trabalho - geometria diferencial - 1ª parte

Universidade de BrasıliaDepartamento de MatematicaDisciplina: Geometria DiferencialProfessora: Wang QiaolingMestrando: Pedro Ernesto Araujo EloyMatrıcula: 11/0081781

Lista de Exercıcios

Manfredo Perdigao do Carmo, Geometria Diferencial de Curvas e Superfıcies

Capıtulo 1 - Secao 1.2 - Pagina 6

1) Encontre uma curva parametrizada α(t) cujo traco seja o cırculo x2 + y2 = 1 demaneira que α(t) percorra o cırculo no sentido anti-horario e tenhamos α(0) = (0, 1).

2) Seja α(t) uma curva parametrizada que nao passa pela origem. Se α(t0) e o pontodo traco de α mais proximo da origem e α′(t0) 6= 0, mostre que o vetor posicao α(t0) eortogonal a α′(t0).

3) Considere uma curva parametrizada α(t) tal que a sua derivada segunda α′′(t) sejaidenticamente nula. O que podemos dizer a respeito de α?

4) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada e seja v ∈ R3 um vetor fixado. Admitaque α′(t) seja ortogonal a v para todo t ∈ I e que α(0) tambem seja ortogonal a v. Proveque α(t) e ortogonal a v para todo t ∈ I.

5) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada, com α′(t) 6= 0 para todo t ∈ I. Mostreque |α(t)| e uma constante nao nula se e somente se α(t) e ortogonal a α′(t) para todo t ∈ I.

Capıtulo 1 - secao 1.3 - paginas 8 a 13

1) Mostre que as retas tangentes a curva parametrizada regular α(t) = (3t, 3t2, 2t3)fazem um angulo constante com a reta y = 0, z = x.

2) Um disco circular de raio 1 no plano xy gira sem escorregar ao longo do eixo Ox. Afigura descrita por um ponto da circunferencia do disco e chamada uma cicloide (Figura 1).

a) Obtenha uma curva parametrizada α : R→ R2 cujo traco seja uma cicloidee determine seus pontos singulares.

b) Calcule o comprimento de arco da cicloide correspondente a uma rotacaocompleta do disco.

1

Figura 1: A cicloide

3) Seja OA um diametro, de comprimento 2a, de um cırculo S1 e sejam OY e AV asretas tangentes a S1, respectivamente, em O e A. Uma semi-reta r e tracada a partir deO e encontra o cırculo S1 em C e a reta AV em B. Marque na reta OB o segmento Opde maneira que o comprimento de Op seja igual ao de CB. Girando r em torno de O, oponto p descreve uma curva chamada a cissoide de Diocles. Tomando O como a origemdo plano xy, OA como o eixo Ox e OY como o eixo Oy, mostre que

a) O traco de

a(t) =

(2at2

1 + t2,

2at3

1 + t2

), t ∈ R,

e a cissoide de Diocles (t = tan θ, ver Figura 2).

b) A origem (0, 0) e um ponto singular da cissoide.

c) A medida que t→∞, α(t) se aproxima da reta x = 2a, e α′(t)→ (2a, 0).Assim quando t → ∞, a curva e a sua tangente se aproximam da reta x = 2a; dizemosque x = 2a e uma assıntota da cissoide.

Figura 2: A cissoide de Diocles

2

4) Seja α : (0, π)→ R2 dada por

a(t) =

(sin t, cos t+ log tan

t

2

)onde t e o angulo que o vetor α′(t) faz com o eixo Oy. O traco de α e chamado de

tractriz.

Figura 3: A tractriz

Mostre que

a) α e uma curva diferenciavel, parametrizada, regular exceto em t = π2.

b) O comprimento do segmento da tangente da tractriz entre o ponto detangencia e o eixo Oy e constante igual a 1.

5) Seja α : (−1,+∞)→ R2 dada por

α(t) =

(3at

1 + t3,

3at2

1 + t3

)Prove que:

a) Para t = 0, α e tangente ao eixo Ox.

b) Quando t→∞, α(t)→ (0, 0) e α′(t)→ (0, 0).

c) Considerando a curva com a orientacao oposta, quando t → −1, a curvae a sua tangente se aproximam da reta x+ y + a = 0.

3

A figura obtida completando-se o traco de α de forma que ele se torne simetrico emrelacao a reta y = x e chamada o folium de Descartes (Ver Figura 4)

Figura 4: O folium de Descartes

6) Seja α(t) =(aebt cos t, aebt sin t

), t ∈ R, a > 0 e b < 0 constantes, uma curva

parametrizada.

a) Mostre que quando t→ +∞, α(t) aproxima-se da origem, espiralando emtorno dela (por causa disto, o traco de α e chamada a espiral logarıtmica; ver Figura 5).

b) Mostre que α′(t)→ (0, 0) quando t→ +∞ e que

limt→+∞

∫ t

t0

|α′(t)|dt

e finito; isto e, α tem comprimento de arco finito em [t0,∞).

Figura 5: A espiral logarıtmica

10) (Retas como caminhos mais curtos.) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada.Seja [a, b] ⊂ I e defina α(a) = p, α(b) = q.

4

a) Mostre que, para qualquer vetor constante v, |v| = 1,

(q − p) · v =

∫ b

a

α′(t) · vdt ≤∫ b

a

|α′(t)|dt.

b) Defina

v =q − p|q − p|

e mostre que

|α(a)− α(b)| ≤∫ b

a

|α′(t)|dt,

isto e, a curva com menor comprimento de α(a) a α(b) e o segmento de reta ligandoestes pontos.

Capıtulo 1 - Secao 1.4 - Paginas 17 a 19

1) Verifique se as seguintes bases sao positivas:

a) A base {(1, 3), (4, 2)} em R2.

b) A base {(1, 3, 5), (2, 3, 7), (4, 8, 3)} em R3.

2) Considere um plano P em R3 dado pela equacao ax + by + cz + d = 0. Mostre

que o vetor (a, b, c) e perpendicular ao plano e que |d|√a2+b2+c2

mede a distancia do plano a

origem (0, 0, 0).

3) Determine o angulo de interseccao entre dois planos 5x + 3y + 2z − 4 = 0 e3x+ 4y − 7z = 0.

4) Dados dois planos aix + biy + ciz + di = 0, i = 1, 2 prove que uma condicao ne-cessaria e suficiente para que eles sejam paralelos e

a1

a2

=b1

b2

=c1

c2

onde fazemos a convencao de que se o denominador e zero, o numerador correspon-dente tambem e zero (dizemos que dois planos sao paralelos se eles coincidem ou nao seintercectam).

5) Mostre que a equacao de um plano passando por tres pontos nao colineares p1 =(x1, y1, z1), p2 = (x2, y2, z2), p3 = (x3, y3, z3) e dada por

5

(p− p1) ∧ (p− p2) · (p− p3) = 0

onde p = (x, y, x) e um ponto arbitrario do plano e, por exemplo, p−p1 denota o vetor(x− x1, y − y1, z − z1).

6) Dados dois planos nao-paralelos aix+ biy+ ciz+ di = 0, i = 1, 2, mostre que a retade interseccao pode ser parametrizada como

x− x0 = u1t, y − y0 = u2t, z − z0 = u3t

onde (x0, y0, z0) pertence a interseccao e u = (u1, u2, u3) e o produto vetorial u = v1∧v2,vi = (ai, bi, ci), i = 1, 2.

7) Prove que uma condicao necessaria e suficiente para que o plano

ax+ by + cz + d = 0

e a reta x− x0 = u1t, y − y0 = u2t, z − z0 = u3t sejam paralelos e

au1 + bu2 + cu3 = 0.

8) Prove que a distancia ρ entre duas retas nao paralelas

x− x0 = u1t, y − y0 = u2t, z − z0 = u3tx− x1 = v1t, y − y1 = v2t, z − z1 = v3t

e dada por

ρ =|(u ∧ v) · r||u ∧ v|

onde u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), r = (x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1).

9) Determine o angulo de intersecao entre o plano 3x + 4y + 7z + 8 = 0 e a retax− 2 = 3t, y − 3 = 5t, z − 5 = 9t.

11) a) Mostre que o volume V de um paralelepıpedo gerado por tres vetoreslinearmente independentes u, v, w ∈ R3 e dado por V = |(u ∧ v) · w|, e defina otextitvolume orientado em R3.

b) Prove que

6

V 2 =

∣∣∣∣∣∣u · u u · v u · wv · u v · v v · ww · u w · v w · w

∣∣∣∣∣∣12) Dados os vetores v 6= 0 e w, mostre que existe um vetor u tal que u ∧ v = w se e

somente se v e perpendicular a w. O Vetor u esta unicamente determinado? Se nao, quala solucao mais geral?

13) Sejam u(t) = (u1(t), u2(t), u3(t)) e v(t) = (v1(t), v2(t), v3(t)) aplicacoes dife-renciaveis do intervalo (a, b) em R3. Mostre que se as derivadas u′(t) e v′(t) satisfazem ascondicoes

u′(t) = au(t) + bv(t), v′(t) = cu(t)− dv(t)

onde a, b, c sao constantes, entao o vetor u(t) ∧ v(t) e constante.

14) Encontre todos os vetores unitarios que sao perpendiculares ao vetor (2, 2, 1) eparalelos ao plano pelos pontos (0, 0, 0), (1,−2, 1), (−1, 1, 1).


Salvo mencao em contrario, α : I → R3 indicara uma curva parametrizada pelo com-primento de arco s, com curvatura k(s) 6= 0, para todo s ∈ I.

1) Dada uma curva parametrizada (helice)

α(s) =(a cos

s

c, a sin

s

c, bs

c

), s ∈ R

onde c2 = a2 + b2,

a) Mostre que o parametro s e o comprimento de arco.

b) Determine a curvatura e a torcao de α

c) Determine o plano osculador de α

d) Mostre que as retas contendo n(s) e passando por α(s) encontram o eixoOz sob um angulo constante igual a π/2.

e) Mostre que as retas tangentes a α fazem um angulo constante com o eixoOz

2) Mostre que a torcao τ de α e dada por

7

τ(s) = −α′(s) ∧ α′′(s) · α′′′(s)

|k(s)|2

3) Suponha que α(I) ⊂ R2 (i.e. α e uma curva plana), escolha uma base ortonormale1, e2 de R2, e considere k com um sinal, como fizemos no texto. Translade o vetor t(s)de modo que sua origem va na origem de R2. Considere a curva parametrizada s→ t(s),chamada indicatriz tangente de α. Seja θ(s) o angulo de e1 a t(s) na orientacao de R2.Prove que (note que estamos admitindo k 6= 0).

a) A indicatriz tangente e uma curva parametrizada regular.aab) dt/ds = (dθ/ds)n, isto e, k = dθ/ds.

4) Suponha que todas as normais a uma curva parametrizada passem por um pontofixo. Mostre que os traco da curva esta contido em um cırculo.

5) Uma curva parametrizada regular α tem a seguinte propriedade: todas as suastangentes passam por um ponto fixo.

a) Prove que o traco de α e (o segmento de) uma reta.

b) A conclusao ainda e valida se α nao e regular?

6) Uma translacao por um vetor w em R3 e uma aplicacao A : R3 → R3 dada porA(p) = p + v, p ∈ R3. Uma aplicacao linear ρ : R3 → R3 e uma transformacao ortogonalquando ρu · ρv = u · v para vetores quaisquer u, v ∈ R3. Um movimento rıgido em R3

e o resultado da composicao de uma translacao com uma transformacao ortogonal comdeterminante positivo (incluımos esta ultima condicao pois espera-se que movimentosrıgidos preservem orientacoes).

a) Demonstre que o medulo de um vetor e o angulo θ entre dois vetores,0 ≤ θ ≤ π, sao invariantes por transformacoes ortogonais com determinante positivo.

b) Mostre que os produto vetorial de dois vetores e invariante por trans-formacoes ortogonais com determinante positivo. A afirmacao continua verdadeira casonao seja levada em conta a condicao sobre o determinante?

c) Mostre que o comprimento de arco, a curvatura, e a torcao de uma curvaparametrizada sao (nos pontos onde estao definidas) invariantes por movimentos rıgidos.

9) Dada uma funcao diferenciavel k(s), s ∈ I, mostre que a curva plana parametrizadaque tem k(s) = k como curvatura e dada por

α(s) =

(∫cos θ(s)ds+ a,

∫sin θ(s)ds+ b

)onde

8

θ(s) =

∫k(s)ds+ φ

e que a curva fica determinada a menos de uma translacao pelo vetor (a, b) e umarotacao de angulo φ.

11) Frequentemente uma curva plana e dada em coordenadas polares: ρ = ρ(θ), a ≤θ ≤ b.

a) Mostre que o comprimento de arco e

∫ b

a

√ρ2 + (ρ′)2dθ

onde o sımbolo ’ denota derivacao em relacao a θ.

b) Mostre que a curvatura e

k(θ) =2(ρ′)2 − ρρ′ + ρ2

{ρ2 + (ρ′)2}3/2

12) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada regular (nao necessariamente pelocomprimento de arco) e seja β : J → R3 uma parametrizacao de α(I) pelo comprimentode arco s = s(t), medido a partir de t0 ∈ I (ver Observacao 2). Seja t = t(s) a funcaoinversa de s e faca dα/dt = α′, d2α/dt2 = α′′, etc. Prove que

a) dt/ds = 1/ |α′| , d2t/ds2 = −(α′ · α′′)/ |α′|4

b) A curvatura de α em t ∈ I e

k(t) =|α′ ∧ α′′||α′|3

c) A torcao de α em t ∈ I e

τ(t) = −(α′ ∧ α′′) · α′′′

|α′ ∧ α′′|2

d) Se α : I → R2 e uma curva plana α(t) = (x(t), y(t)), a curvatura comsinal (ver Observacao1) de α em t e

k(t) =x′y′′ − x′′y′(

(x′)2 + (y′)2)3/2

9

13) Suponha que τ(s) 6= 0 e k′(s) 6= 0 para todo s ∈ I. Mostre que uma condicaonecessaria e suficiente para que α(I) esteja contida em uma esfera e que

R2 + (R′)2T 2 = const.

onde R = 1/k, T = 1/τ e R′ e a derivada de R em relacao a s.

14) Seja α : (a, b)→ R2 uma curva parametrizada regular plana. Suponha que existet0, a < t0 < b, tal que a distancia |α(t)| do traco de α a origem seja maxima em t0. Provaque a curvatura k de α em t0 satisfaz |k(t0)| ≥ 1/ |α(t0)|.

15) Mostre que o conhecimento da funcao vetorial b = b(s) (vetor binormal) de umacurva α, de torcao nao nula por toda parte, determina a curvatura k(s) e o valor absolutoda torcao τ(s) de α.

16)Mostre que o conhecimento da funcao vetorial n = n(s) (vetor normal) de umacurva α, de torcao nao nula por toda parte, determina a curvatura k(s) e a torcao τ(s)de α.

17) De uma maneira geral, uma curva α e chamada uma helice se as retas tangentesde α fazem um angulo constante com uma direcao fixa. Supondo que τ(s) 6= −, s ∈ I,prove que:

a) α e uma helice se e somente se k/τ = const.

b) α e uma helice se e somente se as retas contendo n(s) e passando por α(s)sao paralelas a um plano fixo.

c) α e uma helice se e somente se as retas contendo b(s) e passando por α(s)fazem um angulo constante com uma direcao fixa.

d) A curva

α(s) =

(a

c

∫sin θ(s)ds,

a

c

∫cos θ(s)ds,

b

cs

)onde c2 = a2 + b2, e uma helice, e k/τ = a/b.


1) Mostre que o cilindro {(x, y, x) ∈ R3;x2 + y2 = 1} e uma superfıcie regular, e en-contre parametrizacoes cujas vizinhancas coordenadas cubram o cilindro.

2) O conjunto {(x, y, z) ∈ R3; z = 0 e x2 + y2 ≤ 1} e uma superfıcie regular? O con-junto {(x, y, z) ∈ R3; z = 0 e x2 + y2 < 1} e uma superfıcie regular?

10

3) Mostre que o cone de duas folhas, com o vertice na origem, isto e o conjunto{(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 − z2 = 0}, nao e uma superfıcie regular.

4) Seja f(x, y, z) = z2. Prove que 0 nao e um valor regular de f , mas ainda assimf−1(0) e uma superfıcie regular.

5) Seja P = }(x, y, z) ∈ R3;x = y} (um plano) e seja X : U ⊂ R2 → R3 dada por

X(u, v) = (u+ v, u+ v, uv)

onde U = {(u, v) ∈ R2;u > v}. Evidentemente, X(U) ⊂ P . Sera que X e uma para-metrizacao de P?

6) Apresente uma outra demonstracao para a Prop.1, aplicando a Prop.2 a h(x, y, z) =f(x, y)− z.

7) Seja f(x, y, z) = (x+ y + z − 1)2.

a) Localize os pontos crıticos e os valores crıticos de f .

b) Para quais valores de c o conjunto f(x, y, z) = c e uma superfıcie regular?

c) Responda as questoes dos itens a e b para a funcao f(x, y, z) = xyz2.

8) Seja X(u, v) como na Def. 1. Verifique que dXq : R2 → R3 e injetiva se e somente se

∂X

∂u∧ ∂X∂v6= 0

9) Seja V um conjunto aberto do plano xy. Mostre que o conjunto

{(x, y, z) ∈ R3; z = 0 e (x, y) ∈ V }

e uma superfıcie regular.

10) Seja C a ”figura 8”no plano xy e seja S a superfıcie cilındrica sobre C (Fig. 6);isto e,

S = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ C}

O conjunto S e uma superfıcie regular?

11) Mostre que o conjunto S = {(x, y, z) ∈ R3; z = x2 − y2} e uma superfıcie regular,verifique que as aplicacoes nos itens a e b sao parametrizacoes de S:

11

Figura 6: Superfıcie

a) X(u, v) = (u+ v, u− v, 4uv), (u, v) ∈ R2.

b) X(u, v) = (u cosh v, u sinh v, u2), (u, v) ∈ R2, u 6= 0.

Quais partes de S sao cobertas por estas parametrizacoes?

12) Mostre que X : U ⊂ R3 dada por

X(u, v) = (a sinu cos v, b sinu sin v, c cosu) a, b, c 6= 0

onde 0 < u < π, 0 < v < 2π, e uma parametrizacao do elipsoide.

x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1

Descreva geometricamente as curvas u = const. sobre o elipsoide.

13) Encontre uma parametrizacao para o hiperboloide de duas folhas {(x, y, z) ∈ R3;−x2 − y2 + z2 = 1}.

16) Uma maneira de definir um sistema de coordenadas para a esfera S2, dada porx2 + y2 + z2 − 1

2= 1, e considerar a chamada projecao estereografica π : S2−{N} → R2,

que leva um ponto p = (x, y, z) da esfera S2 menos o polo norte N = (0, 0, 2) sobre oplano xy (Fig. 7). Seja (u, v) = π(x, y, z), onde (x, y, z) ∈ S2 − {n} e (u, v) ∈ plano xy.

a) Mostre que π−1 : R2 → S2 e dada por

π−1

x = 4u

u2+v2+4

y = 4vu2+v2+4

z = 2(u2+v2)u2+v2+4

12

Figura 7: Projecao estereografica

b) Mostre que, utilizando a projecao estereografica, e possıvel cobrir a esferacom duas vizinhancas coordenadas.

19) Seja α : (−3, 0)→ R2 definida por (Fig. 8)

α(t)

= (0,−(t+ 2)), se t ∈ (−3,−1),

= curva parametrizada regular ligando p = (0,−1) a q = ( 1π, se t ∈ (−1,− 1

π),

= (−t, sin(

1t

)), se t ∈ (− 1

π, 0),

Figura 8: A escala horizontal e distinta da escala vertical

E possıvel definir a curva ligando p a q de forma que todas as derivadas de α sejamcontınuas e α nao tenha auto-intersecoes. Seja C o traco de α.

a) C e uma curva regular?

b) Considere as retas normais ao plano R2 e que passam por C, formandoassim um cilindro S. S e uma superfıcie regular?


1) Seja S2 = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 = 1} a esfera unitaria e seja A : S2 → S2 aaplicacao antıpoda A(x, y, z) = (−x,−y,−z). Mostre que A e um difeomorfismo.

13

2) Seja S ⊂ R3 uma superfıcie regular e π : S → R2 a aplicacao que leva cada p ∈ S emsua projecao ortogonal sobre R2 = {(x, y, z) ∈ R3; z = 0}. A aplicacao π e diferenciavel?

3) Mostre que o paraboloide z = x2 + y2 e difeomorfo a um plano.

4) Construa um difeomorfismo entre o elipsoide

x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1

e a esfera x2 + y2 + z2 = 1.

5) Seja C ⊂ R3 uma superfıcie regular, e seja d : S → R dada por d(p) = |p− p0|,onde p ∈ S, p0 ∈ R3, p0 /∈ S; isto e, d e a distancia de p a um ponto fixo p0 que nao estaem S. prove que d e diferenciavel.

6) Prove que a definicao de aplicacao diferenciavel entre superfıcies nao depende daescolha de parametrizacoes.

7) Prove que a relacao ”S1”e difeomorfa a S2”e uma relacao de equivalencia no con-junto das superfıcies regulares.

8) Sejam S2 = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 = 1} eH = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 − z2 = 1}.Denote por N = (0, 0, 1) e S = (0, 0,−1), respectivamente, os polos norte e sul, e considereF : S2 − {N} ∪ {S} → H definida da seguinte maneira: Para cada p ∈ S2 − {N} ∪ {S},seja q o ponto de intersecao entre a perpendicular ao eixo Oz que passa por p, e o eixoOz. Considere a semi-reta l comecando em q e contendo p. Entao {F (p)} = l ∩H (Fig.9). Prove que F e diferenciavel.

Figura 9: Hiperboloide e esfera

11) Prove que as rotacoes de uma superfıcie de revolucao S em torno de seu eixo saodifeomorfismos de S.

13) Mostre que a definicao, dada no texto (Def. 1), de diferenciabilidade de umafuncao f : V ⊂ S → R e equivalente ao seguinte: f e diferenciavel em p ∈ V se e a

14

restricao a V de uma funcao diferenciavel definida em um conjunto aberto de R3 con-tendo p. (Se tivessemos comecado com essa definicao de diferenciabilidade, poderıamoster definido uma superfıcie regular como um conjunto que e localmente defiomorfo ao R2;ver Observacao 3.)


1) Mostre que a equacao do plano tangente em (x0, y0, z0) a uma superfıcie regulardada por f(x, y, z) = 0, onde 0 e um valor regular de f , e

fx(x0, y0, z0)(x− x0) + fy(x0, y0, z0)(y − y0) + fz(x0, y0, z0)(z − z0) = 0

2) Determine os planos tangentes a x2 + y2− z2 = 1 nos pontos (x, y, 0) e mostre queeles nao todos paralelos ao eixo Oz.

3) Mostre que a equacao do plano tangente a uma superfıcie que e o grafico de umafuncao diferenciavel z = f(x, y), em um ponto p = (x0, y0), e dada por

z = f(x0, y0) + fx(x0, y0, z0)(x− x0) + fy(x0, y0, z0)(y − y0)

Lembre-se da definicao de diferencial df de uma funcao f : R2 → R, e mostre que oplano tangente e o grafico da diferencial dfp.

4) Mostre que os planos tangentes a uma supefıcie dada por z = xf(yx

), x 6= 0, onde

f e uma funcao diferenciavel, passam todos pela origem (0, 0, 0).

5) Se uma vizinhanca coordenada de uma superfıcie regular pode ser parametrizadana forma

X(u, v) = α1(u) + α2(v)

onde α1 e α2 sao curvas parametrizadas regulares, mostre que os planos tangentes aolongo de uma curva coordenada fixa desta vizinhanca sao todos paralelos a uma reta.

6) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada regular com curvatura diferente de zeroem todos os pontos. Considere a superficie tangente a α (Exemplo 5 da secao 2.3)

X(t, v) = α(t) + vα′(t), t ∈ I, v 6= 0

Mostre que os planos tangentes ao longo da curva X(const., v) sao todos iguais.

7) Seja f : S → R dada por f(p) = |p− p0|2, onde p ∈ S e p0 e um ponto fixo de R3

(ver Exemplo 1 da secao 2.3). Mostre que dfp(w) = 2w · (p− p0), w ∈ TpS.

8) Prove que se L : R3 → R3 e uma aplicacao linear e S ⊂ R3 e uma superfıcie regularinvariante por L, i. e., L(S) ⊂ S, entao a restricao L|S e uma aplicacao diferenciavel e

15

dLp(w) = L(w), p ∈ S, w ∈ TpS

9) Mostre que a superfıcie parametrizada

X(u, v) = (v cosu, v sinu, au), a 6= 0

e regular. Calcule o seu vetor normal N(u, v) e mostre que, ao longo da reta coorde-nada u = u0, o plano tangente de X gira em torno deste reta de tal modo que a tangentede seu angulo com o eixo Oz e proporcional ao inverso da distancia (v =

√x2 + y2) do

ponto X(u0, v) ao eixo Oz.

10) (Superfıcies Tubulares) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada regular comcurvatura diferente de zero em todos os pontos e parametrizada pelo comprimento dearco. Seja

X(s, v) = α(s) + r (n(s) cos v + b(s) sin v) ,r = const. 6= 0, s ∈ I, v ∈ (0, 2π)

uma superfıcie parametrizada (o tubo de raio r em torno de α), onde n e o vetornormal e b e o vetor binormal de α. Mostre que, quando X e regular, o seu vetor normalunitario e dado por

N(s, v) = − (n(s) cos v + b(s) sin v)

11) Mostre que as normais de uma superfıcie parametrizada dada por

X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)) , f(u) 6= 0, g′ 6= 0

passam todas pelo eixo Oz.

12) Mostre que cada uma das equacoes (a, b, c 6= 0)

x2 + y2 + z2 = axx2 + y2 + z2 = byx2 + y2 + z2 = cz

define uma superfıcie regular e que elas se intersectam ortogonalmente.

13) Um ponto crıtico de uma funcao diferenciavel f : S → R definida em uma su-perfıcie regular S e um ponto p ∈ S tal que dfp = 0.

a) Seja f : S → R dada por f(p) = |p− p0| , p ∈ S, p0 /∈ S (cf. Exercıcio 5,secao 2.3). Mostre que p ∈ S e um ponto crıtico de f se e somente se a reta ligando p ap0 e normal a S em p.

b) Seja h : S → R dada por h(p) = p · v, onde v ∈ R3 e um vetor unitario(cf. Exemplo 1, secao 2.3). Mostre que p ∈ S e um ponto crıtico de h se e somente se v e

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um vetor normal a S em p.

15) Mostre que se todas as normais a uma superfıcie conexa passam por um pontofixo, a superfıcie esta contida em uma esfera.

16) Seja w um vetor tangente a uma superfıcie regular S em um ponto p ∈ S, e sejamX(u, v) e X(u, v), sejam, respectivamente

w = α1Xu + α2Xv

e

w = β1Xu + β2Xv

Mostre que as coordenadas de w estao relacionadas por

β1 = α1∂u

∂u+ α2

∂u

∂v

β2 = α1∂v

∂u+ α2

∂v

∂v

onde u = u(u, v) e v = v(u, v) sao as expressoes da mudanca de coordenadas.

17) Duas superficies regulares S1 e S2 intersectam-se transversalmente se sempre quep ∈ S1 ∩ S2 entao TpS1 6= TpS2. Prove que se S1 e S2 intersectam-se transversalmente,entao S1 ∩ S2 e uma curva regular.

18) Prove que se uma superfıcie regular S encontra um plano p em um unico ponto,entao este plano coincide com o plano tangente a S em p.

19) Seja S ⊂ R3 uma superfıcie regular e P ⊂ R3 um plano. Se todos os pontos deS estao em um mesmo semi-espaco (fechado) definido por P , prove que P e tangente a Sem todos os pontos P ∩ S.

20) Mostre que as projecoes ortogonais do centro (0, 0, 0) do elipsoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

sobre seus planos tangentes constitui uma superfıcie regular dada por{(x, y, z) ∈ R3; (x2 + y2 + z2)

2= a2x2 + b2y2 + c2z2

}− {(0, 0, 0)}

21) Seja f : S → R uma funcao diferenciavel em uma superfıcie regular conexa S.Suponha que dfp = 0 para todo p ∈ S. Prove que f e constante em S.

24) (Regra da Cadeia) Mostre que se ϕ : S1 → S2 e ψ : S2 → S3 sao aplicacoesdiferenciaveis, definidas em superfıcies regulares, e p ∈ S1, entao

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d (ψ ◦ ϕ)p = dψϕ(p) ◦ dϕp

25) Prove que se duas curvas regulares C1 e C2 de uma superfıcie regular S sao tan-gentes em um ponto p ∈ S e se ϕ : S → S e um difeomorfismo, entao ϕ(C1) e ϕ(C2) saocurvas regulares que sao tangentes em ϕ(p).


2) Seja X(ϕ, θ) = (sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cos θ) uma parametrizacao da esfera unitariaS2. Seja P o plano x = z cotα, 0 < α < π, e β o angulo agudo que a curva P ∩ S2 fazcom o semi-meridiano ϕ = ϕ0. Calcule cos β.

3) Obtenha a primeira forma fundamental da esfera na paramterizacao dada pelaprojecao estereografica (cf. Exercıcio 16, secao 2.2).

4) Dada a superficie parametrizada

X(u, v) = (u cos v, u sin v, log cos v + u) , −π2< v <

π

2

mostre que as duas curvas X(u1, v) e X(u2, v) determinam segmentos com compri-mentos iguais sobre todas as curvas X(u, const.).

5) Mostre que a area A de uma regiao limitada R da superfıcie z = f(x, y) e

A =

∫∫Q

√1 + f 2

x + f 2ydxdy,

onde Q e a projecao ortogonal de R sobre o plano xy.

6) Mostre que

X(u, v) = (u sinα cos v, u sinα sin v, u cosα)0 < u <∞, 0 < v < 2π, α = const.

e uma parametrizacao do cone tendo 2α como angulo do vertice. Na vizinhancacoordenada correspondente, prove que a curva

X (c exp(v sinα cot β), v) , c = const., β = const.,

intersecta as geratrizes do cone (v = const.) sob o angulo constante β.

7) As curvas coordenadas de uma parametrizacao X(u, v) constitui uma rede de Tche-bishef se os comprimentos de dos lados opostos de qualquer quadrilatero formado por elessao iguais. Mostre que uma condicao necessaria e suficiente para isto e

∂E

∂v=∂G

∂v= 0

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8) Prove que sempre que as curvas coordenadas constituem uma rede de Tchebyschef(ver Exercıcio 7) e possıvel reparametrizar a vizinhanca coordenada de tal maneira queos novos coeficientes da primeira forma fundamental sao

E = 1, F = cos θ, G = 1,

onde θ e o angulo formado pelas curvas coordenadas.

9) Mostre que a superfıcie de revolucao sempre pode ser parametrizada de modo que

E = E(v), F = 0, G = 1.

10) Seja P = {(x, y, z) ∈ R3; z = 0} o plano xy e seja X : U → P uma parametrizacaode P dada por

X(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ)

onde

U = {(ρ, θ) ∈ R2; ρ > 0, 0 < θ < 2π}

Calcule os coeficientes da primeira forma fundamental de P nesta parametrizacao.

14) (Gradiente em Superfıcies) O gradiente de uma funcao diferenciavel f : S → R euma aplicacao diferenciavel grad f : S → R3 que associa a cada ponto p ∈ S um vetorgrad f(p) ∈ Tp(S) ⊂ R3 tal que

〈grad f(p), v〉p para todo v ∈ TpS

Mostre que

a) Se E, F , G sao os coeficientes da primeira forma fundamental em umaparametrizacao X : U ⊂ R2 → S, entao grad f em X(U) e dado por

grad f =fuG− fvFEG− F 2

Xu +fvE − fuFEG− F 2

Xv

Em particular, se S = R2 com coordenadas x, y,

graf f = fxe1 + fye2,

onde {e1, e2} e a base canonica R2 (assim, a definicao dada coincide com a definicaousual do gradiente no plano).

b) Fixando p ∈ S e deixando v variar no cırculo unitario |v| = 1 em TpS,entao dfp(v) e maximo se e somente se v = grad f

|grad f | (assim, grad f(p) fornece a direcao da

variacao maxima de f em p).

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c) Se grad f 6= 0 em todos os pontos da curva de nıvel C = {q ∈ S; f(q) = const.},entao C e uma curva regular em S e grad f e normal a C em todos os pontos de C.


1) Mostre que, em um ponto hiperbolico, as direcoes principais bissextam as direcoesassintoticas.

2) Mostre que, se uma superfıcie e tangente a um plano ao longo de uma curva, entaoos pontos dessa curva sao parabolicos ou planares.

3) Seja C ⊂ S uma curva regular sobre uma superfıcie S com curvatura GaussianaK > 0. Mostre que a curvatura k de C em p ∈ S satisfaz

|k| ≥ min {|k1| , |k2|}

onde k1 e k2 sao as cuvaturas principais de S em p.

4) Suponha que uma superfıcie S tenha a propriedade |k1| ≤ 1, |k2| ≤ 1 em todos ospontos. E verdade que a curvatura k de uma curva em S tambem satisfaz |k| ≤ 1?

5) Mostre que a curvatura media H em p ∈ S e dada por

H =1

π

∫ π

0

kn(θ)dθ

onde kn(θ) e a curvatura normal em p na direcao que faz um angulo θ, com uma direcaofixa.

6) Mostre que a soma das curvaturas normais em um ponto p ∈ S, para qualquer parde direcoes ortogonais, e constante.

7) Mostre que se a curvatura media e zero em um ponto nao-planar, entao esse pontotem duas direcoes assintoticas ortogonais.

8) Para as superfıcies abaixo, descreva a regiao da esfera unitaria coverta pela imagemda aplicacao de Gauss:

a) Paraboloide de revolucao z = x2 + y2.

b) Hiperboloide de revolucao x2 + y2 − z2 = 1.

c) Catenoide x2 + y2 = cosh2 z.

9) Prove que

a) A imagem N ◦α pela aplicacao de Gauss N : S → §2 de uma curva regularparametrizada α : I → S que nao contem pontos planares ou parabolicos, e uma curva

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regular sobre a esfera S2 (chamada imagem esferica de α).

b) Se C = α(I) e uma linha de curvatura, e k a sua curvatura em p, entao

k = |knkN |

onde kn e a curvatura normal em p ao longo da reta tangente a C e kN e a curvatura daimagem esferica N(C) ⊂ S2 em N(p).

10) Suponha que o plano osculador de uma linha de curvatura C ⊂ S, que nao etangente a uma direcao assintotica, faca um angulo constante com o plano tangente a Sao longo de C. Prove que C e uma curva plana.

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trabalho - geometria diferencial - 1ª parte

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