1

Caro Professor,

Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.

As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.

Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.

Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.

Bom trabalho!

Equipe São Paulo faz escola.

2

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

CONJUNTOS NUMÉRICOS; REGULARIDADES NUMÉRICAS E GEOMÉTRICAS

GABARITO

Caderno do Aluno de Matemática – 1ª série – Volume 1

Páginas 3 - 8

1.

a) {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

b) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}

d) {–2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

2.

a) E = {0, 4, 8, 12, 16}

b) F = {9, 11, 13, 15, 17}

c) G = {–3, –2, –1, 0, 1}

d) H = {4, 5, 6, 7, 8}

3. Algumas possíveis respostas corretas:

E = {4n, sendo n N, e n < 5}

F = {2n + 1, sendo n N, e 4 n 8}

G = {x Z / – 4 < x < 2}

H = {2n + 1 > 7, sendo n N, e n < 9}

4.

a) 1

3

b) 2 (posições múltiplas de 3)

c) 3 (posições múltiplas de 5)

5. A 7ª figura é igual à 1ª, a 8ª figura é igual à 2ª, e assim por diante. Ou seja, cada

período é formado por 6 figuras, portanto, a 152ª figura será igual à 2ª, pois tanto o

número 2 (que indica a posição da 2ª figura) quanto o número 152 (que indica a

posição da 152ª figura), quando divididos por 6, deixam resto 2.

Conclusão, as figuras 1, 7, 13, 19, etc. são todas iguais à 1ª figura, pois os números

1, 7, 13, 19, etc., quando divididos por 6, deixam resto 1. Do mesmo modo, as

figuras 3, 9, 15, 21, etc. são todas iguais à figura 3, pois os números 3, 9, 15, 21, etc.,

quando divididos por 6, deixam resto 3, e assim sucessivamente.

6. A figura que ocupa a posição 38 será a mesma figura da posição 2, pois a divisão de

38 por 4 deixa resto 2 e a que ocupa a posição 149 será a mesma da posição 1, visto

que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.

7. O período é de 5 números. Assim, o 38º termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa

resto 3, e o terceiro termo da sequência é o número 2; o 149º termo é igual a 3, pois a

divisão de 149 por 5 deixa resto 4 e o quarto termo da sequência é o número 3.

8. O período é de 7 dias. A divisão de 90 por 7 deixa resto 6, portanto o 90º dia será o

sexto elemento da sequência dos dias da semana iniciada na quinta-feira. Logo, o 90º

dia será terça-feira.

9.

a) 6 . 10 + 120 = 180 árvores

b) No 10º dia teremos um total de: 9 . 10 + 120 = 210 árvores. Assim, o número de

árvores plantadas até o 10º dia será S = 120 + 130 + 140 +... + 190 + 200 + 210.

Como o número x representa o total previsto de árvores e o total das árvores

plantadas até o 10º dia corresponde à metade desse total, teremos que:

x = 1 650 . 2 x = 3 300 árvores.

4

10.

a) O período da sequência é de 6 termos. A divisão de 30 por 6 resulta resto 0.

Assim, o termo (XXX) é igual ao termo (VI), e nele estarão pintadas as quadrículas

C2, C3, D3 e D4.

b) A quadrícula B2 é pintada 3 vezes a cada período, nos termos (I), (III) e (IV).

Até o termo (XIX), incluindo-o, serão 3 períodos e mais 1 termo. Portanto, a

quadrícula B2 será pintada 3 . 3 + 1 = 10 vezes.

Páginas 8 - 10

1. Resposta livre.

2. As sequências serão: (1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, …) e (1, 5, 15, 35, 70, 126, 210,

409, …).

3. Resolvendo a equação de 2º grau encontraremos como raízes os números: 3 e 5. A

sequência será, portanto: (–3, –1, 1, 3, 5). Assim, os dois primeiros termos serão –3 e

–1, respectivamente.

Páginas 10 - 15

1.

a) 8

5,

7

4,

6

3,

5

2,

4

1.

b) 12

9.

c) 57

54.

d) Um termo qualquer an é uma fração em que o numerador é igual a n e o

denominador é 3 unidades a mais do que n, isto é, é igual a n + 3. Assim, 3

n

nan .

5

2.

a) (2, 5, 8, 11, 14)

b) 29

c) 59

d) Somando o termo inicial, 2, a certo número de termos sempre iguais a 3. Para

obter um termo n qualquer devemos somar o primeiro termo, 2, com n – 1 termos

iguais a 3. Assim, an = 2 + 3.(n – 1) = 3n – 1.

Outro raciocínio possível é o seguinte: como o salto de um termo a outro é constante

e igual a 3, podemos supor que uma expressão geral deva conter o termo 3n. Para

que a1 = 2 é preciso que seja subtraído 1 de 3n. Assim, an = 3n – 1.

3.

a) (3, 6, 11, 18, 27)

b) a8 = 82 + 2 = 66

c) a20 = 202 + 2 = 402

d) an = n2 + 2

4.

para n = 1 31

211

a ;

para n = 2 22

222

a ;

para n = 3 3

5

3

233

a .

5.

a) 011

111

a

b) 3

2

6

4

15

155

a

c) 9

7

18

188

a

d) O termo 11

9 pode ser escrito como

110

110

. Portanto, ele é o 10º termo.

6

6.

a) Cada termo da sequência, a partir do 2º, é obtido pela divisão do anterior por 3.

Assim, o quinto termo será igual a 9

13

3

1 .

b) a6 = a5 ÷ 3 = 27

13

9

1 .

c) Como 27 é igual a 81 ÷ 3, e 27

1é o 6º termo,

81

1 é o 7º termo.

7. O termo geral da sequência é nna 33 que poderá ser verificado com a substituição

de n por números naturais maiores do que 0.

8.

a) O 10º termo é 18.

b) O 15º termo é 28.

c) a35 = 68

d) a101 = 200

e) 420 é o 211º termo.

f) Fazendo (n – 1) . 2, sendo n um número natural maior do que 0.

9.

Os cinco primeiros termos serão: 1, 3, 5, 7, 9.

a) a10 = 19

b) a13 = 25

c) a25 = 49

d) Fazendo 2n – 1, onde n é um número natural maior do que 0.

10.

a) O 6º termo é 62 = 36

b) a7 = 72 = 49

c) an = n2

7

Páginas 15 - 17

1.

a) 6,5,2,3,2 .

b) Os cinco primeiros termos representados por números inteiros serão aqueles em

que o radicando é um quadrado perfeito.

a3 = 2 a8 = 3 a15 = 4 a24 = 5 a35 = 6

2.

a) 30 quadrinhos brancos, pois 6 . 6 – 6 = 30.

b)

c) 39² – 39 = 39.(39 – 1) = 39 . 38 = 1 482

3.

a) O 6º termo terá 36 quadrinhos e o décimo termo, 100 quadrinhos.

b) n²

4.

a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

b) A soma dos números escritos abaixo da figura é igual ao total de quadrinhos que

formam a figura. Os números escritos abaixo da figura são os cinco primeiros

naturais ímpares. Sua soma é 25. O total de quadrinhos da figura é 5² = 25.

c) 8² = 64

8

5.

9

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

Páginas 18 - 27

1.

a) ( I ) 15, 18, 21.

( II ) 16, 19, 22.

( III ) 17, 20, 23.

( IV ) 64, –128, 256.

( V ) 1,0 ; 1,2 ; 1,4.

( VI ) 1 024, 4 096, 16 384.

b) Não, pois o algarismo 8 aparece no termo 28, que é o 10º termo da sequência.

c) Não, pois a sequência (I) é formada apenas por números que, divididos

por 3, deixam resto 0; a sequência (II) é formada apenas por números que,

divididos por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é formada apenas por números

que, divididos por 3, deixam resto 2. Como a divisão por um número natural

diferente de 0 (divisão euclidiana) não pode apresentar dois restos distintos, não é

possível que um mesmo número apareça em duas dessas sequências.

d) O número 1 087 é um termo da sequência (II), pois a divisão de 1 087 por 3

deixa resto 1, e é também elemento da sequência (V) uma vez que é múltiplo de 0,2.

e) A sequência (II) é formada apenas por números que, divididos por 3, deixam

resto 1. Logo, o 137, não é termo da sequência (II), pois a divisão de 137 por 3 deixa

resto 2.

f) an = 3(n – 1), n N*

g) an = 3n – 2, n N*

h) an = 3n – 1 , n N*

i) an = (–2)n, n N*

j) an = 0,2n, n N*

k) an = 4n–1, n N*

10

l) Resposta livre. Uma possibilidade de resposta é analisar os termos das

sequências apresentadas, observando algumas em que o passo constante é somado a

cada termo, e outras em que o passo constante é multiplicado a cada termo.

2.

a) As Olimpíadas acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 0. Já a

Copa do Mundo acontece em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 2 e os Jogos

Pan-Americanos acontecem em anos em que sua divisão por 4 deixa resto 3. Assim,

em 2118 aconteceria a Copa do Mundo (resto 2), em 2079 aconteceriam os Jogos

Pan-Americanos (resto 3) e em 2017 não aconteceria nenhuma dessas três

competições (resto 1).

b) Não é possível, pois qualquer número dividido por 4 deixa um, e apenas um,

desses restos: zero, 1, 2 ou 3.

3.

SSeeqquuêênncciiaa ccrreesscceennttee

a) (–8, –2, 4, 10, 16)

b) 40

c) 76

d) 106

e) 42

f) an = 6n – 14

4.

a) 0,1

b) 0,5

c) 2,5

d) 25

e) an = 0,02 . 5n – 1

11

5. São PAs as seguintes sequências: a (razão: 3); c (razão: – 4); d (razão: 0); e

(razão:2

1).

6.

I) 5, 9, 13, 17, 21

II) 3, 15, 35, 63, 99

III) 2, 6, 18, 54, 162

IV) 2, 5, 8, 11, 14

São PAs as seguintes sequências: ( I ), com razão = 4, e ( IV ), com razão = 3.

7. São PGs: (I) de razão 3; (III) de razão 3

1; (IV) de razão –2; (VI) de razão 2 .

8.

I) 4, 7, 10, 13, 16

II) 2, 11, 26, 47, 74

III) 3, 6, 9, 12, 15

IV) 3, 6, 12, 24, 48

V) 3, 5, 7, 9, 11

(IV) é PG de razão 2. São PAs: (I) de razão 3, (III) de razão 3 e (V) de razão 2.

9.

a) 5ª figura: 48 quadradinhos, e 6ª figura: 96 quadradinhos.

b) (3, 6, 12, 24, …) é PG, pois cada termo an é obtido da multiplicação do termo

anterior an–1 por 2.

c) Podemos escrever a fórmula desta maneira: an = 3 . 2n–1.

12

Neste caso, podemos obter uma fórmula de recorrência: 2.1 nn aa , e a fórmula

do termo geral: 12.3 nna .

10.

a) A sequência formada pelas quantidades de palitos é, sim, uma PA, pois cada

figura tem seis palitos a mais que a precedente: 4, 10, 16, 22, 28, …

b) 28 + 6 = 34 e 34 + 6 = 40

c) 4 + 77 . 6 = 466

d) an = 4 + (n – 1).6 = 6.n – 2

11. a20 = 73. Para determinar o 20º termo de uma PA é suficiente adicionar ao 9º termo

uma parcela que é igual ao produto 11 . 4, pois para “passar” do 9º ao 20º é

necessário “avançar” 11 termos, ou seja, a20 = a9 + 11r. Não sendo necessário,

portanto, encontrar antes o 1º termo para se obter o vigésimo.

12. Em toda PA, temos 2841223 xxxaaaa . Com o mesmo

raciocínio, escrevemos y – (– 4) = – 4 – x y + 4 = – 4 –2 y = –10. Nesse caso,

temos: (8, 2, – 4, –10).

13

Páginas 28 - 31

1. A nova sequência será uma PA, cuja razão é igual ao produto do número 6 pela razão

da PA inventada.

2.

I) 18728 a

II) 16

18 a

3. 51212 a

4. A altura de 18 m será considerada o 1º termo, isto é, a1 (ainda não houve salto). A

partir deste termo teremos o 1º salto que corresponderá, portanto ao termo a2 e assim

por diante. A altura atingida no 5º salto corresponde ao 6º termo de uma PG, em que

o primeiro termo é igual a 80% de 18, e a razão é 0,8. Assim, a6 = 18 . 0,85 5,898

m. A altura do 10º salto, obedecendo a essa lógica, será: a11 = 18 . 0,810 1,933 m.

5. Em toda PG, cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica do antecessor e

do sucessor. Nesse caso, 432.2

1x . Por outro lado, pela definição de PG,

.2564

32

32

32

32 y

y

x

y Nesse caso, temos:

256,32,4,2

1.

6.

a) Inicialmente, vamos adotar a seguinte linguagem:

P0: população inicial; P1: população 1 ano depois; P2: população 2 anos depois e

assim por diante.

P1= 50 000 + 20% de 50 000 = 50 000 + 0,2 . 50 000 = 60 000.

P2 = 60 000 + 20% de 60 000 = 60 000 + 0,2 . 60 000 = 72 000.

Fazendo-se os demais cálculos, obtém-se a população P3 e P4: 86 400 e 103 680,

respectivamente.

14

b) A sequência (50 000, 60 000, 72 000, 86 400, 103 680, …) é uma PG, de razão

1,2, pois .2,140086

680103

00072

40086

00060

00072

00050

00060

Assim, para se obter o termo sucessor de um termo conhecido, basta multiplicar

este último por 1,2, ou seja, Pn + 1= 1,2Pn

c) P1 = 50 000 . 1,21

P2 = 50 000 . 1,21. 1,2 = 50 000.1,22

P3 = 50 000 . 1,22. 1,2 = 50 000.1,23

Assim, Pn= 50 000 . 1,2n.

Essa fórmula pode ser generalizada para Pn = P0(1 + i)n, sendo i a taxa de

crescimento.

7.

a) R$ 13 122,00

b) Pn = 20 000 . 0,9n

Vale ressaltar que a taxa nesse problema é negativa. Se há uma depreciação de

10% ao ano, o valor do carro passa a ser de 90% sobre o valor anterior.

Utilizando os resultados da atividade anterior, observamos que para calcular o

preço do carro daqui a 1 ano é suficiente multiplicar o valor inicial do carro por

0,9, pois P1 = P0(1 – 0,1) = P0 . 0,9.

Páginas 31 - 33

1.

a) B = {7, 10, 13, 16, 19, 22}

b) Uma PA de razão 1.

c) Uma PA de razão 3.

2.

a) D = {10, 5, 0, –5, –10, –15}

b) Uma PA de razão –5.

15

3.

a) 37

b) 61

c) 6n + 1 = p

d) 55

e) Uma PA de razão 6 e primeiro termo 7.

Páginas 33 - 34

1. (7, 49, 343, 2 041). Trata-se de uma PG de razão 7.

2.

a) A = {11, 22, 33, 44, …, 99} PA de razão 11.

b) Construindo-se o conjunto B = {101, 111, 121, 131, 141, 151, …} temos a

impressão de que ele é uma PA de razão 10. Contudo, escrevendo mais alguns

termos na sequência (…, 171, 181, 191, 201, 211, …) observamos que, na passagem

do algarismo das centenas de 1 para 2, a série de palíndromos é quebrada.

A sequência dos números de três algarismos que iniciam por 2 seria:

(202, 212, 222, …). O mesmo ocorrerá na passagem das centenas que terminam com

algarismo 2 e começam com 3 (…, 292, 302, 312, …). Portanto, a sequência de

palíndromos de 3 algarismos não é uma PA.

16

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

SOMA DOS TERMOS DE UMA PA OU DE UMA PG FINITAS; APLICAÇÕES À MATEMÁTICA FINANCEIRA

Páginas 35 - 40

1. 440

2. 7 998

3. Os números inteiros divisíveis por 23, entre 103 e 850, formam a PA de razão 23:

(115, 138, …, 828). Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos n = 32, e

aplicando a fórmula da soma dos termos da PA, obtemos o resultado 15 088.

4.

a) 1, 3, 6, 10, 15, …

b) Cada termo é igual à soma dos termos anteriores. Pode-se concluir que é a regra

de Hipsicles aplicada na composição dos números triangulares.

c) Uma possível fórmula é an = an-1 + n

d)

17

5.

a) 51 e 70.

b) Em relação aos números pentagonais, reiteramos que a construção de uma tabela

como a que segue favorece a obtenção de uma fórmula de generalização:

6. 12

)12(.1

20

20

S 12

)12(.1

20

20

S 122020 S

7. A razão da PG é 2.

Portanto,

51012

122

n

251012 n 2562 n 822 n 8n . Logo

188 2.2 ax x = 256.

8.

a) A sequência da quantidade de tábuas colocadas é:

1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

Para obter o total de tábuas ao final de 9 operações, será necessário calcular a soma

dos termos da progressão geométrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, e, em seguida,

acrescentar uma unidade.

18

S = .25512

12.128

1

. 1

q

aqan Portanto, a pilha terá 256 tábuas.

b) A altura da pilha será igual a 256 . 0,5 = 128 cm = 1,28 m

9. Trata-se de calcular a soma 50,00 + 52,50 + 55,00 + 57,50 + … + 77,50, que resulta

R$ 765,00.

10.

a) Temos uma PG de razão (1 – 0,05) = 0,95, e queremos determinar o 6º termo.

a6 = 200 . 0,955 = 154,00

b) Devemos calcular a soma dos termos da PG.

88,904195,0.0004

05,0

195,0.200

195,0

20095,0.200

1

. 555

1

q

aqaS n

n .

Páginas 40 - 42

1.

a) an = 5n – 9

b) 282

c) Sn = )135(.2

1

2

.)954(

2

.)( 21 nnnnnaa n

2.

a) S6 = 3 . 62 – 5 . 6 = 78

b) S7 = 3 . 72 – 5 . 7 = 112

c) O 7º termo é a diferença entre S7 e S6. Portanto, a7 = 112 – 78 = 34

d) a1 = S1 = –2

a2 = S2 – a1 = 2 – (–2) = 4

A PA tem razão 6, e os primeiros termos são –2, 4, 10, 16, 22, 28, 34.

3.

a) a4 = 10 . 1,23 = 17,28 km.

19

b) Trata-se de calcular a soma dos 10 termos de uma PG em que a1 = 10 e

a10 = 10.1,29.

S = 12,6.5012,1.50

2,0

12,1.10

12,1

102,1.2,1.10

1

. 10109

1

q

aqan = 260 km.

Páginas 43 - 46

1.

2.

Tabela B

Os R$ 200,00 depositados no 1º mês tornam-se R$ 210,00, no 2º mês,

R$ 220,00, no 3º mês, e assim por diante, tornando-se, ao final, R$ 280,00. Os

20

R$ 200,00 depositados no 2º mês, de modo análogo, convertem-se em

R$ 270,00, ao final de sete meses de aplicação. Seguindo o raciocínio, o saldo final

da aplicação será o resultado da adição dos valores da última coluna da tabela, que

são os termos de uma progressão aritmética:

Saldo final = 210 + 220 + 230 + 240 + 250 + 260 + 270 + 280

Saldo final =

2

8.280210 = 1 960.

3.

Tabela C

A soma dos valores da última coluna da tabela fornece o total capitalizado. Trata-se

da soma dos termos de uma progressão geométrica de razão 1,05.

S = 200 . (1,05 + 1,052 + 1,053 + 1,054 + 1,055 + 1,056 + 1,057 + 1,058)

S = 200 . 1

. 1

q

aqan

200 . 105,1

05,105,1.05,1 8

S 2 005,31, isto é, R$ 2 005,31.

4. Trata-se de calcular a soma S = 520 + 540 + 560 + 580 + … + 700

S = 10065.12202

10.)700520(

O resgate será de R$ 6 100,00.

21

5. Trata-se de calcular a soma de termos em PG:

S = 1 000 . 1,02 + 1 000 . 1,022 + 1 000 . 10,23 + … + 1 000 . 1,0212

S = 1 000 (1,02 + 1,022 + 1,023 + … + 1,0212)

S =

02,0

102,1.02,10001

102,1

02,102,1.02,1.0001

1

..0001

12121

q

aqan

S = 1 000 . 51.(1,0212 – 1) = 51 000 . 0,27 = 13 770

Portanto, o resgate será de R$ 13 770,00.

6. Sendo o cálculo do montante à base de juros simples, temos a soma de termos em

PA, da seguinte maneira:

S = 1,1X + 1,2X + 1,3X + … + 2,0X

15 500 = X . (1,1 + 1,2 + 1,3 + … + 2,0)

15 500 = X.

2

.1 naa n= X.

2

10.0,21,1 = X . 15,5 X = 1 000.

Portanto, a parcela mínima a ser depositada é igual a R$ 1 000,00

7. O valor futuro da geladeira, em 6 meses, será igual a:

1 500 . 1,036 = 1 500 . 1,19 = 1 785.

A soma das parcelas fixas, a 3% de juros compostos ao mês, recai em:

S = P.(1,03 + 1,032 + … + 1,036)

Onde P é o valor da parcela fixa mensal. Como S = 1 785, tem-se

1 785 = P. 103,1

03,103,1.03,1 6

P.

03,0

103,1.03,1 6

P. 34,33.(1,066 – 1) = P . 34,33.0,19.

Assim: 1 785 = P . 6,5227 P = 273,65

Portanto, a parcela mensal deverá ser igual a R$ 273,65.

LIÇÃO DE CASA

Página 47

1.

a) O valor total capitalizado exige o cálculo de uma soma de termos em PG.

22

S = 200 . (1,04 + 1,042 + 1,043 + … + 1,048)

S = 200· 9241)137,1.(26.20004,0

)104,1(.04,1.200

104,1

04,104,1.04,1 88

Portanto, Júlia deu de entrada R$ 1 924,00.

b) O valor financiado é igual à diferença entre R$ 5 000,00 e R$ 1 924,00, ou seja,

R$ 3 076,00. Esse valor, em 5 meses, a 2% ao mês, torna-se 3 076 . 1,025 = 3 383,60.

Uma parcela fixa P, paga todo mês e corrigida à base de 2% ao mês deve, ao final,

gerar montante equivalente a R$ 3 383,60.

3 383,60 = P(1,02 + 1,022 + 1,023 + 1,024 + 1,025)

3 383,60 = P· 1,5.10,0.51.02,0

)102,1(02,1.

102,1

02,102,1.02,1 55

PPP

3 383,60 = P.5,1 P = 663,45

Portanto, a parcela fixa será igual a R$ 663,45.

Página 48

Lenda do Xadrez

Conta-se que certa vez um rajá indiano, aborrecido com os jogos em que a sorte

acabava determinando o vencedor, e não as estratégias e o raciocínio.Solicitou a um

sábio de sua corte que inventasse um jogo em que prevalecesse essas características.

Esse sábio, cujo nome era Sissa, inventou o xadrez que, como sabemos, é um jogo que

valoriza a sabedoria, o raciocínio lógico, a prudência e se opõe à aleatoriedade de um

jogo de dados, por exemplo.

Joga-se o xadrez sobre um tabuleiro quadriculado com 64 casas, no qual se

movimentam peças de diferentes formatos, correspondendo cada um elemento do

exército indiano: soldados (peões), Carros ( bispos), cavalo, elefantes ( torres) além de

um rei e uma rainha.

Sissa justificou que escolheu a guerra porque para vencer é necessários as

persistências, a ponderação, a sabedoria e a ousadia.

23

O rajá ficou encantado com o jogo e concedeu a Sissa o direito a pedir o que quisesse

como recompensa. Sissa fez ao rajá um pedido aparentemente simples e fácil: queria 1

grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos de trigo pela segunda casa, 4 pela

terceira, 8 pela quarta casa, 16 pela quinta casa, 32 pela sexta casa e assim

sucessivamente , sempre dobrando o número de grãos que foi colocado na casa anterior

até 64 casas. O rei não conseguiu cumprir sua promessa, pois o total de grãos era

simplesmente 18 446 7444 073 709 551 615, ou seja, a soma dos termos de uma PG de

64 termos

1+2+4+8+16+64+128+256+512+1 024+ 2 048+ 4 096+... + 9 223 372 036 854 775 808

Um número tão fantástico que seriam necessários alguns séculos para que a Terra

produzisse todo este trigo.

Para alívio do rajá, Sissa disse que já sabia que sua recompensa não poderia ser paga,

pois aquela quantidade daria para cobrir toda a superfície da Índia com uma cama de

quase uma polegada de espessura.

24

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

LIMITE DA SOMA DOS INFINITOS TERMOS DE UMA PG

Desafio!

Páginas 49 - 50

Para responder a essas questões, é importante observar, inicialmente, que dado um

triângulo ABC com P e Q em pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente,

então PQ é paralelo a AC e sua medida é igual à metade de AC. O mesmo vale para os

demais lados do triângulo PQR, visto que o triângulo ABC é equilátero.

a) Como PQR é um triângulo equilátero as medidas dos lados PQ, PR e RQ são todas

iguais a 0,5.

b) O perímetro do triângulo ABC é igual a 3, do PQR é igual a 2

3 e o do triângulo STU

é 4

3.

c) A sequência de triângulos assim construídos terão perímetros respectivamente iguais

a: (3, 2

3,

4

3,

8

3,

16

3, …).

Páginas 51 - 53

1. O valor procurado corresponde ao limite da soma de uma PG de razão 4

1 para o

número de termos tendendo a infinito. Podemos fazer:

S

nlim

= 3

8

4

11

2

11

q

a

25

Portanto, por mais que aumentemos a quantidade de parcelas da soma, nunca

ultrapassaremos o valor 3

8, embora cada vez mais nos aproximemos dele.

2.

a) A razão é 10

1. A soma será igual a

11

100 .

b) A razão é 2

1. A soma será igual a

5

4.

3. Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela bola durante as descidas:

Sdescida = 6 + 2 + ...9

2

3

2

Temos a seguinte soma para as distâncias percorridas pela bola durante as subidas:

Ssubida = 2 + ...9

2

3

2 =

S

nlim

=

3

3

11

2

11

q

a

Observando que Sdescida = 6 + Ssubida temos que Sdescida = 6 + 3 = 9

Portanto, a distância vertical total percorrida pela bola é igual a

Sdescida + Ssubida = 12 m.

4. 2718

4

11

2

x

x

Páginas 53 - 56

1.

a) (10; 1; 0,1; 0,01; …)

b) 0,1

c) Sn

lim 9

100

9,0

10

1,01

10

11

q

a metros.

26

d) Aquiles alcançará a tartaruga após percorrer 9

100 metros.

2. A expressão pode ser reescrita da seguinte forma:

.....16

1

8

1

4

1

2

1

16

1

8

1

4

1

2

1

2....2.2.2.2

Trata-se de calcular o limite da soma da PG de primeiro termo igual a 2

1 e razão

igual a 2

1, cujo resultado é 1. Assim, o resultado da expressão é igual a 21 = 2.

3. Levando-se ao pé da letra a descrição fornecida no enunciado, a dívida jamais seria

paga, pois sempre restaria um resíduo por menor que fosse. Podemos, no entanto,

calcular o limite da soma da PG formada pelas parcelas, pois esse será o valor limite

da dívida. Chamando de x o valor total da dívida, devemos verificar se a soma das

parcelas resulta no valor total da dívida, isto é, x.

S = x

xx

q

axxxx

2

12

2

11

21

...16842

1 .

4. Vamos decompor a dízima na seguinte soma:

1,777… = 1 + 0,777… = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + …

Podemos escrever esta soma da seguinte forma:

1,777… = 1 + 0,777… = 1 + 0,7 + 0,07 + 0,007 + …= 1 + ...0001

7

100

7

10

7

Desse modo, concluímos que as parcelas ...,0001

7,

100

7,

10

7 formam uma PG infinita

de razão q = 10

1 e primeiro termo

10

71 a .

Assim, aplicando a fórmula do limite da soma nSlim ,1

1

q

a

obtemos:

nSlim = .9

7

10

910

7

10

11

10

7

11

q

a

27

Desse modo, a geratriz de 1,777… será 1 + 9

16

9

7 .

AJUSTES

Caderno do Professor de Matemática – 1ª série – Volume 1

Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada

página.

13

Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

d) O conjunto D é formado por números inteiros maiores ou iguais a –2.

{–2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Problema 2

Quais são os cinco menores números que

pertencem a cada um dos seguintes conjuntos?

a) E é o conjunto dos números naturais que são divisíveis por 4.

E = {0, 4, 8, 12, 16}.

b) F é o conjunto dos números naturais ímpares maiores do que 7.

F = {9, 11, 13, 15, 17}.

c) G é o conjunto dos números inteiros que, elevados ao quadrado, resultam em um número menor do que 10.

G = { –3, –2, –1, 0, 1}.

d) H é o conjunto dos números naturais que, quando dobrados e somados a 1, resul-tam em um número maior do que 7.

H = {4, 5, 6, 7, 8}.

Após a resolução desses e de outros proble-

mas de mesma natureza, convém questionar

os alunos sobre como descrever, em linguagem

matemática, os conjuntos E, F, G e H do Pro-

blema 2. O desafio pode ser lançado aos alu-

nos a fim de que seja verificada a compreensão

que podem ou não ter conseguido da atividade.

Embora possam ser aceitas diferentes respostas,

caberá ao professor avaliar aquelas que apre-

sentam maior grau de correção, valorizando-

as. De qualquer maneira, apresentamos, a

seguir, possíveis respostas corretas.

E = {4n, sendo n ∈ N, e n < 5}.

F = {2n + 1, sendo n ∈ N, e 4 ≤ n ≤ 8}.

G = {x ∈ Z / –4 < x < 2}.

H = {2n + 1 > 7, sendo n ∈ N, e n < 9}.

A resolução e a discussão desses problemas iniciais permitirão, ao nosso ver, introduzir a notação apropriada para a designação de termos de uma sequência numérica. Todavia, antes que isso seja implementado (o que será feito na Etapa 2), consideramos importante que os alunos se detenham um pouco mais na identificação das regularidades de algu-mas sequências.

A sequência dos números naturais é construída, como sabemos, pelo acréscimo de uma unidade a um termo já conhecido. A fim de proporcionar aos alunos a oportu-nidade de observar regularidades e perceber que, muitas vezes, é possível construir uma “receita” ou uma sentença que indique como

a sequência deve continuar, o professor pode

apresentar tipos diferentes de sequências

para que os alunos observem as proprieda-

des de seus elementos e descubram a lei de

formação, ou seja, o padrão utilizado para a

construção da sequência. Oriente-os a cons-

truir uma sentença algébrica que permita

calcular um termo qualquer, em função de

sua posição na sequência (sequências, sob o

ponto de vista funcional).

15

Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

Supondo que a lei de formação continue a

mesma, desenhe as figuras que deverão ocu-

par as posições 38a e 149a, nessa sequência.

Justifique sua resposta.

A figura que ocupa a posição 38 será a

mesma figura da posição 2, pois a divisão

de 38 por 4 deixa resto 2, e a que ocupa a

posição 149 será a mesma da posição 1, visto

que a divisão de 149 por 4 deixa resto 1.

Problema 4

Observe a sequência (1, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 3,

3, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 1...). Supondo que permaneça

a lei de formação dessa sequência, determine

o 38o e o 149o termos dessa sequência.

O período é de cinco números. Assim, o

38o termo é 2, pois a divisão de 38 por 5 deixa

resto 3, e o terceiro termo da sequência é o

número 2; o 149o termo é igual a 3, pois a

divisão de 149 por 5 deixa resto 4, e o quarto

termo da sequência é o número 3.

Problema 5

Hoje é quarta-feira. Devo pagar uma dívi-

da exatamente daqui a 90 dias. Em que dia da

semana cairá o 90o dia?

O período é de sete dias. A divisão de 90

por 7 deixa resto 6; portanto o 90o dia será

o sexto elemento da sequência dos dias da

semana iniciada na quinta-feira. Logo, o

90o dia será terça-feira.

Problema 6

Um processo de reflorestamento previa

a plantação de um número x de mudas de

árvores. No primeiro dia, foram plantadas

120 árvores, e planejou-se que, nos próximos

dias, seriam plantadas, a cada dia, dez árvores

a mais do que teria sido plantado no dia ante-

rior. Isso sendo feito,

a) quantas árvores serão plantadas no séti-mo dia?

6 . 10 + 120 = 180 árvores.

b) qual é o número x, se, no final do déci-mo dia, havia-se plantado a metade do total previsto inicialmente?

No décimo dia = 9 . 10 + 120 = 210 ⇒S = 120 + 130 + 140 + ... + 190 + 200 + 210

S = (120 + 210) . 5 = 1 650 (Metade do total)

Total de árvores = 1 650 . 2

x = 3300

Problema 7

Observe os seis primeiros termos de

uma sequência.

1 2 3 4ABCD

(I)

1 2 3 4ABCD

(II)

1 2 3 4ABCD

(III)

1 2 3 4ABCD

(IV)

1 2 3 4ABCD

(VI)

1 2 3 4ABCD

(V)

25

Matemática – 1ª- série, 1o bimestre

c) É possível que um mesmo número natu-ral apareça em duas das três primeiras sequências? Justifique.

Não, pois a sequência (I) é formada

apenas por números que, divididos por

3, deixam resto zero; a sequência (II) é

formada apenas por números que, divididos

por 3, deixam resto 1; a sequência (III) é

formada apenas por números que, divididos

por 3, deixam resto 2. Como a divisão

por um número natural diferente de zero

(divisão euclidiana) não pode apresentar

dois restos distintos, não é possível que

um mesmo número apareça em duas

dessas sequências.

d) O número 1 087 é um termo de qual(is) sequência(s)?

O número 1 087 é um termo da sequência

(II), pois a divisão de 1 087 por 3 deixa

resto 1, e é também elemento da sequência

(V), uma vez que é múltiplo de 0,2.

e) Mostre que o número 137 não pertence à sequência (II).

A sequência (II) é formada apenas por

números que, divididos por 3, deixam resto

1. Logo, o 137 não é termo da sequência

(II), pois a divisão de 137 por 3 deixa

resto 2.

f) Escreva o termo geral da sequência (I).

an = 3 .(n – 1), n ∈ N*.

g) Escreva o termo geral da sequência (II).

an = 3 . n – 2, n ∈ N*.

h) Escreva o termo geral da sequência (III).

an = 3 . n – 1, n ∈ N*.

i) Escreva o termo geral da sequência (IV).

an = (– 2)n, n ∈ N*.

j) Escreva o termo geral da sequência (V).

an = 0,2 . n, n ∈ N*.

k) Escreva o termo geral da sequência (VI).

an = 4n ÷ 4, n ∈ N*.

l) Escolha um critério, justificando-o, e se-pare as seis sequências em dois grupos.

Espera-se, neste item, que os alunos percebam

que há, entre as sequências apresentadas,

algumas em que o passo constante é somado

a cada termo e outras em que o passo

constante é multiplicado a cada termo.

Todavia, poderão aparecer outros critérios, e

o professor deverá estar atento para valorizar

os critérios surgidos, mas, também, enfatizar

a importância do reconhecimento do passo

constante das sequências, seja ele somado ou

multiplicado.