matematica - caderno do professor - 1ª série - em - volume 1

caderno doPROFESSOR

mat

Emát

ica

ensino médio

volume 1 - 20091a- SÉRiE

São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1a série, volume 1 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Ruy César Pietropaolo, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.

ISBN 978-85-7849-186-4

1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Pietropaolo, Ruy César. VII. Spinelli, Walter. VIII. Título.

CDU: 373.5:51

S239c

GovernadorJosé Serra

Vice-GovernadorAlberto Goldman

Secretária da EducaçãoMaria Helena Guimarães de Castro

Secretária-AdjuntaIara Gloria Areias Prado

Chefe de GabineteFernando Padula

Coordenadora de Estudos e NormasPedagógicasValéria de Souza

Coordenador de Ensino da RegiãoMetropolitana da Grande São PauloJosé Benedito de Oliveira

Coordenadora de Ensino do InteriorAparecida Edna de Matos

Presidente da Fundação para oDesenvolvimento da Educação – FDEFábio Bonini Simões de Lima

Coordenação do Desenvolvimento dos Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos ProfessoresGhisleine Trigo Silveira

AUTORES

Ciências Humanas e suas Tecnologias

Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume

Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume

Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos

Matemática

Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli

Caderno do GestorLino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie

Equipe de Produção

Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza

Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos Carvalho, Beatriz Blay, Carla de Meira Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti

Equipe Editorial

Coordenação Executiva: Angela Sprenger

Assessores: Denise Blanes e Luís Márcio Barbosa

Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie

Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogos de Amarelinha, Jairo Souza Design Gráfico e Occy Design (projeto gráfico)

APOIOFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

CTP, Impressão e AcabamentoImprensa Oficial do Estado de São Paulo

EXECUÇÃO

Coordenação GeralMaria Inês Fini

ConcepçãoGuiomar Namo de MelloLino de MacedoLuis Carlos de MenezesMaria Inês FiniRuy Berger

GESTÃO

Fundação Carlos Alberto Vanzolini

Presidente do Conselho Curador:Antonio Rafael Namur Muscat

Presidente da Diretoria Executiva:Mauro Zilbovicius

Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:Guilherme Ary Plonski

Coordenadoras Executivas de Projetos:Beatriz Scavazza e Angela Sprenger

COORDENAÇÃO TéCNICA

CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

Prezado(a) professor(a),

Dando continuidade ao trabalho iniciado em 2008 para atender a uma das

prioridades da área de Educação neste governo – o ensino de qualidade –, enca-

minhamos a você o material preparado para o ano letivo de 2009.

As orientações aqui contidas incorporaram as sugestões e ajustes sugeridos

pelos professores, advindos da experiência e da implementação da nova pro-

posta em sala de aula no ano passado.

Reafirmamos a importância de seu trabalho. O alcance desta meta é concre-

tizado essencialmente na sala de aula, pelo professor e pelos alunos.

O Caderno do Professor foi elaborado por competentes especialistas na área

de Educação. Com o conteúdo organizado por disciplina, oferece orientação

para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas.

Esperamos que você aproveite e implemente as orientações didático-peda-

gógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer dúvidas ou

dificuldades, assim como para promover ajustes ou adaptações que aumentem

a eficácia deste trabalho.

Aqui está nosso novo desafio. Com determinação e competência, certamen-

te iremos vencê-lo!

Contamos com você.

Maria Helena Guimarães de CastroSecretária da Educação do Estado de São Paulo

SuMário

São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5

Ficha do Caderno 7

orientação geral sobre os Cadernos 8

Situações de Aprendizagem 11

Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos – Regularidades numéricas e/ ou geométricas 11

Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas ou progressões geométricas 22

Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira 36

Situação de Aprendizagem 4 – Limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita 51

Orientações para Recuperação 58

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 59

Considerações finais 60

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 61

5

São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a),

É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do

Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fun-

damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão

também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas

durante a primeira fase de implantação da proposta.

Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida

das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto

na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges-

tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam

ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.

A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.

Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig-

nificados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e

consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o

que estava sendo proposto.

Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas

para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que geren-

cia esse processo.

Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação

da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,

gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.

Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no

contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia

escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da

aprendizagem e de seus resultados.

6

Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,

na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve-

lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas

e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu-

cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e

recursos didáticos.

Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de

São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das

ações propostas para a construção de uma escola melhor.

O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que

acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a

em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será

apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi

alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos

Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.

Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para

que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo

este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que

pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade

a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever

esse sucesso, que também é de vocês.

Bom ano letivo de trabalho a todos!

Maria inês FiniCoordenadora Geral

Projeto São Paulo Faz Escola

7

Ficha do caderno

Sequências numéricas

nome da disciplina: Matemática

Área: Matemática

etapa da educação básica: Ensino Médio

Série: 1a

Período letivo: 1o bimestre de 2009

Temas e conteúdos: Conjuntos numéricos: regularidades numéricas

e/ou geométricas

Progressões aritméticas e progressões geométricas

Soma dos termos de uma PA ou de uma

PG finita: aplicações à Matemática Financeira

LimitedasomadostermosdeumaPGinfinita

8

outras. Insistimos, no entanto, no fato de

que somente o professor, em sua circuns-

tância particular, e levando em considera-

ção seu interesse e o dos alunos pelos temas

apresentados, pode determinar adequada-

mente quanto tempo dedicar a cada uma

das unidades.

Ao longo dos Cadernos são apresentadas,

além de uma visão panorâmica do conteúdo

do bimestre, quatro Situações de Aprendiza-

gem (1, 2, 3 e 4) que pretendem ilustrar a for-

ma de abordagem sugerida, instrumentando

o professor para sua ação na sala de aula. As

atividades são independentes e podem ser ex-

ploradas pelos professores com mais ou me-

nos intensidade, segundo seu interesse e de

sua classe. Naturalmente, em razão das limi-

tações no espaço dos Cadernos, nem todas as

unidades foram contempladas com Situações

de Aprendizagem, mas a expectativa é de que

a forma de abordagem dos temas seja explici-

tada nas atividades oferecidas.

São apresentados, também, em cada Ca-

derno, sempre que possível, materiais disponí-

veis (textos, softwares, sites e vídeos, entre ou-

tros) em sintonia com a forma de abordagem

proposta, que podem ser utilizados pelo pro-

fessor para o enriquecimento de suas aulas.

Compõem o Caderno, ainda, algumas con-

siderações sobre a avaliação a ser realizada,

bem como o conteúdo considerado indispen-

sável ao desenvolvimento das competências

esperadas no presente bimestre.

Os temas escolhidos para compor o conteú-

do disciplinar de cada bimestre não se afas-

tam, de maneira geral, do que é usualmente

ensinado nas escolas ou do que é apresentado

pelos livros didáticos. As inovações preten-

didas referem-se à forma de abordagem dos

mesmos, sugerida ao longo dos Cadernos de

cada um dos bimestres. Em tal abordagem,

busca-se evidenciar os princípios norteadores

do presente currículo, destacando-se a contex-

tualização dos conteúdos e as competências

pessoais envolvidas, especialmente as relacio-

nadas com a leitura e a escrita matemática,

bem como os elementos culturais internos e

externos à Matemática.

Em todos os Cadernos, os conteúdos estão

organizados em oito unidades de extensões

aproximadamente iguais, que podem cor-

responder a oito semanas de trabalho letivo.

De acordo com o número de aulas disponíveis

por semana, o professor explorará cada as-

sunto com mais ou menos aprofundamento,

ou seja, escolherá uma escala adequada para

o tratamento de cada um deles. A critério do

professor, em cada situação específica, o tema

correspondente a uma das unidades pode ser

estendido para mais de uma semana, enquan-

to o de outra unidade pode ser tratado de

modo mais simplificado.

É desejável que o professor tente contem-

plar todas as oito unidades, uma vez que,

juntas, compõem um panorama do conteúdo

do bimestre, e, muitas vezes, uma das uni-

dades contribui para a compreensão das

orienTação geral Sobre oS cadernoS

9

Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

Conteúdos básicos do bimestre

A abordagem dos conceitos deste 1o bimes-

tre da 1a série, relativos ao bloco Números

e Sequências, priorizará aspectos conside-

rados fundamentais para a compreensão de

alguns dos diferentes significados dos con-

ceitos envolvidos.

O primeiro aspecto do qual pretendemos

ressaltar a importância para este estudo re-

fere-se ao reconhecimento da regularidade

envolvida na construção de sequências nu-

méricas ou de sequências geométricas. Para

tanto, propomos que o início do trabalho se

dê com a retomada das características dos

conjuntos numéricos, a fim de que os alu-

nos percebam, por um lado, a regularidade

do conjunto dos números naturais e dos

números inteiros e, por outro, a questão da

densidade dos números reais. Partindo do

conhecimento desses conjuntos, esperamos

que os alunos possam relacionar a regula-

ridade dos números naturais à de outras se-

quências numéricas e também geométricas,

identificando essa regularidade, sempre que

possível, por intermédio de uma equação

matemática. Para tanto, apresentamos, na

Situação de Aprendizagem 1 – Conjuntos numéricos; regularidades numéricas e/ou geométricas, uma série de situações-problema

exemplares, para que o professor possa op-

tar pela utilização total ou parcial no início

de seu trabalho.

Partindo do princípio de que os alunos

devem reconhecer a regularidade de sequên-

cias numéricas de qualquer natureza e es-

crever equações matemáticas que reflitam

a regularidade observada, julgamos impor-

tante que não sejam tratadas de maneiras

completamente distintas as sequências arit-

méticas e as sequências geométricas, como

se costuma observar nos livros didáticos.

Essa proposta de abordagem simultânea

dos dois tipos mais comuns de sequências,

as PAs e as PGs está contemplada na Situação de Aprendizagem 2 – Progressões aritméticas ou progressões geométricas e permite,

ao nosso ver, que o foco do tratamento

conceitual se desloque do formalismo algé-

brico para a construção do significado real

e importante das características da regula-

ridade de cada sequência.

Progressões aritméticas ou geométricas

estão presentes em várias situações contex-

tualizadas, conforme alguns modelos apre-

sentados na Situação de Aprendizagem 2, e

não costumam trazer dificuldades adicio-

nais de compreensão para os alunos. Den-

tre as inúmeras aplicações desse conteúdo,

destacamos especialmente uma, na Situação de Aprendizagem 3 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita; aplicações à Matemática Financeira, quando propo-

mos que problemas clássicos de cálculos

de juros e de montantes envolvidos em

processos de capitalização ou amortiza-

ção componham o contexto possível para

o tratamento da soma de um número fini-

to de termos de uma PA ou de uma PG.

Para o desenvolvimento das atividades que

compõem essa Situação de Aprendizagem,

conforme justificaremos adiante, julgamos

fundamental que os alunos possam dispor

de calculadoras.

10

O conceito de infinito, de suma impor-

tância em Matemática, costuma ser bastante

motivador para o estudo de alguns concei-

tos, desde as séries iniciais, quando os alunos

tomam contato com a ideia do “mais 1”, que

conduz à construção do campo numérico

dos naturais. A ideia da quantidade infini-

ta de números existente entre dois números

reais, como 1 e 2, por exemplo, é algo que

parece inicialmente estranho para nossos

alunos, mas pode, pouco a pouco, firmar-se

como um conceito fundamental da Matemática,

dependendo das diferentes abordagens que

destinamos ao conceito durante toda a es-

colaridade. Nessa perspectiva, isto é, com

o objetivo de que os estudantes construam,

gradual e lentamente, o conceito de limite

de uma função, não devemos perder opor-

tunidades que surjam durante nossas aulas

para, de maneira apropriada ao momento,

abordar a ideia de limite. É nesse contexto

que propomos a realização da sequência

de atividades que compõem a Situação de Aprendizagem 4 – limite da soma dos infinitos termos de uma PG infinita, durante a

qual o foco estará sempre colocado sobre o

conceito de limite, em detrimento de dificul-

dades de natureza algébrica.

A organização do trabalho do bimestre,

com base nas considerações anteriores, pode

ser feita nas oito unidades seguintes, referen-

tes, aproximadamente, a oito semanas.

Quadro geral de conteúdos do 1o bimestre da 1a série do Ensino Médio

unidade 1 – Sequências numéricas e/ou geométricas; identificação e registro da regularidade.

unidade 2 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.

unidade 3 – Progressões aritméticas e progressões geométricas – termo geral e aplicações.

unidade 4 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita.

unidade 5 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira.

unidade 6 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita – aplicações à Matemática Financeira.

unidade 7 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.

unidade 8 – Limite da soma dos termos de uma PG infinita.

11


SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 1CONjuNtOS NuMÉRICOS; REGuLARIDADES NuMÉRICAS

E/Ou GEOMÉtRICAS

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

Na 1a série do Ensino Médio, é bem pro-

vável que os alunos conheçam os conjuntos

numéricos, Naturais, Inteiros, Racionais

e Reais, e é provável, também, que tragam

construída a ideia preliminar da relação en-

tre dois subconjuntos desses conjuntos, co-

nhecimento este que é a base do conceito de

função. Se a premissa é verdadeira, cabe ao

professor relembrar aos alunos algumas ca-

racterísticas desses conjuntos, com o objetivo

de construir a base para a apresentação, pos-

terior, das leis de formação das sequências

numéricas. Caso a premissa não seja verda-

deira, isto é, se os alunos não conhecem com

qualidade os conjuntos numéricos, convém

que o professor apresente a eles, formalmen-

te, cada conjunto (N, z, Q e R), antes de ini-ciar a aplicação da Etapa 1.

Conhecidos os conjuntos numéricos, os alu-

nos poderão reconhecer que, na maioria das

vezes, uma sequência ordenada de números

pode ser identificada por intermédio de uma

sentença matemática que relaciona um nú-

mero natural a um número real. Essa ideia é

fundamental para o estudo das relações de

dependência entre um par de grandezas, ou,

em outros termos, para o estudo das funções.

Nesta Situação de Aprendizagem, explora-

remos, inicialmente, na Etapa 1, a construção

dos conjuntos numéricos e algumas de suas

propriedades. Em seguida, apresentaremos

algumas sequências, em que será possível a

identificação de determinados padrões de re-

gularidades, e pediremos que os alunos descre-

vam, em língua materna, a regularidade que

identificam. Isso feito, o próximo passo será pe-

dir que os alunos encontrem termos sucessivos

dessas sequências, caso elas mantenham a regu-

laridade observada. Completando a primeira

tempo previsto: 1 semana.

Conteúdos e temas: conjuntos numéricos; sequências numéricas e/ou geométricas; termo geral de sequên-cias numéricas.

Competências e habilidades: obter sequências numéricas a partir do conhecimento de seu termo geral; obter o termo geral de uma sequência numérica a partir da identificação da regularidade existente; reconhecer a existência ou não de padrões de regularidades em sequências numéricas ou geométricas; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas.

Estratégias: resolução de exercícios exemplares.

SituAçõES dE APrEndizAGEM

12

etapa, os alunos serão convidados a exprimir

a regularidade observada, por intermédio de

uma sentença matemática.

Realizada a etapa inicial, proporemos, na

Etapa 2, que os alunos obtenham sequências

numéricas a partir de condições dadas em lín-

gua materna ou em linguagem matemática e,

ainda, que obtenham termos determinados de

algumas dessas sequências.

Etapa 1 – observando padrões e regularidades

Inicialmente, recomendamos que o pro-

fessor liste o conjunto dos números naturais

e dos números inteiros para, em seguida, pedir

que identifiquem alguns subconjuntos descri-

tos por informações comunicadas em língua

materna, como, por exemplo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }

z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Quais são os elementos do conjunto numé-

rico assim formado:

a) números naturais menores do que 7.

b) números naturais maiores ou iguais a 8.

c) números inteiros menores do que 7 e maiores do que –2.

d) números inteiros cujo valor absoluto é menor do que 4.

Em seguida, após a exposição desses e

de outros exemplos que o professor julgar

apropriados, poderá ser pedido que os alunos

transcrevam as informações comunicadas em

língua materna para a linguagem matemática.

No caso dos exemplos anteriores, teríamos:

a) {x ∈ N / x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b) {x ∈ N / x ≥ 8} = {8, 9, 10, 11, 12, ...}.

c) {x ∈ z / – 2 < x < 7} = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

d) {x ∈ z / |x| < 4} = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}.

Discutidos alguns casos, como exemplifica-

do, recomendamos que os alunos se envolvam

na resolução dos seguintes problemas:

Problema 1

Dados os conjuntos seguintes, descritos em

linguagem cotidiana, encontre, em cada caso,

seus elementos e traduza a descrição dada

para a linguagem matemática.

a) O conjunto A é formado por números naturais maiores do que 4 e menores ou iguais a 11.

{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.

b) O conjunto B é formado por números naturais menores ou iguais a 6.

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

c) O conjunto C é formado por números inteiros maiores ou iguais a –3 e menores do que 5.

{–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.

13


d) O conjunto D é formado por números inteiros maiores ou iguais a –2.

{–2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Problema 2

Quais são os cinco menores números que

pertencem a cada um dos seguintes conjuntos?

a) E é o conjunto dos números naturais que são divisíveis por 4.

E = {0, 4, 8, 12, 16}.

b) F é o conjunto dos números naturais ímpares maiores do que 7.

F = {9, 11, 13, 15, 17}.

c) G é o conjunto dos números inteiros que, elevados ao quadrado, resultam em um número menor do que 10.

G = { –3, –2, –1, 0, 1}.

d) H é o conjunto dos números naturais que, quando dobrados e somados a 1, resul-tam em um número maior do que 7.

H = {4, 5, 6, 7, 8}.

Após a resolução desses e de outros proble-

mas de mesma natureza, convém questionar

os alunos sobre como descrever, em linguagem

matemática, os conjuntos E, F, G e H do Pro-

blema 2. O desafio pode ser lançado aos alu-

nos a fim de que seja verificada a compreensão

que podem ou não ter conseguido da atividade.

Embora possam ser aceitas diferentes respostas,

caberá ao professor avaliar aquelas que apre-

sentam maior grau de correção, valorizando-

as. De qualquer maneira, apresentamos, a

seguir, possíveis respostas corretas.

E = {4n, sendo n ∈ N, e n < 5}.

F = {2n + 1, sendo n ∈ N, e 4 ≤ n ≤ 8}.

G = {x ∈ Z / –4 < x < 2}.

H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈ N, e n < 9}.

A resolução e a discussão desses problemas iniciais permitirão, ao nosso ver, introduzir a notação apropriada para a designação de termos de uma sequência numérica. Todavia, antes que isso seja implementado (o que será feito na Etapa 2), consideramos importante que os alunos se detenham um pouco mais na identificação das regularidades de algu-mas sequências.

A sequência dos números naturais é construída, como sabemos, pelo acréscimo de uma unidade a um termo já conhecido. A fim de proporcionar aos alunos a oportu-nidade de observar regularidades e perceber que, muitas vezes, é possível construir uma “receita” ou uma sentença que indique como

a sequência deve continuar, o professor pode

apresentar tipos diferentes de sequências

para que os alunos observem as proprieda-

des de seus elementos e descubram a lei de

formação, ou seja, o padrão utilizado para a

construção da sequência. Oriente-os a cons-

truir uma sentença algébrica que permita

calcular um termo qualquer, em função de

sua posição na sequência (sequências, sob o

ponto de vista funcional).

14

Assim, uma possível abordagem desse tema

pode iniciar-se com a proposição de questões

que envolvam sequências repetitivas ou não,

solicitando do estudante que observe o padrão

de cada uma, escreva os próximos termos e

determine, por exemplo, o centésimo termo

da sequência.

1, 1, 1, 1, 1, ..., ..., ... f

1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, ... f

5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, 8, 1, 3, 5, 4, ... f

É importante que o professor auxilie os alu-nos na observação de que, nessas sequências, os motivos (períodos) são repetidos igualmen-te – um elemento ou um grupo de elementos se repete periodicamente –, levando-os a per-ceber que essa característica deve ser levada em conta, na organização dos dados, para a identificação do termo solicitado.

As sequências figurais também podem en-riquecer o trabalho com a observação de re-gularidades e generalização de padrões. No caso da sequência abaixo, o professor pode, por exemplo, solicitar que o aluno indique a figura que deve ocupar a 152a posição.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

Para tanto, o aluno deverá perceber que a

sétima figura é igual à primeira, a oitava figura

é igual à segunda e assim por diante. Ou seja,

cada período é formado por seis figuras; por-

tanto, a 152a figura será igual à segunda, pois

tanto o número 2 (que indica a posição da se-

gunda figura) quanto o número 152 (que indica

a posição da 152a figura), quando divididos por

6, deixam resto 2.

Assim, o professor poderá auxiliar os alu-

nos na conclusão de que as Figuras 1, 7, 13,

19, etc. são todas iguais à primeira figura, pois

os números 1, 7, 13, 19, etc., quando dividi-

dos por 6, deixam resto 1. Do mesmo modo,

as Figuras 3, 9, 15, 21, etc. são todas iguais

à Figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21, etc.,

quando divididos por 6, deixam resto 3 e as-

sim sucessivamente.

A exploração de sequências repetitivas, nu-

méricas ou não, favorece a discussão sobre al-

gumas noções trabalhadas nas séries anteriores,

como múltiplos, divisores e regras de divisibili-

dade, e permite uma aproximação da noção de

congruência, uma vez que trabalha com núme-

ros que, divididos por um determinado número

inteiro, apresentam o mesmo resto.

Realizada a discussão do exemplo propos-

to e de outros que o professor julgar apro-

priados, propomos que os alunos resolvam os

seguintes problemas:

Problema 3

Observe a sequência de figuras:

1 2 3 4 5 6 7...

15


Supondo que a lei de formação continue a

mesma, desenhe as figuras que deverão ocu-

par as posições 38a e 149a, nessa sequência.

Justifique sua resposta.

A figura que ocupa a posição 38 será a

mesma figura da posição 2, pois a divisão

de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa a

posição 149 será a mesma da posição 1, visto

que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.

Problema 4

Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3,

3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que permaneça

a lei de formação dessa sequência, determine

o 38o e o 149o termos dessa sequência.

O período é de cinco números. Assim, o

38o termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa

resto 3, e o terceiro termo da sequência é o

número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a

divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto

termo da sequência é o número 3.

Problema 5

Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dívi-

da exatamente daqui a 90 dias. Em que dia da

semana cairá o 90o dia?

O período é de sete dias. A divisão de 90

por 7 deixa resto 6; portanto o 90o dia será

o sexto elemento da sequência dos dias da

semana iniciada na quinta-feira. Logo, o

90o dia será terça-feira.

Problema 6

Um processo de reflorestamento previa

a plantação de um número x de mudas de

árvores. No primeiro dia, foram plantadas

120 árvores, e planejou-se que, nos próximos

dias, seriam plantadas, a cada dia, dez árvores

a mais do que teria sido plantado no dia ante-

rior. Isso sendo feito,

a) quantas árvores serão plantadas no séti-mo dia?

6 . 10 + 120 = 180 árvores.

b) qual é o número x, se, no final do déci-mo dia, havia-se plantado a metade do total previsto inicialmente?

No décimo dia = 9 . 10 + 120 = 210 ⇒S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210

S = (120 + 210) . 5 = 1 650 (Metade do total)

Total de árvores = 1 650 . 2

x = 3300

Problema 7

Observe os seis primeiros termos de

uma sequência.

1 2 3 4ABCD

(I)

1 2 3 4ABCD

(II)

1 2 3 4ABCD

(III)

1 2 3 4ABCD

(IV)

1 2 3 4ABCD

(VI)

1 2 3 4ABCD

(V)

16

Supondo que a regularidade observada na

formação desses termos seja mantida para a

formação dos demais, isto é, que o termo (I)

seja igual ao termo (VII), que o termo (II) seja

igual ao termo (VIII) e assim por diante,

a) quais quadrículas estarão pintadas no termo (XXX)?

O período da sequência é de seis termos. A

divisão de 30 por 6 resulta resto zero. Assim,

o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e

nele estarão pintadas as quadrículas C2, C3,

D3 e D4.

b) quantas vezes a quadrícula B2 terá sido pintada, desde o termo (I) até o termo (XIX)?

A quadrícula B2 é pintada três vezes a cada

período, nos termos (I), (III) e (IV). Até o

termo (XIX), incluindo-o, serão três períodos

e mais um termo. Portanto, a quadrícula B2

será pintada 3 . 3 + 1 = 10 vezes.

Professor, uma prática que costuma mo-tivar os alunos e aproveitar, de forma mais intensa, seus conhecimentos anteriores é solicitar-lhes que, com base nas condições desse problema, criem diversas questões, para que sejam trocadas e resolvidas por eles mesmos, sob sua supervisão. Além dis-so, esse tipo de atividade é um consistente instrumento no estímulo à metacognição, isto é, estimula cada aluno a refletir sobre como elabora e mobiliza suas estratégias de raciocínio durante uma etapa de resolução de problemas.

Etapa 2 – Sequências definidas por sentenças matemáticas

Nesta etapa, os alunos serão convidados a

obter sequências numéricas a partir de condi-

ções definidas, inicialmente, na língua materna

e, posteriormente, na linguagem matemática.

Além disso, desenhando um percurso inverso

ao anterior, uma série de problemas será pro-

posta para que os alunos obtenham a expres-

são do termo geral de determinada sequência

numérica. Propomos que o exemplo seguinte

seja apresentado e discutido com os alunos

antes que eles se envolvam com a resolução

dos problemas propriamente dita.

Em uma sequência numérica, o primeiro

termo é uma fração de numerador 1 e deno-

minador 4. Os termos seguintes ao primeiro

podem ser obtidos adicionando sempre uma

unidade ao numerador e ao denominador da

fração do termo imediatamente anterior.

a) Quais são os cinco primeiros termos dessa sequência?

1

4, 2

5, 3

6, 4

7, 5

8..

b) Chamando o primeiro termo de a1, o segundo termo de a2, o terceiro de a3 e assim por diante, quanto é a9?

9

12..

c) Quanto é a54?

54

57..

17


d) Como se pode determinar um termo an qualquer?

Um termo qualquer an é uma fração em que

o numerador é igual a n e o denominador é 3

unidades a mais do que n, isto é, é igual a

n + 3. Assim, an = nn + 3

.

Chamamos a atenção do professor para

o fato de que o conjunto de problemas desta

etapa envolve sequências numéricas de várias

naturezas, e não apenas as aritméticas e as geo-

métricas, e também para a necessidade de os

alunos escreverem em língua materna a regu-

laridade expressa na linguagem matemática.

Problema 1

Em uma sequência numérica, o primeiro

termo é igual a 2, e os seguintes são obtidos

a partir do acréscimo de 3 unidades ao termo

imediatamente anterior. Nessa sequência:

a) quais são os cinco primeiros termos?

(2, 5, 8, 11, 14).

b) qual é o a10?

(29).

c) qual é o a20?

(59).

d) como se pode determinar um termo an qualquer?

Somando o termo inicial, 2, a um certo

número de termos sempre iguais a 3. Para

obter um termo n qualquer, devemos somar o

primeiro termo, 2, com n – 1 termos iguais a

3. Assim, an = 2 + 3 . (n – 1) = 3 . n – 1.

Outro raciocínio possível é o seguinte: como

o salto de um termo a outro é constante e

igual a 3, podemos supor que uma expressão

geral deva conter o termo 3 . n. Para que

a1 = 2, é preciso que seja subtraído 1 de 3 . n.

Assim, an = 3 . n – 1.

Problema 2

Para obter os termos de uma sequência nu-

mérica, é necessário fazer o seguinte:

1. Elevar a posição do termo ao quadrado,

isto é, calcular 12 para o primeiro termo,

22 para o segundo termo, 32 para o terceiro

termo e assim por diante.

2. Adicionar duas unidades ao resultado ob-

tido após elevar ao quadrado a posição

do termo.

Para essa sequência numérica:


(3, 6, 11, 18, 27).

b) qual é o oitavo termo?

a8 = 82 + 2 = 66.

c) qual é o a20?

a20 = 202 + 2 = 402.

d) como se pode determinar um termo an qualquer?

an = n2 + 2.

18

Problema 3

Observe os cinco primeiros termos da se-

guinte sequência numérica:

3, 2,53

,32

,75

.

Verifique que é possível determinar os ter-

mos dessa sequência a partir da expressão

an = n 2

n,

+ atribuindo a n valores naturais

maiores do que zero.

Para n = 1 ⇒ a1 = 1 + 2

1 = 3;

Para n = 2 ⇒ a2 = 2 + 2

2 = 2;

Para n = 3 ⇒ a3 = 3 + 2

3 =

53

.

Problema 4

A expressão an = n 1

n 1

–+ é a expressão do

termo geral de uma sequência numérica, isto é,

os termos da sequência podem ser obtidos, se

forem atribuídos a n valores naturais maiores

do que zero. Para essa sequência, encontre:

a) a1

a1 = 1 – 11 + 1 = 0.

b) a5

a5 = 5 – 15 + 1

=46

=23

.

c) o oitavo termo

a8 = 8 – 1

8 + 1=

7

9.

d) a posição do termo que é igual a 911

.

O termo 9

11 pode ser escrito como

10 – 1

10 + 1.

Portanto, ele é o décimo termo.

Problema 5

uma determinada sequência numérica tem

a1 = 9, a2 = 3, a3 = 1 e a4 = 13

. Nessa sequência,

qual é:

a) o quinto termo?

Cada termo da sequência, a partir do

segundo, é obtido pela divisão do anterior

por 3. Assim, o quinto termo será igual a

1

3÷ 3 =

1

9.

b) o a6?

a6 = a5 ÷ 3 = 1

9÷ 3 =

1

27.

c) a posição do termo que é igual a 181

?

Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e 1

27 é o sexto

termo, 1

81 é o sétimo termo.

Problema 6

Qual das duas expressões listadas a seguir

é a expressão do termo geral da sequência do

exercício anterior? (Lembre-se que n é o nú-

mero que dá a posição do termo na sequência,

19


isto é, se n = 2, temos o segundo termo; se n = 5,

temos o quinto termo e assim por diante.)

an = 93n an = 33 – n

O termo geral da sequência é an = 33 – n, que

poderá ser verificado a partir da substituição

de n por números naturais maiores do

que zero.

Problema 7

A sequência dos números pares positivos é

esta: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...

Nessa sequência:

a) qual é o décimo termo?

O décimo termo é 18.

b) qual é o 15o termo?

O 15o termo é 28.

c) qual é o a35?

a35 = 68.

d) qual é o a101?

a101 = 200.

e) qual é a posição do termo que é igual a 420?

420 é o 211o termo.

f) como se pode determinar um termo an qualquer?

Fazendo (n – 1) . 2, sendo n um número

natural maior do que zero.

Problema 8

Escreva os cinco primeiros termos da sequên-

cia dos números ímpares positivos.

1, 3, 5, 7, 9...

Nessa sequência:

a) qual é o décimo termo?

a10 = 19.

b) qual é o a13?

a13 = 25.

c) qual é o a25?

a25 = 49.

d) como se pode determinar um termo an

qualquer?

Fazendo 2 . n – 1, em que n é um número

natural maior do que zero.

Problema 9

Observe a sequência numérica 1, 4, 9, 16,

25, ... Nessa sequência, qual é:

a) o sexto termo?

O sexto termo é 62 = 36.

b) o a7?

a7 = 72 = 49.

c) a expressão de seu termo geral?

an = n2.

20

Problema 10

uma sequência numérica é dada pelo se-

guinte termo geral:

an = n + 1

Para essa sequência, determine:

a) os cinco primeiros termos.

2 3 2 5 6, , , , .

b) os cinco primeiros termos que sejam nú-meros inteiros.

Os cinco primeiros termos representados

por números inteiros serão aqueles em que o

radicando é um quadrado perfeito.

a3 = 2 a8 = 3 a15 = 4 a24 = 5 a35 = 6

Problema 11

Observe a sequência de figuras.

Responda:

a) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a sexta figura dessa sequência?

30 quadrinhos brancos, pois 6 . 6 – 6 = 30.

b) Escreva uma fórmula que permita cal-cular a quantidade de quadrinhos bran-cos, em função da posição n da figura na sequência. (Sugestão: você pode or-ganizar os dados em uma tabela como a que segue.)

c) Quantos quadrinhos brancos deverá ter a 39a figura dessa sequência?

39² – 39 = 1 482 = 39 . 38.

Problema 12

A seguir, estão os primeiros elementos de

uma sequência de figuras que representam os

chamados números quadrangulares. Analise-

os e responda às questões propostas.

1 2 3 4 5

a) Quantos quadrinhos deverá ter o sexto elemento dessa sequência? E o décimo termo?

36; 100.

b) Escreva a expressão do termo geral des-sa sequência.

n².

Posição da figura na sequência

número de quadrinhos

pretos

número de quadrinhos brancos

1 1 0

2 2 2² – 2

3 3 3² – 3

4 4 4² – 4

n n n² – n = n . (n – 1)

21


Problema 13

Observe a figura:

1 3 5 7 9

Nessa representação, os números escritos

logo abaixo da figura indicam a quantidade

de quadrinhos de cada um desses conjuntos.

Sendo assim, responda:

a) qual é a soma dos números escritos abaixo da quinta figura?

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25.

b) que relação pode ser estabelecida entre esse resultado e a figura analisada?

A soma dos números escritos abaixo da figura

é igual ao total de quadrinhos que formam a

figura. Os números escritos abaixo da figura

são os cinco primeiros naturais ímpares. Sua

soma é 25. O total de quadrinhos da figura

é 5² = 25.

c) utilize os resultados de suas observações para determinar, sem efetuar a adição, o resultado de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15.

8² = 64.

Problema 14

Observe as linhas completas da tabela e

complete as que estiverem em branco.

Adição descrição

1 + 3 = 4 = 2²

A soma dos dois primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 2.

1 + 3 + 5 = 9 = 3²

A soma dos três primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 3.

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

A soma dos quatro primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 4.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²

A soma dos cinco primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 5.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...+ 2 . n – 1 +...= n²

A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2.

Considerações sobre a avaliação

A Situação de Aprendizagem 1 abordou a

regularidade numérica, e também geométrica,

observada em algumas sequências. Além dis-

so, introduziu a ideia de que é possível obter

uma sequência numérica a partir de uma re-

lação matemática estabelecida entre um con-

junto discreto (naturais) e um conjunto de

qualquer natureza. São esses, pois, os elemen-

tos importantes a serem avaliados. Para tanto,

sugerimos que o professor elabore momentos

de avaliação que contemplem:

22

a obtenção de termos de maiores ordens de f

uma sequência, a partir do conhecimento

dos primeiros termos;

a determinação do termo geral de sequên- f

cias numéricas, desde que esses termos ge-

rais se baseiem em expressões conhecidas

pelos alunos, como, por exemplo, expres-

sões do tipo a . x + b ou a . x2 + b.

Salientamos, também, a importância de

que as avaliações não se restrinjam a situações

individuais. Em alguns momentos, pode-se

contemplar a possibilidade de que os alunos

consultem seu material de aula e, em outros,

seus colegas de grupo. Destacamos, por fim,

o fato de que um trabalho com caracterís-

ticas essencialmente indutivas, como é o

caso dos temas desenvolvidos neste Cader-

no, estimula sobremaneira a discussão e a

tomada de decisões, justificando, dessa for-

ma, a inclusão de instrumentos de avaliação

não individuais.

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 2 PROGRESSÕES ARItMÉtICAS Ou PROGRESSÕES

GEOMÉtRICAS

tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: progressões aritméticas e progressões geométricas; expressão do termo geral da PA e da PG.

Competências e habilidades: reconhecer o padrão de regularidade de uma sequência aritmética ou de uma sequência geométrica; utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas.



As sequências aritméticas ou geométricas

são bastante estudadas, no Ensino Médio,

por vários motivos, sendo um deles a pouca

exigência algébrica, e outro motivo a facili-

dade de padronizar os conceitos por inter-

médio de fórmulas matemáticas.

A baixa exigência algébrica envolvida, es-

pecialmente no estudo das PAs, deve ser, de

fato, valorizada, em detrimento de exercícios

sem qualquer contexto, que exijam a escrita

de equações complexas. Enfatizamos, portan-

to, que se priorizem o desenvolvimento dos

conteúdos e a apresentação de situações-pro-

blema, sob o prisma do reconhecimento da

regularidade da sequência e da generalização

23


intuitiva do termo geral, colocando em se-

gundo plano, portanto, a simples substitui-

ção de valores em fórmulas decoradas.

Outro aspecto que merece comentário é o

fato de que, em geral, as PAs e as PGs são

tratadas de modo independente, uma a cada

tempo, e, em primeiro lugar, sempre vêm as

PAs e, depois, as PGs.

No entanto, vale destacar o fato de que

o raciocínio principal envolvido em um

ou em outro tipo de sequência é o mesmo,

ou seja, um valor constante é o passo que

permite obter um termo a partir do ante-

rior. O fato de que, em um caso, esse passo

é adicionado, enquanto, no outro, é mul-

tiplicado é algo que compõe o raciocínio

secundário do estudo, cujo reconhecimen-

to não costuma trazer qualquer dificuldade

adicional aos alunos.

Dessa forma, apresentaremos, a seguir,

uma série de problemas exemplares, com-

postos, em alguns casos, por PA, em ou-

tros, por PG e, em outras situações, pelos

dois tipos de sequências. Sugerimos que

sejam propostos aos alunos na ordem em

que aparecem.

O Problema 1 pode ter a resolução solicita-

da sem nenhum comentário prévio. Durante

os comentários da correção, o professor pode-

rá valorizar as diversas maneiras de resolução

que eventualmente surgirem. um tipo de re-

solução importante, que poderá ser levantado

pelo professor, caso não surja dos alunos, é

aquele que considera o passo de cada sequência

como parcela ou fator constante no momento

da escrita da expressão do termo geral da

sequência. Por exemplo, no caso da sequên-

cia (5, 9, 13, 17, 21, ...), o passo constante

é 4, que, adicionado a cada termo, permite que

se obtenha o seguinte. Nesse caso, a expressão

do termo geral deverá conter, necessariamen-

te, um termo do tipo 4 . n. Compreendido isso,

pode-se pensar da seguinte maneira:

Esse mesmo tipo de raciocínio pode ser

aplicado na determinação do termo geral de

uma PG. Na sequência (2, 6, 18, 54, ...), por

exemplo, o passo constante é 3, que, quando

multiplicado a algum termo, resulta no termo

imediatamente seguinte. Assim, se sempre se

multiplica por 3, o termo geral da sequência

Para n = 1, o resultado deve ser igual

a 5, que é o primeiro termo da sequên-

cia. No entanto, ao fazer 4 . n ou 4 . 1, o

resultado obtido é 4. Sendo assim, ainda

falta uma unidade para ser obtido o pri-

meiro termo. Logo, o termo geral pode

ser este:

an = 4 . n + 1

testando essa expressão para outros

termos, verificamos que ela é válida, pois:

a2 = 4 . 2 + 1 = 9

a3 = 4 . 3 + 1 = 13

Logo, o termo geral da sequência é

mesmo an = 4 . n + 1.

24

deve conter 3n. A partir do entendimento des-

sa regularidade, pode-se pensar que:

Para n = 1, o resultado deve ser igual

a 2, que é o primeiro termo da sequência.

No entanto, ao fazer 3n ou 31, obtemos 3,

e não 2. Logo, deve haver mais um fator

na expressão, a fim de que o resultado

esperado seja obtido. Esse fator é 2

3,

pois 3 . 2

3 = 2. Então, o termo geral da

sequência deve ser este:

an = 2

3 . 3n

testando essa expressão para outros

termos, verificamos que ela é válida, pois:

a2 = 2

3 . 32 =

18

3 = 6

a3 = 2

3 . 33 =

54

3 = 18

Logo, o termo geral da sequência

é mesmo an 2

3 . 3n, que, simplificando,

pode ser escrito an = 2 . 3n – 1.

outro tipo de raciocínio, nem mesmo esse que

descrevemos há pouco. Caberá a cada aluno

escolher o raciocínio que considera mais ade-

quado, e caberá ao professor discutir todos os

raciocínios que surgirem, apresentando prós

e contras de cada um, no sentido de fornecer

elementos para que os alunos possam refinar

suas estratégias iniciais.

Problema 1

Considere as sequências de (I) a (VI) para

responder às questões propostas.

(i) (0, 3, 6, 9, 12, ...)

(ii) (1, 4, 7, 10, 13, ...)

(iii) (2, 5, 8, 11, 14, ...)

(iV) (–2, 4, –8, 16, –32, ...)

(V) (0,2; 0,4; 0,6; 0,8; ...)

(Vi) (1, 4, 16, 64, 256, ...)

a) Escreva os três termos seguintes de cada uma dessas sequências.

(I) 15, 18, 21.

(II) 16, 19, 22.

(III) 17, 20, 23.

(IV) 64, –128, 256.

(V) 1,0; 1,2; 1,4.

(VI) 1 024, 4 096, 16 384.

b) É verdade que o algarismo 8 não apa-rece em nenhum número da sequência (II)? justifique.

Não, pois o algarismo 8 aparece no termo

28, que é o décimo termo da sequência.

É esperado, nessa Situação, que alguns

alunos adotem procedimento semelhante ao

adotado para a PA, isto é, fazer 3n e, em segui-

da, subtrair uma unidade, a fim de que 31 – 1

coincida com o primeiro termo da sequência.

Nesse caso, caberá ao professor pedir que os

alunos apliquem a “fórmula” obtida para os

demais termos da sequência, quando, então,

perceberão o equívoco do raciocínio adotado.

Salientamos, novamente, que não é con-

veniente formalizar a adoção de um ou

25


c) É possível que um mesmo número natu-ral apareça em duas das três primeiras sequências? Justifique.

Não, pois a sequência (I) é formada

apenas por números que, divididos por

3, deixam resto zero; a sequência (II) é

formada apenas por números que, divididos

por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é

formada apenas por números que, divididos

por 3, deixam resto 2. Como a divisão

por um número natural diferente de zero

(divisão euclidiana) não pode apresentar

dois restos distintos, não é possível que

um mesmo número apareça em duas

dessas sequências.

d) O número 1 087 é um termo de qual(is) sequência(s)?

O número 1 087 é um termo da sequência

(II), pois a divisão de 1 087 por 3 deixa

resto 1, e é também elemento da sequência

(V), uma vez que é múltiplo de 0,2.

e) Mostre que o número 137 não pertence à sequência (II).

A sequência (II) é formada apenas por

números que, divididos por 3, deixam resto

1. Logo, o 137 não é termo da sequência

(II), pois a divisão de 137 por 3 deixa

resto 2.

f) Escreva o termo geral da sequência (I).

an = 3 .(n – 1), n ∈ N*.

g) Escreva o termo geral da sequência (II).

an = 3 . n – 2, n ∈ N*.

h) Escreva o termo geral da sequência (III).

an = 3 . n – 1, n ∈ N*.

i) Escreva o termo geral da sequência (IV).

an = (– 2)n, n ∈ N*.

j) Escreva o termo geral da sequência (V).

an = 0,2 . n, n ∈ N*.

k) Escreva o termo geral da sequência (VI).

an = 4n ÷ 4, n ∈ N*.

l) Escolha um critério, justificando-o, e se-pare as seis sequências em dois grupos.

Espera-se, neste item, que os alunos percebam

que há, entre as sequências apresentadas,

algumas em que o passo constante é somado

a cada termo e outras em que o passo

constante é multiplicado a cada termo.

Todavia, poderão aparecer outros critérios, e

o professor deverá estar atento para valorizar

os critérios surgidos, mas, também, enfatizar

a importância do reconhecimento do passo

constante das sequências, seja ele somado ou

multiplicado.

26

Problema 2

Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do

Mundo e os jogos Pan-americanos ocorrem de

quatro em quatro anos. Se essas competições

ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007, res-

pectivamente, e considerando que continuem

a acontecer, segundo essa regra, por muito

tempo, responda:

a) Qual competição ocorrerá em 2118? E em 2079 e 2017?

As Olimpíadas acontecem em anos em

que sua divisão por 4 deixa resto zero, a

Copa acontece em anos em que sua

divisão por 4 deixa resto 2, e os Jogos

Pan-americanos acontecem em anos em

que sua divisão por 4 deixa resto 3.

Assim, em 2118 aconteceria a Copa do

Mundo (resto 2), em 2079 aconteceriam

os Jogos Pan-americanos (resto 3), e em

2017 não aconteceria nenhuma dessas três

competições (resto 1).

b) Haverá algum ano em que ocorrerá mais de uma dessas três competições? Explique.

Não é possível, pois qualquer número dividido

por 4 deixa um, e apenas um, desses restos:

zero, 1, 2 ou 3.

Problema 3

uma determinada sequência numérica

respeita a seguinte condição: a diferença en-

tre dois termos consecutivos é sempre a mes-

ma e igual a 6. Se o primeiro termo dessa

sequência é –8,


(–8, –2, 4, 10, 16...).

b) qual é o a9?

40.

c) qual é o 15o termo?

76.

d) qual é o 20o termo?

106.

e) quanto é a diferença entre a12 e a5?

42.

f) qual é a expressão de seu termo geral, isto é, qual é a formula matemática que relaciona um termo qualquer (an) à po-sição do termo (n)?

an = 6 . n – 14.

Problema 4

O primeiro termo de uma sequência numé-

rica é 0,02, e, para obter os termos seguintes,

basta multiplicar o termo imediatamente an-

terior por 5. Dessa forma, qual é:

a) o segundo termo?

0,1.

27


b) o a3?

0,5.

c) o a4?

2,5.

d) o resultado da divisão entre a6 e a4?

25.

e) o termo geral da sequência, isto é, qual é a formula matemática que relaciona um termo qualquer (an) à posição do termo (n)?

an = 0,02 . 5n – 1.

A resolução dos exercícios anteriores foi,

de certa forma, preparatória para a caracte-

rização das PAs e das PGs. Finalizada essa

etapa, o professor poderá definir progressão

aritmética e progressão geométrica a partir de

uma discussão com seus alunos, identificando,

dentre as sequências já estudadas, aquelas que

atendem a cada definição dada.

Compreendido o significado de uma pro-

gressão aritmética, o aluno será capaz de

concluir que, partindo do primeiro termo,

para avançar um termo na sequência, deverá

adicionar o “passo”, ou razão “r”, uma vez,

isto é, a2 = a1 + r; da mesma forma, para

avançar dois termos, deverá adicionar 2 . r ao

primeiro termo, obtendo a3 = a1 + 2 . r. Por

esse processo, espera-se que o aluno reco-

nheça que, para obter o 20o elemento, deverá

adicionar 19 . r ao primeiro termo e escreverá:

a20 = a1 + 19 . r, e assim sucessivamente. Esse

raciocínio favorecerá a construção, por parte

do aluno, da fórmula do termo geral da PA,

que é dada por an = a1 + (n – 1) . r.

Além disso, essa compreensão permiti-

rá que o aluno note que, para “passar” de a4

para a11, deverá avançar sete termos, ou seja,

para obter o termo a11 a partir do termo a4,

deverá adicionar 7 . r ao termo a4 e escreverá:

a11 = a4 + 7 . r. Da mesma forma, poderá es-

crever a4 = a11 – 7 . r, pois, para “passar” de a11

para a4, deve “retroceder” sete termos.

De forma análoga, as progressões geométri-

cas têm a si associado o significado de que, co-

nhecidos o primeiro termo e o passo, ou razão

“q”, é possível determinar qualquer termo da

sequência a partir da multiplicação do primei-

ro termo pela razão um determinado número

de vezes. Assim, se o aluno compreender que

a2 = a1 . q, que a3 = a1 . q2, e assim por dian-

te, compreenderá, também, que an = a1 . qn – 1

e, generalizando, que an = ak . qn – k.

Destacamos, novamente, a importância

de valorizar o raciocínio dos alunos na ob-

tenção do termo geral de uma PA ou de uma

PG, em detrimento de amarrar a resolução

dos problemas à utilização das fórmulas ob-

tidas. O professor deverá estar atento para

a observação das estratégias de resoluções

dos alunos, a fim de distinguir aqueles que

utilizam fórmulas prontas como um mero

atalho para a aplicação do conceito que

já dominam, e, portanto,podem ser esti-

mulados nessa postura, ainda dos alunos

que, sem terem atingido a compreensão de-

sejada, buscam adaptar as condições dos

28

problemas às fórmulas, como se pergun-

tassem a si próprios, todo o tempo: “Qual

fórmula eu uso agora?”. Casos dessa natu-

reza certamente merecerão maior atenção

do professor.

É importante que o professor também ex-plore o seguinte fato: cada termo de uma PG, a partir do segundo, é a média geométrica en-tre seu antecessor e seu sucessor. O exemplo a seguir serve como ilustração:

Após a discussão dos problemas ante-riores e das expressões do termo geral das PAs e das PGs, o professor poderá pedir que os alunos resolvam alguns problemas exemplares.

Problema 5

Considere que uma progressão aritmética é uma sequência (a1, a2, a3, ... an, ...) de números an, em que a diferença entre cada termo an + 1 e seu antecedente an é uma constante. Essa diferença constante é chamada razão da pro-gressão aritmética e é representada por r. Assim, em uma progressão aritmética de ra-zão r, temos: an + 1 – an = r, para todo n na-tural, n ≥ 1. De acordo com essa definição, indique quais das sequências que se seguem são progressões aritméticas. Em caso afirma-tivo, determine a razão.

a) (2, 5, 8, 11, ...).

b) (2, 3, 5, 8, ...).

Na PG (4, 8, 16, 32, 64 ...), 16 é média

geométrica de 8 e 32, pois 16 8 32= . .

c) (7, 3, –1, –5, ...).

d)

14

3

143

2

3,

2

3,

2

3,

2

3 , ... .

e) –3

2, –1, –

1

2, 0, ...

14

3

143 .

f) 6, 2, 2

3,

2

9, ...

14

3

143 .

São PAs as seguintes sequências: a) (razão: 3);

c) (razão –4); d) (razão: 0); e) (razão: 12

).

Problema 6

Considere as sequências dadas por seus

termos gerais:

I) an = 4 . n + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;

II) an = 4 . n2 + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;

III) a1 = 2 e an = an – 1 . 3, com n ∈ N, n ≥ 2;

IV) a1 = 2 e an = an – 1 + 3, com n ∈ N, n ≥ 2.

Obtenha os cinco primeiros termos de cada

uma dessas sequências e destaque a razão da-

quelas que forem progressões aritméticas.

I) 5, 9, 13, 17, 21. II) 3, 15, 35, 63, 99.

III) 2, 6, 18, 54, 162. IV) 2, 5, 8, 11, 14.

São PAs as seguintes sequências: (I), com

razão = 4, e (IV), com razão = 3.

Problema 7

Considere que uma progressão geométrica

é uma sequência (a1, a2, a3,... an, ...), em que

cada termo an, a partir do segundo, é obtido

29


pela multiplicação de seu antecedente an – 1 por

uma constante diferente de zero.

De acordo com essa definição, quais das

sequências abaixo são progressões geométri-

cas? Justifique sua resposta.

I) (1, 3, 9, 27, ...); II) (1, 2, 6, 24, ...);

III)

14

3

14336, 12, 4,

4

3, ... ; IV) (1, –2, 4, –8 ...);

V)

14

3

1433,

8

3,

7

3, 2, ... ; IV) ( , , , , ...)2 2 2 2 4

São PGs: (I), de razão 3; (III), de razão 1

3;

(IV), de razão –2; (VI), de razão 2 .

Problema 8

Considere as sequências:

I) an = 3 . n + 1, com n ∈ N, n ≥ 1;

II) an = 3 . n2 – 1, com n ∈ N, n ≥ 1;

III) an = 3 . n, com n ∈ N, n ≥ 1;

IV) a1 = 3 e an = an – 1 . 2, com n ∈ N, n ≥ 2;

V) a1 = 3 e an = an – 1 + 2, com n ∈ N, n ≥ 2;

Determine os cinco primeiros termos de

cada sequência e destaque a razão daquelas

que forem progressões geométricas ou pro-

gressões aritméticas.

I) 4, 7, 10, 13, 16.

II) 2, 11, 26, 47, 74.

III) 3, 6, 9, 12, 15.

IV) 3, 6, 12, 24, 48.

V) 3, 5, 7, 9, 11.

(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I), de razão

3; (III), de razão 3; e (V), de razão 2.

Problema 9

Observe a sequência de figuras e responda

às questões propostas.

a) Quantos quadradinhos comporão a quinta figura dessa sequência? E a sex-ta figura?

Quinta figura: 48 quadradinhos e sexta

figura: 96 quadradinhos.

b) Associe a essa sequência outra que in-dique o número de quadradinhos de cada figura. Essa sequência é uma PG? Justifique.

(3, 6, 12, 24, ...) é PG, pois cada termo an é obtido a partir da multiplicação do termo

anterior an – 1 por 2.

c) Construa uma fórmula que possa ser utilizada para determinar um termo qualquer dessa sequência.

Podemos escrever a fórmula desta maneira:

an = 3 . 2n – 1.

Este problema poderá favorecer uma dis-

cussão sobre a obtenção da fórmula do termo

geral de uma PG.

1 32 4

30

Posição de um

termo na sequência

CálculoQuantidade de quadradinhos

1 3 3

2 3 . 2 = 3 . 21 6

36 . 2 = 3 . 2 . 2 =

3 . 22 12

412 . 2 = 3 . 2 . 2 . 2 = 3 . 23 24

... ... an-1

n(an-1) . 2 =

3 . 2n n-1

an = (an-1) . 2 =

3 . 2n-1

Para o desenvolvimento desta atividade, a

tabela a seguir organiza os dados, a fim de que

as regularidades sejam mais facilmente obser-

vadas. uma possível solução é a seguinte:

Neste caso, o aluno pode obter uma fór-

mula de recorrência: an = (an – 1) . 2 e a fórmula

do termo geral: an = 3 . 2n – 1.

Problema 10

Na figura, cada quadradinho é formado

por quatro palitos de comprimentos iguais.

1 2 3 4 5

...

a) A sequência formada pelas quantidades de palitos necessários para a construção das figuras forma uma PA? justifique sua resposta.

A sequência formada pelas quantidades de

palitos é, sim, uma PA, pois cada figura tem

seis palitos a mais que a precedente: 4, 10,

16, 22, 28, ...

b) Quantos palitos serão necessários para a construção da sexta figura? E da sétima?

28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40.

c) Quantos palitos serão necessários para construir a 78a figura?

4 + 77 . 6 = 466.

d) Escreva uma fórmula que expresse a quantidade de palitos da figura que ocupa a posição n nessa sequência.

an = 4 + (n – 1) . 6 = 6 . n – 2.

Problema 11

Sabe-se que o nono termo de uma PA de

razão 4 é 29. Qual é o 20o termo dessa PA?

a20 = 73. Para determinar o 20o termo de

uma PA é suficiente adicionar ao 9o termo

uma parcela que é igual ao produto 11 . 4,

pois, para “passar” do 9o ao 20o, é necessário

“avançar” 11 termos, ou seja, a20 = a9 + 11 . r.

Não é necessário, portanto, encontrar antes

o primeiro termo para se obter o vigésimo.

Problema 12

Sabe-se que a sequência (8, x, –4, y) é uma

progressão aritmética. Determine os valores

de x e y.

Em toda PA, temos a3 – a2 = a2 – a1 ⇒

–4 – x = x – 8 ⇒ x = 2. Com o mesmo

raciocínio, escrevemos y – (–4) = –4 – x ⇒

y + 4 = –4 –2 ⇒ y = –10. Nesse caso, temos:

(8, 2, –4, –10).

31


Problema 13

Invente uma progressão aritmética. Separe

apenas os termos cuja posição (n) é indicada

por um número múltiplo de 6 e forme outra

sequência de números. Essa nova sequência

também é uma progressão aritmética? Em

caso de resposta afirmativa, determine a razão

da PA. Justifique sua resposta.

A nova sequência será uma PA, cuja razão é

igual ao produto do número 6 pela razão da

PA inventada.

Problema 14

Determine o oitavo termo de cada uma das

progressões geométricas:

I) (1, 3, 9, 27, ...) II) 1

43

1438, 4, 2, 1,

1

2, …

a8 = 2 187 a8 = 1

16

Problema 15

Determinar o 12o termo de uma PG de ra-

zão 2, sabendo-se que o quinto termo dessa

sequência é 4.

a12 = 512.

Problema 16

Uma bola é lançada de uma altura de 18

metros, e seu impacto no solo provoca saltos

sucessivos, de tal forma que, em cada salto, a

altura que ela atinge é igual a 80% da altura

alcançada no salto anterior. Que altura será al-

cançada pela bola quando ocorrer o quinto sal-

to? E o décimo salto? (Use uma calculadora.)

A altura atingida no quinto salto corresponde

ao sexto termo de uma PG em que o primeiro

termo é igual a 80% de 18 e a razão é 0,8.

Assim, a6 = 18 . 0,85 ≅ 5,898 m. A altura do

décimo salto, obedecendo a essa lógica, será:

a11 = 18 . 0,810 ≅ 1,933 m.

Problema 17

Dada a PG

14

3

143

1

2, x, 32, y determine os va-

lores de x e y.

Em toda PG, cada termo, a partir do segundo,

é a média geométrica do antecessor e do

sucessor. Neste caso, x = =12

32 4 . Por ou-

tro lado, pela definição de PG, y

32 =

32

x ⇒

y

32 =

32

4 ⇒ y = 256. Nesse caso, temos:

14

3

143

1

2, 4, 32, 256

Problema 18

Suponha que a população de uma cidade

tenha uma taxa de crescimento constante e

igual a 20% ao ano. No fim do ano de 2007, a

população era de 50 000 habitantes.

a) Calcule a população da cidade ao fim de cada um dos próximos quatro anos e escreva os resultados obtidos em forma de sequência.

32

Sugere-se que o professor estabeleça com

seus alunos uma linguagem como:

P0 : a população inicial; P1 : a população um

ano depois; P2 : a população dois anos depois

e assim por diante.

P1= 50 000 + 20% de 50 000 =

50 000 + 0,2 . 50 000 = 60 000.

P2 = 60 000 + 20% de 60 000 =

60 000 + 0,2 . 60 000 = 72 000.

Fazendo-se os demais cálculos, obtêm-se

as populações P3 e P4 : 86 400 e 103 680,

respectivamente.

b) A sequência obtida é uma PG? Em caso afirmativo, qual é a razão?

A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400,

103 680, ...) é uma PG de razão 1,2, pois :

60 000

50 000 =

72 000

60 000 =

86 400

72 000 =

103 680

86 400 = 1,2.

Assim, para se obter o termo sucessor de

um termo conhecido, basta multiplicar este

último por 1,2, ou seja, Pn + 1= 1,2 . Pn.

c) Encontre uma fórmula que permita cal-cular a população dessa cidade daqui a n anos, contados a partir de 2007.

P1 = 50 000 . 1,21

P2 = 50 000 . 1,21 . 1,2 = 50 000 . 1,22

P3 = 50 000 . 1,22 . 1,2 = 50 000 . 1,23

Assim, Pn= 50 000 . 1,2n.

Essa fórmula pode ser generalizada para

Pn = P0 . (1 + i)n, sendo i a taxa de crescimento.

Problema 19

Suponha que o valor de um automóvel di-

minua a uma taxa constante de 10% ao ano.

Hoje, o valor desse automóvel é R$ 20 mil.

a) Calcule o valor desse automóvel daqui a quatro anos.

R$ 13 122,00.

b) Encontre uma fórmula que permita cal-cular o preço desse automóvel daqui a n anos.

Pn = 20 000 . 0,9n.

Convém ressaltar com a classe que a taxa, nesse problema, é negativa. Se há uma depre-ciação de 10% ao ano, o valor do carro passa a ser de 90% sobre o valor anterior. utilizan-do os resultados da atividade anterior, discuta com os alunos que, para calcular o preço do carro daqui a um ano, é suficiente multiplicar o valor inicial do carro por 0,9, pois

P1 = P0 .(1 – 0,1) = P0 . 0,9.

tratamento das progressões sob o ponto de vista funcional

Ao obter os termos de uma progressão arit-

mética por meio da lei de formação, utilizando

a fórmula do termo geral ou de recorrência, o

aluno trabalha, intuitivamente, com a noção

de função, pois associa cada índice ao termo

correspondente. Ou seja, todo número natural

(n) que é índice na sequência está associado a

33


um único número real. A fórmula relativa à

lei de formação da PA é a expressão algébri-

ca que representa a função. Nesse caso, temos

uma função f: S → IR, sendo S ⊂ N*.

Assim, o domínio dessa função é forma-

do pelos índices dos termos da PA, isto é,

D(f) = S = {1, 2, 3, 4, ...}. O contradomínio dessa função é IR, e o conjunto imagem

é formado pelos termos da PA, ou seja,

Im(f) = {a1, a2, a3, ..., an ...}.

A representação gráfica da função que cor-

responde a uma PA é um conjunto de pontos

que pertencem a uma reta. todavia, o gráfico

não é a reta que contém esses pontos. toman-

do como exemplo a PA (1, 4, 7, 10, 13, ...),

na qual a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, e assim

sucessivamente, sua representação gráfica é a

figura a seguir.

Nesse caso, temos: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Im(f) = {1, 4, 7, 10, 13, ...} e an = 3 . n – 2

Essa terminologia somente deverá ser des-

tacada para o aluno quando esse assunto for

retomado, posteriormente, nesta série, no

momento do estudo da função polinomial do

1o grau.

Ao aplicar a fórmula do termo geral ou de

recorrência para a determinação dos elemen-

tos de uma PG, de modo análogo ao que se

faz para uma PA, os estudantes também uti-

lizam, intuitivamente, a ideia de função, pois

associam cada índice ao termo corresponden-

te. Ou seja, todo número natural (n) que é ín-

dice na sequência está associado a um único

número real.

A fórmula que indica a lei de formação da

PG corresponde à expressão algébrica que

representa a função. Nesse caso, temos uma

função f: t → IR, sendo t ⊂ N*.

A expressão do termo geral de uma PG,

an = a1 . qn – 1, reflete o crescimento exponen-

cial de an em função de q. Se o tratamento

funcional das PAs estará associado ao estu-

do das funções afim, esse tipo de tratamento

para as PGs será feito quando do estudo das

funções exponenciais. Portanto, não se tra-

ta de, neste momento, apresentar aos alunos

toda a terminologia adotada no estudo das

funções, mas apenas apontar relações que

serão exploradas mais adiante, no 2o e no 3o

bimestres. Os problemas seguintes são exem-

plos de como a apresentação inicial desse

tratamento pode ser realizada.

a4 = 10

a3 = 7

a2 = 4

a1 = 1

1 2 3 4

34

Problema 20

um conjunto A é formado apenas pelos

seguintes elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Assim,

podemos escrever:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

um conjunto B é formado por elementos

numéricos obtidos a partir dos elementos do

conjunto A, da seguinte forma: cada ele-

mento de B é 4 unidades a mais do que o

triplo de um elemento de A. Dito de ou-

tra forma, se chamarmos cada elemento do

conjunto A de n e cada elemento do conjun-

to B de p, temos:

p = 4 + 3 . n

a) Quais são os elementos do conjunto B?

B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}.

b) Qual é o tipo de sequência numérica for-mada pelos elementos do conjunto A?

Uma PA de razão 1.

c) Qual é o tipo de sequência numérica for-mada pelos elementos do conjunto B?

Uma PA de razão 3.

Problema 21

Cada elemento de um conjunto D será ob-

tido a partir de um elemento correspondente

do conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da seguinte

forma: d = –5 . c + 15, onde c representa um

elemento do conjunto C e d representa um ele-

mento do conjunto D.

a) Quais são os elementos do conjunto D?

D = {10, 5, 0, –5, –10, –15}.

b) Qual é o tipo de sequência numérica for-mada pelos elementos do conjunto D?

Uma PA de razão –5.

Problema 22

uma determinada regra matemática

“transforma” cada elemento do conjunto

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} em outro número, con-

forme mostra a seguinte representação:

a) Qual é o resultado associado ao núme-ro 6?

(37).

b) Qual é o resultado associado ao núme-ro 10?

(61).

71 R

132 E

193G

254R

315 A

35


c) Se cada elemento do conjunto E for iden-tificado pela letra n, e cada resultado for identificado pela letra p, qual é a equa-ção matemática que relaciona p e n?

6 . n + 1 = p

d) Ordenando os resultados obtidos, qual ocupará a nona posição?

(55).

e) Qual é o tipo de sequência numérica formada pelos elementos do conjunto dos resultados?

Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.


O desenvolvimento apresentado nesta

Situação de Aprendizagem para o tratamento

das progressões priorizou dois aspectos:

a abordagem comum das progressões arit- f

méticas e das progressões geométricas;

a determinação dos termos gerais das PAs f

ou das PGs a partir da regularidade obser-

vada nas sequências, em detrimento do uso

das conhecidas fórmulas que, em geral, os

alunos decoram e usam mecanicamente.

Em relação ao primeiro aspecto, relativo ao

tratamento comum dos dois tipos de sequên-

cias, julgamos importante que o professor

leve-o, de fato, em consideração, no momento

da elaboração de avaliações, propondo, por

exemplo, questões semelhantes aos problemas

9 e 10.

É comum os alunos utilizarem as fórmulas

dos termos gerais da PA e da PG na resolução

de problemas. Não há porque evitar tal con-

duta, mas sim propor situações em que o sim-

ples uso da fórmula não conduz diretamente

ao resultado procurado. Nesse sentido, apre-

sentamos, nesta Situação de Aprendizagem,

alguns modelos, como é o caso, por exemplo,

do Problema 3.

Por fim, salientamos, novamente, a neces-

sidade da existência de momentos de avalia-

ção em que os alunos possam trocar ideias

com outros colegas de grupo e mesmo con-

sultar suas anotações. Além disso, o professor

poderá pedir que os alunos demonstrem seu

conhecimento sobre o assunto criando pro-

blemas e/ou contextos em que os conceitos

possam, claramente, serem aplicados.

36

SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 3 SOMA DOS tERMOS DE uMA PA Ou DE uMA PG FINItA;

APLICAçÕES À MAtEMÁtICA FINANCEIRA


Conteúdos e temas: progressões aritméticas e progressões geométricas: termos gerais e soma dos termos; juros compostos, processos simples de capitalização e de amortização.

Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas; aplicar conhecimentos matemáticos em situações do cotidiano financeiro; generalizar procedimentos de cálculo com base em expressões matemáticas associadas ao estudo das progressões numéricas.



Esta Situação de Aprendizagem é dividida

em duas etapas. A primeira etapa é composta

por problemas exemplares para a construção

de significados da soma dos elementos de uma

sequência, e a segunda etapa é toda dirigida

para a aplicação da soma de elementos de

uma PA ou de uma PG, em alguns casos típi-

cos da Matemática Financeira.

O cálculo da soma dos termos de uma

PA ou de uma PG é um bom momento para

retomar e aprofundar com os alunos a no-

ção de algoritmo em Matemática. Isso por-

que podemos entender o cálculo da soma de

qualquer desses dois tipos de sequência como

realizado a partir de certa ordenação de pro-

cedimentos que conduzem, com eficiência,

ao resultado procurado.

No caso de uma PA do tipo (a1, a2, a3, ...,an – 3,

an – 2, an – 1, an), o professor pode explorar a

propriedade da equidistância dos extremos,

isto é, a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = ..., a

fim de desenvolver estratégias para o cálculo

da soma de seus termos, em um trabalho que

antecede à construção e utilização da fórmula

da soma dos termos de uma PA.

Por exemplo, para o cálculo da soma dos

200 primeiros números naturais, indicada por:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 197 +198 +

199 + 200,

o aluno pode ser auxiliado no sentido de ob-

servar que

1 + 200 = 2 + 199 = 3 + 198 = 4 + 197 =

... = 201.

Nesse caso, obterá cem somas iguais a 201

e, finalmente, concluirá que S200 = 100 . 201 =

20 100. Podemos, também, dizer que a soma

dos 200 números naturais é igual ao produto

de 200 por 201

2, ou seja, o produto de 200

37


pela média aritmética dos termos equidistan-

tes dos extremos.

No caso de sequências que apresentam nú-

mero ímpar de termos, como (1, 4, 7, 10, 13,

16, 19), de sete termos, o aluno poderá utilizar

a seguinte estratégia:

1 + 19 = 4 + 16 = 7 + 13 = 20.

Assim, são obtidas três somas iguais a 20.

Como o número 10, que é o termo central (me-

diana), não foi adicionado, a soma dos termos

dessa PA será representada da seguinte forma:

S7 = 3 . 20 + 10 = 60 + 10 = 70.

Nesse exemplo, é importante destacar que

a soma dos sete termos dessa progressão arit-

mética 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 é igual a

7 . 10, sendo 10 a média aritmética dos termos

equidistantes dos extremos.

Essa sequência de passos para se ob-

ter a soma dos termos de uma PA pode ser

vista como um algoritmo que permite rapi-

dez e precisão no cálculo e, por isso mesmo,

pode e deve ser bem compreendida e utilizada

sempre que possível. No momento que julgar

oportuno, o professor poderá pedir que os

próprios alunos generalizem a estratégia que

adotam particularmente, em uma ou outra se-

quência, para uma sequência aritmética qual-

quer, obtendo-se, então, a expressão

Sn =+( ) .a a nn1

2.

No caso de ser necessário obter a soma dos

termos de uma PG, o professor poderá lançar

mão, novamente, da ideia de um algoritmo

que permita agilizar o cálculo, mostrando aos

alunos como fazê-lo em alguns casos específi-

cos, como neste exemplo:

S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162.

Os termos dessa série formam uma PG de

razão 3. A primeira providência para se obter

o resultado sem efetuar a adição termo a ter-

mo é multiplicar toda a expressão pelo valor

da razão.

3 . (S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162) ⇒

3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486.

Isso feito, teremos duas expressões e sub-

trairemos uma da outra, de forma que os vá-

rios pares de termos iguais sejam cancelados.

S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162

3 . S = 6 + 18 + 54 + 162 + 486

–2 . S = 2 – 486

–2 . S = – 484 ⇒ S = 242

Essa sequência de passos, ou esse algorit-

mo, permite a obtenção da soma dos termos

de uma PG de modo mais rápido e eficaz do

que o cálculo da soma termo a termo. Co-

mentando o fato com seus alunos, o professor

poderá pedir que algumas somas sejam obti-

das dessa maneira e, analogamente ao que foi

realizado para a PA, pedir que generalizem o

algoritmo em uma fórmula que possa ser apli-

cada a qualquer tipo de PG. Nessa tarefa, os

alunos percorrerão as seguintes etapas:

PG: (a1, a2, a3,...., an–3, an–2, an–1, an)

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I)

38

Multiplica-se toda a soma pela razão q:

q . Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an–1 . q + an . q (II)

Subtrai-se (II) de (I), eliminando-se os pa-

res de termos iguais:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an (I)

q . Sn = a1 . q + a2 . q + a3 . q + ... + an–1 . q + an . q (II)

Sn – q . Sn = a1 – an . q

Isso feito, “sobram” apenas o último termo

de (II) e o primeiro termo de (I).

Isola-se Sn:

Sn – q . Sn = a1 – an . q

Sn . (1 – q) = a1 – an . q ⇒ Sn = a1 – an . q

1 – q ou

Sn = an . q – a1

q – 1.

A expressão da soma dos termos de uma

PG, escrita da forma apresentada acima, em

função da razão (q) e do último termo (an),

tem mais significado para os alunos do que

escrita em função apenas da razão (q) e do

número de termos (n). Por isso, convém o

professor trabalhar alguns problemas, antes

de mostrar aos alunos a segunda maneira de

escrever a mesma expressão.

Sn – q . Sn = a1 – an . q

Sn – q . Sn = a1 – a1 . qn–1 . q

⇒ Sn – q . Sn = a1 – a1 . qn ⇒ Sn . (1 – q) =

a1 – a1 . qn . Sn . (1 – q) = a1 . (1 – q) ⇒

S aqqn

n

= 1

11

.( – )

– ⇒ S a

qqn

n

= 1

11

.( – )

–

Etapa 1 – Soma dos termos de uma PA ou de uma PG finita

Problema 1

Calcule a soma dos termos da progressão

(10, 16, 22, ..., 70).

440.

Problema 2

Calcule a soma dos termos da progressão

(13, 20, 27, ...), desde o 21o termo até o 51o,

inclusive.

7 998.

Problema 3

Calcule a soma dos números inteiros, divi-

síveis por 23, existentes entre 103 e 850.

Os números inteiros, divisíveis por 23, entre

103 e 850, formam a PA de razão 23: (115,

138,..., 828). Utilizando a fórmula do

termo geral, obtemos n = 32, e aplicando a

fórmula da soma dos termos da PA, obtemos

o resultado 15 088.

Problema 4

A figura abaixo apresenta os primeiros

elementos de uma sequência de números cha-

mados números triangulares.

39


a) Escreva a sequência numérica corres-pondente a essa figura, considerando o número de bolinhas que formam cada triângulo:

1, 3,........,.........,.........,.........,........,.......

b) Que regularidade você observou na cons-trução desses números triangulares?

c) Escreva uma fórmula que permita calcu-lar um termo qualquer dessa sequência, utilizando a recorrência, ou seja, definin-do um termo a partir de seu precedente.

d) Construa uma fórmula que calcule um termo qualquer dessa sequência, sem ne-cessariamente recorrer ao termo anterior.

Durante a resolução desse problema, os

alunos podem perceber que um termo qual-

quer da sequência de números triangulares

pode ser expresso por uma fórmula de recor-

rência, incluindo duas informações:

a1 = 1 e an = an–1 + n.

Podem, também, organizar os dados em

uma tabela como a que segue. Essa estraté-

gia os levará à fórmula t do termo geral, que

pode ser obtida pela aplicação da fórmula da

soma dos termos da PA de n termos, com a1 = 1

e razão 1:

t = (1 + n) . n

2 =

n2 + n

2 .

Posição do termo na sequência Processo de contagem das bolinhas Quantidade de bolinhas

em cada termo

1 1 1

2 1 + 2 3

3 1 + 2 + 3 6

4 1 + 2 + 3 + 4 10

... ... ...

n1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (n −1) + n an =

n . (n + 1)

2

Após a discussão sobre as questões dessa ativi-

dade, o professor pode, ainda, explorar os números

triangulares, incentivando seus alunos a descobrir

outras propriedades interessantes. Por exemplo,

propondo questões como as que seguem:

Observe que 61 = 55 + 6 (61 é um nú-

mero natural qualquer; 55 e 6 são números

triangulares). Experimente, agora, representar

40

o número 84 em forma de adição de, no máxi-

mo, três números triangulares.

Pode ser escrito como a soma: 45 + 36 + 3.

Adicione dois números triangulares con-

secutivos. Que característica você percebe

nessa soma?

A soma de dois números triangulares consecuti-

vos é igual a um número quadrado perfeito:

1 + 3 = 4; 3 + 6 = 9;

6 + 10 = 16; 10 + 15 = 25.

Problema 5

A seguir, estão os primeiros elementos de

uma sequência de figuras que representam os

chamados números pentagonais.

Caso o aluno encontre dificuldades, du-

rante a resolução deste problema, o professor

pode propor questões que o ajudem a perceber

que, a partir da segunda figura, cada termo an

da sequência pode ser obtido pelo acréscimo

de três fileiras de n bolinhas à figura anterior

(an – 1), devendo ser subtraídas 2 unidades, que

correspondem às duas bolinhas que se sobre-

põem em dois vértices do pentágono. No en-

tanto, a fórmula obtida é por recorrência, e a

obtenção da fórmula geral é um pouco mais

difícil, pois cada termo é obtido por meio de

1 2 3 4 5

a) Quantas bolinhas deve ter a sexta figura dessa sequência? E a sétima?

51 e 70.

b) Observe as regularidades que existem no processo de construção da Figura 2 a partir da Figura 1; no processo de cons-trução da Figura 3 a partir da Figura 2; e assim por diante. Organize os dados na tabela abaixo e, em seguida, procu-re construir uma fórmula que permita


Cálculonúmero de boli

nhas

1 1 1

21 + 4a1 + 4

5

35 + 3 . 3 – 2a2 +3 . 3 – 2

12

412 + 3 . 4 – 2a3 + 3 . 4 – 2

22

522 + 3 . 5 – 2a4 + 3 . 5 – 2

35

... ... ...

n – 1

n an – 1 + 3 . n – 2 an = an – 1 +3 . n – 2

determinar a quantidade de bolinhas da figura n nessa sequência.

Em relação aos números pentagonais, rei-

teramos que a construção de uma tabela como

a que segue favorece a obtenção de uma fór-

mula de generalização:

41


A expressão do termo geral dessa soma

pode ser obtida fazendo a1 = 1 e an = 3 . n + 2

na expressão geral da soma da PA, da seguinte

forma:

t = 1 + 4 + 7 + 10 + 13+...+ 3 . n – 2 =

(a1 + an) . n

2 =

(1 + 3n – 2) . n

2 =

(3n – 1) . n

2 =

3 . n2 – n

2.

Assim, o polinômio 3 . n2

2 –

n

2, sendo n um

número natural diferente de zero, permite a

determinação de um número pentagonal que

ocupa a posição n na sequência. Por exemplo,

o sétimo número pentagonal da sequência é:

t7 = 3 . 72

2 –

7

2 =

3 . 49

2 –

7

2 =

140

2 = 70


Cálculo

1 1

2 1 + 4

3 1 + 4 +7

4 1 + 4 + 7 + 10

5 1 + 4 + 7 + 10 + 13

... ...

n 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + ...+ 3 . n – 2

seu antecessor, adicionando a este 3n – 2 bo-

linhas. Os números que são adicionados estão

na sequência 4, 7, 10, 13, 16, ...

Problema 6

Considere a PG (1, 2, 4, 8, ...). Calcule a

soma dos 20 primeiros termos dessa PG, dei-

xando indicada a potência.

S20 = 1 . (220 – 1)

2 – 1 ⇒ S20 = 220 – 1

Problema 7

Resolva a equação 2 + 4 + 8 + ... + x = 510,

sabendo que as parcelas do primeiro membro

da equação estão em PG.

A razão da PG é 2.

Portanto, 2 . (2n – 1)

2 – 1 = 510 ⇒

2n – 1 = 510 ÷ 2 ⇒ 2n = 256 ⇒ 2n = 28 ⇒

n = 8.

Logo, x = a8 = 2 . 28–1 ⇒ x = 256.

Problema 8

(Vunesp) Várias tábuas iguais estão em uma

madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm.

Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se

uma tábua na primeira vez e, em cada uma das

vezes seguintes, tantas tábuas quantas tiverem

sido colocadas anteriormente.

Pilha na 1a vez

Pilha na 2a vez

Pilha na 3a vez

42

Determine, ao final de nove operações:

a) Quantas tábuas terá a pilha.

A sequência da quantidade de tábuas

colocadas é:

1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...

Para obter o total de tábuas, ao final de nove

operações, será necessário calcular a soma

dos termos da progressão geométrica 1, 2, 4,

8, 16, 32, 64, 128 e, em seguida, acrescentar

uma unidade.

S = an . q – a1

q – 1 =

128 . 2 – 1

2 – 1 = 255.

Portanto, a pilha terá 256 tábuas.

b) A altura, em metros, da pilha.

A altura da pilha será igual a 256 . 0,5 =

128 cm = 1,28 m.

Problema 9

uma pessoa compra uma televisão para

ser paga em 12 prestações mensais. A primeira

prestação é de R$ 50,00 e, a cada mês, o valor

da prestação é acrescido em 5% da primeira

prestação. Quando acabar de pagar, quanto a

pessoa terá pago pela televisão?

Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50

+ 55,00 + 57,50 +...... + 77,50, que resulta

R$ 765,00.

Problema 10

A primeira parcela de um financiamento

de seis meses é de R$ 200,00, e as demais são de-

crescentes em 5%. Assim, a segunda parcela é 5%

menor do que a primeira, a terceira parcela é

5% menor do que a segunda e assim por diante.

Adotando 0,955 = 0,77 e 0,956 = 0,73, calcule:

a) Qual é o valor da última parcela?

Temos uma PG de razão (1 – 0,05) = 0,95 e

queremos determinar o sexto termo.

a6 = 200 . 0,955 = 154,00.

b) Quanto terá sido pago, quando a dívida for totalmente quitada?

Devemos calcular a soma dos termos da PG.

S = an . q – a1

q – 1 =

200 . 0,955 – 200

0,95 – 1 =

200 . (0,956 – 1)

–0,05 = –4 000 . (0,956 – 1) =

R$ 1 080,00.

Problema 11

Dada a progressão aritmética (–4, 1, 6,

11, ...), obtenha:

a) o termo geral da sequência.

an = 5 . n – 9.

b) a soma dos 12 primeiros termos.

282.

c) uma expressão para o cálculo da soma dos n primeiros termos.

S = (a1 + an) . n

2 =

(–4 + 5 . n – 9) . n

2 =

1

2 . (5 . n2 –13 . n).

43


Problema 12

A soma de n termos de uma progressão

aritmética pode ser calculada pela expres-

são Sn = 3 . n2 – 5 . n. Para essa sequência,

determine:

a) a soma dos seis primeiros termos.

S6 = 3 . 62 – 5 . 6 = 78.

b) a soma dos sete primeiros termos.

S7 = 3 . 72 – 5 . 7 = 112.

c) o sétimo termo.

O sétimo termo é a diferença entre S7 e S6.

Portanto, a7 = 112 – 78 = 34.

d) os cinco primeiros termos.

a1 = S1 = –2

a2 = S2 – a1 = 2 – (–2) = 4

A PA tem razão 6, e os primeiros termos são

–2, 4, 10, 16, 22, 28, 34.

Problema 13

um atleta fora de forma, desejando recu-

perar o tempo perdido, planeja correr, dia-

riamente, uma determinada distância, de

maneira que, a cada dia, a distância corrida

aumenta 20% em relação ao que foi corrido

no dia anterior. Começando a correr 10 km,

no primeiro dia,

a) quanto estará correndo, no quarto dia?

a4 = 10 . 1,23 = 17,28 km.

b) quantos quilômetros terá corrido, em 10 dias? (Dado: 1,210 ≈ 6,2.)

Trata-se de calcular a soma dos dez termos

de uma PG em que a1 = 10 e a10 = 10 . 1,29.

S = an . q – a1

q – 1 =

10 . 1,29 . 1,2 – 10

1,2 – 1 =

10 . (1,210 – 1)

0,2 =

50 . (1,210 – 1) = 50 . (6,2 – 1) = 260 km.

Etapa 2 – Aplicações na Matemática Financeira

O crescimento de um capital, a uma taxa

constante de juros simples, caracteriza-se por

envolver uma série de termos que formam

uma progressão aritmética. Por outro lado,

no cálculo do crescimento de um capital a

uma taxa constante de juros compostos, apa-

rece uma progressão geométrica. No exem-

plo abaixo, podemos comparar a evolução de

um capital inicial, quando submetido a juros

simples e a juros compostos:

Capital = C taxa de juros = 5% ao mês

Evolução do capital a juros

simples

Evolução do capital a juros

compostosInicial C C

Depois de um mês

1,05 . C 1,05 . C

Depois de dois meses

1,10 . C 1,052 . C

Depois de três meses

1,15 . C 1,053 . C

Depois de quatro meses

1,20 . C 1,054 . C

44

adicionando-se 0,05 . C, no caso de juros sim-

ples, e multiplicando-se por 1,05 . C, no caso

de juros compostos.

juros simples, como sabemos, não são

praticados no mercado financeiro, mas po-

dem servir de contexto inicial para a determi-

nação de valores totais capitalizados em cer-

to período. Vamos supor, por exemplo, que

um cidadão aplique, mensalmente, e durante

oito meses, uma quantia fixa de R$ 200,00, a

juros simples de 5%. Ao final, depois dos oito

meses de aplicação, quanto terá acumulado

essa pessoa?

Propondo um problema dessa natureza aos

seus alunos, o professor poderá comentar que

ele é de fácil resolução por envolver juros sim-

ples, mas que, no caso real, de um capital apli-

cado a juros compostos, será necessário um

método organizado de resolução. justifica-se,

dessa maneira, o processo representado na ta-

bela seguinte:

tabela de capitalização

Os valores dessa tabela foram obtidos le-

vando-se em conta que um capital inicial (C),

acrescido de 5%, resulta no capital inicial mul-

tiplicado por 1,05, isto é, resulta em 1,05 . C.

Caso incidam 5%, novamente, sobre o capital

já acrescido de 5%, o resultado será igual a

1,10 . C, se os juros forem simples, e 1,052 . C,

se os juros forem compostos, conforme repre-

sentado nas operações seguintes:

Capital Inicial: C.

Acréscimo de 5% sobre C:

C + 5

100 . C = C + 0,05 . C = 1,05 . C.

Acréscimo de 5% de juros simples: 1,05 . C

+ 0,05 . C = 1,10 . C.

Acréscimo de 5% de juros compostos:

1,05 . C + 5% . 1,05 . C = 1,05 . C . (1 + 5%) =

1,05 . C . 1,05 = 1,052 . C.

O valor do capital, nos próximos meses

de aplicação, segue a mesma lógica, isto é,

Mês 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o Final

Cap

ital

200 210 220 230 240 250 260 270 280

200 210 220 230 240 250 260 270

200 210 220 230 240 250 260

200 210 220 230 240 250

200 210 220 230 240

200 210 220 230

200 210 220

200 210

45


Os R$ 200,00 depositados no primei-

ro mês tornam-se R$ 210,00, no segundo

mês, R$ 220,00, no terceiro mês, e assim por

diante, tornando-se, ao final, R$ 280,00.

Os R$ 200,00 depositados no segundo mês, de

modo análogo, convertem-se em R$ 270,00,

ao final de sete meses de aplicação. Seguindo

o raciocínio, o saldo final da aplicação será

o resultado da adição dos valores da última

coluna da tabela, que são os termos de uma

progressão aritmética:

Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 +

260 + 270 + 280

Saldo final = (210 + 280) . 8

2 = 1 960

Portanto, o saldo final da aplicação será

igual a R$ 1 960,00.

No caso real, de uma capitalização a juros

compostos, o esquema de resolução será simi-

lar ao apresentado, variando apenas a forma de

crescimento das parcelas aplicadas. Em relação

ao problema anterior, alterando apenas a forma

de incidência da taxa de juros, de simples para

compostos, pode ser escrita a seguinte tabela:

Mês 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o Final

Cap

ital

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057 200 . 1,058

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056 200 . 1,057

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055 200 . 1,056

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054 200 . 1,055

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053 200 . 1,054

200 200 . 1,05 200 . 1,052 200 . 1,053

200 200 . 1,05 200 . 1,052

200 200 . 1,05

A soma dos valores da última coluna da

tabela fornece o total capitalizado. trata-se

da soma dos termos de uma progressão geo-

métrica de razão 1,05.

S = 200 . (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 +

1,056 + 1,057 + 1,058)

S = 200 . an . q – a1

q – 1 =

200 . 1,058 . 1,05 – 1,05

1,05 – 1

O cálculo dessa soma é trabalhoso, se reali-

zado manualmente. Por isso, propomos que os

alunos possam utilizar calculadoras para agi-

lizar a obtenção do resultado, sem qualquer

perda de significado para o conceito. O impor-

tante, aqui, não é saber calcular uma potência,

coisa que os alunos já devem saber, mas sim a

obter da expressão numérica que conduz ao

resultado desejado. todavia, mesmo usando

calculadoras, será interessante simplificar ini-

cialmente a expressão, como nesse caso:

tabela de capitalização

46

S = 200 . 1,058 . 1,05 – 1,05

1,05 – 1 (Colocando

1,05 em evidência.)

S = 200 . 1,05 . (1,058 – 1)

0,05 (Dividindo

1,05 por 0,05.)

S = 200 . 21 . (1,058 – 1)

Caso o professor opte por não permitir o

uso de calculadoras, o que não aconselhamos,

poderá fornecer aos alunos, previamente, o va-

lor da potência. No caso, 1,058 ≈ 1,48. De um

jeito ou de outro, o resultado da soma será:

S = 200 . 21 . (1,48 – 1) = 2 016.

Comparando os dois resultados do proces-

so de capitalização, fica claro que o processo

a juros compostos conduz a um maior valor

final (R$ 1 960,00, em um caso, e R$ 2 016,00,

no outro).

Outra aplicação importante das somas das progressões diz respeito ao cálculo da parce-la fixa de um financiamento a taxa constan-te de juros. De fato, trata-se de um problema inverso ao que foi analisado há pouco, isto é, conhece-se o montante final e deseja-se calcu-lar a parcela mensal do investimento. Vamos analisar, como exemplo, o caso do financia-mento da compra de um automóvel, que custa R$ 10 000,00 e será pago em 24 parcelas fixas e mensais, com juros de 5% ao mês. Em pri-meiro lugar, vamos representar o cálculo da parcela de financiamento, no caso de os juros serem simples, isto é, incidirem sempre sobre o valor inicial.

1o) Com taxa de juros simples

Os R$ 10 000,00 financiados deverão ser

corrigidos e devolvidos pelo comprador do

bem, ao final dos 24 meses. Assim, o primeiro

passo é calcular o juro total da aplicação em

juros simples, ou seja, 24 . 5% = 120%. O va-

lor de R$ 10 000,00 deverá ser devolvido cor-

rigido em 120%, isto é, deverão ser devolvidos

R$ 22 000,00. Ocorre que o comprador não

devolve esse valor de uma única vez, mas sim

em parcelas mensais. Assim, o próximo passo

é calcular o valor da parcela, e aí é necessário

se lembrar do exemplo anterior, da capitaliza-

ção a juros simples.

Supomos, então, que certa parcela P é

capitalizada mensalmente, durante 24 me-

ses, a juros simples de 5%. Nessa condição,

ao final dos 24 meses, terá sido capitali-

zado um valor total igual ao resultado da

seguinte soma:

S = P . (1,05 + 1,10 + 1,15 + .... + 2,15 + 2,20).

Os porcentuais, nesse caso, formam uma

progressão aritmética. Calculemos a soma

desses porcentuais.

S = P . (a1 + an) . n

2 = P .

(1,05 + 2,20) . 24

2

= P . 39

Como a soma S deve coincidir com o va-

lor corrigido do final do financiamento, isto é,

S = 22 000, a parcela mensal P pode ser assim

obtida:

22 000 = P . 39 ⇒ P = 564,10

47


Portanto, a juros simples, o valor da parce-

la mensal é igual a R$ 564,10.

Perceba que, apesar de as prestações serem

todas iguais a R$ 564,10, a simples multipli-

cação desse valor pelo número de prestações,

que, neste caso, é 24, não tem como resultado o

valor corrigido da dívida (R$ 22 000,00). Essa

diferença acontece porque a primeira parcela

de R$ 564,10 tem, hoje, um valor que não será

o mesmo daqui a 24 meses. Essa consideração

vale para todas as parcelas.

2o) Com taxa de juros compostos Da mesma forma que no caso dos juros

simples, discutido anteriormente, o valor fi-

nanciado deve ser corrigido para compor o pa-

gamento final. Nesse caso, trata-se de corrigir

R$ 10 000,00, em 24 meses, a juros compostos

de 5%, o que implica multiplicarmos 10 000

por 1,0524. Isso feito, teremos R$ 32 251,00.

Mas esse valor não é devolvido de uma única

vez, ao final do financiamento, e sim em par-

celas mensais. Para o cálculo do valor dessa

parcela, devemos imaginar alguém que depo-

site, mensalmente, um valor P, a juros com-

postos de 5%, durante 24 meses. Nesse caso, o

valor total depositado será igual ao resultado

da seguinte adição:

S = P(1,05+ 1,052 + 1,053 + ..... + 1,0524).

O valor de S, como vimos há pouco, é

R$ 32 251,00. Para o cálculo da parcela P, será

preciso calcular a soma da progressão geométri-

ca formada pelos termos dentro dos parênteses.

32 251 = P .an . q – a1

q – 1 = P .

1,0524 . 1,05 – 1,05

1,05 – 1

32 251 = P .1,05 . (1,05 24 – 1)

1,05 – 1 =

P . 21 . (1,0524 – 1)

Dado que 1,0524 ≈ 3,225, fazemos:

32 251 = P . 21 . (3,225 – 1)

32 251 = P . 46,725 ⇒ P = 690,23

Portanto, a juros compostos, a parcela de

financiamento deverá ser igual a R$ 690,23.

Os cálculos envolvendo processos de ca-

pitalização e de amortização são comumente

vistos em situações do cotidiano, muito em-

bora nem sempre de forma transparente. Por

isso, é comum que surjam dúvidas por parte

dos alunos, as quais caberá ao professor es-

clarecer. No caso que analisamos há pouco,

do financiamento de R$ 10 000,00, é preciso

destacar com muita ênfase dois aspectos ge-

radores de dúvidas. O primeiro deles refere-se

à necessidade de corrigir o valor financiado,

isto é, multiplicar 10 000 por 1,0524. Os alu-

nos precisam entender que o bem financiado

será considerado quitado apenas quando a

última parcela for paga, e que, por isso mes-

mo, é preciso considerar a correção do valor

financiado. A segunda dúvida que costuma

ocorrer nesse caso refere-se à necessidade de

calcular o valor futuro de cada parcela que vai

sendo paga, o que conduz ao cálculo da soma

da PG. É comum os alunos fazerem, equivo-

cadamente, a simples divisão do resultado do

produto 10 000 . 1,0524 por 24 para determinar

o valor de cada parcela. O professor deve cha-

mar a atenção dos alunos para o fato de que

as parcelas não são todas pagas ao final do

48

financiamento, mas sim em tempos diferentes,

e que, por isso mesmo, o valor futuro de uma

parcela não é igual ao da outra.

julgamos importante que o professor discu-

ta alguns exemplos de cálculos de montantes

e de parcelas de amortização, mas não deixe

de retomar o assunto no 3o bimestre, quando

abordar o crescimento exponencial.

Após discutir alguns exemplos com seus alu-

nos, o professor poderá propor a resolução da

seguinte sequência de problemas exemplares.

Problema 1

uma financeira remunera os valores in-

vestidos à base de 4% de juros simples. Quan-

to conseguirá resgatar, nesse investimento,

uma pessoa que depositar, mensalmente,

R$ 500,00, durante 10 meses?

Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 +

560 + 580 + .... + 700.

S = (520 + 700) . 10

2 = 1 220 . 5 = 6 100

O resgate será de R$ 6 100,00.

Problema 2

Laura aderiu a um plano de capitaliza-

ção de um banco, depositando, mensalmente,

R$ 1 000,00, durante 12 meses. Se o banco

promete remunerar o dinheiro aplicado à taxa

de 2% de juros compostos ao mês, calcule

quanto Laura resgatará ao final do período.

(Dado: 1,0212 = 1,27.)

Trata-se de calcular a soma de termos em PG:

S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,022 + 1 000 .

10,23 + ..... + 1 000 . 1,0212

S = 1 000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + ... +

1,0212)

S = 1 000 . an . q – a1

q – 1 =

1 000 . 1,0212 . 1,02 – 1,02

1,02 – 1 =

1000 . 1,02 . (1,0212 – 1)

0,02

S = 1 000 . 51 . (1,0212 – 1) = 51 000 . 0,27

= 13 770

Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.

Problema 3

Carlos deseja comprar um automóvel que custará, daqui a dez meses, R$ 15 500,00. Para conseguir seu objetivo, Carlos resolveu depo-sitar uma quantia x em um investimento que promete remunerar o dinheiro aplicado à razão de 10% de juros simples ao mês. Qual deve ser o valor mínimo de x para que Carlos consiga comprar o automóvel, ao final dos dez meses?

Sendo o cálculo do montante à base de juros

simples, temos a soma de termos em PA, da

seguinte maneira:

S = 1,1 . x + 1,2 . x + 1,3 . x + ...... + 2,0 . x

15 500 = x . (1,1 + 1,2 + 1,3 + ..... + 2,0)

15 500 = x . (a1 + an) . n

2 ⇒

49


15 500 = x . (1,1 + 2,0) . 10

2 ⇒

15 500 = x . 15,5 ⇒ x = 1 000

Portanto, a parcela mínima a ser depositada

é igual a R$ 1 000,00.

Problema 4

uma geladeira cujo preço à vista é de

R$ 1 500,00 será financiada em seis parcelas

mensais fixas. Se os juros compostos cobra-

dos no financiamento dessa geladeira são de

3% ao mês, qual é o valor da parcela mensal?

(Dado: 1,036 = 1,19.)

O valor futuro da geladeira, em seis meses,

será igual 1 500 . 1,036 = 1 500 . 1,19 =

1 785.

A soma das parcelas fixas, a 3% de juros

compostos ao mês, recai em: S = P . (1,03

+ 1,032 + .... + 1,036),onde P é o valor da

parcela fixa mensal. Como S = 1 785, tem-

se: 1 785 =

P . 1,036 . 1,03 – 1,03

1,03 – 1 = P .

1,03(1,036 – 1)

0,03

P . 34,33 . (1,036 – 1) =

P . 34,33 . 0,19 =

1 785 = P . 6,5227 ⇒ P = 273,65

Portanto, a parcela mensal deverá ser igual

a R$ 273,65.

Problema 5

julia guardou, mensalmente, R$ 200,00 em

um banco que remunerou seu dinheiro à base

de 4% ao mês de juros compostos. Ao final de

oito meses de aplicação, julia usou o dinheiro

que havia guardado para dar de entrada em

um pacote de viagem, que custava, à vista,

R$ 5 000,00. O saldo devedor julia pretende

financiar em cinco vezes, em parcelas iguais

e fixas, à taxa de 2% ao mês. (Dados 1,048 ≈

1,37; 1,025 ≈ 1,10.)

a) Quanto julia deu de entrada no pacote de viagem?

O valor total capitalizado exige o cálculo de

uma soma de termos em PG.

S = 200(1,04 + 1,042 + 1,043 + ....... +

1,048)

S = 200 . 1,048 . 1,04 – 1,04

1,04 – 1 =

200 . 1,04(1,048 – 1)

0,04 = 200 . 26 . (1,37 – 1)

= 1 924

Portanto, foram dados de entrada R$ 1 924,00.

b) Qual o valor da parcela mensal fixa do finan-

ciamento do saldo do pacote de viagem?

O valor financiado foi igual à diferença

entre R$ 5 000,00 e R$ 1 924,00, ou seja,

R$ 3 076,00. Esse valor, em cinco meses, a 2%

ao mês, torna-se 3 076 . 1,025 = 3 383,60.

Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida

à base de 2% ao mês, deve, ao final, gerar

montante equivalente a R$ 3 383,60.

3 383,60 = P(1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024

+ 1,025)

3 383,60 = P . 1,025 . 1,02 – 1,02

1,02 – 1 =

50

P . 1,02(1,025 – 1)

0,02 = P . 51 . 0,10 = P . 5,1

3 383,60 = P . 5,1 ⇒ P = 663,45

Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.


Nesta Situação de Aprendizagem, de for-

ma semelhante ao realizado na anterior, foi

proposto que as somas das progressões aritmé-

ticas e progressões geométricas fossem estuda-

das paralelamente. Insistimos nessa prática,

pois entendemos que ela valoriza a existência

de regularidades numéricas possíveis de serem

traduzidas por equações matemáticas, em de-

trimento da aplicação imediata de fórmulas na

resolução de exercícios descontextualizados.

A apresentação das expressões de cálculo

para as somas das sequências foi feita a partir

da ideia de que cálculos que se repetem devi-

do a algum tipo de regularidade podem ser

traduzidos por intermédio de um algoritmo,

isto é, por uma sequência ordenada de passos

que, quando realizada corretamente, conduz

ao resultado desejado de forma mais rápida.

Consideramos importante que os alunos com-

preendam essa ideia e que, após a exercitarem

durante a resolução de alguns problemas,

possam, autonomamente, generalizar em uma

expressão o raciocínio envolvido no algoritmo.

Os instrumentos preparados para a avalia-ção dos conceitos aqui tratados deverão levar em conta, de acordo com as considerações an-teriores, a possibilidade de que sejam propos-tos problemas que envolvam tanto progressões aritméticas, como progressões geométricas, desenvolvidos sobre contextos diferentes dos problemas apresentados e discutidos durante as aulas, com base no contexto da Matemática Financeira e nos cálculos de montantes e de parcelas em processos de capitalização.

Gostaríamos, ainda, de ressaltar o fato de

que a obtenção de soma de termos de uma

PG exige, via de regra, o cálculo de uma po-

tência na qual, muitas vezes, a base não é um

número inteiro. As aplicações das progressões

à Matemática Financeira são exemplos clássi-

cos dessas situações. Nesses casos, visando a

que o aspecto da compreensão conceitual não

seja sobrepujado pela dificuldade aritmética,

sugerimos ao professor que permita o uso de

calculadoras, inclusive científicas, até mesmo

nas avaliações individuais. uma segunda su-

gestão segue o que foi feito na apresentação

no Problema 5 da Etapa 2, ou seja, pode-se

fornecer ao aluno o resultado aproximado da

potência necessária para a resolução do pro-

blema proposto.

51


SItuAçãO DE APRENDIzAGEM 4 LIMItE DA SOMA DOS INFINItOS tERMOS DE uMA PG INFINItA


Conteúdos e temas: soma dos termos de uma PG; limite da soma dos termos de uma PG infinita.

Competências e habilidades: utilizar a linguagem matemática para expressar a regularidade dos padrões de sequências numéricas ou geométricas; compreender a noção intuitiva de limite de uma função; con-siderar a pertinência da noção de infinito no cálculo de quantidades determinadas.



Nesta Situação de Aprendizagem, são pro-

postos problemas algébricos e geométricos, com

o objetivo de se investigar a soma dos termos de

uma progressão geométrica infinita, com razão

real entre –1 e 1. Nesse percurso, são aborda-

das, intuitivamente, duas noções extremamen-

te importantes na Matemática. trata-se das

noções de continuidade e de infinito. Embora

costumem causar nos alunos certa estranheza

e alguma dificuldade de compreensão, são con-

ceitos que estimulam sobremaneira a curiosida-

de e a intuição e, por consequência, também o

interesse dos alunos pela Matemática.

Quando uma progressão geométrica tem

por razão um número real entre –1 e 1, dife-

rente de zero, a sequência “tende” para zero.

Com isso, queremos dizer que, à medida que

aumentamos a quantidade de termos da se-

quência, mais o último termo se aproxima de

zero, muito embora nunca seja igual a zero.

A progressão geométrica 4, 2, 1, 1

2,

1

4, ...,

por exemplo, tende a zero, assim como a

progressão –3, 1, –1

3,

1

9, –

1

27, ... Nesses dois

casos, em que a razão é um número real en-

tre –1 e 1, é possível determinar o termo que

desejarmos, mas ele poderá ser tão pequeno

que, dependendo das exigências, poderá ser

considerado nulo. O centésimo termo da pri-

meira sequência, por exemplo, é igual a um

número que tem 30 zeros após a vírgula, antes

de aparecer o primeiro algarismo não nulo.

É um número pequeno, se for comparado à

espessura de um fio de cabelo, mas não é pe-

queno, se comparado às dimensões atômicas.

Aumentando ainda mais o número de termos,

além dos cem, chegará um momento em que o

resultado será pequeno mesmo quando com-

parado com a medida de raios atômicos. Mas

o termo ainda não será nulo e ainda poderá

ser diminuído. Nesse raciocínio estão contidas

as ideias da continuidade e do limite.

Conjuntos numéricos infinitos e discretos,

como os Naturais e os Inteiros, já foram es-

tudados, em séries anteriores, e retomados

agora, no Ensino Médio. O fato de esses

conjuntos possuírem quantidade inumerável

52

de elementos está, normalmente, bem as-

similada pelos alunos, nesta etapa de ensino,

uma vez que a ideia do “mais 1”, no caso dos

Naturais, ou do “menos 1”, no caso dos In-

teiros, características dos conjuntos discre-

tos, vem sendo apresentada a eles desde que

começaram sua escolaridade. A dificuldade

surge na passagem do discreto para o contí-

nuo, quando a noção de infinito ganha uma

nova dimensão. Como explicar, por exemplo,

que um segmento AB, de determinado com-

primento, pode ser dividido em tantas partes

quantas se desejar, não havendo medida li-

mite para o comprimento de cada uma das

partes que surgem?

Na Grécia antiga, a contraposição entre

discreto e contínuo trazia, já, alguns proble-

mas de interpretação. Para os pitagóricos, o número era a referência de toda dúvida e

toda dificuldade. Segundo eles, se não fosse

pelo número e por sua natureza, nada do que

existe poderia ser compreendido por alguém,

nem em si mesmo, nem com relação a outras

coisas. Os números constituíam o verdadeiro

elemento de que era feito o mundo. Chama-

vam um ao ponto, dois à linha, três à superfí-

cie e quatro ao sólido. A partir de um, dois, três

e quatro, podiam construir um mundo.

A concepção geométrica dos gregos do

século V a.C., influenciada pela visão dos pi-

tagóricos, entendia que o número de pontos

de uma linha determinada seria finito, muito

embora não fosse possível quantificá-lo. Em

outras palavras, a noção do contínuo não fa-

zia parte das ideias geométricas de então. Essa

concepção de uma série de pontos justapostos,

como uma grande fila, de maneira que qual-

quer segmento poderia ser quantificado como

uma determinada quantidade de pontos, ou,

em outras palavras, que todo segmento po-

deria ser mensurável, caiu por terra a partir

da descoberta da incomensurabilidade simul-

tânea da diagonal e do lado do quadrado: se

um é perfeitamente mensurável, o outro não

poderá ser.

O professor poderá comentar com seus

alunos alguns dos aspectos históricos que

localizam a crise da escola pitagórica em re-

lação à incomensurabilidade de 2 e à des-

coberta dos irracionais. uma boa “entrada”

para a questão é a apresentação dos para-

doxos de zenão, especialmente o paradoxo

da corrida entre Aquiles e a tartaruga, que

discutiremos mais adiante. Parece-nos, por-

tanto, que o contexto das progressões geo-

métricas tendendo a zero pode ser uma boa

porta de entrada para a introdução da noção

de infinito associada à de continuidade dos

números reais.

Para introduzir o limite da soma dos in-

finitos termos de uma PG, sugerimos que

o professor recorra, prioritariamente, à

intuição dos alunos, postergando a neces-

sária formalização para mais tarde, quando

o conceito estiver razoavelmente construído.

Nesse sentido, o professor pode partir do

cálculo da soma de termos de uma PG com

as características desejadas, aumentando,

pouco a pouco, o número de termos, a fim

de intuir a ideia de que haverá um limite para

a soma, como no problema seguinte, que co-

mentamos em detalhes.

53


Antecedendo a resolução, o professor pode

propor aos alunos as seguintes questões:

a) Quanto mede o lado PQ do triângulo PQR? E os lados PR e RQ?

b) Qual é o perímetro dos triângulos ABC, PQR e STU?

c) Escreva uma sequência numérica cujos termos são os perímetros dos triângulos ABC, PQR, STU e mais outros dois triân- gulos construídos segundo o critério.

Para essas questões, é importante que o professor discuta, inicialmente, que, dado um triângulo ABC, se P e Q são pontos médios

A

PB

C

QR U

TS

O triângulo ABC da figura é equilátero de lado 1. Unindo os pontos médios dos lados desse triângulo, obtemos o segundo triângulo PQR. Unindo os pontos médios dos lados do triângulo PQR, obtemos o terceiro triângulo STU, e assim sucessivamente. Determine a soma dos perímetros dos infinitos triângulos construídos por esse processo.

dos lados AB e BC, respectivamente, então PQ é paralelo a AC, e sua medida é igual à metade de AC. O mesmo vale para os demais lados do triângulo PQR, visto que o triângulo ABC é equilátero.

Dessa forma, os perímetros dos triângulos

da figura são 3, 3

2 e

3

4.

A sequência de triângulos assim construí-

dos terá perímetros respectivamente iguais a:

3, 3

2,

3

4,

3

8,

3

16, ....

Após esse trabalho inicial, sugere-se que os alunos calculem as somas dos perímetros: dos dois primeiros, dos três primeiros e assim por diante.

Assim, os alunos obteriam as somas:

S1 = 3

S2 = 3 + 3

2 =

9

2 = 4,5

S3 = 3 + 3

2 +

3

4 =

21

4 = 5,25

S4 = 3 + 3

2 +

3

4 +

3

8 =

45

8 = 5,625

S5 = 3 + 3

2 +

3

4 +

3

8 +

3

16 =

93

16 = 5,8125

S6 = 3 + 3

2 +

3

4 +

3

8 +

3

16 +

3

32 =

189

16 = 5,90625

S7 = 3 + 3

2 +

3

4 +

3

8 +

3

16 +

3

32 +

3

64 =

381

64 = 5,953125

54

Após esses cálculos, o professor poderia

solicitar que os alunos fizessem suas conjec-

turas a respeito deles, procurando responder à

questão: O que acontece à soma, se as parcelas

forem aumentando com os perímetros de outros

triângulos da sequência?

É importante discutir com a classe que as

somas aumentariam, com o acréscimo de novas

parcelas, mas esse crescimento é cada vez menor.

O uso da fórmula da soma dos termos de

uma PG pode ampliar essa discussão:

S = an . q – a1

q – 1 =

an .

14

3

143

1

2 –3

1

2 –1

=

an

2 – 3

– 1

2A soma assim obtida está em função de an,

aqui considerado o último termo. O questiona-

mento seguinte aos alunos é sobre o que ocorre

com an, à medida que n cresce muito. As respos-

tas dos alunos tendem a caminhar no sentido

da intuição de que o último termo da sequên-

cia, supondo grande número de termos, será

praticamente zero ou, como o professor pode-

rá comentar, “tenderá a zero”. Assim, por meio

da ideia de limite, pode-se perguntar aos alunos

como fica a expressão da soma, uma vez que an

é praticamente nulo. O correto será, nesse mo-

mento, trocar “S” por “lim Sn

”

lim Sn

=

an

2 – 3

– 1

2

= 0 – 3

– 1

2

= 6

Esse resultado nos diz que, quanto mais

acrescentarmos termos à soma em questão,

∞

∞

mais nos aproximaremos do valor limite, 6,

sem jamais alcançá-lo.

Assim, podemos escrever que a série infini-

ta 3 + 3

2 +

3

4 +

3

8 +

3

16 + ... = 6, ou seja, o

limite da soma quando n tende ao infinito é 6.

Reproduzindo esse raciocínio na expressão

do cálculo da soma da PG, obtém-se a expres-

são do limite da soma dos infinitos termos de

uma PG com razão no intervalo –1 < q < 1,

que é esta:

lim Sn

= a1

1 – q

A partir dessa discussão, será possível pro-

por aos alunos a resolução das seguintes situa-

ções-problema exemplares.

Problema 1

Por mais que aumentemos o número de

termos na adição

S = 2 + 1

2 +

1

8 +

1

32 + ...,

existirá um valor limite, isto é, um valor do

qual a soma se aproxima cada vez mais, po-

rém nunca o atingindo? Qual é esse valor?

O valor procurado corresponde ao limite da

soma de uma PG de razão 1

4 para o número

de termos tendendo a infinito. Podemos fazer:

lim Sn

= a1

1 – q =

1 – 1

4

2 =

8

3

Portanto, por mais que aumentemos a

quantidade de parcelas da soma, nunca

ultrapassaremos o valor 8

3, embora cada

vez mais nos aproximemos dele.

∞

∞

55


Problema 2

Calcule o resultado limite das seguintes somas:

a) S = –10 + 1 – 0,1 + 0,01 – 0,001 + 0,0001 – ....

–100

11

b) S = 2

5 +

1

5 +

1

10 +

1

20 +

1

40 + ....

4

5

Problema 3

uma bola de borracha cai da altura de 6 m,

bate no solo e sobe até a terça parte da altu-

ra inicial. Em seguida, a bola cai novamente,

bate no solo, inverte o sentido de movimento

e sobe até atingir a terça parte da altura an-

terior. Continuando seu movimento segundo

essas condições, isto é, atingindo, após cada

batida, a terça parte da altura que atingiu

após a batida imediatamente anterior, qual

será a distância vertical total percorrida pela

bola até parar?

6 m

Temos a seguinte soma para as distâncias

percorridas pela bola, durante as descidas:

Sdescida = 6 + 2 + 2

3 +

2

9 + ....

Temos a seguinte soma para as distâncias

percorridas pela bola, durante as subidas:

Ssubida = 2 + 2

3 +

2

9 + ....

Sdescida = lim Sn ∞

= a1

1 – q =

1 – 1

3

2 = 3

Ssubida = 6 + 3 = 9

Portanto, a distância vertical total percorrida

pela bola é igual a Sdescida + Ssubida = 12 m.

Problema 4

Resolva a equação em que o primeiro termo

da igualdade é o limite da soma dos termos

de uma PG infi nita: x

2 +

x

8 +

x

32 + ... = 18

1 – 1

4

x

2 = 18 ⇒ x = 27

Problema 5

(Adaptado do Paradoxo de zenão) uma

corrida será disputada entre Aquiles, grande

atleta grego, e uma tartaruga. Como Aquiles é

10 vezes mais rápido do que a tartaruga, esta

partirá 10 metros à frente de Aquiles, confor-

me representado no esquema abaixo.

10 m

56

c) Calcule a soma das infi nitas distâncias percorridas por Aquiles até chegar ao ponto em que se encontrava a tartaruga a cada vez.

lim Sn

= a1

1 – q =

10

1 – 0,1 =

10

0,9 =

100

9 m.

d) Quantos metros percorrerá Aquiles até alcançar a tartaruga? Ou você acredita que ele não a alcança?

Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer

100

9 m.

Problema 6

Qual é o resultado da raiz

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 ...... ?

A expressão pode ser re-escrita da seguinte

forma:

2 . 2 . 2 . 2 . ... = 212

14

18

116

12

+14

+188

+1

16+ ...

Trata-se de calcular o limite da soma da PG

de primeiro termo igual a 1

2 e razão igual a

1

2, cujo resultado é 1. Assim, o resultado da

raiz é igual a 21 = 2.

Problema 7

uma dívida foi paga, mensalmente, da se-

guinte maneira:

1o mês: metade do valor inicial da dívida;

2o mês: metade do valor restante após o pa-

gamento da parcela anterior;

Quando Aquiles chegou ao ponto em que

a tartaruga estava inicialmente, depois de per-

correr 10 m, a tartaruga, 10 vezes mais lenta,

estava 1 m à frente.

Aquiles, então, correu 1 m, até o ponto em

que a tartaruga estava, mas ela já não estava

mais lá: estava 10 cm à frente, pois correu, no

mesmo intervalo de tempo, 10 vezes menos

que Aquiles, e a décima parte de 1 metro é

10 cm.

Repetindo esse raciocínio para os inter-

valos de tempo seguintes, parece que Aquiles

nunca alcançará a tartaruga, pois ela sempre

terá percorrido 1

10 do que Aquiles percorrer.

Será mesmo verdade que ele nunca alcançará

a tartaruga?

a) Escreva a sequência das distâncias que Aquiles percorre até chegar ao ponto em que a tartaruga estava a cada vez.

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ....

b) A sequência das distâncias é uma PG. Qual é a razão dessa PG?

0,1.

∞

1 m

10 cm

57


3o mês: metade do valor restante após o

pagamento da parcela anterior;

4o mês: metade do valor restante após o

pagamento da parcela anterior;

e assim sucessivamente, até a quitação

total da dívida.

Verifique que a soma das parcelas pagas

corresponde ao valor total da dívida.

Levando-se ao pé da letra a descrição

fornecida no enunciado, a dívida jamais

seria paga, pois sempre restaria um resíduo,

por menor que fosse. Podemos, no entanto,

calcular o limite da soma da PG formada

pelas parcelas, pois esse será o valor limite

da dívida. Chamando de x o valor total

da dívida,

S = x

2 +

x

4 +

x

8 +

x

16 + ... =

a1

1 – q =

1 – 1

2

x

2 =

1

2

x

2= x

Problema 8

Determine a geratriz da dízima 1,777...

O aluno deve ser convidado a decompor a

dízima em uma soma:

1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 +

0,007 + .....

Depois, sugira que escreva essa soma utili-

zando frações para representar os números

envolvidos. Assim,

1,777... = 1 + 0,777.... = 1 + 0,7 + 0,07 +

0,007 + .....= 1 + 7

10 +

7

100 +

7

1000 + ....

Desse modo, os alunos concluirão que as

parcelas 7

10, 7

100, 7

1000, .... formam uma

PG infinita de razão q = 1

10 e primeiro termo

a1 = 7

10.

Assim, aplicando a fórmula do limite da

soma lim Sn = a1

1 – q, obtém-se:

lim Sn = a1

1 – q =

1 – 1

10

7

10 =

9

10

7

10 =

7

9 .

Desse modo, a geratriz de 1,777... será

1 + 7

9 = 16

9.

58


Nesta Situação de Aprendizagem, aborda-

mos dois conceitos matemáticos bem abran-

gentes, que foram os conceitos de continuidade

e de infinito. Isso se deu a partir do trabalho

com situações-problema, cujas resoluções im-

plicavam a soma dos termos de uma PG infi-

nita, com razão real entre –1 e 1. Não existe,

de forma alguma, a pretensão de que esses

conceitos sejam perfeitamente compreendi-

dos nesta etapa de escolarização, na 1a série

Na 1a série do Ensino Médio, os alunos, iniciando seu último ciclo de escolaridade bá-sica, começam a tomar contato com aspectos da Matemática que exigem maior elaboração algébrica e também a mobilização de estra-tégias de raciocínio mais elaboradas. Mesmo que os conteúdos matemáticos apresentados a eles neste momento sejam ainda de pouca di-ficuldade conceitual, o professor deverá estar atento para a presença de alunos que, eventual-mente, não tenham conseguido completar a construção conceitual da maneira projetada. Se processos de recuperação são importantes em qualquer etapa de escolaridade, o são ain-da mais agora, ao iniciar-se o Ensino Médio.

Para os alunos que necessitarem de recupe-

ração, sugerimos, em primeiro lugar, que o tipo

de construção dos conceitos proposto neste

Caderno não seja alterado, sobretudo no que

diz respeito à identificação da regularidade da

sequência e à possibilidade de traduzi-la por

intermédio de uma equação matemática. Se não

se altera a concepção, altera-se, por outro lado,

a forma com que devem ser abordados os con-

ceitos. Assim, sugerimos que o professor:

prepare e aplique listas de problemas com ca- f

racterísticas mais pontuais, que explorem de

forma mais lenta e gradual cada conceito;

recorra ao livro didático adotado e tam- f

bém a outros, selecionando problemas e

agrupando-os de modo a formar listas de

atividades em concordância com a propos-

ta de construção conceitual desenvolvida

neste Caderno;

forme grupos de alunos para a realização f

conjunta das sequências didáticas que ela-

borou e, se possível, convoque alunos com

maior desenvoltura nos conceitos estudados

para auxiliarem os grupos em recuperação.

ORIENtAçÕES PARA RECuPERAçãO

do Ensino Médio. Existe, sim, a intenção de

que possam ter sido apontadas relações que

serão exploradas na 3a série, quando os alunos

estiverem estudando o conjunto de todas as

funções e as taxas de variação.

Com relação aos instrumentos pensados

para a avaliação dos conceitos trabalhados no

período, valem, aqui, as considerações feitas

na Situação de Aprendizagem anterior, a res-

peito da permissão ao uso de calculadoras ou

à informação sobre o resultado das potências

de expoentes elevados.

59


RECuRSOS PARA AMPLIAR A PERSPECtIVA DO PROFESSOR E DO ALuNO PARA A COMPREENSãO DO tEMA

Caso o professor julgue necessário apro-

fundar o estudo de alguns dos temas apre-

sentados neste Caderno, sugerimos a leitura,

dentre outros, dos seguintes artigos da Revista

do Professor de Matemática (RPM), da Socie-

dade Brasileira de Matemática:

ÁVILA, G. “As séries infinitas”. Revista do

Professor de Matemática, n. 30.

CARVALHO, P. C. P. “um problema domés-

tico”. Revista do Professor de Matemática, n. 32.

LIMA, E. L. “uma construção geométrica

e a progressão geométrica”. Revista do Pro-

fessor de Matemática, n. 14.

VALADARES, E. e WAGNER, E. “usando

geometria para somar”. Revista do Professor

de Matemática, n. 39.

60

conSideraçÕeS FinaiS

Neste Caderno, foram apresentadas diver-

sas situações-problema envolvendo as princi-

pais noções de sequências e de progressões

aritméticas e geométricas. Foram sugeridas

atividades que propiciam experiências educa-

tivas diversificadas e que entendemos como

essenciais para o desenvolvimento de compe-

tências relativas a esse tema.

Convém ressaltar que as expectativas de

aprendizagem para o 1o bimestre da 1a série do

Ensino Médio não expressam todos os conteú-

dos referentes ao tema do bimestre, mas apenas

os aspectos considerados fundamentais, isto é,

aqueles que possibilitam ao aluno continuar

aprendendo, nos bimestres seguintes, sem que

seu aproveitamento seja comprometido.

Assim, espera-se que o aluno, ao final do

bimestre, obtenha os termos de uma sequência

a partir da expressão de seu termo geral e de-

termine essa expressão a partir de seus termos.

Além disso, o aluno deverá classificar uma

progressão (aritmética ou geométrica), obter

a expressão do termo geral e calcular a soma

dos termos de uma progressão em situações

diversas. Em relação às progressões geométri-

cas, espera-se, também, que o aluno calcule o

limite da soma de uma PG infinita.

Ressalte-se que a avaliação deve fornecer

informações ao estudante sobre seu desen-

volvimento, a respeito de suas capacidades

em utilizar as noções aprendidas em situa-

ções-problema. Por outro lado, a avaliação

deve fornecer ao professor dados sobre a

aprendizagem de seus alunos, para a ade-

quação das situações apresentadas e a pro-

posição de novas.

O professor deve ter clareza sobre os

critérios da avaliação e as limitações e pos-

sibilidades dos instrumentos que serão uti-

lizados. Os instrumentos de avaliação de-

vem, também, contemplar as explicações,

justificativas e argumentações orais, uma

vez que estas revelam aspectos do raciocínio

que, muitas vezes, não ficam explícitos nas

avaliações escritas.

Para que se tenha uma ideia mais nítida

das múltiplas inter-relações entre os diver-

sos conteúdos aqui tratados, apresentamos,

a seguir, a grade curricular com os conteúdos

de Matemática de todas as séries do Ensino

Médio, destacando-se com um sombreado os

conteúdos de outras séries e de outros bimes-

tres diretamente relacionados com os conteú-

dos apresentados neste Caderno.

61


conTeÚdoS de MaTeMÁTica Por SÉrie/biMeSTre do enSino MÉdio

1a série 2a série 3a série

1o Bim

estr

e

NÚMEROS E SEQuÊNCIAS- Conjuntos numéricos.- Regularidades numéricas: sequências.- Progressões aritméticas, pro-gressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de Matemática Financeira.

tRIGONOMEtRIA- Arcos e ângulos; graus e radia-nos.- Circunferência trigonométrica: seno, cosseno, tangente.- Funções trigonométricas e fenômenos periódicos.- Equações e inequações trigono-métricas.- Adição de arcos.

GEOMEtRIA ANALÍtICA- Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos.- Reta: equação e estudo dos coeficientes, retas paralelas e per-pendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares.- Circunferências e cônicas: pro-priedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

2o Bim

estr

e

FuNçÕES- Relação entre duas grandezas.- Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado.- Função do 1o grau, função do 2o grau; significado e ocorrência em diferentes contextos.

MAtRIzES, DEtERMINAN-tES E SIStEMAS LINEARES- Matrizes: significado como ta-belas, características e operações.- A noção de determinante de uma matriz quadrada.- Resolução e discussão de siste-mas lineares: escalonamento.

EQuAçÕES ALGÉBRICAS, POLINÔMIOS, COMPLEXOS- Equações polinomiais: história, das fórmulas à análise qualitativa.- Relações entre coeficientes e ra-ízes de uma equação polinomial.- Polinômios: identidade, divisão por x - k e redução no grau de uma equação.- Números complexos: significa-do geométrico das operações.

3o Bim

estr

e

FuNçÕES EXPONENCIAL E LOGARÍtMICA- Crescimento exponencial.- Função exponencial: equações e inequações.- Logaritmos: definição, proprie-dades, significado em diferentes contextos.- Função logarítmica: equações e inequações simples.

ANÁLISE COMBINAtÓRIA E PROBABILIDADE- Raciocínio combinatório: prin-cípios multiplicativo e aditivo.- Probabilidade simples.- Arranjos, combinações e per-mutações.- Probabilidades; probabilidade condicional.- triângulo de Pascal e Binômio de Newton.

EStuDO DAS FuNçÕES- Panorama das funções já estu-dadas: principais propriedades.- Gráficos: funções trigonométri-cas, exponenciais, logarítmicas e polinomiais.- Gráficos: análise de sinal, cres-cimento, decrescimento, taxas de variação.- Composição: translações, refle-xões, inversões.

4o Bim

estr

e

GEOMEtRIA-tRIGONOME-tRIA- Razões trigonométricas nos triângulos retângulos.- Polígonos regulares: inscrição, circunscrição; pavimentação superfícies. - Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos co-senos.

GEOMEtRIA MÉtRICA ESPACIAL- Organização do conhecimento geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas.- Prismas e cilindros: proprieda-des, relações métricas.- Pirâmides e cones: proprieda-des, relações métricas.- A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

EStAtÍStICA- Cálculo e interpretação de índices estatísticos.- Medidas de tendência central: média, mediana e moda.- Medidas de dispersão: desvio médio e desvio padrão.- Elementos de amostragem.

O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste bimestre.

matematica - caderno do professor - 1ª série - em - volume 1

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