mat potenciação é uma multiplicação

Inclusão para a vida Matemática B

Pré-Vestibular da UFSC 1

UNIDADE 1

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

POTENCIAÇÃO

Definição

Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.

Sendo a R e a 0 e m Z. Tem-se que:

am = a. a. a. a. a..... a.

m fatores

Casos Particulares

a0 = 1 para a 0

a1 = a

a-n

= 1

a n

Propriedades Se a e b são números reais e m e n, números inteiros,

tem-se:

am.a

n = a

m + n

a

aa

m

n

m n

(am)

n = a

m.n

(a.b)n = a

n.b

n

a

b

a

b

n n

n

Potência de base 10

Sabe-se que: 100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

Então 10n = 100...........00

n zeros

Observe ainda que: 10-1

= 10

1 = 0,1

10-2

= 210

1 = 0,01

10-3

= 310

1 = 0,001

Então 10–n

= 0,000.............001

n casas decimais

RADICIAÇÃO

Definição

b é a raiz n-ésima de a, se bn = a.

Representação

n a = b bn = a

Nomenclatura

Em n a = b, temos:

n é o índice

a é o radicando

b é a raiz

Condição de existência

Em n a , se n for par, então é necessário que a seja maior

ou igual a zero. Se n for ímpar então n a sempre existe.

Propriedades

n.m an m a

n.p m.pa

n ma

n ma

mn a

nb

a

n b

n a

n a.bn b.n a

n

m

n m aa Racionalização de denominadores

Dada uma fração com denominador contendo radical,

racionalizar o denominador é um processo no qual se

obtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto,

com o radical no denominador.

1º CASO: O denominador é do tipo n ma

Neste caso, multiplica-se numerador e denominador

pelo fator: n mna

.

2º CASO: O denominador é do tipo ba Neste caso,

multiplica-se numerador e denominador. Pelo fator:

ba

Exercícios de Sala

1. Calcule:

a) 24

d) 17

g) 3-2

b) – 2

4 e) 0

3 h)

4

3

2

c) (– 2)4 f) 214

0

2. Transforme cada expressão em uma única potência de

base 3.

a) 37 . 3

-5 . 3

6 = c) (3

4)

2 =

b) 3

3

53.

23 = d)

243 =

3. Calcule:

a) 25,0 d) 3 64

b) 01,0 e) 24 9

Matemática B Inclusão para a Vida


c) 3 125 f) 242223250

4. Racionalize:

a) 2

3 b) 5

5 c)

5 2

3 d) 35

2

Tarefa Mínima

1. Determine o valor das expressões:

a) 34

g) 4-2

b) – 34 h)

3

2

5

c) (– 3)4 i) 2

4 + 1

201 + 0

3 + 4

0

d) 1201

j) 4

2

3)

2(2

42)(

e) 080

k) 12

2

3

3

2

f) 5000

2. Transforme cada expressão em uma única potência de

base 2.

a) 25.2

3.2

7 b)

4

2.)2(2323

3. Sendo A = 2100

, obtenha:

a) sucessor de A d) quadrado de A

b) o dobro de A e) metade de A

c) quádruplo de A f) raiz quadrada de A

4. Usando a definição, calcule o valor de cada uma das

raízes:

a) 4 625 c) 5 0 e)

16

81

b) 5 32 d) 3 1 f) 3 125,0

5. Racionalize:

a) 2

5 b) 3

6 c) 3 5

2 d)

23

5

Tarefa Complementar

6. O valor da expressão 01,0

)1,0.(100 3

é equivalente a:

a) 102 b) 10

3 c) 10

4 d) 10

5 e) 10

7. Assinale a soma dos números associados às proposições

corretas:

01. O número 573 é equivalente a 5,73. 102

02. O valor da expressão 5.108. 4.10

-2 é 2.10

7

04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n

+ (– 1)2n + 1

é

zero.

08. A metade de 48 + 8

4 é 17.2

11

8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064? 2 2 3 2 3

1 1 2 1 8a) b) c) d) e)

80 8 5 800 10

9. (FGV-SP) Qual o valor da expressão

,.....

.....1123

214212

bababa

bababa

quando a = 103

e b = 102

a) 106 b) 10

2 c) 10

3 d) 10

9 e) 10

7

10. (FGV-SP) Simplificando a

expressão12

124

22

222

nn

nnn

temos:

3

34d

3

82c

4

87b

4

3a ))))

11. (Cesgranrio) Se a2 = 99

6, b

3 = 99

7 e c

4 = 99

8, então

(abc)12

vale:

a) 9912

d) 9988

b) 9921/2

e) 9999

c) 9928

12. Determine a soma dos números associados às

proposições corretas:

01. A expressão

5

802045 é

equivalente a 153

02. O valor de 42222 é 2

04. O valor de 2

1

3

1

168 é 4

08. Racionalizando

2

4obtém-se 2 2

16. A expressão

3

5

5

3

é igual a 15

158

13. Calculando 35

1213

2:2

33 , acha-se:

a) 32 c) 36 e) n.d.a.

b) 34 d) 38

14. (UEL-PR) A expressão 122

1

22

1

é equivalente

a) – 1 d) 2 – 1

b) 2 – 2 e) 2 + 1

c) 2 + 2

15. (UEL-PR) Seja o número real

x =

15

522203500

. Escrevendo x na forma x = a

+ b c , tem-se que a + b + c é igual a:

a) 5 c) 7 e) 9

b) 6 d) 8



UNIDADE 2

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO

RETÂNGULO

Considere o triângulo retângulo ABC

Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos:

___

AB e AC____

são os catetos

___

BC é a hipotenusa

C e

B são os ângulos agudos

Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos

agudos são complementares, ou seja, C

B = 90º

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre

o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre

o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente

entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.

Sendo assim, temos que:

sen = a

b cos =

a

c tg =

c

b

Observação:

Se + = 90° tem-se que sen = cos

Tabela de arcos notáveis

Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas

alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos

retângulos congruentes.

Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal e

obtemos dois triângulos retângulos isósceles.

Em resumo, temos:

Exercícios de Sala

1. (FUVEST) Obter o valor de x na figura:

2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é:

a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a.

3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de m

rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na

outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2

= e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distância

entre as margens (em metros) é:



Tarefa Mínima

1. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x:

a)

30°

X12

b)

c) 60°

X

6

45°

x

5

2. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada a

Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do

mundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, um

ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima

da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de

comprimento. A que distância se encontra o ponto mais

alto da torre em relação ao solo?

(dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4)

a) 55 metros d) 42 metros c) 45 metros

b) 15 metros e) 51 metros

3. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir

uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o

topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de

4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo,

em graus, que a rampa formará com o solo.

4. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y.

Tarefa Complementar

5. Com base na figura abaixo é correto afirmar:

01. h = 2 m

02. h = 3m

04. a = (1 + 3 ) m

08. O triângulo ACD é isósceles

16. O lado

____

AC mede 6m

6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e

paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado

na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com

sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica

posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco.

Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20

= 0,93; tg 20º = 0,36)

7. Determine o valor de x e y na figura abaixo:

8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa

o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para

sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a:

a) b cos c) a sen e) b sen

b) a cos d) b tg

9. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B

localiza-se a leste de A, a distância

___

AB = 5 km. Neste

momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e



leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes

dados, assinale o que for correto.

01.

___

AC = 10km

02.

___

AD = 2,5 km

04.

____

BC = 5 3 km

08. O ângulo DAB ˆ mede 60°

16. A velocidade média do barco é de 15km/h

10. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x

30° 60°

A

B

CD

AD = x DC= x - 38 BD = y

UNIDADE 3

TEOREMA DOS CO-SENOS

Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado

é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois

lados, menos duas vezes o produto das medidas destes

lados pelo co-seno do ângulo formado por eles.

TEOREMA DOS SENOS

Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos

senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o

diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Exercícios de Sala

1. Determine o valor de x na figura abaixo:

2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o

ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o

raio da circunferência que circunscreve o triângulo


4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo

abaixo, é:

Tarefa Mínima


2. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 cm. A

medida, em cm, do lado AB será:



A

B C

45° 30°

3. O triângulo ABC está inscrito na circunferência de

centro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a

soma dos números associados às proposições verdadeiras:

75°

60°

O

A

B C

01. O triângulo ABC é equilátero

02. o raio da circunferência vale 2cm

04.

___

AB = 2 2 cm

08. O comprimento da circunferência é 4 cm

4. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um

paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam um

ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em

centímetros, mede:

a) 4 c) 3 e) 4 2

b) 11 d) 13

5. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e

6. O co-seno do maior ângulo de T é:

a) 5/6 c) ¾ e) 1/8

b) 4/5 d) 2/3

Tarefa Complementar

6. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC

medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o

ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale:

a) ½ c) ¾ e) 5/6

b) 2/3 d) 4/5

7. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um

triângulo ABC; seu lado

___

BC é igual ao raio da

circunferência. O ângulo B A C mede:

a) 15° c) 36° e) 60°

b) 30° d) 45°

8. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa

sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante,

quando o navio está em A, observa o farol L e mede o

ângulo L A C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica

o ângulo L B C = 75°. Quantas milhas separam o farol do

ponto B?

a) 2 2 c) 2 3

b) 3 d) 3 2 e) 4 2

9. Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC =

cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado

BC.

10. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD =

3cm, AB = 2cm, A D C = 60° e A B C = 90°.

A B

D

C

O perímetro do quadrilátero, em cm, é:

a) 11 c) 13 e) 15

b) 12 d) 14

UNIDADE 4 e 5

INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA

TRIGONOMÉTRICA

ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA

Arco de uma circunferência é cada uma das partes que

ficam divididas uma circunferência por dois quaisquer de

seus pontos.

A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que

possui vértice no centro da circunferência).

Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano.

Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo

comprimento é igual a 1

360do comprimento da

circunferência.



Logo, a circunferência tem 360º.

Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos:

1º = 60' 1'= 60''

Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao

raio da circunferência onde está contido.

Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos.

Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e

radianos. Portanto:

360º 2 rad

180º rad

CICLO TRIGONOMÉTRICO

Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece

um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo

trigonométrico.

Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes

denominadas quadrantes.

ORIENTAÇÃO

Negativo Horário

Positivo Horário Anti

ARCOS CÔNGRUOS

Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre

seus valores é um múltiplo de 360º.

Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110..........

Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e

diferem apenas no número de voltas.

A expressão x = 30º + 360º . k, com k Z, é denominada

expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira

determinação positiva.

A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por:

+ k . 360º, com k Z.

Se um arco mede radianos, a expressão geral dos

arcos côngruos a ele é dada por:

+ k . 2, com k Z.

SENO e CO-SENO DE UM ARCO

DEFINIÇÃO

Considere o arco que possui extremidades na origem do

ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o

ângulo central .

Denomina-se sen a projeção do raio OM, pela

extremidade M do arco sobre o eixo y.

Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eixo x.

2. Sinais

TABELA



Note que: – 1 sen 1 e – 1 cos 1

OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é

possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos

do 2º, 3º e 4º quadrantes.

Equações trigonométricas num intervalo dado:

Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as

funções Trigonométricas em seus membros.

São exemplos de equações trigonométricas:

1) sen x = 1

2) 2cos2 x + 3cos x - 2 = 0

Não é possível estabelecer um método para resolver todas

as equações trigonométricas, pois, existe uma infinidade

delas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos:

sen x = sen a x a k

x a k

2

2

(congruos)

(suplementares)

cos x = cos a x a k

a k

2

2

(congruos)

x (suplementares)

Exercícios de Sala

1. Expresse em radianos os seguintes arcos:

a) 300º b) 60º c) 12º

2. Um arco de 200° equivale em radianos a:

a) 3

2 b)

2

5 c) 4 d)

9

10 e) 6

3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a

expressão geral dos arcos côngruos a:

a) 930º b) 23

6

rad

4. Determine o valor de:

a) sen 150°

b) cos 150°

c) sen 210°

d) cos 210°

e) sen 330°

f) cos 330°

5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5

admite solução.

a) - 1 m 1

b) - 2 m 5

c) 2 m 3

d) 2 < m < 3

e) 1 < m < 2

Tarefa Mínima

1. Obter a medida em graus dos seguintes arcos:

a) 3

2 b) 6

2. (UFMG) Transformando 7º30' em radianos, teremos:

a) /24 c) /30 e) 5/32

b) /25 d)3/25

3. Determine o valor da expressão

180cos0sen

270sen.180cos0cos.90sen22

4. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do:

a) 1º quadrante

b) 2º quadrante

c) 3º quadrante

d) 4º quadrante

e) n.d.a.

5. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para:

a) 2 m 3

b) 1 m 4

c) -1 m 1

d) 2 < m < 3

e) 0 m 1



6. Resolver, no intervalo 0 x < 2, as seguintes

equações:

a) sen x = 1

b) cos x = 0

c) sen x = 2

1

d) cos x = 2

2

7. Sabendo que 0 x < 2, o conjunto solução da

equação: sen 2 x 3sen x 4 = 0 é:

a) {90º}

b) {-90º}

c) {270º}

d) {180º}

e) {30º}

Tarefa Complementar

8. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é:

a) 100° c) 40º e) n.d.a.

b) 140º d) 80º

9. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de

1000º?

a) 270º c) 290º e) 310º

b) 280º d) 300º

10. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, o

menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é: a) 135º c) 145º e) n.d.a.

b) 140º d) 150º

11. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteiros de

um relógio, às 23h45min, vale:

a) 189º30' c) 270º e) 277º50'

b) 277º30' d) 254º45'

12. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumir

quando y37 2senx

3

, é:

13. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação

2 sen x = 1 é:

a) /6 c) /3 e) n.d.a.

b) /4 d) /2

14. (UM-SP) O menor valor positivo de x para o qual

9- cos x

= 1

3 é:

2

6 4 3 2 3

a) b) c) d) e)

15. Determinar o número de soluções da equação

2sen x cos x = sen x no intervalo 0 x < 2.

UNIDADE 6

RELAÇÕES FUNDAMENTAL DA

TRIGONOMETRIA

sen2 + cos

2 = 1 (Relação Fundamental)

A relação acima também vale para arcos com

extremidades fora do primeiro quadrante.

Exemplos: sen230° + cos

230° = 1

sen2130° + cos

2130° = 1

Convém lembrar que se + = 90°, sen = cos .

Logo, vale também relações do tipo:

sen2 50° + sen

2 40° = 1

sen 210° + sen

2 80° = 1

TANGENTE DE UM ARCO

DEFINIÇÃO

Associa-se a circunferência trigonométrica mais um eixo,

a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de

coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM

ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes.

SINAIS

TABELA



EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA

tg x = tg a x a k 2

Exercícios de Sala

1. Sabendo que sen x = 3

2 e que

x

2, calcule

cos x:

2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x =

2 a 1 são verdadeiras para todo x real, se e somente

se:

a) a = 5 ou a = 1 d) a = 1

b) a = -5 ou a = -1 e) n.d.a.

c) a = 5 ou a = 1

3. Resolver no intervalo 0 x < 2, a equação

2cos2x = – 3sen x

4. Determina o valor de:

a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330°

5. Resolva no intervalo 0 x < 2 as seguintes equações:

a) tg x = 3

3 b) tg

2x – 1 = 0

Tarefa Mínima

1. No intervalo

22

3 x se sen x =

3

1 , calcule

cos x.

2. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 02

x

na

equação: 1 cos2x + sen x = 0 é:

3. O valor de tg 315° + tg 225° é

4. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x |

5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0 x < 2

a) tg x = 3

b) tg2x + tg x = 0

Tarefa Complementar

6. Determine m de modo que se obtenham

simultaneamente, sen x = m e cos x = m33

7. No intervalo 0 x < 2, determine o número de

soluções para a equação 2cos2x = 5 – 5sen x.

8. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x –

tg x + 2cos 3x para x = 4

3é:

9. (PUC-RS) O valor numérico de

x

xtg

x

cos3

4

32

2sen

para x = 3

é:

a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0

10. No intervalo 0 x < 2, a equação 3 tg2x + tg x = 0

possui quantas soluções?

a) 1 c) 3 e) 5

b) 2 d) 4

UNIDADE 7

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

sen2 x + cos

2 x = 1 (Relação Fundamental)

As demais Relações Trigonométricas com as condições de

existência obedecidas são:

tg x = sen x

cos x cotg x = 1

tg x

sec x = 1

cos x cossec x =

x sen

1

A partir da relação sen2 x + cos

2 x = 1 podemos

estabelecer duas relações derivadas.

Dividindo a Relação Fundamental por sen2 x temos:

1 + cotg2 x = cossec

2 x



E dividindo a Relação Fundamental por cos2 x temos:

tg2 x + 1 = sec

2 x

Sinais das Funções Trigonométricas

1°Q 2°Q 3°Q 4°Q

seno e cossecante + +

cosseno e secante + +

tangente e cotangente + +

Exercícios de Sala


a) cossec 30° d) cossec 210°

b) sec 30° e) sec 315°

c) cotg 30° f) cotg 300°

2. Sendo sen = 5

4 e

2

2

3 , calcular:

a) cos c) cotg e) cosec

b) tg d) sec

Tarefa Mínima


a) sec 60o

b) cossec 150

o c) cotg 315

o

2. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com x 4º quadrante,

então tg x é:

a) 3/4 d) 3/4

b) 1/2 e) 4/5

c) 4/5

3. (UFSC) Dados sen x =3

5 e

2 x , determine o

valor de: 32 tg x + 1

4. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão

sena tga coseca

cosa cotga seca

, obtém-se:

a) 0 d) 1

b) sec2a e) tg

2a

c) sen2a

Tarefa Complementar

5. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro

quadrante, então o valor da expressão 9.(sec2 x + tg

2 x) é:

6. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão:

sen30 cos120 cosec150 cotg330

sec300 tg60 cotg225

7. (UFCE) Para todo x 1º quadrante, a expressão

(sec x - tg x)(sec x + tg x) sen2x é igual a:

a) cos2x d) sec x + cos x

b) 1 + sen2x e) n.d.a.

c) cos x - sen x

8. Determine a soma dos números associados à(s)

proposição(ões) correta(s).

01. A medida em radianos de um arco de 225º é 6

11π rad.

02. A menor determinação positiva de um arco de

1000° é 280°.

04. Os valores de m, de modo que a expressão

sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3].

08. sen x > cos x para 44

x .

16. Se tg x = 4

3e x

2

3 , então o valor de

sen x – cos x é igual a 5

1.

32. Se sen x 0, então cosec x 0.

64. A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 para

0 x 2 é x = 6

ou x =

6

5 .

9. (UFSC) Dado sen x = 3

5 e x 0

2

, calcule o valor

numérico da expressão: sec x cotgx cosecx tgx

6 senx cosec x

2

2

1

10. (FATEC) Se x e y são números reais tais que

y = xxtgx

xtgee xx

sec.sec 2

4

, então:

a) y = ex

d) y = x

ex

sec

b) y = e

x(1 + tg x) e) n.d.a.

c) y = x

ex

cos

UNIDADES 8 e 9

GEOMETRIA ANALÍTICA

ESTUDO DO PONTO

O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos em

funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares

entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo

das abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas.



Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões

denominadas quadrantes numerados no sentido anti-

horário.

A cada ponto do plano cartesiano está associado um par

ordenado (x, y).

Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde

o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número

real yp é chamado ordenada do ponto.

OBSERVAÇÕES

Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua

ordenada é nula.

P (xp, 0)

Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua

abscissa é nula.

P (0, yp)

Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes

ímpares, então suas coordenadas são iguais

xp = yp

Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes

pares, então suas coordenadas são simétricas.

xp = - yp

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano

cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em

função de suas coordenadas. Observe a figura abaixo:

O triângulo ABC é retângulo em C, então:

AB AC BC2 2 2

Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois

pontos:

d x x y yAB B A B A 2 2

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

Considere um segmento AB de extremidades A(xA, yA) e

B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio

M(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre as

coordenadas de A e B.

Observe a figura:

Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo,

no eixo x tem-se:

xM xA = xB xM xx x

MA B

2

no eixo y tem-se:

yM yA = yB yM yy y

MA B

2

Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão as

seguintes coordenadas:

Mx x y yA B A B

2 2

ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO AS

COORDENADAS DO VÉRTICE

Considere o triângulo abaixo: y

x

yC

xA

B

yA

xB

A

yB

xC

C

Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e C

podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por:

A =

1

1

1

.2

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

OBSERVAÇÕES:

O determinante

x y

x y

x y

A A

B B

C C

1

1

1

foi tomado em módulo,

pois a área é indicada por um número positivo.



Se o determinante

x y

x y

x y

A A

B B

C C

1

1

1

for nulo, dizemos

que os pontos estão alinhados.

Exercícios de Sala

1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine:

a) distância entre A e B

b) Ponto Médio do segmento AB

2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é equidistante dos pontos

A(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P.

3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3);

C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triângulo

ABC é:

a) 3 c) 5 c) 7

b) 4 d) 6

4. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de

um triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo.

Tarefa Mínima

1. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa:

a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y.

b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x.

c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos

quadrantes ímpares.

d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes

pares.

e) o ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz dos

quadrantes pares.

2. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) e

N(-1,7) do plano x0y vale:

3. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7)

é 10. O valor de y é:

a) -1 d) -1 ou 10

b) 0 e) 2 ou 12

c) 1 ou 13

4. (Cescea-SP) O ponto do eixo das abscissas,

equidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é:

a) A(2,0) d) D(0,2)

b) B(5,0) e) E(4,0)

c) C(3,0)

5. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4,

7) e C(2, 1)

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2),

determine x sabendo que o ponto C é equidistante dos

pontos A e B.

7. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos

(1,3), (-2,-1) e (1, -2) é:

a) equilátero d) retângulo

b) escaleno e) n.d.a.

c) isósceles

8. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em

módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo em

B é:

9. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos

médios dos lados de um triângulo, quais são os seus

vértices?

a) (-1,2), (5,0), (7,4)

b) (2,2), (2,0), (4,4)

c) (1,1), (3,1), (5,5)

d) (3,1), (1,1), (3,5)

10. (UCP-RJ) A distância da origem do sistema

cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos

(-2,-7) e (-4,1) é:

a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3 2

11. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seus

vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser:

a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5

12. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são:

A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em

unidades de área, é:

UNIDADE 10

ESTUDO DA RETA

Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma

equação. Com tal equação podemos determinar se um

ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação

merecem destaque:

A Equação Geral

A Equação Reduzida

EQUAÇÃO GERAL DA RETA

A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de

alinhamento de 3 pontos.

Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y).

A, B e P estão alinhados se e só se:

x y

x y

x y

A A

B B

1

1

1

0

Desenvolvendo 0

1

1

1

BB

AA

yx

yx

yx

temos:

x . yA + xA . yB + y . xB yA . xB x . yB y . xA = 0

(yA yB) x + (xB xA) y + xAyB xByA = 0 a b c



Logo: ax + by + c = 0 equação geral da reta.

2. Equação Reduzida da Reta

Pode-se obter a equação reduzida da reta se isolando na

equação geral y.

Veja: ax + by + c = 0

by = ax c

ya

b

c

b substituindo

a

bpor m e

c

b por n temos:

y = mx + n Equação Reduzida da Reta

No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angular

da reta, e n o coeficiente linear da reta.

3. Coeficiente Angular e Linear da Reta

Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m

é o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da

reta.

Vejamos, agora, o significado geométrico deles.

COEFICIENTE LINEAR O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta

o eixo y.

COEFICIENTE ANGULAR

Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do

ângulo , onde indica a inclinação da reta em relação ao

eixo x.

m = tg ou

Ax

Bx

Ay

By

m

CASOS PARTICULARES

Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo é igual a

0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0.

Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo é igual a

90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90º

não é definido.

4. Equação do Feixe de Retas

Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado

um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para

isso, usa-se a relação: y yo = m(x xo)

Exercícios de Sala

1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e

B(4, 9), determine:

a) equação geral

b) equação reduzida

c) coeficiente angular e linear da reta

2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo:

a) r: 2x + 3y + 1 = 0

b)

c)

3. Determine a equação da reta representada pela figura

abaixo:

Tarefa Mínima

1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e

B(2, - 3), determine:

a) equação geral

b) equação reduzida

c) coeficiente angular e linear da reta



2. Considere a reta r indicada pela figura abaixo

Assinale a soma dos números associados às


01. A equação da reta r é y = x – 1

02. o coeficiente linear da reta r é – 1

04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é

45o

08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3)

16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de

coordenadas (1,0)

3. Determine a equação da reta r indicada abaixo

4. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à

reta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é:

a) 3 d) 2

b) 3,25 e) 9

c) 2 13

5. (Fac.Moema-SP) O coeficiente linear e angular da

reta 2x 3y + 1 = 0 são, respectivamente:

a) 2 e 3 d) 1/3 e 2/3

b) 2/3 e 1 e) n.d.a.

c) 2/3 e 1/3

Tarefa Complementar

6. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem

coeficiente angular 3.

7. Considere as retas r e s indicadas abaixo:

Determine a soma dos números associados às


01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0

02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0

04. o ponto de intersecção das retas r e s possui

coordenadas (2, 1)

08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3)

8. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0,

e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo

ponto P(a,b). O valor de a + b é:

9. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5,

5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.

10. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(1, -1),

B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um

quadrado. É correto afirmar que:

01. a origen do sistema de coordenadas está no interior

do quadrado.

02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente

angular 1/2

04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a

diagonal BD do quadrado.

08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto

(0, -4)

16. o centro do quadrado é o ponto (1,3)

UNIDADE 11

ESTUDO DA RETA

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS

No plano cartesiano duas retas r e s podem ser:

Concorrentes

Paralelas

Coincidentes

Considere as retas r e s de equações:

r = m1x + n1 e s = m2x + n2

Assim, podemos ter as seguintes situações:

PARALELAS DISTINTAS:

m1 = m2

PARALELAS COINCIDENTES:

m1 = m2 e n1 = n2

CONCORRENTES

m1 m2

CONCORRENTES E PERPENDICULARES:

m1 . m2 = 1

DISTÂNCIA DE PONTO À RETA Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c =

0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela

expressão:



Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta

r de equação 5x + 2y 6 = 0.

Resolução: 45

20

34

63.24.5

22

ddd

Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades.

Exercícios de Sala

1. Considere a reta r indicada pela figura abaixo:

Determinar:

a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é

paralela à reta r.

b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é

perpendicular à reta r.

2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r de

equação y = 2x + 5.

3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky

-5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s)

proposição(ões) verdadeira(s).

01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto

(1, -2) é 17.

02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam

no ponto 07

5

é 25/7.

04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 .

08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s

no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0.

16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta

r é 20.

Tarefa Mínima

1. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y -

4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0:

a) são paralelas

b) são coincidentes

c) são concorrentes mas não perpendiculares.

d) interceptam-se no 1º quadrante e são

perpendiculares.

e) interceptam-se no 4º quadrante e são

perpendiculares.

2. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é

paralela à reta de equação 5x + y = 0 é:

a) 5x + y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0

b) – 5x + y + 10 = 0 e) – 5x + y – 10 = 0

c) 5x – y + 10 = 0

3. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e (s) ax +

3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale:

a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 3

4. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e

C(4,1). A altura em relação à base BC mede:

5. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - y

+ 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e somente se:

a) k = 0 c) k = 8 e) k = -4 ou k = 8

b) k = 4 d) k = 0 ou k = 8

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B(1, 3) e C(2, 7),

determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao

lado BC.

7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinale

a(s) proposição(ões) verdadeira(s).

01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0.

02. A reta s e a reta r são perpendiculares.

04. As retas r e s se interceptam no ponto de

abscissa 5

4 .

08. A distância da origem do sistema de coordenadas

cartesianas à reta r é de 2

2 unidades.

16. A área da região do plano limitada pelas retas r, s e

pelo eixo das abscissas é igual a 10

3 unidades de área.

8. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são

extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A

equação da reta suporte da outra diagonal é:

a) 2x - 3y - 1 = 0

b) 2x + 3y - 7 = 0

c) 3x + 2y - 8 = 0

d) 3x - 2y - 4 = 0\



9. A medida da altura do trapézio cujos vértices são os

pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é:

10. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas

no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x –

3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo

das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é

perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que:

01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0).

02. o ponto C é (0, 2

3 ).

04. a distância entre r e s é 3.

08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são,

respectivamente, 2

1 , 2

1 e –2.

16. a equação da reta t é y = –2x + 6.

32. a equação da reta horizontal que passa por A é

x = 0.

64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3.

UNIDADE 12

GEOMETRIA ANALÍTICA

ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

DEFINIÇÃO

Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de

um plano que se equidistam de um ponto C denominado

centro da circunferência. Essa distância é denominada raio

da circunferência.

R

C

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um ponto

genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P

é o raio da circunferência.

Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes

formas: Equação Reduzida:

(x a)2 + (y b)

2 = R

2

Exemplo: Determine equação da circunferência de raio

3 e centro C(2, 5):

Resolução: (x )2 + (y )

2 = R

2

(x 2)2 + (y 5)

2 = 3

2

Logo, a equação procurada é: (x 2)2 + (y 5)

2 = 9

CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir

centro na origem então a equação

(x )2 + (y )

2 = R

2

fica reduzida a: x2 + y

2 = R

2

Equação Geral:

A Equação Geral da circunferência é obtida

desenvolvendo a equação reduzida. Veja:

(x a)2 + (y b)

2 = R

2

x2 2ax + a

2 + y

2 2by + b

2 = R

2

x2 + y

2 2ax 2by + a

2 + b

2 R

2 = 0

x2 + y

2 + Ax + By + C = 0

onde: A = 2a; B = 2b; C = a2 + b

2 R

2

Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência

de raio 3 e centro C(2, 5)

Resolução: (x )2 + (y )

2 = R

2

(x 2)2 + (y 5)

2 = 3

2

(x 2)2 + (y 5)

2 = 9

x2 4x + 4 + y

2 10y + 25 9 = 0

Logo, a equação geral é x2 + y

2 4x 10y + 20 = 0

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Vamos comparar a equação de uma circunferência com

uma equação do 2º grau completa.

x2 + y

2 + Kxy + Ax + By + C = 0

Sendo assim, essa equação só irá representar a equação de

uma circunferência se e só se:

Os coeficientes de x2 e y

2 forem iguais e diferentes de

zero.

Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0.

A2 + B

2 4AC > 0

POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA

Ponto e Reta

Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência

(x )2 + (y )

2 = R

2. Em relação a circunferência, o

ponto P pode assumir as seguintes posições:



Para determinar a posição do ponto P em relação a

circunferência, substitui-se as coordenadas de P na

equação da circunferência. Assim, podemos ter:

(xP )2 + (yP )

2 R

2 < 0 P interior à

circunferência

(xP )2 + (yP )

2 R

2 = 0 P pertence à

circunferência

(xP )2 + (yP )

2 R

2 > 0 P exterior à

circunferência

Reta e Circunferência

Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma

circunferência (x )2 + (y )

2 = R

2 . Em relação à

circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições:

Para determinar a posição da reta r em relação à

circunferência, substitui-se a equação da reta na equação

da circunferência. Assim, teremos uma equação do

2º Grau. Então, se:

< 0 reta externa (não existe ponto de intersecção)

= 0 reta tangente (existe um ponto de intersecção)

> 0 reta secante (existe dois pontos de

intersecção)

Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são

obtidos por um sistema de equações.

Exercícios de Sala

1. Determinar a equação da circunferência na forma

reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos:

a) C(4, 7) e R = 2 d) C(0, 3) e R = 5

b) C(2, -3) e R = 5 e) C(0, 0) e R = 3

c) C(3, 0) e R = 5

2. A soma das coordenadas do centro da circunferência de

equação x2 + y

2 - 4x - 6y - 12 = 0, é:

a) 4 c) 6 e) 8

b) 5 d) 7

3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y

2 -

2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6.

Determine a soma dos números associados à(s)

proposição(ões) verdadeira(s).

01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da

circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente.

02. A circunferência C limita um círculo cuja área é

8.

04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar

que C e r são secantes.

08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio

2 é tangente externamente à circunferência C.

16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode-

se afirmar que o ponto P é exterior à C.

Tarefa Mínima

1. A equação da circunferência de centro C(-2,2) e

tangente aos eixos coordenados é:

a) (x + 2)2 + (y – 2)

2 = 4

b) (x – 3)2 + (y – 3)

2 = 4

c) (x + 2)2 + (y + 2)

2 = 2

d) (x – 2)2 + (y – 2)

2 = 4

e) (x + 2)2 – (y – 2)

2 = 4

2. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y

2 + 6x

– 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é:

a) 2 d) – 2

b) – 3 e) – 1

c) 3

3. O centro da circunferência x2 + y

2 – 8x – 4y + 15 = 0 é

um ponto localizado no:

a) primeiro quadrante d) quarto quadrante

b) segundo quadrante e) eixo x

c) terceiro quadrante

4. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma

circunferência que tem o segmento MN como um

diâmetro, então a equação de C1 é:

a) x2 + y

2 - 12x - 2y + 27 = 0

b) x2 + y

2 + 12x - 2y + 27 = 0

c) x2 + y

2 + 12x + 2y + 27 = 0

d) x2 + y

2 - 12x + 2y + 27 = 0

5. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y

2 -

4x = 0. Determinar a área da região limitada por .

a) 4 c) 5 e) n.d.a.

b) 2 d) 3

Tarefa Complementar

6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que a

equação x2 + y

2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma

circunferência, é:

a) 10 c) 13 e) 16

b) 12 d) 15

7. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculo

x2 + y

2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento

8. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na

circunferência x2 + y

2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de

comprimento igual a:

a) 3 c) 2 3 e) 2 2

b) 3 d) 6



9. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que

a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência.

a) 16 c) 2 e) n.d.a.

b) 4 d) 32

10. (UFSC) Considere a circunferência C:

163422 yx e a reta r: 4x + 3y 10 = 0.

Assinale no cartão-resposta a soma dos números

associados à(s) proposição(ões) correta(s).

01. r C = .

02. O centro de C é o ponto (3, 4).

04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas

em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um)

ponto.

08. A distância da reta r ao centro de C é menor do

que 4.

16. A função y dada pela equação da reta r é

Decrescendo.

mat potenciação é uma multiplicação

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