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1. matemtica dante volume nico contexto e aplicaes Manual do professor Ensino Mdio e preparao para a educao superior

2. 2 M a n u a l d o P r o f e s s o r Apresentao ................................................................................................................. 3 1. Caractersticas do Volume nico .................................................................................. 5 2. Algumas idias para a utilizao do Volume nico ....................................................... 6 3. Pressupostos tericos para o ensino de Matemtica segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio.................................................. 7 4. A avaliao em Matemtica ............................................................................... 15 5. Informaes teis ao professor para sua formao continuada .......................................22 6. Referncias bibliogrcas para o professor ............................................................ 25 1. Descrio do livro do aluno .........................................................................................27 2. Observaes sobre os contedos .................................................................................27 3. Identicao em cada captulo dos problemas que envolvem contextualizao, interdisciplinaridade e integrao com outros temas matemticos...................................30 4. Exerccios complementares que envolvem contextualizao, interdisciplinaridade e integrao com outros temas matemticos.....................................................................42 Sumrio Professor A resoluo de todos os exerccios do livro Matemtica Contexto & Aplicaes, Volume nico encontra-se no Manual do Professor, impresso e fornecido juntamente com o livro-texto. Parte I Parte II 2

3. 3M a n u a l d o P r o f e s s o r Do Autor O autor licenciado em Matemtica pela Unesp de Rio Claro-SP, mestre em Matemtica pela USP de So Carlos-SP, doutor em Psicologia da Educao: Ensino de Matemtica pela PUC-SP e livre-docente em Educao Matemtica pela Unesp de Rio Claro. Lecionou Matemtica no Ensino Fundamental e Mdio durante 8 anos e foi professor de Didtica da Matemtica e Prtica de Ensino na Licenciatura em Matemti- ca da UnespRio Claro-SP durante 25 anos. Um dos idealizadores e coordenador do Mestrado em Educao Matemtica da UnespRio Claro-SP, onde foi professor e pes- quisador por 10 anos, realizando estudos e pesquisas em ensino e aprendizagem da Matemtica com alunos e professores, e divulgando-os em congressos nacionais e internacionais em 13 pases. Orientou, ainda, 8 dissertaes de Mestrado em Educao Matemtica. Alm disso, ministrou (e ainda ministra) centenas de palestras e cursos de atualizao, em todo o pas e no exterior, para professores de Educao Infantil, do Ensino Fundamental e do Ensino Mdio, sobre problemas relacionados com a aprendizagem e o ensino da Matemtica nesses nveis. Com base nessa vasta experincia em Educao Matemtica, escreveu vrios artigos e livros para alunos e professores, sempre buscando tornar a Matemtica mais signicativa e mais prazerosa aos alunos, alm de mais prxima de sua vivncia, estimu- lando-os a fazer Matemtica, descobrindo e produzindo idias matemticas, formulando e resolvendo situaes-problema. Seus principais livros, todos publicados pela Editora tica, so: s Matemtica Contexto & aplicaes, 3 v. (Ensino Mdio) s Didtica da resoluo de problemas de Matemtica 1 a 5 srie s Coleo Par ou mpar Fichas de Matemtica para a pr-escola (3 v.) s Didtica da Matemtica na pr-escola s Vivncia e Construo Coleo de Matemtica de 1 a 4 srie s Tudo Matemtica Coleo de Matemtica de 5 a 8 srie Assessorou na elaborao dos guias e das propostas curriculares de Matemtica para a rede pblica do estado de So Paulo e dos Parmetros Curriculares Nacionais (PCNs) de Matemtica da SEF/MEC. Atualmente, assessora muitas escolas da rede particular em seus planejamentos. Apresentao

4. 4 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o Agora, o autor apresenta esta obra para o Ensino Mdio, colocando nela toda sua experincia, formao e vivncia em Educao Matemtica. Um livro que procura incor- porar grande parte dos avanos obtidos em estudos e pesquisas realizados em Educa- o Matemtica nas ltimas dcadas, sem, no entanto, exagerar em inovaes que di- cultem o trabalho signicativo do professor em sala de aula. Do Livro O livro Matemtica Contexto & Aplicaes, Volume nico para o Ensino Mdio contempla todos os contedos de Matemtica para esse nvel de ensino ao abor- dar os grandes eixos temticos: nmeros, funes (am, quadrtica, modular, exponencial, logartmica, trigonomtricas, polinomiais, seqenciais), lgebra (equaes polinomiais, matrizes e sistemas), Geometria (plana, espacial e analtica), Estatstica, probabilidade e Matemtica nanceira, sempre que possvel contextualizados, integrados entre si e de maneira interdisciplinar com as demais reas do conhecimento por meio de aplicaes. Este livro no s traz todos os assuntos essenciais para o nvel mdio como tambm prepara o aluno para os processos seletivos de ingresso educao superior. As atividades propostas procuram estimular a reexo, possibilitando a construo, a apropriao gradativa e a xao dos conhecimentos. Do Manual do Professor O Manual do Professor composto de duas partes. Uma parte geral e uma parte especca para cada volume. A parte geral contm: 1. Caractersticas do Volume nico 2. Algumas idias para a utilizao do Volume nico 3. Pressupostos tericos para o ensino de Matemtica segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio 4. A avaliao em Matemtica 5. Informaes teis ao professor para sua formao continuada 6. Referncias bibliogrcas para o professor A parte especca contm: 1. Descrio do livro do aluno 2. Observaes sobre os contedos 3. Identicao em cada captulo dos problemas que envolvem contextualizao, interdisciplinaridade e integrao com outros temas matemticos 4. Exerccios complementares que envolvem contextualizao, interdisciplinaridade e integrao com outros temas matemticos

5. 5M a n u a l d o P r o f e s s o r 1. Caractersticas do Volume nico Introduo Como qualquer outro material didtico, o livro deve ser visto como mais um importante auxiliar do professor que busca ensinar Matemtica de modo mais significativo para o aluno, com assuntos da vivncia dele, desenvolvendo conceitos com compreenso e situaes-problema interessantes, contextualizadas ou interdisciplinares. Este livro e a Educao Matemtica Para se constituir realmente nesse importante auxiliar do professor, Matemtica Contexto & Aplicaes, Volume nico incorporou muitos dos recentes avanos dos estudos e das pesquisas em Educao Matemtica. Em geral, os conceitos so desencadeados a partir de um problema, como recomendado hoje pelos educadores matemticos que trabalham com resoluo de problemas; a modelagem matemtica feita pela procura de modelos matemticos a partir de problemas reais; e o uso da tecnologia de informao, como calculadoras, feito em vrios momentos do livro. Ensinando por compreenso, contextualizando e aplicando A tnica deste livro ajudar o aluno a construir, desenvolver e aplicar idias e conceitos matemticos, sempre compreendendo e atribuindo significado ao que est fazendo, evitando a simples memorizao e mecanizao. E tudo isso partindo de situaes-problema contextualizadas e, poste- riormente, aplicando os conceitos em situaes cotidianas ou em outras reas do conhecimento. Integrao Este livro procura em muitos momentos fazer a integrao entre os grandes eixos temticos, nmeros, funes, lgebra, Geometria, contagem, Estatstica e probabilidade, que ser explici- tada na parte especfica deste Manual. Contextualizao Sempre que possvel, o desencadeamento de novos conceitos foi feito por meio de situaes- problema contextualizadas. Muitos dos exemplos e dos exerccios propostos tambm foram apresen- tados por meio de situaes contextualizadas, como veremos na parte especfica. Interdisciplinaridade Em muitos problemas e exerccios deste volume nico procurou-se aplicar conceitos matemticos na soluo de situaes de outros componentes curriculares, como Fsica, Qumica, Biologia, etc. Eles sero explicitados mais adiante na parte especfica deste Manual. Parte I

6. 6 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o Trabalhando com raciocnio: seo Para Reetir Esta uma seo importante do livro. Ela chama a ateno do aluno para refletir, constatar, descobrir ou provar algo. Exemplos Os exemplos tm a finalidade de mostrar as vrias abordagens de resoluo de uma determinada questo ou problema. No devem ser vistos como modelos que os alunos apenas imitam e dos quais repetem estratgias. Exerccios propostos H uma grande variedade e quantidade de exerccios e problemas para o aluno consolidar os seus conhecimentos. Quanto mais problemas variados o aluno resolver, mais bem preparado estar para enfrentar problemas novos e inditos. Exerccios e testes de reviso No nal de cada captulo, h uma seo de exerccios e testes para o aluno revisar o contedo aprendido no captulo. Em geral, os testes foram selecionados de vestibulares recentes, ou, quando muito signicativos, de vestibulares mais antigos. Testes nais No nal do livro h 300 questes de vestibular (dos ltimos anos) relativas matria dos trs anos do Ensino Mdio. Tudo isso possibilita ao aluno vericar o nvel de aprendizagem conseguido. 2. Algumas idias para a utilizao do Volume nico Cada professor tem a sua prpria maneira de dar aula. Apesar disso, esboamos aqui uma espcie de roteiro que o professor poder seguir, dependendo de suas caractersticas prprias. Natu- ralmente, bastante salutar que cada professor, com sua criatividade e experincia de sala de aula, modique tal roteiro, sempre visando aprendizagem signicativa dos seus alunos. Esboo de roteiro Leitura Os alunos fazem a leitura do texto, que pode ser individualmente, em duplas, em grupos maiores, com ou sem ajuda do professor. Isso auxilia a interpretao e a compreenso de texto e desenvolve a autonomia dos alunos. Destaques feitos pelo professor O professor estimula a discusso em classe do que foi lido, promovendo troca de idias entre os alunos e destacando os pontos fundamentais na lousa. Exemplos Os alunos, coletivamente ou no, estudam os exemplos e tiram dvidas das passagens que no entenderam. s vezes, a critrio do professor, importante que refaam esses exemplos no caderno.

7. 7M a n u a l d o P r o f e s s o r Exerccios propostos Na classe, os alunos tentam resolver individualmente tais exerccios. Depois, em pequenos grupos, conferem suas estratgias e resultados. O professor, circulando entre os grupos, acompanha, ajuda, instiga, faz perguntas, destaca idias fundamentais, sente as dificuldades dos alunos e solicita que alguns exerccios sejam resolvidos na lousa. Exerccios e testes de reviso Os alunos resolvem individualmente, em casa, alguns exerccios indicados pelo professor. Na classe, ao corrigir e discutir os exerccios, alguns alunos mostram suas solues na lousa, com eventuais observaes do professor. Em seguida, o professor pode estimular os alunos a resolver algumas questes do final do livro. 3. Pressupostos tericos para o ensino de Matemtica segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio Introduo Na nova Lei de Diretrizes e Bases da Educao Nacional (Lei n 9 394/96), a educao escolar compe-se de: Educao Bsica, formada pela Educao Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Mdio, e Educao Superior. A educao bsica tem por finalidade desenvolver o educando, assegurar-lhe a formao comum indispensvel para o exerccio da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir no trabalho e em estudos superiores. Objetivos do Ensino Mdio O Ensino Mdio, etapa final da educao bsica, com durao mnima de trs anos, tem como finalidades: I a consolidao e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental, possibilitando o prosseguimento dos estudos; II a preparao bsica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condies de ocupa- o ou aperfeioamento posteriores; III o aprimoramento do educando como ser humano, incluindo a formao tica e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crtico; IV a compreenso dos fundamentos cientfico-tecnolgicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prtica, no ensino de cada disciplina. Alm disso, o currculo do Ensino Mdio observar as seguintes diretrizes: I destacar a educao tecnolgica bsica, a compreenso do significado da Cincia, das Letras e das Artes; o processo histrico de transformao da sociedade e da cultura; a lngua portuguesa como instrumento de comunicao, acesso ao conhecimento e exerccio da cidadania; II adotar metodologias de ensino e de avaliao que estimulem a iniciativa dos estudantes. Os contedos, as metodologias e as formas de avaliao sero organizados de tal forma que, ao nal do Ensino Mdio, o educando demonstre: I domnio dos princpios cientficos e tecnolgicos que presidem a produo moderna; II conhecimento das formas contemporneas de linguagem; III domnio dos conhecimentos de Filosofia e Sociologia necessrios ao exerccio da cidadania.

8. 8 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o Diretrizes Curriculares para o Ensino Mdio O que essas diretrizes propem que o Ensino Mdio, como parte da educao bsica, seja desenvolvido de forma contextualizada e interdisciplinar. A contextualizao Tratar os contedos de ensino de forma contextualizada significa aproveitar ao mximo as relaes existentes entre esses contedos e o contexto pessoal ou social do aluno, de modo a dar significado ao que est sendo aprendido, levando-se em conta que todo conhecimento envolve uma relao ativa entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Assim, a contextualizao ajuda a desenvolver no aluno a capacidade de relacionar o apreendido com o observado e a teoria com suas conseqncias e aplicaes prticas. A interdisciplinaridade Prope-se que a organizao e o tratamento dos contedos do ensino e as situaes de aprendizagem sejam feitos de modo a destacar as mltiplas interaes entre as vrias disciplinas do currculo, superando sempre que possvel a fragmentao entre elas. sabido que algumas disciplinas se identificam, se aproximam, tm muitas afinidades (como, por exemplo, a Matemtica e a Fsica), enquanto outras se diferenciam em vrios aspectos: pelos m- todos e procedimentos que envolvem, pelo objeto que pretendem conhecer ou ainda pelo tipo de habilidade que mobilizam naquele que as investiga, conhece, ensina ou aprende. Os professores de uma mesma classe podem promover um ensino interdisciplinar por meio de um projeto de investigao, um plano de interveno ou mesmo de uma atividade. Neste caso, so iden- tificados os conceitos e procedimentos de cada disciplina que podem contribuir nesta tarefa, descrevendo-a, explicando-a, prevendo solues e executando-a. Numa tarefa como essa, os conceitos podem ser formalizados, sistematizados e registrados no mbito das disciplinas que contribuem para o seu desenvolvimento, ou seja, a interdisciplinaridade no pressupe a diluio das disciplinas. A tarefa a ser executada que interdisciplinar na sua concepo, execuo e avaliao. A linguagem matemtica interdisciplinar com as demais reas do currculo. Por exemplo, os conceitos das Cincias Naturais (Fsica, Qumica e Biologia) e as leis naturais geralmente so expressos pela linguagem matemtica. A Matemtica no Ensino Mdio Princpios norteadores Os estudos e pesquisas das ltimas dcadas em Educao Matemtica (rea do conhecimento que estuda a aprendizagem e o ensino da Matemtica) e as prticas educativas bem-sucedidas em sala de aula sugerem que devemos ter em mente os seguintes princpios ao ensinar Matemtica: s A Matemtica uma das mais importantes ferramentas da sociedade moderna. Apropriar-se dos conceitos e procedimentos matemticos bsicos contribui para a formao do futuro cidado que se engajar no mundo do trabalho, das relaes sociais, culturais e polticas. Para exercer plenamente a cidadania preciso saber contar, comparar, medir, calcular, resolver problemas, argumentar logicamente, conhecer formas geomtricas e organizar, analisar e interpretar criticamente as informaes. A viso da Matemtica como uma maneira de pensar, como um processo em permanente evoluo (no sendo algo pronto e acabado que apenas deve ser estudado), permite ao aluno, dinamicamente, a construo e apropriao do conhecimento. Permite tambm que o aluno a

9. 9M a n u a l d o P r o f e s s o r compreenda no contexto histrico e sociocultural em que ela foi desenvolvida e continua se desenvolvendo. s Compreender e usar as idias bsicas de Matemtica no seu dia-a-dia um direito de todos os alunos, e no apenas daqueles que tm mais afinidade com o raciocnio lgico. A Matemtica est presente em praticamente tudo, com maior ou menor complexidade. Perceber isso compreender o mundo sua volta e poder atuar nele. E a todos, indistintamente, deve ser dada essa possibilidade de compreenso e atuao como cidado. Em casa, na rua, no comrcio, nas vrias profisses, na cidade, no campo, nas vrias culturas, o homem necessita contar, calcular, comparar, medir, localizar, representar, interpretar, etc., e o faz informalmente, sua maneira, com base em parmetros do seu contexto sociocultural. preciso que esse saber informal, cultural, se incorpore ao trabalho matemtico escolar, dimi- nuindo a distncia entre a Matemtica da escola e a Matemtica da vida. s Numa sociedade do conhecimento e da comunicao, como ser a do terceiro milnio, preciso que os alunos comecem a comunicar idias, procedimentos e atitudes matemticas, falando, dramatizando, escrevendo, desenhando, representando, construindo tabelas, diagramas e grficos, fazendo estimativas, conjecturas e inferncias lgicas, etc. Tudo isso trabalhando individualmente, em duplas e em pequenas equipes, colocando o que pensam e respeitando o pensamento dos colegas. s Os contedos devem ter relevncia social, propiciando conhecimentos bsicos essenciais para qualquer cidado (contar, medir, calcular, resolver problemas, reconhecer frmulas, compreender a idia de probabilidade, saber tratar as informaes, etc.). Precisam estar articulados entre si e conectados com outras reas do conhecimento, promovendo a interdisciplinaridade. s Aprender Matemtica aprender a resolver problemas. Para resolver problemas preciso apropriar-se dos significados dos conceitos e procedimentos matemticos para saber aplic-los em situaes novas. Assim, fundamental que tais conceitos e procedimentos sejam trabalhados com a total compreenso de todos os significados associados a eles. s Os materiais didticos auxiliares do professor, quando adequadamente utilizados, ajudam na compreenso dos conceitos e procedimentos matemticos. Do quadro-de-giz ao computador incluindo o caderno de problemas, exerccios e desafios, o caderno quadriculado, o caderno de desenho e construes, os instrumentos (rgua, esquadro, transferidor, compasso, etc.), livros didticos e paradidticos, jogos, o material de sucata e estruturado, a calculadora, os vdeos e CD-ROMs , todos eles, quando clareiam idias e ajudam o aluno a pensar e construir conhecimentos, so fundamentais. s A avaliao dos objetivos traados, dos contedos trabalhados, dos mtodos desenvolvidos, dos materiais didticos usados e do envolvimento e crescimento dos alunos precisa ser natural, contnua, com a finalidade de verificar o que no vai bem no processo ensino/aprendizagem, para reorient-lo continuamente por aproximaes sucessivas. Objetivos gerais do ensino da Matemtica do nvel mdio Atualmente vivemos na sociedade da informao, globalizada, e fundamental que se desenvolva nos alunos do Ensino Mdio a capacidade de: comunicar-se em vrias linguagens; investigar, resolver e elaborar problemas; tomar decises, fazer conjecturas, hipteses e inferncias; criar estratgias e procedimentos, adquirir e aperfeioar conhecimentos e valores; trabalhar solidria e cooperativamente; e estar sempre aprendendo.

10. 10 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o No Ensino Fundamental, os alunos tiveram um primeiro contato com vrios temas matemticos, como nmeros, formas geomtricas, grandezas e medidas, iniciao lgebra, aos grficos e s noes de probabilidade. Agora, no Ensino Mdio, hora de ampliar e aprofundar tais conhecimentos, estudar outros temas, desenvolver ainda mais a capacidade de raciocinar, de resolver problemas, generalizar, abstrair e de analisar e interpretar a realidade que nos cerca, usando para isso o instrumental matemtico. Assim, a Matemtica no Ensino Mdio tem um carter tanto formativo, que auxilia a estruturao do pensamento e do raciocnio lgico, quanto instrumental, utilitrio, de aplicao no dia-a-dia, em outras reas do conhecimento e nas atividades profissionais. Por outro lado, a Matemtica tem caractersticas prprias, tem uma beleza intrnseca que deve ser ressaltada na importncia dos conceitos, das propriedades, das demonstraes dos encadeamentos lgicos, do seu aspecto dedutivo, fundamentando seu carter instrumental e validando intuies e conjecturas. Assim, no Ensino Mdio importante trabalhar gradativamente a Matemtica tambm como um sistema abstrato de idias. Objetivos especcos da Matemtica no Ensino Mdio As atividades de Matemtica devem levar o aluno a: s compreender os conceitos, procedimentos e estratgias matemticas que permitam a ele adquirir uma formao cientfica geral e avanar em estudos posteriores; s aplicar seus conhecimentos matemticos nas atividades cotidianas, na atividade tecnolgica e na interpretao da cincia; s desenvolver a capacidade de raciocnio, de resolver problemas, de comunicao, bem como seu esprito crtico e sua criatividade; s estabelecer conexes e integrao entre diferentes temas matemticos e entre esses temas e outras reas do currculo; s expressar-se em linguagem oral e escrita e de forma grfica diante de situaes matemticas, em outras reas do conhecimento e no cotidiano, valorizando a linguagem matemtica na comunicao de idias; s usar e reconhecer representaes equivalentes de um mesmo conceito; s analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemticos, de outras reas do conhecimento e do cotidiano; s desenvolver atitudes positivas em relao Matemtica, como autonomia, confiana em relao s suas capacidades matemticas, perseverana na resoluo de problemas, gosto pela Mate- mtica e pelo trabalho cooperativo. Competncias a serem desenvolvidas com o ensino da Matemtica no Ensino Mdio (Adaptadas do documento preliminar: Cincias da Natureza, Matemtica e suas Tecnologias no Ensino Mdio Semtec/MEC) So trs os principais campos de competncia que devemos desenvolver com a Matemtica no Ensino Mdio: s representao e comunicao s investigao e compreenso s percepo sociocultural e histrica da Matemtica Em cada um desses campos de competncia, destacamos por um lado valores e atitudes e, por outro, procedimentos e habilidades.

11. 11M a n u a l d o P r o f e s s o r Competncia: representao e comunicao Valores e atitudes: o aluno deve desenvolver hbitos de trabalho e persistncia, manifes- tando interesse, organizando seus registros e trabalhos e apresentando-os de forma adequada. Procedimentos e habilidades: o aluno deve desenvolver a capacidade de comunicao e representao, lendo e interpretando corretamente situaes matemticas, usando vrias representaes (expresses matemticas, tabelas, grficos, equaes, diagramas, frmulas) para comunicar idias matemticas; deve entender fenmenos das cincias naturais e fatos do cotidiano. Competncia: investigao e compreenso Valores e atitudes: necessrio que o aluno desenvolva a confiana em si prprio, expressando e fundamentando suas opinies, enfrentando com confiana situaes novas, refletindo e formulando juzos sobre situaes com que se depara, tendo iniciativa na busca de informaes, e que desenvolva a curiosidade e o gosto de aprender, interessando-se pela pesquisa. Procedimentos e habilidades: necessrio tambm que o aluno desenvolva a capacidade de resolver problemas, compreendendo o problema (lendo e interpretando o enunciado, identificando os dados e a pergunta que se quer responder), planejando a soluo, formulando hipteses e prevendo os resultados, selecionando estratgias de resoluo, executando os planos realizados e verificando, interpretando, criticando e generalizando os resultados, elaborando novos problemas; que desenvolva o raciocnio, pensando logicamente, tirando concluses a partir de grficos, figuras e esquemas, utilizando raciocnio indutivo e dedutivo, elaborando e validando hipteses e conjecturas, argumentando logicamente. Competncia: percepo sociocultural e histrica da Matemtica Valores e atitudes: o aluno deve desenvolver a percepo do valor da Matemtica como construo humana, reconhecendo a contribuio da Matemtica para a compreenso e resoluo de problemas do homem atravs do tempo, apreciando a beleza intrnseca da Matemtica e da presen- a dela na arte, na natureza, nas cincias, na tecnologia e no cotidiano; deve desenvolver o sentido de coletividade e de cooperao, participando cooperativamente dos trabalhos em equipe, respeitando opinies divergentes das suas e aceitando as diferenas individuais, participando das solues dos problemas da comunidade escolar e da comunidade em que est inserido. Procedimentos e habilidades: necessrio que o aluno desenvolva a capacidade de utilizar a Matemtica na interpretao e interveno do real, usando a modelagem matemtica, aplicando m- todos matemticos em situaes reais e em outras reas do conhecimento, relacionando episdios da histria da Matemtica com a evoluo da humanidade, utilizando adequadamente as tecnologias da informao (calculadora, computador), reconhecendo suas potencialidades e limitaes, utilizando corretamente instrumentos de construo e medio. Orientaes metodolgicas O mundo est em constante mudana, dado o grande e rpido desenvolvimento da tecnologia. Mquinas de calcular, computadores, Internet, etc. so assuntos do dia-a-dia, e todos eles tm liga- es estreitas com a Matemtica. Para acompanhar essa rpida mudana, foi necessrio estudar e pesquisar como deveria ser o ensino de Matemtica no Ensino Fundamental e Mdio. Nas ltimas dcadas, muitos pesquisadores da Psicologia cognitiva se dedicaram a estudar e pesquisar como os alunos aprendem, como aplicam o que aprendem para resolver situaes-problema,

12. 12 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o como constroem conceitos, qual a maturidade cognitiva necessria para se apropriar, com significado, de determinado conceito, como a interao com o meio social desenvolve a aprendizagem, dentre muitos outros assuntos. A partir da surgiu o movimento socioconstrutivista que estamos viven- ciando atualmente. Aproveitando tais pesquisas e estudos, educadores matemticos do mundo todo comearam a se reunir em grupos e em congressos internacionais para discutir como usar todos esses avanos da Psicologia cognitiva. Teve incio, ento, um grande movimento internacional de melhoria da aprendizagem e do ensino da Matemtica, surgindo a Educao Matemtica rea do conhecimento j consolidada, que vem contribuindo muito, por meio de estudos e pesquisas, para mudar o ensino da Matemtica no mundo todo. Os avanos j conquistados pela Educao Matemtica indicam que, para que o aluno aprenda Matemtica com significado, fundamental: s trabalhar as idias, os conceitos matemticos intuitivamente, antes da simbologia, antes da linguagem matemtica. Por exemplo, antes de ser apresentada em linguagem matemtica, a idia de funo deve ser trabalhada de forma intuitiva com o aluno. Uma situao-problema que torna isso possvel : Considere a quantidade de litros de gasolina e os preos respectivos a pagar: O preo a pagar dado em funo da quantidade de litros que se coloca no tanque, ou seja, o preo a pagar depende do nmero de litros comprados. Depois desse trabalho intuitivo calcado na construo de conceitos que, pouco a pouco, vamos introduzindo a linguagem matemtica: A cada x de A corresponde um nico f(x) de B, levado pela funo f. s que o aluno aprenda por compreenso. O aluno deve saber o porqu das coisas, e no simplesmente mecanizar procedimentos e regras. Por exemplo, no basta dizer que o nmero racional 0,3333... igual a ; preciso, para a sua compreenso, saber por que isso ocorre, fazendo: x 0,3333... 10x 3,333... 3 0,333... 3 x 9x 3 x s estimular o aluno para que pense, raciocine, crie, relacione idias, descubra e tenha autonomia de pensamento. Em lugar de simplesmente imitar, repetir e seguir o que o professor fez e ensinou, o prprio aluno pode e deve fazer Matemtica, descobrindo ou redescobrindo por si s uma idia, uma propriedade, uma maneira diferente de resolver uma questo, etc. Para 1 2 3 ... 50 0,80 1,60 2,40 ... 40,00 Quantidade de litros () Preo a pagar (R$) x f(x) A B f f: A B x f(x) 3 9 --------- 3 9 --------- 1 3 ---------

13. 13M a n u a l d o P r o f e s s o r que isso ocorra, preciso que o professor crie oportunidades e condies para o aluno descobrir e expressar suas descobertas. Por exemplo, desafios, jogos, quebra-cabeas, problemas curio- sos, etc. ajudam o aluno a pensar logicamente, a relacionar idias e a realizar descobertas. s trabalhar a Matemtica por meio de situaes-problema prprias da vivncia do aluno e que o faam realmente pensar, analisar, julgar e decidir pela melhor soluo. Por exemplo, a seguinte situao-problema poder desencadear o estudo da funo quadrtica: Se quisermos cercar um terreno de forma retangular com uma tela de 40 m de comprimento, de modo a cercar a maior rea possvel, quais devem ser as dimenses do terreno?. Nesse caso, temos a funo quadrtica f(x) x2 20x, cujo grfico vem a seguir: rea: A(x) x(20 x) 20x x2 x2 + 20x O ponto de mximo da parbola (10, 100) dar a soluo do problema. Assim, o terreno que satisfaz as condies do problema de forma quadrada (o quadrado um caso particular de retngulo), de lado igual a 10 m e rea igual a 100 m2 . J consenso entre os educadores matemticos que a capacidade de pensar, raciocinar e resolver problemas deve constituir um dos principais objetivos do estudo da Matemtica. Para desenvolver um trabalho significativo na sala de aula com base em resoluo de problemas, veja as sugestes contidas no livro Didtica da resoluo de problemas de Matemtica, da tica, deste mesmo autor. s que o contedo trabalhado com o aluno seja significativo, que ele sinta que importante saber aquilo para a sua vida em sociedade ou que lhe ser til para entender o mundo em que vive. Por exemplo, ao trabalhar as diversas funes e seus grficos relacionando-os com a vivncia e com fenmenos das cincias naturais, ao resolver problemas de juros compostos usando logaritmos, ao coletar dados, fazer tabelas, grficos e fazer sua interpretao, ao estudar probabilidade com as leis de Mendel da Biologia, etc., o aluno percebe que tudo isso tem sentido em sua vida presente e futura. Para que o aluno veja a Matemtica como um assunto til e prtico e possa apreciar o seu poder, precisa perceber que ela est presente em praticamente tudo e aplicada para resolver problemas do mundo real e entender uma grande variedade de fenmenos. s valorizar a experincia acumulada pelo aluno fora da escola. preciso lembrar que, quando o aluno chega ao Ensino Mdio, j viveu intensamente at os seus 14 anos de idade. A partir dessa vivncia, o professor deve iniciar o trabalho de construir e aplicar novos conceitos matemticos, dando continuidade ao que o aluno j aprendeu no Ensino Fundamental e na vida. s estimular o aluno para que faa clculo mental, estimativas e arredondamentos, obtendo resultados aproximados. Por exemplo, quando o aluno efetua a diviso 306 3 e coloca 20 x permetro = 40 m x 100 10 x A(x) (10, 100)

14. 14 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o 12 como resultado, ele evidencia que no tem sentido numrico, no sabe arredondar (300 3 100), enfim, falta-lhe a habilidade de clculo mental. Muitas vezes, mais vale saber qual o resultado aproximado do que o resultado correto propriamente dito. s considerar mais o processo do que o produto da aprendizagem aprender a aprender mais do que resultados prontos e acabados. muito mais importante valorizar a maneira como o aluno resolveu um problema, especialmente se ele fez de uma maneira autnoma, original, em vez de simplesmente verificar se acertou a resposta. O mesmo se pode dizer sobre o modo de realizar operaes, medies, resolver equaes e sobre as maneiras de observar e descobrir propriedades e regularidades em algumas formas geomtricas. s compreender a aprendizagem da Matemtica como um processo ativo. Os alunos so pessoas ativas que observam, constroem, modificam e relacionam idias, interagindo com outros alunos e pessoas, com materiais diversos e com o mundo fsico. O professor precisa criar um ambiente de busca, de construo e de descoberta e encorajar os alunos a explorar, desenvolver, testar, discutir e aplicar idias matemticas. As salas de aula deveriam ser verdadeiras salas- ambiente de Matemtica, equipadas com grande diversidade de materiais instrucionais que favorecessem a curiosidade e a aprendizagem matemtica. s permitir o uso adequado das calculadoras e computadores. Em uma sociedade da comunica- o que se apia no uso das calculadoras e computadores, nada mais natural que os alunos utilizem essas ferramentas para explorar idias numricas, regularidades em seqncias, tendncias, comprovao de clculos com nmeros grandes, aplicaes da Matemtica em problemas reais, etc. Por exemplo, na resoluo de problemas, o aluno pode se concentrar mais nos mtodos, nas estratgias, nas descobertas, no relacionar logicamente idias matemticas e na generalizao do problema, deixando os clculos para que a mquina execute. s utilizar a histria da Matemtica como um excelente recurso didtico. Comparar a Matem- tica de diferentes perodos da Histria ou de diferentes culturas; por exemplo, pode-se contar o episdio no qual os pitagricos s conheciam os nmeros racionais e acreditavam apenas na existncia dos segmentos comensurveis (um pode ser medido pelo outro e a medida um nmero racional). Ao medir a diagonal do quadrado de lado igual a uma unidade, usando este lado como unidade de medida, surgem os nmeros irracionais ( , no caso) e os segmentos incomensurveis. s utilizar jogos. Os jogos constituem outro excelente recurso didtico, pois podem possibilitar a compreenso de regras, promover interesses, satisfao e prazer, formar hbitos e gerar a identificao de regularidades. Alm disso, facilitam o trabalho com smbolos e o raciocnio por analogias. s trabalhar o desenvolvimento de uma atitude positiva em relao Matemtica. Reforar a autoconfiana na resoluo de problemas, o interesse por diferentes maneiras de solucionar um problema, a observao de caractersticas e regularidades de nmeros, funes, formas geom- 2 d 1 1 O lado do quadrado e a diagonal desse quadrado so segmentos incomensurveis. d2 = 12 + 12 = 2 d = 2

15. 15M a n u a l d o P r o f e s s o r tricas, etc. Sensibilizar o aluno para organizar, argumentar logicamente e ver a beleza intrnseca da Matemtica (simetrias, regularidades, logicidade, encadeamentos lgicos, etc.). s enfatizar igualmente os grandes eixos temticos nmeros, funes, lgebra, Geometria, contagem, Estatstica e probabilidade e, de preferncia, trabalh-los integralmente. Por exemplo, quando se est estudando a funo afim, cujo grfico uma reta no-paralela ao eixo vertical, pode-se estudar um pouco de Geometria analtica explorando o coeficiente angular da reta, determinando a equao da reta que passa por dois pontos, etc. Esse tipo de atividade, que integra os eixos de contedos, muito importante para que o aluno sinta uma certa unidade na Matemtica. A alfabetizao matemtica, exigida para todo cidado do terceiro milnio, no se res- tringe a nmeros e clculos. To importante quanto os nmeros a Geometria, que permite compreender: o espao, sua ocupao e medida; as superfcies, suas formas, regularidades e medidas; as linhas, suas propriedades e medidas; e as relaes entre todas essas formas geomtricas. Atualmente, igual importncia tem a Estatstica, que cuida da coleta e organizao de dados numricos em tabelas e grficos para facilitar a comunicao. Da mesma forma, a probabilidade, que trata das previses e das chances de algo ocorrer. O tema funes, integrador por excelncia, um dos mais importantes da Matemtica. Por meio das funes e seus grficos podemos entender melhor vrios fenmenos das cincias naturais e fatos da atualidade. 4. A avaliao em Matemtica Introduo A avaliao um instrumento fundamental para fornecer informaes sobre como est se realizando o processo ensino-aprendizagem como um todo tanto para o professor e a equipe escolar conhecerem e analisarem os resultados de seu trabalho, como para o aluno verificar seu desempenho. E no simplesmente focalizar o aluno, seu desempenho cognitivo e o acmulo de contedos, para classific-lo em aprovado ou reprovado. Alm disso, ela deve ser essencialmente formativa, na medida em que cabe avaliao subsi- diar o trabalho pedaggico, redirecionando o processo ensino-aprendizagem para sanar dificuldades, aperfeioando-o constantemente. A avaliao vista como um diagnstico contnuo e dinmico torna-se um instrumento fundamental para repensar e reformular os mtodos, os procedimentos e as estratgias de ensino, para que realmente o aluno aprenda. Nessa perspectiva, a avaliao deixa de ter o carter classificatrio de simplesmente aferir acmulo de conhecimento para promover ou reter o aluno. Ela deve ser entendida pelo professor como processo de acompanhamento e compreenso dos avanos, dos limites e das dificuldades dos alunos para atingirem os objetivos da atividade de que participam. Assim, o objetivo da avaliao diagnosticar como est se dando o processo ensino-aprendizagem e coletar informaes para corrigir possveis distores observadas nele. Por exemplo, se os resultados da avaliao no foram satisfatrios, preciso buscar as causas. Pode ser que os objetivos foram superdimensionados ou que o problema esteja no contedo, na metodologia de ensino, nos

16. 16 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o materiais instrucionais, na prpria forma de avaliar ou em algum outro aspecto. O importante determinar os fatores do insucesso e reorientar as aes para sanar ou minimizar as causas e promover a aprendizagem do aluno. Em resumo, avalia-se para identicar os problemas e os avanos e redimensionar a ao educativa, visando ao sucesso escolar. O que e quando avaliar? Incidindo sobre os aspectos globais do processo ensino-aprendizagem, a avaliao oferece informaes sobre os objetivos, os mtodos, os contedos, os materiais pedaggicos, os prprios procedimentos de avaliao se houve ou no crescimento e envolvimento do aluno em todo o processo, ou at mudanas de suas atitudes. Enfim, no procede mais pensar que o nico avaliado o aluno e seu desempenho cognitivo. A ao avaliativa deve ser contnua e no circunstancial, reveladora de todo o processo e no apenas do seu produto. E esse processo contnuo serve para constatar o que est sendo construdo e assimilado pelo aluno e o que est em via de construo. Cumpre tambm o papel de identificar dificuldades para que sejam programadas atividades diversificadas de recuperao ao longo do ano letivo, de modo que no se acumulem e solidifiquem. Devendo ser contnua e processual, a avaliao no pode simplesmente definir pela aprovao ou pela reprovao. A avaliao final representa um diagnstico global do processo vivido que servir para o planejamento e a organizao da prxima srie (ou ciclo). Todavia, pode ocorrer que algum aluno no consiga um desenvolvimento equilibrado em todas as dimenses da formao apro- priada quela srie (ou ciclo), dificultando a interao com sua turma de referncia. A deciso da convenincia ou no de mant-lo mais um ano naquela srie (ou ciclo) deve ser coletiva, da equipe escolar, e no apenas de um professor. Levam-se em conta, nesse caso, o desempenho global do aluno e a pluralidade de dimenses que esto em jogo, como os benefcios da manuteno do aluno com seus pares para a socializao e o desenvolvimento equilibrado de habilidades, vivncia e con- vivncias. A permanncia de algum aluno na srie (ou ciclo) por mais um ano deve ser considerada uma situao excepcional e de modo algum uma prtica escolar habitual. Instrumentos de avaliao O que tem sido feito usualmente a verificao do aproveitamento do aluno apenas por meio de procedimentos formais, isto , aplicao de provas escritas no final do ms ou do bimes- tre. sabido que s isso no afere todos os progressos que o aluno alcanou, como: mudana de atitudes, envolvimento e crescimento no processo ensino-aprendizagem, avano na capacidade de expresso oral ou na habilidade de manipular materiais pedaggicos descobrindo suas caractersticas e propriedades, etc. Por isso, sugerem-se vrios tipos de instrumentos de avaliao: Observao e registro Ao avaliar o desempenho global do aluno, preciso considerar os dados obtidos continuamente pelo professor a partir de observaes que levem em conta os aspectos citados anteriormente e outros que possam traduzir seu aproveitamento. Esse acompanhamento das atividades, no dia-a-dia dos alunos, muito valioso, especialmente nas aulas que do oportunidade de participao, nas quais o aluno pergunta, emite opinies, levanta

17. 17M a n u a l d o P r o f e s s o r hipteses, constri novos conceitos e busca novas informaes. Alm disso, possvel observar nas atitudes dos alunos a responsabilidade, a cooperao, a organizao e outros modos de agir. Em suma, a observao permite ao professor obter informaes sobre as habilidades cognitivas, as atitudes e os procedimentos dos alunos, em situaes naturais e espontneas. O processo de observao deve ser acompanhado de cuidadoso registro, a partir de objetivos propostos e critrios bem definidos. Provas, testes e trabalhos Esses instrumentos de avaliao no devem ser utilizados como sano, punio ou apenas para ajuizar valores. Devem, sim, ser encarados como oportunidades para perceber os avanos ou dificuldades dos alunos em relao ao contedo em questo. Para isso, sua formulao deve se fundamentar em questes de compreenso e raciocnio, e no de memorizao ou mecanizao. interessante arquivar todos os trabalhos dos alunos em pastas ou portflios individuais para que eles verifiquem, periodicamente, o quanto cresceram. Entrevistas e conversas informais extremamente importante que o professor estabelea canais de comunicao entre ele e os alunos para que possa ouvir o que eles tm a dizer sobre o processo de aprendizagem e perceber o que e como esto aprendendo. Isso pode ser feito individualmente, em pequenos grupos ou em conversas coletivas. Conversando tambm se avalia o que os alunos esto aprendendo ou no. Auto-avaliao Se pretendemos construir sujeitos autnomos, preciso que o aluno exercite a reflexo sobre seu prprio processo de aprendizagem e socializao. A avaliao feita pelo prprio aluno, se bem orien- tada, muito construtiva para favorecer uma anlise crtica do prprio desempenho. Ele pode expressar-se por escrito ou oralmente: de que mais gostou ou de que menos gostou e por qu, quanto acha que aprendeu, em que teve mais dificuldade ou facilidade, o que na sua opinio deveria ser feito para melhorar seu desempenho, etc. Fichas avaliativas importante que se tenha na escola uma ficha que revele famlia, periodicamente e ao longo de todo o ano letivo, como est se desenvolvendo o processo educativo de seu filho. Nessa ficha podero constar aspectos cognitivos, dificuldades de aprendizagem, providncias tomadas para sanar as dificuldades, bem como aspectos gerais, afetivos, de socializao, organizao, atitudes, etc. Concluso Vimos, ento, que a avaliao um elemento, uma parte integrante do processo ensino-aprendizagem, abrangendo a atuao do professor, o desempenho do aluno e, tambm, os objetivos, a es- trutura e o funcionamento da escola e do sistema de ensino. algo bem mais amplo do que medir quantidade de contedos que o aluno aprendeu em determinado perodo. PORTANTO, A AVALIAO DEVE SER COMPREENDIDA COMO: s elemento integrador entre a aprendizagem e o ensino; s conjunto de aes cujo objetivo o ajuste e a orientao da interveno pedaggica para que o aluno aprenda da melhor forma; s conjunto de aes que busca obter informaes sobre o que foi aprendido e como; s elemento de reflexo para o professor sobre sua prtica educativa;

18. 18 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o s instrumento que possibilita ao aluno tomar conscincia de seus avanos, dificuldades e possibilidades; s ao que ocorre durante todo o processo de ensino-aprendizagem e no apenas em momentos especficos caracterizados como fechamento de grandes etapas de trabalho. Avaliar a aprendizagem, portanto, implica avaliar o ensino oferecido se, por exemplo, no h a aprendizagem esperada significa que o ensino no cumpriu a sua finalidade: a de fazer aprender. (Parmetros Curriculares Nacionais, v. 1 Introduo. SEF/MEC 1997 Braslia.) A avaliao em Matemtica A mudana no ensino da Matemtica deve vir acompanhada por uma transformao de nfase na maneira de avaliar o aluno. Os estudos e pesquisas em Educao Matemtica relacionados com a avaliao apontam que devemos com: Maior nfase s Avaliar o que os alunos sabem, como sabem e como pensam matematicamente. s Avaliar se o aluno compreendeu os conceitos, os procedimentos e se desenvolveu atitudes positivas em relao Matemtica. s Avaliar o processo e o grau de criatividade das solues dadas pelo aluno. s Encarar a avaliao como parte integrante do processo de ensino. s Focalizar uma grande variedade de tarefas matemticas e adotar uma viso global da Matem- tica. s Propor situaes-problema que envolvam aplicaes de conjunto de idias matemticas. s Propor situaes abertas que tenham mais que uma soluo. s Propor que o aluno invente, formule problemas e resolva-os. s Usar vrias formas de avaliao, incluindo as escritas (provas, testes, trabalhos, auto-avaliao), as orais (exposies, entrevistas, conversas informais) e as de demonstrao (materiais pedaggicos). s Utilizar materiais manipulveis, calculadoras e computadores na avaliao. Menor nfase s Avaliar o que os alunos no sabem. s Avaliar a memorizao de definies, regras e esquemas. s Avaliar apenas o produto, contando o nmero de respostas certas nos testes e provas. s Avaliar contando o nmero de respostas certas nas provas, com o nico objetivo de classificar. s Focalizar um grande nmero de capacidades especficas e isoladas. s Propor exerccios e problemas que requeiram apenas uma capacidade. s Propor problemas rotineiros que apresentam uma nica soluo. s Propor que o aluno resolva uma srie de problemas j formulados. s Utilizar apenas provas e testes escritos. s Excluir materiais manipulveis, calculadoras e computadores na avaliao.

19. 19M a n u a l d o P r o f e s s o r Indicadores para a avaliao em Matemtica Como dissemos, este volume nico contemplou algumas das atuais tendncias em Educao Matemtica. Elas dizem respeito a desenvolver um ensino que aumente o poder matemtico do aluno por intermdio da resoluo de problemas, valorizando a comunicao matemtica, a construo e a compreenso de conceitos e procedimentos. Passamos, ento, a exemplificar como avaliar tais capacidades: Avaliando o poder matemtico do aluno preciso avaliar o poder matemtico do aluno, ou seja, a sua capacidade de usar a informao para raciocinar, pensar criativamente e para formular problemas, resolv-los e refletir criticamente sobre eles. A avaliao deve analisar at que ponto os alunos integraram e deram sentido informao, se conseguem aplic-la em situaes que requeiram raciocnio e pensamento criativo e se so capazes de utilizar a Matemtica para comunicar idias. Alm disso, a avaliao deve analisar a predisposi- o dos alunos em face dessa cincia, em particular a sua confiana em fazer Matemtica e o modo como a valorizam. Por exemplo, em uma situao-problema aberta como esta: Elabore a maquete da escola a partir da sua planta, os alunos podem revelar o seu poder matemtico. Avaliando a resoluo de problemas Como a resoluo de problemas deve constituir o eixo fundamental da Matemtica escolar, o mesmo deve acontecer na avaliao. A capacidade dos alunos de resolver problemas desenvolve-se ao longo do tempo, como resultado de um ensino prolongado, de oportunidades vrias para resolu- o de muitos tipos de problemas e do confronto com situaes do mundo real. Ao avaliar essa capacidade dos alunos importante verificar se so capazes de resolver problemas no padronizados, de formular problemas a partir de certos dados, de empregar vrias estratgias de resoluo e de fazer a verificao dos resultados, bem como a generalizao deles. Identificar lacunas muito importante na elaborao de problemas. Por exemplo, em um problema do tipo: Voc vai com- prar 10 itens no supermercado. Na fila do caixa expresso (10 itens ou menos) esto seis pessoas. O caixa 1 tem uma pessoa na fila e o caixa 3 tem duas. Os outros caixas esto fechados. Para qual dos caixas voc se dirigir?, qual a informao necessria para responder pergunta? ( preciso saber o nmero de mercadorias que cada pessoa est comprando e a velocidade dos caixas.) Generalizar solues de problemas outro ponto fundamental. Por exemplo, pea aos alunos que determinem qual o valor de 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ( 25); depois, proponha que eles formulem uma expresso que fornea a soma dos n primeiros nmeros mpares. A soluo seria: 1 parcela: 1 2 parcelas: 1 + 3 4 (22 ) 3 parcelas: 1 + 3 + 5 9 (32 ) 4 parcelas: 1 + 3 + 5 + 7 16 (42 ) 5 parcelas: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 25 (52 ) n parcelas: n2 Outras informaes a respeito de resoluo de problemas podem ser obtidas no livro Didtica da resoluo de problemas de Matemtica.

20. 20 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o Avaliando a comunicao do aluno Na sala de aula discutem-se idias e conceitos matemticos, partilham-se descobertas, confir- mam-se hipteses e adquire-se conhecimento matemtico pela escrita, pela fala e pela leitura. O prprio ato de comunicar clarifica e organiza o pensamento e leva os alunos a envolverem-se na construo da Matemtica. Como a Matemtica utiliza smbolos e, portanto, tem uma linguagem prpria, especfica, s vezes a comunicao fica dificultada. Ao avaliar a comunicao de idias matemticas pelos alunos, preciso verificar se so capazes de expressar-se oralmente, por escrito, de forma visual ou por demonstraes com materiais pedaggicos; se compreendem e interpretam corretamente idias matemticas apresentadas de forma escrita, oral ou visual e se utilizam corretamente o vocabulrio matemtico e a linguagem matemtica para representar idias, descrever relaes e construir modelos da realidade. Veja a seguir um problema que envolve esses aspectos: Suponha que voc esteja ao telefone falando com um colega de turma e quer que ele desenhe algumas figuras. Escreva as instrues de modo que seu colega consiga desenhar a figura e o grfico exatamente como esto desenhados abaixo: Avaliando o raciocnio do aluno Para avaliar a capacidade de raciocnio matemtico do aluno, preciso verificar se ele identifica padres, formula hipteses e faz conjecturas. Por exemplo, pea que ele descubra como comearam e como continuam as seqncias: preciso verificar ainda se ele analisa situaes para identificar propriedades comuns. Por exemplo, o que h de comum entre o losango e o quadrado? E no que eles diferem? E tambm se ele utiliza o raciocnio espacial ou proporcional para resolver problemas. Por exemplo, pea ao aluno que desenhe um cubo planificado, ou que desenhe um cone mon- tado a partir de um planificado. Para verificar o uso do raciocnio proporcional, pergunte: Quantos alunos da escola usam culos?. Isso leva os alunos a desenvolver um processo que permita identificar os que usam culos de uma amostra de alunos e a utilizar raciocnio proporcional para determinar o nmero de alunos que usam culos em toda a escola. Para aferir o raciocnio dedutivo, pea aos alunos que justifiquem por que, se somarmos o mesmo nmero de pontos porcentagem de acertos no teste de cada aluno, a mdia das classificaes aumentar a mesma quantidade. 0, 3, 8, 15, 24, , , (n2 1; n 1, 2, 3, ...) 2, 1, , , , , , x y (35) (48) (63) 1 2 --------- 1 4 --------- 1 8 --------- 1 16 ------------- 1 32 ------------- 1 64 ------------- Quadrado Losango

21. 21M a n u a l d o P r o f e s s o r Avaliando a compreenso de conceitos A essncia do conhecimento matemtico so os conceitos. Os alunos s podem dar significado Matemtica se compreenderem os seus conceitos e significados. A avaliao do conhecimento de conceitos e da compreenso deles pelos alunos deve indicar se so capazes de verbaliz-los e defini-los; identific-los e produzir exemplos e contra-exemplos; utilizar modelos, diagramas e smbolos para representar conceitos; passar de uma forma de representao para outra; reconhecer vrios significados e interpretaes de um conceito; comparar conceitos e integr-los. Para identificar exemplos e contra-exemplos de conceitos, apresente uma questo como esta: Quais das seguintes expresses representam nmeros racionais? Para reconhecer condies que determinam um conceito, proponha que o aluno faa uma classi- ficao dos quadrilteros (4 lados). Ao separar os paralelogramos (2 pares de lados paralelos) dos trapzios (apenas 1 par de lados paralelos), o aluno demonstra que sabe identificar essas formas geomtricas pelas suas propriedades. Na continuao, pode separar os retngulos (4 ngulos retos) dos losangos (4 lados de mesma medida) e incluir os quadrados (4 ngulos retos e 4 lados de mesma medida) nos losangos, demonstrando compreenso dos conceitos de quadrado, losango, retngulo, paralelogramo e quadriltero. Para passar de uma representao de um conceito para outra, pea por exemplo que o aluno escreva a equao da reta: A integrao de conceitos pode ser trabalhada com atividades do tipo: Una os pontos mdios dos lados de um trapzio issceles. Qual figura se obtm? Justifique sua resposta. Avaliando procedimentos matemticos Procedimentos matemticos so, por exemplo, os algoritmos ou as tcnicas de clculo, so as maneiras para traar retas paralelas, perpendiculares, ngulos, etc. A avaliao do conhecimento de procedimentos dos alunos deve indicar se so capazes de executar uma atividade matemtica com conana e ecincia; de justicar os passos de um procedimento, reconhecer se ele adequado ou no a determinada situao e se funciona ou no; e, so- bretudo, se so capazes de criar novos procedimentos corretos e simples. Para verificar se o aluno conhece as razes dos passos de um procedimento, pea por exemplo que ele justifique cada passagem da multiplicao (x + 3)(x + 2): (x + 3)(x + 2) x(x + 2) + 3(x + 2) x2 + 2x + 3x + 6 x2 + (2 + 3)x + 6 x2 + 5x + 6 Para verificar se o resultado de um procedimento est correto, proponha, por exemplo, que o aluno inverta a matriz A e verifique se o resultado realmente a inversa dela. 0 1,3434 5,6 1,121121112... 25% 2 3 --------- 4 5 --------- 5 16 6 2 ------------ x y 3 1 1 4

22. 22 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o Como ver o erro do aluno em Matemtica Muito se aprende por tentativas e erros, por aproximaes sucessivas e aperfeioamentos. Por isso, os erros cometidos pelo aluno devem ser vistos naturalmente como parte do processo ensino- aprendizagem; e, na maioria das vezes, possvel us-los para promover uma aprendizagem mais significativa. Para isso, fundamental que o professor analise o tipo de erro cometido pelo aluno. Ao fazer isso, poder perceber quais foram, de fato, as dificuldades apresentadas e, assim, reorientar sua ao pedaggica com mais eficcia para san-las. Por exemplo, so freqentes os erros na execuo do algoritmo da subtrao. Ao fazer 135 68, o aluno erra porque no colocou os algarismos das unidades, das dezenas, etc. de um nmero em cor- respondncia aos mesmos algarismos do outro nmero, ao armar o algoritmo, ou porque subtraiu 5 de 8 e 3 de 6, pensando numa orientao geral que recebeu: subtraia sempre o menor do maior, ou porque se equivocou nos clculos, ou porque no compreendeu as idias associadas subtrao (tirar e comparar), ou porque se distraiu, etc. O ato de mostrar ao aluno onde, como e por que ele cometeu o erro ajuda-o a superar lacunas de aprendizagem e equvocos de entendimento. Com o repertrio de todos os erros mais freqentes cometidos pelos alunos, o professor, ao trabalhar aquele assunto, saber chamar a ateno para os pontos mais crticos e, com isso, diminuir a possibilidade de erro. 5. Informaes teis ao professor para sua formao continuada A importncia da atualizao Todos ns, professores, sabemos que extremamente importante estarmos sempre atualizados, especialmente porque o mundo est em constantes e rpidas mudanas. Estamos sempre aprendendo coisas novas, quer com o aluno na nossa prpria vivncia de sala de aula, quer consultando grupos de estudos e pesquisas ou publicaes (livros, revistas, jornais, etc.), ou ainda trocando idias e experincias em cursos, encontros, congressos, etc. Tudo isso o que hoje chamamos formao continuada do professor, ou seja, seu diploma apenas um primeiro estgio da sua formao. Entretanto, nem sempre o professor tem informaes precisas sobre onde e como obter orientaes para o seu trabalho no dia-a-dia. H no pas muitos grupos estudando e pesquisando o ensino e a aprendizagem da Matemtica (Educao Matemtica) e que realizam cursos, palestras e orientaes tcnicas para professores. H tambm muitas publicaes dessa rea que podem auxiliar o trabalho dirio do professor com os alunos. Com quem se comunicar? A seguir esto alguns endereos, em ordem alfabtica, pelos quais voc poder se comunicar com esses grupos e obter as publicaes, para se integrar nesse movimento nacional de melhoria da qualidade do ensino da Matemtica e para saber que no est s nessa difcil, mas graticante, tarefa de trabalhar prazerosamente as primeiras idias matemticas com as crianas e os jovens.

23. 23M a n u a l d o P r o f e s s o r Centro de Aperfeioamento do Ensino de Matemtica CAEM Instituto de Matemtica e Estatstica (IME) da USP Rua do Mato, 1010 Bloco B Sala 167 Cidade Universitria CEP 05508-900 So PauloSP Tel.: 0(XX)11 818-6160 Fax: 0(XX)11 814-4135 Informe-se sobre cursos, palestras e publicaes. Centro de Cincias de Minas Gerais Cecimig Universidade Federal de Minas Gerais Faculdade de Educao Cidade Universitria Avenida Presidente Antnio Carlos, 6227 CEP 31270-010 Belo HorizonteMG Informe-se sobre cursos e publicaes. Crculo de Estudo, Memria e Pesquisa em Educao Matemtica Cepem Faculdade de Educao Unicamp Sala 1103 Caixa Postal 6120 CEP 13081-970 CampinasSP Informe-se sobre pesquisas e publicaes. Curso de Ps-graduao em Educao Matemtica IGCE/Unesp Campus de Rio Claro Caixa Postal 178 CEP 13500-230 Rio ClaroSP Telefax: 0(XX)19 534-0123 Informe-se sobre cursos, revistas e pesquisas j realizadas. Faculdade de Educao USP Departamento de Metodologia Avenida da Universidade, 308 CEP 05508-900 So PauloSP Tel.: 0(XX)11 818-3517 Fax: 0(XX)11 818-3149 Informe-se sobre cursos e publicaes. Furb Departamento de Matemtica Rua Antnio da Veiga, 140 Caixa Postal 1507 CEP 89010-971 BlumenauSC Tel.: 0(XX)47 321-0200 Fax: 0(XX)47 322-8818 Grupo de Estudos e Pesquisas em Educao Matemtica Gepem Universidade Santa rsula Rua Fernando Ferrari, 75 Prdio VI Sala 1105 Botafogo CEP 22231-040 Rio de JaneiroRJ Tel.: 0(XX)21 551-5542 Fax: 0(XX)21 551-6446 Informe-se sobre cursos e publicaes. Laboratrio de Ensino de Matemtica Universidade Estadual de Campinas Unicamp Imecc Caixa Postal 6065 CEP 13082-970 CampinasSP Tel.: 0(XX)19 788-8410 Fax: 0(XX)19 239-5808 Informe-se sobre cursos e palestras. Laboratrio de Ensino de Matemtica Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Matemtica Cidade Universitria CEP 50730-540 RecifePE Tel.: 0(XX)81 271-8411 Fax: 0(XX)81 271-1833 Informe-se sobre cursos e publicaes. Laboratrio de Ensino e Aprendizagem de Cincias e Matemtica Leacim Universidade Federal do Esprito Santo Campus de Goiabeiras Avenida Fernando Ferrari, s/n CEP 29060-900 VitriaES Tel.: 0(XX)27 335-2474 Fax: 0(XX)27 335-2460 Informe-se sobre cursos e publicaes. LRDante Palestras, Cursos e Assessoria Tcnica em Educao Matemtica S/C Ltda. Avenida 48 Particular, 55 Bairro Santana CEP 13504-055 Rio ClaroSP Telefax: 0(XX)19 524-2494 Informe-se sobre palestras, cursos e orientaes tcnicas.

24. 24 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o Mestrado em Educao Matemtica PUCSP Rua Marqus de Paranagu, 111 CEP 01303-050 So PauloSP Tel.: 0(XX)11 256-1622 Informe-se sobre publicaes e pesquisas. Mestrado em Educao Matemtica Universidade Santa rsula Rua Fernando Ferrari, 75 Prdio VI Sala 1105 Botafogo CEP 22231-040 Rio de JaneiroRJ Tel.: 0(XX)21 551-5542 Fax: 0(XX)21 551-6446 Informe-se sobre cursos e pesquisas j realizadas. Projeto FundoMatemtica UFRJ Instituto de Matemtica Caixa Postal 68530 CEP 22295-900 Rio de JaneiroRJ Tel.: 0(XX)21 260-1884 Fax: 0(XX)21 290-1095 Informe-se sobre cursos e publicaes. Sociedade Brasileira de Educao Matemtica SBEM Caixa Postal 11236 CEP 05422-970 So PauloSP Tel.: 0(XX)11 814-0849 Informe-se sobre as publicaes, o endereo dessa sociedade em seu estado e como se tornar scio. Sociedade Brasileira de Matemtica SBM Estrada Dona Castorina, 110 CEP 22460-320 Rio de JaneiroRJ Tel.: 0(XX)21 529-5275 ou 529-5011 Informe-se sobre publicaes e sobre como se tornar scio. Universidade Federal do Paran Departamento de Teoria e Prtica de Ensino Rua General Carneiro, 460 Edifcio D. Pedro I CEP 80060-000 CuritibaPR Tel.: 0(XX)41 362-3038 Ramal 2278 Informe-se sobre cursos. ALGUNS RGOS GOVERNAMENTAIS Ministrio da Educao e do Desporto MEC Secretaria de Educao Mdia e Tecnolgica Esplanada dos Ministrios Bloco L 4 andar Sala 400 CEP 70047-900 BrasliaDF Tel.: 0(XX)61 410-8644 Fax: 0(XX)61 225-3474 Informe-se sobre as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio e todas as questes relacionadas com o Ensino Mdio. Secretaria de Educao a Distncia Esplanada dos Ministrios Bloco L Anexo 1 Sala 327 CEP 70047-902 BrasliaDF Tel.: 0800-61-6161 Informe-se sobre os programas da TV Escola e publicaes. Secretaria de Estado da Educao de So Paulo Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP Praa da Repblica, 53 Centro CEP 01045-903 So PauloSP Tel.: 0(XX)11 255-4077 Ramal 142 Informe-se sobre as vrias publicaes de Mate- mtica para o nvel mdio. Secretaria de Estado da Educao do Rio Grande do Sul Centro de Cincias do Rio Grande do Sul Cecirs Praa Piratini, 76 Bloco B 3 andar CEP 90042-970 Porto AlegreRS Tel.: 0(XX)51 223-3426 Fax: 0(XX)51 225-8626 Informe-se sobre cursos e publicaes. Secretarias de Educao estaduais e municipais Provavelmente a Secretaria de Educao do estado em que voc mora e tambm a do seu municpio mantm equipes pedaggicas e publicaes e oferecem cursos de Matemtica a professores. Procure se informar e participar.

25. 25M a n u a l d o P r o f e s s o r 6. Referncias bibliogrficas para o professor Sobre contedos VILA, Geraldo. Introduo s funes e derivada. So Paulo, Atual. CARAA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemtica. Lisboa. Coleo do Professor de Matemtica. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemtica (SBM). 12 v. Coleo Matemtica: aprendendo e ensinando. Vrios autores, So Paulo, Atual/MIR. Vrios volumes. DAVIS, Philip J. & HERSH, R. A experincia matemtica. Introduo de Joo Bosco Pitombeira. Rio de Janeiro, Francisco Alves. LIMA, Elon Lages et alii. A Matemtica do Ensino Mdio. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemtica (SBM). 2 v. (Coleo do Professor de Matemtica.) PITOMBEIRA, Joo Bosco, coord. Telecurso 2000 1 e 2 graus Matemtica. Rio de Janeiro, Globo. Revista do Professor de Matemtica. SBM. (Para assin-la, escreva para Caixa Postal 66281 CEP 05389-970, So Paulo, SP.) Sobre metodologia do ensino da Matemtica ADLER, Irving. Matemtica e desenvolvimento mental. So Paulo, Cultrix. AEBLI, Hans. Didtica psicolgica; aplicao didtica da psicologia de Jean Piaget. Rio de Janeiro, Nacional. CARRAHER, Terezinha. Aprender pensando. Rio de Janeiro, Vozes. et alii. Na vida dez, na escola zero. So Paulo, Cortez. CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do ensino da Matemtica. So Paulo, Cortez. CONVERSA de professor Matemtica. Cadernos da TV Escola MEC/SED. COXFORD, Arthur F. & SHULTE, Albert P., orgs. As idias da lgebra. So Paulo, Atual. DAMBRSIO, Ubiratan. Da realidade ao: reflexes sobre Educao e Matemtica. So Paulo, Summus/Unicamp. . Eletromagntica. So Paulo, tica. DANTE, Luiz Roberto. Algoritmos e suas implicaes educativas. Revista de Ensino de Cincias. So Paulo, Funbec. v. 12. . Criatividade e resoluo de problemas. Tese de livre-docncia, Unesp-Rio Claro-SP (mimeografado). . Didtica da resoluo de problemas de Matemtica. So Paulo, tica. . Incentivando a criatividade atravs da educao matemtica. Tese de doutorado. PUC-SP (mimeografado). . Uma proposta para mudanas nas nfases ora dominantes no ensino da Matemtica. Revista do professor de Matemtica. So Paulo, SBM. v. 6.

26. 26 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o KOETHE, S. Pensar divertido. So Paulo, Herder. LINDQUIST, M. M. & SHULTE, A. P., orgs. Aprendendo e ensinando Geometria. So Paulo, Atual. LOVELL, Kurt. O desenvolvimento dos conceitos matemticos e cientficos na criana. Porto Alegre, Artes Mdicas. MACEDO, Lino de. A importncia dos jogos para a construo do conhecimento na escola (mimeografado). MACHADO, Nilson Jos. Epistemologia e didtica. So Paulo, Cortez. . Matemtica e lngua materna: anlise de uma impregnao mtua. So Paulo, Cortez/ Autores Associados. NETO, Ernesto Rosa. Didtica da Matemtica. So Paulo, tica. PARRA, Ceclia & SAIZ, Irma, orgs. Didtica da Matemtica: reflexes psicopedaggicas. Porto Alegre, Artes Mdicas. PIRES, Clia M. C. Currculos de Matemtica: da organizao linear idia de rede. Tese de doutorado. Faculdade Educativa USP-SP (mimeografado). POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro, Intercincia. Proposta curricular para o ensino da Matemtica 2 grau. So Paulo, SEE-CENP. RATHS, Louis E. Ensinar a pensar: teoria e aplicao. So Paulo, EPU. Revista A Educao Matemtica em Revista. Sociedade Brasileira de Educao Matemtica. So Paulo. Revista Nova Escola. So Paulo, Fundao Victor Civita. ZUNINO, Delia Lerner. A Matemtica na escola. Porto Alegre, Artes Mdicas. Sobre histria da Matemtica BOYER, Carl B. Histria da Matemtica. So Paulo, Edgard Blcher/Edusp. Coleo Tpicos de histria da Matemtica Para uso em sala de aula. Atual. Vrios volumes. GUELLI, Oscar. Coleo Contando a histria da Matemtica. So Paulo, tica. Vrios volumes. IFRAH, Georges. Os nmeros; a histria de uma grande inveno. Globo. STRUIK, Dirk J. Histria concisa da Matemtica. Lisboa, Gradiva. Sobre desaos, quebra-cabeas e jogos Coleo O prazer da Matemtica. Vrios autores. Lisboa, Gradiva. Vrios volumes. OBERMIR, Gilbert. Quebra-cabeas, truques e jogos com palitos de fsforos. Rio de Janeiro, Ediouro. Revista Globo Cincia. Globo. Revista Superinteressante. So Paulo, Abril. TAHAN, Malba. O homem que calculava. As maravilhas da Matemtica. Os nmeros governam o mundo. Matemtica divertida e curiosa. Rio de Janeiro, Record, Bloch e Ediouro.

27. 27M a n u a l d o P r o f e s s o r 1. Descrio do livro do aluno Este volume nico composto de algumas pginas introdutrias (Apresentao e Sumrio; este permite ao aluno localizar facilmente todos os assuntos), 43 captulos organizados em 9 unidades, questes do Enem de 1998 e 1999, 300 questes dos vestibulares mais recentes e respostas de todos os exerccios ao final de cada unidade. As 8 unidades e os respectivos captulos so: Unidade 1 lgebra (I): Captulo 1: Clculo numrico e algbrico; Captulo 2: Conjuntos e conjuntos numricos; Captulo 3: Funes; Captulo 4: Funo afim; Captulo 5: Funo quadrtica; Captulo 6: Funo modular; Captulo 7: Funo exponencial; Captulo 8: Logaritmo e funo logartmica; Captulo 9: Progresses; Unidade 2 Geometria plana: Captulo 10: Semelhana de tringulos; Captulo 11: Relaes mtricas no tringulo retngulo; Captulo 12: Polgonos regulares inscritos na circunferncia e comprimento da circunferncia; Captu- lo 13: reas: medidas de superfcies; Unidade 3 Trigonometria: Captulo 14: Trigonometria no tringulo retngulo; Captulo 15: Resoluo de tringulos quaisquer; Captulo 16: Conceitos trigonomtricos bsicos; Captulo 17: Funes trigonomtricas; Captulo 18: Relaes, equaes e inequaes trigonomtricas; Captulo 19: Transformaes trigonomtricas; Unidade 4 Estatstica e Matemtica financeira: Captulo 20: Noes bsicas de Estatstica; Captulo 21: Noes de Mate- mtica financeira; Unidade 5 lgebra (II): Captulo 22: Matrizes; Captulo 23: Determinantes; Captulo 24: Sistemas lineares; Captulo 25: Anlise combinatria; Captulo 26: Probabilidade; Uni- dade 6 Geometria espacial: de posio e mtrica: Captulo 27: Geometria espacial de posio uma introduo intuitiva; Captulo 28: Poliedros: prismas e pirmides; Captulo 29: Corpos redondos: cilindro, cone e esfera; Unidade 7 Geometria analtica: Captulo 30: Geometria analtica: ponto e reta; Captulo 31: Geometria analtica: circunferncia; Captulo 32: Geometria analtica: seces cnicas; Unidade 8 lgebra (III): Captulo 33: Nmeros complexos; Captulo 34: Polinmios e equaes algbricas. 2. Observaes sobre os contedos O captulo 1, Clculo numrico e algbrico, apresenta questes e exerccios com o objetivo de revisar alguns conceitos e procedimentos estudados no Ensino Fundamental. Como toda a Matemtica pode ser formulada na linguagem dos conjuntos, introduz-se essa linguagem e a notao no captulo 2. Os nmeros e o espao so os objetos mais estudados em Matemtica; da a grande importncia dos conjuntos numricos e dos conjuntos de pontos (figuras geomtricas). A ampliao dos campos numricos (dos naturais aos complexos) deve levar em conta problemas que envolvem medies, estimativas, arredondamentos, porcentagens, notao cientfica, etc. Na introduo dos nmeros irracionais, interessante associ-los geometria e s medidas (medir a diagonal do quadrado de lado 1, usando como unidade o lado desse quadrado); na introduo dos nmeros complexos, associ-los re-soluo de equaes. Por exemplo, a equao x3 8 0 pode ser escrita na forma (x 2)(x2 + 2x + 4) 0, e suas trs razes so: x 2, x 1 + i e x 1 i . Parte II 3 3

28. 28 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o No trabalho com funes importante observar que foi dado o tratamento de dependncia entre duas variveis (por exemplo, nmero de litros de gasolina e preo a pagar: o preo a pagar dado em funo da quantidade de litros que se coloca no carro), e no se apresentou a funo como caso particular de uma relao. A nfase deve ser dada nos grficos das funes e nas propriedades observadas a partir dos grficos. Como as funes constituem a linguagem pela qual os fenmenos das cincias naturais so expressos, a interdisciplinaridade aparece nesse momento de modo marcante (ver os prximos dois itens desta parte especfica). Alm das funes afim, quadrtica, exponencial e logartmica, interessante exemplificar tambm como casos de funo as seqncias (PA e PG) f: ;a1, a2, a3, ... e as funes polinomiais p: R R tal que p(x) x3 + x2 5x 6. Ao estudar a funo afim, cujo grfico uma reta no-paralela ao eixo vertical, possvel dar uma iniciao Geometria analtica (equao da reta que passa por dois pontos, coeficiente angular da reta, etc.). O mesmo ocorre em relao funo quadrtica, cujo grfico uma parbola: estuda- se diretriz, foco, etc. As progresses aritmticas constituem a ferramenta matemtica para estudar as grandezas que sofrem variaes iguais em intervalos de tempo iguais; j as progresses geomtricas so um instrumento matemtico criado para descrever grandezas que variam com taxa de crescimento constante. Uma retomada intuitiva da Geometria plana do Ensino Fundamental feita nos captulos 10, 11, 12 e 13, enfocando conceitos e procedimentos fundamentais desse assunto. Quanto Trigonometria, iniciamos com o tradicional problema da resoluo de tringulos, que consiste em determinar os elementos do tringulo (trs lados e trs ngulos) desconhecidos quando se conhecem trs deles, sendo pelo menos um deles um lado. Depois, estudamos as noes de seno e cosseno, e suas associadas tangente, cotangente, secante e cossecante, como funes reais de uma varivel real so as chamadas funes trigonomtricas. Exemplo: a funo sen: R R, que leva o nmero real x a outro nmero real sen x. Uma caracterstica importante das funes trigonomtricas que elas so peridicas e, portanto, constituem modelos matemticos adequados para os fenmenos de natureza peridica, oscilatria ou vibratria, como batimentos cardacos, som, corrente eltrica alternada, movimento dos planetas, etc. Atualmente, na Matemtica avanada (anlise de Fourier), as funes trigonomtricas tm grande importncia, uma vez que Fourier mostrou, em 1822, que qualquer funo peridica pode ser expres- sa em termos de funes trigonomtricas seno e cosseno. A Estatstica, atualmente, uma das principais ferramentas que possibilitam ler e interpretar o mundo nossa volta. A coleta de dados, a elaborao e a interpretao de tabelas e grficos, as inferncias e as predies tomam conta de qualquer atividade humana. Este captulo procura trabalhar esses assuntos de maneira contextualizada e interdisciplinar. A Matemtica financeira estuda basicamente emprstimo, juros e taxas de juros. Se C o capital, j so os juros gerados pelo emprstimo do capital e a razo i a taxa de crescimento do capital (taxa de juros), sempre referida ao perodo da operao. Esse tema, por si s, constitui um excelente instrumento matemtico de contextualizao, conforme pode ser observado nos problemas do captulo. O estudo das matrizes, dos determinantes e sistemas feito nos captulos 22 a 24. As matrizes e os determinantes so ferramentas teis na discusso e resoluo de sistemas lineares. Os sistemas lineares N* R i ai j C --------

29. 29M a n u a l d o P r o f e s s o r so modelos matemticos adequados para estudar vrios contedos de outras disciplinas, como balan- ceamento de reaes qumicas, etc. (ver item 11 desta parte). O estudo dos sistemas de inequaes lineares leva soluo de importantes problemas de programao linear. O estudo da anlise combinatria e do binmio de Newton (captulo 25) foi feito por meio de problemas, evitando-se o excesso de frmulas e casos particulares. importante que a nfase seja dada ao princpio bsico da contagem, que o princpio multiplicativo: se h x possibilidades de se tomar uma deciso e, tomada essa deciso, h y possibilidades de tomar uma segunda deciso, en- to o nmero de maneiras de tomar as duas decises em seqncia xy. Por exemplo, se h dois tipos de sorvete, de palito e de casquinha, e h trs sabores (chocolate, morango e pistache), ento h 2 3 6 possibilidades de se decidir qual sorvete pedir. Em todo o captulo, buscou-se trabalhar situaes-problema contextualizadas, prximas ao cotidiano do aluno. O captulo de probabilidade estuda as experincias aleatrias, ou seja, aquelas que, repetidas sob as mesmas condies, produzem geralmente resultados diferentes. Por exemplo, os lanamentos de moedas, dados, etc. O conjunto de todos os resultados possveis de uma experincia aleatria chamamos de espao amostral. Os subconjuntos do espao amostral so chamados de eventos. Por exemplo, no lanamento de uma moeda, o espao amostral {cara, coroa} e h 4 eventos: , A {cara}, B {coroa} e {cara, coroa}. Se colocamos que a probabilidade de ocorrer o evento e(p(E)) dada por p(E) temos p() 0; p(A) p(cara) 0,5; p(B) p(coroa) 0,5 e p() 1, o que satisfaz a definio formal de probabilidade: uma funo que associa a cada evento E um nmero p(E), tal que: para todo evento E, 0 p(E) 1; p() 1; se E1 e E2 so dois eventos que no podem ocorrer simultaneamente, isto , E1 E2 , ento p(E1 E2) p(E1) p(E2). O enfoque dado a esse captulo tambm foi o de desenvolv-lo por meio de situaes-problema contextualizadas. A Geometria espacial estudada na Unidade 6 (captulos 27 a 29). Nesse estudo, no partimos de definies, mas de objetos concretos encontrados no dia-a-dia, fazendo o reconhecimento das formas mais freqentes e familiarizando o aluno com a nomenclatura bsica. As posies relativas e propriedades de objetos geomtricos so estudadas, bem como as relaes entre figuras planas e espaciais. Nessa fase, tambm muito importante fazer a anlise de diferentes representaes das figuras planas e espaciais por meio de desenhos, planificaes e construes. A Geometria mtrica como clculo de distncias, reas e volumes tambm foi contemplada. Uma pequena introduo ao sistema dedutivo, com a demonstrao de alguns teoremas, foi apresentada com o objetivo de mostrar ao aluno o sentido e o valor de uma demonstrao. A Geometria analtica ou Geometria das coordenadas de fundamental importncia para a Matemtica e para as outras cincias. Ela permite estudar os problemas geomtricos de modo algbrico, por meio de equaes, e vice-versa. Todos os problemas de localizao podem ser estudados pela Geo- metria analtica; por exemplo, localiza-se um veculo numa rodovia fornecendo o nmero do marco de quilometragem; localiza-se um ponto no mapa fornecendo sua latitude e longitude (suas coordenadas geo- grficas); localiza-se um avio no espao fornecendo sua latitude, longitude e altitude, etc. interessante relacionar esses trs captulos com o que j foi estudado anteriormente sobre funes afins e quadrticas. nmero de resultados favorveis nmero de possveis resultados ------------------------------------------------------------------------------------------------------,

30. 30 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o Na introduo dos nmeros complexos importante associ-los resoluo de equaes; por exemplo, a equao x3 8 0 pode ser escrita na forma (x 2)(x2 2x 4) 0, e suas trs razes (uma real e duas complexas) so x 2, x 1 e x 1 Nesse tpico, interessante fazer uso da histria da Matemtica para mostrar como tais nmeros foram inicialmente concebidos e quais problemas motivaram seu aparecimento. O ltimo captulo destinado ao estudo dos polinmios e das equaes algbricas. importante ressaltar ao aluno que toda equao polinomial tem pelo menos uma raiz complexa e que, embora at a equao do 2 grau tenhamos frmulas e procedimentos prticos e imediatos para resolv-las, o mesmo no ocorre para equaes polinomiais de grau maior do que dois. 3. Identificao em cada captulo dos problemas que envolvem contextualizao, interdisciplinaridade e integrao com outros temas matemticos O quadro a seguir foi criado para permitir a rpida localizao, no livro-texto, dos trechos em que aparecem contextualizao, interdisciplinaridade e integrao com outros temas matemticos. As legendas significam: E = Exemplo EP Exerccio proposto ER Exerccio de reviso Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos 2 Conjuntos e conjuntos numricos 11 Introduo A noo de conjunto Geograa 13 Subconjuntos Quadrilteros 14 EP 11 Quadrilteros 16 E Quadrilteros EP 23 Geometria de posio Contra-positiva 18 EP 33 EP 32 Quadrilteros 19 E 1, E 2 20 EP 35, 36, 37, 38 EP 36 Literatura 21 EP 39, 40, 41, 42, 43 23 Conjunto dos nmeros irracionais Relao de Pitgoras 27 ER 62, 63, 67 ER 62 Biologia i 3 i 3 . w

31. 31M a n u a l d o P r o f e s s o r 3 Funes 28 E 1 E 4 Fsica E 2 Geometria 29 EP 3, 4 EP 1, 2 Geometria 32 E 1 E 2 Geometria 33 EP 13 EP 14, 15, 16 Geometria 34 EP 27, 28 35 E 1, 2 36 E 3, EP 30 37 EP 31 39 EP 40 Geometria 51 EP 62, 63, 64 Seqncias; EP 65 PA; EP 66 PG 52 ER 70, 74 ER 70 Ecologia; ER 74 Fsica 4 Funo am 53 Introduo 55 EP 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14 EP 12 Biologia; EP 14 Fsica EP 6 Geometria; EP 11 Porcentagem 56 EP 15, 16 EP 15 Biologia; EP 20, 21, 22, 23 Fsica EP 17, 18, 19 PA 57 EP 24, 25, 26, 27 Fsica 59 EP 31 EP 30, 37 Fsica 60 EP 38 Fsica 61 Estudo do sinal da funo am 64 EP 50, 54, 55 65 EP 56, 57, 58 66 EP 61 Fsica; Regra de trs Fsica EP 59, 60, 62 Geometria 67 EP 63, 64, 65, 68; Desao; ER 69, 70 EP 64, 65 Fsica 68 ER 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 ER 72, 74, 77 Fsica; ER 78 Biologia 69 ER 79, 81, 82, 83, 84 ER 82 Biologia Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w

32. 32 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o 5 Funo quadrtica 70 Introduo Situaes em que aparece a funo quadrtica Geometria 72 EP 4, 7, 9 EP 4, 7, 8 Fsica EP 5, 6 Geometria 76 EP 27, 28 EP 29, 30 Geometria 77 EP 31, 34, 35, 36, 37 EP 35, 37 Fsica EP 32, 33 Geometria 80 E 4 81 E 5 82 EP 58, 59, 60, 61, 62 EP 60 Fsica EP 59 Geometria 91 E 1 Fsica 92 E 2, E 3 Fsica 93 EP 98, 99, 100 Fsica 94 EP 105, 106, 107, 108, 109 EP 101, 102, 103, 104 PA 95 ER 110, 111, 113, 117, 118, 119, 120, 121 ER 113, 120 Fsica 96 ER 122, 126 ER 126 Biologia 97 ER 130, 131, 132 ER 132 Fsica 6 Funo modular 106 Uma aplicao do mdulo na Fsica EP 28 Fsica 7 Funo exponencial 108 Introduo Biologia 112 EP 12 Notao cientca Fsica 116 EP 42, 43 Sistemas 119 Aplicao Matemtica nanceira; EP 55, 56 PA e PG; EP 57 Matemtica nanceira 120 E 1, 2, 3 E 1 Biologia; E 3 Qumica E 2 Matemtica nanceira 121 EP 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67 EP 58, 62, 67 Biologia; EP 63, 64, 65, 66 Qumica EP 60 Matemtica nanceira 122 ER 73, 76 123 ER 84, 85, 86, 87, 88 ER 85, 88 Biologia ER 83 Conjuntos; ER 86, 87 Matemtica nanceira Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w

33. 33M a n u a l d o P r o f e s s o r 8 Logaritmo e funo logartmica 124 Logaritmo 129 2 observao calculadora 130 Calculadora Introduo Qumica 131 EP 34, 35 EP 34 Qumica 132 E 2 Biologia; E 3 Qumica; E 4 Geograa 133 EP 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56 EP 49, 51 Qumica; EP 50 Biologia; EP 52 Geograa EP 53, 54, 55, 56 Matemtica nanceira 140 EP 81, 83 Biologia; EP 82 Qumica 141 ER 86, 87, 88, 89 EP 84 Qumica; ER 86, 88 Biologia 142 ER 91, 92, 93, 94, 95 ER 93 Geograa; ER 94 Qumica; ER 95 Biologia 9 Progresses 143 Introduo 144 EP 5 Nmeros triangulares 145 EP 8, Introduo EP 6 Nmeros primos 147 E 6, 7 E 6 Fsica 148 EP 24, 25 EP 16, 23, 27 Geometria; EP 25 Matemtica nanceira 149 Introduo 150 E 1 151 EP 43, 44, 45, 46, 51, 52 EP 43, 44 Fsica EP 47, 49, 50, 53 Geometria 152 Introduo 153 E 4, 5 154 EP 61, 62 EP 61 Biologia 155 E 1, 5 156 E 6 Matemtica nanceira 157 EP 85, 95, 96 EP 96 Geograa EP 94 Geometria; EP 95 Matemtica nanceira 158 EP 97, 98, 100, 101 EP 97, 101 Matemtica nanceira 159 E 1, 2; EP 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108 E 2; EP 103, 108 Geograa; EP 102, 104 Biologia 161 EP 117, 118 162 E 1 Nmeros racionais Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w

34. 34 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o 9 Progresses (continuao) 163 EP 125 E 4; EP 124, 126 Geometria; EP 123 Nmeros racionais 164 E 2, 3 Matemtica nanceira 165 EP 131, 132, 133, 134, 135, 136 EP 135 Biologia EP 136, Desao Matemtica nanceira 166 ER 138, 139, 143 ER 141 Equao do 2 grau 167 ER 146, 150 ER 145 Potncias; ER 151 Geometria 168 ER 156, 157 10 Semelhana de tringulos 170 Introduo 171 E 2; EP 3 173 EP 9 174 EP 12, 13 175 ER 16 11 Relaes mtricas no tringulo retngulo 176 Introduo 177 E 2; EP 6, 7 E 2, EP 6 Fsica 178 Desao; ER 15 179 ER 21 12 Polgonos regulares inscritos na circunferncia e comprimento da circunferncia 181 EP 7, 8 182 ER 12, 13, 14, 15, 18 13 reas: medidas de superfcies 183 Introduo 188 Exemplo 189 EP 1, 3, 6, 7, 9, 12 190 EP 13, 14, 20 192 EP 21, 22, 23 EP 23 Histria da Matemtica 193 EP 26, 29, 33 195 EP 37, 39, 40, 41, 43 EP 37, 42 Porcentagem 196 EP 44, 45; ER 46, 49 197 ER 50, 52, 54, 55 198 ER 60, 62, 63, 64 ER 58 Seqncias; ER 63 Porcentagem; ER 64 Funes Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w

35. 35M a n u a l d o P r o f e s s o r 14 Trigonometria no tringulo retngulo 199 Introduo 200 EP 1, 2, 3, 4, 5 205 E 1 206 E 2, 3, 4 207 E 5; EP 11, 12 208 EP 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 209 EP 21, 22, 25, 26 EP 23 Fsica EP 24 Histria da Matemtica 210 ER 30, 31, 32, 33 EP 27, 28, 29 Fsica 211 ER 34, 35, 36, 38 ER 34 Fsica 212 ER 39, 41 ER 40, 42, 43 Fsica 15 Resoluo de tringulos quaisquer 215 Lei dos senos 217 E 1 218 EP 7; Lei dos cossenos 220 E 1 221 EP 18, 19 EP 14 Fsica 222 Desao; ER 20 Desao Fsica 223 ER 28, 29, 30, 31, 32 ER 26, 27 Fsica 16 Conceitos trigonomtricos bsicos 227 E 7; EP 5, 6 231 EP 16, 17; Desao Desao Histria 232 ER 19, 20, 21, 22, 23 ER 21 Histria da Matemtica 233 ER 27, 28, 29, 30, 31 17 Funes trigonomtricas 238 EP 8 Inequaes 242 EP 20 Inequaes 252 ER 46 Conjuntos; ER 48 Inequaes 18 Relaes, equaes e inequaes trigonomtricas 260 EP 25 EP 24 Geometria 19 Transformaes trigonomtricas 268 EP 16, 17 Rotao 269 E 2 Produtos notveis; E 4 Geometria 272 Desao Fsica EP 43 Sistemas Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w

36. 36 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o 20 Noes bsicas de Estatstica A contextualizao existe em praticamente todos os exemplos e exerccios desse captulo Estatstica e probabilidade 21 Noes de Matemtica nanceira A contextualizao existe em praticamente todos os exemplos e exerccios desse captulo Juros e funes 22 Matrizes 308 Introduo 309 EP 1 316 Multiplicao de matrizes 318 EP 48 321 E 1 322 E 2 323 EP 66, 67, 68, 69, 70; Desao; ER 72 EP 66, 67, 68, 69, 70; Desao Computao 324 ER 76, 78, 79 23 Determinantes 326 EP 1g, h Trigonometria; EP 1i Logaritmos 327 EP 7, 12 Valor numrico; EP 14 Inequaes; EP 16, 17 Trigonometria 333 Desao Geometria 334 ER 44, 45, 46 Trigonometria 24 Sistemas lineares 335 Introduo 337 E 1 Geometria 338 E 2, 3; EP 8 Geometria 341 1, 2, 3 e 4 possibilidade Geometria 342 5, 6 e 7 possibilidade Geometria 343 8 possibilidade Geometria 351 E 1 Qumica Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w

37. 37M a n u a l d o P r o f e s s o r 24 Sistemas lineares (continuao) 352 EP 42, 43, 44 E 2 Qumica 353 EP 45, 46; Programao linear o mtodo grco 354 E 2, 3 355 EP 49 356 ER 50, 51, 52, 53, 54, 55 357 ER 56, 57, 58, 59, 60, 61 ER 58 Qumica 358 ER 62, 63, 64, 65, 66, 67 ER 64 Qumica; ER 66 Fsica 25 Anlise combinatria 359 Introduo; E 1 360 E 2, 3 361 EP 1, 2, 3, 4 E 2 Portugus 362 EP 8, 12 Portugus 365 E 3, 6 E 4 Fraes 366 EP 21, 23, 25, 26, 29, 30; E 1 367 E 2 368 E 5, 6, 7 E 3, 4 Geometria 369 EP 34, 35, 37, 38, 39, 40 EP 36 Geometria 370 E 3, 5 EP 44 Portugus 371 EP 48, 49, 51, 52, 55, 56, 58, 59, 60, 62, 64, 67, 69 EP 54, 57, 63 Geometria 372 EP 70, 71, 72, 74, 76, 78, 79, 80, 81 EP 75 Conjuntos; EP 73, 77 Geometria 377 ER 100, 101, 102, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110 ER 104 Biologia 378 ER 111, 112 ER 113 Geometria Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w

38. 38 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o 26 Probabilidade 379 Introduo; E 1, 2, 3 380 EP 1, 2, 3, 6, 7, 10 EP 9 Biologia EP 4, 5 Geometria 381 E 1, 2, 3 382 E 5 383 EP 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 EP 17 Biologia 384 EP 20, 21, 22, 23 EP 22 Biologia 385 E 1, 2, 3, 4 386 EP 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 387 E 1, 3 E 2 Biologia 388 EP 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42 EP 40 Biologia 389 E 1, 2 E 2 Biologia 390 EP 49, 50, 51, 52, 53; E 1, 2 EP 49, 52 Biologia 391 EP 54, 55, 56, 57 EP 56 Biologia 392 E 1, 2 Biologia 393 Exemplo Biologia 394 E 2; EP 60, 61, 62 EP 58, 59 Biologia 395 E 1, 2 Biologia 396 E 3, 4, 5, 6; EP 63, 64, 65 Biologia 397 ER 71, 72, 73 EP 66, 67, 68, 69, 70 Biologia Desao Geometria 398 ER 74, 75, 76, 77, 79, 80 ER 78 Geometria 27 Geometria espacial de posio uma introduo intuitiva 401 EP 1 Prismas 402 EP 3 Pirmides 403 EP 4 Prismas 404 EP 5, 6, 7 Prismas 405 EP 10 EP 9, 11 Prismas 406 EP 13 EP 12 Prismas 411 EP 16 Prismas Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w

39. 39M a n u a l d o P r o f e s s o r 27 Geometria espacial de posio uma introduo intuitiva (continuao) 412 EP 17 Prismas 413 EP 19 Prismas 416 EP 23, 24 Prismas 417 EP 25 Prismas 419 ER 30 28 Poliedros: prismas e pirmides 420 Introduo 422 E 2 428 E 2 429 E 3; EP 16, 20, 22, 23 430 EP 24, 25, 26 431 E 1; EP 28, 29, 34 432 EP 36, 37, 38, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 434 E 2, 3; EP 50, 52 435 EP 53, 54, 55; As pirmides 441 EP 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87 444 EP 91, 92, 93, 94, 95, 96 445 ER 109, 110 446 ER 113, 115, 118, 119 29 Corpos redondos: cilindro, cone e esfera 447 Introduo Introduo Geograa 448 Exemplo 449 EP 2, 4, 6, 8 450 E 1; EP 9, 10, 11, 12, 13, 14 451 EP 15, 16, 17, 19 453 EP 22, 25, 28 454 E 2; EP 30, 31, 33, 34 Captulo Nmero da pgina Contextualizao Interdisciplinaridade Integrao com outros temas matemticos w w

40. 40 M a t e m t i c a C o n t e x t o & A p l i c a e s V o l u m e n i c o 29 Corpos redondos: cilindro, cone e esfera (continuao) 455 E 2 456 EP 35, 46, 47 457 EP 49, 52 458 E

144964797 matematica-dante-contexto-e-aplicacoes-volume-unico

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