Álgebra linear - lista de exercícios por andré gustavo
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André Gustavo
ÁLGEBRA LINEAR LISTA DE EXERCÍCIOS A
2º SEMESTRE
André Gustavo
Definições
1) Espaços Vetoriais: Seja V um conjunto, não vazio, cujos elementos chamaremos de vetores. Considere
u, v V e . Se nesse conjunto estiverem definidas as operações de adição u + v V e
multiplicação por escalar u V. Sendo verdadeiras as seguintes propriedades:
1) u + (v + w) = (u + v) + w, u, v e w V
2) u + v = v + u, u, v V
3) 0 V; 0 + u=u, u V
4) -u V; u + (-u) = 0, u V
5) ( )u = ( u), u V e ,
6) (u + v) = u + v, u, v V e
7) ( + )u = u + u, u V e ,
8) 1.u = u, u V
Então V é um espaço vetorial real.
2) Subespaços Vetoriais: Seja V um espaço vetorial sobre . Considere W um subconjunto de V.
Dizemos que W é subespaço vetorial de V se, e somente se:
i) 0 V
ii) u, v V u + v V
iii) u V e u V.
3) Combinação Linear: Seja V um espaço vetorial sobre , e consideremos um subconjunto finito W de
vetores do espaço vetorial W = {w1,w2,...,wn}, o vetor v é uma combinação linear dos vetores de W se
existirem os escalares a1, a2,...,an tais que:
v = a1w1+ a2w2 +...+ wnan.
4) Subespaço Gerado e Geradores de um Subespaço Vetorial: Seja V um espaço vetorial sobre .
Considere v1, v2,...,vn V e a1, a2,...,an . Então o conjunto
W = {v V / v = a1v1 + a2v2 +...+ anvn}
de todas as combinações lineares de v1, v2,...,vn é um subespaço vetorial de V. O conjunto W é chamado
de subespaço gerado por [v1, v2,...,vn]. Os vetores v1, v2,...,vn são chamados de geradores de W.
6) Dependência e Independência Linear: Dado n vetores nvvv ,, 21 com n ≥ 1, dizemos que os
mesmos são linearmente dependentes (LD), quando a combinação linear deles é nula, havendo pelo
menos um dos escalares .0ia Ou seja:
a1v1 + a2v2 +...+ anvn = 0; .0ia
quando a combinação linear deles é nula, sendo todos os escalares 0ia , dizemos que os mesmos são
linearmente independentes (LI).Ou seja:
a1v1 + a2v2 +...+ anvn = 0; 0ia .
7) Base Vetorial1: Um conjunto 1 2, , , nS u u u de vetores é uma base vetorial de V se valem as
seguintes condições:
(i) 1 2, , , nu u u são linearmente independentes
(ii) 1 2, , , nu u u geram V.
1 Conteúdo da Lista B
André Gustavo
Lista de Exercícios de Álgebra Linear
1) Mostrar que o conjunto V = ³ = {u = (x, y, z)/x, y, z } dos vetores da geometria
analítica (ternos ordenados de números reais) é um espaço vetorial sobre R, se estiverem
definidas nesse conjunto as seguintes operações fechadas de adição de vetores e
multiplicação por um número real, u, v ³, :
),,(),,(
),,(),,(),,(
111111
212121222111
zyxzyxu
zzyyxxzyxzyxvu
2) Mostrar que o conjunto V = ² = {u = (x, y)/x, y } dos vetores da geometria
analítica (plano cartesiano) é um espaço vetorial sobre R, se estiverem definidas nesse
conjunto as seguintes operações fechadas de adição de vetores e multiplicação por um
número real, u, v ², :
),(),(
),(),(),(
1111
21212211
yxyxu
yyxxyxyxvu
3) Mostrar que o conjunto V = ² não é um espaço vetorial em relação as operações
definidas por
),(),(
),(),(),(
1111
21212211
yxyxu
yyxxyxyxvu
. Identifique os axiomas
que não são válidos.
4) Mostrar que o conjunto V = ² não é um espaço vetorial em relação as operações
definidas por:
)0,(),(
),(),(),(
111
1212211
xyxu
yxxyxyxvu
. Identifique os axiomas que
não são válidos.
5) Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do ²/e ou ³. Para os
subconjuntos que não são subespaços, dê um contra-exemplo.
a) W = {(x, y) ²; 3x = 0} ² b) W = {(x, y) ²; y = x²} ²
c) W = {(x, y) ²; 2x - y = 0} ² d) W = {(x, y) ²; y = |x|} ²
e) W = {(x, y) ²; x 0} ² f) W = {(x, y, z) ³; x + y - 1= 0} ²
g) W = {(x, y, z) ³; x = y = 0 } ³ h) W = {(x, y, z) ³; x + y - z = 0} ³
6) Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do M2(R)/e ou M3(R).
Para os subconjuntos que não são subespaços, dê um contra-exemplo.
a) {(
) ( ) } ( )
b) {(
) ( ) } ( )
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c) {(
) ( ) } ( )
d) {(
) ( ) } ( )
e) {(
) ( ) } ( )
7) Escreva, se possível, cada vetor v abaixo como combinação linear dos elementos do
conjunto S, justifique a resposta.
a) (
) {(
) (
) (
) (
)}
b) ( ) {( ) ( )}
c) ( ) {( ) ( )}
d) ( ) {( ) ( ) ( )}
8) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
a) W = {(x, y, z) ³; x + z e x - 2y = 0}
b) W = {(x, y, z) ³; x + 2y - 3z = 0}
c) {(
) ( ) }
d) {(
) ( ) }
9) Seja W = ³; U = {(x, y, z); x = y} e V = {(x, y, z); z = 0}. Determine um sistema de
geradores de U, V, U + V e U V.
10) Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes
subespaços:
a) W = [(-2, 1,0), (3, 0, 1), (-1, 2, 1)] ³ b) W = [(2, 1,-2), (4, -2, -4)] ³
c) W = [(
) (
) (
) ] ( ) d) W = [(2, -2), (-1,1)] ²
11) Dados U = [(1, 2, 1), (-1, 0, 4)] e W =[(-1, 1, 0), (1 ,2, -1)] subespaços do ³,
Determine suas equações lineares homogêneas e o gerador de U W.
André Gustavo
12) Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD, justifique a resposta:
a) {(1, -1, 3), (5, 2, 4), (4, 1, 7)}
b) {(1, 2, -3, 1), (2, 3, -7, 1), (1,4, 1, 5), (0, 3, 5, 5)}
c) {(
) (
) (
) (
)}
d) {(
) (
) (
) (
)}
e) { }
f) { }
13) Dado W = {(-1,1,-3,4,1), (1,0,-1,2,-3), (1,-2,5,2,7), (2,-1,1,m,-1)} tal que W = 5;
determine m real para que ele seja linearmente dependente. Justifique sua resposta.
14) Determine k de modo que o conjunto {(1,0,k),(1,1,k),(1,k,k²)} seja LI. Justifique
sua resposta.
15) Mostrar que o conjunto de vetores {u, v, w} contido em um espaço vetorial V é
linearmente independente, então o conjunto {u + v, v + w, u + w} também será
linearmente independente.
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---------- GABARITO -------------
(1), (2), (3) e (4) Demonstração a cargo do aluno
5) a) sim b) não c) sim d) não e) não f) não g) sim h) sim
6) a) sim b) não c) sim d) sim e) sim
7) a) (
)
(
)
(
)
(
)
(
) b) ( )
( )
( )
c) Não é possível d) ( ) ( ) ( ) ( )
8) a) W = {(x, y, z) ³; x + 2y - 3z = 0} b) W = {(x, y, z) ³; x +z = 0}
c) {(
) ( ) } d) W = {(x, y) ²; x + y = 0}
9) U = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] , V = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)],
U + V = [(1, 1, 0), (0, 0, 1),(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e U V = [(1, 1, 0)]
10) a) W = {(x, y, z) ³; x + 2y - 3z = 0} b) W = {(x, y, z) ³; x +z = 0}
c) {(
) ( ) } d) W = {(x, y) ²; x + y = 0}
11) SUBESPAÇO U: U = {(x, y, z) ³; 8x - 5y + 2z = 0}
SUBESPAÇO W: W= {(x, y, z) ³; x + y + 3z = 0}
GERADOR DE U W: U W = (
)
12) (a), (d) e (f) são LI (b), (c) e (e) são LD
13) m = 4 14) k 0 e k 1 15) Demonstração a cargo do aluno
André Gustavo
REVISÃO DE ÁLGEBRA DAS MATRIZES
INTRODUÇÃO:
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Esta
representação torna-se muito útil quando o número de variáveis envolvidas na
observação for muito grande.
DEFINIÇÃO:
Dados dois números m e n naturais, não nulos, chama-se matriz m por n (indica-se: m
x n) toda tabela constituída por m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Representação:
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
...
...
...
...
= ija mxn ou
mnm
n
aa
aa
...
..
..
..
...
1
111
ou
mnm
n
aa
aa
..
..
..
..
1
111
IGUALDADE DE MATRIZES:
Duas matrizes Am x n = [ai j]m x n e Br x s = [bi j ]r x s são iguais, se elas tem o mesmo
número de linhas e colunas, e todos os seus elementos correspondentes são iguais ( ai j =
bi j).
TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES
MATRIZ NULA:
Todos os elementos são nulos. Ou seja: ai j = 0, i, j.
MATRIZ QUADRADA:
O número de linhas é igual ao de colunas (m = n).
MATRIZ COLUNA
Possui uma única coluna (n = 1)
MATRIZ LINHA
Possui uma única linha (m = 1)
MATRIZ DIAGONAL
É uma matriz quadrada (m = n) onde ai j = 0 para i j.
MATRIZ IDENTIDADE (In)
É uma matriz diagonal onde
jiparaa
jiparaa
ij
ij
0
1
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MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
É toda matriz tal que m = n e ai j = 0 para i > j.
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
É toda matriz tal que m = n e ai j = 0 para i < j.
MATRIZ OPOSTA
Dada uma matriz A = [ai j]m x n a matriz oposta de A é a matriz –A = [-ai j]m x n.
MATRIZ SIMÉTRICA:
É toda matriz quadrada tal que
jiseaa
jia
jiij
ij ,, ou seja, A
t = A.
Ex:
cfe
fbd
eda
MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA
jiseaa
jisea
jiij
ij 0 , ou seja, A
t = -A.
0
0
0
fe
fd
ed
MATRIZ TRANSPOSTA ( At ou A
’).
Dada uma matriz A = [ai j] m x n chama-se transposta de matriz At = [bi j] m x n , onde bi j =
aji ( 1 i m, 1 j n). Ou seja, as linhas de At são as colunas de A
Ex: A =
2327
45
61
x
At =
32246
751
x
Propriedades de At:
I. (A + B)t = A
t + B
t
II. (K . A)t = K . A
t ; K escalar qualquer
III. (A . B)t = B
t . A
t
IV. (At )
t = A
OPERAÇÃO COM MATRIZES
ADIÇÃO:
A soma de duas matrizes de mesma ordem é obtida somando-se os elementos
correspondentes das matrizes componentes da soma.
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Ex.:
97
53
43
21
54
32
Propriedades: Dadas três matrizes A, B e C, de mesma ordem m x n, temos:
a) A + B = B + A
b) A + (B + C) = (A + B) + C (associativa)
c) A + 0 = A, onde 0 é a matriz nula.
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR:
Seja A = [ai j]m x n e K um número, então:
K * A = [K . ai j]m x n
Ex.:
86
42
43
212
Propriedades: Dadas duas matrizes A e B de ordem m x n e os números K, K1 e K2,
temos:
a) K (A + B) = KA + KB
b) (K1 + K2).A = K1A + K2A
c) 0 . A = 0 (matriz nula)
d) K1(K2 . A) = (K1 . K2)A
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES:
Sejam A = [ai j]m x n e B = [br s]n x p . Definimos A * B = [Cu v]m x p, onde
nvunvu
n
kkvukuv bababac
...111
Observações:
a) O número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B.
b) A ordem da matriz produto é obtida pelo número de linhas de A com o número de
colunas de B.
Propriedades:
a) AB BA.
b) AI = IA = A
c) A(B + C) = AB + AC (Distributiva à esquerda)
d) (A + B)C = AC + BC (Distributiva à direita)
e) (AB)C = A(BC) (Associativa)
f) 0 . A = A . 0 = 0
MATRIZES EQUIVALENTES
DEFINIÇÃO I: OPERAÇÕES ELEMENTARES
1°) Troca de linhas.
2°) Substituição de uma linha pela sua soma com outra linha, multiplicada por um
escalar diferente de zero.
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3°) Multiplicação ou divisão de uma linha por um escalar diferente de zero.
DEFINIÇÃO II:
Uma matriz Am x n é dita LINHA REDUZIDA se:
a) O 1° elemento não nulo em cada linha não nula é igual a 1.
b) Cada coluna de A que contém o 1° elemento não nulo de alguma linha, tem todos os
seus elementos, outros, nulos.
Exs. : A =
4010
3001
2100
B =
0100
0110
0001
C =
000
201
130
É linha-reduzida Não satisfaz B Não satisfaz A
DEFINIÇÃO III:
Uma matriz A = [ai j]m x n , é dita LINHA-REDUZIDA À FORMA EM ESCADA OU
ESCALONADA, se :
a) É linha-reduzida.
b) Toda linha de A que contém todos os elementos nulos ocorre abaixo de todas as
linhas que possuem um elemento não nulo.
c) Se as linhas 1,2,...,n são as linhas não nulas de A e se o 1º elemento não nulo da
linha i ocorre na coluna ki , i = 1,....,n, então k1 k2 k3 ... kn .
Exs. :
100
010
001
00100
00000
20010
C =
010
001
100
D =
00000
21000
10510
É escalonada Não satisfaz B Não satisfaz C É escalonada
k3 k1 ; k1 k2
DETERMINANTES
A teoria propriamente dita dos determinantes apareceu pela primeira vez em
trabalhos de Leibniz (1646 – 1716) e Seki Kowa (1642 – 1708). Os dois matemáticos
chegaram às mesmas conclusões, embora em lugares diferentes, Leibniz na Alemanha e
Kowa no Japão, ambos tratando de problemas que envolviam equações lineares. Kowa
foi o primeiro matemático que discutiu problemas relativos aos determinantes e até
acerca dos sinais de cada termo. A notação de determinantes como conhecemos hoje,
foi introduzida pelo matemático inglês Arthur Cayley:
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
....
............................
....
....
21
22221
11211
André Gustavo
Matemáticos como Jacobi (1804 – 1851), Kronecker (1823 – 1891), Fontené (1848 –
1923) e Rouché (1832 – 1910) contribuíram também de forma significativa na teoria
dos determinantes. Uma das utilizações de determinantes é encontrar área de
regiões(subdivididas em triângulo) por meio das coordenadas dos pontos extremos
dessas regiões, artifício muito utilizado por satélites devido a impossibilidade de se
obterem as medidas de determinadas regiões , como áreas de queimadas na selva
amazônica.
1. Determinante de uma matriz de 2a ordem.
21122211
22
12
21
11aaaa
a
a
a
a
Exemplo: Calcular o determinante associado à matriz
2
1
5
3A
Solução: 15)1(2)3(2
1
5
3)(
ADet
2. Determinante de uma matriz de 3a ordem.
Regra de Sarrus.
|
|
Exemplo: Calcule det(A), sendo
512
431
210
A .
|
|
= 0 + 8 + 2 + 5 + 0 + 12 = 27. Logo, o Det (A) = 27.
2.1 Aplicações de determinantes
Cálculo de Áreas
Problema 1: Na atualidade, a agropecuária é a grande responsável pelo aumento de
queimadas na Amazônia em áreas onde houve redução de desmatamento. É o que
mostra um estudo de pesquisadores brasileiros publicado na revista Science2. Segundo a
2Referência no artigo publicado no site:
http://www.canalrural.com.br/canalrural/jsp/default.jsp?uf=1&local=1&id=2926702&action=noticias
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pesquisa, que analisou o período entre 1998 e 2007, os registros de fogo aumentaram
59% nas regiões que tiveram redução das taxas de desflorestamento. Isso significa que
as emissões de gases de efeito estufa economizadas pela diminuição do desmate podem
ser anuladas com as emissões provenientes de queimadas. O fogo é usado para limpar as
áreas abaixo da copa das árvores, que muitas vezes escondem os estragos que poderiam
ser vistos por imagens de satélites. Com o auxilio dos satélites, medem-se coordenadas
dos pontos extremos da região onde ocorrem as queimadas, subdividindo a região em
triângulos. Suponha que uma destas áreas localizadas por um satélite tem como
coordenadas dos pontos extremos da região os pontos A(10, 20), B(0, 2) e C(0, 0).
Determine a área queimada desta região em u.a
Solução:
Sabemos que área de um triângulo qualquer é obtida pela fórmula 2
.hbA . Para
calcularmos a área desmatada pela queimada vamos usar
1
1
1
det2
1
3
2
1
3
2
1
y
y
y
x
x
x
S
(módulo do determinante da matriz A).
1
1
1
0
2
20
0
0
10
det2
1S como 20
1
1
1
0
2
20
0
0
10
então 202
1S auS .10
2
|20|
Problema 2: Suponha que as coordenadas dos pontos extremos obtidas por este satélite
seja A(54, -19), B(75, -81) e C(-30, 52). Qual área queimada identificada pelo satélite?
Solução:
1
1
1
52
81
19
30
75
54
det2
1S como o determinante da matriz é igual a -3717 temos:
auS .5,18582
|3717|
Cálculo de Volumes
Se ),,( 321 aaaa , ),,( 321 bbbb e ),,( 321 cccc são vetores não coplanares do
espaço, então o paralelepípedo determinado por eles tem volume V dado pelo módulo
do produto misto
3
3
3
2
2
2
1
1
1
det),,(
c
b
a
c
b
a
c
b
a
cba
|),,(| cbaV
André Gustavo
Problema 3: Dados os vetores )0,0,1(a , )1,2,1( b e )0,2,3( c ,
determine o volume do paralelepípedo determinado por eles.
Solução:
2
0
2
3
1
2
1
0
0
1
. Como |),,(| cbaV , temos que vuV .2|2|
Problema 4: Uma Empresa de Engenharia deseja implantar um tanque em forma de
paralelepípedo num prédio que será construído para fins comerciais. Suponha que o
tanque possua arestas AB, AC e AD, sendo A(20, 10, 30); B(20, 70, 40);
C(30, 20, 30) e D(10, -20, 30). Determine o volume do tanque que será implantado
nesse prédio em m³.
Resposta: 2000m³
Obs. Lembre-se que um vetor AB = B – A
SISTEMAS LINEARES
1. Definição: Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas x1, x2, x3,...,
xn a todo sistema da forma:
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S
...
...........................................................
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
em que a11, a12, a13,..., a1n, b1, b2, b3,..., bm são números reais.
Se o conjunto ordenado de números reais ( ) satisfizer todas as
equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.
Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é,b1 = b2 = b3
=...= bm = 0, o sistema linear será dito homogêneo.
Uma solução do sistema linear homogêneo
0...
...........................................................
0...
0...
0...
:
332211
3333232131
2323222121
1313212111
nmnmmm
nn
nn
nn
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
xaxaxaxa
S
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é a sequencia (0, 0, 0,...,0). Essa solução chama-se solução trivial do sistema
homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução onde as incógnitas não são
todas nulas, a solução será chamada não trivial.
2. Representação Matricial de um Sistema
Todo sistema pode ser representado na forma matricial, assim, considerando um sistema
S com m equações a n incógnitas:
nnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
S
...
................................................
...
...
...
2211
33232131
22222121
11212111
a representação matricial do sistema será dada da seguinte forma:
nnninn
ni
ni
ni
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
......
..........................................
......
......
......
21
333231
222221
111211
.
nx
x
x
x
3
2
1
nb
b
b
b
3
2
1
Exemplo: Faça a representação matricial do sistema
079
4752
10423
yx
zyx
zyx
Solução:
079
752
423
z
y
x
.
0
4
10
André Gustavo
3. Matriz dos Coeficientes e Matriz Ampliada de um Sistema.
Dado um sistema linear S de m equações e n incógnitas:
nnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
S
...
................................................
...
...
...
2211
33232131
22222121
11212111
Chamamos de matriz dos coeficientes, a matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas do sistema:
nnninn
ni
ni
ni
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
......
..........................................
......
......
......
21
333231
222221
111211
Chamamos de matriz ampliada do sistema, a matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas e os termos independentes do sistema:
nnnninn
ni
ni
ni
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
......
................................................
......
......
......
21
3333231
2222221
1111211
Exemplo: Represente as matriz dos coeficientes e a matriz ampliada do sistema
079
4752
10423
yx
zyx
zyx
Solução:
Matriz dos coeficientes do sistema
079
752
423
André Gustavo
Matriz ampliada do sistema
0079
4752
10423
4. Sistemas Lineares Equivalentes
Dois sistemas lineares que admitem o mesmo conjunto solução são ditos equivalentes.
Por exemplo, os sistemas:
42
32
yx
yx e
52
543
yx
yx
São equivalentes, pois ambos apresentam o mesmo conjunto solução
S = {(1, 2)}.
5. Matriz escalonada por linhas
Uma matriz está escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes condições:
Todas as linhas que consistem inteiramente de zeros, estão na parte
inferior da matriz.
Em cada linha não nula, o primeiro elemento não nulo (chamado de
elemento líder) está em uma coluna à esquerda de qualquer outro
elemento líder abaixo dele.
Para escalonar a matriz ampliada de um sistema linear, deve-se aplicar as operações
elementares sobre as linhas da matriz, observando as regras citadas acima.
Exemplo:
a)
700
410
231
b)
00100
00000
20010
c)
00000
11100
40515
É escalonada Não satisfaz B É escalonada
André Gustavo
6. Discussão de um Sistema Linear AX = B.
Discutir um sistema linear significa classificá-lo em sistema impossível (SI), sistema
possível determinado (SPD) ou sistema possível e indeterminado (SPI). Assim:
a) Sistema compatível e incompatível: Um sistema é dito compatível (ou possível)
quando há valores para as incógnitas ix que satisfazem as equações do sistema
simultaneamente. Caso isso não aconteça, ele é dito Incompatível (ou impossível).
b) Sistema indeterminado: O sistema é dito indeterminado quando admite infinitas
soluções, ou seja, existem infinitos valores de ix que verificam as equações
simultaneamente.
Solução de um Sistema Linear AX = B.
Dizemos que a seqüência ou ênupla ordenada de reais ( ) é solução de um
sistema linear S, se for solução de todas as equações de S, isto é
mnmnmmm
nn
nn
nn
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
...
...........................................................
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
LISTA DE EXERCÍCIOS – REVISÃO PARA A DISCIPLINA
DE ÁLGEBRA LINEAR
1) Encontrar uma solução para equação linear 2x - y - z = 0 diferente da solução trivial (0, 0, 0).
2) Dado o sistema
12352
95342
54235
:
tzyx
tzyx
tzyx
S faça o que se pede:
a) Dê a representação matricial AX = B de S
b) Dê a Matriz A dos coeficientes de S
c) Dê a Matriz A’ ampliada do Sistema S
d) Verifique se as sequências (1, 0, -2, 1) e (0, 1, -1, 2) são soluções do sistema S, justifique sua
resposta.
André Gustavo
3) O que é um sistema linear homogêneo? Dê um exemplo de um sistema linear homogêneo
cujo número de equações é maior do que o número de incógnitas.
4) Dada a Matriz
1000
0121
0132
1111
H faça o que se pede:
a) aplique a operação elementar na matriz H.
b) aplique a operação elementar na matriz equivalente obtida anteriormente no
item (a).
c) aplique a operação elementar na matriz equivalente obtida anteriormente no item
(b).
d) usando a matriz equivalente obtida no item (c), aplique operações elementares sobre as linhas
da matriz de forma a transformá-la numa matriz identidade.
e) transforme a matriz H numa matriz escalar H’ equivalente cuja diagonal principal é igual √
.
5) Determinar o posto das seguintes matrizes:
a)
642
122
311
A b)
1012
3230
1111
2121
B c)
1111
3333
1111
C
obs. Use no máximo; 4 operações no item (a), 4 operações no item (b) e 2 operações no item (c).
6) Dados os sistemas abaixo, faça o que se pede:
a)
4345
1223
1022
:
zyx
zyx
zyx
S b)
034
032
02
:
zyx
zyx
zyx
S c)
333
142
2222
12
:
wx
wzyx
wzyx
wzyx
S
d)
0652
032:
zyx
zyxS e)
2
4
4
0
:
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
S f)
033
22
1
:
yx
yx
yx
S
a) Dê a representação matricial de cada um dos itens a, b, c, d, e e f.
b) Dê a matriz ampliada de cada um dos itens a, b, c, d, e e f.
c) Reduza as matrizes ampliadas dos itens a, b, c, d, e e f a forma equivalente escalonada por
linhas e use no máximo 4 operações elementares sobre as linhas da matriz no item (b), no
máximo 7 operações elementares sobre as linhas da matriz no item (c), no máximo 2 operações
elementares sobre as linhas da matriz no item (d) e no máximo 3 operações elementares sobre as
linhas da matriz no item (f).
d) Faça a discussão completa dos sistemas dos itens a, b, c, d, e e f usando o teorema dos posto.
André Gustavo
e) Quais dos itens são necessários calcular o “grau de liberdade”? Defina “grau de liberdade”.
e) Dê, se possível, a solução dos sistemas dos itens a, b, c, d, e e f. Justifique cada uma das
respostas.
7) Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares:
a)
kyx
yx
yx
S
12
045
234
: b)
0
2
12
:
zyx
zykx
kzyx
S c)
02
0
0252
:
kzx
zyx
zyx
S
8) Discuta e, se possível, resolva os sistemas de equações lineares abaixo usando o Método de
Gauss-Jordan. (Use o mínimo possível de operações elementares sobre as linhas das matrizes
para obter a forma LRFE das mesmas).
a)
1253
12
422
:
zyx
zyx
zyx
S b)
0
022
03
:
zyx
yx
zyx
S c)
13
12
0
:
zyx
zyx
zyx
S
---------- GABARITO -------------
1) Resposta a cargo do aluno.
2) Resposta a cargo do aluno dos itens a, b, c.
No item (d) a sequência (1, 0, -2, 1) é solução do sistema linear e a sequência (0, 1, -1, 2) não é solução
do sistema. A justificativa está ao cargo do aluno.
3) Resposta a cargo do aluno.
4) Resposta a cargo do aluno.
5) a) P(A) = 3 b) P(A) = 2 c) P(A) = 1
6) a) SPD,S = {(1,2,-3)} b) SPI, S = {(-z,z,z)} c) SPI, S = {(-1+w,2z,z,w)}
d) SPI, S = {(-3z,0,z)} e) SPD,S = {(1,-1,2,-2)} f) Sistema Impossível (SI)
Obs. As justificativas das respostas estão a cargo do aluno.
7) a) Se k -6 o sistema é impossível (SI)
Se k = -6 o sistema é possível determinado (SPD)
b) Se k = 0 o sistema é impossível
Se k 0 e k 1 o sistema é possível determinado (SPD)
Se k = 1 o sistema é possível indeterminado (SPI)
c) Se k = 2 o sistema é possível indeterminado (SPI)
Se k 2 o sistema é possível determinado (SPD)
8) a) S = {(5,-2,-2)} b) S = {(0,0,0)} c) S = {(1/4,1/8, 3/8)}
SPD SPD SPD