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MAT0354/MAT5751 - Geometria diferencial

Lista de exercícios

I. Curvas parametrizadas

1. Dado a > 0, considere a circunferência x2 + (y − a2 )

2 = ( a2)

2. Parametrize a curva Cdo R

2 formada pelos vértices que correspondem aos ângulos retos dos triângulos

retângulos obtidos pela interseção de uma reta r com a circunferência e a reta y = a

(ver figura abaixo).

x

y

O

A

B

r

2. Dado um real a > 0. Encontre uma parametrização da curva obtida pela intersecção

da esfera x2 + y2 + z2 = a2 e do cilindro (x − a2 )

2 + y2 = ( a2 )

2.

3. Obtenha uma reparamerização pelo comprimento de arco das seguintes curvas

i) α(t) = (et cos(t), etsen(t), et), com t ∈ R

ii) β(t) = (2 cosh(2t), 2senh(2t), 4t), com t ∈ R

x

y

z

x

y

z

1

Geometria diferencial - lista de exercícios

4. Suponha que β1 e β2 são reparametrizações pelo comprimento de arco de uma

mesma curva α. Mostre que existe uma constante c0 tal que β2(s) = β1(±s + c0)

para todo s no domínio de β2.

5. Considere a curva parametrizada β :]− 1, 1[−→ R3 dada pela seguinte expressão

β(s) =

(

1

3(1 + s)3/2,

1

3(1 − s)3/2,

s√2

)

Mostre que β está parametrizada pelo comprimento de arco, determine então o seu

referencial de Frenet, sua curvatura e sua torção.

6. Considere a seguinte curva parametrizada β : R −→ R3 dada por

β(s) =

(

4

5cos(s), 1 − sen(s),−3

5cos(s)

)

Mostre que β está parametrizada pelo comprimento de arco e verifique ainda que

a imagem de β é uma circunferência.

7. Dada uma curva parametrizada α : I ⊂ R −→ R3, considere o segmento [a, b] ⊂ I

e a restrição β = α|[a,b]. Faça então p = β(a), q = β(b) e defina o vetor unitário

~u = (q − p)/ ‖q − p‖.

i) Se σ : [0, 1] −→ R3 é o segmento de reta σ(t) = (1 − t)p + tq, mostre que

L(σ) = ‖q − p‖

ii) Use o fato de que ‖β′(t)‖ ≥ |β′(t) · ~u| (∀t ∈ [a, b]) e mostre que L(β) ≥ L(σ)iii) Mostre que se L(β) = L(σ), então β é uma reparametrização de σ.

8. Seja γ : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com

κ(s) > 0 e τ(s) 6= 0 para todo s no intervalo aberto I. Mostre que:

i) Se a imagem de γ está contida em uma esfera de centro c e raio r, então

γ − c = −ρN − ρ′σB

onde N e B são o normal e o binormal de γ e, por definição, ρ = 1/κ e

σ = 1/τ.

ii) Recíprocamente, mostre que se ρ2 + (ρ′σ)2 possui um valor constante r2 e

ρ′ 6= 0 em I, então a imagem de γ está contida em uma esfera de raio r.

9. Seja β : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Se

toda reta tangente a β passa por um ponto fixo p ∈ R3, mostre que a imagem de β

é uma reta.

2


10. Uma parametrização pelo comprimento de arco de uma circunferência de centro c

e raio r > 0 pode ser dada pela seguinte expressão

γ(s) = c + r cos( s

r

)

e1 + r sen( s

r

)

e2, (onde ei · ej = δij)

Mostre que se β é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco e com

κ(0) > 0, então existe uma, e só uma, circunferência γ com a seguinte propriedade

γ(0) = β(0), γ′(0) = β′(0) e γ′′(0) = β′′(0)

Mostre que γ está no plano osculador de β, determine o seu centro c e o seu raio r.

11. Suponha que β : I ⊂ R −→ R3 é uma curva parametrizada pelo comprimento de

arco. Definimos a imagem esférica de β como sendo a curva σ : I ⊂ R −→ R3 dada

por σ(s) = Ts, onde Ts é a tangente de β. Mostre que a curvatura e a torção de σ

são dadas pelas seguintes expressões

κσ =

√

1 + (τ

κ)2, τσ =

dds (

τκ )

κ(

1 +(

τκ

)2)

onde κ e τ representam a curvatura e a torção de β.

12. Mostre que toda curva regular do R3, cujas funções coordenadas são dadas por

polinômios de grau menor ou igual a 2, é uma curva plana.

13. Mostre que é plana a seguinte curva α :]0,+∞[−→ R3 dada por

α(t) =

(

t,1 + t

t,

1 − t2

t

)

14. Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas definidas em R

i) α(t) = (t, t2, t3)

ii) β(t) = (cos(t), sen(t), et)

iii) γ(t) = (t, cosh(t), senh(t))

x y

z

xy

z

x

y

z

3


15. Sejam f , g : I ⊂ R −→ R3 funções diferenciáveis com f (t) > 0 para todo t ∈ I.

Fixe a ∈ I e considere então a seguinte curva α : I ⊂ R −→ R3 dada por

α(t) =

(

∫ t

af (u)sen(u)du,

∫ t

af (u) cos(u)du,

∫ t

af (u)g(u)du

)

Mostre que a curvatura κα e a torção τα de α são dadas por

κα =1

f

√

1 + g2 + (g′)2

(1 + g2)3, τα = − g + g′′

f (1 + g2 + (g′)2)

16. Considere a cúbica geral α : R −→ R3 dada por α(t) = (at, bt2, ct3), onde a, b, c ∈ R

são tais que abc 6= 0.

i) Mostre que o quociente τ/κ é dado por

τ

κ=

3ac

2b2

(

9c2t4 + 4b2t2 + a2

9c2t4 + 9(a2c2/b2)t2 + a2

)3/2

Deduza então que α é uma hélice cilíndrica se, e só se, 3ac = ±2b2.

ii) No caso em que 3ac = 2b2, encontre o vetor ~u e o ângulo ϑ da hélice.

17. Seja β :] − ǫ, ǫ[−→ R3 uma hélice cilíndrica parametrizada pelo comprimento de

arco. Seja ~u o correspondente vetor do R3 tal que Ts · ~u = cos(ϑ) para s ∈]− ǫ, ǫ[.

A curva β é dita uma hélice circular se a sua imagem está contida em um cilindro

circular reto.

i) Defina h(s) = (β(s)− β(0)) · ~u, com s ∈]− ǫ, ǫ[. Mostre que h(s) = s cos(ϑ).

ii) Seja γ :]− ǫ, ǫ[−→ R3 dada por γ(s) = β(s)− h(s)~u. Mostre que

κγ =κβ

sen2(ϑ)

onde κβ > 0 é a curvatura de β.

iii) Deduza que β é uma hélice circular se, e só se, κβ é constante e τβ é constante.

18. Seja α : I ⊂ R −→ R3 uma curva regular com κ(t) > 0 para todo t ∈ I. Mostre que

i) Um ponto p ∈ R3 está no plano osculador de α em α(t0) se, e só se,

(p − α(t0)) · Bt0 = 0

onde Bt é o binormal de α.

ii) Se todos os planos osculadores de α possuem um ponto em comum, então α

é uma curva plana.

4


19. Sejam f e g funções reais diferenciáveis definidas em um intervalo aberto I que

contém 0. Suponha que f 2 + g2 = 1 em I e que θ0 é um número com f (0) = cos(θ0)

e g(0) = sen(θ0). Definimos então a função

θ(t) = θ0 +∫ t

0( f (u)g′(u)− g(u) f ′(u))du, t ∈ I

Mostre que f (t) = cos(θ(t)) e g(t) = sen(θ(t)) para todo t ∈ I. Sugestão: mostre

que a seguinte função é identicamente nula

F(t) = [ f (t)− cos(θ(t))]2 + [g(t)− sen(θ(t))]2

20. Seja α : I ⊂ R −→ R2 dada por α(s) = (x(s), y(s)) uma curva parametrizada pelo

comprimento de arco. O referencial de Frenet de α é então definido por

Ts = (x′(s), y′(s))

Ns = (−y′(s), x′(s))

Mostre que T′s = κ(s)Ns onde κ(s) = T′

s · Ns. Mostre ainda que N′s = −κ(s)Ts. A

função κ(s) é chamada de curvatura de α. Mostre também que κ(s) = θ′(s), onde

θ(s) é o ângulo que a tangente Ts faz com o eixo das abscissas. Suponha agora que

β : I ⊂ R −→ R2, dada por β(t) = (x(t), y(t)), é uma curva regular. Denotamos o

referencial de Frenet de β por {Tt, Nt} e o definimos por

Tt = Ts(t)

Nt = Ns(t)

onde{

Ts, Ns

}

é o referencial de Frenet da reparametrização de β pelo comprimento

de arco feita através da função s(t). A curvatura de β é definida por κ(t) = κ(s(t)).

Mostre que T′t = κ(t)s′(t)Nt e que N′

t = −κ(t)s′(t)Tt. Determine as expressões de

Tt e de Nt (em função de x(t) e y(t)) e mostre ainda que

κ(t) =−x′′(t)y′(t) + x′(t)y′′(t)

(x′(t)2 + y′(t)2)3/2

21. Mostre que o comprimento de uma curva dada em coordenadas polares r = r(θ) é

L =∫ θ1

θ0

√

r2 + (r′)2dθ

Mostre ainda que a curvatura dessa curva é dada por

κ =2(r′)2 − rr′′ + r2

(r2 + (r′)2)3/2

5


22. Suponha que β : I ⊂ R −→ R2 é uma curva regular com κ(t) 6= 0 para todo t ∈ I.

A evoluta de β é a curva (cujas tangentes são ortogonais à curva β) dada por

c(t) = β(t) +1

κ(t)Nt

Determine as evolutas de: β1(t) = (2 cos(t), sen(t)) e de β2(t) = (t, t2).

x

y

x

y

23. Dada uma função diferenciável κ : I −→ R, definida no intervalo aberto I ⊂ R,

mostre que existe uma curva parametrizada pelo comprimento de arco

α : I −→ R2

tal que κα = κ. Esboce uma curva com κ(s) = 2s (espiral de Euler1). Sugestão:

i) Defina θ(s) =∫ s

0κ(t)dt, onde supomos 0 ∈ I.

ii) Defina α(s) =

(

∫ s

0cos(θ(t))dt,

∫ s

0sen(θ(t))dt

)

24. Mostre que são congruentes as curvas α, β : R −→ R3 abaixo

α(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), 2t)

β(t) = (t +√

3 sen(t), 2 cos(t),√

3t − sen(t))1Tem comprimento infinito: está parametrizada pelo comprimento de arco e está definida em toda a reta.

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II. Superfícies parametrizadas

1. Mostre que as seguintes aplicações são superfícies parametrizadas regulares

i) (Cilindro) ϕ : R2 −→ R

3 dada por ϕ(u, v) = (cos(u), 2 sen(u), v)

ii) (Catenóide) ϕ : R2 −→ R

3 dada por ϕ(u, v) = (cosh(v) cos(u), cosh(v)sen(u), v)

iii) (Helicóide) ϕ : R2 −→ R

3 dada por ϕ(u, v) = (u cos(v), u sen(v), v)

2. Verifique que as seguintes aplicações são superfícies parametrizadas e determine

os pontos singulares daquelas que não são regulares

i) ϕ : R2 − {(0, 0)} −→ R

3 dada por ϕ(u, v) = (u3, v3, (u6 + v6)1/3)

ii) ϕ : R2 −→ R

3 dada por ϕ(u, v) = (u2 − v2, 2uv, u5)

iii) ϕ : R2 −→ R

3 dada por ϕ(u, v) = (u, v3, v2)

iv) ϕ : R2 −→ R

3 dada por ϕ(u, v) = (u, v, v3)

v) ϕ : R2 −→ R

3 dada por ϕ(u, v) = (u, v, u3 − v3)

7


3. Em cada caso, mostre que o conjunto f−1(0) define uma subvariedade mergulhada:

i) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1, com (x, y, z) ∈ R3

ii) f (x, y, z) = x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 − 1, com (x, y, z) ∈ R3, a > 0, b > 0 e c > 0

iii) f (x, y, z) = x2 + y2 − z2 − 1, com (x, y, z) ∈ R3

iv) f (x, y, z) = −x2 − y2 + z2 − 1, com (x, y, z) ∈ R3

4. Mostre que a esfera x2 + y2 + z2 = 1 e o elipsóide x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 são

difeomorfos utilizando a aplicação F : R3 −→ R

3 dada por

F(x, y, z) = (ax, by, cz)

5. Mostre que se ϕ : U ⊂ R2 −→ R

3 é uma superfície parametrizada regular e se

(u0, v0) ∈ U, então existe uma vizinhança V de (u0, v0) em U tal que ϕ(V) ⊂ R3 é

uma subvariedade mergulhada. Sugestão: escreva ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

e defina a aplicação F : U × R −→ R3 por

F(u, v, t) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v) + t)

e use o teorema da função inversa.

6. Para cada uma das seguintes subvariedades mergulhadas do R3, descreva então a

imagem da respectiva aplicação normal de Gauss

i) x2 + y2 = a2 (cilindro) iv) z = x2 + y2 (parabolóide)

ii) z =√

x2 + y2 (cone sem o vértice) v) x2 + y2 − z2 = 1 (hiperbolóide)

iii) x + y + z = 0 (plano) vi) x2 + y2 = (cosh(z))2 (catenóide)

7. Sejam α, β : I ⊂ R −→ R3 curvas parametrizadas e suponha que β(t) 6= 0 para

todo t ∈ I. Defina ϕ : I × R −→ R3 por

ϕ(t, v) = α(t) + vβ(t)

Mostre que ϕ é uma superfície parametrizada (que é chamada de superfície regrada).

Mostre também que o hiperbolóide x2 + y2 − z2 = 1, a sela z = xy, o helicóide e

um cilindro construído sobre uma curva plana, são todos exemplos de superfícies

regradas. Mostre ainda que a curvatura gaussiana dessa superfície (nos pontos não

singulares) é dada por

K(t, v) = − (α′(t) · β(t)× β′(t))2

‖α′(t)× β(t) + vβ′(t)× β(t)‖4

No caso particular em que α é uma curva regular, com κ(t) 6= 0 para todo t ∈ I e a

curva β é dada por β = α′, então a superfície regrada correspondente é regular e é

chamada de superfície tangente. Mostre que, nesse caso, K = 0.

8


8. Considere uma circunferência com centro (R, 0, 0) ∈ R3, de raio r > 0 (com r < R)

e situada num plano ortogonal ao plano xy. A rotação dessa circunferência ao

redor do eixo z forma uma superfície parametrizada conhecida como Toro.

y

z

x

z

v

u

Verifique que a aplicação diferenciável ϕ : R2 −→ R

3 dada por

ϕ(u, v) = ((R + r cos(u)) cos(v), (R + r cos(u)) sen(v), r sen(u))

parametriza o Toro. Mostre que o Toro é uma superfície parametrizada regular.

Mostre então que os coeficientes da primeira forma fundamental do Toro são

E = r2, F = 0 e G = (R + r cos(u))2

Mostre ainda que os coeficientes da segunda forma fundamental do Toro são

e = r, f = 0 e g = (R + r cos(u)) cos(u)

e que suas curvaturas principais são dadas por

κ1 = 1/r e κ2 =cos(u)

R + r cos(u)

Conclua que a curvatura gaussiana do Toro é dada por

K =cos(u)

r(R + r cos(u))

9


9. Seja α(u) = (h(u), 0, l(u)) uma curva parametrizada do R3, definida num intervalo

aberto I ⊂ R e cuja imagem está contida no plano xz. A rotação dessa curva

ao redor do eixo dos z forma uma superfície S chamada de superfície de revolução.

Mostre que a aplicação ϕ : I × R −→ R3 dada por (assuma h > 0)

ϕ(u, v) = (h(u) cos(v), h(u) sin(v), l(u))

parametriza a superfície de revolução S . Mostre ainda que se α é uma curva regular,

então S é uma superfície parametrizada regular.

Mostre também que os coeficientes da primeira e da segunda forma de S são

E = (h′)2 + (l′)2, F = f = 0, G = h2, e =−l′h′′ + h′l′′√

(h′)2 + (l′)2, g =

l′h√

(h′)2 + (l′)2

Conclua que a curvatura gaussiana de S é dada por

K =−l′(l′h′′ − l′′h′)h((h′)2 + (l′)2)2

10. Considere a superfície de revolução dada pelas seguintes relações

x = r cos(θ)

y = r sen(θ)

z = f (r)

onde r =√

x2 + y2 > 0 e f (r) é uma função diferenciável. Mostre que as curvas

dessa superfície que formam um ângulo constante α com cada paralelo admitem

uma parametrização dada por

β(r) = (r cos(θ(r)), r sen(θ(r)), f (r))

onde θ é dada pela seguinte expressão

θ =∫

1

rcot(α)

√

1 + ( f ′(r))2 dr

10


11. Prove que se uma subvariedade mergulhada S ⊂ R3 é tangente a um plano ao

longo de uma curva, então os pontos dessa curva são parabólicos ou planares.

12. Seja S ⊂ R3 uma superfície de revolução. Mostre que os meridianos e os paralelos

são linhas de curvatura de S .

13. Mostre que não existem pontos umbílicos sobre uma dada superfície parametrizada

regular que possui K < 0. Mostre ainda que se K ≤ 0, então os pontos umbílicos

são pontos planares.

14. Dada uma superfície parametrizada regular ϕ : U ⊂ R2 −→ R

3 e também um

vetor tangente ~v = v1 ϕu + v2 ϕv. Mostre que ~v é um vetor principal se, e sómente

se, a seguinte matriz tem determinante zero

v22 −v1v2 v2

1

E F G

e f g

Mostre ainda que um ponto ϕ(u, v) é umbílico se, e só se, e = κE, f = κF e

g = κG no ponto (u, v). Mostre também que, nesse último caso, κ = κ1 = κ2 são

as curvaturas principais. Finalmente, mostre que o vetor ~v é assintótico (ou seja, ~v

anula a segunda forma fundamental) se, e só se,

ev21 + 2 f v1v2 + gv2

2 = 0

15. Mostre que uma subvariedade mergulhada e compacta do R3 tem, pelo menos, um

ponto elíptico.

16. Prove que não existem subvariedades mergulhadas do R3 que, além de mínimas

(i.e. com H = 0 em todos os pontos), são também compactas.

17. Seja f : U ⊂ R2 −→ R diferenciável e defina a seguinte subvariedade mergulhada

S ={

(u, v, f (u, v)) ∈ R3; (u, v) ∈ U

}

Mostre que valem as seguintes igualdades

E = 1 + f 2u , F = fu fv, G = 1 + f 2

v

e =fuu

√

1 + f 2u + f 2

v

, f =fuv

√

1 + f 2u + f 2

v

, g =fvv

√

1 + f 2u + f 2

v

Mostre também que temos as seguintes equivalências

K = 0 ⇔ fuu fvv − f 2uv = 0

H = 0 ⇔ (1 + f 2u) fvv + (1 + f 2

v ) fuu − 2 fu fv fuv = 0

11


18. (Superfície de Scherk) Com as notações e definições do exercício anterior, faça

f (x, y) = ln

(

cos(y)

cos(x)

)

com domínio igual a U =] − π/2, π/2[×] − π/2, π/2[. Determine as curvaturas

gaussiana e média da respectiva subvariedade mergulhada.

19. (Superfície de Enneper) Seja a superfície parametrizada ϕ : R2 −→ R

3 dada por

ϕ(u, v) =

(

u − u3

3+ uv2, v − v3

3+ vu2, u2 − v2

)

Verifique que ϕ é uma superfície parametrizada regular e mostre que:

i) E = G = (1 + u2 + v2)2 e F = 0

ii) e = 2, f = 0 e g = −2

iii) As curvaturas principais são κ1 = 2(1 + u2 + v2)−2 e κ2 = −2(1 + u2 + v2)−2

iv) As linhas de curvatura são as curvas coordenadas

v) As linhas assintóticas são dadas por u + v = cte. e u − v = cte.

20. Seja S ⊂ R3 uma subvariedade mergulhada e α :]− ǫ, ǫ[−→ S uma curva regular.

Se α(0) = p e Kp > 0, mostre que a curvatura κ(0) de α em p satisfaz

κ(0) ≥ min {|κ1(p)| , |κ2(p)|}

onde κ1(p) e κ2(p) são as curvaturas principais de S em p.

12


21. Mostre que sobre uma superfície parametrizada regular sempre temos

i) H2 − K ≥ 0

ii) Hp =1

π

∫ π

0κn(θ)dθ, onde κn(θ) é a curvatura normal numa direção θ de TpS .

22. (Pseudoesfera) Considere a superfície de rotação ϕ :]− ∞, 0[×R −→ R3 dada por

ϕ(u, v) =

(

eu cos(v), eusen(v),∫ u

0

√

1 − e2sds

)

i) Mostre que ϕ possui curvatura gaussiana constante K = −1

ii) Determine as linhas de curvatura de ϕ

iii) Determine as linhas assintóticas de ϕ

23. Mostre que se uma superfície de revolução é mínima, então ela está contida em um

plano ou em um catenóide.

24. Mostre as seguintes afirmações relativas a uma subvariedade mergulhada S ⊂ R3:

i) Se uma curva regular de S é uma linha de curvatura e uma geodésica, então

essa curva é plana.

ii) Se uma geodésica (não retilínea) é uma curva plana de S , então ela é uma

linha de curvatura.

iii) Uma curva regular de S é uma curva assintótica e uma geodésica se, e só se,

ela é uma reta.

25. Mostre que se todas as geodésicas de uma subvariedade mergulhada conexa S do

R3 são curvas planas, então S está contida em um plano ou em uma esfera.

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III. Formas diferenciais

1. Considere as seguintes 1-formas definidas no R3

i) ω = y2dx

ii) η = zdy − ydz

iii) σ = (z2 − 1)dx − dy + x2dz

Calcule ωp(~v), ηp(~v) e σp(~v) onde ~v = (1, 2,−3) ∈ TpR3 com p = (0,−2, 1).

2. Dadas funções f , g : R3 −→ R e campos de vetores V, W ∈ X(R3), mostre que

i) ω( f V + gW) = f ω(V) + gω(W)

ii) ( f ω + gη)(V) = f ω(V) + gη(V)

para todas 1-formas ω, η definidas no R3.

3. Dadas funções diferenciáveis f , g : R3 −→ R, verifique que

i) d( f + g) = d f + dg

ii) d( f g) = gd f + f dg

utilizando a definição d f = ∂ f∂x dx + ∂ f

∂y dy + ∂ f∂z dz.

4. Sejam ω, σ 1-formas definidas no R3 e dadas pelas seguintes expressões:

ω = xdx − ydy, σ = ydx − xyzdy + x2dz

Calcule ω ∧ σ.

5. Considere a 1-forma ω definida em R2 − {(0, 0)} e dada pela seguinte expressão

ω = − y

x2 + y2dx +

x

x2 + y2dy

Seja agora f : U :={

(r, θ) ∈ R2 : r > 0 e 0 < θ < 2π

}

−−−−−−→ R2 dada por

f (r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ))

Calcule f ∗(ω).

Solução: Dado p ∈ U e ~v = (v1, v2) ∈ TpR2, temos

f ∗(ω)p(~v) = ω f (p)(d fp(~v))

=−r sin(θ)

r2(v1 cos(θ)− r sin(θ)v2) +

r cos(θ)

r2(v1 sin(θ) + r cos(θ)v2)

= −v1 sin(θ) cos(θ)

r+ sin2(θ)v2 +

v1 sin(θ) cos(θ)

r+ cos2(θ)v2

= v2 = dθ(~v)

Assim f ∗(ω) = dθ

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6. Sejam p = (2, 1, 0) ∈ R3, ~v = (−1, 0, 2) ∈ TpR

3 e ainda o campo de vetores

X = x2e1 + yze3 ∈ X(R3). Calcule ∇~vX.

7. Sejam X, Y ∈ X(R3) campos de vetores dados pelas seguintes expressões:

X = (y − x)e1 + (xy)e3

Y = (x2)e1 + (yz)e3

Calcule ∇XY.

8. Seja {E1, E2, E3} o referencial ortonormal cilíndrico definido em R3 − {eixo z}

E1(r, θ, z) = (cos(θ), sin(θ), 0)

E2(r, θ, z) = (− sin(θ), cos(θ), 0)

E3(r, θ, z) = (0, 0, 1)

onde x = r cos(θ), y = r sin(θ) e z = z. Mostre que as 1-formas de conexão são

ω12 = dθ, ω21 = −dθ e ωij = 0 (nos outros casos)

Mostre também que as 1-formas duais são dadas pelas expressões

ω1 = dr

ω2 = rdθ

ω3 = dz

Mostre que E1[r] = 1, E2[θ] = 1/r, E3[z] = 1 e que todas as outras alternativas dão

zero. Verifique a validade das equações de estrutura.

9. Seja {E1, E2, E3} o referencial ortonormal esférico definido em R3 − {eixo z}

E1(r, θ, ϕ) = (cos(ϕ) cos(θ), cos(ϕ) sin(θ), sin(ϕ))

E2(r, θ, ϕ) = (− sin(θ), cos(θ), 0)

E3(r, θ, ϕ) = (− sin(ϕ) cos(θ),− sin(ϕ) sin(θ), cos(ϕ))

onde x = r cos(ϕ) cos(θ), y = r cos(ϕ) sin(θ) e z = r sin(ϕ). Mostre que

ω12 = cos(ϕ)dθ, ω13 = dϕ, ω23 = sin(ϕ)dθ

Mostre também que as 1-formas duais são dadas pelas seguintes expressões

ω1 = dr

ω2 = r cos(ϕ)dθ

ω3 = rdϕ

Verifique ainda a validade das equações de estrutura.

15


10. Seja S uma subvariedade mergulhada no R3 e ainda {E1, E2, E3} um referencial

ortonormal adaptado sobre S . Denote por (ωij) as 1-formas de conexão e (ωi) as

1-formas duais associadas. Mostre que valem as seguintes igualdades

ω13 ∧ ω23 = Kω1 ∧ ω2

dω12 = −Kω1 ∧ ω2

2Hω1 ∧ ω2 = ω13 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω23

K = E2[ω12(E1)]− E1[ω12(E2)]− ω12(E1)2 − ω12(E2)

2

onde K e H representam, respectivamente, as curvaturas Gaussiana e Média de S .

11. Com as mesmas notações do exercício anterior, suponha ainda que o referencial

{E1, E2, E3} é principal, ou seja, E1 e E2 são direções principais em cada ponto de S .

Mostre que valem as seguintes igualdades

E2[κ1] = (κ1 − κ2)ω12(E1)

E1[κ2] = (κ1 − κ2)ω12(E2)

onde κ1 e κ2 são as curvaturas principais de S .

12. Seja S ⊂ R3 uma subvariedade mergulhada umbílica. Mostre que S tem curvatura

Gaussiana constante não negativa. Mostre ainda que se K = 0, então S está contida

em um plano e se K > 0, então S está contida em uma esfera de raio 1/√

K.

13. Mostre que se F : S −→ S é uma isometria entre duas subvariedades mergulhadas,

dS (p, q) = dS (F(p), F(q))

14. Seja F : S −→ S uma isometria entre duas subvariedades mergulhadas. Tome

agora um referencial ortonormal {E1, E2} de S e o referencial correspondente de S{

E1, E2

}

, Ei = dF(Ei), i = 1, 2

Mostre que se ω1, ω2 e ω12 indicam os duais e a 1-forma de conexão de S , então

ω1 = F∗(ω1), ω2 = F∗(ω2), ω12 = F∗(ω12)

15. Seja F : S −→ S uma isometria entre duas subvariedades mergulhadas. Mostre:

K(p) = K(F(p))

para todo p ∈ S , onde K e K representam as curvaturas gaussianas de S e S ,

respectivamente.

16


16. Seja S uma subvariedade mergulhada do R3. Sejam X e Y campos de vetores

tangentes a S . Denotando por ∇ a derivada usual do R3 e por ∇ a derivada

covariante de S , mostre que vale a relação

∇XY = ∇XY + (A(X) · Y)N

onde A é o operador de Weingarten segundo uma normal unitária N de S .

17. Seja S uma subvariedade mergulhada do R3 e ϕ : U ⊂ R

2 −→ S uma carta de S .

Suponha que ϕ é ortogonal, isto é, F = ϕu · ϕv = 0. Mostre que

i) Os campos abaixo formam um referencial ortonormal em ϕ(U)

E1 =ϕu√

EE2 =

ϕv√G

ii) As 1-formas duais correspondentes são dadas por

ω1 =√

Edu ω2 =√

Gdv

iii) A 1-forma de conexão correspondente é dada pela expressão

ω12 = − (√

E)v√G

du +(√

G)u√E

dv

18. Seja S uma subvariedade mergulhada do R3. Mostre que se p ∈ S e ~v ∈ TpS ,

existe uma (única) geodésica maximal γ : I ⊂ R −→ S tal que

{

γ(0) = p

γ′(0) = ~v

Denote ainda por γ~v essa geodésica maximal definida em ]− ǫ, ǫ[. Mostre que

γa~v(t) = γ~v(at), ∀t ∈]− ǫ/a, ǫ/a[

onde a > 0 é uma constante.

19. Sejam S uma subvariedade mergulhada do R3 e p ∈ S . Seja (e1, e2) uma base

ortonormal de TpS e denote por γ~v a (única) geodésica de S com γ~v(0) = p e

γ′~v(0) = ~v ∈ TpS . Seja ainda Sǫ =]0, ǫ[×]− π, π[. Defina a aplicação ϕ : Sǫ −→ S

ϕ(u, v) = γcos(v)e1+sin(v)e2(u)

Mostre que, para um certo ǫ > 0, ϕ é uma carta de S com E = 1, F = 0, G > 0 e:

i) γ(u) = ϕ(u, v0) minimiza o comprimento de arco entre p e q = ϕ(u0, v0).

ii) Se α é uma curva em S unindo p e q e ainda L(γ) = L(α), então

α(u) = ϕ(a1(u), v0) = γ(a1(u))

17


20. Seja S uma subvariedade mergulhada do R3 e d a distância intrínseca de S . Mostre

que (S , d) é um espaço métrico.

21. Seja S ⊂ R3 uma subvariedade mergulhada conexa. Tome p ∈ S e {e1, e2} um

referencial ortonormal de TpS . Considere ainda duas isometrias F, G : S −→ Stais que F(p) = G(p) e dFp(ei) = dGp(ei) para todo i = 1, 2. Mostre que F = G.

22. Se S é uma subvariedade mergulhada do R3 compacta, conexa, orientável e com

K > 0, mostre que S é homeomorfa à esfera.

23. Se S é uma subvariedade mergulhada do R3 compacta, conexa, orientável e de

gênero g = 1, mostre que existe p ∈ S tal que Kp = 0. Se, por outro lado, o gênero

de S satisfaz g ≥ 2, mostre que existe p ∈ S tal que Kp < 0.

24. Seja S uma subvariedade mergulhada do R3 compacta, conexa, orientável. Mostre

que são equivalentes:

i) Existe X ∈ X(S) unitário;

ii) χ(S) = 0;

iii) S é difeomorfa ao toro.

25. Se uma subvariedade mergulhada S é compacta, conexa e orientável com K = 0,

mostre que S é difeomorfa ao toro.

· · ·

g =2 − χ(S)

2

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