Núcleo Básico de Engenharias

Geometria - Geometria Analítica

Professor Julierme Oliveira

Lista de Exercícios de Geometria

Primeira Parte: VETORES

1. Sejam os pontos A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(-2,3), E(4,-5) e F(-3,-3). Obtenha os seguintes

vetores pela forma algébrica:

) AB ) BA )CA ) DA ) EA ) FA

) AC ) BC ) CB ) DB ) EB ) FB

) AD ) BD ) CD ) DC

a f k p u z

b g l q v ab

c h m r

���� ���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ����

) )

) AE ) BE ) CE ) DE ) ED ) FD

) AF ) BF )CF ) DF ) DF ) FE

w EC ac FC

d i n s x ad

e j o t y ae

���� ����

���� ���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ���� ���� ���

2. Calcule o módulo para todos os vetores da primeira questão.

3. Sejam os vetores ( ) ( ) ( ) ( ) 5,3 , 4,0 , 2, 1 , 0, 2 .v v v v= = = − − = −1 2 3 4

��� ��� ��� ���

Obtenha os seguintes

vetores pelo método gráfico, e depois, confirme o resultado utilizando o método

algébrico:

( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 2 4 1 2 3 4

1 2 4 1 4 3 2 1 3 2 4

2 1 4 3

) ) ) )

) ) ) )

) )

a a v v d d v v g g v v v j n v v v v

b b v v e e v v h h v v v k o v v v v

c c v v f f v v i

= + = − = + − = + + +

= − = + = − + = + − +

= − = +

� � � �� � � �� � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � �

� � � �� � �

( ) ( )2 1 3 1 2 3 4) ) m v v v l p v v v v = − + = − − +

�� � � � �� � � � �

4. Calcule o módulo para cada um dos vetores calculados no exercício anterior.

5. Assumindo que m e n são dois números Reais, e que u e v� �

são dois vetores pertencentes

ao R², realize as seguintes demonstrações:

( ) ( )) ) a m n v mv nv b n u v nu nv+ = + + = +� � � � � � �

6. Demonstre que a lei necessária para que dois vetores do R3, u�

= (x1, y1, z1) e v�

= (x2, y2, z2),

sejam paralelos é: 1 1 1

2 2 2

x y z

x y z= =

7. Determine os valores de m e n para que os vetores u e v sejam paralelos.

( ) ( )u m 1 i 3j k 4 , 2 , 2n 1v= + + + = −� � � � �

8. Sendo AB um seguimento de reta formado entre os pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2). Seja

M(x, y, z) um ponto médio entre este A e B. Mostre que:

1 2

1 2

1 2

2

2

2

x xx

y yy

z zz

+=

+=

+=

9. Dados os vetores u�

=(1, a, 2a-1), v�

=(a, a-1, 1) e w��

=(a, -1, 1), determine o valor de “a”

para que ( )u v u v w⋅ = + ⋅� � � � ��

10. Seja o vetor v�

= (m+7) i�

+ (m + 2) j�

+ 5 k�

. Calcule m para que v = 38�

.

11. Calcule o ângulo formado entre os vetores u�

= (1, 1, 4) e o vetor v�

= (-1, 2, 2).

12. Determine um vetor w��

que seja simultaneamente ortogonal aos vetores u�

= (2, -3, -12)

e v�

= (-6, 4, -2).

13. Calcule um vetor w��

ortogonal aos vetores u�

= (1, 1, 4) e o vetor v�

= (-1, 2, 2). Após obter

o vetor w��

, calcule a área do paralelogramo formado pelos vetores w��

eu�

, depois calcule

a área do paralelogramo formado por w��

e v�

, e por fim a área do paralelogramo

formado por u�

e v�

. Calcule o volume do paralelepípedo gerado por u�

, v�

e w��

.

Segunda Parte: A Reta

14. Verifique se os Pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem a reta r: 3 1 2

1 2 2

x y z− + −= =

− −

15. Determine o ponto da reta r que tem o valor da abscissa igual a 4:

2

: 3

1 2

x t

r y t

z t

= −

= + = −

16. Determine o valor de m e n para que o ponto P(3, m, n) pertença a reta r:

1 2

: 3

4

x t

r y t

z t

= −

= − − = − +

17. O ponto P(2, a, b) pertence a uma reta r. Esta reta r passa pelos pontos C(3, -1, 4) e

D(4, -3, -1). Calcule o valor de a e b.

18. Mostre que os pontos A(-1, 4, -3), B(2, 1, 3) e C(4, -1, 7) são colineares.

19. Qual o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(1, 1, -1) e C(-2, 10, -4) pertençam à

mesma reta?

20. A reta

1 2

:

3

x t

r y t

z t

= +

= = −

forma um ângulo de 60° com a reta que passa pelos pontos

A(3, 1, -2) e B(4, 0, m). Calcule o valor de m.

21. Calcule o valor de m para que as retas r e s sejam paralelas.

3 5 1

: 3 : ; z = 66

4

x tx y

r y t sm

z

= −+ −

= + = =

22. Sejam os pontos A(2,0,5), B(4,3,9), C(-1,0,3), D(2,-1,3), E(-1,2,1), F(3,8,9), G(5,8,-7),

H(5,2,-3), I(-5,-3,6) e J(-6,-2,9):

a) Obtenha a equação vetorial da reta r, que passa pelos pontos A e B, e da reta

s, que passa pelos pontos C e D.

b) Obtenha a equação paramétrica da reta r e da reta s.

c) Obtenha a equação simétrica da reta r e da reta s.

d) Obtenha a equação reduzida da reta r e da reta s.

e) Calcule o ângulo formado entre as retas r e s.

f) Seja t a reta que passa pelos pontos E e F, verifique se a mesma é paralela à r

e s.

g) Seja u a reta que passa pelos pontos G e H, esta reta é ortogonal a r ou s?

h) Seja q a reta que passa pelos pontos I e J. Esta reta é coplanar às retas r e s?

Terceira Parte: O Plano

23. Seja o plano π: 2x – y + 3z + 1 = 0. Calcule:

a) Um ponto deste plano que tem abscissa 4 e ordenada 3;

b) Um ponto deste plano que tem abscissa 1 e cota 2;

c) O valor de k para que o ponto P(2 , k+1 , k) pertença ao plano;

d) O valor da abscissa do ponto deste plano onde a ordenada vale o dobro da cota.

24. Determine a equação geral do plano para os seguintes casos:

a) Paralelo ao plano π: 2x – 3y - z + 5 = 0 e que contém o ponto P(4 , -1 , 2);

b) Que contém o ponto A(1, 2, 3) e que é perpendicular a reta 2 3

:1

x yr

z y

= −

= − +

c) Do plano que corta perpendicularmente o seguimento de reta de extremidades

A(1, -2, 6) e B(3, 0, 0) ao meio;

d) Perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3, 4, -1).

25. Determine a equação geral do plano determinado pelos pontos:

a) A(-1, 2, 0), B(2, -1, 1) e C (1, 1, -1);

b) A(2,1, 0), B(-4, -2, -1) e C (0, 0, 1);

c) A(0, 0, 0), B(0, 3, 0) e C (0, 2, 5);

d) A(2, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C (4, 2, 3);

26. Determine a equação geral do plano que contém:

a) O ponto A(3, -1, 2) e a reta r: (x, y, z) = (0, 2, 3) + t(1, -1, 2);

b) As retas

1 12 3

: e : 3 52

1

x zy x

r sz x

y

− −= − =

= − + = −

27. Estabeleça as equações paramétricas do plano que contém os pontos A(1, 1, 0),

B(2, 1, 3) e C(-1, -2, 4).

28. Dada a equação geral do plano π: 3x – 2y – z – 6 = 0, determine um sistema de equações

paramétricas deste plano.

29. Calcule:

a) O ângulo entre os planos:

π1: x + 2y + z – 10 = 0 e π2: 2x + y - z + 1 = 0

b) O ângulo entre os planos:

π1: 3x + 2y – 6 = 0 e π2: plano yOz

c) O valor de m para que o ângulo entre os planos seja de 30°:

π1: x + my + 2z – 7 = 0 e π2: 4x + 5y + 3z - 2 = 0

d) O valor de a e b para que os planos sejam paralelos:

π1: ax + by + 4z – 1 = 0 e π2: 3x – 5y – 2z + 5 = 0

e) O valor de m para que os planos sejam perpendiculares:

π1: 2mx + 2y – z = 0 e π2: 3x – my + 2z – 1 = 0

f) O ângulo entre o plano π e a reta r:

π: 2x – y + 7z – 1 = 0 e r: (x, y, z) = (2, 0, -1) + t(3, -4, 5)

g) A equação paramétrica da reta r que passa pelo ponto P(-1,0,0), e que seja

simultaneamente paralela aos planos:

π1: 2x – y – z + 1 = 0 e π2: x + 3y + z – 5 = 0

Quarta Parte: Interseções e Distâncias

30. Mostre que o ponto P1(2,2,3) é eqüidistante aos pontos P2(1,4,-2) e P1(3,7,5).

31. Determine um ponto sobre o eixo das ordenadas que é eqüidistante aos pontos A(1,1,4)

e B(-6,6,4).

32. Calcule a distância entre o ponto P(1,2,3) e:

a) A reta:

1 2

: 2

2

x t

r y t

z t

= −

= = −

b) Ao eixo da abscissa, ao e da ordenada e ao eixo da cota.

33. Descubra a relação existente em cada par de retas dadas e depois calcule a distância

entre elas:

a) 0 3

: : 2

x yr s

y z z x

= =

= =

b) A reta r passa pelos pontos A(1,0,1) e B(-1, -1, 0) e a reta S passa pelos pontos

C(0,1,-2) e D(1,1,1);

c) 3 1

: : 2 4

x xr s

y y

= =

= =

d) 12 5 2

: : 42 5 1

xx y zr s

y

=− − += =

=− −

e)

1

: 2 3 : Eixo do x

x t

r y t s

z t

= −

= + = −

Quinta Parte: Cônicas

34. Em cada um dos problemas a seguir, estabeleça a equação da parábola sabendo que:

a) Vetrice em V(0,0) e diretriz em d: y=−2;

b) Vetrice em V(0,0) e foco em F(0,-3);

c) Vetrice em V(0,0), simetria em relação ao eixo dos y e que passa pelo ponto P(2,-3).

35. Em cada um dos problemas a seguir, determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola.

Esboce o gráfico.

a) x² = -12y

b) y² = -100x

c) y² -x = 0

36. Em cada um dos problemas a seguir, determine os vértices A1 e A2, os focos da elípse.

Esboce o gráfico.

a) 2 2

1100 36

x y+ =

b) 2 2

136 100

x y+ =

c) 2 225 25x y+ =

d) 2 29 5 45 0x y+ − =

e) 2 24 9 25x y+ =

37. Em cada um dos problemas a seguir, determine os vértices, os focos da hipérbole.

Esboce o gráfico.

a) 2 2

1100 64

x y− =

b) 2 2

1100 64

y x− =

c) 2 29 16 144x y− =

d) 2 24 5 20 0x y− + =

e) 2 2 1x y− =

RESPOSTAS

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1. a) AB 1,0 ) BC 1,1 )CD 2, 2 ) DE 6, 8 ) DF 1, 2

) AC 0,1 ) BD 3,3 )CE 4, 6 ) DF 1, 6 ) FA 3,3

) AD 2,3 ) BE 3, 5 )CF 3, 4 ) EA 4,5 ) F

g m s y

b h n t z

c i o u ab

= = − = − = − = −

= = − = − = − − =

= − = − = − − = −

���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ����

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

B 4,3

) AE 4, 5 ) BF 4, 3 ) DA 2, 3 ) EB 3,5 ) 3, 4

) AF 3, 3 )CA 0, 1 ) DB 3, 3 ) 4,6 ) FD 1,6

) BA 1,0 ) CB 1, 1 ) DC 2, 2 ) ED 6,8

d j p v ac FC

e k q w EC ad

f l r x

=

= − = − − = − = − =

= − − = − = − = − =

= − = − = − = −

����

���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ����

( )) FE 7, 2ae = −���

2. a) AB 1 ) BC 2 ) CD 2 2 ) DE 10 ) DF 5

) AC 1 ) BD 3 2 ) CE 2 13 ) DF 37 ) FA 3 2

) AD 13 ) BE 34 ) CF 5 ) EA 41 ) FB

g m s y

b h n t z

c i o u ab

= = = = =

= = = = =

= = = =

���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ���� ���

5

) AE 41 ) BF 5 ) DA 13 ) EB 34 ) 5

) AF 3 2 ) CA 1 ) DB 3 2 ) 2 13 ) FD 37

) BA 1 ) CB 2 ) DC 2 2 ) ED

d j p v ac FC

e k q w EC ad

f l r x

=

= = = = =

= = = = =

= = =

�

���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ���� ����

���� ���� ���� ���

10 ) FE 53 ae= =� ���

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

3. ) 9,3 ) 6,1 ) 9,5 ) 7,0

) 1,3 ) 5,1 ) 2, 1 ) 1, 4

) 1, 3 )

a a d d g g j n

b b e e h h k o

c c f f

= = = =

= = = − − = −

= − − = −

� �� �� �

� � � �

� ��

( ) ( ) ( )2, 3 ) 3, 3 ) 1,0i m l p− = − − = −�� ��

4. ) 3 10 ) 37 ) 106 ) 7

) 10 ) 26 ) 5 ) 17

) 10 ) 13

a a d d g g j n

b b e e h h k o

c c f f i

= = = =

= = = =

= =

� �� �� �

� � � �

� ��

) 3 2 ) 1 m l p= =�� ��

5. Questão demonstrativa a cargo do aluno.

6. Questão demonstrativa a cargo do aluno.

7. m = 5 e n = 5/6

8. Questão demonstrativa a cargo do aluno.

9. a = −2

10. m = −4

11. θ = 45°

12. Qualquer múltiplo de w��

= (54, 76, −10).

13. w��

= (−6, −6, 3); w e uA 27 2 u.d.a= ; w e vA 27 u.d.a= ; u e vA 9 u.d.a= ; V 81 u.d.v= .

14. P1 ∈ r e P2 ∉ r

15. P(4 , 1 , 5)

16. m = ─2 e n = ─5

17. a = 1 e b = 9

18. Questão demonstrativa a cargo do aluno.

19. m = ─5

20. m = ─4

21. m = ─2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

22. a) r : , , 2,0,5 2,3, 4

s : , , 1,0,3 3, 1,0

2 2 1 3

) r : 3 s :

5 4 3

2 5 ) r :

2 3 41

s : ; 33

33

) r : 2

x y z t

x y z t

x t x t

b y t y t

z t z

x y zc

xy z

xy

dz

= +

= − + −

= + = − +

= = − = + =

− −= =

+= − =

= − 3 1 s :

3 2 1

e) = 79,85

)

)

)

o

x y

zx

f É paralela apenas à reta r

g Não é ortogonal a nenhuma das duas

h Não é coplanar

θ

= − −

= = +

23. a) P1(4,3,-2) b) P2(-3,1,2) c) k= ─ 2 d) 1

22

zx e y z

− −= =

24. a) π1: 2x – 3y – z – 9 = 0 b) π2: 2x + y – z – 1 = 0

c) π3: 2x + y – 3z + 8 = 0 d) π4: y – 4 = 0

25. a) π1: 4x + 5y + 3z – 6 = 0 b) π2: x + 2z – 2 = 0

c) π3: x = 0 d) π4: z – 3 = 0

26. a) π1: x + y – 2 = 0 b) π2: 5x – 3y – z – 7 = 0

27.

1 2

: 1 3

3 4

x t h

y h

z t h

π

= + −

= − = +

28.

1

: 1

5 3 2

x t

y h

z t h

π

= −

= − = − − +

29. a) θ = 24,5° b) θ = 64,6° c) m = 1 ou m = 7 d) a = ─ 6 e b = 10

e) m = 0,5 f) θ = 60° g)

1 2

: 3

7

x t

r y t

z t

= − +

= − =

30. Questão demonstrativa a cargo do aluno.

31. b = 7

32. a)

2 2

3d =

b)

13 ; 10 ; 5x y zd d d= = =

33. a) Retas reversas, 6

2d = b) Retas reversas,

35

7d =

c) Retas reversas, 2 2d = d) Retas reversas, 3 2

2d =

e) Retas reversas, 10

5d =

34. a) 2

8

xy =

b) 2

12

xy

−=

c) 23

4

xy

−=

35. a)

b)

c)

36. a)

b)

c)

d)

e)

37. a)

b)

c)

d)

e)