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Universidade Federal do Para
Faculdade de Matematica
Curso de Matematica
Marcelo da Silva Alves
Geometria Diferencial das Curvas e a
Reparametrizacao pelo Comprimento de Arco
Maraba
2013
Marcelo da Silva Alves
Geometria Diferencial das Curvas e a
Reparametrizacao pelo Comprimento de Arco
Monografia apresentada ao Curso de Matematica
da UFPA, como requisito parcial para a obtencao
do grau de Licenciado em Matematica.
Orientador: Carlos Henrique de Jesus
Mestre em Matematica - UFPB
Maraba
2013
Alves, Marcelo
Geometria Diferencial das Curvas e a Reparametrizacao pelo Com-
primento de Arco / Marcelo Alves - 2013
41.p
1.Geometria Diferencial. 2.Curvas. 3.Reparametrizacao.. I.Tıtulo.
CDU - 22 ed.: 516.36
Marcelo da Silva Alves
Geometria Diferencial das Curvas e a
Reparametrizacao pelo Comprimento de Arco
Monografia apresentada ao Curso de Matematica
da UFPA, como requisito para a obtencao parcial
do grau de Licenciado em Matematica.
Aprovado em 19 de Agosto de 2013
BANCA EXAMINADORA
Carlos Henrique de Jesus
Mestre em Matematica - UFPB
Pablo Salermo Monteiro do Nascimento
Mestre em Matematica
Rigler da Costa Aragao
Mestre em Geofısica
Dedico este trabalho as pessoas que sempre me
apoiaram e me fizeram crer na realizacao dos
meus objetivos e que de alguma forma con-
tribuıram para a realizacao deles, a minha mae,
meu pai, e toda minha famılia.
Resumo
Os objetos de estudo da Geometria Diferencial sao as curvas e as superfıcies. O nome
se deve ao fato de que muitos dos conceitos e definicoes tem como pre-requisito tecnicas
do Calculo Diferencial e Integral e Geometria Analıtica. E uma disciplina de grande
importancia para o desenvolvimento cientıfico e tecnologico, tendo aplicacoes em geologia,
estatıstica, economia, processamento de imagens, teoria da informacao, dentre muitas
outras. Este trabalho consiste numa revisao de literatura, abordando apenas o estudo de
curvas e reparametrizacao pelo comprimento de arco, que se faz necessario para o estudo
local das curvas.
Palavras-chave:Geometria Diferencial, curvas, reparametrizacao.
Abstract
The objects of study in Differential Geometry are curves and surfaces. The name is due
to the fact that many of the concepts and definitions have as pre-requisite techniques
from Differential and Integral Calculus and Analytic Geometry. This is a discipline of
great importance for the scientific and technological development, having applications in
Geology, Statistics, Economy, Image Processing, Information Theory and many others.
The present work consists in a literature review, approaching the study of curves and
reparametrization by the arc length, which is needed for the local study of curves.
Keywords:Differential Geometry, curves, reparametrization.
Agradecimentos
Agradeco aos meus pais, Joao e Maria Helena, que sempre me auxiliaram em toda minha
vida, a eles agradeco por tudo que sou e tudo que tenho.
Aos meus avos: Maria Felix e Jose.
A minha irma Marcia.
Aos meus tios: Cidilandia, Jaciara, Lourdes, Paulo, Raquel e Sandra pelo
incentivo que sempre me deram.
As minhas primas: Dianna e Fiama, pela preocupacao e apoio.
Ao meu professor Carlos Henrique pelo auxılio na elaboracao deste trabalho.
A todos os meus colegas de turma e especialmente aos meus colgas Carlos e
Luzinaldo pelo tempo em que estudamos em casa, meu colega de turma Jonathan por
dedicar parte seu tempo para me auxiliar no uso do Latex.
Aos meus professores: Elizabeth, Carlos, Mangabeira, Pablo, Katia, Marcelo
e Daltro, pois todos contribuıram para minha formacao.
Ao meu amigo e colega de turma Thiago, por me incentivar a fazer este curso.
Sumario
1 Introducao 7
2 Funcoes 8
2.1 Funcoes, Aplicacoes, Transformacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Classificacoes das funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Funcoes contınuas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Funcoes contınuas e diferenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Curvas planas 12
3.1 Curva Parametrizada Diferenciavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Vetor Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Curva Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Mudanca de Parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Teoria local das Curvas Planas, Formulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . 19
3.7 Teorema Fundamental das Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Curvas no Espaco 24
4.1 Curva Parametrizada Diferenciavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Vetor Tangente; Curva Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Mudanca de Parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Curva parametrizada pelo comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Teoria local das Curvas; Formulas de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.6 Teomema Fundamental das Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Reparametrizacoes pelo Comrimento de Arco 30
5.1 Reparametrizacao pelo comprimento de arco de uma curva no plano . . . . 30
5.2 Reparametrizacao pelo comprimento de arco de uma curva no espaco . . . 33
6 Consideracoes Finais 36
Referencias Bibliograficas 37
7
1 Introducao
A geometria diferencial das curvas tem dois objetos de estudo: as curvas e as superficies.
Ela pode ainda ser classificada de duas maneiras: a geometria diferencial classica e a
geometria diferencial global. A geometria diferencial classica e o estudo das propriedades
locais desses dois objetos, onde e dado um ponto arbitrario e entao e feito o estudo do
comportamento da curva ou superfıcie a partir desse ponto. A geometria diferencial global
e o estudo das propriedades das curvas e superfıcies de modo global (geral), da curva como
um todo, caracteriscas de um modo geral.
Apesar da geometria diferencial estudar as curvas e superfıcies, neste trabalho
vamos estudar apenas as curvas. Este trabalho tambem tem a tendencia para a geometria
diferencial classica, ja que o nosso objetivo aqui e estudar as curvas e fazer uma repara-
metrizacao pelo comprimento de arco. O que podemos falar e que a geometria diferencial
das curvas direciona seu estudo as curvas parametrizadas pelo comprimento de arco.
O trabalho esta organizado em 6 capitulos, o primeiro e esta apresentacao. No
capıtulo 2 apresentamos as definicoes de funcoes que durante o trabalho mencionamos e
as que achamos conveniente. No capıtulo 3 comecamos o estudo das curvas no plano e
onde e definida as curvas a serem estudadas, vetor tangente, mudanca de parametro, a
curvatura de uma curva e o teorema fundamental das curvas. No capıtulo 4 e estendido
os principais conceitos das curvas planas as curvas no espaco, onde aqui surge mais um
conceito (componente) para o estudo das curvas no espaco, a torcao, necessario para
apresentar o teorema fundamental das curvas. No capıtulo 5 fazemos as reparametrizacoes
de duas curvas uma no plano e outra no espaco. Por fim temos a consideracoes finais.
8
2 Funcoes
2.1 Funcoes, Aplicacoes, Transformacoes
Neste capıtulo iremos revisar alguns conceitos importantes a respeito das funcoes que
serao uteis para iniciarmos o estudo das curvas.
Definicao 2.1.1. Sejam A e B dois conjntos, nao vazios, e seja f uma relacao de A em
B, ou seja, f ⊂ A×B, tal que:
a) Domf = A, todos os elementos de A estao na relacao.
b) Para cada elemento de A, existe um unico elemento de B que esta na relacao
com ele.
De acordo com a definicao f e funcao, aplicacao, transformacao de A em B
e pode ser srepresentada por y = f(x), xfy, (x, y) ∈ f , Tx = y, onde x ∈ A e y ∈ B.
Os elementos da relacao entre esses dois conjuntos sao os pares ordenados. Quanto a
representacao geometrica, tambem conhecida como grafico, traco, podemos definir ao
conjunto G(f) = u = (x, f(x)) ∈ A×B.
Os exemplo mais comuns que conhcemos sao as funcao reais, que tem os con-
juntos no mesmo espaco, onde A = B = R. Porem devemos tomar cuidado com as que os
conjuntos A e B sao quaisquer, pois e comum os elementos de A e de B serem n−uplas (
estruturas geradas pelos produtos cartesianos entre conjuntos) e com isso a representacao
geometrica sera distinta do que ja foi definido. [2]
Exemplos:
a) Seja uma funcao de A = R2 em B = R, definidas pela expressao: f(x, y) =
2x2 + 3y2 = z. O grafico e dado por G(f) = ((x, y), z), que apesar dos elementos serem
pares a representacao geometrica de f e em R3.
b) A funcao linear f : R2 −→ R3, dada por: f(x, y) = (2x+3y, 5x−4y, 8x+2y),
cujo o traco e G(f) = (x, y), (u1, u2, u3).
Neste exemplo podemos considerar as seguintes funcoes:
f1(x, y) = 2x+ 3y, f2(x, y) = 5x− 4y, f3(x, y) = 8x+ 2y
Agora vejamos alguns conceitos e definicoes iremos usar no estudo de curvas.
2.1.1 Classificacoes das funcoes
A esta secao iremos falar das classificacoes da funcoes, mas vamos apenas definir.
Injetora
Definicao 2.1.2. Seja f ∈ (A×B), f e dita injetora, um a um, univoca, se: x1 6= x2 ⇒
f(x1) 6= f(x2) ou, na forma equivalente, f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2.
Isto e, x diferentes sao associados a y diferentes.
Sobrejetora
Definicao 2.1.3. Seja f ∈ (A×B), f e dita sobrejetora, se Im(f) = B.
Isto e, o contradomınio e igual ao conjunto imagem.
Bijetora
Definicao 2.1.4. Seja f ∈ (A × B), f e dita bijetora a funcao. Se f e bijetora entao
estabelece uma correspondencia biunıvoca entre os elementos de A e B.
Isto e, cada elemento de A possui apenas uma correspondente em B e de B em
A.
Funcao composta
Definicao 2.1.5. Sejam f : A −→ B e g : B −→ C, para todo x ∈ A definimos g
composta com f , g ◦ f = h, por h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Inversa
Definicao 2.1.6. Sejam: f : A −→ B e g : B −→ A, f e g bijetoras. Se f ◦g = g ◦f = I,
identidade, ou seja, (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x) = x = I(x) dizemos que f e g sao inversas e
indicamos: g = f−1 ou f = g−1.
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Isto e, apenas admitem funcao inversa, as funcoes bijetoras.
Estes sao os conceitos de definicoes a respeito de funcoes que iremos usar no
decorrer dos estudos de curvas. Os que mais quero chamar atencao sao os conceitos
de funcoes composta e funcoes inversa, que por sua vez atenta ao conceito de funcoes
bijetoras. As funcoes composta e funcoes inversa sao importante, pois ao estudarmos a
mudanca de parametro usamos as funcoes compostas e funcoes inversas, no caso de voltar
ao parametro antigo.
2.1.2 Funcoes contınuas em R
Definicao 2.1.7. Seja f : R −→ R, dizemos que f e contınua no ponto x0, se dado
ε > 0 (no Domınio) for sempre possıvel determinar um δ > 0(na imagem), tal que
| x− x0 |< ε⇒| f(x)− f(x0) |< δ.
Isto significa que os pontos proximos de x0, tanto pela direita como pela es-
querda, tem por imagem pontos proximos de f(x0). Dizemos que uma funcao e contınua
quando for contınuia em todos os pontos seus pontos.
agora vejamos as propriedades das funcoes que iremos precisar no estudo de
curvas:
1)Sejam f : A −→ B e g : B −→ C duas funcoes contınuas, entao a funcao
composta h = g ◦ f e contınua.
2) Sejam f e g : A −→ R funcoes contınuas em x0, entao:
a) a soma (f + g) e definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x)
b) o produto (f · g) e definido por (f · g)(x) = f(x) · g(x)
c) o quociente (f/g) e definido por (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x) 6= 0
d) α · f , e definida por (α · f)(x) = α · f(x) com α e R sao contınuas em x0
3) Funcoes coordenadas: Sejam A,A1, A2, . . . , An espacos metricos e as funcoes
fi : A −→ Ai, contınuas num ponto u0. A funcao f : A −→ A1 × A2 × . . .× An, definida
por f(u) = (f1(u), f2(u), fn(u)) e contınua no ponto u0.
As funcoes fi(u) sao chamadas de funcoes coordenadas e a funcao f , funcao
parametrizada pelo parametro u.
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2.1.3 Funcoes contınuas e diferenciacao
Agora que ja vimos os conceitos das classificacoes das funcoes e de continuidade, vamos
ver o conceito de funcao doferenciavel e sua interpretacao geometrica.
Teorema 2.1.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ Rm, se f e diferenciavel em u0 ∈ A, entao f e
contınua em u0.
Este teorema diz, se uma funcao e diferenciavel em uma ponto dado entao ela
e continua no mesmo, isso facilita verificar se uma funcao e contınua em um ponto ou
nao.
Quanto a representacao da derivada ou diferencial, temos:
1) Seja a funcao f : R −→ Rn definida por f ′(t) = (f ′1(t), f′2(t), . . . f
′n(t)) ou
df (t) = (df1(t), df2(t), . . . , ffn(t).
A derivada representa o coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto
dado. Seja f : R −→ R, dada por y = f(x), temos: y′ = dydx
= f ′(x) e f ′(x0) = y′0.
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12
3 Curvas planas
Uma curva no plano e descrita a partir das coordenadas dos seus pontos por meio de uma
funcao de uma variavel independente, desta forma, como este capitulo trata das curvas
situadas no plano as curvas aqui serao de duas coordernadas.
Podemos dizer que as curvas tem dois tipos representacao: a algebrica que e por
meio uma funcao de uma variavel independente e a sua representacao geometrica (traco)
que e por assim dizer o “desenho”que a curva tem, ou a trajetoria que a representacao
algebrica realiza. Uma representacao geometrica, por exemplo, e o percurso que um
carro faz ao dar um passeio pela cidade que pode ser descrita dando-se cada uma das
coordenadas de seus pontos como funcoes.
3.1 Curva Parametrizada Diferenciavel
Definicao 3.1.1. Uma curva parametrizada diferenciavel do plano e uma aplicacao dife-
rencialvel α de classe C∞,de um intervalo aberto I ⊂ R em R2. A variavel t ∈ I e dita
parametro da curva e o subconjunto de R2 dos pontos α(t), t ∈ I e chamado traco da
curva.
De acordo a esta definicao, vemos que uma curva parametrizada diferenciavel
no plano e uma aplicacao α : I → R2 de forma que para cada t de I associa a um
α(t)=(x(t) , y(t)), e as funcoes x(t) e y(t)sao direnciaveis de classe C∞. Assim podemos
dizer que essas curvas sao ”suaves” pois possuem derivadas de todas as ordens. Tambem
de acordo a definicao o traco da curva ou do ”desenho”que da curva e o subconjunto de
R2.
Entao uma curva parametrizada diferenciavel no plano e uma aplicacao e o
traco e o subconjunto de R2.
Exemplos:
a) Um exemplo de curva que temos, que e comum estudarmos nas aulas de
calculo e a circunferencia α(t) = (cos(t), sen(t)) e seu traco e mostrado na figura 3.1
Figura 3.1: Circunferencia
b) Outra curva que temos e a curva α(t) = (cos(3t)cos(t), cos(3t)sen(t)). O
traco dessa curva e conhecido como trevo, figura 3.2
Figura 3.2: trevo
c) Existem tambem, as curvas parametrizadas diferenciaveis que possuem o
mesmo traco, como por exemplo
α(r) = (2cos(r)(1 + cos(r)), 2sen(r)(1 + cos(r))
β(t) = (2cos(2t+ 1)(1 + cos(2t+ 1)), 2sen(2t+ 1)(1 + cos(2t+ 1))
curvas cujo o traco e conhecido como cardioide, que segue na figura 3.3
Figura 3.3: Cardioide
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d) Um exemplo que nao e considerado curva e a aplicacao α(t) = (t, |t|) porque
contraria a definicao de cuva parametrizada, onde α de classe C∞,de um intervalo aberto
I ⊂ R em R2, e nesse caso α nao e diferenciavel em t = 0 pata |t|, figura 3.4
Figura 3.4: Modulo
3.2 Vetor Tangente
Definicao 3.2.1. Seja α:I→ R2 uma curva parametrizada diferenciavel, que a cada t ∈ I
associa α(t)=(x(t) , y(t)). O vetor
α′(t) = (x′(t), y′(t))
e chamado vetor tangente (ou vetor velocidade) a α em t.
A reta que passa por α(t) na direcao de α′(t) e dada pela funcao g(r) =
α(t) + rα′(t), r ∈ R.
3.3 Curva Regular
Agora que esta definido o vetor tangente de uma curva, para as curvas que estudaremos
ha a necessidade de existencia de uma reta tangente a curva α para cada t ∈ I, mas
existem os casos onde em que para um ponto de α tal que t ∈ I onde α′(t) = 0.
Para darmos continuidade ao estudo das curvas consideraremos apenas as cur-
vas que nao ocorrem esse caso.
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Definicao 3.3.1. Uma curva parametrizada diferenciavel α:I→ R2 e dita regular se
∀t ∈ I, α′(t) 6= 0.
A partir de agora restringiremos os estudo apenas as curvas parametrizadas
diferenciaveis, de acordo a definicao, que sao regulares.
3.4 Mudanca de Parametro
Como vimos um exemplo na secao Curva Parametrizada Diferenciavel existem as
curva que apesar da representacao algebrica diferente possuem o mesmo traco, a mesma
representacao geometrica. A partir desse conceito de que existem curvas com mesmo
traco, podemos obter varias curvas regulares a partir da seguinte definicao:
Definicao 3.4.1. Sejam I e J intervalos abertos de R, α : I → R2 uma curva regular e
h : J→ I uma funcao diferenciavel (C∞), cuja derivada de primeira ordem e nao nula em
todos os pontos de J e tal que h(J) = I. Entao a funcao composta
β = α ◦ h→ R2
e uma curva regular, que tem o mesmo traco que α, chamada reparametrizacao de α por
h. A funcao h e dita mudanca de parametro.
Desta forma, a partir da definicao, uma funcao diferenciavel h em que o
domınio (J) leva a imagem (I) e esta imagem (I) de h e o domınio (I) da curva α,
entao a funcao composta α ◦ h = β onde diz-se que β ( com novo parametro de h) e a
reparametrizacao de α por h, onde α e β tem o mesmo traco.
Exemplo 3.4.1. Consideremos a curva regular
α(t) = (cost, sent), t ∈ R,
onde a 6= 0 e constante. Seja h(s) =s
a, s ∈ R.
A parametrizacao de α por h e a curva: β(s) = α ◦ h(s) = (acoss
a, asen
s
a).
Agora a curva α parametrizada passou do parametro t para o parametro s com
a curva β, ja que a e uma constante.
Vejamos outro exemplo:
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Exemplo 3.4.2. A curva regular
β(s) = α ◦ h(s) = (cos(s+ 1), sen(s+ 2))
e a parametrizacao da curva
α(t) = (cos(t− 1), sen(t))
pois houve uma mudanca do parametro t para o parametro s por meio da funcao
h(s) = s+ 2, s ∈ R.
A partir da curva de reparametrizacao, podemos reparametriza-la de forma
que volte a curva de origem. Nesse caso, se β e uma reparametrizacao de α por h, entao
α e uma reparametrizacao de β por h−1, agora a mudanca de parametro e h−1. Pela
definicao a funcao h, dita mudanca de parametro deve ser diferenciavel C∞, e temos
tambem que a funcao h−1 e mudanca de parametro, entao tambem e diferenciavel C∞ e
dessa relacao temos o que e chamado de difeomorfismo. Por difeomorfismo entendemos
que se uma funcao f diferenciavel de classe Cn, que possui uma funcao inversa f−1 tambem
diferenciavel de mesma classe Cn, entao a funcao f e denominada um difeomorfismo de
classe Cn
Analisando a reparametrizacao de α em relacao a funcao h que pode ser clas-
sificada em crescente e decrescente, podemos dizer que; se h for crescente teremos uma
curva com mesmo traco e orientacao que α, mas se h for decrescente teremos uma curva
com o mesmo traco, porem com orientacao oposta a de α, como mostra a figura 3.5
Figura 3.5: Curvas com orientacoes opostas
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3.5 Comprimento de Arco
Uma pergunta interessante a se fazer e como calcular o comprimeto de arco de uma curva,
ja que aprendemos nas aulas de calculo, a calcular o comprimento de arco de uma funcao.
Para isso, vamos fixar um intervalo t0 e t1 no domınio de α, sendo α : I → R2.
Subdividimos arbitrariamente o intervalo[t0, t1] nos pontos t0 = a0 < a1 < · · · < an = t1,
agora ligamos retilineamente cada ponto α(a0), α(a1), · · · , α(an), daı vamos obter uma
linha poligonal inscrita a curva entre os pontos do intervalo definido α(t0) e α(t1), como
mostra a figura 3.6
Figura 3.6: Linha poligonal inscrita a curva
Quando os intervalos dos pontos forem os menores possıveis (proximo de zero),
o comprimento da linha poligonal inscrita sera igual ao arco da curva no intervalo dado.
Como α e uma curva regular, existe o limite superior do conjunto dos comprimentos dessas
linhas polinomiais, e e igual a
∫ t1
t0
|α′(t)|dt
e o comprimeto de arco da curva α no intervalo t0 a t1
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Entao e denominada funcao comprimento de arco da curva α no intervalo t0
a t:
s(t) =
∫ t
t0
|α′(t)|dt
Por α ser uma curva regular, entao a funcao s(t) e diferenciavel de classe C∞.
Definicao 3.5.1. Uma curva regular α : I ∈ R2 e dita parametrizada pelo comprimento
de arco, se para cada t0, t1 ∈ I, t0 6 t1 o comprimento do arco da curva α de t0 a t1 e
igual a t1 − t0. Isto e
∫ t1
t0
|α′(t)|dt = t1 − t0.
Proposicao 3.5.1. Uma curva regular α : I ∈ R2 esta parametrizada pelo comprimento
de arco se, e so se, ∀t ∈ I, |α′(t)| = 1.
Demonstracao Esta demonstracao encontra-se em [1]
Suponhamos que α e uma curva parametrizada pelo comprimento de arco e
fixamos t0 ∈ I. Consideremos a funcao comprimento de arco s : I → R que para cada
t ∈ I associa s(t) =∫ tt0|α′(t)|dt. Se t0 6 t entao por hipotese
∫ t0t|α′(t)|dt = t0 − t; se
t 6 t0, entao −s(t) =∫ t0t|α′(t)|dt = t0 − t. Portanto para todo t ∈ I, s(t) = t− t0, onde
s′(t) = 1. Como s′(t) = |α′(t)|, concluımos que |α′(t)| = 1, ∀t ∈ I.
Proposicao 3.5.2. Seja α : I −→ R2 uma curva regular e s : I −→ s(I) ⊂ R a funcao
comprimento de arco de α a partir de t0. Entao existe a funcao inversa h de s, definida
no intervalo aberto J = s(I) e β = α ◦ h e uma reparametrizacao de α, onde β esta
parametrizada pelo comprimento de arco.
Demonstracao Esta demonstracao encontra-se em [1]
α e uma curva regular, portanto
s′(t) =| α′(t) |> 0,
Isto e, s e uma funcao estritamente crescente. Logo existe a funcao inversa de s, h : J −→
I. Como ∀t ∈ I, h(s(t)) = t, temos que dhds
dsdt
= 1, portanto
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dh
ds=
a
s′(t)=
1
| α′(t) |> 0.
Concluımos que β(s) = α◦h(s), s ∈ J , e uma reparametrizacao de α e | dβds|=|
dαdtdhds|=| α′(t)
|α′(t)| |= 1. Portanto pela Proposicao, que diz que ”Uma curva regular α : I ∈ R2
esta parametrizada pelo comprimento de arco se, e so se, ∀t ∈ I, |α′(t)| = 1”, entao β esta
parametrizada pelo comprimento de arco.
Esta proposicao mostra que toda curva parametrizada diferenciavel regular
permite parametrizacao pelo comprimento de arco. Como β e uma parametrizacao de
α pelo comprimento de arco, obeservamos que a reparametrizacao nao e unica, porque
depende da funcao comprimento de arco que depende de t0 fixado.
3.6 Teoria local das Curvas Planas, Formulas de Fre-
net
Como vimos na secao 3.5.2, toda curva regular adimite reparametrizacao pelo compri-
mento de arco, entao vamos considerar a curvar regular α parametrizada pelo comprimento
de arco
α(s) = (x(s), t(s)), s ∈ I.
Para cada s ∈ I, α′(s) e um vetor unitario, que o vamos nomear por t(s), ou seja
t(s) = α(s)′ = (x(s)′, t(s)′)
t(s)′ = (x(s)′, t(s)′).
Definicao 3.6.1. O vetor t(s) e chamado vetor tangente a curva α em α(t)
Denotamos por n(s) um vetor unitario ortogonal a t(s), talque a base base
ortogonal de R2 fomada pelos vetores t(s) e n(s) tem a mesma orientacao que a base
e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1), como mostra a figura(colocar a figura da pg42), isto e
n(s) = (−y′(s), x′(s))
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Definicao 3.6.2. Os dois vetores t(s) e n(s) e chamado referencialdeFrenet da curva
α em s
A partir desses dois vetores t(s) e n(s), que sao funcoes de I em R2 e dife-
renciaveis de classe c∞, observamos que para cada s ∈ R2 os vetores t′(s) e n′(s) podem
ser escritos como uma combinacao linear dos vetores α(s) e n(s). Tambem como t(s) e
unitario, entao t′(s) e ortogonal a t(s) e portanto temos que t′(s) e prporcional a n(s)
Definicao 3.6.3. Este fator de proporcionalidade, denotado por k(s), e chamado de
curvatura de α em s
ou seja t′(s) = k(s)n(s).
considerando a curva regular α(s) = (x(s), t(s)), s ∈ I parametrizada pelo
comprimento de arco, pela definicao temos que
k(s) = 〈t′(s), n(s)〉
k(s) = 〈α′′(s), n(s)〉
assim
k(s) = −x′′(s)y′(s) + y′′(s)x′(s).
Da mesma forma, como n(s) e unitario, entao n′(s) e ortogonal a n(s) e por-
tanto temos que n′(s) e proporcional a t(s). como
k(s) = 〈t′(s), n(s)〉 = −x′′(s)y′(s) + y′′(s)x′(s)
〈t′(s), n(s)〉 = −x′′(s)y′(s) + y′′(s)x′(s)
portanto
n′(s) = −k(s)t(s).
Definicao 3.6.4. Seja α : I −→ R2, uma curva regular e parametrizada pelo comprimento
de arco s, entao o referencial de frenet t(s), n(s) satisfaz as equacoes
20
t′(s) = k(s)n(s),
n′(s) = −k(s)t(s),
que sao chamadas formulas de Frenet de uma curva plana.
A cuvatura aqui definda por k(s) indica a velocidade com que as retas tangentes
mudam de direcao, com isso mostra o comportamento da curva. O sinal da curvatura
depende da orientacao da curva [1]
Ate agora o referencial de Frenet e a curvatura foram definidos para as curvas
regulares e parametrizadas pelo comprimento de arco. Apesar de que toda curva regular
pode ser reparametrizada pelo comprimento de arco, vamos considerar o referencial de
frenet e a curvatura para uma curva regular de qualquer parametro.
Tomemos α uma curva regular no plano e de qualquer parametro s ∈ I.
Tomemos agora por β uma reparametrizacao de α pelo comprimento de arco s, isto e
β(s(r)) = α(r). Se t(s), n(s) e referencial de Frenet da curva de reparametrizacao β(s) e
k(s) e a curvatura, entao podemos dizer que t(r) = t(s(r)), n(r) = n(s(r)) e o referencial
de Frenet de α entao k(r) = k(s(r)) e a curvatura.
Proposicao 3.6.1. Seja α(r) = (x(s), y(r)), r ∈ I, uma curva regular. Entao
t(r) =(x′, y′)√
(x′)2 + (y′)2;
n(r) =(−y′, x′)
(x′)2 + (y′)2
k(r) =−x′′y′ + x′y′′
((x′)2 + (y′)2)32
.
A demostracao a esta proposicao encontra-se em [1].
Da interpretacao geometrica do sinal da curvatura. Seja α(s) = (x(s), y(s)), s ∈
I uma curva regular parametrizada pelo comrimento de arco e o vetor tangente t(s) =
α′(s) e unitario e portanto α′′(s) e ortogonal a α′(s). Vamos fixar s0 ∈ I e supor que
21
k(s0) 6= 0. Teremos que k(s0) = 〈α′′(s0), n(s0)〉 assim para k(s0) > 0 entao n(s0) tera o
mesmo sentido que α′′(s0) e para k(s0) < 0 entao n(s0) e α′′(s0) terao sentido opostos [1].
3.7 Teorema Fundamental das Curvas Planas
Teorema 3.7.1. Teorema fundamental das curvas planas
a) Dada uma funcao diferenciavel k(s), s ∈ I ⊂ R, existe uma curva regular
α(s), parametrizada pelo comprimento de arco s, cuja curvatura e k(s).
b) A curva α acima e unica quando fixamos α(s0) = p0 e α′(s0) = v0, onde v0
e um vetor unitario de R2.
c) Se duas curvas α(s) e β(s) tem a mesma curvatura, entao diferem por sua
posicao no plano, isto e, existe uma rotacao L e uma translacao T em R2, tal que
α(s) = (L ◦ T )(β(s)).
Demonstracao
a) Vamos considerar θ(s) =∫ ss0k(s)ds, onde s0 ∈ I e fixo. Agora fixamos um
ponto p0 = (x0, y0) de R2 e λ ∈ R.
Definimos uma curva α(s) = (x(s), y(s0)) por
x(s) = x0 +
∫ s
s0
cos(θ(s) + λ)ds,
y(s) = y0 +
∫ s
s0
sen(θ(s) + λ)ds.
Vamos verificar que a curva α assim definida esta parametrizada pelo compri-
mento de arco s e sua curvatura e k(s). De fato, o referencial de Frenet e
t(s) = α′(s) = (cos(θ(s) + λ), sen(θ(s) + λ),
n(s) = (−sen(θ(s) + λ), cos(θ(s) + λ),
e portanto, temos que |α′(s)| = 1 e a curvatura de α e dada por
〈t′(s), n(s)〉 = θ′(s) = k(s).
22
b) Seja α(s) = (x(s), y(s)) uma curva regular parametrizada pelo comprimento
de arco s, cuja curvatura e k(s). Segue das equacoes de Frenet que
(x′′, y′′) = k(−y′, x′)
isto e, x(s) e y(s) satisfazem as equacoes
x′′ = −ky′,
y′ = −kx′.
Portanto, segue do teorema de unicidade de solucao do sistema de equacoes diferenciais
que, fixados α(s0) = p0 e α′(s0) = v0 a curva α e unica.
c) Sejam α e β duas curvas que tem a mesma curvatura. Fixado s0 , existe
uma rotacao L e uma translacao T de R2 tal que a curvatura α = L ◦ T ◦ β satisfaz
α(s0) = α(s0) e α′(s0) = α′(s0). Segue do item b) que α ≡ α.
Portanto, α = L ◦ T ◦ β.
como esta demonstrado em [1].
O Teorema Fundamental das curvas Planas mostra que uma curva pa-
rametrizada pelo comprimento de arco α existe e e unica, dependendo apenas da sua
curvatura k(s). Ainda que existir duas curvas parametrizadas pelo comprimento de arco
com mesma curvatura, entao diferem apenas na sua posicao no plano.
23
24
4 Curvas no Espaco
Neste capıtulo faremos o estudo da teoria local de curvas no espaco euclidiano R3. Muitos
dos conceitos basicos para o estudo de curvas no espaco ja foram introduzidos no capıtulo
do estudo de curvas planas.
Inicialmente temos que uma curva no espaco e a trajetoria de ponto no espaco,
por isso, assim como no estudo de curvas planas as curvas no espaco e definida pelas coor-
denadas de seus pontos por meio de uma funcao variavel independente, cada coordenada.
Por exemplo a trajetoria que um aviao faz no ar pode ser considerada uma curvas no
espaco.
4.1 Curva Parametrizada Diferenciavel
Definicao 4.1.1. Uma curva parametrizada diferenciavel de R3 e uma aplicacao dife-
renciavel α, de classe C∞, de um intervalo aberto I ⊂ R em R3. A variavel t ∈ I e o
parametro da curva, e o subconjunto de R3 formado pelos pontos α(t), t ∈ I e o traco da
curva.
Observamos que definicao de curvas no espaco tem mesmo fundamento que a
definicao de cuvas no plano, porem que agora e no R3. Assim, uma curva parametrizada
diferenciavel de R3 e uma aplicacao α : I → R3 de forma que para cada t de I associa a
um α(t)=(x(t), y(t), z(t)), e as funcoes x(t), y(t) e z(t) sao direnciaveis de classe C∞.
Exemplos:
a) A aplicacao
α(t) = (cos(t), sen(t), t)
e uma curva parametrizada diferenciavel. Esta e a helice circular de raio 1, cujo traco e
mostrado pela figura 4.1.
Figura 4.1: helice circular
4.2 Vetor Tangente; Curva Regular
Os conceitos sobre vetor tangente e curva regular para curvas no espaco sao os mesmo ja
estudados para curvas planas. Sendo assim,abordaremos sem muitos comentarios.
vetor tangente: Seja α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I ⊂ R, uma curva parame-
trizada diferenciavel, o vetortangente a α em tinI, α′(t) = 0.
curva regular:A curva α e regular regular se ∀t ∈ I, α′(t) 6= 0, assim como e
nas curvas planas.
A reta tangente a curva regular α em t0 ∈ I e dada pela funcao g(r) =
α(t0) + rα′(t0), r ∈ R, na qual temos que g passa por α(t0) na direcao de α”(t0).
4.3 Mudanca de Parametro
Os conceitos sobre mudanca de parametro para curvas no espaco sao os mesmo ja estu-
dados para curvas planas. Sendo assim,abordaremos sem muitos comentarios.
Sejam I e J intervalos abertos de R, α : I→ R3 uma curva regular e h : J→ I
uma funcao diferenciavel (C∞), cuja derivada de primeira ordem e nao nula em todos os
pontos de J e tal que h(J) = I. Entao a funcao composta
β = α ◦ h→ R3
e uma curva regular, que tem o mesmo traco que α, chamada reparametrizacao de α por
h. A funcao h e dita mudanca de parametro.
25
na secao de curvas planas que trata deste assunto analisamos a orientacao da
de reparametrizacao em relacao curva de origem. Agora vamos analisar o caso
4.4 Curva parametrizada pelo comprimento de arco
A secao mudanca de parametro, expoe a mudanca de parametro por uma funcao qualquer
h desde que essa funcao seja diferenciavel de classe C∞. Agora vamos considera que
funcao mudanca de e a funcao comprimento de arco s. Tambem vale comentar que os
conceitos sobre comprimento de arco efuncao comprimento de arco vistos em cuvas planas
sao analogos aos de curvas no espaco.
Seja α(t), t ∈ I, uma cuva regular de R3. O comprimento de arco dessa curva
α de t0 a t1, como foi visto na secao comprimento de arco e dado por
∫ t1
t0
|α′(t)|dt
e a funcao comprimento de arco dessa curva α de t0 a t1 e
∫ t1
t0
|α′(t)|dt = t1 − t0.
Tambem, uma curva regular α : I −→ R3 e dita parametrizada pelo compri-
mento de arco e se para cada t0, t1 ∈ I, desde que t0 6 t1, entao
∫ t1
t0
|α′(t)|dt = t1 − t0.
Proposicao 4.4.1. Uma curva regular α : I −→ R3 esta parametrizada pelo comprimento
de arco se, e so se, ∀t ∈ I, |α′(t)| = 1.
4.5 Teoria local das Curvas; Formulas de Frenet
Para fazermos o estudo local das curvas e necessario que fixemos um elemento do intervalo
da curva e entao e feito o estudo da curvas intervalo.
Agora vamos especificar a curva que vamos estudar. Seja α uma curva no R3
regular e parametrizada pelo comprimento de arco. Como vimos na secao 3.6 a curvatura
26
da curva α mostra a velocidade em que as retas tangentes mudam de direcao, isto e
Definicao 4.5.1. Se α : I −→ R3 e uma curva regular parametrizada pelo comprimento
de arco, entao a curvatura de α e
k(s) =| α′′(s) | .
Proposicao 4.5.1. Seja α : I −→ R3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento
de arco. Entao, α(I) e um seguimento se, e so se, k(s) = 0,∀s ∈ I.
A demostracao desta proposicao encontra-se em [1]
Demonstracao. Se α(I) e um seguimento de reta, entao α(s) = p+ vs, onde
p ∈ R3 e v e um vetor unitario de R3. Portano, ∀s ∈ I, α′(s) = v e α′′(s) = 0, donde
k(s) =| α′′(s) |= 0.
Reciprocamente, se | α′′(s) |= 0,∀s ∈ I, entao α′′(s) = 0. integrando nova-
mente, obtemos α(s) = p+ vs, cujo o traco e um seguimento de reta.
Essa demostracao encontra-se em [1]
Essa proposicao mostra que se quando uma curva regular parametrizada pelo
comprimento de arco tem curvatura igual a zero, entao o traco dessa curva e um segui-
mento de reta.
Seja uma curva α no R3 parametrizada pelo comrpimento de arco, entao |
α′(s) |= 1 implica que α′′(s) e ortogonal a α′(s). Entao ∀s ∈ I onde k(s) 6= 0, ou seja,
α′′(s) 6= 0, podemos definir o vetor unitario na direcao de α′′(s). [1]
Definicao 4.5.2. Seja α :−→ R3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento de
arco tal que k(s) > 0. o vetor
n(s0 =α′′(s)
k(s)
e denominado vetor normal a α em s. A reta normal a α em s0 ∈ I e a reta
que passa por α(s0) na direcao do vetor normal n(s).
Assim como no capitulo 3 o vetor que denotamos por t(s), um vetor unitario
α′(s) entao teremos que os vetores t(s) e n(s) sao ortogonais e
t′(s) = k(s)n(s).
27
Definicao 4.5.3. seja α : I −→ R3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento
de arco tal que k(s) > 0. O vetor binormal a α em s e
b(s) = t(s)× n(s).
O referencial ortogonal t(s), n(s), b(s) e o triedo de Frenet da curva α em s.
Para cada ponto da curva teremos tres planos ortogonais formados por:
a)Tangente e normal, chamado plano osculador ou tangente. Este e o mesmo
que no R2.
b)Normal e binormal, chamado de normal.
c)Tangente e binormal, chamado de retificante.
Colocar figura da pg 63
Definicao 4.5.4. o numero real τ(s) definido por b′(s) = τ(s)n(s) e denominado torcao
da curva em s.
Assim como na curvatura que nos mostra a velocidade com que as retas tan-
gentes mudam de direcao, a torcao nos mostra a variacao do vetor binormal. [2]
Agora vamos apenas definir as formulas de Frenet, [1] mostra como chegar a
elas
Definicao 4.5.5. Seja α : I −→ R3 uma curva regular parametrizada pelo comprimento
de arco, e tal que k(s) > 0,∀s ∈ I, entao o triedo de Frenet definido por t(s) = α′(s),
n(s) = α′′(s)|α′′(s)| , b(s) = t(s)× n(s) satisfaz as equacoes
t′(s) = k(s)n(s),
n′(s) = −k(s)t(s)− τ(s)b(s),
b′(s) = τ(s)n(s).
que sao chamadas formulas de Frenet.
Ate aqui o triedro de Frenet, a curvatura e a torcao foram definidos apenas
para curvas parametrizadas pelo comprimento de arco.
28
Proposicao 4.5.2. Seja α : I −→ R3 uma curva regular de parametro t e beta : J −→ R3
uma reparametrizacao de α pelo comprimento de arco, isto e, β(s(t)) = α(t),∀t ∈ I.
Sejam k(s) > 0 e τ(s) a curvatura e a torcao de β em s ∈ J , entao
k(s(t)) =| α′(s)× α′′(t) || α′(t) |3
τ(s(t)) =〈α′(t)× α′′′(t), α′′(t)〉| α′(t)× α′′(t) |2
.
A demonstracao dessa proposicao encontra-se em [1].
Essa proposicao permite obter a curvatura e a torcao de uma curva regular em
qualquer parametro, ja que as definicoes anteriores foram apenas para as curvas parame-
trizadas pelo comprimento de arco.
4.6 Teomema Fundamental das Curvas
Teorema 4.6.1. a) Dada duas funcoes diferenciaveis, k(s) > 0 e τ(s), s ∈ I ⊂ R,
existe uma curva regular α(s) parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) e a
curvatura e τ(s) e a torcao de α em s.
b) A curva α(s) e unica se fixarmos um ponto α(s0) = p0 ∈ R3, α′(s0) =
v1, α′′(s0) = k(s0)v2, onde v1 e v2 sao vetores ortonormais de R3.
c) Se duas curvas α(s) e β(s) tem a mesma curvatura e torcao (a menos de
sinal), entao α e β sao congruentes.
A demonstracao desse teorema encontra-se em [1]
29
30
5 Reparametrizacoes pelo Comrimento de
Arco
A este capıtulo reservamos para fazer duas reparametrizacoes pelo comprimeto de arco.
Para faze-la seguiremos os seguintes passos:
1) Vamos encontrar a funcao comprimento de arco no ponto t0 dado;
2) Calcular a funcao inversa da funcao comprimento de arco que denotaremos
por h e fazer a mudanca de parametro.
3) Verificar se a curva obtida esta mesmo paramatrizada pelo comrimento de
arco pelas proposicoes 3.5.1 e 4.4.1, nas quais, dizem que se uma curva esta parametrizada
pelo comprimento de arco entao ∀t ∈ I, |α′(t)| = 1.
5.1 Reparametrizacao pelo comprimento de arco de
uma curva no plano
A curva α(t) = (etcos(t), etsen(t)), onde o parametro e o angulo da curva com o centro,
curva essa que tem traco conhecido como espiral logaritmica. Vamos reparametrizar pelo
comprimento de arco α para t0 = 0.
1o Passo:
s(t) =
∫ t
t0
|α′(t)|dt
α′(t) = (et′cos(t) + etcos′(t), et′sen(t) + etsen′(t))
α′(t) = (etcos(t)− etsen(t), etse(t) + etcos(t))
α′(t) = (et(cos(t)− sen(t)), et(sen(t) + cos(t)))
| α′(t) |=√
(et(cos(t)− sen(t)))2 + (et(sen(t) + cos(t)))2
| α′(t) |=√
(et)2(cos(t)− sen(t))2 + (et)2(sen(t) + cos(t))2
| α′(t) |= (et)√
(cos2(t)− 2sen(t)cos(t) + sen2(t)) + (sen2(t) + 2sen(t)cos(t) + cos2(t))
| α′(t) |= et√
(sen2(t) + cos2(t)) + (sen2(t) + cos2(t)) + (2sen(t)cos(t)− 2sen(t)cos(t))
| α′(t) |=√
2et
s(t) =
∫ t
t0
|α′(t)|dt =
∫ t
t0
√2etdt
para t0 = 0
s(t) =
∫ t
0
√2etdt =
√2
∫ t
0
etdt =√
2(et − e0) =√
2(et − 1)
entao a funcao comprimento de arco s(t) =√
2(et − 1).
2o Passo:
O comprimento de arco s de 0 a t e dado pela equacao s =√
2(et − 1), agora
vamos encontrar a equacao em funcao de t substituir em α.
s =√
2(et − 1)
s√2
= et − 1
s√2
+ 1 = et
ln(s√2
+ 1) = ln(et)
31
t = ln(s√2
+ 1)
β = α ◦ h
β(s) = (eln( s√
2+1)cos(ln(
s√2
+ 1)), eln( s√
2+1)sen(ln(
s√2
+ 1)))
β(s) = ((s√2
+ 1)cos(ln(s√2
+ 1)), (s√2
+ 1)sen(ln(s√2
+ 1)))
Agora o novo parametro e o comprimento de arco s, β e a curva parametrizada
pelo comprimento de arco e h a funcao de parametrizacao.
Agora vamos verificar se | β′(s) |= 1
3o Passo: Vamos fazer s√2
+ 1 = a entao dads
= 1√2
Assim,
β(s) = (acos(ln(a)), asen(ln(a)))
β′(s) = (a′cos(ln(a)) + acos′(ln(a)), a′sen(ln(a)) + asen′(ln(a)))
β′(s) = (a′cos(ln(a))− a1
aa′sen(ln(a)), a′sen(ln(a)) + a
1
aa′cos(ln(a)))
β′(s) = (a′cos(ln(a))− a′sen(ln(a)), a′sen(ln(a)) + a′cos(ln(a)))
Como dads
= 1√2, entao
β′(s) = (1√2cos(ln(a))− 1√
2sen(ln(a)),
1√2sen(ln(a)) +
1√2cos(ln(a)))
β′(s) = (1√2
(cos(ln(a))− sen(ln(a)),1√2
(sen(ln(a)) + cos(ln(a)))
| β′(s) |=
√(
1√2
(cos(ln(a))− sen(ln(a)))2 + (1√2
(sen(ln(a)) + cos(ln(a)))2
32
| β′(s) |=
√(
1√2
)2(cos(ln(a))− sen(ln(a)))2 + (1√2
)2(sen(ln(a)) + cos(ln(a)))2
| β′(s) |= 1√2
√(cos(ln(a))− sen(ln(a)))2 + (sen(ln(a)) + cos(ln(a)))2
Por conveniecia vamos fazer ln(a) = b, assim
| β′(s) |= 1√2
√(cos(b)− sen(b))2 + (sen(b) + cos(b))2
| β′(s) |= 1√2
√(cos2(b)− 2sen(b)cos(b) + sen2(b)) + (cos2(b) + 2sen(b)cos(b) + sen2(b))
| β′(s) |= 1√2
√(sen2(b) + cos2(b)) + (2sen(b)cos(b)− 2sen(b)cos(b)) + (sen2(b) + cos2(b))
| β′(s) |= 1√2
√2 = 1
| β′(s) |= 1
Portanto β e a reparametrizacao de α pelo comprimento de arco.
5.2 Reparametrizacao pelo comprimento de arco de
uma curva no espaco
1o Passo:
s(t) =
∫ t
t0
|α′(t)|dt
α′(t) = (cos′(t), sen′(t), t′)
α′(t) = (−sen(t), cos(t), 1)
33
| α′(t) |=√
(−sen(t))2 + (cos(t))2 + 12
| α′(t) |=√sen2(t) + cos2(t) + 1
| α′(t) |=√
2
s(t) =
∫ t
t0
|α′(t)|dt =
∫ t
t0
√2dt
para t0 = 0
s(t) =
∫ t
0
√2dt =
√2
∫ t
0
dt =√
2(t− 1) =√
2t
entao a funcao comprimento de arco s(t) =√
2t.
2o Passo:
O comprimento de arco s de 0 a t e dado pela equacao s =√
2(et − 1),
agora vamos encontrar a equacao em funcao de t e fazer a composta de α pela funcao h
encontrada.
s =√
2t
h : t =s√2
=
√2s
2
β = α ◦ h
β(s) = (cos(
√2s
2), sen(
√2s
2),
√2s
2)
Agora o novo parametro e o comprimento de arco s, β e a curva parametrizada
pelo comprimento de arco e h e a funcao de reparametrizacao.
Vamos verificar se | β′(s) |= 1
3o Passo: vamos fazer s√2
+ 1 = a entao dads
= 1√2
34
Assim,
β(s) = (cos(
√2s
2), sen(
√2s
2),
√2s
2)
β′(s) = (cos′(
√2s
2), sen′(
√2s
2), (
√2s
2)′)
β′(s) = (−√
2
2sen(
√2s
2),
√2
2cos(
√2s
2),
√2
2)
| β′(s) |=
√(−√
2
2sen(
√2s
2))2 + (
√2
2cos(
√2s
2))2 + (
√2
2)2
| β′(s) |=
√(−√
2
2sen(
√2s
2))2 + (
√2
2cos(
√2s
2))2 + (
√2
2)2
| β′(s) |=
√1
2sen2(
√2s
2) +
2
4cos2(
2
4) +
2
4
| β′(s) |=
√1
2(sen2(
√2s
2) + cos2(
2
4) + 1)
| β′(s) |=√
1
2(1 + 1)
| β′(s) |=√
1
22 =√
1 = 1
| β′(s) |= 1
Portanto β e a reparametrizacao de α pelo comprimento de arco.
35
36
6 Consideracoes Finais
O presente trabalho apresentou o estudo das curvas, um dos objetos de estudo da geo-
metria diferencial, e a reparametrizacao pelo comprimento de arco. Ambos os objetivos
que determinamos no decorrer do trabalho podemos dizer que concluımos. No que se fala
de estudo de curvas, o que podemos dizer e que nao fizemos diferentes do que os livros
fazem.
No estudo das curvas de modo geral, tem como objetivo chegar ao Teorema
funadmental das curvas. Para as curvas situadas no plano, o teorema fundamental das
curvas planas mostra que a curvatura determina uma curvas plana a menos de sua posicao
no plano, um movimento rigido, existindo uma rotacao L e uma translacao T . Para as
curvas no espaco, o teorema fundamental das curvas mostra que a curvatura e a torcao
determina uma curva no espaco. Quanto ao objetivo de reparametrizar uma curva no
plano e outra no espaco, em ambos os casos procedemos da seguite forma: (1) calculamos
a funcao inversa da funcao comprimento de arco, (2) calculamos a composta da curva
pela funcao inversa e por fim (3) verificamos calculando o modulo do vetor tangente da
curvas reparametrizada pelo comprimento de arco.
Estudar geometria diferencial das curvas foi uma experiencia nova, pois a dis-
ciplina de Geometria Diferencial nao esta na grade do curso de licenciatura plena em
Matematica da UFPA. Diante do que foi estudado, podemos perceber que ainda tem
muito a ser estudado sobre a geometria diferencial, pois curvas e apenas o comeco dessa
geometria.
Visto que apenas estamos iniciando o estudo a geometria diferencial, esperamos
que este trabalho possa ser util a outras pessoas que desejam estudar geometria diferencial,
e mais especificamente, queira estudar superfıcies (muito interessante devido a visualizacao
das superfıcies por meios de programas de computador), pois muitos dos conceitos aqui
abordados sao necessarios ao se estudar superfıcies. Tambem esperamos este trabalho
possa servir em minicursos, pois esta disciplina nao faz parte da grade curricular do curso,
entao seria muito interessante e enrriquecedor neste respeito, pois daria a oportunidade
do alunos presenciar e estudar que nao sao comuns do curso.
Referencias Bibliograficas
[1] KETE KENENBLAT Introducao a Geometria Diferencial Sao Paulo: Editora
EDGARD BLUCHER 2008.
[2] WALDEMAR DE MAIO Geometrias: Geometria Diferencial Rio de Janeiro:
LTC 2007.
[3] MANFREDO P. DO CARMO Geometria Diferencial de Curvas e Superficies
Sao Paulo: SBM 2006.