1

Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as orientações das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.

2

Caderno do Aluno de Matemática – 1ª série – Volume 2

 

Páginas 4 - 6

1. Trata-se de verificar se há proporcionalidade direta ou não entre vários pares de

grandezas, expressando algebricamente tal fato e indicando o valor da constante de

proporcionalidade, quando possível.

a) A altura a de uma pessoa é uma função de sua idade t, mas não é diretamente

proporcional a t. De fato, não é verdade que, sempre que a idade de uma pessoa

dobra, sua altura também dobra; não é verdade que, se a idade triplica, então a altura

aumenta proporcionalmente, triplicando. Se houvesse proporcionalidade entre a e t,

imagine a altura de uma pessoa aos 10 anos, sabendo que aos 2 anos ela tinha 90 cm

de altura...

b) A massa m de uma pessoa é uma função de sua idade t, mas não é diretamente

proporcional a t. Se houvesse proporcionalidade direta, uma criança com 1 ano e

10 kg teria quantos quilos aos 15 anos?

c) O perímetro p de um quadrado é uma função de seu lado a.

No caso, p = f(a) = 4a. Se o lado a aumenta, o perímetro p aumenta

proporcionalmente. O perímetro p é diretamente proporcional ao lado a, sendo a

constante de proporcionalidade igual a 4.

d) A diagonal d de um quadrado é uma função do lado a; ela é diretamente

proporcional ao lado a. Temos, nesse caso, d = a 2 . A constante de

proporcionalidade é k = 2 .

e) O comprimento C de uma circunferência é uma função do diâmetro d; no caso,

C é diretamente proporcional a d, e temos C = f(d) = d, ou seja, a constante de

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

FUNÇÕES COMO RELAÇÕES DE INTERDEPENDÊNCIA: MÚLTIPLOS EXEMPLOS

3

proporcionalidade é k = . Também podemos escrever C = 2r, onde r é o raio da

circunferência.

2. De acordo com as tabelas, pode-se afirmar, então, que:

a) Há proporcionalidade direta; a produção de automóveis cresce simultaneamente

à produção de tratores; ela é diretamente proporcional à produção de tratores.

b) Não há proporcionalidade nem direta nem inversa; a área destinada à agricultura

cresce juntamente com a área destinada à pecuária,mas não proporcionalmente.

c) Não há proporcionalidade nem direta nem inversa. Não é verdade que, se o PIB

aumenta, então o IDH aumenta; também não é verdade que, se o PIB diminui, então

o IDH diminui.

d) Não há proporcionalidade nem direta nem inversa; mesmo sem haver

proporcionalidade, quando o índice de analfabetismo diminui, a expectativa de vida

aumenta.

3. Com base no fato de que os R$ 400 mil serão divididos em partes iguais entre os

n ganhadores, concluímos que a cada um deles corresponderá um valor x, sendo

n. x = 400 000, ou seja, n e x são inversamente proporcionais: n

nfx000400

)( .

nn 11 22 33 44 55 88 1100 2200

xx 400 000 200 000 133 333,33 100 000 80 000 50 000 40 000 20 000

4. Afirma-se que, para cortar a grama de um canteiro quadrado de 5 m de lado, ou seja,

de área 25 m2, um jardineiro cobrou R$ 20,00, ou seja, ele cobrou R$ 0,80 por m2.

Mantida essa proporção, para cortar a grama de um canteiro com 15 m de lado, ou

seja, com área 225 m2, ele deverá cobrar 225 . 0,80, ou seja, R$ 180,00. Outra

maneira de encaminhar a solução é a seguinte: a quantia a ser cobrada é diretamente

proporcional à área do canteiro e não ao seu lado. Se o lado triplicou, a área tornou-

se nove vezes maior e a quantia a ser paga deverá ser nove vezes maior. Faça a figura

de um quadrado com lado x (e área x2) e de outro com lado 3x para mostrar que a

área do maior é 9x2.

4

Páginas 6 - 7

1. Os pares de grandezas x e y são diretamente proporcionais, com constante de

proporcionalidade igual a 7, enquanto os pares y e z e x e z são grandezas

inversamente proporcionais, com constantes iguais a 2 100 e 300, respectivamente.

2. Notamos que a distância vertical d que a pedra percorre não é diretamente

proporcional ao tempo t de queda, mas sim ao quadrado de t: d = kt2.

a) É dado que para t = 1, então d = 4,9 m, ou seja, substituindo os valores de t e de

d, temos k = 4,9.

b) Para calcular a distância vertical percorrida após 5 s, basta substituir t por 5,

obtendo-se d = 4,9 . 52, ou seja, d = 122,5 m.

c) Substituindo-se d por 49, obtemos o tempo que a pedra levará para cair 49 m:

49 = 4,9t2, ou seja, t = 10 3,16 s.

Páginas 8 - 9

1.

a)

0 1 2 3 4 6

P 0 2,50 5,00 7,50 10,00 15,00

b) R$ 25,00.

5

c)

15 16

P 37,50 40,00

A diferença será de R$ 2,50.

d)

P= 2,5 P = f( ) = 2,5 . ; portanto, k = 2,5.

e)

Páginas 9 - 10

1. Dada uma função y = f(x), o conjunto de pontos (x; y) do plano cartesiano, tal que

y = f(x), constitui o gráfico da função. No caso das grandezas diretamente

proporcionais, sendo x

y = constante = k, ou seja, y = f(x) = kx, então o gráfico

correspondente é uma reta passando pela origem do sistema de coordenadas:

6

2. Fixada a temperatura T, a pressão P e o volume V de um gás variam segundo a

expressão P.V = k (k é uma constante). O gráfico de P em função de V é uma

hipérbole e é muito fácil de encontrar em livros de Química:

Páginas 10 - 12

1. Esse é mais um exemplo de uma situação em que a proporcionalidade direta existe

apenas no cálculo da parcela variável da corrida de táxi, existindo outra parcela fixa,

independentemente dos quilômetros rodados. Temos, no caso, P = 15 + 0,8.x (P em

reais e x em km; R$ 0,80 é o custo de cada quilômetro rodado).

a) Em uma corrida de 12 km, ou seja, para x = 12, resulta P = 15 + 0,8 . 12 =

= R$ 24,60.

7

b) A diferença entre o custo de uma corrida de 20 km e o de uma de 21 km é o

custo de 1 km rodado, ou seja, é R$ 0,80.

c) O gráfico de P em função de x é uma reta com inclinação 0,8, cortando o eixo

vertical (OP) no ponto de ordenada 15.

2. Nesse caso, temos uma variação proporcional em uma grandeza decrescente: se o

consumo diário é sempre 0,5 kg por dia, então a massa de gás consumida é

diretamente proporcional ao número de dias, e a massa restante no botijão é a

diferença entre o valor inicial, 13 kg, e a massa consumida, ou seja, m = 13 – 0,5t

(t em dias).

a) O número x de dias necessários para consumir 6 kg de gás é tal que 0,5 . x = 6,

ou seja, x = 12 dias.

b) A massa de gás que resta em um botijão após dez dias de uso é

m = 13 – 0,5 . 10 = 8 kg.

c) O gráfico de m em função de t é uma reta cortando o eixo Om no ponto de

ordenada 13 e decrescendo a uma taxa de 0,5 kg por dia:

8

Páginas 12 - 14

1.

a) Da observação direta do gráfico conclui-se que o nível mínimo da água

armazenada foi de 10 m; o máximo foi de 100 m.

b) Analogamente, observamos que o nível de 40 m foi atingido duas vezes no ano;

já o nível de 95 m foi atingido seis vezes ao longo do ano.

2. Para esvaziar um reservatório de 20 000 L, se o consumo diário for de x litros por dia,

serão necessários N dias, sendo N . x = 20 000, ou seja, N e x são inversamente

proporcionais.

a) Para x1 = 500, o número de dias N1 é tal que N1 . 500 = 20 000, ou seja, N1 = 40

dias; analogamente, para x2 = 800, o número de dias N2 é tal que N2 . 800 = 20 000,

ou seja, N2 = 25 dias.

b) O gráfico de N em função de x é uma curva que representa o fato de que, quanto

maior o valor de N, menor o de x, mantendo-se a proporção inversa (N . x = 20 000);

é a hipérbole mostrada a seguir:

3.

a) Se x e y são diretamente proporcionais, significa que y = kx. Com o ponto

(4, 12) temos 12 = 4k; portanto, k = 3. Logo, a expressão que relaciona x e y será

y = 3x.

9

b)

c) f(–2) = – 6.

10

Páginas 15 - 22

1.

Reta A

Como a reta A passa pela origem, o coeficiente b é igual a 0. Todos os seus pontos

(x; y) são tais que x

y é igual a 2 (há proporcionalidade direta entre y e x). Segue,

portanto, que y = 2x ou seja f(x) = 2x, (a = 2 e b = 0).

Reta B

Observando as retas A e B, percebemos que elas são paralelas, ou seja, o coeficiente

a é comum a ambas. Como B corta o eixo y no ponto de ordenada 2, temos b = 2, ou

seja, f(x) = 2x + 2 no caso da reta B.

Reta C

Observando as retas A e C, percebemos que elas são paralelas, ou seja, a inclinação é

a mesma, igual a 2 em ambas. Como a reta C corta o eixo y no ponto de ordenada 4,

o valor de b é 4 e temos f(x) = 2x + 4 para a reta C.

Reta D

Trata-se do caso em que o coeficiente a é igual a 0; como o valor de b é 4, então

temos a função constante e igual a 4: f(x) = 4.

Reta E

A reta E corta o eixo y no ponto de ordenada 4; logo, b = 4. Temos, então,

f(x) = ax + 4. Como a reta passa pelo ponto (3; 0), temos f(3) = 0, ou seja,

0 = a . 3 + 4. Daí, obtemos a = 3

4. Logo, f(x) = 4

3

4

x .

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

FUNÇÕES DE 1º GRAU: SIGNIFICADO, GRÁFICOS, CRESCIMENTO, DECRESCIMENTO, TAXAS

11

2.

a) O custo quando a empresa não está produzindo é chamado pelos economistas de

custo fixo. Mesmo sem produzir e vender, uma empresa tem custos fixos de aluguel

e impostos. No caso da empresa analisada no problema, seu custo fixo é de 500 reais.

b) O gráfico intersecta o eixo y no ponto de ordenada 500, o que significa dizer que

b = 500, ou seja, C(x) = ax + 500.

Usando o fato de que, para x = 10, o valor de C é 520, temos: 520 = a.10 + 500.

Logo, a = 2, e a função é C(x) = 2x + 500.

Como x é o total de litros de xampu produzidos pela empresa, essa função só faz

sentido para x 0. Matematicamente, o valor de x pode ser tão grande quanto se

quiser. Naturalmente, as condições reais de produção podem impor outros limites ao

valor de x.

c) C(1 500) = 2 . 1 500 + 500; logo, C(1 500) = R$ 3 500

C(1 500) = 3 500

d) Para C = 10 000, temos: 10 000 = 2x + 500, de onde segue que x = 4 750 L.

e) Pelo gráfico, vemos que a cada 10 L gasta-se 20 reais a mais; portanto, a cada

1 L gasta-se 2 reais a mais (esse valor é a inclinação da reta que é o gráfico).

3.

a) CF = 2 000.

b) CV(x) = 0,05.x.

c) C(x) = 0,05x + 2 000 ou C(x) = 2000 + 0,05x.

d)

12

4. Como as funções são do tipo f(x) = mx, basta substituir um par de valores de x e de

y = f(x) nessa equação para determinar o valor de m.

Em A, temos:

4 = m.(3), ou seja, m = 3

4 .

Em B, temos:

4 = m . 2, ou seja, m = 2.

Em C, temos:

4 = m . 5, ou seja, m = 5

4.

5.

a) Quando m > 0, quanto maior o seu valor, mais “em pé” estará a reta.

b) Se m > 0, a reta está inclinada para a direita (função crescente); se m < 0, a reta

está inclinada para a esquerda (função decrescente).

6.

a) Sendo x o valor gasto com comida e observando-se que acrescentar 10% a um

valor equivale a multiplicá-lo por 1,1, o valor y a ser pago será: y = 1,1x + 10.

b) O gráfico será uma reta que corta o eixo y no ponto de ordenada 10 e que tem

inclinação igual a 1,1; para x = 10, o valor de y correspondente será 21:

13

7. A empresa Negócios da China S.A. tem um custo diário de R$ 200,00 com salários e

manutenção da empresa. Cada produto produzido custa R$ 2,00 e é vendido a

R$ 5,00. Desse modo teremos:

a) O custo diário C é função do custo fixo, Cf = 200, e do custo variável, Cv = 2x,

logo, a expressão do custo total será C = 2x + 200.

b) A receita corresponderá à expressão R = 5x.

c)

Professor, vale a pena discutir com a turma o valor 66,66 de unidades produzidas,

afinal como interpretar essa quantidade de unidades? Ocorre que, na construção do

gráfico, admitimos as grandezas envolvidas como números reais, o que nos dá uma

imagem contínua dos gráficos. Este número, 66,6, servirá como um valor ainda a ser

interpretado pelo analista de produção.

d) Nesta situação, teremos R = C, logo 5x = 2x + 200, portanto x = 66,6. Deste

modo, devem ser vendidos 66 produtos para a empresa estar em equilíbrio.

8.

a) A leitura imediata no gráfico fornece o valor do tributo y = 200 reais.

b) Não, porque para 3 800 m² o imposto é de 800 reais.

c) Entre os pontos (800; 200) e (3 800; 500), temos:

y = mx + n

Para x = 800, temos y = 200, ou seja, 200 = m . 800 + n.

14

Para x = 3 800, calculemos como se tivéssemos y = 500 (mesmo sabendo que o

intervalo é aberto), apenas para ter a equação da reta: 500 = 3 800 . m + n.

Resolvendo o sistema, temos: m = 0,1 e n = 120.

A equação procurada é y = 0,1x + 120 (para 800 ≤ x < 3 800).

Desafio!

Página 22

Observando o gráfico, pode-se confirmar essa intenção. Para isso, pode-se analisar o

gráfico e concluir que a taxa de crescimento para terrenos maiores do que 3 800 m2

1200

200

80030004

8000001 é maior do que nos intervalos anteriores. Nos terrenos com

área menor que 800 m2, a taxa é 0 (não há cobrança de impostos) e, para as áreas entre

800 e 3 800 m2, a taxa é: 1,00003

300

8008003

200500

.

Páginas 23 - 26

1.

Questões (a) e (b) Temos o seguinte esquema:

Os segmentos que determinam as temperaturas nas diferentes escalas representam a

mesma parte do intervalo entre a temperatura de fusão do gelo e a de ebulição da

água, ou seja, temos a proporção:

15

32212

32

0100

0

273373

273

FCK

.

De tal proporção, concluímos que:

180

32

100100

273

FCK.

Ou seja,

K = C + 273.

F = 1,8C + 32.

c) Sendo F = 95, temos: 95 = 1,8C + 32, e então C = 35.

d) Uma temperatura de K = 300 corresponde a C = 27. Calculando em Fahrenheit,

obtemos: F = 1,8 . 27 + 32, ou seja, F = 80,6.

2. A taxa de crescimento é a razão entre a variação na produção e a variação no tempo,

o que representa o aumento da produção por ano. Portanto, a taxa m entre 2004 e

2005 foi igual a 6145

535596

m milhões de barris.

Se essa taxa permanecer constante, ou seja, se o gráfico continuar sendo a mesma

reta desenhada acima, no período de 2005-2006 o aumento da produção seria de 61

milhões de barris, e a produção estimada seria de 596 + 61 = 657 milhões de barris.

3.

a) Sendo o perímetro igual à soma dos comprimentos de todos os lados da folha,

temos: 2.(2x + 4) + 2x + 2x + 2.(x + 10) +2x 64.

Daí segue que 4x + 8 + 2x + 2x + 2x + 20 + 2x 64,

ou seja, 12x 6428, o que acarreta que x 3.

Portanto, x deve ser maior ou igual a 3 metros.

b) Analogamente, temos:

2(x + 2x + 4 + x) < 2x + 2(x + 10).

2x + 4x + 8 + 2x < 2x + 2x + 20.

4x < 12, ou seja, x < 3.

Portanto, x deve ser maior que 0 e menor que 3 metros.

16

4.

3020,30

2010,10

100,

)(

tt

t

tt

tV

17

Páginas 28 - 35

1. Resposta (a),( b),(c) e (d):

Resposta (e), (f), (g) e (h):

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

FUNÇÕES DE 2º GRAU: SIGNIFICADO, GRÁFICOS, INTERSEÇÕES COM OS EIXOS, VÉRTICES, SINAIS

18

Desafio!

Páginas 29 - 31

Afirmar que o gráfico apresenta um “bico” na origem significaria dizer que existe

uma reta inclinada em relação ao eixo de x, tal que o gráfico de f(x) = x2 estaria situado

acima de tal reta para todos os valores de x, mesmo os mais próximos de 0, conforme

pode-se verificar na figura abaixo.

Tal reta tangente seria o gráfico de uma função do tipo y = mx, m > 0.

Teríamos, então: x2 ≥ mx para todo x ≥ 0.

Ocorre, no entanto, que, se x2 ≥ mx, então x2 – mx ≥ 0, ou seja, x(x–m) ≥ 0 para todo x.

Mas nota-se que, para valores de x entre 0 e m, os valores do produto x(x – m) são

negativos, ou seja, x2 < mx, o que significa dizer que o gráfico de f(x) = x2 situa-se

abaixo do gráfico de y = mx.

Em outras palavras, para cada valor de m > 0, por menor que seja, o gráfico de f(x) = x2

situa-se abaixo do gráfico de y = mx, para valores de x entre 0 e m. Por exemplo,

mesmo se considerarmos a reta y = 0,001x, para valores de x entre 0 e 0,001, o gráfico

de f(x) = x2 situa-se abaixo dessa reta. Conclui-se, então, que não existe reta y = mx tal

que, para todo x, o gráfico de f(x) = x2 situe-se acima da reta; e é exatamente isso que

significa dizer que o gráfico não tem um “bico” na origem.

19

Página 31

2. Resposta (a), (b), (c) e (d):

a) Vértice: (0, 1) b) Vértice: (0, 3) c) Vértice: (0; -1) d) Vértice: (0, –3).

Questões (e), (f) e (g):

20

e) Vértice: (0, 1) f) Vértice: (0, –5) g) Vértice: (0, 7)

3. Questões (a), (b), (c) e (d):

a) Vértice: (–1; 0) b) Vértice: (–3; 0) c) Vértice: (1; 0) d) Vértice: (3; 0)

Questões (e), (f) e (g):

e) Vértice: (5, 0) f) Vértice: (–3, 0) g) Vértice: (1, 0)

21

4. Resposta (a), (b), (c) e (d):

a) Vértice: (–1, 1) b) Vértice: (–3, -1) c) Vértice: (1, –1) d) Vértice; (3, 2)

Páginas 35 - 36

1.

a) Coordenadas do vértice: (–3; 2

1 ).

ponto de mínimo: x = –3

mínimo valor da função: (–3) = 2

1 .

b) coordenadas do vértice: (2; 2

5 )

ponto de máximo: 2

máximo valor da função: 2

5 .

c) coordenadas do vértice: (1; 2)

ponto de mínimo: 1

mínimo valor da função: 2.

22

d) coordenadas do vértice: (4

3;

2

1 )

ponto de mínimo: 2

1

mínimo valor da função: 4

3 .

e) coordenadas do vértice: (4; 0)

ponto de mínimo: 4

mínimo valor da função: 0.

f) coordenadas do vértice: (0; 2)

ponto de máximo: 0

máximo valor da função: 2.

Páginas 37 - 41

1.

a) No gráfico (I), para x = 1, temos y = f(1) = –3.

b) No gráfico (II), para x = 3, temos y = f(3) = 15.

c) Usando as expressões algébricas das funções, obtemos os seguintes valores:

Vale a pena comentar com os alunos os resultados obtidos, que refletem a ideia de

simetria na parábola.

2.

a) Em razão da simetria do gráfico, concluímos que o vértice é o ponto médio do

segmento do eixo x entre 0 e 4, ou seja, no vértice temos x = 2. O valor de y

Função I

y = x2 – 4

x 2 –2 4 –4 ou 4 – 5 5 ou –5

y 0 0 12 12 21 21

Função II

y = x2 + 2x

x –3 1 6 171 –5 721

y 3 3 48 16 15 27

23

correspondente é f(2) = –22 + 4 . 2 = 4. Logo, o vértice é o ponto V, de coordenadas

(2; 4).

b) Para x = 1, temos f(1) = 3, ou seja, m = 3. Como vemos que o valor de f(n)

também é igual a 3, então n é o simétrico do ponto x = 1 em relação ao vértice x = 2,

ou seja, a distância de n até o 2 é igual à distância de 1 até o 2, ou seja, n = 3. De

fato, podemos verificar que f(3) = 3.

3.

• No Gráfico 1, podemos identificar os pontos (0; 0), (2; –4) e (4; 0) pertencentes

à parábola. Temos que a é positivo e c vale 0, pois o ponto (0; 0) pertence ao

gráfico. Substituindo os valores de x e y na forma geral y = ax2 + bx, obtemos:

– 4 = a . 22 + b . 2 e 0 = a . 42 + b . 4.

Daí segue, resolvendo o sistema 2a + b = –2 e 4a + b = 0, encontramos

a = 1 e b = – 4. Portanto, a função que corresponde ao Gráfico 1 é:

f(x) xx 42 .

• No Gráfico 2, podemos identificar os pontos (–4; 0), (0; 8) e (2; 0) pertencentes

à parábola. Além disso, podemos concluir que a é negativo e que o valor de y

para x = 0 é 8, ou seja, c = 8. Substituindo os outros valores de x e y

correspondentes aos pontos (–4; 0) e (2; 0) na expressão geral

82 bxaxy , obtemos as seguintes equações:

0 = a . (–4)2 + b . (–4) + 8.

0 = a . 22 + b . 2 + 8.

Resolvendo o sistema

8416

824

ba

ba , obtemos a = –1 e b = –2.

Portanto, a função que corresponde ao Gráfico 2 é: 82)( 2 xxxf .

• No Gráfico 3, podemos identificar os pontos (–3; 8), (0; 2) e (1; 4) pertencentes

à parábola. Pelo gráfico, podemos concluir que a é positivo e c vale 2, pois

o ponto (0; 2) pertence ao gráfico. Substituindo os valores de x e y

correspondentes aos outros dois pontos na expressão geral 22 bxaxy ,

obtemos as seguintes equações:

8 = a . (–3)2 + b . (–3) + 2.

4 = a . 12 + b . 1 + 2.

24

Resolvendo o sistema

2

639

ba

ba, obtemos: a= 1 e b = 1.

Portanto, a função que corresponde ao Gráfico 3 é: 2)( 2 xxxf .

4.

a) Já vimos que a abscissa xv do vértice da parábola é igual a a

b

2

.

Temos xv = 23.2

12

; calculando yv, obtemos: yv = f(xv) = f(–2) = –1 < 0.

Como a = 3 > 0 e yv < 0, então a equação tem duas raízes reais distintas (faça uma

figura para se convencer disso!).

b) Temos xv = 23.2

12 ; calculando yv, obtemos: yv = f(xv) = f(2) = 3 > 0.

Como a = 3 > 0 e yv > 0, então a equação não tem raízes reais (faça uma figura para

ajudar na conclusão).

c) Temos xv = – 4 e yv = f(–4) = 37 > 0; como a = –2 < 0, segue que a e yv têm

sinais contrários e a equação tem duas raízes reais distintas.

d) Temos xv =2

5 e yv = f(

2

5) =

2

1 < 0; como a = –2 < 0, segue que a e yv têm

sinais iguais e a equação não tem raízes reais.

e) Temos xv = 22

5 e yv = f(

22

5) =

44

3 < 0; como a = 11 > 0 , segue que a e yv têm

sinais contrários e a equação tem duas raízes reais distintas.

f) Temos xv = 2

3 e yv = f(

2

3) = 0; como yv = 0, segue que a equação tem duas

raízes iguais.

5. Nesse caso, o aluno pode adotar diferentes formas para encontrar as raízes das

equações, entre elas o método denominado método de Bhaskara. Aqui são

privilegiadas soluções que exploram o conteúdo aprendido nesta Situação de

Aprendizagem.

a) Calculando os valores de xv e yv, temos:

25

xv = 26

12

2

a

b; yv = f(–2) = 3.( –2)2 + 12.( –2) + 11 = –1.

Como a = 3 > 0 e yv = –1 < 0, conclui-se que a equação tem duas raízes distintas

(pense na figura!).

As raízes são x1 = xv –a

yv e x2 = xv +

a

yv; substituindo os valores de yv e a,

obtemos: x1 = –2 – 3

1 e x2 = –2 +

3

1.

O sinal de f(x) = 3x2 + 12x + 11 é positivo (igual ao de a) para valores de x fora do

intervalo das raízes, ou seja, para x > –2 + 3

1 ou para x < –2 –

3

1; é negativo

(contrário ao de a) para valores de x no intervalo das raízes, ou seja, para

–2 – 3

1 < x < –2 +

3

1.

b) Analogamente, temos xv = 2

3 e yv = f(

2

3) = 0; logo, as duas raízes são iguais a

xv = 2

3.

Sobre o sinal, f(x) = –4x2 + 12x – 9 é sempre menor ou igual a 0, pois a < 0; somente

temos f(x) = 0 para x = xv = 2

3.

c) Calculando xv e yv, obtemos: xv = 2

5 e yv = f(

2

5) =

2

1 < 0.

Como a = –2, a razão a

yv é negativa e a equação não tem raízes reais.

Como a equação f(x) = 0 não tem raízes reais, a função f(x) = –2x2 + 10x –13 tem

sempre o mesmo sinal, que é o sinal de a (negativo), qualquer que seja o valor de x.

Páginas 42 - 44

1.

a) Para determinar a expressão algébrica da função R(q), sabendo-se que a curva é

uma parábola, escrevemos: R(q) = aq2 + bq, pois o valor correspondente de c é 0,

26

uma vez que a curva corta o eixo vertical na origem. Como R(16) = 0, concluímos

que a . 162 + b . 16 = 0, ou seja, que 16a + b = 0.

Em razão da simetria da parábola, concluímos que o valor de q no vértice é o ponto

médio do segmento de 0 a 16, ou seja, é igual a 8. Como vemos que R(8) = 64,

temos:

a . 82 + b . 8 = 64, ou seja, 8a + b = 8.

Resolvendo o sistema formado pelas equações 16a + b = 0 e 8a + b = 8, obtemos:

a = –1 e b = 16, ou seja, R(q) = –q2 + 16q.

b) A observação direta do gráfico nos mostra que o rendimento máximo é igual a

R$ 64 000,00.

c) O valor de q que conduz ao rendimento máximo é q = 8, ou seja, é a produção de

8 mil unidades.

d) O rendimento para q = 15 é igual a R(15) = –(15)2 + 16 . 15 = 15, ou seja, é

R$ 15 000,00. Para q = 20, no entanto, temos R(20) = –202 + 16 . 20 = –80, ou seja, é

negativa, o que significa que a produção dará prejuízo de R$ 80 000,00.

Esse resultado pode surpreender os alunos, pois não é intuitivo supor que para uma

produção maior se obtenha lucro negativo. Contudo, isso se deve a uma questão de

ordem econômica. Se a empresa possui uma estrutura produtiva montada para

determinado nível de produção, a partir de certo ponto passa a haver ineficiência

produtiva devido a alguns fatores: alto custo de horas extras pagas, espaço físico

limitado para um número de trabalhadores, desgaste excessivo de máquinas, etc. Por

essa razão, a função que representa o lucro é decrescente a partir de determinado

nível de produção, correspondente ao vértice da parábola, no caso.

2. Para os itens desta atividade, o aluno poderá aplicar a fórmula das coordenadas dos

vértices ou comparar a função a uma equivalente escrita na forma f(x) = (x –xv)2 + yv,

solução que foi privilegiada aqui.

a) Basta observar as coordenadas dos vértices dados na função. Assim, o valor

mínimo é 100; ponto de mínimo é x = 12.

b) Pode-se escrever a função como f(x) = –(x – 0)2 + 10. Daí encontra-se o valor

máximo de 10; ponto de máximo é x = 0.

c) Pode-se verificar que f(x) = (x + 3)2; logo, o valor mínimo da função é 0 e o

ponto de mínimo é x = –3.

27

d) Pode-se escrever f(x) = 3(x2 + 10x + 25) = 3(x + 5)2; logo, o valor mínimo é 0 e

o ponto de mínimo é x = –5.

e) Pode-se escrever f(x) = –x2 + 10x –25 + 25, ou seja, f(x) = –(x – 5)2 + 25; logo,

o valor máximo é 25 e o ponto de máximo é x = 5.

f) Pode-se escrever f(x) = x2 + 8x + 16 + 5, ou seja, f(x) = (x + 4)2 + 5; logo, o

valor mínimo é 5 e o ponto de mínimo é x = – 4.

28

Páginas 46 - 52

1.

a) A pergunta é qual o valor de q que corresponde ao mínimo valor da função C(q).

A função C(q) é de 2o grau, traduzindo algum tipo de proporcionalidade direta entre

uma grandeza e o quadrado de outra.

Seu gráfico é uma parábola cujo vértice encontra-se no ponto qv = 5002

)0001(

.

O nível de produção que corresponde ao custo mínimo é, pois, q = 500; o valor do

custo mínimo é C(500) = 5002 – 1 000 . 500 + 800 000 = R$ 550 000,00.

b) O gráfico de C(q) é uma parábola com a concavidade para cima, cortando o eixo

C no ponto de ordenada 800 000, e com vértice no ponto (500; 550 000):

c) O custo inicial C(0) = 800 000 corresponde ao custo fixo, independentemente de

se iniciar a produção (aluguéis, equipamentos, salários, etc.).

d) No modelo de produção suposto, o custo de R$ 800 000,00 corresponde a dois

níveis de produção. Para determiná-los, basta resolver a equação C(q) = 800 000, ou

seja: q2 – 1 000q + 800 000 = 800 000, de onde obtemos: q = 0 ou q = 1 000.

e) De fato, do ponto de vista do custo, dois níveis de produção simétricos em

relação ao vértice da parábola, como são 300 e 700, correspondem ao mesmo custo;

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

PROBLEMAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE 2º GRAU EM MÚLTIPLOS CONTEXTOS; PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS

29

no caso, C(300) = C(700) = 590 000. Entretanto, do ponto de vista do rendimento

bruto, certamente é preferível o nível de produção maior.

2.

a) Chamando um dos lados de x, o outro será 40 – x, e a área do retângulo será

igual a A(x) = x . (40 – x).

Buscamos o valor de x para que a área A(x) atinja o valor máximo. A(x) é uma

função de 2o grau: A(x) = x . (40 – x) = –x2 + 40x. Seu gráfico é uma parábola com a

concavidade voltada para baixo. As raízes da equação de 2o grau A(x) = 0 são x = 0

ou x = 40.

O vértice da parábola é o ponto onde xv = 20, ponto médio do segmento determinado

pelas raízes (o vértice também poderia ter sido obtido por meio da expressão

xv = 202

40

2

a

b). Os lados do retângulo de área máxima serão, portanto, 20 e

40 –20, ou seja, o retângulo de área máxima é um quadrado de lado 20.

b) O valor máximo de A(x) é A(xv) = –(20)2 + 40 . 20 = 400 m2.

3.

a) Sendo o comprimento dos três lados do muro igual a 36 m, se um dos lados é x,

o outro será 36 – 2x, e a área do retângulo será: A(x) = x . (36 – 2x).

b) O gráfico de A(x) é uma parábola com a concavidade para baixo, tendo como

raízes da equação de 2o grau correspondente os valores 0 e 18.

c) O valor máximo da área A ocorre para x = 9 (ponto médio do segmento entre as

raízes); a área máxima é igual a A(9) = 36 . 9 – 2 . 92 = 162 m2 e as dimensões são:

9 m e 18 m.

30

4.

a) Nossa incógnita é o valor x de dias, contados a partir de hoje, após os quais o

bezerro deve ser vendido, de modo a gerar o maior retorno y possível, em reais.

Para encontrar o valor de y, devemos multiplicar o peso p (massa) em kg do bezerro

pelo valor v pago por kg: y = p . v. O enunciado informa que o peso p aumenta 2 kg

por dia, a partir do valor inicial 200 kg, ou seja, p = 200 + 2x, onde x é o número de

dias decorridos até a venda.

O valor v de cada kg, no entanto, decresce à razão de R$ 0,40 por dia, a partir do

valor inicial 50 kg; temos, então, que v = 50 – 0,40x.

Logo, o valor arrecadado será igual a y = p . v, ou seja,

y = (200 + 2x) . (50 – 0,40x) = –0,80x2 + 20x + 10 000.

O valor a ser arrecadado é, portanto, uma função de 2o grau:

f(x) = –0,80x2 + 20x + 10 000.

Determinar a melhor data para vender o bezerro corresponde a buscar o valor de x

para o qual f(x) assume seu valor máximo.

De fato, a função tem o coeficiente a negativo (a = –0,80) e, portanto, apresenta um

valor máximo. Tal valor máximo ocorre exatamente no vértice do gráfico de f(x).

Calculando o valor de xv, obtemos: xv = 5,1260,1

20

2

a

b. Concluímos, então,

que, mantidas as condições atuais, a melhor data para vender o bezerro é daqui a 12,5

dias, ou seja, entre o 12o e o 13o dia.

b) O valor a ser arrecadado com a venda é:

f(12,5) = –0,80 . 12,52 + 20 . 12,5 + 10 000, ou seja, é igual a R$ 10 125,00.

c) O gráfico de f(x) é mostrado abaixo: trata-se de uma parábola com a

concavidade para baixo, tendo como vértice o ponto (12,5; 10 125).

31

d) O valor arrecadado pelo criador será 0 quando tivermos:

– 0,80x2 + 20x + 10 000 = 0.

Procurando as raízes dessa equação, encontramos:

x = xv ± a

yv= 12,5 ±

80,0

12510

= 12,5 ± 25,65612 = 12,5 ±112,5.

Uma das raízes é negativa e não faz sentido para o problema; a outra, a positiva, é

igual a 12,5 + 112,5 = 125 dias.

Uma maneira mais simples de responder a esta questão teria sido aproveitar a forma

fatorada da equação de 2o grau, pois se sabia, desde o início, que:

(200 + 2x) . (50 – 0,40x) = –0,80x2 + 20x + 10 000.

Logo, para obter as raízes, bastaria igualar a 0 os fatores do primeiro membro,

obtendo x = –100, que não faz sentido no problema, e x = 12540,0

50 , que é a

solução anteriormente encontrada.

5.

a) y = x(120 – x) = –x2 + 120x.

b) Devemos fazer –x2 + 120x = 40x, isto é, –x2 + 80x = 0 e, portanto, x = 0 ou x =

80. Como y = 40x, y = 40 . 80 = 3 200. Logo, o míssil interceptará o foguete a

3 200 metros de altura.

32

Páginas 52 - 55

1.

a) Sabemos que o valor de N para t = 0 é 2 000 e para t = 2 é 2 100; com base

nessas informações, podemos calcular os coeficientes k e L:

N(0) = k . (0 – 6)2 + L = 2 000.

N(2) = k . (2 – 6)2 + L = 2 100.

Concluímos, então, que 36k + L = 2 000 e 16k + L = 2 100.

Daí segue que k = –5 e L = 2 180.

Temos, portanto: N(t) = –5 . (t – 6)2 + 2 180.

b) O gráfico de N(t) é o mostrado abaixo:

c) Como se pode depreender da expressão N(t) e do gráfico, o valor máximo para

N é 2 180.

d) O número de doentes cairá a 0 quando tivermos N(t) = 0, ou seja, quando

– 5(t – 6)2 + 2 180 = 0.

Calculando o valor de t, obtemos:

(t – 6)2 = 436 t – 6 20,9 t 26,9 semanas

(o outro valor possível para t é negativo e não faz sentido para o problema em

questão).

33

2.

a) Para L = 100 mil habitantes, a função que expressa a velocidade de crescimento

populacional é: V = f(N) = k . N . (100 000 – N).

Como se sabe que V = 900 para N = 10 000, resulta que:

900 = k . 10 000 . (100 000 – 10 000), ou seja, k = 10–6.

Temos, então, para a função V = f(N):

V = f(N) = 10–6 . N . (100 000 – N) ou, ainda, V = f(N) = –10–6 . N2 + 10–1 . N.

b) Para responder à pergunta, basta determinar as raízes da equação f(N) = 0.

Encontramos, então, N = 0 ou N = 100 000.

c) Como f(N) é uma função de 2o grau com o coeficiente de N2 negativo, a

parábola que é o gráfico de f(N) tem a concavidade voltada para baixo. Segue que o

sinal de f(N) é positivo (contrário ao do coeficiente de N2) no intervalo entre as

raízes (0 < N < 100 000) e é negativo para N > 100 000 (N < 0 não faz sentido no

problema). Portanto, a velocidade V de crescimento será positiva (a população

cresce) para uma população menor que 100 mil habitantes. A partir desse limite, a

velocidade de crescimento passará a ser negativa (a população decresce).

d) A velocidade de crescimento é máxima no vértice da parábola que é o gráfico de

f(N); temos Nv = 0005010.2

106

1

.

e) O gráfico de V = f(N) é apresentado a seguir.

3. Com os dados do problema podemos escrever que Rt = R1 + R2, o que nos permite

concluir que Rt= 0,7t2 + 4,2t + 304. Observando que o coeficiente de t2 é positivo,

concluímos que a concavidade da parábola, que representa essa interdependência, é

34

para cima e, portanto, a função admitirá um valor de mínimo. Contudo, encontrando

os valores das coordenadas do vértice dessa parábola, observamos que o valor da

abscissa é negativo, xv = – 3, o que não é possível, pois ela se refere à grandeza

tempo. Construindo o gráfico correspondente encontramos:

Desse modo o valor mínimo da receita não está no vértice, mas no ponto de

interseção da parábola com o eixo y, isto é (0, 304).

A resposta para a questão é, portanto, que a receita total terá um valor mínimo no

tempo 0 (zero) e este valor será igual a R$ 304,00.

O professor também pode comentar com os alunos que o fato de a parábola crescer a

taxas crescentes não significará que a receita das lojas será infinita uma vez que se

devem considerar vários fatores que limitam esse crescimento em uma situação de

contexto. O fato importante aqui é que o domínio da função em uma situação real difere

do contexto puramente matemático.

Portanto possui valor de máximo e a coordenada do yv será o valor máximo desta

receita.

35

AJUSTES

Caderno do Professor de Matemática – 1ª série – Volume 2

Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada

página.

26

Admitindo que a taxa de crescimento do

período 2004-2005 se manteve no período

2005-2006, calcule o valor aproximado da

produção média anual, em milhões de barris,

no ano 2006.

A taxa de crescimento é a razão entre a

variação na produção e a variação no tempo,

o que representa o aumento da produção por

ano. Portanto, a taxa m entre 2004 e 2005 foi

igual a m = 596 535

5 461

–

–      = milhões de barris.

Se essa taxa permanecer constante, ou

seja, se o gráfico continuar sendo a mesma

reta desenhada anteriormente, no período

2005-2006 o aumento da produção seria de

61 milhões de barris, e a produção estimada

seria de 596 + 61 = 657 milhões de barris.

Atividade 8

O gráfico a seguir indica o valor de um

determinado tributo territorial em função da

área de uma propriedade.

Tributo(em R$)

Área da propriedade(em m2)

1 000

800

800

3 8004 000

500

200

a) Qual é o valor do imposto a pagar de uma propriedade de 800 m² ?

A leitura imediata no gráfico fornece o valor

do tributo y = 200 reais.

b) Existe algum tamanho de propriedade

(em m²) cujo imposto cobrado seja exa-tamente R$ 500,00?

Não, porque para 3 800 m² o imposto é de

R$ 800,00.

c) Determine uma função do tipo y = mx + n, com y sendo o tributo em R$, e x a área em m², válida para o in-tervalo 800 ≤ x ≤ 3 800.

Entre os pontos (800; 200) e (3 800; 500),

temos:

y = mx + n

Para x = 800, temos y = 200, ou seja,

200 = m . 800 + n

Para x = 3 800, calculemos como se

tivéssemos y = 500 (mesmo sabendo que

o intervalo é aberto), apenas para ter a

equação da reta: 500 = 3 800 . m + n

Resolvendo o sistema, temos: m = 0,1

e n = 120.

A equação procurada é y = 0,1x + 120 (para

800 ≤ x < 3 800).

Havendo tempo disponível, o professor poderá pedir aos alunos que determinem a função do tipo y = mx + n para o intervalo x ≥ 3 800. Comparando o valor de m dessa função com a determinada no item ante-rior, percebe-se que a intenção subjacente é a de cobrar mais imposto por m2 para propriedades maiores do que 3 800 m2.

Atividade 9

A figura indica uma folha de latão que será

usada na montagem de uma peça: