ALUNO:______________________________________________________________________________

TURMA: CN/EPCAr PROF: Ivan M S Monteiro ( www.mathaleph.blogspot.com.br )

AULA DE ÁLGEBRA

Non Multa Sed Multum

Esse material contém 67 questões. Confira! Leia com atenção as seguintes instruções antes de resolver as questões desta avaliação:

• Não serão consideradas as respostas sem as correspondentes resoluções. • Serão anuladas as questões objetivas que apresentem rasuras. • A avaliação deve ser resolvida à caneta com tinta azul ou preta. • É extremamente proibido o uso de calculadora. • Serão descontados erros ortográficos. • Realizar o trabalho extremamente organizado.

POLINÔMIOS 1) Determine o grau de cada um dos polinômios abaixo:

a) ( ) 5 1f x x= + b) ( ) 2 10 3g x x x= + − c) ( ) 3 25 10 8 1h x x x x= + − +

d) ( ) ( ) 4 32 10 3 1q x k x x x= − + − + e) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 24 2 2r x k x k x k= − + + − −

f) ( ) ( ) ( ) ( )5 31 2 3s x a x b x c x= − + + + −

2) Sabendo que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 24 2 3 8 5 125p x a x b x c x d= − − + + − − − é o polinômio nulo, determine o valor de

a b c d+ + + .

3) Se ( ) 3 25 10 7f x x x= + − e ( ) ( ) ( ) ( )4 3 21 3 4 12g x ax b x c x d x e= + − − + + + + são polinômios idênticos,

determine o valor de a b c d e+ + + + .

4) Efetue:

a) (2 5 3 ) ( 2 4 )b c a a b c+ − − − + −

b) 2 2 2 2( ) (3 )a b a b− − −

c) 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( )b bc c b bc c b c+ + + − − − −

d) 2 2 2 3 2 2(4 3 ) (2 4 4 )a b ab b b a b ab+ − + − −

e) 2 3 4 4 2 31 (1 )x x x x x x− + − − − + +

f) 2 2 3 2 3 21 1 5 1 1 1

4 3 6 6 4 3mn m n m m n m mn

+ + − − −

g) 2 25 3 ( )xy y xy y xy + − − − −

h) [ ]3 (4 2 ) (2 4 3 ) 5a b c b a b c d a− − + − − − + −

Nota Final: _____________

Lembretes:

5) Sejam os polinômios: 22 2 babaA ++= ;

22 2 babaB +−= e 22 baC −= .

Determine : a) A B C+ + b) ( )A B C− + c) ( )A B C− −

6) Efetue os produtos abaixo:

a) 2 2.( )ab a b−

b) 2 23 .( )xy x y xy−

c) 2 2 22 .(3 7 )a b a b− −

d) 2 2 2 2 24

10 .( 3 )5

a b a b a b− +

e) 12 .(5 3 8)m m

x ax bx−

+ −

f) 3 3(2 3)(2 3)x x+ −

g) 2 2(3 1)(3 2)a a+ −

h) 6 3 3( 3 9)( 3)x x x+ + −

i) 6 4 4 2 8 12 2 4(27 9 3 )(3 )a a b a b b a b− + − +

j) 4 4 3 3 2 2( )( )x y x y xy x y x y− − + + − − −

k) ( )( )a b c a b c+ − − +

l) 2 2 2 2( )( )x y xy x y xy+ + + −

m) ( )( ) ( )( ) ( )( )a b c a b a b c a c b c a b c+ − + + − + + + + − +

n) 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )( )( )a b c b c a c a b a b b c c a− + − + − + − − −

7) Efetue as seguintes divisões :

a) 6 4 3 2 2( 2 2 1) ( 1)x x x x x x− − + + − ÷ −

b) 4 2 2(4 13 12 3) (2 3 1)x x x x x− + − ÷ − +

c) 5 4 3 2 2(15 4 5 ) (5 3 1)a a a a a a a− − + − ÷ + −

d) 3 2(2 3 30) ( 2)a a a a− + + ÷ +

e) 4 3 2 2( 5 8 5 1) ( 2 1)x x x x x x− + − + ÷ − +

f) ( )4 3 25 2 3 1 ( 2)x x x x x− + + − ÷ −

g) ( )3 22 1 (x-1)x x− − ÷

h) ( )5 44 5 1 (x-1)x x− + ÷

i) 5 4 3 2( 2 3 4) (2 4)x x x x x x− − + + − ÷ −

j) ( )3 22 5 (3x+6)x x+ − ÷

8) O valor de n para que a divisão do polinômio ( ) 3 22 5 17p x x x x= + + + por

( ) 22 4d x x nx= + + tenha resto igual a 5 é um número

(a) menor que – 6. (b) negativo e maior que – 4. (c) positivo e menor que 5. (d) par e maior que 11.

9) Considere o polinômio 52)( 23++−= kxxxxp . Determine o valor de k, sabendo que -1 é raiz de p(x).

10)Determine as raízes dos polinômios e escreva-os na forma fatorada:

a)2( ) 3 9 6P x x x= + +

b)2( ) 2 3 2P x x x= + −

c)3 2( ) 6 30P x x x x= − − +

d)3 2( ) 2 2 1P x x x x= − − +

e)4 3 2( ) 7 6P x x x x x= + − − +

PRODUTOS NOTÁVEIS

1) Se 3x y+ = e 7xy = , então 2 2x y+ é igual a :

(a) 3 (b) -5 (c) -3 (d) 5 (e) 9

2) Se 2 2x xa+ =

−, dar o valor de 8 8x x

+−

.

3) Se a + b = 1 e a² + b² = 1 então, calcule o valor de 7 7

a b+

4) A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual : (a) à diferença dos quadrados dos dois números. (b) à soma dos quadrados dos dois números. (c) à diferença dos dois números. (d) ao dobro do produto dos números. (e) ao quádruplo do produto dos números.

5) Para que o polinômio ( ) 3 2f x x 6x mx n= − + + seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma ( ) ( )3

f x x b= + , os

valores de m e n devem ser, respectivamente: (a) 3 e −1 (b) −6 e 8 (c) −4 e 27 (d) 12 e −8 (e) 10 e −27

6) Se ab = 1 e 2 2 3a b+ = , determine

2 2

2 22

a b

b a+ + .

7) Se 1a b+ = e

2 2 2a b+ = então 3 3a b+ é igual a:

(a) 4 (b) 3 ½ (c) 3 (d) 2 ½ (e) 2

FATORAÇÃO 1) Fatore pondo em evidência o fator comum:

a) ax ay+ b) 215 5x x−

c) 2 26 3a b ab+ d)

3 2 2 38 4x y x y−

e) 3 2 2 3 4 3 415 30 45a x y a xy a x y− + f)

2 3 4 4 5 3 218 36 54a b c ab c a b c+ −

g) 4 5 3 633 22 11x y x y xy− + h) ( 1) ( 1) ( 1)x a y a z a+ + + + +

i) ( ) ( ) ( )x a b c y a b c z a b c+ + + + + + + + j) ( )( 1) ( 1) 1x a y a z a− + − + −

2) Fatore por agrupamento:

a) ax bx ay by+ + + b) 22 3 4 6x xy x y− − +

c) 5 5mx y xy m+ + + d) 2ab ac b bc− + −

e) 3 2 1x x x+ − − f)

3 23 9 3x ax x a− − +

3) Fatore os trinômios quadrados perfeitos:

a) 2 10 25x x+ + b)

2 24 20 25x xy y− +

c) 4 22 1y y+ + d)

2 2 2 1a x ax− +

e)

22

4

yx xy+ + f)

6 3 26 9x x y y+ +

g) 4 2 24 24 36x x y y− + h)

2 16 64a a− +

i) 4 26 9y y− + j)

2 24 2

9 3 4

x xy y− +

4) Fatore as diferenças entre dois quadrados perfeitos:

a) 2 2m n− b)

2 225 9x y−

c) 4 216 25x y− d)

21 x−

e) 2 6 84 9x y a− f)

2 2n na b−

g) 4 264nx y− h)

10 24x y−

i) 6 216 m nx y− j)

2

19

x−

k) 2 2 22a x xy y− + − l)

2 2 2 2 2 2( 1) ( 1)a b a b− − − − +

5) Fatore os seguintes trinômios da forma ( )2x b c x bc+ + + :

a) 2 10 16x x+ + b)

2 10 16x x− +

c) 2 6 16x x+ − d)

2 6 16x x− −

e) 2 6x x− − f)

2 6 5y y− +

g) 2 30a a+ − h)

2 2x x+ −

i) 4 25 50x x− − j)

4 25 4a a− +

6) Fatore os seguintes cubos de um binômio:

a) 6 4 23 3 1x x x+ + + b)

6 4 2 2 39 27 27x x y x y y− + −

c) 9 6 33 3 1a a a+ + + d)

3 2 2 4 68 12 6x x y xy y− + −

e) 3 23 3 1n n nx x x+ + + f)

3 2 2 364 48 12x x y xy y+ + +

7) Fatore as seguintes somas (ou diferenças) de cubos perfeitos:

a) 6 6a b− b)

3 38x y+

c) 31 8y− d)

3 1x −

e) 3 1x + f)

327 x−

g) 3 3(1 )a a− −

8) Determine o valor de 6

6

1x

x+ sabendo que

11x

x+ = .

9) Um dos fatores de 4a + 6a² + 8 é :

(a) a + 4 (b) a² - 2 (c) a² + 2 (d) 4a + 2 (e) 4a -2

10) Fatorando 3x - 6y + ax - 2ay, obtém-se : (a) (x + y)(3 - 2a) (b) ( x + 2y)( 3 - a) (c) ( x - 2y) (3 - a) (d) ( x + 2y) (3 + a) (e) ( x - 2y)(3 + a) 11) Fatorando ( a + b )

2 - 4c

2 obtém-se :

(a) ( a + b - 2c)(a + b - 2c) (b) ( a + b + 2c)(a + b - 2c) (c) ( a + b + c )(a + b - 2 ) (d) ( a + b -c ) ( a + b + 2 ) (e) ( a + b + 4 )(a + b - c ) 12) Se a + b + 2c = 5 e a + b - 2c = 7 então a² + b² + 2ab - 4c² é igual a : (a) 2 (b) -2 (c) 35 (d) -35 (e) 12

13) Fatore as expressões : a) 3y38x − b) ac +2bc - ad - 2bd

14) Qual das expressões abaixo é idêntica a a

2 – b

2 - a + b ?

(a) (a + b )(a - b + 1) (b) ( a - b)(a - b + 1) (c) ( a - b )(a + b - 1) (d) (a + b )( a - b - 1 ) (e) ( a - b) ( a - b - 1)

15) Um dos fatores de a² - 1 - b² - 2b é : (a) a + b –1 (b) a – b + 1 (c) b – a + 1 (d) 1 – b – a (e) a – b – 1 16) Sabendo-se que a² - 2bc - b² - c² = 40 e a - b - c = 10, com a, b e c reais. Então o valor de a + b + c é igual a : (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 10 (e) 20 17) A diferença entre o quadrado de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é : (a) 29 (b) 97 (c) 132 (d) 184 (e) 252

18) Fatore a expressão 4 2 1.S x x= + +

19) Fatore :

a) 2 2( 3)( 4) 12x x x x+ + + + −

b) 4 44x y+

c) 3 3 3( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3 )a b c b c a c a b+ − + + − + + −

FRAÇÕES ALGÉBRICAS

1) Efetue:

a) 4 2

8

x y

y x⋅ b)

3 2 2 4

2 2 3

15 5

4 2

x y x y

a b ab÷

c) 2( 2) 2

2 ( 1)( 2)

x x

x x x

+ +÷

− + − d)

2( ) ( )m n m m n

m n m n

− −÷

+ +

e) 2 1

2 2

x x+ +− f)

1 3 1

2 4

x x+ +−

g) 3 5 2 9

2 3

x x+ −− h)

2( 1)

2

xx

+− +

i) 2 4

12 15 30

x y x y y x− + −+ + j)

2 3 2

4 8

x x

x x

+ −−

k) 2 1

1 1

x x

x x

−−

+ + l)

x y

x y y x+

− −

m) 1 1

1 1x x+

+ − n)

1 1

x h x−

+

o) 2 4

b a

a b− p)

1 1

( ) ( )a a b b a b+

+ +

q) 2 3 4 2

1 1 ( 1)( 1)

x

x x x x

−+ −

− + + − r)

1 1 2

1 1 ( 1)( 1)

x

x x x x+ +

+ − + −

s) 1 3 3

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x x x x x x− +

+ + − + − +

t)

12

11

x

x

x

+

+

u)

1 1x a

x a

−

−

v) 1 1a b a b

a b a b

− + + ÷ −

+ − w)

11

11 1

1 1

a

a

a a

−−

+

−+ −

x) 1 1

1 1

x x

x xx x

x x

−− +

+− +

y)

2( 5)5

12

11

xx

x

x

++ +

+

++

2) Simplifique as seguintes frações algébricas:

a)

2x x

y yx

+

+ b) 2 2

5 5

2 2

a b

a b

−

− c)

3 2

2

3

9

a a

a

+

−

d)

2 1

1

x

x

−

+ e)

2

2 2

( )a b

a b

−

− f)

2

2

2 1

1

a a

a

− +

−

g)

4

2

16

4

x

x

−

− h)

3

2

1

2 3

a

a a

−

+ − i)

2

2

6 9

4 3

x x

x x

− +

− +

j)

2

2

20

7 10

x x

x x

− −

− + k)

2 2

2 2

( 6)( 20)

( 2 15)( 6 8)

x x x x

x x x x

− − + −

+ − + +

l) ( )( )

( )( )

4 4

2 2

x a x a

x a x a

− +

− + m)

2

2

12

16

a a

a

− −

− n)

3

2

8

2 4

x

x x

−

+ +

o)

3

2

8

2 8

x

x x

−

+ − p)

2 2

2 2

( )

( )

x y z

x z y

− −

+ − q)

21 ( )

1

x y

x y

− +

+ +

r)

2( ) 9

3

a x

a x

+ −

+ + s)

2 2 2

2 2 2

2

2

ab a b c

bc b c a

+ + −

− − +

3) Efetue as operações com as frações algébricas e simplifique:

a)

2

2

1 1 1

1 1 1

a a a

a a a

− + ++ −

+ − − b)

21n n n

m mn m

+ −−

−

c) 2 2

4 6 1a b

a b a b

−+

− − d)

2 2

42

2

xy x y

x xy y x y

+− +

− + −

e)

2 2

2 2

1 6 9

2 1 4 3

x x x

x x x x

− − +−

− + − + f)

2 2

2

( 1)

1 1

x x x

x x

− −−

− −

g)

2 2

2 2

( )a a a b

ab b a b

− −−

− − h) 2 2

1 1

a ab ab b+

+ +

i)

2 2 2

2 2 4 4

2 4a a a a b

a b a b a b a b+ + +

− + + − j)

3 24 3 6 2 3 4 6

2 2 4 12 18

x x x a x x

x x a

− − + −÷ − ⋅

+ +

k)

2

2 1 1

a a aa

a a

− ÷ −

− + l)

2 22 1 4 3

3 1 6

y y y y

y y

− + ++ ÷

+ −

4) Se x, y e z são números reais tais que 2 2 1

1

( )z

x y− − −=

+, então z é igual a :

(a)1

x y+ (b)

12 2x y+

(c) x² + y² (d) x y

xy

2 2+

(e) x y

x y

2 2

2 2

+

5) Simplificando ( )

4x2x

164x2

23

++

−− , x ∈� , obtém-se :

(a) x³ (b) x + 3 4 (c) x - 3 4 (d) 4x + 2x³ (e) 4x - 2x³

6) Simplificar a expressão

−

−÷

+

+÷

−

ab2b

ab2a

ab2b

ab2a2b2a , onde ab ≠ 0.

7) Sendo x = 4,8349, então 1x2x

13x

++

− é igual a :

(a) 3 (b) 5 (c) 3,8349 (d) 5,8349 (e) 0,8349

8) Simplifique a expressão algébrica ( ) ( )

1

1

2

2 2

+

− + +

a

ax a x.

9) Dado que a e b são tais que 2 2 2 10a b ab+ + = e

2 2 5a b− = , pode-se concluir que a b

a b

+

− é igual a :

(a) 2 (b) 4 (c) 8 (d) 16 (e) 32

10) O valor numérico para expressão 82

8822

2

−

+−

x

xx para x = 98 é :

(a) 0,72 (b) 0,96 (c) 1,24 (d) 1,36 (e) 1,5

11) Simplificando a expressão ( )

2

11

14

m n m

nm n m n nn m mm n

m n m n mn

+ + + − + × + −− ++ −

, com m ∈� , n ∈� , m n≠ ± e . 0m n ≠ ,

obtemos : (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) mn

nm

3

)(5 +

12) Simplificando a expressão ( )3 3

2 2

2 2

1 1

1 1a ba b ab

a b

−

+ ×

−

, obtemos:

(a) a + b (b) a² + b² (c) ab (d) a² + ab + b² (e) b – a

13) O valor de 3223

44

yxyyxx

yx

−+−

− , para x = 111 e y = 112 é:

(a) 215 (b) 223 (c) 1 (d) –1 (e) 214

14) O valor da expressão 1

33

23

8422

−

−+

++

+

x

x

xx

x , para 1x ≠ ± e 2x ≠ − , é equivalente a :

15) A expressão ( ) ( )

cba

bacba

+−

−+−2

, a – b +c ≠ 0 é igual a :

(a) a – b (b) b – a (c) a + b + c (d) a – b + c (e) a + b – c

16) Simplifique a fração : ( ) ( )

2 22 2 2 2 2 2

24 4

a b c a b c

ab abc

+ − − − +

+.

17) (EPCAr) Simplificar :

3 3

2 2

a b a b

ab a ba b a ba b a b a b

a b a b

+ −+

−− + ×− + +

−+ −

.

18) Prove que se 1x y z

a b c+ + = e 0,

a b c

x y z+ + = então

2 2 2

2 2 21.

x y z

a b c+ + =

19) Se 2 2 3 ,x y xy+ = calcule 1 1 .

x y

y x

+ +

20) Calcule o valor da expressão

2 22 2 2 2 2 2

3 2 3 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

x x x x x xS

x x

+ − + − + += ⋅

− + .

21) (EPCAr) Supondo x e y números reais tais que 2 2

x y≠ e 2y x≠ , a expressão

( ) ( )

2

2 2

11 2 2

2x y y

x y y x y x

x y x x y−−

− ++ − −

+ + −

sempre poderá ser calculada em � se, e somente se,

(a) 0x ≥ e 0y ≥ (b) 0x > e y é qualquer (c) x é qualquer e 0y ≥ (d) 0x ≥ e y é qualquer

22) (EPCAr) Considere os valores reais de a e b, a b≠ , na expressão

( )( ) ( )

( )( )

1 1

12 2 2 2

2a b a a b ap

a b ab ba

− −

−

+ + −=

+ −.

Após simplificar a expressão p e torná-la irredutível, pode-se dizer que 1

p−

está definida para todo

(a) * e a b∈ ∈� � (b)

* e a b+

∈ ∈� � (c) * * e a b∈ ∈� � (d)

* * e a b+

∈ ∈� �

23) (EPCAr) Considere os números reais a, b e x tais que

a b x+ =

1

a b x−

− =

0a b≠ ≠

O valor da expressão

( )( )( )( )

2 2 3 3

2 2 2 2

2

2

2

a ab b a b

a b a ab bY

a ab

a

+ + −

− + +=

−

é

(a) 2 (b) 22x (c)

2x (d)

2

2

x

24) (CN) Sejam “a”, “b” e “c” números reais não nulos tais que

1 1 1p

ab bc ac+ + = ,

a b c a b cq

b a a c c b+ + + + + = e

ab ac bc r+ + = . O valor de 2 6q q+ é sempre igual a

(a)

2 2 9

4

p r + (b)

2 2 9

12

p r p− (c)

2 2 9p r − (d) 2 2 10

4

p r

r

− (e)

2 2 12p r p−

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 1) Racionalize os denominadores:

a) 3

5 3+ b)

30

15 c)

7

8 2− d)

3

5 e)

2

7 3+ f)

5

2

3

g) 7

3 h)

6

2 5

5 i)

3

4

2

2) Colocando-se a expressão 3

34

6

68 −−

+sob a forma 3ba+ , o valor de ba+ é igual a :

(a) 3

2 (b)

3

4 (c) 2 (d)

3

8 (e)

3

10

3) Os valores de x e y que satisfazem a

056

1

26

y

25

x=

−−

++

−

são tais que yx+ é igual a : (a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7 (e) 9

4) Racionalizando o denominador da fração 2233

38

− obtemos:

(a) 2436 + (b) 3426 − (c) 2436 − (d) 2 (e) 3426 +

5) Efetuando 32

32

32

32

+

−+

−

+ obtém-se : (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d)

3

2 (e) 1

6) A fração 532

62

++ é igual a:

(a) 532 −+ (b) ( )3522

1−+ (c) 324 −− (d) ( )253

3

1−+ (e) 5632 −++

7) Racionalizando-se o denominador de 33 715

1

− obtemos uma expressão da forma

d

cba 333 ++. O valor de

dcba +++ é igual a: (a) 381 (b) 383 (c) 385 (d) 387 (e) 389

Lembretes: