�B������ ?�A� ! F

�� � �� � � Q � � �� � ! � ���=� ���'�3� ��

����

: � �&�,

����� 0�� � �� ! ��� �� ���!�1���� � F��

��

�� ��� � � !

� � � ��

��

� F �� ?�A� � F �� � � �� � �� � ����� ��!����

��� �� � �� ��� ���� � � � � ��� ���� �� ?�A� �� F

�����

��

!���� 0�� "�����

�����

�F �� 7�12 �� � � ���� � Q � � � ��

���!�������� �� !�" 0�� � �� � �� Q � � � ��������� ������ ���"�($�� � �� �� ��� �� ���/��� �� !� � �� -������ �"����

�� Q� ��� ���� �� ��"��� ��� ����!� ��

��

�� ��� Q�� F

����

���

Page 106: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ���

./"

��� '�( 0�� �� =� 1�!�����

��

�� �� F

����

��� F �� � 0�� ���!��

��� ���12'�" /"�0���� � �"���#�$�� � ��!� 0�� ���!����( � =� 1�!���

� ��$���

$ ����� ���� � �� ! � �F � ��� �� � � � � � !�

*�� �� � � � �� � � � ! � �� � � � ! � ��� � �� �-�� ���!�������� � � � � �� � �� � ���� � � � !������ � �� � 7� ��!� !���� �� F �� � �� -��� ���� ���!�1����

���

���

��

� �

������

��

�F �

���

���

��

�� 0�� 1� �/������

P���� ��'�� ����� 0�� ��� �� 1� 5�B� � ?� ��=� � � � � �� � ���!$�� ���� !��=���� ��� F �� ������ �� ����!��������� ��=����� � � ��� ���� � �� � 0�� 1� �/������ D��� �� � � � ��� �� � ?1� ��� ���!� ��!��!� ��'�� 0�� � � �� ?� ��=� ���/����� 0�� �3��!� . ��� �� � �� ?�A� � � ! � ! ��!$�� �� � � ���A� �

�� F � ��F .��� F �Q ��

�� ����!��������� �� � : � ��� � �� � 0�� 1� �/������

�8���������

�� *��!�� �� ���3� �� 5���+��!= 0���� �� ��!�� �� �1��"���

�� 7�� �3�� "�� ��� 0���� 5�B� �F $ �

9� ��"��"� � �1��"�� � � ���A��!� �� -���!� �� ���������� F � F �G ����� F ����� G ����� F @�� Q�� G � � @ ��

:� 7�� �� �3�� "� �� �������#�$�� �� �1��"�� ��'��� �� �����!��� �1����� �� ����!�� ������������

Page 107: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��9

./#

'0 $����� %�� C�A��

� !����� ��� A���� �$�� ��� ���!�'�� ��!������ ���!� �� 12!�"� ��� ������� ������ ���������� C�� A1� ��!������ ��!��������!� �� �"�,��� � 0�� � ��������� ��� $�� ��!�� �� ���� ���/��� ����!�!���!���� �������#�� /1����� ��� �1�!���� !��!���� �0�� �� � ���#�$�� �� 0�� ���'��!� �� �� 12!�"� : 1� 0�� �0�� �1�� ������������ ��!��#�$��� ��� 0������ ����'12���� '���� ���� ��!������� ���� ������!��� ?� �� ������!��� �1��"�� �� ����'12���� �� �������� ��� � �/!��#�$�� �� '��!������1�!��� �0�� �� ����'12���� !��� �� ��� ��!����!� ���!� ���� ��,�� �����!� � �� ���� �� �!��#�$�� ���� ����'����"��!�� 5�/��� ������� ��!��#�$��� � ����'12��� /��0�� ��� ��!������ ��!���"�� �0�� �"�� ��( �� ���!� �1� ���� -��� ��!����" ��"�������� � ��!� �� 12!�"�� "��!�� 1� �������� �� "�'�� �� �+�� ��KIJ��

2�3 C�<�� � ���� >��� � � ������ � �8�� ���� ���������� �����8

� ������� A��� 0�� '���� ��!���� 1� � A��� �� ���� (��� ��!�,���� �� '��,)������ � *������!��� ��K::�� �0�� �1�� '���� ������!������ �� ���� �� ���� A���������

��������� � ��!�#�$�� �� 0��" � A������ 4 ��� ��(�� �� ����"=���� �� � � � �/G � � A������ 44 ��� ����"=�� ��!�� �� �� � � � � �� ?� ��=�0�� �� 4 ����"=� � � 44 ����"=� . � ��!���� �� 4 1� ��� .� � � �� 44���� .�� � A��� 1� ��!� �� ���� ����!��!� 0����� ��� .� Q���� .� F& ��!� 1� � A������ 4 ���=� � A������ 44 ���3� �� ���=��� 5�!���!��#�$�� �$�� 1� � ���� !12 ��� �� ��!� �� '��!� ���������� ��� '�(0�� � ������� ��� ��!��#�$��� ����������� ��'�"'�� ����/�"������ ��

Page 108: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��:

./&

���=�� �1�!���� ���!��� �� A���� �� ���� ����!��!� �$�� �� ��,!��!�� ��� ������'�� ��!��#�$��� ���� � �� �� ��!�� �� /�"� ���� ��� 0���!�� &3� �� �� /�� ���������� 0�� ��� ��� ��� 0���!���� ������ �� �3�� "�� ���� & 1� ��/�!�1���� ������ ��(��,"� (���� !���� ����� �� A���� �� ���� (���� 7��� ��!� ��!��#�$�� � A������4 '�� ���� �� ���� �

��3����������

��������������

��� .�

� � A������ 44

��������������

��3����������

��� .�

���� � A������ 4 ��( � ����"=� 0�� ��3���(� ��� ��!���� !���������� �� ���� 0�� � ��� � ����!� ��( � ����"=� 0�� ������(� ��!���!����� � A������ 44 �� ��� '�( ��( ��� ����=� �� ���� � ����,��(�� � ��!���� �� 4 "�'���� �� ���������#�$�� 0�� 4 ��( ��� ����"=��� ���� � ��3���(�� ��� .��

���� !��=���� � ����"����

��3

���� ��� .� F ���

���3

��� .� F !�

!���� ��� ��"�#�$�� �� �0��"12/��� �� A��� ��� '�( 0�� ���!� ���� �� �� � .� �$�� ��� 0�� ���� .� F ! � A������ 4 ��'� ����"=�� �� �A������ 44 .� � ���=�� !�� �����!�'� ��� ����� �� ��!��!1�����;�" ��!��#�$�� ������ �� A��� ���!���� �� ������ �9�

�8������ � �����!� 0�� ����� 1� �� !���� ��� �� � ����"�������3

���� ��� .� F ���

���3

��� .�� � ��� ��!� � ��!� �����!� 1�

����!�'� ��� '�( 0�� ������ !�� ��3

���� ��� .� � ���

���3

��� .�

���� ���!�� � A��� �3�� "�&���� �� ������ �:�

Page 109: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

./'

� �3�� "� ��� ��( ��!��!� 0�� �� �� A�������� ������ �� ��,!��!1����� ����� ������!�� ������ �$�� !�� �0��"12/��� �� ��"�#�$�� ��A����

P���� ����� �3 ����� � ���A��!� ��� ���12'��� �#�$��� �� ����A������� 5� '�( �� A������ 4 !�� 0�� ����"=�� ��!�� �� ����/�"��������� � � � �/� '���� �� �� 0�� �"� ����"=� ��/�/�"������ �� �� A����� �� �� A���� �� � � � � �� �� A���� /� )�!���"���!� ��� � � � ����

� F �� 5 ����"�����!� ��� 44�

Page 110: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��I

./*

5�!�� ��'�� ��!��!1����� �$�� �=������ �� ���!�� �� � ���#�$�� C����!������� ����������� ��� "�� �� ����� 7���� �� ��!��!1��������!�� � � � ��!���� �� 4 1� ��� "�����!� � '�"�� �� ����� ����

� �

-������ �������� � !������ 0�� ��� �����!� 0�� ��� �� �3��!���"�#�$�� ��� A���� �� ���� (��� ��� ��!��!1����� ���!���

$������� ��3�

��� �� F ���

��3��� �

%������������ )������!���� ��

(���� ��3

���� ��� .� � ���

���3

��� .��

%����������� � ����� ?�A� �� !�" 0��

��3

����

F ���� ���� .�

� .� !�" 0������

��3 ��� .� F ��3

��� .��

��!$�� ��3

���� ��� .� � ���� .��

� ���� .�� � ���

���3

��� .�

� 0�� ��'� � "����

?�A�

!� F ��3�

��� �� � ���

��3��� F !� �

Page 111: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ���

./9

?�A�

% F �/ � ��� / F��

���

��� .�� �����

� F �� � � ��

0�� 1� ���'�3� � ���=���� 15 1�/'�� 0���

���

��3��� F ���

����3��/ F !� �

���������%�!�� � ��!��!� �/��!� ��� '1��!��� �� !� � %�!�� F�3 � ��� 3 � !�� � F �� � � � �/�� ;���� 0�� %�!�� �% F �� �������!� �� ��=� 0�� �$�� � ��A� � � %�!�� �%� 5�!$��

!� F �����

��3��/ � ��3

��� � ��3

���������� � !��

� 0�� 1� ��� ���!����#�$���

-�"� !������ �� �� ���#�$�� �� ���A��!�� ���'�3�� �3��!� ��� �� ��F � !�" 0�� ��� � � � � � %�!�� � �� � � � � � %� ����"�12���0�� � � � ��0�� �� � � � ��� �"��� � ����12���� !���� � �%�!�� � � �� � 0��/��� � �����#�$�� � � � � �� ���� � �F � � � � ^� �� ?�A� \� F �

���� \� F �

���� 5�!$��

\� � \�� � � � %�!��

�\�� � \�� � � � %�

�/���'� 0�� \� � !� ��� �� \� � !� ��!$�� !��� � � �\�� !�� �

�� F ��� � � � � �� � %�!��� 5�!$�� \��� F����

�� F � \� � 0�� 1�

�/������ D���

!� F ��3�

��� �� F ��3

������

�/ � �����

\�/ � \� � !��

Page 112: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��J

./+

� 0�� ��� "�!� � ������!��#�$���

D��� �� � � �

!� � ������� � !�

� � ��'� �� !������ ��!1� ��� "�!��

P���� ��'�� ��!��!� 0�� � � �� ?� ��=� 0�� � � � ����"��� ��

?�A� \� � %�!�� � �� ��&���� ���

��� F

�\�� .�F �\� � � . F �

��!$�� �� � %�!�� � ��� � Q� � 0�� ���!����( �� � ��� � � �%�!�� �

�� � % &3��

�� A���� �� ���� (��� ���� ��� ���!������ �� #� ��!� �� '��!����������� �� ������'���� ��!��#�$��� 0�� ��'�"'�� ��� 0���!�,���� &3� �� �� 1����� /��� ��!�� �����!� �� ������!� ��"�#�$�� 0����!������ ��� A���� �� ����� (��� 1� 0�� �"� �� ���� �� !��������� A�������� � �����

2�3 � ������ � �D��������� � ���E6����� � ��� �8��6 ����

P���� ����� ��!���� ��!�� ������!� �� �0��"12/��� ����� ��)��= ��K���

?�A� � � ���A��!� �� ��!��!1����� �� A������ �� ?�A� � ��!��

� �� � ���#�$�� �� ��!���� �� A������ �� 5�!$�� � ������!� �� �0��"12/����� )��= ��� )��=,������!� 1� ���� �"�

Page 113: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��K

./-

%�7������� \= F �\=�� � � � � \=�� ��!��

� 1� � �0��"12/��� �� )��= �� � �1�

�� � � ��\=� F ��3�����

��=� \=� ����

\=� F �\=�� � � � � \=��� \=��� � � � � \=��

��=� \=�� F �\=�� � � � � \=��� =� \=��� � � � � \=��

���'1�� ��!�� 0�� ��!� ��&��#�$�� �"1�� �� ����!�� �� �1�������/�!�1���� �� A�������� �$�� �� ���� �� =� 1�!��� �� ���� (����

-��� � ������!��#�$�� �� �3��!������ �� �0��"12/��� �� )��=,������!'���� �������!�� �� �� !������ �� ��!� &3� ��� ������ �����������

$������ �Z�X�!����� ?�A� � � �� ��� ��!� � ���'�3�� ?�A�� � � � � ������ ��������� �������!12��� �� ����� �������� � ���'�"���� ���'�3��� 5�!$�� � !�� �� ��!� &3� ���� \� � � ���\� � ��\���

����� ������ ��'�� � !������ �� �3��!������ �� �0��"12/��� ��)��=�

$������� ?�A� � ��� ��!� � ���'�3� � F�!��

�� ?�A� � � � � �

���!12��� � 0����,������'� � � F �� � � � � �� 5�!$�� �3��!� �0��"12/��� ��)��=�

�����!������� 6�� ���#�$�� ) � � � � �� 1� 0����,������'� ����� )��� � �� 1� ���'�3� ��� !��� � � ��

%������������ ?�A� %�=�� F �= � � ��=� =�� F ��3����

��3� =����-�"� !������ �� �� 12!�"� � % 1� ������ � !�� '�"���� ���'�3�� �"�

Page 114: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ���

../

0����,�����'����� �� � �� � � 5�!$��

%�=� F %��=���� � � � � %��=���

1� ������ � �� '�"���� ���'�3��� ������� � F�!���

�� 1� ���'�3� �

��� ��!�� D��� �"� !������ �� ��!� &3� �� Z�X�!��� �3��!�\= � � !�" 0�� \� � %�\=� ���� \=� � %��\=���� ?����,�� ��!$�� 0�� \=���3���(� ���3� \=��� ��� 3 � �� ���� \= 1� ��"�#�$�� �� )��=,������!�

�8������ �� F ��!��!1����� ���!�� �� A������ ��

���=� F�

���������

����������� =���=��� � � � =���

���� ����������� 1� � ��!���� �� �� W����� �� ��!��!1����� ���� .�� � � � � .��$�� A������ �� �� � � � � � � =��� 1� � ��/�/�"����� ��� � 0��" �A������ A ����"=� � ��!��!1���� .� �

� �����!� ��!���" 0�� ����� ����� 1� ���� �� ������!�� ���0��"12/��� �� A���� � �����!���� ���!� ��#�$�� �� ��� ��!�� ������ ��!� � �&�������� �� -���!�� ���'1�� "��/��� ������"���!� 0����!���� "������ ��� ��!��#�$��� �� ���� ���!��!�� �� 0�� ��� ������� ��&��#�$�� �� ������!� �� ��-� �� ��#�$�� 9� *�� 1� 1�/'�� 0�� ���1��� �� ��-� !��/1�� � "���,�� C�� 0���!$��� �0�� !��!�����

15 �"��� 0�� �"� �1� ��� ��&��#�$�� �� A���� �� ���� (��� !����"���#�$�� 1� ��-� � �$�� � ���� � ��"�#�$�� ������3 ��� '�( 0�� �1��3��!� �� /�� � !��� 0�� �$�� 1� �"����� �� � A������ 4 '�� ���� A������ 44� ��� ��� ��!� ��� A���� �� )��=,������! ���������,�� � ������!� ������ �3�� "�� � ��"��� �� ����������� 53��!������ A�������� � ������������ 0�� �$�� �=������ �� ��"�� ���"���� ��� ����������� �� ����� 0�� ����!����� � ��!��( �� ��!�������1����� �� ���� �� ���$��� 1� � ������!�

Page 115: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ���

...

���� � �� ��� @� ������ � ���� �� ���$�� ��� 4 � @ ��� 44� 151�/'�� 0�� � ��!��!1���� �� 0�� 4 � 44 ��������� 1� � 1����� ��"�#�$���� )��=,������!� ;���'�� !�" ��"�#�$�� �$�� 1� ��-� � �� ��!�����!����� �� ��!��( �$�� ��-� ��� � ��"�#�$�� ��!�������!� ��� �� ����������� 1�� 4 �$�� �������� � 44 �$�� �������� 0�� ��� ��� �/!������� �� ����������� �������� ���� �� ����� ��� ���!�'� ��!�� ��� 15��!�������!� �/���'�� 0�� �� � A��� ��� ����������� �� �� �!�� ���1����� ��&��!� �� '�(�� �� A�������� ���� ��� ���� ��� �� 4�$�� ��������� � 44 ��������� �� ������� '�( 0�� � A��� ��� A����� � ��!�� �� ������� ������ 4 �$�� '�� ���� ���&�� �� 44 � �����1� ���������� � 0�� ���1� �����!���� ��� 44� *�� �� � A��� �1� 1� �� �!����� �1����� &��!� �� '�(�� �� 1�"!��� ������ ���� A������ ���1�!��!��� � ������� � ��'���1���� � 0�� �"��!���1� � ������&��#�� ���A�������� �� 1�"!��� �!1� � ������� ������ � !������ ��'����!� ���"�#�$�� �$�� ��� ���!�'��

2�3 C�<�� ��� ��<����� �������

6�� ��!�� ����� �� �� �����"�(�� �� A��� ��� ���!�'� 1� �!��'1���� ��� ���#�$�� ! �=����� �� ���#�$�� �����!��12�!��� �� A���� ?�A�

Page 116: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ���

.."

�� � ���A��!� ��� ��/���A��!�� �� F F ��� � � � � ��� 5�!$��

! � �� � ��1� � ���#�$�� 0�� ������� � ���� ���"�($�� � � ��� � � � � �� � �'�"��� �����"�($�� !���� 6�� �� ������� 0�� '���� �3���� �� ! 1��

�� ( � �� � � � ( F � � !�� � ( � � !��� Q !�( ��

5�!� �� ������� �3 ���� � ��1��� �� 0�� 0���!� ����� � ���"�($������� � �����������

)��!� �����"�#�$�� �$�� ��� �� ��!���� ���� �=������ � ! 0��1� � ���#�$�� 0�� ��( 0���!� � ���"�($�� � ����/� �� ���� �� ����������������

5�!�� A���� �$�� �=������ �� A���� ��� ������!� ��� !����,���������� "�!���" ��0�� ��"�� � 0�� �� ��!� 1� � !�!�"����� !��� ��/�� �� 0���!$�� ����(����� �� �3�� "�� 0�� � ���"�($�� � ����/��

6�� �� ������� ��!���"�� 0�� ! ��� !�� 1� �3 ����� �"��

%�7������� 6� A��� 1� �=����� �� �$�� ��������" �� ��� ( � F� � ( F � !�'����� !�� � ( � F !��� Q !�( � ���� �$�� �3��!�����=�� �� ������ ���"�($�� ������

6�� �����0L������� ��� "�� ���!� ��!� 1�� �� ! 1� �$�� ��������" ��!$��

!�F� F�����

!����

%�7������� 6� A��� ! 1� �=����� �� ���� ����!��!� �� �� � F

!��� Q !�F��� F !�F��

-��� ! ��/�!�1���� !���� �

Page 117: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��9

..#

%�7������� 6�� ��"�#�$�� �� A��� ! 1� �� ��!� � � �� !�" 0���

��� � �� !����� � ��

���������

�� � !�F��

�����!������� �� � �����#�$�� ��� 1� ��� �����#�$�� �� �������"����� �"� �3 ����� � ��1��� �� 0�� ��� ��"�#�$�� !�� 0�� �� �������� ����0�� � ����'12��� ��� ��������� �� �� �1� ����

�� � �����#�$�� ���� 1� ��� �����#�$�� �� ���!�/�"������

%�7������� ?� � � �� 1� ��"�#�$�� �� A��� ! �

�� � F !��� �����

��

� 1� ��!� ��!����� �� �1��"���

7��� 0�� �� A���� ���������� �$�� �0��"�� ��� 0���� �3��!�� ��,�=�� ���!�'�� �� �� ��(���� ���"�($��� �� ����"!��� ���������A����1� � ������!��

$������� ;��� A��� ��������" �� ���� (��� !�� �1��"�� '�(���

%������������ ?� ��=� 0�� �3��!� � � �� �� �1��"��� 15 �1���" '��0�� �� ! 1� ��������" ��!$��

!�F� ��

���

!�.���R�

Page 118: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��:

..&

-�� ��!�� "��� ���� � ��!1� �� �1��"�� � � A��� 1� �� ���� �� (������������

�� � !�F � ���� F !�F�� !�������RR�

?� ��=� 0�� �� F !����� � � ��!$�� �� �RR�

!�F� ������

!�.��

� 0�� ���!����( �R��

-�"� �������"����� ����'����" � � !����� � �� "��� � 1������"!����!�'� 1� !����� � �� �"��� ��

5�!$�� �� �RR�

!�F� ������

��

� 0�� ���!����( � �����#�$�� �� ���!�/�"������

!�F� ������

�� �

53��!�� ���!�� ��!��� ������!�� ��� A���� ��� ���!�'�� ��� ������!�� "�!������ -��� � "��!�� ��!�������� ��������� ��'�,���!� � "�'�� �� �+�� ��KIJ�� �0�� �����!� '���� �����!��/��'����!� � '�"�� �� ?=� "�@�

?�A� ? ��� ���#�$�� 0�� ������� � ���� A��� ��� ��"�#�$�� ��� �� �� ��������� �� ���!�'����� ?�!� Q !�� F ?�!�� Q?�!��G ��'�����!���/ ����!�#�$���� ?���!

�� F ?��!� ��� !��� ����!�#�$�� 8 � F �F ���� !� 1� � A��� ����!��� ���� !���� F !�8���� �� � F G

Page 119: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��

..'

����

?��!� F !� � �� 1� !�" 0�� �( � F !�( � F !� � ( ��

5�!$�� ?=� "�@ ��'�� 0�� ? !�� �������������!� � ������

?��!� F��

/�������

� S!�( �� !�( � ����T

���� / F H 3 F H( �

� ��!�� ��!�#�$�� ���

/�������

� ��� ��� ���!� �� ������!� ���������

/

1� � ��/�/�"����� �� A������ � ��� ����"=��� ��!�� �� / �����!�� ���

������

� 1� � ��/�/�"����� �� �� ������ ��� ���� ���"�($�� �� 3 � �

���/��� ��!�� �� /�� ����'12���� ��� 0�� �$�� ��'�"'�� � �����#��

�� �,1����� A�������� -��!��!� �

/�������

� 1� � ��/�/�"����� �� ��

������ ��� ���"�($�� ��� 3 �"����!�� � ��� � �����#�� �� A�������� -�� ��� '�( S!�( �� !�( � ����T 1� � ���1������ C� ���"�($�� ( 0��� A������ � !��(�

�8���������

�� ��"��"� ��� ��"�#�$�� ������3 ��� �� A�����

F

�: �I 9

�G F

�� �� �

�� 7�� �3�� "� �� �� A��� ��� ���� ��"�#�$��� ������3�

9� 7�� �3�� "� �� �� A��� ��� ��� ��"�#�$�� ������3 ��� ��,!��!1����� ��� "�� ���� .�� � !�" 0�� �3��!� �� ��� � �� �������

Page 120: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��I

..*

�� 0�� �� � A������ 4 ����#��� ��� ��!� ��!��!1���� � A������44 ����"=� .� 0�� ��'��� � ����"=� �� �� 4 0�� �� ��� '�( ��'��� 44 ����"=�� .� � ����� �������'����!� �� A��������'$�� ����"=���� �� ��!��!1����� �� .� ��� 0�� �� ���'��A� ������� .�� �� ����� ��� 0��"0��� ��!�� ��"�#�$���

:� ?�A� !��� F � � F �� �� 9� !��� �� F !��� 9� F !��� 9� F � !��� �� 9� F �� ��� �!� � �1��"�� ��� ����� � F � �9 �9 ��

� ��"��"� � '�"�� �� ?=� "�@ ��� F F ��� �� 9� !�?� F � !��� F �� � F �� �� 9G !��� .� F � ��F . �� . F �� �� 9G!��� �� 9� F ���

I� ?� ��=� ���� &���� 0�� '����� �� ����� ����!� � ��'���� ���� � ���#�$�� ��'���� �� �������� ��=� Q =�� F �� ��=� Q =�� ���� =� 1� � 0���!����� �� /�� ����!��� �"� &���� � F �� �� ?� ��=� 0�� �� &���� �$�� ������ ���!���� ����#�$��� ��"��"� � �0��"12/��� �� )��= ���!� ������� �� ���� 0�� �� &���� ��3���(�� "����� � A����� �� A��� ��0���!������� ��� ��� � ��"�#�$�� ��� � ��"�#�$�� ���� �"��!� ���� ��� � ��"�#�$�� �� ��3

������=�= � � ��"�#�$�� �� �������������

�����!�� = F ���

�� ��"��"� ��� � �3�� "� �� 53���12��� I � �0��"12/��� �� )��= ��� �� A��� �� 0�� �� &���� ����"=�� ��#��� �� ��'1�� ��0���!������ � � ���#�$�� �� ������� 1� ���� ���

����� ��� � F

����������� �� �� � ��������� �� �� F ��

�� �� �� ��

J� -��'� 0�� � ������!� �� ������3 � � �� )��=,������! ����,����� ��� A���� �� ���� (��� � ���� A���������

Page 121: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ���

..9

��1�� ������

�""��� *� ��K9�� �D� ��� ��!����! �� "Y=���� ��!�����"��'��! "� ���0�� ���!�0�� ��� ��!�"�!� �� "Y15��"� �����������5������!���� '�"� �� �9,:I�

����A� �� ��� *����"�"" �� ��K�J�� �)�!�� �� !=� ?���!=,��� �� �������!� 7������<�����" �� ��!=���!���" 5�������� '�"� ��9,����

����+ Z� ��� E�=�� �� ��K���� �8�����" ��� �!�!�'� ���",����E�"��� 7�@ ?���

����+ Z� ��K9�� �D� ���"� ��� P�"���� %�����C���� ��� "�.1� ��!�!��� "� ���""���� ��� ���0����5������!��� -���� ���!�� )�!����" �� "� .��=���=� ?����,!�&0�� :�,:J�;����#�$�� ��� � ���"��� �� .�'��+ �� 5������� ?!����� '�"�9� K�,KI�

����+ Z� ��KI9�� �?����" �=����� ��� 4���'����" P�"����_�"� 6��'����!@ -�����

����+ Z� ��� 7�/��� 8� ��K9�� �53��!���� �� 50��"�/������� � ��� �!�!�'� 5�����@�5������!���� '�""� �� �I,�K��

������ <�� ��KI:�� �*��X�!� +�!= � ���!���� �� ;�������5������!���� '�"� 9� 9K,��

%�+�� .� ��KIJ�� �� ��+ ���� �� � !=����� �� 6!�"�!@ ;=�,��@�4�5�.� K ��!� �KIJ�

Page 122: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��J

..+

������! �� ��JK��� �.������=�� ��!� !=� *�!=���!���" -���,�� "�� �� !=� ;=���@ �� B��"!=�*����""��� )�+ _��X�

7�/��� 8� ��KK�� �;=���@ �� P�"���_�"� 6��'����!@ -���� )�_� D������

7�/��� 8� ��KI:�� ����!����!@ �� ��!��� �� -���!��� 6!�"�,!@�4�5�.� �� !� �KI:�

7�/��� 8� ��K���� � 5�������� +�!= � ����!� ?�! �� 50��"�/,����5������!���� 9J ��9 9J�,9K9�

7�/��� 8� ��K�:�� � 53���� 7����� ����!�����<�����" �� ��!=���!���" 5�������� ��

7�/��� 8� ��� ?���� E� ��KI9�� �� D���! ;=����� �� !=����� �� �� 5�����@�4�!����!����" 5������� .5'��+ : �9,�:I�

5X�"��� 4� ��K�K�� �5������� *�!=1���!�0���E������ -�����

8�"� 7� ��� *����"�"" �� ��K��� ��� 50��"�/���� 53��!����;=����� ��� � 8�����" *���" +�!=��! ������� -�����������<�����" �� *�!=���!���" 5������� � K,��

E���!��� ?�)� ��� *�"��� <� ��K9�� ��� �3����!�� � , ����= !� *������/"� 6!�"�!@�5������!���� '�"� ���

E�"��/���� B� ��K�:�� ����� ��� 50��"�/��� ��� D���� 5���������-�����!�� 6��'����!@ -���� -�����!�� )�<�

Page 123: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ��K

..-

<���� %���@� .� ��KJ��� �-��/�/�"������ �� ����� �� �12'�"��!������1�����-��A�!� 5��"���� 4*-� �)-0�

D��� 5"�� D� ��K�I�� ������ �� ��1�"���� '�"� �-��A�!� 5��"���� 4*-� �)-0�

D��� 5"�� D� ��KJ��� ������ �� ��1�"���� '�"� �-��A�!� 5��"���� 4*-� �)-0�

*��=��� *� ��KJ��� �53 ��! 6!�"�!@ ���"@��� +�!=��! !=�4��� ������� �3����5������!���� '�"� J� � ���,9�:�

*����"�"" �� ��K�:�� ��� 50��"�/���� 53��!���� ;=�����+�!=��! ��� "�!� �� ;�����!�'� -�����������<�����" �� *�!=���!���" 5�������� � �� 9�

*�X��(�� D� ��K:�� ��� 50��"�/���� �� ��=��Y� *���" ��B��"� ;���� ��� �!=�� ��� �!�!�'� ?@�!����5������!���� '�"� �� ���,�:��

)��= <� ��KK�� �)��,��� ���!�'� 8��������� �� *�!=� '�"� : �� ��

�+�� 8� ��KIJ�� �8��� ;=���@�?������� ��� -=�"���" =�� , D�����, ;����!��

-��!! <� ��KI:�� �.��X �'������ �� !=� ?��"" ��� �� !=� D�����5������!���� '�"� 9� �� �,��

.�!=��=�"� *� ��� ?!��"�!( <� ��K���� �4��������� .��X 4� �7�&��!����<�����" �� 5������� ;=���@ � ��,�:9�

Page 124: Araújo, A. (2011) Introdução à Economia Matemática

������������� ��� ���

."/

.�!=��=�"� *� ��� ?!��"�!( <� ��K���� �4��������� .��X 44� �!�5������� �����0�������<�����" �� 5������� ;=���@ 9 II,J:�

?�������� 7� ��K��� �?���!=��� 7����� /@ �����!����<�����" �� ��!=���!���" 5�������� � ���,��9�

?������� *�E� ��KIJ�� �;����� *��������������������#�$�� 8�!1�"�� P����� .�� : '�

?������� *�E� ��KJ��� �)�!�� �� *������������������#�$�� ��!1�"�� P����� .�� �� <�������

?�=����"�� 7� ��K�K�� �� %�/"����� =���" ��!� �� � ;=������� E���@ D�!!"�+��� ��� -�"@��<�����" �� 5������� ;=���@ �� ��,��J�

?�������=��� E� ��K�9�� �7� B�"��Y� 4���!�!@ ��� ���!�,���!@ �=����!���(� !=� �"��� �� �������!@ 53���� 7���������!�����O<�����" �� 5������� ;=���@ I�

?!��� .� ��KIK�� �W����,50��"�/��� �� *��X�!� +�!= ��� ���,'�3 -�����������5������!���� 9� �J,9J�

P����� E� ��K�J�� �*������������ ���"@����B�B� )��!�� ��� ��� )�_�

P�� )������ <� ��� *������!�� �� ��K::�� �;=���@ ��8���� ��� 5������� 8�=�'�����-�����!�� 6��'����!@ -���� -�����!�� )�<�