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Mat.

Professor: Luanna Ramos

Monitor: Rodrigo Molinari

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Triângulos: Cevianas e pontos

notáveis

07

jul

RESUMO

Ceviana é qualquer segmento que parte de um vértice de um triângulo e corta o lado oposto a esse vértice.

São exemplos de cevianas: mediana, altura e bissetriz

Mediana

Mediana é uma ceviana que liga o vértice de onde ela parte ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.

Baricentro

O Baricentro é exatamente o ponto de encontro das medianas.

Importante saber que que se BD for a mediana do triangulo temos duas relações importantes BG = 2DG ,

BG =2

BD3

e DG = 1

BD3

.

Altura

A altura é uma ceviana que parte de um vértice e faz 90° com o lado oposto ao mesmo, ou seja, ela é

perpendicular ao lado oposto a esse vértice.

De cada vértice do triângulo parte UMA altura.

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Ortocentro

O ortocentro é exatamente o ponto de encontro das três alturas desse triângulo.

Bissetriz

A Bissetriz é uma ceviana que parte de um vértice do triângulo e que divide ao meio o ângulo referente a esse

vértice.

Em um triângulo, de cada vértice parte UMA bissetriz.

Incentro

O incentro é o ponto onde se encontram as três bissetrizes do triângulo.

O incentro também é o centro da circunferência inscrita nesse triângulo:

A Mediatriz não é dita ceviana, pois não necessariamente parte do vertice

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EXERCÍCIOS DE AULA

1. No triangulo obtusângulo MNP da figura, podemos afirmar que:

a) o baricentro se encontra na região externa do triângulo MNP.

b) o ortocentro se encontra na região externado triângulo MNP.

c) o incentro se encontra na região externa do triângulo MNP.

d) o circuncentro se encontra na região interna do triângulo MNP.

2. Na figura abaixo, o triângulo ABD é equilátero, e seu lado mede 3m.; H é o ortocentro, sendo que os

pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD , respectivamente.

Quantos rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura,

se cada rolo possui 1m de fita?

a) 18

b) 20

c) 22

d) 24

e) 26

3. Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe apenas de um lápis,

de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda.

Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na

circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é:

a) 3. b) 2. c) 4. d) 1. e) 5.

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4. Em um triangulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e

baricentro) estão alinhados. Dado que a distancia entre o ortocentro e o circuncentro e k, pode-se

concluir que a distancia entre o circuncentro e o baricentro será:

a) 5

2

k

b) 4

3

k

c) 4

5

k

d) 2

k

e) 3

k

5. No triangulo ABC a seguir, temos AP = BP e AQ = CQ . Sendo assim, os valores de x e y são,

respectivamente, iguais a:

a) 30 e 24.

b) 20 e 4.

c) 5 e 16.

d) 8 e 10.

e) 4 e 8.

EXERCÍCIOS DE CASA

1. Considere um triângulo equilátero de lado L como mostra a figura a seguir. Unindo-se os pontos

médios dos seus lados obtemos 4 (quatro) novos triângulos. O perímetro de qualquer um destes quatro

triângulos é igual a:

a) 5

2

L b) L c) 3L d)

2

L e)

3

2

L

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2. No triangulo ABC abaixo, temos BM = CM , BÂP = PÂC e AH perpendicular a BC e os pontos M, P e

H não são coincidentes. Podemos afirmar que:

I. AM é uma mediana e AH e uma altura

II. AP é uma mediatriz

III. AP é uma bissetriz

IV. AH é uma altura e AM é uma mediatriz

a) II e IV são verdadeiras.

b) I e III são verdadeiras.

c) I e II são verdadeiras.

d) III e IV são verdadeiras

3. Na figura, AN e BM são medianas do triângulo ABC. Se BM e igual a 12 cm, a medida do segmento

GM é igual a:

a) 10.

b) 9.

c) 8.

d) 6.

e) 4.

4. Em relação a um triangulo qualquer ABC, quais pontos notáveis estão posicionados necessariamente

na região interna do triangulo?

a) Baricentro e ortocentro.

b) Incentro e circuncentro.

c) Baricentro e circuncentro.

d) Incentro e ortocentro.

e) Baricentro e incentro.

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5. Se I e incentro do triangulo ABC abaixo, os ângulos  , B e C são, respectivamente, iguais a:

a) 30°, 60° e 90°.

b) 55°, 65° e 60°.

c) 40°, 80° e 60°.

d) 100°, 60° e 20°.

e) 65°, 55° e 60°.

6. No triangulo ABC abaixo, temos que BS e bissetriz do angulo ˆABC e AH e altura relativa à base BC.

Além disso, temos que ˆBAH = 30° e ˆBSA = 40°. Calcule o angulo ˆBCA .

a) 10°.

b) 20°.

c) 30°.

d) 45°.

e) 60°.

7. Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles mede 100°. Qual e a medida do angulo agudo

formado pelas bissetrizes dos outros ângulos internos?

a) 20°

b) 40°

c) 60°

d) 80°

e) 140°

8. Dada a figura:

Sobre as sentenças

I. O triangulo CDE e isósceles.

II. O triangulo ABE e equilátero.

III. AE e bissetriz do angulo BAD.

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é verdade que:

a) somente a I é falsa.

b) somente a II é falsa.

c) somente a III é falsa.

d) são todas falsas.

e) são todas verdadeiras.

Puzzle semana 21

Quantos arcos são necessários para marcar exatamente 100 nesse alvo?

QUESTÃO CONTEXTO

Um professor propõe uma atividade para ensinar seus alunos sobre as cevianas e seu ponto de encontro. Ela

orienta que recortem um triângulo de qualquer medida, tracem uma determinada ceviana respectiva a cada

vértice e depois determinem o ponto de encontro entre elas. Feito isso, ela pede para os alunos que

coloquem o triângulo em cima do dedo exatamente no ponto de encontro encontrado e eles reparam que

conseguem equilibrar esse triângulo. A professora afirma que esse é o centro de gravidade do triângulo. Que

ceviana era essa?

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GABARITO

Exercícios para aula

1. b

2. e

3. a

4. e

5. c

Exercícios para casa

1. e

2. b

3. e

4. e

5. c

6. a

7. b

8. e

PUZZLE da semana 20

O macaco foi de janela em janela pela seguinte ordem: 10, 11, 12, 8, 4, 3, 7, 6, 2, 1, 5, 9.

Questão Contexto

Mediana