lista de calculo

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1 2ª Lista de Exercícios – 2013 Integrais Definidas e Cálculo de Área 1. Calcule as seguintes integrais definidas: (a) + 3 1 2 2 3 dx x 5 x 4 x 2 (b) ( ) 1 2 3 0 t t t dt (c) 6 3 dx 4 x 2. Uma partícula move-se com uma velocidade de v(t) m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado. a) v(t) sen(t); 0 t 2 π = . b) v(t) cos(t); t 2. 2 π = π 3. Uma partícula move-se com aceleração 2 m/s ao longo de um eixo s e tem velocidade 0 v m/s , no instante t 0 = . Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado. a) 0 a(t) 2; v 3; 1 t 4 = = b) 0 1 a(t) ; v 2; 0 t 3 5t 1 = = + 4. Um país tem 100 bilhões de m 3 de reserva de gás natural. Se A(t) denota o total de gás consumido após t anos, então dA/dt é a taxa de consumo. Se a taxa de consumo é prevista em 5 + 0,01t bilhões de m 3 por ano, qual o tempo aproximado, em anos, em que as reservas estarão esgotadas? Através da integral indefinida podemos calcular a área limitada por uma curva y=f(x) e o eixo Ox, onde a x b. Esse link é obtido com o uso do Teorema Fundamental do Cálculo. 5. a) Usando integrais, calcule a área limitada pela reta y=x e o eixo Ox, onde 1 x 3. b) Confira o resultado obtido calculando a área com seus conhecimentos do Ensino Médio. 1 1 2 3 1 1 2 3 x y UNIFACS - Cursos de Engenharia Disciplina: Cálculo Integral Ano: 2013

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    2 Lista de Exerccios 2013

    Integrais Definidas e Clculo de rea 1. Calcule as seguintes integrais definidas:

    (a) +3

    1 2

    23 dx

    x5x4x2 (b) ( )

    1 2 30 t t t dt (c)

    6

    3 dx4x

    2. Uma partcula move-se com uma velocidade de v(t)m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e a distncia percorrida pela partcula, durante o intervalo de tempo dado.

    a) v(t) sen(t); 0 t2

    = . b) v(t) cos(t); t 2 .2

    =

    3. Uma partcula move-se com acelerao 2m / s ao longo de um eixo s e tem velocidade 0v m / s , no instante t 0= . Ache o deslocamento e a distncia percorrida pela partcula durante o intervalo de tempo dado.

    a) 0a(t) 2; v 3; 1 t 4= = b) 01a(t) ; v 2; 0 t 35t 1

    = = +

    4. Um pas tem 100 bilhes de m3 de reserva de gs natural. Se A(t) denota o total de gs consumido aps t anos, ento dA/dt a taxa de consumo. Se a taxa de consumo prevista em 5 + 0,01t bilhes de m3 por ano, qual o tempo aproximado, em anos, em que as reservas estaro esgotadas?

    Atravs da integral indefinida podemos calcular a

    rea limitada por uma curva y=f(x) e o eixo Ox,

    onde a x b. Esse link obtido com o uso do

    Teorema Fundamental do Clculo.

    5. a) Usando integrais, calcule a rea limitada pela

    reta y=x e o eixo Ox, onde 1 x 3.

    b) Confira o resultado obtido calculando a rea

    com seus conhecimentos do Ensino Mdio.

    7 6 5 4 3 2 1 1 2 3

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    x

    y

    UNIFACS - Cursos de Engenharia Disciplina: Clculo Integral Ano: 2013

  • 2

    6. a) Usando integrais, calcule a rea limitada

    pelas retas y=x+1, y=-x+5, e os eixos

    coordenados Ox e Oy.

    b) Confira o resultado obtido calculando a rea

    com seus conhecimentos anteriores. x

    y

    -4 4

    -4

    -2

    2

    7. Calcule a rea determinada pelo grfico da

    funo y=x2 +1 (parbola) pela reta y=-2x+4, e

    os eixos coordenados Ox e Oy.

    x

    y

    y = 1+x^2y = -2x+4

    8. Determine a rea limitada pela parbola y = x2 + 1 e pela reta y = x + 3 .

    9. Visualize os grficos abaixo e determine a rea da regio do plano limitada por essas curvas. (a) xy = 4 e x + y = 5. (b) y = 2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2. (c) y = 2x, y = 1 e y = 2/x

    (d) y = x3 3x, y = 2x2 (e) y = x3 e y=x2 + 2x (f) y = 9/x, y = 9x, y = x

    10. Determine o valor das reas sombreadas nas figuras abaixo. Se possvel verifique suas respostas usando reas conhecidas no Ensino Mdio (tringulos, trapzios) ou em um programa computacional. a) b) c) d)

  • 3

    Integrao de fraes racionais por decomposio de fraes parciais. 11. Resolva as integrais abaixo.

    a) 1x

    dx2

    b) 6x5x

    dx2 +

    c) x3x

    dx2 +

    d) dx)7x)(1x(

    3x2

    e) dxx3x

    1xx2

    2

    +

    ++ f) dx

    4x3x

    10x52

    g) dx

    1x

    2xx2

    2

    ++ h) dx

    xx2x

    6x20x523

    2

    ++

    ++

    i) dx x2x

    4x2 23

    + j)

    4 2

    3 2

    3 16

    x x dxx x x

    +

    k) 2 2 0

    dx ax a

    l) ( )( )

    95 2x dx

    x x

    +

    m) ( )1

    20

    2 31x dxx+

    +

    n)

    ( )( )

    22

    1

    4 7 122 3

    x x dxx x x

    +

    Integrais trigonomtricas: 12. Resolva as integrais abaixo.

    a) xdxsen2 b) xdxsen3 c) xdxxsencos 25 d) 2 315sen xcos xdx e) sen(3x)cos(5x)dx f) 3 4sen (2x)cos (2x)dx g) 515sen xdx h) ( )5cos 3 3x dx Obs: Para resolver: e) use a frmula ))ba(sen)ba(sen)(2/1(bcossena ++= Respostas 1) a) 10/3; b) 1/70; c) 53/2;

    2) a) deslocamento=1; distncia=1 b) deslocamento=-1; distncia=3 3) a) deslocamento= - 6; distncia= 13/2 b) deslocamento = 204/25; distncia = 204/25 4) aproximadamente 19,62 anos

    5) rea igual a 2.

    6) Calcule as intersees entre as curvas para depois integrar em cada intervalo conveniente.

  • 4

    7) Calcule as intersees entre as curvas para depois integrar em cada intervalo conveniente.

    8) 4,5;

    9) a) 15 8ln (2)2 ; b) 3 4

    ln(2) 3 ; c)

    3 2ln(2)4

    + ; d) 716

    ; e) 3712

    f) 18ln(3);

    10) a) 7/3; b) 8/3; c) 5/2; d) 11/4

    11) a) C1x

    211x

    21

    ++ lnln b) C3x2x + lnln

    c) C3x31x

    31

    ++ lnln d) C7xln6111xln

    61

    ++

    e) 1 7ln ln 33 3

    x x x C+ + + f) 2 ln 4 3ln 1x x C + + +

    g) 2ln 1 ln 1x x x C+ + + h) C1xx 61x

    9+++

    + lnln

    i) Cx22x 2x2

    ++ lnln j ) x + 2 1 1 11ln ln 2 ln 32 6 2 3x x x x C + + + +

    k) Caxa21ax

    a21

    ++ lnln l) 2ln 5 ln 2x x C+ +

    m) 12ln 22

    + n) 3ln592ln

    527

    12) a) C4

    sen2x2x

    + b) Ccosx3xcos3

    + c) C7xsen

    5xsen2

    3xsen 753

    ++

    d) 3 55sen x 3sen x C + e) 1 1cos8x cos2x C16 4

    + + f) 5 71 1cos 2x cos 2x C10 14

    + +

    g) 3 515cosx 10cos x 3cos x C + + h) 3 51 2 1sen(3 3x) sen (3 3x) sen (3 3x) C3 9 15

    + +