lista de exercícios de calculo

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23/7/2010 – CDI-1: Inequações, passo à passo, exercícios resolvidos. ATENÇÃO: O único objetivo deste arquivo é guiar o estudante para as possíveis soluções dos exercícios propostos pelo livro. Tendo como base o conhecimento sobre estes exercícios, o estudante estará apto para prosseguir no assunto. Exercícios extra: Determine o conjunto solução das inequações: A. x2 + 1< 2x2@3 ≤@5x: Solução: Resolvendo em partes: y1:

x2 + 1 < 2x2@3@ x2 + 4 < 0x2@4 > 0x =F 4p

wwwwwwwwwwwwwwwwwww=F 2

y2:

2x2@3 ≤@5x2x2 + 5x@3 ≤ 0

@5F 25@4 2` a@3` aq

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

4fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

@5F 49pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

4ffffffffffffffffffffffffffffffffffff=@5F 7

4ffffffffffffffffffffffff

x = 12fffe x =@3

Logo o conjunto solução é a interseção de y1 e y2::

S= x2R |@3 ≤ x <@2R S

ou por intervalos@3,@2B c

Tente resolver essa: B. @5< x2@3< 1

S= x2R |@2 <x <2R S

ou por intervalos@2, 2b c

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Livro: Calculo A – Funções, Limite, Derivação, Noções de integração (5ª Edição, revista e ampliada) Diva Marília Flemming, Mirian Buss Gonçalves (Números reais, pg. 15) - 1.6 Exercícios. (Inequações) 1. Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica. aa3@ x < 5 + 3x

ba2x@5<

13ffff+ 3x

4ffffffff+ 1@ x

3ffffffffffffffff

ca2>@3@3x ≥@7

ea

x2 ≤ 9 fa

x2@3x + 2> 0 ga1@ x@2x2 ≥ 0

ha x + 1

2@ xfffffffffffffffff< x

3 + xffffffffffffffff

ia

x3 + 1> x2 + x

ja

x2@1b c

x + 4` a

≤ 0

ka 2

x@2fffffffffffffffff≤ x + 2

x@2fffffffffffffffff≤ 1

la

x4 ≥ x2

ma x

x@3fffffffffffffffff< 4

na

12fffffx@3

4 + xffffffffffffffffffffffff> 1

oa 3


pa

x3@ x2@ x@2> 0 qa

x3@3x + 2 ≤ 0

ra 1

x + 1fffffffffffffffff≥ 3

x@2fffffffffffffffff

sa8x3@4x2@2x + 1< 0

ta12x3@20x2 ≥@11x + 2

Soluções:

aa3@ x < 5 + 3x

resolução:3@ x@5@3x < 0@4x@2 < 0B @1

` a

4x + 2 > 0

x >@24ffff[ x >@

12fff

S= @12fff, +1

f g

da 5xffff< 3

4ffff

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ba2x@5<

13ffff+ 3x

4ffffffff+ 1@ x

3ffffffffffffffff

Solução:2x1fffffff@

51fff< 1

3fff+ 3x

4fffffff+ 1@ x

3ffffffffffffffff

mAmA c 1,3,4b c

= 12

24x@60 < 4+ 9x + 4@4x12

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

24x@60@4@9x@4 + 4x < 019x@68 < 0

x <6819fffffff

S= @1 ,6819ffffffff g

ca2>@3@3x ≥@7

resolução:2 >@3@3x ≥@7 + 3

` a

5 >@3x ≥@4 B @1` a

@5 < 3x ≤ 4 D 3` a

@53fff< x ≤ 4

3ffff

S= @53fff, 4

3fffff G

da 5

xffff< 3

4ffff

resolução:5xffff@

34ffff< 0

20@3xx4ffffffffffffffffffffffff< 0

@3x + 204x

fffffffffffffffffffffffffffffff< 0 inequação quocienteb c

Análise do comportamento de sinais das funções de 1ºgrau:y1:@3x + 20 < 0y2: 4x + 0 < 0

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portanto temosduassoluções doiscasos

` a:

1ºcaso: x2ℜ | x<0R S

oupor intervalos:@1 ,0b c

2ºcaso: x2ℜ |x >203fffffffV W

ou por intervalos:203fffffff, +1

f g

e a solução finalé a união desses dois conjuntos soluções, fincando assim:

@1 ,0b c

S 203fffffff, +1

f g

ea

x2 ≤ 9Solução: essa é muito fácilnão é mesmo? Mas mostraremos umoutro caminho para resolver:

x2@ 9 ≤ 0

x2@32 ≤ 0 produto notavel, diferença de quadradosb c

x + 3` a

A x@ 3` a

≤ 0 inequação produtob c

Análise do comportamento de sinais das funções de 1ºgrau:y1: x + 3 ≤ 0y2: x@ 3 ≤ 0

Portanto encontramos os valores que tornam esta inequação verdadeira:

S= x2R |@3 ≤ x ≤ 3R S

ou por intervalos@3,3B C

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fa

x2@3x + 2> 0 Para resolver, precisamos comparar com a equação do segundo grau: ax2 + bx + c = 0, assim identificamos os valores de a =1, b = -3, c=2. Isso se repetirá sempre, é importante saber!

@bF b2@4AaA cq

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

2affffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Agora substituímos nessa fórmula, que é conhecida como fórmula de Báskara, daqui pra frente será muito usado, portanto é bom você memorizar! Substituindo os valores a fórmula fica assim:

@ @ 3` a

F @ 3` a2

@ 4A 1` aA 2` aq

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

2 1` affffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff = 3F 9@ 8pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

2fffffffffffffffffffffffffffffffffffff = 3F 1p

wwwwwwwwwwwwwww

2ffffffffffffffffffffffff = 3F 1

2ffffffffffffffff

Resolvendo, encontramos os valores de x: S = { 1,2 } Mas o exercícios não quer os valores de x, e sim para quais valores de x a função é maior que zero? (símbolo >) então fazemos o gráfico para melhor visualizar:

O software Geogebra gera esse gráfico facilmente, mas você também deve aprender a fazer o gráfico sem a ajuda do computador, veja que só precisamos dos valores de x e do sinal de a, que identifica se a parábola esta para cima (positivo) ou para baixo (negativo).

Agora podemos responder a pergunta, para que valores a função é maior que zero? A resposta é a parte cinza do gráfico, ou

S= @1 ,1b c

S 2, +1b c

ou ainda x26 1,2B C

ga1@ x@2x2 ≥ 0

O processo de resolução é o mesmo, mas veja que o sinal de a é negativo, então a parábola esta para baixo.

S= x2ℜ |@ 1 ≤ x ≤ 12fffV W

ou por intervalos: @1,12fffF G

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ha x + 1

2@ xfffffffffffffffff< x

3 + xffffffffffffffff

Solução: Veja que x ≠ 2 ex ≠@3 (por que? Por que o denominador não pode ser zero!) ... então:

x + 1` a

3 + x` a

< x 2@ x` a

2@ x` a

3 + x` affffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

2x2 + 2x + 3@ x2@ x + 6fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff< 0

Inequação quociente, resolvendo o numerador:

y1:

2x2 + 2x + 3< 0

@2F 4@4 2` a

3` aq

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

4ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff=@2F @20pwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

4fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

[ não existe x2ℜ por que deu raiz negativaA

Resolvendo o denominador:

y2:

@ x2@ x + 6 < 0

1F 1@4 @1` a

6` aq

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

@2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 1F 5

@2ffffffffffffffff=@3 e 2

Logo os valores que satisfazem a inequação podem ser vistos no gráfico (em vermelho):

A solução é a interseção dos dois conjuntos, como a primeira não intercepta o eixo x, ela é toda positiva por isso não interfere no resultado.

Então os valores que tornam a inequação verdadeira é o conjunto:

S= x2ℜ |x<@3e x>2R S

ou por intervalos@1 ,@3b c

S 2, +1b c

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ia

x3 + 1> x2 + x Solução: x3 + 1@ x2@ x > 0x2 x@1` a

@1 x@1` a

> 0

x2@1b c

x@1` a

> 0

y1: x2@1> 0

x =F 1pwwwwwwwwwwwwwww

=F 1

y2: x@1> 0

x > 1

y2: Comparando y1 com y2 temos:

Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação:

S= x2R |@1 <x < 1e x>1R S

ou por intervalos@1,1b c

S 1, +1b c

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ja

x2@1b c

x + 4` a

≤ 0

Inequação produto, resolvendo: y1: x2@1 ≤ 0

y2: x + 4 ≤ 0

x ≤@4

Comparando y1 com y2 temos:

Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação:

S= x2R |x ≤@4 e @1 ≤ x ≤ 1R S

ou @1 ,@4b C

S @1,1B C

* As próximas resoluções foram copiadas

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ka 2

x@ 2fffffffffffffffff≤ x + 2

x@ 2fffffffffffffffff≤ 1

(Continua na próxima página)

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la

x4 ≥ x2


ma x

x@3fffffffffffffffff< 4


na

12fffffx@3

4 + xfffffffffffffffffffffff> 1


oa 3



pa

x3@ x2@ x@2> 0 Solução: pax3@ x2@ x@2 = 0

Pesquisa de raízes: (-2) é o coeficiente d, e 1 é o coeficiente a da função polinomial. As possíveis raízes são os divisores inteiros de d, e de a, na fração d/a . Divisores de d(-2): {±1, ±2} Divisores de a(1): {±1}

Possíveis Raízes: daffff: F 1,F 2P Q

Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a primeira que reduza o grau:

1 -1 -1 -2 1 1 0 -1 -3 F -1 1 -2 1 -3 F 2 1 1 1 0 V

E re-escrevemos a função polinomial como: x2 + x + 1

b cA x@2` a

= 0

Mas estamos procurando por valores tais que: x2 + x + 1

b cA x@2` a

> 0


qa

x3@3x + 2 ≤ 0 Neste caso a soma dos coeficientes resultam num valor igual a zero, conclui-se que 1 é raiz da equação, para mais informações consulte o exercício “t”. Prosseguimos realizando a divisão de polinômios.

Portanto o intervalo que satisfaz a inequação é: S= @1 ,@2b C

U 1P Q


ra 1

x + 1fffffffffffffffff≥ 3

x@2fffffffffffffffff


sa8x3@4x2@2x + 1< 0


ta12x3@20x2 ≥@11x + 2

O procedimento já foi visto em algumas resoluções anteriores e chama-se Pesquisa de raízes (é o último capitulo do assunto Polinômios), são poucos os alunos que tenham estudado isso no ensino médio, portanto se você não entender deverá estudar Polinômios e equações polinomiais. Solução: 12x3@20x2 + 11x@2 ≥ 0

12x3@20x2 + 11x@2 = 0

Agora devemos fatorar o polinômio e precisamos das raízes. O procedimento é um pouco longo, mas funciona. Pesquisa de raízes: (-2) é o coeficiente d, e 12 é o coeficiente a da função polinomial. As possíveis raízes são os divisores inteiros de d, e de a, na fração d/a . Divisores de d(-2): {±1, ±2} Divisores de a(12): {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}

Possíveis Raízes: daffff: F 1,F

12fff,F 1

3fff,F 1

4ffff,F 1

6fff,F 1

12fffffff,F 2,F

22fff,F 2

3fff,F 2

4ffff,F 2

6fff,F 2

12fffffffV W

Percebemos que algumas são equivalentes, e resumimos o conjunto em: daffff: F 1,F

12fff,F 1

3fff,F 1

4ffff,F 1

6fff,F 1

12fffffff,F 2,F

23fffV W

Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a primeira que reduza o grau:

12 -20 11 -2 1 12 -8 3 1 F -1 12 -32 43 -45 F 1/2 12 -14 4 0 V

E re-escrevemos a função polinomial como:

12x2@14x + 4b c

A x@12ffff g

= 0

Mas estamos procurando por valores tais que:

12x2@14x + 4b c

A x@12ffff g

≥ 0 (ineq. Prod.)

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