acaodefortalecimento daaprendizagem caderno de orientacoes ensino medio matematica

8/18/2019 AcaoDeFortalecimento DaAprendizagem CADERNO de ORIENTACOES ENSINO MEDIO Matematica

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Governador de PernambucoPaulo Henrique Saraiva Câmara

Secretário de EducaçãoFrederico da Costa Amancio

Secretário Executivo de Planejamento e CoordenaçãoSeverino José de Andrade Júnior

Secretária Executiva de Desenvolvimento da Educação Ana Coelho Vieira Selva

Secretário Executivo de Educação ProfissionalPaulo Fernando de Vasconcelos Dutra

Secretário Executivo de Administração e FinançasEdnaldo Alves de Moura Júnior

Secretário Executivo de Gestão da RedeJoão Carlos de Cintra Charamba

Gerente de Políticas Educacionais do Ensino MédioRaquel de Queiroz

Chefe de Unidade do Ensino MédioCarolina Araújo

Equipe de Elaboração – Matemática

Aldenita DiasCláudio BarrosEdvaldo BrazElisângela EspíndolaFernando AugustoLedevande Martins


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APRESENTAÇÃO

Prezado (a) professor (a):

Elaboramos este material visando subsidiar as atividades dos professores na

Ação de Fortalecimento da Aprendizagem no que se refere ao componente

curricular de matemática, da rede estadual de ensino de Pernambuco, com foco no

ensino-aprendizagem, contemplando os descritores da Matriz de Referência do

SAEPE que apresentaram baixo desempenho no ano letivo 2014.

Apresentamos aqui o material norteador das ações pedagógicas que serãodesenvolvidas ao longo desta ação.

Sua elaboração teve como critérios a análise dos resultados das avaliações

do SAEPE e as propostas apresentadas pelos (as) professores (as) nas discussões

proporcionadas pelas formações de Matemática do Ensino Médio.

Na área Matemática, este caderno foi preparado de modo a contemplar os

cinco eixos da matriz de referência e os dez descritores com os percentuais mais

baixos, conforme apresentado em tabela, mais adiante.Dessa maneira, esperamos contribuir com o seu trabalho em sala de aula e

também contar com a sua participação para construirmos uma aprendizagem

significativa, eficaz e eficiente que os estudantes da rede estadual de Pernambuco

merecem.

Equipe de Elaboração


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TABELA

Descritores (%)atingido

D4 Identificar a relação entre o número de vértices, facese/ou arestas de poliedros expressa em um problema.

(18,5%)

D7 Interpretar geometricamente os coeficientes da equaçãode uma reta.

(20,7%)

D8 Identificar a equação de uma reta apresentada a partir dedois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.

(19,3%)

D11 Resolver problema envolvendo perímetro de figurasplanas.

(22,2%)

D12 Resolver problema envolvendo área de figuras planas. (20,1%)

D22 Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1ºgrau por meio de seus coeficientes.

(19,4%)

D23 Reconhecer a representação algébrica de uma funçãodo 1º grau dado o seu gráfico, ou vice-versa.

(19,0%)

D26 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de umafunção exponencial.

(13,6%)

D27 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma

função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da funçãoexponencial.

(19,5%)

D29 Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno,cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades.

(22,9%)

“Que a tua fala, seja tua prática” (PauloFreire )

Que a nossa fala seja refletida nas nossas ações.

(Equipe de Matemática)


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EIXO GEOMETRIA

Descritor Percentual de acerto

D2 - Reconhecer aplicações das relações métricas do

triângulo retângulo em um problema que envolva figuras

planas ou espaciais.

18,3%

Para resolver questões que contemplam este descritor, os estudantes precisam

reconhecer as figuras geométricas (planas e espaciais), conhecer as relações

métricas do triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras), ter clareza nos conceitos de

cateto e hipotenusa e efetuar os cálculos que as questões necessitam.

1ª QUESTÃO: A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada

colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. O comprimento dessa escada

é de:

a) 12 m.b) 30 m.

c) 15 m.

d) 17 m.

e) 20 m.

RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA D

Para resolver a questão é preciso primeiro perceber o triângulo retângulo formado

pela escada, a altura da parede (do solo até onde a escada alcança) e a distância no

solo (da escada até o edifício). Como em todo triângulo retângulo podemos aplicar o

Teorema de Pitágoras para encontrar um de seus lados, quando dispomos dos

outros dois. E, além desse teorema é necessário utilizar no seu desenvolvimento as

operações de adição, subtração e potenciação.

Considerando: a = ? (comprimento da escada) b = 8m c = 15m

Aplicando com os valores o Teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2

a2 = 82 + 152

a2 = 64 + 225


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a2 = 289

a = √ 289

a = 17, logo o comprimento da escada solicitado é 17m.

2ªQUESTÃO: O Pedro e o João estão a «andar» de gangorra, como indica a figura:

A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.

Qual o comprimento do gangorra?

a) 150 cmb) 160 cm

c) 180 cm

d) 190 cm

e) 200 cm


Através desta questão é possível que o estudante revise conhecimentos relativos à

transformação de unidades de medida de comprimento, Teorema de Pitágoras,

Potenciação, Radiciação e Equação do 2º Grau. Mediante a representação da

gangorra, o estudante pode identificar que as duas crianças nas posições que se

encontram no desenho formam um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a distância

entre elas e os catetos são respectivamente, a altura em que se encontra a criança à

direita em relação ao solo e à distância da projeção do plano inclinado em relação

ao solo.


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Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha tracejada forma um ângulo de

90 graus com a "linha" do chão.

1,8 m = 180 cm

H2= 1802 + 602

H2= 32400 + 3600

H2= 36000

H √ H Logo, o comprimento da gangorra é de aproximadamente 190 cm.

3ª QUESTÃO: A figura representa um barco à vela.

De acordo com os dados da figura, quais são os valores de x e y ?

RESOLUÇÃO COMENTADA

Nesta questão o estudante precisa perceber que existem dois triângulos retângulos

presentes na figura do barco. O menor desses triângulos, com a hipotenusa e um dos

catetos com medidas disponibilizadas e o outro cateto y desconhecido. O maior dos

triângulos, também possui a hipotenusa e um cateto conhecidos e o outro formado

pela soma de x com y. Essa percepção é fundamental para se definir qual incógnita

que devemos encontrar primeiro, já que os dois triângulos são retângulos e o uso do

Teorema de Pitágoras deve ser usado duas vezes: primeiro para encontrar a =


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(soma de x com y) e depois para encontrar y. Depois, com os valores de a e y,

utilizando-se de uma equação de 1º grau chegaremos ao valor de x. Assim, tanto

o Teorema de Pitágoras quanto equação do 1º grau foram usados para resolver a

questão.

Aplicando o Teorema de Pitágoras encontramos y e a. Abaixo, usando equação de

1º grau encontramos o valor de x.

SUGESTÕES DE ATIVIDADE

Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula :

Nesta etapa de escolarização, as relações métricas no triângulo retângulo devem ser

consolidadas. O professor deve deixar que o estudante estabeleça as relações por

meio de semelhança de triângulos, sem induzir às relações e à “nomeação” dos

segmentos, a fim de evitar a memorização de “letras”, sem o devido entendimento decomo a relação foi obtida. No caso do Teorema de Pitágoras, por exemplo, é

importante que seja estabelecida a sua recíproca, ou seja, se os lados de um

triângulo retângulo obedecem à relação (a2 = b2+c2), então esse triângulo será

retângulo. A compreensão da terna pitagórica (triângulos cujos lados derivam de 3, 4

e 5) deve ser destacada, pois permitirá resolver rapidamente problemas envolvendo o

Teorema de Pitágoras. A questão da incomensurabilidade de alguns segmentos deve

ser explorada e discutida com os estudantes e deve-se aproveitar para fazer o elo


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com a necessidade de ampliação dos conjuntos numéricos. É importante consolidar a

ideia de congruência de figuras planas, a partir da utilização de softwares de

geometria dinâmica (GeoGebra, por exemplo), explorando atividades com

transformações isométricas. Esse trabalho pode ser articulado ao trabalho com

Números, no que se refere aos segmentos incomensuráveis.

EIXO GEOMETRIA


D4 - Identificar a relação entre o número de vértices,

faces e/ou arestas de poliedros expressa em umproblema.

22,6%

O estudante, para resolver questões que contemplem o D4 deverá conhecer as

figuras espaciais, especialmente os sólidos platônicos, identificando suas principais

características vértices, faces e arestas, para assim, a partir desses comprovar o

que determina a relação de Euler e aplicá-la corretamente.

4ª QUESTÃO: (SEAPE) – Observe a figura abaixo, e diga quantos vértices tem amesma.

A)24 B) 18 C) 12 D) 10 E) 8

RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA C


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Na face frontal vemos 6 vértices. Essa mesma quantidade de vértices encontramos

na face oculta (de traz), logo o total de vértices é 6 + 6 = 12.

5ª QUESTÃO: Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice

se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.

(A)28 B) 30 C) 32 D) 36 E) 38


Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20. As arestas que saem e

chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número

total de arestas. Veja:

A = 5 x 202

A = 50

De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2 »F + 20 = 50 + 2

F = 52 – 20

F = 32

O poliedro em questão possui 32 faces.

6ª QUESTÃO: Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a

2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de

vértices. O número de faces, de vértices e arestas desse poliedro é:

A) F = 7 A = 15 V = 10

B) F = 7 A = 10 V = 15

C) F = 10 A = 15 V = 7

D) F = 15 A = 10 V = 7

RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A


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Na questão não foram fornecidos nenhum dos valores solicitados, mas temos

informações suficientes para encontrar as três incógnitas, utilizando-se da resolução

de um sistema de equações.

Admitindo: V = F = V – 3 A = .V

V: vértice A: arestas F: faces

F = V – 3 » F = 10 – 3» F = 7

O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.

A equação dessa reta é:

EIXO GEOMETRIA


D7 Interpretar geometricamente os coeficientes da

equação de uma reta.

(20,7%)

Através da observação do gráfico, encontramos os valores dos coeficientes

angulares representado pela interceptação do eixo x e lineares representado pela


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intersecção do eixo y. Daí, de posse destes valores substituindo na forma da

equação da reta y= mx+n encontraremos a representação algébrica.Recomendamos

no trabalho com questões deste tipo associar as representações algébricas e

geométricas.

7ª QUESTÃO: (SAEB- adaptada) Mateus representou uma reta no plano cartesiano

abaixo.

A equação representada nesta reta é:

A) y = – x + 1

B) y = – x - 1

C) y = x – 1

D) y= 2x-1

E)y= -x


Os valores m e n são respectivamente coeficientes angular e linear e nesta questão

o m= tg 45º. e n= -1 sendo a expressão y= mx+n.Sendo assim, m=1 e n= -1, a

alternativa C

y= x-1 é a que representa a equação da reta.


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EIXO GEOMETRIA


D8 - Identificar a equação de uma reta apresentada apartir de dois pontos dados ou de um ponto e sua

inclinação.

19,3 %

Para resolver questões relacionadas ao D-8 é necessário que o estudante consiga

identificar pelo menos dois dos pares ordenados (x, y) disponíveis na

representação gráfica ou avaliar os coeficientes da equação da reta de forma

y=mx+n,onde m e n são inclinações angular e n linear respectivamente.

8ª QUESTÃO: O gráfico abaixo mostra

uma reta em um plano cartesiano. A

equação da reta representada no gráfico é:

A) x – y – 5 = 0

B) x + y – 5 = 0

C) x + y + 5 = 0

D) x + y – 4 = 0

E) x + y = 6

RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA B

Para encontrar a solução basta usarmos os pares (x,y) que dão origem a reta.

Para chegar à alternativa B basta substituir as coordenadas cartesianas (4,1) e (2,3)

nas equações dadas e obter como resultado o valor zero.

X + y – 5 = 0 x + y – 5 = 0

4 + 1 – 5 = 0 2 + 3 – 5 = 0

Em nenhuma das outras equações encontramos resultado zero.


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9ª QUESTÃO: (Prova Brasil)- Um engenheiro quer construir uma estrada de ferro

entre os pontos de coordenadas (2,3) e (4,7), devendo a trajetória da estrada ser

retilínea. Qual é a equação dareta que representa essa estrada de ferro?

A) y= 2x + 3

B) 4x = 7y

C) Y = 2x – 1

D) Y = + 2

E) Y = + 5


Para resolver esta questão pode-se utilizar a fórmula do coeficiente angular da reta

, e em seguida aplicar a fórmula da equação da reta a partir de um dos doispontos, por exemplo . Assim encontramos a equação da reta ,conforme mostram os cálculos abaixo.

10ª QUESTÃO: (Saresp). A reta r, representada no plano cartesiano da figura, corta

o eixo y no ponto (0,4) e corta o eixo x no ponto ( –2, 0). Qual é a equação dessa

reta?

A) Y = x + 4

B) Y = 4x + 2

C) Y = x – 2

D) Y = 2x + 4


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E) Y = x - 4


Para resolver esta questão também pode-se utilizar a fórmula do coeficiente angular

da reta e, em seguida escolhendo-se um dos dois pontos. O ponto porexemplo pode ser usado, e aplicando-se a fórmula da equação da reta, encontra-se

a equação da mesma Assim demonstram os cálculos abaixo.

SUGESTÃO DE ATIVIDADES

Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula:

O trabalho relativo às projeções ortogonais deve ser iniciado de forma bastante

intuitiva, a fim de facilitar o entendimento por parte dos estudantes e possibilitar, nas

etapas futuras, uma eficaz articulação entre geometria e álgebra. Por exemplo, a

queda de um giz pode simbolizar a projeção ortogonal de um ponto (giz) no plano

representado pelo piso da sala de aula. O professor pode improvisar um jogo de luz

e sombra, em uma vareta ou uma folha de papel, para facilitar o entendimento de

que existem outras projeções (e começar a distinguir, dentre elas, a ortogonal) e as

possibilidades de obtenção de diferentes formas projetadas que uma figura (a

vareta, a folha de papel) pode produzir no plano representado pelo piso ou parede

da sala. Após a realização desse trabalho, o professor deve levar o estudante a

concluir que, para localizar um ponto no plano, são necessárias duas informações

(no mínimo). É importante discutir a questão dos referenciais. O estudante deve ser

levado a concluir que, para informar a outro aluno onde foi feita uma marcação bem

pequena na parede, não basta ele dizer que o ponto está a 60 cm do piso (tomando

o piso como referência); é preciso dizer, também, que está a 1 metro da parede do

quadro, por exemplo. Em seguida, o sistema de eixos cartesiano deve ser retomado

e a representação de pontos, por meio de suas coordenadas, aprofundada. Nesse


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momento, pode-se retomar o uso do jogo de “Batalha Naval” e a localização de

cidades no mapa, por meio de suas coordenadas geográficas e do uso do GPS. A

explicação do termo “par ordenado” deve ser discutida com o estudante. Por que

par? Por que ordenado? (x,y) é o mesmo que (y,x)? O sentido geométrico dos

coeficientes da equação de uma reta pode ser facilmente explorado com a utilização

de um software que represente (desenhe) a reta a partir de sua equação (usar o

software Winplot, por exemplo). Na impossibilidade de se utilizar o software, o

estudante deve ser levado a representar diferentes retas em um mesmo plano

cartesiano, a partir de equações previamente (e convenientemente) selecionadas

pelo professor. O estudante deve ser levado a perceber o efeito do coeficiente

angular (se positivo ou negativo) na representação da reta no plano. Deve, ainda,reconhecer que, em retas paralelas, o coeficiente angular permanece constante e

que existe uma relação entre os coeficientes angulares de duas retas

perpendiculares. Nesta etapa de aprendizagem, um sistema de equações pode ter

sua solução interpretada sob o olhar da geometria; um sistema de duas equações e

duas incógnitas pode e deve ser associado ao estudo da posição relativa de duas

retas no plano. A existência ou não de soluções desse sistema deve ser interpretada

geometricamente e associada ao caso de retas coincidentes, secantes e paralelas.

EIXO GEOMETRIA

O estudante deverá ter informações sobre as funções: seno, cosseno e

tangente quanto ao domínio e a imagem, além de interpretar dados contidos em

tabelas que referenciam os pontos dos gráficos das funções trigonométricas.


D29 Identificar gráficos de funções trigonométricas(seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas

propriedades.

19,3 %


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11ª QUESTÃO: Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [0 ,

2 pi ] ?

(A) y =cos x (B) y =sen x (C) y =sen(2 x ) (D) y =sen2 x (E) y =2. sen x

RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA E

No gráfico verificamos que seu ponto de origem é uma característica da função

seno, e analisando a imagem verificamos que a mesma sofre uma ampliação do

dobro, em decorrência disso a alternativa y= 2 sen x é a correta.

EIXO GRANDEZAS E MEDIDAS

Descritor Percentual de acertoD 12 - Resolver problema envolvendo área de figuras

planas.

16,7 %

O estudante deverá reconhecer dentre as figuras planas aquelas cujas áreas

poderão ser calculadas diretamente e utilizando-se das formulas encontrar estas

áreas. Nas figuras onde não é possível encontrar suas áreas diretamente, o

estudante deverá ser capaz de dividir a figura dada, em duas ou mais figuras que


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possibilitem o cálculo de suas áreas para logo após serem somadas ou subtraídas

de acordo com o problema apresentado. É importante no trabalho com área das

figuras planas, associar o conceito de perímetro.

12ª QUESTÃO: (PUC-RIO 2008). A área da figura abaixo:

A) 24 cm2 B) 30 cm2 C) 33 cm2 D) 36 cm2 E) 48 cm2


Para resolver esta questão, primeiro é preciso perceber que na figura acima não

é possível encontrar sua área com um único cálculo, com uma única fórmula. Assim, ele deve identificar pelo menos uma possibilidade para dividir a figura, de

modo que possa encontrar as áreas dessas partes e soma-las, obtendo assim a

área total da figura dada. Pode-se encontrar nessa divisão da figura duas

possibilidades: um triângulo e um retângulo, ou um trapézio e um retângulo.

Logo, se mobilizará os conhecimentos de Multiplicação, Adição, Cálculo de Área

(trapézio, triângulo, retângulo) para resolver a questão de duas formas diferentes.

1ª Solução: (dividindo a figura em triângulo e retângulo)

Área do triângulo: A = =

Área do retângulo: A= Área total: Área do triângulo + Área de triângulo retângulo

http://www.infoescola.com/files/2010/05/exec15.jpg


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2ª Solução: (dividindo a figura em trapézio e retângulo)

Área do trapézio: A=

Área do retângulo: A= Área total = Área do trapézio + Área do retângulo 13ª QUESTÃO: (UDESC 2010). O projeto de uma casa é apresentado em forma

retangular e dividido em quatro cômodos, também retangulares, conforme ilustra a

figura.

Sabendo que a área do banheiro (wc) é igual a 3m² e que as áreas dos quartos 1 e 2

são, respectivamente, 9m² e 8m², então a área total do projeto desta casa, em

metros quadrados, é igual a:

A) 24 m2 B) 32 m2 C) 44m2 D) 72 m2 E) 56 m2


Essa questão é de Lógica, não envolve grandes cálculos.


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O objetivo da questão é descobrir as medidas dos lados do retângulo maior.

Nesse tipo de questão a base é sempre a menor célula, o WC (o banheiro).

1- A área do WC =1 x 3 ou 3 x 1

2 - o quarto 2 tem uma das paredes igual a do WC, logo não pode medir 3m (3 não é

divisor de 8 ), então é 1m.

3 - o quarto 2 mede 1m x 8m , daí, o quarto 1 mede 3 vezes o WC

4-Logo, podemos concluir que o retângulo maior tem largura = 1+1+1+1= 4m e o

comprimento = 8+3 =11m.

5-Assim, a área completa da planta é igual a 4 x 11 = 44 m2

14ª QUESTÃO: Qual é a medida da área em centímetros, do triângulo abaixo?

A) 16√3 B) 8√ C) 16√ D) 8√


Na questão o que é solicitado é que encontre a área do triângulo dado. Para

encontra-la precisamos da base dada (4 +4) = (8) e da altura h (desconhecida).Para

determinar a altura podemos utilizar o Teorema de Pitágoras, considerando a= 8, b=

h e c = 4.

Assim,

a2 = b2 + c2

82 = h2 + 42


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64 = h2 + 16

H2 = 64 – 16

H2 = 48

H = √ H = 4√ Logo, a área do triângulo é;

A =

A = √

A =

√ : 2

A= 16√ 15ª QUESTÃO: (UFMG 2008). O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos

lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme

mostrado nesta figura:

Então, é CORRETO afirmar que a área do quadrado PQRS é:

A) 1 + 2√2 dm² B) 1 + √2 dm² C) 3 + 2√2 dm² D) 3 + √2 dm²


Para resolver a questão, inicialmente precisa-se perceber que o octógono da figura é

regular, portanto possui os lados e os ângulos internos congruentes (iguais).


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Utilizando-se dessa propriedade e considerando, como podemos observar que

quatro dos lados do octógono que valem 1 dm formam com os quatro vértices do

quadrado triângulos retângulos isósceles.

Utilizado-se de um desses triângulos, considerando o lado do octógono como a

hipotenusa e os outros dois como os catetos (de mesma medida) que chamamos

de “a” nos cálculos abaixo utilizando o Teorema de Pitágoras obtêm-se o valor de

“a” igual √ . De onde podemos observar o lado do quadrado que está circunscrito aooctógono regular da figura dada correspondente ao lado 2a +1.

Assim, obtemos a área desse quadrado, desenvolvendo o produto notável efazendo as substituições devidas, chegamos à solução ( √ ).

√ √ √ √

√ √ √ ( √ )

16ª QUESTÃO: (PUC-RIO) Num retângulo de perímetro 60, a base é duas vezes a

altura. Então a área é:

A) 200 B) 300 C) 100 D) 50 E) 30

SOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A


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A questão só fornece o perímetro = 60 e a indicação de que a altura é uma medida

desconhecida (que chamaremos de x) e a base é o dobro dessa medida (que

chamaremos de 2x).

Partindo do valor do perímetro encontramos os lados desse retângulo.

Assim: P = x + 2x + 2x + x P = 6x » 60 = 6x » X = 10 é a altura do

retângulo, e a base é seu dobro 2x = 2 x 10 = 20.

Assim, tendo base e altura podemos calcular a área.

A = b x h

A = 20 x 10

A = 200

17ª QUESTÃO: (UFPR 2010). A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual

a 83 cm². Qual é a área do quadrado maior?

A) 36 cm² B) 20 cm² C) 49 cm² D)42 cm² E) 64 cm²


A figura é composta por três quadrados, todos com as medidas de seus lados

desconhecidas.

A área total 83 cm² e as medidas 4, 2 e x, são as bases que teremos para

responder à pergunta.

http://www.infoescola.com/files/2010/05/exec16mtm.jpg


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A questão envolve além do cálculo da área do quadrado, redução de termos

semelhantes, produtos notáveis, radiciação, fração, multiplicação, adição e

subtração.

Organizando a soma das áreas dos três quadrados e igualando à 83, temos:

x2 + (x + 2)2 + ( x + 2 – 4)2 = 83

x2 + (x + 2)2 + ( x – 2)2 = 83

x2 + x2 + 4x + 4 + x2 - 4x + 4 = 83

3x2 + 8 = 83

3x2 = 83 – 8

3x2 = 75

x2 =

x2 = 25, logo o valor de x é 5, já que só pode assumir valores positivos.

O quadrado maior tem lado igual a x + 2, portanto seu lado é 5+2 = 7.

Logo a área desse quadrado é: A = L x L A= 7 x 7 = 49 cm2

EIXO GRANDEZAS E MEDIDAS


D11 Resolver problema envolvendo perímetro defiguras planas.

16,7 %

Para responder questões relacionadas ao descritor acima é necessário a

compreensão do que é perímetro, e o reconhecimento das figuras planas, além de

efetuar as operações de adição e multiplicação. Recomendamos que no trabalho

com cálculos de perímetros associar ao conceito de área.


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18ª QUESTÃO: André possui um terreno retangular de perímetro 96 m, cujo

comprimento é o triplo da largura. Qual é a medida da largura e do comprimento,

respectivamente, desse terreno?

A) 8,0 cm e 24,0 cm.

B) 12,0 cm e 36,0 cm.

C) 22,5 cm e 25,5 cm.

D) 24,0 cm e 72,0 cm.

E) 46,5 cm e 49,5 cm.


Perímetro desta figura será a+a+3a+3a=8ª, então 8a=96. Isto implica que o valor de

a será a=12m.

Largura= a então, L=12m

Comprimento=3a, C=3.12=36m

SUGESTÃO DE ATIVIDADES

Orientações para o ensino, de acordo com os Parâmetros na Sala de Aula:

O estudo com as grandezas geométricas, nesta etapa, deve favorecer que o

estudante reconheça as diferentes grandezas que descrevem, qualitativamente, os

diferentes conceitos ou figuras geométricas e que, nas medições, as grandezas são

expressas por um número real, representando, quantitativamente, as unidades de

medida apropriadas dessas grandezas. Por exemplo, em um quadrado de lado

medindo 4 cm, podemos considerar o lado do quadrado, representado por um

segmento de reta, cuja grandeza a ele associada é o comprimento. A unidade de

medida adotada é o cm e o número real que expressa quantitativamente essa

grandeza é 4. Para estabelecer as fórmulas e determinar a medida da área e do

volume de figuras geométricas, é recomendável que o professor retome, ainda que

brevemente, o trabalho de composição e decomposição de figuras, já realizado em

etapas anteriores, e a planificação de sólidos (área lateral e área total). Ao visualizar

que todo retângulo, cuja área é dada por Base x Altura, pode ser dividido em dois


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26

triângulos, fica claro perceber e formalizar que a área do triângulo é dada por base ×

altura 2 . Essa mesma ideia ajuda a calcular a medida da área e do perímetro de

figuras planas limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência. Para

retomar os estudos sobre área do círculo, de setores circulares e coroas, o professor

deve considerar as ideias de ângulo central, comprimento do raio e

proporcionalidade, que já vinham sendo relacionadas em anos anteriores, para

formalizar os resultados. Por exemplo, metade do círculo, um quarto do círculo

(ângulos de 180°, 90°). Além disso, especial atenção deve ser dada ao número p

nas fórmulas do comprimento e área do círculo. Embora possa aparecer, a partir da

fórmula do comprimento da circunferência (C = 2pR), a expressão p = C 2R , isso

não é uma contradição. O professor deve alertar para o fato de que se trata de umvalor aproximado para p, já que este é um número irracional (e, portanto, não pode

ser escrito como uma razão). Ainda nesta etapa, o professor deve levar o estudante

a mobilizar conceitos e propriedades já trabalhados em anos anteriores (como

cálculo de áreas e alturas), a fim de torná-lo apto a estabelecer as fórmulas para o

cálculo da medida de volumes de prismas e cilindros, a exemplo do que já vinha

sendo feito no 9° ano. O recurso à História da Matemática pode ajudar bastante

nessa compreensão.

EIXO ALGEBRA E FUNÇÕES


D23 – Reconhecer a representação algébrica de uma

função do 1º grau dado o seu gráfico ou vice-versa .

22,3 %

Esse descritor aborda o conceito de função e suas diferentes representações,

enfatizando a relação algébrica e gráfica. O estudante necessita para resolver

questões relacionadas ao D23, a este necessita saber que toda representação de

função do 1º grau é uma reta inclinada transversal, conseguir representar

graficamente e algebricamente. Esse descritor aborda o conceito de função e suas

diferentes representações.


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19 ªQUESTÃO: O gráfico a seguir representa a altura (h) de uma planta, dada em

centímetros, em função do tempo (t), expresso em meses.

A expressão algébrica

que representa a função

esboçada é:

A) H = 5t

B) H = t + 5

C) H = 2t + 10

D) H = 5t + 10

E) H = 10t + 2

SOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA A

Para responder a questão basta observar no gráfico os pontos:

(0,0) – a origem, onde não contamos o tempo e portanto, não há crescimento;

(2,10) _ quando o tempo é dois a altura passa a ser 10.

Assim, usando os valores do segundo par ordenado nas expressões dadas como

opções encontramos a solução da questão, conforme cálculo abaixo.

H = 5 x t

H = 5 x 2

H = 10 (quando t = 2, h = 10), logo h = 5t.

20ª QUESTÃO: Em uma promoção de venda de camisas, o valo (P) a ser pago pelo

consumidor é calculado pela expressão


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P(x) = - x + 35 , onde x é a quantidade de camisas compradas (0 ≤ x ≤ 20).


Para chegar a alternativa correta basta utilizar o ponto x = 0 para encontrar P = 35 e

o valor do coeficiente angular (- ⁄ ) para identificar que a função é decrescente etambém utilizar o que diz o enunciado: a função é válida dentro do intervalo de (0 ≤x ≤ 20). Assim procedendo identificamos o primeiro gráfico como resposta.

21ª QUESTÃO: Na figura a seguir está representada uma reta num plano

cartesiano:

Essa reta é o gráfico da função

Resposta: Como a reta apresentada passa pela origem do sistema de coordenadas,

ela é o gráfico de uma função linear, que tem a forma y = ax. Como o ponto (3, 2)


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pertence ao gráfico, tem-se que essa equação é verdadeira para x = 3 e y = 2.

Nesse caso, obtém-se 2 = 3a, ou seja, . Logo, alternativa C.Por outro lado, podemos pensar em situações que envolvam contextos para

ser analisados nas diferentes representações. Veja a atividade a seguir.



D26 – identificar a representação algébrica e/ou gráfica

de uma função exponencial.

20,1 %

22 ª QUESTÃO: Entre os gráficos abaixo, aquele que representa adequadamente a

função y= 7x é:

A) B) C) D) E)

RESOLUÇÃO COMENTADA: ALTERNATIVA E


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O gráfico a função A representa uma parábola, função quadrática. O gráfico da

função B representa uma reta, função afim. O gráfico da função C representa uma

hipérbole, função recíproca. O gráfico da função D é uma reta paralela ao eixo das

abscissas, função constante. E finalmente, o gráfico da função E é uma curva com

característica com comportamento de função crescente com fator de aumento

positivo, portanto, o gráfico da letra E é uma função exponencial.

23ª QUESTÃO: (Vunesp). Certa substância se decompõe aproximadamente

segundo a lei , em que K é uma constante, t indica o tempo em

minutos e Q(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante t.

Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico,determine o valor de a.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5



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A função exponencial passa pelos pontos (a, 512) e (0, 2048).

Substituindo esses pontos na função, temos:

SUGESTÕES DE ATIVIDADE

Orientações para o ensino:No estudo de funções, ao considerar o modelo linear (f(x) = ax), devem-se

evidenciar as ideias de crescimento e proporcionalidade direta. Características dos

gráficos da função linear e da função afim devem ser trabalhadas simultaneamente,

de preferência com o auxilio de softwares (Winplot ou Geogebra, por exemplo). O

estudante deve ser levado a reconhecer que, na função linear, o gráfico passa pelo

ponto (0,0) e, na função afim (f(x) = ax + b), a intersecção com o eixo das ordenadas

é o ponto (0,b). Deve-se ressaltar o significado de “zero da função” e, igualmente,

devem ser discutidos os significados do coeficiente linear e do coeficiente angular de

uma função afim, no que se refere aos seus significados no plano cartesiano.

Situações abordando a realidade e o meio social do aluno (conta de luz, preço de

estacionamento etc.) podem ser utilizadas para o estudo das funções definidas por

mais de uma sentença polinomial do primeiro grau. No estudo da função polinomial

do segundo grau, é importante que os alunos compreendam o significado dos

principais elementos do gráfico, como zeros, intersecção com o eixo das ordenadas,


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eixo de simetria, concavidade e pontos de máximo/mínimo. Sugere-se que esses

conceitos sejam abordados a partir de desafios em que é preciso encontrar um certo

ponto de máximo (problemas clássicos de determinação de área máxima, por

exemplo). Quanto aos coeficientes, preferencialmente com a utilização de softwares,

o professor deve explorar a construção e análise de gráficos, variando os seus

valores e discutindo com o estudante as transformações ocorridas. Por exemplo, o

estudante deve ser levado a concluir que, ao variar o valor do coeficiente c na

representação algébrica y=ax2+bx+c, a parábola sofre translações ou, ainda, que a

concavidade da parábola está relacionada com o “sinal” de a. O vértice da parábola

é um ponto importante e merece uma atenção especial para sua determinação ou

identificação. É importante, nesse momento, recuperar a ideia de eixo de simetria daparábola; com essa ideia e conhecendo os zeros da função, caso existam, é

possível determinar as coordenadas do ponto de máximo ou mínimo (a abscissa

desse ponto é a média aritmética das raízes). Recomenda-se a não apresentação

de fórmulas de imediato (muitas vezes, desnecessárias), mas explorar exemplos

apropriados que levem o estudante a concluí-las.

No que se refere ao estudo da função exponencial, deve-se ressaltar seu padrão de

crescimento e levar o estudante a perceber diferenciações entre o modelo decrescimento/decrescimento da função exponencial em relação às funções lineares e

quadráticas. Assim como foi feito para a função quadrática, com o auxílio de

software, o professor deve estimular o estudante a perceber as transformações

sofridas pelo gráfico da função exponencial com modificações nos coeficientes de

sua expressão algébrica. Uma articulação natural entre o estudo da progressão

aritmética e a ideia de crescimento linear de uma função de domínio discreto deve

ser estimulada pelo



D27 – Identificar a representação algébrica e/ou gráfica

de uma função logarítmica, reconhecendo-a como

inversa da função exponencial.

18,6%


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33

24ª QUESTÃO: Observe o gráfico abaixo:

Que função esse gráfico representa?

a) y = log₂x b) y = -log₂x c) y = 2x d) y = -2x e) y = 2x


A questão solicita que se estabeleça a relação entre a representação algébrica e a

representação gráfica de uma função logarítmica. A função logarítmica representada

pelo gráfico é padrão log x com o ponto P (1,0) e crescente de onde podemos

deduzir que a base do logaritmo é positivo (2) ilustrado pelo comportamento

crescente da função. Daí, podemos concluir que a representação algébrica da

função é y = log₂x .

25ª QUESTÃO: Abaixo estão representados dois gráficos:


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De acordo com os gráficos:

A) Y = 2x está representado no gráfico 1

B) Y = x2 + 1 está representada no gráfico 2.C) Y = está representada no gráfico 2.D) Y = 2x está representada no gráfico 2.

E) Y = log x está representada no gráfico 2.


A opção A diz que o gráfico 1 representa y = 2x, que é uma função de 1º grau,

portanto deveria ser uma reta. Não é reta, portanto a afirmação é falsa.

A opção B diz que o gráfico 2 representa y = x2 + 1, que é uma função de 2º grau,

portanto deveria ser parábola. Não é parábola, portanto a afirmação é falsa.

A opção C diz que o gráfico 2 representa y = log₂x o que é correto, tornando aalternativa verdadeira.

A opção D diz que o gráfico 2 representa y = 2x que é uma função exponencial, mas

ele é uma função logarítmica, portanto a alternativa é falsa.

A opção E diz que o gráfico 2 representa Y = log x função logarítmica diferente darepresentada no gráfico 2, portanto a alternativa é falsa.

26ª QUESTÃO: Um automóvel parte da cidade de “Monte Verde” em direção a

cidade de “Alegre”. Durante as 3 primeiras horas de viagem, ele mantém uma

velocidade constante de 80km/h. Daí em diante, começa a aumentar sua velocidade


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até atingir 110km/h e permanece nessa velocidade. Dentre os gráficos abaixo,

aquele que ilustra a velocidade do automóvel em função do tempo é


Resposta: Do enunciado temos que durante as três primeiras horas o automóvel

mantém sua velocidade constante de 80km/h, após esse período sua velocidade vai

aumentando até atingir 110km/h, ou seja é crescente, permanecendo nessa

velocidade. Diante destes dados, o único gráfico que ilustra a velocidade do

automóvel em função do tempo é a alternativa B.


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REFERÊNCIAS

INEP. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira.

Matriz de Referencia ENEM. Disponível em http://enem.inep.gov.br/.

PERNAMBUCO. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DE PERNAMBUCO.

Matriz de Referencia do SAEPE. Disponível em

http://www.saepe.caedufjf.net/saepe-inst/.

PARÂMETROS NA SALA DE AULA - MATEMÁTICA (ENSINO FUNDAMENTAL E

MÉDIO). Secretaria de Educação do Estado de Pernambuco. Recife, 2013.

Sites consultados

www.portaleducacao.com.br

www.sitesistec.mec.gov.br

www.infoescola.com

www.matematicadidatica.com.br

www.brasilescola.com

files.gracinhaprof.webnode.com/.../EXERCICIOS%20DESCRITOR%207...

http://www.saepe.caedufjf.net/saepe-inst/http://www.saepe.caedufjf.net/saepe-inst/http://www.portaleducacao.com.br/http://www.portaleducacao.com.br/http://www.sitesistec.mec.gov.br/http://www.infoescola.com/https://www.google.com.br/search?biw=1093&bih=538&q=www.matematicadidatica.com.br&spell=1&sa=X&ei=M6x4VJieHoObgwTO7IJg&ved=0CBkQvwUoAAhttp://www.brasilescola.com/http://www.brasilescola.com/https://www.google.com.br/search?biw=1093&bih=538&q=www.matematicadidatica.com.br&spell=1&sa=X&ei=M6x4VJieHoObgwTO7IJg&ved=0CBkQvwUoAAhttp://www.infoescola.com/http://www.sitesistec.mec.gov.br/http://www.portaleducacao.com.br/http://www.saepe.caedufjf.net/saepe-inst/


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