linhas de transmissão
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propagação em linhas de transmissãoTRANSCRIPT
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1
PROGAGAO EM LINHAS DE TRANSMISSO
1 - Definio: Linhas de transmisso (LT) so dispositivos usados para a transmisso de sinais
(informao) ou de energia atravs da propagao guiada de ondas eletromagnticas.
2 - Tipos de Linha de Transmisso (exemplos):
Exemplo: Transmisso atravs de um cabo coaxial.
3 - Teoria de Circuitos Teoria de Linhas de Transmisso
Exerccio: Calcular a tenso na carga para:
a) l = 5 m e f = 60 Hz; b) l = 1000 km e f = 60 Hz; c) l = 5 m e f = 10 MHz.
Considere que a onda eletromagntica de tenso se propaga sem atenuao e com v = 3108 m/s.
Linha bifilar Cabo coaxial
Microfita (microstrip)
vL(t)
-
2
a) l = 5 m e f = 60 Hz:
Por teoria de circuitos (diviso de tenso):
.tf2cos5tvL
Entretanto, o atraso de propagao introduz uma defasagem :
m10560
103
f
vcom,
2 68
o6
600036,0rad1025
105
2
Portanto: 0L 00036,0tf2cos5tv .
b) l = 1000 km e f = 60 Hz:
o6
672rad
5
210
105
22
Assim: 0L 72tf2cos5tv .
c) l = 5 m e f = 10 MHz:
m301010
103
f
v6
8
o603
530
22
Portanto: 0L 60tf2cos5tv .
Concluso: A teoria de circuitos, que uma aproximao da teoria mais geral de Linhas de
Transmisso, apresenta bons resultados somente quando l
-
3
4 - Parmetros Primrios de uma LT:
R = resistncia srie por unidade de comprimento [/m] associada s perdas e s quedas de tenso ao longo da linha devidas s imperfeies nos condutores;
L = indutncia srie por unidade de comprimento [H/m] associada s quedas de tenso ao longo da linha devidas ao fluxo magntico produzido pelas correntes nos condutores;
G = condutncia paralela por unidade de comprimento [S/m] associada s perdas e s correntes de conduo entre condutores devidas s imperfeies no dieltrico;
C = capacitncia paralela por unidade de comprimento [F/m] associada s correntes de deslocamento entre condutores devidas ao fluxo eltrico produzido pelas cargas neles.
5 - Possveis Circuitos Equivalentes de um Segmento z de uma LT:
6 Anlise de uma Linha de Transmisso:
Usando o Modelo T no domnio da frequncia:
Modelo T Modelo
-
4
LTK (lao externo):
.0VVz2
Lj
2
R)II(z
2
Lj
2
RIV SSSSSS
Ou seja, .ILjR2
1I)LjR(
z
VSS
S
Fazendo z 0, tem-se que IS 0. Assim, a taxa de variao da tenso com a distncia ao longo da linha dada por:
.I)LjR(z
VS
S
(1)
A equao (1) mostra que a variao da tenso proporcional impedncia srie da linha e
corrente nos condutores.
LTK (lao interno):
.0Iz)CjG(
1z
2
Lj
2
RIV SSS
Ou seja, .zILjR)CjG(2
1V)CjG(
z
ISS
S
Fazendo z 0, obtm-se a taxa de variao com a distncia ao longo da linha:
.V)CjG(z
IS
S
(2)
Como esperado, equao (2) mostra que a variao da corrente proporcional admitncia
paralela da linha e diferena de potencial entre os condutores.
A partir de (1) e (2), possvel obter uma equao nica em termos apenas de uma varivel (a
tenso, por exemplo). Para isso, deriva-se (1) em relao a z:
.z
I)LjR(
z
V S2
S
2
Utilizando (2), tem-se:
.V)CjG)(LjR(z
VS2
S
2
(3)
-
5
A equao anterior uma equao diferencial linear a coeficientes constantes, a qual pode ser
reescrita como:
,Vz
VS
2
2
S
2
onde:
j)CjG)(LjR( (constante de propagao). (4)
Solues de (3):
z0S eVV onda de tenso se propagando no sentido +z (onda incidente)
z0S eVV onda de tenso se propagando no sentido -z (onda refletida).
Soluo completa:
Como a equao linear, a soma de duas solues tambm uma soluo vlida. Assim:
SSS VVV .
Considerando uma linha sem reflexes )0V( S
zjz
0
z
0S eeVeVV (domnio da frequncia).
No domnio do tempo:
).ztcos(eV)t,z(V z0
(5)
6.1 - Comparao das equaes das LTs com as equaes da O.P.U.:
OPU
LT
ySxS Hjz
E
SS I)LjR(
z
V
xS
ySE)j(
z
H
S
S V)CjG(z
I
xS2
xS
2
E)j(jz
E
S2
S
2
V)CjG)(LjR(z
V
Desta forma, verifica-se que existe uma grande semelhana entre as equaes que regem a
propagao numa linha de transmisso e as equaes que regem a propagao de uma onda plana
uniforme.
-
6
6.2 - Analogia entre as grandezas:
OPU
ExS
HyS
LT
VS
IS
L
G
C
R
Assim, as equaes e definies associadas s linhas de transmisso podem ser obtidas por
analogia com as equaes obtidas anteriormente para as OPUs.
OPU
LT
1 - Campo eltrico
z
0x
z
0xxS eEeEE
1 - Tenso
z
0
z
0S eVeVV
2 - Constante de Propagao
j j j( )
2 - Constante de Propagao
j)CjG)(LjR(
3 - Impedncia Intrnseca
j
j
H
E
yS
xS
Para meios sem perda: /
3 - Impedncia Caracterstica
CjG
LjR
I
VZ
S
S0
Para linhas sem perda: C/LZ0
4 - Campo Magntico
z0xz0xyS e
Ee
EH
4 - Corrente
z
0
0z
0
0S e
Z
Ve
Z
VI
5 - Velocidade de Fase
fvf
Para meios sem perdas: 1vf
5 - Velocidade de Fase
fvf
Para linhas sem perdas: LC1vf
-
7
OPU
LT
6 - Coeficiente de Reflexo
12
12
10x
10x
E
E
OI
OR
OT
meio 1 meio 2
1 - meio onde se propaga a onda incidente;
2 - meio onde se propaga a onda transmitida.
6 - Coeficiente de Reflexo
0L
0L
0
0
ZZ
ZZ
V
V
+
-
VL ZLZ0(LT)
Meio 1: linha Meio 2: carga
0 - linha de transmisso;
L - carga (ex.: antena, circuito receptor, etc.).
7 - Coeficiente de Transmisso
12
E
E
12
2
10x
20x
7 - Coeficiente de Transmisso
1ZZ
Z2
V
V
0L
L
0
L
8 - Coeficiente de Onda Estacionria
1
1
E
ESWR
mnx
mxx
8 - Coeficiente de Onda Estacionria
1
1
V
VVSWR
mn
mx
9 - Impedncia de Entrada (meio sem perda)
121
1121
z1yS
1xSin
tgj
tgj
H
E
z z 0
in
1 2
Meio 1 (sem perdas) Meio 2
z
9 - Impedncia de Entrada (LT sem perda)
tgjZZ
tgjZZZ
I
VZ
L0
0L0
zS
Sin
ZL
z = 0z = - Zin
Z0
Linha sem perdascarga
-
8
7 - Linha de Transmisso Sem Perdas:
Uma linha sem perdas feita com condutores perfeitos (c ) e com dieltricos perfeitos (d = 0). Desta forma, tem-se: R = 0 e G = 0. Portanto:
Constante de propagao: LCj 0 e LC (6)
Impedncia caracterstica: C
LZ0 . (7)
Assim, para uma linha sem perdas, as ondas de tenso e corrente esto em fase (no tempo e no
espao) e se propagam sem atenuao.
8 - A Linha sem Perdas Terminada
A figura abaixo mostra uma LT sem perdas, com impedncia caracterstica Z0, terminada numa
carga arbitrria ZL, a qual pode representar uma antena transmissora, um circuito receptor, uma
outra linha, um elemento localizado, etc.
Coeficiente de reflexo: 0L
0L
inc
ref
ZZ
ZZ
V
V
(8)
Coeficiente onda estacionria (VSWR): (VSWR = Voltage Standing Wave Ratio)
1
1
VV
VV
V
VVSWR
refinc
refinc
min
mx (1 VSWR < ) (9)
-
9
Mdulo da tenso ao longo da linha: (para Vinc = 1 V e = 0,3).
Potncia refletida: inc2
ref PP (10)
Potncia transmitida carga: inc2Ltra P1PP . (11)
8.1 - Definies adicionais:
Perda por reflexo (reflection loss): 2tra
inc 1log10P
Plog10loss.ref
[dB] (12)
Perda de retorno (return loss):
log20
P
Plog10loss.ret
ref
inc [dB]. (13)
8.2 - Casos particulares:
a) linha casada (sem reflexo): ZL = Z0
= 0 VSWR = 1 ref. loss = 0 dB ret. loss =
b) linha curto-circuitada (reflexo total): ZL = 0
= -1 VSWR = ref. loss = ret. loss = 0 dB
c) linha em aberto (reflexo total): ZL =
= 1 VSWR = ref. loss = ret. loss = 0 dB
-
10
8.3 - Impedncia de entrada: razo entre os fasores tenso e corrente na entrada da linha.
l
l
l
tgjZZ
tgjZZZ
I
VZ
L0
0L
0
z
in (LT sem perdas) (14)
Casos particulares:
a) linha casada (ZL = Z0): L0in ZZZ
b) linha terminada em curto-circuito (ZL = 0): l tgjZZ 0in (-j < Zin < j)
c) linha terminada em circuito aberto (ZL = ): l
tg
jZZ 0in (-j < Zin < j)
d) l = /2: l = (2/)(/2) = tg l = 0 Lin ZZ
e) l = /4: l = (2/)(/4) = /2 tg l = L
2
0
inZ
ZZ (transformador de /4)
-
11
EXERCCIOS
Exerccio 1: Uma linha de transmisso sem perdas (usada como fio de descida de antenas de TV) possui
impedncia caracterstica Z0 = 300 . Em 82 MHz, o comprimento de onda na linha de 2 m. Calcular os valores de L e C (por unidade de comprimento) da linha.
LT sem perdas: R = 0 e G = 0
s/m1046,210823fLC
1v 86f
300C
LZ0
C
1
C
L
LC
1Zv 0f
3001046,2
1
Zv
1C
80f m/pF6,13C
2122
0 300106,13ZCL m/H22,1L .
Exerccio 2: Em que condies uma linha de transmisso com perdas tem impedncia caracterstica real?
jCG
jLR
C
L
jCGC
jLRL
CjG
LjRZ
0.
Condio para Z0 real: C
G
L
R (condio de Heaviside)
Observao: Implicaes da condio de Heaviside:
jCGLC)jCG(C)jLR(L)CjG)(LjR(
LCjC
LG .
Portanto: RGG
RG
C
LG
LC LC
1vf
.
-
12
Desta forma, verifica-se que quando a condio de Heaviside obedecida, tanto a atenuao quanto a
velocidade de propagao da onda na linha so independentes da frequncia. Portanto, neste caso, sinais com
diferentes componentes de frequncia se propagam sem distoro.
Em linhas telefnicas, de maneira geral tem-se que R/L >> G/C. Assim, a condio de Heaviside pode ser
atendida aumentando-se artificialmente a indutncia distribuda da linha. Isso pode ser feito inserindo
bobinas regularmente espaadas ao longo da linha.
Essa tcnica conhecida como pupinizao, em homenagem ao fsico srvio-americano Mihajlo Pupin, que a props em 1899. Atualmente, as linhas telefnicas transmitem sinais digitais, menos sujeitos a efeitos
da distoro. Por conta disso, as linhas no so mais pupinizadas, pois a pupinizao diminui a largura de
faixa do sistema, limitando as taxas de transmisso.
Exerccio 3: Uma linha com Z0 = 50 alimenta uma carga composta por um resistor de 20 em srie com um capacitor C, produzindo um coeficiente de onda estacionria VSWR = 4. Se a frequncia de operao
de 600 MHz, calcule o valor de C.
41
1VSWR
53
50jX20
50jX20
ZZ
ZZ
C
C
0L
0L
5
3
jX70
jX30
C
C
5
3
X70
X302C
2
2C
2
C
174,36XC
CfX2
1C
pF2,7C .
-
13
Exerccio 4: Uma linha de transmisso sem perdas, com 2,0 m de comprimento, conecta uma antena a um
receptor FM. A linha tem Z0 = 300 e vf = 2,5 108 m/s. A impedncia de entrada do receptor FM de
300 e a antena receptora pode ser modelada por seu equivalente de Thvenin: fonte de tenso alternada com amplitude de 0,6 mV e impedncia interna de 300 , com f = 100 MHz. Determinar a tenso, a corrente e a potncia ativa (mdia): a) na entrada da linha; b) na carga.
vg(t) = 0,6 cos(2 108t) [mV]
Zg = ZL = Z0 = 300
l = 2 m
VS, IS, VL e IL fasores
a)
300Z
tgjZZ
tgjZZZ
I
VZ 0
L0
0L0
S
Sin l
l (linha sem reflexo: 0L ZZ ).
Circuito equivalente (visto pela fonte):
Corrente: A010300300
0106,0
ZZ
VI 06
03
ing
g
S
At102cos1ti 8s
Tenso: V0103,0010300IZV 0306SinS mVt102cos3,0tv 8s
Potncia: 063
SefSefSS0cos
2
10
2
103,0cosIVP
pW150W105,1P 10S .
b) Como no h reflexo (linha casada), h uma nica onda na linha, propagando-se da fonte para a carga.
Uma vez que a linha sem perdas, essa onda sofrer apenas um atraso de fase ao longo do comprimento da
linha.
m/144m/rad8,0105,2
102
v
0
8
8
f
( = 0)
Assim, a propagao ao longo dos 2 m da linha introduz um atraso de fase de 2 144 = 288. Portanto:
-
14
V288103,0V 03L mV288t102cos3,0tv 08L
A28810I 06L A288t102cos1ti 08L
063
LefLefLL0cos
2
10
2
103,0cosIVP
pW150W105,1P 10L .
Como a linha sem perdas, a potncia na sada igual potncia na entrada ( SL PP ).
Exerccio 5: Refazer o exerccio anterior supondo que a carga agora formada por dois receptores FM
idnticos, cada um com impedncia de entrada de 300 , ligados em paralelo na sada da linha.
vg(t) = 0,6 cos(2 108t) [mV]
ZL = 300 // 300 = 150
l = 2 m l = 288
a)
6,205j4,46679,2371,509
)288(tg150j300
)288(tg300j150300
tgjZZ
tgjZZZZ 0
0
0
L0
0L0in l
l.
Circuito equivalente (visto pela fonte):
A02,151056,76,205j4,466300
0106,0I 07
03
S
A02,15t102cos756,0ti 08s
V77,81085,302,151056,779,2371,509V 04070S mV77,8t102cos385,0tv 08s
063
SefSefSS79,23cos
2
10756,0
2
10385,0cosIVP
pW133W1033,1P 10S .
-
15
Observa-se que a potncia que entra na linha menor do que no exerccio anterior. Isso ocorre porque
antes se tinha mxima transferncia de potncia da fonte pra linha (Zin = Zg =300 ), o que no acontece no caso presente (Zin Zg). Alm disso, agora se tem duas ondas propagando-se na linha (uma da fonte para a carga e outra no sentido oposto). Assim, a tenso na entrada da linha corresponde soma das tenses das
duas ondas em z = -l. e, do mesmo modo, a tenso na carga corresponde soma das tenses das duas ondas em z = 0. Por essa razo, no se pode usar o mesmo procedimento do exerccio anterior para calcular a
tenso e a corrente na carga. Entretanto, como a linha sem perdas, tem-se:
W1033,1PP 10SL .
Como a carga puramente resistiva (real):
L
2
efLL
R
VP
rms410
LLefLV1041,11501033,1RPV .
Portanto: 4efLpicoL
1041,12V2V mV2,0V picoL
150
102,0
R
VI
3
L
picoL
picoL
A33,1I picoL .
Neste caso particular, como a linha sem perdas, ainda foi possvel calcular os valores de pico da tenso
e da corrente na carga. O equacionamento geral do problema ser feito na prxima seo.
9 Forma Hiperblica das Equaes de Linhas de Transmisso
O objetivo aqui o de fazer o equacionamento completo de um sistema que inclui uma linha de
transmisso, a qual poder ser com ou sem perdas e estar ou no casada com a carga.
9.1 Introduo: Antes de proceder anlise, ser apresentada uma breve reviso das funes hiperblicas.
Definio: ee2
1cosh (A)
ee2
1senh (B)
cosh
senhtgh . (C)
-
16
Identidades: 1senhcosh 22 (D)
BsenhAcoshBcoshAsenhBAsenh (E)
BsenhAsenhBcoshAcoshBAcosh . (F)
Relao entre as funes circulares e as funes hiperblicas:
jj ee2
1cos (G)
jj ee2
1senj . (H)
Comparando (A), (B), (G) e (H):
cosjcosh (I)
senjjsenh (J)
coshjcos (K)
senhjjsen . (L)
Funes hiperblicas com argumento complexo:
BsenAcoshjBcosAsenhjBAsenh (M)
BsenAsenhjBcosAcoshjBAcosh . (N)
-
17
9.2 Equacionamento:
Seja o sistema de transmisso:
+
VS -
+
V
-
ZL
IL
I
+~-
Vg
Zg
+
VL -
LT: Z0
IS
z = z = 0
Na figura anterior, V e I representam, respectivamente, os fasores tenso e corrente num ponto
arbitrrio da linha ( metros esquerda da carga). A tenso total em qualquer ponto a soma da tenso da onda incidente V
+ (que se desloca da
fonte para a carga) com a tenso da onda refletida V- (que se desloca da carga para a fonte):
z
0
z
0 eVeVVVV . (15)
O mesmo vale para a corrente:
z
0
0z
0
0 eZ
Ve
Z
VIII
. (16)
Em z = 0 (ou seja, na carga), tem-se que V = VL e I = IL. Portanto:
00L VVV (17)
0
0
0
0L
Z
V
Z
VI
00L0 VVIZ . (18)
Fazendo (17) + (18) e (17) - (18), tem-se:
2
IZVV L0L0
(19)
2
IZVV L0L0
. (20)
-
18
Substituindo (19) e (20) em (15) e (16):
zL0LzL0L e2
IZVe
2
IZVV
(21)
zL0LzL0L e2
IZVe
2
IZVI
. (22)
Para z = e rearranjando os termos:
ee2
1IZee
2
1VV L0L (23)
ee2
1
Z
Vee
2
1II
0
LL . (24)
Usando as funes hiperblicas:
)(senhIZ)cosh(VV L0L (25)
)(senhZ
V)cosh(II
0
LL . (26)
As equaes (25) e (26) permitem calcular a tenso e a corrente em qualquer ponto da linha em
funo da tenso e da corrente de carga.
9.3 - Impedncia de entrada
A partir das equaes (25) e (26), pode-se calcular a impedncia de entrada vista a partir de um
ponto genrico da linha ( metros esquerda da carga):
senhZ
VcoshI
senhIZcoshV
I
VZ
0
LL
L0L
z
in , com LLL IZV .
Dividindo numerador e denominador por cosh(), vem:
)(tghZZ
)(tghZZZZ
L0
0L0in
(LT genrica). (27)
-
19
Para uma linha sem perdas ( je0 ):
Neste caso, tem-se:
)(jtg)cos(
)(jsen
)jcosh(
)j(senh)j(tgh)(tgh
.
Portanto:
)(tgjZZ
)(tgjZZZZ
L0
0L0in
(LT sem perdas). (28)
Essa mesma equao j tinha sido obtida anteriormente usando a analogia entre a propagao das
OPUs (em que o meio 1 era sem perdas) e a propagao nas linhas de transmisso.
Para uma linha genrica sem reflexo (ZL = Z0): L0in ZZZ .
9.4 - Tenso e corrente na carga a partir da tenso e da corrente na entrada da linha:
O objetivo aqui calcular a tenso e a corrente na carga (VL e IL) a partir da tenso e da corrente
na entrada da linha (VS e IS).
Nas equaes (25) e (26), se corresponde ao comprimento total da linha, tem-se que:
SL0L V)(senhIZ)cosh(VV (29)
S
0
LL I)(senh
Z
V)cosh(II . (30)
As equaes (29) e (30) representam um sistema linear com duas equaes e duas incgnitas (VL
e IL), o qual pode ser facilmente resolvido para se obter:
)(senhIZ)cosh(VV S0SL (31)
)(senhZ
V)cosh(II
0
SSL . (32)
Obviamente, a corrente pode ser calculada mais facilmente usando a Lei de Ohm: L
LL
Z
VI .
-
20
EXERCCIOS
Exerccio 6: No Exerccio 5, calcular a tenso e a corrente na carga usando as equaes hiperblicas das
linhas de transmisso.
f = 100 MHz
Z0 = 300
ZL = 300 // 300 = 150
)(senhIZ)cosh(VVS0SL
Mas, do exerccio anterior: A02,151056,7I 07S
V77,81085,3V 04S
l = jl = j1,6 rad
0288cos6,1cos)6,1jcosh()cosh( 0288senj6,1senj)6,1j(sen)(senh
Portanto:
)(senhIZ)cosh(VVS0SL
)288(senj02,151056,7300)288cos(77,81085,3V 007004L
V72100,2V 04L
mV72t102cos2,0tv 08L
A721033,1150
72100,2
Z
VI 06
04
L
LL
A72t102cos33,1ti 08L .
Verifica-se que os valores calculados concordam com os que foram obtidos no Exerccio 4.
-
21
Exerccio 7: Uma linha telefnica com = 100 km, Z0 = 685 j92 e = 0,00497 + j0,0312 Np/km em 1kHz, alimenta uma carga resistiva de 2000 . A fonte tem tenso de pico de 102 V e impedncia interna de 700 . Determinar:
a) a tenso, a corrente e a potncia ativa na entrada da linha; b) a tenso, a corrente e a potncia ativa na carga.
V0210V 0g
Zg = 700
ZL = 2000
l = 100 km
a) 00 65,715,69192j685Z
Como a linha com perdas, tem-se que:
)(tghZZ
)(tghZZZZ
L0
0L0in
,
com j52,3j497,0100)0352,0j00497,0(
518,0497,0senhsenh
126,1497,0coshcosh
369,052,3sensen
929,052,3coscos
019,139636,0sencoshjcossenhjsenhsenh
064,169063,1sensenhjcoscoshjcoshcosh
0
0
0
45,30598,064,169063,1
19,139636,0
cosh
senhtgh
.
Assim,
0
00
000
in 48,2025,92045,30598,0200065,715,691
45,30598,065,715,691200065,715,691Z .
-
22
Circuito equivalente (visto pela fonte):
A65,111087,8
48,2025,920700
0210
ZZ
VI 03
0
0
ing
g
S
mA65,11t102cos87,8ti 03s
V83,816,865,111087,848,2025,920IZV 0030SinS V83,8t102cos16,8tv 03s
03
SefSefSS48,20cos
2
1087,8
2
16,8cosIVP
mW9,33PS .
b) Tenso na carga: )(senhIZ)cosh(VVS0SL
003000L 19,139636,065,111087,865,715,69164,169063,183,816,8V
V87,15642,6V 0L V87,156t102cos42,6tv 03L
A87,1561021,32000
87,15642,6
Z
VI 03
0
L
LL
mA87,156t102cos21,3ti 03L
03
LefLefLL0cos
2
1021,3
2
42,6cosIVP
mW3,10PL .
Como a linha tem perdas, a potncia na carga menor do que a potncia na entrada da linha. A potncia
total perdida ao longo da linha igual a 23,6 mW (PS - PL).
-
23
Exerccio 7: Uma linha de transmisso com Z0 = 683 j138 tem 200 km de comprimento e alimentada por um gerador senoidal com tenso de 10 Vrms e resistncia interna de 500 . A impedncia da carga igual impedncia caracterstica da linha e a constante de propagao = 0,0074 + j0,0356 Np/km. Determinar os valores eficazes da tenso e da corrente bem como a potncia mdia (ativa): a) na entrada da linha; b) na
carga.
rms0
g V010V
Zg = 500
ZL = Z0
l = 200 km
a) Como a linha com perdas, tem-se que:
)(tghZZ
)(tghZZZZ
L0
0L0in
.
Mas a linha est casada com a carga (ZL = Z0). Nesse caso, tem-se:
00in 42,118,696138j683ZZ .
Circuito equivalente (visto pela fonte):
rms03
0
0
S A65,61040,842,118,696500
010I
rmsefS mA40,8I
rms0030S V77,485,565,61040,842,118,696V rmsefS V85,5V
03SefSefSS 42,11cos1040,885,5cosIVP mW2,48PS .
b) Para calcular a tenso na carga, pode-se usar a equao (31). Entretanto, como neste caso a linha est casada, h apenas uma nica onda propagando-se na linha, da fonte para a carga. Por isso, a tenso na carga
pode ser obtida mais facilmente a partir da tenso de entrada levando em conta a atenuao e o atraso de fase
totais ao longo do comprimento da linha.
-
24
eVV SL
12,7j48,102000356,0j0074,00L e77,485,5e77,485,5V
rms0000L V72,5233,172,41233,195,407228,077,485,5V rmsefL V33,1V
rms03
0
0
L
LL A30,411091,1
42,118,696
72,5233,1
Z
VI
rmsefL mA91,1I
03LefLefLL 42,11cos1091,133,1cosIVP mW49,2PL
10 Npers e Decibis
At aqui, a atenuao nas linhas de transmisso foi dada em npers por metro (Np/m).
Entretanto, particularmente em linhas de transmisso usadas em telecomunicaes, mais usual
exprimir a atenuao na linha em decibis por metro. O objetivo aqui de definir decibel e fazer a
transformao de npers em decibis.
10.1 - Definio de decibel:
Na figura abaixo, o sistema representa um quadripolo qualquer (por exemplo, um amplificador,
um filtro, um atenuador, uma linha de transmisso, etc.):
Ganho em decibis:
S
L
P
Plog10)dB(G (33)
Atenuao em decibis: )dB(GP
Plog10)dB(D
L
S
. (34)
Por exemplo, se a potncia na sada for 1000 vezes maior que a potncia na entrada, tem-se que
o ganho de 30 dB. Tambm, caso a potncia na sada seja 100 vezes menor que a potncia na
entrada, a atenuao ser de 20 dB.
-
25
10.2 Atenuao numa linha de transmisso:
Seja o sistema de transmisso de sinais:
Zin = Rin + jXin
ZL = RL + jXL
Como a potncia ativa desenvolve-se apenas na parte real (resistiva) das impedncias, tem-se:
L
2
L
LL R
Z
V
2
1P e in
2
in
SS R
Z
V
2
1P .
Assim, a atenuao em decibis na linha de transmisso dada por:
L
2
L
L
in
2
in
S
L
S
RZ
V
2
1
RZ
V
2
1
log10P
Plog10)dB(D . (35)
Para uma linha sem reflexo, tem-se que Zin = Z0 = ZL e Rin = RL. Assim, as potncias na entrada
e na sada desenvolvem-se sobre impedncias de mesmo valor. Nesse caso, tem-se:
L
S
2
L
S
V
Vlog20
V
Vlog10)dB(D . (36)
10.3 Transformao de npers para decibis:
Para uma linha sem reflexo, tem-se apenas a onda que se propaga no sentido fonte-carga, cuja
amplitude sofre uma atenuao exponencial com a distncia. Assim, a amplitude da tenso na carga
dada por:
eVV SL . (37)
-
26
Atenuao em Npers:
N NSL eVV . (38)
Por exemplo, uma atenuao de 1 Np corresponde a uma reduo na amplitude da tenso por um
fator e-1
, 2 Np corresponde a uma atenuao da tenso por um fator e-2
, etc.
Atenuao em decibis:
A partir de (36) e (37), vem:
.elog20elog20eV
Vlog20
V
Vlog20)dB(D
S
S
L
S
(39)
Ou seja,
N686,8686,8)dB(D 686,8)dB(D
. (40)
Tem-se, portanto, que uma atenuao de 1 Np/m corresponde a uma atenuao de 8,686 dB/m.
Dessa forma, a converso feita usando as equaes abaixo:
m/dB686,8m/Np1 e m/Np1151,0m/dB1 . (41)
Exerccio: Uma linha de transmisso com = 50 m, terminada em sua impedncia caracterstica, fornece 1250 W carga. Se a potncia na entrada da linha de 1600 W, determinar:
a) o rendimento (eficincia) da transmisso; b) a constante de atenuao da linha; c) a relao entre as amplitudes da tenso no ponto mdio da linha e nos terminais de entrada.
a) 1600
1250
P
P
S
L %1,78781,0
-
27
b) dB072,11250
1600log10
P
Plog10)dB(D
L
S
.
Assim, a atenuao por unidade de comprimento na linha de 1,072 dB/50 m = 0,02144 dB/m. Como
no h reflexo, pode-se usar (40):
686,8
02144,0
686,8
)dB(D
m/Np1047,2 3 .
c) 2/SPM eVV 2/
S
PM eV
V
251047,2
S
PM3
eV
V 94,0V
V
S
PM .
11 Casamento de Impedncias
A figura abaixo mostra um sistema de transmisso de sinais, incluindo dois dispositivos para
adaptao de impedncias.
Dispositivo de casamento 1: tem a funo de casar a linha com a carga, de modo a no haver ondas
refletidas na linha de transmisso.
Condio: Zin1 = Z0.
Dispositivo de casamento 2: sua funo possibilitar a mxima transferncia de potncia da fonte
para a entrada da linha e, consequentemente, para a carga.
Condio: Zin2 = Zg*.
Na prtica, os circuitos de transmisso so projetados para terem impedncia Zg com o mesmo
valor da impedncia caracterstica da linha (Z0), o qual geralmente corresponde a algum valor
padronizado (50 , por exemplo). Assim, o dispositivo de casamento 2 geralmente desnecessrio.
-
28
11.1 Exemplos de dispositivos de casamento
a) Transformador de quarto de onda: segmento de uma linha de transmisso sem perdas, com
impedncia caracterstica Z0' e comprimento ,4/' colocado entre a linha principal e a carga.
preciso lembrar que o comprimento de onda no transformador de quarto de onda no igual ao
comprimento de onda na linha principal, ou seja, ' . O comprimento do casador deve corresponder a um quarto do comprimento de onda nele prprio , conforme ser visto na sequncia.
A impedncia de entrada do transformador de quarto de onda terminado na carga ZL dada por:
L
'
0
'
0L
'
0
L
'
0
'
0L'
0in
jZtg
Z
jZtg
Z
ZtgjZZ
tgjZZZZ
,
com 24
'
'
2
2tgtg .
Assim,
.Z
)Z(
Z
ZZZ
L
2'
0
L
'
0'
0in
(42)
Para no haver reflexo, necessrio que Zin = Z0:
0
L
2'
0 ZZ
)Z( L0
'
0 ZZZ . (43)
Portanto, a impedncia caracterstica do transformador de quarto de onda tem que ser igual
mdia geomtrica entre a impedncia da linha principal e a impedncia de carga.
-
29
Exemplo: Projetar um transformador de quarto de onda para casar uma linha sem perdas, cujos parmetros
primrios so L = 1,22 H/m e C = 13,6 pF/m, com uma carga resistiva de 560 .
12
6
0106,13
1022,1
C
LZ
300Z0
560300ZZZ L0'0 410Z
'0 .
Por exemplo, pode-se projetar a linha de transmisso a ser usada como transformador de quarto de onda
de modo que seus parmetros primrios sejam L' = 2,05 H/m e C' = 12,2 pF/m ( 410'C'LZ '0 ).
Caso a frequncia de operao seja de 100 MHz, o comprimento do casador calculado conforme abaixo.
1268
f
102,121005,2104
1
'C'Lf4
1
f4
'v
4
'
m5,0 .
Desta forma, um segmento de linha Z0' com l = 0,5 m, intercalado entre a carga e a linha principal, faz o casamento de impedncias na frequncia de 100 MHz.
O transformador de quarto de onda tem duas limitaes principais:
- o casamento s obtido numa frequncia nica. De fato, no exemplo acima, o perfeito casamento
s obtido na frequncia de operao de 100 MHz. Para outros valores de frequncia, o
comprimento do casador deixa de corresponder a um quarto de onda, de modo que a equao (42)
no mais vlida. Nesse caso, a escolha de Z0' conforme (43) no garante mais um casamento
perfeito. Portanto, o transformador de quarto de onda um casador de banda estreita. Entretanto,
pode-se mostrar que a largura de banda do casamento pode ser aumentada com o uso de mais de um
transformador de quarto de onda em cascata.
- O valor de impedncia obtido a partir de (43) dificilmente corresponder a um valor padronizado
(50 ou 75 , por exemplo). Portanto, deve-se projetar e construir uma linha especificamente para usar como casador, o que nem sempre vivel.
b) Casamento com elemento localizado
Esta tcnica consiste em conectar um elemento de circuito, em paralelo com a linha, a uma dada
distncia a partir da carga, de modo a evitar ondas refletidas na linha esquerda do ponto de
conexo. O valor do elemento de circuito e a posio exata onde ser conectado so calculados de
forma a obter o casamento.
Exemplo: Uma linha sem perdas, com impedncia caracterstica Z02 = 600 e l = 0,2, terminada numa carga ZL = 200 . A linha de 600 carga de uma outra linha de transmisso, com Z01 = 300 . Que impedncia deve ser conectada (em paralelo) na juno das linhas de modo que no haja ondas refletidas na
linha de 300 ?
-
30
A onda, vindo da esquerda, propaga-se na linha de impedncia Z01 = 300 . Ao chegar ao ponto de juno, enxerga o paralelo de Z com Zin. Assim para que no haja reflexes no ponto de juno entre as
linhas, deve-se ter:
01inZZ//Z
300
1
Z
1
Z
1
in
.
Mas l
l
tgjZZ
tgjZZZZ
L02
02L
02in,
com o72rad4,02,02
.
Assim:
o
o
o
in 08,3856,296.172tg200j600
72tg600j200600Z .
Portanto:
300
1
Z
1
08,3856,296.1
1o
8,62j9,35403,104,360Z o .
Observa-se que a impedncia requerida para o casamento tem uma parte resistiva. Na prtica, isso deve
ser evitado, pois a parte resistiva est associada dissipao de potncia. Assim, deve-se usar um elemento
puramente reativo (indutor ou capacitor). Isso no foi possvel neste caso porque j se fixou previamente a
posio a partir da carga onde a impedncia seria conectada. Num caso prtico, tanto a posio quanto o
valor do elemento reativo devem ser calculados simultaneamente.
-
31
c) Acoplamento com Linha em Derivao (stub ou toco)
Conforme visto anteriormente, possvel obter o casamento de impedncias usando um
elemento reativo conectado num dado ponto a partir da carga. Entretanto, particularmente em
frequncias mais elevadas, o comportamento dos elementos de circuito bastante diferente de seu
comportamento ideal. Por exemplo, para um indutor, as capacitncias entre espiras podem ser mais
significativas do que a prpria indutncia. Para um capacitor, a indutncia de seus terminais pode
tambm ser bastante relevante. Alm disso, podem-se ter perdas devido ao efeito pelicular e a
radiaes indesejveis. Por isso, pode ser vantajoso simular o comportamento de um elemento
reativo usando um segmento de linha de transmisso terminado num curto-circuito (ou num circuito
aberto). Stubs ou tocos so trechos de linhas de transmisso terminadas em curto-circuito ou em circuito aberto cujas impedncias de entrada so puramente reativas. A figura abaixo ilustra um
stub terminado em curto-circuito.
A partir de (14) ou (28), com ZL = 0, tem-se:
20stub dtgjZZ . (44)
Como a funo tangente assume valores entre - e +, pode-se simular qualquer elemento reativo usando um stub. Para isso, basta escolher o valor de d2 de modo que Zstub tenha o valor
requerido.
O casamento com um stub feito conforme a figura abaixo.
O objetivo determinar os valores de d1 e d2 de modo que a linha esteja casada, ou seja,
Zin1//Zstub = Z0. Nessa condio, no haver ondas refletidas esquerda da juno do stub com a
linha.
-
32
Exemplo: Determinar os menores valores de d1 e d2 para casar uma linha com impedncia caracterstica Z0 = 100 com uma carga ZL = 150 + j50 . Considerar que o comprimento de onda na linha e no stub = 10 m.
Para que no haja reflexes no ponto de juno entre a linha e o stub, deve-se ter:
0stub1in ZZ//Z 0stub1in Z
1
Z
1
Z
1 .
Mas
1
1
1L0
10L01in
dtg50j150j100
dtg100j50j150100
dtgjZZ
dtgjZZZZ
e 220stub dtg100jdtgjZZ .
Assim:
100
1
dtg100j
1
dtg100j50j150100
dtg50j150j100
21
1
.
Simplificando a expresso, obtm-se:
1dtg2j
1
dtg21j3
dtg3jdtg2
21
11
.
Assim, d1 e d2 so obtidos a partir da equao acima. Para facilitar a resoluo, faz-se:
1dtgA e 2dtgB .
Tem-se, portanto:
1
B2j
1
A21j3
A3jA2
1A2B3j1A2B3AB3jA2B .
Igualando parte real com parte real e parte imaginria com parte imaginria nos dois lados da igualdade,
obtm-se:
.1A2B3AB3
1A2B3A2B
Tem-se ento um sistema (no linear) de duas equaes e duas incgnitas. Para resolv-lo, pode-se isolar
B nas duas equaes:
1A
1A2B
e
1A
3B
.
Igualando:
-
33
1A
3
1A
1A2
02A2A2 .
A equao anterior tem duas razes: A = 1+3 = 2,732 e A = 1-3 = -0,732. Uma vez que A = tg(d1) e como se quer o menor valor positivo de d1, apenas a soluo positiva vlida (a soluo negativa levaria a
um ngulo d1 no segundo ou no quarto quadrante, sendo maior que o d1 no primeiro quadrante obtido com a soluo positiva). Assim:
732,231dtgA 1 rad22,19,69732,2arctgdo
1
22,1d2
1
m94,1194,0d1 .
Igualmente:
732,13131
3
1A
3dtgB 2
rad3/60732,1arctgd o2
3d
22
m67,16/d2 .
Da mesma maneira que ocorre com os exemplos vistos anteriormente (transformador de quarto
de onda e casamento com elemento localizado), o casamento com stub apresentado de banda
estreita. De fato, os valores de d1 e d2 so calculados em funo do comprimento de onda, de modo
que haver ondas refletidas caso a frequncia de operao no seja exatamente igual quela usada
no projeto. Entretanto, pode-se mostrar que a largura de banda do casamento pode ser aumentada
com o uso de mais de um stub, conforme ilustra a figura abaixo.
Uma das vantagens do casador com stub a no necessidade de ter que projetar uma linha
especfica para o casamento, o que o caso do transformador de quarto de onda. De fato, para fazer
o stub, usa-se um segmento do prprio cabo usado como linha principal.
-
34
12 Clculo dos Parmetros Primrios das Linhas de Transmisso
Conforme visto anteriormente, calcula-se a constante de propagao e a impedncia
caracterstica de uma linha de transmisso a partir do conhecimento de seus parmetros primrios
(R, L, G e C por unidade de comprimento). Estes dependem dos aspectos construtivos da linha
(geometria e materiais usados) e podem tambm variar com a frequncia. Nesta sesso, sero
apresentadas as equaes para o clculo dos parmetros primrios dos principais tipos de linhas de
transmisso. O equacionamento completo no ser apresentado, mas segue o procedimento descrito
na sequncia.
Clculo de R: Para calcular a resistncia distribuda da linha de transmisso, usa-se a equao
abaixo.
S
2R
, (45)
onde l o comprimento total da linha de transmisso e S a rea da seo transversal por onde flui a corrente, O fator 2 no numerador deve-se ao fato de a resistncia por unidade de comprimento da
linha incluir a resistncia dos dois condutores que a compem. A rea da seo transversal deve
levar em conta o efeito pelicular, caso seja relevante.
Clculo de L: Para calcular a indutncia distribuda, aplica-se uma corrente na linha, a qual produz
um campo magntico. A partir do clculo do fluxo magntico total (m) entre os condutores, calcula-se a indutncia conforme abaixo:
IL m
. (46)
Vale lembrar que m inclui tanto o fluxo magntico no espao entre os condutores (fluxo externo) quanto o fluxo dentro dos prprios condutores (fluxo interno). Assim, a indutncia total
por unidade de comprimento dada por:
extintextint LL
IL
. (47)
Clculo de C: Para calcular a capacitncia distribuda, aplicam-se densidades lineares de cargas
eltricas de sinais opostos ( q, em C/m) em cada um dos dois condutores da linha, o que produz um
campo eltrico. Fazendo a integrao de linha do campo eltrico ao longo de qualquer percurso
ligando os dois condutores, tem-se a diferena de potencial (V) entre eles. Assim, pode-se calcular a
capacitncia distribuda:
V
qC . (48)
Clculo de G: Para calcular a condutncia distribuda, aplica-se uma diferena de potencial (V)
entre os condutores e calcula-se o campo eltrico resultante. A partir do campo eltrico, obtm-se a
-
35
corrente de conduo no dieltrico (Jc = d E), o que permite calcular a corrente I (por unidade de comprimento, em A/m) que flui entre os dois condutores da linha. Assim, a condutncia distribuda
dada por:
V
IG . (49)
Os parmetros Lext, C e G no dependem da distribuio de corrente dentro dos condutores. Por
essa razo, so independentes da frequncia. J os parmetros R e Lint dependem da distribuio de
corrente e, portanto, dependem da frequncia. Quanto maior a frequncia, mais intenso ser o efeito
pelicular, de modo que R aumenta com a frequncia e Lint diminui. Nas equaes que seguem, ser
considerado que os todos os materiais so no magnticos ( = 0).
12.1 - Cabo Coaxial: Consiste num par de condutores concntricos preenchidos com um
dieltrico. Sua principal vantagem reside no fato de no apresentar campos externos (ou seja,
autoblindado). Por isso, no interfere em circuitos prximos nem sofre interferncia de campos
externos.
Parmetros:
b
ca
Condutor: c , 0
Dieltrico: d , 0 ,
a
bln
2C [F/m] (50)
-
36
a
bln
2L 0ext [H/m] (51)
a
bln
2G d [S/m]. (52)
Observao: Pode-se mostrar que, para qualquer linha de transmisso, as seguintes relaes so
vlidas:
0ext CL (53)
d
GC
. (54)
Portanto, basta calcular apenas um parmetro (C, Lext ou G) e os outros dois podem ser obtidos
diretamente a partir de (53) e (54).
Em baixas frequncias: Neste caso, o efeito pelicular desprezvel. Assim, pode-se considerar que
as correntes tm distribuio uniforme na seo reta dos condutores.
Condio: a e bc c0f/1
222
c bc
1
a
11R [/m] (55)
b
cln
bc
b4b3c
)bc(88L
22
422
22
00int [F/m]. (56)
Em altas frequncias: Neste caso, o efeito pelicular intenso e as correntes fluem pela periferia
externa do condutor interno e pela periferia interna do condutor externo.
Condio: a e bc
b
1
a
1
2
1R
c
[/m] (57)
b
1
a
1
4L 0int [F/m]. (58)
Como diminui com o aumento de frequncia, R aumenta e Lint diminui para frequncias mais elevadas.
-
37
Exerccio: Seja um cabo coaxial oco (preenchido com ar), com condutores de alumnio (r = 1 e
c = 4 107 S/m), tendo a = 0,5 mm, b = 4 mm e c = 4,5 mm. Que percentagem da indutncia total a
indutncia interna representa em a) f = 0; b) f = 10 MHz e c) f = 100 MHz.
5,0
4ln
2
104
a
bln
2L
70
ext m/nH416Lext
a) Em f = 0:
b
cln
bc
b4b3c
)bc(88L
22
422
22
00int
4
5,4ln
45,4
44435,4
)45,4(8
104
8
104L
22
422
22
77
int m/nH4,57Lint
Portanto: 121,04164,57
4,57
L
L
total
int
totalint L%1,12L .
b) Em f = 10 MHz:
777c0 10410410
1
f
1
mm025,0
4
1
5,0
1
4
025,0104
b
1
a
1
4L
70
int m/nH63,5Lint
Portanto: 0134,041663,5
63,5
L
L
total
int
totalint L%34,1L .
c) Em f = 100 MHz:
778c0 10410410
1
f
1
mm00796,0
4
1
5,0
1
4
00796,0104
b
1
a
1
4L
70
int m/nH79,1Lint
Portanto: 0043,041679,1
79,1
L
L
total
int
totalint L%43,0L .
De maneira geral, para qualquer tipo de linha, observa-se que a indutncia interna pode ser desprezada em
frequncias mais elevadas. Entretanto, em frequncias baixas (60 Hz, por exemplo), a indutncia interna
pode representar uma parcela significativa da indutncia total. Por essa razo, geralmente a indutncia
interna no levada em conta nos clculos dos parmetros em frequncias usadas em telecomunicaes, mas
considerada em clculos envolvendo linhas de transmisso de potncia.
-
38
12.2 - Linha Bifilar Paralela: Consiste num par de condutores paralelos. Sua principal
vantagem a facilidade de construo e o baixo custo. Entretanto, apresenta campos externos,
podendo assim ter problemas de interferncia com circuitos prximos, alm de perdas por radiao.
Parmetros:
a2
dharccos
C [F/m] (59)
a2
dharccosL 0ext [H/m] (60)
a2
dharccos
G d [S/m]. (61)
Em baixas frequncias: Efeito pelicular desprezvel.
Condio: a .
2
c a
2R
[/m] (62)
4L 0int [F/m]. (63)
Em altas frequncias: Efeito pelicular intenso.
Condio: a .
-
39
a
1R
c
[/m] (64)
a2L 0int
[F/m]. (65)
Observao: Como 1xxlnxharccos 2 , tem-se que x2lnxharccos para |x| >>1. Assim,
a
dln
a2
dharccos para d >> a. Por essa razo, comum ver as equaes dos parmetros
da linha bifilar dados em termos da funo ln, e no em termos de arccosh. As mesmas equaes tambm se aplicam s linhas de transmisso de potncia constitudas de condutores em
paralelo.
12.3 - Linha do Tipo Microfita (ou Microstrip): composta por um plano condutor (plano de terra) e uma fita condutora de espessura W, separados por uma camada dieltrica (substrato) de
espessura h e constante dieltrica relativa r. de fcil construo (utiliza os mesmos processos que os circuitos impressos convencionais) e tem vasta gama de aplicaes, no s como linhas de
transmisso, mas tambm como filtros, antenas, acopladores, etc. As linhas de microfita apresentam
baixo perfil, peso reduzido e so de fcil integrao com outros componentes na mesma placa
(componentes eletrnicos, antenas impressas, etc.). Suas principais desvantagens so a baixa
capacidade de transmisso de potncia, as perdas elevadas e a possibilidade de interferncias com
circuitos prximos.
A principal dificuldade de anlise reside no fato de os campos existirem em dois meios com
propriedades diferentes (o ar e o substrato dieltrico). Desta forma, anlises precisas envolvem a
resoluo das equaes de Maxwell, geralmente feita atravs de mtodos numricos. Aproximaes
analticas tambm podem ser obtidas, permitindo uma anlise mais simples e direta. As equaes
dadas abaixo so aproximaes bastante simples, servindo apenas como referncia.
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40
Impedncia caracterstica:
)2h
W(
377Z
r
0
[]. (66)
Verifica-se que diferentes valores de impedncia caracterstica da linha de microfita podem ser
facilmente obtidos simplesmente ajustando a largura da trilha (W). Isso pode ser bastante til, por
exemplo, no projeto de transformadores de quarto de onda.
Permissividade efetiva da linha microfita (r'): Como os campos existem em dois dieltricos com permissividades diferentes, necessrio calcular a permissividade efetiva (ou equivalente) da linha.
2/1
rr'
rW
h101
2
1
2
1
. (67)
Velocidade de fase: Sabe-se que a velocidade de propagao depende da permissividade do
dieltrico. No caso de uma linha de microfita, tem-se dois dieltricos diferentes. Entretanto, como a
onda deve se propagar atravs da linha com uma velocidade nica, esta calculada usando a
permissividade efetiva da linha.
'
r
f
cfv
[m/s]. (68)
Atenuao: A onda se propaga atravs da linha de microfita e sofre atenuao basicamente devido a
trs fatores: perdas nos condutores (por conta de sua condutividade finita), perdas no substrato
dieltrico (por ter condutividade no nula) e perdas por radiao. Desconsiderando as perdas por
radiao, a atenuao numa linha de microfita pode ser calculada conforme abaixo.
tg
1
13,27
WZ
R686,8
'
rr
r
'
r
0
s [dB/m], (69)
onde W
1R
c
s
(Resistncia da fita condutora, em /m);
0r
dtg
(Tangente de perdas do substrato dieltrico).