livro calculo 1 - swokowski 9º parte

7/29/2019 Livro Calculo 1 - swokowski 9 parte

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Capitulo 8. . FUNQOES

TRIGONOMETRICAS

INVERSAS E HIPERSOLICAS

MAKRON

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o capitulo come'fa com uma reVlsao dasfun'foes trigonometricas inversas estudadas

nos cursos de trigonometria. Em seguida

aplicam-se metodos do calculo para obter

f6rmulas de derivadas e integrais. Como os

valores funcionais podem ser vistos como

angulos, isto nos permite considerar aplica-

l


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~ . . : . }" ~ . : ' ', c " ' ( 1 ) " _ 1 n n

,. ( . , .' ~v ~~_ ~~~~~: '~_ ',~~~'_ _f~.~aoseny=-2 e-" 2~y ~2

'Logo, y =- ~ . .i,:~,),;,.. '", . I;. -., 6 lJ t,

,:1;;; 'L .p~. : .:J _ ~'i .; '~~.: : ,::!;-,f)J ):. r," i'" Usando ometodo introduzido na Sec>ao7.1 para esboc>ar 0

grafico de uma func>ao inyer~~,. ~~d.~~o~ .trac>ar 0 grafico de

y =arcsen x refletindo a p(lfc>aos6lida da Figura 8.1 em relac>ao, '. - a reta );;. x . jsto pi-oduz a FiguraTi"Podei-iaiiiostamb6m' usar

a equa!;ao y =sen y, com -1t/2s y s n/2, para obler ponlos dogr~fico. :.. ';;'1,u, ~,,' . , .

~

'=senx,,1-- '.- 2 "

I f-- I 'I,'n ~.. It 1t "X

'. -1- " 2 "

~, \ "i- .:. /; "'~ '\.; .:::;. '\ ,",.'J

Comoas funl;oes' lrigonometricas nao sap um-a-um, nao admi-

tern furil;oes inv'eisa's (veja a Sel;ao 7.1). Todavia, restringindo

convenientemenle'seus dominios, podemos obler funl;oes urn-a-

. urn que t~nha~ os me~m'o.svalor~s das funl;oes lrigonometricas

e que tenham funl;oes'inversas nesses domfnios reslrilos.". f ~-~.~,; ~':~ ~~".'~ ~:::: ~' _ ', , : , ,' 1 ' ; , ._ .~ '.

,


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funl;ao inversa continua decrescente. Isto conduz a seguintedefinil;ao.

o dominio da f unl;ao inversa do co-seno e [-1,1) e 0contradominio e [0, It). A expressao y =arccos x elida como"y igual aarco co-seno XU ou "y e 0angulo cujo co-seno e xu ..

S1 - 1

e y =arccos 2 ' entao cos y = 2'

ItLogo, y=3

sey=arccos(-~),entaocosy=-~ e OsySlt.

2ltLogo, y="3

Pode-se obter 0 gnifico da ftlnl;ao inversa do co-seno

refletindo a parte s6lida da Figura 8.3 em relal;ao ao eixo y =~.

Isto origina 0esbol;o daFigura 8.4. Poderiamos tambem aplicar

a equal;ao x =cos y, com 0s y s It, para acbar pont os do grafico.

y

Como cos e arccos sac funl;oes inversas uma da outra,

obtemos as seguintes propriedades:

I

: y =tgxIIII

I

II

. 1 1pOlS -


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i2j,

y = aretgx= tg1x

________ .n ~__

:2

Se y =arelg (-1), entao

Logoy=-~4

tg (tg -I1.000) =1.000 por (8.6)(i)

( n ) n . n n ntg- I tg 4 " =4 " pOlS - 2 :


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~l

2

. . J 1-x2

Figura 8.11 .

Queremos achar sen (u:- I!). Como u e v estao no intervalo(0, rr./2),pod em ser considerados como medidas em radianos de

iingulos agudos, e podemos referir-nos aos triiingulos retiingulos

na Figura 8.10, 0que nos da

1sen II =Y 5'

2cos u =VS'

3senv=S'

4cos v =S

1 4 2 3=VSS-Y5S

2 2Y5=- 5VS=-2j

Se -1 s x s 1, escreva cos (arcsen x) como uma expressao alge-brica em x. .

Querem6s expressar cosy em termos de x. Como-rr./2 s y s rr./2, segue-se que cosy ;" 0, e entao

cosy=Y1-sen2y",V1-x2

A. ultima identidade tambem pode ser visualizada geome-

tricamente, se 0


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O J (1I;1Ir 'sen ( sen ~ ):, (h)arcxos ( eos 5 6 " )

(to ) IIrelg [ tg ( - ~) ] -"

III (II) IIr~sell [sen (- % ) ] (b) arccos (cos 0)

(.) III' 'Ig ( tg 1)I ' (II) IIresen ( sen 54~)

(.) IIrclg ( tg 7 :)

It(II) lll'~sell ( sell ~ )

(I') IIr~lg ( Ig 7 ; )

I , (II) sell [arccos (- ~ )]

(,.) Ig [arcsen (-I)J

I . ' (II) sell (nrctg 3)(.) Ig (arccos 0)

(b) arccos ( cos 54" )

, ( 4 " )(b) arccos cos '3

(II) col ( arcsell ~ ) (b) sec [ arclg (- ~ ) ]

C


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Consideraremos apenas 0 caso especial II =x, pois as f6rmulaspara II=g(x) podem ser obtidas aplicando-se a regra da cadeia.

Fazendo f(x) =senx e g(x) =arcsenx no T eorema (7.7),segue-se que a funl$ao inversa do seno i e diferenciavel seIx I


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.> '\ 8. -: Observador

:~---4bom--~~

y, " , ," ,a~~le~~c


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Em .seguida, fazemos a substitui


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1 arcsen Vi 2 aresen ~x

3 arctg (3x - 5) 4 arctg(l)

5 e-x.aresece-x 6 "aresec 3x

7 xl arctg (Xl) 8 arctg sen 2x

9 arcsec~ %arcsec5x

111

12 aresen In xaresenx

13 (1 +arccos 3x)3 14 arccos cos e "

I~n arctg (xl) 16 arcl< ~ ~

80S(x-I) +(cosx) - J x +arccos x18 x arccos "4x + 1 19 3arescn(x')

4

20

U -aresen ~ )

2t22 __ e__

aresen 5x

24 (sen 2x)(arcsen 2t)

6 (arctg 4x)e3Ictg4x

Excrcs. 2728: Ache y'.

29 (a)I-1-1- dxx + 16

4 1(b)f. -l-dt

Ox + 16

e " j x30 (a)I ~dt (b) ~dt

l+e 01+e

t Umz x31 (a)IJ:':''''-'


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o grafico de y =cosh x pode ser obtido por adi~ao dascoordenadas-y. Notando que cosh x=~If+~e-', esbol{amos

primeiro os gnificos de y =~Ife y =~e-. no mesmo plano

coord enado, conforme exibido pel as linhas traeejadas da Figura

8.13. Somamos entao as coordenadas-y de pontos desses irati-

cos, obtendo 0gnifico dey =cosh x. Note que 0contradominiode cosh e [1, (0).

y

y = cosh x

Podemos achar 0grafico de y = senh x somando coordena-das-y dos griificos y =1Ife y =~e -', confofme Figura 8.14.

Algumas calculadoras cientificas tern teclas que permi-

tern achar diretamente valores de senh e cosh. Podemos

tambem alribuir valores a x na Defini


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identidades hiperb6licas sao anaJogas (mas nem sempre as

mesmas) a certas identidades trigonometricas; as diferen~as em

geral dizem respeito a sinais dos termos.

,,,

"\\\

\\

\\,,

Se 1 e um numero real, ha uma rela~ao geometrica

interessante entre os pontos P{cos I , sen I) e Q(cosh I , senh I)

em um plano coordenado. Consideremos os gnificos de

r+T =1 e r-T =1, esbo~ados nas F iguras 8.16 e 8.17.0grafico da Figura 8.16 e 0cfrculo unitario de centro na origem.

o grafico da Figura 8.17 e uma hiperbo/e (As hiperboles esuas' propriedades serao estudadas no Capitulo 12.) Note

primeiro que, como cos2 t +sen2 1=1, 0 ponto P(cos I, sen I)

esta no circulo r+l~1. Em seguida, pelo Teorema (8.11),cosh2 1- senh2 1=I, e dai 0 ponto Q(cosh t, senh I) est a nahiperbole r-l=1. E stas sao as raz6es para nos referirmosa cos e sen como fun~6es cirCII/ares, e a cosh e senh comofun~6es hiperb6/icas .

Ha uma outra maneira de relacionamento entre os graficos

das Figuras 8.16 e 8.17. Se 0


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Notem-se as analogias e diferen


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As f6rm~las' ~e iniegra~lio correspondenles as f6rmulas dederivadas no Jeorema (8.14) slio:

:: . ..~:: : ,


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52 A figura exibe uma bolba de sabao fomada pardais aneis concentricos paralelos. Seas aneisnaoestao muito distantes urn do outro, pode-semos-

!Tarqueafunc;aot,cojograficogeraeslasuperficiede revolu~ao, e uma solu~ao da equa~ao"diferen-

cial yy" =1+(y,)2, onde y =f(x). SeA e B sac

constantes positivas, mostre que y =cosh Bx esoluc;aosee somente se AB -1. Conclua que 0

grafico e uma catenaria.

19 53 Grafe, nos mesmos eixos coordenados,

y ~ tgh x ey =sech2 x, para 0 s x s 2.

(a) Estime acoordenada-x do ponto de intersec-

~aodos graticos.

(b) Use0metoda de Newton para aproximar a

com tres casas decimais.

B IB L I O TE CA D O D M E /U F C GZEL E os UV ;;:tOS

E-\jT"j""iC p - ""~ ~ ihr . ~!i~LkL.-r[\SENTREGA\\IPn~f){"; r:'l\r~DIA- I J . ,Il ..' .. '+0 .." L_'\I~

19 54 Grafe, nos mesmos eixos coordenados,

y - cosh2 x ey =2.

(a) EstabeJe~a integrais para estimar 0centroideda regiao R delimitada pelos griificos.

(b) Use a regra de Simpson, rom n =4, paraaproximar ascoordenadas do centroide deR.

57 senh (-x) = -senh x 58 cosh (-x) = coshx

59 senh (x+y) =senh x cosh y +cosh x senhy

60 cosh(x +y) =cosh x cosh y + senh x senh y

61 scnh (x- y) =senh x cosh y - cosh x scnhy

62 cosh (x- y) =cosh x cosh y - senh x senhy

63 t h (x + ) = tghx +tghYg Y 1+tghxtghy

64t h(x- )=~g!lLg Y 1-tghxtghy

65 senh2x =2 senh x cosh x

67 senh2:!. =posh x - 12 2

69tgh2x~1 +tgh2 x

70 t h:!.= senh~g 2 1+ coshx

71 (cosh x +senh x)" =cosh nx +senh nx para todointeiro positivo 1/ (Sugestiio: Use0Exercicio 55).

72 (coshx - senh x)" = cosh IIX - senh nx para tadaintciro positivo n.

8.4 FUN


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Obtem-se de, maneira analoga as formulas (ii)-(iv). Tal

como no caso Cia;;'fu~~5es trigonometricas, algumas f unl.


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f~ du= In (u+U+i7) +D,va- +uc

ondeD euma constante. Na Sec,;iio9.3 estudaremos outro metodo

para calcular ~s integrais do Teorema (8.18).

f 1 dx'~

Podemos expressar a integral na forma do Teorema (8.l8)(i)

medilinte a substituic,;iio .

Como du contrn' 0fator 3, ajustamos 0integrando multiplican-

do-o por 3 e compensando pela multiplicac,;iio da integral por 1, ,

antes de substituir:

1 u= "3 argsenh 5 +c

1 3x=- argsenh - +C3 5

f' e'

Calcular , 16 _ t?' dx

Fazendo u =ex,du =e' dx e aplicando 0Teorema (8.18)(iii) com

a =4, temos

1 u=" 4 argtgh " 4 +c

I I e'=- rgtgh-+ C

4 \ 4

1 (a) argsenh 1 (b) argcosh 2

(e) argtgh (-~) (d)argseeh i

2 (a) argsenh(-2) (b) argcosh 5

(e) argtgh ~ (d) argsech ~

3 argsenh 5x 4 argsenh I f

5 argeosh Vi 6 v'arg,coshx

7 argtgh (-4x) 8 argtgh sen 3x

9 argsechx2 10 argsech..[l::;

11 x argsenh! 121

x argsenhx2

13 In argcosh 4x 14 argcosh In 4x

15 argtgh (x+1) 16 argtgh2

17 argse~h Vi 18 (argsech x)-I

21f~dx49 - 4.

22 f senx dxV I +cos2 x

23f ~dxe -16

25f / 4dx

x 9- x

26 f V 1 2x dx5- e

27 Urnponto se move ao longo da reta x ~1em 11111

plano coordenado, com lima velocidade dirclu-mente proporcional a Slladistancia daorigem. Soaposi


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vclocidade con stante, e 0cachorro passa a eami-

nhar scmpre em direc;ao aodono. Se a velocidade

do cachorro e duas' vezes a do dono, pode-seI11nstrar que a trajet6ria do cachorro e dada pory - f(x), onde y e soluc;ao da equac;ao diferencial

2 'y" - VI + (y .)2. Resolva esta equac;ao fazendo

pril11ciro z =dy/dx e resolvendo 2xz' = ~

para obter z - i [v 'X - (l/v'X )]. Finalmente, resol:

Vll y' - i[v'X - (1!vX)]. '

30 y = ar7'::~sh x

32 y =argsech x

.1.1IJ x '''gcosh II=__ 1__ Dx u~'

Illrctg~ 2 arctg (In 3x)

3 x2 arcsee (x2) 4_1_arccos x

S 2"dg 2x 6 (1+arcsec 2x)ofI

7 In aretg (.1)1-~8--

arccos x

9 arcsen~ 10 Varcsen (1 _ x2)

II (tg +aretg x)4 12 arclg Vtg 2-c

13 aretg (aretg x) 14 e4xarcsec e4x

'. 13S Dx argseeh u = _r:--:;Dx It,

u V 1_112

J1 u

36 V 2 du - argeosh - +C,u _ a2 a

J 1 1 u37 2'2du=-argtgh-+C,

a -II a a

J1 1 Iu I

38 _r:;--;;- dll =-- argsech L:.J +C,"Va2 _ ,,2 a a

Exeres. 39-.41: Estabelec;a a f6rmula (veja Teorema(8.16).

1 1+x40 argtgb x =2 ' In ~'

1+..[]::741 argseeh x =In ---- ,x

16 In senhxx

19 senh xcosh x - senh x

1 f24 ;tgh;

2S f_1_2dx4 + 9x

26f~dx4 +9x

2x

27f_~~. vl- e-

29f_x-dx

sech (~)

1(}. 131f --dx'

-1/2 Vl-x2.

33 f senh ~Inx) dx

3Sf _~dxV9 - 4x2

37 f 1 dxxV9-4~

39 J x dxV25~ +36

28f~e' dx1

2x .- e

30f .~dxxvx -1

rc I232 f cosx

2dx

o l+sen x

36fvx dx9- 4~

38 f 1 dxxV 4x2 - 9

40f 1 dx

V25x2 +36

41 Ache os pontos do gr;ifieo de y = arcsen 3x nos

quais a tangente e paralela a reta por A (2, -3) e

B(4,7).

42 Ache os pontos de inflexao e di,seuta a eoneavi-

dade d~ grafico de y =x arcsen x.

43 Ache os extremos loeais de f(x) = 8 sec x +,+csc x no intervalo (0, rrJ2) e descreva onde

f(x) e ereseente ou decreseente no intervalo.

44 Ache a area da regiao delimitada pelos graficos

,dey=xl(x4+1),x=1 ey-O.

4S As oseila"oes amortecidas sao oscilac;oes de mag-

nitude deereseente, que ocorrem quando se con-

sideram for"as de atrito. A figura a seguir e 0grafieo das oscilac;oes amortecidas dadas por

f(x) =e -x(}. sen 2x.

(a) Ache as coordenadas-x das extremidades de

f para 0 0: X 0: bt.

(h) Aproxime'as coordenadas-x na parte (a) com

duas casas decimais.

46 Ach~ 0 comprimento do arco do grillco de

y ':' In tgh ix, ~e x = la x =2.

47 Solta-se urn balao do mvel do solo a 500 metros

de distancia 'de uma pessoa que observa sua

ascensao. Se 0balao sobe a taxa eonstante de 2mIs, use as fun"oes trigonometricas inversas paraaehar a taxa na qual 0angulo de elevac;ao d" linba

de visao do observador esta variando no in>lante

em que 0 balao esta a uma altura de 100 m.(Desprezar a altura do observador.)

48 Urna pintura quadrada de 60 em de lado esta

pendurada em uma parede com a base a 180em

acima do assoalho. Uma pessoa cuja linha de

visao' esta alSO cm do chao se aproxima doquadro a razao de 60 em/s. Se [) e 0angulo quea Iinha de visao faz com 0 topo do quadro,

determine

(a) a taxa na qual e esta variando quando apessoa esta a 240 em da pare de.

(h) a distancia da parede na qual [) toma seu

valor maximo.

49 U rn duble de acrobata salta de urn baHio que

paira sobre urn lago a uma altitude de 30 metros.

Uma camera cinematografica na margem, a 60

metros de urn ponto diretamente abaixo do balao,

registra a queda do duble (veja a figural. A que

taxa 0angulo de eleva"ao da camera esta varian-

do 2 segundos ap6s 0saito? (Desprezar a altura

da camera.)


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SOUma pessoa em uma ilhola I a k milhas dedistanciado pontomais pr6ximoA, emurnapraiaemlinha reta, deseja chegar a urn acampamentoque est:! a d mjlhas distante de A, na praia,

nadando ale urn ponto P na praia e andando 0

resto do percurso (veja a figura). Suponha que a

pessoa queime CI calorias por milha nadando, e

c calorias por milha andando, com Cl >C2,

(a) Estabele~a uma f6rmula para0numerolotalc de calorias queimadas durante todo 0percurso.

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