(2015) rev-4-001 notas geometria diferencial - copia

Capítulo 1

Variedades diferenciáveis

1.1 Definição de variedades topológicas e diferenciáveis

Nesta secessão introduz-se a definição de variedade topológica n-dimensional comoespaço de Hausdorff que é localmente homeomorfo a um espaço euclideano Rn. Parasimplificar supõe-se também que uma variedade topològica admite uma base nume-rável.

Diz-se espaço topològico um par (M, τ), em que τ ∈P(M), é um certo conjunto desubconjuntos de M, ditos subconjuntos abertos de M, que satisfaz os axiomas seguintes:

[τ0]Ø ∈ τ e M ∈ τ;[τ1] Para cada. ponto p ∈ M existe um conjunto U ∈ τ tal que p ∈ U ;[τ2] A intersecção de qualquer conjuntos finitos de τ é um elemento de τ ;[τ3] A união de qualquer conjunto de elementos deτ é um elemento deτ .

Definição 1. Sejam (M, τM) e (N, τN) dois espaços topológicos. Uma aplicação F :M −→ N diz-se contínua se, para cada conjunto aberto UN ∈ τN, se tem F−1(UN) ∈ τM.

A maior parte dos espaços topológicos, que em análise se apresentam de maneiranatural, satisfazem uma condição suplementar cujo significado intuitivo consiste nofacto de dois pontos distintos não poderem estar «infinitamente próximos». Ela exprime-se de várias formas, mais ou menos fortes, entre as quais a mais frequente é

[τ4] (AXIOMA DE SEPARABILIDADE DE HAUSDORFF): para cada par de pontos dis-tintos p1, p2 ∈ M, existem U1, U2 ∈ τ tais que p1 ∈ U1, p2 ∈ U2e U1 ∩U2 = Ø.

As aplicações contínuas de espços separáveis segundo Hausdorff são dotadas demilitas propriedades que são naurais para as funções contínuas.

Entre os differentes espaços topológicos são particularmente importantes os espa-ços vectoriais Rn e Cn e os espaços que são localmente (numa vizinhança suficienta-mente pequena de qualquer um dos seus postos) estruturados de forma semelhante aRn e Cn.

Para formular com precisão esta definição introduzimos a noção de "homeomor-fismo".

Definição 2. Diz-se homeomorfismo de dois espaços topológicos M, N uma aplicaçãobi-jectiva contínua F : M −→ N tal que a imagem de qualquer conjunto aberto de Mé aberta em N e a imagem inversa de qualquer conjunto aberto em N é aberto em M(esta última condição deriva de continuidade de F). Os espaços que são localmentehomeomorfos a Rn chamam-se de espaços localmente Euclideos.

Enfim, antes de introduzir a noção de variedade topológica é preciso introduzir oconceito de base por uma topologia.

1

CAPÍTULO 1. VARIEDADES DIFERENCIÁVEIS 2

Figura 1.1.1:

Definição 3. Uma coleção de abertos B é uma base de uma topologia τ, numa variedadeM se, e somente se por cada U ∈ τ existe um conjunto Uλλ∈I ⊂ B tal que

U = ∪λ∈I

Uλ (1.1.1)

Observação 4. Uma consequência da definição mas que também pode ser tomada comodefinição alternativa de uma base B pela topologia de uma variedade é que por cadaponto x ∈ U ⊂ M com U ∈ τ então existe V ∈ B tal que x ∈ V ⊂ U.

Definição 5. Um espaço Topológico (M, τM) chama-se variedade topologica de dimensãon e é indicada por M se é tal que:

i) M é de Hausdorff;ii) M é localmente Euclideo de dimensão n;iii) M tem base topológica numerável.

Observação 6. Uma variedade topológica n-dimensional é um espaço Topológico deHausdorff que é localmente homeomorfo a um espaço euclideano Rn.

Definição 7. Cada conjunto aberto U de M com a aplicação ϕ que realiza o homeomor-fismo com o espaço Rn chama-se de vizinhança de coordenadas e por cada ponto q ∈ Uatribuímos as n-coordenadas ϕ(q) =

(x1(q), ..., xn(q)

).

Sejam (U, ϕ) e (V, ψ) duas vizinhaças de coordenadas do mesmo ponto q ∈ U ∩V.Vamos supor que ϕ(q) =

(x1(q), ..., xn(q)

)e ψ(q) =

(y1(q), ..., yn(q)

). Dado que ψ e ϕ

são homeomorfismos, resultam definidos dois homeomorfismos tais que:

ψ ϕ−1 : ϕ(U ∩V) 3(

x1(q), ..., xn(q))

h−→(

y1(q), ..., yn(q))∈ ψ(U ∩V)(1.1.2)

ϕ ψ−1 : ψ(U ∩V) 3(

y1(q), ..., yn(q)) g−→

(x1(q), ..., xn(q)

)∈ ϕ(U ∩V)(1.1.3)


com as seguintes identidade:

yi ≡ hi(

g1(y), ..., gn(y))∀i = 1, ..., n (1.1.4)

xi ≡ gi(

h1(x), ..., hn(x))∀i = 1, ..., n (1.1.5)

Definição 8. Dizemos que duas vizinhaças de coordenadas(U, ϕ) e (V, ψ) são C∞ −compatıvel se quando U ∩ V 6= Ø e as funções hi, gi : Rn −→ R são C∞(U ∩ V) porcada i = 1, ..., n.

Observação 9. Quando (U, ϕ) e (V, ψ) são C∞ − compatıvel as composições ψ ϕ−1 :ϕ(U ∩ V) −→ ψ(U ∩ V) e ϕ ψ−1 : ψ(U ∩ V) −→ ϕ(U ∩ V) são diffeomorfismos deRn.

Definição 10. Diz-se uma estrutura C∞− di f erenciavel uma família A = (Uα, ϕα) |α ∈ Idevizinhanças de coordenadas tais que:

i)(COBERTURA)⋃

α∈IUα = M

ii) (COMPATÍVEL) por cada α, β ∈ I as vizinhanças (Uα, ϕα) e(Uβ, ϕβ

)são C∞ −

compatıveliii) (MAXIMAL) Se(V, ψ) é uma vizinhança C∞ − compatıvel com todas as vizinhan-

ças de A então (V, ψ) ∈ A .

Observação 11. As vezes a família A = (Uα, ϕα) |α ∈ I é chamada de Atlante e asfunções ϕα ϕ−1

β são chamadas de funçoes de transição.

Observação 12. Não todas as variedades topologicas admitem uma estrutura C∞-diferenciável1.Pelo contrario há muitas variedades que admitem estruturas não equivalentes ou sejaonde as vizinhanças das duas estruturas não são C∞ − compatıvel . Por exemplo, em-bora Rn com n 6= 4 admita só uma estrutura C∞ − di f erenciavel, R4 admite infinitasestruturas não equivalentes. O caso das variedades compactas é ainda mais compli-cado, por exemplo Sn tem muitas diferentes estruturas diferenciáveis.

Sn, n = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...Estruturas 1 1 1 ? 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 ...

Definição 13. Uma variedade topologica com uma estrutura C∞-diferenciável diz-seuma variedade C∞ − di f erenciavel ou suave

Seja M de Hausdorff, com base numerável. Se

Vβ, ψβ

é uma cobertura aberta de

M com vizinhanças C∞− compatıvel. Então existe só uma estrutura C∞− di f erenciavelsobre M tal que contém as vinzinhanças

Vβ, ψβ

.

1.1.1 Exemplos

Esfera Sn

Um exemplo de estrutura C∞-diferenciável é a esfera de dimensão n com as vizinhan-ças de coordenadas dadas pela projeção estereográfica. Portanto definimos:

Sn =

x ∈ Rn+1| ∑

i=1..n+1

(xi)2 = 1

, x+ = (1, x1, .., xn), x− = (−1, x1, .., xn) (1.1.6)

1Michel A. Kervaire, A manifold which does not admit any dierentiable structure Comment. Math. Helv.34 (1960), pp. 257-270.


Podemos então definir o seguinte Atlante com duas vizinhanças de coordenadasA = (ϕ+, U+), (ϕ−, U−) :

U+ = Sn r x− e U− = Sn r x+ (1.1.7)

ϕ+ : U+ 3 (x0, x1, .., xn) −→ 11 + x0

(x1, .., xn)∈ Rn (1.1.8)

ϕ− : U− 3 (x0, x1, .., xn) −→ 11− x0

(x1, .., xn)∈ Rn (1.1.9)

As funções de transição são:

ϕ+− = ϕ−+ : Rn r 0 3 y −→ y|y|2 ∈ Rn r 0 (1.1.10)

Espaço projetivo Real RPn

definimos o espaço projectivo real de dimensão n o espaço obtido a partir da Rn+1 eda seguinte relação de equivalência:

x ∼ y⇐⇒ y ∈ Rx

Chamamos então espaço projectivo real de dimensãon o espaço

RPn =(

Rn+1r 0) ∼ (1.1.11)

e designando com o nome de coordenadas homogeneas as [x0 : x1 : .. : xn] queindicam a classe de equivalância de x ∈ Rn+1 em RPn.

As [x0 : x1 : .. : xn] não podem ser todas nulas, portanto podemos considerar oseguinte atlante A = (Ui, ϕi) com:

Ui =[x0, .., xn] ∈ RPn| xi 6= 0

(1.1.12)

ϕi : Ui 3 [x0, .., xi−1, xi, xi+1, .., xn] −→ (x0

xi , ..,xi−1

xi ,xi+1

xi , ..,xn

xi ) ∈ Rn (1.1.13)

1.2 Aplicações entre variedades

Seja f : W −→ R uma função definida sobre W ⊂ M subconjunto de uma variedadediferenciável M de dimensão m. Por cada vizinhanças de coordenada U tal que U ∩W 6= Ø resulta definida uma aplicação:

f : Rm ⊃ ϕ(U∩W) 3 ϕ(p) −→ f (p) =(

f ϕ−1)(p) = f

(x1(p), ..., xm(p)

)∈ f (W) ⊂ R

(1.2.1)

Definição 14. Dizemos que f : W −→ R definida sobre W ⊂ M subconjunto de umavariedade diferenciável M é da classe C∞ se f =

(f ϕ−1) é uma função C∞ por cada

vizinhaças de coordenadas (Uα, ϕα).

Como no caso de R procedimos na definição das aplicações C∞ no caso geral coma seguinte definição:


Figura 1.2.1:

Definição 15. Sejam M e N dois variedades C∞-diferenciáveis com Atlantes AM, AN,então F : M −→ N diz-se uma aplicação C∞ se por cada p ∈ W ⊂ M existe umavizinhança de coordenadas (U, ϕ) ∈ AM de p e uma vizinhança (V, ψ) ∈ AN de F (p)com F(U) ⊂ V tal que

ψ F ϕ−1 : ϕ(U) −→ ψ(V) é C∞ (1.2.2)

Para ser mais claros podemos dizer que F|U : U ⊂ M −→ V ⊂ N pode ser escritaem coordenadas locais como aplicação entre ϕ(U) e ψ(V) como

F(

x1, x2, ..., xm)=(

f 1(

x1, x2, ..., xm)

, ..., f n(

x1, x2, ..., xm))

(1.2.3)

onde cada yi = f i (x1, x2, ..., xn) é C∞sobre ϕ(U).

Definição 16. Seja F : M −→ N uma applicação entre dois variedade C∞-diferenciáveisM e N , então F diz-se um difeomorfismo se:

(i) é um homeomorfismo(ii) F−1 é uma aplicação C∞

1.3 Caraterística de uma aplicação, imersões, submersõese mergulhos

Seja F : M −→ N diz-se uma aplicação C∞. Sejam (U, ϕ) uma vizinhaça de coordenadasde p e (V, ψ) uma vizinhança de coordenadas de F (p) com F(U) ⊂ V então resultadefinida a aplicação:


F = ψ F ϕ−1 : ϕ(U) ⊂ Rm −→ ψ(V) ⊂ Rn (1.3.1)

Definição 17. Chamamos de caraterística da aplicação F indicada por rank (F) no pontop a caraterística de F = ψ F ϕ−1.

Portanto considerando em coordenadas locais que

F(

x1, x2, ..., xm)=(

f 1(

x1, x2, ..., xm)

, ..., f n(

x1, x2, ..., xm))

(1.3.2)

a caraterística no ponto a = ϕ(p) ∈ Rm é dada dà caraterística da matriz Jacobianano ponto a:

DF (ϕ(p)) =(

∂ f i

∂xj

)x=ϕ(p)

=

∂ f 1

∂x1∂ f 1

∂x1 . . . ∂ f 1

∂x1

∂ f 2

∂x1∂ f 2

∂x2 . . . ∂ f 2

∂xm

...... . . . ...

∂ f n

∂xm∂ f n

∂xm . . . ∂ f n

∂xm

x=a

(1.3.3)

Observação 18. Se F : M −→ N com m = dim (M) e n = dim (N) e k = rank (F) porcada ponto p ∈ M então existem (U, ϕ) uma vizinhaça de coordenadas de p e (V, ψ)uma vizinhança de coordenadas de F (p) com F(U) ⊂ V tal que ϕ(p) = (0, ..., 0),ψ(F(p)) = (0, ..., 0) e F = ψ F ϕ−1 é dada por:

F(

x1, x2, ..., xm)=(

x1, ..., xk, 0, ..., 0)

(1.3.4)

e ainda podemos supor ϕ(U) = Cnε (0) e ϕ(U) = Cn

ε (0) com o mesmo ε > 0.

Definição 19. Seja F : M −→ N uma aplicação entre dois variedade C∞-diferenciáveism = dim (M) e n = dim (N) , então F diz-se uma:

(i) imersão se rank(F) = m = dim (M)(ii) submersão se rank(F) = n = dim (N)

Facto 20. Se F for uma imersão injectiva de M em N então existe única topologia e estruturaC∞-diferenciável tal que M = F (M) pode ser considerada uma variedade com F : M −→ Mdifeomorfismo. A variedade M com essa topologia e estrutura é chamada de subvariedadeimersa.

Observação 21. Uma imersão não é necessariamente um homeomorfismo entre varieda-des, por exemplo F : R 3 t −→ (cos 2πt, sin 2πt) ∈ R2 tem caraterística 1 e portantoé uma imersão, mas M = R é uma variedade não compacta no enquanto F (M) = S1

com a topologia induzida como subespaço de R2 é compacta e portanto F não é umhomeomorfismo. Também a injectividade não é suficiente para que F seja um homeo-morfismo. Um exemplo pode ser representado dà aplicação:

F (t) =

(1t , sin πt

)por 1 ≤ t < ∞

(0, t + 2) por −∞ < t ≤ 1(1.3.5)

Definição 22. Seja F : M −→ N uma aplicação entre dois variedade C∞-diferenciáveis,então F diz-se um mergulho se:

(i) é uma imersão injectiva;(ii) F é um homeomorfismo entre M e F(M) com a topologia de subespaço induzida

da N.A variedade M = F(M) é chamada de subvariedade mergulhada.


Observação 23. Cada imersão é localmente um mergulho. Portanto se F : M −→ Né uma imersão, cada p ∈ M tem uma vizinhança de coordenadas tal que F|U é ummergulho de U em M.

1.4 Definições e propriedades das subvariedades

Na secção precedente introduzimos as noções de subvariedade imersa e subvariedade mer-gulhada. A distinção fundamental entre as duas noções é se a imagem F(M) ⊂ N é umavariedade pela topologia de subespaço de N.

Definição 24. Um subconjunto S de uma variedade C∞-diferenciável M tem a proprie-dade de s-subvariedade se por cada p ∈ S existe uma vizinhança de coordenadas (U, ϕ)em M tal que:

(i) ϕ(p) = (0, 0, ..., 0);(ii) ϕ(U) = Cm

ε (0);(iii) ϕ(U ∩ S) =

x ∈ Cm

ε (0)| xs+1 = ... = xm = 0

.

Lema 25. Seja S ⊂ M um subconjunto com propriedade de s-subvariedade. Então S comatopologia de subespaço de M é uma subvariedade topologica de dimensão s e cada vizinhança decoordenadas (U, ϕ) em M define uma vizinhança de coordenadas (V, ϕ) em S com V = U ∩ Se ϕ = π ϕ|V onde π : Rm → Rs é a projecção nas primeiras s coordenadas.

Observação 26. Estas coordenadas são C∞-compatíveis e constituem uma estrutura C∞-diferenciável tal que a inclusão i : S −→ M é um mergulho.

Definição 27. Uma subvariedade regular S de uma variedade C∞-diferenciável M é umqualquer subconjunto com a propriedade de s-subvariedade com a estrutura C∞-diferenciávelque coresponde às coordenadas preferidas.

Teorema 28. Se F : M −→ N é uma imersão injectiva e M é compacto então F é um mergulhoe M = F(M) é uma subavariedade regular.

Demonstração. Dimostração

Teorema 29. Seja F : M −→ N uma aplicação C∞ entre variedade C∞-diferenciáveis. Se acaraterística de F é constante e igual a k para todos os p ∈ M e q ∈ N, então F−1 (q) é umasubvariedade regular, fechada de M de dimensão m− k.

Corolário 30. Se F : M −→ N uma aplicação C∞ entre variedade C∞-diferenciáveis,dim M = m ≥ n = dim N e se a caraterística de F é igual a m por cada ponto de A = F−1 (a), então A é fechada e é uma subvariedade regular de M.

Exemplo 31. Consideramos a aplicação F : R3 → R assim definida F(x1, x2, x3) =(x1)2

+(x2)2

+(x3)2. A aplicação F é C∞sobre o aberto U = R3 r 0 com carate-

rística constante igual a 1, portanto F−1(1) = S2 é uma subvariedade de dimensão2.


1.5 Curvas sobre uma variedade

1.5.1 Conexaõ topologica

1.5.2 Classes de homotopia

1.5.3 Grupo Fundamental de uma Variedade

1.5.4 Recobrimento Universal

Capítulo 2

Grupos de Lie

Os Grupos de Lie são variedades diferenciáveis onde a estrutura de grupo é compatí-vel com a estrutura de varidade diferencíavel. Essa noção torna-se crucial em muitasáreas da Geometria e da Física contemporanea especialmente pela existência de umacorrespondência local entre Grupos de Lie e Álgebras de Lie. Essas Álgebras são defi-nidas sobre espaços vetoriais e portanto a corrispondência entre Grupos de Lie e Álge-bras de Lie permite localmente de trocar numa vizinhança da identidade o estudo deestruturas muito complexas com o estudo de espaços vetoriais.

Nesse capítulo iremos apresentar os Grupos de Lie apresentando simplesmente asdefinições, os exemplos e os teoremas mais importantes. Sucessivamente nos capítulos7 e 8 iremos apresentar as Álgebras de Lie associadas a um Grupo e portanto iremosapreciar as propriedades que esses estruturas têm.

2.1 Definições

Em álgebra um Grupo(G, ·) é um conjunto G com uma operação de multiplicação quesatisfaz as seguintes propriedades:

(FECHADURA) g · h ∈ G ∀g, h ∈ G (2.1.1)(NEUTRO) ∃e ∈ G : e · g = g · e = g ∀g ∈ G (2.1.2)

(INVERSO) ∀g ∈ G ∃g−1 ∈ G : g−1 · g = g · g−1 = e (2.1.3)

Definição 32. (SUB-GRUPO) Sejam (G, ·) e (H, ·) dois grupos então H diz-se sub-grupode G e indica-se H < G se por cada h ∈ H, então h ∈ G. Ademais se por cadag ∈ G =⇒ gh ∈ H então o grupo H diz-se sub-grupo normal de G e indica-se H C G.

As aplicações que preservam a estrutura de grupo são chamadas de homomorfis-mos.

Definição 33. (HOMORFISMO) Sejam (G, ·) e (H, ∗) dois grupos então ρ : G −→ Hdiz-se homorfismo de grupos se ρ(g1 · g2) = ρ(g1) ∗ ρ(g2) por cada g1, g2 ∈ G

E o núcleo de um homomorfismo indicado com o termo inglês kernel é um sub-grupo do Grupo de orígem.

Teorema 34. Seja ρ : G −→ H um homomorfismo entre os grupos G e H, então ker ρ :=g ∈ G | ρ (g) = idH < G

9

CAPÍTULO 2. GRUPOS DE LIE 10

2.1.1 Grupos Topológicos

Definição 35. Seja (G, ·) um grupo, uma topologia τG ⊂ ℘(G) diz-se compatível com aestrutura de grupo se as aplicações

G× G 3 m (g, h) −→ g · h ∈ G (2.1.4)

G 3 l (g) −→ g−1 ∈ G (2.1.5)

são aplicações continuas com a topologia τG e a topologia produto sobre G× G.Um grupo (G, ·) com uma topologia τG compatível com a estrutura de grupo diz-se

Grupo Topológico.

Exemplo 36. (GL (n, R) , ·) i.e. o Grupo de Matrizes invertíveis de Rn é um Grupocom a operação de multiplicação matrizal ordinária. Ademais é um Grupo Topológicosendo localmente isomorfo a Rn×n e dado que a inversão e a multiplicação são fun-ções polinomiais. Portanto considerando a representação matricial dos elementos deGL (n, R) temos o homeorfismo

GL (n, R) 3

x1

1 x12 · · · x1

nx2

1 x22 . . . x2

n...

... . . . ...xn

1 xn2 . . . xn

n

inc−→(

x11, · · · , x1

n, x21, · · · , x2

n, · · · , xn1 · · · xn

n)∈ Rn

(2.1.6)E tomando sobre GL (n, R) a topologia ordinária de que torna o homeorfismo uma

aplicação continua, obtemos que também a multiplicação entre elementos de GL (n, R)e a inversão são aplicações continuas e portanto o Grupo é um Grupo Topológico.

2.1.2 Grupos de Lie

Definição 37. (GRUPO DE LIE) Seja G uma variedade C∞-diferenciável e seja também(G, ·) um grupo, se as aplicações

G× G 3 m (g, h) −→ g · h ∈ G (2.1.7)

G 3 l (g) −→ g−1 ∈ G (2.1.8)

são aplicações C∞diferenciáveis então o grupo G chama-se de Grupo de Lie.

A importância dessa definição reside na possibilidade de preservar a estrutura degrupo e também a estrutura diferenciável da variedade no mesmo tempo.

Um teorema muito importante de Montgomery e Zippin demonstrado no 1952 erelacionado com o 5º problema de Hilbert afirma que nos grupos de Lie a noção devariedade topologica e de variedade diferenciável são equivalentes. Na verdade temoso seguinte:

Teorema 38. (MONTGOMERY E ZIPPIN) Seja G grupo Topológico localmente homeomorfo aRn, então G é um grupo de Lie.

Observação 39. Esse teorema implica que para que G seja um Grupo de Lie só é precisoverificar a continuidade da multiplicação e da inversão para automaticamente obterque sejam C∞diferenciáveis.


2.2 Alguns teoremas e algumas definiçoes importantes

Nessa secção iremos apresentar alguns resultados úteis mas que não iremos demons-trar além de algumas definições.

Teorema 40. (CLOSED SUBGROUP THEOREM) Seja G grupo de Lie e H sub-grupo fechadode G =⇒H é um subgrupo de Lie.

Observação 41. Esse teorema que também é conhecido como Teorema de Cartan é muitoútil na pratica. Por exemplo podemos demonstrar facilmente que SL (n, R) = A ∈ GL (n, R) | det (A) = 1é um grupo de Lie dado que é um subgrupo fechado de GL(n, R) que claramente é umGrupo de Lie sendo um Grupo Topológico e localmente homeomorfo a Rn×n. Simil-mente podemos demonstrar que O (n) ou U (n) são Grupos de Lie.

Teorema 42. Seja G um grupo de Lie então as aplicações:

(TRASLAÇÃO ESQUERDA) Lg : G 3 h −→ Lg (h) = g · h ∈ G (2.2.1)(TRASLAÇÃO DIREITA) Rg : G 3 h −→ Rg (h) = h · g ∈ G (2.2.2)

(ADJUNTA) Adg : G 3 h −→ Adg (h) = g · h · g−1 ∈ G (2.2.3)

definidas por cada g ∈ G são diffeomorfismos de G em si mesmo.

Embora a prova desse teorema seja de imediata derivação das definições, todaviaisso será muito importante porque permiterá de encontrar um difeomorfismo entre osespaços tangentes da variedade diferenciável G e portanto permiterá encontrar umabase canónica pelo espaço tangente definida sobre a variedade toda.

Algumas propriedades imediatas dessas aplicações serão utéis nos capítulos se-guintes: (

Lg)−1

= Lg−1 (2.2.4)(Rg)−1

= Rg−1 (2.2.5)(Adg

)−1= Adg−1 (2.2.6)

Lg Rg−1 = Adg = Rg−1 Lg (2.2.7)

La Lb = Lab (2.2.8)Ra Rb = Rba (2.2.9)

Ada Adb = Adab (2.2.10)

Por cada g em G a aplicação Adg é um automorfismo de G. Resulterá portantomuito útil considerar a aplicação adjunta que por cada elemento g ∈ G associa umautomorfismo de G

ad : G 3 g −→ Adg ∈ Aut(G) (2.2.11)

A importância dessa aplicação resulterá clara nos capítulos 7 e 8 relativos às Álge-bras de Lie e às representações dessas Álgebras.

Definição 43. (CENTRO DO GRUPO) Seja G um Grupo de Lie e seja ad a aplicação ad-junta ad : G 3 g −→ Adg ∈ Aut(G), então o núcleo ker ad = g ∈ G | gh = hg ∀h ∈ Gé também chamado de centro do Grupo G e indicado como Z (G).

Observação 44. O Centro Z (G) do Grupo de Lie G é um sub-grupo normal de G sendoo núcleo de um homomorfismo entre grupos e sendo gZ (G) = Z (G) g = Z (G) C G.


Definição 45. (HOMOMORFISMOS DE GRUPOS DE LIE) Sejam G, H grupos de Lie, entãoϕ : G −→ H diz-se homomorfismos de grupos de Lie se ϕ é um homorfismo de grupos eC∞diferenciável

Observação 46. Na verdade por um teorema relacionado com o teorema de Montgomery-Zippin é suficiente demonstrar que ϕ é continua i.e. C0 para obter que seja um homo-morfismo de grupos de Lie.

Enfim temos o último teorema que embora simples na demonstração resulterá muitoútil:

Teorema 47. Sejam G, H grupos de Lie e ϕ : G −→ H um homomorfismo de grupos de Lie,então:

(i) ker (ϕ) ⊂ G é um grupo de Lie(ii) Im (ϕ) ⊂ H é um grupo de Lie

2.3 Exemplos de Grupos de Lie Lineares e não Lineares

A maioria dos Grupos que iremos apresentar são sub-grupos de GL (n, K) com K =R, C onde a condição que caratériza o subgrupo é uma equação matricial. Por-tanto pode ser útil demonstrar que se formos em dimensão n < ∞ um sub-grupo deGL (n, K) definido através uma equação matricial é fechado.

Proposição 48. Seja p (x1, .., xn2) ∈ K [x1, .., xn2 ], seja H < GL (n, K) um sub-grupo defi-nido por

A ∈ GL (n, K) | p (A) = 0 (2.3.1)

então H é um sub-grupo de Lie

Demonstração. Pelo teorema de Cartán (i.e. que cada subgrupo fechado de um Grupode Lie é um subgrupo de Lie), é suficiente provar que H é fechado e consequentementeH será um Grupo de Lie. Portanto só precisamos provar que GL (n, K) r H é umaperto de GL (n, K) com a topológia ordinária introduzida no início do capítulo atrávesdo homorfismo de inclusão de GL (n, K) em Kn2

. Mas o polinómio p(x1, .., xn2) :Kn2 −→ K é uma função continua e portanto por a preimagem p(Kn2 r 0)−1 =GL (n, K)r H é um aberto em GL (n, K).

2.3.1 GL (n, R) e SL (n, R)

2.3.2 O (n) , SO (n) e SO (p, q)

2.3.3 U (n) , SU (n) e SU (p, q)

2.3.4 Sp (n) e Sp (p, q)

2.3.5 O Grupo de Heisenberg e um Grupo de Lie não linear

Nesse contexto apresentamos o Grupo de Heisenberg para ilustrar um Grupo de Lieque não seja linear.

H =

1 x z

0 1 y0 0 1

: x, y, z ∈ R

(2.3.2)


Γ =

1 0 n

0 1 00 0 1

: x, y, z ∈ R

(2.3.3)

2.3.6 O Grupo de Spin de dimensão 2, 3, 4, 5, 6

2.4 Caraterísticas Topológicas de alguns grupos matrici-ais

Gruppo Definizione Dim R Comp π0 (G) π1 (G)

GL(n, R) det(A) 6= 0 n2 Z2 Z2SL(n, R) det(A) = 1 n2 − 1 1 Z2

O(n, R) At A = I n(n−1)2 X Z2 Z2

SO(n, R) At A = I, det(A) = 1 n(n−1)2 X 1 Z2

Sp(n, R) At JA = J n(n+1)2 , n pari 1 Z

U(n, C) At A = I n2 1 Z

SU(n, C) At A = I, det(A) = 1 n2 − 1 1 1Sp(n, C) At JA = J n(n + 1) , n pari 1GL(n, C) det(A) 6= 0 1 Z

SL(n, C) det(A) = 1 1 1O(n, C) At A = I n(n + 1) Z2 Z2

SO(n, C) At A = I, det(A) = 1 n(n + 1) 1 Z2

2.5 Isomorfismos classicos entre Grupos de Lie

Lista di isomorfismi canonici fra i Guppi Classici:

Dimensione Gruppi Isomorfi3 SO(3, R) ∼= SU(2, C) ∼= U(1, Q) ∼= SL(1, Q)3 SO(2, 1, R) ∼= SU(1, 1, C) ∼= Sp(2, R) ∼= SL(2, R)6 SO(4, R) ∼= SU(2, C)⊗ SU(2, C)6 SO(3, 1, R) ∼= SU(2, C)6 SO(2, 2, R) ∼= SL(2, R)⊗ SL(2, R)

10 SO(5, R) ∼= USp(4, C)10 SO(4, 1, R) ∼= USp(2, 2, C)10 SO(3, 2, R) ∼= Sp(4, R)

Capítulo 3

Fibrado Tangente e Fibrado Cotagente

Nesse capítulo apresenteremos os fibrados que representam o hambiente onde iremosdesenvolver a maioria da nossa teoria geometrica. Em muitos textos essa noção é apre-sentada no final depois de tiver desenvolvido completamente toda a teoria. Todavianos parece que com pouco esforço seja possível introduzir direitamente no començoessas ferramentas e apresentar direitamente uma teoria completa. Portanto nesse ca-pítulo iremos apresentar as definições do fibrado Topológico e fibrado diferenciável.Depois iremos aprsentar a noção de vetor, de espaço vetorial num ponto de uma vari-edade e do fibrado tangente como a colecção dos espaços tangentes organizados numaestrutura de fibrado.

3.1 Definições

Definição 49. Um fibrado diferenciável é um terno ξ = (E, π, M)

Ey π

M

(3.1.1)

Onde E e M são uma variedades diferenciáveis eπ uma aplicação surjetiva e dife-renciável de E em M.

E é chamado de espaço total;M é chamada de base do fibrado;π é chamada de projecção do fibrado sobre a base;por cada p ∈ M então Fp = π−1 p é chamada de fibra no ponto p.

Observação 50. O fibrado diferenciável é uma generalização do produto cartesiano. Defacto (M× F, π, M) onde π : M × F −→ M é a projecção canónica nas primeirascoordenadas é um caso especial de fibrado chamado de fibrado trivial.

Definição 51. Um fibrado diferenciável ξ = (E, π, M) diz-se localmente trivial se as fibrasF são variedades diferenciáveis e se por cada ponto p ∈ M existem cartas de trivialização

14

CAPÍTULO 3. FIBRADO TANGENTE E FIBRADO COTAGENTE 15

(Uα, ϕα) tale que o seguinte diagrama seja comutativo:

E ⊃ π−1 (U)π×ϕα−→ U × F

π

y

U

(3.1.2)

onde πU é a projecção canónica do produto cartesiano nas coordenadas de U.Um atlante de trivialização Aξ é uma colecção de cartas de trivialização (Uα, ϕα) tal

que por cada p ∈ M existe uma vizinhança Uα tal que

ϕα : E|Uα 3 p −→ (π (p) , ϕα (p)) ∈ Uα × F (3.1.3)

Essas definições são as definições necessaria para pensar localmente E como umproduto cartesiano entre variedades diferenciáveis.

Definição 52. Seja (E, π, M) um fibrado diferenciável, diz-se secção uma aplicação σ :M→ E tal que

π σ ≡ idM (3.1.4)

Observação 53. Uma secção leva pontos p ∈ M em pontos p ∈ E que pertencem àmesma fibra Fp. Portanto as secções de um fibrado podem ser pensadas como umaferramenta para extendir a noção das funções dao espaço base à fibra. Por exemplono caso do fibrado trivial onde (M× F, π, M) onde π : M × F −→ M é a projecçãocanónica, há uma corrispondência biounivoca entre as funções s : M→ F e as secçõesdado que por cada s : M→ F podemos definir a secção

σ : M 3 p −→ (p, s (p)) ∈ M× F (3.1.5)

E por cada secção σ : M −→ M × F podemos definir s como as coordenadas doponto p na fibra Fp.

Definição 54. Sejam ξ = (E, π, M) e ξ ′ = (E′, π′, M′) dois fibrados chama-se de mor-fismo entre fibrados o dado (u, f )

E u−→ E′

π

yy π′

Mf−→ N

(3.1.6)

ondeπ′ u = F π (3.1.7)

Observação 55. Se (u, f ) são invertíveis então o morfismo é um isomorfismo entre fibra-dos.

E u←→u−1

E′

π

yy π′

Mf←→

f−1N

(3.1.8)

No fibrado localmente trivial as cartas de trivialização representam isomorfismoslocais entre o fibrado e o produto cartesiano entre a variedade da base M e a fibra F.


Definição 56. Um fibrado ξ = (E, π, M) diz-se trivial se existe um isomorfismo entre ξe o produto cartesiano ξtr = (M× F, π, M)

Um caso especifico de fibrado que será muito útil nas secções seguintes é o casoonde a fibra F possue uma estrutura de espaço vetorial, nesse caso o fibrado chama-sede fibrado vetorial.

Definição 57. Um fibrado ξ = (E, π, M) cuja fibra F tem estrutura de espaço vetorialde dimensão n compatível com a estrutura diferenciável (i.e. onde as operações deadição e multiplicação por escalar são diferenciáveis) diz-se fibrato vetorial.

Observação 58. Cada fibrado vetorial é localmente trivial com fibra Rn

3.2 Vetores, Fibrado tangente e Push Forward

No capítulo 1 introduzimos três definições equivalentes de vetor e de espaço tangentenum ponto de Rn. Agora iremos generalizar essas noções partendo dà terceira defi-nição relativa ao espaço tangente como o do espaço das derivações no ponto. Nessadefinição um vetor era definido como uma aplicação Xa que dado um a ∈ Rn levavafunções C∞ (a) no campo escalar R. Todavia para que seja possível proceder na ge-neralização é preciso explicar o que é que é entendido para as funções C∞ (p) dadoque p ∈ M. Portanto para fazer isso consideramos o espaço de todas as funções C∞

diferenciáveis que são definidas numa vizinhança de p identificando todas as funçõesque coincidem em todas as vizinhanças de p.

Entre esse espaço C∞ (p), chamado espaço dos germes de funções em p, e o espaçodas funções reais no ponto ϕ (p) i.e. C∞ (ϕ (p)), há uma corrispondência biounivoca:

C∞ (ϕ (p)) 3 f −→ ( f ϕ) ∈ C∞ (p) (3.2.1)

3.2.1 Vetores e espaço tangente num ponto

Definição 59. Seja M uma variedade C∞diferenciável e seja p ∈ M, então diz-se espaçotangente em p indicado com TpM o espaço vetorial sobre R formado da todas as funçõesXp : C∞ (p) −→ R tal que satisfazem as seguintes condições ∀ f , g ∈ C∞ (p) e ∀α, β ∈R:

(LINEARIDADE) Xp(α f + βg) = αXp( f ) + βXp(g) (3.2.2)(REGRA DE LEIBNIZ) Xp( f g) = Xp( f )g + f Xp(g) (3.2.3)

e com as operações de espaço vetorial assim definidas:

(ADIÇÃO)(Xp+Yp

)f := Xp( f ) + Yp( f ) (3.2.4)

(MULT. POR ESCALAR)(αXp

)f := αXp( f ) + Yp( f ) (3.2.5)

Observação 60. A definição precedente é efectivamente bem definida e extende a noçãode espaço tangente. As demonstrações, embora relativas a C∞ (p) com p ∈ M, são asmesmas demonstrações feitas no primeiro capítulo.

Definição 61. Uma função Xp : C∞ (p) −→ R tal que Xp ∈ Tp (M) é chamado vetor.


3.2.2 Push Forward e a Base Canónica do Espaço Tangente

Definição 62. Sejam M, N variedades C∞diferenciáveis e seja F : M −→ N uma apli-cação suave entre variedade. Então por cada ponto p ∈ M resulta definida uma apli-cação F∗ : TpM 3 Xp −→ F∗

(Xp)∈ TF(p)N onde

F∗(Xp)( f ) := Xp ( f F) (3.2.6)

O vetor F∗(Xp)∈ TF(p)N diz-se pushforward do vetor Xp em F (p).

Observação 63. As vezes F∗ é chamada de diferential da função F e indicada com dF ouDF. Todavia nós preferimos utilizar a notação de F∗para evitar problemas notacionaiscom a derivada externa e a derivada covariante.

O espaço tangente TpM é um espaço vetorial sobre R, para encontrar uma basecanónica podemos considerar o pushforward dos vetores da base canónica do espaçotangente Tϕ(p) (U) ⊂ Tϕ(p) (R

m). Dado que as cartas no ponto p são invertíveis é defact definida uma ϕ−1 : ϕ (U) ⊂ Rm −→ U ⊂ M e portanto resulta definida umaaplicação

ϕ−1∗ : Tp (R

m) −→ TpM (3.2.7)

Portanto se chamamos de ∂i as derivadas parciais que são a base canónica de Tϕ(p) (Rm)

podemos considerar (∂

∂xi

)p( f ) :=

(ϕ−1∗ (∂i)

)p( f ) (3.2.8)

que, por definição do pushforward de um vetor é(∂

∂xi

)p( f ) :=

(ϕ−1∗ (∂i)

)p( f ) = ∂i

(f ϕ−1

)ϕ(p)

(3.2.9)

Observação 64. Dado um vetor Xp ∈ TpM de coordenadas(ξ1, ..., ξm) na base canónica

o valor do vetor calculado em f ∈ C∞ (p) é

Xp ( f ) =

(m

∑i=1

ξ i(

∂

∂xi

)p

)( f ) =

m

∑i=1

ξ i∂i

(f ϕ−1

)ϕ(p)

(3.2.10)

3.2.3 Fibrado tangente

Agora que definímos o espaço tangente por cada ponto da variedade M o nosso objec-tivo é definir um fibrado que por cada ponto p possua TpM como fibra. Dado que TpMé um espaço vetorial o fibrato tangente que iremos definir será um fibrado vetorial.

Para que isso seja possível é necessario dotar uma estrutura diferenciável à uniãodisjunta dos espaços tangentes

TM :=⊔p∈M

TpM (3.2.11)

a partir dà estrutura diferenciável de M.

Definição 65. Seja M uma variedade suave com atlante AM = (Uα, ϕα), então diz-sefibrado tangente o fibrado vetorial (TM, π, M) onde a projecção

π : TM 3 Xp −→ p ∈ M (3.2.12)


associa cada vetor Xp ∈ TpM ao ponto p ∈ M de aplicação do vetor;e ondeTM é uma variedade suave

TM :=⊔p∈M

TpM (3.2.13)

com atlante ATM =(

π−1 (Uα) , ϕα × ϕα∗)

Observação 66. Na pratica as cartas que permitem de definir uma estrutura diferenciá-vel sobre a união disjunta dos espaços tangentes são as preimagens π−1(U) dos abertosque constituem as vizinhanças dos pontos p ∈ M. As cartas são efectivamente encon-tradas utilizandos as cartas do atlante de M e o pushforward dessas cartas. Supondoque X ∈ TM e que no respeto da base canónica no ponto π (X) ∈ M seja

X =m

∑i=1

ξ i(

∂

∂xi

)π(X)

(3.2.14)

Então a carta de ATM é assim definida ϕα × ϕα∗ : TM −→ R2m

(ϕα × ϕα∗) (X) =(

ϕ1 (π (X)) , ..., ϕm (π (X)) , ξ1, ..., ξm)

(3.2.15)

3.3 Formas, Pull Back e Fibrado Cotangente

Sendo o espaço tangente num ponto p de uma variedade diferenciável M um espaçovetorial resulta interessante estudar o dual desse espaço vetorial. Na Apêndice A.3falámos dos principais resultados relativos ao espaço dual que serão fundamentaispor o desenvolvimento do discurso sobre o espaço cotangente (existência do espaçodual, base canónica do espaço dual e a existência do espaço bidual).

Em toda a secção iremos supor que os espaços vetoriais introduzidos sejam todosde dimensão finidas.

3.3.1 Covetores e espaço cotangente num ponto

Definição 67. (DUAL DE UM ESPAÇO VETORIAL) Seja V um espaço vetorial sobre umcampo K. Chamamos de espaço dual V∗ o espaço Hom(V, K) ou seja o espaço dasaplicações lineares da o espaço vetorial V e o campo escalar K.

f : V −→ K (3.3.1)

Tais aplicações lineares com valores no campo escalar são também chamadas deformas lineares como de funcionais lineares ou covetores.

Definição 68. (ESPAÇO COTANGENTE) Seja M variedade diferenciável, p ∈ M e TpM oespaço tangente da variedade diferenciável no ponto p. Então o espaço dual do espaçotangente no ponto

(TpM

)∗ é chamado de espaço cotangente no ponto p e indicado com osímbolo T∗p M.

Os elementos do espaço cotangente T∗p M são chamados de covetores ou formaslineares e indicados por

σp : TpM ∈ Xp −→ σp(Xp)∈ R (3.3.2)


3.3.2 Pull back de uma forma linear e Base canónica

A partir do Push-Forward de uma aplicação entre variedades é possível definir umaaplicação entre os espaço cotangentes da variedades.

Definição 69. (PULL-BACK) Sejam M, N variedades C∞diferenciáveis e seja F : M −→N uma aplicação suave entre variedade. Então por cada ponto p ∈ M resulta definidauma aplicação F∗ : T∗F(p)N 3 σF(p) −→ F∗

(σp)∈ T∗p M onde

F∗(

σF(p)

) (Xp)

:= σF(p)(

F∗(Xp))

(3.3.3)

O covetor ou forma linear F∗(

σF(p)

)∈ T∗p M diz-se pullback do covetor σF(p).

A existência de uma base canónica no espaço tangente implica a existência de umabase canónica no espaço cotangente também.

Definição 70. Seja eii=1..n a base canónica do espaço tangente TpM, então chamamosde base canõnica do espaço cotangente T∗p M a única base sobre o espaço cotangente talque

ωi (ej)= δi

j (3.3.4)

3.3.3 Fibrado cotangente

Similmente ao fibrado tangente é possível definir um fibrado cotangente partendo dàestrutura diferenciável de M. No caso de fibrados vetoriais é possível definir um fi-brado dual formado associando a cada ponto o espaço dual da fibra do fibrado origi-nal. Portanto é possível definendo o fibrado cotangente como o fibrado dual do fibradotangente ou também é possível definir direitamente o fibrado cotangente apresentandoa direitamente a estrutura de fibrado como nesse caso:

Definição 71. (FIBRADO COTANGENTE) Seja M uma variedade suave com atlante AM =(Uα, ϕα), então diz-se fibrado cotangente o fibrado vetorial (T∗M, π, M) onde a pro-jecção

π : T∗M 3 σp −→ p ∈ M (3.3.5)

associa cada covetor σp ∈ T∗p M ao ponto p ∈ M de aplicação do vetor;e ondeT∗M é uma variedade suave com

T∗M :=⊔p∈M

T∗p M (3.3.6)

com atlante AT∗M =(

π−1 (Uα) , ϕα ×(

ϕ−1α

)∗)

Capítulo 4

Campos vettoriais

No capítulo 1 vimos a importância dos campos vetoriais em Rn. Nesse contexto umcampo vetorial X era uma aplicação que associava a cada ponto p ∈ U um vetor Xp ∈Tp(U) i.e.:

X : Rn ⊃ U 3 p −→ Xp ∈ Tp(U) (4.0.1)

Em Rn muitas coisas são simplificadas sendo Tp(U) ∼= Rn por cada p ∈ U e por-tando sendo possível comparar vetores entre pontos distintos da variedade Rn. Ana-lisando mais no detalho Rn podemos notar qual é a sequência dos elementos que sim-plificam as coisas em Rn e que gostariamos de extendir e generalizar:

1. Difeomorfismo canónico entre pontos: em Rn por cada ponto p existe um difeomor-fismo canónico entre p e a origem de Rn dado simplesmente pela translaçãoθp :Rn ⊃ U 3 x −→ x + p ∈ V ⊂ Rn. Essa translação forma um grupo de difeomor-fismos dependentes da um parametro p ∈ Rn sendo

θe = x (4.0.2)θp θp = x + p + q = θp+q (4.0.3)(θp)−1

= θ−p (4.0.4)

2. Difeomorfismo induzido sobre os espaços tangentes: os difeomorfismos θp induzemmapas lineares θp∗ : Te (U) −→ Tp (V) que permitem de comparar vetores deTe (U) com vetores de Tp (V) por cada p ∈ V ⊂ Rn (ademais no caso especificoθp∗ ≡ id)

3. Álgebra sobre o espaço tangente: temos uma álgebra sobre o espaço tangente que nospermite -além dá adicão e multiplicação por escalar comum a todos os espaçosvetoriais - de multiplicar vetores com um produto externo.

Esses elementos serão os elementos básicos que tenteremos de generalizar no caso devariedades gerais. As coisas serão perfeitamente realizadas no caso especial de varie-dades que sejam também Grupos de Lie. Portanto iremos ver que cada Grupo de Liepossue uma serie de difeomorfismos canónicos que permitem de induzir difeomor-fismos entre os espaços tangentes que no caso especifico possuem uma estrutura deÁlgebra de Lie.

4.1 Campos vetoriais sobre o fibrado tangente

Para extendir o conceito de campo vetorial, utilizamos a noção de secção de um fi-brado. De facto uma secção de um fibrado é uma aplicação que por cada ponto da

20

CAPÍTULO 4. CAMPOS VETTORIAIS 21

base do fibrado p ∈ M associa um ponto do fibrado que pertenece à fibra de p i.e.:σ (p) ∈ π−1 (p). Onde por π−1 (p) intendemos a pre-imagem de psegundo aaplicação π. No caso do fibrado tangente, isso quer dizer que uma secção é uma apli-cação

σ : M 3 p −→ σ (p) ∈ TpM ⊂ TM (4.1.1)

E particular M e TM são variedades diferenciáveis e portanto resulta definida anoção de secção suave.

Definição 72. (CAMPO VETORIAL) Seja M uma variedade e seja ξtan = (TM, π, M) ofibrado tangente sobre a variedade M, então diz-se um campo vetorial sobre M umasecção σ : M −→ TM i.e.: uma aplicação σ

TM

π

yx σ

M

(4.1.2)

tal que π σ ≡ idM.

O conjunto dos campos vetoriais sobre uma variedade M indica-se como Γ (TM)ou X (M).

4.2 O modulo Γ (TM) dos campos vetoriais

Dada a precedente definição de campos vetoriais podemos identificar o conjunto de to-dos os campos vetoriais X (M) com o conjunto de todas as secções do fibrado tangenteΓ (TM) i.e.:

Γ (TM) = σ : M −→ TM | π σ = idM ≡ X (M) (4.2.1)

Sobre esse conjunto podemos definir duas operações para que atribuirmos umaestrutura álgebrica.

(ADIÇÃO) + : Γ (TM)× Γ (TM) −→ Γ (TM) (4.2.2)(MULT. ESCALAR) · : C∞ (M)× Γ (TM) −→ Γ (TM) (4.2.3)

onde por cada p ∈ M temos

(σ + τ) (p) = σ (p) + τ (p) (4.2.4)( f · σ) (p) = f (p) σ (p) (4.2.5)

Observação 73. O anel C∞ (M) não é um campo e em particular não é um anel de divisão,portanto não é possível estabelecer uma estrutura de espaço vetorial sobre Γ (TM) comanel de base C∞ (M), mas só de modúlo (cfr. Apêndice A.1). Na verdade sobre Γ (TM)pode também ser definidas uma estrutura de espaço vetorial sobre o campo escalar R,mas nesse caso dimR Γ (TM) = ∞

Proposição 74. (Γ (TM) ,+, ·) onde as operações são as operacões definidas precedentementeé um modúlo sobre C∞ (M)


Demonstração. A fechadura de Γ (TM) no respeito de +, · é evidente. Similmente aspropriedades listadas na Apêndice A.1 são facilmente verificadas. Por exemplos veri-ficamos a linearidade: sejam σ, τ ∈ Γ (TM) e f ,∈ C∞ (M) então

( f · (σ + τ)) (p) = f (p) · (σ + τ) (p) = f (p) · σ (p) + f (p) · τ (p) (4.2.6)

As outras propriedades são verificadas imediatamente na mesma forma.

Observação 75. Dado que não todos os modúlos possuem uma base como no caso dosespaços vetoriais, então não é sempre possível encontrar uma base por Γ (TM). Noscasos em que seja possível o modúlo diz-se livre e a variedade é chamada de paralelizá-vel.

4.3 Variedades Paralelizáveis.

Definição 76. Sejam E1, ..., Ek ∈ Γ (TM) k campos vetoriais sobre M tais que E1 (p) , ..., Ek (p) ∈TpM sejam linearmente indipendentes por cada p ∈ M, então Ei1≤i≤k chama-se decampo de k-referências em M.

Tiver um campo de k-referências com k = dim Tp (M) definida globalmente sobre Mquer dizer que avaliando os campos vetoriais em cada ponto p ∈ M podemos pro-duzir uma base do espaço tangente definida por cada ponto da variedade. Olhandoao mesmo assunto, mas de outra forma, podemos também pensar que esses camposconstituem uma base por o modúlo Γ (TM).

Definição 77. Uma variedade suave M diz-se paralelizável se é possível definir global-mente sobre M um campo de k-referências em M de dimensão k = dim Tp (M)

Exemplo 78. R2 é uma variedade paralelizável. De facto podemos definir

E1 =∂

∂x1 ∈ Γ(

TR2)

(4.3.1)

E2 =∂

∂x2 ∈ Γ(

TR2)

(4.3.2)

São dois campos vetoriais linearmente indipendentes por cada p ∈ M e global-mente definidos. Portanto podemos os utilizar para estabelecer uma base de Γ

(TR2).

De facto por cada X ∈ Γ(TR2) existem ξ1 (p) , ξ2 (p) ∈ C∞ (R2) tais que

X = ξ1 (p) E1 + ξ2 (p) E2 (4.3.3)

Exemplo 79. S2 a esfera é uma variedade não paralelizável. A demonstração foi de-senvolvida por Brouwer no començo do seculo XX. De facto não é possível definirum campo vetorial X ∈ Γ

(TS2) tal que seja definido globalmente e sempre não nulo.

Portanto não é possível encontrar uma base pelo modúlo Γ(TS2) e de consequência a

esfera não é paralelizável. Na verdade todas as esferas não são paralelizáveis com aexcepção de S1, S3, S7.


Exemplo 80. S3 é uma variedade paralelizável.

Considerando S3 =

(x1, x2, x3, x4) | 4

∑i=1

(xi)2

= 1⊂ R4 de facto temos que os

seguintes 3 campos vetoriais

E1 = −x2 ∂

∂x1 + x1 ∂

∂x2 + x4 ∂

∂x3 − x3 ∂

∂x4 ∈ Γ(

TS3)

(4.3.4)

E2 = −x3 ∂

∂x1 − x4 ∂

∂x2 + x1 ∂

∂x3 + x2 ∂

∂x4 ∈ Γ(

TS3)

(4.3.5)

E3 = −x4 ∂

∂x1 + x3 ∂

∂x2 − x2 ∂

∂x3 + x1 ∂

∂x4 ∈ Γ(

TS3)

(4.3.6)

São linearmente indipendentes e é possível demonstrar que constituem uma basepelo espaço tangente por cada ponto p ∈ S3. Portanto S3é uma variedade paralelizável.

4.4 Grupos de um parametro sobre um campo vetorial

4.5 Fluxo e curvas integrais

campi vettoriali completiGruppi di Lie hanno campi vettoriali completicurva integrale

4.6 Campos de covetores o Formas Lineares sobre fibra-dos cotangentes

Γ (TM∗) =: Ω1 (M)

Parte I

A Teoria de Lie

24

Capítulo 5

Álgebras de Lie de um Grupo de Lie

Nesse capítulo iremos introduzir uma estrutura álgebrica que resulterá muito útil naanálise dos Grupos de Lie ou seja a de Álgebra de Lie g de um Grupo de Lie G.

Em primeiro lugar iremos definir essa estrutura como a Álgebra dos campos esquerda-invariantes de um Grupo de Lie, i.e. L (G), fornecido com um produto que é o mesmocomutador dos campos vetoriais [·, ·]. Sucessivamente iremos provar que é possívelfornecer um produto e uma estrutura de Álgebra ao Espaço Tangente do Grupo de Liena identidade do Grupo, i.e. Te (G), tal que é possível definir um isomorfismo de ál-gebras de Lie entre o Espaço Tangente Te (G) e os campos esquerda-invariantes L (G).Portanto iremos demonstrar que é ambivalentemente possível pensar numa Álgebrade Lie g de um Grupo de Lie G como o Espaço Tangente na identidade de um Grupode Lie.

Na parte sucessiva do capítulo iremos encontrar uma aplicação, i.e. a aplicaçãoexponential, que nos perimitirá de encontrar um difeomorfismo local entre as Álgebrasde Lie e os Grupos de Lie. A importância desse resultado reside no facto que o estudodas Álgebras de Lie é em geral muito mais simples do estudo dos Grupos de Lie sendoas Álgebras de Lie espaços vetoriais cujo estudo é parte da Álgebra Linear, no enquantoos Grupos de Lie são simplesmente Variedades Diferenciáveis.

Na última secção do capítulo iremos ver a dimensão dessa corrispondência entreÁlgebras de Lie e Grupos de Lie.

5.1 Campos Esquerda-Invariantes sobre um Grupo de Lie

No capítulo rpecedente vimos como um difeomorfismo entre pontos da variedadepossa induzir um difeomorfismo entre os espaços tangentes desses pontos que permitede relacionar os vetores de um com os vetores do outro. Chamámos de paralelizáveisas variedades com a carateristíca de tiver uma base do espaço tangente globalmentedefinida.

No caso em que G seja um Grupo de Lie, ou seja no caso de uma variedade suavecom operações de grupo diferenciáveis, então temos alguns difeomorfismos de G emG canónicos derivantes dà mesma estrutura de grupo de G i.e.:

(AÇÃO ESQUERDA) Lg : G 3 p −→ Lg (p) = g · p ∈ G (5.1.1)(AÇÃO DIREITA) Rg : G 3 p −→ Rg (p) = p · g ∈ G (5.1.2)

(ADJUNTA) Adg : G 3 p −→ Adg (p) = g · p · g−1 ∈ G (5.1.3)

Esses difeomorfismos podem ser utilizados para relacionar os espaços tangentesnos pontos diferentes da variedade utilizando a noção de push-forward.

25

CAPÍTULO 5. ÁLGEBRAS DE LIE DE UM GRUPO DE LIE 26

Nos capítulos precedentes nos consideramos a noção de push-forward de um vetoratráves de uma aplicação induzida entre espaços tangentes:

Lg∗ : TpG 3 Xp −→ Lg∗(Xp)∈ TLg(p)G (5.1.4)

onde por cada vetor do espaço tangente em p assocíamos um vetor no espaço tan-gente em Lg (p) dado por

Lg∗(Xp)( f ) := X

(f Lg

)(p) (5.1.5)

Agora queremos extendir a noção de pushforward a um campo vetorial.

Definição 81. Seja F : M −→ N um difeomorfismo entre M, N variedades suavese seja X ∈ Γ (TM) um campo vetorial sobre M, então podemos definir um campovetorial Y ∈ Γ (TN) sobre N chamado de push-forward de X:

Y = F∗ (X) (5.1.6)

onde por cada p ∈ N e cada f ∈ C∞ (N)

(F∗ (X))p ( f ) := F∗(

XF−1(p)

)( f ) = X ( f F)

(F−1 (p)

)(5.1.7)

Observação 82. No caso dos grupos de Lie, considerando o difeomorfismo Lg : G 3p −→ Lg (p) = g · p ∈ G obtemos que o push-forward do campo vetorial X ∈ Γ (TG)por Lg é o campo vetorial Lg∗(X) ∈ Γ (TG) assim definido(

Lg∗ (X))

p ( f ) := X(

f Lg) (

Lg−1 (p))

(5.1.8)

Definição 83. Seja (G, ·) um Grupo de Lie e X ∈ Γ (TG) um campo vetorial sobre G,chamamos X de campo esquerda-invariante se por cada g ∈ G

Lg∗ (X) = X (5.1.9)

Observação 84. A equação Lg∗ (X) = X quer dizer que se o campo vetorial X é esquerda-invariante então ∀g, p ∈ G e ∀ f ∈ C∞ (G) temos que(

Lg∗ (X))

p ( f ) = X(

f Lg) (

Lg−1 (p))= Xp ( f ) (5.1.10)

Exemplo 85. O campo X = ∂∂x1 é esquerda-invariante sobre o Grupo de Lie G =(

R2,+). Nesse caso

Lg : R2 3 p −→ Lg (p) = g + p ∈ R2 (5.1.11)

Por cada g, p ∈ R2 e ∀ f ∈ C∞ (R2) temos que(Lg∗

(∂

∂x1

)p

)( f ) =

(∂

∂x1

(f Lg

))Lg−1 (p)

= (5.1.12)

=

(∂ f∂x1

)Lg(p−g)

(∂Lg (x)

∂x1

)(p−g)

= (5.1.13)

=

(∂ f∂x1

)p= Xp ( f ) (5.1.14)


5.2 Álgebra de Lie g de um Grupo de Lie G

Proposição 86. Seja G um grupo de Lie, então os campos vetoriais esquerda invariantes sobreG i.e.L (G), com o comutador entre campo vetoriais [·, ·] formam uma Álgebra de Lie.

Definição 87. Seja (G, ·) grupo de Lie então diz-se Álgebra de Lie associada ao grupode Lie G e indica-se g a álgebra de Lie obtida das campos vetoriais esquerda-invariantesL (G) com o comutador entre campos vetoriais.

Teorema 88. Seja G um grupo de Lie, então existe um produto J·, ·K sobre TeG tal que existeum isomorfismo entre algebras de Lie entre (TeG, J·, ·K) e (L (G) , [·, ·]).

Demonstração. Definimos a aplicação

j : TeG 3 Xe −→ j (Xe) ∈ L (G) (5.2.1)

onde ∀ g ∈ G e ∀ f ∈ C∞ (R2) temos

j (Xe)g ( f ) := Lg∗ (Xe) ( f ) (5.2.2)

Para obter uma álgebra de Lie sobre TeG precisamos definir o produto J·, ·K a par-tir da o comutador em (L (G) , [·, ·]). De facto [j (X) , j (Y)] é novamente um campovetorial que é definido em e também, portanto podemos considerar:

JX, YK := [j (X) , j (Y)]e (5.2.3)

no jeito que seja realizado automaticamente um isomorfismo de álgebras de Lieentre (TeG, J·, ·K) e (L (G) , [·, ·]).

Observação 89. As Álgebras de Lie g = (L (G) , [·, ·]) definidas a partir da os camposesquerda-invariantes sobre um grupo de Lie G, podem também ser pensadas como oespaço tangente de G no ponto da identidade do Grupo e, i.e.: (TeG, J·, ·K).

As constantes de estrutura da Álgebras são facilmente encontradas com a formula:s(

∂

∂xi

)e

,(

∂

∂xj

)e

=

n

∑k=1

Ckij

(∂

∂xk

)Id

(5.2.4)

onde

s(∂

∂xi

)e

,(

∂

∂xj

)e

( f ) :=

[Lg∗

(∂

∂xi

)e

, Lg∗

(∂

∂xj

)e

]e( f ) (5.2.5)

5.3 Álgebras de Lie como linearizações de Grupos de Lie

Encontrar as constantes de estrutura da álgebra de Lie partendo da o espaço dos cam-pos esquerda-invariantes de G pode ser muito elaborado. Nesse caso podemos proce-der direitamente com uma “linearização” do grupo G numa vizinhança da identidade.

Embora a ideia seja muito simples as ferramentas matemáticas necessarias por tor-nar esse procedimento rigoroso são um pouco abstractas. Portanto antes de desenvol-ver num jeito matematicamente preciso iremos apresentar um exemplo do que quiser-mos fazer e depois iremos apresentar todas as ferramentas necessarias.


Exemplo 90. Seja SU (2) o Grupo de Lie

SU (2) ∼=

U ∈M22(C) | UU∗ = I, det (U) = 1

(5.3.1)

O nosso objectivo é encontrar uma caraterização da álgebra de Lie corrispondentei.e.: su (2). Para fazer isso vamos considerar uma aproximação de um elemento deSU (2) na proximidade da unidade

U = I + εX =

(1 + εX11 εX12

εX21 1 + εX22

)(5.3.2)

Para que o elemento possa pertencer a SU (2) é preciso que UU∗ = I e que det (U) =1 portanto:

UU∗ = I (5.3.3)(I + εX) (I + εX∗) = I (5.3.4)I + ε (X + X∗) + ε2 (XX∗) = I (5.3.5)

Deixando todos os termos que sejam O(ε2) obtemos a condição

(X + X∗) = 0 (5.3.6)

No enquanto a segunda condição

det (U) = 1 (5.3.7)

det(

1 + εX11 εX12εX21 1 + εX22

)= 1 + εTr (X) + ε2 det (X) (5.3.8)

Deixando todos os termos que sejam O(ε2) obtemos a condição

Tr (X) = 0 (5.3.9)

Portanto obtemos a representação dà Àlgebra de Lie su (2) como Álgebra linear

su (2) ∼= X ∈ gl2(C) | X = −X∗, Tr (X) = 0 (5.3.10)

Para traduzir esse procedimento de um jeito formal é preciso introduzir uma novaÁlgebra sobre o campo base K onde identificamos todos os polinomios em ε com or-dem maior de 2 (cfr. Victor Kaç, Lectures Notes, Mit).

D := K [ε] /(

ε2)

(5.3.11)

Depois podemos definir as matrizes com coeficientes na Álgebra Mnn (D) e requerir

que a Álgebra de Lie associada a um grupo G seja formada de todas as matrizes taisque I + εX satisfaz as condições do Grupo na nova Álgebra.

Definição 91. Seja G um grupo de Lie caracterizado da algumas equações polinomiaismatriciais Pα (A) = 0α∈I . Chamamos de Grupo álgebrico de Lie sobre a Álgebra D ogrupo

G (D) := A ∈Mnn (D) | A invertível, Pα (A) = 0 ∀α ∈ I (5.3.12)


E chamamos de Àlgebra de Lie de um Grupo de Lie G como

(Lie (G) , [·, ·]) (5.3.13)

onde

Lie (G) = X ∈ gln (K) | In + εX ∈ G (D) (5.3.14)

com a operação induzida da gln (K) i.e.:[A, B] = AB− BA

Essa definição torna-se uma definição equivalente à definição que já vimos da Ál-gebra de Lie como campos vetoriais esquerda-invariantes sobre um Grupo de Lie G.

5.4 A aplicação exponencial

Seja A um elemento no espaço tangente de G na identidade Te (G) e portanto um ele-mento de g, então ∀A ∈ g podemos definir um campo vetorial XA tal que(

XA)

p( f ) =

(Lp∗ (A)

)( f ) (5.4.1)

Agora seja γA : R −→ G a curva integral de XA com γA (0) = e. Tal curva sempreexiste por o teorema de existência e unicidade local das equações ordinárias.

Definição 92. Seja γA : R −→ G a curva integral precedentemente definida, entãodiz-se aplicação exponencial exp : g −→ G a aplicação

exp (tA) := γA (t) (5.4.2)

Observação 93. No caso A seja uma matriz, então a aplicação é a usual exponencial dematrizes definida como

exp (A) = I + A +A2

2!+

A3

3!+ ... (5.4.3)

Proposição 94. A aplicação exponecial possue as seguintes propriedades:

exp ((t + s) A) = exp (tA) exp (sA) (5.4.4)

exp (−tA) = (exp (tA))−1 (5.4.5)

Além desses propriedades a propriedade mais importante da aplicação exponencialé que a aplicação exponencial é um difeomorfismo local entre a Álgebra de Lie g e oGrupo de Lie G.

Proposição 95. Seja G um grupo de Lie compacto, então a aplicação exponencial é surjectivai.e.: exp (g) ⊃ G.

Observação 96. Se G é compacto, exp (·) não é injectiva sendo g um espaço vetorial eportanto um espaço não compacto.

5.4.1 A Formula de Campbell-Baker-Hausdorff

exp (tX) · exp (tY) = 1 + t (X + Y) +t2

2[X, Y] +

t3

12([X, [X, Y]] + [Y, [Y, X]])−(5.4.6)

− t4

24[X, [Y, [X, Y]]] + ... (5.4.7)


5.5 Relaçoes entre Grupos de Lie e Álgebras de Lie

Proposição 97. Sejam G e H Grupos de Lie, então se f é uma aplicação suave e homomorfismoentre grupos de Lie temos que o diagrama seguinte comuta:

Gf−→ H

exp

xx exp

gf∗−→ h

(5.5.1)

i.e.:f (exp (A)) = exp ( f∗ (A)) (5.5.2)

gruppi a un parametro e relazione fra sottogruppi di G e sottoalgebre di g

Capítulo 6

Álgebras de Lie

As álgebras de Lie que introduzimos no precedente capítulo constituem uma ferra-menta indispensável na Geometria Diferenciável contemporanea e podem ser apre-sentadas em muitos jeitos diferentes. Da facto há pelo menos três jeitos distinctos eequivalentes de apresentar essas Álgebras:

1. como resultado de uma linearização de um grupo de Lie (G, ·) numa vizinhançada identidade;

2. como espaço dos campos vetoriais sobre G que são invariantes pela traslaçãoesquerda Lg;

3. como álgebra abstracta definida sobre um espaço vetorial pelas caracteristicasintrinsecas

Esses abordagens são equivalentes dado que Cartan demonstrou que todas as Álgebrasde Lie podem ser originadas a partir de um Grupo de Lie especifico.

Todavia nesse capítulo iremos apresentar algumas noções fundamentais das Álge-bras de Lie partendo da uma noção abstracta. Na primeira secção apresenteremos asdefinições básicas no respeito das Álgebras de Lie, das constantes de estrutura e doshomomorfismos entre álgebras de Lie.

Na segunda secção achámos melhor apresentar numerosos exemplos de Álgebrasde Lie para concluir no final apresentando algumas definições básicas no respeitos dasrepresentações.

6.1 Álgebras de Lie abstractas

Definição 98. (ÁLGEBRA DE LIE) Um espaço vetorial (V, +, ·) sobre um campo K diz-se Álgebra de Lie g = (V, [·, ·]) se além de ser um espaço vetorial no respeito de umaoperação binaria + e um produto escalar, tem um produto chamado parenteses de Lie

[·, ·] : g× g −→ g (6.1.1)

que satisfaz as seguintes condições:

(BILINEARIDADE) [αX1 + βX2, Y] = α[X1, Y] + β[X2, Y] (6.1.2)[X, γY1 + δY2] = γ[X, Y1] + δ[X1, Y2] (6.1.3)

(ANTICOMUTATIVIDADE) [X, Y] = −[Y, X] (6.1.4)(IDENTIDADE DE JACOBI) [X, [Y, Z] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0 (6.1.5)

31

CAPÍTULO 6. ÁLGEBRAS DE LIE 32

Observação 99. A operação [·, ·] não é associativa dado que em geral

[X, [Y, Z]] 6= [[X, Y] , Z] (6.1.6)

De facto um outro jeito de escrever a identidade de Jacobi evidência como essaidentidade seja na verdade uma generalização da associatividade sendo:

[X, [Y, Z] = [[X, Y] , Z]− [Y, [Z, X]] (6.1.7)

Exemplo 100. Seja um espaço vetorial (V, +, ·) de dimensão finida sobre um campo K.Então podemos definir ma Álgebra de Lie glK(V) = (End (V) , [·, ·]) onde

[A, B] = A B− B A ∀A, B ∈ End (V) (6.1.8)

Definição 101. Se uma álgebra de Lie g é uma sub-álgebra de glK(V) então g diz-seuma álgebra de Lie linear.

Observação 102. Um teorema de Ado-Iwasawa diz que cada álgebra de Lie de dimensãofinida é na verdade uma álgebra de Lie linear.

Definição 103. (IDEAL) Seja g uma Álgebra de Lie, um subespaço linear h diz-se umideal se:

[H, X] ∈ h ∀H ∈ h, X ∈ g (6.1.9)

Um ideal h diz-se próprio se 1 /∈ h e h 6= 0. Um idealh diz-se maxímal se por cadah′ ideal próprio de g, temos que se h ⊂ h′ então h′ ⊂ h.

Definição 104. Uma álgebra de Lie diz-se simples se não possue ideais próprios.

Observação 105. se h for um ideal de g então há uma estrutura de álgebra de Lie sobregh para que π : g −→ gh seja um homorfismo de álgebras de Lie.

6.1.1 Constantes de Estrutura

Nessa secção iremos supor que a dimensão do espaço vetorial V seja finida e portantoque seja possível encontrar uma base E = ei1≤i≤n do espaço onde cada vetor X possuaumas coordenadas:

X =n

∑i=1

ξ iei (6.1.10)

Nesse caso a bilinearidade das parenteses de Lie nos permite de definir esse pro-duto exclusivamente sobre os vetores da base de V :

[X, Y] =

[n

∑i=1

ξ iei,n

∑j=1

η jej

]=

n

∑i,j=1

ξ iη j [ei, ej]

(6.1.11)

Portanto as parenteses de Lie resultam completamente definidas com a definiçãodas seguintes constantes: [

ei, ej]=

n

∑i,j,k=1

Ckijek (6.1.12)


Definição 106. Seja g = (V, [·, ·]) uma álgebra de Lie e seja E = ei1≤i≤n uma base deV então as constantes Ck

ij [ei, ej

]=

n

∑i,j,k=1

Ckijek (6.1.13)

são chamadas constantes de estrutura.

Observação 107. As constantes de estrutura são dependentes dà escolha de uma baseE = ei1≤i≤n e portanto diferentes bases levam a diferentes constantes

A propriedade da anticomutatividade das parenteses de Lie

[X, Y] = −[Y, X] (6.1.14)

implica que as constantes de estrutura precisam satisfazer:

Ckij = −Ck

ji (6.1.15)

No enquanto a identidade de Jacobi implica que:n

∑m=1

CmjkCi

mh+CmkhCi

mj + CmhjC

imk = 0 ∀1≤i,j,k≤m (6.1.16)

Exemplo 108. Seja R3 o espaço euclideo de dimensão 3 e definimos as parenteses deLie a partire da o produto esterno usual:

[v, w] = v×w (6.1.17)

que pode ser definido dà relação

det(v, w, z) = (v×w, z) (6.1.18)

É facil demonstrar que(R3, [·, ·]

)é uma Álgebra de Lie e se E = e1, e2, e3 então

[e1, e2] = − [e2, e1] = e3 (6.1.19)[e1, e3] = − [e3, e1] = −e2 (6.1.20)[e2, e3] = − [e3, e2] = e1 (6.1.21)[ei, ei] = 0 (6.1.22)

Exemplo 109. Seja SO (3) e escolhemos a base

ε1 =

0 0 00 0 10 −1 0

ε2 =

0 0 10 0 0−1 0 0

ε3 =

0 −1 01 0 00 0 0

(6.1.23)

E partendo da o ordinario produto de matrizes definimos

[A, B] = AB− BA (6.1.24)

Então (SO (3) , [·, ·]) é uma álgebra de Lie com constantes

[ε1, ε2] = − [ε2, ε1] = ε3 (6.1.25)[ε1, ε3] = − [ε3, ε1] = −ε2 (6.1.26)[ε2, ε3] = − [ε3, ε2] = ε1 (6.1.27)[εi, εi] = 0 (6.1.28)


Exemplo 110. Seja SU (2) e escolhemos a base

η1 =12

(0 −i−i 0

)η2 = 1

2

(0 −11 0

)η3 =

12

(−i 00 i

)(6.1.29)

E partendo da o ordinario produto de matrizes definimos

[A, B] = AB− BA (6.1.30)

Então (SU (2) , [·, ·]) é uma álgebra de Lie com constantes

[η1, η2] = − [η2, η1] = η3 (6.1.31)[η1, η3] = − [η3, η1] = −η2 (6.1.32)[η2, η3] = − [η3, η2] = η1 (6.1.33)[ηi, ηi] = 0 (6.1.34)

6.1.2 Homomorfismos entre Álgebras

Definição 111. (HOMORFISMO ENTRE ÁLGEBRAS DE LIE) Sejam (g, [·, ·]) e (h, J·, ·K) doisÁlgebras de Lie, então uma aplicação ρ : g −→ h é chamada de homorfismo entre álgebrasde Lie se

ρ ([X, Y]) = Jρ (X) , ρ (Y)K (6.1.35)

Observação 112. Seja ρ : g −→ g′ é um homorfismo entre álgebras de Lie, então:(i)ker ρ ⊂ g é um ideal de g.(ii)Imρ ⊂ g′ é uma sub-álgebra de Lie de g′.(iii) Existe um isomorfismo entre Álgebras de Lie tal que Im ∼= gker

Exemplo 113. Seja ρ : (SO (3) , [·, ·]) −→ (SU (2) , [·, ·]). Sejam εi e ηi as bases deSO (3) e SU (2) que apresentamos nos exemplos precedentes e seja ρ o homomorfismoresultante da extensão linear de

ρ (εi) = ηi i = 1, 2, 3 (6.1.36)

i.e. o homomorfismo de álgebras de Lie onde:

ρ

(n

∑i=1

viεi

)=

n

∑i=1

viηi (6.1.37)

Observação 114. No exemplo precedente é muito fácil demonstrar que ker ρ = 0portanto ρ é um isomorfismo entre álgebras de Lie embora SO (3) e SU (2) não sejamgrupos de Lie isomorfos. Na verdade iremos ver que as álgebras de Lie só induzemum homomorfismo local entre Grupos de Lie.

6.2 Exemplos de Álgebras de Lie

Muitos exemplos podem ser derivados dao teoerema seguinte:

Teorema 115. Seja (A, ·) uma álgebra associativa então g = (A, [·, ·]) onde

[a, b] := a · b− b · a ∀a, b ∈ A (6.2.1)

é uma Álgebra de Lie

Corolário 116. gln (K) = (GL(Kn), [·, ·]) onde [A, B] := AB − BA por cada A, B ∈GL (Kn) é uma álgebra de Lie


6.2.1 k como Álgebra de Lie unidimensional

Sendo K um campo e portanto uma álgebra comutativa é em particular um espaçovetorial de dimensão 1 e é possível estabelecer uma estrutura de álgebra de Lie: k =(K, [·, ·]0) onde o produto bilinear é [a, b]0 ≡ 0. Esse exemplo é um exemplo de Álgebrade Lie comutativa.

6.2.2 sln ou An−1

Sendo gln (K) e k duas álgebras de Lie podemos considerar o homomorfismo entreálgebras de Lie fornecido pela Traça Tr : gln (K) 3 A −→ Tr(A) ∈ k. De facto a Traçapertenece a uma classe especial de homomorfismos chamados carácter.

A Traça é um homomorfismo entre álgebras de Lie e

Tr ([A, B]) = Tr (AB− BA) = Tr (AB)− Tr (BA) = 0 (6.2.2)

Portanto temos queker (Tr) = A ∈ gln (K) | Tr(A) = 0 é um ideal de gln (K).De facto se utilizamos o mesmo produto bilinear de gln (K) obtemos uma álgebra

de Lie:An = sln+1 = (A ∈ gln (K) | Tr(A) = 0 , [·, ·]) . (6.2.3)

6.2.3 oB,V ou Álgebras ortogonais

Seja gl (V) = (End (V) , [·, ·]) a álgebra de Lie dos endomorfismos com [a, b] := a b−b a. Então por cada forma bilinear B (·, ·)

B (·, ·) : V×V 3 (v, w) −→ B (v, w) ∈ K (6.2.4)

podemos definir a álgebra de Lie chamada de álgebra ortogonal:

oB,V = (A ∈ gl (V) | B (Av, w) + B (v, Aw) = 0 ∀v, w ∈ V , [·, ·]) (6.2.5)

De facto é imediato verificar que oB,V é um sub-espaço vetorial e as propriedadesdo produto bilinear [·, ·] são as mesmas propriedades verificadas no caso da algebragl (V).

Agora se escolhermos uma base por V e realizarmos o isomorfismos canónico en-tre V ∼= Kn então podemos realizar o isomorfismo canónico entre gl (V) ∼= Mn

n (K),B (v, w) = vTBw onde B é agora a representação matricial da forma bilinear B (·, ·) eoB,V torna-se

oB,V =(

A ∈Mnn (K) | ATB + BA = 0 ∀v, w ∈ V

, [·, ·]

)(6.2.6)

6.2.4 so2n+1 ou Bn

Supondo o espaço vetorial de dimensão 2n + 1 e portanto V ∼= K2n+1 e supondo aforma bilinear B (·, ·) seja simétrica, uma representação matricial da forma bilinear é

B =

1 0···00...0

0 InIn 0

(6.2.7)

Nesse caso a álgebra de Lie ortogonal chama-se

oB,V ≡ so2n+1 ≡ Bn (6.2.8)


6.2.5 so2n ou Dn

Supondo o espaço vetorial de dimensão 2n e portanto V ∼= K2n , e supondo a formabilinear B (·, ·) seja simétrica, uma representação matricial da forma bilinear é

B =

(0 InIn 0

)(6.2.9)


oB,V ≡ so2n ≡ Dn (6.2.10)

6.2.6 sp2n ou Cn

Supondo o espaço vetorial de dimensão 2n e portanto V ∼= K2n e supondo a formabilinear B (·, ·) seja anti-simétrica, uma representação matricial da forma bilinear é

B =

(0 In−In 0

)(6.2.11)


oB,V ≡ sp2n ≡ Cn (6.2.12)

6.2.7 tn, nn, dn

Outras Álgebras de Lie Lineares e muitos utilizadas são as sub-álgebras de gln:

• tn: a Álgebra das matrizes n× n triangulares superiores tn+ e inferiores tn−;

• nn:a Álgebra das matrizes n× n triangulares superiores nn+ e inferiores nn− comdiagonal nula;

• dn: a Álgebra das matrizes n× n diagonales;

Algumas propriedades notaveis são:

tn+ = nn+ ⊕ dn (6.2.13)nn+ = [tn+, tn+] (6.2.14)tn− = nn− ⊕ dn (6.2.15)nn− = [tn−, tn-] (6.2.16)

6.2.8 Classificação das Álgebras de Lie de dimensão 1, 2 e 3

Em geral é possível classificar direitamente as álgebras de Lie de dimensão 1, 2 e 3sendo:

• álgebras de Lie de dimensão 1: a única álgebra possível e simplesmente álgebraabeliana de dimensão 1 i.e.:k = (K, [·, ·]0) onde o produto bilinear é [a, b]0 ≡ 0 porcada a, b ∈ k.

• álgebras de Lie de dimensão 2: sendo g um espaço vetorial de dimensão doissejam e1, e2 ∈ g uma base de g. As duas álgebras possíveis são isomorfas a:

– a álgebra abeliana de dimensão 2 onde[·, ·]0 ≡ 0 e


– a álgebra não abeliana de dimensão 2 onde [e1, e2] = e2 .

• álgebras de Lie de dimensão 3: sendo g um espaço vetorial de dimensão três,sejam e1, e2, e3 ∈ g uma base de g. As três álgebras possíveis são isomorfas a:

– uma álgebra abeliana de dimensão 3 onde[·, ·]0 ≡ 0 e

– a álgebra do produto esterno(R3, [·, ·]

)onde

[e1, e2] = e3 (6.2.17)[e1, e3] = −e2 (6.2.18)[e2, e3] = e1 (6.2.19)[ei, ei] = 0 ∀i = 1, 2, 3 (6.2.20)

– a álgebra de Heisenberg onde chamando e1 = p, e2 = q,e3 = h

[p, q] = h (6.2.21)[h, p] = [h, q] = 0 (6.2.22)

– Unimodular 3 Dimensional Lie Álgebras

6.3 Representações

6.3.1 Definições

Definição 117. (REPRESENTAÇÃO) Seja g uma Álgebra de Lie sobre um campo k, V umespaço vetorial sobre o mesmo campo k então um homorfismo entre álgebras de Lie

ρ : g −→ glk(V) (6.3.1)

diz-se representação da Álgebra de Lie. Se ker ρ = e então a representação diz-sefíel.

Exemplo 118. Seja a Álgebra de Lie so (3, R) definida sobre a base X1, X2 , X3 dàs se-guintes constantes de estrutura:

[X1, X2] = X3 (6.3.2)[X1, X3] = −X2 (6.3.3)[X2, X3] = −X1 (6.3.4)[Xi, Xi] = 0 (6.3.5)

Então podemos definir duas representações de so (3, R)

ρ1 : so (3, R) −→ gl3 (R) (6.3.6)

a continuação linear definidas por

ρ1 (X1) =

0 0 00 0 10 −1 0

, ρ1 (X2) =

0 0 10 0 0−1 0 0

, ρ1 (X3) =

0 −1 01 0 00 0 0

(6.3.7)


eρ2 : so (3, R) −→ gl3 (R) (6.3.8)

a continuação linear definidas por

ρ2 (X1) =12

(0 −i−i 0

), ρ2 (X2) =

12

(0 −11 0

), ρ2 (X3) =

12

(−i 00 i

)(6.3.9)

Ambas as aplicações são homomorfismos entre Álgebras de Lie e portanto ambassão representações da mesma Álgebra so (3, R). Ademais ambas as representações sãorepresentações fiéis sendo ker ρ1 = ker ρ2 = e.

Definição 119. (CARÁCTER) Um homomorfismo ρ : g −→ k entre álgebras de Liechama-se carácter .

Observação 120. Dado que k é uma Álgebra de Lie comutativa então por cada a, b ∈ gtemos que

ρ ([a, b]) = [ρ (a) , ρ (b)]0 = 0 (6.3.10)

e portantoρ|[g,g] ≡ 0 (6.3.11)

onde [g, g] = g ∈ g | g = [a, b] a, b ∈ g

Exemplo 121. (ÁLGEBRA DE HEISENBERG) Seja g a Álgebra de Heisenberg onde cha-mando e1 = p, e2 = q,e3 = h

[p, q] = h (6.3.12)[h, p] = [h, q] = 0 (6.3.13)

Seja V = k [x] o espaço dos polinómios no campo k. Então podemos definir umarepresentaçã de g em V linearmente definida:

ρ : g −→ glK(V) (6.3.14)ρ (p) = ∂x (6.3.15)ρ (q) = x · (6.3.16)ρ (h) = 1 (6.3.17)

Esta é uma representação da Álgebra de Heisenberg sendo:

[∂x, x] (p (x)) = ∂x (xp (x))− x∂x p (x) = p (x) (6.3.18)[∂x, 1] (p (x)) = [1, x] (p (x)) = 0 (6.3.19)

6.3.2 A representação Adjunta

Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie. Em particular g é um espaço vetorial portanto aaplicação

ad (g) : g 3 h −→ ad (g) (h) = [g, h] ∈ g (6.3.20)

É uma aplicação linear de g em g e portanto

ad (g) (·) = [g, ·] ∈ gl (g) (6.3.21)

Portanto qualquer que seja a Álgebra de Lie (g, [·, ·]) resulta definida uma represen-tação ad de g em gl (g) chamada de representação adjunta.


Proposição 122. Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie, então

ad : g 3 g −→ ad (g) = [g, ·] ∈ gl (g) (6.3.22)

é uma representação e ker (ad) = Z (g)

Demonstração. É preciso demonstrar que a representação adjunta preserva a estruturade Álgebra de Lie, i.e.:

ad ([g, h]) = [ad (g) , ad (h)] (6.3.23)

Mas isso é uma direito consequência da Identidade de Jacobi dado que:

ad ([g, h]) (k) = [[g, h] , k] = (6.3.24)= [[g, k] , h]− [[h, k] , g] = (6.3.25)= (ad (g) ad (h)) (k)− (ad (h) ad (g)) (k) = (6.3.26)= [ad (g) , ad (h)] (k) (6.3.27)

Enfim é claro que

ker (ad) = g ∈ g | [g, h] = 0 ∀h ∈ g = Z (g) (6.3.28)

Corolário 123. Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie simples, i.e. não abeliana e sem ideais nãotriviais, então (g, [·, ·]) é uma Álgebra de Lie Linear

Demonstração. Dado que Z (g) é o nucleo de um homomorfismo entre Álgebras deLie, então Z (g) é um ideal. Dado que g é simples então Z (g) é trivial e portanto arepresentação adjunta é fiél. Portanto g é isomorfa a uma sub-álgebra de gl (g).

Umas das caraterísticas mais importantes da representação adjunta é que as suascomponentes no respeito de uma base eii∈I constam das constantes de estruturada Álgebra Ck

ij. De facto se definirmos

εii∈I

a base canónica do dual de g∗ ondeεi (ej

)= δi

j, então as componentes da representação adjunta avaliada nos vetores dabase é

ad (ei)kj = εk (ad (ei)

(ej))

= εk ([ei, ej])

= (6.3.29)

= εk

(n

∑l=1

Clijel

)= Ck

ij (6.3.30)

6.4 Álgebras nilpotentes e Àlgebras Solúveis

Proposição 124. Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie, então

[g, g] = g ∈ g | g = [a, b] a, b ∈ g (6.4.1)

é uma sub-álgebra de g.


Definição 125. Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie, chama-se de serie central descendentegi

i∈Na serie:

g0 = g

gi+1 =[g, gi] ∀i ∈N

(6.4.2)

no enquanto chama-se de serie derivadag(i)

i∈Na serie

g(0) = g

g(i+1) =[g(i), g(i)

]∀i ∈N

(6.4.3)

Observação 126. As series constituem constituém uma cadeia discendente

g = g0 ⊇ g1 ⊇ . . . ⊇ gn ⊇ . . . (6.4.4)

g = g(0) ⊇ g(1) ⊇ . . . ⊇ g(n) ⊇ . . . (6.4.5)

onde

gn−1 ⊇ gn (6.4.6)g(n−1) ⊇ g(n) (6.4.7)gn ⊇ g(n) (6.4.8)

e onde todos gn, g(n) são ideais de g.

Definição 127. Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie, g diz-se:nilpotente se um elemento da serie central descendente é nulo i.e.:∃i ∈ N tal que

gi = 0;solúvel se um elemento da serie derivada é nulo i.e.:∃i ∈N tal que g(i) = 0;

Observação 128. Se uma Álgebra é nilpotente então é solúvel também sendo gn ⊇ g(n).Em geral

soluvel ! nilpotente ⊇ abelian (6.4.9)

Exemplo 129. nn (i.e. a Álgebra das matrizes n× n triangulares superiores com diago-nal nula) é nilpotente, por enquantotn (i.e. a Álgebra das matrizes n× n triangularessuperiores) é solúvel mas não é nilpotente.

Proposição 130. Seja g uma Álgebra de Lie, então se g é nilpotente e não trivial:(i) então cada sub-álgebra é nilpotente;(ii) cada imagem de g atráves de um morfismo ρ é nilpotente;(iii) o centro Z (g) 6= e;(iv) g ∼= g/Z (g) é nilpotente

Observação 131. O converso do (iv) também é veradeiro portanto g é nilpotente ⇐⇒g ∼= g/Z (g) é nilpotente

6.5 Grupos de Lie Classicos e Álgebras associadas

Lista finale del WorkBook capitolo 7 su

Capítulo 7

Classificação das Álgebras de Liesimples sobre C

Nesse capítulo iremos apresentar um dos resultados mais interessantes da Teoria deLie. Precedentemente temos visto como por cada Grupo de Lie seja possível associaruma Álgebra de Lie. Nesse capítulo iremos ver que cada Álgebra de Lie Real podeser extensa a uma Álgebra de Lie Complexa com um procedimento chamado de com-plexificação. Sucessivamente é possível demonstrar que cada Álgebra de Lie pode serescrita como suma semi-direita de Álgebras de Lie Unidimensionais (e portanto abeli-anas) e Álgebras de Lie Simples.(

. . .(((

L0 ρ1 L1)ρ2 L2

)ρ3 L3

). . .ρn Ln

)(7.0.1)

Portanto no final o estudo das Álgebras de Lie Simples sobre o campo dos numerosComplexos e a classificação desses Álgebras é um dos assuntos mais importantes daTeoria de Lie.

Grupos de Lie↓

Álgebras de Lie↓

Álgebras de Lie Complexas'

Álgebras de Lie Simples Complexas

Já vimos nos capítulos anteriores como cada Álgebra de Lie simples tenha umarepresentação fiél (a representação adjunta) e portanto seja linear e possa ser conside-rada uma sub-algebra de gl (V). Ágora iremos ver como cada Álgebra símples possuauma sub-álgebra de Cartan e as raizes dessa Álgebras nos permitam uma classificaçãocompleta das Álgebras simples.

7.1 Sumas Direitas, Semi-Direitas e Complexificação deÁlgebras de Lie

7.1.1 Sumas Direitas, Semi-Direitas

Sejam g e h duas Álgebras de Lie e consideramos a + b ∈ g h onde a ∈ g e b ∈ h. Asuma direita como espaço vetorial resulta facilmente definida com a estenção natural

41

CAPÍTULO 7. CLASSIFICAÇÃO DAS ÁLGEBRAS DE LIE SIMPLES SOBRE C 42

da adição e da multiplicação por escalar. De facto por cada a, a′ ∈ g, b, b′ ∈ h e λ ∈ ktemos:

(a + b) + (a′ + b′) = (a + a′) + (b + b′) ∈ g h (7.1.1)λ (a + b) = λa + λb ∈ g h (7.1.2)

Todavia se quisermos preservar a estrutura de Álgebra de Lie também é precisorequerir que pelo meno um dos sub-espaços seja um ideal sendo[

(a + b) ,(a′ + b′

)]=[a, a′

]+[b, a′

]+[a, b′

]+[b, b′

](7.1.3)

Se L for um ideal então [a, a′],[b, a′] , [a, b′] ∈ g e [b, b′] ∈ M levando à [(a + b) , (a′ + b′)] ∈g h. Podemos também notar que se considerarmos a representação adjunta[

(a + b) ,(a′ + b′

)]=[a, a′

]+ ad (b)

(a′)− ad

(b′)(a) +

[b, b′

](7.1.4)

Essas considerações nos levam a definir a suma semidireita no jeito seguinte:

Definição 132. (!!!!!!!! CONTROLAR !!!!!!!!!) Sejam g e h duas Álgebras de Lie sobreo mesmo campo ke seja ρ : h −→ gl (g) uma representação, então definimos a sumasemidireita g ρ h como a suma direita dos espaços vetoriais e o produto [·, ·] assimdefinido por cada a, a′ ∈ g, b, b′ ∈ h :[

(a, b) ,(a′, b′

)]=([

a, a′]+ ρ (b) a′ − ρ

(b′)

a,[b, b′

])(7.1.5)

7.1.2 Complexificação de uma Álgebra de Lie

Por cada Álgebra de Lie g sobre R é possível definir uma Álgebra complexa g sobre C

definida como g⊕ ig e chamada de complexificação de g.

Definição 133. Seja (g,+, ·, [·, ·]) uma Álgebra de Lie sobre R então diz-se complexifi-cação de g á Álgebra de Lie g = (g⊕ ig,+, ·, [·, ·]) onde por cada g, g′, h, h′ ∈ g e porcada λ ∈ C temos

(g + ih) +(

g′ + ih′)=(

g + g′)+ i(h + h′

)(7.1.6)

λ (g + ih) = λg + iλh (7.1.7)[(g + ih) ,

(g′ + ih′

)]=[g, g′

]+ i[h, g′

]+ i[g, h′

]−[h, h′

](7.1.8)

Alguns resultados notáveis são que se g é semi-simples então g é semisimples e se gfor simples então g ou é simplês também ou é isomorfa à suma direita de dois álgebrassimplês.

7.2 Forma de Killing

Seja g uma Álgebra de Lie e seja ρ : g −→ gl (V) uma representação, então chama-seforma da Traça a forma bilinear:

(a, b) = Tr (ρ (a) ρ (b)) a, b ∈ g (7.2.1)

No caso da representação adjunta a forma toma um nome espécifico:


Definição 134. Seja g uma Álgebra de Lie e seja ad : g 3 a −→ [a, ·]∈ gl (g) umarepresentação, então chama-se forma de Killing a forma bilinear:

κ(a, b) = Tr (ad (a) ad (b)) a, b ∈ g (7.2.2)

Observação 135. Se considerarmos uma base eii∈I de g e definirmos

εii∈I

a basecanónica do dual de g∗ onde εi (ej

)= δi

j, então as componentes da representação ad-junta são

ad (ei)kj = Ck

ij (7.2.3)

e as componentes da Forma de Killing são

Kij = κ(ei, ej) = Tr(ad (ei) ad

(ej))

= ∑p=1..3q=1..3

CpiqCq

jp a, b (7.2.4)

Teorema 136. Seja g uma Álgebra de Lie, então g é solúvel⇐⇒ κ(·, ·) não é degenerada (i.e.@h 6= 0 tal que κ(h, g) = 0 por cada g ∈ g.

7.3 Sub-Álgebra de Cartan

7.3.1 Peso, Vector de Peso e Espaço de Peso

Cada Álgebra de Lie é em particular um espaço vetorial e cada Álgebra g tem pelomenos uma representação em gl (g) ou seja nos automorfismos de um espaço vetorial.É portanto interessante analisar os vetores próprios dos elementos da Álgebras de Lie.

Definição 137. Seja g uma Álgebra de Lie e ρ uma representação em V, i.e.: ρ : g −→gl (V). Então definimos um espaço de peso V1

λ no respeito do peso λ ∈ g∗

V1λ = v ∈ V | ρ (a) v = λ (a) v ∀a ∈ g (7.3.1)

Observação 138. Cada vetor v ∈ V1λ , que se chama vetor de peso, é um vetor proprio de

cada automorfismo imagem de elementos de g. Os conceitos de peso, vetor de peso, eespaço de peso são os equivalentes sobre uma inteira Álgebra de endomorfismos do queera o valor próprio, vetor próprio e o espaço invariante no caso do singulo endomorfismo.

Definição 139. Seja g uma Álgebra de Lie e ρ uma representação em V, i.e.: ρ : g −→gl (V). Então definimos um espaço de peso geralizado Vλ no respeito do peso λ ∈ g∗

Vλ =

v ∈ V | ∃k ∈N : (ρ (a)− λ (a) I)k v = v ∀a ∈ h

(7.3.2)

Teorema 140. Seja g uma Álgebra de Lie nilpotente e ρ uma representação em V, i.e.: ρ :g −→ gl (V) então

V = Vα1 Vα2 . . .Vαk (7.3.3)

onde Vα1 é o espaço de peso geralizado de ρ.


7.3.2 Sub-álgebra de Cartan

Definição 141. Seja g uma Álgebra de Lie e seja h uma sub-álgebra, então Ng (h) =a ∈ g | [a, h] ⊂ h chama-se de normalizador de h em g .

Definição 142. Seja g uma Álgebra de Lie e seja h uma sub-álgebra, então h diz-sesub-álgebra de Cartan se:

1. h é nilpotente;2. Ng (h) = h.

Observação 143. Dado que Ng (h) = h, cada h sub-álgebra di Cartan é uma sub-álgebranilpotente maximal.

Teorema 144. Cada Álgebra de Lie de dimensão finida possue uma sub-álgebra de Cartan h ese g é semi-simples então h é abeliana.

7.3.3 Raizes da Álgebra de Cartan

Teorema 145. Seja h uma sub-algebra de Cartan e ad (·) a representação adjunta, i.e.: ρ :g −→ gl (g) então

g = gα1 gα2 . . . gαk (7.3.4)

onde gαi são os espaços de peso geralizados no respeito da representação ad (·) i.e.

gαi =

v ∈ g | ∃k ∈N : (ρ (a)− αi (a) I)k v = v ∀a ∈ h

(7.3.5)

.

Os pesos αi são chama-dos raizes da sub-álgebra de Cartan h os vetores de peso sãochamados vetores radicais e os gα1são chamados espaços radicais.

Definição 146. O conjunto Φ = αi ⊂ g∗ é chamado conjunto das raizes.

Observação 147. Se αi ∈ Φ então −αi ∈ Φ também

7.4 Raizes Fundamentais e Grupo de Weyl

7.4.1 Raizes fundamentais

As raizes são funcionais lineares no dual da sub-álgebra de Cartan Φ = αi ⊂ h∗

é possível escolher um subconjunto desses raizes chamado de sub-conjunto de raizesfundamentais tal que Π ⊂ Φ todos os πi ∈ Π sejam linearmente indipendentes e porcada raiz αi ∈ Φ existe um ε ∈ +1,−1 e n1, ..., nd ∈N tal que

αi = εd

∑i=1

niπi (7.4.1)

Esses raizes fundamentais possuem as informações fundamentais da Álgebra. Dafacto:

• span±N (Π) ⊃ Φ as combinações lineares positivas ou negativas com coeficientesnos numeros naturais das raizes fundamentais são origem de todas as raizes;


• spanR (Π) = h∗R as combinações lineares com coeficientes reais das raizes fun-damentais produzem uma sub-álgebra da álgebra de Cartan onde iremos definirum produto interno que permiterá de classificar as álgebras;

• spanC (Π) = h∗ as combinações lineares com coeficientes complexas das raizesfundamentais produzem a sub-álgebra de Cartan;

O espaço gerado das combinações a coeficientes reais das raizes fundamentais i.e.spanR (Π) = h∗R é um espaço importante porque sobre esso é possível definir umproduto interno derivado da forma de Killing. De facto considerando

ı : h 3 h −→ ı (h) = κ (h, ·) ∈ h∗ (7.4.2)

Sendo a forma bilinear não degenere, podemos definir

κ∗ (·, ·) : h∗ × h∗ 3 (v, w) −→ κ(

ı−1 (v) , ı−1 (w))∈ C (7.4.3)

O aspeito mais importante dessa forma bilinear é que restringida no espaço h∗R essaforma torna-se um produto interno.

Proposição 148. A forma bilinear κ∗ (·, ·) : h∗R × h∗R −→ R é um produto interno

Sendo κ∗ (·, ·) um produto interno é possível definir

• uma norma pela raiz α i.e.‖α‖ =√

κ∗ (α, α)

• um angulo entre dois raizes ] (αβ) i.e. cos (] (αβ)) =κ∗(α,β)‖α‖·‖β‖

• uma distância entre raizes d(α, β) = ‖α− β‖ |

Com esses definições podemos definir as ferramentas necessarias para obter todas asraizes da álgebra partendo das raizes fundamentais.

7.4.2 Transformada e Grupo de Weyl

Definição 149. Seja Φ o conjunto das raizes de uma álgebra de Cartan, e seja κ∗ (·, ·)a forma bilinear derivada dà forma de killing da Álgebra. Seja α ∈ Φ uma raiz, entãochama-se de trasformação de Weyl a aplicação linear sα : h∗R 3 λ −→ sα (λ) ∈ h∗R tal que

sα (λ) := λ− 2 · κ∗ (α, λ)

κ∗ (α, α)α (7.4.4)

O grupo formado de todas as transformações W = sα | α ∈ Φ com a operação decomposição é chamado de Grupo de Weyl .

O Grupo de Weyl age como uma permutação do conjunto das raizes e permite dereconstruir todas as raizes partendo dao subconjunto das raizes fundamentais. Defacto o teorema seguinte é veradeiro:

Teorema 150. Seja Φ o conjunto das raizes de uma álgebra de Cartan e W = sα | α ∈ Φ oGrupo de Weyl associado. Então:

(i) o Grupo de Weyl é gerado das transformações associadas às raizes fundamentais i.e.:∀w ∈W, ∃π1, ..., πn ∈ ∏ tal que w = sπ1 ... sπn .

(ii) Cada raiz é originada da uma transformação de Weyl de uma raiz fundamental, i.e.∀α ∈ Φ, ∃π ∈ ∏, w ∈W tal que α = w (π).

(iii) Ademais o Grupo de Weyl permuta as raizes, i.e. ∀w ∈W, ∀α ∈ Φ então w (α) ∈ Φ


7.5 Matrizes de Cartan e Diagramas de Dynkin

7.5.1 As Matrizes de Cartan

Sendo pelo teorema a imagem de cada transformação de Weyl de uma raiz no conjuntodas raizes i.e. w (α) ∈ Φ e dado que cada raiz pode ser decomposta numa forma

α = εd

∑i=1

niπi então podemos encontrar por cada w (α) ∈ Φ um ε ∈ +1,−1 e

n1, ..., nd ∈N tal que

w (α) = εd

∑i=1

niπi (7.5.1)

Analizando essa decomposição no caso de w(πj)= sπi

(πj)

com πi, πj ∈ ∏ obte-mos que

sπi

(πj)= πj − 2 ·

κ∗(πi, πj

)κ∗ (πi, πi)

πi ∈ Φ (7.5.2)

e portanto

−2 ·κ∗(πi, πj

)κ∗ (πi, πi)

∈N ∀πi, πj ∈∏ (7.5.3)

Definição 151. Chama-se Matriz de Cartan (C)ij a matriz obtida sobre as raizes fonda-mentais de uma Álgebra de Cartan com coeficientes:

Cij := 2 ·κ∗(πi, πj

)κ∗ (πi, πi)

(7.5.4)

A partir da Matriz de Cartan podemos também definir outros coeficientes chama-dos números de ligação:

nij := Cij · Cji = 4 ·κ∗(πi, πj

)κ∗ (πi, πi)

κ∗(πj, πi

)κ∗(πj, πj

) = 4cos2 (] (πiπj))

(7.5.5)

Enfim o numero de nij possível é muito limitado sendo

Cij Cji nij0 0 0

−1 −1 1

−1−2

−2−1 2

−1−3

−3−1 3

(7.5.6)

7.5.2 Diagramas de Dynkin

No final podemos definir as seguintes regras:

• um circulo para cada raiz fundamental


.

Figura 7.5.1: Diagrama de Dynkin

• um numero de linhas entre circulos equivalêntes ao numero de ligação entre rai-zes

• se o numero é 2 ou 3 é preciso indicar com um sinho de minor ou maior a raizcom coeficientes de Cartan maior.

Parte II

Álgebra multilinear sobre umaVariedade

48

Capítulo 8

Preliminares de Álgebra multilinear

8.1 Tensores

Definição 152. Seja V um espaço vetorial sobre um campo K, então um tensor A derango (p, q) é uma aplicação linear em cada variável

A : V∗ × . . .×V∗︸︷︷︸ ×V × . . .×V︸︷︷︸ −→ K

p− vezes q− vezes(8.1.1)

O espaço dos tensores de rango (p, q) indica-se Tpq (V) e é também um espaço vetorial

Observação 153. O espaço tensorial de rango (0, 1) é o dual do espaço vetorial mesmoT0

1 (V) ∼= V∗, pelo contrario espaço tensorial de rango (1, 0) é o bidual do espaço veto-rial mesmo T1

0 (V) ∼= (V∗)∗ e é isomorfo ao prórpio espaço só se o espaço é riflexivo oque acontece sempre quando a dimensão de V é finida i.e. dim (V) < ∞ (cfr. ApêndiceA).

Sendo cada tensor uma aplicação linear, para ser definida necesita simplesmentedos valores sobre os elementos da base dos espaço vetorial V e do dual V∗.

Definição 154. Seja T ∈ Tpq (V) um tensor de rango (p, q) e sejam eii∈I e

εi

i∈I umabase rispetivamente do espaço vetorial V e V∗ tal que εi (ej

)= δi

j por cada i, j ∈ I,então chamam-se componentes do tensor T os escalares

Ta1...apb1...bq

:= T(

εa1 , . . . , εap , eb1 , . . . , ebq

)∈ K (8.1.2)

por cada a1, . . . , ap, b1, . . . , bq ∈ I.

Observação 155. Escolhendo eii∈I e

εii∈I como bases rispetivamente do espaço ve-

torial V e do dual V∗ e sendo Ta1...apb1...bq

as suas componentes, um tensor de rango (p, q)

T : V∗ × . . .×V∗︸︷︷︸ ×V × . . .×V︸︷︷︸ −→ K

p− vezes q− vezes(8.1.3)

é usualmente escrito na forma

T = Ta1...apb1...bq

ea1 ⊗ . . .⊗ eap ⊗ εb1 ⊗ . . .⊗ εbq (8.1.4)

onde as seguintes sumas são sub-entendidas:

T =n

∑a1,...,ap,

b1,...,bq=1

Ta1...apb1...bq

ea1 ⊗ . . .⊗ eap ⊗ εb1 ⊗ . . .⊗ εbq (8.1.5)

49

CAPÍTULO 8. PRELIMINARES DE ÁLGEBRA MULTILINEAR 50

8.2 Operaçoes sobre Tensores

Definição 156. Seja T ∈ Tpq (V) um tensor de rango (p, q) e S ∈ Tp′

q′ (V) um tensor derango (p′, q′) sobre o mesmo espaço vetorial V. Definimos o produto tensorial T⊗ S umtensor de rango (p + p′, q + q′) obtido dao produto dos dois tensores

T ⊗ S := T(

ξa1 , . . . , ξap , vb1 , . . . , vbq

)· S(

ξc1 , . . . , ξcp′ , vd1 , . . . , vdq′

)∈ K (8.2.1)

onde ξa1 , . . . , ξap , ξc1 , . . . , ξcp′ ∈ V∗ e vb1 , . . . , vbq , vd1 , . . . , vdq′

∈ V.

- Contrazione di Tensori- Moltiplicazione interna- simmetrizzazione e antisimmetrizzazione

T(i1..in) = Si1..in = ∑σ∈S

eiσ(1) ⊗ . . .⊗ eiσ(n)

T[i1..in] = Ai1..in = ∑σ∈S

ε(σ)eiσ(1) ⊗ . . .⊗ eiσ(n)

8.3 Mudanças de coordenadas

Agora vamos supor de tiver escolhido uma base E = eii=1..n pelo espaço vetorial Vonde está definido um tensor T e vamos estudar o que acontece à mudança da base Epor a base E = eii=1..n.

Vamos supor que a matriz de pasagem entre as bases seja CE E = (cij), i.e.:

ej = ∑i=1..n

cij ei (8.3.1)

por enquanto a matriz inversa seja C−1E E

= CE E = (dij) i.e.

ej = ∑i=1..n

dijei (8.3.2)

Então iremos ver que as p componentes vetoriais de um tensor de rango (p, q) trans-formam segundo a matriz CE E = (ci

j) por enquanto as componentes covetoriais do

tensor transformam segundo a matriz C−1E E

= (dij). Por isso as primeiras são chamadas

covariantes e as segundas são chamadas contravariantes.Para semplificar a notação vamos ilustrar o procedimento sobre um tensor de or-

dem dois. Seja T ∈ T20 (V) e vamos mudar a base E por a base E = eii=1..n. Então as

componentes mudam assim:

CAPÍTULO 8. PRELIMINARES DE ÁLGEBRA MULTILINEAR 51

T =n

∑i,j=1

Tij ei ⊗ ej = (8.3.3)

=n

∑i,j=1

Tij

∑k=1..n

cki ek

⊗ ∑

h=1..n

chj eh

= (8.3.4)

=n

∑i,j=1

k,h=1

cki ch

j Tij ek ⊗ eh (8.3.5)

εi (ej)= δi

j (8.3.6)

εi (ej)= δi

j (8.3.7)

εi

∑i=1..n

dijei

= ∑i=1..n

dijε

i (ei) = δij (8.3.8)

8.4 Campos Tensoriais

Seja M uma variedade diferenciável então então podemos definir um fibrado vetorialque é o fibrado tangente TM e os campos vetoriais de M i.e. X ∈ X (M), como assecções do fibrado tangente i.e. Γ (TM). Similmente podemos definir o fibrado cotan-gente TM∗ que é o dual do fibrado tangente e as formas lineares de M, i.e. ω ∈ Ω1 (M)que são as secções do fibrado cotangente i.e. Γ (TM∗).

Definição 157. Um (p,q)-campo tensorial ou campo tensorial de ordem (p, q) é uma apli-cação diferenciável que associa por cada ponto de uma variedade um tensor de rango(p, q) definido no espaçõ tangente do ponto

T : M 3 x −→ T (x) ∈ Tpq (Tx M) (8.4.1)

Observação 158. Podemos pensar um campo tensorial como uma secção da potênciatensorial de p fibrados tangentes e q fibrados cotangentes Γ (M, TM⊗p ⊗ TM∗⊗q). Po-demos também pensar num campo tensorial de ordem (p, q) como um elemento doproduto cartesiano

T ∈ X (M)× . . .×X (M)︸︷︷︸ ×Ω1 (M)× . . .×Ω1 (M)︸︷︷︸p−vezes q−vezes

(8.4.2)

Definição 159. Seja M uma variedade diferenciável, então o espaço dos campos tensoriaisde ordem (p, q) sobre M indica-se T

pq (M)

O espaço dos campos tensoriais de ordem (1, 0) sobre M é isomorfo ao espaço doscampos vetoriais sobre M que em outra palavras é o espaço das secçoes do fibradotangente i.e. T1

0 (M) ∼= X (M) ∼= Γ (TM). Similmente o espaço dos campos tensoriaisde ordem (0, 1) sobre M é isomorfo ao espaço das 1-formas sobre M que em outra pa-lavras é o espaço das secçoes do fibrado cotangente i.e. T0

1 (M) ∼= Ω1 (M) ∼= Γ (TM∗).

Capítulo 9

Métricas e Geodesicas

Nos capítulos precedentes introduzimos as definições básicas necessarias para extendira Geométria Euclidiana nas variedades diferenciáveis. Nesse capítulo iremos introdu-zir os conceitos mais importantes para começar a fazer Geométria: a Métrica.

O nosso objectivo é medir comprimentos, distâncias e angúlos. Para fazer isso pre-cisariamos de um produto interno num jeito simile a o que acontece em Rn onde oproduto interno (·, ·) define

• uma norma i.e.‖v‖ =√(v, v)

• um angulo entre vetores] (vw) i.e. cos (] (vw)) = (v,w)‖v‖·‖w‖

• uma distância entre raizes d(v, w) = ‖v− w‖Isso obviamente não pode ser extendido sobre as variedades dado que as variedadesem geral não possuem a estrutura de espaço vetorial. O que foi intuíto pela primeiravez da Gauss e depois desenvolvido da Riemann foi que embora um produto internonão possa ser sempre definido sobre uma variedade, todavia é possível definir umproduto interno sobre os espaços tangentes de cada ponto da variedade. O trabalhode Gauss era com as superficies imersas em R3 o primeiro resultado foi o de deduzirtal produto interno dao espaço hambiente onde a superficie era imersa ou seja sobrea métrica induzida. Pelo contrario o trabalho de Riemann focou-se sobre um produtointerno definido em cada ponto da variedade ou seja direitamente sobre a métrica semsupor nada no respeito do espaço hambiente.

Na primeira secção portanto iremos definir as métricas e as variedades Reimanni-anas, as isométrias e as ferramentas básicas para sucessivamente falar de geodésicas,derivadas covariantes e conexões afins.

9.1 Métricas Riemannianas e Pseudo-Riemannianas

Definição 160. Seja M uma variedade diferenciável e seja

〈·, ·〉 : M 3 p −→ 〈·, ·〉p ∈ T02 (M) (9.1.1)

um campo tensorial sobre M tal que por cada ponto p ∈ M o tensor 〈·, ·〉p : TpM ×TpM −→ R é bilinear, simétrico e definido positivo, então (M, 〈·, ·〉) chama-se de Vari-edade Riemanniana e 〈·, ·〉 chama-se Métrica Riemanniana.

Se por cada ponto p ∈ M o tensor 〈·, ·〉p : TpM × TpM −→ R não for definidopositivo, mas simplesmente não degenerado, então (M, 〈·, ·〉) chama-se de VariedadePseudo-Riemanniana e 〈·, ·〉 chama-se Métrica Pseudo-Riemanniana.

52

CAPÍTULO 9. MÉTRICAS E GEODESICAS 53

Observação 161. uma métrica riemanniana é um produto interno definido em cadaponto da variedade e que vária em forma diferenciável

Escolhendo uma base

∂∂xi

i=1..n

pelo espaço tangente TpM podemos calcular por

cada ponto p ∈ M os coeficientes da forma bilinear 〈·, ·〉p i.e.:⟨∂

∂xi ,∂

∂xj

⟩p=: gij (p) (9.1.2)

Portanto por cada ponto p ∈ M os coeficientes gij (p) definem uma forma bilineare simétrica definida positiva que pode ser representada da uma matriz de coeficientesgij (p). Obviamente os coeficientes podem também ser pensados como funções gij ∈C∞ (M). Isso quer dizer que efetivamente uma métrica riemanniana pode ser pensadacomo um produto interno definido sobre uma variedade M que vária numa formadiferenciável.

Observação 162. A construção que desenvolvímos até agora não precisa de alguma pro-priedade específica do fibrado tangente TM se não a propriedade de ser um fibradovetorial. Simplesmente com poucas variações notacionais a construção pode ser exten-dida a todos os fibrados vetoriais.

9.1.1 Isométrias e métricas induzidas

Sendo a métrica o elemento mais importante da estrutura de variedade riemannianaé natural pesquisar as aplicações que além de ser difeomorfismos entre variedadespreservam a métrica também. Esses aplicações são chamadas isométrias.

Definição 163. Sejam (M, 〈·, ·〉M) e (N, 〈·, ·〉N) duas variedades riemannianas e sejaf : M −→ N um difeomorfismo, então f diz-se isométria se por cada X, Y ∈ TM

〈X, Y〉M = 〈 f∗X, f∗Y〉N (9.1.3)

Ademais as duas variedades dizem-se isométricas.

Para extendir o trabalho de Gauss sobre as superficies imersas em R3 podemosnotar que a noção de pull-back nos permite de definir uma métrica sobre qualquervariedade M que tenha uma imersão numa variedade Riemanniana (N, 〈·, ·〉N).

Definição 164. Sejam M uma variedade diferenciável e (N, 〈·, ·〉N) duas variedadesRiemannianas e seja f : M −→ N uma imersão, então é possível definir uma métricainduzida sobre M i.e.

〈·, ·〉M := f ∗ 〈·, ·〉N (9.1.4)

Observação 165. Pela definição de pull-back por cada X, Y ∈ TpM e por cada p ∈ M

〈X, Y〉M (p) = ( f ∗ 〈·, ·〉N)p (X, Y) = 〈 f∗ (X) , f∗ (Y)〉N (p) (9.1.5)

Exemplo 166. No caso de Rn é possível definir uma métrica riemanniana 〈·, ·〉p a par-tir dao produto interno canónico (·, ·)R de Rn como espaço euclidiano. A razão dessapossibilidade reside no facto que é possível por cada ponto de p ∈ Rn o espaço tan-gente Tp (Rn) ∼= Rn . Se pensarmos os elementos de Tp (Rn) como os vetores tangentesà curva γ (t) = p + vt, no ponto p ∈ Rn então por cada vetores do espaço tangenteX1, X2 ∈ Tp (Rn) podemos encontrar duas curvas γ1 (t) , γ2 (t) ∈ C∞ (R, Rn) tal que


γ1 (t) = p + vt e γ2 (t) = p + wt que sejam na classe de X1, X2 e podemos portantodefinir:

〈X1, X2〉p =⟨γ′1 (0) , γ′2 (0)

⟩p := (v, w)R (9.1.6)

É fácil ver que o campo tensorial assim definido é uma Métrica Riemanniana queadiante iremos indicar como 〈·, ·〉R.

Exemplo 167. Sobre Rn temos definida uma métrica riemanniana canónica, portantocada subvariedade S de Rn tem definida uma métrica induzida utilizando o pull-backda métrica canónica atráves da inclusão i.e.

〈·, ·〉p := ı∗ (〈·, ·〉R) (9.1.7)

Exemplo 168. Seja G um grupo de Lie e seja g = (TeG, [·, ·]) a álgebra de Lie associadaao grupo G. Em particular o g é um espaço vetorial e portanto é possível definir umproduto interno 〈·, ·〉g. Agora por cada ponto g ∈ G temos a acção esquerda Lg−1 queé um difeomorfismo Lg−1 : G 3 h −→ g−1h ∈ G tal que Lg−1 (g) = e. Temos portantodefinida por cada ponto g ∈ G uma aplicação entre os espaços tangentes

Lg−1∗ : TgG −→ TeG (9.1.8)

que nos permite de definir um produto interno por cada ponto do por cada pontog ∈ G. De facto dados v, w ∈ TgG então

〈v, w〉g =⟨

Lg−1∗ (v) , Lg−1∗ (w)⟩g

(9.1.9)

É fácil ver que esse produto interno varia diferenciavelmente no respeito de g eportanto define efetivámente um campo tensorial que constitue uma métrica sobre G.Ademais a métrica assim definida é invariante a esquerda, ou seja 〈v, w〉 =

⟨Lg∗ (v) , Lg∗ (v)

⟩.

9.1.2 Bases ortonormal e elemento de Volume

(***********da ricontrolar**************)Uma métrica pode ser pensada como uma forma bilinear simétrica dependente em

forma diferenciável da um ponto. No específico isso quer dizer que por cada pontop ∈ M temos definida uma forma bilinear simétrica. Um teorema crucial de álgebralinear diz que por cada forma bilinear simétrica pode ser encontrada uma base orto-normal e que portanto torna a matriz associada à forma bilinear uma matriz diagonal.O processo para encontrar essa base é chamado o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

O que é particolarmente notavel é que esse processo é diferenciável. De facto seja∂ii=1..numa base sobre TpM, então vamos definir uma nova base eii=1..n com o pro-


cedimento seguinte:

e1 =∂1

‖∂1‖(9.1.10)

e2 =e2 − 〈e2, ∂1〉p∥∥∥e2 − 〈e2, ∂1〉p

∥∥∥ (9.1.11)

e3 =e3 − 〈e3, ∂2〉p − 〈e3, ∂1〉p∥∥∥e3 − 〈e3, ∂2〉p − 〈e3, ∂1〉p

∥∥∥ (9.1.12)

... (9.1.13)

Ao variar de p ∈ M os eii=1..n definem uma base ortonormal de campos vetoriais.Vamos agora supor que ω seja uma n-forma orientada positivamente sobre um

aberto U ⊂ M onde M é uma variedade n dimensional. Então

ω (e1, ..., en) = f ∈ C∞ (U) (9.1.14)

Portanto posso definir por cada variedade Riemanniana um Elemento de Volumeω0 = ω(e1,...,en)

f .

Sendo C =(

cij

)as mudanças de coordenadas no espaço tangente i.e.

∂j =n

∑i=1

cijei (9.1.15)

e sendo ⟨∂

∂xi ,∂

∂xj

⟩= gij = CCT (9.1.16)

entãodet

(gij)= det (C)2 (9.1.17)

e portanto

dVol (∂1, .., ∂n) =√

det(

gij)dx1 ∧ ...∧ dxn (9.1.18)

9.1.3 Distância sobre uma variedade Riemanniana

Um dos aspeitos mais importantes de tiver uma métrica riemanniana numa variedadeé a possibilidade de medir comprimentos. Portanto agora iremos definir uma distânciaentre pontos que tornerá-se muito importante.

Em primeiro lugar precisamos definir o comprimento de uma curva.

Definição 169. Seja (M, 〈·, ·〉) uma variedade Riemanniana e seja ‖·‖ a norma de TpMinduzida em cada ponto p da 〈·, ·〉. Então seja γ ∈ C∞ ([0, 1] , M) uma curva na varie-dade diferenciável M definimos comprimentos l (γ) da curva γ o valor

l (γ) :=ˆ 1

0‖γ (t)‖ dt (9.1.19)

Portanto cada Variedade Riemanniana tem uma ferramenta para medir as curvas,mas a partir dessa podemos definir uma distância entre pontos:

d (p, q) =infγγ ∈ C∞ ([0, 1] , M) | γ (0) = p, γ (1) = q (9.1.20)

Proposição 170. A aplicação d (·, ·) : M×M 3 (p, q) −→ d (p, q) ∈ R é uma distância


9.2 Derivada covariante e Conexões afin

A definição de Derivada covariante surge dà exigência de derivar campos vetoriaissobre uma variedade.

9.2.1 Derivada Covariante ∇XY

Definição 171. (DERIVADA COVARIANTE) Seja (M, 〈·, ·〉) variedade Riemanniana, diz-se derivada covariante ou conexão afin sobre M uma aplicação que por cada X, Y ∈ X (M)campos vetoriais sobre M é tal que

∇ : X (M)×X (M) 3 (X, Y) −→ ∇XY ∈ X (M) (9.2.1)

1. Seja R-linear em cada variável i.e.

∇α XβY = αβ∇XY ∀αβ ∈ R (9.2.2)

2. Seja C∞ (M)-linear na primeira variável i.e.

∇ f XY = f ∇XY ∀ f ∈ C∞ (M) (9.2.3)

3. Seja uma Derivação na segunda variável i.e.

∇X f Y = X ( f )Y + f ∇XY ∀ f ∈ C∞ (M) (9.2.4)

Observação 172. Na definição da Derivada Covariante podemos observar que emboraseja importante que a primeira variável X em ∇XY seja um campo para que o termoX ( f )Y em ∇X f Y = X ( f )Y + f ∇XY se tornar um campo, a segunda variável Ynão utiliza o facto de ser um campo. Isso que dizer que a mesma definição pode serextendida sobre fibrados vetoriais gerais i.e. ξ = (E, π, M) cuja fibra F = π−1 (p) ∼=Rn. Sobre esse fibrado podemos definir uma conexão o derivada covariante no mesmojeito como uma aplicação

∇ : X (M)× Γ (E) 3 (X, Y) −→ ∇XY ∈ Γ (E) (9.2.5)

com as mesma propriedades formais da definicão precedente.

9.2.2 Símbolos de Christoffel Γkij

Escolhendo uma base ∂ii=1..n no espaço tangente de um ponto de M podemos calcu-lar os valores que o operador ∇ assumir sobre os elementos da base i.e.

∇∂i ∂j =n

∑k=1

Γkij∂k Γk

ij ∈ R (9.2.6)

Esses coeficientes chamam-se símbolos de Christoffel e determinam completamenteuma a conexão afin∇ sobre a base ∂ii=1..n . De facto vamos supor que X, Y ∈ X (M)


sejam campos genericos e X =n∑

i=1xi∂i e Y =

n∑

j=1yj∂j com xi, yi ∈ C∞ (M) e calculamos

∇XY =n

∑i,j=1

∇xi∂iyj∂j =

n

∑i,j=1

xi∇∂i yj∂j (9.2.7)

=n

∑i,j=1

xi(

∂i

(yj)

∂j + yj∇∂i ∂j

)= (9.2.8)

=n

∑i,j=1

xi

(∂i

(yj)

∂j + yjn

∑k=1

Γkij∂k

)= (9.2.9)

=n

∑k=1

(n

∑i=1

xi

(∂i

(yk)+

n

∑j=1

yjΓkij

))∂k = (9.2.10)

Observação 173. Considerando X = ∂1 podemos informalmente pensar nos símbolosde Christoffel como em correções dà derivada covariante no respeito das derivadasparciais dado que por cada componente k temos

(∇∂1Y

)k= ∂i

(yk)+

n

∑j=1

Γkijy

j (9.2.11)

9.2.3 Conexão ao longo de uma aplicação

Dado um fibrado tangente sobre a variedade N podemos definir um fibrado, chamadode fibrado de pull-back sobre M.

f ∗ (TN)g−→ TN

π

yy π

Mf−→ N

(9.2.12)

Ondef ∗ (TN) := (p, v) ∈ M× TN | f (p) = π (v) (9.2.13)

E onde o diagrama comutaπ g = f π (9.2.14)

As secções desse fibrado Γ ( f ∗ (TN)) são chamadas campos vetoriais ao longo de f eindicados com X f (M)

X f ≡ Γ ( f ∗ (TN)) ≡ X : M −→ TN | X π = f (9.2.15)

Ademais se (M, 〈·, ·〉) é uma Variedade Riemanniana onde está definida uma co-nexão ∇ e f : M −→ N for uma aplicação diferenciável então podemos definir umaconexão inducida sobre M

TNy π

Mf−→ (N, ∇)

(9.2.16)


De facto existe uma única conexão sobre M tal que por cada Y ∈ X (N) e cadaX ∈ X f

∇X (Y f ) = ∇ f∗XY (9.2.17)

9.3 Transporte Parallelo ao longo de uma Curva

As definições precedentes nos servem para definir a derivada de um campo vetorial aolongo de uma curva γ e sucessivamente o transporte parallelo ao longo de uma curva.

Definição 174. Seja (M, 〈·, ·〉) é uma Variedade Riemanniana com uma conexão ∇ eseja uma curva γ : I ⊂ R −→ M

TMy π

I ⊂ Rγ−→ (M, ∇)

(9.3.1)

Então existe uma única derivada covariante ao longo da curva γ tal que por cada V ∈ X

V′ := ∇ ddt

V = ∇ ddt(Y γ) = ∇γ∗( d

dt)Y (9.3.2)

Onde π (Y) = γ (t)

Observação 175. A derivada covariante ao longo de uma curva γ indica a variação deum campo em M longo uma curva γ

Agora vamos escolher uma base uma carta (ϕ, U) da Variedade M e portanto umabase ∂ii=1..n do espaço tangente numa vizinhança do ponto entre a mesma carta e

dada uma curva γ : I ⊂ R −→ M e um campo V ao longo de γ i.e. V =n

∑i=1

vi (x) ∂i γ

calculamos nas coordenadasV′ = ∇ d

dtV = 0 (9.3.3)

∇ ddt

V = ∇ ddt

(n

∑i=1

vi (x) ∂i γ

)= (9.3.4)

=n

∑i=1

vi∂i γ + vi∇ ddt

∂i γ = (9.3.5)

=n

∑k=1

(vi+

n

∑i,j=1

viγjΓkij γ

)∂k γ (9.3.6)

O que leva à condição que

vi+n

∑i,j=1

viγjΓkij (γ (t)) = 0 (9.3.7)

Onde os Γkij (γ (t)) ∈ R são os símbolos de Christoffel no ponto γ (t).

Que é um sistema de equações diferenciais no primeiro ordem nos vi e portantoexiste uma única solução. Isso quer dizer que por cada curva γ tal que γ (0) = p sobreM e por cada vetor v ∈ TpM existe um campo ao longo de γ i.e. Vv ∈ Xγ tal que V′v = 0e Vv (0) = v. Esse campo é chamado campo parallelo ao longo da curva γ.


9.4 Conexão de Levi-Civita

Entre todas as conexões que é possível definir sobre uma variedade Riemanniana háuma conexão que mais importante de todas as outras sendo uma conexão que natural-mente surge dà métrica. Essa conexão é a conexão de Levi-Civita.

9.4.1 Torção e Conexões simétricas

Dada uma conexão podemos definir uma 2-forma chamada torção

T (X, Y) = ∇XY−∇YX− [X, Y] (9.4.1)

Definição 176. Uma conexão ∇ sobre uma Variedade Riemanniana M onde o Tensorde Torção é identicamente nulo i.e.

∇XY−∇YX = [X, Y] (9.4.2)

é chamada uma conexão símetrica.

Observação 177. Escolhendo uma carta e indicando nessa carta uma base ∂ii=1..n e

exprimendo no modo usuale ∇∂i ∂j =n

∑k=1

Γkij∂k . Nessa base temos que

[∂i, ∂j

]( f ) =

∂

∂xi∂

∂xj f − ∂

∂xj∂

∂xi f = 0 (9.4.3)

Portanto obtemos que as componentes da torção são exprimidas na forma

T(∂i, ∂j

)k= Γk

ij − Γkji (9.4.4)

Portanto temos que se a conexão é símetrica e portanto T(∂i, ∂j

)k ≡ 0 então ossímbolos de Christoffel são símetricos

Γkij = Γk

ji (9.4.5)

9.4.2 Conexões compatíveis

Uma outra caraterística importante que podemos requerir numa conexão é a capaci-dade

X (〈Y, Z〉) = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 (9.4.6)

9.4.3 Conexão de Levi Civita

Definição 178. Uma conexão ∇ sobre uma Variedade Riemanniana M diz-se conexãoriemanniana se é símetrica e compatível com a métrica i.e.

∇XY−∇YX = [X, Y] (9.4.7)

X (〈Y, Z〉) = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 (9.4.8)

Teorema 179. (TEOREMA FONDAMENTAL DA GEOMÉTRIA RIEMANNIANA) Seja (M, 〈·, ·〉)variedade Riemanniana então existe uma única conexão riemanniana i.e. símetrica e compatívelcom a métrica.


Uma vez escolhida uma base e definendo por cada i, j, k = 1, ..., n

gij :=⟨∂i, ∂j

⟩(9.4.9)

Γkij :=

(∇∂i ∂j

)k (9.4.10)

Obtemos a fórmula que reláciona os símbolos de Christoffel com os coeficientes damétrica

Γkij =

12

n

∑h=1

(∂gjh

∂xi +∂gih

∂xj −∂gij

∂xh

)gkh (9.4.11)

9.4.4 Formula de Koszul

Uma forma direita pela prova do teorema fondamental da Geometria Riemanniana é aformula de Koszul.

2 〈∇XY, Z〉 = X (〈Y, Z〉)+Y (〈X, Z〉)−Z (〈X, Y〉)−〈X, [Y, Z]〉− 〈Y, [X, Z]〉+ 〈Z, [X, Y]〉(9.4.12)

9.5 Geodésicas

exemplos B o’neill semi Riemannian Geometry

Capítulo 10

Formas Diferenciais

10.1 Álgebra de Grassmann

10.2 Derivada externa

nota su forme differenziali esatte e forme differenziali chiusenota sulla cohomologia di de Rahm

61

Parte III

Conexões sobre Variedades

62

Capítulo 11

Conexões sobre fibrados vetoriais

11.1 Ações de Grupos de Lie sobre Variedades

Uma aplicação muito util dos Grupos de Lie é o utilizo desses grupos como fibrasde fibrados principais onde sobre o fibrado é definida uma ação do grupo. Isso nospermiterá de definir um fibrado que localmente possa ser pensado como o produtode uma variedade de base e de uma fibra rpresentada pelo Grupo de Lie G. Nessasecção iremos apresentar as difinições minimas necessarias pela definição dos fibradosprincipais e associados.

Definição 180. (G-AÇÃO ESQUERDA) Seja M uma variedade C∞-diferenciável e seja(G, ·) um Grupo de Lie, uma aplicação

. : G×M 3 (g, p) −→ g . p ∈ M (11.1.1)

diz-se uma G-ação esquerda sobre a variedade M se

e . p = p ∈ M (11.1.2)g2 . g1 . p = (g2 · g1) . p ∈ M (11.1.3)

Similmente temos a seguinte definição

Definição 181. (G-AÇÃO DIREITA) Seja M uma variedade C∞-diferenciável e seja (G, ·)um Grupo de Lie, uma aplicação

/ : G×M 3 (g, p) −→ p / g ∈ M (11.1.4)

diz-se uma G-ação direita sobre a variedade M se

p / e = p ∈ M (11.1.5)p / g1 / g2 = p / (g1 · g2) ∈ M (11.1.6)

Observação 182. Seja . : G ×M 3 (g, p) −→ g . p ∈ M uma G-ação esquerda sobre avariedade M , então podemos definir a sequinte ação direita

/ : G×M 3 (g, p) −→ p / g = g−1 . p ∈ M (11.1.7)

Definição 183. (APLICAÇÃO EQUIVARIANTE) Sejam (G, ·) e (H, ·) dois Grupos de Liee seja ρ : G −→ H um homomorfismo entre grupos de Lie e F uma aplicação suaveentre as variedades suaves M e N. Então a aplicação diz-se ρ− equivariante se

F (g .G p) = ρ (g) .H F (p) (11.1.8)

63

CAPÍTULO 11. CONEXÕES SOBRE FIBRADOS VETORIAIS 64

o em outras palavras se o diagrama seguinte é comutativo

G×Mρ×F−→ H × N

.G

yy .H

M F−→ N

(11.1.9)

A ideia atrás a definição de uma aplicação equivariante é a possibilidade de umaaplicação que permite de preservar a ação do grupo sobre uma variedade suave.

Definição 184. Seja . : G ×M 3 (g, p) −→ g . p ∈ M uma G-ação esquerda sobre avariedade M então resultam definidos as seguintes congiuntos de G:

(ORBITA DO PONTO P) Op = q ∈ M | q = g . p, g ∈ G ⊂ M (11.1.10)(ESTABILIZADOR P) Sp = g ∈ G | p = g . p ⊂ G (11.1.11)

Observação 185. O estabilizador de um ponto p é um sub-grupo de G, i.e.: Sp < G.

Definição 186. (AÇÃO LIVRE) Seja . : G × M 3 (g, p) −→ g . p ∈ M uma G-açãoesquerda sobre a variedade M, se Sp = e ∀p ∈ M então a ação diz-se livre.

Observação 187. Se analisarmos as orbitas dos pontos p, q ∈ M podemos notar que arelação de pertencer as orbitas de um ponto é:

(REFLEXIVA) p = e . p (11.1.12)

(SIMETRICA) q = g . p =⇒ p = g−1 . q (11.1.13)(TRANSITIVA) q = g1 . p , r = g2 . q =⇒ r = (g2 · g1) . p (11.1.14)

Portanto é uma relação de equivalência.

Definição 188. (ESPAÇO DAS ORBITAS) Seja . : G × M 3 (g, p) −→ g . p ∈ M umaG-ação esquerda sobre a variedade M, e seja∼ a relação de equivalência sobre M ondep ∼ q⇐⇒ q ∈ Op. Então M ∼ chama-se o Espaço das Orbitas de M.

Observação 189. Se a ação de G sobre a variedade M e livre então Op ∼= G.

11.2 Fibrado principal e fibrados associados

No final nós iremos requerir que as fibras dos nossos fibrados sejam isomorfas a umGrupo de Lie G.

Para fazer isso lembramos que se M é uma variedade C∞-diferenciável e (G, ·) umGrupo de Lie, uma G-ação direita e livre sobre a variedade M é uma aplicação

/ : G×M 3 (g, p) −→ p / g ∈ M (11.2.1)

tal que

(G-AÇÃO DIREITA)

p / e = p ∈ Mp / g1 / g2 = p / (g1 · g2) ∈ M

(11.2.2)

(11.2.3)(LIVRE) ∀p ∈ P p / g = p =⇒ g = e (11.2.4)

Então vamos definir um fibrado principal.

CAPÍTULO 11. CONEXÕES SOBRE FIBRADOS VETORIAIS 65

Definição 190. Um G-fibrado principal é um terno ξ = (P, π, M)

P /G←− Py π

M

(11.2.5)

com um Grupo de Lie G e uma ação dereita e livre / sobre P tal que existe um isomor-fismo entre fibrados

P P

π

y ∼= f ibr.

y ρ

M PG

(11.2.6)

É claro que se termos dois G-fibrados principais ξ = (P, π, M) e ξ ′ = (P′, π′, M′)com um isomorfismo entre os fibrados (u, f ) e quisermos preservar a estrutura de fi-brado principal no isomorfismo, precisamos acrescentar algumas condições às condi-ções de um isomorfismo entre fibrados.

Definição 191. Sejam ξ = (P, π, M) e ξ ′ = (P′, π′, M′) dois G-fibrados principais comação / e /′ rispeitivamente então um isomorfismo (u, f )

P u−→ P

/

yy /′

P u−→ P′

π

yy π′

Mf−→ N

(11.2.7)

diz-se um isomorfismo entre G-fibrados principais se:

f π = π′ u (11.2.8)u (p / g) = u (p) /′ g (11.2.9)

Observação 192. Se tivermos um G-fibrado principal e um G′-fibrado principal com umomomorfismo ρ : G −→ G′ então podemos definir um morfismo entre os dois fibradosprincipais assim modificando a ultima condição em

u (p / g) = u (p) /′ ρ (g) (11.2.10)

Varietá riemanniane, varietá psudoriemanniane e affiniConnessioni ordinarieConnessioni con 1-forme

Apêndice A

Álgebra Linear e Multilinear

Nessa apêndice iremos apresentar as definições básicas da Álgebra linear e Multilinearque foram utilizadas nas notas. Para não gravar demasiadamente o texto achámos me-lhor por essas definições na apêndice. Na primeira secção apresentámos os espaçosvetoriais e os módulos num jeito útil para comprender o fundamental problema com adefinição dos campos vetoriais sobre variedades. Na segunda secção apresentamos to-dos aquele resultados de álgebra multilinear que são essenciais pelo desenvolvimentodo discurso no capítulo 4 e seguintes.

A.1 Espaços Vetoriais e Modulos

De especial importância na Geometria Diferencial é a diferência entre um Módulo eum Espaço Vetorial em dimensão finida. Os espaços vetoriais sempre possuem umabase e isso implica que espaços vetoriais da mesma dimensão sempre são isomorfos.No caso dos módulos pelo contrario a base não existe necessariamente e se não existirnão é claro como comparar módulos diferentes. Esse problema resulta da máximaimportância dado que o espaço de todos os campos vetoriais sobre uma variedade nãoé um espaço vetorial, mas um módulo sobre o campo escalar das funçoes reais C∞(M)e portanto não possue necessariamente uma base che possa ser definida sobre toda avariedade M para escrever o campo vetorial em coordenadas que sejam válidas emtoda a variedade.

Como iremos ver na apêndice a propriedade crucial que distingue os módulos daos espaços vetoriais é a difêrencia de definição do campo escalar que no primeiro casonão é efectivamente um campo mas simplesmente é um Anel enquanto no segundo ocampo escalar é efectivamente um Campo. A primaria diferência entre os dois é a faltada condição de não tiver divisor do zero que implica a impossibilidade de escrever arelação de depenência linear num jeito útil para a formação de uma base.

Portanto essa apêndice apresenterá poucos e essenciaias teoremas e definiçoes fun-damentais finalizadas simplesmente pela comprensão do texto.

A.1.1 Aneis e Campos

Definição 193. Um anel (A,+, ·) é o dado de um conjunto com pelo menos dois ele-mentos distintos e duas operações binarias assim definidas:

A×A 3 (a, b) −→ a + b ∈ A (adicao)A×A 3 (a, b) −→ a · b ∈ A (multiplicacao)

66

APÊNDICE A. ÁLGEBRA LINEAR E MULTILINEAR 67

Tal que (A,+) é um grupo abeliano ou em outras palavras no respeito de adiçãotemos as seguintes propriedades:

0 + a = a + 0 ∀a ∈ A (0 é elemento neutro)

(a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ A (associativitade)a + (−a) = −a + a = 0 ∀a ∈ A (existência do inverso)

a + b = b + a ∀a, b ∈ A (comutatividade)

ADIÇÃO

(A.1.1)Tal que (A, ·) seja associativa

(a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ A (A.1.2)

e a operação de adição e multiplicação sejam distributivas

a · (b + c) = a · b + a · c∀a, b, c ∈ A (A.1.3)(b + c) · a = b · a + c · a∀a, b, c ∈ A (A.1.4)

Além dessas definições se existe um elemento 1 ∈ A tal que

1 · a = a · 1 ∀a ∈ A (A.1.5)

O anel diz-se com unitade e se por cada elemento existe um inverso multiplicativo

a · a−1 = a−1 · a = 1 ∀a ∈ A (A.1.6)

e portanto (A, ·) também é um grupo, então o anel diz-se Anel de Divisão ou Corpo.Se o anel (A,+, ·) é um corpo comutativo então diz-se Campo.

A.1.2 Espaço Vetorial

Definição 194. (MÓDULO) Seja A um anel, chamamos de módulo sobre A um conjuntoV com duas operações:

V×V 3 (v, w) −→ v + w ∈ V (adição de vetores)A×V 3 (λ, v) −→ λv ∈ V (produto por escalar)

Tal que V é um grupo abeliano pela adição ou seja:

∀u, v, w ∈ V0 + v = v + 0 = v (0 elemento neutro da adição)u + (v + w) = (u + v) + w (propriedade associativa)∀v ∈ V, existe unico (−v) ∈ V : (existência do inverso)v + (−v) = 0v + w = w + v (commutatividade da adição)

(A.1.7)

Tal que o produto por escalar tenha as seguintes proprietades:

∀v, w ∈ V ∀λ, µ ∈ A

λ(v + w) = λv + λw(µ + λ)v = µv + λvλ(µv) = (λµ)v1v = v0v = 0

(A.1.8)


Definição 195. (ESPAÇO VETORIAL) Seja K um campo, chamamos de espaço vetorial ummódulo sobre K.

Seja V um espaço vetorial sobre K, chamamos um elemento λ ∈ K de escalar e umelemento v ∈ V de vetor.

A.1.3 Dependência linear

Definição 196. (DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR) Dados v1, .., vn ∈ V dize-mos que a n-upla de vetores é linearmente dipendente se o 0 é uma combinação linearnão trivial dos vetores, ou seja se há λ1, .., λn ∈ K não todos nullos tal que

λ1v1 + .. + λnvn = 0 (A.1.9)

Se a única combinação linear que produz o vetor nulo é aquila com λ1 = .. = λn = 0então dizemos que os vetores v1, .., vn ∈ V são linearmente indipendentes.

O numero de vetores linearmente independentes permite nos definir a dimensãodo espaço vetorial:

Definição 197. (DIMENSÃO) Seja n o número máximo de vetores linearmente indipen-dentes em V espaço vetorial sobre um campo K, chamamos então n a dimensão deV sobre K e indicamos com dimK(V) ou dim(V) quando não houver ambiguidade nocampo escalar.

Observação 198. Até novas especificações iremos supor che a dimensão n do espaço Vseja sempre finita, ou seja iremos considerar os V tais que dimK(V) = n < ∞. Noscapitulos finais iremos especificar as correçoes necessarias por os espaços vetoriais dedimensão infinita.

A.1.4 Bases de um espaço vetorial

Definição 199. (BASE DE UM ESPAÇO) Seja V espaço vetorial e n = dim(V), dizemosque E = ei1≤i≤n é uma base de V se e1, .., en são vetores linearmente indipendentes.

Dado un vetor v ∈ V e uma base E = ei1≤i≤n é possível escrever v como com-binação linear da base dado que per hipótese não é possível encontrar mais do quen vetores linearmente independentes em V, isto quer dizer que há uma combinaçãolinear λ0, .., λn ∈ K com λ0 6= 0 em que:

λ0v + λ1e1 + .. + λnen = 0 (A.1.10)

Ou seja chamando ξ i = λi

λ0 =(λ0)−1

λi podemos escrever o vetor v como

v = ξ1e1 + .. + ξnen (A.1.11)

Definição 200. (COORDENADAS) Seja v ∈ V e E = ei1≤i≤n uma base de V, chama-mos de coordenadas de v no respeito da base E os escalares ξ i ∈ K tais que

v = ∑i=1..n

ξ iei, (A.1.12)


Observação 201. É muito importante sublinear que para que pudessemos escrever o ve-tor na forma de suma de vetores da base foi necessario encontrar o elemento

(λ0)−1 ∈

K ou seja foi crucial requirir que o anel de definição do espaço vetorial fosse um anelde divisão. Se V for um módulo e não um espaço vetorial isso não sempre seria pos-sível. Portanto uma observação crucial pelo desenvolvimento do nosso discurso é queno caso de um módulo não é sempre possível encontrar uma base e escrever as coordenadasdos vetores no respeito da base do modulo.

Definição 202. Seja v ∈ V e sejam E = ei1≤i≤n e F = fi1≤i≤n duas bases noespaço vetorial V. Nesse caso indicamos [v]E a rapresentação em coordenadas do vetor vrespeito à base E e indicamos com [v]F a rapresentação em coordenadas do vetor v respeitoà base F .

v = ∑i=1..n

ηifi −→ [v]F = (η1, .., ηn) (A.1.13)

v = ∑i=1..n

ξ iei −→ [v]E = (ξ1, .., ξn) (A.1.14)

Seja a matrix CE F = (cij), ci

j ∈ K a matrix com as coordenadas dos vetores dabase E no respeito da base F ou seja:

ej = ∑i=1..n

cijfi (A.1.15)

Então a mudança na base implica uma mudança nas coordinadas do veitores se-gundo a seguinte formula:

v = ∑i=1..n

ξ iei = ∑i=1..nj=1..n

ξ icjifj = ∑

j=1..n

η jfj (A.1.16)

Portantoη j = ∑

i=1..n

ξ icji (A.1.17)

A.1.5 Subespaços, Formula di Grassmann, Soma direta

Definição 203. (SUBESPAÇO) Seja V espaço vetorial sobre K e seja W ⊂ V tambémespaço vetorial sobre K, então o espaço W chama-se de subespaço vetorial de V.

Vamos enunciar sem dimostração a seguinte formula de intersecção de Grassmann:

Teorema 204. (FORMULA DE INTERSECÇÃO DE GRASSMANN) Sejam W1, W2 subespaçosvetoriais de V, então é verdadeira a seguinte formula:

dim(W1) + dim(W2) = dim(W1 ∩W2) + dim(W1 ∪W2) (A.1.18)

Definição 205. (SOMA DIRETA) Sejam W1, W2 subespaços vetoriais de V. Se W1∩W2 =0 chamamos de soma direta W1⊕W2 o espaço vetorial formado por w = w1 + w2 comw1 ∈ W1, w2 ∈ W2.

Se um espaço vetorial é soma direta de subespaços, ou seja V =⊕

i=1..mWi, dizemos

que V é decomponível e que está decomposto em suma direita de subespaços. Se umespaço V não é decomponível chamamos de indecomponível.

Definição 206. Sejam v1, .., vk vectores de V, definimos H = span(v1, .., vk) ⊂ V ousubespaço gerado de v1, .., vk, o subespaço gerado da todas as combinações lineares dosvetores v1, .., vk con coeficientes em K.


A.2 Transformações Lineares

A.2.1 Definições

Definição 207. (TRANSFORMAÇÃO LINEAR) Sejam V e W dois espaços vetoriais sobreK, chamamos de aplicação linear ou transformação linear uma aplicação A : V −→ Wque preserva a estrutura linear de V ou seja tal que:

A(λv + µw) = λA(v) + µA(v) (A.2.1)

As transformações lineares A : V −→ W formam um espaço vetorial sobre o campoK, indicamos esse espaço vetorial como Hom(V, W).

Teorema 208. Seja A ∈ Hom(V, W) temos as seguintes resultados:(i) ker(A) = v ∈ V |A(v) = 0 é um subespaço vetorial de V e dim(ker(A)) ≡ nul(A)(ii) A(V) = w ∈ W |w =A(v)é um subespaço vetorial de W e dim(A(W)) ≡ rank(A)(iii) (RANK-NULLITY THEOREM) dim(V) = rank(A) + nul(A)

A.2.2 Isomorfismos entre espaços vetoriais

Definição 209. (ISOMORFISMO) Uma transformação linear que seja bijectiva denomina-se isomorfismo.

Teorema 210. Sejam V e W dois espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo campoK,V e W são isomorfos⇐⇒dim(V) = dim(W) .

Dim. SeV e W são isomorfos então há uma A : V −→ W com A(V) ⊃ W porqueA sobrejectiva então rank(A) = dim(W) e dado que A é injectiva temos nul(A) = 0.Portanto pelo teorema precedente temos:

dim(V) = rank(A) + nul(A) = dim(W) (A.2.2)

Se dim(V) = dim(W) < ∞ podemos encontrar uma base E = ei1≤i≤n de V euma base F = fi1≤i≤nde W. Definimos então a trasformação linear onde A(ei) = fie A : V −→ W

v = ∑i=1..n

ξ iei −→ A(v) = ∑i=1..n

ξ ifi (A.2.3)

A transformação linear A é sobrejectiva e também injectiva e portanto é um isomor-fismo entre V e W.

Observação 211. Aqui fizemos utilizo do facto que a dimensão dos espaços vetoriais nãoseja infinita. No caso que a dimensão seja infinita o teorema não é valido. Na verdadeisso tornerá-se importante nos últimos capítulos sobre as Algebras de Banach.

A.3 Dualidade

A.3.1 Espaço Dual

Definição 212. Seja V um espaço vetorial sobre um campo K. Chamamos de espaço dualV∗ o espaço Hom(V, K) ou seja o espaço das aplicações lineares da o espaço vetorialV e o campo escalar K.


f : V −→ K (A.3.1)

Tais aplicações lineares com valores no campo escalar são também chamadas deformas lineares como de funcionais lineares ou covetores.

Como direita consequência da linearidade das formas lineares temos que∀ f , g ∈ V∗

∀λ, µ ∈ K=⇒ λ f + µg ∈ V∗ (A.3.2)

Portanto é muito fácil verificar o teorema seguinte:

Teorema 213. O Espaço Dual V∗ é um espaço vetorial sobre o campo K.

A.3.2 A Base Dual Canónica

Teorema 214. Dado um espaço vetorial V sobre um campo K, caso em que n = dim(V) < ∞e com uma base E = ei1≤i≤n podemos definir uma base no espaço dual V′ de funcionaislineares E ′ =

ei

1≤i≤n tais que:ei(ej) = δi

j (A.3.3)

Dim. Dada a base E = ei1≤i≤n do espaço vetorial V, para definir uma forma li-near só é preciso especificar os valores que ela assume sobre a base. Portanto definimosei as formas lineares que assumem os valores:

ei : V −→ K e ei(ej) =

1 se i = j0 se i 6= j

(A.3.4)

Agora vamos monstrar que essa é uma base de V′. Se f ∈ V′ temos que f : V −→K:

v = ∑i=1..n

ξ iei −→ f (v) = ∑i=1..n

ξ i f (ei) (A.3.5)

Chamamosf (ei) = ηi (A.3.6)

Então podemos escrever a forma linear f como:

f = ∑i=1..n

ηiei (A.3.7)

Ou seja todas as formas lineares podem ser escritas como combinações lineares dasei.Observação 215. Seja o vetor v = ∑

i=1..nξ iei e o funcional f = ∑

i=1..nηiei, o valor de f em v

então é

f (v) = f ( ∑i=1..n

ξ iei) = ∑i=1..n

ξ iηjei(ej) = ∑i=1..n

ξ iηi (A.3.8)

Corolário 216. Seja V∗ o espaço dual do espaço vetorial V , se n = dim(V) < ∞=⇒dim(V) =dim(V∗)

Observação 217. No último teorema como no último corolário é crucial a dimensão finitado espaço V. Sem a dimensão finita do espaço é possível encontrar ei tais que ei(ej) =

δij, mas esses não formam necessariamente uma base de V∗.


A.3.3 Bidual

Definição 218. Seja V espaço vetorial sobre o campo K e seja V∗ o dual, podemos agoraconsiderar o dual de V∗ indicado como (V∗)∗ e chamado de bidual de V.

Os elementos de (V∗)∗ são as funções ψv ∈ Hom(V∗, K) ou seja tais que:

ψv : V∗ −→ K

f −→ f (v) (A.3.9)

Podemos então definir uma função linear entre o espaço V e o bidual:

ψ : V −→ (V∗)∗

v −→ ψ(v) = ψv(A.3.10)

Se V for um espaço de dimensão finita teríamos dim(V) = dim(V∗) = dim((V∗)∗

)e portanto V teríamos o seguinte teorema:

Teorema 219. Seja V espaço vetorial sobre K e dim(V) < ∞=⇒V ∼= (V∗)∗

Pelo contrario se V está valido o seguinte teorema:

Teorema 220. Seja V espaço vetorial sobre K e ψ : V −→ (V∗)∗ definida ψ(v) = ψv=⇒ψ éinjectiva.

Demonstração. Para que o teorema seja valido é necessario ver que ker(ψ) = 0. Va-mos supor que ψv ≡ 0 por cada f ∈ V′ e que v 6= 0. Existiria então qualquer que sejaa rappresentação de v = ∑

i=1..nξ iei pelo meno uma coordenada deve ser ξ i0 6= 0 . Então

o funcional

f (ej) =

1 j = i00 j 6= i0

(A.3.11)

Assumeria o valorf (v) = ξ i0 6= 0 (A.3.12)

Que leva ao absurdo e demonstra a injectividade de ψ.

(2015) rev-4-001 notas geometria diferencial - copia

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