matemÁtica – 8o ano prof – padrÃo – vol ii · – propõe uma reflexão sobre o conceito...

MATEMÁTICA – 8o ANOPROF – PADRÃO – VOL II

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesAlex FrançaDominique CoutinhoErlon Pedro PereiraEstevão CavalcantePaulo Henrique de Leão

Estagiários:Amanda SilvaFabio Rodrigues Gustavo MacedoLucas Araújo

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no114 - Tijuca - RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Ciências:D. Geométrico:Espanhol:Geografia:História:Inglês:Matemática:Português:Redação:

Autores:

Alba AlencarThiago SantosVerônica LouroJoão Paulo PradoMichelle Trugilho Maria Izadora ZarroLucy CunhaLuiza MarçalCláudia Pires

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 2017

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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO FUNDAMENTAL 2016/2017

O material didático da Irium Educação foi reformulado para o biênio 2016/2017 com o intuito de estar atualizado com as demandas educacionais dos principais concursos do país e alinhado com os pilares educacionais elementares defendidos pela editora.

Além de conter um projeto pedagógico inovador, o projeto gráfico é totalmente inovador. O design de cada página foi projetado para ser agradável para a leitura e atrativo visualmente, favorecendo a passagem das informações. Há uma identidade visual para cada disciplina e as seções são marcadas para favorecer a aprendizagem.

Veja algumas páginas:

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Didaticamente, há um projeto traçado que envolve fundamentos pedagógicos de vanguarda. Além disso, o material impresso “conversa” com o site galeracult.com.br, além de vídeos dispostos na videoteca do irium.com.br.

Confira os fundamentos pedagógicos do material e suas justificativas:

Fundamento 01: Apresentar um conteúdo em termos de ementa e nível de acordo com os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCNs), refletidos pelos principais concursos do país do referido segmento, assim como do segmento subsequente (Ensino Médio).

Descrição: O conteúdo de cada série segue as orientações dos PCNs, porém existe a possibilidade de reordenação, pois o material é constituído de cadernos independentes, que possibilitam a construção de acordo com a vontade da escola parceira. Para isso, basta a escola utilizar o nosso cronograma – que está apresentado a seguir – e escolher a nova ordem dos cadernos, inclusive trocando de séries, caso seja necessário. Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Fundamento 02: Alinhar desde o princípio os objetivos pedagógicos de cada caderno (capítulo).

Descrição: Ainda na capa de cada caderno (capítulo), professores e alunos encontrarão os objetivos a serem alcançados naquela unidade. Dessa forma, pretende-se que docentes e discentes comecem “com o objetivo em mente”, ou seja, que tenham clareza desde o início dos objetivos.

Como funciona na prática? Após a contextualização, sugerimos que o professor apresente os objetivos pedagógicos do caderno, ou seja, o que o aluno deve assimilar e quais competências ele deve desenvolver, quando o caderno estiver com a teoria vista e os exercícios realizados.

Na capa do caderno de Sinais de Pontuação, ao lado, ao ler os objetivos da unidade, junto com os alunos, o professor deixa claro que visa ensinar para compreensão dos alunos dos erros de comunicação gerados por má emprego da pontuação, reconheçam e saibam empregar corretamente os sinais de pontuação.


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Fundamento 03:Transcender o conteúdo tradicional, através do diálogo entre este e outros saberes,

não previstos na Base Nacional Comum, mas considerados relevantes para a formação do jovem, segundo a visão da Irium Educação.

Descrição: Além do conteúdo tradicional, o material do Ensino Fundamental II é focado em novos saberes essenciais para a formação dos jovens hoje em dia. Saberes como Educação Financeira, Noções de Nutrição, Noções de Direito, Empreendedorismo, entre outros, são apresentados de forma dialógica com os conteúdos tradicionais. De forma prática, em cada caderno há pelo menos uma inserção transdisciplinar em formato de observação. Essas inserções surgem no material impresso em uma versão reduzida e o artigo na íntegra pode ser acessado no site do projeto galeracult.com.br.

Como funciona na prática? As inserções são apresentadas em um quadro específico e o conteúdo é exposto por um personagem ficcional criado pelo time da Irium Educação. Esses personagens são jovens e possuem características e linguagem próprias da adolescência, o que gera identificação com os alunos. Para os professores, fica a sugestão de utilizar esses artigos transdisciplinares para apresentar como o conteúdo presente “dialoga” com outros, estendendo a aprendizagem e mostrando outras áreas do conhecimento onde alguns alunos, com certeza, irão se identificar. Esse fundamento do material didático é uma grande oportunidade para fazer conexões entre os saberes, valorizando cada um e ainda mais a sinergia entre eles. Além do artigo presente na apostila, os educadores podem incentivar os educandos a acessar o conteúdo completo, no site, possibilitando a navegação por outros artigos e, consequentemente, o acesso a mais informações de qualidade. Veja no recorte abaixo, como a música do Cazuza foi utilizada para exemplificar uma Oração Subordinada Adverbial e, com isso, acaba sendo conectada a história do próprio compositor, enriquecendo o conhecimento cultural do aluno.

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Fundamento 04: Sugerir contextos para apresentação dos conteúdos a fim de tornar o aprendizado

mais prático e concreto para o aluno.

Descrição: Um desafio para os educadores é não cair no “conteudismo” puro, distante da aplicabilidade desses e da realidade dos alunos. Para isso não acontecer, o material traz sugestões de contextualizações para o início do conteúdo, além de outras exemplificações práticas ao longo da apresentação da teoria.

Como funciona na prática? Na capa de cada caderno, há uma charge, uma tirinha, uma citação, um meme ou outra representação que o professor pode usar como “gancho” para iniciar a sua aula de forma contextualizada, trazendo mais significado para o aprendizado desde o início da aula. Repare que o texto abaixo (à esquerda) – entre a imagem principal e a seção “Objetivos” – propõe uma reflexão sobre o conceito de História. Essa provocação cabe perfeitamente para o início da exposição, considerando que se pretende desconstruir o conceito vulgar de História. No outro exemplo (à direita), o autor inseriu uma tirinha para exemplificar uma oração subordinada adverbial.


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Fundamento 05: Promover uma linguagem mais dialógica e sedutora para o aluno, a fim de

sensibilizá-lo para a importância do conteúdo, facilitando o processo de aprendizagem.

Descrição: A forma como as informações são apresentadas é essencial para criar simpatia ou rejeição por parte dos alunos. Pensando nisso, reformulamos a linguagem do material, especialmente no início de cada caderno – na primeira impressão, - para que ela fosse mais atrativa para os jovens. Assim, o texto “conversa” com o leitor, favorecendo a apresentação do conteúdo e evitando rejeições devido a forma como ele é apresentado.

Como funciona na prática? Os textos do material não possuem linguagem coloquial, eles são técnicos. Porém, não são puramente técnicos no sentido tradicional. Eles buscam uma aproximação do leitor, como se o autor estivesse “conversando” com o leitor. Esse tipo de construção favorece a compreensão e os professores podem usar isso em exercícios como: reescreva determinado texto com suas palavras, deixando claro o que você entendeu. Nos textos tradicionais, normalmente, os alunos tem dificuldade de entenderem sozinhos. Veja os textos abaixo como são convidativos.

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Fundamento 06: Articular conteúdo e exercícios de forma planejada, a fim de tirar o melhor do

proveito desses últimos, funcionando como validação dos conceitos básicos trabalhados ou espelhando a realidade dos mais diversos concursos.

Descrição: Há três seções de exercícios “tradicionais”. Os Praticando possuem o aspecto de validação da aprendizagem, os Aprofundando refletem a clássica abordagem dos concursos e os Desafiando são os mais difíceis, até mesmo para os principais concursos do país. Existem também, em todas as seções, questões resolvidas em vídeo. Elas estão sinalizadas com um ícone de uma câmera, que indica que há solução gravada, e podem ser localizadas pelo código justaposto. Através desse código, o aluno-usuário deverá acessar a área da Videoteca, localizada em irium.com.br.

Como funciona na prática? Os exercícios Praticando, por serem validações da aprendizagem, permeiam a teoria, ou seja, teoria 1 → praticando 1 → teoria 2 → praticando 2 → ... Os Aprofundando servem como mini simulados de concursos e são recomendados “para casa” para serem corrigidos na aula seguinte. Os Desafiando, por serem os mais difíceis, podem valer pontos extras em atividades a parte.

Fundamento 07: Incentivar o aluno a estender sua aprendizagem além da sala de aula, seja com links

com sites e aplicativos ou através de atividades complementares de pesquisa e reflexão.

Descrição: O material possui também exercícios não ortodoxos. As questões “tradicionais” são testes para verificar se o aluno consegue reproduzir aquilo que deveria ser aprendido. Na seção Pesquisando, o material propõe exercícios novos, que incentivam a pesquisa on-line e off-line, reflexões sobre escolhas e comportamentos e servem também, para possibilitar a atuação dos responsáveis na educação formal do filho, pois podem ajuda-los nas pesquisas e reflexões sugeridas pela atividade.

Como funciona na prática? A seção Pesquisando é constituída de exercícios “fora da caixinha”, isto é, aqueles que exigem pesquisas e/ou reflexões. Há algumas utilizações pedagógicas interessantes para essa seção. Exemplos: 1) O professor poderia pedir um caderno separado para registro desses exercícios. Ao final ele teria um verdadeiro portfólio da produção dos alunos ao longo de determinado tempo; 2) Os pais poderiam ser convidados a participar da educação formal do filho, ajudando-o ou simplesmente perguntando sobre os temas abordados nesses exercícios, pois são mais fáceis para esse intuito do que os exercícios tradicionais; 3) O aluno poderia exercitar sua oratória apresentando atividades propostas nessa seção; 4) Alguns Pesquisando podem ser usados como temas para debates em sala, desenvolvendo as habilidades de ouvir e compreender o outro, além, obviamente, da capacidade de argumentação.


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Fundamento 08: Oferecer informações sintetizadas, a fim de atender momentos de revisão do

conteúdo.

Descrição: No final de todo caderno, apresentamos uma seção denominada Resumindo, onde é apresentado uma síntese do conteúdo do caderno. O intuito é possibilitar que o aluno tenha um resumo bem construído para uma revisão rápida, quando necessária.

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO8º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA I

1º bimestre

EF2MAT801: Como surgiu a linguagem algébrica da Matemática?• Definição e reconhecimento de monomios• Adição e subtração de monomios• Multiplicação, divisão, potenciação e raíz quadrada de monômios

EF2MAT802: Polinômios• Definição• Operações básicas• Divisão de polinômios

EF2MAT803: Produtos Notáveis

• Quadrado da soma de dois termos; quadrado da diferença de dois termos; produto da soma pela diferença de dois termos;• Cubo da soma ou da diferença de dois termos; quadrado da soma de três termos;• Exercícios de produtos notáveis.

2º bimestre

EF2MAT804: Fatoração• Fatoração da diferença de dois quadrados, do trinômio quadrado perfeito e do trinômio do 2º grau;• Exercícios de fatoração.

EF2MAT805: Frações algébricas• Simplificação de frações algébricas• Potência de expoente fracionário• MMC de monômios• Polinômios• Equações fracionárias


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3º bimestre

EF2MAT806: Equação do 2o grau• Definição• Equações completas e incompletas• Resolução de equações incompletas• Resolução de equações completas

EF2MAT807: Radiciação• Propriedades dos radicais• Adição e subtração de radicais• Multiplicação e divisão de radicais• Racionalização de denominadores

4º bimestre

EF2MAT808: Plano cartesiano• Plano cartesiano• Produto cartesiano

EF2MAT809: Noções de Função• Introdução ao conceito de função• Representação gráfica de uma função

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO8º ANO – 2016 / 2017

MATEMÁTICA II

1º bimestre

EF2MAT811: Ângulos e Teorema de Tales• Ângulos formados por retas paralelas e transversais• Lei angular de Tales• Relações de desigualdade entre lados e ângulos

EF2MAT812: Polígonos• Polígonos convexos e côncavos• Medidas dos ângulos internos• Número de diagonais de um polígono convexo• Somas das medidas externas de um polígono

EF2MAT814: Triângulos• Classificação• Semelhança entre triângulos

2º bimestre

EF2MAT813: Quadriláteros• Paralelogramos• Trapézios

EF2MAT815: Circunferência e círculo• Introdução• Posições relativas de uma reta e uma circunferência• Posições relativas entre duas circunferências

3º bimestre


9

EF2MAT816: Medidas de arco e de ângulo• Medidas de arco e ângulo central• Ângulo inscrito• Medida do ângulo excêntrico interior e exterior• Relações métricas na circunferência• Comprimento da circunferência• Arco da circunferência

4º bimestre

EF2MAT817: Áreas• Áreas das principais figuras planas• Decomposição de figuras e áreas

EF2MAT818: Volume de sólidos


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ORIENTADOR METODOLÓGICO PADRÃO

ENSINO FUNDAMENTAL 2016/20178º ano

MATEMÁTICA I

2o bimestre:

Aula 11Tópico: FatoraçãoObjetivos: Identificar cada caso de fatoração; Compreender os mecanismos da fatoração e como utilizar os produtos notáveisSubtópicos: FatoraçãoExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 10

Aula 12Tópico: FatoraçãoObjetivos: Identificar cada caso de fatoração; Compreender os mecanismos da fatoração e como utilizar os produtos notáveisSubtópicos: Fatoração da diferença de dois quadrados; Fatoração do trinômio quadrado perfeito; Fatoração do trinômio do 2o grauExercícios: xPara casa: Praticando 11 ao 29

Aula 13Tópico: FatoraçãoObjetivos: Identificar cada caso de fatoração; Compreender os mecanismos da fatoração e como utilizar os produtos notáveisSubtópicos: ExercíciosExercícios: Praticando 11 ao 29Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula 14Tópico: FatoraçãoObjetivos: Identificar cada caso de fatoração; Compreender os mecanismos da fatoração e como utilizar os produtos notáveisSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

10

Aula 15Tópico: Frações algébricasObjetivos: Simplificar frações algébricas e trabalhar com elas; Demonstrar como se efetuam as operações de adição e subtração com frações algébricasSubtópicos: Frações algébricasExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 7

Aula 16Tópico: Frações algébricasObjetivos: Demonstrar como se efetuam as operações de multiplicação e divisão com frações algébricasSubtópicos: Potência de expoente fracionário; Propriedade das potências com expoentes racionaisExercícios: xPara casa: Praticando 8 ao 14

Aula 17Tópico: Frações algébricassObjetivos: Resolver situações-problemas utilizando frações algébricasSubtópicos: Equação fracionária; Conjunto universe de uma equação fracionária; Mínimo múltiplo comum entre monômios e polinômiosExercícios: xPara casa: Praticando 15 ao 25

Aula 18Tópico: Frações algébricasObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Praticando 15 ao 25Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula 19Tópico: Frações algébricasObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula 20Tópico: RevisãoObjetivos:Subtópicos: RevisãoExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral


11

MATEMÁTICA II

2o bimestre:

Aula 11Tópico: QuadriláterosObjetivos: Classificar quadriláteros em paralelogramos ou trapézios; Verificar as propriedades dos paralelogramos.Subtópicos: Paralelogramos; Propriedades dos paralelogramosExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 9

Aula 12Tópico: QuadriláterosObjetivos: Identificar os elementos de um trapézioSubtópicos: Trapézios; Tipos de Trapézios; Propriedades dos TrapéziosExercícios: xPara casa: Estudo sobre Mediana de Euller; Propriedades do Trapézio Isósceles; e Classificação dos Quadriláteros

Aula 13Tópico: QuadriláterosObjetivos: Observar as propriedades do trapézio isóscelesSubtópicos: Mediana de Euller; Propriedades do Trapézio Isósceles; e Classificação dos QuadriláterosExercícios: Praticando 10 ao 16Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula 14Tópico: QuadriláterosObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula 15Tópico: Circunferência e círculoObjetivos: Diferenciar circunferência de círculo e conhecer seus elementosSubtópicos: Conceito; Elementos da circunferência; Círculo; Elementos do círculoExercícios: xPara casa: Praticando 1 ao 6

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Aula 16Tópico: Circunferência e círculoObjetivos: Conhecer as posições e as propriedades envolvendo uma reta e uma circunferênciaSubtópicos: Posições relativas de uma reta e uma circunferênciaExercícios: xPara casa: Praticando 7 ao 12

Aula 17Tópico: Circunferência e círculoObjetivos: Conhecer as posições e as propriedades envolvendo duas circunferênciasSubtópicos: Posições relativas entre duas circunferênciasExercícios: xPara casa: Praticando 13 ao 17

Aula 18Tópico: Circunferência e círculoObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Praticando 13 ao 17Para casa: Aprofundando e Desafiando

Aula 19Tópico: Circunferência e círculoObjetivos: xSubtópicos: ExercíciosExercícios: Aprofundando e DesafiandoPara casa: Pesquisando

Aula 20Tópico: RevisãoObjetivos:Subtópicos: RevisãoExercícios: Revisão bimestralPara casa: Revisão bimestral

EF2M

AT8-

04

FATORACAO

1

Praticando:1) Ca) 19(x+y)b) x2(6x-5)c) 4x-3y+6d)2(3x-4y-5z)

2) 3(x2-9)= 3(x+3)(x-3)Letra B

3) 1/3 x(1+ 1/3 x)Letra B

4) -9(2a+3c)Letra D

5) X2y-xy2=xy(x-y)=20 x 8 = 160Letra D

6) 7(x+y+z)-a(x+y+z) = (x+y+z)(7-a)Letra D

7) A(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b) = 6 x 15 = 90Letra C

8) A(x+y)+b(x+y) = (x+y)(a+b) = 4 x 12 = 48

9) A(x-1)-1(x-1)=(x-1)(a-1)Letra B

10) 10

11) a) (1000 -1)2 = 10002 -2x1000x1+12 = 1.000.000-2000+1 = 998.000+1 = 998.001b) (100 -1)2 = 1002-2x100x1+12 = 10.000-200+1 = 9.800+1 = 9.801c) 99

12) a) Trinômio quadrado perfeito9b2 = (3b)2

1 = 126b = 2 x 3b x 1(3b+1)2

b) Trinômio quadrado perfeito1/4 = (1/2)2

p2 = (p)2

-p=-2 x 1/2 x p(1/2- p)2

c) Trinômio quadrado perfeitor2 = (r)2

36=62-12r= - 2 x r x 6(r-6)2

d) Não é trinômio quadrado perfeito.e) Não é trinômio quadrado perfeito.

13) João Pedro está errado, pois o correto é 8x2--4x= 4x(2x-1).

14) (x - y)(x2 + xy + y 2) = x3 + x2y + xy2 - x2y - xy2- y3 = x3 - y3

Logo, x3 - y3 =(x - y)(x2 + xy + y2) e X3 + y3 =(x + y)(x2 - xy + y2).

15) X2 = (x)2

100 = (10)220x = 2 . 10 . xForma fatorada: (x + 10)2

M2 = (m)2

49n2 = (7n)2

14mn= 2 x m x 7nForma fatorada: (m + 7n)2

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Fatoracao

Objetivos de aprendizagem:• Identificar cada caso de fatoração;• Compreender os mecanismos da fatoração

e como utilizar os produtos notáveis.

EF2M

AT8-

04FATORACAO

2

Consertar 4000 para 40000X2 = (x)2

40000=(200)2

-400x = -2 . x . 200Forma fatorada: (x-200)2

16) Consertar a pergunta para que monômio.Vamos observar o termo central: -6x = -2 . 3x . 11 = 12

5x2 na verdade deveria ser 9x2, pois 9x2 = (3x)2

Então devemos somar a diferença: 9x2 - 5x2

= 4x2

17) X2 - 4 = (x+2)(x-2)Letra A

18) a2 - b2 = (a + b)(a - b) = 8 x 4 = 32Letra D

19) a8 - 1 = (a4)2 – 1 = (a4 + 1)(a4 – 1)a4 - 1 = (a2)2 – 1 = (a2 + 1)(a2 - 1)Assim ficaremos com: (a4+1)(a4-1) = (a4+1)(a2+1)(a2-1)Por fim, fazemos:A2-1=(a)2-1=(a+1)(a-1)Assim:(a4+1)(a2+1) (a+1)(a-1)Letra C

20) Letra A.

21) Vamos passar -2ab para o outro lado:A2 + 2ab + b2 = 144Perceba que temos o trinômio quadrado per-

feito:(a+b)2 = 144Letra D

22) 4x2=(2x)2

9y2=(2y)2

Bolinha: 2 . 2x . 3y = 12xyLetra A

23) X6=(x3)2

1=12

-2x3 = - 2. x3.1(x3-1)2

Letra B

24) (x-y)2=x2-2xy+y2

Como temos x2+y2=74 e xy = 35, reescreve-mos:

x2+y2-2xy=74 – 2 x 35=74 – 70 = 4(x-y)2=4

25) (a+b)2=a2+2ab+b281= a2+b2+2ab81=53+2ab81-53=2ab28=2ab28/2=abAb=14

26) Letra C.

27) a) S=7

P=10, pode ser 1 x 10, 2 x 5.Como a soma tem que ser 7, então é 2 e 5.Fatoração: (x+2)(x+5)

b) S=-13P=30, pode ser 1 x 30, 2 x 15, 3 x 10, 5 x 6.Como a soma tem que ser -13, então é -3 e

-10.Fatoração: (x-3)(x-10)

c) S=12P=20, pode ser 1 x 20, 2 x 10, 4 x 5.Como a soma tem que ser 12, então é 2 e 10.Fatoração: (x+2)(x+10)

d) S=8P=12, pode ser 1 x 12, 2 x 6, 3 x 4.Como a soma tem que ser 8, então é 2 e 6.Fatoração: (x+2)(x+6)

28) 5(x2-4x+4)Trinômio quadrado perfeito: x2-4x+4X2=(x)2

4=22

EF2M

AT8-

04

FATORACAO

3

-4x= - 2. X . 2(x-2)2

5(x2-4x+4)=5(x-2)2

Letra D

29) a) x2/4=(x/2)2

Y2=(y)2

Fatoração: (x/2+y) (x/2-y)b) m2/16=(m/4)2

n2/81=(n/9)2

Fatoração: (m/4+n/9) (m/4-n/9)c) 1a2/9=(a/3)2

1/100=(1/10)2

(a/3+1/10) (a/3-1/10)d) a2x2 = (ax)2

9/4=(3/2)2

(ax+3/2) (ax- 3/2)e) x2/4=(x/2)2

34/9=34/32 =32=9=(3)2

(x/2+3) (x/2-3)f) 25/81x10 = (5/9 x5)2

1/16=(1/4)2

(5/9 x 5+1/4) (5/9 x5 - 1/4)

Aprofundando:1) 2π(R-r) Letra B

2) 11x2y2(2-x)Letra C

3) a) m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)b)x(a+5)+y(a+5)=(a+5)(x+y)c) 3a(x-1)+b(x-1)=(x-1)(3a+b)d) 3(a-b)+m(a-b)=(a-b)(3+m)e)x2(x+3)+2(x+3)=(x+3)(x2+2)f)x(a+2b)+y(a+2b)=(a+2b)(x+y)g) a2(a-1)+1(a-1)=(a-1)(a2+1)h)x2(x+1)+1(x+1)=(x+1)(x2+1)i) 2b(5a-1)+3(5a-1)=(5a-1)(2b+3)

4) 2p(a+b)+q(a+b)=(a+b)(2p+q)=5 x 3 = 15Letra C

5) X3(1+x-x2)b – Letra C

6) 4(x+y)= 4 x 15 = 60 – Letra C

7) Xy(2x-y) = 10 x 6 = 60

8) 378

9) B(a+2)-3(a+2)=(a+2)(b-3)- Letra B

10) X(x-9) – Letra C

11) Ab(a+b)=12 x 8 = 96 – Letra B

Desafiando:1) Paulo: A(x-1) + m/5(x-1) = (x-1)(a+m/5)

Irmão: x(y+1/2) + 1/2(y+1/2) = (y+ 1/2) (x+1/2)

EF2M

AT8-

04FATORACAO

4

EF2M

AT8-

05

FRACOES ALGEBRICAS

5

Praticando:1) a) 2(x+2y)/2a = x+2y/ab) 3(x-1)/3x+2 = x-1/x+2c) 5(x+2)/5x = x+2/xd) 2(x+y)/2 . 3 = x+y/3e) 18(x-1)/15x-1 = 3 x 6/3 x 5 = 6/5f) 2.2x2 y/2.5xy3 = 2x/5y2

g) 4.16 a3 n2/4am2 = 16 a2 n2/m2

2) a) 7x-9/3mb) 6x-4/8m = 2(3x-2)/2.4m = 3x-2/4mc) Acredito que o denominador da segunda fra-ção é a/y-x

Sendo assim: (a+a)/(y-x) = 2a/y-xd) 3x2-y+x2-2x/2a+1 = 4x2-3x/2a+1

3) a) (x+y)(x-y))/14 = x2-y2/14b) 1/(x+y)(x-y) = 1/x2-y2

c) 8m2/3m2+3m-m-1 = 8m2/3m2+2m-1d) 2.5(x+3)(x-3))/5(x-3) = 2(x+3) = 2x+6

4) a) F, exemplo: 2/10<1.b) V, exemplo: 10/2>1.c) F, nem o número de candidato nem vagas pode ser negativo, então a relação também não pode ser negativa.

5) a) 2-4x2/22 =2-8/4 = -6/4 = -3/2b) Colocar um espaço x=1 y=2

12-22/1+2 = 1-4/3=-3/3=-1c) Colocar um espaço x=3 y=2

-4.3.2+3.32/3+2 = -24+3.9)/5 = -24+27/5 = 3/5

6) a) 2a/b x y/x = 2ay/bxb) 3x/4x 7/5y = 21x/20yc) x/2 x 8/ax = 1/1 x 4/a = 4/ad)5x/a x xy/a = 5x2 y/a2

7) a) (4a6)/m8

b) a15/(8b3

c) x2/(9y^4d) x2+2x+1/x2-6x+9

8) √4- 1/2 + 1+1 x 1 = 2- 1/2 + 1+1=2- 1/2 + 2= 4 - 1/2 = 2x4-1/2 = 7/2

9) 58/4 = 52 = 25

10)

147 349 77 71

11)


Fracoes algebricas

Objetivos de aprendizagem:• Simplificar frações algébricas e operar com

elas;• Demonstrar como se efetuam as operações

de adição e subtração com frações algébricas;

• Demonstrar como se efetuam as opera-ções de multiplicação e divisão com frações al-gébricas;

• Resolver situações-problemas utilizando frações algébricas.

EF2M

AT8-

05FRACOES ALGEBRICAS

6

12) a) 24/3

b) a3/4

c) 53/3

d) 81/7

e) 2014/7

13)

14) –(-0,1)2+(-0,1)(0,001)/0,001 = –0,01-0,0001/0,001 = –0,0101/0,001 = -101/10000x1000/1 = -101/10 x 1/1 = -10,1

15) a) Acredito que seja multiplicação entre

b)

16)Lembre-se que x≠0mmc=12x5/x/12 - 1/12x/1 + 1/2/6x = 5-3x/3x/4 + 1/4x/312.5 – 1 + 6x = 4(5 - 3x) + 360 – 1 + 6x = 20 - 12x + 3

6x + 12x = 20 + 3 - 60 + 118x = 23 - 5918x = - 36X= -36/18X= -2 – Letra D

17) -19/4-2k-3/4 = k+k/2-19/4/1-2k-3/(4/1) = k/1/4+k/2/2-19 - (2k - 3) = 4k+2k-19 - 2k + 3 = 6k-2k - 6k = 19-3-8k = 16 (-1)8k = -16K = -16/8K = -2

18) Lembre-se que x-1≠0, x≠1 e x-2≠0, x≠2 x2-3x+2S=-3 e P=2, então serão -2 e -1.x2-3x+2=(x-2)(x-1)Logo1/x-1/x-2 - 3/x-2/x-1 =5/ x2-3x+2/1x-2-3(x-1)=5x-2-3x+3=5-2x=5+2-3-2x=4 (-1)2x=-4X=-4/2X=-2Portanto2a(-2)-3=-2+3-4a=1+3-4a=4 (-1)4a=-4A=-4/4A=-1 – Letra C

19) 2x2-3x = x(2x-3)x≠0 e 2x-3≠0, 2x≠3, x≠3/21/2x-3/x - 3/2x2 - 3x/1 - 5/x/2x-3=0x-3-5(2x-3)=0x-3-10x+15=0-9x=-15+3-9x=-12 (-1)9x=12

EF2M

AT8-

05

FRACOES ALGEBRICAS

7

X=12/9X=4/3 – Letra C

20) a) x+2≠0,x≠-2 e x-2≠0,x≠2 3/x-2/x+2 + 2/x+2/x-2 = 7/(x+2)x-2)/13(x+2)+2(x-2)=73x+6+2x-4=75x+2=75x=7-25x=5X=5/5X=1

b) x+3≠0,x≠-3 e x-3≠0,x≠31/x-3/x+3 + 2/x+3/x-3 = 3/(x+3)(x-3)/1X+3+2(x+3)=3X+3+2x+6=33x+9=33x=3-93x=-6X=-6/3X=-2

c) x≠0 e x-2≠0,x≠212/x/x-2 = 4/x-2/x12(x-2)=4x12x-24=4x12x-4x=248x=24X=24/8X=3

d) x-3≠0,x≠32/x-3/12 + 1/4/3(x-3) = 5/x-3/12 - 1/3/4(x-3)2.12+3(x-3)=12.5-4(x-3)24+3x-9=60-4x+123x+4x=60+12-24+97x=72-24+97x=48+97x=57X=57/7

e) x-1≠0,x≠13x-1≠0,3x≠1, x≠1/38/x-1/3x-1 = 2/3x-1/x-18(3x-1)=2(x-1)24x-8=2x-224x-2x=-2+822x=6

X=6/22X=3/11

f) x-5≠0,x≠5 e x+1≠0,x≠-1x+4/x-5/x+1 = x-3/x+1/x-5(x+4)(x+1)=(x-3)(x-5)X2+x+4x+4= X2-5x-3x+15X2+x+4x-X2+5x+3x=15-45x+5x+3x=1113x=11X=11/13

21) a)x2+5x+6,onde S=5 e P=6Então 6x1, 2x3, como a soma é 5, então é 2

e 3.x2+5x+6=(x+2)(x+3)x+2≠0,x≠-2 e x+3≠0,x≠-32/x+2/x+3 + 8x-1/(x+2)(x+3)/1 = 5/x+3/x+22(x+3)+8x-1=5(x+2)2x+6+8x-1=5x+1010x+5=5x+1010x-5x=10-55x=5X=5/5X=1

b) x2+x-2,onde S=1 e P=-2Então 2x1, como a soma é 1, então é 2 e -1.x2+x-2=(x+2)(x-1)x+2≠0,x≠-2 e x-1≠0,x≠1x/x-1/x+2 + 2x/(x+2)/x-1 = 3x2-x+2/(x+2)(x-1)/1x(x+2)+2x(x-1)= 3x2-x+2x2+2x+2x2-2x=3x2-x+23x2=3x2-x+23x2-3x2+x=2X=2

c) Conferir enunciado, pois cairá em uma equa-ção do 2 grau. d) Conferir enunciado,pois cairá em uma equa-ção do 2 grau.

22) 1/(x+1)(x-1) - 1/2(x-1) = 1/3(x-1)1/(x+1)(x-1)/6 - 1/2(x-1)/3(x+1) = 1/3(x-1)/2(x+1))6-3(x+1) = 2(x+1)6-3x-3=2x+2-3x-2x=2-6+3-5x=-1 (-1)

EF2M

AT8-

05FRACOES ALGEBRICAS

8

5x = 1X = 1/525 - 251/52 = 25-25(1/25) = 25 - 1 = 24

23) a)Vamos simplificar: (x-1)(x-7)/(x-1)=6x-7=6Não, pois ao substituir x=1, 1-7=6, -6≠6.

b) Não há como fazer, pois não é uma equação, falta o sinal de igual.c) x-7=6

x=6+7x=13

d) Não há como fazer, pois não é uma equação.

24) Situação 1: 400/xSituação 2: 352/x-3400/x=352/x-3400/x/x-3=352/x-3/x400(x-3)=352x400x-1200=352x400x-352x=120048x=1200X=1200/48X=100/4X=25 crianças.

25)Confuso esse enunciado, favor verificar.

Aprofundando:1) 5(x2+6x-4))/10=((x^2+6x-4))/2 - Letra D

2) a) (8x6)/a3 b) 16x2/(x+2)2 = 16x2/(x2+4x+4)c) 16x4/(49a2 )d) (x-1)2/9 = x2-2x+1/9e) a15 c10/y5

3) a) (7a-2a)/3x=5a/3xb) (x+4x)/(x+2)=5x/(x+2)c) (7x-3+2x-3)/(x3+1)=(9x-6)/(x3+1)d) (7+4+3)/10x=14/10x=7/5x

4) a) m2/1 x 1/m2 = 1/1 x 1/1 = 1b)3(x-y)/7(x+4) = 3x-3y/7x+28c) x2-4/x2-49

5) (y2)2-12/y2 (y-1)+1(y-1) = (y2+1)(y2-1)/y2 (y-1)+1(y-1) = (y2+1)(y2-1)/(y-1)(y2+1) = (y2-1)/(y-1) = (y+1)(y-1)/(y-1) = y+1

Y + 1 = 999 + 1 = 1000

6) Corrigir a tabela do exemplo:Dobro: 2/xQuadrado: 1/x2 y/xDobro: 2y/xQuadrado: y2/x2 Inverso: x/yExpressão: 2y/x . (y2/x2)-1. x/y2y/x . x2/y. x/y = 2/1 . x2/1. 1/y = 2x2/y1/a-1Dobro: 2/a-1Quadrado: 1/(a-1)2 Inverso: a-1Expressão: 2/(a-1). 1/(a-1)2 + a-12/(a-1)3/1 + a-1/1/(a-1)3 = 2+(a-1)(a-1)3/(a-1)3 =

2+(a-1)4/(a-1)3 b/a+bDobro: 2b/a+b Quadrado: b2/(a+b)2 Inverso: a+b/bExpressão: (2b/a+b)2 + b2/(a+b)2 – (a+b/b)-1

4b2/(a+b)2 +b2/(a+b)2 – b/a+b4b2+b2/(a+b)2 – b/a+b=5b2/(a+b)2/1 – b/a+b/a+b = 5b2-b(a+b)/(a+b)2 =5b2-ab-b2/(a+b)2 =4b2-ab/(a+b)2

7) Questão 1: Corrigir a questão, era uma divi-são: a+3/6b : a2-9/2b

a+3/6bx2b/a2-9 = a+3/3 x 1/(a+3)(a-3) = 1/3 x 1/(a-3) = 1/3(a-3) - Érica que fez.

Questão 2: 3a(a+b)/b x 3a/b(a+b) = 3a/b x 3a/b = 9a2/b2 - Carina que fez.

Questão 3: a2 + b2/a - 3 . a/4 . 3b/a = 3ab (a2+b2) /4a (a-3) = 3a3 b + 3ab3/4a2 - 12a - Fábio que fez.

EF2M

AT8-

05

FRACOES ALGEBRICAS

9

11) a)23/4

b) 2-1/2

c) 21/2/2 = 21/2 x 1/2 = 21/4

d) Conferir o enunciado.

14) a) 58/4 = 52 = 25b)

147 349 77 71

15) a) 24/3

b) 53/3 = 51 = 5c) a3/4

d) 81/7 = (23)1/7 = 23/7

e) 2014/7 = 202

16) Retirar essa questão, pois é a mesma do 10 do Praticando.

17) –(0,1)2 + (0,1)(0,001))/0,001 = –0,01+0,0001)/0,001 = –0,0099)/0,001 = -99/10000x1000/1 = -99/10 x 1/1 = -99

18) a) Retirar essa questão, igual ao 15 do Prati-candob) Retirar essa questão, igual ao 15 do Praticandoc) Retirar essa questão, igual ao 15 do Praticando

Desafiando:1) 250 barras – (x-3)3 unidades

750 barras - ?Veja que a quantidade de barras triplicou

(250 x 3 = 750), logo devemos multiplicar por 3 as unidades: 3(x-3)3 unidades

2) 16x2+75x+125

3) Hoje: 16 x 52 + 75 x 5 + 125 = 16 x 25 + 375 + 125 = 400 + 500 = 900

Próximo mês: aumento de 20% no preço aumento de 20% no preço = 5 reais + 20% de

5 = 5 + 20/100 x 5 =5 + 1/5 x 5=5 + 1/1 x 1=5+1=616 x 62 + 75 x 6 + 125 = 16 x 36 + 450 + 125 =

576 + 575 = 1151Economia: 1151 – 900 = 251 reais

EF2M

AT8-

13QUADRILÁTEROS

14

Praticando:1) a) ângulos consecutivos: 5x+12+2x=180

7x=180-127x=168X=168/7X=24

b) ângulos opostos: 4x-28=3x-34x-3x=-3+28X=25

2) a)

35

65Temos um triângulo retângulo, por isso, o ou-

tro ângulo é 90-35=65O ângulo oposto também gera 65 graus:

35 + 90 = 125

65

65

O ângulo será 35+90=125 e seu oposto tam-bém será 125.

São dois ângulos de 65 graus e 125 graus.b)

28

Como a diagonal divide o ângulo na metade, então o ângulo será 2 x 28 = 56

28 x 28 = 56

O ângulo oposto também será 56:

28 x 28 = 56

28 x 28 = 56

x

O ângulo consecutivo será x+56=180X=180-56X=124São 2 ângulos de 56 graus e 124 graus.

c) ângulos opostos são iguais: 3x-5=2x+403x-2x=40+5X=45O ângulo será 2x+40=2x45+40=90+40=130Para saber quanto será o ângulo consecutivo,

basta lembrar que a soma dos ângulos consecu-tivos é 180 graus.

130+x=180X=180-130X=50São dois ângulos de 130 graus e dois ângulos

de 50 graus.


Quadriláteros

Objetivos de aprendizagem:• Classificar quadriláteros em paralelogramo

ou trapézio;

• Verificar as propriedades dos paralelogra-mos;

• Identificar os elementos de um trapézio; • Observar as propriedades de um trapézio

isósceles.

EF2M

AT8-

13

QUADRILÁTEROS

15

3) ângulos opostos são iguais B=D=80 grausA+B=180A+80=180A=180-80A=100ângulos opostos são iguais A=C=100 grausComo AM e BM são bissetrizes, então os ân-

gulos são dividido por 2.No triângulo ABM, o ângulo A será 50 graus e

o ângulo B, 40 graus.Logo, AMB será x, devemos lembrar que a

soma dos ângulos internos do triângulo é 180 graus:

50+40+x=18090+x=180X=180-90X=90 grausAMB=90 graus

4) O losango tem 4 lados iguais, então o lado será 32/4=8 cm.

A soma dos ângulos internos é 360 graus, pois a soma dos quadriláteros sempre será 360 graus.

Letra B

5) A=C=3xB=D=2x3x+3x+2x+2x=36010x=360X=360/10X=36A=C=3 x 36 = 108 grausB=D=2 x 36 = 72 grausLetra D

6) Dois ângulos consecutivos: A+B=180As bissetrizes dividem os ângulos no meio:

A/2 e B/2Esses ângulos (A/2 e B/2) mais o terceiro (x)

formam um triângulo.A soma dos ângulos internos do triângulo é

180 graus:A/2+ B/2+x=180A/(2/1)+ B/(2/1)+x/(1/2)=180/(1/2)A+B+2x=360180+2x=360

2x=360-1802x=180X=180/2X=90

7) a)O ângulo obtuso mais 64 graus são ângu-los consecutivos, então a soma deles será 180 graus:

64+x=180X=180-64X=116 graus

b) Consertar o enunciado: Num paralelogramo, a medida do ângulo obtuso é o triplo da medida do ângulo agudo (acrescentar).

Agudo+obtuso=180Agudo = yObtuso=3 x agudo = 3yAgudo+obtuso=180Y+3y=1804y=180Y=180/4Y=45Agudo = 45 grausObtuso=3 x agudo = 3 x 45 = 135 graus

c) Dois ângulos consecutivos somam 180 graus:115+x=180X=180-115X= 65 grausSão dois ângulos de 115 graus e dois ângulos

de 65 graus.d)Se o externo é 108, o interno será:

externo+interno = 180108+interno=180Interno=180-108Interno = 72Lembre-se que tem dois ângulos de 72 graus.Para calcular os outros dois ângulos, que se-

ria x e x, devemos lembrar que a soma de dois ângulos consecutivos somam 180 graus:

X+72=180X=180-72X=108 graus.Os ângulos internos serão 2 ângulos de 72

graus e 2 ângulos de 108 graus.e) soma de dois ângulos consecutivos somam 180 graus:

EF2M

AT8-

13QUADRILÁTEROS

16

x+2x+18=1803x=180-183x=162X=162/3X=54O ângulo obtuso será 2x+18=2 x 54 + 18 =

108+18 = 126 graus.São dois ângulos de 126 graus.

f) soma de dois ângulos consecutivos somam 180 graus: x+y=180

x-y=40Sistema:x+y=180x-y=402x=220X=220/2X=110x+y=180110+y=180Y=180-110Y=70Dois ângulos de 110 graus e dois ângulos de

70 graus.

8) Letra C, os ângulos opostos são iguais ou con-gruentes.

9) Letra B

10) a) Esse triângulo é isósceles, então os ângu-los agudos são iguais: x=40b) x+120=180

x=180-120x=60 x+y=18060+y=180Y=180-60Y=120

c) x=90, veja a representação de do ângulo reto.100+y=180Y=180-100Y=80d) 140+y=180y=180-140y=40x+y=180

x+40=180x=180-40x=140

11) a) Bm=(36+18)/2=54/2=27 mb) ângulo obtuso + ângulo agudo = 180

ângulo agudo = yângulo obtuso = 3 x ângulo agudo = 3yângulo obtuso + ângulo agudo = 1803y + y = 1804y=180Y=180/4Y=45ângulo agudo = y = 45 grausângulo obtuso = 3 x ângulo agudo = 3y = 3 x

45 = 135 graus

12) ângulo obtuso + ângulo agudo = 180ângulo obtuso + 80 = 180ângulo obtuso = 180 – 80 = 100As bissetrizes dividem por 2: 100/2=50X= ângulo formado pelas bissetrizesEsses 3 ângulos: 50, 50 e x formam um triân-

gulo:50+50+x=180100+x=180X=180-100X=80 – Letra B

13) ângulos da base maior: 90 e ângulo agudo = 90 e 60

Bissetrizes: os ângulos serão 90/2=45 e 60/2=30

X= ângulo formado pelas bissetrizesEsses 3 ângulos: 45, 30 e x formam um triân-

gulo:45+30+x=18075+x=180X=180-75X=105 – Letra A

14) a) x é base média: Bm=(5+9)/2=14/2=7 mb) Bm=(x+12)/2

10=(x+12)/210 x 2 = x+1220=X+12

EF2M

AT8-

13

QUADRILÁTEROS

17

X=20-12X=8 cmc) Bm=(x+4)/26=(x+4)/26 x 2 = x+412=x+4X=12-4X=8 cm

15) ângulo obtuso + ângulo agudo = 180ângulo agudo = (ângulo obtuso )/2ângulo obtuso + (ângulo obtuso )/2 = 180(ângulo obtuso )/(1/2)+ (ângulo obtuso )/(2/1)

= 180/22 x ângulo obtuso + ângulo obtuso = 3603 x ângulo obtuso = 360ângulo obtuso = 360/3ângulo obtuso = 120 120 + ângulo agudo = 180ângulo agudo = 180 – 120ângulo agudo = 60São 2 ângulos de 120 graus e 2 ângulos de 60

graus.

16)

37

37

Ou seja, essa diagonal é bissetriz, então o ân-gulo será 2 x 37 = 74 graus.

Como o trapézio é retângulo, tem 2 ângulos de 90 graus.

Para saber o outro ângulo, devemos subtrair de 180:

180 – 74 = 106 graus.São 2 ângulos de 90 graus, um de 74 graus e

outro de 106 graus.

Aprofundando:1) Letra A

2) Letra D

3) Letra B

4) São dois ângulos de 30 graus.A soma do ângulo de 30 graus com outro ân-

gulo (x) dará 180 graus.30+x=180X=180-30X=150 grausSão dois ângulos de 150 graus.Letra C

5) O maior e menor ângulo somam 180 graus: x+y=180

x-y=18Sistemax+y=180x-y=182x=180+182x=198X=198/2X=99 graus

x+y=18099+y=180Y=180-99Y=81 grausângulos da base menor: 90 e ângulo obtuso

= 90 e 99Bissetrizes: os ângulos serão 90/2=45 e

99/2=49,5X= ângulo formado pelas bissetrizesEsses 3 ângulos: 45, 49,5 e x formam um

triângulo:45+49,5+x=18094,5+x=180X=180-94,5X=85,5 Como se quer saber qual o ângulo obtuso,

basta fazer: 180 – 85,5= 94,5 graus

6) a)2x+x=1803x=180X=180/3X=60

b) x+40=3x+10x-3x=10-40-2x=-30 (-1)2x=30

EF2M

AT8-

13QUADRILÁTEROS

18

X=30/2X=15

c) x+46=180x=180-46x=134

d) 2x+7+2x-27=1804 x -20 = 1804x = 180+204x = 200X = 200/4X = 50

Desafiando:1) Resposta pessoal.

EF2M

AT8-

15CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

20

Praticando:1) Colocar o “O” no centro.

D

E

A

B

C

O

a)Cordab) Raioc) Diâmetrod) Cordae) Raio

2) Caixa quadrada: lado = diâmetro = 2 x 17 = 34 cmÁrea = 34 x 34 = 1156 cm2

3) a) Aliançab) CD

4) 2 x raio = diâmetro2 . 3x/10=30 1 . 3x/5=30 3x=30.53x=150X=150/3X=50 cm

5) a) 2 x raio = diâmetro2 x 4,5 = diâmetroDiâmetro = 9 cm

b) 2 x raio = diâmetro2 x raio = 25Raio = 25/2Raio = 12,5 cm

6) Não, porque a maior corda é o diâmetro e o diâmetro é 2 x 6 = 12 cm.

7) Reta r é tangente da circunferência C.Reta s é externa da circunferência C.Reta t é secante da circunferência CReta r é tangente da circunferência C’.Reta s é secante da circunferência C’.Reta t é tangente da circunferência C’.

8) a) Como a distância é maior do que o raio, en-tão a reta é externa.b) Como a distância é menor do que o raio, en-tão a reta é secante.c) Como a distância é igual ao raio, então a reta é tangente.d) Como a distância é maior do que o raio, então a reta é externa.

9) a)X<3b) X=3c)X>3

10) a) Tangente b) Secantec) Externa


Circunferência e círculo

Objetivos de aprendizagem:• Diferenciar circunferência de círculo e co-

nhecer seus elementos;• Conhecer as posições e as propriedades

envolvendo uma reta e uma circunferência;• Conhecer as posições e as propriedades

envolvendo duas circunferência.

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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

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11) a) X<5b) x=5c) x>5

12) Consertar a figura, pois as circunferências devem se tocar no ponto T e colocar na próxima matéria.

Onde está o ponto D?a) Retângulob) 90o.c) GH=JI=HI=GJ=6

Quadrado = 4 x 6 = 24 cm

13) a) Como R-r=d, então são tangentes interiores.b) Como R-r>d, então são interiores.c) Como R+r<d, então são exteriores. d) Como d=0, então são concêntricas.

14)

Veja conforme a figura que o diâmetro da cir-cunferência maior é a soma dos diâmetros das outras 2 menores circunferências, logo:

Diâmetro maior = 2 x 10 + 2 x 4 = 20+8=28Como queremos saber o raio, basta dividir:

28/2=14.

15) Veja que os raios dessas circunferências me-nores será a diferença: x – y

16)

a)

Perceba que o diâmetro da terceira circunfe-rência é a soma de 32 com os raios 8 e 20:

Diâmetro: 32+8+20=40+20=60 cmRaio=60/2=30 cm

b)

Perceba que o diâmetro da terceira circunfe-rência é a diferença entre 32 e a soma dos raios 8 e 20:

Diâmetro: 32-(8+20)=32-28=4 cmRaio=4/2=2 cm

c)

Perceba que o diâmetro é a diferença entre 32 e 8 somado com 20:

Diâmetro: 32-8+20=24+20=44Raio=44/2=22 cm

d)

Perceba que o diâmetro é a soma de 8, 8 e 4:Diâmetro: 8+8+4=20Raio=20/2=10 cm

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15CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

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17) Corrigir: expressa por um número inteiro.Interiores: d<R-rD<9-2D<7, o maior valor será 6.Secantes: R-r<d<R+r9-2<d<9+27<d<11, o menor valor será 8.

Aprofundando:1) Raio = metade do diâmetro

x = 30/2x = 15 cm

2) a)

O

b)

O

c)

O A

d)

AO

e)

AO

f) Não é ensinado arco nesse caderno

g)

h)

O

3) a) Raiob) Cordac) Raiod) Diâmetro

4) Caixa quadrada = Lado deve ser igual ao diâ-metro

Lado = 2 x raioLado = 2 x 6 = 12 cm

5) a) Léo, pois ele está no interior da circunfe-rência.b) Juca e Marcelo, pois eles estão distantes da bola exatamente do tamanho do raio da circun-ferência central.

6) Retângulo, porque as duas cordas são iguais e os outros dois lados também são iguais, logo o quadrilátero que possui lados iguais 2 a 2 é o retângulo.

7) Consertar enunciado: triângulo ABC (acres-centar)

Está no ponto de encontro das mediatrizes.

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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

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8) Trapézio, pois ao terem tamanhos diferentes, ao ligar os lados formarão uma inclinação, con-forme a figura abaixo:

9) a) F, a distância é menor do que o raio.b) F, a distância é igual ao raio.c) Vd) V

10) a) Secanteb) Tangentec)Externad) Secante

Desafiando:1) 4m = 400 cm e 5m=500 cm

Área das 3 paredes: 3 x 400 x 500 = 600.000 cm2

Área do CD: πR2 = 3,14 x (6)2 = 3,14 x 36 = 113,04 cm2

Para saber quantos CDs cabem, basta dividir: 600.000/113,04 = 5307,8 = 5307 CDs

matemÁtica – 8o ano prof – padrÃo – vol ii · – propõe uma reflexão sobre o conceito...

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