Exercícios propostosMatemática capítulo 1

3

01. (PUC-RS) Num jogo, foram sorteados 6 núme-ros para compor uma matriz M =(mij) de ordem 2x3. Após o sorteio, notou-se que esses números obede-ceram à regra mij = 4i – j. Assim, a matriz M é igual a _________.

a) 1 2 35 6 7

b) 1 2 34 5 6

c) 3 2 17 6 5

d) 3 27 611 10

e) 3 72 61 5

02. (PUC-MG) Seja A a matriz A = (aij)2x3, cuja lei de for-mação é dada por

ai j se i ji j se i j

É correto afirmar queij =+ ≠− =

32 3

,,

. :

a) A =− −

1 56 72 9

b) A =−−

−

1 75 2

6 9

c) A =−

1 7 56 2 9

d) A =−

−

1 5 67 2 9

03. (UFG-GO) Seja

M aij nxm=

uma matriz quadrada de ordem n, onde aij = i + j.Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal

principal desta matriz é:a) n2

b) 2n+2n2

c) 2n+n2

d) n2+ne) n+2n2

04. (Unesp) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quanti-dade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i, j = 1, 2, 3.

L L L

PPP

1 2 3

1

2

3

30 19 2015 10 812 16 11

Analisando a matriz, podemos afirmar que:a) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela

loja L2 é 11. b) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela

loja L3 é 30. c) a soma das quantidades de produtos do tipo P3

vendidos pelas três lojas é 40.

d) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1,2,3, é 52.

e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45.

05. (UEL-PR) Uma matriz quadrada A se diz antissimé-trica se At = –A. Nessas condições, se a matriz A mostrada na figura adiante é uma matriz antissimétrica, então x + y + z é igual a:

Ax y z

= −−

2 0 31 3 0

a) 3b) 1c) 0

d) –1e) –3

06. (UFR-RJ) Após o falecimento do saudoso Renato Russo, em 11/10/96, os fãs do Legião Urbana começaram a ouvir as músicas da banda regravadas pelos mais diver-sos intérpretes da MPB. Um desses fãs percebeu que, ao longo do tempo, três cantores, em cada um dos seus três discos mais recentes, gravaram as mesmas três obras de Renato Russo, cada qual uma vez. Não podendo comprar os nove CD’s, o fã resolveu comprar três, um de cada can-tor –C1, C2 e C3 –,contendo diferentes músicas –M1, M2 e M3. Após uma pesquisa nas lojas de um shopping, o fã verificou que os vários CD’s poderiam ser encontrados a preços diferentes e organizou a seguinte matriz de pre-ços, em R$:

C1 C2 C3

M1 20 15 12

M2 18 13 10

M3 18 8 11

A partir da análise, verifica-se que:a) a compra poderá ser feita por R$ 33,00. b) o máximo a ser gasto na compra é R$ 43,00. c) o mínimo a ser gasto na compra é R$ 38,00. d) não é possível efetuar a compra por R$ 44,00. e) não é possível encontrar o menor valor da compra.

07. (UFR-RJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.

As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:

S e D=

=

4 1 40 2 03 1 5

5 5 30 3 02 1 3

S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.Cada elemento aij nos dá o número de chopes que

i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o ele-mento da linha i, coluna j de cada matriz).

4

Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (pri-meira linha da matriz S).a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para

Antônio?

08. (Ueg) Dada a matriz Ae

y x

x= +

2 2

0

0| | e seja B

uma matriz identidade de ordem 2, os valores de x e y não negativos, tal que as matrizes A e B sejam iguais, são respectivamente

a) 0 e 1

b) 1 e 1

c) 0 e 2

2

d) 22

12

2e −

09. (UFPE) Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 soli-cita transferência para outro curso, escolhido entre os mesmos 1, 2 e 3. A matriz abaixo representa o resultado obtido após as transferências:

132 7 812 115 1314 15 119

–Para i ≠ j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que se transferiram para o curso j;

–Para i = j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i que per-maneceram no curso i.

Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso, analise as afirmações seguintes, de acordo com as informações acima. )( Antes das transferências, existiam 147 alunos no

curso 1.

)( Após as transferências, existem 137 alunos no curso 2.

)( Foram transferidos 26 alunos para o curso 3.

)( O total de alunos transferidos é 69.

)( total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 é de 363 alunos.

10. (UERJ) A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corres-ponde à temperatura observada no instante i do dia j.

35 6 36 4 38 6 38 0 36 036 1 37 0 37 2 40 5 40 435 5 35 7 36 1 37 0 39

, , , , ,, , , , ,, , , , ,, 2

Determine:a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a

maior temperatura;b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de

observação.

11. (UFSM-RS) Sabendo-se que a matriz

Ay

x xy

=−

− −

36 70 5

4 30 3

2

é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é:a) –23b) –11

c) –1d) 11

e) 23

12. (UERJ) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são pro-priedade de uma mesma empresa. Suas vendas são con-troladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas bar-racas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um deter-minado dia de feira.

Bxa yd c z

=

1 8 3 02 0

, ,,

Calcule, para esse dia, o valor, em reais:a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à

barraca B2;b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.

13. (Uerj) Observe a matriz A quadrada e de ordem três.

A xx

=

0 3 0 47 0 60 47 0 60 6 0 77

, , ,, ,, ,

Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de (i + j).

O valor de x é igual a: a) 0,50 b) 0,70 c) 0,77 d) 0,87

14. (Espm-SP) A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é dada pela matriz

4 51 36 1

xy

y x +

, onde cada elemento aij representa a

quantidade de moradores do apartamento j do andar i.

Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que no 2º e que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo. O valor de n é:a) 30b) 31

c) 32d) 33

e) 34

15. (UEL-PR) Atualmente, com a comunicação eletrô-nica, muitas atividades dependem do sigilo na troca de mensagens, principalmente as que envolvem transações financeiras. Os sistemas de envio e recepção de mensa-gens codificadas chamam-se criptografia. Uma forma de codificar mensagens é trocar letras por números, como indicado na tabela-código a seguir.

1 2 3 4 51 Z Y X V U2 T S R Q P3 O N M L K4 J I H G F5 E D C B A

Nessa tabela-código, uma letra é identificada pelo número formado pela linha e pela coluna, nessa ordem. Assim, o número 32 corresponde à letra N. A mensagem final M é dada por A + B = M, onde B é uma matriz fixada, que deve ser mantida em segredo, e A é uma matriz

5

matrizes X e Y no sistema2 3

3 2

X Y B

X Y A

+ =+ =

23. Sendo A= −

1 2 30 1 02 1 1

e B= -2A, determine a

matriz X, tal que 2 312

X A B− = .

24. (Fei) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) estão assim definidas:

a se i j

a se i jij

ij

= =

= ≠

1

0

b se i j

b se i jij

ij

= + =

= + ≠

1 4

0 4

onde 1 ≤ i e j ≤ 3, então a matriz A + B é:

a) 1 0 00 1 00 0 1

b) 0 0 10 1 01 0 0

c) 1 0 10 1 01 0 1

d) 1 0 10 2 01 0 1

e) 1 1 00 1 10 1 0

25. (CFTMG) Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), qua-dradas de ordem 2 com aij = i2– j2 e bij = –i2 + j2, o valor de A –B é:

a) 0 00 0

b) 0 66 0

−

c) 0 60 0

−

d) 0 66 0−

26. (UFTM – adaptada) Considere as matrizes

A aij 2 2= ( ) ×

, tal que a i jij2 2= + ,

B bij 2 2= ( ) ×

, tal que b i jij2= +( ) .

Determine, pela lei de formação, a matriz C resul-tante da soma das matrizes A e B.

27. (IFSC) Sobre as propriedades da matriz transposta, considere as sentenças abaixo:

I. A B A Bt t t+( ) = +

II. kA kAt t( ) =

III. AB A Bt t t( ) =

enviada ao receptor legal. Cada linha da matriz M cor-responde a uma palavra da mensagem, sendo o 0(zero) a ausência de letras ou o espaço entre palavras.

José tuitava durante o horário de trabalho quando recebeu uma mensagem do seu chefe, que continha uma matriz A. De posse da matriz B e da tabela-código, ele decodificou a mensagem.

O que a chefia informou a José?Dados:

A =

12 20 13 8 50 25 10 0 34 32 3 4 045 26 13 24 0 0 030 45 16 20 11 17 01 50 21 3 35 42 111

B =

− −− −

−− −

−

10 11 10 15 8 30 114 31 19 19 3 4 06 4 8 31 0 0 08 6 16 32 20 17 0

44 8 13 300 20 10 20

a) Sorria você está sendo advertido. b) Sorria você está sendo filmado. c) Sorria você está sendo gravado. d) Sorria você está sendo improdutivo. e) Sorria você está sendo observado.

16. Sendo A= 1 0 24 1 3

e B=

3 0 14 2 1−

, calcule:

a) A + B b) A – B c) B – A

17. Calcule x, y e z, tais que

21

x zx y−

–

1 77 1

=

3 24 0

z

18. Sendo A= (aij)3x2 , onde aij =2i –j, e B= (bij) 3x2 , com bij = i2 +j, calcule:

a) A – B b) B – A c) (A+B)t

19. Sendo A=2 00 2

e B =

3 00 3

, determinar as

matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X – Y = A – B.

20. Dadas as matrizes A = 2 30 1

, B =

0 43 2

e

C = 15 140 18

,calcule:

a) 3 · (A – B) + 3 · (B – C) + 3 · (C – A)b) 2 · (A - B) – 3 · (B – C) – 3 · Cc) a matriz X, tal que 3 · (X – A) + 2 · B = 4 · (X – A + 2 · C)

21. Sendo A= (aij)2x2 , onde aij =2i –j e B= (bij)2x2, com bij = j – i , determine X tal que 3A + 2X = 3B.

22. Sendo A= 2 13 2

−

e B = 0 11 1

−−

, calcule as

6

Assinale a alternativa correta. a) penas a sentença II é verdadeira. b) Apenas a sentença III é verdadeira. c) Apenas as sentenças I e II são verdadeiras. d) Apenas as sentenças II e III são verdadeiras. e) Apenas as sentenças I e III são verdadeiras.

28. (UFSM-RS) Na planilha de cálculos do setor de Enge-nharia, responsável pelas obras de um shopping, foram encontradas as matrizes:

A =

log log ,log log

1 0 01100 10

e

Bcos tg

sen=

π π

π π2 4

32 3

cos

É correto, então, afirmar que A é igual a:

a) 12

B

b) B

c) –B

d) 2Bt

e) 2B

29. (PUC-MG) Considere as matrizes de elementos reais:

Ax

y zB e C=

=

=

1 1 11 2

3 59 14

, .

Sabendo-se que A · B = C, pode-se afirmar que o pro-duto dos elementos de A é: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50

30. (UFRN) Considere, a seguir, uma tabela com as notas de quatro alunos em três avaliações e a matriz M for-mada pelos dados dessa tabela.

Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3Thiago 8 9 6Maria 6 8 7Sônia 9 6 6André 7 8 9

M=

8697

9868

6769

O produto 13

111

M

corresponde à média

a) de todos os alunos na avaliação 3. b) de cada avaliação. c) de cada aluno nas três avaliações. d) de todos os alunos na avaliação 2.

31. (UFG-GO) Uma metalúrgica produz parafusos para móveis de madeira em três tipos, denominados soft, escareado e sextavado, que são vendidos em caixas gran-des, com 2000 parafusos e pequenas, com 900, cada caixa

contendo parafusos dos três tipos. A tabela 1, a seguir, fornece a quantidade de parafusos de cada tipo contida em cada caixa, grande ou pequena. A tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzida em cada mês do primeiro trimestre de um ano.

Tabela 1

Parafusos/caixa Pequena GrandeSoft 200 500

Escareado 400 800Sextavado 300 700

Tabela 2

Caixas/mês JAN FEV MARPequena 1500 2200 1300Grande 1200 1500 1800

Associando as matrizes

A e B=

=

200 500400 800300 700

1500 2200 13001200 1500 1800

às tabelas 1 e 2, respectivamente, o produto A x B fornece:a) o número de caixas fabricadas no trimestre. b) a produção do trimestre de um tipo de parafuso, em

cada coluna. c) a produção mensal de cada tipo de parafuso. d) a produção total de parafusos por caixa. e) a produção média de parafusos por caixa.

32. (UFC-CE) O valor 2A2 + 4B2

quando A =−

2 00 2 e B =

−

0 11 0

é igual a:

a) 4 44 4

b) 4 00 4

c) 0 00 0

d) 0 44 0

e) 6 00 6

33. (UCS-RS) Uma empresa vende três produtos.

O preço de venda do tipo j está representado por aij na matriz A = [300 500 700].

O número de produtos vendidos do tipo j, em determinado mês, está representado por bij na matriz B = [45 25 35].

O custo para produzir cada produto do tipo j está representado por cij na matriz C = [225 360 500].

A expressão que fornece o lucro obtido com a venda dos produtos, no mês em questão, éa) AB – CAb) ABt – CBt

c) ABt

d) CBt–ABt

e) CA – AB

7

34. (UERN) Sejam duas matrizes A e B : A = (aij)3x3, tal que

ai j se i ji j se jij =⋅ ≤+ >

,, 1 e B = A2. Assim, a soma dos

elementos da diagonal secundária de B é:a) 149 b) 153 c) 172 d) 194

35. (UFF-RJ) Se C1, C2,...,Ck representam k cidades que compõem uma malha aérea, a matriz de adjacência asso-ciada à malha é a matriz A definida da seguinte maneira: o elemento na linha i e na coluna j de A é igual ao número 1 se existe exatamente um voo direto da cidade Ci para a cidade Cj, caso contrário, esse elemento é igual ao número 0. Uma propriedade importante do produto com A AA A n Nn

n fatores

= ∈... , ,��� �� é a seguinte:

O elemento na linha i e na coluna j da matriz A dá o número de voos com exatamente n – 1 escalas da cidade Ci para a cidade Cj.

Considere a malha aérea composta por quatro cida-des, C1, C2, C3, e C4 cuja matriz de adjacência é:

A =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 01 1 0 0

.

Os números de voos com uma única escala de C3 para C1, de C3 para C2 e de C3 para C4, são, respectivamente, iguais a:a) 0 0 1, .e

b) 1 1 0, .e

c) 1 1 2, .e

d) 1 2 2, .e

e) 2 1 1, .e

36. (ESPM-SP) Sendo Aa bc d

=

uma matriz quadrada

de ordem 2, a soma de todos os elementos da matriz M = A · At é dada por

a) a2 + b2 + c2 + d2

b) (a + b + c + d)2

c) (a + b)2 + (c + d)2

d) (a + d)2 + (b + c)2

e) (a + c)2 + (b + d)2

37. (Unesp) Dada a matriz A =−−

2 31 2

e definindo-

se A0 = I, A1 = A e AK = A⋅A⋅A⋅…⋅A, com k fatores, onde I é uma matriz identidade de ordem 2, k e k∈ ≥� 2, a matriz A15 será dada por:a) Ib) A

c) A2

d) A3e) A4

38. (Enem) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as medias anuais des-sas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conse-guiu é mostrada a seguir.

1º bim 2º bim 3º bim 4º bimMatemática 5,9 6,2 4,5 5,5Português 6,6 7,1 6,5 8,4Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0História 6,2 5,6 5,9 7,7

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por:

a) 12

12

12

12

b) 14

14

14

14

c)

1111

d)

12121212

e)

14141414

39. (UFSM-RS) Ao comprar os produtos necessários para fazer uma feijoada, uma dona de casa resolveu pes-quisar preços em três supermercados. A matriz P dos preços está representada a seguir; a primeira linha mos-tra os preços por kg do supermercado A; a segunda, do supermercado B; a terceira, do supermercado C. Esses preços são relativos, respectivamente, aos produtos fei-jão, linguiça, tomate e cebola.

P =

2 05 9 89 2 48 1 78

1 93 11 02 2 00 1 60

1 70 10 80 2 40 1 20

, , , ,

, , , ,

, , , ,

=

Q

5323

Sabendo que a matriz Q representa as quantidades necessárias, respectivamente, de feijão, linguiça, tomate e cebola, a dona de casa economizará mais se efetuar as compras no supermercado:a) A.b) B.c) C.d) A ou B, indiferentemente. e) A ou C, indiferentemente.

40. (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de meda-lhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007(tabela I).

Com base na tabela, é possível formar a matriz qua-drada A cujos elementos aij representam o número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j perten-centes ao conjunto {1, 2, 3}.

Para fazer outra classificação desses países, são atri-buídos às medalhas os seguintes valores:

- ouro: 3 pontos;- prata: 2 pontos;- bronze: 1 ponto.

Esses valores compõem a matriz V =

321

.

8

paísmedalhas

tipos1 - ouro 2 - prata 3 - bronze total

1 - EUA 97 88 52 2372 - Cuba 59 35 41 1353 - Brasil 54 40 67 161

Tabela I – Quadro de medalhas Jogos Pan-americanos RJ 2007

Determine, a partir do cálculo do produto A · V, o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente.

41. (UECE) Se as matrizes

Mx yy x

e N= −

=

1 22 1

são tais que M · N = N · M, então, sobre os números reais x e y, é possível afirmar, corretamente, que:a) x é um número qualquer e y pode assumir somente

um valor. b) y é um número qualquer e x pode assumir somente

um valor. c) x e y podem ser quaisquer números reais. d) x pode assumir somente um valor, o mesmo

acontecendo com y.

42. (ITA-SP) Determine todas as matrizes M M X∈ ( )2 2 � , tais que MN NM N M x= ∀ ∈ ( ), 2 2 �

43. (Mackenzie) Se A B C=

=

=

1 1 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

0 0 00 0 00 0 0

, ,

e os inteiros x e y são tais que A2 + x ⋅ A + y ⋅ B = C, então

a) x = 0 b) x = 1 c) x = –2

d) x = –1 e) x = 2

44. (PUC-RS) O valor de x + y, para que o produto das matrizes

Ax

ye B=

=

−−

11

2 22 2

seja a matriz nula, é:a) –1b) 0

c) 1d) 2

e) 4f)

45. (Unesp) Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00 e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz a seguir (figura 1) fornece a quantidade de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no mês de novembro.

A matriz da figura 2, onde x e y representam os lucros, em reais, obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças às empresas E1 e E2, respectivamente, é:

2015

8P1 P2

12E1E2

Figura 1 Figura 2

xy

a) 3520

.

b) 9048

.

c) 7669

.

d) 8461

.

e) 2827

.

46. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z.

A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cul-tura, em hectares, por região.

A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada ferti-lizante, em kg, por hectare, em cada cultura.a) Calcule a matriz C = AB.b) Explique o significado de c23, o elemento da segunda

linha e terceira coluna da matriz C.

Figura 1 Milh

oSo

jaFe

ijão

A = 4020 20

102030

← P← Q

Figura 2

x y z

B = 1510 20

201520

← Milho← Soja← Feijão30 20 30

47. (Pucrs) Dada a matriz A =

1 11 1

e a função f defi-

nida no conjunto das matrizes 2 x 2 por f(x) = x2 – 2x, então f(A) é

a) − −− −

1 11 1

b) 0 00 0

c) 1 11 1

d) 2 22 2

e) 3 33 3

48. (UFR-RJ) Uma fábrica de guarda-roupas utiliza três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-roupas em mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de 2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo de armário no mesmo mês.

Tabela 1: Produção de armários em outubro de 2005

Madeira/Modelo Básico Luxo RequinteMogno 3 5 4Cerejeira 4 3 5

9

Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005

Madeira/Modelo Mogno CerejeiraDourada 10 12Prateada 8 8Bronzeada 4 6

A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte nesse mês foi de a) 170b) 192

c) 120. d) 218

e) 188

49. (UEG-GO) Duas matrizes, A e B, são comutativas em relação à operação multiplicação de matrizes, se A · B = B · A. Dada a matriz B (figura 1), para que uma matriz não nula A (figura 2) comute com a matriz B, seus elementos devem satisfazer àrelação:

Figura 1 Figura 2

B =−

1 02 1

A

a bc d

=

a) a = c + d e b = 0b) c = a + d e b = c

c) a = c + d e b = 1d) c = a + d e d = c

50. (ESPM-SP) A rotação de um ponto P(x, y) do plano cartesiano em torno da origem é um outro ponto P’(x’, y’), obtido pela equação matricial:

xy

sensen

xy

''

coscos

,

=

−

⋅

α αα α

onde α é o ângulo de rotação, no sentido anti-horá-rio. Desse modo, se P = ( 3, 1) e = α 60º, as coordenadas de P’ serãoa) (−1, 2)

b) (−1, 3 )

c) (0, 3)

d) (0, 2)

e) (1, 2)

51. (Fuvest-SP) Sejam α e β números reais com− < <π α π2 2 e 0< <β π. Se o sistema de equações,

dado em notação matricial,

3 66 8

0

2 3

= −

tg αβcos

,

a) − π3

b) − π6

c) 0

d) π6

e) π3

52. (Uema) Uma matriz A (m×n) é uma tabela retangu-lar formada por m×n números reais (aij), dispostos em m linhas e n colunas. O produto de duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)n×p é uma matriz C = (cij)m×p em que o elemento cij é obtido da multiplicação ordenada dos elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B e somando os elementos resultantes das multiplicações. A soma de matrizes é comutativa, ou seja, A + B = B + A

Faça a multiplicação das matrizes A e B e verifique se esse produto é comutativo, ou seja:

A × B = B × A.

A e B=

=−

−

1 2 30 1 20 0 1

0 1 21 2 30 1 0

53. (Insper-SP) A multiplicação de matrizes quadra-das de ordem 2 possui, sob vários aspectos, semelhan-ças com a composição de funções. Para começar, as duas operações não são comutativas, isto é:

1. existem matrizes quadradas M e N de ordem 2, tais que (M×N) ≠ (N×M);

2. existem funções f e g, tais que (fg) ≠ (gf), ou seja, f(g(x)) ≠ g(f(x)).

Além disso, as duas operações possuem um elemento neutro. No caso da multiplicação de matrizes, trata-se da

matriz I =

1 00 1

. Para qualquer matriz quadrada M de

ordem 2, tem-se que M I I M M× = × = .O elemento neutro da operação de composição de

funções é a função i dada pela lei:

a) i x 1( ) =

b) i x1x

( ) =

c) i x x 1 x 1( ) = − +( )( )

d) i x x( ) =

e) i x x( ) =

54. (UFU-MG) Por recomendação médica, João está cum-prindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias. Estas refeições são compostas por dois tipos de alimen-tos, os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quanti-dades fornecidas na seguinte tabela (fig. 1).

De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada refeição 13.000 unidades de vitamina A e 13.500 unidades de vitamina B.

Considere nesta dieta:x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas.y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.

Figura 1

Vitamina A Vitamina BAlimento 1 20 unidades/grama 30 unidades/gramaAlimento 2 50 unidades/grama 45 unidades/grama

A matriz M tal que Mxy

é igual a,..

,

=

13 00013 500

a) 30 4520 50

.

b) 20 3050 45

.

c) 20 5030 45

.

d) 30 2045 50

.

55. (UFF-RJ) Um dispositivo eletrônico, usado em segu-rança, modifica a senha escolhida por um usuário, de acordo com o procedimento descrito a seguir.

A senha escolhida S1S2S3S4 deve conter quatro dígi-tos, representados por S1, S2, S3 e S4. Esses dígitos são, então, transformados nos dígitos M1, M2, M3 e M4 da seguinte forma

MM

PSS

eMM

PSS

onde P é matriz

1

2

1

2

3

4

3

4

0

=

=

111 0

.

10

Se a senha de um usuário, já modificada, é 0110, isto é, M1 = 0, M2 = 1, M3 = 1 e M4 = 0, pode-se afirmar que a senha escolhida pelo usuário foi:a) 0011b) 0101

c) 1001d) 1010

e) 1100

56. (Unesp) Considere as matrizes

Ax

y zB e C

1 1 21 1

4 536 45

=

=

, ,

com x, y, z números reais.Se A · B = C, a soma dos elementos da matriz A é:

a) 9b) 40

c) 41d) 50

e) 81

57. (UEL-PR) Uma das formas de se enviar uma men-sagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos:

1. Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C;

2. O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC = P, onde M é a matriz mensagem a ser decodificada;

3. Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1 = a, 2 = b, 3 = c,..., 23 = z;

4. Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras k, w e y;

5. O número zero corresponde ao ponto de exclamação;

6. A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas da matriz conforme segue: m11m12m13m21m22m23m31m32m33.Considere as matrizes:

C e P= −

=−

1 1 00 1 00 2 1

2 10 118 38 1719 14 0

.

Com base nos conhecimentos e nas informações des-critas, assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M. a) Boasorte! b) Boaprova!

c) Boatarde! d) Ajudeme!

e) Socorro!

58. (Ufg) Um modelo matemático usado para a amplia-ção de uma imagem consiste em considerar uma trans-formação linear dada pela multiplicação de uma matriz escala Es por uma matriz coluna A composta pelas coordenadas do ponto P que forma a imagem que será ampliada. Considerando as matrizes A e ES dadas por

Axy

e EE o

ESx

y=

=

0

em que Ex e Ey são fatores multiplicativos que indi-cam a mudança da escala, então a matriz Q que indica as novas coordenadas do ponto P obtidas pela multiplica-ção das matrizes Es e A é:

a) xEyE

x

y

b) E

Exy

x

y

++

c) yExE

x

y

d) xE

yEx

y0

0

e) E

y

xE

x

y

59. (PUC-SP) Dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), qua-dradas de ordem 2, com a i je b i jij ij= + = − −3 4 4 3 , se C = A + B, então C2 é igual a:

a) 1 00 1

b) −

−

1 00 1

c) 0 11 0

d) 0 11 0

−−

e) 1 11 1

60. Dadas as matrizes A = (aij)6x4, tal que aij = i – j, B = (bij)4x5, tal que com bij = j – i , e C = AB, determine o ele-mento c42 .

61. Sendo A= 2 21 2

, calcule A A I2

24 5+ − .

62. Determine a matriz X, tal que X + 2 A = (A · B –A)t,

sendo A= 2 10 1

e B=

1 21 0

.

63. (Mackenzie-SP) A é uma matriz mxn e B é uma matriz mxp. A afirmação falsa é:

a) A + B existe se, e somente se, n = p.b) A = At implica m = n (At = transposta de A).c) A · B existe se, e somente se, n = p.d) A · Bt existe se, e somente se, n = p.e) At · B sempre existe.

64. (UERJ) Considere a sequência de matrizes (A1, A2, A3, ...), todas quadradas de ordem 4, respectivamente, iguais a:

0 1 2 34 5 6 78 9 10 1112 13 14 15

16 17 18 1920 21 22 2324 25 2

,66 27

28 29 30 31

32 33 34 3536 37 38 3940 41 42 4344 45 46 4

,

77

, ...

Sabendo que o elemento aij = 75432 é da matriz An, determine os valores de n, i e j.

65. (FGV-SP) A matriz

abc

é a solução da equação matri-

cial AX = M ,em que:

A =

1 2 50 1 40 0 3

e M =

28159

. Então, a2 + b2 +c2 vale:

a) 67b) 68c) 69

d) 70e) 71

66. (UEL-PR) Dadas as matrizes A = (aij)3x2, definida por aij = i –j; B = (bij)2x3, definida por bij = j; C = (cij), definida por C = A · B, é correto afirmar que o elemento c23 é:

a) igual ao elemento c12.b) igual ao produto de a23 por b23.c) oinverso do elemento c32.d) igual à soma de a12 com b11.e) igual ao produto de a21 por b13.

11

67. (FGV-SP) A e B são matrizes e At é a matriz trans-posta de A.

Se

A yx

e B2 31

2

121

−

=

,

então a matriz At · B será nula para:

a) x + y = –3

b) x · y = 2

c) xy= −4

d) x · y2 = –1

e) yx= −8

68. (Uema) Uma empresa da construção civil faz 3 tipos de casa: tipo 1, para casal sem filhos; tipo 2, para casal com até 2 filhos e tipo 3, para casal com 3 ou mais filhos. A empresa de material de construção Barateiro Umbizal fornece ferro, madeira, telha e tijolo, para a primeira etapa da construção, conforme tabelas de material e de preço.

Quantidade de Material Fornecido pela Empresa Barateiro Umbizal

Tipo da Casa

Ferro (feixe)

Madeira(m3)

Telha (milheiro)

Tijolo (milheiro)

Tipo 1 3 2 2 3Tipo2 4 4 3 5Tipo3 5 5 4 6

Preço por Unidade de Material Fornecido em reais

Feixe de ferro

Madeira (m3)

Telha (milheiro)

Tijolo (milheiro)

500,00 600,00 400,00 300,00

Sabendo que a empresa construirá 2, 4 e 5 casas dos tipos 1, 2 e 3, respectivamente, o preço unitário de cada tipo de casa e o custo total do material fornecido, para esta pri-meira etapa de construção, pela empresa, em reais, é de

a)Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total

5.200,00 7.100,00 8.900,00 83.300,00

b)Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total

4.400,00 7.100,00 9.100,00 82.700,00

c)Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total

4.400,00 7.100,00 8.900,00 81.700,00

d)Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total

4.400,00 7.400,00 8.900,00 82.900,00

e)Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Custo total

4.500,00 7.100,00 8.800,00 82.400,00

69. (UFSM-RS) Outra medida no sentido de desafo-gar o trânsito é o planejamento na construção de edifí-cios públicos.

O diagrama a seguir representa três bairros, C1, C2, e C3, com as respectivas populações de alunos e as distân-cias entre eles, em quilômetros.

Deseja-se construir uma escola em um desses bair-ros, de tal maneira que a distância percorrida por todos os alunos seja a mínima possível.

A matriz X que representa as distâncias entre as loca-lidades é dada por X = [dij], onde dij é a distância entre Ci e Cj, 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3.

110 100

120

2,2

2,01,8

C2 C3

C1

Assinale V nas afirmações verdadeiras e F nas falsas.

)( X =

0 1 8 21 8 0 2 22 2 2 0

,, ,

,

)( Se Y

XY

=

=

120110100

398436482

é a matriz-coluna das populações, então

)( A localidade escolhida para a construção da escola deve ser C2.

A sequência correta é:a) V –V – V. b) V – F – V. c) F – V – F.

d) V – V – F.e) F – F – V.

70. (Fuvest-SP) Uma matriz real A é ortogonal se AAt = I, onde I indica a matriz identidade e At indica a transposta de A. Se

Ax

y z=

12

é ortogonal, então x2 + y2 é igual a:

a) 14

b) 3

4( )

c) 12

d) 3

2( )

e) 32

12

71. (UEL-PR) Uma nutricionista recomendou aos atle-tas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) neces-sária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimen-tos. A matriz M fornece a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecidos por cada grama ingerida dos alimentos citados.

A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão daqueles alimentos é:

Dfrutaleite

cereais=

200300600

Mp

=

0 006 0 033 0 1080 001 0 035 0 0180 084 0 052 0 631

, , ,, , ,, , ,

rroteínasgorduras

carboidratos

a) 18 2036 30

454 20

,,,

b)

29 7016 20

460 20

,,,

c) 48 3036 00

432 40

,,,

d)

51 9048 30

405 60

,,,

e)

75 9021 50411 00

,,,

72. (UFR-RJ) Observe a tabela.

Quantidade comprada por cada amigaCarne Arroz Café

Laura 20 kg 3 pct 4 pctSimone 5 kg 2 pct 2 pct

Lisa 10 kg 2 pct 3 pct

Preços dos insumos em cada mercadoMercado A Mercado B Mercado C

Carne (kg) R$ 6,00 R$ 5,50 R$ 5,50Arroz (5 kg) R$ 4,00 R$ 4,50 R$ 3,00Café (500g) R$ 2,00 R$ 2,00 R$ 3,00

Simone e duas vizinhas se encontraram após fazerem uma pesquisa de preços em três mercados. Levando-se em conta três itens de suas listas, a saber: carne, arroz e café, e os preços destes insumos em cada mercado, conforme mostra a tabela anterior, é correto afirmar que:a) Lisa e Simone gastarão menos comprando no

mercado C do que gastariam no mercado B.b) Simone e Lisa gastarão menos comprando no

mercado B do que gastariam nos mercados A ou C.c) as três gastarão menos comprando no mercado A do

que gastariam no mercado B.d) Laura e Simone gastarão menos comprando no

mercado C do que gastariam nos mercados A ou B.e) Laura e Lisa gastarão menos comprando no mercado

B do que gastariam no mercado C.

Exercícios propostosMatemática capítulo 2

13

73. (UERJ) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17.

Considere o determinante de ordem 3 a seguir:

2 0 47 8 22 5 5

Demonstre que esse determinante é divisível por 17.

74. (UEL-PR) Sejam as matrizes A = (aij)3x2, tal que aij = 2i – 3j, e B = (bjy)2x3, tal que bjy = y – j. O determinante da matriz A · B é igual a:

a) –12 b) – 6

c) 0 d) 6

e) 12

75. (UFRGS-RS) Sendo A = (aij)nxn uma matriz onde n é igual a 2 e aij = i2 – j, o determinante da matriz A é:

a) –3 b) –1

c) 0 d) 1

e) 3

76. (Unitau) Sendo B = (bij)2x2, onde

bij = 1 se i j2ij se i j3j se i j

,,

,

=− <

>

Calcule o detBt:a) 13b) –25

c) 25d) 20

e) –10

77. (Mackenzie-SP) Dadas as matrizes A = (aij)3x3, tal que

a se i ja se i j

ij

ij

= == ≠

100

,, ,e B = (bij)3x3,

tal que b se i jb se i j

ij

ij

= == ≠

30

,, ,

o valor de det(AB) é:a) 27 x 103

b) 9 x 103c) 27 x 102

d) 32 x 102e) 27 x 104

78. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades:

I

II

III

.

.

.

2 21 4

3 41 5

3 65 2

4 71 5

8 12 6

9 21 7

− >

−− < −

− − > − −

É correto afirmar que: a) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II. b) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III. c) são verdadeiras apenas as desigualdades I e III. d) as três desigualdades são verdadeiras. e) as três desigualdades são falsas.

79. (PUC-RS) Dadas as matrizes A = 1 2 3

e B =

456

, o determinante det (A · B) é igual a

a) 18b) 21

c) 32d) 126

e) 720

80. (UEL-PR) Se o determinante da matriz

Ax

x= −

−

2 11 1 1

2 1 3

é nulo, então: a) x = –3

b) x = −74

c) x = –1

d) x = 0

e) x =74

81. (IFSul) Sendo o determinante

Dsenx senx

x senx=

− ⋅ −

+ ⋅

1 2

1 2cos, o valor do D =

π6

está no intervalo:

a) [0,3] b) [3,5]

c) [5,7] d) [7,9]

82. (Fatec-SP) Se x é um número real positivo tal que

Ax

Bx

=−

=

−−

1 10

11 1

,

e det (A ⋅ B) = 2, então x-x é igual a:

a) – 4

b) 14

c) 1

d) 2

e) 4

83. (Cftsc) Calcule o valor de x para que se tenha

x −=

34 2

0

a) –3b) 6

c) 0d) 3

e) –6

84. (PUC–SP) Se os coeficientes da função quadrática definida por f(x) = ax2 + bx + c satisfazem à condição

0 40

1 1

−=

bc b

abc,

então é correto afirmar que:

14

a) f tem um máximo. b) a e c têm sinais opostos. c) o gráfico de f é uma parábola cujo vértice pertence ao

eixo das ordenadas. d) o gráfico de f está contido no primeiro e segundo

quadrantes. e) o gráfico de f tangencia o eixo das abscissas.

85. (UEL–PR) A soma dos determinantes indicados a seguir é igual a zero:

a bb a

a bb a

+− −

a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.b) se e somente se a = b.c) se e somente se a = –b.d) se e somente se a = 0.e) se e somente se a = b = 1.

86. (Mackenzie – SP) Sendo Asenx x

x senx=−

coscos

e

B =log log ,2 2256 0 25

12

14

números reais, o valor

da expressão − ⋅ −A B 1 é

a) –3

b) −13

c) −15

d) 1

e) 5

87. (UFTM) É dada a matriz Aa bb a

=−

, onde a e b

são números reais. Se 0 13 5

222

=

.ab , então o

determinante de A é igual a:a) 3b + 4ab) 2b2 + a2

c) b2 + 5d) 5a + 2

e) 5a

88. (Unesp) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = –1 + 2i + j, para 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 2.

O determinante de A é:a) 22 b) 2

c) 4 d) –2

e) –4

89. (PUC – MG) O termo geral da matriz M2x2 é aij = 3i – 2j. O valor do determinante de M é:

a) 2 b) 3

c) 4 d) 5

e) 6

90. (PUCCamp – SP) São dadas as matrizes A=(aij)2x2, onde aij=2i-3j, e B=(bij)2x2, onde:

bij=i j se i j

i j se i j

+ =

− ≠

Nessas condições, se X = (B – A)2, o determinante da matriz X é igual a:a) 224 b) 286

c) 294 d) 306

e) 324

91. (Fei – SP) As faces de um cubo foram numeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubo foi registrada uma matriz de ordem 2, com elementos definidos por:

ai f se i j

j se i jij =+ =

≠

2

onde f é o valor associado à face correspondente.Qual o valor do determinante da matriz registrada

na face 5?a) 63 b) 61

c) 60 d) 6

e) 0

92. (UFR – RJ) Dadas as matrizes

Ax x x

e Bx

= −

=

11 15 309 12 19

110 150 300

1 30 0 11 5 2

O valor de x tal que det A = det B é: a) 0 b) 5

c) 1 d) –1

e) 2

93. (PUCCamp – SP) Sejam as matrizes mostradas na figura a seguir

A B e C=

=

=

0 11 0

1 02 1

1 20 1

, .

O determinante da matriz A + B · C é: a) –4 b) –2

c) 0 d) 1

e) 5

94. (Unioeste – PR) O valor de "a" para o qual o determi-nante adiante se anula é:

14 32 421 2 0

28 84−

a

95. (Fei – SP) Para que o determinante da matriz

1 13 1+ −

−

aa

seja nulo, o valor de a deve ser:a) 2 ou –2 b) 1 ou 3 c) –3 ou 5

d) –5 ou 3 e) 4 ou –4

96. (Uepg – PR) Dadas as matrizes

A e Bsen x

sen x= −

= − −

1 00 1

11 , assinale o que

for correto.

01. Se x = π , então det B = 0. 02. A matriz A ⋅ B é transposta de B. 04. B – A = – B 08. det (A ⋅ B) = cos2x 16. det B ≤ 0, para todo x ∈R.

97. (Upf) Considere a matriz Asenx x

x senx= −

coscos e ava-

lie as seguintes afirmações.

15

102. (Epcar (Afa)) Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M:

Mt é a matriz transposta de M M–1 é a matriz inversa de M det M é o determinante da matriz M Da equação (Xt)–1 = A · (B + C), em que A e (B + C) são

matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, afirma-se queI. X A B Ct t

= ( ) ⋅ +( )

− −1 1

II. detdet det ( )

XA B C

=⋅ +

1

III. X B C At t t− = +( )⋅1

São corretas a) apenas I e II b) apenas II e III

c) apenas I e III d) I, II e III

103. (Unesp) Seja A = [aij] a matriz real 2 x 2 definida por aij = 1, se i ≤ j e aij = –1 se i > j. Calcule A-1.

104. (UFPE) Seja a bc d

a inversa da matriz

3 111 4

.

Indique a b c d+ + + .

105. (FGV – SP) Sabendo que a inversa de uma matriz A é

A− =−

−

1

3 15 2

e que a matriz X é solução da

equação matricial X ⋅ A = B, em que B=[8 3] podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz X é:a) 7 b) 8

c) 9 d) 10

e) 11

Texto para as próximas 2 questões:

Uma empresa de informática constatou que o custo total C(x) em reais para produzir seus equipamen-tos é dado pela função C(x) = detA + detB – 10x + 2, na qual x é o número de equipamentos produzidos, com

Ax x

e Bx

x x=

−

=

− −−

22

21 2

0 2 10 1 01 2

.

106. (Ifsul) A quantidade de unidades que devem ser fabricadas para que o custo seja mínimo é

a) 1 unidade. b) 2 unidades.

c) 3 unidades. d) 4 unidades.

107. (Ifsul) O custo total para a produção de 10 unidades do equipamento é

a) R$ 21,00b) R$ 53,00

c) R$ 223,00d) R$ 263,00

108. (UFC-CE) A matriz quadrada A de ordem 3 é tal que:

A2

2 1 11 2 11 1 2

=

a) Calcule A2 – 3 ⋅ I, em que I é a matriz identidade de ordem 3.

b) Sabendo-se que A cumpre a propriedade A3 – 3 ⋅ A = 2 ⋅ I, determine a matriz inversa de A.

I. A matriz A é diagonal se, e somente se, senx = ± 1. II. O determinante da matriz A é um número maior do

que 1. III. A matriz A é simétrica se, e somente se, x k= +π π

2,

para algum k ∈ Z.

IV. A matriz A é inversível, qualquer que seja x ∈ R.

É verdadeiro o que se afirma em: a) I e II apenas. b) II e III apenas. c) II, III e IV apenas.

d) I, III e IV apenas. e) I, II, III e IV.

98. (Mackenzie – SP) Na função real definida na figura a seguir

f xxxx

( ) =2 43 94 16

f(0,001) vale:a) 0,02 b) 1000–1

c) 10–2 d) 500–1

e) 0,5

99. (CFTMG) Dada f :ℜ→ℜ definida por

f x( ) cos=−1 1 cos x

x sen x 21 1 sen x

, é correto afirmar que

essa função:

a) possui raiz em x =0 .

b) assume máximo apenas em x = π2

.

c) é constante para qualquer valor de x.

d) tem como representação gráfica uma senoide

100. (ESPM-SP) Considerando-se log 2 = 0,3, o valor do determinante abaixo é igual a:

1 1 14 16 400

2 4 202 2 2

log log log

log log log( ) ( ) ( )

a) 0,36 b) 0

c) 3 d) 0,74

e) 0,42

101. (UFPE) Para cada número real α , defina a matriz

Msen

sen( )cos

cos .αα αα α=

−

00

0 0 1

Analise as afirmações seguintes acerca de M(α).

)( M(0) é a matriz identidade 3 x 3.

)( M(α)2 = M(2α)

)( M(α) tem determinante 1.

)( M(α) é invertível, e sua inversa é M(–α).

)( Se M(α)t é a transposta de M(α), então M(α) ⋅ M(α)t = M(0).

16

113. (UEM-PR) Considerando as matrizes de números reais, quadradas e de ordem 3, A = (aij) e B = (bij), defini-das, respectivamente, por

a

i j

se i j

i jij

j

i j

j i

=

>

=

<

−

−

2

2

2

se

se

e bi j

jij

i j

=−( ) >

≤

+10

se se i

e que At

indica a transposta da matriz A, assinale o que for correto. 01. A matriz B é invertível. 02. AB ≠ BA.04. Existe um valor inteiro positivo n para o qual Bn é a

matriz quadrada nula de ordem 3. 08. A matriz A – At = (cij) satisfaz a cij = – cij para todo i e

para todo j. 16. A matriz A ⋅ At = (dij) satisfaz a dij = dji para todo i e

para todo j.

114. (Unioeste-PR) Considere as matrizes

A31 1

=−

0 e B

1 3b 1

=

.

Denotemos por AT a matriz transposta de A e por A2 a matriz produto A ⋅ A. É correto afirmar que:

a) qualquer que seja b ∈R, tem-se que A B33 1

T⋅ =−

0.

b) para todo b ∈R, tem-se que A B A B A B+( ) −( ) = + 2 2 .

c) se b32

= , então a matriz A 2BT+ é inversível.

d) se b 2k= , para algum k∈�, então A 2BT+ é inversível.

e) qualquer que seja b ∈R, a matriz A 2BT+ nunca será inversível.

115. (Fuvest-SP) Considere a matriz Aa a

a a=

+− +

2 11 1

,

em que a é um número real. Sabendo-se que A admite

inversa A-1 cuja primeira coluna é 2 1

1a−−

, a soma

dos elementos da diagonal principal de A-1 é igual a:a) 5 b) 6

c) 7 d) 8

e) 9

116. (UFR – RJ) Dada uma matriz A = 1 21 0−

,

denotamos por A-1 a matriz inversa de A. Então A + A-1 é igual a:

a) 2 31 0

b) 1 12 0

−

c) 1 112

12

−

d) 0 112

12

−

e) 2 42 0−

109. (UFPR) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e I é a matriz identidade de mesma ordem, pode-se mostrar que, para cada n natural, existem números reais α e β, tais que An = αA + βI.

Dada a matriz A =

2 30 1

a) encontre α e β, tais que A2 = αA + βI.b) multiplicando a expressão do item anterior pela

matriz inversa A-1, obtém-se a expressão A = αI + βA-1. Use essa informação para calcular a matriz A-1.

110. (Fuvest-SP)

a) Dada a matriz A = −−

2 31 2

, calcule a sua inversa A-1.

b) A relação especial que você deve ter observado entre A e A-1, seria também encontrada se calculássemos as matrizes inversas de

B = −−

3 42 3

, C = −−

5 64 5 e D =

−

1 20 1 .

Generalize e demonstre o resultado observado.

111. (Udesc) Seja X o conjunto formado por todas as matrizes diagonais de ordem 2x2 Analise as proposições:

I. A multiplicação de matrizes pertencentes a X satisfaz à propriedade comutativa.

II. Todas as matrizes pertencentes ao conjunto X possuem inversa.

III. A matriz identidade de ordem 2x2 pertence ao conjunto X

IV. Se A e B são dois elementos pertencentes a X então A + B também pertence a X

Assinale a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa II é verdadeira. b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. d) Somente a afirmativa III é verdadeira. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

112. (Udesc) Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que:

• aij = i + j• bij = j e os elementos de cada coluna, de cima para

baixo, formam uma progressão geométrica de razão 2.Analise as proposições abaixo:

)( A = AT

)( Os elementos de cada uma das linhas da matriz B estão em progressão aritmética.

)( Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas da matriz AB estão em progres-são aritmética.

)( Existe a matriz inversa da matriz C = A − B .

O número de proposição(ões) verdadeira(s) é: a) 0 b) 3 c) 1 d) 2 e) 4

17

117. (UFPR) Considere a matriz A = [aij], de ordem 4 x 4, cujos elementos são mostrados a seguir.

aij =≠

=

1 se i j

se i j

,

,0

É correto afirmar que: 01. Na matriz A, o elemento a23 é igual ao elemento a32. 02. Os elementos da diagonal principal da matriz A são

todos nulos. 04. O determinante da matriz A é igual a – 4. 08. Se a matriz B é [1 –1 1 –1], então o produto B · A é a

matriz –B. 16. Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A + I

possui todos os elementos iguais a 1.

118. (Mackenzie – SP) As raízes não nulas da equação mostrada na figura a seguir

xx xx x xx x x x

3 2 72 7

70=

são as medidas dos lados de um triângulo de área:

a) 2 21

b) 3

c) 2

d) 7

e) 21

119. (UFV-MG) Considerando a matriz A3x3 cujo termo geral é dado por axy = (–1)x+y, é correto afirmar que:

a) A = –At b) A é inversível. c) a11 + a22 + a33 = 0

d) axy = cos((x + y) π) e) a11 + a21 + a31 = 0

120. (Unirio) Seja a matriz mostrada na figura adiante

Ac

a b=

−−−

1 02 1 1

2

Sabendo-se que At = A, calcule o determinante da matriz A – 2A + I2.

121. Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace:

a) 1 2 34 5 67 8 9

b)

0 1 1 32 0 0 20 0 0 10 1 0 0

122. Calcular com o auxílio do Teorema de Laplace os seguintes determinantes:

a) b)D1

2 3 42 1 20 5 6

2

=−

− =

D

2

33 4 10 0 2 03 1 1 11 0 2 3

−

−−

123. Calcular o valor dos seguintes determinantes:

a) b)D1

2 3 11 2

3 1

2

=−

−=

− 4

2 D

1

2

0 1 1 0 1

0 0 1 21 0

0 1 0−

124. Calcular x na igualdade

1 0 11 3

1 30

−=x

x .

125. Determine o conjunto verdade das equações:

a) 2 0 0 01 1

1 2 42 4 6 2

6x x

x−−−

=

b) 1 0 2 02 0 03 1 24 0 1

39−−

= −x

xx

126. Calcular x na igualdade

1 1 12 34 6 9

02 2

x xx x x

−− +

=

127. Sendo A=

1 1 1 12 3 4 1

4 9 16 18 27 64 1

− −

− −

, calcular det A.

128. (UFC – CE) Uma matriz é dita singular quando seu determinante é nulo. Então, os valores de c que tornam singular a matriz

1 1 11 91 3

cc

são: a) 1 e 3 b) 0 e 9

c) –2 e 4 d) –3 e 5

e) –9 e –3

129. (UFSCar – SP) A condição para que o determinante da matriz A mostrada na figura a seguir seja diferente de zero é:

Aa

aa

=

1 11 11 1

a) a = –1 e a = 2 b) a ≠ 1 e a ≠ –2 c) a > 0

d) a ≠ –1 e a ≠ 2 e) a ≠ 1 e a ≠ 2

18

130. (Uflavras) Os valores de "a" na matriz adiante,

Ma

aa a

=

0 20 0

0

que satisfazem a f(det M) = 0, para f(X) = X + a, são:a) –1, 1 b) 0, –1

c) 0, 1 d) 0, 2

e) –2, 2

131. (UFC-CE) Considere a matriz mostrada na figura adiante

M =

1 1 11

0

2

2

α αα α

onde α representa qualquer uma das raízes (comple-xas) da equação x2 + x + 1 = 0. Se detM simboliza o deter-minante da matriz M, assinale a opção na qual consta o valor de (detM)2 + (detM) + 1. a) i. b) 0.

c) –1. d) 1.

e) –i.

132. (UFC-CE) Considere a matriz A mostrada na figura adiante.

Axa a

x=

0 11

0 1

O valor de a para o qual a equação detA=1 possui exa-tamente uma raiz real é: a) 5 b) 4

c) 3 d) 2

e) 1

133. (PUC-PR) O valor de x no determinante a seguir é:

x 2 9

3 4 12 1 3

53

9

log

log − =

a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

134. (UFC-CE) O determinante da matriz mostrada na figura adiante

cos

cos

cos

512 12

1

512 12

1

512 12

1

π π

π π

π π

sen

sen

sen

é igual a: a) 0 b) 0,5 c) 1

d) 1,5 e) 2

135. (UEL-PR) O determinante mostrado na figura a seguir

1 0 10 0

0 1

−

−x

x

é positivo sempre que: a) x > 0 b) x > 1

c) x < 1 d) x < 3

e) x > –3

136. (Unifesp) Considere a matriz mostrada na figura adiante, onde x varia no conjunto dos números reais.

A sen xx

=

1 0 22 00 2 cos

Calcule:a) o determinante da matriz A;b) o valor máximo e o valor mínimo deste

determinante.

137. (UFSM – RS) A equação

xx m

0 02 10 3 1

0+

=

na variável x, tem duas soluções reais: a) somente para m ∈ Z. b) para todo m ∈ R. c) somente para m = 0. d) somente para m = 1/3. e) para m = 1 + i, onde i é a unidade imaginária.

138. (FGV – SP) A matriz mostrada na figura a seguir

A xx

=

1 1 12 54 252

admite inversa, se e somente se: a) x ≠ 5 b) x ≠ 2 c) x ≠ 2 e x ≠ 5

d) x ≠ 4 e x ≠ 25 e) x ≠ 4

139. (Ufscar) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 3, tal que

aj

ij ==

≠

p se i

2p se i j

,

,

com p inteiro positivo. Em tais condições, é correto afirmar que, necessariamente, det A é múltiplo de:a) 2 b) 3

c) 5 d) 7

e) 11

19

140. (PUC – PR) Sendo 0 ≤ x ≤ π/2, o valor de x para que o determinante da matriz

cos cos

cos

x xtan x sen xsen x x

111

seja nulo é:

a) π2

b) π3

c) π6

d) π4

e) π

141. (CFTMG) O número de soluções inteiras que verifi-cam a inequação

1 1 11 31 9

02

xx

<

é (são): a) um. b) dois. c) três. d) quatro.

142. (ITA – SP) Sejam a, b, c e d números reais não nulos. Exprima o valor do determinante da matriz

bcd a aacd b babd c cabc d d

1111

2

2

2

2

na forma de um produto de números reais.

143. (PUC – RS) Sendo:

Aabc

mtkB

mtk

abce A=

=123 123 4, det

o determinante de B é igual a:

a) −14

b) 14

c) 34

d) 4

e) –4

144. (Acafe – SC) Analise as afirmações abaixo,

sabendo que:

a b cd e fg h i

= −2

I.

d e fa b cg h i

= 2

II. 3 3 33 3 33 3 3

6a b cd e fg h i

= −

III.

a b c

g h i0 0 0 0=

IV.

a b cd a e b f c

g h i+ + + = −2 2 2 2

Assinale a alternativa correta. a) Apenas I, III e IV são verdadeiras. b) Apenas a afirmação III é verdadeira. c) Apenas I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmações são verdadeiras.

145. (UEL - PR) Seja o determinante (D) na figura

adiante:

Da bc d

É verdade que= . :

a) ac

D11

1= −

b) b ad c

D=

c) c da b

D=

d) d cb a

D=

e) a bc d

D2 2

2 22=

146. (PUC – MG) M é uma matriz quadrada de ordem 3 e seu determinante é det(M) = 2. O valor da expressão det(M) + det(2M) + det(3M) é:

a) 12 b) 15 c) 36

d) 54 e) 72

147. (UFSC) Sejam A, B e C matrizes. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).

01. Se A é uma matriz de ordem n, então det(kA)=kn ⋅ detA, k ∈ R.

02. (At)t ⋅ A-1 = I 04. det(A + B) = detA + detB.

20

08. Se A é uma matriz de ordem n×m e B é de ordem m×k, então A + B é uma matriz de ordem n×k.

148. (UFSM – RS) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n e 0 a matriz nula de ordem n. Então, a afirma-tiva correta é a seguinte:

a) Se At é a matriz transposta de A, então detAt ≠ det A.b) Se det A ≠ 0, existe a matriz inversaA-1 e A-1 = 1/(detA) ⋅ (cofA)t, onde cof A é a matriz dos cofa-tores de A. c) Se A ⋅ B = 0, então A = 0 ou B = 0 d) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 e) Se k ∈ R, então det (k A) = k det A, para todo k.

149. (Mackenzie – SP) Considere a matriz A represen-tada na figura adiante

Asen x x

x sen xx R= −

∀ ∈

coscos

, ,2 2

então det14

5

⋅

A vale:

a) 2 det A

b) det A4

c) det A

d) detA8

e) 4 det A

150. (ESPM – SP) Se a matriz 34 1

xx +

for multiplicada

pelo valor do seu determinante, este ficará multiplicado por 49. Um dos possíveis valores de x é:a) 5 b) –3

c) 1 d) –4

e) 2

151. (UFES) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A) = 3 e se k é um número real tal que det(kA) = 192, então o valor de k é:

a) 4 b) 8

c) 32 d) 64

e) 96

152. (PUC – MG) A matriz A é de quarta ordem e seu determinante é –8. Na equação det(2A) = 2x –150, o valor de x é:

a) 11 b) 16

c) 43 d) 67

153. (UEG-GO) Sendo x e y, respectivamente, os determi-nantes das matrizes

a bc d

ea c

b d

− −

4 45 5

,

é verdade que yx

é igual a:

a) 120

b) – 120

c) 20

d) –20

e) 320

154. (FGV – SP) As matrizes A = (aij)4x4 e B = (bij)4x4 são tais que 2aij = 3bij. Se o determinante da matriz A é igual a 3/4, então o determinante da matriz B é igual a:

a) 0 b) 4/27

c) 9/8 d) 2

e) 243/64

155. (Mackenzie – SP) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A–1 a sua inversa. Se 16 ⋅ det A-1 = det (2A), então o determinante de A vale:

a) 4 b) 6

c) 8 d) 2

e) 16

156. (UFSM) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A = det B ≠ 0, então det [(1/2) · At · B-1] é igual a:

a) 1/(2n) b) 1/2 c) (1/2) · det At

d) [1/(2n)] · det A e) 2n

157. (UFPE) Seja M uma matriz 2 × 2 inversível, tal que DetM–1 = 1/96, onde M–1 é a matriz inversa de M. Deter-mine o valor de DetM.

158. (PUCCamp-SP) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3, tais que det A ≠ 0 e det B ≠ 0, então é correto afirmar que:

a) det (A+B) = det A + det B b) det (3A) = 3 · det A

159. (Udesc) Dada a matriz A (figura 1).

Seja a matriz B tal que A–1BA = D, onde a matriz D (figura 2), então o determinante de B é igual a:

Figura 1 Figura 2

A =

−

1 21 1

D =

−

2 11 2

a) 3 b) –5

c) 2 d) 5

e) –3

160. (EEWB) O determinante da matriz A4x4 onde os ele-mentos da primeira linha são 4, 3, 5 e 1; os elementos da segunda linha são 0, 3, 0 e 2; os da terceira linha são 2, 7, 0 e 0 e os da quarta linha, 8, 6, 10 e 2, é

a) –5 b) 0

c) 5 d) 15

161. (IFAL) Se A =−

=

−

1 21 0

1 21 0

e B , o determi-

nante da matriz (AB)–1 é:

a) −1

10

b) 2110

c) 1310

d) −1310

e) nda

162. (UEPB) Se a matriz com det(A)=1 e Am

− =−

1

1 10

, o valor de m é:

a) –1b) 1c) 0

d) 2e) –2

21

163. (PUCCamp-SP) São dadas as matrizes A e B na figura adiante.

A e B=−

=

−

3 21 2

1 01 2

Se A ⋅B-1 = C, o determinante de A – B + C é igual a:a) 24 b) 20

c) 18 d) 15

e) 12

164. (IFCE) Considere a matriz Asen

sen=−

cos

cos.

θ θ

θ θ

23 1 3

0

Sabendo-se que senθ θ= −cos , em que 0 2≤ ≤θ π, o determinante da matriz inversa de A, indicado por Det A-1, vale:a) –1 b) 0

c) 1 d) 2

e) –5

165. (Udesc) Considerando que A é uma matriz qua-drada de ordem 3 e inversível, se det(3A) = det(A2), então det(A) é igual a:

a) 9b) 0

c) 3d) 6

e) 27

166. (Udesc) Considere as matrizes A =+

−

x xx

12

2 e

B =

3 21 1

. Se I representa a matriz identidade de ordem

dois, então o produto entre todos os valores de x R∈ que

satisfazem à equação det det det 2A B B I BT⋅( ) + +( ) = ( )

é igual a:

a) −43

b) −23

c) 32

d) 52

e) −13

167. (IBMEC – RJ) Sejam M e N matrizes quadradas de ordem 2, cujos determinantes são denotados, respectiva-mente, por det (M) e det (N). Seja O é a matriz nula de ordem 2. Assinale a afirmativa correta.

a) Se det (M) = 0, então M = O b) det (M + N) = det (M) + det (N) c) det (3M) = 3 det (M) d) det (–M) = –det (M) e) Se det (MN) = 0 então det (M) = 0 ou det (N) = 0

168. (Unesp) Seja A uma matriz. Se

A3

1 0 00 6 140 14 34

=

,

o determinante A é: a) 8

b) 2 2

c) 2

d) 23

e) 1

Gabarito1. C2. D

3. D4. E

5. D6. C

7. a) Cláudio b) 2 chopes8. A9. V V F V F 10. a) Na segunda medição do 40 dia. b) 37,3°C.11. C12. a) 1.200 reais. b) 3.400 reais13. B 14. C 15. B16. a) 4

803

32

b) −−

20

01

14

c) 20

01

14

−−

17. x = 2, y = –9 e z = –7

18. a) −−−

−−−

125

347

b) 125

347

c) 33

88

1515

19. X=43

43

0

0

e Y=113

113

0

0

20. a) 0 00 0

b) 4 1415 8

−− −

c) − −−

118 1016 139

21. X= −− −

32

32

6 3

22. X=

65

15

115

45

−

e Y=− −

− −

45

15

95

15

23. X = −

1 2 30 1 02 1 1

24. D 25. B26.

Cc cc c

=

=⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅⋅ +

11 12

21 22

2 2

2

2 1 1 1 1 2 1 2 1 22 2 1

[( ) ] [( ) ][( ) −− ⋅ ⋅ + − ⋅

=

2 1 2 2 2 2 2

6 1414 24

2] [( ) ]

27. C28. D29. C30. C31. C

32. B33. B34. A35. C36. E

37. B38. E39. C

40. Estados Unidos: 519 Cuba: 288 Brasil: 30941. A42. M=

xx

x0

0

∀,

43. C44. D45. C

22

46. a)

Figura A

Figura B

milho soja feijão

P

Q1

50 20 2040 10 30

210 2

=

=

←

←

00 1515 20 2030 20 30

←

←

←

X Y Z

milho

soja

jeijão

b) c23 = 1.700 significa que serão necessários 1.700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho, soja e fei-jão na região Q.47. B48. D49. A

50. D51. B

52. Para que o produto seja comu-tativo, deve-se ter cij = dij, para todo j e todo (cij)3x3 = C = A x B e (dij)3x3 = D = B x A. Assim, como c11 = 2 e d11 = 0 segue-se que o produto de A e B não é comutativo.Em particular, temos

A B× =

×−

−

=

1 2 30 1 20 0 1

0 1 21 2 30 1 0

2 0 41 0 30 1 0

e

B A× =−

−

×

=

1 1 21 2 30 1 0

1 2 30 1 20 0 1

0 1 01 0 20 1 2

53. E54. C55. C56. B

57. A58. A59. B

60. 2

61. 9 168 9

62. X= − −−

3 13 3

63. C64. n e i e j= + = = =4714 1 4715 3 1 65. A66. E67. D68. C

69. D70. E71. E72. D

73. det = 80 + 140 – 64 – 20det = 136det = 17 · 8é divisível por 1774. C75. E76. A77. A78. B79. C80. E81. A82. B83. E84. E85. A86. B87. E88. D89. E90. E91. B92. B93. A94. 6495. A96. 08 + 16 = 2497. D98. D99. C100. E101. VVVVV102. D

103. A− =−

1

12

12

12

12

104. | | | | | | | | | | | | | | | | .a b c d+ + + = + − + − + =4 1 11 3 19

105. A106. D107. A108. a)

A I2 32 1 11 2 11 1 2

31 0 00 1 00 0 1

1 1 11 1 11

− =

−

=−

−. .11 1−

b) A− =

−

−

−

1

12

12

12

12

12

12

12

12

12

109. a) α = 3 e β = –2

b) A− =−

112

32

0 1

110. a) A− =−−

1

2 31 2

b) Aa aa a

Aa aa a

=− +−

⇒ =

− +−

−

11

11

1

111. B 112. B113. 02 + 04 + 08 + 16 = 30114. D115. A

116. C

117. 01 + 02 + 08 + 16 = 27118. B 119. D120. –14121. a) 0 b) –2122. a) 68 b) 70123. a) – 47 b) 5124. x = 1 ou x = –4125. a) 1/6 b) –39/11126. x = 2 ou x = 5127. 600128. D129. B130. C131. D

132. E133. B134. B135. B

136. a) det A = sen x ⋅ cos x + 8 b) máximo = 8,5 mínimo = 7,5137. B138. C

139. C140. D

141. A142. (b - a) (c - a) (d - a) (c - b) (d - b) (d - c)143. E144. A145. D146. E147. 01 + 02 = 03148. B149. C150. D151. A152. A153. D154. B155. D

156. A157. 96158. B159. D160. B161. E162. B163. B164. C165. E166. B167. E168. C