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Geometria Diferencial

Alexander Arbieto

24 de maio de 2011

Sumario

I “Now Go and Don’t look back” (Shimi Skywalker, Star Wars Episode I) 1

1 Curvas 21.1 Introducao as Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Angulo no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Numero de Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II Every journey has a beginning 14

2 Superfıcies locais 152.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 A notacao de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 O produto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 A metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 A Primeira e a Segunda forma fundamental . . . . . . . . 17

3 Exemplos 213.1 Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 O Helicoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 A Esfera (ou parte dela...) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5 O toro, ou parte dele... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 A sela de Macaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7 Superfıcies de Revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ii

SUMARIO iii

4 Contas Locais 284.1 O Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Curvaturas e Direcoes Principais . . . . . . . . . . . . . . 344.3 O Teorema Egregium de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 364.4 Interpretacao local da Curvatura Gaussiana . . . . . . . .37

5 Curvatura M edia 395.1 Coordenadas Isotermicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III Join me 42

6 Superfıcies 436.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Aplicacoes Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7 Contas Extras 457.1 Coordenadas Isotermicas e Holomorfia . . . . . . . . . . . 45

Preface

This is an example of an unnumbered chapter which can be used for aPreface or Foreword.

The purpose of this paper is to establish a relationship between aninfinite-dimensional Grassmannian and arbitrary algebraic vector bundlesof any rank defined over an arbitrary complete irreducible algebraic curve,which generalizes the known connection between the Grassmannian andline bundles on algebraic curves.

iv

Parte I

“Now Go and Don’t lookback” (Shimi Skywalker, Star Wars Episode I)

1

Capıtulo 1

Curvas

A primeira definicao sensata que poderıamos dar para uma curva e a se-guinte: Uma curva emRn e uma aplicacaoγ : [a, b] → Rn. Porem, existemas curvas de Peano. FALAR DELAS. Veremos que tais curvas naopodemser diferenciaveis. O que nos leva a seguinte:

Definicao 1.1.Uma curva diferenciavel noRn e uma aplicacao diferenciavelγ : [a, b] → Rn. Isto e, para cada t∈ [a, b] temos queγ(t) = (γ1(t), . . . , γn(t)),onde para cada i= 1, . . . , n temos queγi : [a, b] → R e uma funcao dife-renciavel.

Mais ainda, se cadaγi for Ck diremos que a curva eCk. O traco dacurva e o conjunto{γ(t); t ∈ [a, b]}. A derivada da curva neste e definidapor γ′(t) = (γ′1(t), . . . , γ′n(t)). Dizemos que a curva eregular seγ′(t) , 0para todot ∈ [a, b]. Daqui pra frente, todas as curvas sao diferenciaveis (defatoC∞), a nao ser que seja dito o contrario.

Definicao 1.2. Duas curvasγ1 : [a, b] → Rn e γ2 : [c, d] → Rn sao

equivalentes se existeψ : [a, b] → [c, d] difeomorfismo tal que

γ1(t) = γ2(ψ(t)) para todo t∈ [a, b].

Neste caso dizemos queγ1 e uma reparametrizacao deγ2.

O comprimentode uma curvaγ e definido por

L(γ) :=∫ b

a‖γ′(t)‖dt =

∫ b

a

√γ′1(t)2 + . . . γ′n(t)2dt.

2

1.1. INTRODUCAO AS CURVAS PLANAS 3

Lema 1.3. Seγ1 e uma reparametrizacao deγ2 entao L(γ1) = L(γ2).

Demonstracao.A prova segue do teorema de mudanca de variaveis paraintegrais:

∫ b

a‖γ′1(t)‖dt =

∫ b

a‖γ′2(s(t))s′(t)‖dt

=

∫ b

a‖γ′2(s(t))‖|s′(t)|dt

=

∫ d

c‖γ′2(s)‖ds.

�

Dizemos que uma curvaγ : [a, b] → Rn e parametrizada por compri-mento de arcoseL(γ|[c,d]) = d − c, para qualquer intervalo [c, d ] ⊂ [a, b].Em geral, abreviamos e dizemos queγ e p.c.a. Mais ainda, observe quepelo lema anteriorγ e p.c.a. se, e so se,‖γ′(t)‖ = 1 para todot ∈ [a, b].

Lema 1.4. Seγ e uma curva regular entao existeα uma reparametrizacaodeγ que e p.c.a.

Demonstracao.Seja a EDOl′(t) := ‖γ′(t)‖ com condicao iniciall(a) = 0.Entao existe uma unica solucaol de tal equacao. Pelo teorema fundamentaldo calculo temos quel(b) = L(γ). Pelo teorema da funcao inversa e hipotesede regularidade temos que existet : [0, L(γ)] → [a, b] tal que t = l−1.Definaα(l) := γ(t(l)). Pela regra da cadeia temos

‖α′(l)‖ = ‖α′(t(l))‖|t′(l)| = ‖l′(t(l))||t′(l)| = 1.

�

1.1 Introducao as Curvas Planas

Nesta secao iremos considerar curvas emR2. Antes de mais nada daremosvarios exemplos.

Exemplo 1.5. Sejam a= (x0, y0) e b = (x1, y1) dois pontos deR2. Osegmento de retaque liga a a b e a curvaα : [0, 1]→ R2 dada por

α(t) = (x1t + (1− t)x0, y1t + (1− t)y0).

4 CAPITULO 1. CURVAS

Note queα′(t) ≡ (x1 − x0, y1 − y0) e L(α) =√

(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2

Exemplo 1.6. Seja um ponto(a, b) ∈ R2 e R> 0. O cırculo de raioR comcentro (a, b) e a curvaα : [0, 2π] → R2 dada por

α(t) = (a+ Rcost, b+ Rsint).

Note queα′(t) = (−Rsint,Rcost) e L(α) = 2πR

Exemplo 1.7. A elipsegerada pela equacaox2

a2 +y2

b2 = 1 e a curvaα :[0, 2π] → R2 dada por

α(t) = (acost, bsint).

Note queα′(t) = (−asint, bcost).

Exemplo 1.8. A hiperbolegerada pela equacaox2

a2 − y2

b2 = 1 e a curvaαdada por

α(t) = (acosht, bsinht) = (a(et+ e−t

2), b(

et − e−t

2)).

Exemplo 1.9. A parabolagerada pela equacao x3 − y2= 0 e a curvaα

dada porα(t) = (t2, t3).

Exemplo 1.10. A espiralgerada pela equacao xtan(√

x2 + y2) = y e acurvaα dada por

α(t) = (t cost, t sint).

Exemplo 1.11. Seja f : [a, b] → R uma funcao C∞. O grafico de f eo conjunto G= {(x, y) ∈ R2; y = f (x)}. O grafico e o traco da curvaα : [a, b] → R2 dada porα(t) = (t, f (t)).

Novamente, podemos nos perguntar se a diferenciabilidade implica al-guma restricao na curva. Por exemplo, sera que ela pode ser uma curva dePeano? O proximo resultado diz essencialmente que nao.

Proposicao 1.12. Sejaγ : [a, b] → R2 uma curva regular em t0 entaoexiste umδ > 0 tal queγ|(t0−δ,t0+δ) e um grafico.

Aplicando a tecla SAP, toda curva regular e localmente um grafico.


Demonstracao.Sejaγ(t) = (x1(t), x2(t)). Entao 0, γ′(t0) = (x′1(t0), x′2(t0)).Vamos supor quex′1(t0) , 0, o outro caso e analogo. Pelo teorema da funcaoinversa existeI = (t0 − δ, t0 + δ) tal quex1|I e um difeomorfismo sobre suaimagem. SejaJ = x1(I ) eβ : J→ R2 definido porβ(t) = γ ◦ x−1

1 (t). Entao

β(t) = (x1(x−11 (t)), x2(x−1

1 (t))) = (t, x2 ◦ x−11 (t)).

E portantoβ(t) e um grafico. �

Exemplo 1.13. Sejam duas funcoes f, g : R→ R dadas por:

f (t) =

e−1/t2 t , 0

0 t = 0e g(t) =

e−1/t2 t > 0

0 t ≤ 0.

O traco da curvaα(t) = ( f (t) + 1, g(t) + 1) parece ter uma quina em(1, 1)porem a curva e C∞!

Como de praxe, a base canonica doR2 e dada por{e1, e2} ondee1 =

(1, 0) e e2 = (0, 1). A base canonica define a orientacao de uma outrabase{u, v}, simplemente dizendo que a base e positivamente orientadase amatriz de mudanca de base de uma pra outra tiver determinante positivo.Caso contrario a base e dita negativamente orientada.

Seγ : [a, b] → R2 e uma curva p.c.a. entao para cadat temos um vetorunitariov(t) = γ′(t). Potanto, existe um unico vetor unitarion(t) tal que abase{v(t), n(t)} e positiva e ortogonal, i.e.〈v,w〉 = 0. A famılia gerada porestas bases{v, n} e dita oreferencial de Frenet. Alem disso, elas obedecemas seguintes equacoes diferenciais, ditas asequacoes de Frenet no plano.

Teorema 1.14.Existe uma funcao k(t) tal que valem:

v′(t) = k(t)n(t) e n′(t) = −k(t)v(t).

Demonstracao.Como o referencial de Frenet e ortonormal temos que〈v, v〉 ≡〈n, n〉 ≡ 1. Derivando temos,

2〈v′, v〉 = (〈v, v〉)′ ≡ 0 ≡ (〈n, n〉)′ = 2〈n′, n〉.

Portantov e ortogonal av′, assim comon e ortogonal an′. Como estamosemR2 existem funcoesα, β : [a, b] → R tais que

v′ = αn en′ = βv.


Por outro lado como〈v, n〉 ≡ 0, derivando temos que

0 = (〈v, n〉)′ = 〈v′, n〉 + 〈v, n′〉 = α + β.

Basta tomark = α = −β. �

Dizemos quek(t) e acurvaturada curvaγ no pontoγ(t) (ou emt).Uma pergunta natural e se toda funcao e curvatura de alguem. Isto e

verdade se a funcao for suave.

Teorema 1.15. Seja k : [0, L] → R uma funcao C∞ entao existeγ :[0, L] → R2 cuja curvatura e k.

Demonstracao.Fixe uma base positiva (v0, n0) qualquer deR2. Considereas equacoes de Frenet como um sistema de equacoes diferenciais ordinariascom condicao inicial (v0, n0). Temos entao uma EDO linear emR4 e por-tanto posssui uma unica solucao. Denotemos por (v, n) a solucao. PorFrenet, temos um novo sistema de equacoes diferenciais:

〈v, v〉 = −2k〈v, n〉 , 〈v0, v0〉 = 1

〈n, n〉 = 2k〈v, n〉 , 〈n0, n0〉 = 1

〈v, n〉 = k〈n, n〉 − k〈v, v〉 , 〈v0, n0〉 = 0.

Novamente, esta EDO tem solucao unica, onde as incognitas sao〈v, v〉, 〈v, n〉e 〈n, n〉. Mas, as funcoes constantes 1, 0 e 1 sao solucoes tambem. Porunicidade obtemos que{v(t), n(t)} e base ortonormal para todot. Por con-tinuidade e conexidade de [a, b] temos que tal base e positiva para todot.

Finalmente, tomeγ(t) :=∫ t

0v(s)ds. Entaoγ e uma curva p.c.a.,γ′ = v

e v′ = kn. Logo,k e a curvatura deγ. �

E essa curva que encontramos, e unica?

Teorema 1.16. Sejamγ1, γ2 : [0, L] → R2 duas curvas p.c.a. tais quek1 ≡ k2, i.e. suas curvaturas coincidem. Entao existe um movimento rıgidoφ : R2 → R2 que preserva orientacao tal queγ2 = φ ◦ γ1.

Lembrando que um movimento rıgido e gerado por uma translacao euma rotacao.


Demonstracao.Seja{v1, n1} (resp. {v2, n2}) o referencial de Frenet deγ1

(resp.γ2). Tomea = γ2(0)−γ1(0) eA : R2 → R2 rotacao tal queA(v1(0)) =v2(0). Finalmente, defina

Ta(x) = x+ a eφ = A ◦ Ta.

Por linearidade, temos as seguintes EDO’s:

(Av1)′ = k(An1) e (An1)′= −kAv1.

Podemos por as seguintes condicoes iniciais (Av1(0),An1(0)) = (v2(0), n2(0)).Mas entao, a unicidade novamente implica (via as equacoes de Frenet

paraγ2) que:

(Av1(t),An1(t)) = (v2(t), n2(t)) para todot.

Por outro lado, o referencial de Frenet deφ(γ1(t)) e (Av1,An1). Pelo teo-rema Fundamental do Calculo, concluımos que

γ2(t) = γ2(0)+∫ t

0v2(s)ds= φ(γ1(t)).

�

A uniao dos dois teoremas acima, e o conhecido como o teorema Fun-damental das curvas planas. Essencialmente, ele diz que a curvatura de-termina a curva. Tudo isto, devido a diferenciabilidade. Observamos que,apesar de termos definido a curvatura viaAlgebra Linear, e possıvel obteruma formula para esta. De fato, sejaγ(t) = (x(t), y(t)) uma curva p.c.a.EntaoT = (x′, y′) e portantoT′ = (x′′, y′′). Como estamos no plano, notequen = (−y′, x′). Assim, pelas equacoes de Frenet,

k(t) = 〈T′, n〉 = −x′′y′ + x′y′′.

Note que definimos curvatura apenas para curvas que sao p.c.a. Masentao podemos definir curvatura para curvas regulares, pois ja vimos quetais curvas podem ser reparametrizadas por comprimento de arco. Porexemplo,

Exercıcio 1.17. Mostre que seγ(t) = (x(t), y(t)) e uma curva regular entaosua curvatura e dada por

k =x′y′′ − x′′y′

(x′2 + y′2)3/2.


Exercıcio 1.18(Coordenadas Polares). Seγ(θ) = r(θ)(cosθ, sinθ) e umacurva regular em coordenadas polares entao sua curvatura ´e dada por

k =r2+ 2r ′2 − rr ′′

(r2 + r ′2)3/2.

Passado tais consideracoes mais pratics, e natural entao, buscar informacoesdadas pela curvatura, comecando por informacoes locais.

Lema 1.19. Seγ e uma curva regular entao sua curvatura e sempre nula,se, e so se, o traco deγ e um segmento de reta.

Demonstracao.Pelas equacoes de Frenet temos que‖T′(t)‖ = |k(t)| ≡ 0.Em particularT(t) ≡ T(a). Pelo teorema fundamental do calculo temos que

γ(t) = γ(a) +∫ t

aT(s)ds= γ(a) + T(a)(s− a).

Logo e um segumento de reta. Reciprocamente, seγ(t) = γ(a) + (t − a)T0

com‖T0‖ = 1 entaoT′ ≡ 0 e portantok ≡ 0. �

A seguir vejamos o que ocorre quando a curvatura tem algum sinal. Porexemplo, sek(t0) > 0 entao iremos mostrar que localmente a curva estano semiplano definido pela reta que contem o vetor tangenteT(t0) mas queaponta paran(t0). Com efeito, defina a funcao

f (t) = 〈γ(t) − γ(t0), n(t0)〉.

Entao f e suave,f (t0) = 0 mas

f ′(t) = 〈γ′(t), n(t0)〉.

Portantof ′(t0) = 0. Finalmente, note quef ′′(t0) = k(t0) > 0 pelas equacoesde Frenet. Ou seja,t0 e um mınimo local paraf o que implica que existeuma vizinhancaV det0 tal que para todot ∈ V − {t0} temos quef (t) > 0. Eisto mostra a afirmacao.

Analogamente, sek(t0) < 0 entao localmente a curva estara no semi-plano definido pela reta que contem o vetor tangente porem que aponta para−n(t0).

E o que podemos concluir do valor da curvatura? Por exemplo vamossupor quek(t0) > 0. Dados> 0 vamos definir o pontoPs := γ(t0) + sn(t0).

1.2. ANGULO NO PLANO 9

Seja tambemCs o cırculo de centroPs e raios. Afirmamos que existe umavizinhancaW de t0 tal que set ∈ W − {t0} entaoγ(t) esta no interior docırculoCs, casos> 1

k(t0) ou esta no exterior, casos< 1k(t0) .

De fato, estar no interior ou no exterior do cırculo, pode ser decididovia uma analise no sinal da seguinte funcao

g(t) = ‖γ(t) − Ps‖2 − s2.

Obviamente,g(t0) = 0. Alem disso,

g′(t) = 〈γ(t) − Ps, γ′(t)〉.

Logog′(t0) = 0 tambem. Finalmente, observe que

g′′(t) = 2(〈T(t),T(t)〉 + 〈γ(t) − Ps,T′(t)〉.

Assim, g′′(t0) = 2(−k(t0)s + 1). E portanto o fato det0 ser maximo oumınimo local depende da desigualdade dada na afirmacao.

Dizemos ques0 =1

k(t0) e o raio de curvatura,Ps0 e o centro de curvaturaeCs0 e o cırculo osculador da curva emt0.

1.2 Angulo no Plano

Dados dois vetores nao nulosvew emR2 definimos o angulo nao-orientadoentrev e w como o unico valor∠(v,w) ∈ [0, π] que satisfaz

cos∠(v,w) =〈v,w〉‖v‖‖w‖ .

Note que sev = (v1, v2) e um vetor nao nulo, definindov⊥ = (−v2, v1) temosquev⊥ e ortogonal av. Mais ainda, como exercıcio o leitor pode verificarque{v, v⊥} e uma base positiva. Usando esta positividade, podemos definiro conceito de angulo orientado (ou simplesmente angulo).

Definicao 1.20.Se v e w sao dois vetores nao-nulos deR2 entao definimos:

∢(v,w) =

∠(v,w) se〈v⊥,w〉 ≥ 0

∠(v,w) se〈v⊥,w〉 < 0.


Note que se∠(v,w) , π entao∢(v,w) = −∢(w, v). Porem, se∠(v,w) = πentao∢(v,w) = ∢(w, v) = π.

Lema 1.21.

cos∢(v,w) =〈v,w〉‖v‖‖w‖ e sin∢(v,w) =

〈v⊥,w〉‖v‖‖w‖ .

Demonstracao.A primeira igualdade segue da definicao e do fato que cose par. Para mostrar a segunda igualdade, note que basta considerar vetorescom norma 1. Seja entaov = (v1, v2) e w = (w1,w2). Temos quev⊥ =(−v2, v1). Assim

〈v,w〉2 = (v1w1 + v2w2)2= v2

1w21 + v2

2w22 + 2v1v2w1w2

e〈v⊥,w〉2 = (−v2w1 + v1w2)2

= v21w2

2 + v22w2

1 − 2v2w1v1w2.

Assim,

〈v,w〉2 + 〈v⊥,w〉2 = v21(w2

1 + w22) + v2

2(w21 + w2

2) = v21 + v2

2 = 1.

Da primeira igualdade segue entao a segunda (pois cos2+ sin2

= 1). O sinale positivo de acordo com a definicao. �

Corolario 1.22. Sejam v e w vetores nao nulos deR2 e wn ∈ R2 − {0} taisquelim wn = w. Entaolim ∢v,wn = ∢v,w.

Demonstracao.Basta notar que arccos e arcsin sao contınuas. Pelo lemaanterior

lim cos∢(v,wn) = lim〈v,wn〉‖v‖‖wn‖

=〈v, 〉w‖v‖‖w‖ .

O mesmo vale para o sin e isto demonstra o resultado. �

Corolario 1.23. Seγ : [a, b] → R2 e uma curva contınua tal que traco(γ)∩{0} = ∅ e a ∈ R2 − {0} e tal que∢(a, γ(t)) , π para todo t entao a funcaof : [a, b] → R dada por f(t) = ∢(a, γ(t)) e contınua.

Dizemos quex ≡ y(mod2π) se existek ∈ Z tal quex− y = 2πk. Notequex ≡ y(mod2π) se, e so se, cos(x) = cos(y) e sin(x) = sin(y).

1.2. ANGULO NO PLANO 11

Proposicao 1.24. Sejam u, v e w vetores nao-nulos deR2 entao

∢(u, v) + ∢(v,w) ≡ ∢(u,w)(mod2π).

Demonstracao.Note que

cos(∢(u, v) + ∢(v,w)) = cos∢(u, v) cos∢(v,w) − sin∢(u, v) sin∢(v,w)

= 〈 u‖u‖ ,

v‖v‖ 〉〈

v‖v‖ ,

w‖w‖ 〉 − 〈

u⊥

‖u‖ ,v‖v‖ 〉〈

v⊥

‖v‖ ,w‖w‖ 〉

= 〈 u‖u‖ ,

w‖w‖ 〉 = cos∢(u,w).

Onde para mostrar a penultima igualdade, podemos supor os vetores unitarios,eu = (u1, u2), v = (v1, v2) e w = (w1,w2). Assim o termo da esquerda e

(u1v1 + u2v2)(v1w1 + v2w2) − (−u2v1 + u1v2)(−v2w1 + v1w2) =

= u1v21w1+u2v2v1w1+u1v1v2w2+u2v

22w2−(u2v2v1w1−u1v

22w1−u2v

21w2+u1v2v1w2) =

u1w1(v21 + v2

2) + u2w2(v21 + v2

2) = u1w1 + u2w2 = 〈u,w〉.

Resultado analogo segue pro sin. Use entao a observacaoacima. �

Teorema 1.25. Sejaγ : [a, b] → R2 uma curva contınua e P0 um pontofora do traco deγ. Entao existe uma univa funcaoφ : [a, b] → R contıunatal que,φ(a) = 0 e para todo t temos

φ(t) ≡ ∢(γ(a) − P0, γ(t) − P0)mod2π.

Demonstracao.Vamos mostrar a unicidade. Seφ eψ sao duas tais funcoesentao temos queφ−ψ2π ∈ Z para todot. Como esta funcao tambem e contınuatemos que existek tal queφ − ψ ≡ 2kπ. Comoφ(a) = ψ(a) = 0 temos queφ ≡ ψ.

Vamos mostrar a existencia entao. Sejamh(t) = γ(t) − P0 e v0 = h(a).Note queh , 0 para todot, assim∢(v0, h(t)) e bem definido para todot.

Afirmacao 1.26. Existe uma particao a= t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = b talque para todo tk ≤ t ≤ tk+1 temos

φk(t) = ∢(h(tk), h(t)) < π.


Prova da Afirmacao.Seja f (t) = h(t)‖h(t)‖ = (u(t), v(t)). Tomeε = 1, por

continuidade uniforme existeδ > 0 tal que se|t − s| < δ entao

|u(t) − u(s)| < 1 e |v(t) − v(s)| < 1.

Se por algum acaso,∢(h(s), h(t)) = π terıamos entao que

− h(s)‖h(s)‖ =

h(t)‖h(t)‖ .

Donde,u(t) = −u(s) e v(t) = −v(s). Assim,

2|u(t)| = |u(t) − u(s)| < 1 e 2|v(t)| = |v(t) − v(s)| < 1.

Mas entaou2(t) + v2(t) < 12. Absurdo poisu2

+ v2 ≡ 1. �

Defina temos funcoes anguloφk contınuas em [tk, tk+1]. Basta definirentao a funcao contınua:

φ(t) =

φ0(t) set ∈ [t0, t1]

φk(t) +∑k−1

i=0 φi(ti+1) set ∈ [tk, tk+1]

Pois entao pela proposicao ????? temos que

φ(t) ≡ (k−1∑

i=0

∢(h(ti), h(ti+1))) + ∢(h(tk), t)

≡ ∢(h(t0), h(t) ≡ ∢(v0, h(t))(mod 2π).

�

A funcaoφ encontrada no teorema acima e dita a funcao angular deγ

com respeito ao pontoP.Note que seγ : [a, b] → R2 e uma curva contınua eσ : [c, d] → [a, b]

e um homeomorfismo crescente e definimosα(t) = γ ◦ σ(t) entao a funcaoangular deα e dada porφα(t) = φ(σ(t)) − φ(a) ondeφ e a funcao angulardeγ.

1.3. NUMERO DE ROTACAO 13

1.3 Numero de Rotacao

Definicao 1.27.Sejaγ uma curva fechada e P um ponto fora do traco deγ.Considereφ a funcao angular deγ com respeito a P. O numero de rotacaodeγ com respeito a P e

W(γ,P) :=12πφ(b) ∈ Z.

Definicao 1.28. Sejaγ : I → R2 uma curva contınua. Uma homotopiaparaγ fora de Y⊂ R2 e uma aplicacao H: [0, 1] × I → R2 − Y contınuatal que H(0, t) = γ(t) para todo t ∈ I. Neste caso, para todo s∈ [0, 1]definimos as curvasγs dadas porγs(t) = H(s, t). Finalmente, dizemos queγ e homotopica aγ1 fora de Y.

Exemplo 1.29.A aplicacao H(s, t) = es(cos 2πt, sin 2πt) : R× [0, 1]→ R2

e uma homotopia para o cırculo S1.

Exemplo 1.30. A homotopia H(s, t) = ((1 + s) cos 2πt, sin 2πt) : [0, 1] ×[0, 1]→ R2 deforma o cırculo S1 numa elipse.

Exemplo 1.31. A homotopia H(s, t) = γ((1− s)t) deforma a curvaγ numcaminho constante igual aγ(0).

Parte II

Every journey has abeginning

14

Capıtulo 2

Superfıcies locais

2.1 Preliminares

2.1.1 A notacao de Einstein

2.1.2 O produto exterior

2.2 Definicao

Em geral,D ⊂ R denotara um domınio, isto e, um aberto conexo deR2.Escolhermos coordenadas deR2 como (u1, u2).

SejaX : D → R3 uma aplicacaoC∞. Entao denotamos porx1, x2 e x3

as coordenadas deX. Ou seja, sao funcoesC∞ deD emR tais que:

X(u1, u2) = (x1(u1, u2), x2(u1, u2), x3(u1, u2)).

Entao denotaremos as derivadas parciais deX assim:

Xu1(u1, u2) = (∂x1

∂u1(u1, u2),

∂x2

∂u1(u1, u2),

∂x3

∂u1(u1, u2)) e

Xu2(u1, u2) = (∂x1

∂u2(u1, u2),

∂x2

∂u2(u1, u2),

∂x3

∂u2(u1, u2))

15

16 CAPITULO 2. SUPERFICIES LOCAIS

Porem, quando o ponto (u1, u2) estiver bem entendido iremos simplificar anotacao assim

X1 = (∂x1

∂u1,∂x2

∂u1,∂x3

∂u1) e X2 = (

∂x1

∂u2,∂x2

∂u2,∂x3

∂u2)

Note que em cada ponto,X1 e X2 sao vetores noR3.

Definicao 2.1. Dizemos que X(D) e uma superfıcie local se o mapa X:D → R3, como acima, e tal que X1 e X2 sao vetores linearmente indepen-dentes em cada ponto(u1, u2) de D.

2.3 A metrica

SejaX(D) uma superfıcie local entao vamos definir a metricagi j de X(D)da seguinte forma:

Definicao 2.2. A metrica g de X: D→ R3 e dada por:

• g11 = E = 〈X1,X1〉.

• g12 = g21 = F = 〈X1,X2〉.

• g22 = G = 〈X2,X2〉.

Com isto temos nocoes equivalentes a de superfıcie local.

Lema 2.3. X(D) e uma superfıcie local se, e so se,

• (EG− F2)(u1, u2) > 0 para todo(u1, u2) ∈ D, ou,

• Para cada(u1, u2) ∈ D, algum dos Jacobianos abaixo e nao nulo:

∂(x1, x2)∂(u1, u2)

,∂(x2, x3)∂(u1, u2)

,∂(x3, x1)∂(u1, u2)

.

Demonstracao.Usando a identidade de Lagrange (ver apos a prova destelemma):

〈w∧ x, y∧ z〉 = 〈w, y〉〈x, z〉 − 〈w, z〉〈x, y〉.

Temos que|X1∧X2|2 = EG−F2. Isto mostra a equivalencia com o primeiroıtem.

2.4. A PRIMEIRA E A SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL 17

Se{e1, e2, e3} e a base canonica deR3 entao

X1 ∧ X2 =∂(x2, x3)∂(u1, u2)

e1 +∂(x3, x1)∂(u1, u2)

e2 +∂(x1, x2)∂(u1, u2)

e3.

Isto mostra a equivalencia com o segundo ıtem. �

A tal da identidade de Lagrange, de maneira geral e a seguinte (usandoa notacao de Einstein):

(akak)(b jb j) − (akbk)2=

n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

(aib j − a jbi)2.

A identidade segue das seguintes observacoes:

(akak)(b jb j) =∑

i, j

a2i b

2j = a2

kb2k +

n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

a2i b

2j +

n−1∑

j=1

n∑

i= j−1

a2i b2

j ,

(akbk)2= a2

kb2k + 2

n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

aia jbib j , e

n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

(aib j − a jbi)2=

n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

(a2i b

2j + a2

j b2i − 2aia jbib j)

=

n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

a2i b

2j +

n−1∑

j=1

n∑

i= j+1

a2i b2

j − 2n−1∑

i=1

n∑

j=i+1

aia jbib j.

Observacao 2.4. Usando a terminologia de topologia diferencial temosque toda superfıcie local e uma imersao.

2.4 A Primeira e a Segunda forma fundamental

Sejaγt : (a, b) :→ D ⊂ R2 uma curva planaC∞, cujas coordenadas saodadas porγ(t) = (u1(t), u2(t)). Por abuso de notacao iremos denotar porX(t) a curvaX ◦ γ(t), cujo traco vive emX(D) ⊂ R3. Entao, pela regra dacadeia temos que

dXdt=

du1

dtX1 +

du2

dtX2.


Assim, o vetor velocidade da curvaX(t) e

〈dXdt,dXdt〉 = E(

du1

dt)2+ 2F

du1

dtdu2

dt+G(

du2

dt)2.

Isto nos leva a definir a seguinte forma quadratica, que chamaremos deaprimeira forma fundamental:

IX = Edu21 + 2Fdu1du2 +Gdu2

2.

Note que e uma forma quadratica, isto e, em cada ponto (u1, u2), se toma-mos (a, b) ∈ R2 entao:

IX(u1, u2).(a, b) = E(u1, u2)a2+ 2F(u1, u2)ab+G(u1, u2)b

2.

Note como usamosX1 e X2 como uma “base”. Vamos formalizar isso:

Definicao 2.5. O plano tangente de X(D) no ponto p= X(u1, u2) e o planogerado pelos vetores X1(u1, u2) e X2(u1, u2) e e denotado por TpX(D).

Conforme o que vimos sobre produto vetorial o seguinte vetore sempreortogonal ao plano tangente:

n(u1, u2) =X1(u1, u2) ∧ X2(u1, u2)‖X1(u1, u2) ∧ X2(u1, u2)‖

.

De maneira simplificada, iremos denotar por:

n =X1 ∧ X2

‖X1 ∧ X2‖.

Note tambem que este vetor e sempre unitario (Duh).Vamos fazer o mesmo para a segunda derivada, novamente iremos de-

notar por

X11 =∂2X

∂u21

, por exemplo.

Com esta notacao, consideramos:

d2Xdt2

=d2u1

dt2X1 + (

du1

dt)2X11+

du1

dtdu2

dtX12 +

+du2

dt2X2 + (

du2

dt)2X22 +

du2

ddu1

dtX21.

Assim, se definimos

2.4. A PRIMEIRA E A SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL 19

Definicao 2.6. A matriz simetrica h de X: D→ R3 e dada por:

• h11 = L = 〈X11, n〉.

• h12 = h21 = M = 〈X12, n〉.

• h22 = N = 〈X22, n〉.

Temos que:

〈d2X

dt2, n〉 = L(

du1

dt)2+ 2M

du1

dtdu2

dt+ N(

du2

dt)2.

Assim, como antes, definimos asegunda forma fundamentaldeX(D) como:

II X = Ldu21 + 2Mdu2du2 + Ndu2

2.

Observacao 2.7. Note que h e simetrica pelo teorema de Schwarz.

Observacao 2.8. Em princıpio, parece que a primeira forma depende ape-nas da superfıcie em si, enquanto a segunda forma depende docalculode n e parece entao que depende de como a superfıcie esta posta emR3.Isto e verdade de fato, e diremos que quantidades que dependem apenasda primeira forma fundamental saointrınsecasenquanto as que dependemtambem da segunda forma saoextrınsecas.

Lembre que partimos de uma curvaγ em D, daremos entao um nomepara o maximo e o mınimo valor obtido por essa construcao:

Definicao 2.9. As curvaturas principais de X(D) no ponto p= X(u1, u2)sao:

k1(p) = min{〈d2X

dt2, n〉} e k2(p) = max{〈d

2Xdt2

, n〉}

Onde o maximo e mınimo sao calculados atraves de X(t) = X ◦ γ(t) emt = 0, sobre todas as curvasγ(t) em D tais queγ(0) = (u1, u2).

Nas cenas dos proximos capıtulos, iremos relacionar as curvaturas princıpaiscomo maximos e mınimos de curvaturas apropriadas de curvas que vivemna superfıcie. Mais ainda, mostraremos que as curvaturas principais saosolucoes do problema algebrico:

(EG− F2)k2 − (GL+ EN− 2FM)k+ (LN − M2) = 0. (2.1)


Logo, se definimosK = k1k2 como acurvatura Gaussianateremos que:

K =LN − M2

EG− F2. (2.2)

O que a princıpio parece extrınseco. Porem provaremos o importante teo-remaEgregiumde Gauss, que mostra que em verdade a curvatura Gaussi-ana e intrınseca!!!

Mais ainda, se deifnimos acurvatura mediapor:

H =k1 + k+ 2

2.

Entao, da equacao do segundo grau acima obtemos que:

H =12

GL+ EN− 2FMEG− F2

.

Definicao 2.10. Se a curvatura media for uma funcao constante entao di-zemos que a superfıcie local tem cuvatura media constante, ou que elae c.m.c. Se alem disso, esta constante for nula entao diremos que ela emınima.

Capıtulo 3

Exemplos

3.1 Graficos

Seja f : D → R uma funcaoC∞. Consider a aplicacaoX : D → R3 dadapor:

X : (u1, u2) = (u1, u2, f (u1, u2)).

Mostraremmos queX(D) e uma superfıcie local, dita ografico de femR3

sobreD. De fato,

X1 = (1, 0, f1) e X2 = (0, 1, f2).

Portanto, a metrica e:

E = 1+ f 21 , F = f1 f2 e G = 1+ f 2

2 .

Em particular, temos que,

EG− F2= (1+ f 2

1 )(1+ f 22 ) − f 2

1 f 22 = 1+ f 2

1 + f 22 > 0.

Logo, X(D) e uma superfıcie local e calculamos a primeira forma funda-mental. Por conveniencia, vamos denotar

√EG− F2.

Vamos a calcular a segunda forma fundamental. Para isso, precisamosdo vetor normal.

X1 ∧ X2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

1 0 f10 1 f2

∣∣∣∣∣∣∣∣= (− f1,− f2, 1) , 0.

21

22 CAPITULO 3. EXEMPLOS

Daı,

|X1 ∧ X2| =√

1+ f 21 + f 2

2 =W.

Logo

n =1W

(− f1,− f2, 1).

Para calcular a segunda forma fundamental, precisamos das derivadassegundas da superfıcie local.

X11 = (0, 0, f11) , X12 = (0, 0, f12) e X22 = (0, 0, f22).

Portanto:

L = 〈X11, n〉 =f11

W

M = 〈X12, n〉 =f12

W

N = 〈X22, n〉 =f22

W.

E calculamos a segunda forma fundamental. Em particular a curvaturaGaussiana e media sao dada por:

K =f11 f22 − f 2

12

W4e

H =12

1W3

((1+ f2)2 f11 − 2 f1 f2 f12 + (1+ f 21 ) f11).

Note que se o plano tangente em 0 deX(D) for o plano{z = 0} entao acurvatura media satisfaz:

H =12

( f11(0)+ f22(0)) =12∆ f (0).

O que sugere que a curvatura media tenha algo em comum com funcoesharmonicas...

Note tambem que sef e linear entao a superfıcie e um plano e a segundaforma fundamental e identicamente nula. Logo, a curvaturaGaussiana emedia sao identicamente nulas, assim como as curvaturas principais.

3.2. O HELICOIDE 23

3.2 O Helicoide

Neste exemplo, temosD = R2, e a, b ∈ R. O helicoidee uma superfıcielocal da forma:

X(u1, u2) = (u1 cosu2, u1 sinu2, au2 + b).

Vamos provar que de fato e uma superfıcie local.

X1 = (cosu2, sinu2, 0) eX2 = (−u1 sinu2, u1 cosu2, a).


E = cos2 u2 + sin2 u2 = 1, F = −u1 sinu2 cosu2 + u1 sinu2 cosu2 = 0 e

G = u21 sin2 u2 + u2

1 cos2 u2 + a2= u2

1 + a2.


EG− F2= u2

1 + a2 > 0.

Logo,X(D) e uma superfıcie local e a primeira forma fundamental e

IX = du21 + (u1 + a2)du2

2.

Vamos a calcular a segunda forma fundamental. Para isso, precisamosdo vetor normal.

X1 ∧ X2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

cosu2 sinu2 0−u1 sinu2 u1 cosu2 a

∣∣∣∣∣∣∣∣= (asinu2,−acosu2, u1).

Daı,

|X1 ∧ X2| =√

a2 sin2 u2 + a2 cos2 u2 + u21 =

√a2 + u2

1.

Logo

n =1

√a2 + u2

1

(asinu2,−acosu2, u2).


X11 = (0, 0, 0) , X12 = (− sinu2, cosu2, 0) e X22 = (−u1 cosu2,−u1 sinu2, 0).


Portanto:

L = 〈X11, n〉 = 0

M = 〈X12, n〉 =1

√a2 + u2

1

(−asin2 u2 − acos2 u2) = − a√

a2 + u21

N = 〈X22, n〉 =1

√a2 + u2

1

(−au1 cosu2 sinu2 + au1 sinu2 cosu2) = 0.

Logo a segunda forma fundamental e

II X = −a√

a2 + u21

du1du2.

Em particular a curvatura Gaussiana e media sao dada por:

K =− a2

a2+u21

u21 + a2

= −a2 e

H =12

G.0+ E.0− 2.0.MEG− F2

= 0.

Em particular, o helicoide e uma superfıcie mınima.

3.3 Cilindros

Seja I um intervalo eC(u) = (x(u), y(u), 0) uma curva planar e regular(C′(u) , 0). Ocilindro gerado por Ce uma superfıcie local da forma:

X(u1, u2) = (x(u1), y(u1), u2).

Vamos provar que de fato e uma superfıcie local.

X1 = (x′, y′, 0) eX2 = (0, 0, 1).


E = x′2 + y′2 , F = 0 e G = 1.

3.3. CILINDROS 25


EG− F2= x′2 + y′2 > 0, poisC e regular.

Logo,X(D) e uma superfıcie local.Vamos a calcular a segunda forma fundamental. Para isso, precisamos

do vetor normal.

X1 ∧ X2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

e1 e2 e3

x′ y′ 00 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣= (y′,−x′, 0).

Daı,

|X1 ∧ X2| =√

x′2 + y′2.

Logo

n =1√

x′2 + y′2(y′,−x′, 0).


X11 = (x′′, y′′, 0) , X12 = (0, 0, 0) e X22 = (0, 0, 0).

Portanto:

L = 〈X11, n〉 =1√

x′2 + y′2(x′′y′ − x′y′′)

M = 〈X12, n〉 = 0

N = 〈X22, n〉 = 0.

Logo a segunda forma fundamental e

II X =x′′y′ − x′y′′√

x′2 + y′2du1du2.

Em particular a curvatura Gaussiana e media sao dada por:

K =L.0− 02

EG− F2= 0 e


H =12

1.( x′′y′−x′y′′√x′2+y′2

) + E.0− 2F.0

x′2 + y′2=

12

x′′y′ − x′y′′

(x′2 + y′2)3/2.

Note que as curvaturas principais sao

0 ex′′y′ − x′y′′

(x′2 + y′2)3/2.

3.4 A Esfera (ou parte dela...)

SejaS2(r) = {(x, y, z) ∈ R3; x2+ y2

+ z2= r2} a esfera de raior e centro

0 ∈ R3.

Intuitivamente, vemos que num pontop ∈ §2(r) o vetor normal queaponta pra dentro da bola e−p. Alem disso, cortando a esfera por umplano contendo esse vetor normal, o que obtemos e um grande cırculo deraio r. Sabemos que a curvatura desta curva e 1/r, daı podemos intuir queas curvaturas principais sao iguais a 1/r. E portanto a curvatura Gaussianadeveria ser 1/r2 e a curvatura mediaH = 1/r.

Infelizmente, a esfera nao e uma superfıcie local. Porem, se omitirmosum ponto, podemos parametriza-la assim:

X(u1, u2) = (2rx

x2 + y2 + 1,

2ryx2 + y2 + 1

,−r(x2

+ y2 − 1x2 + y2 + 1

).

Isto faz com queS2(r) − {(0, 0,−r)} seja uma superfıcie local.

E um exercıcio fazer todos os calculos como nos exemplos anteriorespara esta superfıcie local, isto e, calcular a primeira forma fundamental,o vetor normal, a segunda forma fundamental e as curvaturas... E o queo exercıcio ensina e que precisamos de metodos melhores pra calcular ascurvaturas (por exemplo), do que na forca bruta! (Juro.. faca essas contaspra voce ver...)

De qualquer maneira, este e um exemplo de uma superfıcie c.m.c.

3.5. O TORO, OU PARTE DELE... 27

3.5 O toro, ou parte dele...

3.6 A sela de Macaco

3.7 Superfıcies de Revolucao

Nos capıtulos seguintes, aparecerao novos exemplos e iremos calcular to-dos os objetos, assim como fizemos neste capıtulo, la. O objetivo destecapıtulo e mostrar que ha um processo sistemmatico paracalcular os obje-tos geometricos de uma superfıcie local.

Capıtulo 4

Contas Locais

Dada uma supefıcie local obtemos, naturalmente, duas matrizes simetricas:

(gi j ) =

(g11 g12

g21 g22

)=

(E FF G

)e

(hi j ) =

(h11 h12

h21 h22

)=

(L MM N

).

De fato, estas matrizes representam a primeira e a segunda forma funda-mental, respectivamente. Note que comohi j = 〈Xi j , n〉 entao no fundoestamos considerando a parte normal da segunda derivada. Aoconsiderara parte tangente, obtemos os chamados sımbolos de Christoffel.

Definicao 4.1. Uma vez que{X1,X2, n} forma uma base deR3 definimos ossımbolos de Christoffel a partir de1:

Xi j = Γki j Xk + hi j n.

E um exercıcio pro leitor, mostrar queΓki j = Γ

kji , usando o teorema de

Schwarz.Por convencao, denotamos por (gi j ) a matriz inversa de (gi j ). Note que,

na notacao de Einstein, o fato de que (gi j )(gi j ) = Id se traduz por:

gikgk j = δij =

1 sei = j

0 sei , j.

1Note que estamos usando a notacao de Einstein

28

29

Como de costume, iremos denotar porni a derivada parcial∂n∂ui

.Temos entao a seguinte expressao pra derivada da normal.

Teorema 4.2. ni = −hi j g jsXs.

Demonstracao.Como〈n,Xs〉 = 0 entao temos que〈ni ,Xs〉 = −〈n,Xsi〉 =−〈n, Γk

isXk+his, n〉. Ou seja〈ni ,Xs〉 = −his. Se denotarmosni = ai j X j entao,tomando produto interno comXs, temos que

−his = ai jg js.

Daı segue queais = ai jδ

sj = ai j g jmgms

= −himgms.

E portantoni = −himgmsXs. �

Temos entao um sistema de equacoes chamadas das equacoes de Wein-garten:

Xi j = Γki j Xk + hi jn

ni = −hi jgjsXs.

Note que os sımbolos de Christoffel sao obtidos de modo existencial,ou seja, sao coeficientes de um vetor em uma certa base. Serialegal setivessemos uma formula para calcula-los. Isto e o que faremos em seguida,mas ainda veremos que eles so dependem da metrica e das derivadas desta.

Lema 4.3. Se X(D) e uma superfıcie local entao:

∂gis

∂uk= Γ

tikgts+ Γ

tskgit .

Demonstracao.

∂gis

∂uk= ∂k〈Xi ,Xs〉

= 〈Xik,Xs〉 + 〈Xsk,Xi〉= 〈Γl

ikXl + hikn,Xs〉 + 〈ΓlskXl + hskn,Xi〉

= 〈ΓlikXl ,Xs〉 + 〈Γl

skXl ,Xi〉= Γ

likgls + Γ

lskgli .

�

30 CAPITULO 4. CONTAS LOCAIS

Usando este lema tres vezes, obtemos:

∂ig jl + ∂ jgi l − ∂lgi j = 2Γmi j gml.

Assim obtemos a seguinte expressao dos sımbolos de Christoffel em termosda metrica:

Γki j = δ

kmΓ

mi j = glkgmlΓ

mi j =

12

glk(∂ jgil + ∂ig jl − ∂lgi j ).

Assim como ocorre em Analise, e possıvel obter informacao global apartir de muita informacao local. Por exemplo,

Teorema 4.4. Seja X(D) uma superfıcie local. Se IIX e proporcional aIX pontualmente e de maneira diferenciavel entao X(D) esta contido numplano ou numa esfera.

Demonstracao.Por hipotese existe uma funcaoC∞ λ : D → R tal quehik = λgik. Mas pelo exercıcio anterior temos que:

ni = −hi j gjsXs = −λgi j g

jsXs

= −λδsi Xs = −λXi .

Porem, pelo teorema de Schwarz temos queni j = n ji . Assim:

ni j = (ni) j = −λ jXi − λXi j e

n ji = (n j)i = −λiX j − λX ji .

Novamente, pelo teorema de Schwarz, temos queXi j = X ji , e portanto

λiX j = λ jXi .

Tomando produto interno comXk e lembrando a definicao da metrica, te-mos

λig jk = λ jgik.

Em seguida um pequeno exercıcio de matrizes:

Exercıcio 4.5. Se(ai j ) e uma matriz n× n e(ai j ) e sua inversa entao temosque ai j ai j

= n.

31

Assim:2λ j = λ jgikgik

= λig jkgik= λiδ

ij = λ j .

Portanto,λ j = 0 para todoj e λ e uma funcao constante! (lembre queD esempre um aberto conexo)

Primeiramente, vamos supor queλ ≡ 0. Neste caso o vetor normal eum vetor constante, por exemplo,n ≡ n(p0) para algump0.Mas,

0 = 〈X1(p), n(p)〉 = 〈X1(p), n(p0)〉 e 〈X2(p), n(p0)〉.

E portanto,〈X(p) − X(p0), n(p0)〉 = cte= c.

Porem, avaliando emp = p0 descobrimos que essa constante e zero. LogoX(D) esta contido no plano:

〈X − X(p0), n(p0)〉 = 0.

Agora vamos supor queλ , 0. Neste caso comoni = −λXi temos que

n+ λX ≡ v0.

E portanto, fixandop0, temos

1λ

n+ X ≡ 1λ(p0)

n(p0) + X(p0).

PortantoX satisfaz a equacao:

〈X − (1

λ(p0)n(p0) + X(p0)),X − (

1λ(p0)

n(p0) + X(p0))〉 =1

λ2(p0).

E com isso, concluımos queX(D) esta contido na esfera de centro1λ(p0)n(p0)+

X(p0) e raio 1λ(p0) . �

A seguir iremos obter um lema tecnico que e muito util ao lidar comcurvatura e que relaciona a segunda forma fundamental com a primeira.

Proposicao 4.6. As seguintes equacoes valem para toda superfıcie local:

1. gtm(∂kΓti j − ∂ jΓ

tik + Γ

si jΓ

tsk− Γ

sikΓ

ts j) = hi j hkm− hikh jm.

2. ∂khi j − ∂ jhik + Γti j htk − Γt

ikht j = 0.


Demonstracao.Vamos relembrar as equacoes de Weingarten, para facilitariremos colocar ındices genericos e depois substituımosadequadamente:

Xab = ΓcabXc + habn e nd = −hdeg

e fXf .

Usando estas equacoes coma = k, b = i e d = j temos:

Xki j = ∂kΓti j Xt + XktΓ

ti j + ∂khi j n− hi j hkmgmlXl .

Analogamente, usandoa = j, b = i e d = k temos

X jik = ∂ jΓtikXt + X jtΓ

tik + ∂ jhikn− hikh jmgmlXl .

Agora por Schwarz, temos queXki j = X jik , usando as equacoes de Wien-garten novamente temos que

∂kΓti j Xt + (Γl

ktXl + hktn)Γti j + ∂khi j n− hi j hkmgmlXl =

∂ jΓtikXt + (Γl

jt Xl + h jtn)Γtik + ∂ jhikn− hikh jmgmlXl .

A proposicao segue igualando os coeficientes desta equacao. De fato, aprimeira equacao segue dos coeficientes deXl e a segunda dos coeficientesden. �

A primeira equacao e conhecida como aequacao de Gauss. Noteque o lado esquerdo e intrınseco, enquanto o lado direito ´e extrınseco.Esta observacao sera muito importante no futuro. Alem disso, note quea equacao de Gauss, de fato constitui de uma unica equac˜ao.

Por outro lado a segunda equacao e conhecida como aequacao de Co-dazzi. Note que de fato, sao duas equacoes (de acordo com os ındices).

Poderıamos pensar que aplicar Schwarz, emni j = n ji poderıa gerarnova equacao, porem e um bom exercıcio mostrar que istoleva as equacoesja obtidas.

4.1 O Teorema Fundamental

Um problema comum em matematica e, dado que um objeto gera outroobjeto naturalmente, sera que preescrevendo o segundo objeto, existe o pri-meiro objeto que o gera? Muitas vezes, o segundo objeto necessariamentetem que obedecer certas equacoes ou satisfazer certas condicoes, logo sea

4.1. O TEOREMA FUNDAMENTAL 33

priori o segundo objeto que preescrevemos nao satisfaz tais condicoes, oproblemanaopodera ter solucao.

No nosso caso, vimos que uma superfıcie local naturalmentegera a pri-meira e a segunda forma fundamental. O problema acima entaose torna,dadas duas formas quadraticas, sera que existe uma superfıcie local cujaprimeira e segunda forma fundamental sao essas? Obviamente, temos al-guns empecilhos, por exemplo, a primeira forma tem que vir de uma matrizpositiva (ja queEG− F2 > 0), mais ainda, estas formasprecisamsatisfa-zer as equacoes de Gaus e Codazzi. Veremos que a resposta esim, e queessencialmente so existe uma unica tal superfıcie. Estesera o conteudo doteorema fundamental das superfıcies.

Definicao 4.7. Dizemos que duas superfıcies locais X(D) e Y(D), sob omesmo domınio D, diferem apenas por um movimento rıgido, se existe umamatriz ortogonal A,3× 3 e um vetor b∈ R3 tal que

X = A ◦ Y+ b.

Teorema 4.8. Seja D um aberto conexo deR2 e duas funcoes matriciais:

(gi j ) : D→ M(2× 2) e (hi j ) : D→ M(2× 2).

Suponha que(gi j ) sao matrizes positivas definidas e que estas matrizes saosimetricas, cujos coeficientes satisfazem as equacoes de Gauss e Codazzi,como na proposicao 4.6. Entao existe uma superfıcie local X : D → R3

cuja primeira forma fundamental e representada por(gi j ) e a segundaforma fundamental e representada por(hi j ). Alem disso, qualquer outrasuperfıcie local Y(D) com as mesmas caracterısticas, difere de X(D) porum movimento rıgido.

Prova da Unicidade.Vamos supor que temos duas superfıcies locaisX,Y :D→ R3 tais que

IX = IY = (gi j ) e II X = II y = (hi j ).

Fixeq ∈ D. A menos de uma translacao por um vetorb ∈ R3 e uma rotacaopor uma matriz ortogonalA podemos supor que

X(q) = Y(q), X1(q) = Y1(q), X2(q) = Y2(q) e nX(q) = nY(q).


Basta provar agora queX ≡ Y. FIxe uma curva qualquerC(t) = (u1(t), u2(t))em D tal queC(0) = q. SejamX(t) = X ◦ C(t), Y(t) = y ◦ C(t), X1(t) =X1 ◦C(t), X2(t) = X2 ◦C(t), Y1(t) = X1 ◦C(t) eY2(t) = X2 ◦C(t).

Entao estas curvas satisfazem as sequintes equacoes:

Z′ = Z1u′1 + Z2u′2Z′1 = Z11u′1 + Z12u′2Z′2 = Z21u′1 + Z22u′2

Mas note que pelas equacoes de WeingartenZi j depende apenas deZi ,Z jen,e por sua vez,n depende deZi e Z j apenas. Logo as equacoes acima, nofundo so dependem deZi ,Z j e t. Ou seja, sao da forma

Z′ = R(Z1,Z2, t)

Z′1 = S(Z1,Z2, t)

Z′2 = T(Z1,Z2, t)

Logo pelo teorema de Unicidade de Equacoes Diferenciais Ordinarias, te-mos queX(t) = Y(t), X1(t) = Y1(t) e X2(t) = Y2(t) e como a curvaC eraarbitraria temos queX ≡ Y �

Prova da Existencia. �

4.2 Curvaturas e Direcoes Principais

Dadop ∈ D, por contınuidade, existe uma vizinhancaU = viz(p) ⊂ D talque seV = X(U) entao existe um pontoz0 ∈ S2 tal quen : V → S2 − {z0}.

Lembre que para todox ∈ V temos queTxV ⊥ n(x) (por definicao!).Porem, vimos num exemplo anterior que para todoy ∈ S2 − {z0} temos queTyS2 − {z0} ⊥ y. AssimTn(x)S2 − {z0} ≡ TxV e portanto a derivada den euma aplicacao linear:

Dn(x) : TxV → TxV.

Isto e deveras importante, pois entao podemos falar dos autovalores deDn(x).

Lema 4.9. Dn(x) e auto-adjunta.

4.2. CURVATURAS E DIRECOES PRINCIPAIS 35

Demonstracao.Sejaγ : I → D uma curva tal que,γ(t) = (u1(t), u2(t)),γ(0) = p e considereγ = X ◦ γ. Pela regra da cadeia temos:

Dn(x).(γ′(0)) = Dn(x).(Xi(ui)′) =

ddt

(n ◦ γ)|t=0

= ni(x)(ui)′(0).

Ou seja,Dn(x)(Xi) = ni . Note que isto da a matriz deDn(x) na baseXi .Para mostrar a auto-adjuncao basta mostrar entao que〈ni ,X j〉 = 〈Xi , n j〉.Mas como〈n,Xi〉 ≡ 0 temos entao que

0 = 〈n j ,Xi〉 + 〈n,Xi j 〉.

Agora, por Schwarz, temos queXi j = X ji e portanto, usando a equacaoacima duas vezes e trocando os ındices, temos que

〈ni ,X j〉 = 〈Xi , n j〉.

�

Assim, os autalores deDn(x) sao reais. Mas entao por propriedadesbasicas do calculo, temos que, o maximo e o mınimo da segunda formafundamental sao dados por estes autovalores! Uma vez que vimos que asegunda forma fundamental aplicada numa curva da a curvatura normal.

Agora, a segunda equacao de Weingarten diz que se (ai j ) e a matriz deDn(x) na baseXi entao

(ai j ) = −(hi j )(gi j ) como matrizes.

Em particular, pelas propriedades do determinante (lembrando que estamosem dimensao 2) temos

K = k1k2 = detDn(x) = (h11h22− h212)

1

g11g22− g212

.

E isto mostra a veracidade da equacao 2.2.Para mostrar que as curvaturas principais satisfazem aquela equacao

polinomial basta observar que elas resolvem a seguinte equacao.

det((ai j ) + kId) = 0.


Multiplicando as matrizes, esta equacao torna-se entao:

det

(h12g12− h11g22 + k(g11g22− g2

12) h11g12 − h12g11

h22g12 − h12g22 h12g12 − h22g11+ k(g11g22− g212)

)= 0.

Desenvolvendo o determinante, e fazendo os cancelamentos necessariosobtem-se a equacao 2.1, como afirmado antes.

Note que obtemoso valor das curvaturas principais. Vimos que elassao atingidas por algumas direcoes, uma pergunta natural e que direcoessao essas? Bem nem sempre podemos determinar somente duas,como nocaso elıptico, onde qualquer direcao e principal. Por´em fora desses casos,podemos proceder da seguinte maneira.

4.3 O Teorema Egregium de Gauss

Vimos que em princıpio a curvatura Gaussiana depende da segunda formafundamental. Nesta secao, usando as ferramentas ja adquiridas iremos mos-trar que ela so depende da primeira forma fundamental. De fato, sımbolosde Christoffel irao aparecer, mas ja vimos que estes tambem so dependemda primeira forma.

Teorema 4.10(Egregium). A curvatura Gaussiana so depende da primeiraforma fundamental.

Demonstracao.Pela equacao 2.2, basta mostrar queh11h22 − h212 pode ser

escrita em termos da primeira forma fundamental.Note que pelas equacoes de Weingarten temos que

〈X11,X22〉 − 〈X12,X12〉 = 〈Γk11Xk + h11n, Γ

l22Xl + h22n〉

−〈Γk12Xk + h12n, Γ

l12Xl + h12n〉

= Γk11Γ

l22gkl + h11h22− Γk

12Γl12gkl − h2

12.

Assim, basta agora mostrar que〈X11,X22〉 − 〈X12,X12〉 so depende daprimeira forma fundamental.

Por outro lado, note que

4.4. INTERPRETACAO LOCAL DA CURVATURA GAUSSIANA 37

∂k∂lgi j = ∂k(〈Xli ,X j〉 + 〈Xi ,X jl 〉)= 〈Xkli ,X j〉 + 〈Xli ,Xk j〉 + 〈Xik,X jl 〉 + 〈Xi ,Xk jl〉.

Com isto, via substituicao de ındices, o leitor rapidamente pode mostrarque

〈X11,X22〉 − 〈X12,X12〉 = ∂1∂2g12 −12

(∂2∂2g11 + ∂1∂1g22).

O que termina a prova do teorema. �

Corolario 4.11. A curvatura Gaussiana se escreve da seguinte forma:

K =1

g11g22 − g212

((Γk

12Γl12 − Γ

k11Γ

l22)gkl + ∂1∂2g12−

12

(∂2∂2g11+ ∂1∂1g22)

).

4.4 Interpretacao local da Curvatura Gaussiana

Nesta secao iremos dar uma interpretacao mais geometrica para o sinal dacurvatura Gaussiana.

Teorema 4.12.Seja X(D) uma superfıcie local. Se p∈ X(D) e um pontoeliptico (i.e. K(p) > 0) entao localmente a superfıcie esta num mesmo ladodo espaco tangente do ponto p. Se p∈ X(D) e um ponto hiperbolico (i.e.K(p) < 0) entao localmente a superfıcie esta em lados distintos do espacotangente do ponto p.

Demonstracao.Vamos supor queX(0, 0) = p e considerar a funcaod(.) =〈(.) − p, n(p)〉. Pelo desenvolvimento de Taylor, temos que

X(u, v) = X(0, 0)+ X1u+ X2v+12

(X11u2+ 2X12uv+ X22v

2) + R.

Onde lim(u,v)→(0,0)

Ru2+v2 = 0. ComoX1 e X2 sao ortogonais an temos que:

d =12

(〈X1, n(p)〉u2+2〈X12, n(p)〉uv+〈X22, n(p)〉v2)+〈R, n(p)〉 = 1

2II X(w)+R.

Ondew = uX1 + vX2 eR= 〈R, n(p)〉.


O teorema segue notando que limw→0

R‖w‖2 = 0, pois se o ponto for elip-

tico entaod nao muda de sinal localmente, enquanto que se o ponto forhiperbolico entaod mudara de sinal em qualquer vizinhanca dep. �

A pergunta natural e o que acontece se as duas curvaturas principaisforem zero (dizemos que o ponto e planar) ou se apenas uma curvaturaprincipal se anula (dizemos que o ponto e parabolico).

A resposta e sei la! :-)De fato, temos varios exemplos que mostram que qualquer comporta-

mento local pode ocorrer.

Exemplo 4.13.A sela de Macaco.

Capıtulo 5

Curvatura M edia

Neste capıtulo iremos dar atencao a curvatura media, e tentar dar interpretacoesgeometricas para ela, assim como fizemos com a curvatura Gaussiana. Re-sultara que a curvatura media se relaciona muito bem com certas parametrizacoes,ditas isotermicas. Alem disso investigaremos o porque de dar o nomemınima a superfıcies com curvatura media nula.

5.1 Coordenadas Isotermicas

Imagine que uma superfıcie localX(D) satisfazE = G = λ2(u, v) e F = 0ondeλ e uma funcaoC∞ sobreX(D). Neste caso, diremos que a superfıciee isotermica.

Vejamos, note que o elemento de area dada pela primeira forma funda-mental e

EG− F2= λ4

Tambem, a curvatura media e dada por

H =12

GL+ EN− 2FMλ4

=12

L + Nλ2

.

Ficou mais facil nao? Veremos que de fato, isso facilita e muito a vida,alem de gerar mais luz sobre os objetos em questao.

Conta 1:SeX(D) e isotermica. Entao temos que

〈X1,X1〉 = 〈X2,X2〉 e 〈X1,X2〉 = 0

39

40 CAPITULO 5. CURVATURA MEDIA

Assim, derivando estas equacoes temos que

〈X11,X1〉 = 〈X12,X2〉 = −〈X1,X22〉.

Assim, obtemos

〈X11+ X22,X1〉 = 0 e〈X11 + X22,X2〉 = 0,

ou seja,X11+ X22 e paralelo an. Mas entao

H =12

L + Nλ2

=1

2λ2〈n,X11+ X22〉.

Provamos que, seX(D) e uma superfıcie local isotermica entao∆X = 2λ2H.E com isso, obtemos

Teorema 5.1. Seja X(D) uma superfıcie local isotermica. X(D) e mınimase, e somente se,∆X ≡ 0, ou seja X e harmonica.

Conta 2: Usando as expressoes deΓki j e (ai j ) como antes, usando as

equacoes de Weingarten, temos que

X11 = (logλ)1X1 − (logλ)2X2 + Ln

X11 = (logλ)2X1 + (logλ)1X2 + Mn

X11 = −(logλ)1X1 + (logλ)2X2 + Nn

N1 =−Lλ2

X1 −Mλ2

X2

N1 =−Mλ2

X1 −Nλ2

X2

E como no teoremaegregium, usando o lema de Schwarz em (X11)2 =

(X12)2. temos que

− 1λ2

((logλ)11+ (logλ)22) =LN − M2

λ4.

E L2 − M1 − (logλ)2(L + N) = 0

M2 − N1 + (logλ)1(L + N) = 0.

Assim, a curvatura Gaussiana e dada por:

K = − 1λ2

((logλ)11+ (logλ)22).

5.1. COORDENADAS ISOTERMICAS 41

Em particular, definindo oLaplaciano da metricacomo:

DEFINIR

Temos que∆g logλ2= −2K. Do sistema acima, segue que

( L−N

2 )2 − M1 = −λ2H2

( L−N2 )1 + M2 = −λ2H1.

Imagine que consideramos coordenadas complexasz = u+ iv e a seguintefuncao

φ(z) =L − N

2+ iM

Note que o sistema acima, sao as equacoes de Cauchy-Riemann para afuncaoφ desde que o lado direito se anule. Portanto temos,

Teorema 5.2. Seja X(D) uma superfıcie local isotermica. Entaoφ e holo-morfa se, e so se, X(D) e c.m.c.

A pergunta natural e, e essas tais superfıcies locais existem ou nao.

Parte III

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42

Capıtulo 6

Superfıcies

Neste capıtulo iremos dar a nocao de superfıcies, que nada mais sao doque diversas superfıcies locais coladas de uma certa maneira. Esta nocaopermitira o estudo de mais exemplos, em particular exemplos compactos,como a esfera.

6.1 Definicao e Exemplos

Definicao 6.1. Uma superfıcie e ....

Iremos chamar de cartas locais deS as superfıcies locais que aparecemna definicao.

Exemplo 6.2. A esfera pode ser vista como superfıcie da seguinte forma.

Exemplo 6.3. Toda superfıcie local que e um homeomorfismo e uma su-perfıcie. Em particular graficos sao superfıcies.

De fato a estrutura local das superfıcies sao simples, localmente elassao graficos.

Lema 6.4. Localmente grafico

Como vimos, uma vantagem da nocao de superfıcies e que ela englobamuitos mais exemplos. Superfıcies podem ser compactas, coisa que e im-possıvel para superfıcies locais. Porem, a desvantagem ´e que para en-contra-las precisamos encontrar diversas cartas locais que cubram toda a

43

44 CAPITULO 6. SUPERFICIES

superfıcie. Seria legal se tivessemos uma fabrica de superfıcies, ou umcriterio simples que decida quando um subconjunto deR

3 e uma superfıcieou nao. Mıticamente, temos o seguinte resultado.

Definicao 6.5. Valor regular

Lema 6.6. imagem inversa.

6.2 Aplicacoes Diferenciaveis

Note que na definicao de superfıcie, nao mencionamos em lugar algumsobre a unicidade da carta local, de fato isso e uma falacia. Uma perguntanatural e, o que acontece quando duas cartas locais se sobrepoem? Uma emelhor que a outra? Veremos que do ponto de vista diferenciavel, nao.

Lema 6.7. Mudanca de cartas.

Este importante lema permite falarmos de aplicacoes diferenciaveis en-tre superfıcies. Primeiramente vamos definir funcoes diferenciaveis.

Definicao 6.8. Uma funcao f: S→ R e diferenciavel se

Note que a definicao faz sentido, exatamente pelo lema anterior.Podemos entao estender esta nocao para aplicacoes entre superfıcies.

Definicao 6.9. Seja f : S1→ S2, dizemos que f e diferenciael

E com isto ganhamos a nocao de que duas superfıcies sao asmesmasdo ponto de vista diferenciavel.

Definicao 6.10. Um difeomorfismo e

Observe que seX : D → R3 e uma superfıcie local que e um home-omorfismo, tambem podemos encararD como uma superfıcie. O que oocorre e queD e sua imagemX(D) sao difeomorfas.

Lema 6.11. Se X: D → X(D) ⊂ R3 gera uma superfıcie local que e umhomeomorfismo entao X e um difeomorfismo.

Capıtulo 7

Contas Extras

7.1 Coordenadas Isotermicas e Holomorfia

Em coordenadasz = x + iy, denotando por∂xX e ∂yX o que usamossX1 e X2 respectivamente, na notacao anterior vemos que a coordenada serisotermica significa:

0 = |∂xX|2 − |∂yX|2 − 2i〈∂xX, ∂yX〉.

E a superfıcie ser mınima e:∆X = 0.

Assim, usando a derivacao no sentido complexo temos:

45

Referencias Bibliograficas

[A] T. Aoki, Calcul exponentiel des operateurs microdifferentiels d’ordreinfini. I, Ann. Inst. Fourier (Grenoble)33 (1983), 227–250.

[B] R. Brown,On a conjecture of Dirichlet, Amer. Math. Soc., Providence,RI, 1993.

[D] R. A. DeVore,Approximation of functions, Proc. Sympos. Appl. Math.vol. 36, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1986, pp. 34–56.

46

Indice Remissivo

Absorbing barrier, 4Adjoint partial differential operator,

20A-harmonic function, 16, 182A∗-harmonic function, 182

Boundary condition, 20, 22Dirichlet, 15Neumann, 16

Boundary value problemthe first, 16the second, 16the third, 16

Bounded set, 19

Diffusioncoefficient, 1equation, 3, 23

Dirichletboundary condition, 15boundary value problem, 16

Ellipticboundary value problem, 14, 158partial differential equation, 14partial differential operator, 19

Fick’s law, 1Flux, 1

Formally adjoint partial differentialoperator, 20

Fundamental solutionconceptional explanation, 12general definition, 23temporally homogeneous case,

64, 112

Genuine solution, 196Green function, 156Green’s formula, 21

Harnack theoremsfirst theorem, 185inequality, 186lemma, 186second theorem, 187third theorem, 187

Helmhotz decomposition, 214Hilbert-Schmidt expansion theorem,

120

Initial-boundary value problem, 22Initial condition, 22Invariant measure (for the fundamen-

tal solution), 167

Maximum principlefor A-harmonic functions, 183

47

48 INDICE REMISSIVO

for parabolic differential equa-tions, 65

strong, 83

Neumannboundary condition, 16boundary value problem, 16function, 179

One-parameter semigroup, 113

Parabolic initial-boundary value pro-blem, 22

Partial differential equationof elliptic type, 14of parabolic type, 22

Positive definite kernel, 121

Reflecting barrier, 4Regular (set), 19Removable isolated singularity, 191Robin problem, 16

Semigroup property (of fundamen-tal solution), 64, 113

Separation of variables, 131Solenoidal (vector field), 209Strong maximum principle, 83Symmetry (of fundamental solution),

64, 112

Temporally homogeneous, 111

Vector field with potential, 209

Weak solutionof elliptic equations, 195of parabolic equation, 196associated with a boundary con-

dition, 204

geometria diferencial - im.ufrj.brarbieto/ensino/2011/bookgd.pdf · geometria diferencial alexander...

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