matemática e – intensivo – v. 2 · matemática e – intensivo – v. 2 exercícios 01) a) 56...
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GABARITO
1Matemática E
Matemática E – Intensivo – V. 2
Exercícios
01) a) 56 b) 45 c) 1
a) 8
38
8 3 38
5 3568
3
= =
−= =C
!( )! !
!! !
b) 10
210
10 2 2108 2
45102
= =
−= =C
!( )! !
!! !
c) n
Cn
nnnn0 0 0
10
= =
−= =
!( )! !
!!
02) 40x6
O terceiro termo é dado por:
Tr + 1 = n
p
xn–p . ap
T3 = T2 + 1 = 5
2
(x2)5–2 . 22
T3 = 10 . 4 . (x2)3
T3 = 40x6
03) 540y15
Como temos n + 1 termos, isto é, 6 + 1 = 7 termos. Temos que o termo médio é T4.
T4 = T3 + 1 = 6
3
(3y)6 – 3 (y4)3
T4 = 6
3
(3y)3 . y12
T4 = 20 . 27 . y3 . y12
T4 = 540y15
04) C
Soma é dada para x = y = 1. S = (2 . 1 + 1)5
S = (3)5
S = 243
05) B
x = y = 1 ⇒ (1 + 1)n = 1024
2 210n
= n = 10 Segue,
A102 10
10 2108
10 9 8
810 9 90=
−( )= =
⋅ ⋅= ⋅ =
!!
!!
!
!
06) C
Tp + 1 = 12
p
x12 – p . 1
3x
p
Tp + 1 = 12
p
x12 – p . x–3p
Tp + 1 = 12
p
x12 – 4p
Para termos o termo independente devermos ter x12 – 4p = 1, isto é, 12 – 4p = 0 ⇒ p = 3.
Segue o termo independente, que é dado por:
T4 = 12
312
12 3 3123
= =
−C
!( )! !
T4 = 12
3129 3
12 11 10 9
9 3 2
= =
⋅ ⋅ ⋅⋅
!! !
!
!
T4 = 2 . 11 . 10 = 220
07) B
Tp + 1 = 4
p
. x4 – p . 1
x
p
Tp + 1 = 4
p
. x4 – 2p
Para termos o termo independente devermos ter x4 – 2p = 1, isto é, 4 – 2p = 0 ⇒ p = 2.
Portanto, o termo independente é Tp + 1 = T2 + 1 = T3, ou seja, o terceiro termo.
08) D
T4 = T3 + 1 = 8
3
(2x)8 – 3 . (–1)3
T4 = –8
3
2x5
T4 = –8
3
. 25 . x5
T4 = –56 . 25 . x5
Terceiro termo:
T3 = T2 + 1 = 8
2
(2x)8 – 2 . (–1)2
T3 = 8
2
(2x)6
T3 = 28 . 26 . x6
GABARITO
2 Matemática E
Logo, o quociente é dado por:
TT
x
x x x4
3
5 5
6 6
56 2
28 2
2
2
1=− ⋅ ⋅
⋅ ⋅=−⋅=−
09) 23
01. Correta. Pois o número de termos é dado por n + 1, ou seja, se n for par teremos um número ímpar de termos.
02. Correta. Soma dos coeficientes:
111
2 +
n
= 256
2n = 256
2 28n
= n = 8 Segue:
n2
2
= 82
!
= 4! = 24
04. Correta. Número de termos: n + 1. n + 1 = 6 n = 6 – 1 n = 5 Daí, o binômio é dado por
xx
25
1+
Logo, a soma dos coeficientes é:
S = 111
25
+
= 25 = 32
08. Incorreta. Como n = 4, temos 5 termos. Então o termo médio
é o terceiro termo.
T3 = T2 + 1 = 4
2
(x2)4 – 2 . 12
x
T3 = 4
2
(x2)2 . x–2
T3 = 6 . x4 . x–2
T3 = 6x2
16. Correta. (Considere xn para resolução do exercício.)
T1 . Tn = (x2)n . 1x
n
T1 . Tn = x2n . x–n
T1 . Tn = xn
10) Verdadeira.
Tp + 1 = 100
p
. (x)100 – p . 1x
p
Tp + 1 = 100
p
. (x)100 – p . x–p
Tp + 1 = 100
p
. x100 – 2p
Para obtermos o termo independente devemos ter x100 – 2p = 1, isto é, 100 – 2p = 0 ⇒ p = 50.
Portanto, o termo independente é da ordem 50 + 1 = 51.
11) E Terceiro termo:
T3 = T2 + 1 = 10
2
(2x)10 –2 . 1
2
2
T3 = 10
2
(2x)8 . 2–2
T3 = 45 . 28 . x8 . 2–2
T3 = 45 . 26 . x8
Quinto termo:
T5 = T4 + 1 = 10
4
(2x)10 –4 . 1
2
4
T5 = 10
4
(2x)6 . 2–4
T5 = 10
4
26 . x6 . 2–4
T5 = 210 . 22 . x6
Logo, a razão entre os coeficientes é dada por:
T
T3
5
6
2
4 345 2
210 2
3 2
14
3 27
3 87
247
=⋅
⋅=⋅=⋅=⋅=
12) D
Tp + 1 = 5
p
( 2 x2)5 – p . 2p
Tp + 1 = 5
p
2
12
5
( )
−p
. (x2)5 – p . 2p
Tp + 1 = 5
p
25
2−p
. 2p . x2(5 – p)
Tp + 1 = 5
p
25
2−+
pp
. x2(5 – p)
Queremos x6 = x2(5 – p), logo: 6 2 5= −( )p 3 = 5 – p p = 2
Portanto o coeficiente de x4 é:
5
22
5
22
5
2
5 22
232
2
⋅ =
⋅ =
−+ +
⋅⋅272
= 10 . 27 = 10 . 2 2 2 22 2 2⋅ ⋅ ⋅ = 10 . 23 . 2
GABARITO
3Matemática E
= 10 . 8 2
= 80 2
13) A
Tp + 1 = 7
p
x7 – p . a
x
p
Tp + 1 = 7
p
x7p . x–p . ap
Tp + 1 = 7
p
x7 – 2p . ap
Como queremos o termo x3, então: 7 – 2p = 3 7 – 3 = 2p 2p = 4 p = 2
Daí:
T3 = 7
2
a2 . x3
T3 = 21 a2x3
Como o coeficiente é 84, temos: 21a2 = 84
a2 = 8421
a2 = 4
a = 4 (pois a > 0) a = 2
14) C
T7 = T6 + 1 = 10
6
( x4 )10 – 6 1
6
x
T7 = 210 . x 44. 1
6x
T7 = 210 . x . 13x
T7 = 210 . x–2
15) 96
Tp + 1 = n
p
. xn – p . 15x
p
Tp + 1 = n
p
. xn – p . x–5p
Tp + 1 = n
p
. xn – 6p
Para que o desenvolvimento possua termo independente devemos ter:
n p p n
n
− = ⇒ =<
6 0 6
100
Então n é múltiplo de 6. Portanto, o maior múltiplo de 6 menor que 100 é 96.
16) B
Casos possíveis: 50 + 110 + 60 + 30 = 250 Caso favorável: 110
Probabilidade: P =110
25 0=
1125
= 44%
17) A
Probabilidade do jogador de basquete: 410
= 40%
Probabilidade do jogador de vôlei:5
12= 41%
Probabilidade do jogador de futebol:922
= 40,9%
Portanto, a ordem de probabilidade de ser pego é: basquete, futebol, voleibol.
18) a) 16
b) 512
a) Cristiano lança o dado e, sem perda de generalidade, suponha que obteve o número 2. Para haver empate Ro-naldo deve obter o número 2. Portanto, a probabilidade de haver empate é a mesma que a probabilidade de se obter o número 2.
Assim, P = 16
.
b) Possibilidades:
Possibilidades de Cristiano ser vencedor
( , );( , );( , );( , );( , );( , )
( , ) ;( , );( , );( ,
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
2 1 2 2 2 3 2 4→ ));( , );( , )
( , );( , ) ;( , );( , );( , );( , )
( , );(
2 5 2 6
3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6
4 1
→
→ 44 2 4 3 4 4 4 5 4 6
5 1 5 2 5 3 5 4 5 5
, );( , ) ;( , );( , );( , )
( , );( , );( , );( , ) ;( ,→ ));( , )
( , );( , );( , );( , );( , ) ;( , )
5 6
6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6→
Casos favoráveis: 15 Casos possíveis: 36
Probabilidade: P = 1536
= 5
12
GABARITO
4 Matemática E
19) A
Caso possível: 360° Caso favorável: 36°
Probabilidade: P =36
360
�
�=
110
20) E
Casos possíveis: 10 bolas Casos favoráveis: 8 bolas
−
1 1 0
32
5 454
73
, , , , , , ,
Probabilidade:
P = 8
10=
45
21) C
50% aplicam em caderneta de poupança: 150. 30% aplicam em fundos de investimentos: 90. 15% aplicam em ambos: 45.
300
CP
CP: Caderneta de poupançaNI: Fundos de investimentos
NI
105
105
45
45
Probabilidade: 105300
= 0,35
22) D
Chance de o jogador A ganhar: Probabilidade de se obter os números 6, 7 e 8:
36
1
36
2Dado Dado
Portanto, a probabilidade de o jogador A ganhar é:
P = 3
6
3
6
12
12
14
⋅ = ⋅ = = 0,25%
Logo, a probabilidade de o jogador B ganhar é:
P = 1 – 14
=34
= 0,75%
Daí, concluímos que o jogador B tem mais chances de ganhar do que o jogador A e, portanto, o jogo é injusto.
23) A
Casos favoráveis: 28 Casos possíveis: 80 Probabilidade:
P= = =÷
÷
÷
÷
28
80
14
40
720
2
2
2
2
24) B
Sejam a1, a2, …, a5 os raios da circunferência de menor raio para maior raio, respectivamente.
Temos a sequência: PG (a1, a2, a3, a4, a5)
PG (a , 2a , 4a , 8a , 16a )1 1 1 1 1
raio dacircunferência
maior
Como o diâmetro da mesa é 3 m e 20 cm = 320 cm,
então o raio da circunferência maior é 160 cm.
Daí: 16a1 = 160
a1 = 16016
a1 = 10 cm
Logo: Sejam C1, C2, …,C5 circunferências e P1, P2 e P3 regiões
pintadas.
10
20
40
80160
C2
C3
C4
C5
P1
P2
P3
C1
Área:
AP1 = AC1 = 102π = 100π cm2
GABARITO
5Matemática E
AP2 = AC3 – AC2 = (40)2π – (20)2π = 1600π – 400πAP2 = 1200π cm2
AP3 = AC5 – AC4 = (160)2π – (80)2π = 19 200π cm
Soma das áreas pintadas:
AP = AP1 + AP2 + AP3 = 100π + 1200π + 19 200πAP = 20 500π cm2
Probabilidade:
P = AA
P
C5
20 500
25 600=
ππ
= 0,8 = 80%
25) A
Sejam:C: defeitos nas costuras;S: solas descoladas;D: falta um dos cadarços.
l. Incorreta. P(C ∪ S) = P(C) + P(S) – P(C ∩ S)
Sem perda de generalidade, suponha que existam 100 produtos defeituosos.
Vamos calcular P(C). Casos possíveis: 100 Casos favoráveis: 25
Probabilidade: P = 25
100 = 1
4
Vamos calcular P(S): P = 17100
Vamos calcular P(C ∩ S): P = 15100
Portanto:
P(C ∪ S) = 14
+ 17100
– 15100
P(C ∪ S) = 25 17 15100+ − =
27100
= 27%
ll. Correta.
10% 2%
18%
15%sola
descolada
problema
na costura
falta um
cadarço
Total da porcentagem que possui um dos três defeitos é 10% + 15% + 2% + 18% = 45%.
Portanto, a porcentagem que não possui algum dos três defeitos acima é 100% – 45% = 55%. lll. Correta. P = 100% – P(C ∪ S) = 100% – 27% = 73%.
26) D
Casos favoráveis: 392 Casos possíveis: 773
Probabilidade: P=392773
27) B
1o sorteio Casos favoráveis: 3 Casos possíveis: 10 Probabilidade:
P1 =3
10
2o sorteio Casos favoráveis: 2 Casos possíveis: 9 Probabilidade:
P2 =29
Portanto, a probabilidade de se sortear 2 estudantes que pretendem fazer intercâmbio no Chile é:
P P P= ⋅ = ⋅ = =1 2
310
29
690
115
.
GABARITO
6 Matemática E
28) A
Ordem de retirada
1a carta 2a carta 3a carta 4a carta 5a carta 6a carta 7a carta 8a carta 9a carta
ímpar par ímpar par ímpar par ímpar par ímpar
Probabilidade59
48
47
36
35
24
23
12
1
Portanto, a probabilidade de ficarem alternadas em pares e ímpares é dada por:
P= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅59
4
8
47
3
6
3
5
2
4
2
3
1
212
P=⋅ ⋅1
9 2 7 P=
1126
29) D
I.
1
21 lº ançamento
1
22 lan amentoº ç
Probabilidade:
P= ⋅ = =12
12
14
25 %
II. C4,3 .
1
21 lº ançamento
1
22 lan amentoº ç
1
23 lan amentoº ç
1
24 lan amentoº ç
Probabilidade:
P C= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = =4 3
12
12
12
12
41
1614
25, %
III. De forma análoga aos itens anteriores concluímos:
P C= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅8 5
12
12
12
12
12
12
12
12,
P C= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =8 5 8 8
12
5612
561
256732
0 21875 218, , , %
Portanto, os itens I e II são igualmente prováveis.
30) E
A A total
X 6 % 4 % 10 %
X 2 % 88 % 90 %
total 8 % 92 % 100 %
A: Presença de um gene A
A : Ausência de um gene A X: Sofre da doença X X : Não sofre da doença X
Logo, a probabilidade de que uma pessoa dessa po-pulação seja portadora do gene A, dado que sofre da doença X, é de:
6
10= 60 %.
GABARITO
7Matemática E
31) C
Probabilidade de uma bola vermelha na primeira urna:
P = 25
Probabilidade de uma bola vermelha na segunda urna:
P = 12
Soma das probabilidades:
25
+12
=9
10
Portanto, a probabilidade de sair uma bola vermelha escolhendo uma urna ao acaso é:
12
·9
10=
920
32) 02
01. Incorreta. Casos possíveis: 5p 5p 5p Pelo PFC: 5 . 5 . 5 = 125 possibilidades
Casos favoráveis: 5p 5p 1p Pelo PFC: 5 . 5 = 25
Probabilidade:
P = 25125
= 0,2 = 20 %
02. Correta.
P124 8, =
124 8
12 11 10 9 8
4 3 2 8
5!
! !!
!=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
P124 8, = 11 . 5 . 9 = 495 caminhos.
04. Incorreta. Números divisíveis por 7: a1 = 7 an = 259 r = 7
an = a1 + (n – 1)r
259 = 7 + ( n – 1 ) 7 259 = 7 7 7+ −n 259 = 7n
n = 259
7 n= 37
Probabilidade: P = 37260
08. Incorreta. Números pares:
3p↓
3p 3p↓
não
pode o 0 (0, 2, 4)
Pelo PFC: 3 . 3 . 3 = 27 possibilidades. Portanto, alternativa incorreta.
33) E
Livros não lidos são 9.
1o livro 2o livro 3o livro
912
811
710
Probabilidade de não ter lido nenhum dos três livros é:
P = 9
12
811
710
3
4
811
710
⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅
P = 3 . 211
7
10
311
75
2155
⋅ = ⋅ =
34) E
Sem perda de generalidade, suponha que a área da terra seja 1000 m2.
terra (30 % em m2)
água (70 %)
Deserto ou regiões cobertas por gelo
25
120
Pastagens, florestas ou montanhas
13
100
Área cultivável
415
80
total 300 700
I. Incorreta.
Probabilidade: P = 801000
= 8 %
II. Correta.
Probabilidade: P = 100
10 00=
110
= 10 %
GABARITO
8 Matemática E
III. Correta.
7001000
= 0,7
IV. Correta.
Probabilidade: P = 12 0
100 0
12100= = 12 %
35) 27
1o dia 2o dia Casos favoráveis: 4 Casos favoráveis: 3 Casos possíveis: 7 Casos possíveis: 6 Probabilidade: Probabilidade:
P1 = 47
P2 = 36
Portanto, a probabilidade de que o valor total gasto pelo cliente nesses dois dias é:
P = P1 . P2 = 47
3
6
47
1
2
27
⋅ = ⋅ =
36) E
37) B
menina
crian aça1
1
22a crian aç
menino( )
1
23a crian aç
menino( )
1
24a crian aç
menino( )
Portanto, a probabilidade de nascer em 3 meninos é:
P = 12
. 12
. 12
=18
38) 11155
Casos possíveis: P11 = 11! Casos favoráveis: 3! . P5 . P4 . P2
Probabilidade:
P = 3 5 4 2
11
!⋅ ⋅ ⋅P P P
P
P = 3 5 4 211
! ! !!⋅
P = 34 560
39 916 800
P = 11155
39) a) 13
; b) 56
.
a) O total de números múltiplos de 5 ou de 6 no intervalo de 1 a 90 é:
905
906
905 6
+
−⋅
= 18 + 15 – 3 = 30.
Logo, a probabilidade pedida é:
3090
= 13
.
b) Considere que as 90 bolas são retiradas da urna sem reposição. Os eventos "o número da e-ésima bola retirada não é múltiplo de 6" e 1 ≤ i≤ 90 são equipro-váveis. Portanto, observando novamente que 906
= 15, a probabilidade pedida é igual à probabi-
lidade de o número da primeira bola retirada não ser
múltiplo de 6, ou seja, 1 – 1590
= 56
.
40) C
12
12
12
12
coroa cara cara cara Como a moeda com o lado coroa pode estar em 4
posições diferentes, então:
P = 41
2
1
2
12
12
14
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .
41) D
125
ser doente doente e
ser devorada
125
. 14
= 1
100 = 0,01
2425
não doente não doente e
ser devorada 2425
. 140
= 0,24
Probabilidade de ser devorada: 0,01 + 0,24 = 0,34 = 3,4 %
42) 15
Sangue RH+ RH–
Tipo O 80 20
Outros 80 20
01. Correta.
P = 100
2 00= 0,5 = 50 %
GABARITO
9Matemática E
02. Correta.
P = 80 80200+ = 160
200= 0,8 = 80 %
04. Correta.
P = 20 20200+ = 40
200= 0,2 = 20 %
08. Correta.
P = 20
200= 0,1 = 10 %
43) A
A probabilidade da lâmpada L1 (e L2) estar apagada é a probabilidade da chave C1 estar aberta:
P = 60 % Probabilidade da lâmpada L1 estar acesa e a
lâmpada L2 estar apagada:
Probabilidade
C fechada1
Probabilidade
C aberta2
P = 0,4 . 0,4 = 0,16 = 16 %
Portanto, a probabilidade de pelo menos uma lâmpada estar aberta é dada por:
P = 60 % + 16 % = 76 %.
44) A
Cada possibilidade de deslocamento do menino após 9 lançamentos da moeda pode ser interpretada como uma sequência de 9 elemen-tos (L – 1m para leste e 0 – 1m para oeste). Por exemplo, a sequência LLLLLLLLO significa que ele deu oito passos para leste e um passo para oeste, estando, portanto, a uma distância de sete metros do ponto de partida. Pelo princípio fundamental da contagem, existem 29 sequências possíveis. Dessas sequências, estamos interessados nas que aparecem sete vezes a letra L e duas vezes a letra O, pois somente nesses dois casos o menino estará a 5 m de distância do ponto de origem.
Assim, temos:
PP
=⋅2
297 2
9
,
P=⋅⋅
2 97 2
129
!! !
P=⋅ ⋅
⋅9 8 7
7
129
!
!
P=926
45) 9
P(–1) = a (–1)3 + 5(–1)2 – 7(–1) + 1 = 3 – a + 5 + 7 + 1 = 3 – a + 13 = 3 a = 13 – 3 a = 10 Logo, P(x) = 10x3 + 5x2 – 7x + 1. Assim, temos: P(1) = 10.13 + 5.12 – 7.1 + 1 P(1) = 10 + 5 – 7 + 1 P(1) = 9
46) a2 + b2 + c2 = 22 + (–3)2 + 12 = 14
ERRATA: Para a resolução do exercício, considere o polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx.
P(x) = ax3 + bx2 + cx P(x + 1) = a(x + 1)3 + b(x + 1)2 + c(x + 1) P(x + 1) = a(x3 + 3x2 + 3x + 1) + b(x2 + 2x + 1) + c(x + 1) = ax3 + 3ax2 + 3ax + a + bx2 + 2bx + b + cx + c = ax3 + (3a + b)x2 + (3a + 2b + c)x + (a + b+ c) Segue,
P(x + 1) – p(x) =
= ax3 + (3a + b)x2 + (3a + 2b + c)x + (a + b+ c) – ax3 – bx2 – cx
= (3a + b b− )x2 + (3a + 2b + c c− )x + (a + b + c) = 6x2
= 3ax2 + (3a + 2b)x + (a + b + c) = 6x2
Da igualdade de polinômios, temos:
3 6
3 2 0
0
a i
a b ii
a b c iii
=+ =+ + =
( )
( )
( ) De (i), temos: 3a = 6 a = 2
De (ii), temos: a = 2 ⇒ 3a + 2b = 0 3 . 2 + 2b = 0 6 + 2b = 0 2b = – 6
b = – 62
b = – 3
Finalmente, de (iii) temos: a = 2 e b = – 3 ⇒ a + b + c = 0 2 + (–3) + c = 0 – 1 + c = 0 c = 1 Portanto, a2 + b2 + c2 = 22 + (–3)2 + 12 = 4 + 9 + 1 = 14.
GABARITO
10 Matemática E
47) C
2 54 12
xx+−
= ax2 1+
+ bx2 1−
2 5
2 1 2 1x
x x+
− ⋅ +( ) ( )=
ax2 1+
+b
x2 1−
2 5
2 1 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
x
x x
a x b x
x x
+− ⋅ +
=− + +− ⋅ +( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2x + 5 = a (2x – 1) + b (2x + 1)
2x + 5 = 2ax – a + 2bx + b 2x + 5 = (2a + 2b)x + (– a + b) Logo,
2 2 2 2
5
a b
a b
+ = ÷− + =
( )
a b i
a b ii
+ =− + =
1
5
( )
( )
Fazendo (i) + (ii), teremos: 2b = 6 b = 3 Substituindo b = 3 em (i), obtemos: a + 3 = 1 a = –2 Portanto, a + b = – 2 + 3 = 1.
48) D
6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3 7
4
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
x x x x x x
x x x x x
x x x
− − − + + +
− − − − −
− − − +/
xx x x
x x
x x
x
3 2
2
2
2 2
10 7
10 5 5
4 12
+ +
− − +
+ + +
+
/
/
Logo, q(x) = 3x2 – 2x – 5 r(x) = 4x + 12.
Do produto das raízes de q(x) = 3x2 – 2x – 5 obtemos:
P = ca
= – 53
Já x = – 3 é a raiz da equação r(x) = 4x + 12. Daí, o produto das raízes de q(x) e r(x) é:
– 53
. (–3) = 5
49) E
x x x x x x x
x x x x
x x x
x x
5 4 3 2 2
5 3 3
3 2
3
0 0 3 0 1 0 1
3
3 0 1
3
+ + − + + + −
− + + −
− + +
− +
−
/
/ xx x
x
x
2
2
1
3 3
2
+ +
+ −
−/
Portanto, r(x) = x – 2.
50) B
(x + 1) (x – 2)
= x2 – 2x + x – 2 = x2 – x – 2
x x x x x
x x x x
x x
x x
3 2 2
3 2
2
2
2 5 6 2
2 3
3 3 6
3 3 6
0
+ − − − −
− + + +
− −
+ +
/
/
Portanto, Q(x) = x + 3. 51) D
P(x) = (3x + 7) (2x – 5)2 3 + 4x + 9
= 6x5 – 15x2 + 14x3 – 35 + 4x + 9 = 6x5 + 14x3 – 15x2 + 4x – 26 Divisão de P(x) por S(x) = x – 1. Teorema do resto, temos:
P(1) = 6 . 15 + 14 . 13 – 15 . 12 + 4 . 1 – 26 P(1) = 6 + 14 – 15 + 4 – 26 P(1) = – 17
52) D
Do enunciado, temos: P(x) = (x – 3) Q(x) + 2 P(7) = (7 – 3) Q(7) + 2 P(7) = 4 . Q(7) + 2 (Q(7) = 10) P(7) = 4 . 10 + 2 P(7) = 42
GABARITO
11Matemática E
53) A
f
x
x
x
x x=−− −− − −
= − + + −1 0 1
3 1 0
2 1 1
1 3 2 13( ) ( )
= x3 – x2 – 2x2 + 2x + x – 1 + 3 + 2x – 2 = x3 – 3x2 + 5x
x x x x
x x x
x x
x
x
3 2 2
3
2
2
3 5 1
3
3 6
3 3
6 3
− + −
− + −
− +
+ −
−
/
Portanto, r(x) = 6x – 3.
54) E
Teorema do resto: 6(3)3 – 4 . 32 + 2m . 3 – (m + 1) = 0 6 . 27 – 4 . 9 + 6m – m – 1 = 0 162 – 36 + 5m – 1 = 0 125 + 5m = 0 5m = – 125
m = – 125
5 m = – 25 Portanto,
m = − = =25 25 5 . 55) 31
01. Correta. De fato, P(x) = x4 + ax3 + ax2 – ax – 6.
02. Correta. Temos que m . 3 – 6 = 0 ⇒ m = 2. Portanto, P(x) é divisível por x – 2.
04. Correta.
2 1 a a –a –6
1 a + 2 3a + 4 5a + 8 0
Logo, 5a + 8 = 3 5a = – 5 a = –1. Daí, P(x) = x4 – x3 – x2 + x – 6 Segue, P(0) = 04 – 03 – 02 + 0 – 6 P(0) = –6
08. Correta. P(1) = 14 – 13 – 12 + 1 – 6 P(1) = –6
16. Correta. Do item 04, temos: q(x) = x3 + (a + 2)x2 + (3a + 4)x + 5a + 8 Para a = –1 q(x) = x3 + x2 + x + 3
56) B
x x x x xx x
25 16 9 4
3
+ + + +−
x x x x x
x x
(
( )
24 15 8 3
2
1
1
+ + + +−
(
( )x x x x
x
24 15 8 3
2
11
+ + + +−
Daí, temos: x24 + x15 + x8 + x3 + 1 = Q(x) . (x – 1)(x + 1) + ax + b Para x = 1: 124 + 115 + 18 + 13 + 1 = Q(1) ( )1 1
0
−� (1 + 1) + a . 1 + b
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = a + b a + b = 5 (i)
Para x = –1: (–1)24 + (–1)15 + (–1)8 + (–1)3 + 1 = Q(–1) . (–1 – 1)(–1
+ 1) + a(–1) + b 1 1 1 1 1− + − + =− +a b – a + b = 1 (ii) De (i) e (ii) obtemos o seguinte sistema:
a b i
a b ii
+ =− + =
5
1
( )
( )
Fazendo (i) + (ii), teremos: 2b = 6
b = 62
b = 3 Substituindo b = 3 em (i), teremos: a + 3 = 5 a = 5 – 3 a = 2 Portanto, o resto é dado por: r'(x) = 2x + 3. Assim, x24 + x15 + x8 + x3 + 1 = Q(x) . (x – 1)(x + 1) + (2x + 3) Multiplicando ambos os lados por x, temos: x25 + x16 + x9 + x4 + x = Q(x) . (x3 – x) + ( )
( )
2 32x xr x
+� ����� �����
GABARITO
12 Matemática E
57) a) gr(d) = 2; gr(r) = 1. b) r(x) = x + 1; d(x) = 2x2 + x
Como q(x) > r(x), então o resto é da forma r(x) = ax + b. R(1) = a + b = 2 R(–1) = – a + b = 0
a b i
a b ii
+ =− + =
2
0
( )
( )
Fazendo (i) + (ii), teremos: 2b = 2 b = 1 Substituindo b = 1 em (i), obtemos: a + 1 = 2 a = 1 Logo, r(x) = x + 1.
a) G(q(x)) = G(p(x)) – G(d(x)) 2 = 4 – G(d(x)) –2 = – G(d(x)) .(–1) G(d(x)) = 2 Como r(x) = x + 1, então G(r(x)) = 1.
b) P(x) = d(x) . q(x) + r(x) 2x4 + x3 + 6x2 + 4x + 1 = d(x) . (x2 + 3) + (x + 1) 2x4 + x3 + 6x2 + 3x = d(x) . (x2 + 3)
d(x) = 2 6 33
4 3 2
2
x x x xx
+ + ++
2 6 3 3
2 6 2
3
3
0
4 3 2 2
4 2 2
3
3
x x x x x
x x x x
x x
x x
+ + + +
− − +
+
− −
/
Portanto, d(x) = 2x2 + x. Temos ainda r(x) = x + 1.
58) A
x = 1 ⇒ P(1) = 12 + b . 1 + c = b + c + 1 = 2 ⇒ b + c = 1 x = 2 ⇒ P(2) = 22 + 2b + c = 4 + 2b + c = 3 ⇒ 2b + c = –1 Daí, temos:
b c i
b c ii
+ =+ =−
1
2 1
( )
( )
Fazendo (i) – (ii), obtemos: –b = 2 .(–1) b = –2 Substituindo b = –2 em (i), teremos: – 2 + c = 1 c = 1 + 2 c = 3
59) B
Os termos com maior expoente serão: 1o termo: (a – 1)(a – 3)x7 = (a2 – 4a + 3)x7 (i) 2o termo: a(a – 3)x6 (ii)
Para que o polinômio p . q possua grau 7, devemos ter:
a2 – 4a + 3 ≠ 0 Resolvendo a equação acima, temos: a ≠ 1 e a ≠ 3 Portanto, para a ≠ 1 e a ≠ 3, o polinômio p . q
possui grau 7; para a = 1 e a = 3, temos que o polinômio possui o grau 6.
60) 2x3– 5x + 8
P(1)= 2 . 14 + A . 13 – 5 . 12 + B . 1 + 16 = 15 2 + A – 5 + B + 16 = 15 A + B = 2 P(–2) = 2 (–2)4 + A (–2)3 – 5 (–2)2 + B (–2) + 16
= 0 32 – 8A – 20 – 2B + 16 = – 8A – 2B = – 28 ÷(–2) 4A + B = 14 Temos o seguinte sistema:
A B i
A B ii
+ =+ =
2
4 14
( )
( )
Fazendo (ii) – (i), obtemos: 3A = 12 A = 4 Substituindo A = 4 em (i), teremos: 4 + B = 2 B = –2 Logo, P(x) = 2x4 + 4x3 – 5x2 – 2x + 16. Por Briot-Ruffini, temos:
–2 2 4 –5 –2 16
2 0 –5 8 0
Logo, q(x) = 2x3 – 5x – 8.
GABARITO
13Matemática E
61) B
O quociente será do 3o grau da forma: S(x) = cx3 + dx2 + ex + f Daí, P(x) = Q(x) . S(x) + R(x) 3x5 – 6x4 + 13x3 + ax2 + bx – 1 = (x2 – 2x + 3) (cx3 + dx2 + ex + f) + 0 = (x2 – 2x + 3) (cx3 + dx2 + ex + f) = cx5 + dx4 + ex3 + fx2 – 2cx4 – 2dx3 – 2ex2 – 2fx + 3cx3 + 3dx2 + 3ex + 3f Agrupando os termos semelhantes, teremos: 3x5 – 6x4 + 13x2 + ax2 + bx – 1 = cx5 + (d – 2c)x4 + (e – 2d + 3c)x3 + (f – 2e + 3d)x2 + (– 2f + 3e)x + 3f Como os polinômios são idênticos, teremos: c = 3
3f = –1 ⇒ f = –13
d – 2c = –6 ⇒ d – 2 . 3 = –6 ⇒ d = 0 e – 2d + 3c = 13 ⇒ e – 20 + 3 . 3 = 13 ⇒ e = 4
f – 2e + 3d = a ⇒ –13
– 2 . 4 + 3 . 0 = a ⇒ a = –253
3e – 2f = b ⇒ 3 . 3 – 2 −
13
= b ⇒ b = 383
Portanto,
(a + b) = –253
+383
=133
.
62) D
Raízes de x2 – x são x' = 0 e x'' = 1. Como queremos que P(x) seja divisível por x2 – x, então
x' e x'' são raízes do polinômio P(x). P(0) = 03 + 2 . 02 + (a + 5b) . 0 + a + 2b = 0 a + 2b = 0 P(1) = 13 + 2 . 12 + (a + 5b)1 + a + 2b = 0 3 + a + 5b + a + 2b = 0 2a + 7b = –3 Daí temos:
a b
a b ii
a b i
a b ii
+ = −+ =−
⇒− − =+ =−
2 0 2
2 7 3
2 4 0
2 7 3
( )
( )
( )
( )
Fazendo (i) + (ii), teremos: 3b = –3 b = –1 Substituindo b = –1 em a + 2b = 0: a + 2(–1) = 0 a – 2 = 0 a = 2
63) a) k = 11 b) –1/2
a) Teorema do resto P(–1) = 12 – 11 . 1 + k + 2 = 3 1 – 11 + k + 2 = 3 – 8 + k = 3 k = 11
b) P(x) = x2 – 11x + 4 + 2 P(x) = x2 – 11x + 6 Resolvendo a equação acima, temos: x' = 11 + 97 ou x'' = 11 – 97
Segue,
π π π π πa b
b aa b
a ba b
+ =+⋅
=+⋅
( )
Temos que,
Soma = −ba
=−−( )11
1= 11
Produto = ca
=61
= 6
Logo,
π π πa b+ = =
⋅= ⋅ =
116
11 180
611 30 330 .
Daí,
sen π πa b+
= sen 330° = –sen 30° = –
12
.
GABARITO
14 Matemática E
64) a) S = {3, 8, –9}b) S = {1, 5, –8}
c) S = {3, –3, 2 , – 2}d) S = {0, i, –i}
e) { , , }5 3 3i i−
a) (x – 3) . (x – 8) . (x + 9) = 0 Temos: x – 3 = 0 ⇒ x = 3 ou x – 8 = 0 ⇒ x = 8 ou x + 9 = 0 ⇒ x = –9 Portanto, a solução é: S = {–9, 3, 8}.
b) (x – 1)2 . (x – 5)3 . (x + 8) = 0 Temos, x – 1 = 0 ⇒ x = 1 (raiz dupla) ou x – 5 = 0 ⇒ x = 5 (raiz tripla) ou x + 8 = 0 ⇒ x = –8 (raiz simples) Portanto, S = { –8, 1, 5}. c) x4 – 11x2 + 18 = 0 Seja y = x2: y2 – 11y + 18 = 0 Resolvendo a equação acima, temos: y' = 2 ou y'' = 9 Substituindo y' = 2 em y = x2, temos: 2 = x2
x = 2 ou x = – 2 Agora, substituindo y'' = 2 em y = x2, temos:
9 = x2 ⇒ x = 9 ou x = – 9
x = 3 x = –3
Portanto,
S = {–3, – 2 , 2 , 3}.
d) x3 + x = 0 x (x2 + 1) = 0 Temos:
x = 0 ou x
x
x i ou x i
2
2
1 0
1
+ =
=−= =−
Portanto, s = {0, –i, i}.
x3 – 5x2 + 3x – 15 = 0 Note que x = 5 é raiz da equação. Segue,
5 1 –5 3 –15
1 0 3 0 Logo, Q(x) = x2 + 3.
Portanto, as outras raízes vêm de x2 + 3 = 0. Então: x2 + 3 = 0 x2 = – 3
x = – 3 i ou x = 3 i A solução é dada por:
S = {5, – 3 i, 3 i}.
65) B
Briot-Ruffini:
1 1 –3 4 –2
1 –2 2 0 Logo, Q(x) = x2 – 2x + 2. Resolvendo a equação acima, teremos: x' = 1 + i ou x'' = 1 – i.
66) A
Sejam a, (a + 1) e (a + 2) três números positivos e consecutivos.
Do enunciado, temos:
a (a + 1)(a + 2) = 8 (a + a + 1 + a + 2)
(a + a) (a + 2) = 8 (3a + 3)2
a3 + 2a2 + a2 + 2a = 24a + 24 a3 + 3a2 + 2a – 24a – 24 = 0 a3 + 3a2 + 22a – 24 = 0 Note que x = –1 (não serve) é raiz. Por Briot-Ruffini, temos:
–1 1 3 –22 –24
1 2 –24 0 Logo, Q(x) = x2 + 2x – 24. Resolvendo a equação anterior, obtemos: x' = 4 ou x'' = –6 (não serve) Portanto, os números são 4, 5 e 6. Daí vem: 42 + 52 + 62 = 16 + 25 + 36 = 77.
67) a) m = 8 b) S = {2, –2}
a) Pelo teorema de D'Alembert, temos: P(2) = 0 23 – 222 – 4 . 2 + m = 0
8 8− – 8 + m = 0 m = 8
GABARITO
15Matemática E
b) P(x) = x3 – 2x2 – 4x + 8 Note que x = 2 é raiz. Daí,
2 1 –2 –4 8
1 0 –4 0
Logo, Q(x) = x2 – 4. As outras raízes vêm de: x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = 2 ou x = –2 Portanto, S = {–2, 2}.
68) E
Briot-Ruffini:
–2 1 –12 20 96
1 –14 48 0
Logo, Q(x) = x2 – 14x + 48 = 0. Resolvendo a equação acima, teremos: x' = 6 ou x'' = 8
–2
–168 48
–16
48
–12
6 8
–126
–2
Produto
Portanto, o produto de duas raízes poderá ser –16.
69) (x + 2)/(x2 + 2x + 4)
Fatorando: • x2 – 4 = (x – 2) (x + 2) • (x3 – 8) Note que,
2 1 0 0 –8
1 2 4 0
Logo, Q(x) = x2 + 2x + 4. Assim, x3 – 8 = (x – 2) ( x2 + 2x + 4). Portanto,
xx
x x
x x x
xx x
2
3 2 2
48
2 2
2 2 4
22 4
−−=
− +
− + +=
++ +
( ) ( )
( ) ( ).
70) D
p(x) = (x – a)2 . (x – b) . (x + c)5 = 0 Temos que: x – a = 0 ⇒ x = a ou x – b = 0 ⇒ x = b ou x + c = 0 ⇒x = –c Logo, as raízes são {a, b, –c}.
71) E
x3 – x2 + x – 1 = 0 Note que x' = 1 é raiz do polinômio. Briot-Ruffini:
1 1 –1 +1 –1
1 0 1 0
Logo, Q(x) = x2 + 1. Portanto, as próximas raízes são dadas por: x2 + 1 = 0 x2 = –1 x'' = i ou x''' = –i
72) D
x = 1 ⇒ f(1) = 6 (1)3 – 26 (1)2 + m (1) – 6 = 0 6 – 26 + m – 6 = 0 m = 26
Logo, f(x) = 6x3 – 26x2 + 26x – 6. Briot-Ruffini:
1 6 –26 26 –6
6 –20 6 0 Logo, Q(x) = 6x2 – 20x + 6. Resolvendo a equação anterior, temos:
x' = 13
ou x'' = 3
Vamosverificarsef(x)édivisívelporx2 – 4x + 3.
6 26 26 6 4 3
6 24 18 6 2
2 8 6
2 8 6
0
3 2 2
3 2
2
2
x x x x x
x x x x
x x
x x
− + − − +
− + − −
− + −
+ − +
/
++ +0 0
Portanto, f(x) é divisível pelo polinômio x2 – 4x + 3.
GABARITO
16 Matemática E
73) A
p(x) = det A =
x x x
x
x
2
13 2 15
0 212
2
−−
= 21
22⋅ ⋅ ⋅x x + 13 . 2x . x – 2x . 15 . x + 13 . 2
1
2x ⋅
= x3 + 26x2 – 30x2 + 13x ⇒ x3 – 4x2 + 13x = 0 ⇒ x (x2 – 4x + 13) = 0 Logo, x2 – 4x + 13 = 0 ou x = 0 Temos que a soma das raízes da equação x2 – 4x + 13
é dada por S = 4. Portanto, a = x1 + x2 + x3 = 4 + 0 = 4.
74) 64 m3
x3 – 14x2 + 56x – 64 = 0 Volume (m3)
V = x1 . x2 . x3 = − =−−
=d
a( )64
164
75) E
Sejam x1 e x2 as raízes. Do enunciado, temos: x1 – x2 = 1 x1 = x2 + 1
Sabemos que: Soma: S = x1 + x2 = –a ⇒ x2 + 1 + x2 = –a ⇒ 2x2 + 1 = –a (–1) ⇒ – 2x2 – 1 = a (i) Produto: P = x1 . x2 = a – 1 ⇒ (x2 + 1) . x2 = a – 1 ⇒ (x2 + 1) . x2 + 1 = a (ii) Igualando (i) e (ii), obtemos:
( x + 1 ) x2 2 + 1 = – 2x2 – 1 x2
2 + x2 + 1 + 2x2 + 1 = 0 x2
2 + 3x2 + 2 = 0
Resolvendo a equação acima, obtemos: x2' = –2 ou x2'' = –1 Substituindo x2 em (i), temos: x2' = –1 ⇒ –2 (–1) – 1 = a a = 2 – 1 a = 1
x2'' = –2 ⇒ –2 (–2) – 1 = a a = 4 – 1 a = 3 76) D
2x3 + x2 – 8 – 4 = 0 Produto das raízes:
P = −=−−
= =d
a( )42
42
2
77) D
Soma (S):
S = − =−−
= +b
a a( )6
313
6 10
3a=
6 . 3 = 10a 18 = 10a
a = 1810
a = 95
Produto (P):
P = ca
pa
= = ⋅31
3
pa
= 1
p = a = 95
Portanto,
a + p = 95
+95
=185
.
78) E
Sejam x1, x2 e x3 raízes do polinômio x3 – x2 – 16x – 20 = 0. Note que x1 = 5 é raiz. Por Briot-Ruffini, temos:
5 1 –1 –16 –20
1 4 4 0
Logo, Q(x) = x2 + 4x + 4. Resolvendo a equação acima, teremos: x2 = x3 = –2 Portanto,
1 1 1 15
12
121 2 2x x x
+ + = +−+−
= − −15
12
12
GABARITO
17Matemática E
= −15
22
= −15
1
=−1 55
= – 45
79) E
Briot-Ruffini: x = 1 raiz, então:
1 1 –6 11 –6
1 –5 6 0
Logo, Q(x) = x2 – 5x + 6. Portanto, o produto das raízes de Q(x) é:
PQ = ca
= 61
= 6.
Assim, o produto das raízes de p(x) é dado por: 1 . PQ = 1 . 6 = 6. Logo, a alternativa E está correta.
80) D
Note que x' = 1 é raiz. Briot-Ruffini:
1 1 –9 23 –15
1 –8 15 0
Logo, Q(x) = x2 – 8x + 15. Resolvendo a equação acima, obtemos: x'' = 3 ou x''' = 5. Daí, obtemos a seguinte sequência: P.A. (1, 3, 5, …) Então temos: a1 = 1 an = a1 + (n – 1)r r = 2 an = 1 + (20 – 1)2 n = 20 an = 1 + 19 . 2 an = 1 + 38 an = 39
Soma dos 20 primeiros termos:
S = ( )a a nn1
2+
S = ( )1 39 20
2
+
S = 40 . 10 S = 400
81) 17
01. Correta.
x
x
x x
1 1
1 2
1
0− =
x3 – 2 + x x− + 2x2 – x = 0 x3 + 2x2 – x – 2 = 0 Note que, x'=1 é raiz. Briot-Ruffini:
1 1 2 –1 –2
1 3 2 0
Logo, Q(x) = x2 + 3x – 2. Resolvendo a equação anterior, obtemos: x'' = –1 ou x''' = –2. Portanto, S = {–2, –1, 1} ⊂ [–2, 1].
02. Temos: P(3) = 5 P(–1) = 2 O resto da divisão de P(x) por (x – 3)(x + 1) é de
grau máximo 1. P(x) = Q(x)(x – 3)(x + 1) + (ax + b)
P Q a b
P
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
3 3 3 3 1 3 3 5
1 1 3 1 10
0
= − ⋅ + ⋅ + + =
− = − − − +
� ��� ���
� ����� ���� ⋅ − − + =
Q a b( )1 2
3 5
2 1
a b
a b
+ =− + = ⋅ −
( )
3 5
2
a b i
a b ii
+ =− =−
( )
( )
Fazendo (i) + (ii), teremos: 4a = 3
a = 34
Substituindo a = 34
em – a + b = 2, obtemos:
–34
+ b = 2
b = 2 +34
b = 8 34+
b = 114
GABARITO
18 Matemática E
04. Incorreta. Teorema de D'Alambert. x = –2 ⇒ P(–2) = 3(–2)3 + (–2)2 – 7(–2) – M = 0 = 3 . (–8) + 4 + 14 – M = 0 = – 24 + 4 + 14 – M = 0 M = –6
08. Incorreta. Briot-Ruffini:
–3 2 5 –35 –80 48
–4 2 –1 –32 16 0
2 –9 4 0
Logo, Q(x) = 2x2 – 9x + 4. Portanto, o produto das raízes de Q(x) é dado por:
P = ca
=42
= 2.
16. Correta. Note que x' = 1 é raiz da equação x3 –7x + 6 = 0. Briot-Ruffini:
1 1 0 –7 6
1 1 –6 0
Logo, Q(x) = x2 + x – 6. Resolvendo a equação anterior, obtemos como
raízes: x'' = –3 ou x''' = 2. Assim,
1 1 11
12
13
6 3 26
76a b c
+ + = + − =+ −
= .
82) C
Segundo o gráfico temos como raiz x' = –1; x'' = 1 e x''' = 2.
Daí o polinômio P(x) é dado por: P(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 2). Logo, pelo teorema do resto, temos: R(x) = P(–2) = (–2 + 1)(–2 – 1)(–2 – 2) R(x) = (–1)(–3)(–4) R(x) = –12.
83) D
Como o gráfico passa pelo ponto e f(x) é uma função ímpar, então há uma simetria em relação à origem. Portanto, as raízes de f(x) são:
x' = –3; x'' = 0 e x''' = 3. Daí, temos: f(x) = (x + 3)(x – 0)(x – 3) f(x) = (x + 3) . x . (x – 3)
Logo, f(4) = (4 + 3) . 4 . (4 – 3) f(4) = 7 . 4 . 1 f(4) = 28.
84) D
8 44 2 64 19 41 1 1x x x+ + ++ + =( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ]2 44 2 64 19 23 1 1 2 1x x x+ + ++ + =
2 44 2 64 19 213
1 12
x x x+ + +( ) + ⋅ + = ( ) Seja y = 2 1x+
y3 + 44y + 64 = 19y2
y3 – 19y2 + 44y + 64 = 0 Note que y' = –1 é raiz. Briot-Ruffini:
–1 1 –19 +44 +64
1 –20 64 0
Logo, Q(x) = y2 – 20y + 64. Resolvendo a equação, teremos: y'' = 4 ou y''' = 16. Substituindo y' = –1, y'' = 4 e y''' = 16, temos:
•y' = –1 ⇒ –1 = 2 1x+
(absurdo, pois 2 1x+ > 0 ∀ x ∈ [–1, ∞])
• y'' = 4 ⇒ 4 = 2 1x+
2 22 1=
+x
2 = x+1 | x + 1| = 4 Então, x + 1 = 4 ou x + 1 = –4 x = 3 x = –5 (não serve)
• y''' = 16 ⇒ 16 = 2 1x+
2 24 1=
+x
4 = x+1 | x + 1| = 16 Então, x + 1 = 16 ou x + 1 = –16 x = 15 x = –17 (não serve)
Portanto, S = {3, 15}. Assim, a soma das raízes é 3 + 15 = 18.