matematica - ensino fundamenttal

7/21/2019 Matematica - ENSINO FUNDAMENTTAL

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Frações

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos:

de fração;

a de numerador;

b de denominador.

Se a é múltiplo de b, então é um número natural.

e!a um e"emplo:

# fração é igual a $:%. &este caso, $ é o numerador e % é o denominador. 'fetuando a di(isão de $ por %,

obtemos o )uociente *. #ssim, é um número natural e $ é múltiplo de %.

+urante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. +epoiscomeçaram a surgir )uestes )ue não poderiam ser resol(idas com números naturais. 'ntão surgiu o conceitode número fracion-rio.

O significado de uma fração

#lgumas (ees, é um número natural. Outras (ees, isso não acontece. &este caso, )ual é o significado

de /

0ma fração en(ol(e a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. +entre essas partes,consideramos uma oualgumas, conforme nosso interesse.

'"emplo: 1ober(al comeu de um chocolate. 2sso significa )ue, se di(idíssemos o chocolate em * partesiguais, 1ober(al teria comido 3 partes:



&a figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por 1ober(al, e a parte branca é a parte )uesobrou do chocolate.

Como se lê uma fração #s fraçes recebem nomes especiais )uando os denominadores são %, 3, *, 4, 5, 6, $, 7 e também )uandoos denominadores são 89, 899, 8999, ...

um meio dois )uintos

um terço )uatro sétimos

um )uarto sete oita(os

um )uinto )uine nonos

um se"to um décimo

um sétimo um centésimo

um oita(o um milésimo

um nono oito milésimos

Classificação das frações

ração própria: o numerador é menor )ue o denominador:

ração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

ração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.

Frações equivalentes

raçes e)ui(alentes são fraçes )ue representam a mesma parte do todo.

'"emplo: são e)ui(alentes

ara encontrar fraçes e)ui(alentes de(emos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmonúmero natural, diferente de ero.

'"emplo: obter fraçes e)ui(alentes < fração .



ortanto as fraçes são algumas das fraçes e)ui(alentes a .

Simplificação de frações

0ma fração e)ui(alente a , com termos menores, é . # fração foi obtida di(idindo=se ambos os

termos da fração pelo fator comum 3. +iemos )ue a fração é uma fração simplificada de .

# fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível . # fração não pode sersimplificada por)ue 3 e * não possuem nenhum fator comum

Números fracionários

Seria possí(el substituir a letra > por um número natural )ue torne a sentença abai"o (erdadeira/

4 . X ? 8

Substituindo X, temos:

X por 9 temos: 4.9 ? 9 X por 8 temos: 4.8 ? 4.

ortanto, substituindo X por )ual)uer número natural !amais encontraremos o produto 8. ara resol(er esseproblema temos )ue criar no(os números. #ssim, surgem os números fracionários.

@oda fração e)ui(alente representa o mesmo número fracion-rio.

ortanto, uma fração An diferente de eroB e todas fraçes e)ui(alentes a ela representam o mesmo

número fracion-rio .

1esol(endo agora o problema inicial, concluímos )ue X ? , pois .

Adição e sutração de números fracionários @emos )ue analisar dois casos: 1º) denominadores iguais ara somar fraçes com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conser(ar o denominador . ara subtrair fraçes com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conser(ar o

denominador . Obser(e os e"emplos:



2º) denominadores diferentes ara somar fraçes com denominadores diferentes, uma solução é obter fraçes e)ui(alentes, de

denominadores iguais ao mmc dos denominadores das fraçes. '"emplo: somar as fraçes . Obtendo o mmc dos denominadores temos mmcA4,%B ? 89.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

1esumindo: utiliamos o mmc para obter as fraçes e)ui(alentes e depois somamos normalmente as

fraçes, )ue !- terão o mesmo denominador, ou se!a, utiliamos o caso 8.

!ultiplicação e divisão de números fracionários &a multiplicação de números fracion-rios, de(emos multiplicar numeradorpor numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nose"emplos abai"o:

&a divisão de números fracion-rios, de(emos multiplicar a primeira fraçãopelo in(erso da segunda, como é mostrado no e"emplo abai"o:

"otenciação e radiciação de números fracionários

&a potenciação, )uando ele(amos um número fracion-rio a um determinado

e"poente, estamos ele(ando o numerador e o denominador a esse e"poente,conforme os e"emplos abai"o:

http://www.somatematica.com.br/fundam/mmc.php





&a radiciação, )uando aplicamos a rai )uadrada a um número fracion-rio,estamos aplicando essa rai ao numerador e ao denominador, conforme o e"emploabai"o:

Divisibilidade

Crit#rios de divisiilidadeara alguns números como o dois, o trs, o cinco e outros, e"istem regras )ue permitem (erificar a di(isibil idade

sem se efetuar a di(isão. 'ssas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

0m número natural é di(isí(el por % )uando ele termina em 9, ou %, ou *, ou 5, ou $, ou se!a, )uando ele é par.Exemplos:8B 49*9 é di(isí(el por %, pois termina em 9.%B %36 não é di(isí(el por %, pois não é um número par.

Divisibilidade por

0m número é di(isí(el por 3 )uando a soma dos (alores absolutos dos seus algarismos for di(isí(el por 3.

Exemplo:%3* é di(isí(el por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a %D3D*?7, e como 7 é di(isí(el por 3, então %3* édi(isí(el por 3.

Divisibilidade por !

0m número é di(isí(el por * )uando termina em 99 ou )uando o número formado pelos dois últimos algarismosda direita for di(isí(el por *.Exemplo:8$99 é di(isí(el por *, pois termina em 99.*885 é di(isí(el por *, pois 85 é di(isí(el por *.83%* é di(isí(el por *, pois %* é di(isí(el por *.3$49 não é di(isí(el por *, pois não termina em 99 e 49 não é di(isí(el por *.

Divisibilidade por "

0m número natural é di(isí(el por 4 )uando ele termina em 9 ou 4.Exemplos:8B 44 é di(isí(el por 4, pois termina em 4.%B 79 é di(isí(el por 4, pois termina em 9.3B $6 não é di(isí(el por 4, pois não termina em 9 nem em 4.

Divisibilidade por #

0m número é di(isí(el por 5 )uando é di(isí(el por % e por 3.Exemplos:

8B 38% é di(isí(el por 5, por)ue é di(isí(el por % AparB e por 3 Asoma: 5B.%B 4%8* é di(isí(el por 5, por)ue é di(isí(el por % AparB e por 3 Asoma: 8%B.



3B 685 não é di(isí(el por 5, Aé di(isí(el por %, mas não é di(isí(el por 3B.*B 3*94 não é di(isí(el por 5 Aé di(isí(el por 3, mas não é di(isí(el por %B.

Divisibilidade por $

0m número é di(isí(el por $ )uando termina em 999, ou )uando o número formado pelos trs últimos

algarismos da direita for di(isí(el por $.Exemplos:8B 6999 é di(isí(el por $, pois termina em 999.%B 4589* é di(isí(el por $, pois 89* é di(isí(el por $.3B 5888% é di(isí(el por $, pois 88% é di(isí(el por $.*B 6$85* não é di(isí(el por $, pois 85* não é di(isí(el por $.

Divisibilidade por %

0m número é di(isí(el por 7 )uando a soma dos (alores absolutos dos seus algarismos for di(isí(el por 7.Exemplo:%$68 é di(isí(el por 7, pois a soma de seus algarismos é igual a %D$D6D8?8$, e como 8$ é di(isí(el por 7, então%$68 é di(isí(el por 7.

Divisibilidade por 1&

0m número natural é di(isí(el por 89 )uando ele termina em 9.Exemplos:8B *849 é di(isí(el por 89, pois termina em 9.%B %895 não é di(isí(el por 89, pois não termina em 9.


0m número é di(isí(el por 88 )uando a diferença entre as somas dos (alores absolutos dos algarismos deordem ímpar e a dos de ordem par é di(isí(el por 88.O algarismo das unidades é de 8E ordem, o das deenas de %E ordem, o das centenas de 3E ordem, e assim

sucessi(amente.Exemplos:8B $64*7 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = 22-11 = 11 Como 11 é divisíve por 11! en"#o o n$mero 87549 é divisíve por 11.%B *379$6 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+% = 10 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si-Sp = 10-21 Como a s&'"ra#o n#o pode ser reaiada! a*res*en"a-se o menor m$"ipo de 11 (dieren"e deero) ao min&endo! para ,&e a s&'"ra#o possa ser reaiada: 10+11 = 21. n"#o "emos as&'"ra#o 21-21 = 0. Como ero é divisíve por 11! o n$mero 4%9087 é divisíve por 11.


0m número é di(isí(el por 8% )uando é di(isí(el por 3 e por *.Exemplos:8B 6%9 é di(isí(el por 8%, por)ue é di(isí(el por 3 Asoma?7B e por * Adois últimos algarismos, %9B.%B $69 não é di(isí(el por 8% Aé di(isí(el por 3, mas não é di(isí(el por *B.3B 3*9 não é di(isí(el por 8% Aé di(isí(el por *, mas não é di(isí(el por 3B.

Divisibilidade por 1"

0m número é di(isí(el por 84 )uando é di(isí(el por 3 e por 4.

Exemplos:8B 894 é di(isí(el por 84, por)ue é di(isí(el por 3 Asoma?5B e por 4 Atermina em 4B.



%B 3%* não é di(isí(el por 84 Aé di(isí(el por 3, mas não é di(isí(el por 4B.3B 439 não é di(isí(el por 84 Aé di(isí(el por 4, mas não é di(isí(el por 3B.

Divisibilidade por 2"

0m número é di(isí(el por %4 )uando os dois algarismos finais forem 99, %4, 49 ou 64.

Exemplos:200! 525! 850 e 975 s#o divisíveis por 25.

Números "rimos'úmeros primos são os números naturais )ue tm apenas dois divisores diferentes: o 8 e ele mesmo. (emplos* 8B 2 tem apenas os di(isores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. %B 1+ tem apenas os di(isores 1 e 1+, portanto 1+ é um número primo. 3B 1& tem os di(isores 1, 2, " e 1&, portanto 1& não é um número primo. Observações: ?F 1 não é um número primo, por)ue ele tem apenas um di(isor )ue é ele mesmo. ?F 2 é o único número primo )ue é par. Os números )ue tm mais de dois di(isores são chamados números compostos. Exemplo: 84 tem mais de dois di(isores ?F 84 é um número composto.

• -econ.ecimento de um número primo

ara saber se um número é primo, di(idimos esse número pelos números primos %, 3, 4, 6, 88 etc. até)ue tenhamos: ?F ou uma di(isão com resto ero e neste caso o número não é primo, ?F ou uma di(isão com /uociente menor )ue o di(isor e o resto diferente de 0ero. &este caso onúmero é primo.(emplos*8B O número 858:

• não é par, portanto não é di(isí(el por %;

• 8D5D8 ? $, portanto não é di(isí(el por 3;

• não termina em 9 nem em 4, portanto não é di(isí(el por 4;

• por 6: 858 G 6 ? %3, com resto ero, logo 858 é di(isí(el por 6, e portanto não é um número primo.

%B O número 883:

• não é par, portanto não é di(isí(el por %;

• 8D8D3 ? 4, portanto não é di(isí(el por 3;

• não termina em 9 nem em 4, portanto não é di(isí(el por 4;

• por 6: 883 G 6 ? 85, com resto 8. O )uociente A85B ainda é maior )ue o di(isor A6B.

• por 88: 883 G 88 ? 89, com resto 3. O )uociente A89B é menor )ue o di(isor A88B, e além disso o resto édiferente de ero Ao resto (ale 3B, portanto 11 é um número primo.

$ecomposição em fatores primos @odo número natural, maior )ue 8, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. +ecomposição do número %* num produto: %* ? * " 5 %* ? % " % " 5 %* ? % " % " % " 3 ? %3 " 3 &o produto % " % " % " 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de %* a decomposição de %* num produto de fatores primos. 'ntão a fatoraçãode %* é %3 " 3.

+e um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior



)ue 8, a sua decomposição num produto de fatores primos.

• -egra prática para a fatoração

'"iste um dispositivo prático para fatorar um número. #companhe, no e"emplo, os passos para montaresse dispositi(o:

1) /ividimos o n$mero peo se& menor divisorprimo2) a se&ir! dividimos o ,&o*ien"e o'"ido peomenor divisor primo desse ,&o*ien"e e assims&*essivamen"e a"é o'"er o ,&o*ien"e 1. i&ra ao ado mos"ra a a"ora#o do n$mero3%0.

n"#o 3%0 = 2 % % 5 7. %&' ( ) * &) * + * ,.

$eterminação dos divisores de um número

&a pr-tica determinamos todos os di(isores de um número utiliando os seus fatores primos. amos determinar, por e"emplo, os di(isores de 79:

1) de*ompomos o n$mero em a"oresprimos2) "raamos &ma ina e es*revemos o 1 noa"o! por,&e ee é divisor de ,&a,&ern$mero

%) m&"ipi*amos s&*essivamen"e *ada a"orprimo peos divisores 6 o'"idos ees*revemos esses prod&"os ao ado de *adaa"or primo

4) os divisores 6 o'"idos n#o pre*isam ser

repe"idos.

or"an"o os divisores de -' s#o ./ )/ &/ +/ %/ -/ .'/ .+/ .0/ &'/ 1+/ -'.

!á*imo $ivisor Comum +ois números naturais sempre tm di(isores comuns. or e"emplo: os di(isores comuns de 8% e 8$ são 8,%,3e 5. +entre eles, 5 é o maior. 'ntão chamamos o # de máimo divisor comum de 12 e 1$ e indicamos mdc12,1$) 3 #.

O maior di(isor comum de dois ou mais números é chamado de máimo divisor comum desses números. 0samos a abre(iação mdc

#lguns e"emplos:

mdc A5,8%B ? 5 mdc A8%,%9B ? * mdc A%9,%*B ? *



mdc A8%,%9,%*B ? * mdc A5,8%,84B ? 3

• 4564768 D8 9D4

0m modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utiliar a decomposição desses números em

fatores primos.8B decompomos os números em fatores primos;%B o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. #companhe o c-lculo do m.d.c. entre 35 e 79:35 ? % " 2 " " 79 ? 2 " " " 4O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns ?F m.d.c.A35,79B ? 2 ortanto mdc#,%&) 3 1$.'scre(endo a fatoração do número na forma de potncia temos:35 ? 22 " 2

79 ? 2 " 2 "4ortanto m.d.c.A35,79B ? % " 3% ? 8$.

O mdc de dois ou mais números, /uando fatorados, é o produto dos fatores comuns aeles, cada um ele(ado ao menor e"poente.

• 4564768 D8 9D4 :(68 :-84(;;8 D<; D=>=;?(; ;74(;;=><;

&esse processo efetuamos (-rias di(ises até chegar a uma di(isão e"ata. O di(isor desta di(isão é om.d.c. #companhe o c-lculo do m.d.c.A*$,39B. -egra prática* 1º) di(idimos o número maior pelo número menor; *$ G & ? 8 Acom resto 1$B 2º) di(idimos o di(isor 39, )ue é di(isor da di(isão anterior, por 8$, )ue é o resto da di(isão anterior, e assimsucessi(amente; & G 1$ ? 8 Acom resto 12B 1$ G 12 ? 8 Acom resto #B 12 G # ? % Acom resto ero = di(isão e"ataB º) O divisor da divisão eata é 5. 'ntão mdc!$,&) 3 #.

• '@9(-8; :-=98; ('A-( ;=

+ois ou mais números são primos entre si )uando o m-"imodi(isor comum desses números é 1.

'"emplos: Os números 34 e %* são números primos entre si, pois mdc A34,%*B ? 8. Os números 34 e %8 não são números primos entre si, pois mdc A34,%8B ? 6.

• :-8:-=(D<D( D8 9D4

+entre os números 5, 8$ e 39, o número 5 é di(isor dos outros dois. &este caso, 5 é o m.d.c.A5,8$,39B.

Obser(e: 5 ? % " 38$ ? % " 3%

39 ? % " 3 " 4ortanto m.d.c.A5,8$,39B ? 5

+ados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros , entãoele é o mdc dos números dados.

!2nimo !últiplo Comum

• 9@6A=:68 D( 79 '@9(-8 '<A7-<6

Como 2! é divisBvel por diemos )ue 2! é múltiplo de . %* também é múltiplo de 8, %, 3, *, 5, $, 8% e %*.

Se um número é divisBvel por outro, diferente de ero, entãodiemos )ue ele é múltiplo desse outro.



Os múltiplos de um número são calculados multiplicando=se esse número pelos números naturais. (emplo* os múltiplos de 6 são: 6"9 , 6"8, 6"% , 6"3 , 6"* , ... ? & , + , 1! , 21 , 2$ , Obser(açes importantes: 8B 0m número tem infinitos múltiplos %B Hero é múltiplo de )ual)uer número natural

• 9C'=98 9@6A=:68 48979 994)

+ois ou mais números sempre tm múltiplos comuns a eles. amos achar os múltiplos comuns de * e 5: Iúltiplos de 5: &, 5, 12, 8$, 2!, 39,... Iúltiplos de *: &, *, $, 12, 85, %9, 2!,... Iúltiplos comuns de * e 5: &, 12, 2!,... +entre estes múltiplos, diferentes de ero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mBnimo múltiplocomum de ! e #.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de ero, é chamadode mBnimo múltiplo comum desses números. 0samos a abre(iação mmc

• 4564768 D8 994

odemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utiliando a fatoração. #companhe o c-lculo dom.m.c. de 8% e 39: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não=comuns: 8% ? 2 " 2 " 39 ? 2 " " " m.m.c A8%,39B ? 2 " 2 " " " 'scre(endo a fatoração dos números na forma de potncia, temos: 8% ? 22 " 39 ? 2 " " "

m.m.c A8%,39B ? 22 " " "

O mmc de dois ou mais números, /uando fatorados, é o produto dos fatorescomuns e não=comuns a eles, cada um ele(ado ao maior e"poente.

• :-84(;;8 D< D(489:8;=E8 ;=976AF'(<

&este processo decompomos todos os números ao mesmotempo, num dispositi(o como mostra a figura ao lado. O produto dosfatores primos )ue obtemos nessa decomposição é o m.m.c. dessesnúmeros. #o lado (emos o c-lculo do m.m.c.A84,%*,59B ortanto, m.m.c.A84,%*,59B ? % " % " % " 3 " 4 ? 12&

• :-8:-=(D<D( D8 994

'ntre os números 3, 5 e 39, o número 39 é múltiplo dos outros dois. &este caso, 39 é o m.m.c.A3,5,39B.Obser(e:

m.m.c.A3,5,39B ? % " 3 " 4 ? &

+ados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros , entãoele é o mmc dos números dados.



Considerando os números * e 84, )ues são primos entre si. O m.m.c.A*,84B é igual a 59, )ue é o produtode * por 84. Obser(e:

m.m.c.A*,84B ? % " % " 3 " 4 ? #&

+ados dois números primos entre si, o mmc deles é o produto desses números.

(/uaçGes de 1º grau com uma variável)

3quações de primeiro grau4com uma variável5

=ntrodução

')uação é toda sentença matem-tica aberta )ue e"prime uma relação de igualdade. # pala(ra e)uação temo prefi"o e/ua, )ue em latim )uer dier JigualJ. '"emplos:%" D $ ? 94" = * ? 5" D $3a = b = c ? 9 &ão são e)uaçes:* D $ ? 6 D 4 'ão é uma sentença aberta)" = 4 K 3 'ão é igualdade)

não é sentença aberta, nem igualdade) # e)uação geral do primeiro grau:

ax+b = 0onde a e b são números conhecidos e a diferente de 9, se resol(e de maneira simples: subtraindo b dos doislados, obtemos:

ax = -bdi(idindo agora por a Ados dois ladosB, temos:

Considera a e)uação 2 H $ 3 H1&

# letra é a incógnita da e)uação. # pala(ra incógnita significa JdesconhecidaJ. &a e)uação acima a incLgnita é "; tudo )ue antecede o sinal da igualdade denomina=se 8M membro, e o )uesucede, %Mmembro.



Nual)uer parcela, do 8M ou do %M membro, é um termo da e)uação.

')uação do 8M grau na incLgnita x é toda e)uação )ue pode ser escrita na forma ax ?b,sendo a e b números racionais, com a diferente de ero.

Con6unto 7erdade e Con6unto 8niverso de uma 3quação Considere o con!unto A ? 9, 8, %, 3, *, 4P e a e)uação " D % ? 4. Obser(e )ue o número 3 do con!unto A é denominado conIunto universo da e)uação e o con!unto 3P éo conIunto verdade dessa mesma e)uação.

Obser(e este outro e"emplo:

• +etermine os números inteiros )ue satisfaem a e)uação "Q ? %4 O con!unto dos números inteiro é o con!unto uni(erso da e)uação. Os números =4 e 4, )ue satisfaem a e)uação, formam o con!unto (erdade, podendo ser indicado por: ? =4, 4P. +aí concluímos )ue:

4onIunto 7niverso é o con!unto de todos os (alores )ue (ari-(el pode assumir. 2ndica=se por 7

4onIunto verdade é o con!unto dos (alores de 7, )ue tornam (erdadeira a e)uação .2ndica=se por >.

8bservaçGes*

• O con!unto (erdade é subcon!unto do con!unto uni(erso.

• &ão sendo citado o con!unto uni(erso, de(emos considerar comocon!unto uni(erso o con!unto dos números racionais.

• O con!unto (erdade é também conhecido por conIunto solução e pode ser indicado por ;.

9a2:es de uma equação

Os elementos do con!unto (erdade de uma e)uação são chamados raíes da e)uação.

ara (erificar se um número é rai de uma e)uação, de(emos obedecer < seguinte se)Rncia:

• Substituir a incLgnita por esse número.

• +eterminar o (alor de cada membro da e)uação.



• erificar a igualdade, sendo uma sentença (erdadeira, o número considerado é rai da e)uação.

'"emplos:

erifi)ue )uais dos elementos do con!unto uni(erso são raíes das e)uaçes abai"o, determinandoem cada caso o con!unto (erdade.

• 1esol(a a e)uação x = % ? 9, sendo ? 9, 8, %, 3P.

ara x ? 9 na e)uação x = % ? 9 temos: 9 = % ? 9 ?F =% ? 9. AB

ara x ? 8 na e)uação x = % ? 9 temos: 8 = % ? 9 ?F =8 ? 9. AB

ara x ? % na e)uação x = % ? 9 temos: % = % ? 9 ?F 9 ? 9. AB

ara x ? 3 na e)uação x = % ? 9 temos: 3 = % ? 9 ?F 8 ? 9. AB

erificamos )ue % é rai da e)uação x ! % ? 9, logo " ? %P.

• 1esol(a a e)uação % x = 4 ? 8, sendo ? =8, 9, 8, %P.

ara x ? =8 na e)uação % x = 4 ? 8 temos: % . A=8B = 4 ? 8 ?F =6 ? 8. AB

ara x ? 9 na e)uação % x = 4 ? 8 temos: % . 9 = 4 ? 8 ?F =4 ? 8. AB

ara x ? 8 na e)uação % x = 4 ? 8 temos: % . 8 = 4 ? 8 ?F =3 ? 8. AB

ara x ? % na e)uação % x = 4 ? 8 temos: % . % = 4 ? 8 ?F =8 ? 8. AB

# e)uação % x = 4 ? 8 não possui rai em , logo " ? .

9esolução de uma equação

1esol(er uma e)uação consiste em realiar uma espécie de operaçes de operaçes )ue nos conduem ae)uaçes e)ui(alentes cada (e mais simples e )ue nos permitem, finalmente, determinar os elementosdo conIunto verdade ou asraB0es da e/uação. 1esumindo:

1esol(er uma e)uação significa determinar o seu con!unto (erdade, dentrodo con!unto uni(erso considerado.

&a resolução de uma e)uação do 8M grau com uma incLgnita, de(emos aplicar os princípios de e)ui(alnciadas igualdades Aaditi(o e multiplicati(oB. '"emplos:

• Sendo , resol(a a e)uação .

IIC A*, 5B ? 8%

-9 x = 10 => Multiplicador por (-1)

9 x = -10



Como , então .

• Sendo , resol(a a e)uação % . A x = %B = 3 . A8 = x B ? % . A x = *B. Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

% x = * = 3 + x = ! x - "

% x D 3 x =% x = - " + # +

3 x = -1

Como , então

3quações imposs2veis e identidades• Sendo ! *onsidere a se&in"e e,&a#o: 2 . (3 x - 4) = % . (4 x - 1).

'serve! aora! a s&a reso&#o:

% . 5 x ! % . * ? 3 . * x = 3 . 88% x = $ ? 8% x = 3

8% x = 8% x ? = 3 D $9 . x ? 4

Como nen&m n$mero m&"ipi*ado por ero é i&a a 5! diemos ,&e a e,&a#o

é imposs2vel e! por"an"o! n#o "em so&#o. oo! V = ;.

ssim! &ma e,&a#o do "ipo ax + b = 0 é impossíve ,&ando e

• Sendo ! *onsidere a se&in"e e,&a#o: 10 - % x - 8 = 2 - % x . 'serve a s&a reso&#o:

=3 x D 3 x ? % = 89 D $

9 . x ? 9

Como "odo n$mero m&"ipi*ado por ero é i&a a ero! diemos ,&e a e,&a#oposs&i infinitas soluções. ,&a<es desse "ipo! em ,&e ,&a,&er vaor a"ri'&ído varive "ornaa e,&a#o verdadeira! s#o denominadas identidades.

(/uaçGes de 1º grau com duas variáveis)

"ares ordenadosIuitas (ees, para localiar um ponto num plano, utiliamos dois números racionais, numa certa ordem. +enominamos esses números de par ordenado. '"emplos:

ssim:



>ndi*amos por ( x ! y ) o par ordenado ormado peos eemen"os x e y !onde x é o 1 eemen"o e y é o 2 eemen"o.

• 'serva<es1. /e &m modo era! sendo x e y dois n$meros ra*ionais ,&ais,&er! "emos: .

empos

2. /ois pares ordenados ( x ! y ) e (r ! s) s#o i&ais somen"e se x = r e y = s.

-epresentação gráfica de um :ar 8rdenado odemos represen"ar &m par ordenado a"ravés de &m pon"o em &m pano. sse pon"o é *amado de imagem do par ordenado.

Coordenadas Cartesianas s n$meros do par ordenados s#o *amados coordenadas cartesianas; empos:

A (%! 5) ==? % e 5 s#o as *oordenadas do pon"o A.

/enominamos de ascissa o 1 n$mero do par ordenado! e ordenada! o 2 n$mero dessepar. ssim:

"lano Cartesiano

@epresen"amos &m par ordenado em

&m pano *ar"esiano. sse pano é ormado por d&asre"as! x e y,perpendi*&ares en"re si. re"a orion"a é o eio das a's*issas(eio x ). re"a ver"i*a é o eio das ordenadas(eio y ). pon"o *om&m dessas d&as re"as édenominado origem! ,&e *orresponde ao par ordenado(0! 0).

<ocali:ação de um "onto

ara o*aiar &m pon"o n&m pano *ar"esiano! &"iiamos a se,ABn*ia pr"i*a:

• 1 n$mero do par ordenado deve ser o*aiado no eio das a's*issas.• 2 n$mero do par ordenado deve ser o*aiado no eio das ordenadas.• o en*on"ro das perpendi*&ares aos eios x e y ! por esses pon"os! de"erminamos o pon"o

pro*&rado. empo:

• o*aie o pon"o (4! %).



"roduto Cartesiano

Se6am os *on6&n"os A = D1! 2! %E e B = D%!4E.Com a&íio do diarama de e*as ao adoormaremos o *on6&n"o de "odos os paresordenados em ,&e o 1 eemen"o per"ena ao*on6&n"o A e o 2 per"ena ao *on6&n"o B.

ssim ! o'"emos o *on6&n"o: D(1! %)! (1! 4)! (2! %)! (2! 4)! (%! %)! (%! 4)E sse *on6&n"o é denominado produto cartesiano de A por B! e é indi*ado por:

oo:

/ados dois *on6&n"os A e B! n#o-vaios! denominamos prod&"os *ar"esiano A B o

*on6&n"o de "odos os pares ordenados ( x ! y ) onde

3quações de primeiro grau4com duas variáveis5

Considere a e,&a#o: 2 x - 3 = 5 - %y

Fra"a-se de &ma e,&a#o *om d&as variveis! x e y ! pode ser "ransormada n&mae,&a#o e,&ivaen"e mais simpes. ssim:

2 x + %y = 5 + 3 2 x + %y = 11 ==? 3quação do .= grau na forma ax > by ( c .

/enominando e,&a#o de 1 ra& *om d&as variveis! x e y ! a "oda e,&a#o ,&e podeser reprod&ida orma ax + by = c ! sendo a e b n$meros dieren"es de ero!sim&"aneamen"e.

a e,&a#o ax + by = c ! denominamos:

x D y = (ari-(eis ou incLgnita

a = coeficiente de x

b = coeficiente de y

c = termo independente

empos:

x + y = %02 x + %y = 15

-% x - 7y = -482 x - %y = 0



x - 4y = 10 x - y = 8

Solução de uma equação de .= grau com duas variáveis

Nuais o (alores de x e # )ue tornam a sentença x - 2y = 4 (erdadeira/

Obser(e os pares abai"o:

x = 3! y = 1 x - 2y = 43 - 2 . 1 = 4

3 - 2 = 44 = 4 AB

x = 8! y = 2 x - 2y = 48 - 2 . 2 = 4

8 - 4 = 44 = 4 AB

x = -2! y = -% x - 2y = 4

-2 - 2 . (-%) = 4-2 + 3 = 44 = 4 AB

Gerii*amos ,&e "odos esses pares s#o soluções da e,&a#o x - 2y = 4.

ssim! os pares (3! 1) (8! 2) (-2! -%) s#o a&mas das so&<es dessa e,&a#o.

Hma e,&a<es do 1 ra& *om d&as variveis "em infinitas soluções - inini"os ( x ! y B = ,sendo, portanto, seu con!unto uni(erso . odemos de"erminar essas so&<es! a"ri'&indo-se vaores ,&ais,&er para &ma das variveis!*a*&ando a se&ir o vaor da o&"ra. empo:

• /e"ermine &ma so&#o para a e,&a#o % x = y ? $.

"ri'&ímos para o x o (alor 8, e calculamos o (alor de y . #ssim:

% x - y = 8% . (1) - y = 8

% - y = 8

-y = 5 ??F 9ultiplicamos por H1

y = -5

par (1! -5) é &ma das so&<es dessa e,&a#o. " ? A8, =4BP

1esumindo:

Hm par ordenado (r ! s) é so&#o de &mae,&a#o ax + by = c Aa e b n#o-n&os sim&"aneamen"e)! separa x ? r e y = s a sen"ena é verdadeira.

?ráfico de uma equação de .= grau com duas variáveis Sabemos )ue uma e)uação do 8M grau com duas (ari-(eis possui infinitas soluçes. Cada uma dessas soluçes pode ser representada por um par ordenado A x $ y B.



+ispondo de dois pares ordenados de um e)uação, podemos represent-=los graficamente num planocartesiano, determinando, atra(és da reta )ue os une, o con!unto das solução dessa e)uação. '"emplo:

• Construir um gr-fico da e)uação x D y ? *.

2nicialmente, escolhemos dois pares ordenados )ue solucionam essa e)uação.

8M par: A A*, 9B %M par: % A9, *B # seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x y

* 99 *

inalmente, unimos os pontos A e %, determinando a reta r ! )ue contém todos os pontos soluçes dae)uação.

# reta r é chamada reta suporte do gr-fico da e)uação.

Sistemas de 3quações Considere o seguinte problema: ipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de % pontos e y arremessos de 3 pontos. 'leacertou %4 arremessos e marcou 44 pontos. Nuantos arremessos de 3 pontos ele acertou/ odemos traduir essa situação atra(és de duas e)uaçes, a saber: x D y = 25 4total de arremessos certo5 2 x + %y = 55 4total de pontos otidos5

ssas e,&a<es *on"ém &m sistema de equações; Cos"&ma-se indi*ar o sis"ema &sando c@ave.



O par ordenado A%9, 4B, )ue torna ambas as sentenças (erdadeiras, é chamado solução do

sistema.0m sistema de duas e)uaçes com duas (ari-(eis possui uma única solução.

9esolução de Sistemas

# resolução de um sistema de duas e)uaçes com duas (ari-(eis consiste em determinarum par ordenado )ue torne (erdadeiras, ao mesmo tempo, essas e)uaçes. 'studaremos a seguir alguns métodos:

9étodo de substituição

;olução• determinamos o (alor de x na 8E e)uação.

x ? * = y

• Substituímos esse (alor na %E e)uação.

% . A* = y B =3y ? 3

• 1esol(emos a e)uação formada.

$ = %y =3y ? 3

$ = %y =3y ? 3

=4y ? =4 ?F 9ultiplicamos por H1

4y ? 4

y ? 8

• Substituímos o (alor encontrado de y , em )ual)uer das e)uaçes, determinando x .

x D 8 ? * x ? * = 8

x ? 3

• # solução do sistema é o par ordenado A3, 8B.

V ? A3, 8BP

9étodo da adição Sendo ? , obser(e a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição. 1esol(a o sistema abai"o:

Solução

• $dicionamos membros a membros as e%uaç&es:



2 x = 13

x = 8

• S&'s"i"&ímos o vaor en*on"rado de x ! em ,&a,&er das e,&a<es! de"erminado y :

8 + y = 10 y = 10 - 8 y = 2 so&#o do sis"ema é o par ordenado (8! 2) V = D(8! 2)E =ne/uaçGes de 1º grau

nequações de primeiro grau=ntrodução

+enominamos ine/uação toda sentença matem-tica aberta por umadesigualdade.

#s ine)uaçes do 8M grau com uma (ari-(el podem ser escritas numa das seguintes formas:

$ $ $ $ como a e b reais . '"emplos:

-epresentação gráfica de uma ine/uação do 1º grau com duas variáveis9étodo prático

• Substituímos a desigualdade por uma igualdade.• @raçamos a reta no plano cartesiano.• 'scolhemos um ponto au"iliar, de preferncia o ponto A9, 9B e (erificamos se o mesmo

satisfa ou não a desigualdade inicial.

'm caso positi(o, a solução da ine)uação corresponde ao semiplano ao )ual pertence opontoau"iliar. 'm caso negati(o, a solução da ine)uação corresponde ao semiplano oposto a)uele ao)ual pertence o ponto au"iliar. '"emplos:

• 1epresentamos graficamente a ine)uação

Aabela x T A x , # B

9 * A9, *B

% 9 A%, 9B

Substituindo o ponto auiliar A9, 9B na ine)uaçãoerificamos:



A<firmativa positiva, o ponto auiliar satisfa a ine/uaçãoB # solução da ine)uação corresponde ao semiplano ao )ual pertence o ponto au"iliar A9, 9B.

nequações de primeiro grau

-esolução Jráfica de um ;istema de =ne/uaçGes do 1º grau ara resol(er um sistema de ine)uaçes do 8M grau graficamente, de(emos:

• traçar num mesmo plano o gr-fico de cada ine)uação;• determinar a região correspondente < intersecção dos dois semiplanos. '"emplos:

• + a resolução gr-fica do sistema:;olução

@raçando as retas = x & # ' * e 3 x D %# ? 5.

Aabela

x # A x , # B

9 * A9, *B

=* 9 A=*, 9B

Aabela

x # A x , # B

9 3 A9, 3B

8 3G% A8, 3G%B

Jráfico

-adiciação

9adiciação :otenciação de -adicais Obser(ando as potencias, temos )ue:

+e modo geral, para se ele(ar um radical a um dado e"poente, basta ele(ar o radicando<)uele e"poente. '"emplos:

Divisão de -adicais

Segundo as propriedades dos radicais, temos )ue:



+e um modo geral, na di(isão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e di(idimos

os radicais: '"emplos:

: ?Se os radicais forem diferentes, de(emos redui=los ao mesmo índice e depois efetue a

operação. '"emplos:

9acionali:ação de denominadores

Considere a fração: )ue seu denominador é um número irracional.

amos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo umafração e)ui(alente:

Obser(e )ue a fração e)ui(alente possui um denominador racional. # essa transformação, damos o nome de racionali0ação de denomindores. # racionaliação de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração comdenominador racional, e)ui(alente a uma anterior, )ue possuía um ou mais radicais em seudenominador.

ara racionaliar o denominador de uma fração de(emos multiplicar os termos desta fração por uma e"pressão com radical, denominado fator racionaliante, de modo a obter uma no(afração e)ui(alente com denominador sem radical. :rincipais casos de racionali0ação*1º 4aso* 8 denominador é um radical de Bndice 2* (emplos*

é o fator racionaliante de , pois . ? ? a 2º 4aso* 8 denominador é um radical de Bndice diferente de 2 (emplos*

é o fator racionaliante de



é o fator racionaliante de:otKncia com epoente racional

Obser(e as seguintes igualdades:



ou2gualmente podemos transformar uma potncia com e"poente fracion-rio em um radical.

+e modo geral, definimos:

, com a 1,m,n, &, a F9, nF9, mF9odemos também transformar um radical com e"poente fracion-rio:

ropriedade das potncias com e"poentes racionais #s propriedades das potncias com e"poentes racionais são as mesmas para os e"poentesinteiros.Sendo a e b números reais e positi(os e os e"poentes números racionais, temos )ue:

'"emplo:

9a:ões B ntroduçãoamos considerar um carro de corrida com !m de comprimento e um Uart com 2m de comprimento. aracompararmos as medidas dos carros, basta di(idir o comprimento de um deles pelo outro. #ssim:

Ao tamanho do carro de corrida é duas (ees o tamanho do UartB.

odemos afirmar também )ue o Uart tem a metade do comprimento do carro de corrida.

# comparação entre dois números racionais, atra(és de uma di(isão, chama=se ra0ão.

# raão pode também ser representada por 8:% e significa )ue cada metro do Uart corresponde a %m docarro de corrida.

+enominamos de ra0ão entre dois números a e b Ab diferente de eroB

o )uociente ou a:b.

# pala(ra ra0ão, (em do latim ratio, e significa Jdi(isãoJ. Como no e"emplo anterior, são di(ersas assituaçes em )ue utiliamos o conceito de raão. '"emplos:

• +os 8%99 inscritos num concurso, passaram %*9 candidatos.1aão dos candidatos apro(ados nesse concurso:



Ade cada 4 candidatos inscritos, 8 foi apro(adoB.•

ara cada 899 con(idados, 64 eram mulheres.1aão entre o número de mulheres e o número de con(idados:

Ade cada * con(idados, 3 eram mulheresB.

Obser(açes: 8B # raão entre dois números racionais pode ser apresentada de trs formas. '"emplo:

1aão entre 8 e *: 8:* ou ou 9,%4.

%B # raão entre dois números racionais pode ser e"pressa com sinal negati(o, desde )ue seus termostenham sinais contr-rios. '"emplos:

# raão entre 8 e =$ é .

# raão entre é .

ermos de uma ra:ão

Obser(e a raão:

Al=se Ja est- para bJ ou Ja para bJB.

&a raão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b édenominado conse/uente. e!a o e"emplo:

3:4 ?

Veitura da raão: ( est) para * ou ( para * .

9a:ões inversas

Considere as raes .

Obser(e )ue o produto dessas duas raes é igual a 8, ou se!a, .



&esse caso, podemos afirmar )ue são ra0Ges inversas.

+uas raes são in(ersas entre si )uando o produto delas é igual a 8.

'"emplo:

são raes in(ersas, pois . erifi)ue )ue nas raes in(ersas o antecedente de uma é o conse)uente da outra, e (ice=(ersa.

Obser(açes: 8B 0ma raão de antecedente ero não possui in(ersa. %B ara determinar a raão in(ersa de uma raão dada, de(emos permutar AtrocarB os seus termos.

'"emplo: O in(erso de .

9a:ões equivalentes+ada uma raão entre dois números, obtemos uma raão e)ui(alente da seguinte maneira:

Iultiplicando=se ou di(idindo=se os termos de uma raão por um mesmo númeroracional Adiferente de eroB, obtemos uma ra0ão e/uivalente.

'"emplos:

são ra0Ges e/uivalentes.

são ra0Ges e/uivalentes.9a:ões entre grande:as da mesma esp#cie O conceito é o seguinte:

+enomina=se raão entre grandeas de mesma espécie o )uociente entre os números )uee"pressam as medidas dessas grandeas numa mesma unidade.

'"emplos:

1) Calcular a raão entre a altura de dois anes, sabendo )ue o primeiro possui uma altura h8? 8,%9m e o

segundo possui uma altura h%? 8,49m. # raão entre as alturas h8 e h% é dada por:

2) +eterminar a raão entre as -reas das superfícies das )uadras de (Wlei e bas)uete, sabendo )ue a)uadra de (Wlei possui uma -rea de 85%m% e a de bas)uete possui uma -rea de %*9m%.

1aão entre as -rea da )uadra de (Wlei e bas)uete: .9a:ões entre grande:as de esp#cies diferentes

O conceito é o seguinte:

ara determinar a raão entre duas grandeas de espécies diferentes, determina=se o)uociente entre as medidas dessas grandeas. 'ssa raão de(e ser acompanhada da

notação )ue relaciona as grandeas en(ol(idas.

'"emplos: 1) 4onsumo médio*



• Xeatri foi de São aulo a Campinas A7%YmB no seu carro. oram gastos nesse percurso $ litros decombustí(el. Nual a raão entre a distZncia e o combustí(el consumido/ O )ue significa essaraão/ ;olução*

1aão ?

1aão ? Al=se J88,4 )uilWmetros por litroJB. 'ssa raão significa )ue a cada litro consumido foram percorridos em média 88,4 Um.

2) >elocidade média*• Ioacir fe o percurso 1io=São aulo A*49YmB em 4 horas. Nual a raão entre a medida dessas

grandeas/ O )ue significa essa raão/;olução*

1aão ?1aão ? 90 km/h Al=se J79 )uilWmetros por horaJB.

'ssa raão significa )ue a cada hora foram percorridos em média 79 Um.

) Densidade demográfica*• O estado do Cear- no último censo te(e uma população a(aliada em 5.698.7%* habitantes. Sua -rea é

de 8*4.57* Um%. +etermine a raão entre o número de habitantes e a -rea desse estado. O )uesignifica essa raão/;olução*

1aão ?1aão ? 46 hab/km2 Al=se J*5 habitantes por )uilWmetro )uadradoJB.

'ssa raão significa )ue em cada )uilWmetro )uadrado e"istem em média *5 habitantes.

!) Densidade absoluta ou massa especBfica*• 0m cubo de ferro de 8cm de aresta tem massa igual a 6,$g. +etermine a raão entre a massa e o

(olume desse corpo. O )ue significa essa raão/;olução*

olume ? 8cm . 8cm . 8cm ? 8cm3

1aão ?1aão ? 7,8 g/cm3 Al=se J6,$ gramas por centímetro cúbicoJB.

'ssa raão significa )ue 8cm3 de ferro pesa 6,$g.

"roporções B ntrodução1ogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. 1ogerião pesa 8%9Ug, e seu cão, *9Ug. Claudinho, porsua (e, pesa *$Ug, e seu cão, 85Ug. Obser(e a raão entre o peso dos dois rapaes:

Obser(e, agora, a raão entre o peso dos cachorros:

erificamos )ue as duas raes são iguais. &esse caso, podemos afirmar )ue a igualdade éuma proporção. #ssim:

:roporção é uma igualdade entre duas raes.

3lementos de uma proporção



+ados )uatro números racionais a, b, c, d, não=nulos, nessa ordem, diemos )ue eles formam uma proporção)uando a raão do 8M para o %M for igual < raão do 3M para o *M. #ssim:

ou a:b'c:d

Al=se Ja est- para b assim como c est- para d JB

Os números a$ b$ c e d são os termos da proporção, sendo:

b e c os meios da proporção. "ropriedade fundamental das proporções

Obser(e as seguintes proporçes:

roduto dos meios ? *.39 ? 8%9roduto dos e"tremos ? 3.*9 ? 8%9

roduto dos meios ? 7.%9 ? 8$9roduto dos e"tremos ? *.*4 ? 8$9

roduto dos meios ? $.*4 ? 359roduto dos e"tremos ? 4.6% ? 359

+e modo geral, temos )ue:

+aí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporçes:

'm toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos e"tremos.

• "ropriedade fundamental das proporções• Obser(e as seguintes proporçes:

roduto dos meios ? *.39 ? 8%9roduto dos e"tremos ? 3.*9 ? 8%9

roduto dos meios ? 7.%9 ? 8$9roduto dos e"tremos ? *.*4 ? 8$9

roduto dos meios ? $.*4 ? 359roduto dos e"tremos ? 4.6% ? 359

• +e modo geral, temos )ue:

• +aí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporçes:

'm toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos e"tremos.

•

• a e d os etremos da proporção.

'"emplo:



+ada a proporção , temos: Veitura: 3 est- para * assim como %6 est- para 35. +eios: * e %6 Extremos: 3 e 35

Aplicações da propriedade fundamentalDeterminação do termo descon.ecido de uma proporção

'"emplos:

• +etermine o (alor de " na proporção:

;olução*

* . x ' , . -* Aaplicando a propriedade fundamentalB * . x ' -/

x ' 0 Vogo, o (alor de x é %*.

• +etermine o (alor de " na proporção:

;olução*

* . 1x!(2 ' 0 . 1x&-2 Aaplicando a propriedade fundamentalB *x ! -* ' ,x & 0 *x ! ,x ' 0 & -* !(x ' -3

(x ' !-3

x '

Vogo, o (alor de x é .

• Os números 4, $, 34 e " formam, nessa ordem, uma proporção. +etermine o (alor de ".

;olução*

Aaplicando a propriedade fundamentalB * . x ' , . (* *x ' ,/

x ' *4

Vogo, o (alor de x é 45.

-esolução de problemas envolvendo proporçGes '"emplo:

• &uma salina, de cada metro cúbico Am3B de -gua salgada, são retirados *9 dm3 de sal. ara obtermos

% m

3

de sal, )uantos metros cúbicos de -gua salgada são necess-rios/

;olução*



# )uantidade de sal retirada é proporcional ao (olume de -gua salgada. 2ndicamos por " a )uantidade de -gua salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Vembre=se )ue *9dm3 ? 9,9*m3.

Aaplicando a propriedade fundamentalB - . ' /$/0 . x /$/0x '

x ' */ m3

Vogo, são necess-rios 49 m3 de -gua salgada.

Duarta proporcional+ados trs números racionais a$ b e c , não=nulos, denomina=se /uarta proporcional desses números umnúmero x tal )ue:

'"emplo:

• +etermine a )uarta proporcional dos números $, 8% e 5.

;olução* 2ndicamos por " a )uarta proporcional e armamos a proporção:

Aaplicando a propriedade fundamentalB , . x ' - . 4

, . x ' 5

x ' 3

Vogo, a )uarta proporcional é 7.

"roporção cont2nua

Considere a seguinte proporção:Obser(e )ue os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contBnua. #ssim:

roporção contínua é toda a proporção )ue apresenta os meios iguais.

+e um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Aerceira proporcional +ados dois números naturais a e b, não=nulos, denomina=se terceira proporcional desses números onúmero x tal )ue:

'"emplo: +etermine a terceira proporcional dos números %9 e 89. ;olução

2ndicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:



Aaplicando a propriedade fundamentalB / . x ' -/ . -/ /x ' -//

x ' *

Vogo, a terceira proporcional é 4.

9édia geométrica ou média proporcional

+ada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou médiaproporcionalentre a e c . '"emplo:

• +etermine a média geométrica positi(a entre 4 e %9.;olução*

* . / ' b . b

-// ' b

b ' -//

b 'b ' -/

Vogo, a média geométrica positi(a é 89.

"ropriedades das proporções1L propriedade*

&uma proporção, a soma dos dois primeiros termos est- para o %M Aou 8MB termo,assim como a soma dos dois últimos est- para o *M Aou 3MB.

Demonstração Considere as proporçes:

#dicionando 8 a cada membro obtemos:

'"emplo:

• +etermine " e T na proporção , sabendo )ue "DT?$*.;olução*

#ssim:



x&# ' ,0 '6 x ' ,0!# '6 x ' ,0!0, '6 x'(4.

Vogo, x'(4 e #'0, .

2L propriedade*

&uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos est- para o %M Aou 8MB termo,assim como a diferença dos dois últimos est- para o *M Aou 3MB.

Demonstração Considere as proporçes:

Subtraindo 8 a cada membro obtemos:

(I&". os 2 mem'rospor -1)

'"emplo:

• Sabendo=se )ue x!#'-, , determine x e # na proporção .

;olução*

ela %E propriedade temos )ue:

x!# ' -, '6 x'-,&# '6 x ' -,&- '6 x'(/.

Vogo, "?39 e T?8%.

L propriedade*

&uma proporção, a soma dos antecedentes est- para a soma dos conse)uentes,assim como cada antecedente est- para o seu conse)uente.

Demonstração

Considere a proporção:

ermutando os meios, temos:

#plicando a 8E propriedade, obtemos:

ermutando os meios, finalmente obtemos:



!L propriedade*

&uma proporção, a diferença dos antecedentes est- para a diferença dos conse)uentes,assim como cada antecedente est- para o seu conse)uente.

Demonstração Considere a proporção:

ermutando os meios, temos:

#plicando a %E propriedade, obtemos:

ermutando os meios, finalmente obtemos:

'"emplo:

• Sabendo )ue a!b ' !0, determine a e b na proporção .;olução*

ela *E propriedade, temos )ue:

"L propriedade*

&uma proporção, o produto dos antecedentes est- para o produto dos conse)uentes,assim como o )uadrado de cada antecedente est- para )uadrado do seu conse)uente.

Demonstração Considere a proporção:

Iultiplicando os dois membros por , temos:

#ssim:

Observação: a 4E propriedade pode ser estendida para )ual)uer número de raes. '"emplo:

"roporção múltipla



+enominamos proporção múltipla uma série de raes iguais. #ssim:

é uma proporção múltipla.

+ada a série de raes iguais , de acordo com a 3E e *E propriedade, podemos escre(er:

arismos @omanos

n&mera#o romana é &m sis"ema de n&mera#o ,&e &sa e"ras mai$s*&as! as ,&ais s#oa"ri'&ídos vaores. s aarismos romanos s#o &sados prin*ipamen"e:

• os n$meros de *apí"&os &ma o'ra.

• as *enas de &m "ea"ro.

• os nomes de papas e imperadores.

• a desina#o de *onressos! oimpíadas! assem'eias...

9egras

n&mera#o romana &"iia se"e e"ras mai$s*&as! ,&e *orrespondem aos se&in"es vaores:

<etras 7alores

1

7 5

E 10

< 50

C 100

$ 500

! 1000



empos: JG> = 13 JG> = 33.

Se direi"a de &ma *ira romana se es*reve o&"ra i&a o& menor! o vaor des"a se soma ao vaorda an"erior.

empos:G> = 3JJ> = 21JG>> = 37

e"ra K>K *oo*ada dian"e da KGK o& de KJK! s&'"rai &ma &nidade a e"ra KJK! pre*edendo a e"raKK o& a KCK! es s&'"rai de &nidades e a e"ra KCK! dian"e da K/K o& da KIK! es s&'"rai *em&nidades.

empos:>G = 4>J = 9J = 40JC = 90C/ = 400CI = 900

m nen&m n$mero se pode pLr &ma mesma e"ra mais de "rBs vees se&idas. n"iamen"e sevia as vees a e"ra K>K o& a KJK a"é ,&a"ro vees se&idas.empos:J>>> = 1%J>G = 14

JJJ>>> = %%JJJ>G = %4

e"ra KGK! KK e a K/K n#o podem se d&pi*ar por,&e o&"ras e"ras (KJK! KCK! KIK) represen"amse& vaor d&pi*ado.

empos:J = 10C = 100I = 1.000

Se en"re d&as *iras ,&ais,&er eis"e o&"ra menor! o vaor des"a per"en*er a e"ra se&in"e a ea.

empos:J>J = 19>G = 54CJJ>J = 129

vaor dos n$meros romanos ,&ando m&"ipi*ados por mi! *oo*am-se 'arras orion"ais em*ima dos mesmos.

empos:



Aabela de números romanos de 1 até 1!!%)8 ? 2% ? 223 ? 222* ? 24 ?

5 ? 26 ? 22$ ? 2227 ? 2>89 ? >88 ? >28% ? >2283 ? >2228* ? >284 ? >85 ? >286 ? >228$ ? >22287 ? >2>%9 ? >>%8 ? >>2%% ? >>22%3 ? >>222%* ? >>2%4 ? >>%5 ? >>2%6 ? >>22%$ ? >>222%7 ? >>2>39 ? >>>38 ? >>>23% ? >>>2233 ? >>>2223* ? >>>234 ? >>>35 ? >>>236 ? >>>223$ ? >>>22237 ? >>>2>*9 ? >V*8 ? >V2*% ? >V22*3 ? >V222** ? >V2*4 ? >V*5 ? >V2*6 ? >V22*$ ? >V222*7 ? >V2>49 ? V48 ? V24% ? V2243 ? V2224* ? V244 ? V45 ? V2

46 ? V224$ ? V22247 ? V2>

*$* ? C+V>>>2*$4 ? C+V>>>*$5 ? C+V>>>2*$6 ? C+V>>>22*$$ ? C+V>>>222

*$7 ? C+V>>>2>*79 ? C+>C*78 ? C+>C2*7% ? C+>C22*73 ? C+>C222*7* ? C+>C2*74 ? C+>C*75 ? C+>C2*76 ? C+>C22*7$ ? C+>C222*77 ? C+>C2>499 ? +498 ? +249% ? +22493 ? +22249* ? +2494 ? +495 ? +2496 ? +2249$ ? +222497 ? +2>489 ? +>488 ? +>248% ? +>22483 ? +>22248* ? +>2484 ? +>485 ? +>2486 ? +>2248$ ? +>222487 ? +>2>4%9 ? +>>4%8 ? +>>24%% ? +>>224%3 ? +>>2224%* ? +>>24%4 ? +>>4%5 ? +>>24%6 ? +>>224%$ ? +>>2224%7 ? +>>2>439 ? +>>>438 ? +>>>243% ? +>>>22433 ? +>>>22243* ? +>>>2434 ? +>>>435 ? +>>>2436 ? +>>>2243$ ? +>>>222437 ? +>>>2>

4*9 ? +>V4*8 ? +>V24*% ? +>V22

756 ? CIV>2275$ ? CIV>222757 ? CIV>2>769 ? CIV>>768 ? CIV>>2

76% ? CIV>>22763 ? CIV>>22276* ? CIV>>2764 ? CIV>>765 ? CIV>>2766 ? CIV>>2276$ ? CIV>>222767 ? CIV>>2>7$9 ? CIV>>>7$8 ? CIV>>>27$% ? CIV>>>227$3 ? CIV>>>2227$* ? CIV>>>27$4 ? CIV>>>7$5 ? CIV>>>27$6 ? CIV>>>227$$ ? CIV>>>2227$7 ? CIV>>>2>779 ? CI>C778 ? CI>C277% ? CI>C22773 ? CI>C22277* ? CI>C2774 ? CI>C775 ? CI>C2776 ? CI>C2277$ ? CI>C222777 ? CI>C2>8999 ? I8998 ? I2899% ? I228993 ? I222899* ? I28994 ? I8995 ? I28996 ? I22899$ ? I2228997 ? I2>8989 ? I>8988 ? I>2898% ? I>228983 ? I>222898* ? I>28984 ? I>8985 ? I>28986 ? I>22898$ ? I>2228987 ? I>2>89%9 ? I>>89%8 ? I>>289%% ? I>>22

89%3 ? I>>22289%* ? I>>289%4 ? I>>



59 ? V>58 ? V>25% ? V>2253 ? V>2225* ? V>254 ? V>

55 ? V>256 ? V>225$ ? V>22257 ? V>2>69 ? V>>68 ? V>>26% ? V>>2263 ? V>>2226* ? V>>264 ? V>>65 ? V>>266 ? V>>226$ ? V>>222

67 ? V>>2>$9 ? V>>>$8 ? V>>>2$% ? V>>>22$3 ? V>>>222$* ? V>>>2$4 ? V>>>$5 ? V>>>2$6 ? V>>>22$$ ? V>>>222$7 ? V>>>2>79 ? >C78 ? >C2

7% ? >C2273 ? >C2227* ? >C274 ? >C75 ? >C276 ? >C227$ ? >C22277 ? >C2>899 ? C898 ? C289% ? C22893 ? C22289* ? C2

894 ? C895 ? C2896 ? C2289$ ? C222897 ? C2>889 ? C>888 ? C>288% ? C>22883 ? C>22288* ? C>2884 ? C>885 ? C>2886 ? C>2288$ ? C>222887 ? C>2>

4*3 ? +>V2224** ? +>V24*4 ? +>V4*5 ? +>V24*6 ? +>V224*$ ? +>V222

4*7 ? +>V2>449 ? +V448 ? +V244% ? +V22443 ? +V22244* ? +V2444 ? +V445 ? +V2446 ? +V2244$ ? +V222447 ? +V2>459 ? +V>458 ? +V>2

45% ? +V>22453 ? +V>22245* ? +V>2454 ? +V>455 ? +V>2456 ? +V>2245$ ? +V>222457 ? +V>2>469 ? +V>>468 ? +V>>246% ? +V>>22463 ? +V>>22246* ? +V>>2

464 ? +V>>465 ? +V>>2466 ? +V>>2246$ ? +V>>222467 ? +V>>2>4$9 ? +V>>>4$8 ? +V>>>24$% ? +V>>>224$3 ? +V>>>2224$* ? +V>>>24$4 ? +V>>>4$5 ? +V>>>24$6 ? +V>>>22

4$$ ? +V>>>2224$7 ? +V>>>2>479 ? +>C478 ? +>C247% ? +>C22473 ? +>C22247* ? +>C2474 ? +>C475 ? +>C2476 ? +>C2247$ ? +>C222477 ? +>C2>599 ? +C598 ? +C259% ? +C22

89%5 ? I>>289%6 ? I>>2289%$ ? I>>22289%7 ? I>>2>8939 ? I>>>8938 ? I>>>2

893% ? I>>>228933 ? I>>>222893* ? I>>>28934 ? I>>>8935 ? I>>>28936 ? I>>>22893$ ? I>>>2228937 ? I>>>2>89*9 ? I>V89*8 ? I>V289*% ? I>V2289*3 ? I>V22289** ? I>V2

89*4 ? I>V89*5 ? I>V289*6 ? I>V2289*$ ? I>V22289*7 ? I>V2>8949 ? IV8948 ? IV2894% ? IV228943 ? IV222894* ? IV28944 ? IV8945 ? IV28946 ? IV22

894$ ? IV2228947 ? IV2>8959 ? IV>8958 ? IV>2895% ? IV>228953 ? IV>222895* ? IV>28954 ? IV>8955 ? IV>28956 ? IV>22895$ ? IV>2228957 ? IV>2>8969 ? IV>>

8968 ? IV>>2896% ? IV>>228963 ? IV>>222896* ? IV>>28964 ? IV>>8965 ? IV>>28966 ? IV>>22896$ ? IV>>2228967 ? IV>>2>89$9 ? IV>>>89$8 ? IV>>>289$% ? IV>>>2289$3 ? IV>>>22289$* ? IV>>>289$4 ? IV>>>



8%9 ? C>>8%8 ? C>>28%% ? C>>228%3 ? C>>2228%* ? C>>28%4 ? C>>

8%5 ? C>>28%6 ? C>>228%$ ? C>>2228%7 ? C>>2>839 ? C>>>838 ? C>>>283% ? C>>>22833 ? C>>>22283* ? C>>>2834 ? C>>>835 ? C>>>2836 ? C>>>2283$ ? C>>>222

837 ? C>>>2>8*9 ? C>V8*8 ? C>V28*% ? C>V228*3 ? C>V2228** ? C>V28*4 ? C>V8*5 ? C>V28*6 ? C>V228*$ ? C>V2228*7 ? C>V2>849 ? CV848 ? CV2

84% ? CV22843 ? CV22284* ? CV2844 ? CV845 ? CV2846 ? CV2284$ ? CV222847 ? CV2>859 ? CV>858 ? CV>285% ? CV>22853 ? CV>22285* ? CV>2

854 ? CV>855 ? CV>2856 ? CV>2285$ ? CV>222857 ? CV>2>869 ? CV>>868 ? CV>>286% ? CV>>22863 ? CV>>22286* ? CV>>2864 ? CV>>865 ? CV>>2866 ? CV>>2286$ ? CV>>222867 ? CV>>2>

593 ? +C22259* ? +C2594 ? +C595 ? +C2596 ? +C2259$ ? +C222

597 ? +C2>589 ? +C>588 ? +C>258% ? +C>22583 ? +C>22258* ? +C>2584 ? +C>585 ? +C>2586 ? +C>2258$ ? +C>222587 ? +C>2>5%9 ? +C>>5%8 ? +C>>2

5%% ? +C>>225%3 ? +C>>2225%* ? +C>>25%4 ? +C>>5%5 ? +C>>25%6 ? +C>>225%$ ? +C>>2225%7 ? +C>>2>539 ? +C>>>538 ? +C>>>253% ? +C>>>22533 ? +C>>>22253* ? +C>>>2

534 ? +C>>>535 ? +C>>>2536 ? +C>>>2253$ ? +C>>>222537 ? +C>>>2>5*9 ? +C>V5*8 ? +C>V25*% ? +C>V225*3 ? +C>V2225** ? +C>V25*4 ? +C>V5*5 ? +C>V25*6 ? +C>V22

5*$ ? +C>V2225*7 ? +C>V2>549 ? +CV548 ? +CV254% ? +CV22543 ? +CV22254* ? +CV2544 ? +CV545 ? +CV2546 ? +CV2254$ ? +CV222547 ? +CV2>559 ? +CV>558 ? +CV>255% ? +CV>22

89$5 ? IV>>>289$6 ? IV>>>2289$$ ? IV>>>22289$7 ? IV>>>2>8979 ? I>C8978 ? I>C2

897% ? I>C228973 ? I>C222897* ? I>C28974 ? I>C8975 ? I>C28976 ? I>C22897$ ? I>C2228977 ? I>C2>8899 ? IC8898 ? IC2889% ? IC228893 ? IC222889* ? IC2

8894 ? IC8895 ? IC28896 ? IC22889$ ? IC2228897 ? IC2>8889 ? IC>8888 ? IC>2888% ? IC>228883 ? IC>222888* ? IC>28884 ? IC>8885 ? IC>28886 ? IC>22

888$ ? IC>2228887 ? IC>2>88%9 ? IC>>88%8 ? IC>>288%% ? IC>>2288%3 ? IC>>22288%* ? IC>>288%4 ? IC>>88%5 ? IC>>288%6 ? IC>>2288%$ ? IC>>22288%7 ? IC>>2>8839 ? IC>>>

8838 ? IC>>>2883% ? IC>>>228833 ? IC>>>222883* ? IC>>>28834 ? IC>>>8835 ? IC>>>28836 ? IC>>>22883$ ? IC>>>2228837 ? IC>>>2>88*9 ? IC>V88*8 ? IC>V288*% ? IC>V2288*3 ? IC>V22288** ? IC>V288*4 ? IC>V



8$9 ? CV>>>8$8 ? CV>>>28$% ? CV>>>228$3 ? CV>>>2228$* ? CV>>>28$4 ? CV>>>

8$5 ? CV>>>28$6 ? CV>>>228$$ ? CV>>>2228$7 ? CV>>>2>879 ? C>C878 ? C>C287% ? C>C22873 ? C>C22287* ? C>C2874 ? C>C875 ? C>C2876 ? C>C2287$ ? C>C222

877 ? C>C2>%99 ? CC%98 ? CC2%9% ? CC22%93 ? CC222%9* ? CC2%94 ? CC%95 ? CC2%96 ? CC22%9$ ? CC222%97 ? CC2>%89 ? CC>%88 ? CC>2

%8% ? CC>22%83 ? CC>222%8* ? CC>2%84 ? CC>%85 ? CC>2%86 ? CC>22%8$ ? CC>222%87 ? CC>2>%%9 ? CC>>%%8 ? CC>>2%%% ? CC>>22%%3 ? CC>>222%%* ? CC>>2

%%4 ? CC>>%%5 ? CC>>2%%6 ? CC>>22%%$ ? CC>>222%%7 ? CC>>2>%39 ? CC>>>%38 ? CC>>>2%3% ? CC>>>22%33 ? CC>>>222%3* ? CC>>>2%34 ? CC>>>%35 ? CC>>>2%36 ? CC>>>22%3$ ? CC>>>222%37 ? CC>>>2>

553 ? +CV>22255* ? +CV>2554 ? +CV>555 ? +CV>2556 ? +CV>2255$ ? +CV>222

557 ? +CV>2>569 ? +CV>>568 ? +CV>>256% ? +CV>>22563 ? +CV>>22256* ? +CV>>2564 ? +CV>>565 ? +CV>>2566 ? +CV>>2256$ ? +CV>>222567 ? +CV>>2>5$9 ? +CV>>>5$8 ? +CV>>>2

5$% ? +CV>>>225$3 ? +CV>>>2225$* ? +CV>>>25$4 ? +CV>>>5$5 ? +CV>>>25$6 ? +CV>>>225$$ ? +CV>>>2225$7 ? +CV>>>2>579 ? +C>C578 ? +C>C257% ? +C>C22573 ? +C>C22257* ? +C>C2

574 ? +C>C575 ? +C>C2576 ? +C>C2257$ ? +C>C222577 ? +C>C2>699 ? +CC698 ? +CC269% ? +CC22693 ? +CC22269* ? +CC2694 ? +CC695 ? +CC2696 ? +CC22

69$ ? +CC222697 ? +CC2>689 ? +CC>688 ? +CC>268% ? +CC>22683 ? +CC>22268* ? +CC>2684 ? +CC>685 ? +CC>2686 ? +CC>2268$ ? +CC>222687 ? +CC>2>6%9 ? +CC>>6%8 ? +CC>>26%% ? +CC>>22

88*5 ? IC>V288*6 ? IC>V2288*$ ? IC>V22288*7 ? IC>V2>8849 ? ICV8848 ? ICV2

884% ? ICV228843 ? ICV222884* ? ICV28844 ? ICV8845 ? ICV28846 ? ICV22884$ ? ICV2228847 ? ICV2>8859 ? ICV>8858 ? ICV>2885% ? ICV>228853 ? ICV>222885* ? ICV>2

8854 ? ICV>8855 ? ICV>28856 ? ICV>22885$ ? ICV>2228857 ? ICV>2>8869 ? ICV>>8868 ? ICV>>2886% ? ICV>>228863 ? ICV>>222886* ? ICV>>28864 ? ICV>>8865 ? ICV>>28866 ? ICV>>22

886$ ? ICV>>2228867 ? ICV>>2>88$9 ? ICV>>>88$8 ? ICV>>>288$% ? ICV>>>2288$3 ? ICV>>>22288$* ? ICV>>>288$4 ? ICV>>>88$5 ? ICV>>>288$6 ? ICV>>>2288$$ ? ICV>>>22288$7 ? ICV>>>2>8879 ? IC>C

8878 ? IC>C2887% ? IC>C228873 ? IC>C222887* ? IC>C28874 ? IC>C8875 ? IC>C28876 ? IC>C22887$ ? IC>C2228877 ? IC>C2>8%99 ? ICC8%98 ? ICC28%9% ? ICC228%93 ? ICC2228%9* ? ICC28%94 ? ICC



%*9 ? CC>V%*8 ? CC>V2%*% ? CC>V22%*3 ? CC>V222%** ? CC>V2%*4 ? CC>V

%*5 ? CC>V2%*6 ? CC>V22%*$ ? CC>V222%*7 ? CC>V2>%49 ? CCV%48 ? CCV2%4% ? CCV22%43 ? CCV222%4* ? CCV2%44 ? CCV%45 ? CCV2%46 ? CCV22%4$ ? CCV222

%47 ? CCV2>%59 ? CCV>%58 ? CCV>2%5% ? CCV>22%53 ? CCV>222%5* ? CCV>2%54 ? CCV>%55 ? CCV>2%56 ? CCV>22%5$ ? CCV>222%57 ? CCV>2>%69 ? CCV>>%68 ? CCV>>2

%6% ? CCV>>22%63 ? CCV>>222%6* ? CCV>>2%64 ? CCV>>%65 ? CCV>>2%66 ? CCV>>22%6$ ? CCV>>222%67 ? CCV>>2>%$9 ? CCV>>>%$8 ? CCV>>>2%$% ? CCV>>>22%$3 ? CCV>>>222%$* ? CCV>>>2

%$4 ? CCV>>>%$5 ? CCV>>>2%$6 ? CCV>>>22%$$ ? CCV>>>222%$7 ? CCV>>>2>%79 ? CC>C%78 ? CC>C2%7% ? CC>C22%73 ? CC>C222%7* ? CC>C2%74 ? CC>C%75 ? CC>C2%76 ? CC>C22%7$ ? CC>C222%77 ? CC>C2>

6%3 ? +CC>>2226%* ? +CC>>26%4 ? +CC>>6%5 ? +CC>>26%6 ? +CC>>226%$ ? +CC>>222

6%7 ? +CC>>2>639 ? +CC>>>638 ? +CC>>>263% ? +CC>>>22633 ? +CC>>>22263* ? +CC>>>2634 ? +CC>>>635 ? +CC>>>2636 ? +CC>>>2263$ ? +CC>>>222637 ? +CC>>>2>6*9 ? +CC>V6*8 ? +CC>V2

6*% ? +CC>V226*3 ? +CC>V2226** ? +CC>V26*4 ? +CC>V6*5 ? +CC>V26*6 ? +CC>V226*$ ? +CC>V2226*7 ? +CC>V2>649 ? +CCV648 ? +CCV264% ? +CCV22643 ? +CCV22264* ? +CCV2

644 ? +CCV645 ? +CCV2646 ? +CCV2264$ ? +CCV222647 ? +CCV2>659 ? +CCV>658 ? +CCV>265% ? +CCV>22653 ? +CCV>22265* ? +CCV>2654 ? +CCV>655 ? +CCV>2656 ? +CCV>22

65$ ? +CCV>222657 ? +CCV>2>669 ? +CCV>>668 ? +CCV>>266% ? +CCV>>22663 ? +CCV>>22266* ? +CCV>>2664 ? +CCV>>665 ? +CCV>>2666 ? +CCV>>2266$ ? +CCV>>222667 ? +CCV>>2>6$9 ? +CCV>>>6$8 ? +CCV>>>26$% ? +CCV>>>22

8%95 ? ICC28%96 ? ICC228%9$ ? ICC2228%97 ? ICC2>8%89 ? ICC>8%88 ? ICC>2

8%8% ? ICC>228%83 ? ICC>2228%8* ? ICC>28%84 ? ICC>8%85 ? ICC>28%86 ? ICC>228%8$ ? ICC>2228%87 ? ICC>2>8%%9 ? ICC>>8%%8 ? ICC>>28%%% ? ICC>>228%%3 ? ICC>>2228%%* ? ICC>>2

8%%4 ? ICC>>8%%5 ? ICC>>28%%6 ? ICC>>228%%$ ? ICC>>2228%%7 ? ICC>>2>8%39 ? ICC>>>8%38 ? ICC>>>28%3% ? ICC>>>228%33 ? ICC>>>2228%3* ? ICC>>>28%34 ? ICC>>>8%35 ? ICC>>>28%36 ? ICC>>>22

8%3$ ? ICC>>>2228%37 ? ICC>>>2>8%*9 ? ICC>V8%*8 ? ICC>V28%*% ? ICC>V228%*3 ? ICC>V2228%** ? ICC>V28%*4 ? ICC>V8%*5 ? ICC>V28%*6 ? ICC>V228%*$ ? ICC>V2228%*7 ? ICC>V2>8%49 ? ICCV

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399 ? CCC398 ? CCC239% ? CCC22393 ? CCC22239* ? CCC2394 ? CCC

395 ? CCC2396 ? CCC2239$ ? CCC222397 ? CCC2>389 ? CCC>388 ? CCC>238% ? CCC>22383 ? CCC>22238* ? CCC>2384 ? CCC>385 ? CCC>2386 ? CCC>2238$ ? CCC>222

387 ? CCC>2>3%9 ? CCC>>3%8 ? CCC>>23%% ? CCC>>223%3 ? CCC>>2223%* ? CCC>>23%4 ? CCC>>3%5 ? CCC>>23%6 ? CCC>>223%$ ? CCC>>2223%7 ? CCC>>2>339 ? CCC>>>338 ? CCC>>>2

33% ? CCC>>>22333 ? CCC>>>22233* ? CCC>>>2334 ? CCC>>>335 ? CCC>>>2336 ? CCC>>>2233$ ? CCC>>>222337 ? CCC>>>2>3*9 ? CCC>V3*8 ? CCC>V23*% ? CCC>V223*3 ? CCC>V2223** ? CCC>V2

3*4 ? CCC>V3*5 ? CCC>V23*6 ? CCC>V223*$ ? CCC>V2223*7 ? CCC>V2>349 ? CCCV348 ? CCCV234% ? CCCV22343 ? CCCV22234* ? CCCV2344 ? CCCV345 ? CCCV2346 ? CCCV2234$ ? CCCV222347 ? CCCV2>

6$3 ? +CCV>>>2226$* ? +CCV>>>26$4 ? +CCV>>>6$5 ? +CCV>>>26$6 ? +CCV>>>226$$ ? +CCV>>>222

6$7 ? +CCV>>>2>679 ? +CC>C678 ? +CC>C267% ? +CC>C22673 ? +CC>C22267* ? +CC>C2674 ? +CC>C675 ? +CC>C2676 ? +CC>C2267$ ? +CC>C222677 ? +CC>C2>$99 ? +CCC$98 ? +CCC2

$9% ? +CCC22$93 ? +CCC222$9* ? +CCC2$94 ? +CCC$95 ? +CCC2$96 ? +CCC22$9$ ? +CCC222$97 ? +CCC2>$89 ? +CCC>$88 ? +CCC>2$8% ? +CCC>22$83 ? +CCC>222$8* ? +CCC>2

$84 ? +CCC>$85 ? +CCC>2$86 ? +CCC>22$8$ ? +CCC>222$87 ? +CCC>2>$%9 ? +CCC>>$%8 ? +CCC>>2$%% ? +CCC>>22$%3 ? +CCC>>222$%* ? +CCC>>2$%4 ? +CCC>>$%5 ? +CCC>>2$%6 ? +CCC>>22

$%$ ? +CCC>>222$%7 ? +CCC>>2>$39 ? +CCC>>>$38 ? +CCC>>>2$3% ? +CCC>>>22$33 ? +CCC>>>222$3* ? +CCC>>>2$34 ? +CCC>>>$35 ? +CCC>>>2$36 ? +CCC>>>22$3$ ? +CCC>>>222$37 ? +CCC>>>2>$*9 ? +CCC>V$*8 ? +CCC>V2$*% ? +CCC>V22

8%55 ? ICCV>28%56 ? ICCV>228%5$ ? ICCV>2228%57 ? ICCV>2>8%69 ? ICCV>>8%68 ? ICCV>>2

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8%$4 ? ICCV>>>8%$5 ? ICCV>>>28%$6 ? ICCV>>>228%$$ ? ICCV>>>2228%$7 ? ICCV>>>2>8%79 ? ICC>C8%78 ? ICC>C28%7% ? ICC>C228%73 ? ICC>C2228%7* ? ICC>C28%74 ? ICC>C8%75 ? ICC>C28%76 ? ICC>C22

8%7$ ? ICC>C2228%77 ? ICC>C2>8399 ? ICCC8398 ? ICCC2839% ? ICCC228393 ? ICCC222839* ? ICCC28394 ? ICCC8395 ? ICCC28396 ? ICCC22839$ ? ICCC2228397 ? ICCC2>8389 ? ICCC>

8388 ? ICCC>2838% ? ICCC>228383 ? ICCC>222838* ? ICCC>28384 ? ICCC>8385 ? ICCC>28386 ? ICCC>22838$ ? ICCC>2228387 ? ICCC>2>83%9 ? ICCC>>83%8 ? ICCC>>283%% ? ICCC>>2283%3 ? ICCC>>22283%* ? ICCC>>283%4 ? ICCC>>



359 ? CCCV>358 ? CCCV>235% ? CCCV>22353 ? CCCV>22235* ? CCCV>2354 ? CCCV>

355 ? CCCV>2356 ? CCCV>2235$ ? CCCV>222357 ? CCCV>2>369 ? CCCV>>368 ? CCCV>>236% ? CCCV>>22363 ? CCCV>>22236* ? CCCV>>2364 ? CCCV>>365 ? CCCV>>2366 ? CCCV>>2236$ ? CCCV>>222

367 ? CCCV>>2>3$9 ? CCCV>>>3$8 ? CCCV>>>23$% ? CCCV>>>223$3 ? CCCV>>>2223$* ? CCCV>>>23$4 ? CCCV>>>3$5 ? CCCV>>>23$6 ? CCCV>>>223$$ ? CCCV>>>2223$7 ? CCCV>>>2>379 ? CCC>C378 ? CCC>C2

37% ? CCC>C22373 ? CCC>C22237* ? CCC>C2374 ? CCC>C375 ? CCC>C2376 ? CCC>C2237$ ? CCC>C222377 ? CCC>C2>*99 ? C+*98 ? C+2*9% ? C+22*93 ? C+222*9* ? C+2

*94 ? C+*95 ? C+2*96 ? C+22*9$ ? C+222*97 ? C+2>*89 ? C+>*88 ? C+>2*8% ? C+>22*83 ? C+>222*8* ? C+>2*84 ? C+>*85 ? C+>2*86 ? C+>22*8$ ? C+>222*87 ? C+>2>

$*3 ? +CCC>V222$** ? +CCC>V2$*4 ? +CCC>V$*5 ? +CCC>V2$*6 ? +CCC>V22$*$ ? +CCC>V222

$*7 ? +CCC>V2>$49 ? +CCCV$48 ? +CCCV2$4% ? +CCCV22$43 ? +CCCV222$4* ? +CCCV2$44 ? +CCCV$45 ? +CCCV2$46 ? +CCCV22$4$ ? +CCCV222$47 ? +CCCV2>$59 ? +CCCV>$58 ? +CCCV>2

$5% ? +CCCV>22$53 ? +CCCV>222$5* ? +CCCV>2$54 ? +CCCV>$55 ? +CCCV>2$56 ? +CCCV>22$5$ ? +CCCV>222$57 ? +CCCV>2>$69 ? +CCCV>>$68 ? +CCCV>>2$6% ? +CCCV>>22$63 ? +CCCV>>222$6* ? +CCCV>>2

$64 ? +CCCV>>$65 ? +CCCV>>2$66 ? +CCCV>>22$6$ ? +CCCV>>222$67 ? +CCCV>>2>$$9 ? +CCCV>>>$$8 ? +CCCV>>>2$$% ? +CCCV>>>22$$3 ? +CCCV>>>222$$* ? +CCCV>>>2$$4 ? +CCCV>>>$$5 ? +CCCV>>>2$$6 ? +CCCV>>>22

$$$ ? +CCCV>>>222$$7 ? +CCCV>>>2>$79 ? +CCC>C$78 ? +CCC>C2$7% ? +CCC>C22$73 ? +CCC>C222$7* ? +CCC>C2$74 ? +CCC>C$75 ? +CCC>C2$76 ? +CCC>C22$7$ ? +CCC>C222$77 ? +CCC>C2>799 ? CI798 ? CI279% ? CI22

83%5 ? ICCC>>283%6 ? ICCC>>2283%$ ? ICCC>>22283%7 ? ICCC>>2>8339 ? ICCC>>>8338 ? ICCC>>>2

833% ? ICCC>>>228333 ? ICCC>>>222833* ? ICCC>>>28334 ? ICCC>>>8335 ? ICCC>>>28336 ? ICCC>>>22833$ ? ICCC>>>2228337 ? ICCC>>>2>83*9 ? ICCC>V83*8 ? ICCC>V283*% ? ICCC>V2283*3 ? ICCC>V22283** ? ICCC>V2

83*4 ? ICCC>V83*5 ? ICCC>V283*6 ? ICCC>V2283*$ ? ICCC>V22283*7 ? ICCC>V2>8349 ? ICCCV8348 ? ICCCV2834% ? ICCCV228343 ? ICCCV222834* ? ICCCV28344 ? ICCCV8345 ? ICCCV28346 ? ICCCV22

834$ ? ICCCV2228347 ? ICCCV2>8359 ? ICCCV>8358 ? ICCCV>2835% ? ICCCV>228353 ? ICCCV>222835* ? ICCCV>28354 ? ICCCV>8355 ? ICCCV>28356 ? ICCCV>22835$ ? ICCCV>2228357 ? ICCCV>2>8369 ? ICCCV>>

8368 ? ICCCV>>2836% ? ICCCV>>228363 ? ICCCV>>222836* ? ICCCV>>28364 ? ICCCV>>8365 ? ICCCV>>28366 ? ICCCV>>22836$ ? ICCCV>>2228367 ? ICCCV>>2>83$9 ? ICCCV>>>83$8 ? ICCCV>>>283$% ? ICCCV>>>2283$3 ? ICCCV>>>22283$* ? ICCCV>>>283$4 ? ICCCV>>>



*%9 ? C+>>*%8 ? C+>>2*%% ? C+>>22*%3 ? C+>>222*%* ? C+>>2*%4 ? C+>>

*%5 ? C+>>2*%6 ? C+>>22*%$ ? C+>>222*%7 ? C+>>2>*39 ? C+>>>*38 ? C+>>>2*3% ? C+>>>22*33 ? C+>>>222*3* ? C+>>>2*34 ? C+>>>*35 ? C+>>>2*36 ? C+>>>22*3$ ? C+>>>222

*37 ? C+>>>2>**9 ? C+>V**8 ? C+>V2**% ? C+>V22**3 ? C+>V222*** ? C+>V2**4 ? C+>V**5 ? C+>V2**6 ? C+>V22**$ ? C+>V222**7 ? C+>V2>*49 ? C+V*48 ? C+V2

*4% ? C+V22*43 ? C+V222*4* ? C+V2*44 ? C+V*45 ? C+V2*46 ? C+V22*4$ ? C+V222*47 ? C+V2>*59 ? C+V>*58 ? C+V>2*5% ? C+V>22*53 ? C+V>222*5* ? C+V>2

*54 ? C+V>*55 ? C+V>2*56 ? C+V>22*5$ ? C+V>222*57 ? C+V>2>*69 ? C+V>>*68 ? C+V>>2*6% ? C+V>>22*63 ? C+V>>222*6* ? C+V>>2*64 ? C+V>>*65 ? C+V>>2*66 ? C+V>>22*6$ ? C+V>>222*67 ? C+V>>2>

793 ? CI22279* ? CI2794 ? CI795 ? CI2796 ? CI2279$ ? CI222

797 ? CI2>789 ? CI>788 ? CI>278% ? CI>22783 ? CI>22278* ? CI>2784 ? CI>785 ? CI>2786 ? CI>2278$ ? CI>222787 ? CI>2>7%9 ? CI>>7%8 ? CI>>2

7%% ? CI>>227%3 ? CI>>2227%* ? CI>>27%4 ? CI>>7%5 ? CI>>27%6 ? CI>>227%$ ? CI>>2227%7 ? CI>>2>739 ? CI>>>738 ? CI>>>273% ? CI>>>22733 ? CI>>>22273* ? CI>>>2

734 ? CI>>>735 ? CI>>>2736 ? CI>>>2273$ ? CI>>>222737 ? CI>>>2>7*9 ? CI>V7*8 ? CI>V27*% ? CI>V227*3 ? CI>V2227** ? CI>V27*4 ? CI>V7*5 ? CI>V27*6 ? CI>V22

7*$ ? CI>V2227*7 ? CI>V2>749 ? CIV748 ? CIV274% ? CIV22743 ? CIV22274* ? CIV2744 ? CIV745 ? CIV2746 ? CIV2274$ ? CIV222747 ? CIV2>759 ? CIV>758 ? CIV>275% ? CIV>22

83$5 ? ICCCV>>>283$6 ? ICCCV>>>2283$$ ? ICCCV>>>22283$7 ? ICCCV>>>2>8379 ? ICCC>C8378 ? ICCC>C2

837% ? ICCC>C228373 ? ICCC>C222837* ? ICCC>C28374 ? ICCC>C8375 ? ICCC>C28376 ? ICCC>C22837$ ? ICCC>C2228377 ? ICCC>C2>8*99 ? IC+8*98 ? IC+28*9% ? IC+228*93 ? IC+2228*9* ? IC+2

8*94 ? IC+8*95 ? IC+28*96 ? IC+228*9$ ? IC+2228*97 ? IC+2>8*89 ? IC+>8*88 ? IC+>28*8% ? IC+>228*83 ? IC+>2228*8* ? IC+>28*84 ? IC+>8*85 ? IC+>28*86 ? IC+>22

8*8$ ? IC+>2228*87 ? IC+>2>8*%9 ? IC+>>8*%8 ? IC+>>28*%% ? IC+>>228*%3 ? IC+>>2228*%* ? IC+>>28*%4 ? IC+>>8*%5 ? IC+>>28*%6 ? IC+>>228*%$ ? IC+>>2228*%7 ? IC+>>2>8*39 ? IC+>>>

8*38 ? IC+>>>28*3% ? IC+>>>228*33 ? IC+>>>2228*3* ? IC+>>>28*34 ? IC+>>>8*35 ? IC+>>>28*36 ? IC+>>>228*3$ ? IC+>>>2228*37 ? IC+>>>2>8**9 ? IC+>V8**8 ? IC+>V28**% ? IC+>V228**3 ? IC+>V2228*** ? IC+>V28**4 ? IC+>V



*$9 ? C+V>>>*$8 ? C+V>>>2*$% ? C+V>>>22*$3 ? C+V>>>222

753 ? CIV>22275* ? CIV>2754 ? CIV>755 ? CIV>2

8**5 ? IC+>V28**6 ? IC+>V228**$ ? IC+>V2228**7 ? IC+>V2>

Aabela de números romanos de 1!"& até 21&&)

8*49 ? IC+V8*48 ? IC+V28*4% ? IC+V228*43 ? IC+V2228*4* ? IC+V28*44 ? IC+V8*45 ? IC+V28*46 ? IC+V228*4$ ? IC+V2228*47 ? IC+V2>8*59 ? IC+V>8*58 ? IC+V>28*5% ? IC+V>22

8*53 ? IC+V>2228*5* ? IC+V>28*54 ? IC+V>8*55 ? IC+V>28*56 ? IC+V>228*5$ ? IC+V>2228*57 ? IC+V>2>8*69 ? IC+V>>8*68 ? IC+V>>28*6% ? IC+V>>228*63 ? IC+V>>2228*6* ? IC+V>>28*64 ? IC+V>>

8*65 ? IC+V>>28*66 ? IC+V>>228*6$ ? IC+V>>2228*67 ? IC+V>>2>8*$9 ? IC+V>>>8*$8 ? IC+V>>>28*$% ? IC+V>>>228*$3 ? IC+V>>>2228*$* ? IC+V>>>28*$4 ? IC+V>>>8*$5 ? IC+V>>>28*$6 ? IC+V>>>228*$$ ? IC+V>>>222

8*$7 ? IC+V>>>2>8*79 ? IC+>C8*78 ? IC+>C28*7% ? IC+>C228*73 ? IC+>C2228*7* ? IC+>C28*74 ? IC+>C8*75 ? IC+>C28*76 ? IC+>C228*7$ ? IC+>C2228*77 ? IC+>C2>8499 ? I+8498 ? I+2

849% ? I+228493 ? I+222

855$ ? I+CV>2228557 ? I+CV>2>8569 ? I+CV>>8568 ? I+CV>>2856% ? I+CV>>228563 ? I+CV>>222856* ? I+CV>>28564 ? I+CV>>8565 ? I+CV>>28566 ? I+CV>>22856$ ? I+CV>>2228567 ? I+CV>>2>85$9 ? I+CV>>>

85$8 ? I+CV>>>285$% ? I+CV>>>2285$3 ? I+CV>>>22285$* ? I+CV>>>285$4 ? I+CV>>>85$5 ? I+CV>>>285$6 ? I+CV>>>2285$$ ? I+CV>>>22285$7 ? I+CV>>>2>8579 ? I+C>C8578 ? I+C>C2857% ? I+C>C228573 ? I+C>C222

857* ? I+C>C28574 ? I+C>C8575 ? I+C>C28576 ? I+C>C22857$ ? I+C>C2228577 ? I+C>C2>8699 ? I+CC8698 ? I+CC2869% ? I+CC228693 ? I+CC222869* ? I+CC28694 ? I+CC8695 ? I+CC2

8696 ? I+CC22869$ ? I+CC2228697 ? I+CC2>8689 ? I+CC>8688 ? I+CC>2868% ? I+CC>228683 ? I+CC>222868* ? I+CC>28684 ? I+CC>8685 ? I+CC>28686 ? I+CC>22868$ ? I+CC>2228687 ? I+CC>2>

86%9 ? I+CC>>86%8 ? I+CC>>2

8$$5 ? I+CCCV>>>28$$6 ? I+CCCV>>>228$$$ ? I+CCCV>>>2228$$7 ? I+CCCV>>>2>8$79 ? I+CCC>C8$78 ? I+CCC>C28$7% ? I+CCC>C228$73 ? I+CCC>C2228$7* ? I+CCC>C28$74 ? I+CCC>C8$75 ? I+CCC>C28$76 ? I+CCC>C228$7$ ? I+CCC>C222

8$77 ? I+CCC>C2>8799 ? ICI8798 ? ICI2879% ? ICI228793 ? ICI222879* ? ICI28794 ? ICI8795 ? ICI28796 ? ICI22879$ ? ICI2228797 ? ICI2>8789 ? ICI>8788 ? ICI>2

878% ? ICI>228783 ? ICI>222878* ? ICI>28784 ? ICI>8785 ? ICI>28786 ? ICI>22878$ ? ICI>2228787 ? ICI>2>87%9 ? ICI>>87%8 ? ICI>>287%% ? ICI>>2287%3 ? ICI>>22287%* ? ICI>>2

87%4 ? ICI>>87%5 ? ICI>>287%6 ? ICI>>2287%$ ? ICI>>22287%7 ? ICI>>2>8739 ? ICI>>>8738 ? ICI>>>2873% ? ICI>>>228733 ? ICI>>>222873* ? ICI>>>28734 ? ICI>>>8735 ? ICI>>>28736 ? ICI>>>22

873$ ? ICI>>>2228737 ? ICI>>>2>



849* ? I+28494 ? I+8495 ? I+28496 ? I+22849$ ? I+2228497 ? I+2>

8489 ? I+>8488 ? I+>2848% ? I+>228483 ? I+>222848* ? I+>28484 ? I+>8485 ? I+>28486 ? I+>22848$ ? I+>2228487 ? I+>2>84%9 ? I+>>84%8 ? I+>>284%% ? I+>>22

84%3 ? I+>>22284%* ? I+>>284%4 ? I+>>84%5 ? I+>>284%6 ? I+>>2284%$ ? I+>>22284%7 ? I+>>2>8439 ? I+>>>8438 ? I+>>>2843% ? I+>>>228433 ? I+>>>222843* ? I+>>>28434 ? I+>>>

8435 ? I+>>>28436 ? I+>>>22843$ ? I+>>>2228437 ? I+>>>2>84*9 ? I+>V84*8 ? I+>V284*% ? I+>V2284*3 ? I+>V22284** ? I+>V284*4 ? I+>V84*5 ? I+>V284*6 ? I+>V2284*$ ? I+>V222

84*7 ? I+>V2>8449 ? I+V8448 ? I+V2844% ? I+V228443 ? I+V222844* ? I+V28444 ? I+V8445 ? I+V28446 ? I+V22844$ ? I+V2228447 ? I+V2>8459 ? I+V>8458 ? I+V>2845% ? I+V>228453 ? I+V>222

86%% ? I+CC>>2286%3 ? I+CC>>22286%* ? I+CC>>286%4 ? I+CC>>86%5 ? I+CC>>286%6 ? I+CC>>22

86%$ ? I+CC>>22286%7 ? I+CC>>2>8639 ? I+CC>>>8638 ? I+CC>>>2863% ? I+CC>>>228633 ? I+CC>>>222863* ? I+CC>>>28634 ? I+CC>>>8635 ? I+CC>>>28636 ? I+CC>>>22863$ ? I+CC>>>2228637 ? I+CC>>>2>86*9 ? I+CC>V

86*8 ? I+CC>V286*% ? I+CC>V2286*3 ? I+CC>V22286** ? I+CC>V286*4 ? I+CC>V86*5 ? I+CC>V286*6 ? I+CC>V2286*$ ? I+CC>V22286*7 ? I+CC>V2>8649 ? I+CCV8648 ? I+CCV2864% ? I+CCV228643 ? I+CCV222

864* ? I+CCV28644 ? I+CCV8645 ? I+CCV28646 ? I+CCV22864$ ? I+CCV2228647 ? I+CCV2>8659 ? I+CCV>8658 ? I+CCV>2865% ? I+CCV>228653 ? I+CCV>222865* ? I+CCV>28654 ? I+CCV>8655 ? I+CCV>2

8656 ? I+CCV>22865$ ? I+CCV>2228657 ? I+CCV>2>8669 ? I+CCV>>8668 ? I+CCV>>2866% ? I+CCV>>228663 ? I+CCV>>222866* ? I+CCV>>28664 ? I+CCV>>8665 ? I+CCV>>28666 ? I+CCV>>22866$ ? I+CCV>>2228667 ? I+CCV>>2>86$9 ? I+CCV>>>86$8 ? I+CCV>>>2

87*9 ? ICI>V87*8 ? ICI>V287*% ? ICI>V2287*3 ? ICI>V22287** ? ICI>V287*4 ? ICI>V

87*5 ? ICI>V287*6 ? ICI>V2287*$ ? ICI>V22287*7 ? ICI>V2>8749 ? ICIV8748 ? ICIV2874% ? ICIV228743 ? ICIV222874* ? ICIV28744 ? ICIV8745 ? ICIV28746 ? ICIV22874$ ? ICIV222

8747 ? ICIV2>8759 ? ICIV>8758 ? ICIV>2875% ? ICIV>228753 ? ICIV>222875* ? ICIV>28754 ? ICIV>8755 ? ICIV>28756 ? ICIV>22875$ ? ICIV>2228757 ? ICIV>2>8769 ? ICIV>>8768 ? ICIV>>2

876% ? ICIV>>228763 ? ICIV>>222876* ? ICIV>>28764 ? ICIV>>8765 ? ICIV>>28766 ? ICIV>>22876$ ? ICIV>>2228767 ? ICIV>>2>87$9 ? ICIV>>>87$8 ? ICIV>>>287$% ? ICIV>>>2287$3 ? ICIV>>>22287$* ? ICIV>>>2

87$4 ? ICIV>>>87$5 ? ICIV>>>287$6 ? ICIV>>>2287$$ ? ICIV>>>22287$7 ? ICIV>>>2>8779 ? ICI>C8778 ? ICI>C2877% ? ICI>C228773 ? ICI>C222877* ? ICI>C28774 ? ICI>C8775 ? ICI>C28776 ? ICI>C22877$ ? ICI>C2228777 ? ICI>C2>



845* ? I+V>28454 ? I+V>8455 ? I+V>28456 ? I+V>22845$ ? I+V>2228457 ? I+V>2>

8469 ? I+V>>8468 ? I+V>>2846% ? I+V>>228463 ? I+V>>222846* ? I+V>>28464 ? I+V>>8465 ? I+V>>28466 ? I+V>>22846$ ? I+V>>2228467 ? I+V>>2>84$9 ? I+V>>>84$8 ? I+V>>>284$% ? I+V>>>22

84$3 ? I+V>>>22284$* ? I+V>>>284$4 ? I+V>>>84$5 ? I+V>>>284$6 ? I+V>>>2284$$ ? I+V>>>22284$7 ? I+V>>>2>8479 ? I+>C8478 ? I+>C2847% ? I+>C228473 ? I+>C222847* ? I+>C28474 ? I+>C

8475 ? I+>C28476 ? I+>C22847$ ? I+>C2228477 ? I+>C2>8599 ? I+C8598 ? I+C2859% ? I+C228593 ? I+C222859* ? I+C28594 ? I+C8595 ? I+C28596 ? I+C22859$ ? I+C222

8597 ? I+C2>8589 ? I+C>8588 ? I+C>2858% ? I+C>228583 ? I+C>222858* ? I+C>28584 ? I+C>8585 ? I+C>28586 ? I+C>22858$ ? I+C>2228587 ? I+C>2>85%9 ? I+C>>85%8 ? I+C>>285%% ? I+C>>2285%3 ? I+C>>222

86$% ? I+CCV>>>2286$3 ? I+CCV>>>22286$* ? I+CCV>>>286$4 ? I+CCV>>>86$5 ? I+CCV>>>286$6 ? I+CCV>>>22

86$$ ? I+CCV>>>22286$7 ? I+CCV>>>2>8679 ? I+CC>C8678 ? I+CC>C2867% ? I+CC>C228673 ? I+CC>C222867* ? I+CC>C28674 ? I+CC>C8675 ? I+CC>C28676 ? I+CC>C22867$ ? I+CC>C2228677 ? I+CC>C2>8$99 ? I+CCC

8$98 ? I+CCC28$9% ? I+CCC228$93 ? I+CCC2228$9* ? I+CCC28$94 ? I+CCC8$95 ? I+CCC28$96 ? I+CCC228$9$ ? I+CCC2228$97 ? I+CCC2>8$89 ? I+CCC>8$88 ? I+CCC>28$8% ? I+CCC>228$83 ? I+CCC>222

8$8* ? I+CCC>28$84 ? I+CCC>8$85 ? I+CCC>28$86 ? I+CCC>228$8$ ? I+CCC>2228$87 ? I+CCC>2>8$%9 ? I+CCC>>8$%8 ? I+CCC>>28$%% ? I+CCC>>228$%3 ? I+CCC>>2228$%* ? I+CCC>>28$%4 ? I+CCC>>8$%5 ? I+CCC>>2

8$%6 ? I+CCC>>228$%$ ? I+CCC>>2228$%7 ? I+CCC>>2>8$39 ? I+CCC>>>8$38 ? I+CCC>>>28$3% ? I+CCC>>>228$33 ? I+CCC>>>2228$3* ? I+CCC>>>28$34 ? I+CCC>>>8$35 ? I+CCC>>>28$36 ? I+CCC>>>228$3$ ? I+CCC>>>2228$37 ? I+CCC>>>2>8$*9 ? I+CCC>V8$*8 ? I+CCC>V2

%999 ? II%998 ? II2%99% ? II22%993 ? II222%99* ? II2%994 ? II

%995 ? II2%996 ? II22%99$ ? II222%997 ? II2>%989 ? II>%988 ? II>2%98% ? II>22%983 ? II>222%98* ? II>2%984 ? II>%985 ? II>2%986 ? II>22%98$ ? II>222

%987 ? II>2>%9%9 ? II>>%9%8 ? II>>2%9%% ? II>>22%9%3 ? II>>222%9%* ? II>>2%9%4 ? II>>%9%5 ? II>>2%9%6 ? II>>22%9%$ ? II>>222%9%7 ? II>>2>%939 ? II>>>%938 ? II>>>2

%93% ? II>>>22%933 ? II>>>222%93* ? II>>>2%934 ? II>>>%935 ? II>>>2%936 ? II>>>22%93$ ? II>>>222%937 ? II>>>2>%9*9 ? II>V%9*8 ? II>V2%9*% ? II>V22%9*3 ? II>V222%9** ? II>V2

%9*4 ? II>V%9*5 ? II>V2%9*6 ? II>V22%9*$ ? II>V222%9*7 ? II>V2>%949 ? IIV%948 ? IIV2%94% ? IIV22%943 ? IIV222%94* ? IIV2%944 ? IIV%945 ? IIV2%946 ? IIV22%94$ ? IIV222%947 ? IIV2>



85%* ? I+C>>285%4 ? I+C>>85%5 ? I+C>>285%6 ? I+C>>2285%$ ? I+C>>22285%7 ? I+C>>2>

8539 ? I+C>>>8538 ? I+C>>>2853% ? I+C>>>228533 ? I+C>>>222853* ? I+C>>>28534 ? I+C>>>8535 ? I+C>>>28536 ? I+C>>>22853$ ? I+C>>>2228537 ? I+C>>>2>85*9 ? I+C>V85*8 ? I+C>V285*% ? I+C>V22

85*3 ? I+C>V22285** ? I+C>V285*4 ? I+C>V85*5 ? I+C>V285*6 ? I+C>V2285*$ ? I+C>V22285*7 ? I+C>V2>8549 ? I+CV8548 ? I+CV2854% ? I+CV228543 ? I+CV222854* ? I+CV28544 ? I+CV

8545 ? I+CV28546 ? I+CV22854$ ? I+CV2228547 ? I+CV2>8559 ? I+CV>8558 ? I+CV>2855% ? I+CV>228553 ? I+CV>222855* ? I+CV>28554 ? I+CV>8555 ? I+CV>28556 ? I+CV>22

8$*% ? I+CCC>V228$*3 ? I+CCC>V2228$** ? I+CCC>V28$*4 ? I+CCC>V8$*5 ? I+CCC>V28$*6 ? I+CCC>V22

8$*$ ? I+CCC>V2228$*7 ? I+CCC>V2>8$49 ? I+CCCV8$48 ? I+CCCV28$4% ? I+CCCV228$43 ? I+CCCV2228$4* ? I+CCCV28$44 ? I+CCCV8$45 ? I+CCCV28$46 ? I+CCCV228$4$ ? I+CCCV2228$47 ? I+CCCV2>8$59 ? I+CCCV>

8$58 ? I+CCCV>28$5% ? I+CCCV>228$53 ? I+CCCV>2228$5* ? I+CCCV>28$54 ? I+CCCV>8$55 ? I+CCCV>28$56 ? I+CCCV>228$5$ ? I+CCCV>2228$57 ? I+CCCV>2>8$69 ? I+CCCV>>8$68 ? I+CCCV>>28$6% ? I+CCCV>>228$63 ? I+CCCV>>222

8$6* ? I+CCCV>>28$64 ? I+CCCV>>8$65 ? I+CCCV>>28$66 ? I+CCCV>>228$6$ ? I+CCCV>>2228$67 ? I+CCCV>>2>8$$9 ? I+CCCV>>>8$$8 ? I+CCCV>>>28$$% ? I+CCCV>>>228$$3 ? I+CCCV>>>2228$$* ? I+CCCV>>>28$$4 ? I+CCCV>>>

%959 ? IIV>%958 ? IIV>2%95% ? IIV>22%953 ? IIV>222%95* ? IIV>2

%954 ? IIV>%955 ? IIV>2%956 ? IIV>22%95$ ? IIV>222%957 ? IIV>2>%969 ? IIV>>%968 ? IIV>>2%96% ? IIV>>22%963 ? IIV>>222%96* ? IIV>>2%964 ? IIV>>%965 ? IIV>>2%966 ? IIV>>22

%96$ ? IIV>>222%967 ? IIV>>2>%9$9 ? IIV>>>%9$8 ? IIV>>>2%9$% ? IIV>>>22%9$3 ? IIV>>>222%9$* ? IIV>>>2%9$4 ? IIV>>>%9$5 ? IIV>>>2%9$6 ? IIV>>>22%9$$ ? IIV>>>222%9$7 ? IIV>>>2>%979 ? II>C

%978 ? II>C2%97% ? II>C22%973 ? II>C222%97* ? II>C2%974 ? II>C%975 ? II>C2%976 ? II>C22%97$ ? II>C222%977 ? II>C2>%899 ? IIC

Aabela de números romanos%000 III %0000

MMMMJJJ

%00000 MMMMCCC

4000 MM>G

40000 MMJ

400000 MMC/

5000 MG

50000 M

500000 M/

3000 MMG>

30000 MMJ

300000 MM/C

7000 MMMG>>

70000 MMMJJ

700000 MMM/CC

8000 MMMG>>>

80000 MMMMJJJ

800000 MMMM/CCC

9000 MM

>J

90000 MM

JC

900000 MM

CI10000

MJ

100000 MC

1000000 MMI



20000 MMMJJ

200000 MMCC

?rande:as B ntrodução

'ntendemos por grande0a tudo a)uilo )ue pode ser medido, contado. #s grandeas podem ter suasmedidas aumentadas ou diminuídas. #lguns e"emplos de grandea: o (olume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a(elocidade, o tempo, o custo e a produção.

[ comum ao nosso dia=a=dia situaçes em )ue relacionamos duas ou mais grandeas. or e"emplo:

'm uma corrida de J)uilWmetros contra o relLgioJ, )uanto maior for a (elocidade, menor ser- o tempo gastonessa pro(a. #)ui as grandeas são a (elocidade e o tempo.

&um forno utiliado para a produção de ferro fundido comum, )uanto maior for o tempo de uso, maior ser-a produção de ferro. &esse caso, as grandeas são o tempo e a produção.

?rande:as diretamente proporcionais 0m forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abai"o:

Aempo minutos) :rodução Mg)

4 899

89 %99

84 399

%9 *99

Obser(e )ue uma grandea (aria de acordo com a outra. 'ssas grandeas são variáveis dependentes.Obser(e )ue:

Nuando duplicamos o tempo, a produção também duplica.4 min ====F 899Yg89 min ====F %99Yg

Nuando triplicamos o tempo, a produção também triplica.

4 min ====F 899Yg84 min ====F 399Yg

#ssim:

+uas grandeas (ari-(eis dependentes são diretamente proporcionais )uando a raão entreos (alores da 8E grandea é igual a raão entre os (alores correspondentes da %E

erifi)ue na tabela )ue a raão entre dois (alores de uma grandea é igual a raão entre os dois (alorescorrespondentes da outra grandea.

?rande:as inversamente proporcionais 0m ciclista fa um treino para a pro(a de J8999 metros contra o relLgioJ, mantendo em cada (olta uma(elocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abai"o

>elocidade mNs) Aempo s)

4 %99

$ 8%4

89 899

85 5%,4

%9 49

Obser(e )ue uma grandea (aria de acordo com a outra. 'ssas grandeas são variáveis dependentes.Obser(e )ue:

Nuando duplicamos a (elocidade, o tempo fica reduido < metade.

4 mGs ====F %99s89 mGs ====F 899s



Nuando /uadriplicamos a (elocidade, o tempo fica reduido < /uarta parte.4 mGs ====F %99s%9 mGs ====F 49s

#ssim:

+uas grandeas (ari-(eis dependentes são inversamente proporcionais )uandoa raão entre os (alores da 8E grandea é igual ao inverso da raão entre os

(alores correspondentes da %E.

erifi)ue na tabela )ue a raão entre dois (alores de uma grandea é igual ao in(erso da raão entre os dois(alores correspondentes da outra grandea.

9egra de três simples1egra de trs simples é um processo pr-tico para resol(er problemas )ue en(ol(am )uatro (alores dos )uais

conhecemos trs deles. +e(emos, portanto, determinar um (alor a partir dos trs !- conhecidos. :assos utili0ados numa regra de trKs simples* 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandeas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesmalinha as grandeas de espécies diferentes em correspondncia. 2º) 2dentificar se as grandeas são diretamente ou in(ersamente proporcionais. º) Iontar a proporção e resol(er a e)uação. '"emplos: 8B Com uma -rea de absorção de raios solares de 8,%m%, uma lancha com motor mo(ido a energia solarconsegue produir *99 \atts por hora de energia. #umentando=se essa -rea para 8,4m%, )ual ser- a energiaproduida/ 7olução: montando a tabela:

5rea m2) (nergia O.)8,% *998,4 "

8dentificação do tipo de relação:

2nicialmente colocamos uma seta para bai"o na coluna )ue contém o " A%E colunaB. Obser(e )ue: <umentando a -rea de absorção, a energia solar aumenta. Como as pala(ras correspondem Aaumentando = aumentaB, podemos afirmar )ue as grandeassão diretamente proporcionais. #ssim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido Apara bai"oB na 8Ecoluna. +ontando a proporção e resolvendo a e9uação temos:

Vogo, a energia produida ser- de "&& Patts por .ora.

%B 0m trem, deslocando=se a uma (elocidade média de *99YmGh, fa um determinado percurso em 3horas. 'm )uanto tempo faria esse mesmo percurso, se a (elocidade utiliada fosse de *$9UmGh/ 7olução: montando a tabela:

>elocidade MmN.) Aempo .)*99 3*$9 "

8dentificação do tipo de relação:

2nicialmente colocamos uma seta para bai"o na coluna )ue contém o " A%E colunaB. Obser(e )ue: <umentando a (elocidade, o tempo do percurso diminui. Como as pala(ras são contr-rias Aaumentando = diminuiB, podemos afirmar )ue as grandeas



são inversamente proporcionais. #ssim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contr-rio Apara cimaB na8E coluna. +ontando a proporção e resolvendo a e9uação temos:

Vogo, o tempo desse percurso seria de %,4 horas ou % horas e 39 minutos.

3B Xianca comprou 3 camisetas e pagou 1]8%9,99. Nuanto ela pagaria se comprasse 4 camisetas domesmo tipo e preço/ 7olução: montando a tabela:

4amisetas :reço -Q)3 8%94 "

Obser(e )ue: <umentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as pala(ras correspondem Aaumentando = aumentaB, podemos afirmar )ue as grandeas

são diretamente proporcionais. +ontando a proporção e resolvendo a e9uação temos:

Vogo, a Xianca pagaria 1]%99,99 pelas 4 camisetas.

*B 0ma e)uipe de oper-rios, trabalhando $ horas por dia, realiou determinada obra em %9 dias. Se onúmero de horas de ser(iço for reduido para 4 horas, em )ue prao essa e)uipe far- o mesmo trabalho/ 7olução: montando a tabela:

Roras por dia :ra0o para término dias)

$ %94 "

Obser(e )ue: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prao para término aumenta. Como as pala(ras são contr-rias Adiminuindo = aumentaB, podemos afirmar )ue as grandeassão inversamente proporcionais. +ontando a proporção e resolvendo a e9uação temos:

9egra de três composta # regra de trs composta é utiliada em problemas com mais de duas grandeas, direta ou in(ersamenteproporcionais. '"emplos: 8B 'm $ horas, %9 caminhes descarregam 859m3 de areia. 'm 4 horas, )uantos caminhes serãonecess-rios para descarregar 8%4m3/ 7olução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandeas de mesma espécie e, em cada linha,as grandeas de espécies diferentes )ue se correspondem:

Roras 4amin.Ges >olume$ %9 8594 " 8%4

8dentificação dos tipos de relação: 2nicialmente colocamos uma seta para bai"o na coluna )ue contém o " A%E colunaB.



# seguir, de(emos comparar cada grandea com a)uela onde est- o ". Obser(e )ue: <umentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhes. ortanto arelação éinversamente proporcional Aseta para cima na 1L colunaB. <umentando o (olume de areia, de(emos aumentar o número de caminhes. ortanto a relaçãoé diretamente proporcional Aseta para baio na L colunaB. +e(emos igualar a raão )ue contém o termo" com o produto das outras raes de acordo com o sentido das setas.

+ontando a proporção e resolvendo a e9uação temos:

Vogo, serão necess-rios 2" camin.Ges.

%B &uma f-brica de brin)uedos, $ homens montam %9 carrinhos em 4 dias. Nuantos carrinhos serãomontados por * homens em 85 dias/ 7olução: montando a tabela:

Romens 4arrin.os Dias$ %9 4* " 85

Obser(e )ue: <umentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. ortanto a relação é diretamente proporcional Anão precisamos in(erter a raãoB. <umentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. ortanto a relação tambémé diretamente proporcional Anão precisamos in(erter a raãoB. +e(emos igualar a raão )ue contém o termo" com o produto das outras raes.


Vogo, serão montados 2 carrin.os.

3B +ois pedreiros le(am 7 dias para construir um muro com %m de altura. @rabalhando 3 pedreiros eaumentando a altura para *m, )ual ser- o tempo necess-rio para completar esse muro/ 2nicialmente colocamos uma seta para bai"o na coluna )ue contém o ". +epois colocam=seflechas concordantes para as grandeas diretamente proporcionais com a incLgnita e discordantes paraas inversamente proporcionais, como mostra a figura abai"o:


Vogo, para completar o muro serão necess-rios 12 dias.

'"ercícios complementares #gora chegou a sua (e de tentar. :rati/ue tentando faer esses e"ercícios:



1) @rs torneiras enchem uma piscina em 89 horas. Nuantas horas le(arão 89 torneiras para encher %piscinas/ 1esposta: 5 horas. 2) 0ma e)uipe composta de 84 homens e"trai, em 39 dias, 3,5 toneladas de car(ão. Se for aumentada para%9 homens, em )uantos dias conseguirão e"trair 4,5 toneladas de car(ão/ 1esposta: 34 dias. ) inte oper-rios, trabalhando $ horas por dia, gastam 8$ dias para construir um muro de 399m. Nuantotempo le(ar- uma turma de 85 oper-rios, trabalhando 7 horas por dia, para construir um muro de%%4m/ 1esposta: 84 dias.

!) 0m caminhoneiro entrega uma carga em um ms, (ia!ando $ horas por dia, a uma (elocidade média de 49UmGh. Nuantas horas por dia ele de(eria (ia!ar para entregar essa carga em %9 dias, a uma (elocidade média de59 UmGh/ 1esposta: 89 horas por dia. ") Com uma certa )uantidade de fio, uma f-brica produ 4*99m de tecido com 79cm de largura em 49minutos. Nuantos metros de tecido, com 8 metro e %9 centímetros de largura, seriam produidos em %4minutos/ 1esposta: %9%4 metros.

$2:imas peridicas ^- fraçes )ue não possuem representaçes decimal e"ata. or e"emplo:

#os numerais decimais em )ue h- repetição periLdica e infinita de um ou mais algarismos,

d-=se o nome de numerais decimais periLdicos ou díimas periLdicas. &uma díima periLdica, o algarismo ou algarismos )ue se repetem infinitamente, constituem

o período dessa díima. #s díimas classificam=se em díimas periLdicas simples e díimas periLdicas compostas.'"emplos:

Aperíodo: 4B Aperíodo: 3B Aperíodo: 8%B

São díimas periLdicas simples, uma (e )ue o período apresenta=se logo apLs a (írgula.

eríodo: %arte não periLdica: 9

eríodo: *eríodo não periLdica: 84

eríodo: %3arte não periLdica: 8

São díimas periLdicas compostas, uma (e )ue entre o período e a (írgula e"iste uma partenão periLdica.Obser(açes:Consideramos parte não periLdica de uma díima o termo situado entre (írgulas e o período.'"cluímos portanto da parte não periLdica o inteiro.odemos representar uma díima periLdica das seguintes maneiras:

?eratri: de uma d2:ima peridica [ possí(el determinar a fração Anúmero racionalB )ue deu origem a uma díima periLdica.+enominamos esta fração de geratri0 da dB0ima periódica.

rocedimentos para determinação da geratri de uma díima: DB0ima simples # geratri de uma díima simples é uma fração )ue tem para numerador o período e paradenominador tantos no(es )uantos forem os algarismos do período.'"emplos:

DB0ima 4omposta*

# geratri de uma díima composta é uma fração da forma , onde



n é a parte não periLdica seguida do período, menos a parte não periLdica.d tantos no(es )uantos forem os algarismos do período seguidos de tantoseros )uantos forem os algarismos da parte não periLdica.

'"emplos:

"O9C3NA?3! N re,&en"e o &so de epress<es ,&e ree"em a*rés*imos o& red&<es em preos! n$meros o&,&an"idades! sempre "omando por 'ase 100 &nidades. &ns eempos:

• asoina "eve &m a&men"o de 15OSinii*a ,&e em *ada @P100 o&ve &m a*rés*imo de @P15!00

• *ien"e re*e'e& &m des*on"o de 10O em "odas as mer*adorias.Sinii*a ,&e em *ada @P100 oi dado &m des*on"o de @P10!00

• /os 6oadores ,&e 6oam no QrBmio! 90O s#o *ra,&es.Sinii*a ,&e em *ada 100 6oadores ,&e 6oam no QrBmio! 90 s#o *ra,&es.

-a0ão centesimalFoda a ra#o ,&e "em para *onse,&en"e o n$mero 100 denomina-se ra:ão centesimal. &ns

eempos:

odemos represen"ar &ma ra#o *en"esima de o&"ras ormas:

s epress<es 7O! 13O e 125O s#o *amadas ta*as centesimais o& ta*as percentuais.

Considere o se&in"e pro'ema: Ro#o vende& 50O dos se&s 50 *avaos. &an"os *avaos ee vende&T ara so&*ionar esse pro'ema devemos api*ar a "aa per*en"&a (50O) so're o "o"a de*avaos.

oo! ee vende& 25 *avaos! ,&e represen"a a porcentagem pro*&rada. or"an"o! *eamos a se&in"e deini#o:

:orcentagem é o (alor obtido ao aplicarmos uma ta"a percentual a um determinado (alor.

empos:• Calcular 0! "# 300$

• Calcular 2%! "# 200kg$

oo! 50U é o vaor *orresponden"e por*en"aem pro*&rada. EXERCÍCIOS : 8B 0m !ogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 64 faltas, transformando em gols $_ dessasfaltas. Nuantos gols de falta esse !ogador fe/

or"an"o o 6oador e 3 os de a"a.



%B Se eu comprei uma ação de um clube por 1]%49,99 e a re(endi por 1]399,99, )ual a ta"a percentual delucro obtida/ Ion"amos &ma e,&a#o! onde somando os @P250!00 ini*iais *om a por*en"aem ,&ea&men"o& em rea#o a esses @P250!00! res&"e nos @P%00!00.

or"an"o! a "aa per*en"&a de &*ro oi de 20O.

Hma di*a impor"an"e: o FAO9 $3 !8<"<CAGHO. Se! por eempo! &m a*rés*imo de 10O a &m de"erminado vaor! podemos *a*&ar o novovaor apenas m&"ipi*ando esse vaor por ./.'! ,&e é o a"or de m&"ipi*a#o. Se o a*rés*imo orde 20O! m&"ipi*amos por ./)'! e assim por dian"e. Ge6a a "a'ea a'aio:

<créscimo ou 6ucroSator de

9ultiplicação

89_ 8,8984_ 8,84

%9_ 8,%9

*6_ 8,*6

56_ 8,56

&x#m'l() &men"ando 10O no vaor de @P10!00 "emos: 10 V 1!10 = 9I ../''

o *aso de aver &m de*rés*imo! o a"or de m&"ipi*a#o ser: Wa"or de I&"ipi*a#o = 1 - "aa de des*on"o (na orma de*ima) Ge6a a "a'ea a'aio:

DescontoSator de

9ultiplicação

89_ 9,79

%4_ 9,64

3*_ 9,55

59_ 9,*9

79_ 9,89 &x#m'l() /es*on"ando 10O no vaor de @P10!00 "emos: 10 V 0!90 = 9I -/''

Classificação dos pol2gonosOs nomes dos polígonos dependem do critério )ue utiliamos para classific-=los. Se usarmos o número deTngulos ou onúmero de lados, teremos a seguinte nomenclatura:

'@9(-8 D( 6<D8;87 F'J768;)

'89( D8 :86CJ8'8

(9 S7'E8 D8'@9(-8 D( F'J768;

(9 S7'E8 D8'@9(-8 D( 6<D8;

triTngulo trilátero

! /uadrTngulo /uadrilátero

" pentágono pentalátero

# .eágono .ealátero

+ .eptágono .eptalátero

$ octógono octolátero

% eneágono enealátero

1& decágono decalátero

11 undecágono undecalátero

12 dodecágono dodecalátero

1" pentadecágono pentadecalátero2& icoságono icosalátero



Jrea das figuras planas

9etKnguloDuadrado

riKngulo"aralelogramo

rap#:io <osango

riKngulo equilátero

9edidas de superfBcie

!edidas de superf2cie

=ntrodução

#s medidas de superficie faem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corri)ueirasdo cotidiano:

• Nual a area desta sala/• Nual a area desse apartamento/• Nuantos metros )uadrados de aule!os são necessarios para re(estir essa

piscina/• Nual a area dessa )uadra de futebol de salão/• Nual a area pintada dessa parede/

;uperfBcie e área

Superficie é uma grandea com duas dimens`es, en)uanto -rea é a medida dessa grandea, portanto, umnúmero.

9etro Uuadrado

# unidade fundamental de superfície chama=se metro )uadrado.



O metro )uadrado Am%B é a medida correspondente < superfície de um )uadrado com 8 metro de lado.

9últiplos7nidade

Sundamental;ubmúltiplos

)uilWmetros

)uadrado

hectWmetro

)uadrado

decZmetro

)uadrado

metro )uadradodecímetro

)uadrado

centímetro

)uadrado

milímetro

)uadrado

Um% hm% dam% m% dm% cm% mm%

8.999.999m% 89.999m% 899m% 8m% 9,98m% 9,9998m% 9,999998m%

O dam%, o hm% e Um% s<o utiliados para medir grandes superfícies, en)uanto o dm%, o cm% e o mm% sãoutiliados para pe)uenas superfícies.

'"emplos:

1) Veia a seguinte medida: 8%,45m%


8%, 45

V=se 8% metros )uadrados e 45 decímetros )uadrados. Cada coluna dessa tabela corresponde a umaunidade de -rea.

)5 Veia a seguinte medida: 86$,3 m%


8 6$, 39

V=se 86$ metros )uadrados e 39 decímetros )uadrados

) Veia a seguinte medida: 9,786 dam%


9, 78 69

V=se 7.869 decímetros )uadrados.

9edidas <grárias

#s medidas agr-rias são utiliadas parea medir superfícies de campo, plantaçes, pastos, faendas, etc. #principal unidade destas medidas é o are AaB. ossui um múltiplo, o hectare AaB, e um submúltiplo, o centiareAcaB.

0nidadeagr-ria

hectare AhaB are AaB centiare AcaB

')ui(alnciade (alor

899a 8a 9,98a

em're-se:



1 .a 3 1.m2

1a 3 1 dam2

1ca 3 1m2

ransformação de unidades &o sistema métrico decimal, de(emos lembrar )ue, na transformação de unidades desuperfície, cada unidade de superfBcie é 1&& ve0es maior /ue a unidade imediatamenteinferior :

Obser(e as seguintes transformaçes:

• transformar %,35 m% em mm%.

Um

%

hm

%

dam

%

m

%

dm

%

cm

%

mm

%

ara transformar m% em mm% AtrKs posiçes < direitaB de(emos multiplicar por 8.999.999A899"899"899B. %,35 " 8.999.999 ? %.359.999 mm%

• transformar 4$9,% dam% em Um%.


ara transformar dam% em Um% Aduas posiçes < es/uerdaB de(emos di(idir por 89.999A899"899B. 4$9,% : 89.999 ? 9,94$9% Um%

:rati/ueV Aente resolver esses eercBcios*

8B @ransforme $,36 dm%

em mm%

A1: $3.699 mm%

B %B @ransforme 3,8*85 m% em cm% A1: 38.*85 cm%B

3B @ransforme %,8* m% em dam% A1: 9,9%8* dam%B

*B Calcule *9m " %4m A1: 8.999 m%B

9edidas de volume

!edidas de volume

=ntrodução

re)uentemente nos deparamos com problemas )ue en(ol(em o uso de trs dimenses: comprimento,largura e altura. +e posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e

(olume.

9etro cúbico # unidade fundamental de (olume chama=se metro cúbico. O metro cúbico Am3B é medida correspondente aoespaço ocupado por um cubo com 8 m de aresta.

9últiplos e submúltiplos do metro cúbico

9últiplos7nidade

Sundamental

;ubmúltiplos



)uilWmetrocúbico

hectWmetr o cúbico

decZmetr o cúbico

metrocúbico

decímetr o cúbico

centímetrocúbico

milímetrocúbico

Um3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

8.999.999.999m3 8.999.999m3 8.999m3 8m3 9,998m3 9,999998m3 9,999999998 m3

6eitura das medidas de volume

# leitura das medidas de (olume segue o mesmo procedimento do aplicado <s medidas lineares. +e(emosutiliar porem, tres algarismo em cada unidade no )uadro. &o caso de alguma casa ficar incompleta, completa=se com eroAsB. '"emplos.

• Veia a seguinte medida: 64,$*m3


64, $*9

V=se J64 metros cúbicos e $*9 decímetros cúbicosJ.

• Veia a medida: 9,995*dm3


9, 995 *99

V=se J5*99 centímetros cúbicosJ.

ransformação de unidades &a transformação de unidades de (olume, no sistema métrico decimal, de(emos lembrar)ue cada unidade de volume é 1&&& ve0es maior /ue a unidade imediatamente inferior .

Obser(e a seguinte transformação:

• transformar %,*4 m3 para dm3.


ara transformar m3 em dm3 Auma posição < direitaB de(emos multiplicar por 8.999. %,*4 " 8.999 ? %.*49 dm3

:rati/ueV Aente resolver esses eercBcios* 8B @ransforme $,83% Um3 em hm3 A1: $.83% hm3B

%B @ransforme 8$9 hm3 em Um3 A1: 9,8$ Um3B

3B @ransforme 8 dm3 em dam3 A1: 9,999998 dam3B

*B '"presse em metros cúbicos o (alor da e"pressão: 3.4*9dm3 D 3*9.999cm3 A1: 3,$$ m3B



9edidas de capacidade

!edidas de capacidade

# )uantidade de lí)uido é igual ao (olume interno de um recipiente, afinal )uando enchemos este recipiente, o

lí)uido assume a forma do mesmo. 4apacidade é o (olume interno de um recipiente.

# unidade fundamental de capacidade chama=se litro.

6itro é a capacidade de um cubo )ue tem 8dm de aresta.

1l 3 1dm

9últiplos e submúltiplos do litro

9últiplos 7nidade Sundamental ;ubmúltiplos

)uilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

Ul hl dal l dl cl ml

8999l 899l 89l 8l 9,8l 9,98l 9,998l

Cada unidade é 89 (ees maior )ue a unidade imediatamente inferior.

-elaçGes

8l ? 8dm3

8ml ? 8cm3

8Ul ? 8m3

6eitura das medidas de capacidade• '"emplo: leia a seguinte medida: %,*6$ dal


%, * 6 $

V=se J% decalitros e *6$ centilitrosJ.

ransformação de unidades &a transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, de(emos lembrar)ue cada unidade de capacidade é 1& ve0es maior /ue a unidade imediatamente inferior .

Obser(e a seguinte transformação:

• transformar 3,87 l para ml.




ara transformar l para ml AtrKs posiçGes < direitaB de(emos multiplicar por 8.999A89"89"89B. 3,87 " 8.999 ? 3.879 ml

:rati/ueV Aente resolver esses eercBcios* 8B @ransforme 6,84 Ul em dl A1: 68.499 dlB

%B @ransforme 5,4 hl em l A1: 549 lB 3B @ransforme 79,5 ml em l A1: 9,9795 lB

*B '"presse em litros o (alor da e"pressão: 9,5m3 D 89 dal D 8hl A1: $99 lB

(/uaçGes de 2º grau

(/uaçGes de 2º grauDefiniçGes +enomina=se e)uação do %M grau na incLgnita x , toda e)uação da forma:

ax % & bx & c ' 9; a, b, c =- e

'"emplo:• x ! *x & 4 ' / é um e)uação do %M grau com a ? 8, b ? =4 e c ? 5.•

4x

! x ! - ' / é um e)uação do %M grau com a ? 5, b ? =8 e c ? =8.• 5x ! x ' / é um e)uação do %M grau com a ? 6, b ? =8 e c ? 9.• x ! (4 ' / é um e)uação do %M grau com a ? 8, b ? 9 e c ? =35.

&as e)uaçes escritas na forma ax Q D bx D c ? 9 Aforma normal ou forma redu0ida de umae)uação do %M grau na incLgnita x B chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x Q; b é sempre o coeficiente de x , c é o coeficiente ou termo independente. (/uação completas e =ncompletas 0ma e)uação do %M grau é completa )uando b e c são diferentes de ero. '"emplos:

x Q = 7 x D %9 ? 9 e = x Q D 89 x = 85 ? 9 são e)uaçes completas. 0ma e)uação do %M grau é incompleta )uando b ou c é igual a ero, ou ainda )uando

ambos são iguais a ero. '"emplos:

• x Q = 35 ? 9Ab ? 9B

• x Q = 89 x ? 9Ac ? 9B

• 0x Q ? 9Ab ? c ? 9B

-aB0es de uma e/uação do 2º grau

1esol(er uma e)uação do %M grau significa determinar suas raB0es.

1ai é o número real )ue, ao substituir a incLgnita de uma e)uação,transforma=a numa sentença (erdadeira.

O con!unto formado pelas raíes de uma e)uação denomina=se conIuntoverdade ou conIunto solução. '"emplos:

• +entre os elementos do con!untos #? =8, 9, 8, %P, )uais são raíes da e)uação x Q = x = % ? 9 /

;olução Substituímos a incLgnita x da e)uação por cada um dos elementos do con!unto e(erificamos )uais as sentenças (erdadeiras.

ara x ? =8A=8BQ = A=8B = % ? 9

8 D 8 = % ? 99 ? 9

AB

ara x ? 99Q = 9 = % ? 99 = 9 =% ? 9

=% ? 9

AB

ara x ? 8 8Q = 8 = % ? 98 = 8 = % ? 9

AB



=% ? 9

ara x ? %%Q = % = % ? 9* = % = % ? 9

9 ? 9AB

Vogo, =8 e % são raíes da e)uação.

• +etermine p sabendo )ue % é rai da e)uação A% p = 8B x Q = % px = % ? 9.

;oluçãoSubstituindo a incLgnita x por %, determinamos o (alor de p.

• Vogo, o (alor de p é .esolução de e/uaçGes incompletas 1esol(er uma e)uação significa determinar o seu conIunto verdade. 0tiliamos na resolução de uma e)uação incompleta as técnicas da fatoração e duasimportantes propriedades dos números reais:

1L :ropriedade*

2L :ropriedade*

1º 4aso* ')uação do tipo . '"emplo:

• +etermine as raíes da e)uação , sendo .

;olução2nicialmente, colocamos x em e(idncia:

ara o produto ser igual a ero, basta )ue um dos fatores também o se!a. #ssim:

Obtemos dessa maneira duas raíes )ue formam o con!unto (erdade:

+e modo geral, a e)uação do tipo tem para soluçes e .

2º 4aso* ')uação do tipo'"emplos:

• +etermine as raíes da e)uação , sendo ? =-. ;olução



+e modo geral, a e)uação do tipo possui duas raíes reais se for um

número positi(o, não tendo rai real caso se!a um número negati(o.-esolução de e/uaçGes completas ara solucionar e)uaçes completas do %M grau utiliaremos a fórmula de W.asara.

# partir da e)uação , em )ue a, b, c =- e , desen(ol(eremospasso a passo a dedução da fLrmula de XhasUara Aou fLrmula resoluti(aB.

1º passo* multiplicaremos ambos os membros por *a.

2º passo* passar *ac par o %M membro.

º passo* adicionar aos dois membros.

!º passo* fatorar o 8M elemento.

"º passo* e"trair a rai )uadrada dois membros.

#º passo* passar b para o %M membro.

+º passo* di(idir os dois membros por .

#ssim, encontramos a fLrmula resoluti(a da e)uação do %M grau:

odemos representar as duas raíes reais por " e "J, assim:

'"emplos:



• resolução a e)uação:

@emos

Discriminante

+enominamos discriminante o radical b% = *ac )ue é representado pela letra gregaAdeltaB.

odemos agora escre(er deste modo a fLrmula de XhasUara:

+e acordo com o discriminante, temos trs casos a considerar:

1º 4aso* O discriminante é positi(o .

O (alor de é real e a e)uação tem duas raíes reais diferentes, assim representadas:

'"emplo:• ara )uais (alores de ; a e)uação x Q ! % x & ;! % ' 9 admite raíes reais e desiguais/

;olução

ara )ue a e)uação admita raíes reais e desiguais, de(emos ter



Vogo, os (alores de ; de(em ser menores )ue 3.

2º 4aso* O discriminante é nulo

O (alor de é nulo e a e)uação tem duas raíes reais e iguais, assim representadas:

'"emplo:• +etermine o (alor de p, para )ue a e)uação x Q ! A p ! 8 2 x & p! ' 9 possua raíes

iguais.;olução

ara )ue a e)uação admita raíes iguais é necess-rio )ue .

Vogo, o (alor de p é 3.

º 4aso* O discriminante é negati(o .

O (alor de não e"iste em =-, não e"istindo, portanto, raíes reais. #s raíes dae)uação sãonúmero compleos.

'"emplo:• ara )uais (alores de m a e)uação 3 x Q D 5 x Dm ? 9 não admite nenhuma rai real/

;olução

ara )ue a e)uação não tenha rai real de(emos ter

Vogo, os (alores de m de(em ser maiores )ue 3.



-esumindo +ada a e)uação a"Q D b" D c ? 9, temos:

ara , a e)uação tem duas raíes reais diferentes.

ara , a e)uação tem duas raíes reais iguais.

ara , a e)uação não tem raíes reais.

(U7<?(; 6=A(-<=;

#s e)uaçes do %M grau na (ari-(el " )ue possuem alguns coeficientes ou alguns termosindependentes indicados por outras letras são denominadas e/uaçGes literais

#s letras )ue aparecem numa e)uação literal, e"cluindo a incLgnita, sãodenominadas parTmetros

'"emplos:

a"%D b" D c ? 9 incLgnita: "

parZmetro: a, b, c

a"% = A%a D 8B " D 4 ? 9 incLgnita: "

parZmetro: a

(/uaçGes literais incompletas

# resolução de e)uaçes literais incompletas segue o mesmo processo das e)uaçesnuméricas.

Obser(e os e"emplos:

• 1esol(a a e)uação literal incompleta 3"% = 8%m%?9, sendo " a (ari-(el.

;olução

3"% = 8%m% ? 9

3"% ? 8%m%

"% ? *m%

"?

Vogo, temos:



• 1esol(a a e)uação literal incompleta m# ! ab#'/$com m / , sendo # a (ari-(el.

;olução

m# ! ab# ' /

#1m# ! ab2'/

@emos, portanto, duas soluçes:

#'/

ou

m# ! ab ' / m# ' ab #'

#ssim:

&a solução do último e"emplo, teríamos cometido um erro grave se ti(éssemos assimresol(ido:

m# ! ab#' /

m# ' ab#

m# ' ab

+esta maneira, obteríamos apenas a solução .

O ero da outra solução foi JperdidoJ )uando di(idimos ambos os termos por T.

'sta é uma boa raão para termos muito cuidado com os cancelamentos, e(itando destamaneira a di(isão por ero, )ue é um absurdo.

(/uaçGes literais completas #s e)uaçes literais completas podem ser também resol(idas pela fLrmula de XhasUara:'"emplo: 1esol(a a e)uação: x ! abx ! (a b $ sendo " a (ari-(el.

;olução @emos a'-$ b ' !ab e c'!(a b



ortanto:

#ssim, temos: ? = ab, 3abP. -(6<?(; ('A-( 8; 48(S=4=('A(; ( <; -<CY(;

Considere a e)uação a"% D b" D c ? 9, com a 9 e se!am "e " as raíes reais dessae)uação.

Vogo:

Obser(e as seguintes relaçes:• ;oma das raB0es S )

• :roduto das raB0es P )

Como ,temos:

+enominamos essas relaçes de relaçGes de Jirard. erifi)ue alguns e"emplos deaplicação dessas relaçes.

• +etermine a soma e o produto das raíes da e)uação 89"% D " = % ? 9.;olução&esta e)uação, temos: a?89, b?8 e c?=%.

# soma das raíes é igual a . O produto das raíes é igual a



#ssim: #ssim:

• +etermine o (alor de na e)uação "% D A %U = 3B" D % ? 9, de modo )ue a soma de suasraíes se!a igual a 6.

;olução&esta e)uação, temos: a?8, b?%U e c?%. S? "8 D "% ? 6

Vogo, o (alor de k é =%.• +etermine o (alor de m na e)uação 0x ! 5x & (m ' /$ para )ue o produto das raíes

se!a igual a =%.;olução&esta e)uação, temos: a?*, b?=6 e c?3m. <' x -. x ' !

Vogo, o (alor de m é .• +etermine o (alor de k na e)uação 84"% D k " D 8 ? 9, para )ue a soma dos in(ersos

de suas raíes se!a igual a $.

;oluçãoConsidere "8 e "% as raíes da e)uação.

# soma dos in(ersos das raíes corresponde a . #ssim:

Vogo, o (alor de k é =$.

• +etermine os (alores de m para os )uais a e)uação A %m = 8B "% D A 3m = %B " D m D % ?9 admita:

aB raíes simétricas;

bB raíes in(ersas. ;oluçãoSe as raíes são simétricas, então S?9.

Se as raíes são in(ersas, então ?8.



489:8;=E8 D( 79< (U7<E8 D8 2º J-<7, 48'R(4=D<; <; -<CY(;

Considere a e)uação do %M grau ax & bx & c ' /.

/i(idindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escre(er a e)uação desta maneira."% = S" D ? 9

'"emplos:

• Componha a e)uação do %M grau cu!as raíes são =% e 6.;olução # soma das raíes corresponde a:

S? "8 D "% ? =% D 6 ? 4O produto das raíes corresponde a:

? "8 . "% ? A =%B . 6 ? =8* # e)uação do %M grau é dada por "% = S" D ? 9, onde S?4 e ? =8*.Vogo, "% = 4" = 8* ? 9 é a e)uação procurada.

• ormar a e)uação do %M grau, de coeficientes racionais, sabendo=se )ue uma das

raíes é .;olução

Se uma e)uação do %M grau, de coeficientes racionais, tem uma rai , a outra raí

ser- .

#ssim:

Vogo, x ! x ! ' / é a e)uação procurada. S8-9< S<A8-<D<

Considere a e)uação a"% D b" D c ? 9. Colocando a em e(idncia, obtemos:

'ntão, podemos escre(er:



Vogo, a forma fatorada da e)uação ax & bx & c ' / é:

a.A" = "B . A" = "B ? 9

'"emplos:

• 'scre(a na forma fatorada a e)uação "% = 4" D 5 ? 9.;olução

Calculando as raíes da e)uação "% = 4" D 5 ? 9, obtemos "8? % e "%? 3.Sendo a? 8, "8? % e "%? 3, a forma fatorada de "% = 4" D 5 ? 9 pode ser assim escrita:

A"=%B.A"=3B ? 9• 'scre(a na forma fatorada a e)uação %"% = %9" D 49 ? 9.

;oluçãoCalculando as raíes da e)uação %"% = %9" D 49 ? 9, obtemos duas raíes reais e iguais a 4.Sendo a? %, "8?"%? 4, a forma fatorada de %"% = %9" D 49 ? 9 pode ser assim escrita:

%.A" = 4B A" = 4B ? 9 ou %. A" = 4B%?9

• 'scre(a na forma fatorada a e)uação "% D %" D % ? 9.;olução

Como o , a e)uação não possui raíes reais.Vogo, essa e)uação não possui forma fatorada em 21.(U7<?(; W=U7<D-<D<; Obser(e as e)uaçes:

"* = 83"% D 35 ? 97"* = 83"% D * ? 9

"* = 4"% D 5 ? 9 &ote )ue os primeiros membros são polinWmios do *M grau na (ari-(el ", possuindo um termoem "*, um termo em "% e um termo constante. Os segundos membros são nulos.+enominamos essas e)uaçes de e/uaçGes bi/uadradasOu se!a, e)uação bi)uadrada com uma (ari-(el " é toda e)uação da forma:

a"*

D b"%

D c ? 9

'"emplos:"* = 4"% D * ? 9

"* = $"% ? 93"* = %6 ? 9

Cuidado "* = %"3 D "% D 8 ? 9 5"* D %"3 = %" ? 9 "* = 3" ? 9 #s e)uaçes acima não são bi)uadradas, pois numa e)uação bi)uadrada a (ari-(el " sLpossui e"poentes pares.

1'SOV0O +' 0I# 'N0#O X2N0#+1#+#



&a resolução de uma e)uação bi)uadrada em 21 de(emos substituir sua (ari-(el,transformando=a numa e)uação do %M grau. Obser(e agora a se)uncia )ue de(e ser utiliada na resolução de uma e)uaçãobi)uadrada. ;e/ZKncia prática

•

Substitua "*

por T%

A ou )ual)uer outra incLgnita ele(ada ao )uadradoB e "%

por T.• 1esol(a a e)uação aT% D bT D c ? 9• +etermine a rai )uadrada de cada uma da raíes A Te TB da e)uação aT% D bT D c ? 9.

'ssas duas relaçes indicam=nos )ue cada rai0 positiva da e)uação aT% D bT D c ? 9 d-origem a duas raíes simétricas para a bi)uadrada: a rai0 negativa não d- origem a nenhumarai real para a mesma.'"emplos:

• +etermine as raíes da e)uação bi)uadrada "* = 83 "% D 35 ? 9.;oluçãoSubstituindo "* por T% e "% por T, temos:

T

%

= 83T D 35 ? 91esol(endo essa e)uação, obtemos:

T?* e T?7Como "%? T, temos:

Vogo, temos para con!unto (erdade: ? =3, =%, %, 3P.

• +etermine as raíes da e)uação bi)uadrada "* D *"% = 59 ? 9.;oluçãoSubstituindo "* por T% e "% por T, temos:

T% D *T = 59 ? 91esol(endo essa e)uação, obtemos:

T?5 e T? =89Como "%? T, temos:

Vogo, temos para o con!unto (erdade: .

•

/etermine a soma das raíes da e)uação .;olução0tiliamos o seguinte artifício:

#ssim: T% = 3T ? =% T% = 3T D % ? 9 T?8 e T?%Substituindo T, determinamos:



Vogo, a soma das raíes é dada por:

-esolução de e/uaçGes da forma* a"%n D b"n D c ? 9'sse tipo de e)uação pode ser resol(ida da mesma forma )ue a bi)uadrada.ara isso, substituimos "n por T, obtendo: aT% D bT D c ? 9, )ue é uma e)uação do %M grau.

'"emplo:• resol(a a e)uação "5 D 886"3 = 8.999 ? 9.

;oluçãoaendo "3?T, temos: T% D 886T = 8.999 ? 91esol(endo a e)uação, obtemos: T? $ e T? = 8%4'ntão:

Vogo, ? =4, % P.

4omposição da e/uação bi/uadrada

@oda e)uação bi)uadrada de raíes reais "8, "%, "3 e "* pode ser composta pela fLrmula:

A" ="8B . A" = "%B . A" = "3B . A" = "*B ? 9

'"emplo:• Compor a e)uação bi)uadrada cu!as raíes são:

;oluçãoaB A" = 9B A" = 9B A" D 6B A" = 6B ? 9 bB A" D aB A" = aB A" D bB A" = bB ? 9 "%A"% =*7B ? 9 A"%=a%B A"%=b%B ? 9 "* = *7"% ? 9 "* = Aa% D b%B "% D a%b% ? 9

:-8:-=(D<D(; D<; -<CY(; D< (U7<E8 W=U7<D-<D< Consideremos a e)uação a"* D b"% D c ? 9, cu!as raíes são "8, "%, "3 e "* e a e)uaçãodo %M grau aT% D bT D c ? 9, cu!as raíes são T e T. +e cada rai da e)uação do %M grau, obtemos duas raíes simétricas para abi)uadrada. #ssim:



+o e"posto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:

1L :ropriedade* # soma das raíes reais da e)uação bi)uadrada é nula.

"8 D "% D "3 D "* ? 9

2L :ropriedade* # soma dos )uadrados das raíes reais da e)uação bi)uadrada é igual a =

.

L :ropriedade*O produto das raíes reais e não=nulas da e)uação bi)uadrada é igual a .

(U7<?(; =--<4=8'<=;Considere as seguintes e)uaçes:

Obser(e )ue todas elas apresentam (ari-(el ou incLgnita no radicando. 'ssas e)uaçessãoirracionaisOu se!a:

')uação irracional é toda e)uação )ue tem (ari-(el no radicando.

-(;867E8 D( 79< (U7<E8 =--<4=8'<6 # resolução de uma e)uação irracional de(e ser efetuada procurando transform-=lainicialmente numa e)uação racional, obtida ao ele(armos ambos os membros da e)uação auma potncia con(eniente. 'm seguida, resol(emos a e)uação racional encontrada e, finalmente, (erificamos se asraíes da e)uação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raíes da e)uaçãoirracional dada A verificar a i=ualdade2. [ necess-ria essa (erificação, pois, ao ele(armos os dois membros de uma e)uação auma potncia, podem aparecer na e)uação obtida raB0es estran.as < e)uação dada.Obser(e alguns e"emplos de resolução de e)uaçes irracionais no con!unto dos reais.

•

;olução



Vogo, ? 4$P.

•

;olução

Vogo, ? =3P; note )ue % é uma rai estranha a essa e)uação irracional.

•

;olução

Vogo, ? 6 P; note )ue % é uma rai estranha a essa e)uação irracional.

•

;olução



;=;A(9<; D( (U7<?(; D8 2º J-<7

Obser(e o seguinte problema:

0ma )uadra de tnis tem a forma da figura, com perímetro de 5* m e -rea de 87% m %.+etermine as medidas " e T indicadas na figura.

+e acordo com os dados, podemos escre(er:

$" D *T ? 5*

%" . A %" D %TB ? 87% *"% D *"T ? 87%

Simplificando, obtemos:



%" D T ? 85 8

"% D"T ? *$ %

@emos aí um sistema de e/uaçGes do 2º grau, pois uma das e)uaçes é do %M grau.

odemos resol(=lo pelo método a substituição:

#ssim: %" D T ? 85 8

T ? 85 = %"

Substituindo T em % , temos:

"%

D " A 85 = %"B ? *$

" % D 85" = %"% ? *$

= "% D 85" = *$ ? 9 Iultiplicando ambos os membros por =8.

"% = 85" D *$ ? 9

"?* e "?8%

+eterminando T para cada um dos (alores de ", obtemos:

T?85 = % . * ? $

T?85 = % . 8% ? = $

#s soluçes do sistema são os pares ordenados A*,$B e A 8%, =$B.

despreando o par ordenado )ue possui ordenada negati(a, teremos para dimenses da)uadra:

Comprimento ?%" D %T ? %.* D %.$ ? %*m

Vargura ?%" ? %. * ? $m

erifi)ue agora a solução deste outro sistema:



2solando T em 8

T = 3" ? =8 T ? 3" = 8

Substituindo em %

"% = %"A3" = 8B ? =3

"% = 5"% D %" ? =3

=4"% D %" D 3 ? 9 Iultiplicando ambos os membros por =8.

4"% = %" = 3 ? 9

"?8 e "?=

+eterminando T para cada um dos (alores de ", obtemos:

#s soluçes do sistema são os pares ordenados A 8, %B e .

Vogo, temos para con!unto (erdade:

:-8W6(9<; D8 2º J-<7 ara resolução de problemas do %M grau, de(emos seguir etapas:;e/uKncia prática

• 'stabeleça a e)uação ou sistema de e)uaçes )ue traduem o problema para alinguagem matem-tica.

• 1esol(a a e)uação ou o sistema de e)uaçes.

• 2nterprete as raíes encontradas, (erificando se são compatí(eis com os dados doproblema.

Obser(e agora, a resolução de alguns problemas do %M grau:

• +etermine dois números inteiros consecuti(os tais )ue a soma de seus in(ersos

se!a .

;olução



1epresentamos um número por ", e por " D 8 o seu consecuti(o. Os seus in(ersos serão

representados por .

@emos estão a e)uação: .1esol(endo=a:

Obser(e )ue a rai não é utiliada, pois não se trata de número inteiro.-esposta* Os números pedidos são, portanto, 5 e o seu consecuti(o 6.

• 0m número de dois algarismos é tal )ue, trocando=se a ordem dos seus algarismos,obtém=se um número )ue o e"cede de %6 unidades. +etermine esse número, sabendo=se )ue o produto dos (alores absolutos dos algarismos é 8$.

;olução1epresentamos um número por 89" D T, e o número com a ordem dos algarismos trocada por89T D ".Obser(e:

&úmero: 89" D T

&úmero com a ordem dos algarismos trocada: 89T D ".@emos, então, o sistema de e)uaçes:

1esol(endo o sistema, temos:

2solando T em 8 :

=" D T ? 3 T? " D 3Substituindo T em %:"T ? 8$" A " D 3B ? 8$"% D 3" ? 8$"% D 3" = 8$ ? 9

"? 3 e "? =5+eterminando T para cada um dos (alores de ", obtemos:



T? 3 D 3 ? 5 T? =5 D 3 ? =3Vogo, o con!unto (erdade do sistema é dado por: ? A3,5B, A =5, =3BP.+espreando o par ordenado de coordenadas negati(as, temos para solução do problema onúmero35 A "?3 e T?5B.

1esposta: O número procurado é 35.

• +uas torneiras enchem um tan)ue em 5 horas. Soinha, uma delas gasta 4 horas mais)ue a outra. +etermine o tempo )ue uma delas le(a para encher esse tan)ueisoladamente.

;oluçãoConsideremos " o tempo gasto para a 8E torneira encher o tan)ue e "D4 o tempo gasto para a%E torneira encher o tan)ue.'m uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tan)ue:

'm uma hora, as duas torneiras !untas encherão do tan)ue; obser(e a e)uaçãocorrespondente:

1esol(endo=a, temos: 5A " D 4 B D 5" ? " A " D 4 B 5" D 39 D 5" ? "% D 4" "% = 6" = 39 ? 9 "? = 3 e "?89Como a rai negati(a não é utiliada, teremos como solução "? 89.

-esposta* # 8E torneira enche o tan)ue em 89 horas e a %E torneira, em 84 horas.

• &um !antar de confraterniação, seria distribuído, em partes iguais, um prmio de 1]%*.999,99 entre os con(idados. Como faltaram 4 pessoas, cada um dos presentesrecebeu um acréscimo de 1] *99,99 no seu prmio. Nuantos pessoas esta(ampresentes nesse !antar/

;oluçãoodemos representar por:

1esol(endo=a:



-esposta* &esse !antar de(eriam estar presentes %9 pessoas. Como faltaram 4, então 84pessoas esta(am presentes no !antar.'úmeros decimais

'umeração decimal=ntrodução # figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimenses em centímetros.

'ssas dimenses são apresentadas sob a forma de notação decimal, )ue corresponde auma outra forma de representação dos números racionais fracion-rios. # representação dos números fracion-ria !- era conhecida h- )uase 3.999 anos, en)uanto

a forma decimal surgiu no século >2 com o matem-tico francs rançois ite.O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracion-rios. Obser(e )ue nos

computadores e nas m-)uinas calculadoras utiliamos unicamente a forma decimal.SraçGes DecimaisObser(e as fraçes:

8s denominadores são potKncias de 1& #ssim:

+enominam=se fraçGes decimais, todas as fraçes )ue apresentampotncias de 89 no denominador.

'umeração decimal'úmeros Decimais O francs ite A84*9 = 8593B desen(ol(eu um método para escre(er as fraçes decimais;no lugar de fraçes, ite escre(eria números com (írgula. 'sse método, moderniado, éutiliado até ho!e. Obser(e no )uando a representação de fraçes decimais atra(és de números decimais:

Sração Decimal ? 'úmeros Decimais



? 9,8

? 9,98

? 9,998

? 9,9998


? 9,4

? 9,94

? 9,994

? 9,9994


? 88,6

? 8,86

? 9,886

? 9,9886

Os números 9,8, 9,98, 9,998; 88,6, por e"emplo, são números decimais.

&essa representação, (erificamos )ue a (írgula separa a parte inteira da parte decimal.

'umeração decimal 6eitura dos números decimais &o sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa umaposição ou ordem com as seguintes denominaçes:

Centenas +eenas 0nidades +écimos Centésimos Iilésimos+écimos

milésimosCentésimosmilésimos

Iilionésimos

artes inteiras artes decimais



6eitura Vemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das pala(ras: décimos ........................................... : )uando hou(er uma casa decimal; centésimos....................................... : )uando hou(er duas casas decimais; milésimos......................................... : )uando hou(er trs casas decimais; décimos milésimos ........................ : )uando hou(er )uatro casas decimais;

centésimos milésimos ................... : )uando hou(er cinco casas decimais e, assimsucessi(amente. Exemplos: 8,%: um inteiro e dois décimos; %,3*: dois inteiros e trinta e )uatro centésimos Nuando a parte inteira do número decimal é ero, lemos apenas a parte decimal. Exemplos: 9,8 : um décimo; 9,67 : setenta e no(e centésimosObser(ação:8. '"istem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Obser(e a leitura donúmero 4,43: 6eitura convencional* cinco inteiros e cin)uenta e trs centésimos;

8utras formas* )uinhentos e cin)uenta e trs centésimos; cinco inteiros, cinco décimos e trs centésimos. %. @odo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a (írgula apLs oúltimo algarismo e acrescentar eroAsB. '"emplos:

* ? *,9 ? *,99 64 ? 64,9 ? 64,99

'umeração decimalAransformação de números decimais em fraçGes decimais Obser(e os seguintes números decimais:

• 9,$ Al=se Joito décimosJB, ou se!a, .

• 9,54 Al=se Jsessenta e cinco centésimosJB, ou se!a, .

• 4,35 Al=se J)uinhentos e trinta e seis centésimosJB, ou se!a, .

• 9,9*6 Al=se J)uarenta e sete milésimosJB, ou se!a,erifi)ue então )ue:



#ssim:

0m número decimal é igual < fração )ue se obtém escre(endo para numerador onúmero sem (írgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos eros)uantas forem as casas decimais.

Aransformação de fração decimal em número decimal

Obser(e as igualdades entre fraçes decimais e números decimais a seguir:

odemos concluir, então, )ue:

ara se transformar uma fração decimal em número decimal,basta dar ao numerador tantas casas decimais )uantos forem oseros do denominador.

'umeração decimalDecimais e/uivalentes #s figuras foram di(ididas em 89 e 899 pares, respecti(amente. # seguir foram coloridas de(erde escuro * e *9 destas parte, respecti(amente. Obser(e:

erificamos )ue 9,* representa o mesmo )ue 9,*9, ou se!a, são decimais e)ui(alentes. Vogo, decimais e)ui(alentes são a)ueles )ue representam a mesma )uantidade.'"emplos:

9,* ? 9,*9 ? 9,*99 ? 9,*999 $ ? $,9 ? $,99 ? $,999

%,4 ? %,49 ? %,499 ? %,4999 74,* ? 74,*9 ? 74,*99 ? 74,*999

+os e"emplos acima, podemos concluir )ue:



0m número não se altera )uando se acrescenta ou se suprimeum ou mais eros < direita de sua parte decimal.

4omparação de números decimais Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou dedesigualdade entre eles. Consideremos dois casos:

1º 4aso* <s partes inteirasO maior é a)uele )ue tem a maior parte inteira.

'"emplos: 3,* F %,7*3, pois 3 F%. 89,5 F 7,%3*%, pois 89 F 7.

2º 4aso* <s partes inteiras são iguais O maior é a)uele )ue tem a maior parte decimal. [necess-rio igualar inicialmente o número de casas decimaisacrescentando eros.

'"emplos:• 9,64 F 9,6 ou 9,64 F 9,69 Aigualando as casas decimaisB, pois 64 F 69.• $,3 F $,93 ou $,39 F $,93 Aigualando as casas decimais B, pois 39 F 3.

9edidas de massa

9edidas de massa=ntrodução Obser(e a distinção entre os conceitos de corpo e massa: 9assa é a )uantidade de matéria )ue um corpo possui, sendo, portanto, constante em)ual)uer lugar da terra ou fora dela. :eso de um corpo é a força com )ue esse corpo é atraído Agra(idadeB para o centro da terra.aria de acordo com o local em )ue o corpo se encontra. or e"emplo: # massa do homem na @erra ou na Vua tem o mesmo (alor. O peso, no entanto, é seis (eesmaior na terra do )ue na lua.

'"plica=se esse fenWmeno pelo fato da gra(idade terrestre ser 5 (ees superior < gra(idadelunar.Obs: # pala(ra =rama, empregada no sentido de Junidade de medida de massa de um corpoJ,é um substanti(o masculino. #ssim %99g, l=se [du0entos gramas[. Uuilograma # unidade fundamental de massa chama=se /uilograma.

O )uilograma AUgB é a massa de 8dm3 de -gua destilada< temperatura de *MC.

#pesar de o )uilograma ser a unidade fundamental de massa, utiliamos na pr-ticao grama como unidade principal de massa. 9últiplos e ;ubmúltiplos do grama

9últiplos 7nidadeprincipal ;ubmúltiplos

)uilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligramag .g dag g dg cg mg

8.999g 899g 89g 8g 9,8g 9,98g 9,998g Obser(e )ue cada unidade de (olume é de (ees maior )ue a unidade imediatamenteinferior. '"emplos:

8 dag ? 89 g8 g ? 89 dg

9edidas de massa-elaçGes =mportantes odemos relacionar as medidas de massa com as medidas de (olume e capacidade. #ssim, para a água pura AdestiladaB a uma temperatura de !º4 é (-lida a seguintee)ui(alncia:



8 Ug K?F 8dm3 K?F 8V São (-lidas também as relaçes:

8m3 K?F 8 Yl K?F 8t 8cm3 K?F 8ml K?F 8g

Observação:&a medida de grandes massas, podemos utiliar ainda as seguintes unidades especiais:

8 arroba ? 84 Ug 8 tonelada AtB ? 8.999 Ug 8 megaton ? 8.999 t ou 8.999.999 Ug 6eitura das 9edidas de 9assa # leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado <s medidas lineares.'"emplos:

• Veia a seguinte medida: $3,63% hgg .g dag g dg cg mg$ , + 1

V=se J$3 hectogramas e 638 decigramasJ.• Veia a medida: 9,9*3g

g .g dag g dg cg mg &, & ! V=se J *3 miligramasJ.

9edidas de massaAransformação de 7nidades

Cada unidade de massa é 89 (ees maior )ue a unidadeimediatamente inferior.

Observe as 7e=uintes transformações:• @ransforme *,5%6 Ug em dag.

g .g dag g dg cg mg

ara transformar Ug em dag Aduas posiçGes \ direitaB de(emos multiplicar por 1&& A89" 89B. *,5%6 " 899 ? *5%,6Ou se!a: *,5%6 Ug ? *5%,6 dag

Obser(ação::eso bruto* peso do produto com a embalagem.:eso lB/uido* peso somente do produto.9edidas de tempo

9edidas de tempo=ntrodução [ comum em nosso dia=a=dia pergunta do tipo: Nual a duração dessa partida de futebol/ Nual o tempo dessa (iagem/ Nual a duração desse curso/

Nual o melhor tempo obtido por esse corredor/ @odas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão demedida de tempo.



# unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema 2nternacional AS2B é o segundo. ;egundo O Sol foi o primeiro relLgio do homem: o inter(alo de tempo natural decorrido entre assucessi(as passagens do Sol sobre um dado meridiano d- origem ao dia solar.

O segundo AsB é o tempo e)ui(alente a do dia solar médio. #s medidas de tempo não pertencem ao Sistema Iétrico +ecimal. 9últiplos e ;ubmúltiplos do ;egundo

Uuadro de unidades 9últiplos

minutos .ora diamin h d59 s 59 min ? 3.599 s %* h ? 8.**9 min ? $5.*99s

São submúltiplos do segundo:• décimo de segundo

• centésimo de segundo• milésimo de segundo

Cuidado: &unca escre(a %,*9h como forma de representar % h *9 min. ois o sistema demedidas de tempo não é decimal. Obser(e:

9edidas de tempoOutras importantes unidades de medida:

mKs comercial) 3 & diasano comercial) 3 #& dias

ano normal) 3 #" dias e # .orasano bisseto) 3 ## dias

semana 3 + dias

/uin0ena 3 1" diasbimestre 3 2 mesestrimestre 3 meses

/uadrimestre 3 ! meses

semestre 3 # mesesbiKnio 3 2 anos

lustro ou /Zin/ZKnio 3 " anosdécada 3 1& anosséculo 3 1&& anos

milKnio 3 1&&& anos9edidas de comprimento

9edidas de 4omprimento ;istema 9étrico Decimal

+esde a #ntiguidade os po(os foram criando suas unidades de medida. Cada um delespossuía suas prLprias unidades=padrão. Com o desen(ol(imento do comércio fica(am cada



(e mais difíceis a troca de informaçes e as negociaçes com tantas medidas diferentes. 'ranecess-rio )ue se adotasse um padrão de medida único para cada grandea.

oi assim )ue, em 8678, época da 1e(olução francesa, um grupo de representantes de(-rios países reuniu=se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgiao sistema métrico decimal.

9etro # pala(ra metro (em do gegro métron e significa Jo )ue medeJ. oi estabelecidoinicialmente )ue a medida do metro seria a décima milionésima parte da distZncia do Llo&orte ao ')uador, no meridiano )ue passa por aris. &o Xrasil o metro foi adotado oficialmenteem 87%$. 9últiplos e ;ubmúltiplos do 9etro

#lém da unidade fundamental de comprimento, o metro, e"istem ainda os seus múltiplos esubmúltiplos, cu!os nomes são formados com o uso dos prefi"os: )uilo, hecto, deca, deci, centie mili. Obser(e o )uadro:

Iúltiplos0nidade

undamentalSubmúltiplos

)uilWmetro hectWmetro decZmetro metro decímetro centímetro milímetro

Um hm dam m dm cm mm8.999m 899m 89m 8m 9,8m 9,98m 9,998m

Os múltiplos do metro são utiliados para medir grandes distZncias, en)uanto ossubmúltiplos, para pe)uenas distZncias. ara medidas milimétricas, em )ue se e"ige precisão,utiliamos:

mícron AB ? 89=5 m angstrn AjB ? 89=89 m ara distZncias astronWmicas utiliamos o #no=lu AdistZncia percorrida pela lu em um anoB:

#no=lu ? 7,4 k 898% Um O pé, a polegada, a milha e a !arda são unidades não pertencentes ao sistemas métricodecimal, são utiliadas em países de língua inglesa. Obser(e as igualdades abai"o:

é ? 39,*$ cmolegada ? %,4* cm

arda ? 78,** cmIilha terrestre ? 8.597 mIilha marítima ? 8.$4% m

Obser(e )ue:8 pé ? 8% polegadas8 !arda ? 3 pés

9edidas de 4omprimento 6eitura das 9edidas de 4omprimento

# leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o au"ílio do )uadro deunidades. '"emplos: Veia a seguinte medida: 84,9*$ m.;e/ZKncia prática 8MB 'scre(er o )uadro de unidades:

Um hm dam m dm cm mm

%MB Colocar o número no )uadro de unidades, localiando o último algarismo da parteinteira sob a sua respecti(a.

Um hm dam m dm cm mm 8 4, 9 * $

3MB Ver a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e aparte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

84 metros e *$ milímetros Outros e"emplos:

5,96 Um l=se Jseis )uilWmetros e sete decZmetrosJ

$%,896 dam

l=se Joitenta e dois decZmetros e cento e sete

centímetrosJ.9,993 m l=se Jtrs milímetrosJ.



Aransformação de 7nidades

Obser(e as seguintes transformaçes:• @ransforme 85,4$*hm em m.

m .m dam m dm cm mm

ara transformar hm em m Aduas posiçes < direitaB de(emos multiplicar por 899 A89" 89B. 85,4$* " 899 ? 8.54$,* Ou se!a: 85,4$*hm ? 8.54$,*m

9edidas de 4omprimento• @ransforme 8,*53 dam em cm.

m .m dam m dm cm mm

ara transformar dam em cm Atrs posiçes < direitaB de(emos multiplicar por8.999 A89 " 89 " 89B. 8,*53 " 8.999 ? 8,*53 Ou se!a: 8,*53dam ? 8.*53cm.

• @ransforme 865,7m em dam.

m .m dam m dm cm mm

ara transformar m em dam Auma posição < es)uerdaB de(emos di(idir por 89. 865,7 : 89 ? 86,57 Ou se!a: 865,7m ? 86,57dam

• @ransforme 76$m em Um.

m .m dam m dm cm mm

ara transformar m em Um Atrs posiçes < es)uerdaB de(emos di(idir por 8.999. 76$ : 8.999 ? 9,76$ Ou se!a: 76$m ? 9,76$Um.8bservação* ara resol(er uma e"pressão formada por termos com diferentes unidades, de(emosinicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operaçes.

9edidas de 4omprimento:erBmetro de um :olBgono

erímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.:erBmetro do retTngulo

b = base ou comprimento . = altura ou largura erímetro ? %b D %h ? %Ab D hB

:erBmetro dos polBgonos regulares



AriTngulo e/uilátero Uuadrado ? lD l D l ? 3 k l

? l D l D lD l ? * k l

:entágono Reágono ? l D l D l D l D l

? 4 k ? l D l D l D l D l D l

? 5 k l l = medida do lado do polígono regular : = perímetro do polígono regular ara um polígono de n lados, temos:

? n k l 4omprimento da 4ircunferKncia0m pneu tem *9cm de diZmetro, conforme a figura. ergunta=se: Cada (olta completa deste pneu corresponde na horiontal a )uantos centímetros/

'n(ol(a a roda com um barbante. Iar)ue o início e o fim desta (olta no barbante. 'sti)ue o bastante e meça o comprimento da circunferncia correspondente < roda.

Iedindo essa dimensão (oc encontrar- apro"imadamente 8%4,5cm, )ue é um (alor umpouco superior a 3 (ees o seu diZmetro. amos (er como determinar este comprimento por

um processo não e"perimental. oc pro(a(elmente !- ou(iu falar de uma antiga descoberta matem-tica: +i(idindo o comprimento de uma circunferncia ACB pela medida do seu



diZmetro A+B, encontramos sempre um (alor apro"imadamente igual a 3,8*.

#ssim:O número ,1!1"%2 corresponde em matem-tica < letra grega Al=se JpiJB, )ue é a

primeira lera da pala(ra grega perímetro. Costuma=se considera ? ,1!.

Vogo:

0tiliando essa fLrmula, podemos determinar o comprimento de )ual)uercircunferncia. odemos agora conferir com au"ílio da fLrmula o comprimento da todaobtido e"perimentalmente.

C ? % r C ? % 3,8* k %9 k C ? 8%4,5 cm

,1!1"%2

9édias

!#dia aritm#tica simples

# média aritmética simples também é conhecida apenas por média. [ a medida de posiçãomais utiliada e a mais intuiti(a de todas. 'la est- tão presente em nosso dia=a=dia )ue)ual)uer pessoa entende seu significado e a utilia com fre)uncia. # média de um con!unto de(alores numéricos é calculada somandoHse todos estes valores e di(idindo=se o resultadopelo número de elementos somados, )ue é igual ao número de elementos do con!unto, ouse!a, a média de n números é sua soma di(idida por n.

!#dia ponderada

&os c-lculos en(ol(endo média aritmética simples, todas as ocorrncias tm e"atamente amesma importZncia ou o mesmo peso. +iemos então )ue elas tm o mesmo peso relati(o. &oentanto, e"istem casos onde as ocorrncias tm importZncia relati(a diferente. &estes casos, oc-lculo da média de(e le(ar em conta esta importZncia relati(a ou peso relati(o. 'ste tipo demédia chama=se média aritméticaponderada.

onderar é sinWnimo de pesar . &o c-lculo da média ponderada, multiplicamos cada (alor docon!unto por seu JpesoJ, isto é, sua importZncia relati(a.

+'2&2O +' I[+2# #12@I[@2C# O&+'1#+#:

# média aritmética ponderada p de um con!unto de números "8, "%, "3, ..., "n cu!a importZnciarelati(a AJpesoJB é respecti(amente p8, p%, p3, ..., pn é calculada da seguinte maneira:

p ?

'>'IVO: #lcebíades participou de um concurso, onde foram realiadas pro(as de ortugus,Iatem-tica, Xiologia e ^istLria. 'ssas pro(as tinham peso , , 2 e 2, respecti(amente.



Sabendo )ue #lcebíades tirou $,9 em ortugus, 6,4 em Iatem-tica, 4,9 em Xiologia e *,9 em^istLria, )ual foi a média )ue ele obte(e/

p ?

ortanto a média de #lcebíades foi de 5,*4.

Números racionais

-acionais :ositivos e -acionais 'egativos O )uociente de muitas di(ises entre números naturais é um número racional absoluto.

&úmeros racionais positi(os e números racionais negati(os )ue se!am )uocientes de dois negati(os )ue

se!am )uocientes de dois números inteiros, com di(isor diferente de ero.

or e"emplo:

AD86B : A=*B ?

é um número racional negati(o

'úmeros -acionais :ositivos 'sses números são )uocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

• AD$B : AD4B

• A=3B : A=4B

'úmeros -acionais 'egativos São )uocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

• A=$B : AD4B

• A=3B : AD4B

'úmeros -acionais* (scrita Sracionária

tm (alor igual a e representam o número racional .

Obs.: @odo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracion-ria:

+enominamos número racional o )uociente de dois números inteiros Adi(isordiiferente de eroB, ou se!a, todo número )ue pode ser colocado na formafracion-ria, em )ue o numerador e denominador são números inteiros.

Con6unto dos números racionais



O con!unto dos números racionais é uma ampliação do con!unto dos números inteiros. O con!unto formado pelos números racionais positi(os, os números racionais negati(os eo ero são um no(o con!unto )ue chamamos de conIunto dos números racionais e érepresentado por U. '"emplos:

Obser(e o desenho abai"o:

O con!unto de N é uma ampliação do con!unto H.

8utros subconIuntos de U:

• N é o con!unto dos números racionais diferentes de ero;

• ND é o con!unto dos números racionais positi(os e o ero;

• N= é o con!unto dos números racionais, negati(os e o ero;

• ND é o con!unto dos números racionais e positi(os;

• N= é o con!unto dos números racionais negati(os.

• Operações com números racionais

• Adição e Sutração

• ara simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas.

'liminamos os parenteses e escre(emos os números um ao lado do outro, da mesma

forma como faemos com os números inteiros.

• '"emplo 8: Nual é a soma:

•

•

• '"emplo %: Calcule o (alor da e"pressão



•

•

• 9ultiplicação e divisão

• &a multiplicação de números racionais, de(emos multiplicar numerador por

numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos e"emplosabai"o:

•

• &a divisão de números racionais, de(emos multiplicar a primeira fração pelo in(erso

da segunda, como é mostrado no e"emplo abai"o:

•

•

•

:otenciação e radiciação

• &a potenciação, )uando ele(amos um número racional a um determinado

e"poente, estamos ele(ando o numerador e o denominador a esse e"poente,conforme os e"emplos abai"o:

•



• &a radiciação, )uando aplicamos a rai )uadrada a um número racional, estamos

aplicando essa rai ao numerador e ao denominador, conforme o e"emplo abai"o:

•

• auadas

. ) & 1 +

11 = 1

12 = 21% = %14 = 415 = 513 = 317 = 718 = 819 = 9

110 = 10

21 = 2

22 = 42% = 324 = 825 = 1023 = 1227 = 1428 = 1329 = 18210 = 20

%1 = %

%2 = 3%% = 9%4 = 12%5 = 15%3 = 18%7 = 21%8 = 24%9 = 27%10 = %0

41 = 4

42 = 84% = 1244 = 1345 = 2043 = 2447 = 2848 = %249 = %3410 = 40

51 = 5

52 = 105% = 1554 = 2055 = 2553 = %057 = %558 = 4059 = 45510 = 50

% , 0 - .'

31 = 332 = 123% = 1834 = 2435 = %033 = %337 = 4238 = 4839 = 54310 = 30

71 = 772 = 147% = 2174 = 2875 = %573 = 4277 = 4978 = 5379 = 3%710 = 70

81 = 882 = 138% = 2484 = %285 = 4083 = 4887 = 5388 = 3489 = 72810 = 80

91 = 992 = 189% = 2794 = %395 = 4593 = 5497 = 3%98 = 7299 = 81910 = 90

101 = 10102 = 2010% = %0104 = 40105 = 50103 = 30107 = 70108 = 80109 = 90

1010 = 100

5rabes, 4ardinais e 8rdinais'úmerosárabes)

4ardinais 8rdinais

8 um primeiro

% dois segundo

3 trs terceiro

* )uatro )uarto

4 cinco )uinto

5 seis se"to

6 sete sétimo$ oito oita(o



7 no(e nono

89 de décimo

88 one décimo primeiro

8% doe décimo segundo

83 tree décimo terceiro

8* catore décimo )uarto84 )uine décimo )uinto

85 deesseis décimo se"to

86 deessete décimo sétimo

8$ deoito décimo oita(o

87 deeno(e décimo nono

%9 (inte (igésimo

%8 (inte e um (igésimo primeiro

39 trinta trigésimo

*9 )uarenta )uadragésimo

49 cin)uenta )uin)uagésimo59 sessenta se"agésimo

69 setenta septuagésimo

$9 oitenta octogésimo

79 no(enta nonagésimo

899 cem centésimo

%99 duentos ducentésimo

399 treentos tricentésimo

*99 )uatrocentos )uadrigentésimo

499 )uinhentos )uingentésimo

599 seiscentos seiscentésimo699 setecentos septigentésimo

$99 oitocentos octigentésimo

799 no(ecentos nongentésimo

8999 mil milésimo

89 999 de mil de milésimos

899 999 cem mil cem milésimos

8 999 999 um milhão milionésimo

-a0Ges trigonométricas4atetos e Ripotenusa

'm um triZngulo chamamos o lado oposto ao Zngulo reto de .ipotenusa e os ladosad!acentes decatetos. Obser(e a figura:

^ipotenusa:

Catetos: e



;eno, 4osseno e Aangente Considere um triZngulo retZngulo %A> :

^ipotenusa: , mA B ? a.

Catetos: , mA B ? b.

, mA B ? c.

ngulos: , e .

@omando por base os elementos desse triZngulo, podemos definir as seguintes raestrigonométricas:

•

;eno de um Zngulo agudo é a raão entre a medida do cateto oposto a esse Zngulo ea medida da hipotenusa.

#ssim:

• 4osseno de um Zngulo agudo é a raão entre a medida do cateto ad!acente a esseZngulo e a medida da hipotenusa.

#ssim:



-a0Ges trigonométricasAangente

• Aangente de um Zngulo agudo é a raão entre a medida do cateto oposto e a medidado cateto ad!acente a esse Zngulo.

#ssim:

'"emplo:



Observações: 8. # tangente de um Zngulo agudo pode ser definida como a raão entre seno deste Zngulo eo seu cosseno. #ssim:

%. # tangente de um Zngulo agudo é um número real positi(o.

3. O seno e o cosseno de um Zngulo agudo são sempre números reais positi(os menores)ue 8, pois )ual)uer cateto é sempre menor )ue a hipotenusa.

<s ra0Ges trigonométricas de &º, !"º e #&º Considere as figuras:

)uadrado de lado l e diagonal@riZngulo e)Ril-tero de lado 8 e

altura

;eno, cosseno e tangente de &º #plicando as definiçes de seno, cosseno e tangente para os Zngulos de 39M, temos:

;eno, cosseno e tangente de !"º

#plicando as definiçes de seno, cosseno e tangentepara um Zngulo de *4M, temos:



;eno, cosseno e tangente de #&º #plicando as definiçes de seno, cosseno e tangente para um Zngulo de 59M, temos:

-esumindo

x sen x cos x tg x

39M

*4M

59M

;emel.ança de :olBgonos=ntrodução

Obser(e as figuras:

igura #

igura X



igura C 'las representam retZngulos com escalas diferentes. Obser(e )ue os trs retZngulos tem amesma forma, mas de tamanhos diferentes.

+iemos )ue esse mapas são figuras semel.antes. &essas figuras podemos identificar: <W = distZncia entre < e W Acomprimento do retZnguloB 4D = distZncia entre 4 e D Alargura do retZnguloB

= Zngulos agudos formados pelos segmentos

Iedindo os segmentos de reta e e os Zngulos A B das figuras, podemosorganiar a seguinte tabela:

m A B m A B Zngulo

ig. C 3,7 cm 8,3 cm ? 79M

ig. X *,4 cm 8,4 cm ? 79M

ig. # 5,9 cm %,9 cm ? 79M Obser(e )ue:

• Os Zngulos correspondente nas trs figuras tm medidas iguais;

• #s medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;

+esse e"emplo, podemos concluir )ue duas ou mais figuras são semelhantes em geometria

)uando:• os Zngulos correspondentes tm medidas iguais ;• as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;• os elementos das figuras são comuns.

Outro e"emplos de figuras semel.antes*

tm formas iguais e tamanhos diferentes.

;emel.ança de :olBgonos:olBgonos ;emel.antes Considere os polígonos A%>? e A%> ?, nas figuras:



Obser(e )ue:• os Zngulos correspondentes são congruentes:

• os lados correspondentes Aou homLlogosB são proporcionais:

ou

odemos concluir )ue os polígonos A%>? e A%> ? são semel.antes e indicamos:

A%>? A%?> Al=se Jpolígonos A%>? é semelhante ao polígono A%?> JB Ou se!a:

+ois polígonos são semel.antes )uando os Zngulos correspondentes sãocongruentes e os lados correspondentes são proporcionais.

# raão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina=se ra0ão de

semel.ança, ou se!a:

# raão de semelhança dos polígonos considerados éObs: # definição de polígonos semelhantes sL é (-lida )uando ambas as condiçGes são

satisfeitas: ngulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. #penas uma das condiçes não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.

;emel.ança de :olBgonos:ropriedades

Se dois polígonos são semelhantes, então a raão entre seus perBmetros é

igual < raão entre as medidas de dois lados homLlogos )uais)uer dospolígonos.

+emonstração:Sendo A%>? A%> ?, temos )ue:



Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:erímetro de A%>?E A% pB ? A% D %> D >? D ?E D EA

erímetro de A%> +' A% pB ? A% D %> D > ? D ?E D E Aor uma propriedade das proporçes, podemos afirmar )ue:

'"emplo:• Os lados de um triZngulo medem 3,5 cm, 5,* cm e $ cm. 'sse triZngulo é semelhante a

um outro cu!o perímetro mede *4 cm. calcule os lados do segundo triZngulo. ;olução

1aão de semelhança ?

Vogo, os lados do segundo triZngulo são 7cm, 85cm e %9cm.

8peraçGes com números racionais decimais <dição Considere a seguinte adição: 8,%$ D %,5 D 9,93$ @ransformando em fraçes decimais, temos:

9étodo prático

8MB 2gualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de eros;%MB Colocamos (írgula debai"o de (írgula;3MB 'fetuamos a adição, colocando a (írgula na soma alinhada com as demais.

'"emplos:

8,%$ D %,5 D 9,93$ 34,* D 9,64 D *6 5,8* D 8,$ D 9,996



;ubtração Considere a seguinte subtração: 3,76 = %,983 @ransformando em fração decimais, temos:

9étodo prático

8MB 2gualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de eros;%MB Colocamos (írgula debai"o de (írgula;3MB 'fetuamos a subtração, colocando a (írgula na diferença, alinhada comas demais.

'"emplos:3,76 = %,983 86,% = 4,8*5 7 = 9,7$6

8peraçGes com números racionais decimais 9ultiplicação Considere a seguinte multiplicação: 3,*7 k %,4

@ransformando em fração decimais, temos:

9étodo prático Iultiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamosa (írgula no resultado de modo )ue o número de casas decimais do produto se!aigual < soma dos números de casas decimais do fatores.

'"emplos:3,*7 k %,4

8,$*% k 9,983

Observação:

8. &a multiplicação de um número natural por um número decimal, utiliamos o métodopr-tico da multiplicação. &esse caso o número de casas decimais do produto é igual aonúmero de casas decimais do fator decimal. '"emplo:



4 k 9,!2 ? %,11" %. ara se multiplicar um número decimal por 89, 899, 8.999, ..., basta deslocar a(írgula para a direitauma, duas, trs, ..., casas decimais. '"emplos:

3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. '"emplos

9,94 ? ? 4_ 8,86 ? ? 886_ 4,$ ? 4,$9 ? ? 4$9_

8peraçGes com números racionais decimais Divisão 1º* Divisão eata Considere a seguinte di(isão: 8,* : 9,94

@ransformando em fraçes decimais, temos:9étodo prático

8MB 2gualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de eros;%MB Suprimimos as (írgulas;3MB 'fetuamos a di(isão.

'"emplos:

• 8,* : 9,94

2gualamos as casa decimais: 8,*& : 9,94

Suprimindo as (írgulas: 8*9 : 4 Vogo, o )uociente de 8,* por 9,94 é %$.

'fetuado a di(isão

• 5 : 9,984

2gualamos as casas decimais 5,999 : 9,984 Suprimindo as (írgulas 5.999 : 84 Vogo, o )uociente de 5 por 9,984 é *99.

'fetuando a di(isão

• *,975 : 8,5




2gualamos as casas decimais *,975 : 8,599 Suprimindo as (írgulas *.975 : 8.599

Obser(e )ue na di(isão acima o )uociente inteiro é % e o resto corresponde a $75 unidades.odemos prosseguir a di(isão determinando a parte decimal do )uociente. ara adeterminação dos décimos, colocamos uma (írgula no )uociente e acrescentamosum ero resto, uma (e )ue $75 unidades corresponde a $.759 décimos.

Continuamos a di(isão para determinar os centésimos acrescentando outro ero ao no(o resto,uma (e )ue 759 décimos correspondem a 7599 centésimos.

O )uociente %,45 é e"ato, pois o resto é nulo.Vogo, o )uociente de *,975 por 8,5 é %,45.

8peraçGes com números racionais decimais

• 9,63 : 4

2gualamos as casas decimais 9,63 : 4,99 Suprimindo as (írgulas 63 : 499


odemos prosseguir a di(isão, colocando uma (írgula no )uociente e acrescentamosum ero < direita do trs. #ssim:

Continuamos a di(isão, obtemos:

Vogo, o )uociente de 9,63 por 4 é 9,8*5.

'm algumas di(ises, o acréscimo de um ero ao resto ainda não torna possí(el a di(isão.&esse caso, de(emos colocar um ero no )uociente e acrescentar mais um ero ao resto.'"emplos:

• %,3*5 : %,3

erifi)ue *59 AdécimosB é inferior ao di(isorA%.399B. Colocamos, então, um ero no)uociente e acrescentamos mais um ero ao



resto.

Vogo, o )uociente de %,3*5 por %,3 é 8,9%. 8bservação*

ara se di(idir um número decimal por 89, 899, 8.999, ..., basta deslocar a (írgula para aes)uerdauma, duas, trs, ..., casas decimais. '"emplos:


2º * Divisão nãoHeata

&o caso de uma di(isão não=e"ata determinamos o )uociente apro"imado por falta ou pore"cesso.

Se!a, por e"emplo, a di(isão de 55 por %8:



@omando o )uociente 3 Apor faltaB, ou * Apor e"cessoB, estamos cometendo um erro )ue umaunidade, pois o )uociente real encontra=se entre 3 e *. Vogo:

#ssim, na di(isão de 55 por %8, temos: afirmar )ue:

3 é o )uociente apro"imado por falta, a menos de uma unidade. * é o )uociente apro"imado por e"cesso, a menos de uma unidade.

rosseguindo a di(isão de 55 por %8, temos:

odemos afirmar )ue:

3,8 é o )uociente apro"imado por falta, a menos de um décimo. 3,% é o )uociente apro"imado por e"cesso, a menos de um décimo.

+ando mais um passo, nessa mesma di(isão, temos:

odemos afirmar )ue:

3,8* é o )uociente apro"imado por falta, a menos de um centésimo. 3,84 é o )uociente apro"imado por e"cesso, a menos de um centésimo.

Obser(ação:

1. #s e"presses tm o mesmo significado:

= #pro"imação por falta com erro menor )ue 9,8 ou apro"imação de décimos.

= #pro"imação por falta com erro menor )ue 9,98 ou apro"imação de centésimos e,assim, sucessi(amente.

%. +eterminar um )uociente com apro"imação de décimos, centésimos ou milésimossignifica interromper a di(isão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do)uociente, respecti(amente. '"emplos:

83 : 6 ? 8,$ Aapro"imação de décimosB 83 : 6 ? 8,$4 Aapro"imação de centésimosB 83 : 6 ? 8,$46 Aapro"imação de milésimoB

Cuidado



&o caso de ser pedido um )uociente com apro"imação de uma di(isão e"ata, de(emoscompletar com eroAsB, se preciso, aAsB casaAsB do )uociente necess-riaAsB para atingir talapro"imação. '"emplo: O )uociente com apro"imação de milésimos de $ de 3,% é

8peraçGes com números racionais decimais-epresentação Decimal de uma Sração 8rdinária odemos transformar )ual)uer fração ordin-ria em número decimal, de(endo para isso di(idir o numerador pelo denominador da mesma. '"emplos:

• Con(erta em número decimal.

Vogo, é igual a 9,64 )ue é um decimal e"ato.


Vogo, é igual a 9,333... )ue é uma díima periLdica simples.


Vogo, é igual a 9,$333... )ue é uma díima periLdica composta.DB0ima :eriódicas ^- fraçes )ue não possuem representação decimal e"ata. or e"emplo:

? 9,333... ? 9,$333...



#os numerais decimais em )ue h- repetição periLdica e infinita de um ou mais algarismos,d-=se o nome de numerais decimais periLdicos ou díimas periLdicas. 'm uma díimaperiLdica, o algarismo ou algarismo )ue se repetem infinitamente, constituem o períododessa díima. #s díimas classificam=se em díimas periLdicas simples e díimasperiLdicas compostas. '"emplos:

? 9,444... Aeríodo: 4B ? %,333... Aeríodo: 3B ? 9,8%8%... Aeríodo: 8%B São díimas periLdicas simples, uma (e )ue o período apresenta=se logo apLs a (írgula.

? 9,9%%%...eríodo: %arte não periLdica: 9

? 8,84***...eríodo: *arte não periLdica: 84

? 9,8%3%3%3...eríodo: %3arte não periLdica: 8

São díima periLdicas compostas, uma (e )ue entre o período e a (írgula e"iste uma partenão periLdica.Obser(açes

1. Consideramos parte não periLdica de uma díima o termo situado entre a (írgula e o

período. '"cluímos portanto da parte não periLdica o inteiro.

2. odemos representar uma díima periLdica das seguintes maneiras:

9,444... ou ou 9,9%%%... ou ou

%,333... ou ou 8,84***... ou ou

9,8%8%8%... ou 9,8%3%3%3... ou


Jeratri0 de uma DB0ima :eriódica

[ possí(el determinar a fração Anúmero racionalB )ue deu origem a uma díima periLdica.+enominamos esta fração de geratri da díima periLdica. rocedimentos para determinação de uma díima: DB0ima simples

# geratri de uma díima simples é uma fração )ue tem para numerador operíodo e para denominador tantos no(es )uantos forem os algarismos doperíodo.

'"emplos:

DB0ima composto

# geratri de uma díima composta é uma fração da forma , onde:

n parte não=periLdica seguida do período, menos a parte não=periLdica.d tantos no(es )uantos forem os algarismos do período seguidos detantos eros )uantos forem os algarismos da parte não=periLdica.

'"emplo:



8%,43%5%5%5... ? 8% D 9,43%5%5%5... ?


:otenciação #s potncias nas )uais a base é um número decimal e o e"poente um número naturalseguem as mesma regras desta operação, !- definidas. #ssim:

A3,4B% ? 3,4 k 3,4 ? 8%,%4 A9,5*B8 ? 9,5*A9,*B3 ? 9,* k 9,* k 9,* ? 9,95* A9,8$B9 ? 8

-ai0 Uuadrada # rai )uadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformandoo mesmo numa fração decimal. #ssim:

(pressGes 'uméricas &o c-lculo de e"presses numérico en(ol(endo números decimais seguimos as mesmasregras aplicadas <s e"presses com números fracion-rios. 'm e"presses contendo fraçes e números decimais, de(emos trabalhar transformandotodos os termos em um sL tipo de número racional. '"emplo:

? 9,94 D 9,% k 9,85 : 9,* D 9,%4? 9,94 D 9,93% : 9,* D 9,%4? 9,94 D 9,9$ D 9,%4 ? 9,3$ 'm e"presses contendo díimas, de(emos determinar imediatamente suas geratries.'"emplos:



Uuadrilátero

Definição*Uuadrilátero é um polígono de )uatro lados.

Nuadril-tero A%>?

'm um )uadril-tero, dois lados ou dois Zngulos não=consecuti(os são chamados opostos.

(lementos

&a figura abai"o, temos:

Nuadril-tero A%>?

>értices* #, X, C, e +.

6ados*

Diagonais* ngulos internos ou Zngulos do

)uadril-tero #XC+: .

Obser(açes1. @odo )uadril-tero tem duas diagonais.2. O perímetro de um )uadril-tero #XC+ é a soma das medidas de seus lados, ou se!a:

#X D XC D C+ D +#.

4]ncavos e 4onveos



Os )uadril-teros podem ser con(e"os ou cWnca(os.

0m )uadril-tero é conveo )uando a reta )ue une dois (értices consecuti(os não encontrao lado formado pelos dois outros (értices.

Nuadril-tero con(e"o

Uuadrilátero ;oma das medidas dos Tngulos internos de um /uadrilátero conveo

# soma do Zngulos internos de um )uadril-tero con(e"o é 359M. odemos pro(ar tal afirmação decompondo o )uadril-tero #XC+ nos triZngulos #X+ e XC+.

+o triZngulo #X+, temos : a D b8 D d8 ? 8$9M. 8

+o triZngulo XC+, temos: c D b% D d% ? 8$9M. % #dicionando 8 com % , obtemos: a D b8 D d8 D c D b% D d% ? 8$9M D 8$9M a D b8 D d8 D c D b% D d% ? 359M a D b D c D d ? 359M

Observações 8.@ermos uma fLrmula geral para determinação da soma dos Zngulos internos de )ual)uerpolígono con(e"o:

Si ? An = %Bk8$9M, onde n é o número de lados do polígono. %. # soma dos Zngulos e"ternos de um polígono con(e"o )ual)uer é 359M.

Se ? 359M

Uuadriláteros 'otáveis:aralelogramo

aralelogramo é o )uadril-tero )ue tem os lados opostos paralelos.'"emplo:



h é a altura do paralelogramo.

O ponto de intersecção das diagonais AE B é chamado centro de simetria. +estacamos alguns paralelogramos:

Uuadrilátero -etTngulo

1etZngulo é o paralelogramo em )ue os )uatro Zngulos são congruentes AretosB.'"emplo:

6osango

Vosango é o paralelogramo em )ue os )uatro lados são congruentes.'"emplo:

Uuadrado

Nuadrado é o paralelogramo em )ue os )uatro lados e os )uatroZngulos são congruentes.

'"emplo:



[ o único )uadril-tero regular. [, simultaneamenteretZngulo e losango.

Arapé0io[ o )uadril-tero )ue apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.

'"emplo:

+enominamos trape0óide o )uadril-tero )ue não apresenta lados paralelos.Uuadrilátero

+estacamos alguns trapéios: Arapé0io retTngulo

[ a)uele )ue apresenta dois Zngulos retos.'"emplo:



Arapé0io isósceles

[ a)uele em )ue os lados não=paralelos são congruentes.'"emplo:

Arapé0io escaleno

[ a)uele em )ue os lados não=paralelos não são congruentes.

'"emplo:

Uuadriláteroropriedades dos aralelogramos1L :ropriedade

Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.



@ : #XC+ é paralelogramo.

:

Demonstração Afirmativa Bustificativa

1. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2. Segmentos de paralelas entre paralelas.

2L :ropriedade

Cada diagonal do paralelogramo o di(ide em dois triZngulos congruentes.

^: #XC+ é paralelogramo.

@:


1. ^ipLtese.

2. ^ipLtese.

%. Vado comum.

4. Caso V.V.V.

L :ropriedade

#s diagonais de um paralelogramo interceptam=se mutuamente ao meio.



^: #XC+ é paralelogramo

@:


1. é diagonal A%E propriedadeB

2. ngulos correspondentes em triZnguloscongruentes.

%. ngulos correspondentes em triZnguloscongruentes.

4.

5.

Uuadrilátero !L :ropriedade

#s diagonais de um paralelogramo interceptam=se mutuamente ao meio.

^: #XC+ é paralelogramo.

@:


1. ngulos alternos internos.

2.

Vados opostos A8E propriedadeB.



%. ngulos alternos internos.

4. Caso #.V.#..

5. Vados correspondentes em triZnguloscongruentes.

-esumindo* &um paralelogramo:

• os lados opostos são congruentes;

• cada diagonal o di(ide em dois triZngulos congruentes;

• os Zngulos opostos são congruentes;

• as diagonais interceptam=se em seu ponto médio.

:ropriedade caracterBstica do retTngulo #s diagonais de um retZngulo são congruentes.

@: #XC+ é retZngulo.

^: .

Fngulos

8 F'J768 ( ;(7; (6(9('A8;

+uas semi=retas )ue não este!am contidas na mesma reta, e )ue tenham a mesmaorigem, di(idem o plano em duas regies: uma con(e"a e outra não=con(e"a.

Cada uma dessas regies, !unto com as semi=retas, forma um Tngulo. #ssim, as duassemi=retas determinam dois Zngulos:



@odo Zngulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi=retas )ue determinam.O (értice é a origem comum dessas semi=retas.

O Zngulo con(e"o, de (értice O e lados , é indicado por: #qX, Xq# ou q.

Fngulos

Obser(e agora dois casos em )ue as semi=retas de mesma origem estão contidas na mesmareta. &esses casos, formam=se também Zngulos.



• #s semi=retas coincidem. @emos aí o Tngulo nulo e o Zngulo de umavolta

• #s semi=retas não coincidem. @emos aí dois Tngulos rasos ou de meiaHvolta

odemos, então, estabelecer )ue:

Fngulo é a região do plano limitada por duas semi=retas )ue tm a mesma origem. 9(D=D< D( 79 F'J768 # medida de um Zngulo é dada pela medida de sua abertura. # unidade padrão demedida de um Zngulo é o grau, cu!o símbolo é M. @omando um Zngulo raso ou de meia=(olta e di(idindo=o em 8$9 partes iguais,determinamos 8$9 Zngulos de mesma medida. Cada um desses Zngulos representa um Zngulode 1º grau A8MB.

ara medir Zngulos utiliamos um instrumento denominado transferidor . O transferidor !- (emgraduado com di(ises de 8M em 8M. '"istem dois tipos de transferidor: @ransferidor de 8$9M ede 359M.

O grau compreende os submúltiplos:



• O minuto corresponde a do grau. 2ndica=se um minuto por 8.

8M?59

• O segundo corresponde a do minuto. 2ndica=se um segundo por 8.

8?59

Vogo, podemos concluir )ue:

8M ? 59.59 ? 3.599Nuando um Zngulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utiliando o sistemaseagesimal.

Fngulos4omo medir um Tngulo, utili0ando o transferidor

Obser(e a se)Rncia

• O centro O do transferidor de(e ser colocado sobre o (értice do Zngulo.

• # linha horiontal )ue passa pelo centro de(e coincidir com uma das semi=retas do

Zngulo .

• erificamos a medida da escala em )ue passa a outra semi=reta .

6eitura de um Tngulo

Obser(e as seguintes indicaçes de Zngulos e suas respecti(as leituras: 84M Al=se J84 grausB *4M49 Al=se *4 graus e 49 minutosB 39M*$35 Al=se 39 graus, *$ minutos e 35 segundosBObser(açes #lém do transferidor, e"istem outros instrumentos )ue medem Zngulos com maior precisão.Como e"emplos temos o teodolito, utiliado na agrimensura, e o setante, utiliado emna(egação. # representação da medida de um Zngulo pode também ser feita atra(és de uma letraminúscula ou deum número.

0m Tngulo raso ou de meia=(olta mede 1$&ºO Tngulo de uma volta mede #&º UuestGes envolvendo medidas de TngulosObser(e a resolução das )uestes abai"o:

• +etermine a medida do Zngulo AC% na figura:



;oluçãoIedida de #qX ? "Iedida de XqC ? 894MComo m A #qCB é 8$9M, pois é um Zngulo raso, temos: m A#qXB D m AXqCB ? m A#qCB " D 894M ? 8$9M " ? 8$9M = 894M " ? 64MVogo, a medida de #qX é 64M.

• +etermine a medida do 5angulo não=con(e"o na figura:

;oluçãoerificamos )ue o Zngulo não=con(e"o na figura A"B e o Zngulo con(e"o A49MB formam, !untos,um Zngulo de uma (olta, )ue mede 359M. #ssim:

" D 49M ? 359M" ? 359M = 49M

" ? 389MVogo, o (alor do Zngulo não=con(e"o é 389M.

Fngulos

4omo construir um Tngulo utili0ando o transferidor

Obser(e a se)Rncia utiliada na construção de um Zngulo de 49M:

• @raçamos uma semi=reta .



• Colocamos o centro do transferidor sobre a origem da semi=reta A#B.

• 2dentificamos no transferidor o ponto ACB correspondente < medida de 49M.

• @raçamos a semi=reta , obtendo o Zngulo XC )ue mede 49M.

Os Zngulos de 39M, *4M, 59M e 79M são Zngulos especiais.

'les podem ser desenhados com es)uadro.

A-<';S8-9<E8 D( 7'=D<D(;

Como (imos, )uando trabalhamos com medidas de Zngulos, utiliamos o sistemaseagesimal

Obser(e nos e"emplos como efetuar transformaçes nesse sistema:

• @ransforme 39M em minutos.

;olução

Sendo 8M ? 59, temos:

39M ? 39 . 59? 8.$99

Vogo, 39M ? 8.$99

• @ransforme 4M34 em minutos.

;olução

4M ? 4 . 59 ? 399



399 D 34? 334

Vogo, 4M34? 334.

•

transforme $M em segundos.

;olução

Sendo 8M ? 59, temos:

$M ? $ . 59? *$9

Sendo 8? 59, temos:

*$9? *$9 . 59 ? %$.$99

Vogo, $M ? %$.$99.

• @ransforme 3M34 em segundos.

;olução

3M ? 3 . 59? 8$9

8$9 D 34 ? %84

%84 . 59 ? 8%.799

Vogo, 3M34? 8%.799

• @ransforme %M%9*9 em segundos.

;olução

%M ? % . 59 ? 8%9

8%9 D %9 ? 8*9

8*9. 59? $.*99

$.*99 D *9 ? $.**9

Vogo, %M%9*9 ? $.**9

Fngulos

Aransformando uma medida de Tngulo em número misto

• @ransforme 839 em graus e minutos.



;olução

• @ransforme 849 em minutos e segundos.

;olução

• @ransforme %5.83$ em graus, minutos e segundos.

;olução

9edidas fracionárias de um Tngulo



• @ransforme %*,4M em graus e minutos.

solução

9,4M ? 9,4 . 59 ? 39

%*,4M? %*M D 9,4M ? %*M39

Vogo, %*,4M ? %*M39.

• @ransforme *4M35 em graus.

solução

59 8M

35 "

" ? 9,5M Al=se seis décimos de grauB

Vogo, *4M35? *4M D 9,5M ? *4,5M.

• @ransforme 44* em minutos.

;olução

59 8

4* "

" ? 9,7 A l=se no(e décimos de minutoB

Vogo, 44* ? 4D 9,7? 4,7

Fngulos8:(-<?(; 489 9(D=D<; D( F'J768;Obser(e alguns e"emplos de como adicionar medidas de Zngulos:<dição

• 39M*$ D *4M89

• *3M8$%9 D %4M%939



• 89M3539 D %3M*449

Simplificando 33M$8$9, obtemos:

Vogo, a soma é 3*M%%%9. ;ubtraçãoObser(e os e"emplos:

• 69M%4 = 39M84

• 3$M*449 = %6M3%34

• 79M = 34M*7*5



• $9M*$39 = 69M4$44

Obser(e )ue:

Vogo, a diferença é 7M *734.

Fngulos9ultiplicação por um número naturalObser(e os e"emplos:

• % . A 35M %4B

• * . A 84M 8%B

• 4 . A 8%M35*9B

Vogo, o produto é 53M3%9.

Divisão por um número naturalObser(e os e"emplos:

• A *9M %9B : %



• A *4M%9 B : *

• A 49M8639 B : 5

FngulosF'J768; 48'J-7('A(;Obser(e os Zngulos abai"o:



erifi)ue )ue #qX e Cq+ tm a mesma medida. 'les são Tngulos congruentes e podemosfaer a seguinte indicação:

#ssim:

+ois Zngulos são congruentes )uando tm a mesma medida.

:ropriedades da 4ongruKncia

• -efleiva*

• ;imétrica*

• Aransitiva*

FngulosF'J768; 48';(47A=>8;

Obser(e a figura:

&ela identificamos os Zngulos #qC, CqX e #qX.erifi)ue em cada uma das figuras abai"o )ue:

Os Zngulos #qC e CqX possuem:értice comum: O

Vado comum:



Os Zngulos #qC e #qX possuem:értice comum: O

Vado comum:

Os Zngulos CqX e #qX possuem:értice comum: O

Vado comum:

Os pares de Zngulos #qC e CqX, #qC e #qX, CqX e #qX são denominados Tngulosconsecutivos #ssim:

+ois Zngulos são consecuti(os )uando possuem o mesmo (értice e um lado comum.

FngulosF'J768; <D^<4('A(;Obser(e os e"emplos de Zngulos consecuti(os (istos anteriormente e (erifi)ue )ue:

Os Zngulos #qC e CqX não possuem pontosinternos comuns

Os Zngulos #qC e #qX possuem pontos internoscomuns



Os Zngulos CqX e #qX possuem pontos internoscomuns

erifi)ue )ue os Zngulos #qC e CqX são consecuti(os e não possuem pontos internoscomuns. or isso eles são denominados Tngulos adIacentes #ssim:

+ois Zngulos são adIacentes )uando são consecuti(os e não possuem pontos internoscomuns.

Obser(ação:

+uas retas concorrentes determinam (-rios Zngulos ad!acentes. '"emplos:

FngulosW=;;(A-=Y D( 79 F'J768Obser(e a figura abai"o:

m A #qC B ? m ACqX B ? %9M



erifi)ue )ue a semi=reta di(ide o Zngulo #qX em dois Zngulos A #qX e CqX Bcongruentes.

&esse caso, a semi=reta é denominada bissetri0 do Zngulo #qX. #ssim:

Wissetri0 de um Zngulo é a semi=reta com origem no (értice desse Zngulo e )ue o di(ide em

dois outros Zngulos congruentes.

7tili0ando o compasso na construção da bissetri0 de um Tngulo +eterminação da bissetri do Zngulo #qX.

• Centramos o compasso em O ecom uma abertura determinamosos pontos C e + sobre as semi=

retas ,respecti(amente.

• Centramos o compasso em C e +e com uma abertura superior <metade da distZncia de C a +traçamos arcos )ue se cruamem '.

• @raçamos , determinandoassim a bissetri de #qX.

Fngulos

F'J768 <J7D8, 8WA7;8 ( -(A8

odemos classificar um Zngulo em agudo, obtuso ou reto.

• Fngulo agudo é o Zngulo cu!a medida é menor )ue 79M. '"emplo:



• Fngulo obtuso é o Zngulo cu!a medida é maior )ue 79M. '"emplo:

• Fngulo reto é o Zngulo cu!a medida é 79M. '"emplo:

-(A<; :(-:('D=476<-(;

#s retas r e s da figura abai"o são concorrentes e formam entre si )uatro Zngulos retos.



+iemos )ue as retas r e s são perpendiculares e indicamos:

'serva#o

+uas retas concorrentes )ue não formam Zngulos retos entre si são chamadas de oblB/uos.

'"emplo:

FngulosF'J768; 489:6(9('A<-(;Obser(e os Zngulos #qX e XqC na figura abai"o:

erifi)ue )ue:



m A#qXB D m AXqCB ? 79M

&esse caso, diemos )ue os Zngulos #qX e XqC são complementares #ssim:

+ois Zngulos são complementares )uando a soma de suas medidas é 79M. '"emplo:

Os Zngulos )ue medem *%M e *$M são complementares, pois *%M D *$M ? 79M. +iemos )ue o Zngulo de *%M é o complemento do Zngulo de *$M, e (ice=(ersa.ara calcular a medida do complemento de um Zngulo, de(emos determinar a diferença entre79M e a medida do Zngulo agudo dado.

Iedida do Zngulo Complemento

" 79M = "

'"emplo:• Nual a medida do complemento de um Zngulo de 64M/

;oluçãoIedida do complemento ? 79M = medida do ZnguloIedida do complemento ? 79M = 64M

Iedida do complemento ? 84MVogo, a medida do complemento do Zngulo de 64M é 84M. 8bservação*Os Zngulos >q e qH da figura ao lado, além de complementares, são também ad!acentes.+iemos )ue esses Zngulos são adIacentes complementares

FngulosF'J768; ;7:6(9('A<-(;Obser(e os Zngulos #qX e XqC na figura abai"o:

#s semi=retas formam um Zngulo raso.

erifi)ue )ue: m A #qX B D m AXqCB ? 8$9M&esse caso, diemos )ue os Zngulos #qX e XqC são suplementares #ssim:



+ois Zngulos são suplementares )uando a soma de suas medidas é 8$9M. '"emplo: Os Zngulos )ue medem $%M e 7$M são suplementares, pois $%M D 7$M ? 8$9M. +iemos )ue o Zngulo de $%M é o suplemento do Zngulo de 7$M, e (ice=(ersa. ara calcular a medida do suplemento de um Zngulo, de(emos determinar a diferença

entre 8$9M e a medida do Zngulo agudo dado.

Iedida do Zngulo Suplemento

> 8$9M = >

'"emplo:

• Nual a medida do suplemento de um Zngulo de 44M/

;oluçãoIedida do suplemento ? 8$9M = medida do ZnguloIedida do suplemento ? 8$9M = 44M

Iedida do suplemento ? 8%4MVogo, a medida do suplemento do Zngulo de 44M é 8%4M. Obser(ação:

Os Zngulos >q e qH da figura ao lado, alémdesuplementares, são também ad!acentes.+iemos )ue esses Zngulos são adIacentessuplementares.

FngulosF'J768; 8:8;A8; :(68 >_-A=4(Obser(e os Zngulos #qX e Cq+ na figura abai"o:

erifi)ue )ue:

&esse caso, diemos )ue os Zngulos #qX e Cq+ são opostos pelo vértice Ao.p.(B. #ssim:

+ois Zngulos são opostos pelo (értice )uando os lados de um deles são semi=retasopostas aos lados do outro.

&a figura abai"o, (amos indicar:



Sabemos )ue: > D ? 8$9M A Zngulos ad!acentes suplementaresB > D Y ? 8$9M A Zngulos ad!acentes suplementaresB

'ntão: Vogo: T ? U #ssim:

m A#qXB ? m ACq+B #qX Cq+

m A#q+B ? m ACqXB #q+ CqX+aí a propriedade:

+ois Zngulos opostos pelo (értice são congruentes. Obser(e uma aplicação dessa propriedade na resolução de um problema:

•

+ois Zngulos opostos pelo (értice tm medidas, em graus, e"pressas por " D 59M e 3"= *9M. Nual é o (alor de "/

;olução*

matematica - ensino fundamenttal

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