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Geometria DiferencialCurvas no plano e no espaco - Segundo semestre de 2007

Versao 14 compilada com o pdflatex no dia 2 de Agosto de 2007.

Departamento de Matematica - UEL

Prof. Ulysses Sodre: ulysses(a)uel(pt)brMatematica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Resumo: Notas de aulas geradas com materiais usados em aulasna UEL em 1985. Elas devem ser usadas como roteiro e nao esperoque elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Algunsconceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas osassuntos foram modificados de acordo com o meu interesse. Sugiroque o leitor pesquise na Internet para obter materiais de domıniopublico para os seus estudos.

Mensagem: ‘No princıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e oVerbo era Deus. Ele estava no princıpio com Deus. Todas as coisas foramfeitas por intermedio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Neleestava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas,e as trevas nao prevaleceram contra ela. (...) Estava ele no mundo, eo mundo foi feito por intermedio dele, e o mundo nao o conheceu. Veiopara o que era seu, e os seus nao o receberam. Mas, a todos quantos oreceberam, aos que creem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornaremfilhos de Deus; os quais nao nasceram do sangue, nem da vontade da carne,nem da vontade do varao, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitouentre nos (...)’ A Bıblia Sagrada, Joao 1:1-15

http://www.mat.uel.br/matessencial/

CONTEUDO ii

Conteudo

1 Introducao a Geometria Diferencial 1

2 Conceitos topologicos na reta real 2

2.1 Conjuntos abertos em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Conjuntos fechados em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Conjuntos conexos em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 Conjuntos compactos em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.5 Aplicacoes contınuas em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Vetores no plano e no espaco 5

3.1 O espaco vetorial R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Dependencia linear em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Bases para R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4 Produto escalar e suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.5 Bases ortogonais e ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.6 Produto vetorial e suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.7 Produto misto e suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Funcoes vetoriais de uma variavel real 12

4.1 Funcoes vetoriais com um parametro real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Funcoes limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Limites de funcoes e as suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . 13

4.4 Continuidade e as suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.5 Derivadas de funcoes e suas principais propriedades . . . . . . . . . . . . . . 14

4.6 Classes de diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.7 Formula de Taylor com resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.8 Funcoes analıticas reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.9 Sımbolos de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Notas de aulas de Geometria Diferencial: Curvas - Ulysses Sodre - Matematica - UEL - 2007

CONTEUDO iii

5 Curvas no plano e no espaco 18

5.1 Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2 Projecoes ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.3 Representacao implıcita de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.4 Vetor tangente unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.5 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.6 Vetor normal unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.7 Vetor binormal unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.8 Torcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.9 A teoria das curvas e o triedro de Frenet-Serret . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.10 Complementos sobre a teoria de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


Secao 1 Introducao a Geometria Diferencial 1

1 Introducao a Geometria Diferencial

Geometria Diferencial(1.) e o ramo da Geometria no qual os conceitos de Calculo sao aplicadosa curvas, superfıcies e outros objetos geometricos. A Geometria Diferencial classica usa ageometria de coordenadas, como geometria analıtica, coordenadas cartesianas, etc, emborano seculo XX os metodos de Geometria Diferencial tem sido aplicados a outras areas deGeometria, como Geometria Projetiva.

A Geometria Diferencial foi estudada por Gaspard Monge e Carl F. Gauss no inıcio do seculoXIX. Trabalhos importantes no seculo XIX foram feitas por matematicos como: B. Riemann,E. B. Christoffel e C. G. Ricci, que foram colecionados e sistematizados no final do seculopor J. G. Darboux e Luigi Bianchi. A importancia da Geometria Diferencial e vista no estudoda Teoria da Relatividade Geral que Einstein formulou inteiramente em funcao da GeometriaDiferencial de uma variedade tetra-dimensional combinando espaco e tempo, usando a notacaotensorial.

No estudo de curvas, se um ponto r = r(s) se move atraves de uma curva cujo comprimento

do arco e s a partir de um ponto fixo, entao T =dr

dse um vetor tangente unitario a curva

em r = r(s). O vetor normal N e perpendicular a curva neste ponto, indicando a direcao dataxa de variacao de T , isto e, a tendencia de T se desviar da curva original no plano contendor e T , e o vetor binormal B e perpendicular a ambos T e N , indicando a tendencia da curvasair para fora do plano contendo T e N . Os tres vetores T , N e B, estao relacionados portres formulas do matematico frances Jean Frederic Frenet, que sao fundamentais no estudo

de curvas no espaco:dT

ds= κN ,

dN

ds= −κT + τ B e

dB

ds= −τ N , onde as constantes κ e

τ sao a curvatura e a torcao da curva, respectivamente. Curvas importantes sao a evoluta ea involuta. A evoluta de uma curva e uma outra curva cujas tangentes sao normais a curvaoriginal e a involuta de uma curva e uma curva cuja evoluta e a curva dada.

No estudo de superfıcies, pontos sobre uma superfıcie podem ser descritos nao somentecom respeito as coordenadas do espaco onde a superfıcie esta imersa, mas tambem comrespeito a um sistema de coordenadas intrınsecas, definido em funcao de curvas sobre apropria superfıcie. As curvas na superfıcie que representam localmente a menor distanciaentre pontos na superfıcie sao as geodesicas. Geodesicas no plano sao segmentos de reta.Vetores Tangente e Normal tambem sao definidos para uma superfıcie, mas a relacao entreeles e muito mais complexa que no caso de curvas no espaco, pois em um dado ponto de umasuperfıcie existe um cırculo completo formado por vetores tangentes unitarios.

Os resultados da teoria de superfıcies sao mais facilmente representados na notacao tensorial.Mostra-se que a curvatura total ou Gaussiana de uma superfıcie e um invariante, que e umapropriedade intrınseca da propria superfıcie, independente do espaco no qual a superfıcieesta imersa. Sao importantes as superfıcies de curvatura constante, planos, cilindros, cones,algumas superfıcies desenvolvıveis com curvatura zero, as superfıcies elıpticas da geometrianao-euclidiana que sao superfıcies de curvatura constante positiva e as superfıcies hiperbolicasda geometria nao-euclidiana que sao superfıcies de curvatura constante negativa.

1Adaptado da secao sobre Geometria Diferencial de infoplease: http://www.infoplease.com/index.html


Secao 2 Conceitos topologicos na reta real 2

2 Conceitos topologicos na reta real

2.1 Conjuntos abertos em R

Definicao 1. (Bola aberta centrada em um ponto) Bola aberta de raio r centrada em umponto p ∈ R, denotada por Br(p), e o conjunto de todos os x ∈ R tal que |x − p| < r.Se x pertence a esta bola aberta, denotamos tal fato por x ∈ Br(p). Dependendo dascircunstancias, uma bola aberta pode ser identificada com um intervalo aberto.

Exemplo 1. (Bolas abertas)

1. B1(0) = {x ∈ R : −1 < x < 1 } = (−1, 1) e uma bola aberta em R.

2. Br(c) = {x ∈ R : c− r < x < c + r } = (c− r, c + r) e uma bola aberta em R.

Definicao 2. (Conjunto aberto) Um conjunto A ⊂ R e aberto se para cada x ∈ A e possıvelconstruir uma bola aberta de raio r centrada em um ponto x, que esteja inteiramente contidaem A.

Exemplo 2. (Conjuntos abertos)

1. O intervalo aberto (a, b) e aberto em R.

2. Se x ∈ R, entao a bola aberta Br(x) e um conjunto aberto em R.

3. O conjunto {x ∈ R : x > 0} e um conjunto aberto em R.

4. O conjunto {x ∈ R : x ≥ 0} nao e um conjunto aberto em R.

Proposicao 1. (Propriedades dos conjunto abertos em R)

1. ∅ e R sao conjuntos abertos em R

2. Se (Ak) e uma colecao de conjuntos abertos em R, entao a reuniao de elementos dessacolecao e um conjunto aberto em R.

3. Se (Ak) e uma colecao finita de conjuntos abertos em R, entao a intersecao deelementos dessa colecao e um conjunto aberto em R.

Proposicao 2. (Propriedade da separacao de pontos em R) Dois pontos distintos p, q ∈ Rpodem ser separados por bolas disjuntas Br(p) e Bs(q), onde r > 0 e s > 0 sao os respectivosraios dessas bolas.

2.2 Conjuntos fechados em R

Definicao 3. (Conjunto fechado) Um conjunto F ⊂ R e fechado em R se o seu complementarF c e um conjunto aberto em R.

Exercıcio 1. Apresentar exemplos de conjuntos fechados em R.

Definicao 4. (Ponto de acumulacao) Um ponto p e ponto de acumulacao de um conjuntoS ⊂ R se toda bola Br(p) possui pontos de S, que sao diferentes do proprio ponto p.


2.3 Conjuntos conexos em R 3

Definicao 5. (Ponto isolado) Um ponto p e um ponto isolado em um conjunto S ⊂ R seexiste uma bola Br(p) contendo apenas o ponto p.

Definicao 6. (Ponto de aderencia) Um ponto p e ponto de aderencia de um conjunto S ⊂ Rse toda bola Br(p) possui pontos de S.

Observacao 1. Um ponto de aderencia de um conjunto S ⊂ R pode ser: ou um pontoisolado em S ou um ponto de acumulacao de S.

Proposicao 3. (Ponto de acumulacao implica ponto de aderencia) Se um ponto p e pontode acumulacao de um conjunto S ⊂ R, entao p e ponto de aderencia do conjunto S.

Proposicao 4. (Conjunto fechado via ponto de acumulacao) Um conjunto S ⊂ R e fechadose, e somente se, contem todos os seus pontos de acumulacao.

2.3 Conjuntos conexos em R

Definicao 7. (Conjunto conexo) Um conjunto S ⊂ R e conexo quando nao pode decom-posto na reuniao disjunta de dois conjuntos abertos nao vazios de R.

Exemplo 3. (Conexos na reta real)

1. (a, b), (a, b], [a, b) e [a, b] sao conjuntos conexos em R.

2. (a,∞), (−∞, a), (−∞, b] e [a,∞) sao conjuntos conexos em R.

3. Se x ∈ R, entao Br(x) = (x− r, x + r) e um conjunto conexo em R.

4. R e um conjunto conexo em R.

Exercıcio 2. (Conjuntos conexos)

1. Sera que o conjunto vazio e conexo?

2. Definir o que e um intervalo na reta real.

Proposicao 5. (Conexo equivale a intervalo) Um conjunto S e conexo em R se, e somentese, S e um intervalo em R.

2.4 Conjuntos compactos em R

Definicao 8. (Conjunto limitado) Um conjunto K ⊂ R e limitado se existe uma bola Br(p)contendo inteiramente o conjunto K para todo p ∈ K.

Definicao 9. (Conjunto compacto) Um conjunto K ⊂ R e compacto se K e limitado efechado em R.

Observacao 2. Existem varias maneiras equivalentes de definir conjuntos compactos.

Exercıcio 3. Apresentar exemplos de conjuntos compactos em R.


2.5 Aplicacoes contınuas em R 4

2.5 Aplicacoes contınuas em R

Definicao 10. (Aplicacao contınua) Uma aplicacao f : S ⊂ R → R e contınua em p ∈ Sse, dado ε > 0 arbitrario, existe δ > 0 tal que se |t − p| < δ implica que |f(t) − f(p)| < ε.Neste caso, usamos o limite para indicar este fato

limt→p

f(t) = f(p)

Definicao 11. (Aplicacao contınua) Uma aplicacao f : S ⊂ R → R e contınua em p ∈ Sse para cada bola aberta Bε(f(p)) contida na imagem f(S) existe uma bola aberta Br(p)contida em S tal que

f(Br(p)) ⊂ f(Bε(f(p)))

Definicao 12. (Aplicacao contınua) Uma aplicacao f : S ⊂ R → R e contınua em p ∈ Sse, para todo conjunto aberto V contendo f(p)) tem-se que f−1(V ) e um conjunto abertocontendo p ∈ S.

Observacao 3. (Aplicacao contınua em um conjunto) Uma aplicacao f e contınua sobre umconjunto S se e contınua em todo ponto p ∈ S.

Definicao 13. (Conjunto conexo por caminhos) Um conjunto S ⊂ R e conexo por caminhosse, dados dois pontos quaisquer p, q ∈ S, existe uma aplicacao contınua f : [0, 1] → S talque f(0) = p e f(1) = q.

Proposicao 6. (Conexo equivale a conexo por caminhos) Um conjunto S e conexo porcaminhos em R se, e somente se, S e conexo em R.

Teorema 1. (Continuidade e conexao) Se f : S → R e uma aplicacao contınua sobre S ⊂ Re A ⊂ S e um conjunto conexo, entao f(A) tambem e um conjunto conexo em R.

Teorema 2. (Continuidade e compacidade) Se f : S → R e uma aplicacao contınua sobreS ⊂ R e A e um conjunto compacto em S, entao f(A) e um conjunto compacto em R.

Teorema 3. (Teorema dos valores extremos) Se f : S → R e uma aplicacao contınua sobreS ⊂ R e K um conjunto compacto em S, entao f assume o seu valor maximo e tambem oseu valor mınimo sobre K.

Teorema 4. (Homeomorfismo) Uma aplicacao f : S → T e um homeomorfismo entre osconjuntos S e T , se f e uma aplicacao contınua cuja inversa f−1 : T → S tambem e umaaplicacao contınua. Quando existe um homeomorfismo f : S → T , diz-se que S e T saohomeomorfos.

Exemplo 4. (Conjuntos homeomorfos)

1. Todo intervalo (a, b) e homeomorfo ao intervalo (0, 1).

2. Todo intervalo (a, b) e homeomorfo ao intervalo (−1, 1).

3. Todo intervalo (a, b) e homeomorfo a reta real R.


Secao 3 Vetores no plano e no espaco 5

3 Vetores no plano e no espaco

Vetores no plano e no espaco tridimensional sao segmentos de reta orientados com direcao,sentido e intensidade. Um vetor e uma classe formada por todos os segmentos de reta com amesma direcao, mesmo sentido e mesma medida. Um vetor pode ser denotado por uma letrav, mas pela forma como definimos, deveria ser denotado por [v].

Podemos construir um vetor no espaco tridimensional com a direcao vertical, tendo o pontoinicial no plano z = 0 e ponto final no plano z = 1, indicando o sentido de baixo para cima,alem, do fato que a medida do mesmo seja igual a 1. A palavra medida pode ser substituıdapor intensidade ou modulo. Existe um infinidade de tais vetores, mas todos possuem asmesmas caracterısticas indicadas anteriormente.

Existem muitos objetos denominados vetores e as estruturas com estes vetores sao os Espacosvetoriais. Nem sempre um vetor pode ser interpretado geometricamente de uma forma facilcomo fizemos antes.

3.1 O espaco vetorial R3

Existe uma estreita relacao entre vetores no espaco R2 e no espaco R3. Na verdade, oconceito de vetor geometrico nos espacos euclidianos e sempre realizado da mesma forma, oque diferencia sao as aplicacoes mais ricas que existem em R3.

Definicao 14 (Vetor geometrico). Um vetor no espaco R3 e uma classe de objetos matematicos(segmentos de reta) que tem a mesma direcao, mesmo sentido e mesma intensidade. Estaclasse de equivalencia de objetos com as mesmas caracterısticas e representada por um seg-mento de reta desta famılia (representante).

O representante escolhido, quase sempre e o vetor v cuja origem e (0, 0, 0) e extremidade eo ponto (terno ordenado) (a, b, c) do espaco R3, razao pela qual denotamos este vetor por:v = (a, b, c).

Se a origem do vetor nao e a origem (0, 0, 0) do sistema R3, realizamos a diferenca entrea extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor v tem origem em (1, 2, 3) eextremidade em (7, 12, 15), ele e dado por v = (6, 10, 12), pois:

v = (7, 12, 15)− (1, 2, 3) = (6, 10, 12)

Existe uma definicao mais ampla do conceito de vetor (nem sempre geometrica) que envolveuma gama variada de objetos matematicos como: matrizes, conjuntos, funcoes, solucoes deequacoes diferenciais, etc.

Definicao 15 (Adicao de vetores). Se v = (v1, v2, v3) ∈ R3 e w = (w1, w2, w3) ∈ R3,definimos a soma de v e w, por:

v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3)


3.1 O espaco vetorial R3 6

Proposicao 7. (Propriedades da soma de vetores)

1. Fecho: Para quaisquer u e v em R3, a soma u + v pertence a R3.

2. Comutativa: Para quaisquer u e v de R3: u + v = v + u.

3. Associativa: Para quaisquer u, v e w de R3: u + (v + w) = (u + v) + w.

4. Elemento neutro: Existe θ = (0, 0, 0) ∈ R3 tal que para todo u ∈ R3, θ + u = u.

5. Elemento oposto: Para cada v de R3, existe −v em R3 tal que: v + (−v) = θ.

Exemplo 5. (Aplicacoes geometricas)

1. Ponto Medio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidadessao tambem as extremidades dos vetores v1 = (x1, y1, z1) e v2 = (x2, y2, z2), o pontomedio deste segmento e dado por M = (x, y, z) onde

x =x1 + x2

2, y =

y1 + y2

2, z =

z1 + z2

2

2. Centro de Gravidade de um triangulo: Sejam os vertices de um triangulo, dadospelas extremidades dos vetores v1 = (x1, y1, z1), v2 = (x2, y2, z2) e v3 = (x3, y3, z3). Ocentro de gravidade deste triangulo e dado pelo vetor G = (x, y, z) onde

x =x1 + x2 + x3

3, y =

y1 + y2 + y3

3, z =

z1 + z2 + z3

3

Exercıcio 4. Dois retangulos foram sobrepostos para gerar a figura abaixo. Obter o centrode gravidade desta figura plana, utilizando apenas uma regua sem graduacao e uma canetacomo marcador.

Definicao 16. (Diferenca de vetores) Se v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3), definimos adiferenca entre v e w, por:

v − w = (v1 − w1, v2 − w2, v3 − w3)

Exercıcio 5. Se v = (1, 3, 4) e w = (1, 8, 12), construir os vetores v, w,−v,−w, v+w, v−w.

Definicao 17. (Produto de escalar por vetor) Se v = (a, b, c) e k e um numero real, definimosa multiplicacao do escalar k pelo vetor v, como:

k v = (ka, kb, kc)


3.2 Dependencia linear em R3 7

Exemplo 6. (Produto de escalar por vetor) Se v = (1, 2, 3) e k = −1 entao

kv = (−1)(1, 2, 3) = (−1,−2,−3)

apresenta uma forma de obter o vetor oposto de v.

Proposicao 8. (Propriedades do produto de escalar por vetor) Quaisquer que sejam os es-calares a e b e os vetores v e w temos:

1. 0 v = θ

2. 1 v = v

3. (a b) v = a (b v) = b (a v)

4. a (v + w) = a v + a w

5. (a + b) v = a v + b v

6. Se a v = θ sendo v 6= 0, entao a = 0.

7. Se a v = b v com v 6= 0, entao a = b.

3.2 Dependencia linear em R3

Definicao 18. (Combinacao linear) Um vetor z e combinacao linear dos vetores do conjunto{u, v, w} se existem escalares a, b, c ∈ R tal que

z = a u + b v + c w

Definicao 19. (Conjunto Linearmente Dependente) Um conjunto {u, v, w} e linearmentedependente (LD) em R3 se existem escalares nao nulos a, b, c ∈ R tal que

a u + b v + c w = θ

Definicao 20. (Conjunto Linearmente Independente) Um conjunto {u, v, w} e linearmenteindependente (LI) em R3 se a combinacao linear

a u + b v + c w = θ

implicar que os tres escalares a, b e c devem ser nulos, isto e, a = b = c = 0.

Definicao 21. (Conjunto gerador em R3) Um conjunto B = {u, v, w} gera um vetor dez ∈ R3 se z e uma combinacao linear dos vetores de B, isto e, existem escalares a, b, c ∈ Rtal que

z = a u + b v + c w

3.3 Bases para R3

Definicao 22. (Base para R3) Um conjunto B = {u, v, w} e uma base para o espaco R3 seB = {u, v, w} e linearmente independente (LI) e gera todos os vetores do espaco R3.

Definicao 23. (Componentes de um vetor em uma base) Dada uma base B = {u, v, w} deR3, podemos escrever um vetor z ∈ R3 nesta base atraves da notacao

[z]B = (a, b, c)B = a u + b v + c w

onde a, b, c ∈ R sao as componentes do vetor z na base B dada.


3.4 Produto escalar e suas principais propriedades 8

Definicao 24. (Modulo de um vetor) O modulo(2) do vetor v = (x, y, z) e definido por:

|v| =√

x2 + y2 + z2

Definicao 25. (Vetor unitario) Um vetor unitario e um vetor cujo modulo e igual a 1.

Definicao 26. (Base canonica de R3) O conjunto B = {i, j, k} com os vetores unitarios:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

forma a base canonica para o espaco R3, significando que todo vetor v = (a, b, c) ∈ R3 podeser escrito de forma unica como combinacao linear dos vetores i, j e k, isto e:

v = (a, b, c) = a i + b j + c k

Definicao 27. (Versor) O versor do vetor v e um vetor unitario u com a mesma direcao emesmo sentido que o vetor v, isto e, o vetor v dividido pelo seu modulo, ou seja

u =v

|v|

Observacao 4. Se w = kv denota o produto de um escalar k por um vetor v, entao w = kve um vetor que tem a mesma direcao e o mesmo sentido que o vetor v.

Definicao 28. (Projecoes de um vetor em planos ortogonais) As projecoes de um vetorv = (a, b, c) sobre os planos x = 0, y = 0 e z = 0, respectivamente, sao dadas por:vx = (0, b, c), vy = (a, 0, c) e vz = (a, b, 0).

Exercıcio 6. Quais sao as projecoes ortogonais do vetor v = (3, 4, 12)? Quais sao os modulosde todos estes vetores? Esboce um grafico com estes vetores?

3.4 Produto escalar e suas principais propriedades

Definicao 29. (Produto escalar) Dados os vetores v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3),definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:

v · w = v1.w1 + v2.w2 + v3.w3

Exemplo 7. (Produto escalar entre vetores)

1. O produto escalar entre v = (1, 2, 5) e w = (2,−7, 12) e

v · w = 1.(2) + 2.(−7) + 5.12 = 48.

2. O produto escalar entre v = (2, 5, 8) e w = (−5, 2, 0) e

v.w = 2.(−5) + 5.(2) + 8.(0) = 0.

3. Tomando muito cuidado nas medidas, construir um grafico para cada situacao apresen-tada nos ıtens anteriores.

2O modulo tambem e denominado: intensidade ou comprimento ou medida.


3.5 Bases ortogonais e ortonormais 9

Proposicao 9. (Propriedades do produto escalar) Quaisquer que sejam os vetores u, v e we qualquer que seja o escalar k, valem as seguintes propriedades:

1. v · w = w · v2. v · v = |v| · |v| = |v|2

3. u · (v + w) = u · v + u · w4. (k v) · w = v · (kw) = k(v · w)

5. |k v| = |k||v|6. |u · v| ≤ |u| |v| (Desig. de Schwarz)

7. |u + v| ≤ |u|+ |v| (Desig. triangular)

Definicao 30. (Angulo entre dois vetores com o produto escalar) O produto escalar entre osvetores v e w pode ser escrito na forma:

v · w = |v| |w| cos(α)

onde α e o angulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este angulo pode sermaior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (π radianos). Com esta ultimadefinicao, podemos obter o angulo α, atraves do cosseno deste argumento α.

cos(α) =v · w|v| |w|

Exercıcio 7. (Produto escalar entre vetores)

1. Analisar o produto escalar de dois vetores, quando o angulo: α = 0, α = π/2 e α = π.

2. Calcular o angulo α entre os vetores v = (1, 1, 0) e w = (1, 1, 1). Nao se esqueca deconstruir um grafico com esses objetos matematicos.

3.5 Bases ortogonais e ortonormais

Definicao 31. (Vetores ortogonais) Dois vetores v e w sao ortogonais se o produto escalarentre ambos e nulo, isto e, v · w = 0.

Exercıcio 8. Dado o vetor v = (2, 3, 7), quais e quantos sao os vetores ortogonais a v noespaco R3? Construir geometricamente esta situacao.

Definicao 32. (Base ortogonal) Uma base ortogonal B = {u, v, w} e um conjunto de vetoresem R3, dois a dois ortogonais, isto e u · v = u · w = v · w = 0.

Definicao 33. (Base ortonormal) Uma base ortonormal B = {u, v, w} e uma base ortogonalem R3 tal que |u| = |v| = |w| = 1.

Exemplo 8. (Base ortonormal) O conjunto B = {i, j, k} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} euma base ortonormal em R3 denominada base canonica de R3.


3.6 Produto vetorial e suas principais propriedades 10

3.6 Produto vetorial e suas principais propriedades

Definicao 34. (Produto vetorial) Dados os vetores v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3),definimos o produto vetorial (ou produto exterior) entre v e w, denotado por v × w, comoo vetor obtido pelo objeto matematico que nao e um determinante mas que pode sercalculado como se fosse um determinante.

v × w =

∣∣∣∣∣∣i j kv1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣Exemplo 9. Dados os vetores v = (1, 2, 3) e w = (4, 5, 6), o produto vetorial entre v e w edado por v×w = −3i+6j−3k = (−3, 6,−3), obtido a partir do determinante. Observamosque o produto vetorial e um vetor em R3.

u× v =

∣∣∣∣∣∣i j k1 2 34 5 6

∣∣∣∣∣∣ = (−3, 6,−3)

Observacao 5. Os vetores i = (1, 0, 0) e j = (0, 1, 0) estao no plano z = 0, mas o produtovetorial i×j = (0, 0, 1) e um vetor que esta fora deste plano z = 0, daı a razao deste produtoser denominado exterior.

Definicao 35. (Vetores paralelos) Dois vetores v e w sao paralelos se v × w = θ.

Proposicao 10. (Propriedades do Produto Vetorial) Quaisquer que sejam os vetores v e w,e, para qualquer escalar k, valem as propriedades:

1. O produto vetorial v×w e ortogonal aoplano que contem os vetores v e w.

2. v × w = −w × v.

3. u× (v + w) = u× v + u× w.

4. k(v × w) = (kv)× w = v × (kw).

5. i× i = j × j = k × k = 0.

6. i× j = k, j × k = i e k × i = j.

Definicao 36. (Angulo entre dois vetores com o produto vetorial) O produto vetorial entreos vetores v e w pode ser escrito na forma:

v × w = |v| |w| sin(α) u

onde α e o angulo formado pelos vetores v e w, e, u e um vetor unitario paralelo ao produtovetorial v × w, isto e, u e perpendicular a v e tambem e perpendicular a w.

Observacao 6. Tomando o modulo em ambos os lados na expressao acima, obtemos:

|v × w| = |v| |w| sin(α)

o que significa que a definicao de produto vetorial permite obter o angulo α entre dois vetoresv e w, atraves de:

sin(α) =v × w

|v| |w|sendo que α ∈ [0, π].


3.7 Produto misto e suas principais propriedades 11

Exemplo 10. (Aplicacoes do Produto Vetorial)

1. Area do paralelogramo: Sejam dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, demodo a formar um angulo diferente de zero e tambem diferente de π radianos. O modulodo produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a area do paralelogramoque tem v e w como lados contıguos.

A(paralelogramo) = |v × w|

2. Area do triangulo: A metade do modulo do produto vetorial entre v e w pode serinterpretada como sendo a area do triangulo que tem dois lados como os vetores v ew, com origens no mesmo ponto, isto e:

A(triangulo) =1

2|v × w|

3.7 Produto misto e suas principais propriedades

Definicao 37. (Produto misto) Conhecidos os vetores u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) ew = (w1, w2, w3), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u, v, w], como onumero real obtido pelo determinante:

[u, v, w] =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣Exercıcio 9. Mostrar que [u, v, w] = u · (v × w) = u× (v · w)

Exemplo 11. (Aplicacoes do Produto Misto)

1. Volume do paralelepıpedo: O modulo do produto misto entre u, v e w representa ovolume do paralelepıpedo que tem as tres arestas proximas dadas pelos vetores u, v ew, sendo que estes vetores tem a mesma origem. Isto e,

V (paralelepıpedo) = |[u, v, w]|

2. Volume do tetraedro: Um sexto do modulo do produto misto entre u, v e w representao volume do tetraedro (piramide com base triangular) que tem as tres arestas proximasdadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores tem a mesma origem.

V (tetraedro) =1

6|[u, v, w]|

Proposicao 11. Seja B = {u, v, w} um conjunto de vetores em R3. Assim:

1. [u, v, w] = 0 se, e somente se, B e Linearmente Dependente (LD).

2. [u, v, w] 6= 0 se, e somente se, B e Linearmente Independente (LI).

Definicao 38. (Base orientada) Uma base B = {u, v, w} em R3 esta orientada positivamentese [u, v, w] > 0 e esta orientada negativamente se [u, v, w] < 0.

Exemplo 12. A base ordenada B = {i, j, k} de R3 esta orientada positivamente, pois[i, j, k] = 1 > 0, mas a base B1 = {j, i, k} de R3 esta orientada negativamente, pois[j, i, k] = −1 < 0.


Secao 4 Funcoes vetoriais de uma variavel real 12

4 Funcoes vetoriais de uma variavel real

4.1 Funcoes vetoriais com um parametro real

Funcoes vetoriais com um parametro real sao usadas para definir curvas no plano ou no espaco.

Definicao 39. (Funcao vetorial de um parametro real) Uma funcao vetorial com um parametroreal t e uma funcao f : I → R3 que associa a cada parametro real t ∈ I um vetorf(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3. Aqui, Dom(f) = I e f(I) = Im(f) ⊂ R3. Se B = {i, j, k} ea base canonica de R3, entao:

f(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) i + y(t) j + z(t) k

Exemplo 13. (Funcoes vetoriais)

1. (Circunferencia no plano) f : R → R2 definida por f(t) = (cos(t), sin(t)).

2. (Circunferencia no espaco) f : R → R3 definida por f(t) = (cos(t), sin(t), 7).

3. (Parabola no plano) f : R → R2 definida por f(t) = (t, t2).

4. (Parabola no espaco) f : R → R3 definida por f(t) = (t, t2, 7).

5. (Reta no plano) f : R → R2 definida por f(t) = (at + a0, bt + b0).

6. (Reta no espaco) f : R → R3 definida por f(t) = (at + a0, bt + b0, ct + c0).

Definicao 40. (Equacao de uma reta no espaco Rn) A equacao de uma reta que passa peloponto P0 ∈ Rn e e paralela ao vetor u ∈ Rn e definida para t ∈ R, por

P (t) = P0 + t u

A definicao abaixo nao e apropriada para um parametro real, mas ela foi inserida aqui paraobservarmos a semelhanca entre a equacao de uma reta e equacao de um plano no espacoR3.

Definicao 41. (Equacao de um plano no espaco R3) A equacao de um plano que passa peloponto P0 ∈ R3 e e paralela aos vetores u e v de R3 e definida para (s, t) ∈ R2, por

P (t, s) = P0 + t u + s v

4.2 Funcoes limitadas

Definicao 42. (Funcao limitada) Diz-se que f : R → R3 e limitada sobre um intervalo realI se existe um numero real M > 0 tal que |f(t)| ≤ M para todo t ∈ I.

Exemplo 14. (Funcoes limitadas)

1. f : R → R2 definida por f(t) = (cos(t), sin(t)) e limitada.

2. f : R → R2 definida por f(t) = (t, t2) nao e limitada.

3. f : R → R2 definida por f(t) = (a, bt + c) nao e limitada.


4.3 Limites de funcoes e as suas principais propriedades 13

4.3 Limites de funcoes e as suas principais propriedades

Definicao 43. (Limite de uma funcao) Diz-se que f : R → R3 tem limite L em p se, dadoε > 0 arbitrario, existe δ > 0 tal que se 0 < |t − p| < δ implica que |f(t) − L| < ε. Nestecaso, denotamos o limite por

L = limt→p

f(t)

Exemplo 15. (Limites de funcoes)

1. Se f : R → R2 e definida por f(t) = (t, 2t), entao limx→2

f(t) = (2, 4).

2. A aplicacao f : R → R2 definida por

f(t) =

{(t, +1) se t ≥ 0(t,−1) se t < 0

nao possui limite em t = 0.

Teorema 5. Seja f : R → R3. limt→p

(f(t)− L) = 0 se, e somente se, limt→p

|f(t)− L| = 0.

Teorema 6. Seja f : R → R3. Se limt→p

f(t) = L, entao existe uma bola aberta Br(p) na qual

f = f(t) e limitada.

Proposicao 12. (Propriedades dos limites) Seja f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)). Assim

1. limt→p

f(t) = L = (L1, L2, L3) se, e somente se, limt→p

fi(t) = Li para todo i = 1, 2, 3.

2. Se limt→p

f(t) = L, entao limt→p

|f(t)| = |L|

3. Mostrar que a recıproca para o ıtem anterior nao e verdadeira.

4. limt→p

[f(t) ⊗ g(t)] = limt→p

f(t) ⊗ limt→p

g(t) onde ⊗ pode ser uma das operacoes: adicao,

subtracao, produto escalar ou produto vetorial.

5. limt→p

(g ◦ f)(t) = g[limt→p

f(t)] se cada funcao possui limite no ponto apropriado.

4.4 Continuidade e as suas principais propriedades

Definicao 44. (Funcao contınua em um ponto) Diz-se que f : R → R3 e contınua em p se,dado ε > 0 arbitrario, existe δ > 0 tal que se |t−p| < δ implica que |f(t)−f(p)| < ε. Nestecaso, podemos usar o limite para indicar que

limt→p

f(t) = f(p)

Exercıcio 10. Se u, v e w sao vetores constantes em R3, mostrar que a aplicacao f : R → R3

definida por f(t) = u + tv + t2w e contınua.


4.5 Derivadas de funcoes e suas principais propriedades 14

4.5 Derivadas de funcoes e suas principais propriedades

Definicao 45. (Derivada de uma funcao) A derivada de uma funcao f : R → R3 no pontop e o vetor que depende de p, denotado por Lp ou por

f ′(p) = limh→0

f(p + h)− f(p)

h

quando este limite existe.

Exemplo 16. A aplicacao f : R → R3 definida por f(t) = u + tv + t2w possui derivada

f ′(t) = limh→0

f(t + h)− f(t)

h= lim

h→0

[u + (t + h)v + (t + h)2w]− [u + tv + t2w]

h

= limh→0

hv + 2thw + h2w

h= lim

h→0(v + 2tw + hw) = v + 2tw

Definicao 46. (Aplicacao diferenciavel) Uma aplicacao f : R → R3 e diferenciavel em p, seexiste um vetor Lp tal que

f(p + h) = f(p) + hLp + R(p, h)

desde que

lim|h|→0

R(p, h)

|h|= 0

Exemplo 17. A aplicacao f : R → R3 definida por f(t) = u + tv + t2w e diferenciavel poistomando Lp = v + 2tw, segue que

R(p, h) = f(p + h)− f(p)− hLp

= (u + (t + h)v + (t + h)2w)− (u + tv + t2w)− h(v + 2tw)

= h2w

e

lim|h|→0

R(p, h)

|h|= lim

|h|→0

h2w

|h|= lim

|h|→0

|h|2w|h|

= lim|h|→0

|h|w = θ = (0, 0, 0)

Teorema 7. (Diferenciabilidade com as componentes) Seja f : R → R3 uma aplicacaotal que f = (f1, f2, f3). f e diferenciavel em p se, e somente se, todas as componentesfi, (i = 1, 2, 3) sao diferenciaveis em p.

Teorema 8. (Diferenciabilidade implica continuidade) Se a aplicacao f : R → R3 e dife-renciavel no ponto p, entao f : R → R3 e contınua no ponto p.

Teorema 9. (Difeomorfismo) Uma aplicacao f : S → T e um difeomorfismo entre osconjuntos S e T , se f e uma aplicacao diferenciavel cuja inversa f−1 : T → S tambem euma aplicacao diferenciavel. Quando existe um difeomorfismo f : S → T , diz-se que S e Tsao difeomorfos.


4.6 Classes de diferenciabilidade 15

Proposicao 13. (Formulas para derivadas)

1. Se ⊕ e a adicao ou a subtracao, entao

d

dt(u⊕ v) =

d

dt(u)⊕ d

dt(v)

2. Se ⊗ e o produto escalar ou o produto vetorial, entao

d

dt(u⊗ v) = u⊗ d

dt(v) +

d

dt(u)⊗ v

3. Se u = f(t), entaod

dt(g ◦ f)(t) =

dg

du

du

dt

Teorema 10. Se |u(t)| e uma constante, entao o vetor u e ortogonal adu

dt.

Exemplo 18. (Vetores na circunferencia) Se u(t) = (cos(t), sin(t)), entao |u(t)| = 1 e peloteorema 10, para cada t ∈ R, os vetores u(t) (vetor posicao) e u′(t) (vetor tangente) saoperpendiculares. Neste caso, |u′(t)| = 1, logo u′(t) e ortogonal a u′′(t).

4.6 Classes de diferenciabilidade

Definicao 47. (Classes de diferenciabilidade) Seja f : K ⊂ R → R3.

1. Se f e contınua sobre K, escrevemos que f ∈ C0(K).

2. Se f e diferenciavel sobre K, entao f ′ e uma funcao contınua sobre K, isto e´, f ′ ∈C0(K)

3. Se existe a derivada da derivada de uma funcao f , usamos a notacao f ′′ para indicar asegunda derivada de f .

4. Se f possui a primeira derivada sobre K e esta primeira derivada e contınua sobre K,diz-se que f e de classe C1 sobre K, denotado por f ∈ C1(K).

5. Se f possui a primeira derivada sobre K, a segunda derivada sobre K e todas elas saocontınuas sobre D, diz-se que f e de classe C2 sobre K, denotado por f ∈ C2(K).

6. Em geral, pode-se escrever:

C n(K) = {f : K → R : f (k) ∈ C0(K) (k = 0, 1, 2, ..., n)}

7. Quando podemos realizar todas as derivadas possıveis de uma funcao f sobre K, diz-seque f e infinitamente diferenciavel sobre K e denotamos isto por f ∈ C∞(K).

Exemplo 19. (Classes de diferenciabilidade)

1. A funcao f : R → R definida por f(x) = |x| e contınua sobre R mas nao e diferenciavelem x = 0, isto e, f ∈ C0(K) mas f /∈ C1(K).

2. A funcao f : R → R definida por f(x) = x2 e contınua sobre R e infinitamentediferenciavel sobre R, isto e, f ∈ C∞(R).

3. A funcao f : R → R definida por f(x) = |x|3 e diferenciavel ate a segunda ordemsobre R mas a terceira derivada nao existe em x = 0, logo f /∈ C3(R).


4.7 Formula de Taylor com resto 16

4.7 Formula de Taylor com resto

Teorema 11 (Taylor). Seja f : [a, b] ⊂ R → R3. Se f ∈ Cn([a, b]) e f ∈ Cn+1((a, b)),entao existe p ∈ (a, b) tal que

f(b) = f(a) + (b− a)f ′(a) +(b− a)2

2!f (2)(a) +

(b− a)3

3!f (3)(a) + · · ·

+(b− a)n

n!f (n)(a) +

(b− a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(p)

Tomando b = t e a = 0, obtemos a formula de Taylor com resto:

f(t) = f(0) + tf ′(0) +t2

2!f (2)(0) + ... +

tn

n!f (n)(0) + Rn(t)

onde 0 < p < x e

Rn(x) =xn+1

(n + 1)!f (n+1)(p)

A formula de Taylor tambem pode ser escrita na forma:

f(t) =n∑

k=0

f (k)(0)tk

k!+ Rn(t)

Para muitas funcoes, e possıvel escrever um somatorio infinito (uma soma infinita), poisquando n →∞ o resto Rn(t) → 0 e dessa forma temos a serie de MacLaurin (caso particularda serie de Taylor) da funcao desenvolvida em torno do ponto t = 0

f(t) =∞∑

k=0

f (k)(0)tk

k!

Se o desenvolvimento ocorre em torno do ponto t = a, escrevemos:

f(t) =∞∑

k=0

f (k)(a)(t− a)k

k!

Exemplo 20. (Algumas funcoes importantes desenvolvidas em serie de MacLaurin)

1.1

1− x=

∞∑k=0

xk, (|x| < 1).

2. exp(x) =∞∑

k=0

xk

k!.

3. cos(x) =∞∑

k=0

(−1)k+1 x2k

(2k)!.

4. sin(x) =∞∑

k=0

(−1)k+1 x2k+1

(2k + 1)!.


4.8 Funcoes analıticas reais 17

4.8 Funcoes analıticas reais

Definicao 48 (Funcao analıtica real). Diz-se que uma funcao f e analıtica real se pode serescrita atraves do desenvolvimento de uma serie de potencias sobre uma regiao D.

Observacao 7 (Caso importante). Se uma funcao f possui desenvolvimento de Taylor sobreuma regiao D, f e analıtica sobre D o que e garantido, em grande parte pelo fato de fser infinitamente diferenciavel, mas nem todas as funcoes infinitamente diferenciaveis saoanalıticas.

Exemplo 21 (Funcao infinitamente diferenciavel que nao e analıtica). A funcao f : R → Rdefinida por:

f(x) =

{e−1/x2

se x 6= 00 se x = 0

e infinitamente diferenciavel mas nao e analıtica. O grafico de f se assemelha a

4.9 Sımbolos de Landau

o (o pequeno) Diz-se que f(t) = o(g(t)) nas proximidades de t = p se limt→p

f(t)

g(t)= 0.

O (O grande) Diz-se que f(t) = O(g(t)) nas proximidades de t = p sef(t)

g(t)e limitada

nas vizinhancas de t = p.

Exemplo 22. (Uso dos sımbolos de Landau)

1. cos(t)− 1 = o(t) proximo de t = 0 pois limt→0

cos(t)− 1

t= 0.

2. sin(t) = O(t) proximo de t = 0 pois limt→0

sin(t)

t= 1.


Secao 5 Curvas no plano e no espaco 18

5 Curvas no plano e no espaco

5.1 Curvas parametrizadas

Definicao 49. (Curva parametrizada) Uma curva parametrizada diferenciavel e uma aplicacaodiferenciavel f : I ⊂ R → R3 que associa a cada t ∈ I em vetor f(t) = (x(t), y(t), z(t)).Neste caso, t e o parametro e f(I) e a imagem de f .

Exemplo 23. (Curvas parametrizadas)

1. A circunferencia centrada na origem de R2 com raio a e uma curva parametrizadadiferenciavel definida por f(t) = (a cos(t), a sin(t)) onde t ∈ R.

2. A reta definida por f(t) = (1 + 2t, 2 + 3t), (t ∈ R) e parametrizada diferenciavel.

3. A curva definida por f(t) = (t(t2 − 4), t2 − 4), (t ∈ R) e parametrizada diferenciavel.

4. A curva definida por f(t) = (t, |t|), (t ∈ R) e parametrizada diferenciavel?

Definicao 50. (Curva regular) Uma curva parametrizada diferenciavel f : I ⊂ R → R3 eregular se para todo t ∈ I tem-se que f ′(t) 6= 0. Quando f ′(t) 6= 0 para cada t ∈ I, a curvapossui apenas uma reta tangente a curva no ponto f(t).

Definicao 51. (Ponto singular) Diz-se que t0 ∈ I e um ponto singular para a curva f = f(t)se f ′(t0) = θ = (0, 0, 0).


5.1 Curvas parametrizadas 19

Definicao 52. (Comprimento do arco entre dois pontos de uma curva) O comprimento doarco de uma curva regular f : I ⊂ R → R3 entre dois pontos f(a) e f(b) e dado por

` =

∫ b

a

|f ′(u)|du

onde u ∈ I.

Definicao 53. (Comprimento de arco de uma curva) O comprimento do arco de uma curvaregular f : I ⊂ R → R3 a partir de t0 ∈ I ate um parametro generico t ∈ I e dado por

s(t) =

∫ t

t0

|f ′(u)|du

onde u ∈ I.

Observacao 8. Se f = f(t) e uma curva regular, entao |f ′(u)| 6= 0, para todo u ∈ I e segueque s = s(t) e diferenciavel e pelo Teorema do Valor Medio

ds

dt= |f ′(t)|

Definicao 54. (Curva parametrizada pelo comprimento de arco) Uma curva f : I → R3

regular esta parametrizada pelo comprimento de arco se para todo t ∈ I ⊂ R, tem-se que|f ′(t)| = 1. Neste caso, ds = dt, de onde segue que s = t + C.

Exercıcio 11. (Curvas parametrizadas)

1. Mostrar que a curva f(t) = (2 + 35t, 6 + 4

5t, 0) para t ∈ R esta parametrizada pelo

parametro comprimento de arco.

2. Mostrar que a curva f(t) = (cos(−t), sin(−t), 5)), (t ∈ R) esta parametrizada pelocomprimento de arco e calcular o comprimento do arco desta curva entre os pontost = 0 e t = π.

3. Dada a curva f(t) = (a cos(t), a sin(t), 0)), (t ∈ R), obter uma funcao t = t(s) tal quef = f(t(s)) esteja parametrizada pelo parametro comprimento de arco.

Teorema 12. Se f = f(s) e uma parametrizacao pelo comprimento de arco s de uma curvaC, entao:

1. O comprimento de arco entre os pontos f(s1) e f(s2), denotado por `(f(s1), f(s2))coincide com |s2 − s1|.

Demonstracao. Vamos considerar dois casos:

(a) Se s1 ≤ s2, entao

`(f(s1), f(s2)) =

∫ s2

s1

|f ′(u)|du =

∫ s2

s1

du = +(s2 − s1)

(b) Se s2 ≤ s1, entao

`(f(s1), f(s2)) =

∫ s1

s2

|f ′(u)|du =

∫ s1

s2

du = −(s2 − s1)


5.1 Curvas parametrizadas 20

Reunindo os dois casos, tem-se que `(f(s1), f(s2)) = |s2 − s1|.

2. Se f = f(σ) e outra parametrizacao pelo comprimento de arco, entao s = ±σ + Conde C e uma constante.

Demonstracao. Se f = f(σ) entaodf

dσ=

df

ds

ds

dσassim

|f ′(σ)| = |f ′(s)| | ds

dσ|

Como |f ′(σ)| = |f ′(s)| = 1, segue que | ds

dσ| = 1 ou seja

ds

dσ= ±1

Resolvendo esta equacao diferencial, obtemos s = ±σ+C onde C e uma constante.

3. Se g = g(t) e outra parametrizacao de C

(a) tendo a mesma orientacao, entaods

dt= |f ′(t)|.

(b) com a orientacao oposta, entaods

dt= −|f ′(t)|.

4. Se s =

∫ t

t0

|f ′(t)|dt entao f ′(s) = 1.

Exercıcio 12. Considerando funcoes reais de uma variavel, enunciar e demonstrar o Teoremado Valor Medio e o Teorema da funcao inversa.

Teorema 13. Se t : Iu → It e uma mudanca de parametro sobre Iu, entao

1. t = t(u) e injetora de Iu sobre It.

2. A funcao inversa u = u(t) tambem e uma mudanca de parametros definida sobre It.

Demonstracao. Se t = t(u) e uma mudanca de parametros, entaodt

du> 0 para todo u ∈ Iu

oudt

du< 0 para todo u ∈ Iu. Se

dt

du> 0 para todo u ∈ Iu entao, pelo teorema do valor

medio, segue que t = t(u) e estritamente crescente, garantindo que t = t(u) e injetiva.

Pelo teorema da funcao inversa, existe u = u(t), e, como t = t(u) e contınua e crescente,segue que u = u(t) e contınua e decrescente.

Comodu

dt=

1

dt

du

6= 0, temos que u = u(t) e uma mudanca de parametros.

Lema 1. Se f = f(t) e contınua em t0 e f(t0) 6= 0, entao existe uma bola aberta Br(t0) naqual f(t) 6= 0 para todo t ∈ Br(t0).


5.2 Projecoes ortogonais 21

Teorema 14. Se f = f(t) e uma curva regular sobre um intervalo I, entao para cada t0 ∈ I,existe uma bola aberta Br(t0) na qual f = f(t) e uma funcao injetora.

Demonstracao. Se f(t) = (x(t), y(t), z(t)) e uma curva regular, entao pelo menos uma dascomponentes de f = f(t) e nao nula. Vamos supor que x′(t) 6= 0. Desse modo x′(t)e contınua em t = to, assim existe uma bola aberta Br(t0) tal que x′(t) 6= 0 para todot ∈ Br(t0), assim, dados t1 6= t2, t1, t2 ∈ Br(t0) implicando que x(t1) 6= x(t2), garantindoque x = x(t) e injetiva em Br(t0). Mesmo que as duas outras componentes coincidam,podemos garantir que f = f(t) e injetiva sobre Br(t0).

Definicao 55. (Mudanca de parametro) Uma funcao real t = t(u) e uma mudanca deparametros sobre um intervalo I contendo u se:

1. t = t(u) ∈ C1(I).

2.dt

du6= 0 para todo u ∈ I,

garantindo quedt

du> 0 para todo u ∈ I ou

dt

du< 0 para todo u ∈ I.

Exercıcio 13. Mostrar que a funcao t =u2

1 + u2e uma mudanca de parametros definida

sobre o intervalo I = (0,∞) cuja imagem e o intervalo (0, 1).

Definicao 56. (Curva com auto-intersecao) Uma curva regular f = f(t) possui auto-intersecao, se existem parametros distintos t1 e t2 tal que f(t1) = f(t2). Auto-intersecao eum ponto onde a curva volta a passar de novo sobre si mesma.

Definicao 57. (Curva simples) Uma curva regular f = f(t) e simples se nao possui auto-intersecoes, isto e, se para quaisquer parametros distintos t1 e t2 segue que f(t1) 6= f(t2).

5.2 Projecoes ortogonais

Definicao 58. (Projecao ortogonal de uma curva) Seja f(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curvadefinida sobre o intervalo I contendo t.

1. Se existe t0 ∈ I, para o qual a terceira coordenada z(t0) = C e constante, a equacaof(t) = (x(t), y(t), C) representa uma curva que passa pelo ponto f(t0) e e ortogonalao plano z = 0.

2. A famılia de todas as curvas da forma f(t) = (x(t), y(t), C) gera uma superfıciecilındrica S ortogonal ao plano z = 0 e S contendo a curva dada.

3. A projecao ortogonal da curva dada sobre o plano z=0 e a curva f(t)=(x(t), y(t), 0).

Exemplo 24. (Projecao ortogonal) Seja a curva helicoidal f(t) = (a cos(t), a sin(t), bt) et0 = 1/b. Assim, f(1/b) = (a cos(1/b), a sin(1/b), 1) e a projecao ortogonal de f = f(t)sobre o plano z = 0 e dada por

f(t) = (a cos(t), a sin(t), 0)


5.3 Representacao implıcita de curvas 22

5.3 Representacao implıcita de curvas

Definicao 59. Seja t ∈ I e x = x(t), y = y(t) e z = z(t) representacoes parametricasreais de uma curva C ⊂ R3. A curva C esta definida implicitamente por f(x, y, z) = 0 eg(x, y, z) = 0, se para todo t ∈ I:

f(x(t), y(t), z(t)) = 0 e g(x(t), y(t), z(t)) = 0

Exemplo 25. (Curvas determinadas implicitamente)

1. Se t ∈ R, as funcoes reais x = t, y = t2 e z = t3 determinam uma representacaoimplıcita de uma curva no espaco R3 atraves das relacoes

y − x2 = 0, z = x3

2. As equacoes x2 + y2 + z2 = R2 e x2 + y2 = r2 definem implicitamente uma curva noespaco R3 definida pela parametrizacao

f(t) = (r cos(t), r sin(t),√

R2 − r2)

3. As equacoes y = x e z = x2 + y2 definem implicitamente uma curva em R3.

4. Obter cada curva definida implicitamente por:

(a) z = x2 − y2 e z = 0.(b) z = x2 − y2 e z = 1.(c) z = x2 − y2 e z = −1.(d) z = x2 + y2 e z = 9.

(e) x2 + y2 − z2 = 1 e x = 0.

(f) x2 + y2 − z2 = 1 e y = 0.

(g) x2 + y2 − z2 = 1 e z = 0.

5.4 Vetor tangente unitario

Definicao 60 (Vetor tangente (parametro generico))). Seja C uma curva regular parametrizadapor f(t) = f ∈ C1(I). O vetor f ′(t) e um vetor tangente a curva f = f(t) no ponto t ∈ Ie o vetor tangente unitario neste ponto e definido por

T (t) =f ′(t)

|f ′(t)|Observacao 9 (Vetor tangente (parametro comprimento de arco)). Seja C uma curva regularparametrizada pelo comprimento de arco f(s) = f ∈ C1(I). O vetor tangente unitario podeser obtido por T = f ′(s), pois a regra da cadeia nos garante que

T (t) =f ′(t)

|f ′(t)|=

df

dtds

dt

=df

dt

dt

ds=

df

ds= f ′(s)

Exercıcio 14. Seja a curva f : R → R3 parametrizada por f(t) = (cos(2t), sin(2t), 0).

1. Determinar um vetor tangente a curva C no ponto t = 0.

2. Determinar o vetor tangente unitario a curva C no ponto t = 0.

3. Determinar a equacao da reta tangente a curva C no ponto t = 0.

4. Construir um grafico com a curva e os objetos obtidos nos ıtens anteriores.


5.5 Curvatura 23

5.5 Curvatura

Definicao 61 (Curvatura - parametro comprimento de arco). Se C e uma curva regularparametrizada pelo comprimento de arco f(s) = f ∈ C2(I), entao T (s) = f ′(s) e a curvaturade C em um ponto s ∈ I e definida por

κ(s) =

∣∣∣∣dT

ds

∣∣∣∣ = |f ′′(s)|

Definicao 62 (Curvatura - parametro generico). Seja C uma curva regular parametrizadapor f(t) = f ∈ C2(I). A curvatura de C em um ponto t ∈ I e definida por

κ(t) =

∣∣∣∣dT

ds

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣dT

dt

dt

ds

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣dT

dtds

dt

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣T ′(t)

f ′(t)

∣∣∣∣Exercıcio 15. (Curvatura)

1. Qual e a interpretacao geometrica do numero κ = κ(s) com relacao a uma curva C?

2. Se f = f(t) e uma parametrizacao para uma curva C, mostrar que a curvatura podeser obtida por

κ(t) =|f ′(t)× f ′′(t)|

|f ′(t)|3

Definicao 63. (Raio de curvatura) Se f = f(s) ∈ C2(I) e uma curva regular parametrizadapelo parametro comprimento de arco, o raio de curvatura desta curva e definido por

ρ = ρ(s) =1

κ(s)

Exercıcio 16. (Curvatura)

1. Mostrar que as curvas com curvatura κ = 0 sao retas.

2. Dada a curva f(t) = (a cos(bt), a sin(bt), act) onde t ∈ R, a, b e c sao positivos talque a2 = b2 + c2, obtenha T , κ e ρ.

3. Qual e a interpretacao geometrica do numero κ = κ(s) com relacao a uma curva C?

5.6 Vetor normal unitario

Definicao 64. (Vetor normal - parametro generico) Seja uma curva regular f = f(t) ∈ C2(I)

edT

dt6= θ, o vetor normal unitario e definido por

N(t) =

dT

dt∣∣∣∣dT

dt

∣∣∣∣ =T ′(t)

|T ′(t)|


5.7 Vetor binormal unitario 24

Observacao 10. Nem sempre a curva f = f(t) para a qual desejamos calcular o vetor normalunitario esta parametrizada pelo comprimento de arco, mas quando isto ocorre, o calculo emais simples.

Definicao 65. (Vetor normal - parametro comprimento de arco) Seja uma curva regularf = f(s) ∈ C2(I) parametrizada pelo comprimento de arco. Se f ′′(s) 6= θ, o vetor normalunitario e definido por

N =f ′′(s)

|f ′′(s)|Exercıcio 17. Seja a helice f : R → R3 parametrizada por f(t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 4t).

1. Determinar um vetor normal a curva C no ponto t = 0.

2. Determinar a equacao da reta normal a curva C no ponto t = 0.

3. Construir um grafico com os objetos obtidos nos ıtens anteriores.

Definicao 66. (Orientacao de uma curva plana) Seja C uma curva regular plana parametrizadapor f : I → R2 tal que f ∈ C2(I) e s o parametro comprimento de arco. Indicaremos ovetor tangente unitario por T = (t1, t2), o vetor normal unitario por N = (n1, n2) e

D = det

(t1 t2n1 n2

)A curva C possui

1. orientacao positiva se D > 0 (Curvatura positiva),

2. orientacao negativa se D < 0 (Curvatura negativa) e

3. orientacao nula se D = 0 (Curvatura nula)

5.7 Vetor binormal unitario

Definicao 67. (Vetor binormal) Seja uma curva regular f = f(s) ∈ C2(I) parametrizadapelo comprimento de arco. O vetor binormal unitario B = B(s) e definido por

B = T ×N

Exercıcio 18. Seja C uma curva regular parametrizada por f = f(t) ∈ C2(I), onde t e umparametro generico. Demonstrar que o vetor binormal unitario pode ser definido por

B(t) =f ′(t)× f ′′(t)

|f ′(t)× f ′′(t)|


5.8 Torcao 25

5.8 Torcao

Definicao 68. (Torcao de uma curva) Seja C uma curva regular parametrizada pelo compri-mento de arco f = f(s) ∈ C2(I). A torcao de C e o numero obtido pelo produto escalar

τ = B′(s) ·N(s)

Exercıcio 19. Qual e a interpretacao geometrica do numero τ = τ(s) com relacao a umacurva C?

Exercıcio 20. Seja a curva f : R → R3 parametrizada por f(t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 4t).

1. Determinar o vetor binormal unitario a curva C no ponto t = 0.

2. Determinar a equacao da reta binormal a curva C no ponto t = 0.

3. Determinar a torcao da curva C no ponto t = 0.

4. Construir um grafico com os objetos obtidos nos ıtens anteriores.

5.9 A teoria das curvas e o triedro de Frenet-Serret

Definicao 69. (O triedro de Frenet-Serret) Os planos que formam o triedro de Frenet-Serretsao gerados pelos vetores T , N e B. Tais planos sao:

1. Plano osculador, que contem a curva f = f(s) e os vetores T e N .

2. Plano normal que contem os vetores N e B.

3. Plano retificante que contem os vetores T e B.

Exercıcio 21. (Triedro de Frenet-Serret)

1. Determinar o plano osculador a helice f(t) = (cos(t), sin(t), t) no ponto t = 0.

2. Dada a curva f(t) = (5 cos(t), 5 sin(t), 12t) (t ∈ R), obter: T , N , B, k, ρ e τ .Dica: Reparametrizar a curva pelo parametro comprimento de arco. Apos obter os seisobjetos, verificar valem as equacoes de Frenet: T ′ = kN , N ′ = −kT − τB e B′ = τN .

Teorema 15. Se f = f(s) e uma curva regular parametrizada pelo parametro comprimentode arco s, entao valem as tres equacoes no sistema diferencial linear:T ′

N ′

B′

= M

TNB

onde M e a matriz anti-simetrica dada por

M =

0 k 0−k 0 −τ0 τ 0


5.9 A teoria das curvas e o triedro de Frenet-Serret 26

Demonstracao. Seja uma curva regular f = f(s) parametrizada pelo parametro comprimentode arco. Assim, |f ′(s)| = 1 e a derivada de f = f(s) com relacao ao parametro s:

T (s) = f ′(s)

e um vetor unitario tangente a curva f = f(s) dada.

Como |T (s)| = 1, segue que T ′(s) e um vetor ortogonal a T = T (s), o que significa que

T (s) · T ′(s) = 0

Assim, podemos definir um vetor normal unitario a curva f = f(s) por

N(s) =T

′(s)

|T ′(s)|=

f′′(s)

|f ′′(s)|

O vetor binormal B = B(s) e definido por

B(s) = T (s)×N(s)

Definindo a curvatura k = k(s) da curva como o modulo da taxa de variacao do vetor tangenteunitario T = T (s) com relacao ao parametro s:

k = |f ′′(s)|

podemos escreverT ′(s) = k N(s)

Como |B(s)| = 1, entao B′(s) e um vetor ortogonal a B = B(s), isto e, B ′(s) · B(s) = 0.Derivando em relacao ao parametro s o vetor B(s) = T (s)×N(s), obtemos:

B ′(s) = T ′(s)×N(s) + T (s)×N ′(s)

Tomando o produto escalar entre B ′(s) e T (s), obtemos

B ′(s) · T (s) = [T ′(s)×N(s) + T (s)×N ′(s)] · T (s)

= k N(s)×N(s) · T (s) + T (s)×N ′(s) · T (s)

= k[N(s), N(s), T (s)] + [T (s), N ′(s), T (s)] = 0.

Assim, B ′(s) e ortogonal a B = B(s) e tambem ortogonal a T = T (s), de onde segue queB ′(s) e paralelo ao vetor normal N = N(s), isto e,

B ′(s) = τ N(s)

onde τ = τ(s) e um numero que representa a torcao da curva f = f(s).

Derivando o vetor N(s) = B(s)× T (s) com relacao ao parametro s, obtemos

N ′(s) = B ′(s)× T (s) + B(s)× T ′(s)


5.9 A teoria das curvas e o triedro de Frenet-Serret 27

Como B ′(s) = τ N(s) e T ′(s) = k N(s), segue que

N ′(s) = τ N(s)× T (s) + B(s)× k N(s) = −k T (s)− τ B(s)

Reunindo as tres equacoes obtidas, temos as equacoes de Frenet-Serret:

T ′ = kN

N ′ = −kT − τB

B ′ = τN

Observacao 11. As curvas regulares sao determinadas de forma unica pela curvatura e torcaoquando estes objetos estao considerados em funcao do parametro comprimento de arco s.

Exercıcio 22. Mostrar que e possıvel reescrever as equacoes de Frenet-Serret em funcao dovetor de Darboux D = τT + kB, como:

T ′ = D × T

N ′ = D ×N

B ′ = D ×B

Observacao 12 (Vetor de Darboux, curvatura e torcao). O vetor de Darboux permite ummodo simples para interpretar geometricamente a curvatura κ e a torcao τ de uma curva:

1. A curvatura e a medida da rotacao do triedro de Frenet em torno da reta contendo ovetor B binormal unitario.

2. A torcao e a medida da rotacao do triedro de Frenet em torno da reta contendo o vetorT tangente unitario.

Em http://en.wikipedia.org/wiki/Darboux_vector podemos obter mais informacoessobre o vetor de Darboux.


5.10 Complementos sobre a teoria de curvas 28

Definicao 70. (Equacoes intrınsecas de uma curva) As equacoes k = k(s) e τ = τ(s) querepresentam a curvatura e a torcao de uma curva regular parametrizada pelo comprimento dearco f = f(s) sao as equacoes intrınsecas da curva f = f(s).

Exercıcio 23. (Equacoes intrınsecas)

1. Obter as equacoes intrınsecas de curva:

(a) f(t) = (t, a cosh(t

a), 0), (b) g(t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 4t).

2. Obter as curvas f = f(s) cujas equacoes intrınsecas sao dadas por

(a) k =1√2as

, τ = 0, (b) k = 1, τ = 1, (c) k = 0, τ = 1

3. Mostrar que toda curva plana, tem torcao nula e obter a curva parametrizada planacuja curvatura e igual a 1.

4. Mostrar que as retas tangentes a curva parametrizada f(t) = (3t, 2t2, 2t3) formam umangulo constante com a reta definida por x = z e y = 0.

5. Evoluta de uma curva regular f = f(s) parametrizada pelo parametro comprimento dearco s, e o lugar geometrico dos centros de curvatura de f = f(s), definida pela curvag(s) = f(s) + ρN(s).Mostrar que a evoluta da curva f(s) = (cos(s), sin(s), 2) e dada por g(s) = (0, 0, 2).

6. Determinar uma situacao pratica onde se usa a evoluta de uma curva.

7. Definir a forma parametrizada g = g(s) da cicloide de uma curva parametrizada pelocomprimento de arco f = f(s) e obter a evoluta h = h(s) da cicloide g = g(s).

8. Mostrar que a evoluta da curva f(t) = (cos(t), sin(t), 0) e dada por g(s) = (0, 0, 0).

9. Obter a evoluta da curva f(t) = (t, t2, 0).

5.10 Complementos sobre a teoria de curvas

Dada uma curva plana f = f(s), tomamos α = α(s) como o angulo formado entre os vetorestangentes T = T (s) e o vetor i = (1, 0, 0). Desse modo, escrevemos

T = (cos(α), sin(α)), N = (− sin(α), cos(α))

e derivando T e N em relacao ao parametro s, obtemos

dT

ds= (cos(α), sin(α))

dα

ds=

dα

dsN

dN

ds= (− sin(α), cos(α))

dα

ds= −dα

dsT

Tomando τ = 0 nas formulas de Frenet-Serret, obtemos

T ′ = k N e N ′ = −T

assim

k(s) =dα

ds


5.10 Complementos sobre a teoria de curvas 29

Integrando com relacao ao parametro s, obtemos

α(s) =

∫k(s) ds + C

Como

f(s) =

∫T (s) ds + K

entao

f(s) =

∫(cos(α(s)), sin(α(s))) ds + K

Se para todo s temos que k(s) 6= 0, entao podemos escrever que

ds =ds

dα· dα =

dα

k(s(α))

e a curva pode ser reescrita na forma

f(s) =

∫1

k(s(α))(cos α, sin α) ds + K

que e uma forma de escrever a equacao da curva f = f(s) em funcao de α = α(s)).

Exemplo 26. Se k(s) =1

s, (s > 0), entao

dα

ds=

1

s, de onde segue que α(s) = log(s) + C

o que equivale a s = exp(α− C). Desse modo,

f(α) =

∫eα−C(cos α, sin α) ds + K

e a equacao da curva plana ( τ = 0) cuja curvatura e dada por k(s) =1

spara todo s > 0.

Exemplo 27. Se τ = 0 e k(s) =1√2as

, (s > 0), entaodα

ds=

1√2as

, de onde segue que

s =a

2α2. Assim, a equacao da curva plana com a curvatura dada e:

f(α) =

∫(cos α, sin α) dα + K

Exemplo 28. Se τ = 1, mostraremos que

f(s) = −∫

B(s)×B′(s) ds

De fato, como

T = N ×B = −B ×N = −B × B′

τ= −B × B′

1= −B ×B′

logo

f(s) =

∫T (s) ds = −

∫B(s)×B′(s) ds

Exemplo 29. (Helice circular) As equacoes intrınsecas de uma helice circular sao dadas pelatorcao τ=Constante e pela curvatura k=Constante. Esta helice esta apoiada sobre um cilindrocircular reto e alem disso:

raio =|k|

k2 + τ 2e passo =

2π|τ |k2 + τ 2


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