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2009

MATEMÁTICA ELEMENTAR II:situações de matemática do ensino médio no dia a dia

Marcelo GorgesOlímpio Rudinin Vissoto Leite

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L55m

Leite, Olímpio Rudinin Vissoto.Matemática elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a

dia. / Olímpio Rudinin Vissoto Leite, Marcelo Gorges. – Curitiba, PR: IESDE, 2009.

444 p.

Sequência de: Matemática elementar IISBN 978-85-387-0414-0

1. Matemática (Ensino médio). I. Gorges, Marcelo. II. Inteligência Educacional e Sistemas de Ensino. III. Título.

09-3612. CDD: 510CDU: 51


Mestre em Gestão de Negócios pela Universidade Católica de

Santos. Graduado em Licenciatura em Matemática pela USP.

Olímpio Rudinin Vissoto Leite

Licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica

do Paraná.

Marcelo Gorges


EstatísticaMarcelo Gorges

Notações População: é o grupo observado, ou seja, todos os elementos de um conjun-

to que geralmente é numeroso.

Amostra: é um subconjunto típico da população observada, ou seja, apenas uma parte da população.

Tipos de variáveis Variáveis qualitativas: São as variáveis relativas a atributos dos indivíduos

ou objetos pesquisados.

Exemplos: nível de escolaridade, nacionalidade, religião, preferências etc. �

Variáveis quantitativas: São variáveis expressas em números.

Exemplos: salário, idade, número de filhos, estatura etc. �

As variáveis quantitativas podem ser classificadas em variáveis contínuas e discretas.

Quando uma variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo real, ela é denominada variável contínua. Características como altura, peso, compri-


346 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia

mento, espessura, temperatura enquadram-se nesta categoria. Nesta situação, os dados são gerados por um processo de medição.

Em situações em que os dados são gerados por processo de contagem, a vari-ável é denominada como discreta. Neste caso, a variável pode assumir somente cer-tos valores, em geral inteiros. Alguns exemplos de variável discreta seriam: número de filhos, quantidade de carros, número de acidentes etc.

Resumindo, uma variável pode ser:

variável

qualitativa

quantitativacontínua

discreta

Medidas de tendência central

Média aritmética A média aritmética pode ser calculada da seguinte forma:

Ma = x1 + x2 + x3 + ... + xn

n

Média aritmética ponderada É a soma do produto dos números pelos respectivos pesos, dividida pela

soma desses pesos.

Map = a . p1 + b . p2 + c . p3 + ... + x . pn

p1 + p2 + p3 + ... + pn


Estatística 347

Exemplos: Qual a média aritmética entre as idades 9, 28, 43 e 72 anos?1.

Solução:

Ma = 9 + 28 + 43 + 724

= 1524

= 38

Em uma escola a média dos 16 alunos do 8.º ano foi 6,2 e das 22 alunas foi 2. 6,8. Qual a média da turma toda?

Solução:

Map = 16 . 6,2 + 22 . 6,838

= 99,2 + 149,638

= 248,838

= 6,55

ModaModa (Mo): é o valor (ou valores) que mais aparece em uma dada distribuição

ou população.

Exemplo:Qual é a moda na seguinte distribuição de valores: 6, 9, 6, 9, 3, 5 e 6.

Solução:Moda é o valor que mais aparece, portanto:

Mo = 6

MedianaMediana (Md) é o valor que ocupa a posição central em uma distribuição

de valores organizada em ordem crescente ou decrescente. Se o número de va-lores da distribuição for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais.



Exemplos: Qual a mediana das seguintes distribuições, já ordenadas, abaixo:1.

2, 3, 3, 3, 4, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11.a)

Solução: Como a distribuição tem um número ímpar de elementos, a mediana é o ter-

mo central, Md = 9.

20, 20, 20, 18, 16, 16, 12, 12, 12, 8, 6, 1.b)

Solução: Como a distribuição tem um número par de elementos, a mediana é a média

entre os termos centrais.

Md = 16 + 122

= 282

= 14

Exercícios1. Qual a média aritmética de um aluno que obteve os seguintes resultados no

colégio: no 1.º trimestre 8,4; no 2.º trimestre 6,8 e no 3.º trimestre 7,2.

2. Qual é a média de idade de um time de futebol em que há 5 atletas de 22 anos, 3 atletas de 25 anos, 2 atletas de 29 anos e 1 atleta com 32 anos.


Estatística 349

3. Um aluno que tirou 8,0 no primeiro bimestre, 6,8 no segundo bimestre e 5,4 no terceiro bimestre, necessita tirar quanto no quarto bimestre para passar com média final 7,0?

4. Em um torneio de futebol um time marcou, respectivamente, em cada um de seus jogos, 2, 1, 4, 3, 4, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3 e 3 gols. Determine:

a moda (Ma) o);

a mediana (Mb) d);

a média aritmética dos gols marcados (Mc) a).

5. Qual a moda, a mediana e a amplitude da seguinte distribuição de valores: 56, 48, 22, 63, 47, 35, 64, 21, 43 e 35.



Medidas de dispersão

Amplitude total É a diferença entre o maior e o menor valor em uma distribuição de dados.

Exemplo: Qual a amplitude da seguinte distribuição de temperaturas, em graus Celsius,

dada abaixo?

8, 20, 36, 5, 18, 21, 12, 14, 30, 33.a)

Solução:Analisando a distribuição, a menor temperatura é 5ºC e a maior é 36ºC, por-

tanto a amplitude será:

Amplitude = 36 – 5 = 31ºC.

Desvio padrão O desvio padrão pode ser calculado pela seguinte fórmula:

Para a população:

Dp = (x1 – Ma)

2 + (x2 – Ma)2 + (x3 – Ma)

2 + ... (xn – Ma)2

n

, quando forem considerados todos os elementos da população.

Para uma amostra:

Dp = (x1 – Ma)

2 + (x2 – Ma)2 + (x3 – Ma)

2 + ... (xn – Ma)2

n – 1

, quando for considerada apenas uma amostra da população.


Estatística 351

Exemplo: Em uma competição de salto em distância, foram registrados os seguintes

resultados: 4,23m; 4,62m; 4,56m; 4,44m e 4,60m. Calcule o desvio padrão da com-petição.

Solução: Vamos dividir em passos este exercício:

1.º passo: Calcular a média aritmética dos valores dados. �

Ma = 4,23 + 4,62 + 4,56 + 4,44 + 4,605

= 22,455

= 4,49

2.º passo: Calcular os desvios de cada valor em relação à média aritmética. �

4,23 – 4,49 = – 0,26

4,62 – 4,49 = 0,13

4,56 – 4,49 = 0,07

4,44 – 4,49 = – 0,05

4,60 – 4,49 = 0,11

3.º passo: Elevar cada desvio ao quadrado. �

(– 0,26)2 = 0, 0676

(0,13)2 = 0, 0169

(0,07)2 = 0, 0049

(– 0,05)2 = 0, 0025

(0,11)2 = 0, 0121

4.º passo: Substituir os valores na fórmula adequada, como foram �considerados todos os valores da população temos:

Dp =0,0676 + 0,0169 + 0,0049 + 0,0025 + 0,0121

5 = 0,104

5 =

= 0,0208 0,144



Coeficiente de variação

CV = Dp

Ma

Onde CV representa o coeficiente de variação, Ma a média aritmética e Dp o desvio padrão.

Dizemos que o coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa, pois leva em consideração uma medida de dispersão absoluta, no caso o desvio padrão, e a média.

Exemplo: Considere a seguinte situação:

Uma empresa resolveu fazer um estudo com relação aos valores salariais de seus funcionários e a quantidade de anos de escolaridade, considerando os ensinos fundamental, médio, superior e pós-graduações.

Veja alguns dos dados levantados neste estudo:

Com relação aos valores dos salários, chegou-se a uma média de R$2.300,00 e um desvio padrão de R$460,00.

Com relação a escolaridade, os dados são os seguintes:

A média de anos de escolaridade foi de 14 anos, com desvio padrão de 2,8 anos.

Qual das grandezas apresentou maior variabilidade?

Solução: CV = DP

Ma

Para os salários temos:

CV = 4602 300

CV = 0,2


Estatística 353

Para os anos de escolaridade temos:

CV = 2,814

CV = 0,2

Considerando o Coeficiente de Variação, nenhuma das grandezas estudadas apresentou maior variabilidade.

Apresentação de dados estatísticos Para facilitar a análise e interpretação dos dados estatísticos devemos organi-

zá-los. Acompanhe alguns exemplos:

Em uma determinada escola foram coletados os “pesos” (em kg) de 50 alunos. Os resultados obtidos estão dispostos no quadro a seguir:

58 70 58 56 70 56 67 68 70 58

70 56 68 70 70 61 71 56 58 71

71 71 61 56 58 71 56 71 58 68

56 58 68 61 70 59 68 61 56 71

71 56 56 67 56 68 58 56 71 59

O primeiro passo para organizar esses dados é dispormos em uma determina-da ordem, crescente ou decrescente. Organizando, a tabela fica assim:

56 56 56 56 56 56 56 56 56 56

56 56 58 58 58 58 58 58 58 58

59 59 61 61 61 61 67 67 68 68

68 68 68 68 70 70 70 70 70 70

70 71 71 71 71 71 71 71 71 71

Os dados após a ordenação recebe o nome de ROL.



Frequências Frequência absoluta: é o número de vezes que a variável assume valor na

pesquisa.

Frequência relativa: é a razão entre a frequência absoluta e o número total de elementos considerados.

Observação: a frequência relativa percentual é a representação da frequên-cia relativa em forma percentual.

No tratamento de informações é muito comum a representação dos dados coletados em tabelas ou gráficos.

Tabela de frequências A partir do ROL, podemos construir uma tabela chamada tabela de frequências.

Para o ROL do exemplo anterior podemos montar a seguinte tabela de frequências:

Pesos Frequências (f)

56 12

58 8

59 2

61 4

67 2

68 6

70 7

71 9

A partir desta tabela de frequências vamos determinar a média desses da-dos já organizados.


Estatística 355

Para o cálculo da média aritmética, multiplicamos cada nota pela frequência correspondente, em seguida anotamos o produto obtido em uma nova coluna.

Pesos Frequências (f) xi . fi

56 12 672

58 8 464

59 2 118

61 4 244

67 2 134

68 6 408

70 7 490

71 9 639

Total: 50 3169

Agora devemos dividir o somatório do produto entre pesos e frequências pelo somatório das frequências, assim temos:

Ma = 3 16950

= 63,38

Então, 63,38kg representa a média aritmética do "peso" dos 50 alunos.

Ainda a partir desta tabela vamos determinar a mediana.

Nesse caso, como a distribuição tem um número par de elementos, a mediana é a média entre os termos centrais.

Os termos centrais são o 25.º termo equivalente ao número 61 e 26.º termo também equivale ao número 61, assim a mediana é:

Md = 61 + 612

= 61

Por fim, a moda é o valor (ou valores) que mais aparece em uma dada distri-buição, assim sendo, a moda será:

Mo=56



Exemplo: Nível de escolaridade de um determinado bairro.

Níveis Escolaridade Frequência Absoluta

Frequência Relativa

Frequência Relativa

porcentual

1 Nenhuma 3 3200

= 0,015 1,5%

2 E. Fundamental 34 34200

= 0,170 17,0%

3 E. Médio 103 103200

= 0,515 51,5%

4 Graduação 52 52200

= 0,260 26,0%

5 Pós - Graduação 8 8200

= 0,040 4,0%

Total 200 1,000 100%

Dada a tabela anterior , pode-se montar o seguinte gráfico de barras:

Frequência Absoluta

120

100

80

60

40

20

0

Nível de Escolaridade

Núm

ero

de p

esso

as

Escolaridade

Nenh

uma

E. F

unda

men

tal

Grad

uaçã

o

Pós-

Grad

uaçã

o

E. M

édio


Estatística 357

Exercícios6. Determine o desvio padrão do conjunto de valores: 13, 42, 26, 34 e 24.

7. De acordo com o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial), a avaliação da conformidade vem sendo cada vez mais usada por fornecedores para agregar valor e distinguir seus produtos, atraindo os consumidores e alcançando maiores fatias do mercado (retirado de: <www.inmetro.gov.br>). O laboratório de controle de qualidade de uma indústria de laticínios analisou duas máquinas envasadoras de iogurte e apre-sentou os resultados na seguinte tabela:

Iogurte Vida – Volume ideal: 250ml Iogurte Saúde – Volume ideal: 250 ml

Envasado na máquina A Envasado na máquina B

Resultados reais do volume do

iogurte (em ml)

247

Resultados reais do volume do

iogurte (em ml)

250

248 241

251 252

253 259

243 243

Calcule, para cada tipo de iogurte, as seguintes medidas:

a média aritmética;a)



a mediana;b)

a moda;c)

a amplitude;d)

e o desvio padrão.e)

De acordo com as medidas que você calculou, qual máquina envasa os iogur-tes de maneira mais conforme? Por quê?


Gabarito

Gabarito

Estatística

1. Ma = 8,4 + 6,8 + 7,23

= 22,43

= 7,47

2. Map = 5.22 + 3.25 + 2.29 + 1.3211

=

= 110 + 75 + 58 + 3211

= 27511

= 25 anos

3. Ma = 8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB4

7,0 = 8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB4

8,0 + 6,8 + 5,4 + 4ºB = 7,0 . 4

20,2 + 4ºB = 28,0

4ºB = 28,0 –20,2

4ºB = 7,8

4.

moda, Ma) o = 1 e 3 (cada valor aparece 4 vezes na distribuição de valores).

a mediana, Mb) d = 2 + 32

= 2,5

Mc) a = 2 + 1 + 4 + 3 + 4 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 3 + 312

= 2812

= 2,33 gols por partida.

5. Moda, Mo = 35 ( o valor aparece 2 vezes na distribuição de valores).

Mediana, Md = 43 + 472

= 902

= 45

6. 1.º passo: Calcular a média aritmética dos valores dados.

Ma = 13 + 42 + 26 + 34 + 245

= 1395

= 27,8

2.º passo: Calcular os desvios de cada valor em relação à média aritmética.

13 – 27,8 = –14,8

42 – 27,8 = 14,2

26 – 27,8 = –1,8


Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia

34 – 27,8 = 6,2

24 – 27,8 = –3,8

3.º passo: Elevar cada desvio ao quadrado.

(–14,8)2 = 219,04

(14,2)2 = 201,64

(–1,8)2 = 3,24

(6,2)2 = 38,44

(–3,8)2 = 14,44

4.º passo: Substituir os valores na fórmula, assim:

DP = 219,04 + 201,64 + 3,24 + 38,44 + 14,445

= 476,85

= 9,765

7.

máquina A: Ma) a = 248,4;

máquina B: Ma = 249;

máquina A: Mb) d = 248;

máquina B: Md = 250;

em nenhum dos casos existe moda, pois não há nenhum valor que tem uma fre-c) quência maior que a frequência dos demais termos;

máquina A: h = 10;d)

máquina B: h = 18;

e) máquina A:

DP = (247 –248,4)2 + (248 – 248,4)2 + (251 – 248,4)2 + (253 – 248,4)2 + (243 – 248,4)2

5 Dp = 3,85

máquina B:

Dp = (247 –249)2 + (248 – 249)2 + (251 – 249)2 + (253 – 249)2 + (243 – 249)2

5

Dp = 7,25

A máquina A envasa os iogurtes de maneira mais conforme (constante), pois a amplitude e o desvio padrão são menores em relação à máquina B, apesar de a média e a mediana estarem um pouco mais distantes do volume ideal.


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