Fundamrnlos tU Ualrmliea EltmrMar t uma enleado consagrada ao longo dos nos por a fe tm r ao estudante o mais completo contedo d< Matemtica elementar. O i volumes esto organizadas da seguinte forma:

volume | - conjunto*, funes volume 2 logaritmos volume i trigonomefria volume 4 seqncias. matrizes, determinante*.

lis tem volume S rombinatria, probabilidade volun 6 completos. poiinmkps, equaes volume .7 geometria analtica v olumc 8 lltniln. derivadas. noes de Integral v olumc

Fundamentos de Matemtica Elementar

Gelson Iezzi Samuel Hazzan

David Degenszajn

Autor Icjz.Titulo: Funtkmcmo* c

ii mi iii iii iii n iia comercial a financeira descritiva

j

GELSON IEZZISAMUEL HAZZANDAVID MAURO DEGENSZAJN

FUNDAMENTOS DE

MATEMATICA ELEMENTAR 11Matemtica Comercial Matemtica Financeira Estatstica Descritiva

41 8 e x e rc c io s p ro p o s to s co m re s p o s ta

21 5 te s te s d e v e s tib u la re s c o m re s p o s ta

1 e d i o

Sumrio

CAPTULO I MATEMTICA COMERCIAL........................ 1

I. Razes e propores................................................................ 1II. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais.......... 7

III. Porcentagem............................................................................ 12IV. Variao percentual.................................................................. 27V. Taxas de inflao.................................................................... 34

CAPTULO II MATEMTICA FINANCEIRA...................... 40

I. Capital, juro, taxa de juros e montante................................. 40II. Regimes de capitalizao........................................................ 44

III. Juros simples........................................................................... 47IV. Descontos simples................................................................... 51V. Juros compostos...................................................................... 56

VI. Juros compostos com taxa de juros variveis....................... 62VII. Valor atual de um conjunto de capitais................................. 65

VIII. Seqncia uniforme de pagamentos....................................... 68IX. Montante de uma seqncia uniforme de depsitos............. 72

Leitura: Richard Price e a seqncia uniforme de capitais.............. 76

CAPTULO III ESTATSTICA DESCRITIVA.................... 78

I. Introduo................................................................................ 78II. Varivel.................................................................................... 79

III. Tabelas de freqncia............................................................. 82IV. Representao grfica.............................................................. 88V. Grfico de setores..................................................................... 91

VI. Grfico de barras....................................................................... 96VII. Histograma............................................................................... jq4

VIII. Grfico de linhas (poligonal).................................................. 107

IX. Medidas de centralidade e variabilidade................................ 114X. Mdia aritmtica...................................................................... U4

XI. Mdia aritmtica ponderada..................................................... U6XII. Mediana..................................................................................... 126

XIII. Moda.......................................................................................... 129XIV. Varincia................................................................................... 134XV. Desvio padro........................................................................... j 37

XVI. Medidas de centralidade e disperso para dados agrupados....... 149XVII. Outras medidas de separao de dados.................................. 163Leitura: Florence Nightingale e os grficos estatsticos.................. 170Leitura: Jerzy Neyman e os intervalos de confiana....................... 172

APNDICE I MDIA GEOMTRICA................................... 174

APNDICE II MDIA HARMNICA.................................... 176

RESPOSTAS DOS EXERCCIOS.................................................. 179

TESTES DE VESTIBULARES....................................................... 192

RESPOSTAS DOS TESTES............................................................. 228

CAPTULO I

Matemtica Comercial

I. Razes e propores

1. R a z o

S uponham os que num dete rm in ad o ano (denom inado ano 1), as vendas de um a em presa tenham sido de 300 mil reais e que as do ano seguinte (cham ado de ano 2) sejam de 450 mil reais. Poderam os com parar esses dois valores d izendo que sua d ife rena de 150 mil reais. No entanto, a d ife rena no nos o ferece um a idia re la tiva do c re sc im ento das vendas.

O utra form a de e fe tuarm os a com parao poderia ser d iv id indo as vendas do ano 2 pelas vendas do ano 1, isto , calcu lando 450 : 300 que igual a 1,5. A ssim , d izem os que as vendas do ano 2 so um a vez e m eia m aiores que as do ano 1. E ssa ltim a form a de com parao ch a m ada de razo.

D ados dois nm eros a e b, com b * 0 , cham am os de razo de a para b, ou s im plesm ente razo entre a e b, nessa ordem , ao quocien te

k que tam bm pode ser ind icado po r a : b.

O nm ero a cham ado de a n teced en te , e b denom inado conse qente. Q uando a e b forem m edidas de um a m esm a grandeza, elas d e vem ser expressas na m esm a unidade de m edida.

2 . P r o p o r o

A inda com relao m esm a em presa, suponham os que as vendas do ano 3 sejam de 600 m ,l reais e as do ano 4 . 900 m il reais D essa form a, a razao das vendas do ano 4 para as vendas do ano 3 900 600 que e ,gual a 1,5 e portanto , essa razo eqivale razo 450 : 300 que pode ser represen tada com o m ostrado a seguir:

450 = 900 300 600

Essa igualdade de duas razes cham ada de proporo E la n 0de ser lida da seguinte forma: -450 est para 300 assim como 900 est pala X)

D adas as razes e j , sen tena de igualdade = ^

ToScZZZ:Tml Va,reS e d S O denmnad0S = ^

3. Propriedade

C onsiderem os a p roporo COm 6 e d ife ren tes de zero.

Vale a seguin te propriedade:

Se b ~ 7 en tao a ' d = b c ; is to , em toda p ro p o r o o

MATEMTICA c o m e r c ia l

Nessa proporo, os produtos cruzados so a d e b c e ad = bc

_ cJUS,lfiea,lva dessa Propriedade pode ser feita tom ando-se a proporo

b ~ d mul P '^ n d o ,s e mem bro a membro por b d. Assim, teremos:

E , portanto :b d -5- = b d

b

2

a d = b c

MATEMTICA COMERCIAL

Uemplos

?) Um investidor aplicou 20 mil reais sendo 8 mil reais numa caderneta de poupana e 12 mil reais em aes. Calcule a razo enlre:

a) o valor aplicado em aes e o valor total investido.b) o valor aplicado em caderneta de poupana e o valor total investido.c) o valor ap licado em aes e o valor aplicado em caderneta de

poupana.

Resolvendo, temos:

a) A razo entre o valor aplicado em aes e o valor total investido foi:

12000 _ _3 20 000 5

b) A razo entre o valor aplicado em caderneta de poupana e o valor total investido foi:

8 000 _ 2.20000 5

c) A razo entre o valor aplicado em aes e o valor aplicado em caderneta de poupana foi:

12000 _8000 2

) Um atleta A faz um determ inado percurso em 52 minutos, ao passo que um atleta B faz o mesmo percurso em 1 hora e 8 minutos. Qual a razo entre os tempos gastos pelos atletas A e B ?

A razo entre os tempos gastos por A e B vale = 6 0 + 8 i r

Observe que am bos os tempos foram expressos na mesma unidade de tempo (minutos).

Vamos determ inar o valor de x em cada uma das propores:

a) i = 24 5 15

MATEMTICA COMERCIAL

Igualando os produtos cruzados, temos:

120a) 15x = 5 - 2 4 => x = = 8

b) 4 (55 - x) = 18 => 4x = -2 0 2 => x = = 4 2

4?) Uma em presa pretende alocar 200 mil reais entre pesquisa e propaganda, de modo que a razo entre as quantias seja 2 : 3. Quais os valores alocados para pesquisa e propaganda?

Seja x o valor alocado para pesquisa. O valor alocado para propaganda ser 200 x. Portanto, devemos ter:

x = 2_2 0 0 - x 3

Igualando os produtos cruzados, obtemos:3x = 2 (200 x)5x = 400

x = 80

Assim, os valores alocados devem ser 80 mil reais para pesquisa e 120 mil reais para propaganda.

Poderam os tambm ter resolvido o problema cham ando de v o valor alocado para pesquisa e y o valor alocado para propaganda. Os valores de x e y seriam a soluo do sistem a de equaes:

[x + y = 200

| *. = 1 [ y 3

5) Uma pessoa recebe um salrio mensal S. Quanto vale - j de S ?

Devemos dividir S em cinco partes iguais e tom ar duas dessas partes. 2 52

Assim, de 5 vale:

2 - S = l . s5 5

De m odo geral, quando quiserm os calcular uma razo de um va-b

lo r x, devem os m ultiplicar a razo pelo valor, isto , calcular *x.b

4

MATEMTICA COMERCIAL

_1_5

do salrio com a lim en tao e a inda lhe sobram R$ 2 430,00.

6?) G ustavo gasta - j de seu salrio com a p restao do apartam ento .

Qual o salrio de G ustavo?Indicando por S o salrio de Gustavo, terem os a seguinte equao:

s + I s + 2 430 = S5 8

cuja soluo :8S + 5S + 97 200 = 40S

27S = 97 200

s = 97 200 = 3 gQQ 27

Portanto, o salrio de Gustavo R$ 3 600,00.

EXERCCIOS

1. Calcule as razes abaixo, simplificando o resultado, quando possvel:a) de 2 horas para 45 minutos;b) de 300 m para 2 km;c) de 2 m2 para 400 cm2;d) de 5 meses para 2 anos;e) de 5 minutos e 20 segundos para 2 horas e meia.

2. Numa data t o preo de um produto o triplo do que era na data 0.a) Qual a razo entre o preo na data t e o preo na data 0?b) Qual a razo entre o aumento de preo ocorrido entre as duas datas e o preo

na data 0?

3. Uma pessoa comprou uma ao e a vendeu um ms depois pela metade do preo que pagou na compra.a) Qual a razo entre os preos de venda e de compra?b) Qual a razo entre a diferena dos preos de venda e compra e o preo de

compra?

5

MATEMTICA COMERCIAL

4. Um carro percorre 180 km gastando 9 litros de gasolina. Qual a razo entre o nmero de quilmetros percorridos e o nmero de litros gastos de gasolina?

5. (UF-GO) Antnio possui um carro a lcool que consome 1 litro de combustvel a cada 8 km percorridos, enquanto Jos possui um carro a gasolina cujo consumo de 12 km por litro. Sabendo-se que o litro de lcool custa R$ 1,14 e o litro de gasolina R$ 1,60, e que Jos e Antnio dispem da mesma quantidade de dinheiro, quantos quilmetros ir percorrer Jos, tendo em vista que Antnio percorreu 320 km?

6. Calcule o valor de x em cada uma das propores abaixo:v x _ 5 4 _ 5 . 1 _ 3x

6 ~2 b ) 7 T7 C ) T ~ T

7. Determine o valor de x na proporo - = .4 5

8. Obtenha o valor de m na proporo ------ r2 + 3 -

9. Certo doce utiliza 3 copos de leite para a produo de 80 unidades. Se a razo entre o nmero de doces produzidos e o nmero de copos de leite utilizados for constante, quantos copos de leite sero necessrios para se produzirem 720 doces?

10. Um filantropo destina RS 350 000,00 para serem doados a dois hospitais, A e B. A razo entre a quantia recebida por A c a recebida por B igual a 4 : 3. Quanto recebeu cada hospital?

11. Dois scios resolvem repartir seu lucro de R$ 80 000,00 na razo 2 : 3. Quanto caber a cada um?

12. Numa festa h moas e rapazes num total de 300 pessoas. A razo do nmerog

de moas para o de rapazes . Qual o nmero de rapazes?

13. Uma empresa deseja alocar R$ 200 000,00 entre propaganda e pesquisa. A ra

zo entre a verba destinada propaganda e a destinada pesquisa y . Quan

to dever ser destinado propaganda?

14. Quanto vale:5 i

* 1MATEMTICA COMERCIAL

15. Uma famlia gasta -j- de sua renda mensal e poupa R$ 800.00. Qual o valor

da renda mensal?

16. (Unicamp-SP) Dois estudantes, A e B, receberam Bolsas de Iniciao Cientfi-4

ca de mesmo valor. No final do ms, o estudante A havia gasto do total de

sua Bolsa, o estudante B havia gasto -j- do total de sua Bolsa, sendo que o6

estudante A ficou com R$ 8,00 a mais que o estudante B.a) Qual era o valor da Bolsa?b) Quantos reais economizou cada um dos estudantes naquele ms?

17. (Unisinos-RS) Colocando-se 27 litros de gasolina no tanque de um carro, o

ponteiro do marcador, que indicava y do tanque, passa a indicar Qual a

capacidade total desse tanque de gasolina?

18. (U. F. Viosa-MG) Suponha que os 169 milhes de reais desviados na construo do TRT de So Paulo sejam reavidos, e que o Governo Federal decida us-los para investimento nas reas de sade, educao e segurana pblica, fazendo a seguinte distribuio: a rea de educao receberia 2 vezes o que

receberia a rea de segurana pblica; a rea de sade receberia y do que

receberia a rea de educao. Assim sendo, quanto receberia cada rea?

II. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

4. Grandezas diretamente proporcionais

U m a pequena loja vende certo tipo de bolsa po r R$ 40 .00 a un idade. C ham ando de .t a quan tidade vendida e v a receita (em reais) prove- m em e da venda dessas bolsas, terem os a seguin te correspondncia-

X 1 2 3 4 5 ny 40 80 120 160 200 40n

7

O bserve que, quando o va lo r de x dobra , tam bm dobra o de _y; quando trip lica o valor de x, tam bm trip lica o de y, e assim por d iante. Em conseqncia disso , a razo en tre cada valor de y e o seu co rre s pondente x vale 40; e a razo en tre cada valo r d e i e o corresponden te y

tam bm constante e vale . N esse caso , d izem os que as grandezas 40

expressas po r x e y so diretam ente proporcionais.De m odo geral, d izem os que duas grandezas so diretam ente p ro

porciona is quando a razo en tre a m edida y de um a e a corresponden tey

x da ou tra (x * 0 ) for constan te e d ife ren te de zero , is to , = k, emx

que k um a constante d ife ren te de zero. A razo en tre cada valor de x

e seu corresponden te y tam bm constan te e vale .k

5. Grandezas inversamente proporcionais

C onsiderem os o segu in te problem a:

N um a estrada, a d is tncia en tre duas c idades 240 km. Se um carro percorrer essa estrada a um a velocidade m dia x (em km /h), o tem po corresponden te para ir de um a cidade ou tra ser v (em horas). T erem os a seguinte correspondncia:

MATEMTICA COMERCIAL

X 10 20 30 40 50 V

y 24 12 8 6 4,8240

v

O bservem os que, se a velocidade dobra, o tem po de viagem se re duz m etade; se a velocidade triplica, o tem po de viagem se reduz tera parte e assim por diante. C onseqentem ente, o produto de cada valor de x pelo correspondente y constante e vale 240. D izem os, ento, que as grandezas expressas por x e y so inversam ente proporcionais.

De m odo gera l, d izem o s que duas g ran d ezas so inversam en te proporciona is quando o p rodu to da m edida > de um a e a co rresponden te x da outra for constante e d ife ren te de zero, isto , y x = k, em que k um a constan te d iferen te de zero.

8

MATEMTICA COMERCIAL

Se .* e .y fo rem inversam en te p ro p o rc io n a is , y ser d ire tam en tey

proporcional ao inverso de x, pois - y = k .

Exemplos

1) Trs scios A, B e C resolveram abrir uma pizzaria. O prim eiro investiu 30 m il reais, o segundo investiu 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. A ps 1 ano de funcionam ento , a p izzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribudo aos scios de forma que a quantia recebida seja d iretam ente p roporcional ao valor investido, quanto recebeu cada um?

Indicando por a, h e c as quantias (em m ilhares de reais) recebidas por A, B e C, respectivam ente, devemos ter:

a + b + c = 24 (I)

Assim:

a _ _b_ _ _c_ 30 40 ~ 50

a = 30k (II)

b = 40k (III)

c = 50k (IV)

Substituindo em (I), temos:

30k + 40k + 5()k = 24

120k = 24 => k = - 5

Logo:

Em (II): a = 30 y = 6

Em (III): b = 40 1 = 8

Em (IV): c = 50- -!- = 105

Assim, A recebeu R$ 6 000,00, B recebeu R$ 8 000,00 e C recebeu R$ 10 000,00.

9

2) Trs mquinas levam 2 horas para produzir um lote de 1 000 peas. Seo nm ero de mquinas for inversam ente proporcional ao nmero de horas para produzir o mesmo lote de 1 000 peas, quanto tempo ser necessrio para se produzir o lote com 4 mquinas?

Seja l o nmero de horas para se produzir o lote com 4 mquinas. Como o nmero de mquinas e o tem po de produo so inversam ente proporcionais, teremos:

t 4 = (2) (3) e, portanto, t = 1,5 hora

MATEMTICA COMERCIAL

EXERCCIOS

19. Na tabela abaixo as grandezas x e y so diretamente proporcionais. Obtenha os valores de m e p.

x 4 m 7y 2 7 P

20. As grandezas x e y apresentadas na tabela so inversamente proporcionais. Obtenha os valores de s e p.

21. A tabela a seguir fornece o tempo de assinatura de uma revista e o correspondente preo. Obtenha os valores de a . b e c sabendo que as grandezas so di-

retamente proporcionais.

Tempo de assinatura (em meses) Preo (em reais)

6 30,0012 ab 90,00

24 c

22. A renda de um profissional liberal diretamente proporcional ao nmero de horas trabalhadas. Se ele trabalha 20 horas, sua renda R$ 600,00. Qual ser sua renda se ele trabalhar 65 horas?

MATEMTICA COMERCIAL

23 O nmero de litros de gasolina que um carro consome na estrada diretamente proporcional ao nmero de quilmetros percorridos. Se ele consome 5 litros para percorrer 74 quilmetros, quanto consumir para percorrer 380 quilmetros?

2 4 Augusto e Csar investiram R$ 12 000,00 e R$ 15 000.00, respectivamente, num negcio que proporcionou um lucro de R$ 7 500,00. Quanto coube a cada um, se o lucro recebido for diretamente proporcional ao valor investido?

25. Dividir a quantia de R$ 22 000,00 em 3 partes diretamente proporcionais aos nmeros 2, 4 e 5.

26. Trs scios, A, B e C, investiram R$ 80 000,00, R$ 90 000,00 e R$ 120 000,00. respectivamente, na construo de uma casa. A casa foi vendida por R$ 360 000,00. Quanto coube a cada scio, se cada um recebeu uma quantia diretamente proporcional ao valor que investiu?

27.- O lucro de uma empresa foi dividido entre seus 3 scios, A, B e C, em partes diretamente proporcionais a 3, 2 e 5, respectivamente. Sabendo que A recebeu R$ 50 000,00 a mais que B, obtenha quanto recebeu cada scio.

28. Um escritrio leva 60 horas para ser pintado por 4 pintores. Se o nmero de horas trabalhadas para pintar o escritrio for inversamente proporcional ao nmero de pintores, em quantas horas 5 pintores pintaro o escritrio?

29. Quatro pedreiros gastam 10,5 dias para construir um muro. Se o nmero de pedreiros for inversamente proporcional ao nmero de dias gastos na construo do muro, em quantos dias sete pedreiros construiro o muro?

30. Mantida a temperatura constante de um gs, a sua presso P e o seu volume V so inversamente proporcionais (Lei de Boyle). Se a presso sofrer um acrs

cimo de y , qual a correspondente diminuio do volume?

31. Duas grandezas x e y so diretamente proporcionais. Quando x = 4, temos y = 20. Qual o valor de x para y = 18?

32. Duas grandezas x e y so inversamente proporcionais. Quando x = 3, temos y = 12. Qual o valor de x para y = 18?

^3. A grandeza y diretamente proporcional ao quadrado de x. Quando x = 4, temos y = io. Qual o valor de y para x = 5?

34. A grandeza y inversamente proporcional ao cubo de x. Quando x = 4, temos y = 100. Qual o valor de y para x = 5?

MATEMTICA COMERCIAL

35. (UF-GO) Diz-se que duas grandezas positivas, x e y, so diretamente propor cionais, quando existe uma funo linear f(x) = k x, com k > 0, chamada constante de proporcionalidade, tal que y = f(x) para todo x > 0. De modo anlogo, diz-se que x e y so inversamente proporcionais, quando existe uma

funo g(x) = y , com c > 0, tal que y = g(x), para todo x > 0. De acordo

com essas definies, julgue os itens abaixo.a) Se y = g,(x) e z = g2(y) e os pares de grandezas x ,y e y, z so ambos inver

samente proporcionais, ento . vez so grandezas diretamente proporcionais.b) Se y = f(x), com x e y sendo grandezas diretamente proporcionais, e w = g(z).

com z e w sendo grandezas inversamente proporcionais, ento o quociente w

e o produto x z formam um par de grandezas diretamente proporcionais.c) Se .r,, y, e x2, y2 so pares de grandezas diretamente proporcionais, com a

mesma constante de proporcionalidade, ento x,y, = x,y2.d) A rea a e o lado l de um hexgono regular (a = f(C), para todo ? > 0) so

grandezas diretamente proporcionais.

III. Porcentagem

C onsiderem os os valores do Produ to In terno B ruto (P IB ) de dois pases, A e B, em bilhes de dlares, em do is anos consecu tivos que cham arem os de 0 e 1.

Pas PIB (ano 0) PIB (ano 1)C resc im en to do PIB

(e n tre 0 e 1)

A 400 432 32

B 600 642 42

V erificam os que a razo en tre o cresc im en to do PIB e o PIB do ano 0 vale:

MATEMTICA COMERCIAL

U m a das m aneiras de com pararm os essas razes consiste em ex pressarm os am bas com o m esm o denom inador, po r exem plo. 100. Assim:

a . = _ _ => x = 8 ; portanto , a razo vale ., P a , s A ' 400 100 100

n r. d. = => x = 7 ; portanto , a razo vale ------ .. Pais tf. ^ ,o o 100

D essa form a, conclu m os que o pas A teve um a razo (ou taxa) m aior de crescim ento do PIB.

Essas razes de denom inador 100 so cham adas de razes cen te- sim ais, taxas percen tua is ou s im plesm ente de porcentagens.

As porcentagens costum am ser indicadas pelo num erador seguido do sm bolo % (l-se: po r cen to ). A ssim , a taxa percentual de c resc imento do PIB do pas A foi de 8% e a do pas B de 1% .

As porcentagens tam bm costum am ser expressas sob a form a d e cim al, obtida d iv id indo-se o num erador por 100. E ssa a m aneira hab itual quando se u tiliza um a calculadora . Por exem plo:

3% = = 0 ,03 32% = = 0,32100 100

27,5% = = 0,275 250% = = 2,5100 100

A porcentagem pode ser u tilizada quando querem os exp ressar a lguma quantidade com o porcen tagem de um valor. Suponham os que um produto que custava R$ 80 ,00 foi vendido com um descon to de 5% . O desconto de 5% sobre 80 corresponde d iv iso do preo por 100, to mando 5 partes, is to :

5% de 80 5 = 80 = 4 100 100

De modo geral, calcular a% de x , corresponde a multiplicar por x.

E xem plos

M Converta as razes abaixo para a forma decimal, arredondando para quatro casas decimais, quando for o caso, e em seguida coloque-as na forma de porcentagem. Se possvel, use uma calculadora.

a > | b ) A c) i 5 d 4 50 18 42

13

MATEMTICA COMERCIAL

Convertendo as razes, temos:

a) = 0 ,7 5 = = 7 5 %4 100

b) = 0,16 = = 16% 50 100

c) = 2 , 5 = = 2 5 0 %18 100

d) = 0,3333 = = 33,33%42 100

2) Um investidor comprou um terreno por R$ 15 000,00 e vendeu-o, um ano depois, por R$ 18 750,00. Qual o lucro, em porcentagem , do preo de custo?Temos o lucro (em reais): 18 750 15 000 = 3 750

Assim, o lucro (em porcentagem ) do preo de custo ser:

3750 = 0 ,2 5 = 25%15 000

3) Em um curso de Biologia, a razo entre o nmero de homens e o de

mulheres .5

Em relao ao total de alunos, qual a porcentagem de homens?Seja x o nmero de homens e y o de mulheres:

HPara saber o valor de - (II), calculam os (I):

x + y

x = = = 0,4y5

Substituindo em (II), obtemos:

x 0,4y _ 0,4yx + y 0,4y + y l,4y

Ento, a porcentagem de homens 28,57%.

= 0,2857 = 28,57%

MATEMTICA COMERCIAL

Uma corrente de ouro cujo preo de tabela R$ 360.00 vendida com um desconto de 15%. Qual o preo aps sofrer o desconto?

O desconto (em reais) :

- - -360 = (0 ,15)-360 = 54 100

Ento, o preo, em reais, aps o desconto :360 - 54 = 306

Uma geladeira vendida por R$ 1 200,00. Se seu preo sofrer um acrscimo igual a 8% desse preo, quanto passar a custar?O preo original, em reais, : 1 200.

Calculando o acrscim o, temos:

I 200 = (0,08) 1 200 = 96 100

Dessa forma, o preo (em reais) aps o acrscim o ser:I 200 + 96 = 1 296

Um funcionrio de uma em presa cujo salrio m ensal vale S paga uma prestao P do financiam ento de seu apartam ento. Se o seu salrio sofrer um acrscim o de 10% e a prestao do apartam ento sofrer um acrscimo de 12%:a) qual o valor do salrio reajustado?b) qual o valor da prestao reajustada?

Resolvendo, temos:a) Acrscimo salarial:

- S = 0 .1 0 -S 100

Assim, o salrio reajustado :

S + 0,10 S = 1,10 S

b) Acrscim o na prestao:

12 P = 0,12 P 100

A prestao reajustada :P + 0.12 P = 1.12 P

MATEMTICA COMERCIAL

7?) U m a televiso foi vend ida com um descon to de RS 42 ,00 , sendo esse valor igual a 3,5% do preo original. Qual o preo da televiso aps o desconto?Seja x o preo original da televiso.O desconto :

0,035x = 42

Portanto, o preo original da TV (em reais) :

O preo da televiso aps o desconto (em reais) ser:

1 200 - 42 = 1 158

8 -) Quando uma empresa produz determinado produto, ela incorre em dois tipos de custos: o custo fixo , que no depende da quantidade produzida (como, por exemplo, o aluguel) e o custo varivel, que depende da quan tidade produzida. Geralmente, o custo varivel dado por c x, em que c o custo por unidade (depende, entre outros, do custo da matria-prima e da mo-de-obra) e jc a quantidade produzida.

Sendo p o preo de venda, cham am os de margem de contribuio por unidade diferena p c. A margem de contribuio unitria m ultiplicada pela quantidade produzida e vendida serve para cobrir o custo fixo e proporcionar lucro.

A margem de contribuio por unidade pode ser expressa como porcentagem do preo de custo ou como porcentagem do preo de venda.

Suponhamos p = 120 e c = 90, expressos em reais. Ento:

A margem de contribuio vale:

120 - 90 = 30

A margem de contribuio como porcentagem do preo de custo :

= 0 ,3 3 3 3 = 33,33%90

A margem de contribuio como porcentagem do preo de venda :

MATEMTICA COMERCIAL

f ) Num determ inado pas. o imposto de renda (IR) descontado dos salrios mensais da seguinte forma:

Para salrios at $ 1 000,00 o IR zero.

A parte do salrio entre $ 1 000,00 e $ 3 000,00 tributada em 10%.

A parte do salrio que excede $ 3 000,00 tributada em 20%.

Calcule o valor do im posto de renda de quem ganha:

a) $ 800,00;

b) $ 1 800,00;

c) $ 4 500,00;

d) C ham ando de * a renda e de y o im posto de renda, expresse y em funo de x.

Assim, temos:

a) O IR vale 0, pois o salrio inferior a $ 1 000,00.

b) O IR calculado sobre $ 800,00, que a parte do salrio entre $ 1 000,00 e $ 3 000,00.

Portanto, IR = (0,10) 800,00 = 80,00.

c) A parte do sa l rio en tre $ 1 000 ,00 e $ 3 000 ,00 e que vale $ 2 000,00 tributada em 10% e vale portanto

(0 ,10) - 2 000,00 = 200,00 .

A parte do salrio que excede $ 3 000,00 e que vale $ 1 500.00 tributada em 20 % e vale portanto

(0,20) 1 500,00 = 300,00.

Assim, o IR de quem ganha $ 4 500,00 vale

$ 200,00 + $ 300,00 = $ 500,00.

d) Se x 1 000, ento y = 0.

Se 1 000 < x ss 3 000, ento

y = (0 , 10) (x - i ooo) = 0,10 x - oo.

Se x > 3 000 , ento

y = (0,10) 2 000 + (0,20) (x - 3 000) = 0,20 x - 400.

17

Esses resultados geralm ente so indicados pela tabela seguinte:

MATEMTICA COMERCIAL

Salrio A lquo ta de IR Parce la a d ed u zir

A t $ 1 000,00 Isento

A cim a de $ 1 000,00 at $ 3 000,00

10% $ 100,00

A cim a de $ 3 000,00 20% $ 400,00

EXERCCIOS

36. Calcule as razes a seguir com quatro casas decimais e, em seguida, expresse-as em forma de porcentagem. (Se possvel, use uma calculadora.)

- I >?

MATEMTICA COMERCIAL

4 0 . (UF-PE) Em 1995 o Banco do Brasil (BB) renegociou a dvida de R$ 7,1 bilhes dos agricultores, que foi dividida em parcelas a serem pagas at o final de cada ano. O valor total da primeira parcela era R$ 700 milhes, mas somente metade foi pago; da segunda parcela (totalizando R$ 1.1 bilho) vencida em 1997 somente foi pago 26% do devido. Em 1997 o lucro lquido do BB foi de R$ 646.4 milhes. Quantas vezes a dvida restante dos agricultores no incio de 1998 vale o lucro lquido do BB em 1997?

41. (UF-CE) Manuel compra 100 caixas de laranjas por R$ 2 000.00. Havendo um aumento de 25% no preo de cada caixa, quantas caixas ele poder comprar com a mesma quantia?

42. (UF-PA) Um terreno retangular, cujas dimenses so 400 m e 500 m, ser usado para abrigar famlias remanejadas da rea de macrodrenagem. Pretende- se fazer lotes de 20 m X 20 m para cada famlia e usar uma rea equivalente a 20% da rea total para um complexo de lazer e para circulao. Quantas famlias podem ser alocadas?

43. (UF-GO) O sr. Manuel contratou um advogado para receber uma dvida cujo valor era de R$ 10 000,00. Por meio de um acordo com o devedor, o advogado conseguiu receber 90% do total da dvida. Supondo que o sr. Manuel pagou ao advogado 15% do total recebido, quanto dinheiro lhe restou?

44. (U. F. Lavras-MG) Desde janeiro de 1994 que no se paga determinado imposto por um salrio anual de at R$ 10 000,00. Acima desse valor, paga-se uma taxa de 17,5% do valor recebido que exceda os R$ 10 000,00. Em janeiro de 1994, o dlar valia R$ 1,00. Considere que para o ano de 2000, o valor seja de R$ 1,60.a) Calcule o valor, em reais, do imposto a ser pago no ano de 2000, por um

salrio anual de 10 000 dlares.b) Calcule o valor, em dlares, de um salrio anual no ano de 2000, no sujeito

ao imposto.

45. (UF-CE) Um vendedor recebe a ttulo de rendimento mensal um valor fixo de R$ 160,00 mais um adicional de 2% das vendas por ele efetuadas no ms. Com base nisso, responda:a) Qual o rendimento desse vendedor em um ms no qual o total de vendas

feitas por ele foi de R$ 8 350,00?b) Qual a funo que expressa o valor do seu rendimento mensal em funo

de sua venda mensal?

(UF-GO) O jovem Israel trabalha em uma sapataria. Ele gasta do seu sal-

n o - no pagamento do aluguel da pequena casa onde mora; na

compra de vale-transporte; 15% na prestao do aparelho de TV que ade r i u ; e ainda lhe sobram R$ 84,00. Qual o salrio de Israel?

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MATEMTICA COMERCIAL

47. (UF-GO) O sr. Jos gasta hoje 25% do seu salrio no pagamento da prestao de sua casa. Se a prestao for reajustada em 26%, e o salrio somente em 5%, qual ser a porcentagem do salrio que ele dever gastar no pagamento da prestao, aps os reajustes?

48. (UFF-RJ) A confeitaria Cara Melada conhecida por suas famosas balas de leite, vendidas em pacotes. No Natal, esta confeitaria fez a seguinte promoo: colocou, em cada pacote, 20% a mais de balas e aumentou em 8% o preo do pacote. Determine a variao, em porcentagem, que essa promoo acarretou no preo de cada bala do pacote.

49. Um casaco cujo preo original era de R$ 250,00 sofreu um desconto de 15% em funo de uma liquidao. Qual o preo aps o desconto?

50. (EEM-SP) Uma lanchonete vende cada quibe por R$ 0,19 e um copo com 300 mL de refrigerante por RS 1,00. Com o objetivo de estimular as vendas, a empresa pretende vender um combinado constitudo de 10 quibes e um copo com 480 mL de refrigerante. Qual deve ser o preo a ser cobrado, se a lanchonete deseja dar 10% de desconto?

51. Um fogo que custava RS 500,00 sofreu um aumento de 8%. Em razo da falta de demanda, o vendedor resolveu oferecer um desconto de 8% sobre o preo com acrscimo.Qual o preo final do fogo, aps o acrscimo seguido de desconto?

52. (U. F. Uberlndia-MG) No ms de agosto, Pedro observou que o valor da sua conta de energia eltrica foi 50% superior ao valor da sua conta de gua. Em setembro, tanto o consumo de energia eltrica, quanto o de gua. na residncia de Pedro, foram iguais aos consumos do ms de agosto. Po rm, como as tarifas de gua e energia eltrica foram reajustadas em 10% e 20%, respectivamente, Pedro desembolsou R$ 20,00 a mais do que em agosto para quitar as duas contas. Quanto Pedro pagou de energia eltrica no ms de setembro?

53. Um aparelho de som que custava R$ 700,00 sofreu um acrscimo de 6% sobre o preo original.a) Qual o novo preo do aparelho de som?b) Suponhamos um desconto de 3% sobre o novo preo. Qual ser o preo do

aparelho com esse desconto?c) Se o preo de R$ 700,00 sofresse um acrscimo de 120%, qual seria o novo

preo?

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MATEMTICA COMERCIAL

5 4 ( V u n e s p - S P ) Um determinado carro popular custa numa revendedora r j 11 500,00 vista. Numa promoo de Natal, realizada no ms de dezembro de 1998, com R$ 5 000.00 de entrada, um comprador tem o valor restante do carro facilitado pela revendedora em 36 prestaes mensais, sendo que as p r e s t a e s num mesmo ano so iguais e que a cada ano a prestao sofre um aumento de 10%, relativamente do ano anterior. Sabendo-se que a primeira prestao, a ser paga no ms de janeiro de 1999, R$ 200.00, determine:a) quanto o comprador desembolsar ao final de cada ano, excluindo-se a entrada;b) qual o valor total a ser desembolsado pelo comprador ao findar seus pagamentos.

55. (UF-RN) Dois supermercados (X e Y) vendem leite em p, de uma mesma marca, ao preo de R$ 4,00 a lata. Numa promoo, o supermercado X oferece 4 latas pelo preo de 3, e o supermercado Y d um desconto de 20% em cada lata adquirida.Responda, justificando, em qual dessas promoes voc economizaria mais, se comprasse:a) 12 latas b) 11 latas

56. (UF-AL) Analise as afirmativas abaixo:1) 12% de R$ 200,00 correspondem a R$ 2,40.2) Obtm-se 30% de uma quantia multiplicando-a por 0,3.3) Trs pessoas correspondem a 6% de um grupo de 50 pessoas.

4) y = 4%

5) Um preo X que sofre um desconto de 20% passa a ser 0.8 X

57. Calcule o valor de x:a) 30% de ^ = 24 b) 25% de x = 120 c) 180% de * = 540

58. (UF-RJ)A comisso de um corretor de imveis igual a 5% do valor de cada venda efetuada.a) Um apartamento foi vendido por R$ 62 400,00. Determine a comisso re

cebida pelo corretor.b) Um proprietrio recebe, pela venda de uma casa, R$ 79 800,00, j descon

tada a comisso do corretor. Determine o valor da comisso.

59. Um aparelho de fax passou a custar R$ 360.00 aps seu preo original sofrer um desconto de 10%. Qual o preo originai do aparelho?

(UF-CE) O preo de um aparelho eltrico com um desconto de 40% igual a 36,00. Calcule, em reais, o preo desse aparelho eltrico, sem esse desconto.

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MATEMTICA COMERCIAL

61. (Unicamp-SP) Uma pessoa possui a quantia de R$ 7 560,00 para comprar um terreno, cujo preo de R$ 15,00 por metro quadrado. Considerando que os custos para obter a documentao do imvel oneram o comprador em 5% do preo do terreno, pergunta-se:a) Qual o custo final de cada m2 do terreno?b) Qual a rea mxima que a pessoa pode adquirir com o dinheiro que ela possui?

62. Numa conta telefnica, em So Paulo, incide o Imposto sobre Circulao de Mercadorias e Servios (ICMS) que igual a 18% do valor total a ser pago. Um consuriiidor recebeu uma conta a pagar de R$ 165,00.a) Qual o valor da conta antes da incidncia do ICMS?b) Se a alquota de 18% incidisse sobre o valor obtido no item a, qual o valor

da conta a ser paga?

63. (UnB-DF) Em uma cidade, h 10 000 pessoas aptas para o mercado de trabalho. No momento, apenas 7 000 esto empregadas. A cada ano, 10% das que esto empregadas perdem o emprego, enquanto 60% das desempregadas conseguem se empregar. Considerando que o nmero de pessoas aptas para o mercado de trabalho permanea o mesmo, calcule o percentual de pessoas empregadas da qui a 2 anos. Despreze a parte fracionria de seu resultado, caso exista.

64. (Unicamp-SP) Segundo dados do Ministrio do Trabalho e Emprego (MTE). no perodo de julho de 2000 a junho de 2001, houve dez milhes, cento e noventa e cinco mil, seiscentos e setenta e uma admisses ao mercado formal de trabalho no Brasil, e os desligamentos somaram nove milhes, quinhentos e cinqenta e quatro mil, cento e noventa e nove. Pergunta-se:a) Quantos novos empregos formais foram criados durante o perodo referido?b) Sabendo-se que esse nmero de novos empregos resultou em um acrscimo

de 3% no nmero de pessoas formalmente empregadas em julho de 2000. qual o nmero de pessoas formalmente empregadas em junho de 2001?

65. (Vunesp-SP) Uma empresa agropecuria desenvolveu uma mistura, composta de fcula de batata e farinha, para substituir a farinha de trigo comum. O preo da mistura 10% inferior ao da farinha de trigo comum. Uma padaria fabrica e vende 5 000 pes por dia. Admitindo-se que o kg da farinha comum custa R$ 1,00 e que com 1 kg de farinha ou da nova mistura a padaria fabrica 50 pes, determine:a) a economia, em reais, obtida em um dia, se a padaria usar a mistura em vez

de farinha de trigo comum;b) o nmero inteiro mximo de quilos da nova mistura que poderiam ser com

prados com a economia obtida em um dia e, com esse nmero de quilos, quantos pes a mais poderiam ser fabricados por dia.

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MATEMTICA COMERCIAL

65 (UnB-DF) Duas empresas de txi, X e K, praticam regularmente a mesma tarifa No entanto, com o intuito de atrair mais passageiros, a empresa X decide oferecer um desconto de 50% em todas as suas corridas, e a empresa Y, descontos de 30%. Com base nessas informaes e considerando o perodo de vigncia dos descontos, julgue os itens a seguir:1) Se um passageiro pagou R$ 8,00 por uma corrida em um txi da empresa K,

ento, na tarifa sem desconto, a corrida teria custado menos de R$ 11,00.2) Ao utilizar um txi da empresa K, um passageiro paga 20% a mais do que

pagaria pela mesma corrida, se utilizasse a empresa X.3) Considere que, no ms de fevereiro, com 20 dias teis, uma pessoa fez per

cursos de ida e volta ao trabalho, todos os dias, nos txis da empresa Y, e, no fmal do ms, pagou R$ 80,00. Nessas condies, para fazer os mesmos percursos de ida e volta ao trabalho, no ms seguinte, com 24 dias teis, nos txis da empresa X, a pessoa pagaria mais de R$ 70,00.

67. (UnB-DF, adaptado) Em uma empresa, o salrio mensal de um estagirio deR$ 400,00, o de um tcnico o dobro desse valor e o de cada gerente igual a R$ 2 800,00. O valor total da folha de pagamento de pessoal dessa empresa de R$ 20 800,00 mensais e o salrio mdio mensal de R$ 520,00. A direo da empresa decide, por questes de economia, reduzir a folha de pagamento mensal em 2%, distribudos da seguinte maneira: uma reduo de 1 % nos salrios dos estagirios, de 3% nos dos tcnicos e de 5% nos dos gerentes. Sendo E a quantidade deestagirios, T a de tcnicos e G a de gerentes, julgue os itens a seguir:1) E + T + G = 522) 396 E + 776 T + 2 660 G = 20 384

68. Calcule:a) Quanto vale 20% de 30% de um valor?b) Quanto vale 10% de 50% de um valor?c) Quanto vale 160% de 300% de um valor?

69. Em uma pesquisa de opinio foram ouvidas x pessoas, dentre as quais 63% eram mulheres. Entre os homens, 45% tinham nvel universitrio. Qual , em funo de x, o nmero de homens entrevistados sem formao universitria?

70. A primeira fase de um vestibular foi feita por 48 000 candidatos, dos quais% no passaram para a fase seguinte. Entre os que fizeram a segunda fase. % no foram aprovados. Quantos candidatos conseguiram ingressar na fa

culdade por meio desse exame?

um exame de vestibular 30% dos candidatos eram da rea de Cincias lais. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Administrao. Indique

a Porcentagem, relativa ao total de candidatos, dos que optaram por Administrao.

MATEMTICA COMERCIAL

72. Calcule e expresse o resultado em forma de porcentagem:a) (10%)2 b) (20%)2 c) (10%) (20%) d) (120%) (350%)

73. (FGV-SP) Chama-se margem de contribuio unitria diferena entre o preo unitrio de venda e o custo unitrio de um produto.Se o preo unitrio de venda p e o custo unitrio c:a) Qual o valor de p em funo de c, sabendo-se que a margem de contribui

o unitria 10% do preo de venda?b) Se a margem de contribuio unitria for 30% do preo de venda, qual a

margem de contribuio unitria, em porcentagem, do custo unitrio?

74. Calcule o valor solicitado em cada caso:a) A margem de contribuio unitria igual a 18% do preo de venda de uni

produto. Qual a margem como porcentagem do custo por unidade?b) A margem de contribuio unitria igual a 140% do custo por unidade.

Qual a margem como porcentagem do preo de venda?

75. De acordo com uma reportagem publicada na revista Veja So Paulo, cerca de 100 unidades de churrasco grego so vendidas diariamente, em mdia, em cada barraca. A poro de churrasco mais um copo de suco custam apenas RS 0.70. O custo do referido produto aparece discriminado na tabela ao lado.

a) Qual a margem de contribuio por unidade do produto?b) Se o produtor trabalhar 25 dias por ms e tiver um custo fixo mensal de

R$ 40,00, qual ser seu lucro nesse perodo?

76. (Ibmec-SP. adaptado) Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes e justifique sua resposta.

* a) O Produto Nacional Bruto (PNB) de um pas cresceu 30% em um ano, enquanto no mesmo perodo sua populao cresceu 20%. Ento, para esse mesmo perodo, o crescimento do PNB per capita (PNB dividido pela populao) foi de 10%.

b) Carlos vendeu um apartamento com um lucro de 20% em relao ao preo de venda, ento seu lucro em relao ao custo foi de 25%.

77. (UF-GO) Um comerciante que compra e revende coco adquire cada unidade do produto por RS 0,34. Esse comerciante tem uma despesa, na comercializao, que representa, em mdia, por unidade, 10% do preo final de venda ao consumidor. O lucro em cada unidade de 50% do custo total (preo de compra mais custo de comercializao). Com base no exposto, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmaes a seguir:1) O preo de venda, de cada unidade, ao consumidor maior que R$ 0,70.

Po R$ 0,11Carne R$ 0,20

Legumes RS 0,03Suco R$ 0,07Total R$ 0,41

Fonte: Veja So Paulo, 11/6/2003.

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MATEMTICA COMERCIAL

2) Se o comerciante faturou R$ 600,00 com a venda dos cocos, seu lucro foi de R$ 200,00.

3) Se o comerciante vender em determinado dia o dobro de unidades do dia anterior, seu lucro ser o dobro do lucro do dia anterior.

4) Para que o comerciante tenha lucro de R$ 500,00, ele dever vender 2 500 cocos.

78. O dono de uma padaria comprou um pacote de chocolate com 100 unidades pagando R$ 120,00. Se ele vender 40 unidades com uma margem de contribuio unitria igual a 50% do custo unitrio, e 60 unidades com uma margem de 30% sobre o custo unitrio, qual a receita de venda das 100 unidades?

79. (UF-PA) Para produzir determinado artigo, uma indstria tem dois tipos de despesa: uma fixa e uma varivel. A despesa fixa foi estimada em R$ 90,00 (noventa reais), e a varivel dever corresponder a 30% do total das vendas. Se para o ms de maro de 2001 pretende-se que o lucro em relao ao produto represente 20% do total de vendas, qual deve ser, em reais, o volume de vendas e de quanto ser o lucro?

80. (UF-ES) Humberto comprou seis exemplares de um livro, um para ele e cinco para dar de presente a seus amigos. Os livros foram comprados com 20% de desconto sobre o preo original. Pela remessa de cada um dos cinco livros, ele pagou 5% sobre o valor unitrio de compra (com desconto) mais R$ 1,00 pela embalagem. Ao todo, ele gastou R$ 289,00. Qual o preo original do livro?

81. (U. F. Viosa-MG) Uma indstria fabrica dois tipos de produto, X e Y, com custo por unidade de R$ 4,00 e R$ 10,00, respectivamente. Sabendo que essa indstria vendeu 260 unidades dos produtos X e Y com preos 50% e 40%, respectivamente, acima de seu valor de custo, obtendo R$ 2 680,00 com a venda, determine a quantidade de cada produto.

(Fuvest-SP) No incio de sua manh de trabalho, um feirante tinha 300 meles que ele comeou a vender ao preo unitrio de RS 2.00. A partir das dez horas

Pre em 20% e a partir das onze horas passou a vender cada melo Pr $ 1,30. No final da manh havia vendido todos os meles e recebido o total de R$ 461,00.

) Qual o preo unitrio do melo entre dez e onze horas?

Sabendo que dos meles foram vendidos aps as dez horas, calcule

q antos foram vendidos antes das dez, entre dez e onze e aps as onze horas.

------------------------------------------------------------------------------------------------ ^

MATEMTICA COMERCIAL

83. (FGV-SP) No Brasil, quem ganha um salrio mensal menor ou igual a RS 900,00 est isento do pagamento do imposto de renda (IR). Quem ganha um salrio mensal acima de R$ 900.00 at R$ I 800.00 paga um IR igual a 15% da parte de seu salrio que excede R$ 900,00; quem ganha um salrio mensal acima de R$ I 800,00 paga um IR igual a R$ 135,00 (correspondente a 15% da parte do salrio entre RS 900,00 e RS I 800,00) mais 27,5% da parte do salrio que excede R$ I 800,00.

a) Qual o IR pago por uma pessoa que recebe um salrio mensal de RS 1 400.00?b) Uma pessoa pagou um IR de RS 465.00 num determinado ms. Qual o seu

salrio nesse ms?Observao: os dados so do ano 2000.

84. (UF-PR, adaptado) O imposto de renda (IR) a ser pago mensalmente calculado com base na tabela da Receita Federal, da seguinte forma: sobre o rendi- i mento base aplica-se a alquota correspondente; do valor obtido, subtrai-se a parcela a deduzir": o resultado o valor do imposto a ser pago.

Rendimento base (R$)

Alquota Parcela a deduzir (R$)

At 900,00 Isento -----De 900,01 a 1 800.00 15% 135,00Acima de 1 800,00 27,5% 360.00

Fonte: Receita Federal, agosto de 1999.

Em relao ao IR do ms de agosto de 1999. considerando apenas as informaes da tabela, classifique como verdadeiro ou falso cada um dos itens a seguir:

1) Sobre o rendimento base de RS 1 000,00, o valor do imposto R$ 15,00.2) Para rendimentos base maiores que RS 900,00, ao se triplicar o rendimento

base, triplica-se tambm o valor do imposto.3) Sendo x o rendimento base, com x > 1 800, uma frmula para o clculo do

imposto y : y = 0,275x 360, considerando x e y em reais.

85. Em outubro de 2003, vigorava no Brasil a seguinte tabela para o clculo do imposto de renda sobre os salrios.

Base de clculo mensal AlquotaAt R$ 1 058,00

Acima de RS 1 058,00 a RS 2 115.00 15%Acima de RS 2 115,00 27,5%

26

MATEMTICA COMERCIAL

a) Qual o imposto de renda de quem ganha um salrio mensal de R$ 900,00?b) Qual o imposto de renda de quem ganha um salrio mensal de RS I 500.00?c) Qual o imposto de renda de quem ganha um salrio mensal de R$ 3 000.00?d) Expresse, em forma de tabela, o imposto de renda em funo do salrio.

86. (Vunesp-SP) Suponhamos que, para uma dada eleio, uma cidade tivesse18 5 0 0 eleitores inscritos. Suponhamos ainda que. para essa eleio, no caso de se verificar um ndice de abstenes de 6% entre os homens e de 9% entre as mulheres, o nmero de votantes do sexo masculino ser exatamente igual ao de votantes do sexo feminino. Determine o nmero de eleitores inscritos de cada sexo.

IV. Variao percentual

Suponham os que, no in c io de certo m s, o p reo de de te rm inado produto seja R$ 20 ,00 e, no final do m s, o p reo tenha aum en tado para R$ 21,00. O aum ento de preo foi de R$ 1,00; a razo entre o au mento e o p reo in ic ia l, expressa na form a de porcentagem , cham ada de variao percen tua l de preo entre as da tas consideradas. A ssim , in dicando a variao percen tual po r j, terem os:

j = 20 =005 = 5%De m odo geral, considerem os um a grandeza que assum a um valor

V' na data 0 e o valo r V, num a data fu tura t. C ham am os de variao percentual dessa g randeza entre as datas 0 e , e indicam os po r / o n- mero dado por:

; P bservemos

MATEMTICA c o m e r c ia l

6. Variaes percentuais sucessivas

C onsiderem os os instantes de tem po 0, t t2, t3, ... t _ t, em que 0 < t, < t2 < t3 ... < t, e cham em os de j t a variao percentual da grandeza entre 0 e D enom inam os j 2 a variao percentual da grandeza entre, e 2 e assim sucessivam ente at que representa a variao percentual da grandeza entre _ , e t. Os valores j ,, j 2, j 3 ... j so cham ados de variaes percentuais sucessivas, conform e m ostra a figura abaixo:

j | h i . . . Jn

0 t, tj t3 . . . t_, t

7. Variaes percentuais acumuladas

Se ind icarm os po r V0, V V 2, ..., V os va lo res da g ran d eza nas da tas 0 , t t2, t3, ... tn _ ,, t, poderem os escrever:

j , = V - - 1 => V , = V 0( l + j , )M)

2 = ^ - - l = V2 = v1(l+j2) = v0(l+j,)(l+j2)v l

j3 = - 1 => V3 = V 2(1 +j,) = V0( l +j,)(l +j2)(l +j3)V 2

A ssim , conclu m os que:

v , = V . d + j.Kl + j 2) d + j 3) - d + j)

A variao percentual en tre as datas 0 e t dam os o nom e de variao percentual acum ulada, tam bm conhecida com o j expressa por:

Substitu indo o num erador, tem os:

: _ V , d + j I ) (1 + . h ) d + j , ) - d + j n ) ,J a c 1

Jac = d + j . ) * d + j 2) ( 1 + j 3) - d + j ) - 1

28

MATEMTICA COMERCIAL

Exemplos

Io) No final de um ano o nm ero de habitantes de uma cidade era igual a 40 000 e no final do ano seguinte esse nm ero subiu para 41 000.Qual a variao percentual entre as datas consideradas?A variao percentual pode ser calculada da seguinte forma:

_ 41 000 _ , _ Q Q25 _ 2 5% 40000

Como j > 0, dizemos que a populao cresceu a uma taxa de 2,5%.

2) Em 20/5/2003 o preo de uma ao era R$ 205,00 e em 7/7/2003 o preo caiu para R$ 190,00. Qual a variao percentual?A variao percentual dada por:

j = - 1 = -0 ,0 7 3 2 = -7 ,3 2 %205

Como j < 0, dizem os que o preo da ao decresceu a uma taxa de j7,32% no perodo.

3") O lucro de uma em presa foi de R$ 300 000,00 em 2003.

a) Qual o lucro em 2004 se nesse ano ele crescer 5%?

b) Qual o lucro em 2006 se ele crescer 5% em 2004, 6 % em 2005 e 7% em 2006?

Chamando de V0 o lucro em 2003, V, em 2004, V2 em 2005 e V3 em 2006, teremos:

a) V, = 300 000(1 + 0,05) = 315 000

O lucro em 2004 R$ 315 000,00.

b) V3 = 300000(1 + 0,05)(1 + 0,06)(1 + 0,07) = 357 273

O lucro em 2006 R$ 357 273,00.

4*) O preo de um automvel 0 km era R$ 25 000,00. Um ano depois, o preo teve um decrscim o de 15% e, aps mais um ano, teve outro decrscimo de 10%.

a) Qual o preo do automvel dois anos depois?b) Qual a taxa acum ulada de decrscim o?O preo inicial denom inado V0, e V2 o preo dois anos depois.

29

Calculando, temos:

a) V2 = 25 000(1 - 0,15)(1 - 0,10) = 19 125

Dois anos depois, o autom vel custou R$ 19 125,00.

19 125b) j#c= 2$ q^q * = 0*235 = -2 3 ,5 % . Portanto, a taxa de decrs

cimo foi de 23,5%.

Poderam os tambm encontrar a taxa acum ulada de decrscim o pela frmula:

j* = 0 0,15)(1 ~ 0,10) - 1 = -0 ,2 3 5 = -2 3 ,5 %

MATEMTICA COMERCIAL

EXERCCIOS

87. O preo de um produto era R$ 50,00 e, dois meses depois, passou a RS 52,00. Qual a variao percentual?

88. O PIB de um pas era 500 bilhes de dlares e, dois anos depois, passou a 542 bilhes de dlares. Qual a taxa de crescimento no perodo?

89. A tabela ao lado fornece o nmero de automveis de passeio produzidos no Brasil de 1998 a 2002.Calcule a variao percentual da produo de cada ano em relao do ano anterior.

90. A tabela ao lado fornece a produo de petrleo bruto no Brasil em 1981, 1991 e 2001.

Ano Unidades produzidas

1998 1 220 8251999 1 102 4292000 1 365 9192001 1 539 7482002 1 593 788

Fonte: Conjuntura Econmica. julho de 20()3.

Ano Produo (barris/dia)

1981 213 0001991 622 0002001 1 351 000

a) Calcule a variao percentual da produo de 1991 em relao a 1981 e de 2001 em relao a 1991.

b) Calcule a mdia aritmtica das duas variaes percentuais citadas no item a.

c) Se entre 2001 e 2011 a variao percentual for igual mesma mdia calculada no item b, qual ser a produo em 2011?

Fonte: Conjuntura Econmica, ju lho de 2003-

30

MATEMTICA COMERCIAL

91 ^ populao de uma cidade cresceu 4% no perodo de um ano, passando a ser de 64 000 habitantes. Qual o nmero de habitantes antes do crescimento?

92. (UF-GO) Segundo dados da Folha de S. Paulo (30/8/2001, p. B2), o total de exportaes feitas pelos gachos, de janeiro a julho de 2001, foi de 3,75 bilhes de dlares. Esse valor 16,42% maior do que o total exportado por eles. de janeiro a julho de 2000.Calcule o total exportado pelos gachos, nesse perodo de 2000.

93. O grfico abaixo representa o nmero de habitantes do Brasil (em milhes de pessoas) desde 1900.

Crescimento do nmero de habitantes169 ,8

17 ,4

7 0 ,0

i l1 9 0 0 192 0 194 0 195 0 1960 197 0 1980 1991 200 0Fonte: Folha de S. Paulo. 30/9/2003.

a) Qual o crescimento percentual ocorrido entre 1960 e 1970?b) Qual o crescimento percentual ocorrido entre 1991 e 2000?c) Qual o crescimento percentual entre 1900 e 2000?d) Entre quais anos sucessivos indicados no grfico houve maior taxa de cres

cimento percentual?e) Se entre 2000 e 2010 a taxa de crescimento for igual a 15%. qual a popula

o em 2010?0 Se entre 2000 e 2010 a taxa de crescimento for igual a 10%, qual a popula

o em 2010?g) Se entre 2000 e 2010 a taxa de crescimento for igual a 10% e entre 2010 e

2020 a taxa for de 8%, qual a populao em 2020?

^ ma dzia de laranja que custava R$ 5,00 passou a custar R$ 4,00 trs mesesdepois. Qual a taxa de decrscimo?

(UF-SC) Pedro investiu R$ 1 500,00 em aes. Aps algum tempo, vendeu essas aes por R$ 2 100,00. Determine o percentual de aumento obtido em seu capital inicial.

31

MATEMTICA COMERCIAL

96. Um produto que custava R$ 25.00 subiu 4% em um ms. Qual o preo aps o aumento?

97. (UF-GO) Analise o seguinte texto e responda s perguntas abaixo.P ela p rim eira vez, o nm ero de m ulheres conectadas [ In ternet] u ltrapassou o de h o m en s nos E s tad o s U n id o s . E la s re p re se n ta m [em m a io de 2 0 0 0 ] 5 0 ,4 % dos in te rn a u ta s . [...] De m aio d e 1999 a m aio d e 2 0 0 0 , a p re se n a d e la s aum en tou 34 ,9% , enquanto o nm ero [to tal] de u surios da in terne t cresceu 22,4% .

(Veja. 23/8/2000.)

a) Qual era o percentual de mulheres entre os usurios da internet em maio de 1999?

b) No perodo considerado, de maio de 1999 a maio de 2000, qual foi o percentual de crescimento do nmero de usurios masculinos na internet?

98. Em janeiro, fevereiro e maro o preo de um produto subiu 2%, 3% e 5%, respectivamente. Se antes dos aumentos o preo era R$ 36,00, qual o preo aps os aumentos?

99. Em outubro, novembro e dezembro o preo de uma ao teve as seguintes variaes percentuais: 4%, 8% e -5% . Qual o preo, aps as variaes, saben do-se que antes o preo era R$ 28,00?

100. Se em cinco meses sucessivos o preo de um produto crescer a uma taxa de 1% ao ms, qual a taxa acumulada de variao percentual?

101. Se o PIB de um pas crescer 4% ao ano durante dez anos, qual a taxa acumulada de crescimento percentual?

102. Se em quatro anos consecutivos o lucro de uma empresa decrescer a uma taxa de 3% ao ano, qual a taxa acumulada de decrescimento?

>103. (UFF-RJ) Em 15 de julho de 2001, Miguel dever pagar a taxa de condom

nio acrescida, a partir desse ms, de uma cota extra. Aps o primeiro pagamento, essa cota sofrer, mensalmente, uma reduo de 60%.Determine o ms em que, na taxa de condomnio a ser paga por Miguel, a cota extra original estar reduzida em 93,6%.

104. (UF-PA) Ao entrar no perodo seco, o volume do reservatrio de uma hidreltrica reduzido a 20% ao ms, em relao ao ms anterior.a) Sendo o perodo seco de abril a novembro, qual a relao entre o volume

no ms de maro e o volume no final do perodo seco?b) Se no incio do perodo seco o reservatrio apresenta 50% de sua capaci

dade, quando chegar a 20% de sua capacidade? (Use log 2 = 0,30.)

MATEMTICA COMERCIAL

106.

U F Viosa-MG) Uma empresa concedeu aos seus funcionrios um reajuste de 60% em duas etapas. Em agosto. 40% sobre o salrio de julho e. em outubro mais 20% sobre o salrio de julho. Quanto este ltimo reajuste representou em relao ao salrio de setembro?

O salrio de uma pessoa era R$ 2 800,00 e um ano depois passou a R$ 3 400,00. Passado mais um ano, o salrio passou a ser R$ 3 800,00.a) Qual a variao percentual do salrio no 1 ano?b) Qual a variao percentual do salrio no 2 ano?c) Qual a variao percentual acumulada nos dois anos?

107. Uma revendedora de automveis resolveu baixar o preo de um automvel em 5% em virtude da falta de compradores. Na semana seguinte, resolveu baixar mais 4%. Qual a reduo acumulada de preo?

108. (UnB-DF) O crescimento anual das exportaes de um pas, em um determinado ano, medido tendo-se por base o valor total das exportaes do ano imediatamente anterior. Supondo que o crescimento das exportaes de um pas foi de 12% em 1996 c de 8% em 1997, julgue os itens abaixo.1) O valor total das exportaes em 1996 foi igual a 1,2 vez o valor corres- jjj

pondente em 1995.2) Diminuindo-se 8% do valor total das exportaes ocorridas em 1997. ob-

tm-se o valor total das exportaes ocorridas em 1996.3) Em 1997, o valor total das exportaes foi 20% maior que o de 1995.4) O crescimento do valor das exportaes durante o binio 1996-1997

eqivale a um crescimento anual constante inferior a 10% ao ano, durante o mesmo perodo.

109. O grfico abaixo representa a expectativa de vida (em anos) dos brasileiros de 1900 a 2000. Uma das razes para a baixa expectativa no incio do sculo foi a alta taxa de mortalidade infantil reduzindo a vida mdia.

Expectativa de vida dos brasileiros

3 3 ,6 3 4 ,0 3 4 ,5 1900 1 91 0 1 92 0Fonte: Folha de S. Paulo, 30/9/2003.

a) Qual a variao percentual da expectativa de vida entre 1940 e 1950?b) Qual a variao percentual da expectativa de vida entre 1990 e 2000?

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MATEMTICA COMERCIAL

c) Entre quais anos sucessivos do grfico houve a maior variao percentual na expectativa de vida?

d) Se entre 2000 e 2010 a expectativa de vida crescer 5%, qual a expectativa de vida em 2010?

e) Se entre 2000 e 2010 a expectativa de vida crescer 5% e entre 2010 e 2020 crescer 4%, qual a expectativa de vida em 2020?

1 1 0 . (UFF-RJ) Um jovem recebe mesada dos pais e gasta 45% com transporte. 25% com lazer e 30% com lanches. A despesa com transporte aumentou 10%, porm, o valor total da mesada foi mantido.Determine o percentual que ele precisa reduzir da quantia destinada ao lazer para fazer frente a esse aumento, sem alterar sua despesa com lanches.

V. Taxas de inflao

8. Inflao

O fenm eno do aum ento pe rs is ten te e generalizado dos p reos de bens e de serv ios, com conseqen te perda do poder aqu isitivo da m oeda, denom ina-se inflao.

O s governos geralm ente co locam com o m eta o com bate inflao , pois e la acarre ta g randes d is to r es num a econom ia de m ercado, tais com o: perda do poder aqu isitivo dos salrios que no so frerem rea ju stes no seu vencim ento , perda do poder aquisitivo daqueles que recebem rendas fixas com o o aluguel, desorgan izao do m ercado de cap ita is e aum ento da p rocura por a tivos reais (com o. po r exem plo , casas e te rre nos), d ificu ldades do financiam ento do setor pb lico (o governo enco n tra d ificu ldades para vender seus ttu lo s), etc.

9. Deflao

E ntende-se por deflao o fenm eno da queda persisten te dos preos de bens e de serv ios. A deflao acarreta p rob lem as com o a queda do investim ento com conseqen te queda da p roduo e aum ento do desem prego ; e tam bm pode levar o pa s a um a dep resso com o a que h ouve nos E s ta d o s U n idos no p e ro d o c o m p re e n d id o en tre 1929 e 1933. G era lm en te , o com bate d e flao fe ito com o aum en to dos gastos pblicos.

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MATEMTICA COMERCIAL

U sualm ente , a in flao m edida segundo a com posio de um a cesta bsica de p ro d u to s com quan tidades fs icas bem determ inadas. Em seguida, ms a m s, os p reos desses p rodu tos so co letados e en to, com base nos preos m dios de cada produ to , obtm -se o va lo r da cesta bsica. A taxa de in flao m ensal a variao percen tual do valor da cesta bsica calcu lada entre um m s e o m s anterior.

A dm itam os, p o r exem plo , que um a cesta bsica seja constitu da de apenas dois p rodu tos A e f i , com duas un idades de A e um a de 6 . Suponhamos que em jan e iro de certo ano os p reos m dios por unidade de A e B sejam , re spec tivam en te , R$ 80 ,00 e R$ 40 ,00 . A ssim , o va lo r da cesta bsica em ja n e iro V , = 2 (80) + 1 (40) = 200. Supo nham os, tam bm , que em fevereiro do m esm o ano os p reos m dios de A e B passem a va le r R$ 81,00 e R$ 42 ,00 , respectivam ente. O va lo r da cesta bsica, em fevereiro , ser Vr = 2 (81) + I (42) = 204. A taxa de inflao de fevere iro (ind icada po r y'rcv) ser dada por:

204j fcv = ~ 1 = 0 , 0 2 = 2 %

200

Se em m aro os p reo s d e A e S fo rem R$ 82 ,00 e R$ 4 3 ,00 , re sp ec tiv a m e n te , o v a lo r da c e s ta b s ic a , no m s de m a r o , se r V. = 2 (82) + 1 (43) = 207. A taxa de inflao de m aro (indicada Por Jma/) ser dada por:

jnw = ~ 1 = 0 .0147 = 1.47%204

No caso de taxas m ensais de in flao j , , j 2, j 3, j n de m eses sucessivos, a taxa acum ulada de in flao nesses m eses, de acordo com o que foi visto em V ariao percen tual, dada por:

j a c = d + J . X 1 + j 2) ( i + j 3 > - d + j ) - 1

Observaes

*) O exem plo dado foi elaborado considerando-se uma cesta bsica com apenas dois produtos. No entanto, a mesma idia pode ser facilmente generalizada para uma cesta bsica com um nmero qualquer de produtos. Em geral, essas quantidades so determ inadas por meio de pesquisas de oram entos familiares.

35

MATEMTICA COMERCIAL

2*) A definio da taxa de inflao, de acordo com o que vimos, baseada no chamado mtodo de Laspeyres (tienne Laspeyres, 1834-1913, economista e estatstico alemo) com quantidades fixas na poca base, sendo um dos mais utilizados na prtica. Existem, entretanto, outras metodologias.

3?) Existem muitos ndices oficiais de inflao, cada qual caracterizado pelos produtos da cesta bsica, pela m etodologia de clculo ou pelo perodo e local de coleta de preos. Entre eles destacam os os ndices de Preos ao Consumidor (IPCs), cujas cestas bsicas contm produtos de consum o final, e so calculadas por diversas instituies nas grandes cidades, o ndice de Preos no A tacado (IPA), calculado pela Fundao Getlio Vargas, com preos negociados no atacado e com dados coletados em todo o pas, o ndice Nacional do Custo da Construo (INCC), que envolve preos de produtos e servios da construo civil, com dados coletados em todo o pas pela Fundao Getlio Vargas, e o ndice Geral de Preos (IGP), calculado pela Fundao G etlio Vargas, utilizando uma m dia ponderada do IPA, do IPC do Rio de Janeiro e So Paulo e do INCC, que representam 60%, 30% e 10%, respectivamente, do IGP.

E xem plos

1) Em janeiro , fevereiro e maro as taxas de inflao foram 1%, 1,5% e 2%, respectivam ente. Qual a taxa acum ulada no trim estre?

Calculando, temos:

j* = (1 + 0,01)(1 + 0,015)(1 + 0,02) - 1 = 0,0457 = 4,57%A taxa acum ulada no trim estre 4,57%.

2")* Uma taxa mensal de inflao de 1% acum ula que taxa em 10 meses? Temos:

L = o ,o i)( i,o i)( i ,o i) ... (i,oi) - j* = (1,01)' - 1 = 0,1046 = 10,46%

Assim, em 10 meses haver um acm ulo de taxa de 10,46%.

3 ) Que taxa m ensal constante de inflao dever v igorar em cada um dos prxim os 12 meses para acum ular uma taxa de 20%?Seja j a taxa procurada:

(1 + j )12 - 1 = 0,20

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MATEMTICA COMERCIAL

Portanto:

(1 + j ) ' ! = 1,20

[(1 + j ) 12] ^ = [1,20]T7

d + j) = ( 1,2o)"*331 + j = 1,0153

j = 0,0153 = 1,53%A taxa m ensal deve ser 1,53%.

4?) Num perodo em que a inflao de 20% , qual a perda do poder aquisitivo da m oeda?

Consideremos um valor arbitrrio da moeda, por exemplo. R$ 1 000,00. Suponham os que, no incio do perodo, o valor da cesta bsica seja RS 100,00 (valor arbitrrio).

O poder aquisitivo de R$ I 000,00 eqivale a quanto esse valor consegue com prar de um produto (no caso, a cesta bsica). O poder aquisitivo de R$ 1 000,00 1 000 : 100 = 10 cestas bsicas.

No Final do perodo, o valor da cesta bsica R$ 120,00, pois a inflao de 20% e o valor de R$ 1 000,00 comprar 1 000 : 120 = 8,3333 cestas bsicas.

A variao percentual do poder aquisitivo 8^333 - 1 = - 16,67%. Por

tanto, a moeda teve uma perda de poder aquisitivo igual a 16,67%.

1H. Uma cesta bsica constituda de trs produtos X, Y e Z nas quantidades 3, 5 e 12, respectivamente. Em janeiro, fevereiro e maro os preos mdios por unidade desses produtos so dados ao lado.

X Y Z

Janeiro 10,00 12,00 15,00Fevereiro 10,00 12,50 15,60Maro 11,00 12,60 15,40

a) Qual a taxa de inflao de fevereiro, considerando-se essa cesta bsica?b) Qual a taxa de inflao de maro, considerando-se a mesma cesta bsica?

112. A tabela abaixo fornece os preos de uma cesta bsica de janeiro a julho de certo ano.

MATEMTICA COMERCIAL

Ms Preo da cesta bsica

Janeiro 240

Fevereiro 246

Maro 250

Abril X

Maio 259

Junho 264

Julho 270

a) Qual a taxa de inflao de fevereiro, maro, junho e julho?b) Qual o valor de .v para que a taxa de inflao de abril seja l,5%?c) Qual o valor de x para que a taxa de inflao de maio seja 1%?

113. (FGV-SP) Uma dona de casa compra mensalmente 3 produtos A. B e C nas quantidades (em unidades) dadas pela tabela abaixo.

Produto Quantidades

A 2

B 3C 5

Em janeiro, os preos por unidade de A, B e C foram, respectivamente, 10, 12 e 20.Em fevereiro, tais preos foram, respectivamente, 10, 14 e 21.a) Quais os aumentos percentuais de preos de cada produto, de fevereiro

em relao a janeiro?b) Qual o aumento da despesa da dona de casa com esses produtos de feve

reiro em relao a janeiro?

114. Em julho, agosto e setembro as taxas de inflao foram, respectivamente.1,2%, 0,8% e 1,3%.a) Qual a taxa acumulada de inflao no perodo?b) Qual dever ser a taxa de inflao de outubro para que a taxa acumulada

do quadrimestre seja 4%?

115. A taxa de inflao acumulada em um bimestre foi de 5%. No T ms a taxafoi de 2%. Qual a taxa do 2 ms?

MATEMTICA COMERCIAL

116 Em janeiro, a taxa de inflao foi de 2%, em fevereiro. 1,5% e em maro houve uma deflao de 1%.a) Qual a taxa acumulada no trimestre?b) Qual dever ser a taxa de abril para que a taxa acumulada no quadrimestre

seja 4,5%?

117. Uma taxa mensal de inflao de 1,5% acumula que taxa em 12 meses?

118. Uma taxa de inflao de 0,7% ao ms acumula que taxa em 24 meses?

119. (PUC-RJ) Suponha uma inflao mensal de 4% durante um ano. De quanto ser a inflao acumulada nesse ano?

120. Uma taxa mensal de deflao de 1% acumula que taxa em 6 meses?

121. Qual taxa mensal constante de inflao acumula 8% em 5 meses?

122. Qual taxa mensal constante de inflao acumula 25% em 1 ano?

123. Durante o ano de 1923, no auge da hiperinflao na Alemanha, a taxa de inflao foi de (855.44 10x)%. Se em cada um dos 12 meses a taxa fosse constante, qual seria seu valor? (Dados extrados de: W. A. Bomberger e outros. Hiperinflao: algumas experincias. So Paulo: Ed. Paz e Terra.)

124. Em 1990, no auge da inflao brasileira, o ndice Geral de Preos (IGP) acusou uma variao de 2 740,23%. (Dados extrados de: Revista Conjuntura Econmica, julho de 2003.)Se em cada ms de 1990 a taxa de inflao fosse constante, qual o valor dessa taxa?

125. Num perodo em que a taxa de inflao de 40%, qual a perda do poder aquisitivo da moeda?

126. Num perodo em que a taxa de inflao de 100%, qual a perda do poder aquisitivo da moeda?

127. (Vunesp-SP) No incio de um ms, Joo poderia comprar M kg de feijo, se gastasse todo seu salrio nessa compra. Durante o ms, o preo do feijo aumentou 30% e o salrio de Joo aumentou 10%. No incio do ms seguinte, se gastasse todo seu salrio nessa compra, Joo s poderia comprar X% dos M kg de feijo. Calcule X.

rCAPTULO II

Matemtica Financeira

I. Capital, juros, taxa de juros e montanteF undam en ta lm en te , a M atem tica F in an ce ira e s tu d a o s procedi

m entos u tilizados em pagam entos de em prstim os, bem com o os m todos de anlise de investim entos em geral.

Quando uma pessoa em presta a outra um valor monetrio, durante um certo tem po, essa quantia cham ada de capital (ou principal) e indicada por C. O valor que o em prestador cobra pelo uso do dinheiro, ou o valor pago pelo tom ador do em prstim o cham ado de ju ros e indicado por J.

A taxa de juros, indicada por i (do ingls interest, que significa ju ros), expressa com o porcen tagem do capital. E la represen ta os ju ros num a certa unidade de tem po, norm alm ente indicada da seguinte forma: ao dia (a.d.), ao ms (a.m .), ao ano (a.a.), etc. Assim , por exem plo, se o capital em prestado for R$ 8 000,00 e a taxa, 1,5% ao m s, os ju ro s pagos no ms sero iguais a 1,5% sobre R$ 8000 ,00 , que eqivale a 0,015 (8000) e, portanto, igual a R$ 120,00. De m odo geral, os ju ro s no perodo so iguais ao produto do capital pela taxa, isto :

C i (juros no perodo da taxa)

Se o pagam ento do em prstim o fo r fe ito num a n ica parcela, ao final do prazo do em prstim o, o tom ador pagar a som a do capital em prestado com o ju ro , que cham arem os de m ontante e ind icarem os po r M-

40

MATEMTICA FINANCEIRA

No caso do em prstim o de R$ 8 000,00, durante 1 m s, taxa de 1,5% ao ms, o m ontante ser igual a R$ 8 120,00. De m odo geral, terem os:

M = C + J

As operaes de em prstim o so feitas geralm ente por interm dio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, em presta esse dinheiro aos tom adores interessados no emprstimo. A captao feita sob vrias form as, como, por exem plo, cadernetas de poupana e certificados de depsito bancrio (cada aplicao recebe uma taxa de acordo com o prazo e os riscos envolvidos). Os tom adores tam bm podem ob ter financiam ento sob diversas maneiras, e as taxas cobradas dependem do p razo do em prstim o, dos custos do capital para o banco e do risco de no-pagam ento por parte do tomador.

Exem plos

1) Um capital de R$ 12 000,00 foi aplicado durante 3 meses taxa de 5% a.t. (ao trimestre). Vamos calcular os juros e o montante recebidos aps 3 meses. Em reais, aps 3 meses, os juros recebidos foram:

J = 12 000- (0,05) = 600 Assim, o montante recebido, em reais, foi:

M = 12000 + 600 = 12600

2) Uma empresa recebeu um emprstimo bancrio de R$ 60000,00 por 1 ano, pagando um montante de R$ 84 000,00. Vamos obter a taxa anual de juros. Os juros do emprstimo, em reais, so:

84 000 - 60 000 = 24 000

j 24 000Como J = C i, segue que i = = = 0 ,4 0 = 40% a.a. (ao

L o UIA)ano), que corresponde taxa anual de juros.

3*) Um investidor aplicou R$ 30 000,00 num a caderneta de poupana R$ 20000,00 num fundo de investimento, pelo prazo de 1 ano. A caderneta de poupana rendeu no perodo 9% e o fundo, 12%. Vamos calcular a taxa global de juros recebidos pelo investidor.Chamamos de 7, os juros da caderneta de poupana, e de J2, os do fundo de investimento. Assim, temos, em reais:

J, = 30 000 (0,09) = 2 700 e J2 = 20 000 (0,12) = 2 400

41

MATEMTICA FINANCEIRA

Calculando os juros totais recebidos, temos:J = 2700 + 2400 = 5100

Assim, a taxa global de juros recebidos :

i=i = S = 01 0 2 O = l0 -2 0 % a -a-4") Um investidor aplicou 80% de seu capital num fundo A e o restante

num fundo B , pelo prazo de 1 ano. Nesse perodo, o fundo A rendeu 16%, enquanto o fundo B rendeu 10%. Vamos determ inar a taxa global de juros ao ano recebida pelo investidor.

Seja C o capital total aplicado, a parte aplicada no fundo A CA = = 0,80 C e a parte aplicada no fundo B C B = 0,20 C.Os juros recebidos por meio do fundo A foram:

JA = 0,16 C A = 0,16 (0,80C) = 0,128C

Os juros recebidos por meio do fundo B foram:

JB = 0,10 C B = 0,10 (0,20C) = 0,02C

Assim, os juros totais recebidos foram:

JA + J B = 0,128C + 0,02C = 0,148C

Finalm ente, a taxa global de juros recebida na aplicao foi:

j = JL = 0: 14XC.: = 0,148 = 14,8% a.a.C C

EXERCCIOS

128. Um capital de R$ 4 000,00 foi aplicado durante 2 meses taxa de 3% a.b. (ao bimestre). Calcule os juros e o montante recebido.

129. Osvaldo aplicou R$ 15 000,00 durante 6 meses num fundo que rendeu 10% a.s. (ao semestre). Qual o montante recebido?

130. Olavo aplicou R$ 25 000.00 numa caderneta de poupana pelo prazo de 1 ano. Sabendo-se que a taxa era de 9% a.a., qual o valor do montante?

131. Sueli aplicou R$ 4 800.00 num fundo de investimento e recebeu, 3 meses depois, R$ 500,00 de juros. Qual a taxa trimestral de juros da aplicao?

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MATEMTICA FINANCEIRA

1 3 2 . Uma empresa tomou um emprstimo de R$ 100 000,00 por 1 dia taxa de 0,2% a.d. (ao dia). Qual o valor do montante pago?

133 Roberto aplicou R$ 12 000,00 num fundo e recebeu, 1 ano depois, um montante de R$ 17 000,00. Qual a taxa anual de juros recebida?

134. Em um emprstimo de R$ 50 000,00 feito por 1 ms, uma empresa pagou um montante de R$ 51 200,00. Qual a taxa mensal do emprstimo?

135. Um investidor dobrou seu capital numa aplicao pelo prazo de 2 anos. Qual a taxa de juros no perodo da operao?

136. (Vunesp-SP) O preo de tabela de um determinado produto R$ 1 000.00. O produto tem um desconto de 10% para pagamento vista e um desconto de 7,2% para pagamento em 30 dias. Admitindo que o valor desembolsado no pagamento vista possa ser aplicado pelo comprador em uma aplicao de 30 dias, com um rendimento de 3%, determine:a) quanto o comprador teria ao Final da aplicao;b) qual a opo mais vantajosa para o comprador: pagar vista ou aplicar o

dinheiro e pagar em 30 dias. JustiFique matematicamente sua resposta.

137. (FGV-SP) Um investidor norte-americano traz para o Brasil 50 000 dlares; faz a converso de dlares para reais; aplica os reais por um ano taxa de 18% ao ano, e no resgate converte os reais recebidos para dlares e os envia para os Estados Unidos. No dia da aplicao, um dlar valia R$ 1.10 e, um ano depois, na data do resgate, um dlar valia R$ 1,20.a) Qual a taxa de rendimento dessa aplicao, considerando os valores ex

pressos em dlares?b) Quanto deveria valer um dlar na data de resgate (um ano aps a aplicao)

para que a taxa de rendimento em dlares tivesse sido de 12% ao ano?

138. Pedro aplicou R$ 25 000,00 num fundo A e R$ 45 000,00 num fundo B pelo prazo de 3 meses. Nesse perodo, o fundo A rendeu 15% e o B rendeu 12%. Qual a taxa global de rendimento no trimestre?

139. Jair aplicou 60% de seu capital na caderneta de poupana e o restante num fundo de investimento, pelo prazo de 6 meses. Nesse perodo, a caderneta de poupana rendeu 5% e o fundo, 8%. Qual a taxa global de rendimento auferido por Jair nesse perodo?

140. Jos Roberto aplicou 30% de seu capital num fundo A, 30% num fundo B e o restante num fundo C, pelo prazo de 8 meses. Nesse perodo, o fundo A rendeu 8%, o fundo B. 12% e o C. 6%. Qual a taxa global de rendimento obtida pelo investidor?

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MATEMTICA FINANCEIRA

141. (FGV-SP) O sr. Matias tem R$ 12 000,00 para investir pelo prazo de um ano. Ele pretende investir parte numa aplicao A que tem um rendimento esperado de 15% ao ano sobre o valor investido, e parte numa outra aplicao B que d um rendimento esperado de 20% sobre o valor investido.a) Qual o rendimento anual esperado, se ele aplicar R$ 7 000,00 em A e

R$ 5 000,00 em B?b) Qual o mximo que deve investir em A para auferir um ganho esperado

de, no mnimo, R$ 2 200,00 daqui a um ano?

142. (UnB-DF) Uma pessoa investiu certo capital, por um perodo de 5 anos, da2

seguinte maneira: com do capital comprou aes da bolsa de valores; do

restante, aplicou metade em imveis e metade em caderneta de poupana. Ao final de 5 anos, ela contabilizou um prejuzo de 2% na aplicao m aes, um ganho de 20% na aplicao imobiliria e um ganho de 26% na aplicao em poupana. Calcule, em relao ao capital inicial, o percentual ganho pelo investidor, desprezando a parte fracionria de seu resultado, caso exista.

II. Regimes de capitalizaoSe um cap ita l for ap licado a um a certa taxa po r perodo , po r vrios

in tervalos ou perodos de tem po, o valor do m ontante pode ser calcu lado segundo duas convenes de clcu lo , cham adas de regim es de c a p ita liza o : c a p ita liza o s im p les (ou ju ro s s im p le s) e ca p ita liza o com posta (ou ju ro s com postos).

10. Regime de capitalizao simplesDe acordo com esse regim e, os ju ro s gerados em cada perodo so

sem pre os m esm os e so dados pelo p rodu to do capital pela taxa. Os ju ro s so pagos som ente no final da aplicao .

Exem plo

Um capital de R$ 5 000,00 aplicado a ju ros simples durante 4 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os ju ros gerados em cada perodo e o montante aps o perodo de aplicao.Os ju ros gerados no 1 ano so 5 000 (0,20) = 1 000.Os ju ros gerados no 2 ano so 5 000 (0,20) = 1 000.Os ju ros gerados no 3" ano so 5 000 (0,20) = 1 000.Os ju ros gerados no 4 ano so 5 000 (0,20) = 1 000.

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MATEMTICA FINANCEIRA

1000 1 000 1 000 1 000

0 1 2 3 4

No clculo dos juros de cada ano, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Assim, o montante aps 4 anos vale R$ 9 000,00.

11. Regime de capitalizao composta

N esse regim e, os ju ro s do 1 perodo correspondem ao p rodu to do cap ital p e la taxa ; e sse s ju ro s so ad ic io n ad o s ao c ap ita l, g e ran d o o m ontante M , aps 1 perodo.

Os ju ro s do 2 perodo so ob tidos m u ltip licando-se a taxa pelo m ontante M,; esses ju ro s so ad ic ionados a M ,, g erando o m ontante M 2 aps 2 perodos.

Os ju ro s do 3 pe ro d o so ob tidos m u ltip licando -se a taxa pelo m ontante A/,; esses ju ro s so ad icionados a M 2, gerando o m ontante M , aps 3 perodos.

Dessa forma, os juros em cada perodo so iguais ao m ontante do incio do perodo m ultip licado pe la taxa, e esses ju ro s so ad icionados ao m ontante do in c io do perodo , gerando o m ontan te do final do perodo.

Exem plo

Um capita! de R$ 5 000,00 aplicado a juros compostos durante 4 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros e o montante para cada perodo.

Os juros do 1" ano so 5 000 (0,20) = 1 000, e o m ontante aps 1 ano M, = 6 000.

Os juros do 2 ano so 6 000 (0 ,20) = 1 200, e o m ontante aps 2 anos Mj = 7 200.

Os juros do 3'- ano so 7 200 (0,20) = 1 440, e o m ontante aps 3 anos Mj = 8 640.

Os juros do 4" ano so 8 640 (0,20) = 1 728, e o m ontante aps 4 anos = 10 368.

rN o B rasil, o regim e de ju ro s com postos o m ais u tilizado em operaes trad ic ionais, em bora ha ja tam bm a u tilizao dos ju ro s sim ples. E n tre tan to , quando a o perao no tiver um a p r tic a trad ic io n a l (ou seja, operaes consagradas, ta is com o cheque espec ia l, c rd ito direto ao consum idor, descon to de ttu lo s , e tc .), o que prevalece o regime acordado en tre o tom ador e o em prestador.

MATEMTICA f in a n c e ir a

EXERCCIOS

143. Um capital de RS 4 000,00 aplicado a juros simples, taxa de 2% a.m. Calcule o montante para os seguintes prazos de aplicao:a) 2 meses b) 3 meses c) 6 meses

144. Qual o montante de uma aplicao de R$ 12 000,00 a juros simples, taxa de 18% a.a., durante 5 anos?

145. Um capital de RS 4 000,00 aplicado a juros compostos, taxa de 2% a.m. Calcule o montante para os seguintes prazos de aplicao:a) 2 meses b) 3 meses c) 4 meses

146. Qual o montante de uma aplicao de RS 7 000,00 a juros compostos durante4 anos, taxa de 15% a.a.?

147. (Unicamp-SP) Uma pessoa investiu RS 3 000,00 em aes. No primeiro ms ela perdeu 40% do total investido e no segundo ms ela recuperou 30% do

, que havia perdido.a) Com quantos reais ela ficou aps os dois meses?b) Qual foi seu prejuzo aps os dois meses, em porcentagem, sobre o valor

do investimento inicial?

148. (UF-MG) Um televisor estava anunciado por RS 500.00 para pagamento vista ou em trs prestaes mensais de RS 185,00 cada uma; a primeira delas a ser paga um ms aps a compra. Paulo, em vez de pagar vista, resolveu depositar, no dia da compra, os RS 500.00 numa caderneta de poupana, que lhe renderia 2% ao ms nos prximos trs meses. Desse modo. ele esperava liquidar a dvida, fazendo retiradas de RS 185,00 daquela caderneta nas datas de vencimento de cada prestao. Mostre que a opo de Paulo no foi boa, calculando quanto a mais ele teve de desembolsar para pagar a ltima prestao.

MATEMTICA FINANCEIRA

149. (UF-SC, adaptado) Classifique como verdadeira ou falsa a proposio abaixo: Se uma loja vende um artigo vista por R$ 54.00, ou por R$ 20.00 de entrada e mais dois pagamentos mensais de R$ 20,00. ento a loja est cobrando mais do que 10% ao ms sobre o saldo que tem a receber.

III. Juros simplesC onsiderem os um capital C ap licado a ju ro s sim ples, a um a taxa i

por perodo e duran te n perodos de tem po. Os ju ro s no 1 perodo so iguais a C i e, de acordo com a defin io de cap ita lizao sim ples, em cada um dos perodos os juros so iguais a C i, conforme mostra a figura.

C i C* C-i c - i

0 1 2 3 n

A ssim , os ju ro s s im ples da ap licao sero iguais som a de n parcelas iguais a C i, ou seja:

J = C * i + C - i + C - i + ... + C * i

E, portanto:

J = C i n

Os ju ro s sim ples so resultados do p roduto do capital pela taxa e pelo p razo da ap licao . O bservem os que nessa frm ula o prazo n deve estar expresso na m esm a unidade de i, isto , se a taxa i for defin ida em meses, o p razo n v ir tam bm em m eses. A lm disso , em bora a frm ula tenha sido deduzida para n in teiro , e la estend ida tam bm para q u a l

quer prazo frac ionrio , por exem plo , y ano, - jy de ano.

Exem plos

!) Um capital de R$ 8 000,00 aplicado a juros simples, taxa de 2% a.m., durante 5 meses. Vamos calcular os juros e o montante da aplicao.Os juros da aplicao, em reais, so:

J = 8 000 (0,02) 5 = 800 O m ontante da aplicao, em reais, :

M = 8 000 + 800 = 8 800

47

F.V

T

MATEMTICA FINANCEIRA

2) Vamos obter o montante de uma aplicao de R$ 5 000,00 a juros simples e taxa de 3% a.m ., durante 2 anos.

Seja C = 5 000, i = 3% a.m. e n = 24 meses.Para calcular os juros simples, temos:

J = 5 000 (0,03) 24 = 3 600 E, conseqentem ente, o m ontante dado por:

M = 5 000 + 3 600 = 8 600 Assim, o valor do m ontante R$ 8 600,00.

3) Vamos determ inar o capital que aplicado a ju ro s sim ples, taxa de 1,5% a.m ., durante 6 meses resulta em um m ontante de R$ 14 000,00. Seja C o capital procurado, temos:

C + J = 14 000Portanto:

C + C - ( 0 , 0 1 5 ) - 6 = 14 000 1,09 C = 14 000

C . J i m = 12 844,04 1,09

Assim, o capital aplicado a ju ros simples R$ 12 844,04.

4) Uma geladeira vendida vista por R$ 1 200,00 ou a prazo com 20% de entrada mais uma parcela de R$ 1 100,00, aps 3 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiam ento?

Para calcularm os a taxa de ju ros sim ples, precisam os determ inar:

a entrada: R$ 240,00 (20% de 1 200);

o capital financiado: R$ 960,00 (1 200 - 240);

o m ontante do capital financiado: R$ 1 100,00;

o ju ro do financiam ento: R$ 140,00 (1 100 960).Assim, cham ando de / a taxa mensal de juros, podem os escrever:

140140 = 960 i 3 => 140 = 2 880 i => i = = 0,0486 = 4,86% a.m.

5) Um capital de R$ 12 000,00 aplicado a juros sim ples durante 72 dias. Qual o valor dos juros sim ples nos seguintes casos:

a) taxa de 3% a.m. b) taxa de 45% a.a.

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MATEMTICA f in a n c e ir a

Em situaes como essa (quando o prazo da operao dado em dias), costum a-se utilizar o calendrio com ercial para efeito do clculo dos juros. De acordo com essa conveno, todos os meses so considerados com 30 dias e o ano considerado com 360 dias. Dessa form a, temos:

72a) n = = 2 ,4 meses e, conseqentem ente,

J = 12 000 (0,03) 2,4 = 864

72b) n = = 0,2 anoe, conseqentem ente,

J = 12 000 (0,45) 0,2 = 1 080

EXERCCIOS

150. Obtenha os juros simples recebidos nas seguintes aplicaes:

a)

b)

c)

151. Um capital de R$ 20 000,00 aplicado a juros simples, durante 2 anos, taxa de 2% a.m. Qual o montante obtido?

152. Qual o capital que, aplicado a juros simples, taxa de 2% a.m., durante 8 meses, resulta em um montante de R$ 6 000,00?

153. Determine o capital que, aplicado a juros simples, taxa de 2,5% a.m., durante 2 anos, resulta em um montante de R$ 16 000,00.

154. Calcule o capital que, aplicado a juros simples, durante 11 meses, e taxa de 1,5% a.m., proporciona juros de R$ 700,00.

*55. o banco RST empresta R$ 2 000 000,00 a uma firma pelo prazo de 120 dias, cobrando juros simples taxa de 3% a.m. Simultaneamente, ele paga aos aplicadores dessa quantia juros simples com prazo de 120 dias, taxa de 2% a.m.a) Qual a diferena entre os juros recebidos e os pagos aps os 120 dias?b) Qual o valor dos juros pagos aos aplicadores?

Capital Taxa Prazo

5 000 2 ,5 % a.m. 8 meses

4 000 4% a.t. 1 ano e meio

7 000 1,7% a.m. 1 ano e meio

MATEMTICA FINANCEIRA

156. Roberto pretende comprar um carro usado cujo preo R$ 12 000,00 para pagamento daqui a 4 meses. Se ele conseguir aplicar seu dinheiro a juros simples e taxa de 2% a.m.:a) Quanto dever aplicar no ato da compra para fazer frente ao pagamento?b) Se o preo para pagamento vista for R$ 11 200.00, melhor ele pagar

vista ou a prazo?

157. O sr. Macedo quer dividir seu capital de R$ 30 000,00 em duas partes, uma para ser aplicada no banco A, que paga juros simples taxa de 1,8% a.m.. e a outra no banco B. que tambm paga juros simples taxa de 2,2% a.m. A aplicao no banco A por 2 anos e no B. por 1 ano e meio. Calcule o valor aplicado em cada banco de modo que os juros sejam iguais.

158. Uma televiso vendida vista por R$ 1 800.00 ou ento com R$ 400.00 de entrada mais uma parcela de R$ 1 500,00 aps 2 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?

159. Uma mquina de lavar roupa vendida vista por R$ 1 500,00 ou ento com 30% de entrada mais uma parcela de R$ 1 200.00 aps 3 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?

160. (Ibmec-SR adaptado) Classifique a sentena abaixo como verdadeira ou falsa: Um televisor vendido vista por R$ 1 000.00 ou a prazo com 10% de entrada e