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Revisão de Pré-Cálculo
PÁRABOLAS
Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni
Departamento de Matemática, FEG, UNESP
Lc. Ismael Soares Madureira Júnior
Guaratinguetá, SP, Março, 2018
Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a fonte.
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EQUAÇÃO DA PARÁBOLA – EIXO // OY
y = a x² + b x + c
Coeficiente a está relacionado a concavidade da parábola
côncava para cima côncava para baixo
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PARÁBOLA - CONCAVIDADE
Quanto maior o valor do |a| mais fechada é a parábola
Exemplos
y = 5 x²
y = 2 x²
y = x²
y = ½ x²
y = 1/5 x²
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PARÁBOLAS COM EIXO EM OY
Termo linear ausente (b =0): y = a x² + c
Coeficiente c é a interseção da parábola com o eixo y (x=0)
Exemplos
y = x² + 2
y = x² + 1
y = x²
y = x² – 1
y = x² – 2
Parábolas relacionadas entre si por translação vertical.
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PARÁBOLAS COM EIXO // OY
y = a x² + b x + c
Coeficiente b está relacionado a posição do eixo da
parábola, localizado sobre a vertical x = b/(2.a).
Exemplo y = x² – 2x – 3
A parábola tem simetria
de reflexão em torno
do seu eixo.
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VÉRTICE DA PARÁBOLA
O vértice é o ponto de retorno da parábola.
A coordenada horizontal xv = b/2a é a média das raízes.
A coordenada vertical yv é obtida y v = a x v2
+ b xv + c .
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PARÁBOLAS E O DISCRIMINANTE
y = a x² + b x + c, = b² – 4 a c
Os gráficos para a < 0 são uma reflexão no eixo x dos gráficos acima.
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INTERIOR E EXTERIOR DA PARÁBOLA
Região Interior da parábola (a > 0): y > a x² + b x + c
Região Exterior da parábola (a > 0): y < a x² + b x + c
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PARÁBOLAS – Geometria Euclidiana
A Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado (foco) e de uma reta dada (diretriz).
A reta perpendicular a diretriz passando pelo foco é o eixo da parábola. O vértice é o ponto sobre o eixo a meia distância entre o foco e a diretriz.
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PARÁBOLAS – DIREÇÃO DO EIXO
● Escolhendo o eixo x paralelo a diretriz (portanto, o eixo y é paralelo ao eixo da parábola) podese mostrar que a equação da parábola é y = a.x² + bx + c (veja Simmons).
● Escolhendo a diretriz paralela ao eixo y, o eixo x será paralelo ao eixo da parábola. A equação da parábola se torna x = a y² + b y + c.
Exemplo:
x = y² – 6y + 5.
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PARÁBOLAS – EIXO NA HORIZONTAL
Equação da parábola (linear em x, quadrática em y).
x = a y² + b y + c.
● Se a > 0, côncava para a direita; se a < 0, côncava para a esquerda.
● Raízes reais da equação ay² + by + c = 0 fornecem os pontos de interseção da parábola com o eixo y (x = 0).
● Vértice localizado em (xv, yv) = ( /4a , b/2a).
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PARÁBOLAS – PROPRIEDADE DE REFLEXÃO
Raio incidente paralelo ao eixo da parábola é refletido passando pelo foco.
Sentido inverso: raios que saem do foco são refletidos na parábola de tal forma que se tornam paralelos ao eixo da parábola.
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TANGENTE À PARÁBOLA
Reta tangente a parábola em um ponto P é a reta no exterior da parábola e que intersecciona a parábola apenas em P.
A reta tangente à parábola em P é a bissetriz das retas PF (F é o foco) e PD (D é o ponto no pé da perpendicular à diretriz que passa por P).
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PARÁBOLA – FUNÇÃO QUADRÁTICAf(x) = a x² + b x + c.
Considere a > 0 (gráfico é côncavo para cima), então a função f é decrescente para x < xv e crescente para x > xv.
Observe que em um ponto no intervalo em que a função é crescente (decrescente), a reta tangente tem inclinação positiva (negativa). No vértice, a tangente é horizontal (inclinação nula). Para a > 0, o vértice é um ponto de mínimo da função.
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EXERCÍCIOS
1) Para cada item abaixo, determine: (i) a concavidade, (ii) o discriminante, (iii) as raízes reais, (iv) o eixo e (v) o vértice da parábola. Faça um esboço do gráfico
a) y = 2 – x². b) y = x² – x.
c) y = x² – 2x – 2. d) y = x² – 4x + 4.
e) y = x² + x + 1. e) x = y² – 4.
f) x = – y² + y + 1.
2) Faça um esboço das curvas e destaque a região limitada definida por elas.
a) y x – x² e y 0.
b) y x², y + x 2 e x 0.
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EXERCÍCIOS
1) Uma função é definida por partes conforme mostrado a seguir
Determine o valor da constante c para que a função seja contínua em x = 1.
f (x) = 4 x , se x≤1,x ² + 2 x + c , se x≥1
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EXERCÍCIOS - Problemas de Otimização
1) A distância, s, entre dois barcos é dada em função do tempo, t, por
Determine para qual instante de tempo a distância é mínima. Dica: use o fato que a função raiz quadrada é crescente e seu mínimo é atingido quando seu argumento é mínimo.
● Simmons, cap 4, seção 3, Exemplo 5 (economia)
● Ponto de retorno em Mecânica/Movimento.
s (t ) = √400 t 2− 1600 t + 2500 .
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WOLFRAM ALPHA
Comandos com saída (resposta) gráfica
● Plot s = 400 t^2 – 1600 t + 2500
● Solve y > x² – 2x – 3
● Tangent Line to y = x^2 at x = sqrt(2)
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GEOGEBRA
● Para exibir o gráfico de s = 400 t^2 – 1600 t + 2500,
– na janela de álgebra escreva a equação, o gráfico será exibido na janela gráfica.
● Para exibir o interior da parábola y = x^2 – 2x – 3,
– na janela de álgebra escreva a desigualdade, o programa irá sombrear a região na janela gráfica.
● Para exibir a reta tangente ao gráfico de y = x² no ponto (2, 2)
– Insira a equação e o ponto,
– No menu de retas, escolha reta tangente,
● Selecione o ponto e depois o gráfico.