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PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Produção Projeto e Desenvolvimento Pedagógico

Disciplinas Autores

Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Márcio F. Santiago Calixto Rita de Fátima BezerraLiteratura Fábio D’Ávila Danton Pedro dos SantosMatemática Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFísica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQuímica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hélio Apostolo Rogério FernandesHistória Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogério de Sousa Gonçalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venâncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71


1EM

_V_M

AT

_027

Área de figuras planas,

ângulos na circunferência e

Teorema de Tales

O cálculo das áreas de figuras planas é uma ferramenta muito utilizada na Engenharia e na Arqui-tetura, pois a maioria das plantas precisa do cálculo de áreas para melhor compreensão do tamanho da obra. No dia-a-dia também é muito utilizada na co-locação de azulejos, pois a compra é dada por uma unidade de área.

Retângulo

S = b . h

A diagonal do retângulo o divide em duas partes iguais.

Quadrado

S = 2


2 EM

_V_M

AT

_027

Paralelogramo

S = b . h

Demonstração: `

S1 + S2 = b . h

Triângulo

=b . h

S2

Demonstração: `

+ =

+ =

1 2

1 2

2S 2S b . h

b . hS S

2

Trapézio

=(B+b) . h

S2

Demonstração: `

=

−

(B+b) . hS b . h+

22bh+Bh bh

S=2

+=

+=

(Bh bh)S

2(B h) . h

S2

Losango

=d.D

S2


3EM

_V_M

AT

_027

Demonstração: `

+ + + =

+ + + =

1 2 3 4

1 2 3 4

2S 2S 2S 2S d . D

d . DS S S S

2

Círculo

S = R2

Circunferência é a região externa ao círculo e o seu comprimento é dado pela fórmula 2pR.

Demonstração: `

p= = p 22 R . R

S R2

Setor circular

a

a a= =

°

22 . R

S R ou S360 2

, para a em radianos.

Exemplo: `

Para a = 60° temos 2

260 RS R S

360 6° p

= p → =°

Coroa circular

S = R2 – r2

S = (R2 – r2)

Casos particulares

Triângulo equilátero

= 3

S4


4 EM

_V_M

AT

_027

Triângulo qualquer

a=

a . c . senS

2

Dado que o perímetro (2p) é igual a a + b + c, também temos outra relação:

2p = a + b + c

+ +=

a b cp

2

= − − −S p(p a)(p b)(p c)

Triângulo circunscrito

+ +=

a b cp

2

S = p . r

Triângulo inscrito

=a . b . c

S4r

Divisão de lados de um triângulo em partes proporcionais

SABC = b . h

2

SABC = SACD = SADE = SAEF

Ao girar o triângulo ABF, podemos notar que as áreas continuam iguais.

Razão entre áreas semelhantes

1 S1


5EM

_V_M

AT

_027

2

=

2

1 1

2 2

SS

Q1 e Q2 são quadrados:

1 2

Errado

= → = → = → =

1 1 Q1 Q1

Q2 Q12 2 Q2 Q2

S S S 1S 2 . S

S S 2 S 2

Certo

= → = → = → =

2 21 1 Q1 Q1

Q2 Q12 2 Q2 Q2

S S S 1S 4 . S

S S 2 S 4

Circunferência É o lugar geométrico dos pontos cuja distância

(raio) a um ponto fixo é constante (o centro da cir-cunferência).

CírculoO lugar geométrico dos pontos cuja distância

a um ponto fixo (centro) é menor (ou igual) que um número real fixo (raio).

G

O

SA

ED

C

B

r

F

RaioSegmento que une o centro a um ponto da cir-

cunferência (OD, AO, OB ).

Corda Segmento que une dois pontos da circunferência

( CE e AB ).

Arco

Uma parte da circunferência (EC ou EDC).

DiâmetroÉ uma corda que corta o centro da circunferência

( AB é a maior corda).

Flecha Segmento que o une o ponto médio da corda à

circunferência, formando um ângulo reto (FD).

Secante Reta que passa por exatamente 2 pontos da

circunferência (s ).

Tangente Reta que passa por apenas 1 ponto da circun-

ferência (r ).

Arcos e ângulos

Ângulo centralÉ o ângulo que tem o vértice no centro da cir-

cunferência.


6 EM

_V_M

AT

_027

A medida do ângulo central é igual à medida do arco correspondente.

A Bαο

= AB

Ângulo inscritoÉ o ângulo que tem vértice na circunferência.

A medida do ângulo inscrito é igual à metade do arco correspondente.

A

αV

B

= AB2

Ângulo do segmentoÉ o ângulo que tem o vértice na circunferência

e cujos lados são formados por uma secante e uma tangente.

A medida do ângulo de segmento é igual a metade do arco correspondente.

A

α

B

= AB2

Ângulo excêntrico interiorSão ângulos formados pelo cruzamento de duas

secantes no interior da circunferência, não necessa-riamente no centro.

A medida desses ângulos é igual a semissoma dos arcos determinados pelos seus lados.

B C

A Dα

β

+α =

+β =

AB CD2

AD BC2

Ângulo excêntrico exteriorÉ o ângulo formado por duas secantes que se

cruzam num ponto externo à circunferência.

A medida do ângulo é igual ao módulo da semi-diferença dos arcos determinados pelos seus lados.

BC

ADα P

−α =

CD AB2

Todo quadrilátero inscritível tem a soma dos ângulos opostos igual a 180º.

D B

A

C

A + C = B + D = 180º

Retas paralelas compreendem arcos de me-didas iguais.

A D

CB

rs

r//s

AB = CD

O raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência.

O

Q

r = tangenteOQ = raioOQ = ⊥ r


7EM

_V_M

AT

_027

Duas tangentes traçadas do mesmo ponto possuem medidas iguais.

A

BP

PA = PB

Posições relativas de duas circunferências

d = distância entre os centros.

Exterioresd > R + r

d

O O’

Tangentes exteriores d = R + r

dO

O’

SecantesR – r < d < R + r

Od

O’

Tangentes interioresd = R – r

Od

O’

Interioresd < R – r

O O’

Concêntricad = 0

O ≡ O’

Lei Linear de TalesAs linhas proporcionais foram muito utilizadas

por Tales para realizar a medição de algumas distân-cias de pontos localizados em lugares muito altos, de difícil acesso, ou da proa do navio em relação ao cais, assim criando o seu teorema.

Um feixe de retas paralelas cortadas por retas secantes determina sobre as secantes segmentos proporcionais.

a1

a2

a3

an bn

b1

b2

b3

r1

r4

r3

r2

rn+1

Para, r1 // r2 // r3 // r4 //... // rn + 1 temos:

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

a a a a a a ...... K

b b b b b b ...+ + +

= = = = =+ + +

K = constante de proporcionalidade.

Ao traçarmos uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, ela divide os outros dois lados em segmentos proporcionais.

A

E D

B C

AE EB ABK

AD DC AC= = =


8 EM

_V_M

AT

_027

Teorema das Bissetrizes

Bissetriz internaA bissetriz de um ângulo interno do triângulo

divide o lado oposto em segmentos que são propor-cionais aos lados do ângulo que foi dividido.

Demonstração: `

Traçando PC tal que:

A

B CM

P

a

aaa

AM // PC

AB AP, como AP AC

BM MC= =

temos: AB AP

BM CM=

bm n

cθ θ

A

B CM

b cm n

=

Bissetriz externaA bissetriz de um ângulo externo de um triângu-

lo divide externamente o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados do ângulo que foi dividido.

Demonstração: `

Traçando CP, tal que:

A

BC

M

Paa

aa

AM // PC

AB AP

BM CM= , como AP // AC

Temos: AB AC

BM CM=

m n

b

ac a

b cm n n

=+

Potência de pontosO estudo da potência de um ponto está direta-

mente relacionado com a posição do ponto no interior ou exterior de uma circunferência dada. Também é muito utilizado em construções trigonométricas.

Ponto P no interior da circunferência:

1.° Caso

Cordas: AA’, BB’, CC’

Ponto P no exterior da circunferência:

2.° Caso

Secantes: PB’, PC’, PD’

Tangentes: PA, PE

Observando a posição do ponto P, reparamos que no primeiro caso ele foi a interseção de cordas, enquanto no segundo caso o ponto foi a interseção de secantes e tangentes.


9EM

_V_M

AT

_027

Ao destacarmos duas cordas com interseção em P, podemos obter a seguinte relação:

O produto das partes de uma corda é igual ao produto das partes da outra corda.

∆PAB’ ~ ∆PA’B

PAPB

= PB’PA’

(PA.PA’ = PB.PB’)

Ao destacarmos duas secantes com interseção em P, podemos obter a seguinte relação:

O produto da secante por sua parte exterior é igual ao produto da outra secante por sua parte exterior.

∆PB’D ~ ∆PBD’

PDPB

= PB’PD’

(PB.PB’ = PD.PD’)

Ao destacarmos uma secante e uma tangente com interseção em P, obtemos a seguinte relação:

O quadrado da tangente é igual ao produto da secante por sua parte exterior.

∆PAC ~ ∆PAC’

PCPA

= PAPC’

(PA2= PC.PC’)

Podemos observar que, se duas tangentes concorrem de um mesmo ponto P, elas terão me-didas iguais.

PA = PC

Teorema de PitotEm todo quadrilátero convexo circunscrito a

uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois lados opostos.

AB + CD =AD+ BC


10 EM

_V_M

AT

_027

Demonstração: `

AB = x + y

CD = z + w

AB + CD = x + y + z + w

AD = x + w

BC = y + z

AD + BC = x + w + y + z

O quadrado ABC da figura tem 4cm de lado, calcule a 1. área da região hachurada.

Solução: `

∆= −

p= −

p= −

c1 ACD

2 2

1

2

1

SS S

4R

S4 2.4 4.4

S4 2

= p −

= p −

→ = p −

1

1

2

2F 1 F

S 4 8

S 4( 2 )cm

Logo S = 2S S 8( 2 )cm

Ache a razão entre a área do retângulo ABCD e do 2. retângulo BDEF, na figura.

Solução: `

= += +

+= =

+

ABCD 1 2

BDEF 1 2

ABCD 1 2

BDEF 1 2

S 2S 2S

S 2S 2S

S 2S 2SLogo 1

S 2S 2S

Calcule a área da região hachurada na figura, sendo os 3. círculos concêntricos, com a corda AB do círculo maior tangente ao menor, valendo 10cm.

M = Ponto médio de AB


11EM

_V_M

AT

_027

Solução: `

R0 = r2 + 52

R2 – r2 = 25

Como SF = p (R2 – r2)

SF = 25pcm2

João pretende escolher entre dois muros para pintar 4. ganhando a mesma quantia em ambos. O muro A tem base 20% maior que a base do muro B e altura 20% menor do que a altura do muro B. Qual a melhor escolha, entre os muros, que João pode fazer? Justifique.

Solução: `

Muro B: altura = h e base = b

Muro A: altura = 0,8 h e base = 1,2b

Área B = b . h

Área A = 1,2 b . 0,8 h = 0,96b . h

Área de A < Área de B. Logo o muro A é o mais vanta-joso para o João.

A área do triângulo ABC vale S, calcule a área da região 5. hachurada, se CD = DE = EA e BF = FD.

Solução: `

= =

= = =

ABCBDE

BDEBDF

S SS

3 3S

S S3S2 2 6

A área do quadrilátero ABCD da figura vale 32cm6. 2. Calcule a área da região hachurada, se M e N são pontos médios.

Solução: `

2S1 + 2S2 = 32

S1 + S2 = 16m2

A área do triângulo ABC da figura vale k, calcule a área 7. do trapézio BCDE em função de k.


12 EM

_V_M

AT

_027

Solução: `

=

=

=

2AED

ABC

AED

AED

S 2 xS 3x

S 4k 9

4kS

9

= −

= −

=

BCDE ABC AED

BCDE

BCDE

S S S

4kS k

95k

S9

Um aluno pegou uma figura geométrica de área igual a k, 8. em formato de um retângulo com diagonal d. Tirou uma cópia com redução da figura e a nova diagonal passou a valer d/3. Calcule a nova área em função de k.

Solução: `

=

=

1 1

2 2

2

2

SS

k dS d / 3

=

=

2

2

k9

S

kS

9

No círculo da figura a corda 9. BC é paralela ao diâmetro AD. Se A EB vale 20°, calcule o ângulo BCO.

D

B

Aa

E

C

o

Solução: `

D

B

Aa

E

C

o

40º

20º

a

Como BC // AD, os arcos AB e CD são côngruos, assim a = 40º.

Os pontos A, B, C, D e E pertencem à circunferência. 10. Determine o valor de a na figura.

AEB

C D

a30º

100º

Solução: `

AEB

C D

aa30º

80º

100º

Como ABCE é um quadrilátero inscrito na circunferência, A + C = 180º, assim C = 80º. Logo:

a + 30º + 80º = 180º

a= 70º

Na figura, O é o centro da circunferência e SR é igual 11. ao raio desta. Calcule a em função de β.

R P

TS

β aO

Q

Solução: `

R P

TS

β aOQ

β2β

aα = β α+ 2βα

aα = 3βα

O diagrama abaixo representa a distribuição da popula-12. ção de uma cidade pela sua renda familiar. Os ângulos centrais dos setores divididos são proporcionais a 1, 3, 4 e 7. As maiores rendas são destinadas ao menor número de pessoas. Determine o percentual de pessoas com renda acima de 20 salários mínimos.

Abaixo de 5salários mínimos

Entre 5 e 10salários mínimos

Acima de 20salários mínimos De 10 a 20

salários mínimos

Solução: `

Como os ângulos centrais são proporcionais a 1, 3, 4 e 7, temos:

a + 3αa + 4αa + 7αa = 360º

5αa = 360º

a = 24º

Assim, temos:

360º _________ 100%

24º_________ x

360 x = 24 . 100

x = 24.100

360

x = 6.66%Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

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13EM

_V_M

AT

_027

Calcule x, se as retas r, s e t são paralelas:13.

u v

r

s

tx

812

6

Solução: `

A figura acima é equivalente a:

uvr

s

t x

812

6

12 x8 6

8 x 72

x 9

=

==

No triângulo ABC da figura, 14. AB // EF //DG e os seg-mentos CD, DE, EF são proporcionais a 1, 2 e 3. Se BC vale 12cm, calcule FG.

Solução: `

A

B

E

G

F

DC

3x 2x

y

x

12

= → =

= =

12 y6 x . y 12 . 2 x

6 x 2 x24x

y 46 x

O perímetro de um triângulo ABC é 25cm. Sabendo que 15. AB = 4cm e AC = 6cm, calcular os segmentos determi-nados pela bissetriz interna de A no lado oposto.

Solução: `

A

B CM

4 aa 6

x y

x + y + 4 + 6 = 25

x + y = 15

4 6x y4y 6 x

3xy

2

=

=

=

+ =

= → = =

3xx 15

25 x 30 x 6 e y 9

Na figura, O é o centro da circunferência com 16. AB CD. Calcule o raio da circunferência se CE = 4cm e OE= 2cm.

D

B

Solução: `

x – 2

Raio = x

(x + 2) (x – 2) = 4 . 4

x2 – 4 = 16,

x2 = 20 x = 2 5 cm


14 EM

_V_M

AT

_027

Na figura, 17. PT é tangente da circunferência de raio r. Sabendo-se que PT = 2r, calcule o valor de PB .

Solução: `

x (x + 2r) = (2r)2

x2 + 2rx = 4r2

x2 + 2rx – 4r2 = 0

x – r – r 5 → não pode, por ser menor que zero.

– r + r 5

x = r ( 5 – 1 )

Na figura, 18. PA = 15cm. Calcule o perímetro do triângulo PRS, se PA , PB e RS são tangentes.

B

Solução: `

PA = PB = 15

B

2PPRS = 15 – x + 15 – y + x + y

2PPRS = 30cm

João tem uma horta em formato circular e a cercou 19. com arame tangenciando, construindo um triângulo conforme a figura.

Calcule a quantidade de metros usados por João para cercar a horta se algumas medidas já estão ilustradas.

v

Solução: `

ou seja: 8 + 10 + 12 = 30m

(UFF) Considere o triângulo PMN, retângulo em M, 1. representado na figura a seguir.

A área, em cm2, do triângulo obtido, unindo-se os pontos médios de , PM MN e NP , é:

4a)

6b)

12c)

20d)

24e)

(UERJ) O decágono da figura a seguir foi dividido em 9 2. partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado, e mais 4 outros triângulos.


15EM

_V_M

AT

_027

Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a:

14T + 3Qa)

14T + 2Qb)

18T + 3Qc)

18T + 2Qd)

(UFF) Determine a área da coroa circular da figura abai-3. xo, sabendo-se que o segmento PQ , medindo 8cm, é tangente à circunferência menor no ponto T.

8a) pcm2

16b) pcm2

24c) pcm2

32d) pcm2

(PUC) Triplicando-se o raio de uma circunferência:4.

a área é multiplicada por 9a) p.

o comprimento é multiplicado por 3b) p.

a área é multiplicada por 9 e o comprimento por 3.c)

a área e o comprimento são ambos multiplicados d) por 3.

a área é multiplicada por 3 e o comprimento por 9.e)

(Unirio) A figura representa um hexágono regular.5.

Calcule a área da região sombreada.

(Unicamp) Quantos ladrilhos de 20cm por 20cm são 6. necessários para ladrilhar um cômodo de 4m por 5m?

(Unirio) A área da região hachurada, na figura a seguir, 7. onde ABCD é um quadrado e o raio de cada circunfe-rência mede 5cm, é igual a:

225(4 )2

cmp−a)

25(b) p – 2) cm2

25(4 – c) p) cm2

25 22

2( )π − cmd)

5 44

2( )−π cme)

Se o lado de um quadrado aumenta de 20%, sua área 8. aumentará de:

10% a)

20% b)

40% c)

44%d)

50%e)

(Cesgranrio) A base de um retângulo de área S é au-9. mentada de 20% e sua altura diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:

1,04Sa)

1,02Sb)

Sc)

0,96Sd)

0,98Se)

(UFF) Duas circunferências de raios iguais a 2cm e uma 10. reta tangenciam-se em três pontos distintos.

O valor da área delimitada pelas circunferências e pela reta é igual a:

2(4 – a) p)cm2

2(5 – b) p)cm2

2(6 – c) p)cm2

2(7 – d) p)cm2

2(8 – e) p)cm2


16 EM

_V_M

AT

_027

Na figura a seguir, os círculos iguais têm raios iguais 11. e 2cm e tangenciam-se externamente nos pontos A, B e C.

Calcule a área hachurada delimitada pelos menores arcos.

(Unirio) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo.12.

Qual a medida do segmento a) EF ?

Qual a área do triângulo AED?b)

(PUC) Consideremos o círculo C de raio r e um qua-13. drado Q circunscrito a C. A área interior a Q e exterior a C se subdivide em quatro áreas idênticas, cada uma valendo:

(4–a) p) r2

14

2−

prb)

32

2−

prc)

p3

1 2−

rd)

p2

1 2−

re)

(PUC) Os pontos A, B, C, D, E e F dividem em seis partes 14. iguais o círculo de raio R.

Determine a área hachurada.

(PUC) Dois lados de um triângulo medem, respectiva-15. mente, 5cm e 6cm. O valor máximo que pode ter a área desse triângulo é de:

11cma) 2

15cmb) 2

20cmc) 2

25cmd) 2

30cme) 2

(UERJ) O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e sua 16. diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes iguais, respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}.

A área do triângulo FBG é uma fração da área do paralelogramo (ABCD). Calcule essa fração.

(UFC) Sejam r e s retas paralelas conforme a figura:17.

Se S1 representa a área do triângulo ABC, S2 representa a área do paralelogramo ADEF e B é o ponto médio do

segmento AD , então a razão SS

1

2

é igual a:

1a)

4b)

1

4c)

2d)

1

2e)

(UFRJ) Um pedaço de papel quadrado é dobrado 18. duas vezes de forma que dois lados adjacentes se sobreponham sobre a diagonal correspondente. Ao desdobrarmos o papel, vemos os quatro ângulos assi-nalados na figura.


17EM

_V_M

AT

_027

Determine as medidas dos ângulos a) a, b, c e d� � � .

Calcule a razão entre a área sombreada e a área do b) quadrado.

(Cesgranrio) No paralelogramo ABCD de área 24cm19. 2, os pontos P, Q e R dividem a diagonal BD em 4 partes iguais.

A área do triângulo AQR é:

2cma) 2

3cmb) 2

4cmc) 2

5cmd) 2

6cme) 2

(UFRGS) No triângulo ABC desenhado abaixo, P, Q e 20. R são os pontos médios dos lados.

Se a medida da área do triângulo hachurado é 5, a medida da área do triângulo ABC é:

20a)

25b)

30c)

35d)

40e)

(UFRJ) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 21. 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes, I e II, através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura:

A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B.

(UFRJ) Observe a figura a seguir (ABCD), que sugere 22. um quadrado de lado a, onde M e N são, respectiva-mente, os pontos médios dos segmentos CD e AD, e F a interseção dos segmentos AM e BN.

Utilizando esses dados, resolva os itens a e b.

Demonstre que o ângulo a) AFNˆ é reto.

Calcule a área do triângulo AFN em função de a.b)

(UFRJ) A figura abaixo mostra dois arcos de circunferên-23. cia de centro O, raios R e 2R, e três ângulos iguais.

Calcule a razão entre as áreas das regiões hachurada e não-hachurada.


18 EM

_V_M

AT

_027

(UFRJ) No círculo abaixo, a figura é formada a partir de 24. semicircunferências e AC = CD = DE = EB.

Determine S1/S2, a razão entre as áreas hachuradas.

(Unirio) Um artista plástico pretende fazer uma monta-25. gem fixando, uns sobre outros, quadrados de acrílico de cores e tamanhos diferentes, como mostra a figura a seguir.

O lado de cada quadrado é o dobro do lado do quadrado anterior. Sabendo-se que o preço do metro quadrado de acrílico é R$6,40, o custo total do material será de:

R$34,00a)

R$48,00b)

R$68,00c)

R$96,00d)

R$102,00e)

Dois círculos se cortam de tal forma que determinam 26. três regiões, como mostra o esquema abaixo:

Sabemos que o raio do menor círculo mede 5cm, que a região S1 equivale ao dobro de S2 e que a região S3 equivale ao triplo de S2. Calcule o raio do maior círculo.

Na figura, os três círculos são concêntricos e as áreas 27. das regiões hachuradas são iguais.

Se o raio do circulo menor é 5m e do maior é 13m, então o raio do circulo intermediário é:

12ma)

10mb)

11m c)

65 md)

5 3 me)

Na figura a seguir, calcule a razão entre a área do triân-28. gulo ABC e do triângulo hachurado.

A

B C3

1

3

1

A29. 1 A2 ... An é um polígono regular convexo, de n lados, inscrito em um círculo. Se o vértice A15 é diametralmente oposto ao vértice A46, o valor de n é:

62a)

60b)

58c)

56d)

54e)

Na figura a seguir, os pontos M, N e P são de um tri-30. ângulo equilátero e os pontos M, Q, R, S são vértices de um quadrado.


19EM

_V_M

AT

_027

QN corresponde ao lado do:

hexágono regular.a)

octógono regular.b)

eneágono regular.c)

decágono regular.d)

dodecágono regular.e)

(Cesgranrio) Um quadrilátero convexo está inscrito em 31. um círculo.

A soma, em radianos, dos ângulos e mostrados na figura é:

4a)

2b)

c)

2d)

2 e)

(Cesgranrio) Na figura abaixo, 32. AB = 20°, BC= 124°, CD= 36° e DE = 90°.

Calcule o ângulo .

56ºa)

48ºb)

46ºc)

39ºd)

37ºe)

As semirretas PM e PN são tangentes ao círculo da 33. figura e o comprimento do arco MGN é 4 vezes o do arco MFN.

O ângulo ΜMPN vale:

76°a)

80°b)

90°c)

108°d)

120°e)

(UFAL) Seja a circunferência de centro O, representada 34. na figura abaixo.

o

A medida , do ângulo assinalado, é:

30°a)

40°b)

50°c)

60°d)

70°e)

Calcule 35. nas questões de 35 a 39.

10°a)

20°b)

30°c)

40°d)

50°e)


20 EM

_V_M

AT

_027

(Unisantos-SP) 36.

31°a)

38°b)

48°c)

50°d)

56ºe)

(Cesgranrio)37.

20ºa)

30ºb)

40ºc)

50ºd)

60ºe)

(UCBA)38.

10ºa)

15ºb)

20ºc)

25ºd)

30ºe)

(UFES)39.

50ºa)

52ºb)

54ºc)

56ºd)

58ºe)

O valor de x, na figura abaixo, é:40.

30ºa)

35ºb)

55ºc)

75ºd)

90ºe)

(UFF) Os pontos M, N, P, Q e R são vértices de um 41. pentágono regular.

A soma + + + + é:

360ºa)

330ºb)


21EM

_V_M

AT

_027

270ºc)

240ºd)

180ºe)

(UFRJ) Na figura dada a seguir:42.

ΜΜAB • é lado de um octógono regular inscrito;

t é uma tangente. •

Qual a medida de ?

Na figura, as retas s e t são paralelas.43.

O valor de x + y é:

6a)

7b)

8c)

9d)

10e)

O valor de x na figura, é:44.

16a)

14b)

12c)

8d)

6e)


7a)

6b)

5c)

4d)

3e)


10a)

11b)

12c)

14d)

16e)

(Cesgranrio) As retas r47. 1, r2, r3 são paralelas e os com-primentos dos segmentos de transversais são indicados na figura.

Então x é igual a:

4a) 15

152

b)

5c)


22 EM

_V_M

AT

_027

85

d)

6e)

(Vunesp) Na figura, o triângulo ABD é reto em B, e AC 48. é a bissetriz de BÂD.

Se AB = 2BC, fazendo BC = b e CD = d, então:

d = ba)

d = b) 52

b

d = c) 53

b

d = d) 65

b

d = e) 54

b

(UNI-RIO) No desenho abaixo apresentado, as frentes 49. para a rua “A” dos quarteirões I e II medem, respectiva-mente, 250m e 200m, e a frente do quarteirão I para a rua “B” mede 40m a mais que a frente do quarteirão II para a mesma rua.

Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é:

160a)

180b)

200c)

220d)

240e)

(MAPFEI) Três terrenos têm frente para a rua “A” e para 50. a rua “B”, como na figura.

As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Qual a medida de frente para a rua “B” de cada lote, sabendo-se que a frente total para essa rua é 180m.

80m, 60m, 40ma)

90m, 70m, 40mb)

80m, 50m, 30mc)

60m, 40m, 30md)

80m, 50m, 20me)

Determine x e y, sendo r, s e t retas paralelas.51.

Na figura, os pontos A, B, C e D situam-se na circunfe-52. rência de centro O e raio r.

Ponto P é tal que OP r< . Então:

BDAC

CPBP

=a)

BDAC

APDP

=b)

APDP

CPBP

=c)


23EM

_V_M

AT

_027

DPAP

CPBP

=d)

BDAC

APPC

=e)

O valor de X na figura é:53.

203

a)

3

5b)

1c)

4d)

5e)

Na figura, são dados 54. AEEC

= 13

BE = 8cm e ED = 6cm. Calcule

BDAC

APPC

=:

10a)

12b)

16c)

18d)

20e)

Na figura, ABC representa um trecho reto de uma estra-55. da que cruza o pátio circular de centro O e raio r.

O

Se AC = 2r = AO, então BC vale:

o dobro de AB.a)

23

b) de AB.

AB.c)

a metade de AB.d)

13

e) de AB.

(UFRJ) Na figura a seguir, vale a relação:56.

O

aa) 2 = xy

a = x (x + y)b)

ac) 2 = x (x + y)

ad) 2 = y (x + y)

a = x (x – y)e)

(Cesgranrio) Na figura abaixo, AB = 8cm, BC = 10cm, 57. AD = 4cm e o ponto O é o centro da circunferência.

O

O perímetro do triângulo AOC mede, em cm:

26a)

45b)

48c)

50d)

54e)

Em um círculo de centro O e raio 10, traçam-se dois 58. diâmetros perpendiculares AB e EF e a corda AC, como mostra a figura.

O

Se AC = 16, o segmento AD mede:

8 2a)

12,0b)


24 EM

_V_M

AT

_027

12,5c)

13,0d)

6 3e)

Nesta figura 59. AT é tangente à circunferência do raio r.

Sabendo-se que AT r= 2 , então o valor de AC é:

( )5 1+ ra)

1 + 2 rb)

rc) 2

5 rd)

( )5 1− re)

(RURAL) O raio de um círculo mede 6m. Por um ponto P, 60. distante 10m do centro, traça-se uma tangente. O com-primento da tangente entre P e o ponto de contato, é:

4ma)

6mb)

8mc)

10md)

12me)

Na figura, 61. AB = 8, AC = 10 e BC = 6.

A medida do segmento BT é:

0,5a)

1,0b)

1,5c)

2,0d)

2,5e)

(UFRJ) Na figura abaixo, o quadrado ABCD tem lados 1. 6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A região hachurada tem área 16.

Determine x.

(UFRJ) Na figura abaixo, R é um ponto pertencente ao 2. lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC.

Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS.

Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS

e ABC vale pqbc

.

(UFRJ) O hexágono ABCDEF é construído de modo 3. que MNP seja um triângulo equilátero e AMPF, BCNM e DEPN sejam quadrados.

A área do hexágono ABCDEF é igual a ( )3 3 2+ cm .

Determine o comprimento, em centímetros, do lado do triângulo MNP.


25EM

_V_M

AT

_027

(UFRJ) Os três lados do triângulo equilátero ABC foram 4. prolongados de segmentos AA’ = BB’ = CC’, de modo que a medida do segmento AA’ corresponde a 20% da medida do lado AC, conforme indicado na figura a seguir.

Determine o percentual de aumento que a área do triângulo A’B’C’ apresenta em relação à área do triângulo original ABC.

(UFF) Considere uma folha de papel em forma do 5. retângulo RSTU, como na figura 1. São feitas, suces-sivamente, 2 dobras nessa folha. A primeira é feita de modo que o ponto S caia sobre o segmento MN, sendo M e N, respectivamente, pontos médios de RS e UT, de acordo com a figura 2. A segunda é feita de modo que o ponto P também caia sobre o segmento MN, conforme a figura 3.

A área do triângulo MPQ é:

18 2 2cma)

36 2 2cmb)

30cmc) 2

45 3 cm2d)

(Unificado) OPQ é um quadrante de círculo, no qual 6. foram traçados semicírculos de diâmetros OP e OQ.

Determine o valor da razão das áreas hachuradas, ab

.1

2a)

12

b)

π4

c)

1d)

π3

e)

Traçaram-se semicírculos justapostos a cada um dos 7. lados de um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.

O semicírculo de hipotenusa AB sobrepõe-se, em parte, aos dois outros semicírculos, produzindo duas lúnulas, tracejadas na figura. Que relação existe entre a área total das duas lúnulas e a área do triângulo?

(Associado) Um espiral, começando na origem dos eixos 8. coordenados, é construído traçando-se semicírculos de diâmetros OM MS SP, e .

A área da região hachurada vale:π2

a)

34π

b)

4 3 36

π −c)

7 3 36

π −d)

11 6 312

π −e)


26 EM

_V_M

AT

_027

Na figura, ABCD é um quadrado e os dos semicírculos 9. encontram-se em P.

Sabendo que PC = 2 2 , a área hachurada é igual a:

2a)

4b)

2 6c)

4 6d)

6e)

(UFRJ) Há um conhecido quebra-cabeça que consiste 10. em formar um quadrado com as partes de um triângulo equilátero, como mostram as figuras.

Partindo de um triângulo equilátero de perímetro 24cm, calcule o perímetro do quadrado.

(UFRJ) A figura abaixo é formada por dois quadrados 11. ABCD e A’B’C’D’, cujos lados medem 1cm, inscritos numa circunferência. A diagonal AC forma com a dia-gonal A’C’ um ângulo de 45º.

Determine a área da região sombreada da figura.

(UFRJ) Na figura dada temos um semicírculo de raio R 12. e centro O. O ângulo entre o raio OB e o lado DC é a.

Calcule a área do retângulo ABCD, em função de a) R e a.

Mostre que a área do retângulo ABCD é máxima b) para a = 45º.

(UFRJ) O retângulo ABCD está inscrito no retângulo 13. WXYZ, como mostra a figura.

Sabendo que AB = 2 e AD = 1, determine o ângulo θ para que a área de WXYZ seja a maior possível.

(Unicamp) Construir “fractais” no computador corres-14. ponde a um procedimento como descrito a seguir. A partir de um triângulo equilátero de área A, acrescenta-mos no meio de cada lado um outro triângulo equilátero de lado igual a um terço do anterior; aos lados livres desses triângulos acrescentamos triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim, sucessiva-mente, construímos uma figura com uma infinidade de triângulos (veja o desenho).

Calcule a área, em termos de A, da região determinada por esse processo.


27EM

_V_M

AT

_027

(UFF) Na figura, cada lado do quadrado de lado 3cm 15. é dividido em três partes iguais, sobre cada um desses lados, na divisão central, constrói-se outro quadrado cujos lados também são divididos em três partes iguais e, mais uma vez, nas divisões centrais, novos quadrados são construídos.

Determine a área total da figura que será obtida se o processo for repetido análoga e indefinidamente.

(UFPI) Para colocar o piso de um terraço retangular, 16. um construtor usaria 880 unidades de cerâmica nas dimensões de 20cm x 30cm. Entretanto, ele possui, em estoque, 1 300 cerâmicas do mesmo tipo, nas dimensões de 20cm x 20cm. Usando o seu estoque, o construtor teria:

que comprar mais 120 cerâmicas de 20cm x 20cm.a)

que comprar mais 20 cerâmicas de 20cm x 20cm.b)

o número exato de cerâmicas a serem aplicadas.c)

uma sobra de 20 cerâmicas de 20cm x 20cm.d)

uma sobra de 120 cerâmicas de 20cm x 20cm.e)

Na figura, ABC é um triângulo retângulo isósceles com 17. AC CB= . DEF é um arco de circunferência de centro A.

Calcule a razão ADCB

, sabendo que as áreas hachuradas são iguais.

(UFF) Sendo 4cm18. 3 a área do menor quadrado da figura, determine a área do maior.

Em um triângulo ABC, M é o ponto médio de 19. AB e N é o ponto médio de AC . Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a área do quadrilátero BMNC vale 15m2.

(Cesgranrio) O quadrado da figura tem diagonal 20. CD igual a 10cm. Os segmentos paralelos AB CD e EF, , dividem o quadrado em 4 regiões de mesma área. Calcule o comprimento do segmento AB .

Na figura abaixo, S21. 1 é a área do quadrilátero MNBA, S2

é a área do triângulo ABC e MN é paralelo a BA .

Calcule x, sabendo que S1 = 51% de S2.

Nas figuras a seguir, calcule as áreas hachuradas em 22. função da área S do triângulo ABC.

a)


28 EM

_V_M

AT

_027

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)


29EM

_V_M

AT

_027

n)

o)

Os pontos ABCDE da figura resultaram da divisão de 25. uma circunferência em 5 pares congruentes.

E A

B

CD

Por consequência, a soma dos ângulos:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 é igual a:

800°a)

700°b)

720ºc)

760°d)

780°e)

Na figura, os círculos são iguais. AC contém os dois 26. centros e AD é tangente ao círculo de centro O’.

Prove que CD = BD + BE

Determine x na figura a seguir.27.

100a)

110b)

120c)

130d)

140e)

Rodrigo gasta 3 latas de tinta para pintar uma estátua. 23. Se cada lata custa R$25,00, calcule o valor gasto por Rodrigo para pintar uma outra estátua semelhante a primeira, porém com o dobro da altura.

(PUC) São dados 3 pontos P, Q e R sobre cada um dos 24. lados do triângulo ABC da figura abaixo.

Sabendo que APAB

BQBC

CRBC

= = = 23

, encontre ST

, onde

S é a área do triângulo ABC e T é a área do triângulo PQR.


30 EM

_V_M

AT

_027

(Unificado) Em relação à figura a seguir, considere:28.

ABI. é um diâmetro da circunferência de centro O;

a reta t, paralela à corda II. ΜΜAR, é tangente à circunfe-rência no ponto T;

o ângulo BÂR mede 20°.III.

Então, a medida do ângulo x formado pela reta t e pela corda AT é:

25ºa)

35ºb)

40ºc)

45ºd)

60ºe)

(FGV) A medida do ângulo 29. ΜADC inscrito na circunfe-rência de centro O é:

125°a)

110°b)

120°c)

100°d)

135°e)

O pentágono ABCDE, da figura, está inscrito em um 30. círculo de centro O. O ângulo central, COD, mede 60°.

Então, x + y é igual a:

180ºa)

185ºb)

190ºc)

210ºd)

250ºe)

(U.F. Uberlândia) Em um dado triângulo retângulo 31. inscrevemos uma circunferência de diâmetro d e cir-cunscrevemos outra de diâmetro D. O perímetro do triângulo vale:

d + Da)

2d + Db)

d + 2Dc)

3/2(d + D)d)

2(d + D)e)

O quadrilátero PQRS está inscrito numa circunferência, 32. como mostra a figura abaixo.

Calcule a medida do ângulo QSR^ .

Seja P o centro de um quadrado construído sobre a 33. hipotenusa AC do triângulo ABC.

Calcule o ângulo PBC .


31EM

_V_M

AT

_027

Na figura abaixo, XÔY é reto, e o arco PX é o dobro 35. do arco XL.

Y

XO

Com esses dados, determine a medida do ângulo LÔX.

São dados da figura abaixo: AB = x, BC = 4, CD = 12. 37.

Pede-se o valor de AB.

Determine o valor da razão 38. JAJD

, considerando a figura e as medidas abaixo.

AB = 9

AC = 6

BC = 10

O perímetro de um triângulo ABC é 45cm. Sabendo que 39. AB = 10cm e AC = 15cm, calcular os segmentos deter-minados pela bissetriz interna de Â no lado oposto.

Na figura abaixo, ABCD é um trapézio, AB = 22cm, 40. CD = 13cm, MA

MD = 1

2 e MN é paralelo a AB .

O comprimento do segmento MN é:

16cma)

17cmb)

13cmc)

19cmd)

nenhuma das anteriores.e)

Na figura a seguir, 34. AD e BE são duas alturas do triân-gulo ABC.

Sabendo que o ângulo BAC mede 64º, calcule o ângulo ADE .

Seja uma partícula A com velocidade angular w36. A = 2 rad/min. Se ela parte do ponto P do círculo abaixo, em quanto tempo ela atinge a partícula B que está com velocidade igual a wB =

2 rad/min (ambas no sentido

horário)?

P

A

120o

WA

WB

B


32 EM

_V_M

AT

_027

(IME) Considere a figura abaixo, onde APOR é um 41. paralelogramo. AO é bissetriz interna, AB= 6cm e AC = 3cm.

Calcule o perímetro do paralelogramo APOR e a razão BOBC

.

Na figura abaixo, x e y são paralelos às bases do tra-42. pézio.

Calcule y – x.

Num triângulo ABC, 43. AB = 12cm, AC = 8cm e BC = 5cm. Seja D o pé da bissetriz interna AD e I o incentro

do triângulo, calcule a razão IAID

.

Um triângulo ABC é tal que 44. AC /BC = 3/4. A bissetriz do ângulo externo C corta AB no ponto P. Calcule a razão PA /AB.

(Integrado) Considere um decágono regular convexo 45. inscrito em uma circunferência de raio R.

Sabendo que BC é bissetriz do ângulo ABO, prove que

o lado do decágono é 10 = ( 5 – 1)R2

.

O circuito triangular de uma corrida está esquema-47. tizado na figura a seguir:

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve per correr o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, final-mente, a S.

Assinale a opção que indica o perímetro do circuito.

4,5kma)

19,5kmb)

20,0kmc)

22,5kmd)

24,0kme)

Na figura a seguir, 46. BC = 32, BDBA

= 14

DE//BC, DF//AC e EG//AB.

Calcule o segmento FG.

(IME) Prolonga-se o raio AO de um círculo de um 48. comprimento AB igual a AO; traça-se uma tangente ao círculo, sobre a qual se levantam as perpendiculares NA e BC.

Se OAC = 126°, qual o valor do ângulo ACB^ ?


33EM

_V_M

AT

_027

O valor de x, considerando que o quadrilátero ABCD 49. está circunscrito ao círculo, é:

1a)

2b)

3c)

4d)

5e)

Nas figuras abaixo, mostre que 50. PA PB PC PD. .= .

a)

b)

Na figura abaixo, mostre que 51. PT PA PB d R2 2 2= = −. , onde d é a distância do ponto P ao centro do círculo e R o raio.

Na figura abaixo, O é o centro do círculo.52.

Calcule as potências de A, B, C e O.

Calcule x para que a 53. pot A pot B pot C+ + seja igual a zero.

O

Um ponto P está no interior de uma circunferência de 54. 13cm de raio e dista 5cm do centro da mesma. Pelo ponto P traça-se uma corda AB de 25cm. Determine os comprimentos dos segmentos que P determina sobre a corda AB .

Considere as cordas 55. AP = 13 e BD = 12 de uma circun-ferência, que se interceptam no ponto Q; e um ponto C da corda AP = 13tal que ABCD seja um paralelogramo.

Determinado este ponto C, calcule AC .

Por um ponto P, distante 9cm do centro de círculo de 56. 7cm de raio, traça-se a secante PBC ao círculo de modo

que PB valha a metade do PC . Calcule o comprimento do segmento PC.

Na figura abaixo, 57. PA é tangente em A ao círculo. PA PC CB= = , PD = 1 e DE = 8 .

Calcule AC .


34 EM

_V_M

AT

_027

O palco de uma casa de espetáculos tinha o formato 61. do trapézio da figura, e por motivos estéticos foi cortado formando um círculo que seria inscrito no trapézio.

A

Calcule o raio do círculo, se AB m= 12 , AD m= 6 e BC = 8m.

(PUC-SP) A figura é uma circunferência de centro O 62. e o raio a com os segmentos de tangentes CB em T e BA em A.

Se AB mede b, a medida de AC é igual a:2ab

b a+a)

abb a−b)

2 2

2 2

abb a−c)

a bb a

2

2 2+d)

a bb a

2 2

2 2−e)

Considere um arco AB de um círculo. Seja N o pon-58. to médio do arco e M o ponto médio da corda AB cm= 18.

Calcule o raio do círculo sabendo que AB cm= 18 e MN cm= 3 .

As bases de um trapézio isósceles circunscrito a uma 59. circunferência medem 4m e 9m respectivamente. Calcule a altura do trapézio.

Um trapézio isósceles ABC tem base igual a 4cm e está 60. circunscrito a um círculo de 1cm de raio.

Seja EF uma paralela à base e tangente ao círculo inscrito. Calcule o segmento EF .


35EM

_V_M

AT

_027

B1.

A2.

B3.

C4.

24 332

32−

πcm5. cm2

5006.

A7.

D8.

D9.

A10.

2 2 3 2−( )π cm11. cm2

12.

145

a)

21625

b)

B13.

π3

32

2−

R14. R2

B15.

118

16.

C17.

18.

22°30’a)

2 1−b)

B19.

E20.

5m21.

22.

Resposta pessoal.a)

a2

20b)

57

23.


36 EM

_V_M

AT

_027

124.

A25.

10 33

26. cm

A27.

228.

A29.

E30.

C31.

E32.

D33.

E34.

B35.

C36.

E37.

C38.

E39.

A40.

E41.

157° 30’42.

B43.

A44.

E45.

C46.

E47.

C48.

A49.

A50.

y = 16; 51.

x = 15

C52.

B53.

C54.

E55.

C56.

E57.

C58.

E59.

C60.

D61.

x = 1 ou x = 21.

Demonstração.2.

1cm3.

72%4.

A5.

D6.

São iguais.7.

E8.

B9.

16 34 cm10. cm

6 4 2 2−( )cm11.

12.

Ra) 2.sen2a

Resposta pessoal. b)

45°13.

107A14.

15cm15. 2

B16.

2 ππ

17.

16cm18. 2

20m19. 2

5 2cm20.

8,421.

22.

S/2a)

2S/3b)

S/6c)

S/3d)

S/6e)

S/12f)

S/3g)

S/4h)

S/24i) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

37EM

_V_M

AT

_027

S/21j)

S/7k)

S/6l)

2S/15m)

S/3n)

S/70o)

R$300,00 (trezentos reais)23.

324.

C25.

Demonstração.26.

E27.

B28.

A29.

D30.

C31.

45°32.

33.

A

C

B

P PBC = 45°

26°34.

235. = 300 = 15°

26 36. 23

segundos

x = 837.

x = 638.

AJJD

= 32

BD39. = 8cm

DC = 12cm

D40.

O perímetro de APOR vale 8cm.41.

BOBC

= OCOC

22

= 23

y – x = 442.

AIDI

43. = 4

PAPB

44. = 34

45.

R = R –

l2 = R2 – Rl

l2 + Rl – R2 = 0

= ( 5 – 1)R

2FG46. = 16

B47.

A48. CB = 54°

B49.

Resposta pessoal.50.

Resposta pessoal.51.

96; 0; –16; –2552.

2 253.

16cm e 9cm54.

855.

8cm56.

457.

15cm58.

6m59.

1cm60.

Raio = 2,4cm61.

C62.


38 EM

_V_M

AT

_027


39EM

_V_M

AT

_027


40 EM

_V_M

AT

_027


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