matematica - 1º ano do ensino médio volume 1

Gabarito – Caderno do Aluno Matemática 1ª série – Volume 1

1

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

CONJUNTOS NUMÉRICOS; REGULARIDADES NUMÉRICAS E GEOMÉTRICAS

Páginas 3-8

1.

a) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) C = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}

d) D = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

2.

a) E = {0, 4, 8, 12, 16}

b) F = {9, 11, 13, 15, 17}

c) G = {–3, –2, –1, 0, 1}

d) H = {4, 5, 6, 7, 8}

3. Algumas possíveis respostas corretas:

E = {4n, sendo n ∈ N e n < 5}

F = {2n + 1, sendo n ∈ N e 4 ≤ n ≤ 8}

G = {x ∈ Z / – 4 < x < 2}

H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈ N e 3 < n < 9}

4.

a) 1

b) 2 (posição múltipla de 3)

c) 3 (posição múltipla de 5)


2

5. A 7ª figura é igual à 1ª, a 8ª figura é igual à 2ª, e assim por diante. Ou seja, cada

período é formado por 6 figuras, portanto, a 152ª figura será igual à 2ª, pois tanto o

número 2 (que indica a posição da 2ª figura) quanto o número 152 (que indica a

posição da 152ª figura), quando divididos por 6, deixam resto 2.

Conclusão, as figuras 1, 7, 13, 19, etc. são todas iguais à 1ª figura, pois os números

1, 7, 13, 19, etc., quando divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo modo, as

figuras 3, 9, 15, 21, etc. são todas iguais à figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21, etc.,

quando divididos por 6, deixam resto 3, e assim sucessivamente.

6. A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posição 2, pois a divisão de

38 por 4 deixa resto 2; e a que ocupa a posição 149 será a mesma da posição 1, visto

que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.

7. O período é de 5 números. Assim, o 38º termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa

resto 3, e o terceiro termo da sequência é o número 2; o 149º termo é igual a 3, pois a

divisão de 149 por 5 deixa resto 4 e o quarto termo da sequência é o número 3.

8. O período é de 7 dias. A divisão de 90 por 7 deixa resto 6, portanto o 90º dia será o

sexto elemento da sequência dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o 90º

dia será terça-feira.

9.

a) 6 . 10 + 120 = 180 árvores

b) No 10º dia teremos um total de: 9 . 10 + 120 = 210 árvores. Assim, o número de

árvores plantadas até o 10º dia será ⇒ S = 120 + 130 + 140 +... + 190 + 200 + 210.

Como o número x representa o total previsto de árvores e o total das árvores

plantadas até o 10º dia corresponde à metade desse total, teremos que:

x = 1 650 . 2 ⇒ x = 3 300 árvores.


3

10.

a) O período da sequência é de 6 termos. A divisão de 30 por 6 resulta resto 0.

Assim, o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas

C2, C3, D3 e D4.

b) A quadrícula B2 é pintada 3 vezes a cada período, nos termos (I), (III) e (IV).

Até o termo (XIX), incluindo-o, serão 3 períodos e mais 1 termo. Portanto, a

quadrícula B2 será pintada 3 . 3 + 1 = 10 vezes.

Páginas 8-10

1. Resposta livre.

2. As sequências serão: (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, …) e (1, 5, 15, 35, 70, 126, 210,

409, …).

3. Resolvendo a equação de 2º grau, encontraremos como raízes os números 3 e 5. A

sequência será, portanto, (–3, –1, 1, 3, 5). Assim, os dois primeiros termos serão –3 e

–1, respectivamente.

Páginas 10-15

1.

a) 85,

74,

63,

52,

41

.

b) 129

.

c) 5754

.

d) Um termo qualquer an é uma fração em que o numerador é igual a n e o

denominador é 3 unidades a mais do que n, isto é, é igual a n + 3. Assim, 3+

=n

nan .


4

2.

a) (2, 5, 8, 11, 14)

b) 29

c) 59

d) Somando o termo inicial, 2, a certo número de termos sempre iguais a 3. Para

obter um termo n qualquer devemos somar o primeiro termo, 2, com n – 1 termos

iguais a 3. Assim, an = 2 + 3.(n – 1) = 3n – 1.

Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de um termo a outro é constante

e igual a 3, podemos supor que uma expressão geral deva conter o termo 3n. Para

que a1 = 2 é preciso que seja subtraído 1 de 3n. Assim, an = 3n – 1.

3.

a) (3, 6, 11, 18, 27)

b) a8 = 82 + 2 = 66

c) a20 = 202 + 2 = 402

d) an = n2 + 2

4.

para n = 1 ⇒ 31

211 =

+=a ;

para n = 2 ⇒ 22

222 =

+=a ;

para n = 3 ⇒ 35

323

3 =+

=a .

5.

a) 01111

1 =+−

=a

b) 32

64

1515

5 ==+−

=a

c) 97

1818

8 =+−

=a

d) O termo 119

pode ser escrito como 110110

+−

. Portanto, ele é o 10º termo.


5

6.

a) Cada termo da sequência, a partir do 2º, é obtido pela divisão do anterior por 3.

Assim, o quinto termo será igual a 913

31

=÷ .

b) a6 = a5 ÷ 3 = 2713

91

=÷ .

c) Como 27 é igual a 81 ÷ 3 e 271

é o 6º termo, 811

é o 7º termo.

7. O termo geral da sequência é nna −= 33 , que poderá ser verificado com a substituição

de n por números naturais maiores do que 0.

8.

a) O 10º termo é 18.

b) O 15º termo é 28.

c) a35 = 68

d) a101 = 200

e) 420 é o 211º termo.

f) an = (n – 1) . 2, sendo n um número natural maior do que 0.

9.

Os cinco primeiros termos serão: 1, 3, 5, 7, 9.

a) a10 = 19

b) a13 = 25

c) a25 = 49

d) an = 2n – 1, onde n é um número natural maior do que 0.

10.

a) O 6º termo é 62 = 36

b) a7 = 72 = 49

c) an = n2


6

Páginas 15-17

1.

a) 6,5,2,3,2 .

b) Os cinco primeiros termos representados por números inteiros serão aqueles em

que o radicando é um quadrado perfeito.

a3 = 2 a8 = 3 a15 = 4 a24 = 5 a35 = 6

2.

a) 30 quadrinhos brancos, pois 6 . 6 – 6 = 30.

b)

c) 39² – 39 = 39.(39 – 1) = 39 . 38 = 1 482

3.

a) O 6º termo terá 36 quadrinhos e o décimo termo, 100 quadrinhos.

b) an = n²

4.

a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

b) A soma dos números escritos abaixo da figura é igual ao total de quadrinhos que

formam a figura. Os números escritos abaixo da figura são os cinco primeiros

naturais ímpares. Sua soma é 25. O total de quadrinhos da figura é 5² = 25.

c) 8² = 64


7

5.


8


PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Páginas 18-27

1.

a) ( I ) 15, 18, 21.

( II ) 16, 19, 22.

( III ) 17, 20, 23.

( IV ) 64, –128, 256.

( V ) 1,0 ; 1,2 ; 1,4.

( VI ) 1 024, 4 096, 16 384.

b) Não, pois o algarismo 8 aparece no termo 28, que é o 10º termo da sequência.

c) Não, pois a sequência (I) é formada apenas por números que, divididos

por 3, deixam resto 0; a sequência (II) é formada apenas por números que,

divididos por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é formada apenas por números

que, divididos por 3, deixam resto 2. Como a divisão por um número natural

diferente de 0 (divisão euclidiana) não pode apresentar dois restos distintos, não é

possível que um mesmo número apareça em duas dessas sequências.

d) O número 1 087 é um termo da sequência (II), pois a divisão de 1 087 por 3

deixa resto 1, e é também elemento da sequência (V) uma vez que é múltiplo de 0,2.

e) A sequência (II) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam

resto 1. Logo, o 137 não é termo da sequência (II), pois a divisão de 137 por 3 deixa

resto 2.

f) an = 3(n – 1), n ∈ N*

g) an = 3n – 2, n ∈ N*

h) an = 3n – 1 , n ∈ N*

i) an = (–2)n, n ∈ N*

j) an = 0,2n, n ∈ N*


9

k) an = 4n–1, n ∈ N*

l) Resposta livre. Uma possibilidade de resposta é analisar os termos das

sequências apresentadas, observando algumas em que o passo constante é somado a

cada termo e outras em que o passo constante é multiplicado a cada termo.

2.

a) As Olimpíadas acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 0. Já a

Copa do Mundo acontece em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 2 e os Jogos

Pan-Americanos acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 3. Assim,

em 2118 aconteceria a Copa do Mundo (resto 2), em 2079 aconteceriam os Jogos

Pan-Americanos (resto 3) e em 2017 não aconteceria nenhuma dessas três

competições (resto 1).

b) Não é possível, pois qualquer número dividido por 4 deixa um, e apenas um,

desses restos: zero, 1, 2 ou 3.

3.

SSeeqquuêênncciiaa ccrreesscceennttee

a) (–8, –2, 4, 10, 16)

b) 40

c) 76

d) 106

e) 42

f) an = 6n – 14

4.

a) 0,1

b) 0,5

c) 2,5

d) 25

e) an = 0,02 . 5n – 1


10

5. São PAs as seguintes sequências: a (razão: 3); c (razão: – 4); d (razão: 0); e

(razão:21

).

6.

I) 5, 9, 13, 17, 21

II) 3, 15, 35, 63, 99

III) 2, 6, 18, 54, 162

IV) 2, 5, 8, 11, 14

São PAs as seguintes sequências: ( I ), com razão = 4, e ( IV ), com razão = 3.

7. São PGs: (I) de razão 3; (III) de razão 31

; (IV) de razão –2; (VI) de razão 2 .

8.

I) 4, 7, 10, 13, 16

II) 2, 11, 26, 47, 74

III) 3, 6, 9, 12, 15

IV) 3, 6, 12, 24, 48

V) 3, 5, 7, 9, 11

(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I) de razão 3, (III) de razão 3 e (V) de razão 2.

9.

a) 5ª figura: 48 quadradinhos, e 6ª figura: 96 quadradinhos.

b) (3, 6, 12, 24, …) é PG, pois cada termo an é obtido da multiplicação do termo

anterior an–1 por 2.

c) Podemos escrever a fórmula desta maneira: an = 3 . 2n–1.


11

Neste caso, podemos obter uma fórmula de recorrência: ( ) 2.1−= nn aa , e a fórmula

do termo geral: 12.3 −= nna .

10.

a) A sequência formada pelas quantidades de palitos é, sim, uma PA, pois cada

figura tem seis palitos a mais que a precedente: 4, 10, 16, 22, 28, …

b) 28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40

c) 4 + 77 . 6 = 466

d) an = 4 + (n – 1).6 = 6.n – 2

11. a20 = 73. Para determinar o 20º termo de uma PA é suficiente adicionar ao 9º termo

uma parcela que é igual ao produto 11 . 4, pois para “passar” do 9º ao 20º é

necessário “avançar” 11 termos, ou seja, a20 = a9 + 11r. Não sendo necessário,

portanto, encontrar antes o 1º termo para se obter o vigésimo.

12. Em toda PA, temos 2841223 =⇒−=−−⇒−=− xxxaaaa . Com o mesmo

raciocínio, escrevemos y – (– 4) = – 4 – x ⇒ y + 4 = – 4 –2 ⇒ y = –10. Nesse caso,

temos: (8, 2, – 4, –10).


12

Páginas 28-31

1. A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto do número 6 pela razão

da PA inventada.

2.

I) 18728 =a

II) 161

8 =a

3. 51212 =a

4. A altura de 18 m será considerada o 1º termo, isto é, a1 (ainda não houve salto). A

partir deste termo teremos o 1º salto, que corresponderá, portanto, ao termo a2 e

assim por diante. A altura atingida no 5º salto corresponde ao 6º termo de uma PG,

em que o primeiro termo é igual a 80% de 18, e a razão é 0,8. Assim, a6 = 18 . 0,85

≅ 5,898 m. A altura do 10º salto, obedecendo a essa lógica, será: a11 = 18 . 0,810

≅ 1,933 m.

5. Em toda PG, cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica do antecessor e

do sucessor. Nesse caso, 432.21

==x . Por outro lado, pela definição de PG,

.2564

3232

3232

=⇒=⇒= yyx

y Nesse caso, temos:

256,32,4,

21

.

6.

a) Inicialmente, vamos adotar a seguinte linguagem:

P0: população inicial; P1: população 1 ano depois; P2: população 2 anos depois, e

assim por diante.

P1= 50 000 + 20% de 50 000 = 50 000 + 0,2 . 50 000 = 60 000.

P2 = 60 000 + 20% de 60 000 = 60 000 + 0,2 . 60 000 = 72 000.


13

Fazendo-se os demais cálculos, obtêm-se as populações P3 e P4: 86 400 e

103 680, respectivamente.

b) A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, …) é uma PG, de razão

1,2, pois .2,140086680103

0007240086

0006000072

0005000060

====

Assim, para se obter o termo sucessor de um termo conhecido, basta multiplicar

este último por 1,2, ou seja, Pn + 1= 1,2Pn

c) P1 = 50 000 . 1,21

P2 = 50 000 . 1,21. 1,2 = 50 000.1,22

P3 = 50 000 . 1,22. 1,2 = 50 000.1,23

Assim, Pn= 50 000 . 1,2n.

Essa fórmula pode ser generalizada para Pn = P0(1 + i)n, sendo i a taxa de

crescimento.

7.

a) R$ 13 122,00

b) Pn = 20 000 . 0,9n

Vale ressaltar que a taxa nesse problema é negativa. Se há uma depreciação de

10% ao ano, o valor do carro passa a ser de 90% sobre o valor anterior.

Utilizando os resultados da atividade anterior, observamos que, para calcular o

preço do carro daqui a 1 ano, é suficiente multiplicar o valor inicial do carro por

0,9, pois P1 = P0(1 – 0,1) = P0 . 0,9.

Páginas 31 - 33

1.

a) B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}

b) Uma PA de razão 1.

c) Uma PA de razão 3.


14

2.

a) D = {10, 5, 0, –5, –10, –15}

b) Uma PA de razão –5.

3.

a) 37

b) 61

c) 6n + 1 = p

d) 55

e) Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.

Páginas 33-34

1. (7, 49, 343, 2 041). Trata-se de uma PG de razão 7.

2.

a) A = {11, 22, 33, 44, …, 99}, PA de razão 11.

b) Construindo-se o conjunto B = {101, 111, 121, 131, 141, 151, …} temos a

impressão de que ele é uma PA de razão 10. Contudo, escrevendo mais alguns

termos na sequência (…, 171, 181, 191, 201, 211, …) observamos que, na passagem

do algarismo das centenas de 1 para 2, a série de palíndromos é quebrada.

A sequência dos números de três algarismos que iniciam por 2 seria:

(202, 212, 222, …). O mesmo ocorrerá na passagem das centenas que terminam com

algarismo 2 e começam com 3 (…, 292, 302, 312, …). Portanto, a sequência de

palíndromos de 3 algarismos não é uma PA.


15


SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS; APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRA

Páginas 35-40

1. 440

2. 7 998

3. Os números inteiros divisíveis por 23, entre 103 e 850, formam a PA de razão 23:

(115, 138, …, 828). Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos n = 32, e

aplicando a fórmula da soma dos termos da PA, obtemos o resultado 15 088.

4.

a) 1, 3, 6, 10, 15, …

b) Cada termo é igual à soma dos termos anteriores. Pode-se concluir que é a regra

de Hipsicles aplicada na composição dos números triangulares.

c) Uma possível fórmula é an = an-1 + n

d)


16

5.

a) 51 e 70.

b) Em relação aos números pentagonais, reiteramos que a construção de uma tabela

como a que segue favorece a obtenção de uma fórmula de generalização:

6. 12

)12(.120

20 −−

=S → 122020 −=S

7. A razão da PG é 2.

Portanto, ( ) 51012122 =

−−n

→ 251012 ÷=−n → 2562 =n → 822 =n → 8=n . Logo

188 2.2 −== ax → x = 256.

8.

a) A sequência da quantidade de tábuas colocadas é:

1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

Para obter o total de tábuas ao final de 9 operações, será necessário calcular a soma

dos termos da progressão geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, e em seguida,

acrescentar uma unidade.


17

S = .25512

12.1281

. 1 =−−

=−−

qaqan Portanto, a pilha terá 256 tábuas.

b) A altura da pilha será igual a 256 . 0,5 = 128 cm = 1,28 m.

9. Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50 + 55,00 + 57,50 + … + 77,50, que resulta

R$ 765,00.

10.

a) Temos uma PG de razão (1 – 0,05) = 0,95, e queremos determinar o 6º termo.

a6 = 200 . 0,955 = 154,00 .

b) Devemos calcular a soma dos termos da PG.

( ) ( ) 88,904195,0.0004

05,0195,0.200

195,020095,0.200

1. 5

551 =−−=

−−

=−−

=−−

=q

aqaS n

n .

Páginas 40-42

1.

a) an = 5n – 9

b) 282

c) Sn = )135(.21

2.)954(

2.)( 21 nnnnnaa n −=

−+−=

+

2.

a) S6 = 3 . 62 – 5 . 6 = 78

b) S7 = 3 . 72 – 5 . 7 = 112

c) O 7º termo é a diferença entre S7 e S6. Portanto, a7 = 112 – 78 = 34.

d) a1 = S1 = –2

a2 = S2 – a1 = 2 – (–2) = 4

A PA tem razão 6, e os cinco primeiros termos são –2, 4, 10, 16, 22.


18

3.

a) a4 = 10 . 1,23 = 17,28 km.

b) Trata-se de calcular a soma dos 10 termos de uma PG em que a1 = 10 e

a10 = 10.1,29.

S = ( ) ( ) ( )12,6.5012,1.50

2,012,1.10

12,1102,1.2,1.10

1. 10

1091 −=−=

−=

−−

=−−

qaqan = 260 km.

Páginas 43-46

1.

2.

Tabela B


19

Os R$ 200,00 depositados no 1º mês tornam-se R$ 210,00, no 2º mês,

R$ 220,00, no 3º mês, e assim por diante, tornando-se, ao final, R$ 280,00. Os

R$ 200,00 depositados no 2º mês, de modo análogo, convertem-se em

R$ 270,00, ao final de sete meses de aplicação. Seguindo o raciocínio, o saldo final

da aplicação será o resultado da adição dos valores da última coluna da tabela, que

são os termos de uma progressão aritmética:

Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 + 260 + 270 + 280

Saldo final = ( )

28.280210 +

= R$ 1 960,00.

3.

Tabela C

A soma dos valores da última coluna da tabela fornece o total capitalizado. Trata-se

da soma dos termos de uma progressão geométrica de razão 1,05.

S = 200 . (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 + 1,056 + 1,057 + 1,058)

S = 200 . =−−1

. 1

qaqan

= 200 . 105,1

05,105,1.05,1 8

−−

S ≅ 2 005,31, isto é, R$ 2 005,31.


20

4. Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 + 560 + 580 + … + 700

S = 10065.12202

10.)700520(==

+

O resgate será de R$ 6 100,00.

5. Trata-se de calcular a soma de termos em PG:

S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,022 + 1 000 . 10,23 + … + 1 000 . 1,0212

S = 1 000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + … + 1,0212)

S = ( )

02,0102,1.02,10001

102,102,102,1.02,1.0001

1..0001

12121 −

=−−

=−−

qaqan

S = 1 000 . 51.(1,0212 – 1) = 51 000 . 0,27 = 13 770

Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.

6. Sendo o cálculo do montante à base de juros simples, temos a soma de termos em

PA, da seguinte maneira:

S = 1,1X + 1,2X + 1,3X + … + 2,0X

15 500 = X . (1,1 + 1,2 + 1,3 + … + 2,0)

15 500 = X.( )

2.1 naa n+

= X.( )

210.0,21,1 + = X . 15,5 ⇒ X = 1 000.

Portanto, a parcela mínima a ser depositada é igual a R$ 1 000,00

7. O valor futuro da geladeira, em 6 meses, será igual a:

1 500 . 1,036 = 1 500 . 1,19 = 1 785.

A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em:

S = P.(1,03 + 1,032 + … + 1,036)

Onde P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1 785, tem-se

1 785 = P. =−−103,1

03,103,1.03,1 6

P.( )

=−

03,0103,1.03,1 6

P. 34,33.(1,066 – 1) = P . 34,33.0,19.

Assim: 1 785 = P . 6,5227 ⇒ P = 273,65

Portanto, a parcela mensal deverá ser igual a R$ 273,65.


21

LIÇÃO DE CASA

Página 47

1.

a) O valor total capitalizado exige o cálculo de uma soma de termos em PG.

S = 200 . (1,04 + 1,042 + 1,043 + … + 1,048)

S = 200· 9241)137,1.(26.20004,0

)104,1(.04,1.200104,1

04,104,1.04,1 88

=−=−

=−−

Portanto, Júlia deu de entrada R$ 1 924,00.

b) O valor financiado é igual à diferença entre R$ 5 000,00 e R$ 1 924,00, ou seja, R$

3 076,00. Esse valor, em 5 meses, a 2% ao mês, torna-se 3 076 . 1,025 = 3 383,60.

Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida à base de 2% ao mês deve, ao final,

gerar montante equivalente a R$ 3 383,60.

3 383,60 = P(1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024 + 1,025)

3 383,60 = P· 1,5.10,0.51.02,0

)102,1(02,1.102,1

02,102,1.02,1 55

PPP ==−

=−−

3 383,60 = P.5,1 ⇒ P = 663,45

Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.

Página 48

Lenda do Xadrez

Conta-se que certa vez um rajá indiano, aborrecido com os jogos em que a sorte

acabava determinando o vencedor, e não as estratégias e o raciocínio, solicitou a um

sábio de sua corte que inventasse um jogo em que prevalecessem essas características.

Esse sábio, cujo nome era Sissa, inventou o xadrez que, como sabemos, é um jogo que

valoriza a sabedoria, o raciocínio lógico, a prudência e se opõe à aleatoriedade de um

jogo de dados, por exemplo.


22

Joga-se o xadrez sobre um tabuleiro quadriculado com 64 casas, no qual se

movimentam peças de diferentes formatos, correspondendo cada uma a elementos do

exército indiano: soldados (peões), carros (bispos), cavalo, elefantes (torres), além de

um rei e uma rainha.

Sissa justificou que escolheu a guerra porque, para vencer, são necessárias a

persistência, a ponderação, a sabedoria e a ousadia.

O rajá ficou encantado com o jogo e concedeu a Sissa o direito de pedir o que

quisesse como recompensa. Sissa fez ao rajá um pedido aparentemente simples e fácil:

queria 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos de trigo pela segunda

casa, 4 pela terceira, 8 pela quarta casa, 16 pela quinta casa, 32 pela sexta casa, e assim

sucessivamente, sempre dobrando o número de grãos colocados na casa anterior até 64

casas. O rei não conseguiu cumprir sua promessa, pois o total de grãos era

simplesmente 18 446 7444 073 709 551 615, ou seja, a soma dos termos de uma PG de

64 termos

1+2+4+8+16+64+128+256+512+1 024+ 2 048+ 4 096+... + 9 223 372 036 854 775 808

Um número tão fantástico que seriam necessários alguns séculos para que a Terra

produzisse todo esse trigo.

Para alívio do rajá, Sissa disse que já sabia que sua recompensa não poderia ser paga,

pois aquela quantidade daria para cobrir toda a superfície da Índia com uma cama de

trigo de quase uma polegada de espessura.


23


LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG

Desafio!

Páginas 49-50

Para responder a essas questões, é importante observar, inicialmente, que, dado um

triângulo ABC com P e Q em pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente, PQ é

paralelo a AC e sua medida é igual à metade de AC. O mesmo vale para os demais

lados do triângulo PQR, visto que o triângulo ABC é equilátero.

a) Como PQR é um triângulo equilátero, as medidas dos lados PQ, PR e RQ são todas

iguais a 0,5.

b) O perímetro do triângulo ABC é igual a 3, o do PQR é igual a 23

e o do triângulo

STU é 43

.

c) A sequência de triângulos assim construídos terá perímetros respectivamente iguais

a: (3, 23

, 43

, 83

, 163

, …).

Páginas 51-53

1. O valor procurado corresponde ao limite da soma de uma PG de razão 41

para o

número de termos, tendendo a infinito. Podemos fazer:

S

nlim

∞>−− = 3

8

411

21

1 =−

=− qa


24

Portanto, por mais que aumentemos a quantidade de parcelas da soma, nunca

ultrapassaremos o valor 38

, embora cada vez mais nos aproximemos dele.

2.

a) A razão é 101−

. A soma será igual a 11

100− .

b) A razão é 21

. A soma será igual a 54

.

3. Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela bola durante as descidas:

Sdescida = 6 + 2 + ...92

32

++

Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela bola durante as subidas:

Ssubida = 2 + ...92

32

++ =

S

nlim

∞>−− = 3

311

21

1 =−

=− qa

Observando que Sdescida = 6 + Ssubida temos que Sdescida = 6 + 3 = 9

Portanto, a distância vertical total percorrida pela bola é igual a

Sdescida + Ssubida = 12 m.

4. 2718

411

2 =→=−

x

x

Páginas 53 - 56

1.

a) (10; 1; 0,1; 0,01; …)

b) 0,1


25

c) Sn

lim∞>−− 9

1009,0

101,01

101

1 ==−

=−

=q

a metros.

d) Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer 9

100 metros.

2. A expressão pode ser reescrita da seguinte forma:

.....161

81

41

21

161

81

41

21

2....2.2.2.2++++

=

Trata-se de calcular o limite da soma da PG de primeiro termo igual a 21

e razão

igual a 21

, cujo resultado é 1. Assim, o resultado da expressão é igual a 21 = 2.

3. Levando-se ao pé da letra a descrição fornecida no enunciado, a dívida jamais seria

paga, pois sempre restaria um resíduo, por menor que fosse. Podemos, no entanto,

calcular o limite da soma da PG formada pelas parcelas, pois esse será o valor limite

da dívida. Chamando de x o valor total da dívida, devemos verificar se a soma das

parcelas resulta no valor total da dívida, isto é, x.

S = x

xx

qaxxxx

==−

=−

=++++

212

211

21

...16842

1 .

4. Vamos decompor a dízima na seguinte soma:

1,777… = 1 + 0,777… = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + …

Podemos escrever esta soma da seguinte forma:

1,777… = 1 + 0,777… = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + …= 1 + ...00017

1007

107

+++

Desse modo, concluímos que as parcelas ...,00017,

1007,

107

formam uma PG infinita

de razão q = 101 e primeiro termo

107

1 =a .


26

Assim, aplicando a fórmula do limite da soma nSlim ,1

1

qa−

= obtemos:

nSlim = .97

109

107

1011

107

11 ==

−=

− qa

Desse modo, a geratriz de 1,777… será 1 + 9

1697= .

matematica - 1º ano do ensino médio volume 1

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