ensino da matematica online

Luciane Lippmann2009

Ensino daMatemática

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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTESINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ

L743m

Lippmann, Luciane Ensino da matemática / Luciane Lippmann. - Curitiba, PR : IESDE Brasil,

2009. 220 p.

Inclui bibliografiaISBN 978-85-387-0400-3

1. Educação pré-escolar. 2. Matemática (Pré-escola) - Estudo e ensino. 3. Aprendizagem. I. Inteligência Educacional e Sistemas de Ensino II. Título.

09-1803. CDD: 372.21CDU: 372.3

Pedagoga e mestre em Educação pela Universidade Federal do Paraná, especialista em Educação Infantil pela Universidade Tuiuti do Paraná.

Professora e coordenadora pedagógica de Educação Infantil. Autora de materiais didáticos para a Educação Infantil. Coordenadora de desenvolvi-mento de materiais didáticos.

Luciane Lippmann

Sumário

Caracterização da etapa escolar ......................................... 11

Recomendações ao professor ............................................................................................... 13

A construção do pensamento infantil ............................................................................... 14

A aprendizagem de conceitos matemáticos na infância ............................................ 18

A matemática ontem e hoje e as práticas correntes..................................................... 20

Panorama mundial: razões para a mudança no ensino da matemática ............... 21

Letramento matemático ......................................................................................................... 23

Objetivos da Educação Infantil e da educação matemática ................................................... 35

Objetivos da Educação Infantil ............................................................................................ 35

Histórico e objetivos da educação matemática ............................................................ 38

A linguagem da matemática ................................................................................................ 40

A construção social da criança e da aprendizagem matemática ............................ 42

Parâmetros para o currículo de Matemática na Educação Infantil ......................... 43

O conhecimento lógico-matemático ................................ 53

Desenvolvimento lógico-matemático do ponto de vista piagetiano ................... 53

Autonomia: a finalidade da educação para Piaget ...................................................... 62

Concepções de ensino-aprendizagem da matemática ........................................................................... 77

Ensino tradicional ...................................................................................................................... 77

Didática da Matemática .......................................................................................................... 80

Algumas sugestões de problemas ...................................................................................... 85

Os números ................................................................................ 97

A ideia do número: ordem e inclusão hierárquica ........................................................ 98

Para que servem os números? ............................................................................................. 98

Recitar e contar .......................................................................................................................... 99

Numeração escrita ..................................................................................................................100

Sobre a representação convencional ...............................................................................101

Sugestões de jogos .................................................................................................................103

Sistema de numeração ..........................................................................................................107

Grandezas e medidas ............................................................117

O que é grandeza ....................................................................................................................117

Medindo sem unidade-padrão ..........................................................................................119

Trabalhando as grandezas ...................................................................................................120

Geometria na Educação Infantil ........................................135

Objetivo da geometria na Educação Infantil .................................................................135

Geometria topológica ...........................................................................................................137

Propriedades geométricas: corpo, espaço, objeto ......................................................140

Figuras planas ...........................................................................................................................142

Sólidos geométricos ...............................................................................................................145

Simetria .......................................................................................................................................146

A matemática e a leitura ......................................................155

A literatura infantil e a resolução de problemas em matemática ..........................157

As representações pelo desenho ......................................................................................157

Jogos e brincadeiras para aprender matemática .......169

Importância dos jogos ...........................................................................................................169

Jogos em grupo .......................................................................................................................170

Tipos de jogos .........................................................................................................................171

Algumas considerações .......................................................................................................178

Pedagogia de projetos didáticos: ideias para a Matemática .....................................................185

Pedagogia de projetos ..........................................................................................................185

Projeto quebra-cabeças ........................................................................................................187

Projeto baú de tesouros ........................................................................................................188

Projeto pássaros: visita a zoológico, bosque ou parque ...........................................189

Avaliação dos projetos ..........................................................................................................190

Planejamento para as etapas da Educação Infantil ...................................................190

A criança de 0 a 3 anos de idade........................................................................................191

A criança de 4 a 6 anos de idade........................................................................................191

Sobre os conteúdos ................................................................................................................191

Sobre os números ...................................................................................................................192

Sobre a notação e escrita numéricas ...............................................................................192

Sobre as operações .................................................................................................................192

Sobre grandezas e medidas ................................................................................................193

Sobre espaço e forma ............................................................................................................193

O trabalho do professor ........................................................................................................193

Avaliação formativa ................................................................................................................194

Como comunicar a avaliação na Educação Infantil? ............................................................. 196

Gabarito .....................................................................................205

Referências ................................................................................215

Apresentação

O mar recolhe de suas profundezas uma variedade de matérias e as traz à praia, revirando-as em suas correntezas; depois as recolhe, e por meio do vaivém das ondas, torna a depositá-las na areia, substituindo algumas e mantendo outras, num movimento de reposição sem fim.Assim se dá o processo de incorporação de novas a antigas ideias e teorias. Por meio destas aulas de Matemática para a Educação Infantil propõe-se trazer ao professor a reunião de uma variedade seleta do que foi construído e validado até aqui. Especialmente nas primeiras aulas, o professor se abastecerá acerca da Educação Infantil, do desenvolvimento da cognição da criança, pois quanto mais se apro-fundar no conhecimento dessa etapa, mais compreenderá porque devem ser tão elementares quanto profundos os objetivos da Matemática para a 1.ª infância e início da 2.ª infância. A aula 4 trata de concepções de ensino-aprendizagem da Matemática, das prin-cipais escolas e movimentos e traz a sugestão de ideias para a problematização de situações.Os números, para que servem, os registros possíveis e todos os desdobramentos relacionados a esse conteúdo estão predominantemente na aula 5, pois, também esse tema está interligado a outros assuntos e é abordado em outras aulas.O que mais há na escola infantil são grandezas não físicas, isto é, aquelas que não podem ser medidas como a beleza, a alegria, a emoção e o amor. A aula 6 trata disso e de como ensinar a crianças tão pequenas as grandezas físicas escalares, que são o peso, o comprimento, a área, a temperatura, o volume. A aula 7 aborda a geometria, voltada ao desenvolvimento das competências espaciais da criança, e a aula 8 as vantagens da conexão entre a literatura e a matemática.A aula 9 nos auxilia na categorização dos jogos e na diferenciação com a brinca-deira, mas especialmente na compreensão de que por ser absolutamente praze-roso para a criança e proporcionar-lhe inúmeros benefícios, ele estimula a explo-ração matemática e a solução de problemas.A aula 10 traz projetos didáticos e ideias para a Matemática, além de propostas de planejamento para os níveis da Educação Infantil e ainda, formas e reflexões sobre como encaminhar a avaliação das atividades que envolvem a matemática.Os textos complementares, as atividades, e também as dicas de estudo, ajudam a ampliar as relações entre o que se faz e o que de melhor se pode fazer como professor em benefício da aprendizagem da matemática na infância.

Para compreender como se dá o ensino e a aprendizagem da Matemáti-ca na Educação Infantil, é preciso conhecer as características do pen-samento e da aprendizagem da criança, pois os estímulos que ela recebe nos primeiros anos de vida influenciam seu desenvolvimento e determi-nam seu sucesso escolar.

Para um desempenho competente, o profissional da Educação Infantil deverá ter conhecimento do processo evolutivo da criança e domínio das diferentes formas de representação e utilização do conhecimento lógico e matemático.

De acordo com sua Resolução 3 (Lei 9.394, de 20 de dezembro de 1996), o Conselho Nacional de Educação (CNE) definiu normas nacionais para amplia-ção do Ensino Fundamental para nove anos de duração. A Lei 11.274, de 6 de fevereiro de 2006, altera a redação dos artigos 29, 30, 32 e 87 da Lei de Dire-trizes e Bases da Educação Nacional (Lei 9.394, 20 dez.1996), dispondo sobre a duração de nove anos para o Ensino Fundamental, com matrícula a partir dos seis anos de idade. Sendo assim, a Educação Infantil é a primeira etapa da Educação Básica, para crianças de zero a cinco anos de idade.

Etapa de ensino

Faixa etária prevista Duração

Educação Infantil Até 5 anos de idade

Creche Até 3 anos de idade

Pré-escola 4 a 5 anos de idade

A Educação Infantil deve ser compreendida como instância escolar de trabalho coletivo em que se estabelecem parcerias entre professores, educadores, famílias e comunidade em benefício do atendimento, do bem-estar, da educação e do desenvolvimento integral das crianças. Há que se ter uma compreensão integrada entre o cuidar e o educar, esta-belecendo interações de afeto e respeito, fundamentadas em princípios da ética democrática. Constituída de creches e pré-escolas, a Educação

Caracterização da etapa escolar

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Infantil tem caráter educativo próprio e não deve ter a pretensão de substituir a família ou antecipar práticas acadêmicas da escola de Ensino Fundamental. Uma formação integral requer a aproximação entre o afeto e a cognição, a imagina-ção e a lógica, a linguagem e a cultura, o brincar e o aprender.

As instituições de Educação Infantil no Brasil são gratuitas e laicas, isto é, não per-tencem a nenhuma ordem religiosa. São apolíticas e, juntamente com as instituições particulares, compõem o sistema de ensino do município ou do estado brasileiro.

As instituições privadas podem ser: particulares, comunitárias, confessionais e filantrópicas. De acordo com o artigo 20 da LDB, as instituições particulares são instituídas e mantidas por uma ou mais pessoas físicas ou jurídicas de direito privado. As comunitárias, por grupos de pessoas físicas ou por uma ou mais pessoas jurídicas, que incluam na sua entidade mantenedora representantes da comunidade. As escolas confessionais são aquelas que atendem orientação confessional e ideologia específica e as filantrópicas são instituídas por pessoas físicas ou jurídicas, que visam atender a comunidade carente sem fins lucrativos.

“As instituições de Educação Infantil destinam-se às crianças, brasileiras e es-trangeiras, sem distinção de gênero, cor, etnia, proveniência social, credo político ou religioso, com ou sem necessidades especiais” (MEC, 2006).

O professor da Educação Infantil deve compreender essa etapa como meio de construção de uma sociedade mais justa e solidária. Deve compreender a infân-cia como categoria social e histórica, e as crianças como produtoras de cultura e protagonistas da sociedade em que vivem. Deve organizar o trabalho, oportuni-zando a interação e a colaboração entre as crianças, levando em conta suas ne-cessidades, considerando seus direitos, sua identidade cultural e o caráter lúdico que devem ter todas as atividades desenvolvidas.

A caracterização da escola de Educação Infantil é uma conquista histórica que exige constância no exercício e na reflexão para que se supere ora a visão assistencialista, ora a concepção acadêmica herdada da preparação para o Ensino Fundamental.

A Educação Infantil visa ao desenvolvimento integral da criança e está vol-tada às aprendizagens mais espontâneas, significativas e prazerosas. Ocorre em espaços e ambientes apropriados, mais lúdicos e atraentes. Já o Ensino Funda-mental se relaciona com as aprendizagens mais científicas.

Na Educação Infantil há o consenso de que se deve promover a integração dos as-pectos físicos, emocionais, afetivos, cognitivos e sociais da criança, mas há divergên-cia entre como ou o que fazer para ser desenvolvido cada um desses aspectos.

Ensino da Matemática


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Compreender, conhecer e reconhecer o jeito particular das crianças serem e estarem no mundo é o grande desafio da Educação Infantil e de seus profissionais. Embora os conhecimentos derivados da Psicologia, Antropologia, Sociologia, Medicina etc., possam ser de grande valia para desvelar o universo infantil apontando algumas características comuns de ser das crianças, elas permanecem únicas em suas individualidades e diferenças. (BRASIL, 1998)

Recomendações ao professorCompreender o processo de desenvolvimento e de aprendizagem infantil

como processos indissociáveis, reconhecer a importância do papel do professor e do grupo como mediadores e a importância das vivências e experiências das cri-anças com objetos e situações diversas, traz algumas implicações pedagógicas:

apresentar às crianças os problemas, situações e materiais que estejam �de algum modo relacionados à sua vida cotidiana, pedindo que os identi-fiquem e os analisem;

planejar a prática educativa de modo que, às crianças, sejam oferecidas �experiências ricas e ainda não vividas;

considerar o contexto sociocultural em que vivem as crianças; �

partir sempre do que a criança sabe e apresentar situações que lhes per- �mitam avançar;

não desvalorizar o que as crianças sabem e aceitar as respostas dadas, � respeitando a individualidade de cada criança;

aprender a observar qual é o nível da criança com relação aos jogos �e aprendizagens, e intervir, facilitando e explicando de forma justa e adequada;

sempre diversificar os materiais oferecidos às crianças; �

não se preocupar em dar mais informações do que as crianças pareçam �poder assimilar, pois cada criança assimilará aquilo que pode de acordo com seu nível de desenvolvimento;

falar com as crianças de modo adequado para que entendam o que é dito, �mas sem modificar as informações;

não esperar que a criança amadureça para começar a introduzi-la em al- �gumas aprendizagens mais elevadas;

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confiar nas ações docentes como agentes de desenvolvimento e apren- �dizagem que são.

A construção do pensamento infantilNa primeira e segunda infâncias, ocorrem mudanças visíveis e surpreenden-

tes [...]1, intrigantes até, em se tratando de maturação, desenvolvimento e apren-dizagem do ser humano. A maturação está ligada ao crescimento dos aspectos físicos, biológicos e evolutivos das pessoas. O desenvolvimento liga-se às fun-ções da linguagem, do raciocínio, da memória e da atenção, por exemplo. Por sua vez, a aprendizagem se relaciona com valores, conhecimentos culturais e so-ciais e com a mudança de comportamento ou conduta – é o que leva o homem à evolução como ser humano inteligente e social.

A capacidade de aprendizagem, memorização, internalização de padrões de comportamento, desenvolvimento de autoconhecimento e construção da iden-tidade pessoal são marcantes, decisivas, nos primeiros anos da infância e, por isso, os adultos, o ambiente, as experiências vividas exercem grande influência na vida da criança.

A criança compreende o mundo e o meio em que vive e expressa esse conhecimento por meio de diferentes linguagens (oral, plástica, gestual ou cor-poral, musical, escrita, virtual) que permeiam a sua precípua atividade de brin-car. Por meio das brincadeiras, das vivências, das experiências e interações que ela faz com adultos e outras crianças, acontece a construção do pensamento infantil.

A construção de significações, a gênese do pensamento e a constituição de si mesmo como sujeito se fazem graças às interações constituídas com outros parceiros em práticas sociais concretas de um ambiente que reúne circunstâncias, artefatos, práticas sociais e significações. Ao interiorizar formas de interação social já vivenciadas, o indivíduo se apropria de estratégias para memorizar, narrar, solucionar problemas etc. criadas pelos grupos humanos com os quais ele partilha experiências. (OLIVEIRA, 2002)

Dessa forma, quanto mais e melhores forem as trocas e interações entre adul-tos e pares de idades diferentes, qualitativamente melhores serão as experiên-cias, a sociabilidade e a aprendizagem. A afetividade não estará separada da cognição e o estabelecimento de vínculos aparecerá como fundamental no pro-cesso de construção coletiva que é a aprendizagem.

1 PAPALIA, Diane E. Desenvolvimento Humano. Porto Alegre: Artmed, 2008. p. 52. Se considerarmos os oito períodos do ciclo vital, geralmente aceitos nas sociedades ocidentais industriais, o período pré-natal compreende a concepção ao nascimento; a primeira infância do nascimento aos 3 anos; a segunda infância dos 3 aos 6 anos; a terceira infância dos 6 aos 11 anos, adolescência dos 11 aos aproximadamente 20 anos, jovem, adulto dos 20 aos 40 anos; meia-idade dos 40 aos 65 anos; terceira idade dos 65 anos em diante.



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O pensamento infantil e o tipo de raciocínio que as crianças utilizam é diferente daquele utilizado pelos adultos: é aos poucos que a criança, desde bem pequena, vai tomando conhecimento das complexidades do mundo em que vive. Por meio do jogo simbólico e da linguagem verbal, estreitamente ligada ao desenvolvimento da cognição (capacidade de raciocínio e pensamento), a criança reinventa, brinca e aprende. Por meio de estratégias não verbais, ela constrói uma lógica por meio de ações antes de conseguir construir uma lógica narrativa.

O conjunto das abordagens mais clássicas como a behaviorista, a psicométrica, a piagetiana e as mais recentes como a do processamento de informações, a da neurociência cognitiva e a sociocontextual tem nos ajudado a compreender a gênese e o desenvolvimento da cognição em crianças desde bem pequenas.

Hoje sabemos que, do ponto de vista do desenvolvimento cognitivo, as capaci-dades de aprender e lembrar estão presentes até mesmo nas primeiras semanas de vida e que a utilização de símbolos e a capacidade de resolução de problemas podem se desenvolver até o final do segundo ano de idade. Nos três primeiros anos, ou seja, na primeira infância, a compreensão e a utilização da linguagem desenvolvem-se rapidamente. Na segunda infância, que compreende a idade dos 3 aos 6 anos, típica fase de período pré-escolar, a criança é capaz de tornar-se mais independente, vir a ter iniciativa e maior autocontrole, e ampliam-se a linguagem e a memória. Gosta de brincar com jogos ou blocos de encaixe e nos brinquedos do playground por estar em pleno desenvolvimento físico, experimenta as suas novas habilidades motoras; ganha força, equilíbrio e aperfeiçoa sua capacidade de correr, pular, saltar, arremessar etc. É imatura com relação ao pensamento ou as-pecto cognitivo, o que faz com que tenha ideias ilógicas para explicar o que ocorre à sua volta. Nessa fase, as brincadeiras envolvem muita imaginação e fantasia. O pensamento é egocêntrico, mas vai aprendendo a lidar com as emoções e com o ponto de vista das outras pessoas.

De acordo com a abordagem piagetiana, no estágio pré-operacional, o qual corresponde à segunda infância e que se estenderia aproximadamente dos 2 aos 7 anos, as crianças ainda não seriam capazes de pensar logicamente. O pen-samento simbólico sofreria avanços na medida em que a criança fosse cada vez mais compreendendo as identidades, os espaços, a causalidade, a categorização e o número. Nessa perspectiva, as crianças pré-escolares não conseguiam pensar sobre vários aspectos de uma situação ao mesmo tempo, isto é, não consegui-am descentrar. Isso funcionaria como um limitador ao pensamento das crianças. Outras características do pensamento infantil seriam a irreversibilidade, quando as crianças não compreendem que algumas operações ou ações podem ser re-

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vertidas, recuperando a ação original; o raciocínio transdutivo, quando elas não utilizam raciocínio dedutivo ou indutivo e saltam de um detalhe para outro; ego-centrismo, quando pensam que todos pensam, percebem e sentem da mesma maneira que elas; animismo, quando atribuem vida a objetos inanimados e, ainda, a incapacidade de distinguir aparência de realidade.

Algumas pesquisas revelam avanços com relação ao uso de símbolos pelas crianças, à compreensão de identidades, de causa e efeito e capacidade de clas-sificar. Fato é que essas peculiaridades do pensamento infantil ocorrem e levam educadores a buscar estratégias adequadas para o desenvolvimento da apren-dizagem de conceitos para essa criança que é inteligente e ativa. O conhecimento das estratégias do pensamento infantil é imprescindível para que o profissional possa intervir, mediar e colaborar no desenvolvimento do raciocínio da criança. Isso porque a criança vê o mundo de uma maneira bem diferente em relação à maneira do professor.

O avanço tecnológico e as neurociências (que se mantêm fora das questões didáticas, mas pesquisam a atividade cerebral e, portanto, a aprendizagem) têm ajudado pedagogos e psicólogos a reverem e reestruturarem algumas pesquisas sobre desenvolvimento, aprendizagem e cognição.

Aos três anos, elas já têm senso para relações físicas fundamentais, e podem definir velocidades associando corretamente caminho a percorrer e tempo. Do mesmo modo, compreendem instintivamente o princípio de Arquimedes, se-gundo o qual um corpo flutuará desde que a sua densidade seja menor que a da água.

Até mesmo bebês possuem considerável saber básico. Aos quatro meses de idade, eles distinguem entre quatro ou seis pontos desenhados em um quadro-negro – o primeiro passo para fazer contas. Ainda engatinhando, revelam compreensão matemática quando ordenam seus bichos de pelúcia de acordo com a altura de cada um. Crianças sempre buscam estender essa compreensão intuitiva, mas de forma diferente em relação aos adultos.

Aprender fazendo é o primeiro princípio que rege os primeiros anos de vida. De forma sistemática, concentrada e em geral com inabalável coerência, os ci-entistas mirins efetuam experiências ou toda uma série de tentativas das quais extraem teorias que serão corroboradas ou revistas mediante novas tentativas.



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Não se trata de negligenciar nenhum dos estudos científicos. É preciso com-preendê-los com profundidade, em suas especificidades e motivações, verificando onde houve avanço, onde as teorias se complementam, divergem e se validam.

A teoria psicogenética não era destinada à área educacional e tampouco as pesquisas neurocientíficas o são. Contudo, há um ponto em que todas as ver-tentes teóricas parecem estar de acordo: nos primeiros anos de vida, as crianças aprendem fazendo, discutindo, pensando e interagindo.

Como exemplo dessas características, podemos citar as explicações que uma criança dá a alguns fatos. Ao despedir-se de alguém ao telefone, em vez de falar “Adeus” ou “Um beijo”, ela beija o telefone, sem se dar conta de que a pessoa com quem está falando não a pode ver. Ou quando, a uma criança que se machucou, perguntamos “Onde foi?”, desejando saber o local do ocorrido, e ela responde apontando para a parte do corpo machucada. Com relação às capacidades e quantidades de objetos ou elementos, a criança não reconhece a igual quanti-dade: a mesma quantidade de líquido colocada em copos de formas diferentes é questionada pela criança, assim como a mesma quantidade de massa de mo-delar apresentada em uma bola ou em pedacinhos pequenos também é ques-tionada. A criança pode afirmar que aquela que recebeu vários pedaços ganhou mais do que aquela que recebeu um único pedaço maior.

É o caso, por exemplo, de algumas das teses de Piaget. Gerhard Friedrich e Gerhard Preiss consideram que “num de seus experimentos mais famosos, Piaget verteu água de um copo largo em outro, mais delgado, diante dos olhos de cri-anças em idade pré-escolar. A maioria de seus voluntários insistiu que o copo delgado continha mais água – graças ao nível de água mais elevado” (Como o Cérebro Aprende, 2007, p. 7). Piaget atribuiu essa insistência ao fato de as crian-ças só serem capazes de considerar uma dimensão, negligenciando largura e profundidade. Concluiu que na chamada fase pré-operacional – que se estende até os seis anos de idade – elas não estariam em condições de, ao apreender o mundo, considerar e combinar, de forma sensata, várias informações ao mesmo tempo. Em razão dessa incapacidade para o raciocínio lógico, seria inútil a tenta-tiva de ensinar uma criança em idade pré-escolar a fazer contas.

Nesse meio-tempo, no entanto, tornou-se voz corrente que crianças peque-nas são sim capazes de efetuar semelhantes operações intelectuais, contanto que aprendam de modo apropriado à sua idade.

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A aprendizagem de conceitos matemáticos na infância

Segundo Kamii (1996), “o trabalho com as noções lógico-matemáticas deve dar oportunidade para que as crianças coloquem todos os tipos de objetos, eventos e ações em todas as espécies de relações”. Assim, por meio de jogos e situações- -problema que promovam a troca de ideias entre as crianças, deve-se propor atividades em que elas identifiquem semelhanças e diferenças entre elemen-tos, classificando-os, ordenando-os e seriando-os; que façam correspondên-cias, agrupamentos e comparações entre conjuntos e pensem em números e quantidades de objetos que sejam significativos para elas, registrando essas situações de forma espontânea e, depois, também utilizando a linguagem matemática.

A base do conhecimento lógico-matemático é constituída pela atuação das crianças sobre os objetos e pelas interações com outras pessoas que possibilitem a sua atuação e o estabelecimento de relações entre os objetos. Na infância, os conteúdos dessa área não devem ser centrados somente nos aspectos mais abstratos ou na linguagem simbólica: é preciso fazer uso da ação, da linguagem verbal acompanhada da ação, e também de outras linguagens figurativas e sim-bólicas – o processo de abstração ocorre progressivamente.

É importante pedir às crianças que expliquem ou somente relatem aquilo que fizeram, como fizeram, como planejaram, se verificaram os resultados, se outros resultados eram possíveis. O professor deve oferecer material rico e variado, pro-pondo situações interessantes e adequadas ao nível de desenvolvimento das crianças, mas sem subestimar suas capacidades. Saber deixar as crianças atu-arem e tentarem resolver problemas por si mesmas, colaborando quando for oportuno, será sempre uma boa estratégia.

A aprendizagem de conceitos matemáticos não se dá por repetição, memo-rização ou por meio de uma gradação de conteúdos que vai do mais fácil ao mais difícil. Um conteúdo, seja ele da Matemática ou não, deve ser encaminhado pelo professor como uma totalidade, como um conhecimento que, construído socialmente, faz parte da atividade humana e da vida cotidiana. Não se trata de uma visão utilitarista da Ciência Matemática, mas do encaminhamento para uma aprendizagem com significados.



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Também não é a partir da simples manipulação de objetos concretos que levamos a criança ao desenvolvimento do pensamento abstrato. A dissociação entre ação física e ação intelectual não existe para a criança ou para aquele que aprende. O concreto é o manipulável e o abstrato é a representação formal do pensamento. Quando a criança está aprendendo, ela atribui sentido à manipula-ção que realiza, constrói um significado para a sua ação, pois tem uma intenção embutida em sua ação. Da mesma forma, o professor também deve ter a inten-cionalidade do ensino e da aprendizagem em seu planejamento para esta área.

A matemática presente na vida da criançaTodos os dias, a cada momento, nós estamos lidando com os números de

uma forma tão natural e corriqueira que nem percebemos. Não precisamos ir à escola para entrarmos em contato com os números, pois eles estão nas horas, na nossa idade, nas datas, nos preços, no dinheiro, no caminho que encurta-mos procurando um atalho etc. Em suma, os números estão em nossas vidas, em atividades complexas como as do comércio, divertidas como as de um jogo entre amigos ou em atividades simples – como as que realizamos quando é pre-ciso separar os ingredientes e medidas em uma receita culinária.

Da mesma forma, a matemática está presente na vida das crianças: elas pulam espaços nas calçadas, sabem desde bem pequenas mostrar com os dedos a quantidade de seus anos de idade, contam em ordem regressiva para o lança-mento de um foguete, observam a velocidade em seus carrinhos e brinquedos de playground como o escorregador e o carrossel, montam quebra-cabeças com muitas peças, experimentam a capacidade de um “baldinho” enchendo-o com areia ou água, sabem reclamar a quantidade de brinquedo repartida injusta-mente, além de observar os números nos telefones, controles, elevadores e em muitas outras situações. A matemática faz parte da vida e até pode explicá-la.

Entretanto, é preciso esclarecer que, se a matemática naturalmente faz parte da vida da criança e também de sua atividade principal – o brincar –, a apren-dizagem da matemática não se dá naturalmente. Por si só, os jogos e brincadeiras ou a manipulação de brinquedos não representam um meio de aprendizagem da matemática. Para que ocorra essa aprendizagem, é preciso que o professor planeje, tenha claro o objetivo que deseja alcançar, em quantas e quais etapas. A aprendizagem requer intencionalidade educativa: não basta apenas brincar para saber matemática.

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A matemática ontem e hoje e as práticas correntes

Ensinar Matemática em um mundo predominantemente tecnológico é um desafio. Cercada por preconceitos, essa ciência é tida como difícil, árida, com-plicada, recebendo injustamente a antipatia dos alunos, tornando-se uma das disciplinas mais temidas. Parte dessa imagem se deve a um equivocado en-caminhamento que transmitia a insegurança e o medo de errar sem valorizar a compreensão do processo, o prazer da descoberta. A Matemática é sim uma ciência hipotético-dedutiva que exige abstração de pensamento e formaliza-ção em seu desenvolvimento e apresentação, mas não é por isso que desde a Educação Infantil ou as séries iniciais deva-se exigir de crianças pequenas, com raciocínio lógico ainda em evolução, esses aspectos que estão acima de suas ca-pacidades, pois as regras dedutivas são construídas aos poucos, em etapas, nas interações que as crianças realizam.

Para que as crianças vejam a Matemática com mais tranquilidade e segu-rança, é preciso respeitar as características do pensamento infantil e oportu-nizar experiências, relações, construções, formulação de hipóteses. Uma das necessidades dos alunos e de forma geral da comunidade escolar é saber por que é preciso estudar Matemática. Nesse sentido, o professor deverá aproxi-mar ao máximo os conteúdos da realidade vivida pelos alunos. O cotidiano está repleto de situações matemáticas e isso demanda uma atitude renovadora da prática pedagógica adotada.

O que antigamente surtia efeito já não corresponde às necessidades ou in-teresses dos alunos. O avanço tecnológico introduziu na vida um novo sistema de agir e pensar. Computadores, calculadoras, televisões, localizadores monito-rados por satélite, telefones celulares, antenas parabólicas e diversos utensílios domésticos com grande sofisticação modificaram as exigências com relação ao ensino. Hoje é preciso saber o contexto, a função, para que serve, as relações, a complexidade. Os cálculos básicos, repetitivos, podem ser feitos pelas máquinas de calcular, pelos computadores. Assim, as práticas para um consistente ensino da matemática podem estar pautadas em propostas que se complementem, en-volvendo a resolução de problemas, a modelagem, a etnomatemática, a história da matemática, os jogos matemáticos e o uso do computador.

Por meio da resolução de problemas, o aluno tem a oportunidade de criar hipóteses e testá-las. Por meio da modelagem o aluno pode vir a conhecer



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melhor a utilidade da Matemática no dia a dia das pessoas. A etnomatemática reconhece e valoriza os conceitos construídos pelos alunos fora da escola, estan-do relacionada à forma como diferentes grupos sociais utilizam os conhecimen-tos da área.

O conhecimento da construção histórica do saber matemático motiva e elu-cida a construção de conceitos que eventualmente se revelam os mesmos entre os alunos: observando como a Matemática se desenvolveu ao longo da história, consegue-se compreendê-la melhor e, muitas vezes, as crianças percorrem os mesmos passos que a humanidade percorreu na construção dessa ciência. O uso do computador reforça a ideia de que Matemática não é uma ciência pronta e acabada, mas em construção, e ela tem seus estudiosos como agentes dessa construção. Os jogos matemáticos, por seu turno, trazem como proposta o de-senvolvimento do raciocínio lógico-matemático e espacial, a estimativa e o cál-culo mental.

Panorama mundial: razões para a mudança no ensino da matemática

A educação é a peça fundamental na era da globalização. No panorama mun-dial, é o nível de ensino que vem definindo países como ricos ou pobres. Quanto maior a instrução, maior a produção, os ganhos e a humanização da sociedade como um todo.

Comparado a outros países emergentes, o Brasil apresenta os piores indica-dores na área da educação, apesar de seus gastos serem semelhantes aos desses países. Com relação à qualidade do ensino de Matemática, o Brasil fica abaixo de México, China e Rússia, ocupando o último lugar de acordo com o relatório Global Competitiveness do Fórum Econômico Mundial. No Programa Interna-cional de Avaliação de Estudantes (Pisa)2, do qual o Brasil é convidado a par-ticipar, o resultado na área da Matemática deixa o Brasil em 40.º lugar – isto é, em último. Essa avaliação teve como objetivo investigar se os alunos, ao fim do ensino básico, adquiriram conhecimentos e habilidades matemáticas básicas e essenciais para uma efetiva participação na vida em sociedade. 2 O Programme for International Student Assessment – Pisa – é um programa internacional de avaliação comparada cuja principal finalidade é pro-duzir índices sobre a efetividade dos sistemas educacionais, avaliando o desempenho de alunos de 15 anos de idade, idade em que se pressupõe o término da escolaridade básica obrigatória na maioria dos países. Esse programa é desenvolvido e coordenado internacionalmente pela – Orga-nisation for Economic Co-operation and Development (OECD), havendo em cada país participante uma coordenação nacional. No Brasil, o Pisa é coordenado pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep). As avaliações do Pisa incluem cadernos de prova e questionários e acontecem a cada três anos, com avaliações distintas em três áreas: Leitura, Matemática e Ciências. Em cada aplicação, o foco recai sobre uma dessas áreas. Em 2003, a área de foco avaliada foi a Matemática. Em 2006, a avaliação ênfase foi em Ciências, em 2009, Leitura, e em 2012, Matemática. Disponível em: <www.pisa.oecd.org>.

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O Pisa avaliou o desempenho dos estudantes em quatro áreas da Matemática:

espaço e forma (incluindo fenômenos espaciais, geométricos e proprie- �dades das figuras);

transformações e relações (envolvendo relações entre variáveis e suas � representações, incluindo equações);

quantidade (incluindo relações quantitativas e modelos); �

incerteza (envolvendo probabilidade e estatística). �

Ocorre que a concentração dos investimentos na Educação Superior agrava a má condição da Educação Básica – da qual a Educação Infantil, etapa considerada decisiva para a aprendizagem e a formação humana, faz parte.

A ONG Ação Educativa realizou pesquisa com amostragem de 200 brasileiros, de 15 a 64 anos, com o objetivo de verificar os índices do alfabetismo matemáti-co no país. Os resultados dessa pesquisa revelam que:

2% dos brasileiros não conseguem identificar os números, não leem preços �de produtos, horários e números de telefone;

29% entendem os números como horários e preços, mas não sabem fazer �cálculos como adição e subtração;

46% conseguem resolver problemas matemáticos simples, que exigem �apenas um cálculo, e entendem relações de proporção entre os números, mas têm dificuldades com tabelas e gráficos;

23% conseguem resolver problemas numéricos que exigem vários tipos �de cálculos, mostrando familiaridade com gráficos, tabelas e mapas.

Os pesquisadores concluem que, apesar dos números estarem em todos os lugares, poucos conseguem trabalhar com eles.

“Menos de um em cada quatro brasileiros consegue fazer cálculos neces-sários ao dia a dia. É muito pouca gente. Isso mostra o baixo nível educacional da população.”

(Vera Masagão – secretária executiva da ONG Ação Educativa.)



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Esses dados revelam a necessidade de uma mudança no ensino da Matemáti-ca. Alfabetizar matematicamente já não basta: é preciso levar os alunos a maiores níveis de proficiência para a compreensão e possibilidades de resolução dos problemas e situações matemáticas no contexto do mundo atual. A criança pre-cisa ser encaminhada nesse aprendizado, tendo em vista objetivos que a levem ao letramento matemático.

Letramento matemáticoPara dar conta da diversificação e da crescente sofisticação das demandas

de leitura e escrita, ser apenas alfabetizado não é suficiente. O letramento matemático leva em conta o papel social da matemática, além de todas as habilidades voltadas para a quantificação, a ordenação, a compreensão e a leitura de gráficos, tabelas, medidas, proporções e a realização de tarefas que envolvam a matemática. Ser letrado envolve ser capaz de resolver e compre-ender, sem dificuldade, quaisquer problemas ligados à área. Significa fazer uso dos conhecimentos e habilidades relativas à matemática. E isso é mais do que perceber a sua existência nas inúmeras situações do dia a dia e o fato de o homem dela necessitar para o desenvolvimento social e tecnológico. Ser le-trado não diz respeito somente à área da linguagem, para comunicar-se bem, para ler e escrever: é preciso compreender números em relação, tabelas, grá-ficos e dados comparados.

Na Educação Infantil é que se inicia o letramento matemático, pois antes de lidar com situações formais da área e situações tipicamente escolares, a criança já faz uma leitura e um esforço para compreender os papéis sociais do número e de outras questões ligadas à área como, por exemplo, as medidas, as grandezas, os espaço e as formas.

O Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional (Inaf ) mediu algumas habili-dades matemáticas da população brasileira. A classificação desse indicador para traçar o perfil do conhecimento que as pessoas têm de matemática em nosso país é a seguinte:

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analfabetismo absoluto – pessoas que não conseguem realizar opera- �ções básicas com números como ler o preço de um produto ou anotar um número de telefone;

nível 1 (alfabetismo rudimentar) – pessoas que leem números em con- �textos específicos como preço, horário, números de telefone etc.;

nível 2 (alfabetismo básico) – pessoas que demonstram dominar com- �pletamente a leitura de números, resolvem operações usuais envol-vendo soma, subtração e até multiplicação, recorrem facilmente à cal-culadora, mas não possuem a capacidade de identificar a existência de relação de proporcionalidade;

nível 3 (alfabetismo pleno) pessoas que controlam uma estratégia na �resolução de problemas mais complexos, com execuções de uma série de operações relacionadas entre si, apresentando familiaridade com mapas e gráficos e não apresentando dificuldades em relação à mate-mática.

(Disponível em: <www.ipm.org.br>)

Na Educação Infantil, as crianças são letradas matematicamente porque aprendem a registrar e relacionar números e quantidades, aprendem as funções sociais do número e a resolução de problemas, aprendem sobre medidas e gran-dezas, formas e espaço, fazem estimativas, montam tabelas, comparam resulta-dos etc.

Texto complementar

Da mente dos bebês(DEVLIN, 2009)

Em 1992, uma jovem pesquisadora americana chamada Karen Wynn anunciou uma descoberta que deixou atordoados os psicólogos de crianças em todo o mundo. Wynn afirmou ter demonstrado que bebês de apenas quatro meses podiam resolver simples problemas de adição e subtração. De



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fato, outros pesquisadores demonstraram em seguida que os bebês podem fazer essas mesmas operações matemáticas com apenas dois dias de idade!

Como Wynn conseguiu isso? Afinal de contas, se bebês de quatro meses ainda não podem falar, como é que poderíamos descobrir se eles sabem que 1+1=2, para citar um dos exemplos de cálculo que Wynn afirmou que seus jovens participantes poderiam fazer? E como Wynn conseguiu formular tal questão de forma que as crianças pudessem entender o que ela estava perguntando?

Antes que eu lhe conte como contornou esses problemas, devo deixar claro o que exatamente ela afirma ter descoberto. Primeiro, ela não defen-deu que os bebês pesquisados tivessem qualquer conceito consciente de número. Como qualquer pai sabe, os números de contagem, 1, 2, 3 e assim por diante, precisam ser ensinados a crianças na primeira infância e, antes que isso possa ser feito, elas têm que aprender a utilizar o idioma, uma habili-dade que ainda não está desenvolvida em um bebê de quatro meses.

[...]

Claramente, expressar esse tipo de capacidade requer uma compreen-são dos números, ou pelo menos dos números 0, 1, 2, e 3. Mas a questão é que toda evidência que temos sobre o modo como o cérebro humano lida com números indica que nossa capacidade de manipulá-los só se desenvolve depois que aprendemos os termos numéricos “um”, “dois”, “três” e assim por diante. (Trabalhos com chimpanzés e outros primatas sugerem que o apren-dizado dos símbolos numéricos “1”, “2”, “3” funciona igualmente bem neste aspecto. A questão é que a aquisição do conceito de número parece exigir que primeiro se tenha uma palavra ou símbolo para se referir a ele.)

Mais precisamente, a afirmação de Wynn trata na verdade de numero-sidade, termo que uso para expressar percepção de número, ou seja, uma percepção do tamanho de um conjunto e não dos números em si. O que ela estava dizendo era que crianças recém-nascidas (bebês) têm uma percep-ção confiável do tamanho de pequenos conjuntos de objetos. Mas isso não diminui a surpresa causada pelo anúncio de Wynn. Afinal de contas, todo mundo sabe que bebês de quatro meses não são capazes de usar palavras para números. A maioria dos especialistas pressupunha que a percepção de numerosidade se desenvolvia depois que a criança aprendia a contar. Wynn estava afirmando que a percepção de número vinha primeiro. Isso signifi-

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cava que nós nascemos com tal percepção, ou pelo menos a adquirimos au-tomaticamente em no máximo algumas semanas após o nascimento. (Como veremos a seguir, pesquisas subsequentes mostraram que, se não nascemos com uma percepção de número, nós a adquirimos com no máximo alguns dias de vida.)

Eis o que Wynn fez para chegar a sua descoberta. (A propósito, a expe-riência de Wynn foi reproduzida muitas vezes com sucesso por diferentes psicólogos de todo o mundo, logo não há mais nenhuma dúvida sobre a precisão de seus resultados.)

O truque era fazer uso do fato de que até os bebês de quatro meses têm uma noção muito bem desenvolvida de “como as coisas são”. Se um bebê vê algo que vai contra suas expectativas, ele presta atenção enquanto tenta entender o que vê. Filmando a criança, particularmente seus olhos, à medida que é exposta a diversas cenas e depois medindo o tempo que o bebê gasta prestando atenção a cada uma, o pesquisador pode determinar o que con-traria as expectativas do bebê. Por exemplo, se mostrarmos a um bebê uma série de pedaços de frutas em pratos e depois mostrarmos uma maçã sus-pensa em pleno ar sem meios aparentes de apoio, o bebê ficará encarando a fruta por mais tempo do que o que gastou com as frutas nos pratos.

Wynn pôs os pequenos participantes do experimento na frente de um te-atrinho de bonecos e colocou a filmadora (escondida) para rodar. (Ver figura 1) O palco de bonecos estava inicialmente vazio. A mão da pesquisadora saiu de um lado e colocou um boneco no palco.

Figura 1.

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Depois uma tela surgiu, escondendo o boneco. A mão da pesquisadora apareceu de novo, segurando um segundo boneco que foi posto atrás da tela. Em seguida a tela foi abaixada, revelando os dois bonecos. A criança assistiu atentamente a tudo.

Wynn repetiu o procedimento várias vezes seguidas. Em algumas repetições, porém, quando a tela foi abaixada, havia só um boneco no palco. Em outras ocasiões, apareciam 3 bonecos. (A pesquisadora tinha simples-mente mexido no palco fora do campo de visão do bebê.) Sempre que ao abaixar a tela era revelado 1 ou 3 bonecos, a criança ficava olhando por mais tempo do que quando encontrava os 2 bonecos esperados. Tendo visto 2 bonecos colocados em um palco inicialmente vazio, um depois do outro, o bebê claramente esperava encontrar 2 bonecos no fim. Quando o resultado contrariava essa expectativa, o bebê ficava confuso. Em média, quando apre-sentada a um resultado incorreto, a criança fitava por um segundo a mais do que o bebê “sabia” que 1 + 1 = 2 e que as adições 1 + 1 = 1 e 1 + 1 = 3 estavam erradas. Experiências semelhantes mostraram que o bebê também sabia que 1 + 2 = 3.

Wynn obteve resultados semelhantes quando modificou o procedimento e testou a compreensão do bebê sobre subtração. Por exemplo, o pequeno seria apresentado inicialmente a 2 bonecos no palco. A tela surgiria e es-conderia os bonecos e a mão da pesquisadora apareceria e removeria um boneco. A tela era então abaixada e revelava nenhum, um ou 2 bonecos. Quando via 2 bonecos ou nenhum, a criança fitava mais tempo o palco – até 3 segundos a mais em alguns casos – do que quando havia exatamente um boneco. “Sabia” que 2 – 1 = 1 e que as subtrações 2 – 1 = 0 e 2 – 1 = 2 estavam erradas. Também sabia que 3 – 1 = 2 e 3 – 2 = 1.

Os psicólogos ficaram atordoados quando Wynn anunciou os seus resul-tados e muitos pesquisadores céticos inventaram variantes do procedimen-to para determinar se as suas conclusões estavam corretas. Em particular, eles queriam ver se Wynn tinha razão ao concluir que o tempo a mais que os bebês gastavam com resultados aritmeticamente incorretos realmente se devia a uma percepção do tamanho de um conjunto, isto é, à numerosidade, e não a outra causa.

Havia a possibilidade de que não fosse o número de objetos o motivo para o intervalo de atenção diferir, mas alguma característica do arranjo

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físico deles. Para testar essa alternativa, Etienne Koechlin, psicólogo francês, repetiu a experiência de Wynn, mas com os bonecos colocados sobre uma plataforma giratória que rodava lentamente. O movimento constante dos bonecos no palco fazia com que a criança não pudesse formar uma imagem fixa da cena e não fosse capaz de prever o arranjo de objetos que esperava encontrar no cenário quando a tela fosse abaixada. Os resultados de Koech-lin foram exatamente os mesmos de Wynn. O bebê fitou mais tempo quando diante de um resultado aritmeticamente incorreto do que na situação arit-meticamente correta. A experiência de Koechlin eliminou qualquer possibili-dade de que a criança estivesse respondendo ao arranjo físico em vez de à quantidade de unidades.

[...]

Ao executar a experiência, Simon às vezes mudava os objetos atrás da tela, trocando, por exemplo, 2 bonecos vermelhos por 2 azuis, ou um boneco vermelho e um azul por uma ou duas bolas amarelas. As crianças não mostra-vam nenhuma surpresa quando a tela era abaixada e revelava que os obje-tos tinham mudado de cor ou que os bonecos haviam se transformado em bolas, desde que a aritmética estivesse correta. Aparentemente, os bebês de quatro meses não estranham quando veem objetos mudando de cor ou se transformando em outra coisa, mas empacam quando veem 2 objetos se tornarem um ou vice-versa.

Em outras palavras, não apenas as crianças muito novas realmente têm uma percepção de número, como, além disso, sua expectativa quanto ao fato de que 1 número não muda parece ser mais fundamental do que a percepção de que a cor, a forma ou a aparência, não devem se alterar. Em outra variação da experiência de Wynn que pretendia testar essa visão do mundo, um bebê ficava sentado na frente de uma tela, por trás da qual uma bola vermelha e um chocalho azul surgiam alternadamente. Se o bebê não visse os 2 objetos simultaneamente, ficava bastante contente ao ver apenas um dos 2 quando a tela era abaixada. Aceitava aparen-temente que os objetos podem mudar de aparência de uma hora para outra. Isso se verificava para bebês de até 1 ano de idade. Só quando a criança tinha 1 ano ou mais, a aparição sucessiva de dois objetos dife-rentes por trás da tela levava a uma expectativa de que houvesse de fato dois objetos diferentes ali.



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Quero deixar claro que a percepção de número nas crianças que Wynn e outros pesquisadores que a seguiram observaram se limitava estritamente a conjuntos que envolvem 1, 2 ou 3 objetos. Por exemplo, crianças com menos de um ano de idade pareceram ser incapazes de distinguir entre 4 e 5 obje-tos. Mas, como mostraram as diversas experiências, para conjuntos de 3 ob-jetos ou menos, uma criança de quatro meses tem uma percepção bastante desenvolvida de numerosidade e uma compreensão básica de adição e subtração. Quando será, exatamente, que a criança as adquire? Ou será que nasce com elas?

Uma experiência realizada pelos psicólogos americanos Sue Ellen Antell e Daniel Keating mostrou que a capacidade de observar a diferença entre 1 objeto e um conjunto de 2 objetos, ou entre 2 objetos e um conjunto de 3 objetos, já está presente em bebês poucos dias após o nascimento. Antell e Keating adotaram um procedimento experimental utilizado inicialmente por outro psicólogo americano, Prentice Starkey. Como na experiência de Karen Wynn, o procedimento de Starkey usava o intervalo de atenção visual dos bebês para observar o que os surpreendia. Os participantes eram filma-dos de forma que a duração do tempo que passavam encarando um deter-minado evento podia ser medida com precisão.

Na experiência de Antell e Keating, a um bebê de apenas alguns dias foram mostrados slides projetados sobre uma tela. O primeiro slide exibia 2 pontos, lado a lado. Na primeira vez em que a imagem apareceu, o bebê a encarou durante algum tempo. Depois perdeu interesse e seus olhos começaram a vagar. Naquele momento, o slide foi substituído por outro que mostrava um arranjo ligeiramente diferente de 2 pontos. A criança rapidamente deu uma nova olhada, mas logo perdeu interesse. O slide foi substituído de novo por um terceiro que exibia ainda dois pontos em um terceiro arranjo. Novamente a criança deu uma olhada na nova arrumação, mas de novo perdeu interesse rapidamente. A cada repetição do procedimento, o olhar do bebê se tornava mais e mais breve. Então, de repente, surgiu um slide mostrando não 2, mas 3 pontos. Imediatamente o interesse da criança dói despertado e ela encarou a imagem por um período consideravelmente mais longo (saltando de 1,9 a 2,5 segundos em uma execução da experiência). Claramente, o participante tinha percebido a mudança no número de pontos. A mesma coisa aconteceu quando a experiência inicialmente mostrava três pontos e o número era re-pentinamente reduzido a dois.

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Repetindo o procedimento muitas vezes, com pontos organizados em padrões diferentes e exibidos em ordens diferentes, os pesquisadores elimi-naram qualquer possibilidade de que a atenção dos bebês fosse capturada por alguma mudança na aparência e não a mudança no número de pontos. Assim, a prova estava ali: mesmo poucos dias depois de nascer, os bebês já têm uma noção de número.

[...]

Então, no fim das contas, o que temos? Muitas pessoas acham difícil, quando não impossível, dominar a matemática. No best-seller Innume-racy1 (1989), o matemático John Allen Paulos catalogou várias situações em que pessoas normalmente consideradas inteligentes e bem-sucedidas cometem erros com números. E mesmo assim parece que nós nascemos com uma capacidade natural para a matemática. Será que nós a perdem-os de alguma maneira à medida que envelhecemos? Será que as aulas de matemática da escola conseguem de algum modo retirá-la de nós? Podemos recuperá-la? Ainda mais intrigante, se até os bebês novos têm habilidades matemáticas inatas, será que outros animais também podem lidar com matemática?

[...]

Dicas de estudoO filme A Invenção da Infância. Direção de Liliana Sulzbach. Brasil: Schmiedt

Produções, 2000. Documentário (26 min), color., 16mm.

Partindo do ponto de vista de várias crianças pertencentes a grupos socio-econômicos e regiões diferenciadas (rural ou urbana), o documentário discute o que é ser criança no Brasil. Mostra crianças que têm ou não acesso à educa-ção de qualidade. A diretora toca em alguns temas como a gênese do conceito de infância e seu desenvolvimento até os dias atuais, o que leva o espectador a comparar suas próprias experiências de infância com as vivências das crian-ças brasileiras de diferentes realidades sociais. O filme pode ser visto pelo site: <www.portalcurtas.com.br/Filme.asp?Cod=672>.



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O mesmo filme, em lojas e locadoras, é encontrado com o nome O Cárcere e a Rua (o DVD traz os dois títulos da mesma diretora).

Disponível em:<http://unescoc.unesco.org/images/0013/001384/138430por.pdf>. O site da

UNESCO trata sobre legislação, políticas e influências pedagógicas na Educação Infantil. Fundo do Milênio para a Primeira Infância.

Atividades1. A Educação Infantil é um direito de toda criança e uma obrigação do Esta-

do (artigo 208, IV da Constituição Federal). Como etapa de ensino, deve ser compreendida como instância escolar de trabalho coletivo em que se es-tabelecem parcerias entre professores, educadores, famílias e comunidade em benefício do atendimento, do bem-estar, da educação e do desenvolvi-mento integral das crianças. Nessa perspectiva, como deve ser organizado o trabalho na Educação Infantil?

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2. Cite cinco implicações pedagógicas decorrentes do reconhecimento do pa-pel do professor e do grupo como mediadores, e da compreensão do proces-so de desenvolvimento indissociável à aprendizagem, além da importância das vivências e experiências das crianças com objetos e situações diversas.



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Um, dois, feijão com arroz;

Três, quatro, feijão no prato;

Cinco, seis, falar inglês;

Sete, oito, comer biscoito;

Nove, dez, comer pastéis.

Objetivos da Educação Infantil A Educação Infantil, como primeira etapa da Educação Básica, represen-

ta hoje uma conquista para a sociedade. Desde a promulgação da Consti-tuição Federal em 1988 e de todas as outras leis – Estatuto da Criança e do Adolescente, Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – produzidas em prol de uma nova conduta social, muito se tem feito para assegurar à criança tudo o que lhe é de direito.

As crianças são cidadãos plenos de direito e, de acordo com a ética demo-crática, pretende-se que todas sejam incluídas nos sistemas sociais de edu-cação, saúde, esporte, cultura, lazer, segurança pública, proteção jurídica. A inclusão da criança nos sistemas sociais e civis, a proteção de seus direitos e da infância e suas especificidades constituem um novo paradigma para a Educação Infantil. Trata-se da defesa da infância em sua totalidade; da busca da realização daquilo que foi preconizado pelo novo ordenamento legal. Os direitos infantis fazem parte do rol de conhecimentos do professor.

São objetivos da Política Nacional de Educação Infantil, entre outros:

Objetivos da Educação Infantil e da educação matemática

Integrar as instituições de Educação Infantil aos sistemas de en- �sino por meio de autorização e credenciamento dos Conselhos Municipais e Estaduais de Educação.

Fortalecer as relações entre as instituições de Educação Infantil �e as famílias e/ou responsáveis pelas crianças matriculadas nes-sas instituições.

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Garantir o acesso de crianças com necessidades educacionais especiais. �

Garantir recursos financeiros para a manutenção e o desenvolvimento �da Educação Infantil.

Expandir o atendimento educacional às crianças, visando alcançar as me- �tas do Plano Nacional de Educação e dos planos estaduais e municipais.

Assegurar a qualidade do atendimento em creches, entidades equiva- �lentes e pré-escolas.

Garantir a realização de estudos, pesquisas e diagnósticos da realida- �de da Educação Infantil no país para orientar e definir políticas públi-cas para a área.

Garantir espaços físicos, equipamentos, brinquedos e materiais ade- �quados nas instituições de Educação Infantil, considerando as neces-sidades educacionais especiais e a diversidade cultural.

Ampliar os recursos orçamentários do Programa Nacional de Alimen- �tação Escolar.

Garantir que todas as instituições de Educação Infantil elaborem, im- �plementem e avaliem suas propostas pedagógicas, considerando as diretrizes curriculares nacionais, bem como as necessidades educacio-nais especiais e as diversidades culturais.

Assegurar a participação das professoras e professores no processo de �elaboração, implementação e avaliação das propostas pedagógicas das instituições de Educação Infantil.

Assegurar a valorização das professoras e professores de Educação �Infantil, promovendo sua participação em Programas de Formação Inicial para professores em exercício, garantindo, nas redes públicas, inclusão nos planos de cargos e salários do magistério.

Garantir, nos programas de formação continuada para professoras e �professores de Educação Infantil, os conhecimentos específicos da área de Educação Especial, necessários para a inclusão, nas instituições de Educação Infantil, de alunos com necessidades educacionais especiais.



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Garantir a valorização dos funcionários não docentes que atuam na �Educação Infantil.

Assegurar que estados e municípios elaborem e/ou adequem seus �planos e educação em consonância com a legislação vigente.

Fortalecer parcerias para assegurar, nas instituições competentes, o �atendimento integral à criança, considerando seus aspectos físico, afetivo, cognitivo-linguístico, sociocultural, bem como as dimensões lúdica, artística e imaginária.

(Política Nacional de Educação Infantil, 2006.)

Assim, vemos que a ação pedagógica não está desvinculada de nenhum dos aspectos que constituem a escola infantil. Para o desenvolvimento do pensa-mento e da educação matemática, todas as estratégias que objetivam a melho-ria da educação devem ser explicitadas ao professor. Vale ressaltar que o Plano Nacional de Educação, Lei 10.172/2001, meta n.º 15, estabeleceu a extinção das classes de alfabetização e determinou a incorporação das crianças ao Ensino Fundamental. Essa medida amplia o atendimento na escola de Educação Infantil e recoloca as crianças em suas etapas de ensino correspondentes. A Educação Infantil é uma etapa extremamente importante para o desenvolvimento integral do ser humano, pois é nessa fase que se concentra o grande potencial de apren-dizagem de uma pessoa.

O ensino da matemática, como ação pedagógica, está relacionado também aos parâmetros básicos de infraestrutura para instituições de Educação Infan-til, porque o espaço físico constitui-se em uma forma silenciosa de educar. De acordo com Antônio Viñao Frago, o espaço escolar não é apenas um cenário onde se desenvolve a educação, mas sim “uma forma silenciosa de ensino” (FRAGO, 1995, p. 69).

A escola infantil precisa ser funcional, segura, alegre e permitir que as crian-ças brinquem, aprendam, explorem, interajam e convivam de forma prazerosa e harmoniosa.

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Histórico e objetivos da educação matemática Antigamente, a Matemática para crianças em idade pré-escolar tinha como

ideia central o ensino de atividades pré-numéricas – isto é, exercícios voltados para a lógica. O conhecimento que as crianças tinham sobre números era des-considerado. Dessa forma, o trabalho na pré-escola era centrado nos aspectos lógicos do número. Equivocadamente, essa ideia foi baseada na teoria piagetia-na, pois não se tratava de uma transposição didática da psicogenética para as salas de aula. A teoria piagetiana elucidou e contribuiu para o entendimento de como a criança pensa e aprende.

Nas décadas de 1940 e 1950, a concepção de aprendizagem que permeava o ensino previa a memorização, os exercícios e a repetição. Os conteúdos eram estruturados linearmente, sendo compostos de verdades inquestionáveis pelos alunos. O surgimento de uma didática da Matemática se deu pela aproximação e o desenvolvimento da psicologia cognitiva, que tinha como grande estudioso o suíço Jean Piaget.

Nas décadas de 1960 e 1970, surgiu a matemática moderna, que tinha como eixo a teoria dos conjuntos. Entretanto, embora já não se baseasse apenas na repetição e na memorização, essa concepção de aprendizagem deixou de con-siderar o processo individual de construção da inteligência proposto por Piaget. Na prática escolar, a teoria dos conjuntos era encaminhada por professores sem o aprofundamento necessário para considerá-la uma teoria abstrata e complexa. Dessa forma, o ensino da Matemática apresenta, tanto na matemática tradicio-nal como na matemática moderna, um caráter estruturalista e de linearidade.

Ao longo dos anos de 1970, era prática comum retardar o acesso à escrita na educação escolar para que a criança antes amadurecesse. Introduzia-se os ele-mentos notacionais de um modo imposto e artificial. Hoje temos claro aquelas ideias obscurecidas do passado. A escrita não surge para representar aquilo que a criança não conseguia mais transmitir por meio do desenho. A criança pode fazer notações e representações. Entretanto, com relação a qualquer registro gráfico, que é geralmente muito valorizado, é preciso que se verifique a sua real necessidade e o interesse da criança em fazê-lo.

Com o avanço dos estudos sobre a relação entre professor e aluno e sobre o objeto do conhecimento, assim como o avanço das teorias histórico-sociais desenvolvidas por Vygotsky e colaboradores, a educação passou a contar com um novo conceito para explicar a aprendizagem: a zona de desenvolvimento



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proximal, “que é a distância entre o nível de desenvolvimento real, que se cos-tuma determinar através da solução independente de problemas, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais capazes”(VYGOTSKY, 1991, p. 94-95).

O primeiro nível, o de desenvolvimento real, é o nível de desenvolvimento das funções mentais da criança sobre ciclos já completados. É aquilo que elas conseguem fazer por si mesmas. Crianças com níveis iguais de desenvolvimento mental apresentam capacidades de aprendizagem diferentes. Isso foi o que evi-denciou a diferença entre idade mental e idade biológica. Diz Vygotsky sobre os anos da idade cronológica: essa diferença entre doze e oito ou entre nove e oito, é o que nós chamamos

a zona de desenvolvimento proximal. Ela é a distância entre o nível de desenvolvimento real, que se costuma determinar através da solução independente de problemas, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais capazes. (VYGOTSKY, 1991, p. 97, grifos do autor)

Nesse sentido, Piaget e Vygotsky, embora percorrendo diferentes cami-nhos, apresentam teorias que buscam a constituição da inteligência e do pensamento.

Para aprender sobre numeração as crianças devem lidar com números, e a ação do professor deve considerar como ponto referencial o conhecimento que a criança já possui, o conhecimento que a criança leva para a escola.

Assim, professores devem passar a considerar os níveis de ajuda e interven-ção mediadora para que a aprendizagem ocorra. A matemática deve ser desa-fiadora, possibilitando o trabalho coletivo e o confronto de diferentes pontos de vista. A visão deixa de ser a de uma área com conteúdos prontos e acabados para ser a de uma ciência em constante construção e evolução.

Qualquer situação de aprendizado começa muito antes delas frequentarem a escola. Qualquer situação de aprendizado com a qual a criança se defronta na escola tem sempre uma história prévia. Por exemplo, as crianças começam a estudar aritmética na escola, mas muito antes elas tiveram alguma experiência com quantidades – elas tiveram que lidar com operações de divisão, adição, subtração, e determinação de tamanho. Consequentemente, as crianças têm a sua própria aritmética pré-escolar, que somente psicólogos míopes podem ignorar. (VYGOTSKY, 1991, p. 94-95)

Além de aprenderem, pensarem e discutirem sobre o sistema de numeração e sobre as relações numéricas, as crianças devem ser capazes de compreender algumas

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situações matemáticas no dia a dia. A exploração do espaço e da forma amplia-se, não se reduz unicamente ao estudo de formas geométricas. A criança constrói sua noção de espaço a partir de explorações que faz a partir do próprio corpo.

Segundo o Referencial Nacional para a Educação Infantil, a abordagem da matemática na Educação Infantil tem como finalidade proporcionar oportuni-dades para que as crianças desenvolvam a capacidade de “estabelecer aproxi-mações a algumas noções matemáticas presentes no seu cotidiano como conta-gem, relações espaciais etc” (MEC, 1998).

E para o aprofundamento do trabalho com crianças maiores de três anos, é prevista a criação de oportunidades para que sejam capazes de:

reconhecer e valorizar os números, as operações numéricas, as contagens orais e as noções �espaciais como ferramentas necessárias no seu cotidiano;

comunicar ideias matemáticas, hipóteses, processos utilizados e resultados encontrados �em situações-problema relativas a quantidades, espaço físico e medida, utilizando a lin-guagem oral e a linguagem matemática;

ter confiança em suas próprias estratégias e na sua capacidade para lidar com situações �matemáticas novas, utilizando seus conhecimentos prévios. (BRASIL, 1998)

Para que tais objetivos se cumpram, o professor pode promover brincadei-ras que envolvam situações matemáticas como, por exemplo, simular compras no mercado, promover uma feira, organizar um salão de beleza para bonecas, montar um estacionamento e um lava-car de carrinhos, uma lanchonete, con-fecção de roupas e diversas outras representações simbólicas da vida real. Nesse tipo de exploração as crianças aplicam os conhecimentos matemáticos que vão adquirindo.

A linguagem da matemática A linguagem matemática foi desenvolvida para facilitar a comunicação do

conhecimento matemático entre as pessoas. Entretanto, quando abusamos do uso de símbolos e não nos preocupamos em trabalhar a sua compreensão, clare-ando o seu significado, conseguimos o efeito contrário: dificultamos o processo de aprendizagem da matemática. Frequentemente, o excesso de simbologia cria dificuldades desnecessárias para o aluno, chegando até mesmo a impedir que ele compreenda a ideia representada pelo símbolo. Por exemplo, a apresentação pre-coce e inadequada do símbolo que representa a fração ( , , etc.) pode preju-dicar a compreensão do conceito de fração. Gerada por uma apresentação inade-quada da linguagem matemática, essa dificuldade é bastante lamentável – afinal de contas, tal linguagem foi desenvolvida justamente com a intenção oposta.



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Conhecer a origem de certos símbolos pode ajudar o professor a compreen-dê-los. Nas civilizações da Antiguidade (babilônios, gregos, chineses, romanos etc.), cada povo utilizava palavras e símbolos próprios para representar os núme-ros. Os babilônios, por exemplo, desenvolveram uma escrita dos números que, embora bastante sofisticada, usava basicamente um único sinal em forma de cunha (escrita cuneiforme).

Durante a Idade Média (séculos V a XIV, aproximadamente), os livros de ma-temática eram praticamente desprovidos de símbolos. As ideias eram expressas por extenso, usando-se principalmente o latim. Hoje, esse período é denomina-do fase retórica da linguagem matemática. Naquela época, a subtração era indi-cada pela palavra latina minus. Com o tempo, os copistas passaram a abreviar as palavras e minus foi substituída pela sua inicial com um traço em cima. Mais tarde, passou-se a usar apenas o traço para indicar a subtração.

O sinal que usamos hoje para indicar a adição tem uma história parecida. A palavra latina et corresponde ao nosso e, indicando adição: dezoito é dez e oito (dez mais oito). O sinal de adição (+) é uma derivação da letra t da palavra et.

E é comum ouvir que a Matemática é uma área de linguagem abstrata, de difícil compreensão, e que não admite erros. Entretanto, é uma área de enorme valor e possui linguagem própria. Assim, a linguagem matemática apresenta diferentes níveis de elaboração e mesmo a linguagem não profissional pode admitir termos e registros complexos, dependendo da competência dos seus usuários. Por vezes, a linguagem matemática já foi comparada ao estudo de lín-guas estrangeiras, pois não é uma linguagem praticada nas ruas, mas no meio acadêmico e escolar. Segundo Eleonora Brum e Adair Nacarato,

A linguagem matemática pode e deve ser estimulada a partir de diferentes meios: oral, escrito, pictórico, gestual, mas os escritos são muito importantes, uma vez que podem ser retomados pelo professor e discutidos com a criança, tanto individualmente como em grupo. Esses registros, quando realizados a partir de atividades de jogo, promovem a reflexão do professor a respeito de sua prática, permitindo-lhe conhecer os diferentes caminhos que a criança busca para expressar seu raciocínio. (BRUM; NACARATO, 2007)

A matemática não se resume à linguagem, ela é um conhecimento, por isso, na Educação Infantil é importante deixar a criança agir. As crianças não vão para a escola infantil para se prepararem para a educação acadêmica e formal do Ensino Fundamental, período em que, gradativamente, farão uso de uma lin-guagem matemática cada vez mais formal.

A respeito dos registros das crianças, é preciso ter claro o que é representação e o que é notação. Para tanto, Lee e Karmiloff-Smith (1996) esclarecem que,

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[...] frequentemente, o termo representação é usado para se referir aos desenhos das crianças. Na verdade, é preciso distinguir representação de notação. Representação se refere ao que é interno à mente, e notação, ao que é externo. Representação reflete como o conhecimento é construído na mente e notação estabelece o suporte das relações entre um referente e um signo. Notações não são meramente cópias idênticas, nem externalizações ilimitadas de representações internas. Notações têm suas próprias e singulares propriedades que refletem a relação dinâmica interativa entre notação e representação. (p. 26)

Diante da complexidade do conhecimento matemático e do desenvolvimen-to da cognição humana, quanto mais liberdade para aprender tiver a criança, maiores serão os benefícios.

A construção social da criança e da aprendizagem matemática

O conhecimento matemático trazido e percebido pelos alunos é advindo de contextos significativos. É o conhecimento social, real e necessário na vida coti-diana das pessoas, sem fragmentações, cortes ou segregações. Por isso, os con-teúdos matemáticos – sistema de numeração, grandezas e medidas, espaço e forma – ocorrem simultaneamente, aparecem relacionados à sua função social. O professor deve ser capaz de definir atividades tendo em vista os objetivos gerais da Educação Infantil, pois a aprendizagem é significativa quando se compreende e conhece a sua aplicabilidade. Para tanto, é preciso conhecer a infância.

Em entrevista sobre a infância, ao ser questionado sobre o significado das culturas infantis e sobre por que utiliza o termo infâncias, Miguel Arroyo (2006, p. 3-4) nos recorda que o ser humano não nasce pronto: ele é construído em um processo longo que acompanha a vida toda.

A partir de determinantes biológicos e das concepções culturais, vão sendo criadas as diversas temporalidades, cada uma com suas especificidades. A in-fância é uma dessas temporalidades, como o são a adolescência, a juventude, a vida adulta e a velhice. São tempos em que o ser humano está em um dado mo-mento da construção de sua mente, das suas faculdades superiores, assim como de seus valores e de sua ética. Tais temporalidades variam de acordo com cada povo e cultura. Em um ambiente rural, por exemplo, provavelmente a infância será mais curta, na medida em que as condições sociais e culturais determinam a duração da infância. Determinam a duração, as maneiras de viver esses tempos e o imaginário que se tem sobre eles.



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Desde o livro clássico de Philippe Áries na década de 1960, chamou-se a atenção para o fato de que a infância não é sempre a mesma, ela passa por temporalidades diferentes e, historicamente, ela se constrói como um tempo diferenciado. Uma coisa é a infância nos tempos mais primitivos e a outra a infância na Idade Medieval. [...] Passamos por tempos diversos na vida, então temos que respeitar a infância em suas especificidades. Temos que ter um currículo para a formação da adolescência, dentro dessa especificidade que é ser adolescente. [...] As imagens românticas da infância se quebraram. É hora de preparar os professores para lidar com a infância real. As diversidades de classe são muito mais fortes: se até agora falamos em infância, quando vemos as diversidades de classe vamos ter que falar em infâncias. Porque uma coisa é ser criança em uma favela, com o pai desempregado, com uma mãe que tem que sair cedo para poder trazer comida para casa, ser uma criança de seis anos que cuida do irmãozinho de dois. Essas infâncias são muito diversas das infâncias de classe média, das infâncias da elite. (ARROYO, 2006, p. 3-4)

O professor deve encaminhar o seu trabalho com a matemática de acordo com os conhecimentos específicos da infância, pois a característica da infância é a brincadeira: a brincadeira (o jogo) é o meio pelo qual a criança aprende acerca do mundo e também o meio pelo qual ela aprenderá matemática.

Parâmetros para o currículo de Matemática na Educação Infantil

Um dos aspectos mais importantes para a formação de um currículo de ensino e aprendizagem na área da matemática é a superação de uma perspectiva linear e estruturalista dos conteúdos da área. As crianças aprendem em situações di-versas e nem sempre a aprendizagem obedece à regra que vai do mais simples ao mais complexo, já que as crianças observam tudo ao seu redor, interagem, questionam, criam, comparam e refletem sobre o que aprendem.

Para a definição de um currículo, deve-se levar em conta as características da etapa de ensino, a metodologia adequada. Segundo o Referencial Curricu-lar Nacional para a Educação Infantil, a seleção e a organização dos conteúdos matemáticos representam um passo importante no planejamento. Para tanto, deve-se levar em conta que:

aprender matemática é um processo contínuo de abstração no qual as crianças atribuem significados e estabelecem relações com base nas observações, experiências e ações que fazem, desde cedo, sobre elementos do seu ambiente físico e sociocultural;

a construção de competências matemáticas pela criança ocorre simultaneamente ao desenvolvimento de inúmeras outras naturezas diferentes e igualmente importantes, tais como comunicar-se oralmente, desenhar, ler, escrever, movimentar-se, cantar etc.

Desse modo, o conhecimento matemático não pode ser tratado de forma desvinculada da realidade. Os projetos de trabalho, com áreas do saber integra-

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das, constituem-se em um meio eficiente para a abordagem do conhecimento matemático com crianças em idade pré-escolar.

Segundo Jodete Bayer Gomes Füllgraf (2006, p. 27), o conceito de currículo não corresponde a uma condição universal, natural, como algo sempre igual, homogêneo e de significado óbvio: ele é social e historicamente construído, tendo sido crivado por diferentes concepções teóricas ao longo da história. A realidade educacional apresenta diversos modelos de enquadramento curricu-lar, de modo que as expressões propostas pedagógicas, currículos, Projeto Políti-co Pedagógico, regimento escolar e diretrizes pedagógicas, ora aparecem com o mesmo significado, ora se diferenciam. Kramer (2001) destaca que “currículo é palavra polissêmica, carregada de sentidos construídos em tempos e espaços distintos. Sua evolução não obedece a uma ordem cronológica, mas se deve às contradições de um momento histórico, assumindo, portanto, vários significa-dos ao mesmo tempo”.

Muitos estudos que discutem propostas pedagógicas e currículo desvela-ram uma realidade infinita e ímpar, na qual o processo educativo só pode ser observado de uma forma multifacetada. Segundo Gimeno Sacristán (1998), a realidade do currículo não se mostra em suas modelagens documentais, ou seja, nos projetos pedagógicos, mas na interação de todos os contextos educativos que compõem as práticas. Essa polissemia permite inferir a necessidade de um modelo pedagógico alicerçado em práticas cotidianas que respeitem as neces-sidades de desenvolvimento da criança.

Texto complementar

A Matemática na Educação Infantil: trajetória e perspectivas

(LIMA, 2006)

Os estudos atuais sobre o ensino da Matemática na Educação Infantil levam em consideração tanto as especificidades dos conteúdos a ensinar quanto a maneira pela qual os alunos aprendem e atribuem sentido aos co-nhecimentos matemáticos veiculados socialmente.



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O Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil (Recnei) e as publicações de pesquisadores como Guy Brousseau, Gérard Vergnaud, Anne Sinclair, Patrícia Sadovsky, Ana Cristina Rangel, entre outros, propõem que para as crianças construírem conhecimento é preciso que vivenciem múl-tiplas situações significativas em contextos adequados e tenham oportu-nidade para fazer reflexões sobre suas produções, interagindo com outros, crianças e/ou adultos, tanto para explicitar sua forma de pensar como para confrontar formas de resolução.

Nessa perspectiva, desde a Educação Infantil, a criança aprende mate-mática a partir das ações que produz para a resolução de uma situação, ou seja, quando compara, discute, pergunta, cria, amplia ideias e percebe que o erro faz parte do seu processo de construção do conhecimento. Essas ações investigativas geram na criança o desejo de responder a uma pergunta inte-ressante, ajustar-se às regras de um jogo, seguir as estratégias socializadas por um colega, entre outros procedimentos.

[...]

Nas décadas de 1940 e 1950, a concepção de aprendizagem que perme-ava o ensino era fundamentada na psicologia empirista. Nessa perspectiva, a aprendizagem reduzia-se à memorização, à exercitação e à repetição. Os conteúdos seguiam uma sequência linear, eram estruturados a partir de uma lista de temas e verbalizados pelo professor como um conjunto de verdades imutáveis.

Mediante avanços dos estudos da psicologia cognitiva, inspirados, espe-cialmente, na psicologia genética, difundida por Jean Piaget, a ênfase ante-rior dada à linguagem desloca-se para a ação. [...]

A associação da teoria piagetiana com a ação pedagógica gerou dificul-dades de interpretação pelos professores, pois não ficava claro para esses profissionais que o processo de desenvolvimento cognitivo exige ações mentais que demandam tempo para possibilitar a efetiva construção do co-nhecimento pela criança.

Nas décadas de 1960 e 1970, surge a matemática moderna com o grupo Bourbaki, tendo como eixo a teoria dos conjuntos. A concepção de aprendi-zagem, segundo esse grupo, não acontece mais pela repetição e pela manu-tenção de verdades. Entretanto, as tentativas de mudança no ensino-apren-

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dizagem, com a difusão da matemática moderna, não levaram em conta as considerações sobre o processo de construção da inteligência propostas pela teoria construtivista de Piaget.

Os professores, por não terem aprofundado, nos processos de formação, o estudo sobre a teoria dos conjuntos, não a concebiam como uma teoria abstrata, que necessitava para sua compreensão do uso de noções lógicas complexas. Diante disso, tratavam a teoria dos conjuntos com características muito concretas, e acabavam ensinando os conteúdos de forma linear, se-melhante à concepção tradicional, seguindo uma sequência rígida.

Em face do exposto, o ensino tanto na matemática tradicional como na matemática moderna apresenta um caráter estruturalista. No entanto, os novos rumos para o ensino dessa área apontam para uma atenção especial a estudos sobre os processos de desenvolvimento do indivíduo, bem como sobre a relação professor-aluno-objeto de conhecimento.

Com os estudos de Vygotsky e seus colaboradores, que se centraram nas leis do desenvolvimento e do processo de ensino-aprendizagem, a partir da teoria sócio-histórico-cultural, é lançado um conceito básico para a educa-ção: a zona de desenvolvimento proximal (ZDP) que “é a distância entre o nível de desenvolvimento real, que se costuma determinar através da so-lução independente de problemas, e o nível de desenvolvimento poten-cial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais capazes”.

Assim, na organização de sua prática, o professor deve considerar a ZDP das crianças para mediar o processo de ensino-aprendizagem a partir das necessidades do grupo, e, dessa forma, estruturar seu trabalho prevendo níveis de ajuda que possibilitem os avanços de todas as crianças.

Em consonância com esse conceito básico de Vygotsky sobre a ZDP e os novos estudos sobre ensino-aprendizagem da matemática, realizados por pesquisadores da didática e divulgados pela publicação dos Referenciais Cur-riculares Nacionais, faz-se necessário repensar o papel do professor e, mais es-pecificamente, da inter-relação professor-aluno-saber no âmbito escolar.

A partir dos estudos de Brousseau, pertencente à corrente da didática matemática francesa, é lançada a ideia de ser implementado no processo de ensino-aprendizagem um contrato didático que funcionará como um



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regulador dos intercâmbios entre o professor e o aluno, delimitando de-veres e direitos em um espaço de referência compartilhado: a sala de aula. Nesse contrato, as relações que as crianças e os professores mantêm com o saber estariam delineadas previamente. Logo, todas as situações propos-tas em classe teriam um papel desafiador, por possibilitarem confrontações de pontos de vista e evidenciarem seu efeito no trabalho coletivo do grupo sobre suas ideias iniciais e o desenvolvimento dos saberes individuais de cada criança.

Retomando o enfoque sócio-histórico-cultural difundido por Vygotsky e seus seguidores, “a educação é uma fonte que promove o desenvolvimento, precisa então ser coerente, organizada e oportuna”. Daí o compromisso do professor em promover um processo de ensino-aprendizagem, concebendo o aluno como um ser singular, buscando conhecer as necessidades e poten-cialidades de cada criança e organizando sua prática educativa a partir da resolução de problemas.

Como aponta Vergnaud, pesquisador da didática francesa, as concepções dos alunos são moldadas por situações que se encontram em contextos sig-nificativos. Daí a relevância de o tratamento de todos os conteúdos mate-máticos – sistema de numeração, grandezas e medidas, e espaço e forma – acontecer simultaneamente e estar conectado com sua função social.

Vale ressaltar que o professor deve saber que objetivos os alunos devem atingir e que atividade deve propor em função das metas traçadas para a Educação Infantil no que se refere a cada conteúdo, a fim de que possa pos-sibilitar conexões entre eles.

No tocante ao sistema de numeração, as crianças precisam conhecer a sucessão oral dos números; estabelecer relações entre eles: estar entre, um mais que, um menos que; reconhecer a sucessão escrita; iniciar a compara-ção de escritas numéricas e reconhecer as funções do número.

Segundo Sinclair, é preciso considerar que os números são usados no co-tidiano com diferentes funções comunicativas: os números de telefones, do-cumentos, cartões bancários têm a função de codificar; nas receitas, balança, fita métrica, a função é de medir; já no elevador aparece para ordenar, e, nas embalagens, quando expressam o número de objetos que contêm, apresen-tam a função de quantificar.

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Ao identificar essas quatro funções do número, é possível perceber uma inter-relação entre estas e os diferentes conteúdos. Logo, ao trabalhar as grandezas e as medidas, as ações devem visar à relação do número com a função de medir, com o uso pelas crianças de diferentes estratégias para comparar grandezas, efetivando as primeiras aproximações com medidas de comprimento, peso, volume e tempo, por meio de unidades convencionais e não convencionais.

Diante disso, o professor pode organizar boas situações de aprendizagem na Educação Infantil a partir de oficinas matemáticas: simulação de salão de beleza, sapataria, lanchonete, consultório médico e ateliê de costura. No en-tanto, para possibilitar aprendizagens significativas, é necessário que seja construído um ambiente favorável com materiais que são utilizados no con-texto real desses diferentes estabelecimentos comerciais.

Além das oficinas, os conhecimentos matemáticos podem ser acionados pelo trabalho com jogos: baralho, pega-varetas, dominós, do resgate de mú-sicas infantis (Mariana conta um; Um, dois, três indiozinhos) e de brincadei-ras como esconde-esconde, coelhinho sai da toca, bem como a marcação do tempo por meio de calendários e experiências com dinheiro.

Quanto ao processo de construção relacionado ao espaço e às formas, as situações devem visar ao estabelecimento de relações espaciais nos deslo-camentos, que podem ser organizadas por meio da comunicação oral e da reprodução de trajetos considerando elementos do entorno como pontos de referência.

Além disso, devem ser estabelecidas relações espaciais também entre ob-jetos e em objetos. As relações espaciais entre objetos podem ocorrer com a descrição e a interpretação da posição de objetos e pessoas em determina-dos espaços. No caso do estabelecimento de relações espaciais em objetos, é de fundamental importância que o professor organize situações para que as crianças iniciem os desenhos de construção, antecipem a própria ação para a conquista dos resultados esperados, modifiquem o produzido em função da ação do outro ou de resistências do objeto. No trabalho com as figuras geo-métricas, devem ser oportunizadas atividades em que as crianças descrevam as figuras a partir das formas que estão ao seu redor no cotidiano.

Por conseguinte, é necessário, desde a Educação Infantil, abandonar a perspectiva linear na organização curricular para o ensino da matemática,



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do simples para o complexo, pois o processo de construção do conhecimen-to das crianças acontece a partir da sua interação com diferentes situações investigativas, como foram apresentadas neste artigo. Dessa forma, é a partir das comparações, das discussões, dos questionamentos, das criações, das socializações de ideias que as crianças põem em jogo o que aprenderam e têm oportunidade de refletir sobre essas aprendizagens.

Dicas de estudoDIAS, Fátima Regina; FARIA, Vitória Barreto de. Currículo na Educação Infantil. São Paulo: Scipione, 2008.

Esta leitura propõe uma reflexão bastante pertinente sobre o papel do pro-fessor na formação dos alunos e na construção de sujeitos. O livro reúne contri-buições teóricas e práticas e discute a proposta pedagógica sob três focos: da legislação, da prática pedagógica e do desenvolvimento cognitivo da criança.

SARMENTO, Manuel; GOUVEA, Maria Cristina de. Estudos da Infância – Educa-ção e práticas sociais. Rio de Janeiro: Vozes, 2008.

Este livro inclui em seus elementos de análise da infância, a família, a escola e os espaços de lazer. Diversos autores dissertam a respeito dos referenciais que norteiam as pesquisas sobre a infância, o que traz ao leitor a vantagem compa-rativa e a possibilidade de estabelecer muitas relações.

Atividades1. De acordo com o Referencial Nacional para a Educação Infantil, a abordagem

da Matemática tem como finalidade, para as crianças menores, o estabeleci-mento de algumas noções matemáticas presentes no seu cotidiano. O que é proposto para o aprofundamento do trabalho, nessa área, com crianças maiores de três anos?

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2. O que o espaço físico de creches e pré-escolas deve proporcionar?



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3. Cite dois aspectos importantes para a formação de um currículo de ensino e aprendizagem na área da Matemática para a Educação Infantil.

Desenvolvimento lógico-matemático do ponto de vista piagetiano

A obra de Jean Piaget (1896-1980) revolucionou a psicologia, a episte-mologia e a educação de sua época e continua a repercutir na atualidade pelas contribuições que trouxe à evolução do sistema de ensino e espe-cialmente à valorização da atividade construtiva do sujeito para o desen-volvimento da inteligência.

Mesmo sem pretender representar um modelo pedagógico, pois não tinham esse foco, as pesquisas e estudos de Jean Piaget acabaram por con-tribuir em muito para o entendimento de que o desenvolvimento é uma construção espontânea e gradual das estruturas lógico-matemáticas.

Ele criou a epistemologia genética, e o conhecimento dos aspectos prin-cipais das ideias de Piaget justifica-se não só pelo legado científico da teoria sobre a gênese do conhecimento humano mas também pelo fato de grande parte de sua obra ser dedicada à construção do pensamento matemático.

A contribuição da teoria piagetiana é de grande significado para a edu-cação matemática e para a educação de forma geral, pois reforça a ideia de um aluno ativo, que interage, estabelece relações, ao invés de um aluno passivo que, como mero receptor, apenas repete sem compreender.

Os estudos e proposições de Piaget precisam ser compreendidos à luz de seu contexto histórico e com a profundidade necessária ao entendi-mento do conjunto de sua obra. Como sugere Martí (1997), é imprescin-dível deixar de considerar a teoria de Piaget como um sistema fechado de propostas teóricas e experimentais para nela ver uma teoria geral que mostra os principais processos de aquisição do conhecimento. Assim, os estudos de Jean Piaget visam explicar como o sujeito é capaz de construir suas estruturas de conhecimento, tornando-as cada vez mais elaboradas e completas, a partir da interação do sujeito com o meio. Segundo Piaget, “conhecer um objeto é agir sobre ele, modificá-lo, transformá-lo e enten-

O conhecimento lógico-matemático

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der o processo de modificação. Para que a criança chegue a esse ponto, é preciso que ela interaja com seu meio externo”.

Assim, a matemática não pode ser assimilada por uma simples transmissão verbal e tampouco por cópia da realidade exterior: é necessário entender a criança como construtora de seu próprio conhecimento e para tanto ela precisa estar em constante interação com o meio. A criança precisa desenvolver estruturas operató-rias que lhe possibilitarão real compreensão do mundo que a cerca e também dos conceitos matemáticos elementares. Na teoria dos estágios de Piaget, cada etapa emerge daquela que a precedeu, por meio de uma reorganização do que ocorreu antes, tornando-se maior e mais complexa. Isso porque, segundo Jean Piaget, “o desenvolvimento mental é uma construção contínua comparável à de um grande edifício, que se torna sólido a cada novo acréscimo” (apud PULASKI, 1986, p. 31). A sucessão dos estágios é constante, porém a idade cronológica em que aparecem pode ser diferente entre as sociedades e crianças.

A Pirâmide da Inteligência

Córtex associativo heteromodal.

Tronco cerebral

Comanda ações reflexas e controla

funções respiratórias e circulatórias.

Córtex primário

Ligado à percepção, transmite impulsos

sensoriais e motores para os mecanismos

neuromusculares.

Córtex associativo

Processa informações (dis-crimina estímulos recebidos e

os compara aos preexistentes).

Córtex associativo heteromodal

Integra estímulos sensoriais, compara informações e as envia ao sistema límbico (associado às

emoções).

Esquemas reflexos

Automatismos inatos ou adquiridos, que são a base da organização

corporal e da consciência.

1.° m

ês6.

° mês

2 an

os7

anos

11 a

nos

Esquema sensório-motor

Aprendizado prático, decorrente dos sentidos e das ações motoras.

Estágio pré-operatório

Sofisticação da função simbólica e aquisição da linguagem.

Estágio operatório concreto

Aparecimento do raciocínio lógico, ainda sem capacidade de abstração.

Pensamento formal

Capacidade de abstrair fatos por meio do raciocínio

hipotético-dedutivo.

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A figura mostra esquematicamente a relação entre a maturação da criança e o desenvolvimento funcional das áreas corticais. Esse desenvolvimento determina padrões cada vez mais complexos de ativação dos circuitos cerebrais específicos e também a evolução das condutas reflexas do recém-nascido para o compor-tamento essencialmente simbólico do adolescente e do adulto, tomando como base a teoria dos estágios de desenvolvimento intelectual de Piaget.

Ao estudar o avanço qualitativo das estruturas da inteligência, Piaget des-tacou três níveis de construção do conhecimento: sensório-motor, operatório concreto, e operatório formal. Nessa ordem, um nível dá origem a outro, incor-porando-o à nova estrutura.

Estágios do desenvolvimento cognitivo de Piaget

Período sensório-motor (dois primeiros anos)

Estágio 1 (do nascimento até 1 mês) O comportamento do recém-nascido caracteri-za-se por reflexos inatos.

Estágio 2 (1 a 4 meses)O bebê começa a definir os limites de seu pró-prio corpo por meio de descobertas acidentais que se mostram interessantes.

Estágio 3 (4 a 8 meses)O bebê aprende a adaptar os esquemas familia-res a novas situações, empregando-os para “pro-longar os espetáculos interessantes”.

Estágio 4 (8 a 12 meses)

Observa-se o surgimento do comportamento intencional à medida que o bebê afasta os obs-táculos do caminho ou usa a mão de um dos pais para alcançar os objetos desejados.


A criança começa a experimentar sistematica-mente, variando seus esquemas em um “tate-amento orientado”. Emprega novos meios, tais como bastões e correntes, para atingir os obje-tos desejados, ou encontra novos usos para ob-jetos já conhecidos.


Transição da atividade sensório-motora para a de representação: a criança inventa novos meios valendo-se da dedução mental – o “tateamento” por ensaio e erro já não é executado fisicamente e sim simbólica ou mentalmente.

Formas do pensamento infantilAté os dois anos, o aprendizado é feito pelos sentidos e pela área motora.

O pensador suíço Jean Piaget (1896-1980), um dos mais renomados teóricos do desenvolvimento cognitivo, investigou a lógica formal que rege a criança na

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resolução dos diferentes obstáculos com os quais ela se defronta ao longo da infância. Constatou que para cada idade há uma lógica de exploração e solução dos problemas. São padrões organizados de comportamentos característicos de cada faixa etária que se modificam segundo a relação que a criança mantém com o ambiente. Piaget nomeou quatro modos de ação da criança no mundo: sensório-motor (do nascimento a 2 anos de idade), pré-operatório (de 2 a 6 anos), operatório concreto (de 6 a 12 anos) e operatório formal (a partir dos 12 anos). O esquema sensório-motor caracteriza-se pelo aprendizado resultante dos senti-dos e da atividade motora. Esse primeiro estágio divide-se em seis subestágios, descritos a seguir.

(CAV

ALC

AN

TI, 2

006)Subestágio O que ocorre com o bebê

De 0 a 1 mês Não coordena ações e sentidos. Os exercícios de repetição são cen-trados nos reflexos inatos de ver, ouvir, sugar, tocar e pegar.

De 1 a 4 meses As sensações corporais prazerosas (sugar o dedo ou morder um brinquedo, por exemplo) casuais passam a ser repetidas. No entan-to, ainda não diferencia seu corpo do meio, sua ação não é sistemáti-ca e não relaciona o resultado de suas atitudes a ele próprio. Começa a ter controle sobre as ações sensórias e a explorar distintos objetos de modos diversos.

De 4 a 8 meses Interessa-se mais pelo ambiente e o explora de várias maneiras (não só pega um objeto que está próximo, mas o chacoalha, por exem-plo). Há ação intencional, mas não uma meta a atingir. Começa a perceber que sua ação produz efeitos.

De 8 a 12 meses Já age com intenção; é capaz de traçar esquemas para atingir um objetivo (por exemplo, ao visualizar um objeto que deseja, engati-nha em sua direção para pegá-lo). É capaz de antecipar aconteci-mentos.

De 12 a 18 meses Explora um mesmo objeto de formas variadas. A capacidade motora está muito desenvolvida. Experimenta ações e resolve problemas por meio de tentativa e erro.

De 18 a 24 meses Já tem representação mental dos objetos e faz uso de imagens, palavras e gestos para significá-los. Encontra-se no registro do pen-samento simbólico, sendo capaz de antecipar os acontecimentos e suas consequências sem precisar necessariamente passar à ação.

Período pré-operacional (2 a 7 anos) Estágio pré-conceitual (2 a 4 anos) – a criança opera em nível de represen- �tação simbólica, o que se evidencia na imitação e na memória, exibidas nos desenhos, no sonho, na linguagem e na atividade do faz de conta. Sur-gem as primeiras tentativas de conceituação, supergeneralizadoras, nas quais os representantes de uma classe não são distinguidos da própria classe (por exemplo, todas as lesmas são a mesma lesma). Embora a crian-ça atue de modo bastante realista no mundo físico, seu pensamento ainda



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é egocêntrico e dominado por um sentimento de onipotência mágica. Ela presume que todos os objetos naturais estão vivos e são dotados de sen-timentos e intenções, porque isso é o que se dá com ela. Raciocina que os eventos que coincidem têm entre si uma relação de causa e efeito. Por exemplo, uma criança pode responder que um relógio está vivo, pois está em funcionamento e mostra as horas, ou ainda que um rio, as nuvens, uma árvore e o sol estão vivos porque são elementos da natureza. Uma bola ou qualquer outro objeto que bata na criança é tido como responsável pela ação e não raro ouvem-se adultos reforçando essa ideia ao dizerem “Que boba” ou “Que feia é essa bola que bateu em você”. A criança presume que o mundo seja como se afigura a seus olhos e não consegue conceber mentalmente o ponto de vista de outra pessoa (cf. PULASKI, 1986).

Estágio pré-lógico ou intuitivo (4 a 7 anos) – Surge o raciocínio pré-lógico, �baseado em aparências perceptuais (por exemplo, meia xícara de leite que encha completamente um copo pequeno é mais do que meia xícara que não encha um copo grande). O ensaio e o erro podem levar a uma descoberta intuitiva das relações corretas, mas a criança é incapaz de con-siderar mais de um atributo de cada vez (por exemplo, as contas azuis não podem, ao mesmo tempo, ser contas de madeira). A linguagem é usada de maneira egocêntrica, refletindo a limitada experiência da criança.

Período de operações concretas (7 a 12 anos) Durante a primeira e a segunda séries do Ensino Fundamental no regime

de oito anos (nessas séries estavam crianças com 7 e 8 anos de idade), há uma transição gradual para o período de operações concretas, que se prolonga até a idade de 11 ou 12 anos. Nesse estágio, a criança pensa logicamente sobre as coisas que experimentou e as manipula simbolicamente, como nas operações aritméticas. Uma conquista extremamente importante é o fato de agora ela ser capaz de raciocinar retrospectiva e prospectivamente no tempo. A isso Piaget denomina reversibilidade. Essa característica acelera imensamente o raciocínio lógico e torna possíveis as deduções matemáticas. Nessa fase, evolui a espiral ascendente do desenvolvimento intelectual.

Período das operações formais (de 12 anos à idade adulta) Em algum ponto em torno dos 11 ou 12 anos, a criança se torna capaz de

raciocinar logicamente sobre proposições, coisas ou propriedades abstratas

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que jamais experimentou diretamente. Essa capacidade de hipotetizar carac-teriza o período das operações formais, o último e mais elevado período no modelo do desenvolvimento de Piaget: o sujeito é capaz de raciocinar indutiva e dedutivamente.

Nem todos os adultos atingem completamente esse último e mais elevado estágio do desenvolvimento intelectual, mas esse raciocínio é, decerto, caracte-rístico dos cientistas e pesquisadores que trabalham com átomos, partículas, e com a fissão nuclear. Esses pensadores são capazes de examinar imensas quan-tidades de material e fazer surgir uma explicação clara e abrangente. Como teria comentado Einstein acerca da teoria de Piaget: “Ela é tão simples que somente um gênio a poderia haver concebido”.

Em cada nível do processo de construção da inteligência, Piaget distingue fatores que regulam as constâncias e variações do processo: a maturação, as ex-periências com o mundo físico (envolvendo o conhecimento físico e o conheci-mento lógico-matemático), as interações sociais e o processo de equilibração. Ao dinâmico e contínuo processo autorregulador, Piaget denomina equilibração. De acordo com Jeanette Gallagher, esse é “o cerne da teoria piagetiana do de-senvolvimento cognitivo” (apud PULASKI, 1986, p. 25). Sua função é harmonizar a assimilação e a acomodação, assim como um termostato mantém equilíbrio constante entre o calor e frio. Piaget concebe esse processo como sendo o meca-nismo de crescimento e aprendizagem no desenvolvimento cognitivo. Em certo sentido, escreve ele:

o desenvolvimento é uma equilibração progressiva a partir de um estado inferior até um estado mais elevado de equilíbrio. A mente visa compreender e explicar em todos os níveis, mas as explicações vagas e incoerentes da infância estão muito distantes da riqueza e flexibilidade do pensamento adulto. É a busca do equilíbrio e de respostas satisfatórias que impulsiona a mente em direção a níveis mais elevados de pensamento. (apud PULASKI, 1986, p. 25)

A construção das estruturas cognitivas por meio da equilibração é pres-suposto teórico fundamental para explicar porque a criança ou mesmo adultos não aprendem conceitos matemáticos somente pela transmissão verbal. Assim sendo, a prática dos professores de Educação Infantil deve estar de acordo com as possibilidades de avanço que apresenta a seus alunos, a eles permitindo a construção dos conhecimentos lógico-matemáticos.

Incluindo número e aritmética, o conhecimento lógico-matemático é cons-truído por cada criança de dentro para fora, na interação com o ambiente. Em outras palavras, o conhecimento lógico-matemático não é adquirido diretamen-te do ambiente, por internalização.



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Conhecimento físico, social e lógico-matemático Piaget diferenciava três tipos de conhecimento de acordo com suas fontes

e modos finais de estruturação: conhecimento físico, conhecimento social ou convencional, e conhecimento lógico-matemático.

O conhecimento lógico-matemático consiste de relações mentais, e a fonte final dessas relações está em cada indivíduo. Por exemplo, quando nos apresen-tam uma ficha vermelha e uma azul, podemos pensar nelas como sendo diferen-tes ou semelhantes. É igualmente verdadeiro dizer que as fichas são diferentes (porque uma é vermelha e uma é azul) quanto dizer que elas são semelhantes (porque ambas são redondas e feitas de plástico). “A semelhança e a diferença não existem nem na ficha vermelha, nem na ficha azul, e se uma pessoa não co-locasse os objetos em uma relação, estas relações não existiriam para ela” (KAMII, 1986, p. 17).

Da mesma forma, a quantidade de fichas ou quaisquer outros objetos também está relacionada ao conhecimento lógico-matemático, pois as fichas são observáveis, perceptíveis, mas a dualidade ou a ideia de quantidade não.

As crianças constroem o conhecimento lógico-matemático estabelecen-do relações entre igual e diferente, entre o mesmo e o diferente. As relações se estabelecem entre objetos, fatos do mundo físico e social e entre quan-tidades. Assim, as crianças se tornam capazes de deduzir que há mais flores do que rosas no mundo, ou mais animais do que gatos, ou que 2 + 2 + 2 + 2 = 8, que é o mesmo que 4 x 2 = 8 e assim por diante. Portanto, a fonte de conhecimento físico e social é parcialmente externa para a criança e a fonte de conhecimento lógico-matemático é interna.

A experiência é um dos fatores ao qual Piaget recorre para explicar o desen-volvimento cognitivo. A partir da experiência física ou empírica que realiza – por exemplo – ao brincar, a criança constrói o conhecimento físico que se refere à exploração dos objetos para apreender suas propriedades e características bá-sicas. Isso é chamado de abstração simples, expressão utilizada por Piaget para designar a abstração das propriedades a partir de objetos. Para a abstração do número, Piaget utiliza a expressão abstração reflexiva.

Na abstração empírica, tudo o que a criança faz é focalizar uma certa proprie-dade do objeto e ignorar outras.

Já na abstração reflexiva, há a construção de relações entre os objetos: essas relações não existem na realidade externa e sim no pensamento daqueles que

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a criaram. Constance Kamii (1986) afirma que a expressão abstração construtiva poderia ser mais fácil de entender do que abstração reflexiva, indicando que essa abstração é uma construção feita pela mente em vez de representar apenas o enfoque sobre algo já existente nos objetos. Um tipo de abstração depende do outro: se a criança não observasse propriedades diferentes entre os objetos não poderia construir o conceito diferente.

E a criança também não poderia construir o conhecimento físico sem um sistema de referência lógico-matemático, de modo a poder relacionar novas observações a um conhecimento já existente. Por exemplo, para perceber a cor verde de um sapo é necessário um esquema classificatório que diferencie a cor verde das demais cores, além de distinguir o animal sapo de todos os outros que já conhece.

Como se desenvolve o pensamento lógico?Cerquetti-Aberkane e Berdonneau (2001) nos lembram que atividades de

refinamento da percepção contribuem com o desenvolvimento do raciocínio lógico, pois este se dá paralelamente ao desenvolvimento sensorial. A percep-ção é produzida pela estimulação de um órgão sensorial e constitui-se em ins-trumento indispensável para qualquer atividade mental. Sem a percepção não seria possível aprender. Os sentidos precisam ser desenvolvidos, estimulados, a fim de que todo o organismo se beneficie. Quando um único sentido é desenvol-vido, por exemplo, a audição, todos os outros melhoram.

Os sentidos a que se referem estes estudiosos são mais numerosos do que os designados habitualmente sob o mesmo termo. Para a percepção obtida pela visão distingue-se o sentido cromático e o estereognóstico que são, respectiva-mente, percepção das cores e das formas e volumes. Para as percepções obtidas pela pele, há o sentido do tato e o térmico (percepção das temperaturas). As percepções referentes aos músculos dos membros superiores correspondem ao sentido bárico (percepção das massas). O sentido cinestésico corresponde à per-cepção dos movimentos.

Maria Montessori foi pioneira no desenvolvimento sistemático de uma edu-cação sensorial e ao relacioná-la com as primeiras aprendizagens matemáticas. Muitas dessas práticas se perderam na escola de Educação Infantil, pelo desco-nhecimento de sua importância e pelo radicalismo em sua implementação. Ainda que com certo reforço ao individualismo e práticas que mereciam contextualiza-ção, vale destacar que as escolas montessorianas sempre tiveram muito boa re-



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putação. Da vasta coleção de materiais pedagógicos desenvolvidos, muitos pro-piciavam às crianças os elementos para contagem, comparação de tamanhos, quantidades e exploração de diversas outras propriedades e possibilidades.

Assim, comparar quantidades de objetos, fazer a triagem dos elementos, isto é, separá-los previamente, classificá-los buscando suas propriedades, semelhan-ças e diferenças, fazer a seriação estimulando as crianças a estabelecer relações entre os elementos, contribui para a formação do pensamento lógico e, portan-to, para a construção do conceito de número.

Para o reconhecimento do que é semelhante e do que é diferente, um dos primeiros jogos a ser proposto às crianças, é o de formação de pares.

A seriação consiste na construção de séries de elementos que são colocados em ordem de acordo com as diferenças entre eles. Ao fazer uma seriação, a crian-ça utiliza um elemento que é ao mesmo tempo maior e menor que outro.

Com relação à seriação, Cerketti-Aberkane adverte que materiais apropriados sejam utilizados para cada faixa etária a fim de se obter bons resultados:

[...] o material com o qual se pede que seja feita a seriação, e em particular a importância perceptiva da diferença entre dois elementos consecutivos na seriação, influi de maneira notável na média de idade das crianças que obtêm sucesso: é isto que explica, no caso, a seriação de comprimentos, que a partir dos quatro anos de idade as crianças reconstituam a seriação das barras de Montessori (dez barras de 10cm, 20cm, 30cm,...até 1m de comprimento), enquanto que no caso das barras variando de 1 em 1cm até 10cm não se obtenha resultado até um ano mais tarde; e que no caso dos bastonetes de Piaget a diferença entre dois elementos consecutivos seja de 0,8cm na primeira parte do teste e de 0,4 na segunda parte: neste caso, a criança somente tem sucesso ao redor de 7-8 anos. (p. 64)

Dessa forma, o professor precisa estar atento ao que cada aluno consegue re-alizar em termos de seriação de elementos. As atividades podem ser encaminha-das com materiais de encaixe, como panelinhas, potes, caixas, tampas, pratos de papelão, o que puder ser colocado um dentro do outro, oferecendo pelo menos 5 ou 6 unidades de tamanhos diferentes. Problematizar a situação, pedindo, por exemplo, que guardem os blocos naquelas caixas, preparando previamente para que as crianças não encontrem uma situação ideal, mas uma situação que as faça pensar sobre o problema a ser resolvido.

Classificar é uma operação lógica muito importante na vida de qualquer pessoa, pois ajuda a organizar a realidade. A classificação trabalha com as rela-ções de pertinência e de inclusão de classe. Sem se dar conta, as pessoas fazem classificações o tempo todo, diariamente, fazendo compras, organizando seus pertences e também seus pensamentos. Entretanto, a noção matemática de conjunto é complexa e diferente da noção intuitiva que possamos ter da ideia

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de classificação ou de coleção. Há coleções de objetos que não podem ser de-finidas por critérios matemáticos. Por exemplo, pessoas com cabelos castanhos ou louros, coleções de objetos definidos por nenhum outro critério senão os absolutamente particulares da pessoa que os reuniu. Por essas e outras carac-terísticas bem mais complexas da teoria de conjuntos é que operações entre conjuntos não são mais encontrados nos currículos do Ensino Fundamental.

Na Educação Infantil, todas as atividades que o professor puder realizar com seus alunos relacionadas à comparação e formação de pares, triagem e classifi-cação, seriações e organizações, além de gráficos e também quadros de dupla entrada, ajudarão no desenvolvimento do raciocínio lógico, especialmente se vinculados às sensações.

Autonomia: a finalidade da educação para Piaget

Autonomia significa ser governado por si mesmo. É o contrário de heterono-mia, que significa ser governado por outro. A autonomia é um direito do indiví-duo, como quando exerce seu direito autônomo do voto, isto é, o sujeito toma uma decisão por si mesmo. Na teoria de Piaget (KAMII, 1986), autonomia signi-fica a capacidade de governar a si mesmo, em sentido moral e intelectual. Na esfera moral, decide-se sobre o que é certo e o que é errado e na esfera intelec-tual, decide-se entre verdade e inverdade.

Pessoas heterônomas são governadas por outras pessoas na medida em que são incapazes de fazer julgamentos por si próprias.

Quais tarefas propostas por Piaget as crianças podem realizar com menos idade atualmente?

Com o avanço da tecnologia e o surgimento de novas abordagens teóricas que investigam o desenvolvimento cognitivo, novas metodologias foram pro-postas para verificar as ideias inicialmente levantadas por Piaget. Sem questio-nar o legado de uma impressionante obra, de mais de 20 000 páginas, traduzida para mais de 18 línguas, já completamos bem mais de 100 anos com Piaget.



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Algumas de suas ideias têm sido corroboradas, outras contestadas. Alguns pesquisadores demonstraram que as habilidades cognitivas dos bebês são im-pressionantes. Existem indícios de que as limitações identificadas por Piaget nas capacidades cognitivas dos bebês podem ser reflexos da imaturidade de suas habilidades linguísticas e motoras. Para Piaget, a passagem do comportamento reflexo para os primórdios do pensamento é longa e lenta. Por volta de 1 ano e 6 meses, os bebês aprendem por meio dos sentidos e dos movimentos. Na segunda metade do 2.º ano é que avançam para o pensamento conceitual. Questiona-se a pesquisa piagetiana de permanência do objeto em bebês pequenos pelo fato de não serem ainda capazes de realizar uma sequência de duas ações como, por exemplo, mover uma almofada ou levantar a tampa de uma caixa para pegar o objeto. Outros pesquisadores propõem um método de pesquisa mais apro-priado à faixa de idade do bebê. O objeto é escondido apenas por escuridão e assim pode ser encontrado com 1 movimento. Os bebês no 3.º subestágio (4 a 8 meses) conseguem realizar essa tarefa com êxito. Em outro estudo sobre perma-nência do objeto, bebês de seis meses e meio viam uma bola sair de uma calha e cair em um de dois pontos, cada uma identificável por um som característico quando a luz era apagada e o procedimento repetido.

Os pesquisadores eliminaram a necessidade da atividade motora e utilizaram recursos que permitiam focar os resultados no que os bebês observavam e du-rante quanto tempo.

Dessa forma sugere-se que os bebês, desde muito cedo, podem formar re-presentações mentais, isto é, imagens ou lembranças de objetos fisicamente au-sentes. Essa capacidade, Piaget atribuía aos bebês após os 18 meses. Entretanto, Piaget não negou que o desenvolvimento poderia ser acelerado ou retardado. Pôs sim, em dúvida, a necessidade de fazê-lo. O que ele sustentava como impor-tante no desenvolvimento era a sequência na qual ocorria o progresso e não as idades. De qualquer forma, as pesquisas encaminham a investigação da capaci-dade de bebês e crianças pequenas de lembrar e imitar o que veem.

Bebês de apenas seis semanas imitariam os movimentos faciais de um adulto após 24 horas, na presença do mesmo adulto, que dessa vez mostrava-se sem ex-pressão. A esse tipo de imitação, de um ato que se vê algum tempo antes, denomi-nada imitação diferida, Piaget não atribuía a crianças menores de 18 meses.

Em uma experiência na Nova Zelândia, bebês de diversas idades, após terem visto um pesquisador tirar a luva de um fantoche, soar um sino dentro da luva três vezes e depois recolocar a luva no fantoche, imitaram a mesma ação, desde

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que estivessem no mesmo lugar com as mesmas pessoas. A experiência foi feita com bebês de até seis meses. Bebês maiores imitavam com mais precisão (BARR; DOWDEN; HAYNE,1996). Com dois anos, os bebês demonstram imitação diferida após 24 horas somente quando a cor e a forma do fantoche são praticamente idênticas às originais. Em outra pesquisa, bebês de 14 a 18 meses observaram outras crianças brincarem com objetos e repetiram o comportamento em casa, após dois dias, com os mesmos objetos (HANNA; MELTZOFF, 1993).

De modo geral, os bebês e as crianças pequenas parecem ser mais compe-tentes do que pressupunha Piaget, entretanto, as pesquisas abrem novos cami-nhos para novas práticas aos poucos, pois as crianças não veem ao mundo com suas mentes plenamente formadas.

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Autonomia moral e intelectual Em suas pesquisas, Piaget perguntava a crianças de 6 a 14 se era pior dizer

uma mentira a um adulto ou a uma criança. As crianças pequenas respondiam que era pior dizer mentira a um adulto e, ao explicarem o porquê, diziam que os adultos podem saber quando uma afirmação não é verdadeira. Por sua vez, as crianças maiores respondiam que se sentiam forçadas a mentir para adultos, mas que era maldade mentir para outras crianças. Esse exemplo de autonomia moral demonstra que, para pessoas autônomas, as mentiras são ruins em qual-quer caso, em qualquer situação.

Piaget investigou a relação de desenvolvimento entre autonomia e hetero-nomia, verificando que, em condições ideais, a criança torna-se progressivamen-te mais autônoma à medida que cresce. Contudo, a maioria das pessoas não tem sua autonomia moral desenvolvida plenamente, os adultos são autônomos até certo ponto. Isso pode ser ilustrado com o que facilmente se observa na vida cotidiana: são poucos os adultos virtuosos, são muitos os casos de corrupção, roubo, violência.

As implicações pedagógicas estão relacionadas com os fatores que geram au-tonomia ou reforçam a heteronomia na criança. Muitas vezes, pais e professores reforçam a heteronomia da criança quando utilizam recompensas, castigos, pu-nições. Para que a criança desenvolva a autonomia moral, é preciso reduzir o poder adulto, encorajando-as a construirem por si mesmas seus próprios valores morais: com uma orientação dialogada, a criança terá a possibilidade de pensar sobre a importância de valores como respeito, honestidade, verdade. Por exem-plo, quando uma criança derruba algo no chão, não deveria ser repreendida pelo adulto, mas orientada:

– Você gostaria que eu ajudasse a limpar?

– O que é preciso fazer quando derrubamos ou sujamos algo?

Entre pais e filhos, alunos e professores, deve haver uma relação mútua de respeito e afeto.

Com relação à autonomia intelectual, Kamii nos oferece um exemplo extre-mo. Copérnico desenvolveu a teoria heliocêntrica quando todos os demais acre-ditavam que o Sol girava ao redor da Terra. Foi ridicularizado e afastado do meio acadêmico porque manteve sua posição. Ele agiu com bastante autonomia para continuar a afirmar seu ponto de vista, não se deixando governar por outros.

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Outro exemplo que se pode usar para explicar a autonomia intelectual é o de uma criança que, por exemplo acredita em Papai Noel. A criança surpreende a mãe perguntando como é que Papai Noel usava os mesmos presentes que os que eram comprados pela família. A mãe responde com alguma explicação que não é suficiente e a criança volta a questionar:

– Como é que o Papai Noel tem a mesma letra que o papai?

Ocorre que, quando colocou Papai Noel em relação a tudo que conhecia, a criança começou a perceber que havia outras evidências que confirmavam sua suspeita. Ora, essa criança pensava por conta própria e não se deixava governar por outros ou aceitar o que era dito a ela.

De acordo com Piaget, a criança adquire o conhecimento ao construí-lo a partir de seu interior – em vez de internalizá-lo diretamente de seu meio. As crianças podem internalizar o conhecimento transmitido por um momento, mas elas não são como recipientes que meramente retêm o que é ensinado: elas constroem o conhecimento, criando e coordenando ações.

Ao desejarem respostas certas de seus alunos, os professores acabam, até mesmo sem perceber, utilizando sanções que desencorajam o questionamento e o pensamento autônomo. Por exemplo, se uma criança escrever 4 + 2 = 5 e receber a correção do professor sem a devida explicação ou o encaminhamento da atividade, ela pode passar a pensar que a verdade advém somente da cabeça do professor. Há crianças que chegam a duvidar de seu próprio pensamento, apagando seus resultados quando o professor se aproxima.

No exemplo da operação 4 + 2 = 5, sugere-se perguntar à criança:

– Como você conseguiu 5?

Ao tentar explicar à outra pessoa o seu modo de raciocínio, a criança acaba, ela mesma, por corrigir o resultado autonomamente: ao tentar coordenar seu ponto de vista com o do outro, a criança se dá conta do próprio erro. Segundo a teoria de Piaget, a coordenação de pontos de vista entre colegas é mais eficaz do que a correção feita pelo professor.

Autonomia na escola A autonomia intelectual está relacionada à capacidade de reflexão que o

aluno pode vir a ter sobre seus atos.



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Nos primeiros dias de aula, é comum professores e alunos estabelecerem acordos que revelam as regras da escola e também a postura do professor, pois na maioria das vezes esses acordos são produzidos antes do início da convivên-cia. Para o desenvolvimento da autonomia, seria melhor deixar os problemas surgirem. Por exemplo, a professora pode dizer aos alunos que se incomo-da quando há alguém falando quando ela fala ao grupo e perguntar se mais alguém se incomoda em não poder ouvir o que ela tenta explicar, e então per-guntar às crianças o que pode ser feito para resolver esse problema. As crianças provavelmente irão pensar e sugerir uma variedade de soluções como mandar os que incomodam para a sala do diretor. A professora pode então dizer, como membro da comunidade, igual a todos os outros membros, que ela não votaria em mandar a pessoa para o diretor porque o diretor não tem nada a ver com o problema em discussão.

As reuniões para a discussão de problemas são muito melhores do que a imposição de regras prontas: nas reuniões, as crianças têm a chance de pensar sobre cada problema. Se a professora não sugere uma solução, a responsabili-dade para resolver o problema recai sobre as crianças. Uma regra sugerida por elas, e aceita pelo voto da maioria, tem muito mais probabilidade de ser respei-tada pelo grupo do que a mesma regra imposta pela professora. E, continuando o exemplo, as crianças também têm que pensar nas condições sob as quais se pode ou não conversar.

Esse julgamento pode ser feito relacionando as perspectivas de todas as partes envolvidas e, assim, as crianças aprendem a descentrar seu ponto de vista, coordenando-o com as perspectivas dos outros. Hoje há enormes problemas sociais, largamente causados pela incapacidade das pessoas para levar em con-sideração fatores relevantes na tomada de decisão. Por exemplo, quando uma pessoa fuma, ela decidiu fazer isso. Pessoas que conseguem levar em conside-ração fatores relevantes ao tomarem decisões, provavelmente tomarão decisões mais sensatas do que aquelas que são cegas a fatores relevantes.

A educação moral acontece a cada minuto do dia escolar, as pessoas estando conscientes desse fato ou não. Quando uma criança é ameaçada com punição, reforça-se sua heteronomia. Quando há chantagem ou manipulação, reforça-se a heteronomia.

O princípio mais importante de uma educação voltada para a autonomia é pedir às crianças que tomem decisões por si mesmas, levando em consideração fatos relevantes.

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A experiência da autonomia(MONTANDON, 2005)

[...]

O segundo estudo enfocou a experiência que as crianças têm da auto-nomia. Inspirou-se no primeiro, o qual mostrou que, embora as crianças es-perassem afeto e apoio por parte de seus pais, elas costumavam lutar para escapar de seu controle, e no fato de que a autonomia das crianças está no cerne dos debates sobre a crise associada à sua educação. Haveria crise, se-gundo alguns, porque se concedeu autonomia demais às crianças. Quem quer já tenha brigado pelos direitos da criança conhece esse debate. A in-dagação era a seguinte: numa cidade moderna como Genebra, será que o discurso pedagógico, herdeiro de Rousseau e Piaget, que apregoa o desen-volvimento da autonomia e condena o autoritarismo, é aplicado mesmo? E se for, quais seus efeitos? Deletérios, como afirma quem reclama mais autori-dade? Vimos anteriormente que a maioria dos pais é favorável à aquisição da autonomia de seus filhos e que os pais estritamente autoritários constituem uma pequena minoria. Mas qual a experiência das crianças?

Pareceu-nos interessante buscar um melhor conhecimento da experiên-cia diferencial que estas têm da autonomia assim como das condições sociais a ela subjacentes, em particular, da maneira como as pessoas que cuidam de crianças se situam com relação a essa autonomia.

Como é possível, por exemplo, que em instituições como as escolas mo-dernas, que afirmam levá-los à autonomia, os alunos estejam incessante-mente expostos a decisões ou veredictos que não passam de juízos nega-tivos contra sua capacidade de serem autônomos? Mais precisamente, essa pesquisa tinha dois objetivos principais:

examinar a experiência da autonomia que as crianças têm no âmbito �de sua família e no da escola, ao repertoriar as diferentes formas de que se reveste assim como as situações em que se concretiza. Apreen-der o que a autonomia significa para elas e analisar seu modo de tratar as exigências de autonomia de que são objeto. Analisar as diferentes

Texto complementar



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experiências de autonomia das crianças segundo os contextos e se-gundo suas características sociais e culturais.

Estudar as representações da autonomia que pais e docentes têm e �analisar as atitudes e exigências que manifestam para com as crianças a respeito da autonomia. Os dados foram colhidos com crianças de 11 a 12 anos por meio de questionários completados por entrevistas aprofundadas com 40 deles e por entrevistas de grupo. Seus pais e os docentes de suas escolas também participaram, mas, aqui, abor-daremos principalmente alguns resultados relativos à experiência das crianças na sua família (MONTANDON; LONGCHAMP, 2003).

As crianças do estudo dizem que as regras existem, claro, mas que podem ser discutidas para certos aspectos da vida cotidiana. Os pais, portanto, não exigem sua submissão incondicional como costumava ser o caso no pas-sado, o que corrobora as respostas dos pais, que mostram não abandonarem a autoridade, mesmo se esta é redefinida. A autonomia subjetiva e factual das crianças apresenta algumas variações segundo o sexo, a composição da família ou o pertencimento social de seus pais. Assim, por exemplo, os filhos de pais operários têm uma representação subjetiva da autonomia menos forte que a dos filhos de pais de classe média ou executivos superiores e pa-trões. Em termos de ação, mais particularmente das atividades que implicam uma autonomia concreta (ir sozinho à cidade, cuidar de uma criança peque-na, fazer suas lições sem pressão dos pais, trabalhar por dinheiro, dormir na casa de colegas), as diferenças segundo o meio ou o sexo variam em função das atividades e do tipo de responsabilidades implicadas.

Por exemplo, cuidar de crianças menores é uma tarefa mais frequente entre crianças cujos pais são operários ou têm uma formação pouco eleva-da, ao passo que ir dormir na casa de um(a) colega é uma atividade mais frequente entre as crianças de classe média. Segundo as crianças, os pais têm um papel crucial a desempenhar a respeito de sua autonomia. Vejamos o que respondem quando perguntadas sobre o que mais as ajuda a se tor-narem autônomas. Os pais vêm em primeiro lugar, mencionados por uma forte maioria. Eles “dão responsabilidades; dão explicações para o futuro; en-corajam a se virar; mostram e depois deixam fazer; dão confiança e ajudam a se organizar; dão bons conselhos; ensinam coisas que ajudam; deixam as crianças se virarem, dão o exemplo”. A escola, por sua vez, é mencionada por

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uma minoria, quatro crianças em dez. Ela “ensina a se organizar; dá tarefas nas quais é preciso se virar; dá responsabilidades; traz os conhecimentos que permitem ser ou se tornar mais autônomo”. Quase tanto quanto a escola, as dificuldades da vida são evocadas por um pouco menos de quatro crianças em dez. Segundo elas, “enfrentar as dificuldades leva à autonomia; as dificul-dades obrigam a tomar decisões; sem dificuldades, a gente deixa rolar; os erros cometidos permitem aprender para a próxima vez; sem dificuldades, não precisa ser independente”.

Os irmãos e as irmãs são mencionados por duas crianças em dez; trata-se dos maiores, que são um pouco como pais. Os colegas também ajudam a se tornar autônomo nas mesmas proporções; conversa-se com eles e, às vezes, servem de exemplo. Em seguida algumas crianças falam das leituras, que permitem aprender coisas, dos esportes que levam a ultrapassar a si mesmo, do dinheiro que permite ser independente e, de maneira isolada, evocam o tempo que faz crescer, o contato com pessoas que sabem ser autônomas, o fato de se apaixonar ou de ganhar confiança em si e, finalmente, a televisão. Parece, portanto, que os pais desempenham um papel muito importante na autonomia tal como concebida pelas crianças, ao criarem condições e ao deixarem a criança ter suas experiências. O papel da escola é bem menor aos seus olhos, o que confirma um outro resultado da pesquisa: quando a auto-nomia ocupa um lugar central no projeto de uma escola, seus alunos não parecem aproveitar-se disso muito mais que os das escolas mais tradicionais. Os pais também desempenham um papel importante na organização do tempo de seus filhos. Nosso estudo mostrou que, numa cidade como Gene-bra, onde o nível de vida é em média bastante elevado, boa parte do tempo livre das crianças é dedicada a cursos e esportes, à televisão, ao consumo em companhia de amigos. O fato de terem tantas oportunidades apresenta suas vantagens e seus inconvenientes. Vantagens, pois estas enriquecem sua bagagem, abrem portas para a autonomia tal como a entendem. Inconve-nientes, pois são mais solicitadas do que antes por escolhas num contexto de vida mais diversificado.

Portanto, esses estilos de vida, as visões do mundo, essa diversidade cul-tural enriquecem mas desnorteiam ao mesmo tempo, e tudo isso ocorre num contexto social muito competitivo. As crianças mostram-se muito “filó-sofas”: costumam pensar que, dada a sua situação de dependência no plano concreto, é melhor tentar fazer o que se espera delas e, embora tenham es-



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tratégias para ganhar independência na vida cotidiana, geralmente se con-formam às exigências dos pais. Por sinal, e nisso se assemelham a estes, elas têm uma visão pragmática da autonomia; para a maioria entre elas, trata-se de adquirir independência no plano concreto, pois poucas a situam no plano da mente. Em contrapartida, elas não se enganam quanto às contradições e aos numerosos hiatos entre os discursos e as intenções dos adultos, mais particularmente a respeito das questões de autonomia. Elas veem claramen-te os ardis autoritários da pedagogia antiautoritária. Elas desejam mais au-tonomia, mas têm sentimentos ambivalentes; elas são sensíveis ao que as espera em sua vida de adulto e várias têm medo de crescer. De saída, sua experiência está imersa na ambivalência que caracteriza os indivíduos con-temporâneos, ambivalência decorrente de uma busca paradoxal de autono-mia e apoio, ao mesmo tempo, que marca sensivelmente sua própria atitude com relação à autonomia.

À guisa de conclusão

Os argumentos apresentados neste texto podem se resumir em alguns pontos:

As práticas educativas dos pais são muito diferentes e não existe um �modelo único: os pais sempre fazem prova de autoridade (salvo algu-mas exceções – tutela, casos dramáticos etc.). Obviamente, os que em-pregam uma autoridade de tipo tradicional, estatutária, são hoje em dia relativamente pouco numerosos e, mais frequentemente, trata-se de uma autoridade de orientação, ou de uma autoridade que se ne-gocia. Contudo, mesmo nestes dois últimos casos, algumas coisas são autoritariamente proibidas às crianças.

Essas práticas dependem de muitos fatores, o quadro é complexo, e �é preciso levar em conta o conjunto dessas variáveis e de suas intera-ções caso se queira compreender sua evolução. Essa complexidade é hoje em dia amplamente reconhecida (BRIL, 1999; SABATIER, 1999).

Os efeitos das práticas educativas dos pais sobre as crianças não são �evidentes e não se pode dizer de maneira absoluta que tal ou tal esti-lo educativo é melhor ou produz bons resultados. Tudo depende dos contextos e das situações. Ainda estamos longe de saber quais práti-cas são efetivas, para que crianças e em que contextos.

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O ponto de vista das crianças traz elementos indispensáveis à com- �preensão de sua experiência e é importante levá-lo em consideração. Sabe-se ainda muito pouca coisa, mas novos trabalhos nessa perspec-tiva poderão sem dúvida trazer, no futuro, um suplemento de sentido às pesquisas sobre a educação familiar. Além disso, também se deve considerar a experiência das crianças sob uma perspectiva geracional da infância. De fato, cada geração de crianças vive uma experiência co-letiva particular. As da grande depressão dos anos de 1930 conhece-ram uma experiência diferente daquelas das grandes guerras, daquelas dos anos de 1950 etc. A experiência coletiva das crianças contempo-râneas também tem sua especificidade: uma forte ambivalência. Além do mais, as crianças de hoje vivem em sociedades as quais permitem, mais que antes, que se discuta livremente, e que derrubaram a auto-cracia. Se elas parecem menos submetidas e mais críticas é porque estão sintonizadas com a evolução de sua sociedade. Entretanto, ao mesmo tempo, fazem parte do grupo das crianças: vivem, portanto, a relação de poder assimétrica consubstancial à infância – são mais fracas perante os adultos, sem esquecer que, do ponto de vista econô-mico, são as primeiras a serem afetadas.

Apreender o ponto de vista das crianças levanta questões metodoló- �gicas. Durante muito tempo, os sociólogos “desconfiaram” das crianças e as ciências sociais não têm uma longa tradição nesse campo. Assim, apesar de todas as precauções metodológicas e apesar do fato de os dados recolhidos com crianças não serem menos autênticos que os recolhidos com adultos, o investigador deve se perguntar se os aborda corretamente, e se os compreende e interpreta bem. Os psicólogos, que têm mais experiência com crianças, poderiam sem dúvida consti-tuir interlocutores interessantes.

Finalmente, num plano político, essas observações levam a pensar �que aqueles que sustentam um discurso a respeito de uma crise da educação, devida à demissão dos pais ou à adoção de práticas educa-tivas permissivas, representam um perigo muito maior do que o que denunciam. As pesquisas continuam mostrando que a educação au-toritária não é a mais positiva – pelo menos, hoje em dia, quando a so-ciedade exige flexibilidade e espírito crítico de seus membros. Como ensinar os valores cidadãos de nossa época às crianças, se as criarmos



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numa família ou numa escola que ensinam a desigualdade e a sub-missão?

Nas sociedades antigas ensinava-se obediência às crianças, na família e na escola, para que também estivessem prontas a obedecer no meio do tra-balho e perante as autoridades. Se quisermos indivíduos adaptados à so-ciedade contemporânea que se tornou mais democrática, não seria lógico mudar também os modos de educação? Não seria lógico que as mudanças sociais representassem um certo custo e até certos sofrimentos particulares, que pedem tratamentos particulares? Sem dúvida ainda falta muito para res-ponder a estas diferentes indagações que abordamos rapidamente aqui.

[...]

(MONTANDON, Cléopâtre. As Práticas Educativas Parentais e a Experiência das

Crianças. Disponível em: <www.scielo.br/pdf/es/v26n91/a10v2691.pdf>.

Acesso em: dez. 2008.)

Dicas de estudoBRINGUIER, Jean Claude. Conversando com Piaget. Lisboa: Difusão Editorial.

Trata-se de duas entrevistas com Piaget, realizadas pelo jornalista Jean Claude. Você se sente conversando com Piaget e, ao ver em que contexto se dá a entre-vista, entende melhor as colocações dele. O livro traz imagens de Piaget com os filhos e a esposa, andando de bicicleta com mochila nas costas, do escritório em que trabalhava. É uma leitura bem agradável.

O filme O Clube do Imperador, direção de Michael Hoffman, distribuição Uni-versal Pictures, fala sobre a história de um professor que recebe alunos da alta sociedade americana. O professor é altamente autônomo, moral e intelectual-mente, e o filme acaba se tornando uma lição de vida e de moral, fazendo refletir sobre ética e caráter.

Os materiais e métodos utilizados por Maria Montessori, disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_montessori>. Este site contém a obra completa do sistema, metodologia e materiais utilizados na pedagogia montessoriana, entre eles o material dourado criado por ela, estimulando o de-senvolvimento da criança, sem desrespeitar suas fases.

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Atividades1. Piaget diferenciava três tipos de conhecimento de acordo com suas fontes e

modos finais de estruturação: conhecimento físico, conhecimento social ou convencional e conhecimento lógico-matemático. Em que consiste cada um deles?

2. O que distingue o conhecimento lógico-matemático do conhecimento físico e social?



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3. Explique o que significa autonomia na perspectiva de Piaget e o que pais e educadores devem ou não fazer para ajudar a desenvolvê-la em seus filhos e alunos.

Na Educação Infantil, é frequente a coexistência de diferentes enfo-ques no ensino dos conteúdos matemáticos. A diferença entre práticas é observada entre instituições de ensino, e muitas vezes dentro de uma mesma instituição, por conta da falta de reflexão sobre o encaminhamen-to e diferença de formação entre os professores.

Toda prática pedagógica está determinada por concepções sobre como se ensina e como se aprende (BAROODY apud MORENO, 2006, p. 43). Sendo assim, cada ação reflete uma crença – uma diferente crença – sobre a natureza do conhecimento, o modo como o conhecimento é adquirido e o que significa saber alguma coisa.

Ensino tradicionalNa escola tradicional, os números devem ser ensinados aos poucos: um

a um e na ordem em que a série numérica indica – não se pode apresentar o número 5 enquanto não se ensinou o 4, nem ir além do 9 sem ter en-sinado a noção de dezena. As atividades consideradas fundamentais são aquelas ligadas à escrita convencional dos números, de modo que são va-lorizadas atividades como escrever os números várias vezes, desenhá-los, recortá-los, pintá-los etc.

Para a escola tradicional, antes de qualquer resolução de problema ou operação é preciso ensinar os pré-requisitos, as tais atividades pré-numé-ricas. Entende-se a aprendizagem como algo cumulativo, a somatória de pequenas partes, e o mais importante é o treino, feito com repetição e memorização das noções matemáticas.

Nessa concepção, a ideia de aluno é a de um sujeito em tábula rasa, isto é, que não possui nenhum conhecimento anterior que se relacione com os conteúdos a serem ensinados. E somente assim se pode compreender que se comece o ensino a partir do número 1. Ora, a criança pequena da Edu-cação Infantil sabe quantos anos tem, quantos anos o irmão tem, quantas

Concepções de ensino-aprendizagem da matemática

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balas quer a mais, quantos degraus sobe para deslizar no escorregador; que na sala de aula há 20 colegas, mas faltaram 2 então o total de hoje é de 18 colegas.

Na tendência da escola tradicional, saber matemática é ter domínio dos pro-cedimentos formais: o aluno demonstra que sabe matemática quando escreve os números corretamente, quando faz contas, quando resolve problemas – con-siderando-se que os problemas não são um conteúdo, mas uma forma de treinar as operações. Os enunciados devem indicar se a conta a ser feita para a resolu-ção do problema é de mais ou de menos. Além disso, as sequências de ensino são organizadas da mesma maneira.

Matemática modernaA teoria de conjuntos foi transportada para a sala de aula por professores de

Matemática, pelos livros didáticos, pelo currículo – e se tornou prática corrente nas escolas de Educação Infantil e nas séries iniciais. Sob esse enfoque, o número é ensinado como uma propriedade dos conjuntos enquanto classes de equi-valências, razão pela qual uma das atividades mais comuns é apresentar, por exemplo, desenhos de conjuntos com quatro flores, cinco automóveis, quatro borboletas e cinco balões de ar para que os alunos achem, por correspondência, termo a termo, os conjuntos que têm a mesma propriedade numérica. Esse tipo de atividade pressupõe que as crianças aprendem o que é número por meio da visualização de imagens ou objetos. A partir dessa concepção, entende-se que número é a síntese entre as operações de classificação e de seriação. Essas atividades lógicas deveriam ser realizadas antes de se falar ou mostrar números. Dessa forma, classificar, seriar e estabelecer correspondências termo a termo são tidas como atividades fundamentais para se construir a noção de número.

Essa concepção de ensino e aprendizagem está pautada no acervo teórico de-senvolvido por Piaget, que desenvolveu uma teoria do conhecimento e superou as correntes epistemológicas de sua época – o empirismo e o inatismo. Segundo Brun (apud MORENO, 2006, p. 45), “a psicologia genética estabelece, então, em sua origem, uma relação de exterioridade com a pesquisa sobre o ensino” – isto é, o objetivo de Piaget era estudar as grandes categorias do conhecimento para compreender e descrever o seu processo de constituição. Contudo, é recorrente na prática pedagógica a transposição dessas ideias teóricas para a educação.



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Diferentemente do ensino tradicional, em que a principal atividade é o treino de procedimentos formais, aqui se prioriza a aprendizagem de relações lógicas entre conjuntos de elementos: classificação, seriação, tendo o número como sín-tese de ambos.

Conforme é sabido, para Piaget, o principal fator a incidir sobre o processo de conhecimento é a ação. Até hoje, a ênfase sobre a ação construtiva influen-cia o ensino, mas infelizmente o sentido da ação tem sido mal compreendido. É comum se pensar que a ação referida por Piaget trata-se da simples manipula-ção de materiais concretos pelos alunos, mas “as ações, no sentido piagetiano, são atividades próprias dos sujeitos que não se limitam a ações materiais e que têm sempre como moldura uma finalidade determinada dentro de um processo dialético de pensamento e ação” (CHARNAY; VALENTIN apud MORENO, 2006, p. 46). Assim, o processo dialético de pensamento e ação só pode ocorrer se o pró-prio aluno fizer suas escolhas dentro do repertório de seus conhecimentos para solucionar o problema apresentado. Porém, muitos professores, ao suporem que a aprendizagem se dá simplesmente pela manipulação do material concre-to, acabam por determinar o que a criança deve fazer:

– Pegue 3 bolas, depois mais 4, e conte todas.

Outro equívoco relacionado a essa teoria é o papel do professor, que pode não assumir uma intencionalidade didática. Segundo Beatriz Moreno, a legitimidade de um conteúdo de ensino não pode depender somente da iniciativa do profes-sor, pois ele deve aparecer como legítimo também aos olhos da sociedade.

Beatriz Moreno está atenta ao fato de que, a partir de uma postura equivoca-da, o sujeito não se constitui como aluno ou como criança. Para ela, os trabalhos de Piaget estavam dirigidos para a compreensão do desenvolvimento cognitivo: a ideia é a de um sujeito psicológico no qual interessam os processos e estruturas cognitivas, isto é, se ele conserva quantidades, pesos etc.; se obteve a estrutura operatória de determinada noção; se produz desequilíbrios a partir de conflitos, dando lugar aos reequilíbrios geradores do processo cognitivo.

Nessa concepção reformista proposta pela matemática moderna, saber ma-temática significa ser capaz de estabelecer relações lógicas entre conjuntos. A linguagem da teoria de conjuntos é considerada a mais adequada para que as crianças compreendam os números por meio das relações lógicas aplicadas sobre conjuntos de elementos, o número sendo entendido como a síntese entre as operações de classificação e seriação.

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Didática da MatemáticaA didática da Matemática desenvolveu-se em vários países, porém, na França,

teve uma base maior para formação de conceitos teóricos próprios. Ela surgiu na França, no contexto do movimento do ensino científico dos anos 1960. O perí-odo anterior tinha sido marcado por grande ênfase nos conteúdos e, portanto, era preciso aproximar o saber da disciplina do saber ensinado, determinar as bases para melhorar o ensino.

A insuficiência dos pontos de vista da matemática moderna – segundo os quais, pedagogicamente, “era suficiente saber matemática para saber ensiná-la”, e psicologicamente a disciplina deveria ser viva tanto em seu conteúdo como em seu ensino – causou desilusões e a consequente busca por mudanças signi-ficativas no ensino e na aprendizagem da matemática.

Então, a didática da Matemática teve por objetivo estudar e descrever as condições necessárias para facilitar e otimizar a aprendizagem dos alunos com relação aos conteúdos de ensino nessa área. Ela se preocupa com alunos e pro-fessores, com o conhecimento e as inter-relações entre eles no contexto escolar com o objetivo de fazer os alunos progredirem em relação ao conhecimento que a escola tenta transmitir.

A escola francesa fundamenta-se nas ideias de Piaget, que postula que os conhecimentos são produzidos por construções sucessivas que acontecem pela interação desse sujeito com o meio.

Esse conceito não tem sido suficiente para explicar o ato complexo do ensino e da aprendizagem matemática; é, portanto, a didática que responde sobre o ensino que é o seu próprio objeto de estudo, é a ciência que busca dar consis-tência ao processo.

O objetivo central da didática é identificar condições nas quais os alunos mobi-lizam saberes que conduzam à produção de novos conhecimentos. Além da cons-trução dos conhecimentos, a didática se ocupa das transformações que correspon-dem aos saberes socialmente reconhecidos, comunicados por meio da escola.

Como concepção de aprendizagem, Brousseau (apud PANIZZA, 2006, p. 36) define que “o aluno aprende adaptando-se a um meio que é fator de contra-dições, de dificuldades, de desequilíbrios, um pouco como o faz a sociedade humana. Este saber, fruto da adaptação do aluno, manifesta-se pelas respostas novas que são a prova da aprendizagem [...]”.



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Essa concepção resgata da teoria de Piaget o pressuposto de que o conhe-cimento se constrói por meio da ação de um aluno se ele estiver diante de uma situação que lhe provoque desequilíbrio. Para que haja desequilíbrio, é preciso que esse aluno se encontre em uma determinada situação que precise resolver, e para a qual seus conhecimentos básicos não sejam suficientes. A insuficiência do saber diante de uma situação faz com que o sujeito coloque em dúvida os seus conhecimentos e busque novas formas de resolução. Entretanto, se o pro-fessor oferece uma tarefa ou atividade na qual não há ação interessada por parte do aluno, não ocorre a aprendizagem.

Em uma situação de ensino, um aluno utiliza seus conhecimentos anterio-res, submete-os à revisão, modifica-os, rejeita-os ou os completa, relaciona-os a novos contextos de utilização. Desse modo, ele constrói novas ideias. Os conhe-cimentos anteriores são modificados, e todo novo conhecimento é construído apoiando-se sobre eles.

Esse processo revela-se dialético e não linear, pois não supõe a construção do conhecimento em uma sequência que vá do mais simples ao mais complexo.

Charnay (CHARNAY; VALENTIN apud MORENO, 2006, p. 46) diz que:

Os conhecimentos não são empilhados, não são acumulados, mas passam de estados de equilíbrio a estados de desequilíbrio, no transcurso dos quais os conhecimentos anteriores são questionados. Uma nova fase de reorganização dos conhecimentos, em que os novos saberes são integrados ao saber antigo, às vezes, modificado. Assim, um novo saber pode questionar as concepções do aluno originadas por um saber anterior: por exemplo, o estudo dos decimais deveria levar o aluno a questionar a ideia de que a multiplicação “amplia” sempre (ideia que ele pôde elaborar estudando os números naturais).

Assim, considera-se a aprendizagem como uma modificação do conheci-mento que o aluno deve produzir por si mesmo e que o professor deve somen-te provocar (BROUSSEAU apud PANIZZA, 2006).

A didática da Matemática reconhece a criança como sujeito didático que, diante de situações do ensino, busca dentro de si tudo o que sabe para a re-solução dos problemas. Assim, o papel do professor é o de propor aos alunos situações de aprendizagem.

Para que o aluno seja de fato um sujeito didático, é preciso que ele aceite a responsabilidade de realizar um projeto. Se ele pensa que o trabalho na aula de Matemática consiste em fazer o que o professor lhe pede ou sabe que aquilo que faz será descartado e não servirá como vínculo entre aprendizagens futuras, dificilmente ele estará empenhado ou interessado nas atividades propostas.

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Para a didática da Matemática, saber matemática significa construir o sentido dos conhecimentos que lhe foram ensinados. E como levar os conhecimentos ensinados a terem sentido para os alunos? De acordo com Charnay (CHARNAY; VALENTIN apud MORENO, 2006, p. 46), “o aluno deve ser capaz não somente de repetir ou de refazer, mas também de ressignificar em situações novas, de adap-tar, de transferir seus conhecimentos para resolver novos problemas”. Desse modo, os números são ensinados como ferramentas de resolução.

Usar as noções matemáticas como ferramentas para a resolução de proble-mas é o que permitirá aos alunos a construção do sentido do conhecimento, pois a resolução de problemas é o eixo fundamental para a geração de novos conhecimentos.

A resolução de problemasPor que ensinar Matemática por meio de problemas?

O que se entende por problemas dentro da didática da Matemática?

Para a didática da Matemática os problemas são definidos como situações que criam um obstáculo a ser vencido, que oportuniza a busca por tudo o que se sabe para decidir aquilo que é mais pertinente em cada caso, fazendo com que os conhecimentos anteriores sejam acessados e reconhecidos como insuficien-tes. A rejeição dos conhecimentos que não servem e o empenho na busca de novos modos de resolução é o que produz o avanço dos conhecimentos.

Que obstáculos um aluno pode enfrentar se lhe oferecem sempre os mesmos problemas? E se com o que já sabe ele consegue resolver problemas, por que se empenharia na busca de novas formas de resolução?

Como o aluno pode vir a decidir e opinar sobre que procedimentos deve uti-lizar se o professor lhe diz sempre as respostas e como ele deve agir?

Assim como deve ser permitida a tomada de decisão diante dos problemas a serem resolvidos, também deve ser permitida a comunicação dos procedimen-tos escolhidos, a argumentação sobre o que foi feito, a comparação e o confron-to com o que os outros fizeram.

O professor deve oportunizar situações que permitam aos seus alunos atuar, mas também propiciar a análise e a discussão sobre ideias e resultados durante o processo e ao final dá uma resolução. Quando o aluno informa sobre o que foi



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produzido, reconstrói a ação realizada, e a reconstrução da ação promove o con-tato com os diferentes meios de resolução que podem surgir entre os colegas – o que permite ao aluno obter, sobre a situação, certas informações que talvez não tivesse previsto. E o fato de ter que defender o que produziu exige que elabore argumentos para validar suas afirmações, combinando ação e linguagem.

Dessa forma, quando a resolução de problemas é realizada em pequenos grupos, é estabelecido um trabalho de colaboração que é essencial para a aprendizagem, já que leva o grupo a uma definição comum da situação e do problema.

Na Educação Infantil, a resolução de problemas apresenta-se de modo di-ferente do que ocorre no Ensino Fundamental e na abordagem tradicional da matemática. Tradicionalmente, os problemas de Matemática são equivocada-mente compreendidos como exercícios para a aplicação de regras e operações. Ainda que se diga que sua finalidade é o desenvolvimento do raciocínio, muitos problemas não se apresentam de forma interessante, significativa e desafiadora para a criança. Se no enunciado sempre há todas as informações necessárias para resolver o problema, as crianças memorizam a técnica e acabam por ficar desmotivadas. E quando ocorre de o professor fazer uma proposta diferente, as crianças perguntam:

– É de mais?

– É de menos?

Na Educação Infantil, a resolução de problemas não pode perder seu caráter lúdico, desafiador. Tampouco pode-se exigir a representação simbólica (gráfica) do raciocínio nessa fase.

É comum ouvir isso das crianças:

– Fiz de cabeça.

É preciso desafiar as crianças a buscarem respostas para as situações. Primei-ramente, isso se faz elaborando processos de resolução mais simples, realizando simulações, fazendo tentativas, formulando hipóteses. O trabalho com crianças menores consiste em criar condições para que analisem o problema, façam dra-matizações, discutam com os colegas, façam ilustrações, anotações etc. O sucesso do trabalho que utiliza a resolução de problemas como ferramentas para aprender a pensar, aprender coisas novas, aprender a tomar decisões, aprender a comparti-lhar ideias, depende muito da maneira como o professor conduz esse trabalho.

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Deve-se salientar que a resolução de problemas não é um conteúdo à parte, isolado no currículo, mas uma maneira, um meio, um eixo pelo qual as crianças podem ser envolvidas para fazer matemática.

Quando introduzir os problemas? Carpenter, Herbert e Moser (apud MORENO, 2006, p. 55) demonstram que as

crianças pequenas podem resolver problemas a seu modo, antes de qualquer aprendizagem escolar.

Se os problemas forem o eixo por meio do qual os alunos trabalham a ma-temática desde cedo, na Educação Infantil esses alunos reunirão princípios e aprendizagens importantes para dar continuidade ao processo no Ensino Fun-damental. Não oportunizar a resolução de problemas na Educação Infantil signi-fica comprometer o desenvolvimento das noções e ideias matemáticas.

O que pode ser considerado um problema? – O que é um problema?

– Problema é quando chega a conta de luz e minha mãe não tem dinheiro para pagar.

Problema é toda a situação que requer uma investigação ou questionamen-to, despertando na criança a necessidade de encontrar uma solução. A noção de problema comporta a ideia da novidade.

O que pode ser um problema para alguns não o é para outros: depende da experiência, do conhecimento, da questão sociocultural, do envolvimento com a situação. Assim, um problema pode ser fácil ou difícil. Em Matemática, um problema não é uma situação desagradável: é uma situação desafiadora, motivadora.

A resolução de problemas na Educação Infantil tem ênfase muito mais no desenvolvimento de formas de pensar e nas estratégias possíveis que nos con-ceitos aritméticos. Um problema não se resolve à toa, de modo aleatório: seu objetivo deve ser levar a criança a aprender algo, além de fazê-la passar pelo processo metacognitivo, de pensar sobre o que fez e o que pensou.

Inicia-se o trabalho com a resolução de problemas na Educação Infantil por situações que envolvam a distribuição de materiais, jogos de regras simples, ob-



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servação, comparação e análise de situações, tomada de decisões. Os problemas podem ser numéricos ou não, e as crianças podem utilizar desenhos para re-solvê-los. A professora pode atuar como escriba ou escrevente, anotando como elas vão resolvendo os problemas, e as crianças também podem utilizar marcas e/ou números para representar a solução desses problemas.

Há, por parte dos professores, algumas crenças relacionadas à resolução de problemas na Educação Infantil. Eles acreditam, por exemplo, que para resolver os problemas adequadamente as crianças precisam já ter conceitos numéricos estabelecidos, que é necessário já saber ler e escrever e ter conhecimento sobre operações e sinais matemáticos.

Para Kamii (2002), a aritmética não nasce da técnica e sim da capacidade de pensar logicamente. Ora, a criança já resolve muitos problemas no seu dia a dia e em suas brincadeiras. Se necessário, o professor pode atuar como escriba, assim as crianças aprendem a pensar e raciocinar.

Não saber ler ou escrever não é sinônimo de incapacidade para ouvir e pensar, há outros recursos – como o desenho e a expressão pictórica – que podem ser utilizados na busca pela solução de um problema. O desenho é por si só consi-derado como a solução para um problema por ser um processo de comparação, tentativa e erro, investigação e pesquisa, como projeto inicial. Muitas operações mentais envolvidas no ato de desenhar são centrais também no processo de solução de problemas (EDWARDS apud SMOLE, 1996).

Algumas sugestões de problemasAs advinhas (o que é, o que é?) e charadas são atraentes para as crianças, não

são numéricas, podem ser registradas por meio de desenhos ou simplesmente respondidas oralmente.

Simulações da realidade– Sílvia estava sozinha na classe e queria pegar um livro que fica em um armá-

rio alto. O que ela pode fazer?

Esse tipo de problema, baseado em situações reais, pode ser bastante explo-rado pelos professores, pois orienta a criança com relação a atitudes possíveis e responsáveis. Exemplo:

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Jabuti, cágado ou tartaruga?Ganhamos dois animais aos quais nos referíamos como tartarugas. Uma

criança introduziu um problema:

Marta – Isto não é uma tartaruga, é um jabuti.

Cássio – Não é mesmo! Mas esse é o cágado. Meu primo tem igual.

Renata – Eu acho que os dois são tartaruga.

Professora – Por quê?

Renata – Porque é igual. Cágado gosta de água.

Por vários dias eu trouxe livros que descreviam as diferenças entre os bichos.

Registramos as diferenças que percebiam entre os dois animais e tentáva-mos compará-las àquelas descritas nos livros. Mas sem possibilidade de fe-charmos uma conclusão satisfatória para todos, recorremos a outras pessoas (sugeridas pelas crianças) que “entendem de bichos”.

Regina (mãe de criança do Jardim I), o pai do Tiago Mascarenhas e o avô do Geraldo foram nossas fontes de pesquisa. Mandamos uma carta para ao três com todas as nossas dúvidas.

As respostas chegaram precisas e semelhantes. Obtivemos dados que, checados com os nossos registros, nos possibilitaram definir cágado e jabuti. Várias crianças passavam todo o período de parque às voltas com estes bichos, observando-os e cuidando deles. Limparam um tanque e o enche-ram de água para os bichos entrarem. Recolhiam bananas dos pratos de lanche e levavam para eles, e como já se sabia que o jabuti é mais esperto e bravo, na hora de oferecer comida os separavam para o cágado poder comer também.

[...] De forma geral estas pesquisas foram conduzidas da seguinte forma:

1. Observação.

2. Levantamento de suposições (hipóteses).



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3. Conferir as suposições através de novas observações ou checá-las com o “saber científico” (livros ou profissionais da área).

Com esse encaminhamento, o ponto de vista individual e subjetivo é per-manentemente checado e confrontado com um ponto de vista objetivo.

(FUNDAÇÃO ROBERTO MARINHO, 1991, p. 193.)

Problema a partir de uma figuraO professor deve fazer perguntas relacionadas à figura para explorar a

situação.

Problemas a partir de jogosO jogo em si já representa um problema, pois é situação desafiadora. Contu-

do, algumas hipóteses podem ser levantadas pelo professor e pelos alunos.

Problemas a partir de materiais didáticosOs materiais podem ser usados para resolver problemas, simular soluções e

testar hipóteses.

Problemas para serem resolvidos com material manipulável

Palitos, tampinhas, botões etc. auxiliam as crianças a fazerem a contagem.

Exemplo:

– Roberto tem 9 lápis para distribuir em 3 estojos. Quantos lápis vão ficar em cada estojo?

Problemas a partir de um materialO tangran é um jogo chinês, um quebra-cabeça composto por 7 formas geo-

métricas. Com suas peças é possível criar e montar inúmeras figuras, como ani-mais, pessoas, plantas e objetos.

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Problemas a partir de um cenárioRepresentação com fantoches no cenário escolhido.

Problemas de textoApresentados por escrito: o professor lê ou as crianças leem o texto, discutem

a ideia apresentada e somente depois resolvem por meio de registro. Podem ser números envolvendo operações ou não.

Problemas elaborados pelas próprias criançasPara que as crianças cheguem a elaborar seus próprios problemas, é preci-

so que estejam familiarizados com a resolução de situação-problema. Assim, os problemas, numéricos ou não, devem ser relativos a situações que interessem as crianças. Para que tenham significado, devem ser colocados à prova, sendo revolvidos por outra criança ou por um adulto. A turma pode colecionar fichas de situações-problema, com repostas no verso, guardando-as em uma caixa, ou montando um livro.

Problemas com mais de uma solução Resolver um problema não significa o mesmo que achar “a resposta: há pro-

blemas que podem ter mais de uma solução. Nesse caso, as crianças podem co-meçar a exercer sua autonomia intelectual.

Problemas sem soluçãoTem como objetivo fazer a criança aprender a duvidar, checar a validade da

proposição, argumentar sobre as não possibilidades de aprender a reformular o problema.

Tipos de representação possíveisAntes de conseguir utilizar a escrita e os registros formais relativos à mate-

mática, a criança passa por fases intermediárias. De acordo com as pesquisas de Moreno e Sastre (apud MORENO, 2006, p. 63), o problema construtivo pelo qual os alunos podem expressar uma transformação aditiva determina uma ordem de aparecimento das competências:



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1.º – linguagem oral;

2.º – linguagem escrita;

3.º – desenho;

4.º – sinais matemáticos.

Esses modos de comunicar aos outros as resoluções de um problema repre-sentam, por exemplo, modos diferentes de representação mental e, por isso, o desenho passa a requerer mais detalhes.

É comum as crianças desenharem, escreverem números, destacarem o número ou a forma de solução de um problema. Elas fazem círculos, pintam com cores diferentes, enfeitam.

Martin Hughes (apud MORENO, 2006, p. 63) pesquisou o tipo de registro das crianças com relação à função do número como registro de memória de quanti-dade. Foi pedido às crianças pequenas que fizessem, no papel, o necessário para poderem recordar quantos elementos havia sobre a mesa. Foram observadas quatro representações possíveis, conforme a seguir:

Representações idiossincráticas – não se referem nem à quantidade nem �aos objetos: as crianças preenchem a folha com garatujas.

Representações pictográficas – características da maioria das crianças de �três anos: a criança percebe a quantidade exata, desenhando o mais fiel-mente possível cada objeto.

Representações icônicas – mostram a quantidade exata de objetos, mas �não trazem nenhuma informação sobre eles: é o único caso em que a criança começou a compreender que a expressão matemática exige aten-ção às propriedades quantitativas.

Representações simbólicas – utilizam símbolos convencionais. Para que �as crianças evoluam em suas formas de representação, é necessário que a situação revele a não conveniência do recurso escolhido. Por que a criança buscara outras formas de representação se o problema proposto não as exige?

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Textos complementares

O problema da matemáticaUma coisa é a necessidade dos números na vida real, outra é a abstração teóri-

ca. No salto entre as duas, grande parte dos alunos se perde

(CASTRO, 2006)

Ao longo de muitos séculos, convivemos com duas matemáticas. Elas são parentes próximas, mas têm características suficientemente díspares para criar grandes dilemas no seu aprendizado.

A primeira é fruto do esforço de contar e desenvolver técnicas para lidar com coisas que podem ser medidas. Conta-se a caça abatida. Estimam-se pesos e distâncias. Atribuem-se números diferentes a superfícies diferentes.

O desenvolvimento histórico dessa matemática requereu esforços crescen-tes de abstração. A invenção do zero foi um grande salto, um número para medir uma quantidade ausente. Aos poucos, o trato com as propriedades dos números adquiriu vida própria. A matemática se separou das coisas que conta-va. Somamos 5 + 7 sem considerar se são laranjas ou inimigos abatidos.

Ao cabo de sucessivas mensurações, verifica-se que o quadrado da hipo-tenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Mas o achado se distancia da observação e vira o teorema de Pitágoras, demonstrado por via simbólica e lógica. A matemática prospera, formaliza-se e prescinde da observação do mundo real para o seu avanço. De fato, virou apenas um capítulo especializa-do da lógica – que tampouco precisa descrever um mundo real.

O fato de que a matemática não precisa do mundo real para desabrochar e crescer não significa que a maioria das pessoas possa aprendê-la longe dele. Com efeito, pesquisas revelam que são poucos os que conseguem aprender e tirar proveito de uma matemática despida das coisas e entes que ela mede. Por exemplo, nos Estados Unidos, menos da metade dos alunos do Ensino Médio entende essa segunda matemática, elegantíssima, mas pu-ramente abstrata. Todavia, eles chegam a ela aprendendo antes a primeira matemática, que é a arte e a técnica de lidar com as coisas que podem ser contadas e medidas. É a mesma matemática, mas a que os alunos entendem é aquela vestida de mundo real.



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Acontece que ensinamos a segunda matemática e não a primeira. Um levantamento recente do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplica-da mostra que nenhum livro de Ensino Médio brasileiro contextualiza a disciplina. Ou seja, as escolas ensinam a matemática abstrata – que é incom-preensível para a maioria – e deixam de ensinar aquela em que se resolvem os problemas quantitativos do mundo real – que é compreensível e mais útil para quase todos. Ainda que o objetivo fosse chegar à segunda matemática, o caminho é pela via da primeira.

O ensino da matemática tende a focalizar os formalismos matemáticos e os refinamentos crescentes das soluções. Contudo, o aprendizado útil para os não matemáticos é transformar um problema real em uma solução na qual se aplicará algum algoritmo. Começa tudo com o desafio de decifrar as palavras e domar os conceitos. Ali já encalham muitos. Em seguida, se apre-senta o desafio de fazer o casamento do problema encontrado com algum algoritmo. A escola lida com o que vem depois, que é o tratamento mecâni-co da fórmula a ser usada.

A matemática nasceu no mundo real, para resolver problemas concretos. E é somente assim que muitos alunos conseguem aprendê-la. A matemática ensinada nos livros didáticos e nas aulas convencionais não é inteligível para a maioria. Daí a inevitável tragédia, documentada pelos péssimos resultados nos testes aplicados nos alunos brasileiros.

Inteligência lógico-matemática(ANTUNES, 2006)

Em algumas pessoas o processo de resolução de problemas, sobretudo os que envolvem números, grandezas ou valores, mostra-se surpreendente-mente rápido. Essa habilidade é uma das prerrogativas da inteligência lógi-co-matemática, como também o é a natureza não verbal de suas respostas, ou seja, essas pessoas parecem pensar com números e não com palavras, com gráficos e não com frases.

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A inteligência lógico-matemática está ligada à competência em compre-ender os elementos da linguagem algébrica e numérica, permitindo aos que a possuem em nível elevado ordenar símbolos numéricos e algébricos, assim como noções gerais sobre quantidades e reflexões que envolvem análises de espaço e tempo. Juntamente com a inteligência linguística, proporciona a base para os testes de QI e, dessa forma, não surpreende que as pessoas com elevada inteligência lógico-matemática sempre tenham sido considera-das “muito inteligentes” em contraste com pessoas que, embora dotadas das mais inteligências em escala elevada, eram vistas como “fracassos” escolares. A associação entre o domínio da matemática e a “inteligência pura” é muito antiga. Já em 1663 Galileu afirmava que o grande livro que é o Universo “só podia ser lido quando tivermos aprendido a linguagem e nos tornado familia-rizados com o jeito em que ele está escrito. Está escrito em linguagem mate-mática, e sem esse meio é impossível compreendermos uma única palavra.”

Presente com maior intensidade na Engenharia, na Física e na Matemáti-ca, também se manifesta na Contabilidade, nas tarefas que envolvem a pro-gramação de computadores e outras profissões que recorrem à lógica e aos números.

Bem diferente do que ocorre com a inteligência linguística ou com a inte-ligência sonora, a inteligência lógico-matemática não se origina na esfera au-ditivo-oral, mas se estrutura no confronto com o mundo dos objetos. Compa-rando objetos, ordenando-os, avaliando-os, avaliando sua quantidade, o bebê explora sua inteligência lógico-matemática. Mais tarde, essa mesma linha de raciocínio será aplicada no desenvolvimento de sua compreensão de afirmati-vas, de pessoas e de ações em relação a outras ações. É comum observar que muitas pessoas usam com frequência a expressão “é lógico”, mas enquanto muitos a usam sem refletir no que efetivamente a expressão busca dizer, as pessoas dotadas de inteligência lógico-matemática mais alta percebem que a expressão significa efetivamente algo coerente, consistente, evidente. Assim, se afirmo, por exemplo, que “não duvido da honestidade de Paulo” e ouço de meu interlocutor a resposta “lógico”, devo entender que este percebeu que estou afirmando algo como “dois mais dois é igual a quatro”.

Quando essa inteligência se destaca, é facilmente perceptível desde a infância e manifesta-se com clareza em crianças que gostam de brincar com números, fazer continhas “de cabeça” e se animam com jogos que lhes cobram lógica e estratégia, tal como peças de armar e desmontar, batalhas



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navais e xadrez, criando vínculos imediatos com o computador e descobrin-do, no mesmo, coisas novas das quais os mais velhos até duvidam.

Em linhas gerais, quando pretendemos estimular a inteligência lógico- -matemática, tornando-a mais aguçada nos que já a possuem em alto grau e mais elevada nos que a possuem em um padrão moderado, devemos propor desafios que:

Envolvam o reconhecimento de objetos diferentes, permitindo as- �sociação, comparação, padrões e relacionamento entre eles. A partir dos três anos de idade toda criança possui diversas noções de espaço, produto do mundo que explora e que, progressivamente, vão permi-tindo a criação de formas de representação (imagens, desenhos, pala-vras) desse mundo;

Explorem conceitos de quantidade, tempo, causa e efeito; �

Utilizem símbolos abstratos para representar objetos concretos; �

Possam sugerir o uso de habilidades na resolução de programas �lógicos;

Levantem e testem hipóteses; �

Usem habilidades matemáticas diversas como estimativas, interpreta- �ções de estatísticas, representações gráficas e muitas outras;

Proponham operações complexas como métodos de pesquisa e pro- �gramação de computadores;

Usem peças Lego para resolver desafios que envolvam a construção de �objetos, estimulem o pensamento matemático e a formulação de mo-delos.

Dicas de estudoANTUNES, Celso. Inteligências Múltiplas e seus Jogos: inteligência lógico-ma-temática. Rio de Janeiro: Vozes, 2006.

Este livro faz parte da coleção Inteligências múltiplas e seus jogos da mesma editora e autor. É uma edição de bolso e traz jogos para estimular a inteligência

94

lógica-matemática e atividades previstas para crianças de 3 a 6 anos, para reali-zar em casa, com os pais, na escola, e diversos problemas interessantes para os maiores.

SMITH, Lane; SCIESZKA, John. Monstromática. São Paulo: Companhia das Letri-nhas, 2004.

De uma forma divertida, o livro mostra que nosso cotidiano está repleto de matemática e de problemas matemáticos. O personagem principal mata o monstro e fica com a matemática, mas logo descobre que tem fobia por outra área do conhecimento. No fim, isso quer dizer que é preciso conhecer para não temer.

Periódico:

A Educação Matemática em Revista – Sociedade Brasileira de Educação Mate-mática (SBEM), divulga artigos científicos sobre as pesquisas feitas na área.

Atividades1. O que significa saber matemática em cada uma das concepções de ensino

apresentadas?



95

2. A resolução de problemas na Educação Infantil tem ênfase muito mais no desenvolvimento de formas de pensar e nas estratégias possíveis que nos conceitos aritméticos. Como pode ser iniciado esse trabalho com a criança na escola infantil?

3. Experimente resolver alguns problemas:

a) Papai, o Fernando afirma que a irmã do tio dele não é sua tia. Então, se a irmã do tio do Fernando não é tia deste, que parentesco possuem?

b) Utilizando todos os algarismos de 1 a 9, escreva apenas três números de três algarismos, cada um de modo que o segundo número seja o dobro do primeiro e o terceiro, o triplo do primeiro.

Seiscentos e sessenta e seis

A vida é uns deveres que nós trouxemos para fazer em casa.

Quando se vê, já são 6 horas: há tempo...

Quando se vê, já é 6.ª feira...

Quando se vê, passaram 60 anos...

Agora, é tarde demais para ser reprovado...

E se me dessem – um dia – uma outra oportunidade,

eu nem olhava o relógio.

seguia sempre, sempre em frente...

E iria jogando pelo caminho a casca dourada e inútil das horas.

Mario Quintana

O número faz parte da vida na sociedade letrada. Estudos recentes mostram que, aos sete meses, as crianças já têm noções rudimentares ligadas à matemática. Os bebês foram capazes de representar a equiva-lência entre o número de faces que viam e o de vezes que ouviam. Isso significa apresentar um conceito abstrato de matemática, um grande feito para quem ainda não sabe contar.

Ainda longe de poder revolucionar o ensino de Matemática, as neu-rociências têm contribuido com boas e surpreendentes notícias sobre o desenvolvimento e a aprendizagem na infância. Já se sabe que, por meio de treino e decoreba, a criança aprende – a questão é compreender de fato, entender o significado do que se aprende. Sabe-se também que não adianta apressar a aprendizagem. Portanto, é importante buscar o sentido do número, o sentido da vida e o sentido do número nas nossas vidas.

Os números

98

A ideia do número: ordem e inclusão hierárquica

“O número, de acordo com Piaget, é uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora entre os objetos (por abstração reflexiva). Uma é a ordem e a outra é a inclusão hierárquica” (KAMII, 1986, p. 19).

Ordem é a necessidade de estabelecer uma organização entre objetos �para certificar-se de que todos foram contados. Ao contar, a criança re-produz a sequência numérica sem observar se, de fato, contou todos os objetos, se deixou de contar algum ou se contou algum repetido.

Inclusão hierárquica é a capacidade de perceber que o um está incluído no �dois; o dois, no três, e assim por diante. Para poder quantificar, é preciso co-locar os números (mentalmente) em uma inclusão hierárquica, pois número significa quantidade.

Inicialmente, a criança considera os objetos um de cada vez, ao invés de um grupo de muitos ao mesmo tempo. Para construir a ideia de número, a criança precisa trabalhar com coleções de objetos que possa explorar, manipular, juntar, separar, descobrindo suas propriedades. Enfim, ela precisa, enquanto brinca, es-tabelecer relações diversas para chegar ao conceito de número.

A classificação é a operação lógica que permite organizar os objetos. Quando classificamos, utilizamos as relações de pertinência e de inclusão de classes. Ao relacionar um objeto com a classe à qual ele pertence, estabelecemos uma rela-ção de pertinência. Ao relacionar uma subclasse com a classe à qual ela perten-ce, realizamos uma inclusão de classes.

Para Kamii, a construção do número é o principal objetivo da aritmética das crianças escolarizadas de quatro a seis anos de idade, dentro do contexto da autonomia como finalidade ampla da educação.

Para que servem os números? Os números estão em toda parte, cumprindo as mais diversas funções. Eles

estão nos controles remotos, nos telefones, nos endereços, nos brinquedos, no elevador, nas placas dos carros, nos relógios, em embalagens de todo tipo de produto, nas lanchonetes, nos calçados, nos calendários. Com criatividade sin-


Os números

99

gular, a criança saberá responder para que servem os números. Caberá ao pro-fessor fazê-las avançar em sua compreensão e suas competências.

De acordo com Cecília Parra e Irmã Saiz (apud MORENO, 2006, p. 57), os nú-meros são úteis nos casos a seguir:

Como memória de quantidade – o número permite que recordemos de �uma quantidade sem necessariamente estar presente, por exemplo, ao pedir a um aluno que vá até o armário e pegue tesouras para distribuir a seus colegas. Ele pode valer-se de diferentes estratégias. Levar uma tesou-ra de cada vez até que todos recebam; pegar tesouras ao acaso e distri-buí-las, voltar para buscar quantas faltarem; contar para quantos colegas ele precisará entregar, guardar o número mentalmente e ir até o armário, onde contará a quantidade de tesouras necessárias. Este é o aspecto car-dinal do número.

Como memória da posição – os números permitem lembrar a posição �ocupada por um elemento em uma série ordenada. Por exemplo, se os ca-bides da sala forem numerados, a criança que tem o cabide 8 não precisa procurá-lo começando do 1. Este é o aspecto ordinal do número.

Como código – o fato do ônibus 21 se chamar � vinte e um não significa que tenha sido o vigésimo primeiro na ordem de inscrição nas linhas de ônibus. Nem significa que nele cabem apenas 21 passageiros. Não expressa nem o aspecto cardinal nem o ordinal. É somente código. Também são códigos os números de telefone.

Para expressar grandezas – quando os números expressam grandezas: �idade, peso, medida, horário etc.

Para prever resultados – dessa forma os números nos permitem contar, �estabelecendo séries ordenadas, criar códigos para identificar meios de transporte e de comunicação, por exemplo, além de milhares de outros produtos, medir grandezas como a passagem do tempo, o peso e a massa, os tamanhos e ainda fazer previsões e projeções por meio de cálculos.

Recitar e contarEm uma turma de alunos de Educação Infantil, as crianças têm diferentes co-

nhecimentos sobre a série numérica oral. Alguns podem saber até 10, 20, 30 etc. Podem saber recitar de 2 em 2, 3 em 3, 5 em 5. Recitar até o número que

100

lhe foi pedido ou iniciar a contar a partir de determinado número. Há crianças que não recordam do nome de determinado número, mas pulam esse número, omitem-no e dão continuidade à sequência oral de forma correta, assim como há crianças que quando chegam ao 19 pedem ao adulto para lembrar-lhes qual é o número seguinte e retornam à contagem com segurança. Se os números são tidos como ferramentas para resolver problemas, as crianças poderão familiari-zar-se e aprender qualquer um deles. É preciso que haja uma razão para isso e, especialmente, que esta seja uma prática constante e agradável para a criança.

Contar e recitar são competências diferentes. Uma criança pode recitar até 10, 20, 50, 100 etc., mas pode não saber contar figuras adequadamente – figuras ou qualquer outra coisa. O ato de contar exige atribuir a cada objeto um único número (palavra) e respeitar a ordem da série. Quando as crianças contam obje-tos apontando ou deslocando-os, às vezes ocorre de o gesto ser mais rápido que a palavra, causando um descompasso. E saber contar também implica compre-ender que a ordem – da direita para a esquerda, de cima para baixo etc. – não altera a quantidade.

Numeração escritaDélia Lerner e Patrícia Sadovsky (apud MORENO, 2006, p. 57-58) realizaram

uma pesquisa sobre como as crianças se aproximam do conhecimento do sis-tema de numeração. Concluíram que, desde pequenas, as crianças constroem hipóteses para produzir e interpretar representações numéricas e que elas não constroem a escrita convencional dos números tal qual a ordem da série numé-rica, isto é, não aprendem primeiro o 1, depois o 2, o 3, 9, 10. As crianças constro-em suas ideias sobre a escrita dos números baseando-se em duas informações: a que tiram da numeração falada e a que o conhecimento da escrita convencional dos números rasos (20, 30, 40) lhes dá. Ao pedirmos a uma criança que escreva 18, pode ocorrer de ela escrever 108 (dez e oito); ao pedir que escreva 234, ela pode escrever 200304 (duzentos e trinta e quatro). Falar um número é diferen-te de escrevê-lo. Ao escrever, a criança precisa prestar atenção à posição que o número ocupa. A numeração escrita é posicional; a falada, não. Falamos duzen-tos e trinta e quatro, mas escrevemos 234 (dois, três, quatro).

Vindo a saber que um número é escrito da mesma forma que é pronunciado, mas que esse número é maior que o outro se tiver mais algarismos, a criança passa a observar as diferenças e começa a progredir com relação à escrita con-vencional. Entretanto, observará outras características sobre os números quando


Os números

101

lhe perguntarmos se um número com a mesma quantidade de algarismos pode ser maior que outro – por exemplo, 30 ser maior que 27 –, pois ambos têm dois algarismos. Assim, gradativamente, continuarão suas ideias sobre os números como a de que os “dez”, os “vinte”, os “trinta” são com dois algarismos, os “cem” são com três algarismos e assim por diante.

Mas, como crianças da Educação Infantil poderão construir tais hipóteses se lhes forem apresentados somente os números de 1 a 9? O meio social da criança é repleto de informações numéricas das mais variadas, e a escola e a sala de aula não podem ser diferentes.

Sobre a representação convencionalO uso de sinais convencionais não é totalmente compreendido pelas crianças,

pois o sinal + não é aprendido por associação com a ação de unir dois conjuntos e nem com a explicação verbal de que isso significa colocá-los junto, mas por meio das relações que a criança tenha realizado com os números (cf. KAMII, 1984).

Para compreender o significado de 3 + 2 = 5 é preciso reconhecer as relações de hierarquia entre 3, 2 e 5 que forem determinadas pelos sinais + e =. As crianças poderão ler como uma equação e considerar que a quantidade 3 + 2 = 5 é igual a 10 por não levarem em conta a relação de hierarquia que os sinais estabelecem – o que elas fazem é uma justaposição de três quantidades no mesmo nível.

A criança, especialmente na Educação Infantil, separa, reúne, divide, tira, acrescenta objetos em função de seus interesses e necessidades em situações que fazem sentido para ela. Os procedimentos formais, impostos pela escola que prioriza a simbolização aritmética, entram em choque com o conhecimento trazido pela criança. É imposto à criança que, no seu caderno, ela faça contas que não estão vinculadas a qualquer situação que lhes dê sentido. Dessa forma, o que ela aprende não lhe servirá para resolver os problemas que encontra fora da escola, ela não terá como aplicar o que aprendeu na escola. Se não houver uma situação-problema, os números que a criança soma e o resultado que obtém serão apenas números sem sentido.

Fazer uma conta sem se perguntar nem se questionar que significado tem o resultado está induzido por um ensino que não contempla a necessidade dos problemas como meio para que os alunos aprendam matemática. [...] A sequência então deveria ser primeiro propor os problemas para que os alunos aprendam a somar utilizando os procedimentos que possuem. Depois, o ensino do recurso “oficial” da matemática: a conta. (MORENO, 2006, p. 63).

102

É comum os materiais didáticos apresentarem situações gráficas represen-tando as ações que realizam os sinais. Por exemplo:

IESD

E Br

asil

S.A

.

De acordo com Panizza, “esse tipo de atividade, longe de facilitar a apropria-ção das relações parte/todo e das relações de hierarquias ente os números, difi-cultam-nas”. Ocorre que a criança visualiza 4 + 5 = 9, pois os desenhos aparecem justapostos na mesma linha. A criança vê 18 desenhos. Em outro exemplo, o re-sultado é omitido para que a criança desenhe o total de elementos. A atividade a obriga a contar os elementos um a um e a impede de fazer o cálculo. Crianças de três anos de idade possuem a competência de representação pictórica de quan-tidades. Para que, então, propor esse tipo de atividade? Se todas as respostas e processos para obtê-las forem iguais, qual a razão para compará-las? A criança precisa ter a liberdade para representar da forma que lhe convier. Pode ser, ainda, que ela precise desenhar cada quantidade e, somente se isso ocorrer, o professor poderá mostrar a ela a necessidade e a razão de outras formas de representação. Em contrapartida, se o professor propõe um problema, cada aluno tem a chance de verificar seu saber matemático, resolvendo o problema conforme seu desejo e de acordo com o seu próprio processo de construção do raciocínio.

Ensinar números por meio de problemasNas situações em que os números são utilizados como memória de quan-

tidade, são adequados os problemas em que há comparação de quantidades.


Os números

103

Dados e cartas de baralho são recursos eficientes, facilitando o reconhecimento das quantidades.

A disposição dos pontos no dado ou na carta ajuda a observar a composi-ção aditiva dos números. Por exemplo, observar que 3 + 3 é 6 ou que 4 é 2 + 2. Nesse sentido, o dado e a carta colaboram para a construção do número, além de facilitar a passagem da conta para o cálculo. O número máximo do dado é o 6, mas os números podem ser ampliados nas cartas. Por exemplo, para o número 7, podem ser usadas várias cartas: 6 + 1, 5 + 2, 4 + 3. Para o número 8, 6 + 2, 5 + 3, 4 + 4.

IESD

E Br

asil

S.A

.

No começo, as crianças podem precisar contar os pontos para saber qual é o cálculo, reconhecendo as quantidades, enquanto outros lerão o número. O pro-fessor pode adaptar a composição das quantidades nas cartas de acordo com a intenção específica.

A não inclusão dos números facilita a estratégia de cálculo. Contudo, se os alunos sabem ler os números e operam no nível numérico, o professor pode fornecer cartas que incluem os números, propondo problemas nos quais seja preciso adicionar duas ou mais cartas. Segundo Kamii, há combinações mais fa-cilmente memorizadas que outras. O cálculo de dobros e as combinações nas quais se acrescentará um são os primeiros a aparecer. Entre os dobros, os mais fáceis de serem memorizados são 2 + 2, 5 + 5 e 10 + 10.

Sugestões de jogos

Memória de quantidadeQuando o número for utilizado como memória de quantidade, sugerem-se

os jogos a seguir.

104

Jogo de pedidos

Organização: joga-as entre três ou quatro participantes, cada um com seu maço de 18 cartas.

Descrição: misturam-se e distribuem-se todas as cartas. Cada jogador baixa todos os pares de cartas com quantidades iguais que estão consigo, retendo somente as cartas com quantidades diferentes entre si. Depois, cada um na sua vez, pede a um companheiro a carta que falta para formar um novo par, de modo a poder baixar esse novo par: se o companheiro tem a carta solicitada, entrega-a; se não, passa a vez. Ganha quem conseguir baixar todas as suas cartas antes dos demais.

Análise: em primeiro lugar, essa situação conduz à comparação de quan-tidades a fim de encontrar duas cartas que tenham a mesma quantidade, para assim poder baixá-las; em segundo lugar, conduz a dominar a denomi-nação do número para poder fazer o pedido da carta que falta.

Jogo de guerra

Organização: joga-se entre dois participantes, com um maço de cartas.

Descrição: dividem-se todas as cartas, que são viradas com o desenho para baixo. Os dois jogadores viram a primeira carta ao mesmo tempo e o que tem a quantidade maior leva as duas. Se eles têm a mesma quantidade, cada um cobre a sua primeira carta com uma segunda e, simultaneamente, cada um vira uma terceira. O que tem a quantidade maior leva todas. Ganha aquele que, no fim do jogo, tiver acumulado mais cartas.

Análise: dependerá da quantidade e da inclusão ou não dos números nas cartas que o reconhecimento das relações maior que, menor que e igual a seja feito de maneira direta pelo reconhecimento da configuração, pela leitura do algarismo ou que seja preciso fazer a contagem dos pontos. O intercâmbio posterior favorecerá aos alunos descobrirem novos modos de resolução.


Os números

105

Armar o número

Materiais: um baralho espanhol, que inclua os 8 e os 9.

Organização: joga-se em dupla.

Objetivo: armar as quatro séries de números ordenados do 1 ao 12, res-peitando os naipes (ouros, paus, espadas, copas).

Descrição: distribuem-se cinco cartas para cada jogador, e o resto do maço é colocado voltado para baixo, no centro da mesa. Se alguém tiver o 1, deposita na mesa. Se não tem, retira uma carta do monte. Se pegou o 1, deposita na mesa. Se não, passa a vez. Depois, quem tiver o 2 deposita-o na mesa. Se não tem, retira uma carta do monte etc. Cada um na sua vez, vão se completando as séries. Ganha o primeiro que ficar sem cartas.

Análise: essa situação exige o controle simultâneo de duas variáveis – a ordem da série numérica e o naipe das cartas. Isso pode ser um obstáculo

Organização: joga-se entre dois participantes, com dois maços de cartas contendo números.

Descrição: misturam-se os dois maços de cartas e se distribuem todas essas cartas, que são colocadas sobre a mesa voltadas para baixo. Os dois jogadores viram as duas primeiras, dos respectivos maços, ao mesmo tempo e as acomodam para formar o maior número possível. Por exemplo, se um jogador vira um 3 e um 7, colocas essas cartas lado a lado, formando o 73. O que tiver o número maior leva as quatro cartas. Ganha aquele que, ao termi-nar a partida, tiver conseguido a maior quantidade de cartas.

Análise: é importante cuidar para que as crianças joguem sentadas uma ao lado da outra, e não frente a frente, para que não se apresente a dificulda-de da leitura dos números invertidos.

Memória da posiçãoNas situações em que os números são utilizados como memória da posição,

Panizza sugere os jogos a seguir.

Dominó de cartas

106

para algumas crianças, visto que muitas vezes a concentração em um aspec-to dificulta o controle do outro. Poderia acontecer, por exemplo, que, na série de ouros, embaixo do 5 alguém coloque o 8 de ouros. Neste caso, estaria atento à variável naipe, perdendo o controle da série numérica. E na série de copas alguém pode, por exemplo, colocar embaixo do 7 o 8 de ouros, o que indicaria que está com a atenção na série numérica. Se acontecesse isso, significaria que o problema foi mal escolhido porque os alunos não o resolvem perfeitamente? Mas como poderiam aprender a resolvê-lo se não têm a possibilidade de enfrentá-lo? Seguramente os erros serão denuncia-dos pelo outro jogador, ou serão postos em evidência pelo professor quando perguntar se estão de acordo em que depois do 5 esteja o 9, o que permitirá adquirir, progressivamente, um maior domínio.

Possível extensão do problema: armar as séries do 12 ao 1.

A conta de um em um, de modo descendente, pode ser abordada – entre outras – por esta situação.

(KAMII, 1984)

Situação de elevadoresProblemas do tipo “O edifício de Mercedes tem 20 andares. Ela mora no

14.o. Dividindo a viagem no elevador com seus vizinhos 19.o, 3.o, 15.o e 7.o, em que ordem deverão ser apertados os botões do elevador se ele está saindo do térreo?”

Recursos para prever resultadosPara as situações em que os números são utilizados como recursos para

prever resultados, são sugeridos os jogos a seguir.

Igualar quantidades

Materiais: duas caixas, uma com três fichas e a outra com cinco. Fichas sobre a mesa. Lápis e papel.

Organização da classe: trabalho individual.


Os números

107

Ordem: faça o que achar melhor para que, nas duas caixas, haja a mesma quantidade de fichas. Depois, com lápis e papel, faça o necessário para mos-trar como você resolveu.

Análise: para igualar as quantidades, os alunos poderão apanhar duas fichas da mesa, acrescentando na caixa que tem três, assim igualando em cinco; poderão tirar duas fichas da caixa que tem cinco, igualar em três; ou tirar uma ficha da caixa que tem cinco, acrescentando-a à que tem três, assim igualando em quatro. Esse tipo de situação deixa claro que um mesmo pro-blema pode ser resolvido de diversas maneiras e, inclusive, podem ser ob-tidos resultados diferentes, todos corretos – o que justifica e enriquece as comparações posteriores. A representação gráfica, a apresentação dos dife-rentes procedimentos e as consequentes reflexões permitirão, por parte dos alunos, a tomada de consciência das ações realizadas.

(MORENO; SASTRE apud MORENO, 2006)

Situações que impliquem partilha

Materiais: entre 10 e 15 figurinhas para cada grupo e folhas em quanti-dade necessária sobre a mesa do professor.

Organização da classe: trabalho em pequenos grupos.Ordem: “É preciso colar as 12 figurinhas que lhes dei em várias folhas,

cada folha deve ter a mesma quantidade de figurinhas. Discutam entre vocês para saber de quantas folhas vão precisar. Quando tiverem decidido, um se-cretário vai me pedir as folhas aqui na minha mesa.”

Análise: o fato de ser preciso fazer o pedido das folhas conduz à previsão do resultado da partilha. Nas primeiras tentativas de resolução, é possível que se peça ao professor tantas folhas quantas são as figurinhas que se têm. Uma maneira de provocar um progresso é colocar uma restrição na ordem que impeça essa estratégia, esclarecendo, por exemplo, que é possível pedir somente até cinco folhas.

Sistema de numeraçãoA numeração escrita deve ser trabalhada com toda a complexidade que a

envolve, pois as crianças têm conhecimentos sobre a sua organização e a regu-laridade, ainda que sejam incompletos e instáveis. A partir dos saberes das crian-ças, o professor conseguirá dar sentido às atividades, e com sua intervenção ele poderá ajudar para que elas construam conceitos.

108

Para construir a organização e a regularidade do sistema de numeração, a criança deve ter contato com os números em diversas situações, usando-os com sentido para, a partir dos problemas que surgirem, poder refletir sobre eles. Aprender o 5 sem estabelecer relação com o 4 e o 6, e ainda com o 15, o 35 ou o 50, restringe o que ela pode vir a saber sobre o sistema de numeração. A crian-ça deve estabelecer relações, utilizar os números para resolver problemas, fazer comparações, representar situações. Ela deve escrevê-los, nomeá-los, exploran-do os números das mais diversas maneiras.

Como fazer para que os alunos possam utilizar números maiores do que aqueles que sabem ler e escrever? Thomas (apud MORENO, 2006, p. 71) propõe o uso de cartelas numéricas. O sistema de numeração é uma convenção e as regras do nosso sistema – posicional e de base 10 – não estão explícitas na es-crita dos números: só podem ser interpretadas por aqueles que têm o conheci-mento necessário. Sendo assim, as crianças aprenderão sobre ele com pessoas que detiverem esse conhecimento.

As cartelas são portadoras de informação, mostrando a organização do siste-ma. As crianças podem observar, por exemplo, que sempre depois do 10, do 20, do 30 etc. começa novamente a sequência com 1, 2, 3... até o 9.

Para saber até que número estender a cartela, o professor precisa saber sobre a extensão da recitação de seus alunos. Se a maioria da turma puder contar até 10, a cartela poderá chegar até o 30. A cartela sempre deve ter mais números do que as crianças podem contar. E à medida que vão dominando as séries, o professor deve ir aumentando as famílias de números até chegar ao 100. E é justamente pelo fato das crianças não saberem ler e escrever esses números que esse recurso didático torna-se útil. As cartelas permitem:

comparar números (Qual é o maior? O 17 ou o 27? Por quê?); �

determinar o antecessor e o sucessor; �

determinar, por exemplo, onde estão os números que começam com �1 ou os que terminam com 7;

determinar, por exemplo, qual é a família do 25 e qual a do 45; �

determinar, por exemplo, quantos números há entre o 9 e o 19, e entre �o 29 e o 39;


Os números

109

determinar, por exemplo, qual o número que está na família do 20, é �maior que o 25 e menor que o 27;

completar cartelas nas quais faltam alguns números; �

adivinhar números que estão ocultos. �

O professor poderá elaborar, para a sala de aula, uma cartela que fique próxi-ma aos alunos, de modo que eles possam tocá-la. Também pode elaborar carte-las individuais junto com eles e estimular o seu uso com perguntas que ajudem a criança a conseguir resolver o seu problema, que ajudem as crianças a cons-truírem sentido para o que estão realizando, pois a dificuldade que tiverem no problema as fará evoluir em seus conhecimentos sobre matemática.

Cartela

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

100

Espiral numérica

39

381

11

21

0

10

20

30

31

212

2232

3

28

13

18

23

8

33

29

14

19

24

9

34

37

36

26

16

6

35

25

15

527

177

4

Espiral numérica.

110

Como o homem aprendeu a contar?Há muito tempo, os homens não iam para a escola, não tinham caderno e

nem lápis, porém já utilizavam a sua inteligência e sua capacidade de pensar. Graças a isso, hoje somos seres desenvolvidos. Esses homens do mundo antigo caçavam os animais, viviam em cavernas e cultivavam plantas e alimentos em função da sobrevivência. Para cuidar do que possuíam, sabendo a quantidade de tudo, juntavam pedrinhas, que eram facilmente encontradas. Cada pedrinha representava algo que os homens antigos possuíam. Como as plantações cres-ciam rápido demais e os rebanhos também, eles começaram a fazer pequenos riscos para recordar as quantidades.

Mas isso não deu muito resultado, já que eles acabavam se perdendo nessa contagem. Então, começaram a reparar na natureza e descobriram que uma ave tem duas asas, um trevo tem três folhas, um quadrúpede tem quatro patas e até mesmo em suas próprias mãos existiam cinco dedos. Deu-se a ideia de come-çar a separar o rebanho e a plantação em grupos de dois em dois, três em três, quatro em quatro e cinco em cinco. A partir daí, ficou muito mais simples orga-nizar quantidades, assim aprendendo os números. Eles fizeram modelinhos nas pedras, como em um jogo de dominó. Esse método de contar é chamado de sis-tema numérico. Se fizermos coleções de 10 tampinhas, cinco conchinhas, quatro bolinhas e assim por diante, de tudo que se quiser, então poderemos montar grupos, tornando mais simples e prático o ato de calcular quantidades.

Texto complementar

Categorização e compreensão biológica

(PAPALIA, 2006)

A categorização exige identificação de semelhanças e diferenças. Aos 4 anos, muitas crianças são capazes de classificar por dois critérios, como cor e forma. As crianças utilizam essa capacidade para organizar diversos aspectos de suas vidas, categorizando as pessoas como “boas”, “más”, “amigas”, “não amigas”, e assim por diante. Portanto, a categorização é uma capacidade cognitiva com implicações emocionais e sociais.


Os números

111

Que características distinguem coisas vivas de não vivas? Quando Piaget perguntou a crianças pequenas se o vento e as nuvens estavam vivos, as res-postas delas o levaram a pensar que elas estavam confusas sobre o que está vivo e o que não está. (A tendência a atribuir vida a objetos que não estão vivos é denominada animismo.) Mas quando, posteriormente, pesquisado-res indagaram a crianças de 3 a 4 anos sobre algo que lhes era mais familiar – diferenças entre uma pedra, uma pessoa ou uma boneca – as crianças de-monstraram que compreendiam que as pessoas estavam vivas e as pedras e bonecos não (GELMAN; SPELKE; MECK, 1983). Não atribuíam pensamentos e emoções às pedras e citavam o fato de que bonecos não são capazes de se movimentar por conta própria como evidência de que os bonecos não estão vivos.

Evidentemente, os vegetais tampouco se movimentam por conta própria, nem emitem sons, como o faz a maioria dos animais. Entretanto, as crianças em idade pré-escolar sabem que tanto os vegetais como os animais cres-cem, definham e, quando feridos, são capazes de se curar (ROSENGREN et al.,1991; WELLMAN; GELMAN,1998).

A cultura pode influenciar essas crenças. Crianças de 5 e 9 anos em Israel, Japão e Estados Unidos foram indagadas sobre características de pessoas, outros animais, vegetais e outros objetos inanimados (HATANO et al.,1993). As crianças israelitas, cuja tradição considera as plantas, sobretudo em termos de sua utilidade como alimento, eram menos propensas do que crianças dos outros dois países a atribuir aos vegetais qualidades comuns a todos os seres vivos, como respiração, crescimento e morte. Por outro lado, crianças japo-nesas eram mais propensas a atribuir tais qualidades a objetos inanimados, os quais, em sua cultura, às vezes são vistos como se estivessem vivos e ti-vessem sentimentos.

Número

Aos 3 e 4 anos, as crianças já expressam palavras para comparar qualida-des. Podem dizer que uma árvore é maior do que outra ou que uma xícara contém mais suco do que outra. Sabem que, se têm uma bolacha e depois pegam outra, têm mais bolachas do que antes, e que, se dão uma bolacha para outra criança, ficam com menos bolachas. Esse conhecimento quan-titativo parece ser universal, embora se desenvolva em ritmos diferentes, dependendo do quão importante é contar em uma determinada família ou cultura (RESNICK, 1989; SAXE; GUBERMAN; GEARHART, 1987).

112

Aos 5 anos, a maioria das crianças sabe contar até 20 ou mais e sabe os ta-manhos relativos dos números de 1 a 10. Alguns são capazes de fazer adição e subtração simples de um só dígito (SIEGLER, 1998). As crianças intuitiva-mente criam estratégias de adição, contando nos dedos ou utilizando outros objetos.

Em algum ponto da segunda infância, as crianças começam a reconhecer cinco princípios de aritmética (GLEMAN; GALLISTEL,1978; SOPHIAN,1988):

O 1. princípio de um para um – dizer apenas um nome de número para cada item que está sendo contado (Um...dois...três...).

O 2. princípio da ordem estável – dizer os nomes dos números em uma ordem definida (Um, dois, três... em vez de Três, um, dois...).

O 3. princípio da irrelevância da ordem – começar a contar com qualquer item, e a contagem total será a mesma.

O 4. princípio de cardinalidade – o último nome de número utilizado é o número total de itens que estão sendo contados. (Se existem cinco itens, o último nome de número será 5.)

O 5. princípio da abstração – os princípios acima se aplicam a qualquer tipo de objeto. (Sete botões são iguais em número a sete pássaros.)

Existe um debate sobre se as crianças precisam compreender esses prin-cípios para poderem aprender a contar (GELMAN; GALLISTEL, 1978) ou se elas deduzem os princípios a partir de suas experiências com contagem (HO; FUSON, 1998; SIEGLER, 1998).

A rapidez com que as crianças aprendem a contar depende, em parte, do sistema numérico de sua cultura. Aos 3 anos, quando a aprendizagem de nú-meros concentra-se principalmente na contagem de 1 a 10, as crianças nor-te-americanas e chinesas têm desempenho semelhante. Aos 4 e 5, quando as crianças norte-americanas ainda estão contando por unidades entre 11 e 20, as crianças chinesas aprendem o sistema mais eficiente de sua cultura baseado em dezenas e unidades (10+1, 10+2, e assim por diante). Não é de surpreender, portanto, que o desempenho das crianças norte-americanas comece a ficar para trás. (MILLER; SMITH; ZHU; ZHANG, 1995).


Os números

113

Dicas de estudoPANIZZA, Mabel. Ensinar Matemática na Educação Infantil e Séries Iniciais: análise e propostas. Porto Alegre: Artmed, 2006.

Traz capítulos dedicados ao trabalho com Educação Infantil sobre contar, re-citar e sobre geometria explorando o espaço infantil. Bastante atual, traz pesqui-sas que elucidam a prática.

HOUSMAN, Leslie Baker; KAMII, Constance. Crianças Pequenas Reinventam a Aritmética: implicações da teoria de Piaget. Porto Alegre: Artmed, 2002.

Neste livro, Kamii faz uma revisão das primeiras ideias apresentadas na pri-meira publicação do mesmo livro. É um dos livros/leituras mais importantes para o professor da Educação Infantil, pois, embora a autora trate de conteúdos para as séries iniciais, ela explica a construção do número pela criança e traz suges-tões de jogos comprovadamente eficazes.

Atividades1. De que forma os números estão presentes na sociedade e que funções

cumprem?

114

2. O que significa ordem e inclusão hierárquica?

3. Como pode ser encaminhado o trabalho do professor para que a criança construa a ideia de número na Educação Infantil?


Os números

115

Metáfora

Na lata do poeta tudo-nada cabe

pois ao poeta cabe fazer

com que na lata venha caber

o incabível.

Gilberto Gil

Durante a escola infantil, as crianças já começam a aprender as noções e os conceitos de medida e quais os instrumentos para comparação de quantidades e medidas dos objetos.

Vivências cotidianas e situações em diferentes momentos do dia per-mitem à criança relacionar espaço e tempo, dar-se conta de coisas que podem ser medidas por seus pés, por sua capacidade, sua longitude. E elas começam a utilizar algumas unidades de medida arbitrárias, como a aproximação intuitiva. Então, é muito importante oferecer um ambiente e material variado e rico, mas, sobretudo, é preciso que o professor:

proponha situações interessantes; �

proponha questões no nível infantil; �

saiba relacionar vivências semelhantes; �

saiba deixar os alunos atuarem, proporem problemas e tentarem �resolvê-los.

O que é grandezaTudo aquilo que pode ser medido chama-se grandeza: o peso, o com-

primento, a área, o tempo, a temperatura, o volume. Esses tipos de gran-deza são conhecidos e classificados como grandezas físicas escalares. As grandezas que não podem ser medidas como a beleza, a emoção, a ale-gria, o amor etc., são conhecidas como grandezas não físicas, pois a Física não trabalha com o abstrato.

Grandezas e medidas

118

Para medir uma grandeza, é necessário escolher uma unidade de medida, ou seja, uma grandeza de mesma espécie para comparar com aquela que se quer medir. O dono de uma quitanda não pode realizar seus negócios sem medir em uma balança a quantidade de batatas ou bananas pedidas. Um lojista que vende tecidos necessita do metro para medir e vender, assim como os operários de uma fábrica medem o tempo de seu trabalho por meio de um relógio.

O fundamental é medir e compreender que o resultado da medição é um número que terá significado por meio do nome da unidade que se empregou. Assim, cada quantidade fica expressa por uma parte numérica e outra literal: 10km, 8h, 30km/h, 1kg, 100g. No cotidiano, a criança já ouve falar nessas rela-ções quando vai ao açougue ou ao mercado com seus familiares e até mesmo praticando esportes, assistindo televisão.

A seguir, outros exemplos do cotidiano:

No nado livre, a velocidade do nadador pode chegar a 7,2km/h. �

Grandeza física: velocidade, rapidez.

Unidade de medida: km/h (quilômetro por hora) ou m/s (metro por segundo).

Depois de uma refeição cujo prato é uma feijoada, o organismo demo- �ra de 6 a 8h para digerir esse alimento.

Grandeza física: tempo.

Unidade de medida: h (hora).

Porém, mesmo fazendo relações e comparações entre os objetos, as crian-ças só garantem a compreensão de medidas por meio do trabalho e da ati-vidade prática para isso. Colocando mãos e mentes à obra, desenvolve-se o pensamento e o raciocínio matemático. Jogos e atividades práticas na sala de culinária, na horta ou mesmo em um laboratório de ciências tornam o apren-dizado mais envolvente.

O professor deve realizar tarefas práticas para se conhecer unidades de medida. A atividade deve ser iniciada trabalhando com unidades não padroni-zadas ou não convencionais, pois elas facilitam o aprendizado por meio de ten-tativa e erro, comparação e contraste. Atividades práticas que envolvem compri-


Grandezas e medidas

119

mento, área, massa e volume, de maneira não padronizada ou não convencional, podem ser realizadas até que seja possível inserir as unidades reais de medida.

Usado pelos egípcios a.C., o cúbito, era a medida usada desde o cotovelo até o dedo médio por comerciantes e profissionais. Mas, como nem todos os braços tinham e têm o mesmo comprimento, dá para imaginar a confusão que isto acarretou. Também as tentativas de um único padrão, como as unidades inglesas pé e jarda, baseadas nas medidas do rei, geraram problemas. Três pés correspondiam a uma jarda e uma jarda nos dias de hoje correspondem a 91,44 centímetros. Quanto mais o mundo se desenvolvia e cresciam as relações de comércio entre os povos, mais aumentava a confusão com as medidas. (TOLEDO 1997, p. 278)

Medindo sem unidade-padrãoAo final de cada atividade, o professor poderá iniciar a apresentação das uni-

dades de medida padronizadas de cada grandeza por meio dos instrumentos de medição. Registre os resultados em forma de tabela. O objetivo aqui é conhecer medidas comparando os diferentes instrumentos de medição.

ComprimentoDê às crianças régua, palitos de sorvete ou de algodão doce, palitos, corrente

de clipes, papel e lápis. Elas devem medir o comprimento de um lado do quadro de giz, de um livro, de uma mesa, de uma porta ou de uma parte da sala. Estimu-le-as a medir os objetos de outras maneiras, com os pés ou as mãos. Registre os resultados junto com as crianças e discuta com elas os resultados.

Folha de registro das medidas

quadro livro mesa porta parede outros

Régua(Qual é o com-primento?)

Palitos de dente(Quantos?)

Lápis (Quantos?)

Pés (Quantos?)

Outros

ÁreaAs crianças receberão formas recortadas em papéis de cores diferentes. Peça

a elas que visualizem as formas da menor para a maior, apenas comentando

120

a sequência de tamanhos. Também peça para que tentem descobrir como se mede a área das formas. Depois de um tempo, sugira que recortem as formas e arranjem-nas em novas formas, mais fáceis de comparar (transformar um tri-ângulo em retângulo e ver quantas vezes o retângulo menor encaixa-se nele). Solicite-lhes que coloquem as formas novamente por ordem de tamanho e comparem esse novo alinhamento com sua estimativa por adivinhação.

MassaAs crianças deverão receber três ou quatro porções de massa de modelar. Em

seguida, peça para que descubram qual é a mais pesada e qual a mais leve. O mesmo deve ser feito com um bloco de madeira e uma bola de algodão, plástico ou isopor. Dê às crianças um saco plástico e peça para que coloquem bolinhas (leves) até que fique pesando o mesmo que o bloco. Comente com elas se real-mente isso aconteceu. De que material é feita cada bolinha, de onde vem, e o mesmo para o bloco. Qual é o instrumento de medição de massa? Nesse caso, pode-se aproveitar e comentar sobre o que constitui o corpo humano e pedir para cada criança subir em uma balança para medir sua massa.

VolumeDê às crianças três ou quatro garrafas de diferentes formas e tamanhos para

encher com água em uma quantidade que deverá estar distribuída em seis ou oito copos. Estimule as crianças a contar com quantos copos pôde-se encher cada garrafa e, ao final, apresente a elas a capacidade total do volume de água em cada garrafa.

Trabalhando as grandezas

Trabalhando a quantidade por medida de capacidade

“Capacidade é a propriedade que tem um recipiente de conter alguma coisa. Volume é a medida do espaço ocupado por um corpo tridimensional. A unidade de medida de capacidade é o litro e a de volume é o metro cúbico”. (TOLEDO,


Grandezas e medidas

121

2001, p. 292). No Brasil, costuma-se trabalhar apenas com litros e mililitros como unidades de capacidade. Assim, vamos propor uma atividade em cujo final será possível mensurar a capacidade dos recipientes envolvidos.

Objetivo: habilidade de cálculo por meio de contagem, estimativa e ra-ciocínio espacial.

Materiais: copo de medida, uma tigela ou pote grande, recipientes de tamanhos e formas variadas, feijões ou bolas de gude e água.

Procedimento: pedir às crianças que adivinhem quantos copos cheios de água caberão na tigela e que escrevam seus palpites em um papel; usar o copo de medida para encher a tigela enquanto as crianças contam quantos copos você despeja – comparando os resultados estimados com o real, quão perto elas chegaram?

Dê às crianças os recipientes variados para que cada uma execute seu próprio experimento: elas devem estimar quantos copos serão necessários para encher o recipiente e depois verificar sua estimativa enchendo-o.

Variação Dê às crianças algumas sementes grandes ou pequenas e três ou quatro

copos de tamanhos diferentes. Peça a elas que respondam às perguntas, primei-ro fazendo uma estimativa e depois enchendo os copos.

Quantas sementes cabem no copo menor? �

Quantas sementes cabem no copo maior? �

Em quais desses copos cabem mais sementes? �

Em alguns desses copos cabem exatamente 20 sementes? �

Grandeza de tempoO tempo pode ser explicado pela História, Geologia, Biologia, Física e também

pela Matemática. Cada área do conhecimento estuda a passagem do tempo re-lacionado ao seu principal objeto de estudo. A História, por exemplo, aborda a passagem do tempo por meio da pesquisa sobre os acontecimentos passados. Do ponto de vista da Matemática, é importante saber que o tempo comporta o

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instante e o período. O tempo é uma grandeza contínua, pois não há dois mo-mentos consecutivos. Para um matemático, a reta que representa o tempo não é uma reta comum (decimal), é uma reta real. Uma vez feita uma medida ela não pode ser refeita, pois não é possível reverter o tempo.

Entretanto, a passagem do tempo apresenta um aspecto cíclico como retor-no das horas do dia, dos meses do ano, das estações climáticas. A escola deve abordar a passagem do tempo em seus intervalos curtos e longos. Para os in-tervalos curtos são utilizados relógios, ampulhetas, velas, cronômetros. Para a passagem dos intervalos maiores de tempo, os calendários que registram desde a rotina diária, semanal, mensal, anual, devem ser amplamente utilizados.

Os acontecimentos podem ser medidos em intervalos por meio de unidades como a hora, o minuto e o segundo. Também a criança pode mensurar o tempo pelo dia e a noite e os seus períodos, os dias da semana, os meses, passado e futuro. Isso pode ser trabalhado com a participação constante das crianças na montagem de um calendário ou de um miniálbum com sua história desde o nas-cimento até a atualidade, relacionando grandezas e medidas correspondentes como peso, altura, datas etc.

Para relacionar tempo e velocidade, o professor de Educação Física poderá auxiliar com a atividade esportiva usando relógio e/ou cronômetro.

Relações entre as unidades de tempo

1 hora 60 minutos

1 segundo 1/3 600 horas

1 segundo 1/60 minutos

1 hora 3 600 segundos

1 minuto 60 segundos

1 minuto 1/60 horas

O calendário anual permanente deve estar presente na sala de aula desde o início das aulas, ter datas comemorativas, finais de semana, férias, identificados por cores diferentes ou imagens. O aniversário de cada um dos alunos deve ser marcado na presença deles. O calendário deve ficar próximo para ser facilmente visualizado pelas crianças.


Grandezas e medidas

123

Ano 20...Dias da semanaDias do mês 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 31JaneiroFevereiroMarçoAbrilMaioJunhoJulhoAgostoSetembroOutubroNovembroDezembro

O calendário giratório é importante por oferecer diferentes modelos de re-presentação. Em qualquer modelo, é importante que todos os dados constem no painel à medida que o tempo passa. Quando um mês acaba, pode ser coloca-do de lado, marcado com um X, mas precisa permanecer visível para as crianças. Por isso, os modelos mais elaborados devem ser oferecidos para crianças maio-res ou concomitantemente aos modelos mais comuns.

JaneiroSe

tem

bro

MaioFevereiro

Out

ubro

Junho

Março

Novem

bro

Julho

Abril

Dezembro

Agosto

Quinta-

-feira

Sexta--feira

Sábado

Dom

ingo Segunda-

-feira

Terça- -feira

Qua

rta-

-feira

28 29 30 31 1 2 3

Maternal - Jardim A - Jardim B

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S.A

.

Atualmente coexistem no mundo quatro calendários principais: o israelita, o chinês, o gregoriano e o muçulmano. O calendário israelita baseia-se no mo-vimento da lua. O ano tem 354 ou 355 dias (12 meses de 29 ou 30 dias). Para coincidir com o ano solar e evitar a defasagem das estações, acrescenta-se um mês suplementar cinco vezes em um período de 19 anos. Trata-se, portanto, de um calendário lunar-solar. A origem desse calendário (seu ano zero) se situa em 3761 antes de nossa era. Segundo a Bíblia, essa data corresponde à criação do

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mundo. O princípio do ano tem lugar em meados do nosso mês de setembro. A semana começa no domingo; o repouso semanal está fixado na sexta-feira e no sábado (o sabat, sétimo dia da semana, é o dia de orações durante o qual não se deve trabalhar desde o nascer até ao pôr do sol, por analogia com a criação do mundo segundo a Bíblia).

O calendário chinês é também lunar-solar. Cada ano compreende 12 meses de 29 ou 30 dias. Um décimo terceiro mês é intercalado sete vezes em um período de 19 anos, para compensar a defasagem do ano solar. O ponto de partida desse calendário se situa em 2697 antes de nossa era. O Ano Novo, data móvel em rela-ção ao nosso calendário, é festejado na segunda lua após o solstício de inverno, situando-se, pois, entre 15 de janeiro e 15 de fevereiro: é a Festa da Primavera.

O calendário gregoriano é solar. O ano conta 365 ou 366 dias (no caso do ano bissexto), repartidos em 12 meses de 30 ou 31 dias (28 ou 29 dias no caso do mês de fevereiro). Os anos bissextos têm lugar a cada quatro anos. Contudo, os anos que marcam o final de um século não são bissextos, salvo se o número do ano é divisível por 400: assim, 1800 e 1900 não foram bissextos (...). Com essas regras, a defasagem em relação ao ano solar é de apenas um dia em 4 000 anos. Esse calendário se chama gregoriano porque foi imposto em 1582 a todos os países católicos pelo papa Gregório XIII, em substituição ao calendário Juliano, posto em vigor por Júlio César 1 627 anos antes. Com efeito, esse calendário estava atrasado em relação ao ano solar. O calendário gregoriano é o dos países ocidentais; os russos somente passaram a utilizá-lo em 1918 (o que explica que o aniversário da Revolução de Outubro tenha sido celebrado em novembro), e os gregos, em 1923. Na França, ele foi substituído pelo calendário republicano de 24 de novembro de 1793 a 31 de dezembro de 1805. No calendário grego-riano, as estações chegam sempre na mesma época do ano. A semana começa no domingo e se encerra no sábado: é, portanto, o primeiro dia da semana que é dia de repouso.

O calendário muçulmano é lunar. O ano é formado por 12 meses de 29 ou de 30 dias; os meses são defasados constantemente em relação às estações, voltan-do ao mesmo lugar ao fim de 33 anos. O ponto de partida do calendário muçul-mano está fixado no dia 16 de julho de 622, data da fuga do profeta Maomé de Meca para Medina (a Hégira). A semana começa no domingo, que em árabe se diz primeiro dia; a segunda-feira é chamada de segundo dia, e assim até à quinta- -feira, o quinto dia; a sexta-feira é chamada de dia das orações e o sábado sabat. O repouso semanal tem lugar na quinta e na sexta-feira, portanto, no meio da semana.


Grandezas e medidas

125

AtividadeÉ importante conversar com as crianças antes do início dessa atividade sobre

a importância do coração em nosso organismo, fazendo-as localizarem esse órgão – cada uma em seu próprio tórax –, para depois iniciar.

Forme grupos e escolha um voluntário que meça o seu próprio bati- �mento cardíaco. Olhe no relógio e marque a hora junto com as crian-ças, usando o cronômetro para medir o batimento durante um minuto e anotando o número de vezes em que ocorre o batimento.

A mesma criança deverá pular 20 vezes depois da primeira contagem, �depois será preciso registrar a hora novamente e marcar 1 minuto no cronômetro, para registrar o número de vezes do batimento.

Ao final, definir em minutos qual a diferença de tempo entre a primei- �ra e a segunda contagem dos batimentos cardíacos.

Grandeza de massaA massa de um corpo é a quantidade de matéria que constitui esse corpo e

pode ser definida em uma balança de prato ou de precisão, por meio de unida-des de medida como o quilograma (kg), o grama (g) ou o miligrama (mg).

AtividadePodem ser comparados os tipos de matéria que compõem um corpo – como

um cubo de madeira ou um cubo de plástico. As crianças poderão trabalhar com um cubo que se subdivide em cubos menores, montando-o, contando as peças integrantes e levando-as a uma balança para medição conforme a precisão da balança. Outros tipos de materiais podem ser utilizados para essa atividade. Até mesmo uma feirinha ou a visita a um supermercado podem ser interessantes para pesquisar as massas de alguns produtos, desde os mais leves até os mais pesados. Na sala de aula, pode-se ter 1kg de um produto, 50g ou 100g de outros para serem comparados: o que tem mais ou menos massa?

Como curiosidade, podem ser pesquisados os vários tipos de balanças: de dois pratos, de ponteiro, digital, de peso cilíndrico e eletrônica.

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Materiais: barbante ou fita métrica, folha bem comprida ou uma parede na qual se possa escrever.

Balança de dois pratos: o objeto a ser medido é comparado a um jogo �de massas.

Balança de ponteiro: é comum nas farmácias. �

Balança digital: o número correspondente à massa surge no mostrador. �

Balança de cilindro: o cilindro desliza em uma escala do braço da ba- �lança até equilibrar. É usada em consultórios médicos.

Balança eletrônica: usada em açougues ou supermercados, marca a �massa e o preço do produto.

Grandeza de comprimentoO comprimento coincide com a extensão de algo na linha horizontal ou na ver-

tical, e assim as crianças podem medir seu comprimento em altura e largura. A uni-dade de medida mais comum, a mais utilizada, é o metro, porém, os centímetros e os milímetros definidos em uma régua podem ser trabalhados bem objetivamen-te com as crianças em sala de aula, de acordo com as sugestões de atividade.

AtividadeO cubo da atividade anterior pode ter um dos seus lados medido com uma

régua ou com um barbante, que depois será esticado sobre uma régua para se obter a medida do lado do cubo. A sala de aula, as mesas, os corredores – o professor ou a professora poderá solicitar que se meça tudo o que puder ter seu comprimento medido. E este também pode ir relacionando as grandezas de tempo, distância e massa entre objetos ou entre os alunos na aula de Educação Física. Para facilitar o estudo, medidas não convencionais podem ser utilizadas. Além disso, este é um bom momento para medir a altura dos alunos em sala de aula e acompanhar seu crescimento físico.

AtividadeQual é a sua altura?


Grandezas e medidas

127

Procedimento: mostrar para as crianças a marca dos centímetros em uma régua ou fita métrica. Dar às crianças um pedaço de barbante para que possam medir um livro, uma porta, uma mesa, um dedo, um ursinho de pe-lúcia etc.

Peça a uma criança que se encoste à parede. Na parede ou em uma folha de papel afixada na parede, marque a altura da criança pelo topo da sua cabeça (isso pode ser feito em casa, com os pais). Deixe que a criança meça, com a fita métrica ou o barbante, do chão até a marca. Agora ela sabe sua altura e pode ir registrando, para acompanhar seu próprio crescimento, for-mando um gráfico com o barbante, que pode ser colado no papel em que se faz a anotação. Caso a criança queira, ela pode medir os outros membros de sua família. Quem é o mais alto? Quem é o mais baixo?

Grandeza de pesoPela força da gravidade, no planeta Terra, o peso dos corpos coincide com a

massa: em volta da Terra existe uma atmosfera e ocorre uma pressão do ar sobre os corpos. Porém, o peso pode sofrer variação conforme a localidade em que se encontra. Assim, quanto mais proximidade do centro da Terra, maior será o seu peso. Uma pessoa pesa menos nas proximidades do Equador do que perto dos polos, do mesmo modo quando está à beira-mar pesa mais do que quando está no pico de uma montanha. Assim, ao pesar um objeto se estará medindo a quantidade de massa que ele tem.

Para medir o peso, não se usa a balança e sim um dinamômetro, que pode ser construído junto com as crianças, conforme descrito a seguir para sua constru-ção. Antes de começar as atividades, verificar se as crianças já viram os pescado-res, na praia, usando um aparelho como esse para vender seus peixes.

Máquina de pesarConstrua uma balança de mola, que funciona por meio de um elástico

esticado.

Material: papel (tira retangular), fita adesiva, bolas de gude, copo de isopor, lápis, elástico, clipe, massinha, fio, tesoura, palito de dente.

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Procedimento: corte um pequeno pedaço de fio e prenda nos dois lados do copo como uma alça; corte o elástico e amarre-o na ponta do clipe; fixe o clipe em uma mesa com fita adesiva; amarre a outra ponta do elástico no meio da alça; faça uma escala prendendo o papel perto do canto da mesa. Para fazer o ponteiro, enfie o palito pela borda do copo. Ponha duas bolas de gude no copo e faça uma marca na escala. Repita a operação até usar todas as bolas e esvazie o copo. Use essa balança para pesar pequenos objetos.

Com o copo vazio, marque o ponto inicial na escala.

Assegure-se de que as bolas são do mesmo tamanho.

Adicione as bolas, duas a duas, marcando e numerando a escala a cada vez.

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S.A

.

Objetivo: realizar um experimento relacionando a área ao volume.

Material: quadro-negro ou papel grande, giz ou caneta, papel pardo bem grosso, tesouras, fita adesiva, arroz, feijão ou massa seca.

Procedimento: inicie a atividade perguntando às crianças o que elas sabem sobre área e a relação entre a área (uma medida bidimensional ou a

Grandeza de volumePelo volume, determina-se a quantidade de espaço utilizado por um objeto.

Para exemplificar melhor, um experimento pode ser feito a fim de diferenciar a grandeza de área da grandeza de volume.


Grandezas e medidas

129

quantidade de superfície dentro de um conjunto de linhas) e o volume (uma medida tridimensional ou a quantidade de espaço ocupado por um objeto), escreva as respostas das crianças no papel grande ou no quadro-negro.

As crianças devem realizar o experimento aqui descrito: corta-se ao meio um pedaço de papel – 22cm X 30cm, por exemplo (certifique-se de que as crian-ças sabem que os dois pedaços de papel são do mesmo tamanho). Enrola-se cada pedaço de papel, formando um tubo, mas um dos pedaços deve ser ao comprido – de modo que o tubo fique mais estreito – e o outro, na largura – de modo que o tubo fique mais largo. Fecham-se as extremidades com fita adesiva. Pergunte às crianças se em ambos os tubos cabe a mesma quantidade de arroz (ou feijão, massa etc.), ou em qual deles cabe mais. Em outras palavras, pergunte qual tubo tem um volume maior. Peça às crianças que encham os recipientes para descobrir isso.

VariaçõesSe a sala de aula tiver carpete, peça às crianças que meçam a largura, o com-

primento e a quantidade de superfície (área) que ele cobre. Depois, caminhem pela escola e procurem outros espaços onde o carpete poderia caber. Meça os espaços para ter certeza. Outra atividade com volume se faz usando recipientes de tamanhos diferentes (por exemplo, caixas de vários tamanhos): veja com as crianças em qual das caixas cabe mais livros. Ou use latinhas para ver em qual delas cabe mais lápis.

Grandeza de medida monetáriaA fim de representar o valor de todas as coisas que a criança necessita para

sua sobrevivência e o fato de que elas são obtidas por meio do trabalho profis-sional de cada pessoa na sociedade, por meio de jogos e problematizações, é possível fazer com que a criança adquira autonomia aprendendo as operações aritméticas pelo registro das quantidades monetárias.

Uma atividade prática pode ser realizada em forma de comércio. O professor pode levar seus alunos a uma feira livre para elas comprarem frutas, verduras e legumes. A grandeza de massa também pode ser retomada no ato da compra. O valor mínimo poderia ser estipulado para dar o poder de compra às crianças. Neste caso, como os valores de mercado variam, uma pesquisa de preços por meio de jornais e folhetos poderia ser feita previamente.

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Com cédulas de brinquedo, as crianças podem realizar atividades simbólicas de compra e venda. O professor pode valer-se dessa situação para envolver-se com a atividade lúdica e inserir a contagem de 2 em 2, de 5 em 5. Crianças pe-quenas não lidam sozinhas com dinheiro e certamente têm dificuldades para calcular somas e trocos para a devolução, mas essa é uma situação que pode ser bastante interessante para desenvolver a contagem brincando.

O dinheiro também é uma grandeza que as crianças têm contato e sobre a qual podem desenvolver algumas ideias e relações que articulam conhecimentos relativos a números e medidas. O dinheiro representa o valor dos objetos, do trabalho etc. As cédulas e moedas têm um valor convencional, constituindo-se em rico material que atende várias finalidades didáticas, como fazer trocas, comparar valores, fazer operações, resolver problemas e visualizar características da representação dos números naturais e dos números decimais. Além disso, o uso do dinheiro constitui-se uma oportunidade que por si só incentiva a contagem, o cálculo mental e o cálculo estimativo. (MEC/SEF,1998, p. 229)

Texto complementar

Raciocínio baseado em modelo(SENAC, 2007)

Certas iniciativas de revitalização do ensino da Matemática enfatizaram a importância do fenômeno da modelagem. O trabalho sobre a modela-gem pode ser feito desde o Jardim-de-infância até o final do Ensino Médio. A modelagem envolve ciclos de construção, avaliação e revisão do modelo. É essencial para a prática profissional em diversas disciplinas, como Mate-mática e Ciências, mas não é muito aproveitada para a instrução escolar. As práticas de modelagem são ubíquas e diversas, variando desde a construção de modelos físicos, como um planetário ou um modelo do sistema vascular humano, até o desenvolvimento de sistemas de símbolos abstratos, exem-plificados pela matemática da álgebra, da geometria e do cálculo. A ubiqui-dade e a diversidade dos modelos nessas disciplinas indicam que a modela-gem pode ajudar os estudantes a desenvolver a compreensão a respeito de diversos conceitos importantes. As práticas de modelagem podem e devem ser fomentadas em todas as idades e séries escolares.


Grandezas e medidas

131

Para abordar um problema usando a modelagem, é preciso inventar (ou selecionar) um modelo, explorar suas qualidade e, depois, aplicar o modelo para responder à questão que interessa. Por exemplo, a geometria dos triân-gulos apresenta uma lógica interna e ajuda a prever desde fenômenos óticos até sistemas de orientação (como na navegação), passando pela colocação de ladrilhos. A modelagem enfatiza a necessidade de formas matemáticas que, em geral, são pouco contempladas no currículo-padrão, como geo-metria e visualização espacial, estrutura de dados, medição e incerteza. Por exemplo, o estudo científico sobre o comportamento animal, como o dos pássaros à cata de alimentos, será muito limitado se também não tivermos acesso a conceitos matemáticos como variabilidade e incerteza. Portanto, a prática da modelagem introduz as investigações adicionais a respeito das “grandes ideias” importantes nas disciplinas.

Modelos físicos

Os modelos físicos, como os do sistema solar ou os de cotovelos, são microcosmos de sistemas que se baseiam em grande parte nas intuições das crianças sobre semelhança para sustentar a relação entre o mundo que está sendo modelado e o próprio modelo. A fotografia a seguir mostra um modelo infantil do cotovelo. Observe, por exemplo, os elos de borracha que imitam a função conectiva dos ligamentos e os pinos de madeira colocados a fim de impedir que seu deslocamento, no plano vertical, não exceda a 180 graus. Embora a busca da função seja apoiada pela semelhança inicial, o que conta como semelhança geralmente muda quando as crianças revisam seus modelos. Por exemplo, as tentativas de criar modelos que ilustrem o movi-mento do cotovelo, muitas vezes, ao interesse pela maneira como os múscu-los podem ser dispostos.

Div

ulga

ção

SEN

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Modelo de um cotovelo criado por uma criança.

132

Conclusão

Cada vez mais, as abordagens para o ensino da matemática elemen-tar incorporam as premissas de que toda aprendizagem envolve ampliar a compreensão para novas situações; de que as crianças chegam à escola com muitas ideias sobre a matemática; de que o conhecimento relevante para um novo cenário nem sempre é acessado espontaneamente; e de que a aprendizagem pode ser melhorada quando as crianças são respeitadas e encorajadas a pôr à prova as ideias e estratégias que trazem para as salas de aula na aprendizagem escolar. Em vez de começar o ensino da matemática focalizando apenas os algoritmos de cálculo, como adição e subtração, os estudantes são estimulados a inventar suas próprias estratégias para a so-lução dos problemas e a discutir por que essas estratégias funcionam. Os professores também podem incitar explicitamente os alunos a pensar em aspectos da sua vida cotidiana que podem ser relevantes para a aprendiza-gem adicional. Por exemplo, a experiência cotidiana de caminhar e as ideias correlatas sobre posição e direção podem servir de trampolim para o desen-volvimento da matemática correspondente sobre a estrutura do espaço, da posição e da direção.

À medida que as pesquisas continuem a fornecer bons exemplos de instrução, que ajudem as crianças a aprender matemática essencial, maior será a compreensão do papel que o conhecimento, as crenças e os objetivos dos professores desempenham na forma de pensar e agir no ambiente de ensino. Os exemplos que demos aqui deixam claro que a escolha das tarefas e a condução do raciocínio dos estudantes enquanto executam as tarefas dependem significativamente do conhecimento que o professor tem da ma-temática, do conteúdo pedagógico e dos próprios alunos.

(BRANSFORD, John D.; BROWN, Ann L.; COCKING, Rodney R. (Orgs.). Como as Pessoas

Aprendem: cérebro, mente, experiência e escola. Comitê de Desenvolvimento da

Ciência da Aprendizagem; Comitê de Pesquisa da Aprendizagem e da Prática Edu-

cacional; Comissão de Educação e Ciências Sociais e do Comportamento; Conselho

Nacional de Pesquisa dos Estados Unidos. São Paulo: Senac, 2007. p. 200-220.)


Grandezas e medidas

133

Dicas de estudoCUBERES, María Teresa Gonzáles; DUHALDE, María Elena. Encontros Iniciais com a Matemática. Porto Alegre: Artmed, 1998.

CERQUETTI-ABERKANE, Françoise. O Ensino da Matemática na Educação In-fantil. Porto Alegre: Artmed, 2001.

Este livro traz várias atividades com o calendário e outras propostas para a exploração do trabalho com grandezas.

Atividades1. Explique por que o peso pode sofrer variação conforme a localidade em

que se encontra.

2. Quais são as unidades de medida de capacidade e volume?

Objetivo da geometria na Educação InfantilA geometria é uma ciência que estuda o espaço físico? �

Como se aprende geometria? �

Na Educação Infantil, a geometria não está restrita à nomeação de figu-ras, pois está voltada para o desenvolvimento das competências espaciais das crianças. Desde que nasce, a criança está em contato com o mundo por meio da visão, da audição, do tato, do movimento. Antes mesmo de falar, a criança já explora o espaço e as formas presentes, já interpreta o ambiente no qual está inserida. Em grande parte, as suas primeiras expe-riências no mundo são de caráter espacial.

No entanto, ao longo do tempo, a maioria dos currículos escolares não deu a devida importância a essas experiências da criança. Assim, ao se falar em geometria, é comum imaginar atividades de reconhecimento de formas geométricas – como o quadrado, o retângulo, o círculo e o triângu-lo. Os professores preocupam-se com a nomeação, o desenho e a pintura dessas formas, considerando que isso é o principal conteúdo da área.

Felizmente, a prática pedagógica nas escolas tem ido além, explorando o conhecimento e os modos pelos quais a criança conhece o espaço em que vive. Quando chega à escola, a criança traz muitas noções de espaço porque se movimenta, explora, experimenta, troca, descobre.

O desenvolvimento da noção de espaço ocorre de forma progressiva, iniciando-se com o conhecimento e a percepção de si mesmo, do espaço ao seu redor e do espaço-mundo, para depois chegar ao espaço represen-tado em forma de desenhos, mapas, croquis, maquetes, representações planas etc.

Desse modo, a percepção do espaço pela criança é marcada por três etapas essenciais: a do vivido, a do percebido e a do concebido.

Geometria na Educação Infantil

136

De acordo com Smole (2003), o espaço vivido refere-se ao espaço físico, vi-venciado por meio do movimento e do deslocamento apreendido pela criança em brincadeiras e atividades que permitem percorrer, delimitar ou organizar esse espaço.

O espaço percebido é aquele que não precisa mais ser experimentado fisica-mente para que a criança possa lembrar-se dele.

O espaço concebido surge quando existe a capacidade de estabelecer rela-ções espaciais entre elementos somente por meio de suas representações, como é o caso de figuras geométricas, mapas, plantas e diagramas. Esse processo re-afirma o fato de que, na Educação Infantil, a geometria não pode ser estática e nem se restringir às atividades de identificação de figuras geométricas.

O principal objetivo do desenvolvimento do pensamento geométrico é que as crianças possam perceber um pouco mais do que a aparência das figuras – por exemplo, o fato de um quadrado fazer parte de um cubo e de que há figuras redondas que não são necessariamente circulares: a cabeça de uma pessoa é arredondada, mas não é um círculo.

Assim, a geometria é um campo que pode oferecer melhor oportunidade de relacionamento com a matemática como o estudo do espaço no qual a crian-ça vive, e também contribui para aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades.

As pesquisas de Dina e Pierre Van Hiele sobre figuras e formas (SMOLE, 2003) revelaram que a maioria dos alunos desenvolve seus conhecimentos geométri-cos em diferentes níveis de complexidade, desde o reconhecimento visual de uma figura até a capacidade de lidar com os axiomas geométricos.

Axiomas são métodos que a matemática usa para construir-se como ciência por meio de método experimental.

As crianças da escola infantil estariam no nível da visualização de um todo sem que as figuras e as formas fossem compostas por partes ou propriedades. Então, as suas primeiras noções geométricas devem ocorrer pela manipulação e a exploração de diversos modelos e formas geométricas – e, partir daí, o vocabu-lário, a identificação e a construção serão desenvolvidos.



137

Para Van Hiele, somente a partir desse primeiro nível é possível passar ao nível da análise das propriedades das figuras e objetos. A concretização deve ser feita por desenhos, textos coletivos, construção de livros de formas, modelagem com massa etc.

Sugestões de atividades para o pensamento geométrico

Propor questionamentos por meio das figuras das páginas de um livro que �contenha as formas geométricas – quadrado, círculo, triângulo, retângulo, paralelogramo e outros.

– Quem já viu essa figura antes?

– Alguém sabe o nome dela?

– O que existe em nossa sala de aula com a mesma forma?

Com papel picado, e aproveitando para trabalhar as cores, pedir para as �crianças montarem uma figura semelhante à forma mostrada e determi-nada pelo professor.

Junto com as crianças, contar as pontas das formas geométricas propostas �em aula – triângulo, quadrado etc. – e comparar a um círculo, fazendo os devidos questionamentos sobre o assunto.

Compartilhar as atividades das aulas de Educação Artística, promovendo �uma exposição geométrica com sólidos geométricos e planos.

Montar uma maquete que reproduz uma parte da casa onde a criança �vive, destacando a forma geométrica do cômodo e dos objetos.

Geometria topológicaAntes de caracterizar a topologia faz-se necessário caracterizar sintetica-

mente as geometrias euclidiana e projetiva para a compreensão da geometria topológica.

138

A geometria euclidianaRefere-se às transformações que mudam somente a posição do objeto e, por-

tanto, conservam-se o tamanho, as distâncias e as direções – ou seja, os aspectos relacionados com a medida.

A ideia de que a geometria euclidiana é o único modelo possível do espaço físico sucumbe e os físicos começam a aproveitar os novos modelos que se adequam melhor à descrição de fenômenos que têm lugar em escala astronômica. O espaço, como realidade física, escapa definitivamente do controle de uma só teoria geométrica para cair em perversas vinculações com o tempo, dentro da concepção einsteniana. A geometria se fragmenta em uma pluralidade de teorias alternativas em função dos axiomas selecionados, que podem dar conta de diferentes classes de problemas formulados no espaço físico. [...]

Mas, então, a geometria morreu, absorvida pela teoria das estruturas, de natureza algébrica. Atualmente se considera que a geometria está esgotada enquanto teoria matemática independente. (GALVEZ, 2001, p. 238-239)

A geometria projetivaNessa geometria, um trapézio e um retângulo são equivalentes porque o re-

tângulo pode ser visto como um trapézio segundo a posição do observador. As propriedades espaciais se conservam ao se projetar um objeto, ou quando esse objeto é observado desde diferentes posições. É a geometria das sombras. Nela se conserva a retitude, o aspecto reto, não a medida. Quando um artista pinta uma paisagem, a pintura não será de acordo com a realidade da paisagem e sim conforme esse artista viu essa realidade.

A geometria topológicaDe acordo com a história, a geometria topológica foi uma das últimas a surgir,

pois se tentou dar uma imagem unificada da geometria. Segundo os autores Dienes e Goldin, “a melhor maneira de explorar o espaço é deslocar-se por ele ou observar o que acontece com os objetos nele existentes quando se observa uma mudança – entendendo-se por mudança um tipo qualquer de transformação” (TOLEDO, 1997, p. 223).

O modelo de geometria topológica favorece um aprendizado mais formal e intuitivo, pois as figuras são submetidas a transformações que fazem com que percam suas propriedades. Por exemplo, se desenharmos um quadrado em um pedaço de balão estourado e o esticarmos, a figura desenhada se modificará.



139

Sugestões de atividades topológicas

Colega robôRecomendada para crianças maiores de 6 anos de idade.

Uma criança deverá ser o “robô”, que só se movimentará quando receber uma ordem.

Saindo do ponto de partida, essa criança obedecerá a ordens dadas pelos colegas, uma ordem de cada vez:

– Caminhe até o escorregador.

– Siga até a árvore perto do portão.

– Agora vire para o lado da cantina e continue andando.

– Pare atrás do banco.

Além de avaliar se o robô está seguindo as ordens corretamente, os co-legas podem se revezar marcando com giz, no chão, a trajetória percorrida. As ordens dadas ao robô são de natureza topológica, mas o professor ou mesmo colegas mais adiantados podem dar ordens de natureza projetiva:

– Caminhe quatro passos para frente.

– Vire meia-volta à direita e dê dois passos.

– Passe entre Ana e Pedro e caminhe para frente até o muro.

Com o prolongamento dessa atividade pode-se traçar uma trajetória no chão. Então, o robô deverá percorrê-la sem olhar a figura desenhada, obe-decendo às ordens dadas pelos colegas. Os demais alunos avaliam se o robô executou corretamente as ordens recebidas.

Descoberta do tesouroÉ indicada para diferentes níveis, dependendo do grau de detalhamento

a ser determinado para uma equipe de crianças. Prepara-se um mapa que as demais equipes devem seguir para tentar encontrar o tesouro. Se nenhuma equipe conseguir, o grupo se reunirá para analisar as instruções do mapa. Se

140

o mapa for bem traçado, a equipe ficará com o tesouro, senão, corrige-se o mapa e a brincadeira recomeça. No caso de crianças de três a seis anos de idade, devem ser usados códigos como quente ou frio para indicar quando as crianças estão próximas ou distantes do tesouro: nessa fase, é cedo para utilizar mapas ou listas de instruções.

AmarelinhaRecomendada para crianças de seis anos de idade. No chão, quadrados são

desenhados com giz e, depois, cada criança deverá traçar o seu percurso.

Propriedades geométricas: corpo, espaço, objetoPiaget estudou a representação do espaço da criança por meio de desenhos

que refletiam uma intuição geométrica, concluindo que a criança considera antes as relações topológicas de uma figura e só depois são construídas as pro-jeções euclidianas.

Então, valendo-se desses desenhos, observa-se a manifestação da inteligência, a intenção de dizer algo e a representação do real por uma criança, pois a criança usa os desenhos como um símbolo para a construção das representações.

Assim, em um primeiro momento, a criança conhece o espaço sobretudo através do movimento, e noções como proximidade, separação, vizinhança, continuidade, organizam-se em uma relação de pares de oposição (parecido/diferente, parte/todo, dentro/fora, pequeno/grande) de acordo com as explorações corporais que ela faz. É possível afirmar que a geometria pode ser vista como imagens que se percebem através dos movimentos; portanto, a primeira geometria é constituída pelo corpo.

A criança organiza a relação corpo-espaço, verbaliza-a e chega assim a um corpo orientado que lhe servirá de padrão para situar os objetos colocados no espaço em torno de si enquanto a orientação dos objetos ocorre em função da posição de seu corpo. Essa primeira percepção é o trampolim indispensável sem o qual a estruturação do espaço não pode efetuar-se. (SMOLE; DINIZ; CÂNDIDO, 2003, p. 25-26)

Na Educação Infantil, atividades corporais – como brincar de amarelinha, cara-col, corda, pega-pega, assim como rolar na grama, andar de motoca – auxiliam nas relações do espaço com o seu corpo e os objetos que cercam as crianças, sendo que, ao final de toda e qualquer atividade, as crianças devem criar desenhos como se estivessem mapeando as pessoas e os objetos em relação ao espaço.



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Na localização de objetos em relação ao próprio corpo, jogos no pátio da escola podem ser trabalhados como nos exemplos a seguir.

A turma deverá ser dividida em equipes de cinco alunos que deverão estar em filas. O professor deverá dar uma bola a cada equipe para que cada um passe a bola ao colega de trás. Vence a equipe que terminar antes. Pode-se repetir o jogo fazendo a bola passar por cima da cabeça, entre as pernas, pelo lado direito etc.

A turma formará um círculo e cada um deve jogar a bola para um colega qual-quer dizendo uma palavra que represente o que o professor irá pedir: nome de fruta, brinquedo, marca de automóvel – sem repetição.

Sugestões de atividades

Mapa do corpo

O professor orienta que cada criança faça o contorno do corpo do cole-guinha e vice-versa, em uma folha de papel em posição horizontal, e depois cada criança deve completar o desenho com olhos, boca, orelhas etc.

Depois de pronto o desenho, o professor deve perguntar quais partes ficam nos lados da cabeça, em cima da boca etc.

As crianças poderão organizar os mapas por ordem de tamanho.

Representação de percursos

Podem ser feitas excursões na própria escola ou nas ruas próximas.

De volta à sala de aula, as crianças deverão desenhar os caminhos de ida e de volta individualmente ou em dupla. Deve-se estimular a apresentação aos colegas e ficar atento à narração das crianças. Poderão ser feitas pergun-tas como:

– O que há na rua atrás da escola?

– A rua é estreita ou larga?

– O tronco da árvore que vimos é grosso ou fino?

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Muitas vezes, realizamos com nossos alunos atividades que são encaradas como simples divertimentos, tais como quebra-cabeças, jogos de montar, pin-turas, colagens etc., aparentemente mais indicadas às aulas de artes do que de matemática. Porém, tais atividades não só são importantes para o desenvolvi-mento da intuição espacial e de habilidades para visualizar, desenhar, interpre-tar e construir, como têm relação com a formação do pensamento geométrico dedutivo.

Embora muitos educadores afirmem que o raciocínio espacial e a geome-tria estão relacionados (entendendo-se por raciocínio espacial o conjunto de processos cognitivos por meio dos quais as representações mentais de objetos, relações e transformações espaciais são construídas e manipuladas), nossa prá-tica escolar parece indicar que não estamos conscientes de quão complexas são as relações que se estabelecem em nossas mentes e nas de nossos alunos quando tratamos com figuras espaciais, com relações entre figuras, suas repre-sentações etc.

Figuras planasAs figuras planas que desejamos que as crianças conheçam são os polígonos.

Na Educação Infantil, espera-se que as crianças identifiquem lados e vértices, enumerem e percebam se os lados têm a mesma medida ou não. Denomina-se polígono tanto a linha poligonal quanto a reunião desta com a região poligonal – nesse caso, a união da superfície da figura com seu contorno. A diferencia-ção entre esses conceitos não faz sentido para crianças de Educação Infantil. Os polígonos são identificados pelo número de lados ou ângulos que possuem. A tabela a seguir apresenta algumas propriedades dos polígonos, trabalhadas na Educação Infantil.

Polígono Propriedades TiposTriângulos 3 lados, 3 vértices, 3 ângulos. Equilátero, isóceles, escaleno e

retângulo.Paralelogramo 4 lados, 4 vértices, 2 pares de

lados paralelos de mesma me-dida e 4 ângulos iguais, dois a dois.

Losango 4 lados iguais, 2 pares de la-dos paralelos, 4 ângulos, dois a dois.

Quadrado 4 ângulos retos, 2 pares de la-dos paralelos, 4 lados iguais.



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Trapézio 4 lados, 1 par de lados parale-los, 4 ângulos.- no trapézio, os lados parale-los recebem os nomes de base maior e base menor.

Pentágono 5 lados, 5 ângulos.Hexágono 6 lados, 6 ângulos.

Uma figura plana que não é um polígono é o círculo.

O círculo é delimitado por uma circunferência que é o conjunto de pontos do plano situado a uma mesma distância de um ponto fixado chamado centro.

Atividades propostas para as crianças

Blocos lógicosAs peças não representam bem as figuras planas, mas são um recurso para

habilidades de discriminação e memória visual, constância de forma, tamanho, sequência, simbolização e início da nomeação das figuras.

As crianças deverão estar em grupos de quatro colegas com um conjunto de blocos. Todos poderão manipular o material e, ao final da atividade, guardar os blocos na caixa. Cada grupo deverá arranjar os blocos da forma como queira e o professor deverá pedir que cada grupo fale sobre seu arranjo.

Utilização do geoplanoO geoplano foi elaborado pelo matemático inglês Calleb Gattegno a fim de

se explorar problemas geométricos. O geoplano mais comum é feito com uma base de madeira na qual são colocados pinos sobre os vértices de cada quadra-do de uma malha quadriculada desenhada sobre a tábua. Ele é acompanhado por elásticos para a manipulação a fim de desenhar as figuras.

Os geoplanos costumam ser identificados pelo número de pinos que a malha quadriculada apresenta em cada lado. Assim, um geoplano 5 X 5 tem cinco pinos em cada lado. Para crianças menores, esse material não é indicado por dois moti-vos: o perigo representado pelos elásticos e a coordenação motora e visual que são exigidas da criança. Atividades com esse recurso podem ser realizadas para a construção de figuras de quatro lados, de três lados, ou comparar tamanhos e posições, de acordo com as orientações do professor.

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Objetivo: explorar o conceito de simetria e criar desenhos geométricos.

Principais componentes: raciocínio espacial e uso de imagens visuais.

Materiais:

uma grande variedade de papéis coloridos (quadrados de 7,5cm, tri- �ângulos equiláteros de 7,5cm, retângulos de 3,7 X 7,5cm);

papel branco de 22,5 X 22,5cm (uma folha por criança); �

cola em bastão; �

cartolina ou folha de cortiça. �

Procedimento:

Explique às crianças que elas farão uma colcha de retalhos de papel, usando quadrados, retângulos e triângulos. Dê à cada criança uma folha de papel branco como base. Essa folha deve ter uma grade desenhada, divi-dindo o quadrado em nove quadrados menores (três quadrados por lado). Distribua uma grande variedade de quadrados, triângulos e retângulos de papel bem coloridos.

Peça às crianças que experimentem colocar formas e cores diferentes sobre a grade. Explique que a grade pode ajudá-las a alinhar as peças e a explorarem sua relação geométrica (mas não há problema se alguma criança não se orientar pela grade).

A seguir, peça que criem um desenho que tenha pelo menos um eixo de simetria – em outras palavras, o padrão é o mesmo em ambos os lados do eixo. E se as crianças ainda não tiverem discutido simetria, converse sobre o assunto antes dessa atividade. Quando elas tiverem terminado sua monta-gem, peça para colarem os papéis coloridos sobre o papel branco.

Deixe cada criança criar pelo menos mais três colchas de papel. Depois, elas colocarão suas quatro colchas sobre o chão ou sobre uma mesa. Certi-fique-se de que as margens dos quadrados estão bem emparelhadas umas com as outras. Deixe as crianças moverem os quadrados até encontrarem um arranjo que lhes agrade.

Colcha de retalhos



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Cada criança montará seus quadrados em uma cartolina ou cortiça e irá exibi-los em sala de aula.

Sólidos geométricosSão importantes para a percepção espacial das crianças, para que elas esta-

beleçam relações entre a geometria e o mundo físico que as rodeia.

E trabalhar desde a Educação Infantil com sólidos geométricos também per-mite o desenvolvimento do vocabulário específico sobre suas características (faces, vértices, arestas, nomes dos sólidos) e a percepção da relação entre figuras planas e não planas.

O contato e a manipulação de brinquedos, sucatas, blocos, bolas, cubos e caixas dão às crianças as primeiras noções sobre sólidos.

Os sólidos geométricos são divididos em dois grupos:

Corpos redondos Poliedros- Cilindro: limitado por uma superfície curva e por 2 círculos.

- Cubo: 6 faces quadradas, 8 vértices, 12 arestas.

- Esfera: tem uma superfície curva. - Paralelepípedo: 6 faces retangulares, 8 vérti-ces e 12 arestas.- Pirâmide de base quadrada.

- Pirâmide de base triangular:5 faces - 2 triangulares e 3 retangulares;4 faces triangulares.

Define-se face como cada uma das superfícies na forma de polígono que de-limita o poliedro.

Define-se aresta como segmento de reta em que duas faces se encontram.

Define-se vértice como ponto no qual três ou mais arestas se encontram.

Sugestão de atividadeO que se parece com uma esfera, um cubo, um paralelepípedo, cilindro

etc.?

Cada criança deverá trazer de casa objetos que se pareçam com o sólido determinado pela professora. Poderá ser feita uma exposição e uma lista

146

com todos os objetos, ilustrada por figuras recortadas, que será afixada pró-xima à exposição.

Montagem de um cubo ou outros sólidos por meio de moldes.

As crianças poderão trazer embalagens de papel ou papelão para indi-car as formas geométricas. Essas embalagens serão desmontadas e coladas em uma folha à parte.

Moldar sólidos com massinha ou argila, de acordo com as orien-tações do professor, expondo-os ao final.

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SimetriaUma figura mantém a sua forma e o seu tamanho quando sobreposta ou

quando dividida por uma reta em duas partes iguais que poderão ser superpos-tas. Nesses casos, a simetria ocorre com relação a um eixo.

Atividades de simetria são indicadas para auxiliar nas habilidades espaciais, na discriminação visual, na percepção de posição e de que a forma de uma figura não depende de seu tamanho ou de sua posição.

Um eixo de simetria divide uma figura em duas partes iguais. O quadrado, por exemplo, tem 4 eixos de simetria. O losango é uma figura simétrica porque apresenta eixo de simetria, o que não ocorre com o trapézio.

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Sugestões de atividades

Caminhos do rei

O professor divide a classe em dois grupos e, com giz ou fita adesiva, traça duas linhas no chão, uma ao lado da outra, como se fosse uma rua. Cada grupo de crianças fica em um dos lados da rua, um em frente do outro. Em seguida, o professor conta uma história:

– Era uma vez um rei que ia visitar uma cidade. Ele ia passar por uma rua da cidade, entre os riscos do chão. Como era muito exigente, desejava que os dois lados da rua estivessem arrumados do mesmo modo, ou seja, tudo o que estivesse de um lado da rua também deveria estar do outro. Como as pessoas da cidade poderiam satisfazer o rei?

O professor deixa os alunos discutirem como farão a arrumação e, quando eles tiverem resolvido esse primeiro problema proposto, ele apresenta um novo desafio:

– O exigente rei não ficou satisfeito, resolveu que tudo o que estivesse de um lado deveria estar do outro, mas como se um lado fosse a imagem do outro no espelho. Como as pessoas da cidade poderão atender aos desejos de tão exigente rei?

Nessa segunda fase, além das próprias crianças, podem ser utilizadas em-balagens, blocos de construção e outros materiais para que os alunos discu-tam como atender às exigências do rei.

Concluída a atividade, deve haver uma conversa sobre como ter certeza de que o rei foi atendido e também é interessante pedir aos alunos que, por meio de desenhos, registrem o que fizeram na atividade.

Simetria e formas geométricasRecortar figuras geométricas e dobrá-las ao meio quantas vezes forem neces-

sárias para se descobrir se há ou não eixos de simetria no quadrado, no retân-gulo, no triângulo etc. Depois, as crianças deverão desdobrar e traçar a lápis os eixos marcados pela dobradura e formar um painel.

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Construindo um copinho com dobraduras

1.° passo:Recorte um quadrado de papel.Dobre ao meio, seguindo a linha tracejada.

Ficará assim:

2.° passo:Dobre as pontas, seguindo as linhas tracejadas, sobrepondo-as.

3.° passo:Dobre as duas partes de cima, uma para a frente e a outra para trás.

4.° passo:Abra e obterá o copinho.

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Investigando geometria: aprendizagens de professoras da Educação Infantil

(LAMONATO, 2009)

A presente pesquisa tem sua origem na prática docente da pesquisadora e nos estudos que indicam a ausência do ensino da geometria na Educação Básica, bem como nas pesquisas que apontam para as possibilidades forma-tivas da investigação matemática no ensino de matemática e naquelas que especificamente consideram a geometria como campo privilegiado para a exploração e a investigação. Objetivou-se investigar os conhecimentos re-velados por quatro professoras que ensinam matemática para crianças de seis anos que cursam a Educação Infantil, tendo como foco os momentos nos quais tais professoras envolvem-se em atividades exploratório-investi-gativas de geometria, discutem sobre o ensino deste campo da matemática, elaboram tarefas a serem implementadas em suas salas de aula, realizam a ação pedagógica e refletem sobre a ação pedagógica. Além disso, buscou-se investigar as possibilidades formativas das atividades exploratório-investi-gativas na constituição e ressignificação do conhecimento do professor e as possibilidades de tais atividades no ensino de matemática para crianças de seis anos a partir das ações desenvolvidas pelas professoras participantes.

A pesquisa tem abordagem qualitativa cujos referenciais teóricos são fun-damentados nas pesquisas que tratam do conhecimento do professor, con-siderando o aprender a ensinar como um processo contínuo, influenciado por diversas fontes e nos estudos sobre as atividades exploratório-investiga-tivas no ensino de matemática. Os dados empíricos provêm de um curso de formação contínua e são constituídos de: diário de campo da pesquisadora, registros escritos das professoras, gravações em vídeo e respectivas trans-crições referentes aos encontros realizados no referido curso, onde a pes-quisadora atuou também como formadora. A análise procedeu a partir de três eixos: o lugar ocupado pela geometria, as atividades exploratório-inves-tigativas e o conhecimento do professor e a reconstrução de conhecimentos profissionais no repensar da prática pedagógica. Na análise, confirmou-se que a geometria não é um campo da matemática regularmente presente no trabalho das professoras em consequência de suas experiências na for-

Texto complementar

150

mação e no seu trabalho profissional. Durante as atividades realizadas pelas professoras ao aprender geometria no contexto da exploração-investigação matemática foi possível perceber um estranhamento inicial com tarefas de caráter aberto e a evolução para uma postura questionadora e argumentati-va. Também foram evidenciados elementos relacionados à importância das tarefas no desenvolvimento da atividade. O repensar da prática pedagógica em decorrência das atividades desenvolvidas e dos momentos formativos de reflexão compartilhada possibilitou ressignificações sobre como a geo-metria é entendida no início da Educação Básica, estando além das formas geométricas e abrangendo noções espaciais e representações do espaço. Além disso, culminou em reelaborações do conhecimento pedagógico do conteúdo, indicando possibilidades da exploração-investigação matemá-tica no ensino de matemática para crianças de seis anos, apontando para mudanças nas atitudes do professor ao assumir uma postura instigadora e questionadora, levando desta forma as crianças a também questionarem e justificarem suas hipóteses, em uma atividade conjunta entre professor e alunos. As ações desenvolvidas na sala de aula pelas professoras participan-tes confirmaram essas possibilidades, bem como revelaram novas formas de entender as finalidades dos registros das crianças sobre as brincadeiras que realizam.

(LAMONATO, Maíza. Investigando Geometria: aprendizagens de professoras da Edu-

cação Infantil. Disponível em: <http://biblioteca.universia.net/ficha.do?id=36526745>.

Acesso em: mar. 2009.)

Dicas de estudoDonald no País da Matemágica. É um filme antigo, dublado, muito bom e bonito

que explica de forma simples a presença dos elementos da matemática na na-tureza. O pato Donald entra no país da matemágica, onde os números caem de uma cascata como se fossem peixes e o espírito da aventura matemática convida Donald a fazer uma viagem à Grécia Antiga para se encontrar com Pitágoras, o pai da Matemática e da Música e começa a contar as descobertas de Pitágoras.



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Atividades1. De acordo com Smole (2003), a percepção do espaço é marcada por etapas

essenciais, o que explica o motivo pelo qual, na Educação Infantil, a geome-tria não pode ser estática e nem se restringir às atividades de identificação de figuras geométricas. Explique que etapas são essas.

2. Na Educação Infantil, a geometria não está restrita à nomeação de figuras; está voltada para o desenvolvimento das competências espaciais das crian-ças. Como se dá o desenvolvimento da noção de espaço?

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3. As figuras planas que apresentamos às crianças chamam-se polígonos. Os polígonos são identificados pelo número de lados ou ângulos que possuem. De acordo com as características apresentadas, complete a cruzadinha.

a) 4 lados, 1 par de lados paralelos, 4 ângulos; os lados paralelos recebem os nomes de base maior e base menor.

b) 3 lados, 3 vértices, 3 ângulos.

c) 4 ângulos retos, 2 pares de lados paralelos, 4 lados iguais.

d) 4 lados, 4 vértices, 2 pares de lados paralelos de mesma medida e 4 ângu-los iguais, dois a dois.

e) 6 lados, 6 ângulos.

f) 4 lados iguais, 2 pares de lados paralelos, 4 ângulos, dois a dois.

P

a) E

b) N

T

c) A

d) G

e) O

N

f ) O



153

No quintal a gente gostava de brincar com palavras

Mais do que de bicicleta.

Principalmente porque ninguém possuía bicicleta.

A gente brincava de palavras descomparadas. Tipo assim:

O céu tem três letras

O sol tem três letras

O inseto é maior.

O que parecia um despropósito

Para nós não era despropósito.

Porque o inseto tem seis letras e o sol só tem três

Logo o inseto é maior. (Aqui entrava a lógica?)

Manoel de Barros

O ensino da matemática se constitui de uma linguagem científica vol-tada para a escrita. Para que as crianças possam construir um significa-do científico, é necessário e importante utilizar-se da linguagem natural, trazida da vivência social, sob a forma oral, pelas crianças da Educação Infantil. A criança enuncia a sua linguagem e, mesmo que esta não siga as regras da linguagem escrita e mesmo não escrevendo como se fala, o significado não se altera. Então, o professor precisa trabalhar de forma complementar, em parceria, utilizando-se da linguagem natural e da lin-guagem matemática, não sobrepondo essas linguagens, mas apoiando os pontos em comum dos componentes curriculares.

A linguagem natural permite interpretar o que se lê, como os enuncia-dos e os comentários sobre os enunciados. A linguagem usual liga a ideia matemática às suas representações para que haja relações, pensamento, palavra, escrita e interpretação. A criança não pode sentir medo de errar. Porém, as operações, em sua forma matemática, não têm equivalência na linguagem natural como, por exemplo, os termos quociente, fração, fator ou função.

A matemática e a leitura

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A linguagem matemática não pode ter dubiedade e por isso ela é o máximo da valorização da escrita. Ao longo dos séculos, a escrita e os sistemas de repre-sentação tentaram ampliar a capacidade de memória e diminuir a quantidade de símbolos.

Por outro lado, a linguagem matemática não é frequente fora da sala de aula, na vida social das crianças, e é por isso que o professor precisa articular a lingua-gem matemática, tornando-a útil, necessária e com sentido.

O trabalho do professor deve estar voltado não só para o processo da es-crita e da representação, a elaboração dos símbolos e o esclarecimento de regras, mas também para o raciocínio e a linguagem oral, compreendendo que os erros fazem parte do processo de aprendizagem e que as noções matemá-ticas são construídas por meio de constantes elaborações e reelaborações do pensamento.

Há algumas formas de propiciar a relação entre matemática e língua, como o uso de jornal, resolução de problemas, elaboração de textos, poesia ou literatura infantil – sendo a literatura infantil uma prática pedagógica aberta, atual, e que à criança parece um jogo, algo a ser inventado. Então, a criança imagina e cria a partir de imagens visíveis. A conexão da literatura infantil com o ensino da matemática rompe com o ensino tradicional, pois as crianças podem explorar a matemática e a história ao mesmo tempo. A história torna-se um elemento facili-tador para a aprendizagem e as habilidades matemáticas. Pode-se entender que essa conexão relaciona as ideias matemáticas à realidade, às demais disciplinas, às várias representações de conceitos, à exploração e à descrição de problemas e seus resultados ou representações gráficas, numéricas, físicas e verbais. A fanta-sia, pela própria força da literatura, não faz parte da conexão, fica fora da aula.

As atividades de interpretação e comunicação refinam a organização do pen-samento na solução de problemas matemáticos, desenvolvendo um melhor sig-nificado matemático. Considerando, então, que a leitura é simbólica e deve ser decodificada corretamente, significa que o ato de ler é um ato de construção que possibilita a relação com a realidade do mundo que cerca as crianças.

De acordo com Jolibert (2008) ler e escrever na vida cotidiana significa cons-truir o sentido de um texto, para compreendê-lo ou fazer-se compreender por meio da escrita. É desde a Educação Infantil, “viver em textos”, levar a criança a aprender a construir significação para um texto. É ler e produzir “de verdade”.Para essa autora, do ponto de vista intelectual, ler e escrever é



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[...] uma atividade de resolução de problemas, isto é, de tratamento, através da inteligência, de um conjunto complexo de informações (índices) que devem ser recolhidas pelo leitor ou emitidas pelo produtor. Para construir o sentido do texto, o leitor ou o escritor devem ligar entre si todos os tipos de índices percebidos (contexto, tipo de texto, léxico, atributos gramaticais significativos, palavras, letras etc) e elaborar a partir deles um conjunto coerente que tenha sentido e que responda à finalidade de seu projeto e ao que nele está em jogo.

Assim, todo ato de produção será único, singular. Envolve uma relação entre o leitor e o autor, envolve um processo, uma reflexão.

A literatura infantil e a resolução de problemas em matemática

A resolução de problemas é uma metodologia de trabalho. A literatura infan-til sendo explorada pela metodologia da resolução de problemas é um recurso rico para ser utilizado com essa finalidade.

Por meio da literatura, durante a leitura, os problemas devem ser propostos e resolvidos pelas crianças sem medo de errar. O contexto deve possuir múlti-plas possibilidades de exploração, que propiciem a capacidade de interpretação, aprendizagem de conceitos novos a partir do que já foi aprendido, o diálogo, a criticidade e a transferência desse processo para outras situações de resolução de problemas.

A conexão da matemática com a literatura infantil por meio da resolução de problemas permite às crianças e ao professor a utilização de recursos como o desenho, a oralidade e a dramatização, que irão trazer a multiplicidade de signi-ficações do contexto.

Para escolher a literatura a ser conectada à matemática, o professor precisa gostar de ler e ter em mãos os livros com os quais possa trabalhar, conhecendo a história e as ilustrações – que muitas vezes sugerem a exploração de outros temas. O professor precisa ter objetivos claros em relação ao livro escolhido. Os alunos precisam conhecer a história e se interessar por ela.

As representações pelo desenhoO desenho é uma representação do real. A utilização de símbolos e represen-

tações é uma abertura para a vida intelectual. No ato de desenhar, as operações mentais relacionam o pensar e o fazer. Como expressão do pensamento por

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meio do desenho, conquistam-se novas formas com o crescimento da criança. Como linguagem, precisa conquistar um vocabulário cada vez mais amplo sem perder a intensidade e a certeza de seu traço.

Uma proposta de atividade experimental deveria ser o jogo de amarelinha com as crianças. Esse jogo envolve noções espaciais e numéricas. Eles poderão brincar na prática e registrar em forma de desenho, ao longo de um determina-do tempo, a fim de comparar e constatar a sua evolução. Obviamente, a interpre-tação verbal também deve ser realizada.

Ao ouvir as falas espontâneas das crianças sobre seus desenhos, deve-se cuidar para não subjugar o desenho e sua explicação. Esse cuidado garante à criança o pleno desenvolvimento de sua expressão pictórica no trabalho com a matemática.

O ato de desenhar é considerado como solução de um problema. A criança reconhece e interpreta os dados do enunciado.

Abaixo, vão dois exemplos de problemas a serem propostos para se obter uma resposta pelo desenho.

Dia 3 de junho foi a festa junina da escola. Nesse dia, mamãe aprontou mi- �nha roupa e pendurou-a em um cabide. Quase na hora da festa, fui tomar banho e quando já estava ensaboada a água do chuveiro acabou. O que posso fazer?

Uma menina trouxe 10 bichinhos de borracha para a escola. Levou-os ao �parque e perdeu três na areia. Com quantos bichinhos ficou?

Algo importante a ser considerado é o processo de mudança evolutiva dos desenhos e da fala entre os objetos do desenho. Quando isso acontece, indica a compreensão da capacidade da criança para lidar com os símbolos.

O uso de desenhos na resolução de problemas nos permite ver como cada criança organiza seu raciocínio e busca uma solução.

O que esperar dos desenhos das criançasAs mudanças dos desenhos das crianças parecem refletir a maturação do cé-

rebro e dos músculos (KELLOGG,1970). As crianças de dois anos produzem as garatujas, ou seja, rabiscos, linhas geralmente verticais; os desenhos denotam



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o movimento feito por elas sobre a folha de papel. Por volta dos três anos já desenham formas, círculos, quadrados, triângulos, retângulos, cruzes etc. A fase pictórica se inicia geralmente aos quatro ou cinco anos.

Observações na leitura pictórica da resolução dos problemas

Muitas crianças podem representar os elementos pertencentes aos proble-mas em suas soluções desenhadas – porém, elementos que não estejam no pro-blema em si poderão estar presentes.

As cores poderão ser outro critério para serem aceitas as respostas ao proble-ma proposto ou ainda podemos ter representações esquemáticas aceitas como desenhos complementares à solução do problema. Quando ocorre a percepção da dificuldade de desenhar, isso leva a uso de símbolos mais sofisticados. Esse processo é decisivo para a construção das representações. Outras observações são importantes, conforme abaixo.

Com o passar do tempo, formas sensíveis e elaboradas de raciocínio, poder de análise e avaliação dos resultados podem surgir, demonstrando confiança nas suas soluções.

Aos problemas propostos por meio de questionamentos e diálogos, as crian-ças podem reagir por uma preferência pela representação pictórica somada à oralidade. Nesse caso, o professor pode ficar convicto da manifestação da inteli-gência da criança em recorrer não somente à linguagem pictórica.

A explicação oral das representações pictóricas pode ser mais significativa �do que o próprio desenho da criança.

Representações confusas mostrarão uma tentativa frustrada de resolver o �problema, tanto no desenho quanto na oralidade.

A partir dessas observações, pode-se optar pelo modelo de múltiplas inteli-gências, pois ficam visíveis a manifestação das competências e a possibilidade do professor organizar um espectro de equilíbrio, buscando estratégias para au-xiliar as crianças a avançarem em seus próprios conhecimentos.

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O que matemática tem a ver com leitura?(FERREIRA, 2004)

Assim como na maior parte das avaliações internacionais de práticas e condições de leitura de uma população ou de grupos sociais, também na composição da pesquisa do Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional (INAF) foram introduzidos instrumentos para aferir habilidades matemáti-cas de uso cotidiano dos jovens e adultos brasileiros. A preocupação com tais habilidades sugere uma compreensão mais ampla das demandas e das oportunidades com que se defrontam os que vivem em sociedades regidas pela cultura escrita. Os resultados de pesquisas como a do INAF nos ajudam a conhecer melhor as possibilidades e os desafios da população na mobi-lização de conceitos, procedimentos e critérios matemáticos para a com-preensão do mundo em que vive e para a resolução de seus problemas. A análise desses resultados pode produzir, ainda, indicações importantes para orientar um trabalho pedagógico voltado para a ampliação das práticas e das condições de letramento dos estudantes.

Informações sobre o índice de analfabetismo da população que se restrin-gem à apuração de quantas pessoas são capazes de “ler e escrever um bilhe-te simples”, embora relevantes, são insuficientes. Com efeito, as práticas de leitura demandadas pelas sociedades que se pautam na cultura escrita são muito mais amplas, diversificadas e complexas do que um “bilhete simples”. Por isso, tornou-se necessário investigar com mais cuidado o fenômeno do alfabetismo, para que se pudesse conhecer um pouco melhor as condições e os recursos de que as pessoas dispõem para enfrentar as demandas de seu cotidiano e identificar contribuições que a escola poderia prestar para a de-mocratização das relações da população com o mundo da escrita.

É nessa perspectiva que o Instituto Paulo Montenegro e a Ação Educativa realizam, desde 2001, uma pesquisa anual para a construção do Indicador Nacional de Alfabetismo Funcional, o Inaf. Não se trata, entretanto, de uma pesquisa escolar como o Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb) ou o Exame Nacional do Ensino Médio (Enem). A pesquisa do INAF é realizada por entrevistadores do Ibope, que se dirigem aos domicílios dos sujeitos (de uma amostra representativa da população brasileira na faixa etária entre 15

Texto complementar



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e 64 anos, composta de 2 000 pessoas, estudantes ou não) para aplicar oral-mente um questionário e um teste.

Nos anos ímpares, o teste contém tarefas relacionadas a contextos e obje-tivos práticos de leitura e escrita, provocadas por uma revista de variedades criada especialmente para esta pesquisa. As perguntas do questionário, por sua vez, visam compor o histórico familiar e educacional dos respondentes, e realizar um levantamento relativamente amplo de suas condições de acesso e uso de diversos bens materiais e culturais e de suas práticas de leitura e escrita.

Nos anos pares, entretanto, o teste propõe aos entrevistados tarefas que simulam situações da vida cotidiana em que os sujeitos se veem obrigados a mobilizar habilidades matemáticas, tais como leitura e escrita de números e de outras representações matemáticas de uso social frequente (gráficos, tabelas, escalas etc.), ou como a análise ou a solução de situações-problema envolvendo operações aritméticas simples (adição, subtração, multiplica-ção e divisão), raciocínio proporcional, cálculo de porcentagem, medidas de tempo, massa, comprimento e área.

Essas situações de leitura, análise e cálculo são propostas oralmente pelo entrevistador, que recorre, ainda, à manipulação de suportes conhecidos da população em geral, tais como calendário, cédulas e moedas, folhetos de propaganda, jornal, mapa e aparelhos simples de medida (relógio, fita mé-trica, régua).

A resposta produzida pelo entrevistado é também comunicada oralmen-te ou mesmo utilizando recursos gestuais (apontar, por exemplo); uma única questão exige uma produção escrita (anotar o número de um telefone). O entrevistado pode, entretanto, na execução das tarefas, lançar mão de recur-sos como lápis e papel e calculadora, que ficam à sua disposição durante a entrevista.

Também no questionário que é aplicado nas edições do Inaf que contem-plam as habilidades matemáticas foram acrescentadas algumas questões relativas às oportunidades e demandas de utilização de conceitos, procedi-mentos e mídias mais relacionados à matemática.

Por trás da decisão de incluir uma avaliação de habilidades matemáti-cas num indicador voltado para o letramento, está a consciência de que os

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modos de produzir, organizar, registrar e avaliar o conhecimento, nas socie-dades grafocêntricas, são regidos por critérios estreitamente relacionados à quantificação, à ordenação, à mensuração e à classificação, que, assim, per-meiam os textos e as práticas de leitura com os quais a maior parte das pes-soas se envolve cotidianamente.

Nesse sentido, as condições de letramento incorporam o que se tem chamado de condições de numeramento1, que se volta para as práticas so-ciais que mobilizam conhecimentos associados aos números, às medidas, ao espaço e às formas, e às representações por meio de gráficos, tabelas ou diagramas.

O brasileiro é “bom de matemática”?

Os resultados do Inaf – habilidades matemáticas devem ser analisadas pelo que revelam das condições de que o sujeito dispõe para compreender e/ou resolver situações do dia a dia, e não como uma avaliação de compe-tências relacionadas à matemática escolar.

Estamos acostumados a ouvir pessoas dizerem, até sem muito constran-gimento, que “não sabem nada de matemática”. Essa declaração, em geral, não corresponde exatamente à verdade; está menos relacionada às ativi-dades que a pessoa desenvolve no seu dia a dia do que a uma dificuldade com a formalização da Matemática que se ensina na escola e ao insucesso nas avaliações dessa disciplina – que pode levar muitas pessoas a evitarem se dedicar a tarefas de cálculo que se aproximem daqueles conhecimentos escolares. Os resultados do Inaf, entretanto, apontam um índice de 2% para o “analfabetismo matemático” da população brasileira com idade entre 15 e 64 anos, o que poderia parecer relativamente pequeno se comparado ao folclore sobre a incompetência em Matemática instalado no discurso de tanta gente. Mas se pensarmos que esse grupo reúne pessoas que não de-monstram dominar sequer habilidades matemáticas mais simples, como ler o preço de um produto numa propaganda ou anotar um número de telefone ditado por alguém, esse índice pode se revelar alarmante, considerando a si-tuação de exclusão a que a incapacidade de sequer ler um número condena milhares de pessoas neste país.

1 O termo numeramento tem sido utilizado em diversos trabalhos, com conotações variadas, mas sempre remetendo à abordagem de prá-ticas e conhecimentos matemáticos relacionados a práticas sociais. A pluralidade do numeramento reflete a diversidade de práticas sociais que envolvem quantificação, medição, ordenação e classificação em contextos específicos, estreitamente ligados aos valores socioculturais que permeiam essas práticas.



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Há ainda outros 29% que apresentam um nível de habilidade matemática bastante elementar, mas dos quais não se pode dizer que não saibam “nada de matemática”: são capazes de ler números de uso frequente em contextos específicos (preços, horários, números de telefone, instrumentos de medida simples, calendários), mas encontram muitas dificuldades em resolver pro-blemas envolvendo cálculos, em identificar relações de proporcionalida-de ou em compreender relações métricas ou representações matemáticas como tabelas ou gráficos.

A tomar pelos resultados do INAF, a maior parte dos brasileiros jovens e adultos (46%) já demonstra dominar completamente a leitura dos números naturais, independente da ordem de grandeza, são capazes de ler e com-parar números decimais que se referem a preços, contar dinheiro e “fazer” troco. Também são capazes de resolver situações que envolvem operações (de adição, subtração, multiplicação e divisão), mas só aquelas em que um único cálculo é necessário. Esse grupo consegue identificar a existência de relações de proporcionalidade direta (entre preço e qualidade de produtos, por exemplo) e de proporcionalidade inversa (como entre o número de pres-tações e o valor da prestação), mas ainda apresenta dificuldades na resolu-ção de problemas que envolvem cálculos com essas relações.

Desse modo, os resultados do Inaf 2004 indicam que apenas 23% da po-pulação jovem e adulta brasileira é capaz de adotar e controlar uma estraté-gia na resolução de um problema que envolva a execução de uma série de operações, inclusive cálculo proporcional. É ainda mais preocupante a reve-lação de que, somente nesse grupo, encontram-se os sujeitos que demons-tram certa familiaridade com medidas usuais de comprimento, área, massa e capacidade e com representações gráficas como mapas, tabelas e gráficos.

O papel da escola

Se os resultados do Inaf revelam que a escolaridade é a variável que mais influencia o desempenho dos sujeitos no teste, não se pode, porém, deixar de identificar certos desvios na relação entre a escola e a constituição de leitores – e, em especial, em relação à capacidade de seus alunos de mobili-zar conceitos e procedimentos matemáticos para apreciar e compreender o mundo e resolver os problemas que a vida em sociedade lhes propõe.

Se as distribuições da população pelos diversos níveis de “alfabetismo matemático” melhora à medida que aumenta o tempo de escolaridade dos

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sujeitos, ainda se flagram, todavia, porcentagens nada desprezíveis de “al-fabetismo matemático” apenas elementar, mesmo entre pessoas com oito anos ou mais de escolaridade.

A identificação das questões com os menores índices de acerto sugere, entretanto, não uma dificuldade para calcular, mas para se elaborarem estra-tégias e se organizar e controlar um plano de execução dos procedimentos para resolver os problemas. Configuram-se como desafios também as tarefas que supõem certa intimidade com modos de organizar e divulgar informa-ções, hoje frequentemente utilizados nos meios de comunicação de massa, como gráficos, tabelas, índices e dados percentuais.

Essas dificuldades devem ser tomadas como alertas pela escola sobre a necessidade de se desviar o foco de uma abordagem ainda excessivamente preocupada com as técnicas de cálculo, para a construção de espaços de dis-cussão de estratégias diversas de resolução de problemas que, contemplan-do questões do cotidiano – não como um reducionismo, mas justamente em sua complexidade e multiplicidade de fatores e expressões envolvidas – possa revelar possibilidades, e também limites, dos instrumentos e dos cri-térios matemáticos para se compreender o mundo... e transformá-lo.

Dicas de estudoSMOLE, Kátia Cristina Stocco. A Matemática na Educação Infantil: a teoria das inteligências múltiplas na prática escolar. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.

Neste livro a autora aborda a inteligência como um espectro de competên-cias, seguindo a teoria das inteligências múltiplas de Howard Gardner, e sugere formas e estratégias de desenvolvimento de habilidades a partir do exame das relações da matemática com todas as outras áreas do espectro.

IACOCCA, Liliana; IACOCCA, Michele. Clact... Clact... Clact... São Paulo: Ática, 2000.

Conta a história de uma tesoura que encontra muitos papéis picados e ba-gunçados. Descontente com a qualidade dos recortes e com a desordem dos papéis coloridos, a tesoura resolve arrumá-los e, para isso, utiliza recursos como classificação e montagem de formas geométricas. O trabalho com esse livro pode abordar noções referentes a formas geométricas planas tais como círculo, quadrado, triângulo, trapézio, paralelogramo, além de permitir explorações com mosaicos, composição e decomposição de figuras.



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KOZMINSKI, Edson L. As Três Partes. São Paulo: Ática, 1999.

Conta a história de uma casa que gostaria de ser outras coisas. Para tanto, ela se divide em três partes, que passam a montar novas formas e saem pelo mundo para conhecê-lo, vivendo diferentes experiências e aventuras. A leitura desse livro propicia um trabalho com formas geométricas, sequências, composição e decomposição de figuras e simetria de reflexão.

SALLUT, Elza César. Sabe de Quem era Aquele Rabinho? São Paulo: Scipione, 2006.

O livro conta a história de um elefante que vai viajar e resolve dar uma festa de despedida para os amigos. Na festa eles tiram uma foto de recordação e na revela-ção da foto aparece um rabinho estranho que eles tentam descobrir de quem é.

Atividades1. Qual a vantagem da conexão entre a matemática e a literatura infantil?

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2. Que cuidados o professor deve ter com relação aos registros e relatos das crianças?



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Jogos e brincadeiras para aprender matemática

Importância dos jogosPor meio dos jogos, as crianças exercitam sua inteligência e comparti-

lham experiências, o que ocasiona o desenvolvimento da autonomia e a descoberta das propriedades dos objetos e de suas formas lógicas.

Os jogos não devem ser impostos à criança e acima de tudo eles devem ter qualidade, a qual se refere às potencialidades educacionais e às inten-ções que esses jogos possam oferecer, onde quer que eles se realizem – em casa, na rua, no quintal e na escola.

Segundo Bondioli e Mantovani (1998), o jogo é um fenômeno que, mesmo se manifestando precoce e naturalmente, sofre notáveis varia-ções (de duração, intensidade, articulação), não somente em função de idade mas também do contexto no qual se realiza. A presença ou não do adulto, a presença ou não de outras crianças, a idade do grupo de jogo, o grau de familiaridade com os colegas, a presença ou não de materiais e de suas características são aspectos que influenciam e orientam a qua-lidade do jogo.

Além dos fins educativos, na escola os jogos se tornam mais estimu-lantes e ricos pela oportunidade de interação, o desenvolvimento das ha-bilidades motoras e o contato com materiais e brinquedos de dimensões diferenciadas em relação àqueles encontrados na casa de cada criança. Não é raro que professores de Educação Infantil revelem dificuldades na condução dos jogos infantis. Sendo assim, o professores precisam domi-nar as regras, não devem transmiti-las mecanicamente: devem interagir com as crianças, sempre de forma lúdica e se envolvendo na brincadeira. A condução rígida e a mecânica repetição dos jogos, a ausência de esponta-neidade e de fantasia podem levar a criança ao tédio, à angústia diante do desafio e ao desinteresse. Todo jogo deve ser conduzido e estimulado em um clima tranquilizador e de competência, não deixando de lado as difi-culdades individuais e afetivas das crianças, como o fato de elas estarem separadas da figura materna durante o período que passam na escola. Essas dificuldades devem ser observadas pelos professores.

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Não deve haver medo de intervir na sequência lúdica e nem receio de sobre-por as próprias ideias às ideias das crianças achando que a criatividade infantil será destruída. Quando as crianças estão jogando, não devem ser desperdiçados os objetivos da aprendizagem. O professor deve aproveitar esse momento para inserir a didática. O professor deve ser mediador e, como companheiro, deixar a criança segura e livre para a escolha de temas de jogos ou brincadeiras.

Para entrar no jogo ou brincadeira da criança, o adulto deve fazer de conta que é uma criança da mesma idade que os demais participantes. A criatividade e o humorismo levam o adulto a interagir como criança e com a criança, o que po-tencializa o jogo ou brincadeira, pois o professor introduziria, aos poucos, novos e variados elementos sem alterar a qualidade do jogo.

O professor deve também se redescobrir, reconciliando-se com sua infância, a fim de potencializar a dimensão lúdica com seus alunos.

Jogos em grupoSegundo Kishimoto (1994), o jogo estimula a exploração e a solução de pro-

blemas e, por ser livre de pressões e avaliações, cria um clima adequado para a investigação e a busca de soluções. Em seu livro, a autora cita estudos indicati-vos de que existem quatro valores determinantes da qualidade de um jogo para a sua utilização com crianças:

o valor experimental, que permite a exploração e a manipulação; �

o valor da estruturação, que dá suporte à construção da personalidade �infantil;

o valor de relação, que coloca a criança em contato com o outro; �

o valor lúdico, que estimula o aparecimento da ação lúdica. �

Estrutura de jogos em grupoO jogo deve ter, no mínimo, dois jogadores e conforme o objetivo e a �quantidade de materiais, mais jogadores poderão participar.

Todo jogo deve ter um objetivo a ser atingido por todos os jogadores e, ao �final, um deles poderá ser vencedor ou haverá um grupo de vencedores.



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O jogo deve ser constituído de regras e todos os jogadores deverão con- �cordar com elas sem modificá-las.

O jogo deve conter jogadores que assumam papéis interdependentes, �opostos e cooperativos.

O jogo deve permitir o uso de estratégias, planos, jogadas eficazes. �

A existência de regras é o que caracteriza, especialmente, os jogos em grupo. Segundo Piaget, o jogo em grupo simula as características principais das rela-ções dos indivíduos em sociedade.

Kamii afirma que, após os cinco anos de idade, é natural e saudável o surgi-mento da habilidade de comparação entre os jogadores e também o apareci-mento de tentativas de vencer o adversário. Então, as crianças comparam suas performances, e coordenam, interligam as intenções dos diferentes jogadores. Os jogos em grupo permitem a discussão das condutas e procedimentos, a aná-lise e a reflexão.

O professor deve sempre estar atento, para poder mediar a competição de forma positiva. Então, não se pode supervalorizar o vencedor, porque, se isso acontece, o valor de cooperação acaba sendo sobreposto pela vontade de vencer a qualquer preço.

Quando um tipo de jogo é proposto pela primeira vez, juntamente com suas regras, é natural que as crianças fiquem agitadas.

Tipos de jogos Jogos que envolvem figuras e objetos são comuns para as crianças desenvol-

verem a lógica e o raciocínio espaço-temporal, e para conhecerem os números.

Jogos de cartas É muito popular esse tipo de jogo. Recomenda-se que até três crianças parti-

cipem. Em sala de aula, elas poderão ser divididas em grupos. O professor deverá determinar as regras antes do jogo. E antes de entregar as cartas às crianças ele deve definir quem iniciará a partida.

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Animais

Material: nove conjuntos de quatro cartas de baralhos com figuras de animais.

Para começar, cada jogador receberá sete cartas.

Objetivo: fazer dois conjuntos de três cartas idênticas antes do adversário.

Procedimento: o primeiro jogador começa pegando uma carta, ou do monte de descarte (que neste caso tem apenas uma carta) ou do topo do monte. As cartas restantes serão o monte para comprar, que deverá ser colo-cado com a face para baixo, no meio da mesa. A carta de cima do monte de compra é virada e colocada próximo a ele, com a face para cima, para iniciar o monte de descarte.

A criança tentará fazer um conjunto de três cartas idênticas e então des-carta uma, com a face virada para cima, no monte de descarte.

O jogo continua até que alguém vença, fazendo dois conjuntos de três cartas idênticas.

IESD

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asil

S.A

.

Esse jogo de cartas de animais faz com que a criança desenvolva sua auto-nomia, dividindo entre o grupo quem começa o jogo e se deverá ou não pegar cartas no monte de descarte, e mesmo se descarta o que tem em suas mãos. Muitos níveis de lógica podem ser observados.



173

Outra sugestão muito conhecida e apreciada é o jogo da memória. É o mais fácil dos jogos: as cartas são arrumadas com a face para baixo em carreiras iguais e há o revezamento para virar duas cartas e tentar fazer com que os pares combi-nem – se o par for combinado, o jogador terá direito a tentar mais uma vez.

Batalha

Distribui-se todo um baralho entre duas pessoas. Cada jogador mantém seu monte de cartas virado para baixo, sem olhá-las. Os jogadores devem virar simultaneamente as cartas de cima de seus montes. Aquele que virar a carta de maior número ganha e recolhe para si ambas as cartas. Ganha o jogo aquele que acumular mais cartas. Se houver um empate, os jogadores seguem virando as próximas cartas até que seja feito o desempate. Domina-das as regras do jogo, ele pode ser feito com mais participantes. Nesse jogo, a criança aprende a comparar as quantidades, a verificar quanto um número tem a mais que outro.

Relógio

São dispostas 12 cartas viradas para baixo, formando um relógio. Sugere--se começar com as posições de 12 horas e 6 horas e depois com as cartas na posição de 9 horas e 3 horas. As outras cartas devem continuar sendo coloca-das, uma a uma, sobre as outras, na volta do relógio, até haver quatro cartas em cada uma das 12 posições das horas. As quatro cartas que restarem são colocadas em um monte, no centro do relógio, viradas para baixo. O jogo inicia com a primeira dessas cartas sendo desvirada. Se essa primeira carta for, por exemplo, um 4, o primeiro jogador deve colocá-la ao lado de fora do relógio, na posição 4, que indica 4 horas. O segundo jogador virará a carta da posição 4 e dará continuidade ao jogo. Quando for descoberta uma carta com o rei, essa carta deverá ser colocada no centro do relógio. Aquele que virar o último rei e o colocar dentro do relógio perde o jogo.

Jogos de tabuleiro Os jogos de tabuleiro encorajam as crianças a pensar em estratégias.

174

É necessário um tabuleiro, conforme a figura, um dado de 6 ou 10 lados com pontos ou números, uma ficha para cada jogador.

Os jogadores se revezam lançando o dado e movendo suas fichas com o correspondente número de passos no caminho.

O vencedor deverá alcançar a árvore.

Deve ser escolhida a regra da finalização do jogo: lançando o dado, deve--se conseguir ou o número exato das casas que faltam para terminar o per-curso ou é possível tirar um número igual ou maior.

O jogo da aranha e o tapatan

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.

Material necessário: seis fichas (três de uma cor e três de outra) e os ta-buleiros de cada jogo.

Objetivo: colocar suas fichas em uma linha reta antes do oponente – e, para tanto, uma das três fichas deve estar no centro, de modo a se fazer uma linha reta. No jogo da aranha, cada competidor pega três fichas da mesma cor e as coloca sobre as aranhas mais próximas. O primeiro jogador desliza uma de suas fichas ao longo de qualquer linha, até o próximo ponto vago, e então é a vez de outro jogador.

Pulo do coelho



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No tapatan1, cada jogador também pega três fichas de cada cor, mas tenta ser o primeiro a colocar três em linha horizontal, vertical ou diagonal. Os jogadores se revezam colocando uma ficha de cada vez, nas posições que estiverem vagas. Quando todas as seis fichas estiverem colocadas, os joga-dores se revezam, deslizando-as de um ponto para o próximo ao longo de uma linha. Eles não podem pular sobre uma outra ficha e duas fichas não podem ficar no mesmo ponto.

1 Tapatan é um tradicional jogo filipino para duas pessoas. Para as crianças menores, podem ser adaptadas as regras do jogo da velha. Para as maiores, pode-se jogar à semelhança da trilha, cumprindo uma sequência na colocação das peças no tabuleiro e “comendo” as peças do adversário conforme a posição que se queira tomar.

Jogo da cobra

Deve ser jogado a dois. São necessários dois tabuleiros, dois dados e 24 fichas.

O objetivo é ser o primeiro a cobrir todos os 12 números de sua cobra.

Os jogadores devem se revezar lançando os dados e cobrindo o número de suas respectivas cobras.

Os números do dado devem ser somados ou subtraídos de modo a cobrir os números a partir do seis. Se não houver soma ou diferença a ser coberta dependendo do número obtido, o jogador deverá passar a jogada.

Os jogos de tabuleiro podem ser também criados ou inventados pelo profes-sor a partir de seus objetivos educacionais.

Jogos com alvos

Bolinhas de gude É um bom jogo para contagem e comparação de quantidades. Em uma

área para o lançamento das bolinhas, elas deverão rolar até um limite ou espaço geométrico, desenhado com giz ou feito com fita adesiva. As boli-nhas arremessadas fora do limite poderão ser guardadas pelo jogador e não há necessidade de registro, uma vez que é possível contar essas bolinhas. A ajuda do professor é importante.

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Boliche O professor deve mediar esse jogo diretamente, pois há necessidade de

contagem e registro. Cada jogador usará o mesmo conjunto de garrafas para derrubar, e ele não poderá se perder na contagem individual. A organização das garrafas em fila e a retirada daquelas que foram derrubadas tornam o jogo mais estruturado. As crianças deverão anotar e depois somar o número total de garrafas derrubadas pela bola.

Jogos de esconder O professor esconde objetos que deverão ser encontrados. Jogos como

este incluem a divisão de um conjunto que envolve a adição e a subtração.

Jogo das cinco laranjas

As crianças são divididas em dois grupos. Se um desses grupos encontrar, por exemplo, três laranjas, eles deverão saber quantas laranjas ainda preci-sam procurar.

É importante deixar que as crianças se organizem e dividam as tarefas:

– Quem quer esconder as laranjas?

– Quem quer procurar as laranjas?

Jogos de raciocínio As manifestações de inteligência pessoal por meio de suas respostas a uma

pergunta ou proposta de desafio confirmam a ausência de medo e a autonomia de raciocínio para tirar suas conclusões e até mesmo admitir que está errado.

Isso deve ser observado no decorrer das atividades em sala de aula, a fim de que o professor possa analisar suas ações, estratégias e argumentações, seu poder de negociação com seus alunos. Para que isso aconteça, a oralidade da criança deve ser valorizada.

A relação entre o pensamento e a palavra é um processo vivo; o pensa-mento nasce através das palavras. Uma palavra desprovida de pensamento é uma coisa morta, e um pensamento não expresso por palavras permanece uma sombra (VYGOTSKY, 1989).



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Caça ao tesouro

Objetivos: usar habilidades gráficas para resolver um enigma; criar uma legenda para um mapa.

Principais componentes: uso de estratégia, criação de uma notação eficaz, produção de registros.

Materiais: mapa do tesouro; canetinhas coloridas ou lápis de cor.

Procedimento: explique que esse jogo é disputado por dois jogadores. Cada jogador precisa esconder quatro tesouros na grade do mapa do te-souro e também adivinhar onde o parceiro escondeu seus tesouros. Dê às crianças as grades ou mapas do tesouro em branco e estimule que usem coordenadas para identificar os quadrados.

Deixe as crianças pensarem em quatro tesouros e criarem secretamente uma legenda, desenhando um símbolo simples para representar cada um dos quatro tesouros. Por exemplo, elas podem desenhar um círculo para re-presentar uma moeda de ouro, um diamante para representar um anel de diamante, um triângulo para representar um ursinho de pelúcia e um qua-drado para representar um presente. Os parceiros devem dizer um ao outro os nomes dos quatro tesouros escolhidos. Se algum dos tesouros for igual, um dos parceiros deverá substituí-lo por um diferente.

As crianças escondem os quatro tesouros em seus mapas. Por exemplo, sem deixar que o parceiro veja, uma criança desenha um dos símbolos no quadrado C4, outro no E5, e assim por diante.

Então elas se revezam tentando adivinhar a localização dos tesouros do parceiro. Cada criança vai registrar os resultados de seus palpites no próprio mapa, usando o sistema que quiser, de modo que no mapa fiquem registra-das duas coisas: sua busca pelo tesouro do parceiro e a localização de seu próprio tesouro. Quanto melhores forem os registros da criança, mais capaz ela será de encontrar os tesouros do parceiro. (Se necessário, ajude as crian-ças a encontrarem uma maneira de registrar seus palpites. Incentive-as a ex-perimentar diversos métodos.)

Se uma criança encontrar um tesouro, ela ganhará outra jogada. O jogo termina quando ambas as crianças tiverem encontrado todos os tesouros.

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A utilização de quebra-cabeças e tangrama podem ser outras opções de jogos que desafiam o raciocínio das crianças.

Algumas considerações Para que haja autonomia em uma atividade matemática, o professor deve

motivar as crianças e encorajá-las a terem pensamento próprio para a resolução de problemas. Folhas para a notação de respostas ou resultados contendo adesi-vos ou carinhas risonhas fazem as crianças se sentirem melhor: elas se envolvem e assim tentam melhorar sempre.

Os jogos e os seus níveis de problematização deverão ser aplicados no nível apropriado às crianças. Perguntas desafiadoras são motivantes.

Texto complementar

Por que se brinca na pré-escola? (WAJSKOP, 2001)

[...]

Uma perspectiva sóciocultural

Se a criança está imersa, desde o nascimento, em um contexto social que a identifica enquanto ser histórico e que pode por este ser modificado é im-portante superar as teses biológicas e etológicas da brincadeira que ideali-zam a criança e suas possibilidades educacionais.

A criança desenvolve-se pela experiência social, nas interações que es-tabelece, desde cedo, com a experiência sócio-histórica dos adultos e do mundo por eles criado. Dessa forma, a brincadeira é uma atividade humana na qual as crianças são introduzidas constituindo-se em um modo de assimi-lar e recriar a experiência sociocuItural dos adultos.

Essa definição de brincadeira, como atividade social específica e funda-mental que garante a interação e construção de conhecimentos da realidade pelas crianças, é que nos faz estabelecer um vínculo com a função pedagó-gica da pré-escola.



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Nessa perspectiva, a brincadeira encontraria um papel educativo impor-tante na escolaridade das crianças que vão se desenvolvendo e conhecendo o mundo nessa instituição que se constrói a partir exatamente dos intercâm-bios sociais que nela vão surgindo: a partir das diferentes histórias de vida das crianças, dos pais e dos professores que compoem o corpo de usuários da instituição e que nela interagem cotidianamente.

Atualmente, desenvolve-se um debate em nível internacional e brasileiro sobre a função das instituições coletivas infantis, incluindo aí creches e pré--escolas, buscando superar a dicotomia entre socialização-escolarização e brinquedo-trabalho. Neste debate busca-se integrar cuidado e educação em ações educativas que levem em conta o desenvolvimento infantil e a cultura de origem de cada criança; a instituição deve situar-se no âmbito de uma política socioeducativa de apoio à família, partilhando com esta seus projetos educa-tivos; a socialização deve ter um espaço fundamental nos objetivos da institui-ção, garantindo a inserção da criança na cultura adulta e inserindo os pais e a comunidade na educação institucional; trabalho e brincadeira são concebidos enquanto práticas sociais, complementares, na infância. O direito à infância é, nesta discussão, prioritariamente, o direito ao não trabalho, característico da brincadeira e que se constitui como o espaço que fornece a possibilidade da construção de uma identidade infantil autônoma, cooperativa e criativa.

A criança que brinca pode adentrar o mundo do trabalho pela via da representação e da experimentação; o espaço da instituição deve ser um espaço de vida e interação e os materiais fornecidos para as crianças podem ser uma das variáveis fundamentais que as auxiliam a construir e apropriar-se do conhecimento universal.

Esta concepção da função da pré-escola, de reflexão e sistematização re-cente é, no entanto, prática ainda nova e ameaçadora para a maioria dos professores, acostumados que foram, nos cursos de formação do magistério, com os exercícios motores de treinos de habilidades e funções cognitivas específicas.

Para que a pré-escola pudesse cumprir com alguns desses objetivos, seria preciso que:

Ampliasse os conhecimentos socialmente constituídos, partindo da- �quilo que as crianças já sabem e tendo como limites apenas suas ne-cessidades cognitivas, em uma perspectiva de aprendizagem.

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Se constituísse em um espaço onde as crianças pré-escolares pudessem �compartilhar e confrontar com outras crianças e com os adultos suas ideias e concepções sobre as relações afetivas, sobre o mundo físico e social através da interação entre si, com a natureza e a sociedade.

Garantisse situações de interação e de aprendizagem de tal forma que �as crianças pudessem desenvolver sua capacidade de autonomia do ponto de vista afetivo, cognitivo e social.

Fosse organizada em torno de um espaço de socialização para crian- �ças, profissionais e pais, inserida em uma política socioeducativa de apoio às famílias.

[...]

Vale acrescentar que entendemos a brincadeira de faz de conta, a brinca-deira protagonizada ou a brincadeira de papéis como a atividade do brincar por excelência. A unidade fundamental dessa brincadeira é o papel que é as-sumido pelas crianças e que revela e possibilita, ao mesmo tempo, o desenvoI-vimento das regras e da imaginação, através de gestos e ações significativas. Outras classificações da brincadeira, de uso corrente na literatura, como brin-cadeiras tradicionais, jogos de regras e jogos de construção, são consideradas como especificações dessa atividade, tendo em vista a origem dessa brinca-deira e as ações específicas das crianças diante dos objetos ou do espaço.

Segundo o psicólogo Vygotsky (1984, p. 117), é na brincadeira que a criança se comporta além do comportamento habitual de sua idade, além de seu comportamento diário. A criança vivencia uma experiência no brin-quedo como se ela fosse maior do que é na realidade. Para este pesquisador, o brinquedo fornece estrutura básica para mudanças das necessidades e da consciência da criança. A ação infantil na esfera imaginativa, em uma situa-ção imaginária, a criação das intenções voluntárias e a formação dos planos de vida real e motivações volitivas aparecem no brinquedo, que se constitui no mais alto nível de desenvolvimento pré-escolar.

É, portanto, na situação de brincar que as crianças se podem colocar de-safios e questões além de seu comportamento diário, levantando hipóteses na tentativa de compreender os problemas que lhes são propostos pelas pessoas e pela realidade com a qual interagem. Quando brincam, ao mesmo tempo em que desenvolvem sua imaginação, as crianças podem construir



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relações reais entre elas e elaborar regras de organização e convivência. Con-comitantemente a esse processo, ao reiterarem situações de sua realidade, modificam-nas de acordo com suas necessidades. Ao brincarem, as crian-ças vão construindo a consciência da realidade, ao mesmo tempo em que já vivem uma possibilidade de modificá-la.

A brincadeira pode ser um espaço privilegiado de interação e confronto de diferentes crianças com diferentes pontos de vista. Nessa experiência elas tentam resolver a contradição da liberdade de brincar no nível simbólico em contraposição às regras por elas estabelecidas, assim como o limite da rea-lidade ou das regras dos próprios jogos aos desejos colocados. Na vivência desses conflitos, as crianças podem enriquecer a relação com seus coetâ-neos, na direção da autonomia e cooperação, compreendendo e agindo na realidade de forma ativa e construtiva.

A brincadeira infantil pode constituir-se atividade em que as crianças, so-zinhas ou em grupo, procuram compreender o mundo e as ações humanas nas quais se inserem cotidianamente. Esta atividade pode ser definida pelos seguintes critérios:

A criança pode assumir outras personalidades, representando papéis �como se fosse um adulto, outra criança, um boneco, um animal etc.

A criança pode utilizar-se de objetos substitutos, ou seja, pode conferir �significados diferentes aos objetos, daqueles que normalmente estes pos-suem.

Existe uma trama ou situação imaginária. �

As crianças realizam ações que representam as interações, os sentimen- �tos e conhecimentos presentes na sociedade na qual vivem.

As regras constitutivas do tema que orienta a brincadeira devem ser res- �peitadas.

Vygotsky considera que a brincadeira cria para as crianças uma “zona de desenvolvimento proximal” que não é outra coisa senão a distância entre o nível atual de desenvolvimento, determinado pela capacidade de resolver independentemente um problema, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da resolução de um problema sob a orientação de um adulto ou com a colaboração de um companheiro mais capaz. Ainda segun-

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do esse autor, a brincadeira possui três características: a imaginação, a imita-ção e a regra. Estas características estão presentes em todos os tipos de brin-cadeiras infantis, sejam elas tradicionais, de faz de conta, de regras e podem aparecer também no desenho, considerado enquanto atividade lúdica. Cada uma dessas características pode aparecer de forma mais evidente ou em um tipo ou outro de brincadeira, tendo em vista a idade e a função específica que desempenham junto às crianças.

Dicas de estudo KAMII, Constance; HOUSMAN, Leslie B. Crianças Pequenas Reinventam a Arit-mética: implicações da teoria de Piaget. Porto Alegre: Artmed, 2002.

Neste livro elas reúnem vários exemplos de jogos para a Educação Infantil e séries iniciais.

KISHIMOTO, Tizuko. Jogo, Brinquedo, Brincadeira e a Educação. São Paulo: Cortez, 1994.

Ela é coordenadora do laboratório de brinquedos e materiais pedagógicos da USP. Este livro reúne nove artigos de especialistas no tema e auxilia o professor que usa o jogo como elemento didático, como um guia.

Atividades 1. Segundo Kishimoto, o jogo estimula a exploração e a solução de problemas

e, por ser livre de pressões e avaliações, cria um clima adequado para a in-vestigação e a busca de soluções. Quais os quatro valores determinantes da qualidade de um jogo para sua utilização com crianças?



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2. Cite algumas características de jogos em grupo.

3. Os jogos que envolvem figuras e objetos desenvolvem que tipo de habilidade?

Pedagogia de projetos didáticos: ideias para a Matemática

Pedagogia de projetosA fim de aprofundar um conteúdo ou assunto como importante recurso

junto ao currículo de Educação Infantil, podem ser utilizados projetos que venham a oportunizar a integração de conteúdos e habilidades – incorpo-rando a aprendizagem formal, considerando aspectos culturais, científicos e matemáticos, e possibilitando a tomada de decisão e o fortalecimento do vínculo entre as crianças e a escola. Os projetos bem planejados e bem desenvolvidos tornam mais satisfatória a aprendizagem, levando as crian-ças a usar suas emoções junto com o raciocínio, e facilitando o trabalho de alfabetização e letramento. Esses projetos devem fazer com que a criança seja motivada a usar suas habilidades e que peça ajuda. O envolvimento deve ser ativo e interativo. Para a elaboração de um bom projeto, com boa estrutura e boa fundamentação, alguns princípios são relevantes, confor-me abaixo:

Considere a variedade de interesses das crianças e o quanto esses �interesses vão integrar o aprendizado, avaliando e definindo os ma-teriais acessíveis e adequados a todos, bem como o local ou espaço a ser utilizado.

Considere o tempo e o prazo de aplicação, focalizando as metas. �

Preveja as dificuldades por inabilidade, inaptidão ou motivos inte- �lectuais (análise, aprendizagem etc.).

Estratégias para otimização dos projetos:

Determine com as crianças o objeto de investigação sobre o tema �central.

Propicie que as crianças falem de seus sentimentos e das sensações �experimentadas com suas descobertas ao longo do desenvolvi-mento do projeto.

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Direcione o projeto à comunidade para envolver as experiências locais e �culturais das famílias em relação ao ambiente em que vivem.

Fortaleça as aptidões intelectuais para a teorização, a análise, a praticida- �de e a busca de soluções para as questões investigadas.

Propicie que os problemas sejam resolvidos e socializados, visando à inte- �ração com responsabilidade.

Oportunize a participação dos pais. �

Aprofunde a leitura e a escrita por meio da investigação do assunto. �

Sustente o desenvolvimento do conhecimento, das habilidades e apti- �dões das crianças.

Além disso, na execução dos projetos, fica explícita a possibilidade de mobi-lizar diferentes áreas do conhecimento para atingir os objetivos traçados e re-solver os problemas que surgem. E também, por meio de um projeto, as noções matemáticas surgem simultaneamente às noções de outras áreas. Diversos temas podem se inserir na área matemática. Por exemplo, se um projeto envolve a construção de pipas, as formas geométricas e as relações de tamanho podem ser estudadas. Se o que se está investigando é sobre os animais, o tempo de vida (quantidade), o tempo de gestação (quantidade) e a quantidade de filhotes podem ser estudados, incluindo a representação por meio de gráficos de barras ou colunas.

A seguir, alguns exemplos de projetos que podem ser trabalhados, envolven-do noções matemáticas e de outros campos do conhecimento.

Projeto para horta: envolve contagem e noções de área e comprimento �(Matemática, Artes, Ciências e Alfabetização).

Projeto para confecção de maquetes: envolve noções espaciais, identi- �ficação de sólidos geométricos, comparação de tamanhos (Matemática, Artes, História, Geografia e Alfabetização).

Projeto para brincar com números: envolve identificação de algarismos, �discussão sobre os múltiplos usos sociais dos números, noções de quanti-dade (Matemática, Alfabetização, História e Geografia).



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Projeto quebra-cabeçasAs cores, a variedade das peças e o desafio da montagem atraem as crianças

para a manipulação das peças de um quebra-cabeça. A visualização, o reconhe-cimento das figuras, a análise das características, a composição e a decomposi-ção das figuras, a posição, as distâncias, o vocabulário geométrico e a organi-zação do espaço fazem parte do desenvolvimento das habilidades espaciais e geométricas. Enquanto tenta montar a figura, a criança descobre relações entre as partes e o todo, entre as medidas dos lados das partes. Aprende a resolver o problema de montar a figura toda, buscando processos para tanto.

O quebra-cabeça pode variar quanto ao número de peças e o formato da figura-base. Além disso, o professor também pode criar quebra-cabeças para de-senvolver as habilidades geométricas de seus alunos. Para as crianças menores de quatro anos de idade é interessante que, no início, haja poucas peças e que o aumento delas seja conforme a aquisição da habilidade de montagem.

Os passos a serem seguidos.

Exploração: discuta acerca do brinquedo quebra-cabeça, pedindo aos alunos que tragam seus quebra-cabeças, que conversem e pesquisem esse assunto junto a seus pais (como montar etc.). Depois, promova a produção de um texto coletivo sobre as descobertas e, junto com as crianças, organize as informações em um painel.

Formatação: recorte diferentes quadriláteros em cartolina colorida, colo-que-os em envelopes e os entregue aos alunos, que – em duplas ou indivi-dualmente – irão tentar recompor a figura original. Para alunos que iniciam, é interessante que seja dado o quadrilátero como base, por vezes até mesmo com o contorno das peças. A tarefa dos alunos é identificar onde será colo-cada cada parte do quebra-cabeça. O ideal é que o tamanho dos lados fique entre 10 e 15 centímetros.

Desafio: os alunos devem recortar o quadrado de cartolina a fim de con-seguirem outras figuras de acordo com o modelo proposto pelo professor, formando peças que se encaixem e assim formem novas figuras.

Habilidade: peça às crianças que criem suas próprias figuras com as peças do quebra-cabeça, podendo inclusive utilizar mais do que um conjunto de peças, montando painéis com as construções que elas realizam.

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Conclusão: observe e comente as formas e cores do objeto produzido. A utilização de quebra-cabeças na Educação Infantil possibilita a ampliação dos tipos de figuras, evitando que fiquem restritas ao triângulo, ao quadrado ou ao retângulo. O professor pode propor que organizem um cartaz no qual apareça cada uma das peças, seu nome geométrico, suas características, o número de lados e de vértices.

Exploração: apresente o projeto dizendo às crianças que seus pensa-mentos, ideias e sentimentos são muito especiais porque tornam cada uma delas uma pessoa especial, e que cada criança deverá confeccionar um baú para colocar seus pensamentos, ideias ou sentimentos especiais – será o seu baú de tesouros.

Formação: apresente o material às crianças, entregue-o a elas explicando como fazer. Esse material deve ser composto de caixas pequenas (uma por criança), figurinhas adesivas, cola, papel, canetas e fitas adesivas ou fitas de cetim.

Desafio: converse com as crianças sobre privacidade, respeito e respon-sabilidade. Assegure que ninguém mexerá nos baús alheios. Conte uma his-tória e prepare um problema simples. Com uma pergunta, proponha que as crianças resolvam o problema:

– O que vocês pensariam se...?

Habilidades: confeccionar as caixinhas de acordo com a vontade de cada um e seguindo o modelo-padrão do professor, conseguindo encontrar so-luções para o problema apresentado pelo professor, comentando com os colegas.

Projeto baú de tesourosPara o desenvolvimento de habilidades, o entendimento sobre si mesmo fa-

cilita a identificação dos interesses e áreas de dificuldade de cada criança, bem como sua própria capacidade. Este projeto pode ter como objetivo específico a exploração dos sentimentos, pensamentos, ideias, experiências e realizações de cada criança.

Os passos a serem seguidos.



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Conclusão: junto com as crianças, construa uma lista de boas atitudes e valores com os colegas em sala de aula, com as pessoas a sua volta, e orga-nize-a no mural da sala como a lista dos nossos tesouros, fazendo exposição das caixinhas.

Projeto pássaros: visita a zoológico, bosque ou parque

Exploração: proponha uma caminhada para observação do ambiente e constatação da presença de aves no local, estimulando a curiosidade para investigação e pesquisa, e para questionamentos sobre quem tem pássaros em casa etc.

Estruturação: uma professora de biologia pode ser convidada como pa-lestrante. Além disso, levar para a sala de aula livros e revistas sobre todos os tipos de aves e suas necessidades.

Desafio: com o auxílio dos pais, as crianças devem levar para a escola suas aves de estimação e os materiais utilizados para seus cuidados. Cada criança deve comentar sobre sua ave e, ao final, as crianças fazem um texto coletivo sobre como os pássaros voam, porque gostam de árvores, onde fica o nariz deles, onde ficam as orelhas, o que eles comem, de que são feitas as asas, se eles têm rabo, como eles falam, como cantam, por que são tão colo-ridos, como eles dormem.

Habilidades: com um desenho, representar um pássaro, utensílios neces-sários para a vida doméstica, alimento etc, aprendendo o conjunto. Colagem ilustrativa das aves em forma de painel, confecção de um livro e maquete sobre as aves.

Conclusão: o projeto culmina com a colocação de comedouros em árvo-res, aprendizagem sobre o ambiente e a diversidade de espécies, os hábitos das aves.

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Avaliação dos projetosExistem muitas maneiras de registrar e compartilhar projetos por meio de

uma documentação. Alguns dos propósitos da documentação são a condução do ensino, a avaliação individual, o estudo da melhoria das propostas e a comu-nicação sobre o processo educacional. A documentação pode ser usada para avaliar o conhecimento, as habilidades e aptidões de uma criança. A avaliação diz ao professor o que cada criança sabe ou não sabe e o que pode ou não fazer. A avaliação pode estar inserida em portfólios, registros em foto, filme, anotações dos professores.

Planejamento para as etapas da Educação Infantil

Planejamento é o processo de pensar as ações de sala de aula de modo amplo e abrangente, é um meio para facilitar e viabilizar a organização do trabalho e o atendimento às necessidades dos alunos, é uma atitude crítica do educador diante de seu trabalho.

Segundo o modelo e teoria de Howard Gardner (SMOLE, 1996, p. 175), o planejamento e suas estratégias de ação fortalecem, na criança, competências menos desenvolvidas, mas também localizam rotas alternativas e secundárias para atingi-las. Isso significa que, se a criança tem dificuldade para desenvol-ver-se na competência lógico-matemática, mas mostra um desenvolvimento na competência pictórica, ou linguística, podemos achar um meio de levá-la a se desenvolver na matemática por meio de atividades linguísticas ou pictóricas. Para que isso aconteça, o professor necessita observar a criança e planejar com cuidado as estratégias que usará: ele não pode se valer de atitudes espontâneas, embora possa aproveitar situações surgidas espontaneamente, para planejar e executar novas ações.

Em um trabalho a partir de inteligências múltiplas, é necessário redimensio-nar a importância e o papel do planejamento, tendo em vista a flexibilidade do trabalho, o atendimento àquelas necessidades dos alunos surgidas no contex-to das ações e a possibilidade do estabelecimento de relações entre diferentes noções e significados. No planejamento de atividades e conteúdos anual, quin-zenal ou semestral de uma escola, estão implícitos os pressupostos filosóficos da escola como um todo.



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Também se deve considerar o rápido e intenso processo de mudança vivido pelas crianças nas faixas etárias iniciais: elas apresentam possibilidades de es-tabelecer vários tipos de relação (comparação, expressão de quantidade), re-presentações mentais, gestuais, indagações e deslocamentos no espaço. Assim, as noções matemáticas são construídas pelas crianças a partir das experiências proporcionadas pelas interações com o meio, e a continuidade da aprendiza-gem matemática não dispensa intencionalidade e planejamento.

A criança de 0 a 3 anos de idadeA abordagem da matemática na Educação Infantil tem como finalidade propor-

cionar oportunidades para o desenvolvimento da capacidade de se aproximar de algumas noções matemáticas presentes no cotidiano, como contagem, relações espaciais e temporais por meio de jogos, brincadeiras e músicas junto com o pro-fessor e nos diversos contextos nos quais as crianças reconheçam essa utilização como necessária. Em situações organizadas para a descoberta de características e propriedades como empilhar, rolar, encaixar etc., a manipulação e a exploração de objetos e brinquedos fazem parte dos conteúdos nesta faixa etária.

A criança de 4 a 6 anos de idadeNessa faixa, o objetivo é ampliar e aprofundar as oportunidades de aprendi-

zagem para que as crianças sejam capazes de reconhecer e valorizar os números, as operações numéricas, as contagens orais e as noções espaciais para o cotidia-no. E também, usando a linguagem oral e a linguagem matemática, poder co-municar ideias matemáticas, hipóteses, processos utilizados e resultados encon-trados em situações-problema relativas a quantidades, espaço físico e medida. Além disso, ter confiança em suas próprias estratégias e na sua capacidade de lidar com situações matemáticas novas, utilizando seus conhecimentos prévios.

Sobre os conteúdosEntre zero e três anos de idade, as crianças começam a conhecer e a estabele-

cer as primeiras aproximações com o mundo. As situações cotidianas oferecem oportunidades privilegiadas para o trabalho com a especificidade das ideias ma-temáticas. Já as crianças de quatro a seis anos se aprofundam nos conteúdos

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indicados aos menores, dando crescente atenção à construção de conceitos e procedimentos matemáticos.

Sobre os númerosPor volta dos dois anos de idade, as crianças já podem – com ajuda do pro-

fessor – aprender a contar quantos dias faltam para seu aniversário. Por trans-missão social, as crianças aprendem a recitar a sequência numérica. A conta-gem é realizada de forma diversificada pelas crianças, com um significado que se modifica conforme o contexto e a compreensão que desenvolvem sobre o número. O grau de desafio da recitação de uma série depende dos conhecimen-tos prévios das crianças, assim como das novas aprendizagens que possam efe-tuar. Assim, podem ser propostos problemas relativos à contagem de diversas formas, usando brincadeiras e jogos como recursos facilitadores.

Sobre a notação e escrita numéricasLer os números, compará-los e ordená-los é importante para a compreensão

do significado da notação numérica.

São muitas as possibilidades da criança investigar o sistema numérico como, por exemplo, pela leitura do índice e da numeração das páginas de um livro de história, pela coleção de figurinhas em um álbum, calendários, pelos jogos de baralho e outros.

Sobre as operaçõesO cálculo deve ser aprendido com a noção de número a partir de resolução

de problemas ou em jogos. As crianças de zero a três anos de idade utilizam alguns procedimentos para comparar quantidades – por exemplo, os dedos. Existem diversas formas para a solução de problemas de adição e subtração e o grau de dificuldade varia em função das perguntas formuladas.



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Sobre grandezas e medidasO professor deve partir das atividades práticas para propor situações-pro-

blema em que a criança possa ampliar, aprofundar e construir novos sentidos para seus conhecimentos. As atividades de culinária, por exemplo, possibilitam o trabalho envolvendo tempo e quantidade. Contatos, comparações e relações permitem a construção dos significados e despertam a curiosidade e o interesse das crianças em conhecer mais sobre as medidas.

Sobre espaço e formaCada criança constrói um modo particular de conceber o espaço, por meio

das suas percepções do contato com a realidade e das soluções que encontra para os problemas.

Na faixa etária de quatro a seis anos, ocorre a estruturação do espaço, e não em relação à geometria propriamente dita. Então, os desafios em relação ao espaço devem ser propostos nesse trabalho, envolvendo exploração e mani-pulação. Podem ser utilizados vários materiais como areia, massa de modelar, blocos, entre outros. A representação pictográfica é uma forma privilegiada de registro e informação.

O trabalho do professorO professor deve animar, manter o diálogo com a turma e entre a turma,

além de coordenar as ações. Ele deve discernir novas possibilidades de traba-lho com a classe, orientando e selecionando aquelas que não ponham em risco algumas de suas finalidades mais essenciais na busca por novos conhecimen-tos. Por isso, as atividades devem encorajar os alunos a resolverem problemas, tomar decisões, perceber regularidades, analisar dados, discutir e aplicar ideias matemáticas, e propor desafios e problemas a serem resolvidos. O espaço da classe deve ser marcado por um ambiente cooperativo e estimulante para o de-senvolvimento e a manifestação das diferentes inteligências, assim como para

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promover a interação entre diferentes significados que os alunos aprenderão ou criarão a partir das propostas que realizarem, dos desafios que vencerem. Os grupos de trabalho tornam-se indispensáveis, assim como os diferentes re-cursos didáticos. Nesse espaço, o professor poderá organizar cantos onde uma atividade individual pode ser proposta e desenvolvida tranquilamente.

Mas o principal é o papel desempenhado pelo professor junto aos alunos, a comunidade e a escola, e que o professor esteja consciente de suas atribuições no processo do trabalho escolar.

Espera-se que as crianças percebam que as ideias matemáticas encontram-se inter-relacionadas e que a matemática não está isolada das demais áreas do conhecimento.

Avaliação formativaA finalidade básica da avaliação é intervir no processo de ensino e aprendi-

zagem. É por meio de observação, registro e reflexão que o professor pode vir a tomar decisões para intervir ou modificar determinadas situações, atividades e estratégias. O mais importante não é emitir um juízo, mas propor hipóteses sobre como evoluir a aprendizagem da criança, se puder, contrastá-las com outras pessoas que se relacionam com a criança.

A avaliação não diz respeito somente à evolução da criança mas também, e principalmente, ao programa, ao projeto e à intervenção educativa.

Igualmente, a avaliação não serve para apontar o que a criança não sabe e tampouco para fazer comparações entre crianças: a avaliação serve para va-lorizar o esforço da criança e suas conquistas, apontar o caminho pelo qual seguir, verificar aspectos específicos para a mediação com o grupo de alunos e com cada criança em particular. Dessa forma, recolhem-se informações que possam contribuir para a melhoraria do planejamento e das propostas feitas pelo professor.

Na idade que abordamos (menos de seis anos), a avaliação pode ter algumas consequências e influências, como de resto pode ocorrer na avaliação de crian-ças de qualquer idade. Quanto mais positiva for a imagem que temos de uma criança, maior será nossa tendência a avaliá-la positivamente e estimulá-la, e o inverso também é válido. As expectativas dos professores sobre os seus alunos têm grande influência sobre o rendimento escolar desses alunos.



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Com frequência, o comportamento dos professores é influenciado por suas próprias expectativas de êxito, e assim eles deixam mais tempo para a criança responder, sorriem para ela e, quando o bom aluno não acerta, o professor diz que ele estava distraído e por isso se equivocou. Em contrapartida, o professor não confia nas possibilidades de um aluno, ou não acredita nessas possibilidades, tende a interpretar o mau resultado como uma confirmação de suas suspeitas.

Por isso, é preciso ter muito cuidado para não fazer juízo ou avaliação preci-pitada. Na Educação Infantil, a escola tem a responsabilidade de incidir de forma positiva, sem rotular a criança, procurando favorecer o aparecimento de bons resultados.

A avaliação é classificatória, de acordo com Hoffmann:

este modelo se faz presente nas instituições de Educação Infantil quando, para elas, avaliar é registrar ao final de um semestre (periodicidade mais frequente na pré-escola) os “comportamentos que a criança apresentou”, utilizando-se, para isso, de listagens uniformes de comportamento a serem classificados a partir de escalas comparativas tais como: atingiu, atingiu parcialmente, não atingiu; muitas vezes, poucas vezes, não apresentou; muito bom, bom, fraco; e outras. Em muitas instituições, a prática avaliativa se reduz ao preenchimento dessas fichas de comportamento ou elaboração de pareceres descritivos padronizados ao final de determinados períodos. O cotidiano da criança não é verdadeiramente levado em conta, nem é considerada a postura pedagógica do educador, à semelhança do ocorrido no ensino regular. (HOFFMANN, 2004, p. 11)

Esse tipo de avaliação traduz de forma facilitada o modelo classificatório im-portado do Ensino Fundamental. A avaliação precisa estar a favor, a serviço da criança e do professor – caso contrário, a prática não se renova, a aprendizagem não ocorre tanto quanto poderia ocorrer. Para uma proposta de avaliação me-diadora em Educação Infantil, Hoffmann aponta alguns pressupostos básicos, conforme a seguir.

Uma proposta pedagógica que vise levar em conta a diversidade de inte- �resses e possibilidades de exploração do mundo pela criança, respeitando sua própria identidade sociocultural e proporcionando-lhe um ambiente interativo, rico em materiais e situações a serem experienciadas.

Um professor curioso e investigador do mundo da criança, agindo como �mediador de suas conquistas, apoiando-a, acompanhando-a e lhe ofere-cendo novos desafios.

Um permanente processo avaliativo de observação, registro e reflexão �acerca da ação e do pensamento das crianças, de suas diferenças cultu-rais e de desenvolvimento, embasando o ato, por parte do educador, de repensar o seu fazer pedagógico.

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Dessa forma, mais que na elaboração de um parecer descritivo, o professor deve empenhar-se em fazer um relatório de suas observações acerca da apren-dizagem, do comportamento e do desenvolvimento da criança. A observação é uma ação estudiosa sobre a realidade (FREIRE apud HOFFMANN, 2004, p. 55) e, portanto, é preciso saber o que se está observando. Um professor sem preparo, sem leituras que subsidiem e fundamentem e o façam refletir sobre sua prática, pouco poderá enriquecer ou saber explicar o que ocorre com a criança.

Hoffmann (2004) delineou questões para o encaminhamento à prática de elabo-ração de relatórios de avaliação em uma perspectiva mediadora, conforme abaixo.

Os objetivos norteadores da análise do desenvolvimento da criança trans- �parecem nos relatórios?

Evidencia-se a inter-relação dos objetivos (socioafetivos e cognitivos) a �serem alcançados com as áreas temáticas trabalhadas e a realização de atividades pela criança?

Percebe-se o caráter mediador do processo avaliativo? �

Ao longo do relatório, privilegia-se o caráter evolutivo do processo de de- �senvolvimento da criança?

Percebe-se o caráter individualizado no acompanhamento da criança? �

Nesse trecho de relatório, tem-se uma amostra de como a mediação do pro-fessor pode ser registrada:

Jogos matemáticos desenvolvidos permitiram-me ver a necessidade de sentar junto ao Tomás [criança de seis anos], nas próximas vezes, para acompanhar o seu pensamento, pois percebo a sua dificuldade em [percorrer as] sequências numéricas de alguns jogos, comprar as peças que lhe cabem e esperar a sua vez de jogar. (HOFFMANN, 2004, p. 62)

O professor relata a relação com a criança e suas intervenções, oferecendo aos futuros professores a oportunidade de darem continuidade ao processo estabelecido.

Como comunicar a avaliação na Educação Infantil? Um relatório de observação, um parecer descritivo ou qualquer outro ins-

trumento que tenha por objetivo portar dados sobre a aprendizagem, o com-portamento e desenvolvimento de uma criança deve ser preparado levando-se



197

em conta o interlocutor. Uma linguagem predominantemente técnica pode não esclarecer aos pais o que de fato ocorre com a criança, assim como o registro superficial não atenderá às necessidades dos profissionais.

Sugere-se esclarecer aos pais o que ocorre com a criança, em que etapa, em que processo ela se encontra com relação à aprendizagem dos conteúdos explo-rados, dos projetos realizados.

A linguagem deve ser compreensível, clara, simples e breve. A comunicação da avaliação é um ato muito importante, pois veicula informações, transmite um juízo de valor e pode influir na atitude dos pais com relação à criança.

A criança que, nessa fase (menos de seis anos de idade), começa a se conhe-cer melhor, a formar sua autoestima, recebe influência direta das pessoas próxi-mas a ela: pais, professores, familiares, colegas.

O professor deve colaborar para o desenvolvimento da autoestima da criança e toda comunicação feita a ela deve ser objeto de reflexão antes de ser efetivada. Uma simples frase como “Não é assim!” ou “Você sempre derruba!” carrega uma mensagem à criança. Olhares e gestos também são comunicadores de ideias, pensamentos e sentimentos.

A avaliação que deve ser compartilhada com as crianças é a avaliação que diz respeito a processos, projetos, atividades realizadas em conjunto. A avaliação individual, se ou quando comunicada à criança, deve ter o objetivo de motivá-la, estimulá-la, encorajá-la a alcançar melhores resultados.

Texto complementar

Crianças em projetosHá razões humanistas evidentes para implantar uma pedagogia de pro-

jetos nas salas de aula e nos estabelecimentos escolares: desenvolver per-sonalidades que tenham simultaneamente senso de iniciativa e de respon-sabilidade, de tolerância e de solidariedade. Na verdade, uma pedagogia de projetos não pode ser reduzida a uma simples técnica educativa ou a um novo “método”. Ela implica mais vitalmente uma mudança profunda do status das crianças na escola a partir da revisão em profundidade das inter-relações entre adultos e crianças (e entre professores e pais). Como já dissemos antes,

198

por parte dos adultos, isso corresponde a uma mudança das representa-ções e das expectativas referentes às possibilidades e às necessidades das crianças. Encarar as crianças como sujeitos de sua própria formação, em vez de considerá-las objetos de ensino. Acabar com a situação em que crianças sentadas, e silenciosas, tentam memorizar (sem sucesso, para muitas delas) o que o mestre ensina. Preferir crianças ativas que comandem elas mesmas o ambiente, crianças que construam suas aprendizagens para resolver os problemas colocados por seus próprios projetos e pelos projetos elaborados junto com seus colegas de classe. Nesse sentido, trata-se tanto de uma pos-tura filosófica quanto de uma postura psicológica.

Além disso, as contribuições das teorias cognitivistas da aprendizagem (PIAGET, VYGOTSKY, WALLON, BRUNER etc.) confirmam o que os educadores dos movimentos da nova educação já tinham intuído: – que a atividade do sujeito que aprende é determinante na construção de um saber operatório; – que não existe aprendizagem eficaz em situações que não tenham senti-do para o aprendiz e que a melhor maneira de facilitar uma aprendizagem significativa é permitir que as referidas situações estejam contidas num pro-jeto do próprio aprendiz e que sejam avaliadas por ele e por seus colegas de classe, com o apoio de professores mediadores. As aprendizagens compor-tamentais dependem tanto das inter-relações sociais de cada sujeito quanto das aprendizagens conceituais. Além disso, do ponto de vista psicológico, a eficácia das aprendizagens de cada criança depende do poder que ela tem, enquanto aprendiz, sobre suas próprias atividades: o que significam para ela; que representação ela tem das tarefas a serem realizadas para atingir um objetivo dado; como ela gere o tempo, o espaço, os recursos; como, uma vez terminado o projeto, ela se detém para avaliar o resultado e se beneficiar dele. Como indicamos ao apresentar nossos “Eixos Didáticos”, um aluno em projeto tem o desejo, os meios e o poder de ser bem-sucedido. Ele mobili-za toda sua mente e toda sua energia para atingir, com a ajuda dos demais (colegas de classe e professores), os objetivos de progresso que determinou para si mesmo. Enfim, do ponto de vista cognitivo, pode-se observar uma transferência das competências construídas durante uma pedagogia de pro-jetos para outras atividades: – antecipar, graças à percepção global do que procuramos fazer; – saber organizar suas atividades, seu tempo, seus docu-mentos; – saber se confrontar com os outros, estar aberto às suas propos-tas, ver os aspectos positivos das inevitáveis contradições, saber se adaptar a situações diferentes, saber resistir; – saber se avaliar e saber instaurar uma reflexão metacognitiva dos caminhos mentais percorridos, dos conhecimen-



199

tos elaborados e das competências desenvolvidas etc. Uma pedagogia de projetos aparece como uma estratégia de formação, visando a construção e o desenvolvimento simultâneos das personalidades, dos saberes e das competências.

Que concepção de procedimento de projeto adotar?

Trata-se dessa concepção Não dessas outras

Considerar o procedimento de projeto uma estratégia permanente de forma-ção, destinada a permitir que as crian-ças assumam pouco a pouco sua vida escolar e suas aprendizagens. Cuidar para que as atitudes e os procedimentos pedagógicos sejam coerentes durante o ano inteiro.

Propor ocasionalmente alguns projetos às crianças, entre outras atividades ou exercí-cios, numa classe onde tudo está pensado e organizado (com grande consciência pro-fissional, não é esse o problema) exclusiva-mente pelo professor.

Tomar consciência de que, tanto para as crianças quanto para o professor, um projeto na escola é sempre um projeto de aprendizagens, mesmo quando faz parte de uma realização lúdica.

Utilizar uma espécie de estratégia de rodeio para que as crianças aprendam sem se dar conta. Propor vez ou outra às crianças rea-lizações consideradas essencialmente lúdi-cas; para motivá-las e distraí-las do resto do trabalho escolar.

Considerar evidente que o papel da esco-la é diferente do papel de um centro de lazer. Implantar na sala de aula situações que permitam que as crianças sejam re-almente ativas na elaboração desses projetos, que possam geri-los, realizá-los e avaliá-los. Considerar que uma peda-gogia de projetos é inteiramente distinta de uma pedagogia de temas.

Escolher um “tema” de trabalho que interes-se às crianças e explicar-lhes como será re-alizado, quem elas podem encontrar, onde encontrar a documentação, como se pode-ria realizar em seguida uma exposição etc.

Elaborar projetos coletivos e contratos individuais de aprendizagem que per-mitam decidir coletivamente quais são os progressos a obter, em função das necessidades e do programa do ano.

Programar atividades pluridisciplinares em função do único tema retido e da progres-são dos manuais. Conceber a avaliação ape-nas sob sua forma somativa.

Conceber a avaliação primeiramente sob seu aspecto formador, sob a forma de uma reflexão metacognitiva, individual e coletiva das crianças, que se refere, ao mesmo tempo, ao desenrolar dos pro-jetos realizados, a seus resultados e às aprendizagens individuais já construí-das ou em construção.

Deixar a avaliação dos aprendizados aos cuidados ou à apreciação exclusiva do pro-fessor ou reduzir a avaliação a uma cruz nos itens apresentados sob a forma de uma lista ou uma grade de tipo múltipla escolha.

Fazer com que os pais compreendam, através de encontros ou por intermédio de um “caderno de contratos”, a nature-za desse trabalho, as competências que seus filhos estão adquirindo e os pro-gressos que já realizaram.

Entregar aos pais uma caderneta que apre-sente uma avaliação estritamente somativa, acompanhada apenas de julgamentos sub-jetivos do professor.

200

Dicas de estudoHOFFMANN, Jussara. Avaliação na Pré-Escola: um olhar reflexivo sobre a

criança. Porto Alegre: Mediação. (Coleção Cadernos da Educação Infantil)

São 12 cadernos. Avaliação na Pré-Escola é o terceiro. É um livro de aproxima-damente 70 páginas, bastante esclarecedor, traz alguns exemplos de pareceres, a autora os analisa e explica porque os relatórios de observação são bastante apropriados para a avaliação na Educação Infantil.

FERREIRO, Emilia. A internacionalização da avaliação das aprendizagens na Educação Básica. Revista Nova Escola. Disponível em: <www.novaescola.org.br>.

HERNANDEZ, Fernando; VENTURA, Montserrat. A Organização do Currículo por Projetos de Trabalho: o conhecimento é um caleidoscópio. Porto Alegre: Artmed.

Este livro traz reflexões a partir da experiência de uma escola chamada Pompeu Fabra, em Barcelona. Aborda a globalização na educação e explica a origem e o sentido dos projetos de trabalho na escola. Descreve cada etapa es-sencial para a elaboração de um projeto e também traz um exemplo de projeto realizado numa escola de Educação Infantil. Chama-se “Os Felinos”, o projeto.

HELM, J. H.; BENEKE, Salle. O Poder dos Projetos: novas estratégias e solu-ções para a Educação Infantil. Porto Alegre: Artmed.

É um livro bem interessante para a Educação Infantil. Há experiências de pro-jetos realizados na Educação Infantil e muitos pontos importantes para a refle-xão dessa abordagem.

EDWARDS, Carolyn; GANDINI, Lella; FORMAN, George. As Cem Linguagens da Criança: a abordagem de Reggio Emilia na educação da primeira infância. Porto Alegre: Artmed.

O livro é um conjunto de ensaios integrados sobre a abordagem única dada à Educação Infantil nas escolas do norte da Itália em Reggio Emilia. O programa de lá se tornou reconhecido como um dos melhores do mundo. A sua abordagem incrementa o desenvolvimento intelectual das crianças, focando a representa-ção simbólica e levando as crianças pequenas a um nível surpreendente de ha-bilidades simbólicas e criatividade.



201

Atividades1. Que estratégias podem ajudar a otimizar o trabalho com um projeto? Cite

pelo menos cinco aspectos que podem favorecer esse tipo de metodologia.

2. Quais as vantagens em realizar um projeto para o ensino-aprendizagem de matemática?

202

3. Sabendo que as expectativas dos professores sobre os seus alunos têm gran-de influência sobre o rendimento escolar desses alunos e que quanto mais positiva for a imagem que temos de uma criança, maior será nossa tendência a avaliá-la positivamente e estimulá-la, qual a finalidade da avaliação na Edu-cação Infantil?



203

Caracterização da etapa escolar1. Qualquer uma das três respostas pode ser aceita:

Oportunizando a interação e a colaboração entre as crianças, le- �vando em conta suas necessidades, considerando seus direitos, sua identidade cultual e o caráter lúdico que devem ter todas as ativida-des desenvolvidas.

Há que se ter uma compreensão integrada entre o cuidar e o educar, �estabelecendo interações de afeto e respeito. A Educação Infantil tem caráter educativo próprio e não deve antecipar práticas acadêmicas do Ensino Fundamental.

Deve-se promover a interação dos aspectos físicos, emocionais, afe- �tivos, cognitivos e sociais da criança.

2. Para a resposta, são válidas 5 das 11 alternativas:

apresentar, às crianças, problemas, situações e materiais que este- �jam de algum modo relacionados à vida cotidiana dessas crianças, pedindo que os identifiquem e os analisem;

planejar a prática educativa de modo que às crianças sejam ofereci- �das experiências ricas e ainda não vividas;

considerar o contexto sociocultural em que vivem as crianças; �

partir sempre do que a criança sabe e apresentar situações que lhes �permitam avançar;

não desvalorizar o que as crianças sabem e aceitar as respostas dadas, �respeitando a individualidade de cada criança;

aprender a observar qual é o nível da criança com relação aos jogos �e aprendizagens, e intervir, facilitando e explicando de forma justa e adequada;

Gabarito

206

sempre diversificar os materiais oferecidos às crianças; �

não se preocupar em dar mais informações do que as crianças pareçam �poder assimilar, pois cada criança assimilará aquilo que pode, de acordo com seu nível de desenvolvimento;

falar com as crianças de modo adequado para que entendam o que é dito, �mas sem modificar as informações;

não esperar que a criança amadureça para começar a introduzi-la em al- �gumas aprendizagens mais elevadas;

confiar nas ações docentes como agentes de desenvolvimento e aprendi- �zagem que são.

Objetivos da Educação Infantil e da educação matemática1. A criação de oportunidades, para que sejam capazes de:

reconhecer os números, as operações numéricas, as contagens orais e as �noções espaciais como ferramentas necessárias no seu cotidiano;

comunicar ideias matemáticas, hipóteses, processos utilizados e resulta- �dos encontrados em situações-problema relativas a quantidades, espaço físico e medida, utilizando a linguagem oral e a linguagem matemática;

ter confiança em suas próprias estratégias e na sua capacidade para lidar �com situações matemáticas.

2. Acessibilidade, autonomia, ambiente lúdico, segurança, higiene.

3. A superação de uma perspectiva linear e estruturalista dos conteúdos nessa área. A vinculação do conhecimento matemático com a realidade.

O conhecimento lógico-matemático 1. O conhecimento físico é aquele que se refere à exploração dos objetos para

apreender suas propriedades e características básicas. A fonte de conheci-mento físico é externa para a criança.

O conhecimento social é aquele que herdamos de nossa cultura, por exem-plo, o próprio nome dos numerais, o nome das figuras geométricas, entre outros.


207

Gabarito

O conhecimento lógico-matemático é o que resulta das relações que a crian-ça estabelece entre os fatos, objetos, elementos. A fonte de conhecimento lógico-matemático é interna.

2. O conhecimento físico deriva das propriedades físicas dos objetos e o lógico- -matemático das relações internas que a pessoa estabelece.

3. Na teoria de Piaget, autonomia significa a capacidade de governar a si mes-mo, em sentido moral e intelectual. Na esfera moral, decide-se sobre o que é certo e o que é errado e na esfera intelectual, decide-se entre verdade e inverdade. Pessoas heterônomas são governadas por outras pessoas na me-dida em que são incapazes de fazer julgamentos por si próprias.

Muitas vezes, pais e professores reforçam a heteronomia da criança quando utilizam recompensas, castigos, punições.

Para que a criança desenvolva a autonomia moral, é preciso reduzir o poder adulto, encorajando-as a construirem por si mesmas seus próprios valores mo-rais: com uma orientação dialogada, a criança terá a possibilidade de pensar sobre a importância de valores como respeito, honestidade, verdade.

Concepções de ensino-aprendizagem da matemática1. Na tendência da escola tradicional, saber matemática significava ter domínio

dos procedimentos formais. O aluno demonstrava que sabia matemática quando escrevia os números corretamente, quando fazia contas e resolvia problemas. Os problemas não eram um conteúdo, mas uma forma de treinar as operações. Na concepção reformista, proposta pela matemática moder-na, saber matemática significava ser capaz de estabelecer relações lógicas entre conjuntos. Para a didática da matemática, saber matemática, significa construir o sentido dos conhecimentos que lhe foram ensinados. O aluno deveria ser capaz não somente de repetir, mas de ressignificar e de adaptar o que aprendeu a situações novas a fim de resolver problemas. Os números são ensinados como ferramentas.

2. O trabalho com a resolução de problemas na Educação Infantil pode ser iniciado por situações que envolvam a distribuição de materiais, jogos de regras simples, observação, comparação e análise de situações, tomada de decisões. Os problemas podem ser numéricos ou não, e as crianças podem utilizar desenhos para resolvê-los. A professora pode atuar como escriba ou

208

escrevente, anotando como elas vão resolvendo os problemas, e as crianças também podem utilizar marcas e/ou números para representar a solução desses problemas.

3.

a) A irmã do tio do Fernando é a mãe do Fernando.

b) 192, 384, 576.

Os números1. Os números estão presentes na sociedade como memória de quantidade,

como memória de posição, como código, para expressar grandezas e prever resultados. Dessa forma, um número permite que recordemos de uma quan-tidade sem necessariamente ela estar presente; que nos organizemos utili-zando os números ordenadamente, por exemplo, nos dirigindo diretamente ao 8.º andar de um edifício; que criemos códigos para identificar produtos; meios de comunicação e de transportes; que expressemos grandezas me-dindo a passagem do tempo, os pesos, massas e outras medidas como a de comprimento ou largura; e ainda, prevendo resultados por meio de cálculos como, por exemplo, quanto gastar e quanto economizar.

2. Ordem é a necessidade de estabelecer uma organização entre objetos para certificar-se de que todos foram contados.

Inclusão hierárquica é a capacidade de perceber que o um está incluído no dois; o dois, no três, e assim por diante. Para poder quantificar é preciso co-locar os números (mentalmente) em uma inclusão hierárquica, pois número significa quantidade.

3. O professor deve oferecer aos alunos diversos materiais e em quantidades sufi-cientes para que possam desenvolver suas ideias com relação às quantidades. Oportunizar jogos e brincadeiras que envolvam a contagem oral, o registro es-crito de números; a resolução de problemas que envolvam a partilha de quan-tidades. O professor pode criar condições para que os alunos venham a realizar ordenações em situações contextualizadas. Deve conhecer o que os alunos sabem sobre números e que relações, e já estabelecem, para poder intervir e desafiá-los a avançar. Os números escritos, oferecidos no ambiente escolar do


209

Gabarito

aluno, devem estar de acordo com as condições específicas da turma como, por exemplo, a criação de tabelas e espirais de números, que podem ir do 1 ao 10, do 1 ao 50, ao 100. Geralmente a simbolização aritmética entra em choque com o conhecimento que a criança elabora, por isso, quanto mais sentido e significado tiver para a criança a atividade que ela estiver realizando, mais pró-ximo do acerto estará o professor.

Grandezas e medidas1. Pela força da gravidade, no planeta Terra, o peso dos corpos coincide com a

massa: em volta da Terra existe uma atmosfera e ocorre uma pressão do ar sobre os corpos. Porém, o peso pode sofrer variação conforme a localidade em que se encontra. Assim, quanto mais proximidade do centro da Terra, maior será o seu peso. Uma pessoa pesa menos nas proximidades do Equa-dor do que perto dos polos, do mesmo modo quando está à beira-mar pesa mais do que quando está no pico de uma montanha.

2. A unidade de medida da grandeza capacidade é o litro e a unidade de medi-da da grandeza volume é o metro cúbico.

Geometria na Educação Infantil1. São as etapas do espaço vivido, do espaço percebido e a do espaço con-

cebido. O espaço vivido refere-se ao espaço físico, vivenciado por meio do movimento e do deslocamento apreendido pela criança em brincadeiras e atividades que permitem percorrer, delimitar ou organizar esse espaço.

O espaço percebido é aquele que não precisa mais ser experimentado fisica-mente para que a criança possa lembrar-se dele.

O espaço concebido surge quando existe a capacidade de estabelecer rela-ções espaciais entre elementos somente por meio de suas representações, como é o caso de figuras geométricas, mapas, plantas e diagramas.

2. O desenvolvimento da noção de espaço ocorre de forma progressiva, ini-ciando-se com o conhecimento e a percepção de si mesmo, do espaço ao seu redor e do espaço-mundo, para depois chegar ao espaço representado em forma de desenhos.

210

3. P

a) T R A P E Z I Ob) T R I A N G U L O

Tc) Q U A D R A D Od) P A R A L E L O G R A M Oe) H E X A G O N O

Nf ) L O S A N G O

A matemática e a leitura1. A conexão da matemática com a literatura infantil por meio da resolução de

problemas permite às crianças e ao professor a utilização de recursos como o desenho, a oralidade e a dramatização, que irão trazer a multiplicidade de significações do contexto.

A conexão da literatura infantil com o ensino da matemática rompe com o ensino tradicional, pois as crianças podem explorar a matemática e a história ao mesmo tempo. A história torna-se um elemento facilitador para a apren-dizagem e as habilidades matemáticas.

Pode-se entender que essa conexão relaciona as ideias matemáticas à reali-dade, às demais disciplinas, às várias representações de conceitos, à explora-ção e à descrição de problemas e seus resultados ou representações gráficas, numéricas, físicas e verbais.

As atividades de interpretação e comunicação refinam a organização do pen-samento na solução de problemas matemáticos, desenvolvendo um melhor significado matemático.

2. Ao ouvir as falas espontâneas das crianças sobre seus desenhos, deve-se cuidar para não subjugar o desenho e sua explicação. Esse cuidado garante à criança o pleno desenvolvimento de sua expressão pictórica no trabalho com a matemática.

O ato de desenhar é considerado como solução de um problema. A criança reconhece e interpreta os dados do enunciado.


211

Gabarito

Jogos e brincadeiras para aprender matemática1.

O valor experimental, que permite a exploração e a manipulação; �

O valor da estruturação, que dá suporte à construção da personalidade �infantil;

O valor de relação, que coloca a criança em contato com o outro; �

O valor lúdico, que estimula o aparecimento da ação lúdica. �

2. O jogo deve ter no mínimo dois jogadores e conforme o objetivo e a quanti-dade de materiais, mais jogadores poderão participar. Todo jogo deve ter um objetivo a ser atingido por todos os jogadores, e ao final um deles poderá ser vencedor, ou haverá um grupo de vencedores. O jogo deve ser constituído de regras e todos os jogadores deverão concordar com elas sem modificá- -las. O jogo deve conter jogadores que assumam papéis interdependentes, opostos e cooperativos. O jogo deve permitir o uso de estratégias, planos, jogadas eficazes. A existência de regras é o que caracteriza, especialmente, os jogos em grupo.

3. Jogos que envolvem figuras e objetos são comuns para as crianças desenvolve-rem a lógica e o raciocínio espaço-temporal, e para conhecerem os números.

Pedagogia de projetos didáticos: ideias para a Matemática1.

Considerar a variedade de interesses das crianças e determinar com elas o �objeto de investigação sobre o tema central.

Avaliar e definir os materiais acessíveis e adequados a todos, bem como o �local ou espaço a ser utilizado.

Considerar o tempo, o prazo, focalizar as metas e prever as dificuldades. �

Propiciar que as crianças falem de seus sentimentos e das sensações expe- �rimentadas com suas descobertas ao longo do projeto.

Direcionar o projeto à comunidade para envolver as experiências locais e �culturais das famílias em relação ao ambiente em que vivem.

212

2. Por meio de um projeto, há a integração de conteúdos e habilidades. As no-ções matemáticas surgem simultaneamente às noções de outras áreas, con-siderando aspectos culturais, científicos e matemáticos, e possibilitando a to-mada de decisão e o fortalecimento do vínculo entre as crianças e a escola. Diversos temas podem se inserir na área matemática. Os projetos tornam mais satisfatória a aprendizagem, levando as crianças a usar suas emoções junto com o raciocínio, e facilitando o trabalho de alfabetização e letramento.

3. A avaliação não diz respeito somente à evolução da criança, mas também, e principalmente, ao programa, ao projeto e à intervenção educativa.

A avaliação não serve para apontar o que a criança não sabe e tampouco para fazer comparações entre crianças: a avaliação serve para valorizar o esforço da criança e suas conquistas, apontar o caminho pelo qual seguir, verificar aspectos específicos para a mediação com o grupo de alunos e com cada criança em particular. Dessa forma, recolhem-se informações que possam contribuir para a melhoraria do planejamento e das propostas feitas pelo professor.


213

Gabarito

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