estimaÇÃo dos parÂmetros de linhas de transmissÃo …

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO No 1201

ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DE LINHAS

DE TRANSMISSÃO POR MEIO DE MEDIÇÕES EM SEUS

TERMINAIS

Débora Coelho de Queiroz

DATA DA DEFESA: 01/09/2020

Universidade Federal de Minas Gerais

Escola de Engenharia

Programa de pós-graduação em Engenharia Elétrica

ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DE LINHAS

DE TRANSMISSÃO POR MEIO DE MEDIÇÕES EM SEUS

TERMINAIS

Débora Coelho de Queiroz

Dissertação de Mestrado submetida à Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. Clever Sebastião Pereira Filho

Belo Horizonte - MG

Setembro – 2020

Queiroz, Débora Coelho de. Q3e Estimação dos parâmetros de linhas de transmissão por meio de

medições em seus terminais [recurso eletrônico] / Débora Coelho de Queiroz. - 2020.

1 recurso online (x ,122 f. : il., color.) : pdf.

Orientador: Clever Sebastião Pereira Filho.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Minas Gerais, Escola de Engenharia. Anexo: f. 113-122. Bibliografia: f. 110-112. Exigências do sistema: Adobe Acrobat Reader.

1. Linhas de telecomunicação - Teses. 2. Curtos-circuitos- Teses. 3. Newton-Raphson, Método - Teses. I. Pereira Filho, Clever Sebastião. II. Universidade Federal de Minas Gerais. Escola de Engenharia. III.Título.

CDU: 621.3(043)

Ficha catalográfica: Biblioteca Prof. Mário Werneck, Escola de Engenharia da UFMG

“A arte da vida consiste em fazer da vida

uma obra de arte.” ― Mahatma Gandhi

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus pelo amparo e pelas pessoas que encontrei ao

longo de minha caminhada.

À minha mãe Lili e avó Terezinha que através de seus exemplos me mostraram

que persistência, fé e coragem são a melhor forma de superar os desafios da vida. Ao meu

pai, Konrad e avós, Maria e Miguel, que apesar de impossibilitados de estarem presentes,

suas histórias e lembranças se constituem em um motivo de força. Aos meus irmãos,

Daniel e Leonardo, e às minhas tias, Marilia e Marisa, companheiros de caminhada que

me ensinam e incentivam diariamente a me tornar uma pessoa melhor.

Ao meu orientador Clever Pereira, primeiramente pela oportunidade e amizade,

mas também pela confiança, compreensão e conselhos ao longo deste projeto.

Agradeço em especial ao Johnny Andrade, Edmar Moreira, Fábio Silva e à Kenia

Souza pela amizade e incentivo imprescindíveis à finalização deste ciclo.

Aos amigos, Lara Sathler, Alan Barros, Aretha Carmo, Mateus Franco, João

Klock, Felipe Zanon, Ósis Leal, Isabela Silva, Geraldo Silveira, Alex Silva e Gustavo

Diniz, sou grata pelas risadas, conselhos e companheirismo.

Agradeço também aos professores Maria Helena Murta Vale e Alberto De Conti

por seus ensinamentos e apoio dispensados.

Por fim, aos companheiros da Concert Technologies e Cemig GT pela

oportunidade de crescimento, acolhimento e pelos momentos de aprendizado.

vii

Resumo

O conhecimento dos parâmetros de linhas de transmissão é fundamental para a operação,

controle, proteção e gestão eficiente dos recursos energéticos no sistema elétrico

brasileiro. Este trabalho apresenta, portanto, duas metodologias para a determinação dos

parâmetros de linhas de transmissão equilibradas e desequilibradas, utilizando grandezas

elétricas mensuradas em seus dois terminais. Tais medições são comumente executadas

pelas concessionárias durante eventos de curtos-circuitos por meio de registradores

digitais de perturbação (RDPs) ou pelas unidades de medição fasorial (PMUs),

implantadas em diversos pontos da rede elétrica. As metodologias desenvolvidas são

baseadas nas equações de linhas de transmissão, teoria de quadripolos, utilizam

formulações no domínio das fases e modal e são implementadas utilizando dois métodos:

Newton-Raphson Multivariável e Algoritmo Genético. Os algoritmos foram validados

através de linhas simuladas baseadas em dados de linhas existentes e os resultados obtidos

são satisfatórios. Os valores estimados para os parâmetros das linhas de transmissão

servem como aferição dos resultados fornecidos pelos programas computacionais

utilizados no projeto da linha, principalmente em relação aos parâmetros de sequência

zero, muito dependentes das características do solo. Além disso, permite a atualização do

banco de dados das concessionárias de energia de linhas que já se encontram em serviço.

PALAVRAS CHAVES: Estimação de Parâmetros; Linhas de Transmissão Equilibradas;

Linhas de Transmissão Desequilibradas; Curtos-Circuitos Monofásico-Terra; Método de

Newton-Raphson; Algoritmo Evolutivo; Transformação Modal; Transformação de

Clarke.

viii

Abstract

The parameters’ knowledge is essential for the efficient management of energy resources

in the Brazilian Electrical System. Therefore, this dissertation proposes two

methodologies to estimate transmission lines parameters. These methodologies can be

applied for balanced and unbalanced transmission lines and it uses measurements at the

line ends. This approach uses voltage and current measurements record commonly

performed during unbalanced earth events and measured by Digital Recorders

Perturbation (RDP) or by Phasor Measurement Units (PMU). The proposed methods are

based on the transmission lines equations and the quadripole theory. The calculations are

made in the phase and modal domain These equations are implemented using two

numerical algorithms: Newton-Raphson Multivariable and Genetic Algorithm. The

developed method is evaluated using data from computer simulations of real transmission

lines. The results are satisfactory, and the errors are equal to or less than that normally

found by other methods found in the technical literature. The estimated values for the

transmission lines parameters’ can be used to attest the results provided by the computer

programs used in line’s design, mainly the to the zero sequence parameters, very

dependent on the soil’s characteristics. In addition, it allows updating the database of

power utilities for lines that are already in service.

PALAVRAS CHAVES: Estimating Line Parameters; Balance Transmission Lines;

Unbalance Transmission Lines Systems; Ground-faults; Newton-Raphson Method; Evolutive

Algorithm; Modal Decomposition; Clarke decomposition.

ix

Sumário

1 Introdução ............................................................................................... 1

1.1 Relevância e Motivação .......................................................................... 1

1.2 Objetivos ................................................................................................. 3

1.3 Metodologia ............................................................................................ 4

1.4 Organização do texto .............................................................................. 5

2 Revisão Bibliográfica ............................................................................. 6

2.1 Considerações Iniciais ............................................................................ 6

2.2 Linhas de Transmissão ............................................................................ 6

2.2.1 Equacionamento de Linhas no Domínio da Frequência .................... 6

2.2.2 Obtenção do Modelo de Quadripolos de Linhas ............................... 8

2.3 Transformações de Similaridade........................................................... 10

2.3.1 Transformação Sequencial ............................................................... 10

2.3.2 Transformação Modal ...................................................................... 12

2.3.3 Transformação de Clarke ................................................................. 14

2.4 Análise de Curtos-Circuitos Monofásicos ............................................ 15

2.5 Definição de Circuito Superposto ou Puro de Falta.............................. 18

2.6 Método de Newton-Raphson Multivariável ......................................... 19

2.7 Algoritmos Evolutivos .......................................................................... 21

2.7.1 Algoritmos Genéticos ...................................................................... 22

2.7.2 Algoritmo de Evolução Diferencial ................................................. 24

3 Cálculo de Parâmetros de Linhas de Transmissão ............................... 26

3.1 Considerações Iniciais .......................................................................... 26

3.2 Formulações em Regime Permanente Senoidal .................................... 26

3.3 Formulações Utilizando o Método Direto para Linhas Equilibradas ... 29

3.4 Cálculo dos Parâmetros Durante Desequilíbrios Envolvendo a Terra.. 31

x

4 Cálculo de Parâmetros Utilizando o Método de Newton-Raphson ...... 35


4.2 Estrutura do Método ............................................................................. 36

4.3 Dados de Entrada .................................................................................. 37

4.4 Determinação da geometria da linha .................................................... 38

4.5 Cálculo de Parâmetros .......................................................................... 39

4.5.1 Cálculo de Parâmetros dos Modos Aéreos ...................................... 39

4.5.2 Corrente de Falta de Modo Terra ..................................................... 40

4.5.3 Cálculo dos parâmetros do Modo Terra .......................................... 41

4.6 Cálculo da Impedância de falta ............................................................. 43

5 Cálculo dos Parâmetros Utilizando Algoritmos Evolutivos ................. 45


5.2 Lógica de Funcionamento ..................................................................... 46

5.3 Estrutura do Indivíduo .......................................................................... 48

5.4 Geração da População Inicial................................................................ 49

5.5 Operador de Seleção Inicial .................................................................. 49

5.6 Função Objetivo .................................................................................... 50

5.6.1 Funções Disponíveis ........................................................................ 51

5.6.2 Relações Complementares ............................................................... 52

5.6.3 Composição da Função Objetivo ..................................................... 54

5.6.4 Critérios de Penalidade .................................................................... 56

5.6.5 Rotina de Cálculo da Função Objetivo ............................................ 56

5.6.6 Verificação da Posição do Modo de Terra nas matrizes de

transformação ................................................................................... 57

5.7 Operadores Evolutivos .......................................................................... 58

5.7.1 Operador de Cruzamento Simples ................................................... 59

xi

5.7.2 Operador de Mutação do Differencial Evolution ............................ 60

5.7.3 Operador de Mutação Polinomial .................................................... 61

5.8 Indivíduos inseridos na população ........................................................ 62

5.9 Critérios de Parada ................................................................................ 63

5.10 Apresentação dos Resultados do Algoritmo ......................................... 64

6 Estudos de Caso e Resultados .............................................................. 66


6.2 Estudos de casos desenvolvidos ........................................................... 67

6.3 Resultados do método de Newton-Raphson ......................................... 70

6.3.1 Cálculo de Parâmetros com Matrizes Exatas ................................... 70

6.3.2 Cálculo de Parâmetros com Matrizes Não Exatas ........................... 74

6.4 Resultados Obtidos Utilizando Algoritmo Evolutivo ........................... 78

6.4.1 Análise dos Erros nos Parâmetros Obtidos ...................................... 79

6.4.2 Análise do Comportamento do Método para Situações de

Convergência Bem-Sucedidas ......................................................... 84

6.4.3 Análise do Comportamento do Método para Situações de Não-

Convergência ................................................................................... 95

6.5 Análise da influência da variação do local de falta para os métodos.. 101

7 Conclusões e Propostas de Continuidade ........................................... 107

7.1 Conclusões .......................................................................................... 107

7.2 Propostas de Continuidade .................................................................. 109

Referências Bibliográficas ................................................................................ 110

Anexos .............................................................................................................. 113

Anexo A: Dados das Linhas Implementadas ................................................ 113

1 Introdução

1.1 Relevância e Motivação

Os parâmetros das Linhas de transmissão (LT) são fundamentais para a realização

de diversos estudos no sistema elétrico de potência (SEP). Nas atividades de

planejamento elétrico do SEP, dentre diversas aplicações, a precisão destes parâmetros

impacta duas ferramentas básicas de análise: cálculo de fluxo de potência e de

curtos-circuitos na rede elétrica. Já nas atividades de operação, podem ser citadas, a título

de exemplo, influência dos parâmetros de LTs no nível de carregamento e na análise de

contingências. Além disso, destaca-se que a precisão de tais parâmetros aumenta a

exatidão da localização de faltas, permitindo o restabelecimento mais rápido do sistema.

Com foco nos estudos de proteção de SEP, os parâmetros das LTs também são

importantes na escolha e no ajuste corretos de relés, disjuntores, chaves seccionadoras,

elos fusíveis etc. A atuação indevida de elementos do sistema de proteção pode ocasionar

o desligamento incorreto de linhas, danos à equipamentos e instabilidade no sistema.

Assim, o conhecimento dos parâmetros é fundamental para a operação, supervisão e

controle do SEP durante o funcionamento normal e para determinar o comportamento

durante distúrbios, possibilitando o ajuste da proteção e a localização de faltas.

Os métodos de cálculo de parâmetros de linhas de transmissão geralmente

apresentam aproximações simplificadoras que podem afetar de maneira significativa o

resultado. Quanto à geometria, geralmente, considera-se solo plano, condutores paralelos

e que todas as torres são idênticas. Considera-se ainda que a resistividade do solo não

varia ao longo do comprimento da linha, com as estações do ano e com os regimes de

chuvas. Essas simplificações inserem um grau de incerteza no valor final dos parâmetros

que, segundo (Melo, 2008), pode variar entre 10% e 30%.

A determinação dos parâmetros também pode ser feita através da execução de

ensaios a vazio e de curto-circuito em campo que, apesar de mais precisos do que o

método anterior, demandam deslocamento de equipe especializada, equipamentos de

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

2

testes caros e o desligamento da linha. Dessa forma, a realização de ensaios elétricos é

normalmente preterida em relação aos de cálculos computacionais.

Neste contexto, este trabalho apresenta duas metodologias para a obtenção dos

parâmetros de linhas de transmissão equilibradas e desequilibradas de 345 kV e 500 kV,

a partir dos valores medidos nos terminais durante eventos monofásicos desequilibrados

e com a presença de terra. Como a medição de distúrbios monofásicos-terra é comumente

realizada pelas concessionárias, tais métodos eliminam a necessidade de desligamento da

linha e podem ser realizados para toda vez que um curto-circuito monofásico for

registrado. Assim sendo, o uso destas metodologias permite verificar e atualizar os

parâmetros das linhas no banco de dados das concessionárias e monitorar as variações

dos parâmetros ao longo do ano devido à períodos secos e chuvosos.

Quanto às suas características, têm-se que a maioria das linhas que compõe o

Sistema Interligado Nacional (SIN) podem ser consideradas equilibradas devido à técnica

de transposição de fases. No entanto, linhas com menos de 90 km geralmente não

possuem transposição e apresentam fortes desequilíbrios em suas matrizes de parâmetros.

Existem ainda fenômenos que podem causar desequilíbrios nos parâmetros de uma linha

equilibrada, citando-se, como exemplo, a proximidade entre linhas, mesmo em pequenos

trechos ao longo de seu caminho. Portanto, apesar de não serem frequentes no sistema, o

conhecimento dos parâmetros das linhas de transmissão desequilibradas é importante para

a precisão dos estudos realizados neste tipo de linha e na análise de alguns fenômenos.

A primeira metodologia desenvolvida neste trabalho calcula os parâmetros de

linhas de transmissão equilibradas e desequilibradas utilizando o método de Newton-

Raphson aplicado a duas variáveis. Para linhas equilibradas, utiliza-se a transformação de

Clarke e, para as desequilibradas, a transformação modal. Contudo, o uso da

transformação modal requer o conhecimento prévio das matrizes de transformação da

linha e essas são obtidas a partir dos parâmetros da própria linha de transmissão que se

deseja determinar. Assim sendo, considera-se duas hipóteses: a de matrizes previamente

conhecidas e a utilização de matrizes de outras linhas de mesma geometria para o cálculo

dos parâmetros, sendo essas últimas denominadas neste trabalho como matrizes não

exatas. No caso das matrizes de transformação previamente conhecidas, a metodologia é

empregada para a aferição dos parâmetros existentes.


3

O segundo método implementado visa a eliminar a necessidade do conhecimento

prévio das matrizes de transformação modais por meio da utilização de algoritmos de

otimização evolucionários. Esta escolha justifica-se pelo fato de que o cálculo de

parâmetros de linhas de transmissão desequilibradas configurar-se como um problema

multimodal de difícil solução por métodos tradicionais. Assim, a segunda metodologia

deste trabalho consiste em calcular os parâmetros de linhas de transmissão equilibradas e

desequilibradas de quaisquer geometrias por meio de um algoritmo de otimização híbrido,

que faz uso de técnicas de algoritmos genéticos (AG) combinados com operadores do

algoritmo evolutivo Diferencial (DE).

Os AGs e o DE são algoritmos de busca probabilística que fazem parte da família

de Algoritmos Evolucionários. Os operadores destes métodos realizam o refinamento de

uma população criada aleatoriamente ao longo de diversas gerações até que os indivíduos

obtidos estejam bem próximos ao resultado ótimo/esperado. Os Algoritmos evolutivos

permitem maior flexibilidade na modelagem dos problemas e apresentam ferramentas

para solução de diversos problemas acadêmicos e práticos, tais como otimização,

modelos econômicos, simulação de sistemas imunológicos, determinação de topologia

ótima de redes elétricas, entre outros.

As duas metodologias implementadas possuem como dados de entrada as

medições realizadas durante curtos-circuitos monofásico-terra ao longo da extensão da

linha, cuja região é delimitada pelos transformadores de correntes de ambos os terminais.

Este tipo de desequilíbrio representa 80% das perturbações do sistema elétrico,

possibilitando a aplicação imediata e eficaz das metodologias. As metodologias também

recebem informações básicas da linha, tais como comprimento e nível de tensão, e a

localização do ponto de falta. A exatidão do ponto de falta é fundamental para os

algoritmos implementados, desta forma, realizou-se um estudo do comportamento dos

algoritmos para pequenos erros na localização da falta.

1.2 Objetivos

O objetivo desta dissertação consiste em apresentar as metodologias

desenvolvidas para o cálculo dos parâmetros de linhas de transmissão equilibradas e


4

desequilibradas utilizando os métodos de Newton-Raphson e algoritmo evolutivo. Além

disso, almeja-se validar as metodologias propostas comparando-se os resultados obtidos

nas simulações com aqueles gerados pelos softwares de simulação utilizados.

1.3 Metodologia

A primeira etapa constituiu-se de uma revisão bibliográfica sobre sistemas

elétricos de potência, linhas de transmissão, análise de curtos-circuitos e transformações

modal e de Clarke. Posteriormente, aprimorou-se o método de cálculo dos parâmetros

para curtos nos extremos de linhas de transmissão desenvolvido em (Queiroz, 2017).

Analisou-se então os circuitos modais durante curtos monofásico-terra e foram obtidas

equações que descrevem este fenômeno utilizando as transformações modal e de Clarke,

que foram implementadas utilizando o método de Newton-Raphson Multivariável. Ao

longo dessas etapas, as linhas de transmissão foram simuladas utilizando o software

Alternative Transient Program (ATP).

De forma a eliminar a necessidade do conhecimento das matrizes de

transformações modais no cálculo dos parâmetros de linhas desequilibradas, decidiu-se

pela proposição de um algoritmo evolutivo. Assim sendo, realizou-se uma revisão

bibliográfica sobre problemas parecidos, de forma a selecionar algoritmos e operadores

evolutivos adequados. Por fim, optou-se por modelar um problema de minimização com

codificação real, o qual foi tratado por meio de um algoritmo evolutivo em que as

soluções candidatas foram representadas pelos parâmetros R, L e C no domínio das fases.

Em seguida, realizou-se a seleção dos operadores evolutivos, definição da

estrutura da função objetivo e ajustes dos parâmetros do método. Esta etapa demandou

expressiva análise e estudo, visto que as funções de cálculo de parâmetros são

multimodais e apresenta mínimos locais. Após o ajuste do algoritmo utilizando um

conjunto inicial de linhas simuladas, foram geradas novas linhas de transmissão de forma

a validar o ajuste obtido utilizando o programa computacional Cálculo de Curto-Circuito

em Componentes das Fases (CCCF), desenvolvido no protlab/UFMG, e o ATP com os

modelos π e Bergeron.


5

1.4 Organização do texto

Esta dissertação de mestrado está organizada em sete capítulos, sendo que, o

primeiro consiste na introdução ao assunto, objetivos, metodologia e organização do

texto.

No Capítulo 2, é apresentado o embasamento teórico para os desenvolvimentos

apresentados ao longo deste trabalho. Assim sendo, este capítulo contempla conceitos da

teoria de linhas de transmissão, transformações de similaridade, método de Newton-

Raphson e introdução aos algoritmos evolutivos.

No Capítulo 3, é feito o equacionamento dos fenômenos de curto-circuito

monofásico-terra ao longo da linha para um sistema elétrico equivalente composto de

duas fontes e uma linha de transmissão. Estas equações são usadas nos capítulos

posteriores.

O Capítulo 4 apresenta a metodologia de cálculo dos parâmetros utilizando o

método de Newton-Raphson e transformações modal e de Clarke para linhas

desequilibradas e equilibradas, respectivamente.

O Capítulo 5 contempla a metodologia de cálculo de parâmetros através de

Algoritmo Genético e sua lógica de funcionamento. Cada etapa do algoritmo é

apresentada em detalhes de forma a possibilitar o entendimento e futuras reproduções do

método.

No Capítulo 6 são apresentadas as linhas de transmissão simuladas e os resultados

obtidos para a validação dos métodos.

As conclusões e propostas de continuidade são apresentadas no Capítulo 7.

Para finalizar este trabalho, são listadas as referências bibliográficas citadas ao

longo do texto e apresentam-se, em seguida, as informações complementares nos anexos.

2 Revisão Bibliográfica

2.1 Considerações Iniciais

Este capítulo tem como objetivo apresentar a teoria utilizada como base para os

desenvolvimentos apresentados ao longo deste trabalho. Abrange a teoria de linhas de

transmissão, análise de curtos-circuitos monofásicos, definição de circuito puro de falta,

transformações de similaridade, método de Newton-Raphson e uma introdução aos

algoritmos evolutivos.

2.2 Linhas de Transmissão

Uma linha de transmissão pode ser definida como um sistema de condutores por

meio dos quais é transferido um fluxo de potência entre dois terminais. A transmissão

desse fluxo ocorre devido a fenômenos eletromagnéticos complexos que são

influenciados por diversas grandezas e podem ser modelados de diferentes formas. A

escolha do modelo para representar os elementos do sistema depende da natureza do

estudo e cada modelo apresenta hipóteses simplificadoras diferentes, apresentando assim,

diferentes graus de exatidão.

2.2.1 Equacionamento de Linhas no Domínio da Frequência

Segundo (PEREIRA, 2015), no domínio da frequência, as linhas de transmissão

trifásicas são caracterizadas por suas matrizes de parâmetros unitários: impedância

longitudinal e admitância transversal. Na frequência industrial, estas matrizes dependem

basicamente da geometria da linha, dos tipos de condutores de fase e para-raios e das

constantes eletromagnéticas do meio. A relação entre essas grandezas é mostrada na

equação (2.1).

Z = R + jωL = R + jX [ Ω/km]

Y = G + jωC = G + jB [ S/km] (2.1)

em que Z, R , L e X são, respectivamente, as matrizes das impedâncias, resistências,

indutâncias e reatâncias longitudinais unitárias por fase. Ao passo que Y, C, G e B são,

CAPÍTULO 3 – CÁLCULO DE PARÂMETROS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO

7

respectivamente, as matrizes das admitâncias, capacitâncias, condutâncias e

susceptâncias transversais unitárias em componentes de fase. Para os estudos realizados

neste trabalho, despreza-se o parâmetro condutância.

A Figura 2.1 apresenta os circuitos equivalentes incrementais (comprimento Δx)

para uma linha de transmissão em componentes de fase, representada por parâmetros

distribuídos. A partir desses modelos é possível verificar que os parâmetros longitudinais

descrevem a variação da tensão ao longo da linha devido à existência de uma corrente

que a percorre. Já as matrizes transversais descrevem a variação da corrente devido à

existência de diferença de potencial entre suas fases e entre suas fases e a terra.

Figura 2.1 - Circuitos equivalentes incrementais de uma LT. Fonte: (PEREIRA, 2015)

A partir da Figura 2.1, é possível obter as equações que relacionam a tensão, a

corrente, a impedância e a admitância. Considerando o limite de ∆x tendendo a zero, essas

equações formam um sistema de equações diferenciais parciais, dado por:

∂V(x, ω)

∂x= −Z(ω)I(x,ω)

∂I(x, ω)

∂x= −Y(ω)V(x, ω)

(2.2)

Verifica-se que as grandezas da equação (2.2) dependem da distância e da

frequência, porém, neste trabalho desconsidera-se as variações ocasionadas pela

dependência com a frequência.

As matrizes de parâmetros Z e Y, apresentados em (2.2), possuem a forma:


8

X = [Xaa Xab XacXba Xbb XbcXca Xcb Xcc

]

em que X pode ser substituído por Z ou Y. Dessa forma, Zii e Yii são as impedâncias e a

admitâncias próprias da linha e Zij e Yij são as impedâncias e admitâncias mútuas.

2.2.2 Obtenção do Modelo de Quadripolos de Linhas

Segundo (De Conti, 2017), para resolver as equações (2.2) é necessário escrevê-

las somente em função da tensão ou corrente, para tal, deve-se derivá-las em relação a x:

∂2V(x)

∂x2= −Z

∂I(x)

∂x

∂2I(x)

∂x2= −Y

∂V(x)

∂x

(2.3)

Substituindo as equações (2.3) em (2.2), obtém-se:

∂2V(x)

∂x2= ZYV(x)

∂2I(x)

∂x2= YZI(x)

(2.4)

As soluções das equações (2.4) são comumente conhecidas e possuem a forma:

V(x) = e−√ZYxVF + e

√ZYxVB

I(x) = e−√YZxIF + e√YZxIB

(2.5)

em que VF, VB, IF e IB são constantes que dependem das condições terminais da linha.

Apesar de corretas, as equações (2.5) não são adequadas para o uso em aplicações

de engenharia pois as constantes VF , VB , IF e IB normalmente são desconhecidas.

Portanto, aplicam-se os passos mostrados a seguir para a obtenção de equações mais

práticas.

Inicialmente, a equação (2.5) é escrita apenas em função de VF e VB. Para tal,

substitui-se a equação (2.5) em (2.2) e obtêm-se:


9

Z−1√ZYe√ZYxVF = e√YZxIF

−Z−1√ZYe−√ZYxVB = e−√YZxIB

(2.6)

Definindo Yc = Z−1√ZY , Γv = √ZY e Γi = √YZ , em que Yc é a matriz de

admitâncias características da linha, Γv é a matriz de constantes de propagação de tensões

e ΓI é a matriz de constantes de propagação de correntes, têm-se:

Yce

ΓvxVF = eΓIxIF

−Yce−ΓvxVB = e−ΓIxIB

(2.7)

Normalmente Γv ≠ ΓI, porém no caso específico em que a linha é equilibrada ou

nas situações em que foi aplicada uma transformação de similaridade que separe os modos

da linha, tem-se Γv = ΓI.

Substituindo a equação (2.7) na segunda equação de (2.6), têm-se que:

V(x) = e−ΓvxVF + e

ΓvxVB

I(x) = Yc(e−ΓvxVF + e

ΓvxVB) (2.8)

A partir da representação da linha de transmissão como um quadripolo, as

grandezas terminais podem ser calculadas em x = 0 por:

[ V(0)

I(0)] = [

1 1Yc −Yc

] [ VF

VB] (2.9)

E em x = ℓ por:

[ V(ℓ)

I(ℓ) ] = [

e−Γvx eΓvx

Yce−Γvx −Yce

Γvx ] [ VF

VB] (2.10)

Tomando-se a inversa na equação (2.9), substituindo-a em (2.10) e realizando o

produto matricial, obtém-se:

[ V(ℓ)

I(ℓ) ] =

1

2[

e−Γvx + eΓvx −(e−Γvx + eΓvx)Yc−1

−Yc(e−Γvx + eΓvx) Yc(e

−Γvx + eΓvx)Yc−1] [

V(0)

I(0) ] (2.11)

Representando estes termos por função de funções hiperbólicas e considerando-

se que Zc = Yc−1

, obtém-se:


10

[ V(ℓ)

I(ℓ) ] = [

cosh (Γvx) −senh (Γvx)Zc−Ycsenh (Γvx) Yccosh (Γvx)Zc

] [ V(0)

I(0) ] (2.12)

A partir da equação (2.12), verifica-se que é possível obter a tensão e a corrente

em um terminal da linha conhecendo-se as grandezas elétricas no outro terminal e as

matrizes de parâmetros unitários da linha (Z e Y).

Também é possível obter a relação entre os dois terminais da linha utilizando IF e

IB ao invés de VF e VB . Para tal, utiliza-se a matriz de constantes de propagação de

corrente (ΓI) e aplica-se procedimento semelhante ao realizado nas equações (2.7) até

(2.12).

As matrizes Z e Y possuem todos os elementos não nulos, portanto, Zc, Yc, ΓI e Γv

também são matrizes cheias, o que evidencia a existência de acoplamento entre as fases.

Dessa forma, variações das tensões e das correntes de fase ao longo da linha dependem

das tensões e correntes da própria fase e das demais. Tal acoplamento faz com que o

sistema matemático obtido possua solução complexa e sua solução demanda artifícios

algébricos avançados. Assim, geralmente utilizam-se transformações de similaridade para

realizar o desacoplamento das grandezas do sistema. As transformações utilizadas neste

trabalho são apresentadas no item 2.3.

2.3 Transformações de Similaridade

Uma transformação de similaridade é um artifício matemático que transforma

uma matriz em outra matematicamente equivalente. Esta ferramenta é comumente

utilizada em diversas áreas para a obtenção de matrizes diagonais equivalentes às do

sistema original o que, por sua vez, simplifica consideravelmente a sua resolução.

Existem diversos tipos de transformações de similaridade e a sua utilização depende das

características das matrizes a serem transformadas.

2.3.1 Transformação Sequencial

A transformação sequencial, também chamada de método das componentes

simétricas, é a transformação de similaridade mais utilizada para a análise de sistemas

elétricos de potência, pois permite a simplificação de grandes sistemas e possibilita tratar

assimetrias em pontos específicos.


11

Segundo (PEREIRA, 2015), este método permite a conversão de um circuito

n-fásico assimétrico e acoplado em n circuitos equivalentes equilibrados e desacoplados.

Para sistemas trifásicos, os circuitos obtidos são denominados como sequência positiva,

negativa e zero. Por serem independentes, a resolução do sistema, antes complexa e

trabalhosa, pode ser feita utilizando técnicas de circuitos monofásicos.

Para sistemas trifásicos, a matriz de transformação do método é chamada de

Matriz de Fourtescue e é dada por:

Q = [1 1 11 a2 a1 a a2

]

em que a é um operador dado por a = ejθc, θc é o ângulo característico do sistema e é

igual a 120º para sistemas trifásicos.

A transformação das grandezas elétricas para sequenciais pode ser realizada

utilizando as relações:

VS = Q−1VF

IS = Q−1IF

ZS = Q−1ZFQ

(2.13)

Além das vantagens citadas anteriormente, as grandezas sequenciais também

podem ser relacionadas aos fenômenos físicos do SEP, facilitando a sua análise. A

sequência positiva está atrelada ao funcionamento normal e equilibrado do sistema e aos

curtos-circuitos trifásicos. As grandezas de sequência negativa estão relacionadas à

desequilíbrios no sistema e podem ser utilizadas para detectar condições anômalas de

funcionamento, erros de conexão de circuitos elétricos e outros fenômenos

desequilibrados. A sequência zero, ou modo homopolar, está relacionada à fenômenos

que envolvem a terra e pode ser usada para detectar diversos fenômenos como, por

exemplo, curtos-circuitos e falhas de isolamento em equipamentos.


12

2.3.2 Transformação Modal

Ao contrário da transformação sequencial, a transformação modal permite o

desacoplamento de quaisquer sistemas n-fásicos, desequilibrados ou equilibrados,

utilizando conceitos e formulações analíticas relativas a autovalores e autovetores.

Define-se como autovetores de uma matriz A , o conjunto de vetores

C = q1, q2, … , qn que, multiplicados por A, resultam em um vetor com a mesma direção

e sentindo de qi, diferindo apenas pelo módulo (Boldrini, Costa, Figueiredo, & Wetzler,

1980). Representando este fato matematicamente, tem-se (De Conti, 2017):

y = A qi = λiqi (2.14)

em que qi é o i-ésimo autovetor e λi é uma constante escalar denominada como autovalor

da matriz A associada ao autovetor qi.

Segundo (De Conti, 2017), este conceito pode ser estendido ao caso matricial,

assim sendo, o produto de uma matriz A por uma matriz cujas colunas são formadas pelos

seus autovetores, resulta em:

AQ = A[q1 q2… qn] = Qλ (2.15)

em que λ é uma matriz diagonal cuja diagonal principal é formada pelos n autovalores

associados aos autovetores em Q.

Rearranjando os termos da equação (2.15), tem-se:

(A − λ)Q = 0 (2.16)

A equação (2.16) é um sistema homogêneo que admite outras soluções além da

trivial sendo, portanto, possível e indeterminado (SPI). Consequentemente, este sistema

apresenta infinitas soluções e o seu determinante deve ser nulo. Dessa forma, é possível

calcular o valor do autovetor qi através da equação:

det(A − λ) = 0 (2.17)


13

Uma vez obtidos os autovalores de , é possível realizar a sua diagonalização

através de:

Q−1AQ = λ (2.18)

Aplicando esses conceitos a sistemas elétricos, têm-se que é possível diagonalizar

as matrizes de parâmetros unitários de qualquer linha através da definição de duas

matrizes, Tv e Ti, que são formadas pelos autovetores associados aos autovalores de,

respectivamente, ZY e YZ . A escolha desses produtos matriciais deve-se ao seu

aparecimento ao longo da dedução das equações das linhas apresentadas no item 2.2.2.

Os autovalores obtidos por ambas as matrizes são os mesmos, dessa forma:

λ = Tv−1ZY Tv = Ti

−1YZ Ti (2.19)

A partir da relação (2.19), é possível mostrar que:

Tv−1= Ti′ (2.20)

E, para o caso de linhas equilibradas, a relação (2.19) torna-se:

Tv = Ti (2.21)

Dessa forma, apesar de serem duas matrizes de transformação, é possível calcular

uma a partir da outra utilizando-se (2.20) ou (2.21).

As grandezas modais de tensão, corrente, impedância e admitância são obtidas

aplicando-se:

Vm = Tv−1VF

Im = Ti−1IF

Zm = Tv−1ZFTi

Ym = Ti−1ZFTv

(2.22)

em que o subscrito m indica as grandezas modais.

Além das relações mostradas, existem outras extraídas de (De Conti, 2017) que

são derivadas destas e são úteis ao longo deste trabalho:


14

Γm = √λ = √ZmYm = √YmZm

αm = ReΓm

βm = ImΓm

vm = ω[ImΓm]−1

Zcm = Ym−1Γm = Ym

−0.5Zm

0.5

Ycm = Zm−1Γm = Zm

−0.5Ym

0.5

(2.23)

em que 𝑚 é a constante de propagação modal, 𝑚 e 𝛽𝑚 são, respectivamente, as

constantes de atenuação e de fase modal, 𝑚 é a velocidade de fase modal e 𝑐𝑚 e 𝑐𝑚

são a impedância e a admitância características modais respectivamente.

Para um sistema trifásico, a aplicação da transformação modal utilizando as

matrizes de transformação obtidas a partir de 𝑍 e gera três modos desacoplados e,

portanto, independentes. Assim como nas componentes simétricas, os modos aqui obtidos

também possuem significado físico. O modo 0 carrega as informações relativas aos

fenômenos que envolvem a terra e os outros dois são denominados modos aéreos (1 e 2)

e carregam as informações dos fenômenos de transferência de energia na linha em RPS e

durante desequilíbrios.

2.3.3 Transformação de Clarke

A transformação de Clarke, proposta por Edith Clarke em 1943, é um caso

especial de uma transformação modal em que se usa uma matriz de transformação real e

constante. Atualmente, é muito utilizada no estudo de motores e geradores, pois permite

transformar um sistema trifásico em três modos, a citar α, β e zero, que possuem

significados físicos no estudo dos fenômenos destes equipamentos.

Na análise de sistemas elétricos tem-se que, caso o sistema seja equilibrado, os

três modos obtidos pela transformação são desacoplados e independentes entre si. Caso a

linha não seja simétrica, a aplicação desta transformação não desacopla os modos e não

se pode desprezar os elementos fora da diagonal principal.

A transformação das grandezas do domínio das fases para o domínio de Clarke é

similar à aplicação da transformação de Fourtescue, bastando utilizar:


15

Vclk = MVF

Iclk = MIF

Zclk = MZFM−1

(2.24)

em que o subíndice F indica as grandezas de fase, clk representa as grandezas de Clarke

e é a matriz de transformação de Clarke, dada por:

=

[ 2

√60

1

√3

−1

√6

1

√2

1

√3

−1

√6−1

√2

1

√3]

Neste trabalho, optou-se por utilizar a transformação de Clarke somente em

matrizes de sistemas equilibrados de forma a obter os três modos desacoplados, sendo

que os dois modos aéreos (α e β) carregam informações suficientes para a utilização da

metodologia proposta mesmo em regime permanente senoidal.

2.4 Análise de Curtos-Circuitos Monofásicos

Um curto-circuito consiste na conexão entre dois ou mais pontos de um sistema

elétrico que se encontram em diferentes potenciais, gerando uma corrente elétrica cujo

valor depende das características do sistema, da diferença de potencial e do valor da

impedância que conecta os pontos de falta, denominada impedância de falta (ZF).

Os curtos-circuitos podem ser classificados de acordo com o número de fases

envolvidas, se existe conexão com a terra, quanto ao fato de serem equilibrados ou

desequilibrados e de acordo com o valor da impedância de falta: alta, baixa ou zero. Caso

a impedância de falta seja nula, o curto é chamado de sólido ou franco.

As metodologias implementadas neste trabalho abordam somente curtos-circuitos

monofásicos sólidos e francos, pois estes representam mais de 80% dos casos totais de

curtos-circuitos. A Figura 2.2 representa esquematicamente um curto-circuito fase A-

Terra em que a conexão entre esta fase e a terra é representada através da resistência de

falta RF que, por sua vez, pode modelar a impedância dos diversos fenômenos causadores


16

de curtos-circuitos, tais como: descargas atmosféricas, ionização do ar por chuvas e

queimadas, ruptura em isoladores, galhos de árvores, etc.

Figura 2.2 - Representação esquemática de um curto-circuito fase A – Terra. Fonte: autora

Na figura, 𝑉𝐹𝐴, 𝑉𝐹𝐵 e 𝑉𝐹𝐶 são as tensões no ponto de falta e 𝐼𝐹𝐴, 𝐼𝐹𝐵 e 𝐼𝐹𝐶 são as

correntes de falta, sendo que 𝐼𝐹𝐵 = 𝐼𝐹𝐶 = 0. Faltas monofásicas são desequilibradas, pois

os módulos das tensões e correntes nas três fases durante a falta são diferentes. Além

disso, existe uma conexão com a terra, consequentemente, estes eventos apresentam

componentes nas três sequências ou modos.

Segundo (PEREIRA, 2015), as condições de contorno para este defeito no

domínio das fases são:

IFB = IFC = 0

VFA = RF ∙ IFA (2.25)

Aplicando a transformação das componentes simétrica, apresentada no item 2.3.1,

na primeira condição de contorno, obtém-se:

IF0 = IF1 = IF2 =IFA3

(2.26)

Onde 𝐼𝐹0, 𝐼𝐹1 𝑒 𝐼𝐹2 são as componentes de sequência zero, positiva e negativa.

Substituindo o resultado anterior na segunda das equações (2.25), tem-se que:

VFA = Va0 + Va1 + Va2 = RF ∙ 3IF0 (2.27)


17

A partir das equações (2.26) e (2.27), conclui-se que os circuitos de sequência

devem ser ligados em série, como mostra a Figura 2.3.

Figura 2.3 - Interligação dos circuitos sequenciais para um curto-circuito fase A – Terra. Fonte: (Pereira C. , 2016)

Na figura, 𝐸𝑎0 , 𝐸𝑎1 e 𝐸𝑎2 são as fontes do equivalente de Thévenin do

sistema, 𝑍0, 𝑍1 e 𝑍2 são as impedâncias equivalentes de Thévenin do sistema, 𝑉𝑎0, 𝑉𝑎1 e

𝑉𝑎2 são as tensões sequenciais no ponto de falta e 𝐼𝑎0 , 𝐼𝑎1 e 𝐼𝑎2 são as correntes de

sequência zero, positiva e negativa, respectivamente.

Considerando-se que na condição pré-falta o sistema possua tensões simétricas,

as fontes equivalentes 𝐸𝑎0 e 𝐸𝑎2 serão nulas e a corrente de falta IF pode ser determinada

a partir das grandezas sequenciais utilizando a equação:

IF = 3Ia0 =Ea1

Z0 + Z1 + Z2 + 3RF (2.28)

Os conceitos e formulações sequenciais descritas neste item, embora não

aplicados diretamente no cálculo de parâmetros neste trabalho, são fundamentais para a

compreensão da análise de faltas assimétricas no domínio modal.


18

2.5 Definição de Circuito Superposto ou Puro de Falta

Segundo (PEREIRA, 2015), considera-se que o sistema durante uma assimetria

que envolve a terra pode ser obtido através da superposição de dois sistemas no domínio

das fases: o circuito pré-falta e o circuito puro de falta. A Figura 2.4 apresenta este

conceito para um sistema representado por dois equivalentes de Thevénin e separados por

uma linha de transmissão.

Figura 2.4 - Aplicação do teorema da superposição ao circuito pós-falta. Fonte: (Pereira C. , 2016)

No circuito da Figura 2.4, EA, EB, ZSA e ZSB são as tensões e impedâncias

equivalentes de Thevénin do sistema, ZLA e ZLB representam os parâmetros da linha que

foi dividida em dois segmentos pela assimetria, VFF, VF0 e VFP são, respectivamente, as

tensões no ponto de falta do sistema original, do circuito pré-falta e do circuito puro de

falta e IFF, IF0 e IFP são as correntes de falta do sistema original, do circuito pré-falta e do

circuito puro de falta, respectivamente.

O circuito pré-falta consiste na condição inicial do problema, ou seja, do circuito

em regime permanente senoidal. A assimetria neste circuito pode ser modelada por uma

fonte de tensão e a resistência RF. O valor da fonte de tensão (VF0) deve ser igual à tensão

no ponto de falta na condição normal de funcionamento, o que faz com que a corrente IF0

seja nula. Dessa forma, apesar da existência do ramo de falta, ela não interfere no

funcionamento do circuito pré-falta.


19

Já o circuito puro de falta, também conhecido na literatura como superposto,

contém a parcela das grandezas elétricas que aparecem devido à presença da assimetria.

Dessa forma, é composto de uma fonte de tensão de mesmo valor e polaridade oposta ao

circuito pré-falta e RF. A corrente que circula no ramo de falta deste circuito é igual à

corrente de falta do circuito original. Ao realizar a superposição dos circuitos, as fontes

de tensão VF0 se cancelam e o circuito obtido é o sistema original durante a falta.

As grandezas do circuito puro de falta foram utilizadas nas metodologias

implementadas, descritas nos capítulos 4 e 5 deste trabalho, porque possibilitam isolar as

grandezas de falta das demais e, com isso, permitem cálculos computacionais mais

precisos.

2.6 Método de Newton-Raphson Multivariável

Segundo (Steven & Canale, 2011), o método de Newton-Raphson para uma

variável, cuja lógica é apresentada na Figura 2.5, é um método iterativo que permite

encontrar a raiz de uma equação a partir de uma estimativa inicial (𝑥𝑖). Para tal, traça-se

uma reta tangente a partir do ponto [𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖)] e usa-se o ponto onde essa tangente cruza

o eixo x, como uma estimativa melhorada da raiz [𝑥𝑖+1, 𝑓(𝑥𝑖+1)]. Este processo é então

repetido até que o critério de parada seja atingido.

Figura 2.5 - Funcionamento do método de Newton-Raphson. Fonte: autora

Em sua versão para duas variáveis, o método de Newton-Raphson é obtido

utilizando a série de Taylor de primeira ordem para duas variáveis que pode ser escrita

como (Steven & Canale, 2011):


20

ui+1 = ui + (xi+1 − xi)∂ui∂x

+ (yi+1 − yi)∂ui∂y

= 0

vi+1 = vi + (xi+1 − xi)∂vi∂x

+ (yi+1 − yi)∂vi∂y

= 0

(2.29)

em que 𝑥𝑖 é a aproximação da raiz obtida na iteração i e 𝑥𝑖+1 é o ponto no qual a tangente

intercepta o eixo das abcissas. O sistema de equações (2.29) pode ser reorganizado como:

∆x∂ui∂x

+ ∆y∂ui∂y

= −ui

∆x∂vi∂x

+ ∆y∂vi∂y

= −vi

(2.30)

Representando o sistema matricialmente, obtém-se:

[ ∂ui∂x

∂ui∂y

∂vi∂x

∂vi∂y ]

[∆xi∆yi

] = [−ui(x, y)

−vi(x, y)] (2.31)

Este sistema é da forma [𝐽][𝑌] = [𝐵] e pode ser resolvido a cada iteração através

de:

[Y] = [∆xi∆yi

] = [J]−1[B] (2.32)

em que J é a matriz Jacobiana do sistema, B é o vetor das funções e Y é o vetor dos erros

das variáveis.

Dessa forma, a cada iteração, as matrizes J e B são calculadas com os valores

iniciais obtidos na iteração anterior utilizando as equações:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ∆𝑥𝑖𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ∆𝑦𝑖

(2.33)

Geralmente, utiliza-se como critério de parada que a diferença entre duas iterações

sucessivas, ∆𝑥𝑖 e ∆𝑦𝑖, seja menor do que as tolerância estabelecidas para cada variável

(휀𝑥 e 휀𝑦), como apresentado na equação (2.34). Além disso, estipula-se um número


21

máximo de iterações para o caso de o algoritmo não convergir ou ficar oscilando em torno

de algum valor.

∆xi ≤ εx∆yi ≤ εy

(2.34)

O método de Newton-Raphson não possui um critério de convergência geral. A

convergência depende da natureza da função e da aproximação inicial. Dessa forma, esta

técnica pode apresentar resultados insatisfatórios para tentativas iniciais distantes dos

valores corretos e para funções malcomportadas como, por exemplo:

• Funções com inflexões próximas à raiz;

• Funções com múltiplas raízes (das quais somente uma se encontra dentro

da área de interesse) e

• Funções com mínimos e derivadas nulas.

2.7 Algoritmos Evolutivos

Nesta seção são apresentados os conceitos básicos de algoritmos evolutivos

necessários ao entendimento do algoritmo proposto neste trabalho.

Algoritmos Evolutivos (AEs) são técnicas de otimização estocástica comumente

utilizadas para resolução de problemas de otimização difíceis de serem resolvidos por

métodos determinísticos. Dentre as diversas técnicas de algoritmos evolutivos, neste

trabalho utilizou-se os Algoritmos Genéticos (AGs) e diferencial Evolution (DE).

A lógica de funcionamento de um algoritmo evolutivo consiste, geralmente, em

gerar um conjunto aleatório de soluções de um problema e aplicar operadores que

realizam o refinamento destas soluções ao longo de diversos loops (gerações) até que os

indivíduos obtidos estejam bem próximos ao resultado ótimo/esperado. Os próximos itens

explicam com detalhes como isso é feito para algoritmos os AGs e o DE.


22

2.7.1 Algoritmos Genéticos

Os Algoritmos Genéticos (AGs) são métodos de busca e otimização que, em sua

origem, foram baseados nos fundamentos da genética. A versão comumente

implementada de um algoritmo genético é a Simple Genetic Algorithm, na qual a

população de indivíduos possui tamanho fixo e os indivíduos são codificados em uma

cadeia (string) binária (Pereira M. d., 2012). A Figura 2.6 apresenta um fluxograma que

sintetiza o funcionamento de um SGA típico.

Figura 2.6 - Fluxograma de funcionamento de um algoritmo genético típico. Fonte: autora

Inicialmente é criada uma população inicial que pode ser aleatória ou gerada a

partir de critérios específicos para o problema. Cada indivíduo é formado por variáveis

que compõe uma possível solução do problema e estas podem possuir codificação binária

ou real dependendo das características do problema. O espaço de busca é definido como

o domínio de cada uma das variáveis que compõe a solução (Lopes & Takahashi,

Computação Evolucionária em Problemas de Engenharia, 2011).

Cada indivíduo da população é avaliado segundo uma função de adequabilidade

denominada de função objetivo. Esta função atribui uma nota que determina a aptidão de

uma solução em relação às outras da população e permite a classificação dos indivíduos.

INÍCIO Geração da População inicial

Avalia e seleciona

População

Aplica Operadores

Genéticos

Filhos

gerados

Avalia Nova População

Elitismo

Seleciona População

final

GERAÇÃO

Não

Sim

Toda População foi

Processada?

FIM

Não

Sim Critérios de

convergência

atingidos?


23

Se a função Fitness for utilizada como função objetivo, o objetivo do algoritmo passa a

ser maximizar/minimizar a função de adequabilidade do indivíduo. Em seguida, aplica-

se um operador de seleção probabilístico que privilegia as melhores soluções em

detrimento das piores.

Inicia-se então o processo de refinamento das características dos indivíduos ao

longo das gerações. Os indivíduos selecionados na etapa anterior são submetidos a

modificações probabilísticas através de operadores genéticos, geralmente cruzamento e

mutação.

O cruzamento, como esquematizado na Figura 2.7, consiste na combinação do

código genético (variáveis) de dois indivíduos selecionados aleatoriamente para formar

um ou mais descendentes. A mutação, por sua vez, atua em um número reduzido de

indivíduos aleatórios, mudando uma ou mais variáveis em seu código genético de maneira

aleatória ou probabilística.

Figura 2.7 – Operadores de cruzamento e de mutação. Fonte: autora

O cruzamento atua principalmente como uma busca local: os filhos exploram o

espaço ao redor dos pais em busca de melhores resultados. Já a principal função da

mutação é implementar um processo de busca global, isto é, permite que novas áreas do

com espaço de busca sejam exploradas, aumentando com isso, a diversidade de soluções.

Após a aplicação dos operadores genéticos, obtém-se uma nova população que substitui

os indivíduos da população pai de acordo com uma determinada estratégia (Lopes,

Algoritmos genéticos em projetos de engenharia: aplicações e perspectivas futuras, 1999).


24

Aplica-se então uma estratégia para manter os melhores indivíduos na população

para a próxima geração, esta operação é denominada elitismo. A cada geração, repetem-

se os processos de aplicação dos operadores genéticos e, ao longo destas, a qualidade

média dos indivíduos aumenta. Verificam-se então os critérios de parada e, caso estes

tenham sido atingidos, o melhor indivíduo é selecionado e o algoritmo encerra a sua

execução. Caso isso não ocorra, executa-se uma nova geração do algoritmo.

Após um determinado número de gerações, existe uma probabilidade considerável

que soluções muito boas sejam geradas e, uma vez que os critérios de parada sejam

atingidos, a melhor solução é escolhida como a solução do problema. Apesar de existirem

critérios diferentes, geralmente, a melhor solução é definida como o indivíduo que possui

o melhor valor da função objetivo.

2.7.2 Algoritmo de Evolução Diferencial

O Differential Evolution (DE) ou Evolução diferencial pertence à família dos

Algoritmos Evolucionários. Este é um algoritmo simples e robusto que visa solucionar

problemas de otimização contínua. Proposto por Storn e Price em 1995, este método

utiliza operadores de mutação, cruzamento e seleção para realizar o melhoramento da

população (Carvalho, Morais, Coelho, Rocha, & Beline, 2016).

Segundo (Carvalho, Morais, Coelho, Rocha, & Beline, 2016), a lógica do DE

consiste em, inicialmente, criar uma população aleatória que cubra todo espaço de busca

das variáveis. Aplica-se então um operador de mutação; os novos indivíduos gerados,

denominados de vetores doadores, são obtidos pela adição da diferença ponderada entre

dois indivíduos aleatórios a um terceiro indivíduo escolhido aleatoriamente. A Figura 2.8

ilustra graficamente o processo de mutação DE para F = 0,7.


25

Figura 2.8 – Exemplo de Funcionamento da Mutação do Diferencial Evolution para F = 0,7. Fonte: autora

Em seguida, o vetor doador passa pelo operador de recombinação binomial, no

qual suas variáveis são combinadas com as variáveis de um quarto indivíduo aleatório da

população, denominado Target, com uma probabilidade definida pelo usuário. A partir

deste processo, obtêm-se um indivíduo denominado vetor experimental.

Figura 2.9 - Lógica de funcionamento do operador de recombinação binomial DE. Fonte: autora.

Aplica-se então o vetor de seleção em que se compara a nota do vetor

experimental com a do Target. Caso a avaliação do vetor experimental seja melhor do

que a do Target, substitui-se o Target pelo vetor experimental, caso contrário, o Target

permanece na população para a próxima geração.

Indivíduo 1

Indivíduo 2

Indivíduo 3

Vetor Doador

Mutação: 𝑉𝑒𝑡. 𝐷𝑜𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝐼𝑛𝑑3 + 𝐹 ∙ (𝐼𝑛𝑑2 − 𝐼𝑛𝑑1)


26

3 Cálculo de Parâmetros

de Linhas de Transmissão


Este capítulo tem como objetivo analisar os fenômenos e desenvolver as equações

que são utilizadas nos capítulos 4 e 5. Desta forma, este capítulo é dividido em quatro

seções contando com esta. Na segunda, é realizada a análise da linha em condições

normais de operação e estas equações são utilizadas para a obtenção dos modos aéreos da

linha. Na terceira seção, apresenta-se uma metodologia alternativa para a obtenção dos

parâmetros da linha em RPS e que é usada durante a implementação do algoritmo de

otimização. Na última, apresentam-se as formulações para a análise de linhas de

transmissão durante distúrbios monofásicos nos domínios modal e de Clarke.

As linhas foram modeladas neste trabalho através dos parâmetros R, L e C.

Despreza-se as condutâncias devido ao valor ser pequeno e pelo fato de pequenos erros

nos demais parâmetros acarretarem grandes erros no valor da condutância.

Ao longo deste capítulo, as equações das linhas de transmissão são apresentadas

utilizando funções trigonométricas hiperbólicas e equivalentes π, pois o método de

Newton-Raphson, apresentado no capítulo 4, utiliza ambas as formulações.

3.2 Formulações em Regime Permanente Senoidal

Como apresentado no item 2.2, uma linha de transmissão pode ser modelada no

domínio da frequência por um quadripolo descrito pelas matrizes de parâmetros (Pereira

C. S., Redes Elétricas no Domínio da frequência, 2015), como o mostrado na Figura 3.1.


27

Figura 3.1 - Representação da linha por meio de um quadripolo. Fonte: autora

Na Figura 3.1, têm-se que 𝑣 é a matriz de constantes de propagação de tensão, 𝑐

é a impedância característica, 𝑐 é a impedância característica e ℓ é o comprimento total

da linha. Os subscritos r e s significam, respectivamente, as grandezas do terminal

receptor e emissor aqui definidos como o terminal da direita e da esquerda

respectivamente.

O quadripolo obtido é passivo, pois não contém fontes de energia; linear, devido

ao fato de as impedâncias de seus elementos são independentes da corrente que circula

por eles e bilateral, pois os valores das impedâncias independem do sentido da corrente

(Vidigal, 2010).

A relação entre as grandezas de tensão e corrente nos dois terminais utilizando a

matriz de constantes de propagação de tensão é apresentada na equação (2.12) e repetida

aqui por conveniência:

Vr = cosh(Γvℓ) Vs − Zcsenh(Γvℓ)Is

Ir = −Ycsenh(Γvℓ)Vs + cosh(Γvℓ) Is (3.1)

Devido ao fato de o quadripolo ser bilateral, têm-se que as grandezas do terminal

emissor podem ser escritas em função das tensões e correntes do terminal receptor,

através de:

Vs = cosh(Γvℓ) Vr + Zcsenh(Γvℓ)Ir

Is = Ycsenh(Γvℓ)Vr + cosh(Γvℓ) Ir (3.2)

As formulações apresentadas em (3.1) e (3.2) podem ser representadas de maneira

alternativa utilizando o modelo π do quadripolo da linha. Neste modelo, apresentado na

Figura 3.2, admite-se que as variações longitudinais da tensão ocorrem unicamente

devido à presença de uma impedância 𝜋 , assim como as variações transversais da


28

corrente ocorrem unicamente devido à presença dos dois ramos de admitância 𝜋 2⁄

(Queiroz, 2017).

Figura 3.2 - Modelo 𝜋 de uma linha de transmissão. Fonte: autora

As relações entre as variáveis dos terminais emissor e receptor são dadas por (De

Conti, 2017):

Vr = (1 +

ZπYπ2) Vs − ZπIs

Ir = −(Yπ +Yπ2ZπYπ2) Vs + (1 +

ZπYπ2) Is

(3.3)

Vs = (1 +ZπYπ2) Vr + ZπIr

Is = (Yπ +Yπ2ZπYπ2) Vr + (1 +

ZπYπ2) Ir

(3.4)

No domínio das fases, as matrizes de parâmetros são cheias, evidenciando o

acoplamento das fases do sistema. Contudo, a partir da aplicação da transformação de

similaridade adequada, as matrizes , , 𝑣 , 𝐼 , 𝑐 , 𝑐 , 𝜋 e 𝜋, se tornam diagonais e

cada modo ou sequência pode ser resolvido de maneira independente. Para a

representação das grandezas modais neste trabalho, utilizam-se os subscritos 0, 1 e 2 e,

no caso da matriz 𝑣, as grandezas modais são representadas por 𝛾0, 𝛾1 e 𝛾2.

Uma vez conhecidos os valores de 𝑍𝜋 e 𝑌𝜋 para cada modo do sistema, o valor de

Gama (𝛾) e da impedância característica da linha podem ser determinados a partir de:


29

γx =acosh (

ZπxYπx2 + 1)

ℓ (3.5)

Zcx =Zπ

senh(acosh (ZπxYπx2 + 1))

(3.6)

em que o subscrito x indica a sequência ou modo.

Finalmente, os parâmetros unitários Z e Y podem ser obtidos utilizando-se:

Zx = γxZcx (3.7)

Yx =γx2

Zx (3.8)

3.3 Formulações Utilizando o Método Direto para Linhas

Equilibradas

O método direto, proposto por (Pereira C. , 2016), é uma maneira alternativa de

se obter os parâmetros de uma linha equilibrada para uma janela de dados em regime

permanente ou em curtos no início da linha. Esta metodologia utiliza o modelo ABCD da

linha para obter equações algébricas que relacionam diretamente os termos A, B, C e D

com as grandezas terminais da linha. Para tal, inicialmente define-se que:

A = D = cosh(γℓ)

B = senh(γℓ) ∙ Zc

C = Yc ∙ senh(γℓ) (3.9)

Utilizando as definições apresentadas, as equações (3.1) e (3.2) se tornam:

Vrx = AVsx − BIsx Irx = −CVsx + A Isx

(3.10)

Vsx = AVrx + BIrx Isx = CVrx + A Irx

(3.11)

Considerando as primeiras equações de (3.10) e (3.11), têm-se um sistema de duas

equações e duas incógnitas, dado por:


30

Vsx = AVrx + BIrx Vrx = AVsx − BIsx

(3.12)

Cuja solução para A e B é dada por:

A =VsxISx + VRxIRxVsxIRx + VRxISx

= D

(3.13)

B =Vsx

2 − Vrx2

VsxIrx + VrxIsx (3.14)

Como os quadripolos que representam linhas de transmissão são bilaterais, o

determinante da matriz ABCD é unitário e é possível determinar o valor da constante C

apresentada em (3.9). Dessa forma:

∆= |𝐴 𝐵𝐶 𝐷

| = 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = 𝐴2 − 𝐵𝐶 = 1

Consequentemente:

C =A2 − 1

B (3.15)

As constantes 𝛾𝑥 e 𝑍𝑐𝑥 podem ser calculadas utilizando-se equações similares às

(3.5) e (3.6) e reescritas como:

γx =asenh(√BC)

ℓ

(3.16)

Zcx = √B

C

(3.17)

De posse das constantes A, B, C e D é possível determinar os parâmetros

sequenciais ou modais por meio das equações (3.7) e (3.8).


31

3.4 Cálculo dos Parâmetros Durante Desequilíbrios Envolvendo

a Terra

Quando ocorre algum fenômeno que conecta uma ou mais fases de uma linha de

transmissão homogênea com o solo, a linha é dividida em duas partes e cada uma delas

pode ser considerada como uma linha de transmissão independente, como mostrado na

Figura 3.3. Neste trabalho, tais segmentos são nomeados como Linha A (LTA) e linha B

(LTB).

Figura 3.3 - Representação de um curto-circuito monofásico situado dentro de uma linha de transmissão. Fonte:

autora

Na Figura 3.3, define-se Vf1, Vf2, Zs1 e Zs2 como as tensões e impedâncias de

Thevénin do sistema a montante e a jusante da linha estudada. RF representa a impedância

de falta que pode ser considerada como puramente resistiva. Va e Ia são, respectivamente,

a tensão e a corrente no terminal receptor de LTA, assim como, Vb e Ib são a tensão e

corrente para o emissor de LTB, respectivamente.

Verifica-se que, apesar de os parâmetros , , , , 𝜋 e 𝜋 de cada segmento da

linha serem diferentes, os parâmetros 𝑐, 𝑣, 𝐼, e são idênticos, pois não dependem

do comprimento da linha.

No ponto de falta, têm-se que Va é igual à Vb e as correntes nestes terminais são

relacionadas pela soma das correntes no ponto de falta. Utilizando a nomenclatura

apresentada na Figura 3.3, obtêm-se:

VF = Va = Vb

Ia = Ib + IF (3.18)


32

Utilizando-se as equações (3.2) para representar a linha A e as equações (3.1) para

representar a linha B e aplicando-se as relações (3.18), obtêm-se:

VF = cosh(ΓvℓA) Vr + Zcsenh(ΓvℓA)Ir

Ib = Ycsenh(ΓvℓA)Vr + cosh(ΓvℓA) Ir

(3.19)

VF = cosh(ΓvℓB) Vs − Zcsenh(ΓvℓB)Is

Ib = −Ycsenh(ΓvℓB)Vs + cosh(ΓvℓB) Is − IF (3.20)

Logo,

cosh(ΓvℓA) Vr + Zcsenh(ΓvℓA)Ir − cosh(ΓvℓB) Vs + Zcsenh(ΓvℓB)Is = 0

Ycsenh(ΓvℓA)Vr + cosh(ΓvℓA) Ir +Ycsenh(ΓvℓB)Vs − cosh(ΓvℓB) Is + IF = 0

(3.21)

As equações apresentadas podem ser utilizadas tanto no domínio das fases quanto

com o sistema desacoplado. No segundo caso, as matrizes 𝑣, 𝑐 e 𝑐 são matrizes

diagonais e, portanto, as equações podem ser resolvidas para cada modo ou sequência

separadamente e, neste caso, 𝑣 é renomeado como 𝛾𝑥 .

De maneira análoga, para a representação da linha utilizando modelo π, obtêm-se

as equações:

VF = (1 +ZπBYπB2

) Vr + ZπBIr

Ib = (YπB +YπB2ZπB

YπB2) Vr + (1 +

ZπBYπB2

) Ir

(3.22)

VF = (1 +

ZπAYπA2

) Vs − ZπAIs

Ib = −(YπA + ZπAYπA2ZπA

YπA2) Vs + (1 +

ZπAYπA2

) Is − IF

(3.23)

Para resolver as equações (3.20) e (3.23) é necessário conhecer a corrente de falta

(IF). Para tal, deve-se primeiro descobrir como o curto monofásico-terra se comporta

utilizando a transformação de similaridade escolhida.


33

Para determinar o comportamento utilizando a transformação de Clarke, parte-se

das condições de contorno para um curto monofásico apresentadas no item 2.2 e repetidas

aqui por conveniência:

IFB = IFC = 0

Va = RF ∙ Ia (3.24)

Aplicando a transformação de Clarke na primeira equação de (3.24), obtém-se:

[

IF0IFαIFβ

] = √2

3∙

[ 1√2⁄ 1

√2⁄ 1

√2⁄

1 −12⁄

−12⁄

0 √32⁄ −√3

2⁄ ]

[IFa00]

IF0 =IFa

√3 IFα = √

2

3∙ IFa IFβ = 0

(3.25)

Pelas equações (3.25), verifica-se que a corrente de curto de modo β é zero,

portanto, em uma falta monofásica no domínio de Clarke, este modo está isolado do curto.

Além disso, a partir das equações percebe-se que não é possível conectar os circuitos

modais de maneira simplificada para representar o comportamento das grandezas no

domínio de Clarke, como feito anteriormente para a transformação sequencial.

No domínio modal, o comportamento das grandezas durante um curto

monofásico-terra pode ser determinado de maneira análoga ao feito para o método de

Clarke. Para tal, inicialmente define-se a matriz H:

H = ([Ti11 Ti12 Ti13Ti21 Ti22 Ti23Ti31 Ti32 Ti33

])

−1

Partindo das condições de contorno da equação (3.25), as correntes de curto para

uma falta monofásica no domínio modal serão dadas por:

[IFm0IFm1IFm2

] = [H11 H12 H13H21 H22 H23H31 H32 H33

] [IFa00]

Dessa forma, tem-se que:


34

IFm0 = H11IFa IFm1 = H21IFa IFm2 = H31IFa (3.26)

Pelas equações (3.26), verifica-se que a determinação da corrente de curto é

fortemente influenciada pela matriz de transformação usada. Caso 𝐻21 ou 𝐻31 seja nulo,

a corrente de falta neste modo se torna igual a zero e isso significa que o respectivo modo

está isolado do curto no domínio modal.

4 Cálculo de Parâmetros

Utilizando o Método de

Newton-Raphson


Neste tópico são apresentadas a metodologia de parametrização de linhas

equilibradas e desequilibradas utilizando o método de Newton-Raphson para duas

variáveis.

Inicialmente, explica-se a estrutura geral do método e, em seguida, é feito o

detalhamento de seus aspectos relevantes, contemplando: descrição dos dados de entrada,

seleção da transformação adequada, implementação da metodologia para curtos no meio

da linha e cálculo da resistência de falta.

Para linhas equilibradas utiliza-se a matriz de Clarke, pois permite calcular os dois

modos aéreos com dados de RPS, ao passo que a transformação sequencial só permitiria

o cálculo da sequência positiva.

Para linhas desequilibradas, utiliza-se a transformação modal, porém, este método

apresenta a limitação de precisar dos parâmetros da linha para se obter as matrizes de

transformação exatas. Dessa forma, considerou-se duas hipóteses: a primeira em que se

conhece previamente a matriz exata da linha e a segunda em que se utilizam matrizes de

outras linhas de mesma geometria para o cálculo dos parâmetros. Neste trabalho, as

matrizes utilizadas na segunda hipótese são nomeadas de matrizes não-exatas. Quanto ao

uso das matrizes de transformação previamente conhecidas, a metodologia é empregada

para a aferição dos parâmetros existentes calculados por outros métodos.

CAPÍTULO 4 – PARAMETRIZAÇÃO UTILIZANDO O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

36

4.2 Estrutura do Método

O método de parametrização utilizando Newton-Raphson, cujo fluxograma é

apresentado na Figura 4.1, primeiramente recebe as informações da linha, valores iniciais

para o método de Newton-Raphson e medições das grandezas nos terminais emissor e

receptor em PU. Em seguida, determina-se se a linha é equilibrada ou desequilibrada e

aplica-se a transformação de similaridade adequada. A próxima etapa é estimar os

parâmetros dos modos aéreos (modos 1 e 2) e, a partir destes, determina-se a corrente de

falta com o procedimento apresentado no item 3.4. Calculam-se então os parâmetros de

modo 0 e aplica-se a transformação inversa adequada, Clarke ou modal. Para finalizar o

método, a resistência de falta é calculada.

Figura 4.1 – Processo de cálculo de parâmetros utilizando Newton-Raphson. Fonte: autora

Cálculo dos Parâmetros

INÍCIO

Inicialização das

variáveis

𝒔, 𝒔, 𝒓 e 𝒓 em PU

Valores iniciais em PU

𝓵𝑳𝒊𝒏𝒉𝒂, 𝑳𝑨, 𝑳𝑩 e Freq.

Linha

Equilibrada?

Não

Sim Aplica

Transformação

de Clarke

Aplica

Transformação

Modal

Seleciona Matriz de

Transformação

Calcula os

parâmetros dos

modos aéreos

Determina a

corrente de falta de

modo 0 (IFS0)

Calcula os

parâmetros do

modo Terra (0)

Aplica transformação

Inversa adequada

Determina

Resistência de Falta FIM


37

4.3 Dados de Entrada

Os dados de entrada do método devem ser medições realizadas durante as janelas

de regime permanente senoidal e durante o período de manutenção do curto que podem

ser visualizadas na Figura 4.2.

Figura 4.2 - Janelas de dados de RPS e de falta. Fonte: autora

Como mostrado na Figura 4.2, as medições da janela de RPS devem ser feitas

antes do início da falta e os dados da janela de falta, por sua vez, começam após o período

transitório e terminam antes da atuação da proteção da linha. Caso as medições sejam de

grandezas mensuradas no domínio do tempo, deve ser realizado uma interpolação para

ajuste do número de pontos seguido de uma estimação fasorial. Neste trabalho, utilizou-

se o método de mínimos quadrados. Também pode ser necessária a aplicação de filtros

para retirada de ruídos e sinais de alta frequência da onda.

Os procedimentos anteriores resultam em um vetor de fasores para cada grandeza

para as janelas de regime permanente e durante a falta, assim, os fasores representativos

dos intervalos foram definidos através da aplicação da mediana nos vetores de fasores.

Em seguida, calculam-se os valores por unidade (PU) de cada grandeza. Para garantir

maior precisão nos cálculos, utiliza-se grandezas do circuito puro de falta, cujo conceito

é apresentado no item 2.2.4, nas equações que utilizam dados do sistema durante as faltas.

Como não existem critérios que garantam a convergência do método de Newton-

Raphson, a escolha do valor inicial do método é determinante para o sucesso da

Dados de

RPS Dados

de Falta


38

convergência, principalmente para funções multimodais. Os valores utilizados neste

trabalho são os parâmetros típicos encontrados em linhas de transmissão e são

apresentados na Tabela 1.

Tabela 1 - Parâmetros típicos de uma linha de transmissão

Parâmetros Típicos de uma LT

R0 = 0.2 Ω/km R1 = R2= 0.1 Ω/km

L0 = 2 mH/km L1 = L2= 1 mH/km

C0 = 5 nF/km C1 = C2= 10 nF/km

Além das grandezas medidas e do valor do inicial, a metodologia precisa ainda

das informações de comprimento, nível de tensão, potência nominal e matrizes de

transformação de Clarke e modais da linha.

4.4 Determinação da geometria da linha

Para determinar as matrizes de transformação utilizadas na metodologia é

necessário identificar se a linha é equilibrada ou desequilibrada. Para isso, utiliza-se o

conceito de grau de desequilíbrio de um sistema elétrico. Também chamado de fator de

desequilíbrio, este conceito é definido como a relação entre a componente de sequência

negativa e a componente de sequência positiva sendo válido tanto para tensão como para

corrente (Teodoro, 2005), logo:

𝐺𝑑𝑒𝑠𝑒𝑞 =|𝑋2|

|𝑋1| (4.1)

Na equação 4.1, X pode ser substituído pelo símbolo de tensão ou de corrente e

os subíndices 2 e 1 representam, respectivamente, as sequências negativa e positiva

utilizando-se o método das componentes simétricas.

Na metodologia, calculou-se a média entre o grau de desequilíbrio para as

correntes do emissor e do receptor, apresentada na equação 4.2. Se o valor obtido for

considerado baixo, a linha é equilibrada. Do contrário, a linha é desequilibrada.


39

𝐺𝐿𝑇 =

|𝐼𝑠2||𝐼𝑠1|

+|𝐼𝑟2||𝐼𝑟1|

2

(4.2)

Nesta equação, 𝐺𝐿𝑇 é definido como o grau de desequilíbrio da LT e 𝐼𝑟 e 𝐼𝑠 são,

respectivamente, as correntes do receptor e do emissor. A definição de valor alto ou baixo

foi obtida empiricamente neste trabalho como:

GLT > 0,001 ⇒ LT DesequilibradaGLT ≤ 0,001 ⇒ LT Equilibrada

A definição de grau de desequilíbrio alto e baixo foi baseada nos casos estudados

e sugere-se que seja determinada para um número maior de linhas em trabalhos futuros.

4.5 Cálculo de Parâmetros

A partir do fluxograma da Figura 4.1, verifica-se que a determinação dos

parâmetros para curtos ao longo da extensão da linha, consiste no cálculo dos modos

aéreos, determinação da corrente de modo de terra e cálculo dos parâmetros de modo

terra. Cada uma destas etapas é abordada detalhadamente nos itens a seguir.

4.5.1 Cálculo de Parâmetros dos Modos Aéreos

Para o cálculo dos modos aéreos utilizam-se as equações para a janela de dados

de regime permanente, apresentado no item 3.2. Naquele item são apresentadas duas

formulações que poderiam ser utilizadas, a que utiliza senos e cossenos hiperbólicos e a

obtida a partir do circuito π da linha. Neste item, utiliza-se a segunda opção, pois a

utilização de funções hiperbólicas apresenta problemas numéricos em alguns dos casos

implementados. Isto ocorre porque funções hiperbólicas são multimodais,

malcomportadas e podem gerar valores altos na matriz Jacobiana que, por sua vez, podem

afastar o resultado do mínimo desejado mesmo que este esteja próximo.

Dessa forma, a partir das equações (3.19) e (3.20) obtêm-se duas equações a serem

minimizadas pelo método de Newton-Raphson para duas variáveis:


40

F1 = (1 +ZπxYπx2

)Vrx + ZπxIrx − Vsx

(4.3)

F2 = (Yπx +ZπxYπx

2

4)Vrx + (1 +

ZπxYπx2

) Irx − Isx (4.4)

Neste caso, a matriz Jacobiana é dada por:

J = [J11 J12J21 J22

] =

[ ∂F1∂Zπ

∂F1∂Yπ

∂F2∂Zπ

∂F2∂Yπ]

Jx =

[

Zπx2 ∙ Vrx + Irx

Zπx2∙ Vrx

Yπx2∙ Irx +

Yπx2

4∙ Vrx

Zπx2∙ Irx + Vrx +

Yπx2∙ Zπx ∙ Vrx

] (4.5)

em que 𝑥 indica o modo e deve ser substituído por 1 ou 2, no caso de grandezas modais

ou por α e β para grandezas de Clarke. As grandezas 𝑉𝑟, 𝐼𝑟 , 𝑉𝑠 e 𝐼𝑠 são, respectivamente,

as tensões e correntes modais ou de Clarke do receptor e do emissor obtidas durante a

janela de dados em RPS.

4.5.2 Corrente de Falta de Modo Terra

A partir dos parâmetros dos modos aéreos, calculados na etapa anterior, é possível

determinar a corrente de falta de modo terra (𝐼𝐹0). Esta corrente depende fortemente da

transformação de similaridade utilizada para o desacoplamento das fases. Para a

transformação de Clarke, a corrente de modo zero pode ser obtida a partir da corrente de

modo α utilizando a relação abaixo que foi obtida a partir das equações (3.25):

IF0 = IFα

√3 (4.6)

A corrente 𝐼𝐹𝛼 pode ser calculada a partir da substituição de (3.22) em (3.23) e

dos parâmetros de modo α obtidos no item anterior. A equação obtida é dada por:


41

IFα = −(YπB +ZπBYπB

2

4)Vr − (1 +

ZπBYπB2

) Ir − (YπA +ZπAYπA

2

4)Vs

+ (1 +ZπAYπA2

) Is

(4.7)

Como todas as variáveis de (4.7) são de modo α, optou-se por suprimir os índices

que indicavam o modo nesta equação. Os índices A e B indicam o primeiro e o segundo

segmentos da linha de acordo com a notação utilizada na Figura 3.3.

Para a transformação modal, a corrente do modo de terra pode ser obtida a partir

da corrente dos modos aéreos utilizando as expressões:

IFm0 =H11H21

IFm1 IFm0 =H11H31

IFm2 (4.8)

em que as correntes de modo 𝐼𝐹𝑚1 e 𝐼𝐹𝑚2 também podem ser obtidas através da equação

(4.7) utilizando os seus respectivos parâmetros 𝑍𝜋𝐴 , 𝑌𝜋𝐴 , 𝑍𝜋𝐵 e 𝑌𝜋𝐵 e as grandezas

medidas para os modos 1 e 2.

Como existem duas formas independentes para se obter a corrente de falta na

transformação modal, optou-se por utilizar a média aritmética das duas. Contudo, caso

um dos elementos (𝐻21 ou 𝐻31) seja nulo, significa que o seu respectivo modo está

isolado do curto e que não possui corrente de falta. Caso isto ocorra, utiliza-se a equação

do outro modo.

4.5.3 Cálculo dos parâmetros do Modo Terra

Uma vez conhecida a corrente do modo terra, é possível determinar os parâmetros

deste modo utilizando as formulações para a janela de dados durante a falta, apresentadas

no item 3.3. Utiliza-se novamente as equações obtidas a partir do modelo π da linha com

o objetivo de facilitar a convergência do método. Dessa forma, a partir das equações

(3.22) e (3.23), obtêm-se:

F1 = (1 +ZπBYπB

2) Vr + ZπBIr − (1 +

ZπAYπA

2)Vs + ZπAIs

(4.9)


42

F2 = (YπB +ZπBYπB

2

4)Vr + (1 +

ZπBYπB2

) Ir + (YπA +ZπAYπA

2

4)Vs

− (1 +ZπAYπA2

) Is + IF

(4.10)

Na equação (4.10), suprimiu-se o índice 0 que indica o modo para simplificar a

notação. As grandezas 𝑉𝑟, 𝐼𝑟 , 𝑉𝑠 e 𝐼𝑠 são as grandezas do circuito puro de falta. Como

mencionado anteriormente, utiliza-se o conceito do circuito puro de falta, pois ele destaca

as grandezas de curto-circuito e, consequentemente, aumenta a precisão numérica do

método.

Nas equações (4.9) e (4.10), têm-se que 𝑍𝜋 e 𝑌𝜋 para os dois trechos são diferentes

e representam variáveis diferentes no método, dessa forma, seus valores devem ser

calculados a cada iteração utilizando:

Zπy = √Z

Y∙ senh(√ZY ∙ ℓy)

(4.11)

Yπy =2 ∙ (cosh(√ZY ∙ ℓy) − 1)

Zπ (4.12)

em que y deve ser substituído por A ou B e os valores de Z e Y são aqueles obtidos no

loop anterior do método. Verifica-se, portanto, que não foi possível retirar os termos

hiperbólicos do interior do loop do método. Dessa forma, para resolver o problema de

valores altos na matriz Jacobiana, calcula-se as derivadas de (4.9) e (4.10) com a presença

dos termos hiperbólicos e, em seguida, adota-se as simplificações de que Zπ ≈ Zℓ e

Yπ ≈ Yℓ. Logo:

J0 = [J11 J12J21 J22

] =

[ ∂F1∂Zπ

∂F2∂Yπ

∂F2∂Zπ

∂F2∂Yπ]

(4.13)

em que:

J11 = − LB

2Y

2∙ Vr − LB ∙ Ir +

LA2Y

2∙ Vs − LA ∙ Is


43

J12 = − ZLB2∙ Vr +

ZLA2

2∙ Vs

J21 = − Y2LB

3

4∙ Vr −

YLB2

2∙ Ir −

Y2LA3

4∙ Vs +

YLA2

2∙ Is

J22 = −(LB + ZYLB

3

2) ∙ Vr −

ZLB2

2∙ Ir − (LA +

ZYLA3

2) ∙ Vs +

ZLA2

2∙ Is

Nestas equações LA e LB são, respectivamente, o comprimento do primeiro e do

segundo trecho da linha e Z e Y são a impedância e a admitância unitária da linha para o

modo de terra. Novamente, os índices 0 de modo terra foram suprimidos para simplificar

a notação.

As aproximações 𝑍𝜋 ≈ 𝑍ℓ e 𝑌𝜋 ≈ 𝑌ℓ não interferem na precisão do método,

uma vez que o erro é determinado pelas equações (4.9) e (4.10) e, ainda assim, direciona

a solução de maneira eficaz.

Para os métodos descritos, o valor do vetor de erros foi calculado através da

equação (2.32) e os valores dos parâmetros na próxima geração, determinados a partir de:

Zπi+1 = Zπi + ∆ZπiYπi+1 = Yπi + ∆Yπi

(4.14)

Foram considerados como critérios de parada nos métodos implementados que os

erros ∆𝑍𝜋𝑖 e ∆𝑍𝜋𝑖 inferiores a 10-7 e número máximo de iterações igual a 50.

4.6 Cálculo da Impedância de falta

Neste trabalho considerou-se que a impedância de falta é puramente real. Dessa

forma, a grandeza calculada neste item é a resistência de falta (RF). Para o seu cálculo,

determina-se dois valores de RF, o primeiro obtido a partir das grandezas relativas à

primeira metade da linha (LTA) e o segundo usando as grandezas de LTB.

O primeiro passo para o cálculo desta resistência é determinar o valor da tensão

no ponto de falta (VF na Figura 3.3) por meio de:


44

VFm_LTA = cosh(γm ∙ LA) Vsm − Zcmsenh(γm ∙ LA)Ism

VFm_LTB = cosh(γm ∙ LB) Vrm + Zcmsenh(γm ∙ LB)Irm (4.15)

e da corrente de falta (IF) para cada modo e para cada segmento da linha:

IFm_LTA = −Ycmsenh(γm ∙ LA)Vsm + cosh(γm ∙ LA) Ism

IFm_LTB = Ycmsenh(γm ∙ LB)Vrm + cosh(γm ∙ LB) Irm (4.16)

em que m pode ser substituído por 0, 1 e 2 (modal) ou por 0, α e β (Clarke) e 𝑉𝐹𝑚_𝐿𝑇 e

𝐼𝐹𝑚_𝐿𝑇 são, respectivamente, a tensão e a corrente calculados utilizando-se os parâmetros

da LTA e de LTB.

Uma vez determinados VF e IF para todos os modos, utiliza-se a transformada

inversa para obtenção de RF no domínio das fases. Como neste trabalho considera-se

apenas curtos monofásicos, a resistência de falta para um curto A-T pode ser calculada

por meio de:

RFx = ℜ VFAxIFAx

(4.17)

em que x pode ser substituído por 𝐿𝑇𝐴 ou LTB representando o primeiro ou o segundo

segmento da linha. Para a determinação do valor final de RF, foi calculada a média

aritmética entre RFA e RFB.

5 Cálculo dos Parâmetros

Utilizando Algoritmos

Evolutivos


A metodologia para o cálculo de parâmetros de linhas desequilibradas utilizando

transformação modal com matrizes exatas e o método de Newton-Raphson, descrita no

capítulo 4, faz uso de matrizes de transformação que dependem do conhecimento prévio

dos parâmetros da linha, o que resulta em dificuldades de utilização do método.

Almejando-se solucionar esse problema, apresenta-se neste trabalho a proposição de um

algoritmo evolutivo que possibilita a obtenção dos parâmetros no domínio das fases sem

a necessidade do conhecimento prévio das características da linha.

O algoritmo evolutivo descrito neste capítulo caracteriza-se como mono-objetivo

por tratar uma única função objetivo; como dedicado, por incluir estratégias

desenvolvidas exclusivamente para o problema de cálculo dos parâmetros de linhas de

transmissão e como híbrido, por utilizar estruturas de algoritmos genéticos e evolutivos.

Este algoritmo calcula os parâmetros de linhas de transmissão desequilibradas e

equilibradas através da minimização de uma função objetivo composta pela soma

ponderada dos erros obtidos em equações selecionadas e que utiliza formulações no

domínio das fases e no domínio modal. É possível utilizar formulações no domínio modal,

pois as variáveis que compõem os indivíduos são os parâmetros no domínio das fases.

Assim, é possível calcular as matrizes de transformação modais para cada indivíduo e

utilizar as formulações em ambos os domínios.

CAPÍTULO 5 – CÁLCULO DOS PARÂMETROS UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS

46

A presença de senos e cossenos hiperbólicos nas equações das linhas, caracteriza

este problema como fortemente multimodal. Isso significa que o espaço de variáveis

possui mínimos locais e que existe uma variação abrupta na nota do indivíduo para

pequenas variações nos parâmetros. Como discutido no capítulo 6, estes fatores

dificultam a convergência progressiva da população, geram problemas de estagnação do

resultado por muitas gerações e convergência prematura. Dessa forma, a metodologia

utilizada teve que levar em consideração todos estes fatores nas escolhas do algoritmo

utilizado, dos operadores evolutivos e de outras estratégias implementadas para evitar que

esses fenômenos ocorram durante a execução do programa.

Os dados de entrada utilizados neste AE são os obtidos nos períodos de regime

permanente senoidal e durante o intervalo de falta, apresentados no item 4.3. Dessa forma,

não foi dedicada uma seção para a apresentação destes.

5.2 Lógica de Funcionamento

A lógica de funcionamento do algoritmo evolutivo implementado, apresentada na

Figura 5.1, consiste em inicialmente gerar uma população com um número fixo de

elementos e avaliar cada indivíduo utilizando a função objetivo. Em seguida, é aplicado

um operador de seleção utilizando o método do torneio com a finalidade de aumentar a

pressão seletiva e melhorar a nota média da população.

Na estrutura de gerações, têm-se que um indivíduo é escolhido aleatoriamente

entre os que ainda não foram selecionados e define-se de maneira probabilística se este

irá sofrer ação dos operadores evolutivos ou não. Os operadores aplicados neste trabalho

foram cruzamento, mutação polinomial e a mutação diferencial, que serão detalhados

posteriormente. Cada filho gerado é comparado ao pai e, caso a sua nota seja melhor,

substituirá o pai. Este processo se repete para todos os indivíduos e a nova população

obtida, denominada População Filha, possui uma probabilidade considerável de ter

características melhores do que os pais.

Em seguida, realiza-se a substituição dos piores indivíduos da população filha por

novos indivíduos criados a partir dos melhores indivíduos de cada geração. Verifica-se

então se os critérios de convergência foram atendidos. Em caso positivo, o algoritmo


47

calcula as grandezas finais e retorna o melhor resultado, do contrário, o algoritmo executa

a próxima geração.

Neste algoritmo não houve a necessidade da aplicação de uma estratégia separada

para o elitismo, porque o processo de seleção da população filha já exerce a função de

preservação dos melhores indivíduos de uma geração para outra.

Figura 5.1 - Lógica de funcionamento do algoritmo evolutivo. Fonte: autora

Escolhe um indivíduo

Inicialização das variáveis

𝒔, 𝒔, 𝒓 e 𝒓 em PU,

𝓵𝑳𝒊𝒏𝒉𝒂, 𝑳𝑨, 𝑳𝑩 e

Frequência

INÍCIO

Gera e seleciona população inicial

Sim

Não

Sim

Não

Cria e insere novos

indivíduos na população

FIM Não Sim

Cruzamento

Mutação

Polinomial

Mutação DE

Substitui

Pai

Sim

Não

Calcula as

grandezas

finais

Seleciona e executa operador

Filho

melhor que

pai?

Aplica

Operador?

Toda

População foi

processada?

Critérios de

convergência

atingidos?

Seleciona

outro(s)

indivíduo(s)

aleatório(s)


48

5.3 Estrutura do Indivíduo

Um indivíduo consiste em uma solução para o problema a ser resolvido. Dessa

forma, neste algoritmo, o indivíduo foi modelado como os elementos das matrizes de

parâmetros de resistência, indutância e capacitância no domínio das fases. Estas matrizes

possuem formato igual a:

𝑋 = [𝑋11 𝑋12 𝑋13𝑋21 𝑋23 𝑋23𝑋31 𝑋32 𝑋33

]

em que X pode ser substituído por R, L ou C e os elementos “ij” são iguais aos “ji” exceto

quando i = j. Logo, têm-se 6 termos desconhecidos em cada matriz de parâmetros o que

faz com que cada indivíduo da população seja um vetor linha de 18 elementos organizado

por:

𝑅 = [1 2 42 3 54 5 6

] , 𝐿 = [7 8 108 9 1110 11 12

] e 𝐶 = [13 14 1614 15 1716 17 18

]

Representando de uma outra forma:

Figura 5.2 – Representação de um indivíduo. Fonte: autora

A partir dessa estrutura, têm-se que este é um problema de variáveis contínuas e

que possui um espaço de busca de 18 variáveis.

O espaço de busca de cada variável foi definido de acordo com os valores

possíveis de se encontrar em LTs, dessa forma, para a resistência e a indutância foi

definida uma variação entre 0 e 1 PU, nas bases de 100MVA e na tensão nominal da linha.

Já para a capacitância, definiu-se a faixa entre 0 e 0,001 PU.


49

5.4 Geração da População Inicial

Foram utilizados dois métodos para a criação da população inicial. O primeiro

consiste em gerar indivíduos aleatoriamente dentro dos intervalos de máximo e mínimo

de cada variável e foi utilizado para a geração de metade dos indivíduos. Para o segundo

método, define-se um indivíduo de referência obtido a partir dos parâmetros típicos de

linhas de transmissão, apresentados no item 4.3, e as variáveis do indivíduo são definidas

aleatoriamente em um intervalo de 90% a 110% do valor de referência.

Esses dois métodos foram usados porque a geração aleatória insere variedade de

soluções na população e permite cobrir todo o espaço de busca enquanto a geração com

critérios direciona a população para a região de convergência mais provável e acelera o

processo de convergência.

O tamanho da população foi de 150 indivíduos. Este valor foi ajustado

empiricamente de forma a proporcionar um número de indivíduos grande o suficiente

para se ter diversidade de soluções na população e evitar convergências prematuras sem

fazer com que a convergência seja lenta.

5.5 Operador de Seleção Inicial

Este operador aplica um mecanismo de seleção à população inicial e escolhe os

indivíduos que serão submetidos aos operadores evolutivos. Este processo prioriza os

indivíduos mais aptos ao mesmo tempo que permite que soluções de baixa qualidade

continuem na população. Dessa forma, aumenta-se a pressão seletiva ao mesmo tempo

que se garante a manutenção da diversidade de soluções, evitando uma convergência

prematura.

O método de seleção por Torneio, implementado neste trabalho, consiste em

promover uma competição entre Npop indivíduos escolhidos aleatoriamente da

população. Em que Npop é o tamanho da população. Atribui-se então ao melhor indivíduo

uma probabilidade ks de vencer e ser selecionado, enquanto o pior indivíduo possui a

probabilidade de (1- ks) de vencer. O processo de seleção é realizado até que tenham sido

escolhidos Npop vencedores (ZINI, 2009). A Figura 5.3 apresenta o pseudocódigo do

método de torneio para n = 2 e ks = 0,7.


50

Figura 5.3 – Pseudocódigo do método de Torneio. Fonte: adaptado de (ZINI, 2009)

5.6 Função Objetivo

Como apresentado no capítulo 3, o cálculo de parâmetros de linhas de transmissão

é descrito por várias formulações que poderiam ser utilizadas como função objetivo.

Apesar disso, não pode ser caracterizado como problema multi-objetivo, uma vez que os

objetivos não competem entre si e a solução consiste em um único ponto. Dessa forma,

este é um problema multicritérios.

Para atender aos critérios relevantes utilizando uma abordagem mono-objetivo, a

função Fitness, também utilizada como função objetivo neste trabalho, é definida como

soma ponderada dos erros obtidos em equações selecionadas. A seleção das equações foi

feita empiricamente através da análise da influência de cada uma na convergência, na

precisão e na exatidão do algoritmo.

Define-se também penalidades para as soluções candidatas caso elas não atendam

aos critérios de limitação física das grandezas da linha e quanto à simetria e sinais dos

elementos das matrizes de parâmetros.

INÍCIO

ks = 0,7

Repita Npop vezes

Escolhe 2 indivíduos aleatórios da População

r = valor aleatório entre 0 e 1

Se r < ks faça

O melhor indivíduo é selecionado

Senão

O pior indivíduo é selecionado

Fim se

Fim Repita

FIM


51

5.6.1 Funções Disponíveis

As equações obtidas, apresentadas no capítulo 3, são adaptadas neste capítulo para

seu uso dentro do algoritmo evolutivo proposto. Primeiro, é necessário transformá-las em

equações de erro cujo resultado é próximo de zero para o caso de os parâmetros aplicados

serem os corretos. Isto torna possível a confecção de uma expressão para a obtenção do

resultado a partir da minimização das funções de erro. Para se obter valores reais a partir

dos valores complexos fornecidos pelas equações, define-se que o valor das funções é a

soma do módulo da parte real e imaginária dos erros obtidos. As expressões obtidas são:

1. Erro da primeira equação de (3.1) no domínio das fases (𝐹𝐴𝑆𝐸1) para dados de RPS:

Vr_calc = cosh(ΓvℓA)Vs − Zcsenh(ΓvℓA)Is

FFASE1 = |ℜVr_calc − ℜVr_med| + |ℑVr_calc − ℑVr_med| (5.1)

2. Erro da segunda equação de (3.1) no domínio das fases (F2) para dados de RPS:

Ir_calc = −Yc senh(ΓvℓA)Vs + Yccosh(ΓvℓA)ZcIs

FFASE2 = |ℜIr_calc − ℜIr_med| + |ℑIr_calc − ℑIr_med| (5.2)

3. Erro obtido a partir da diferença das primeiras equações de (3.19) e (3.20):

VF_LTA = cosh(ΓvℓA)Vs − Zcsenh(ΓvℓA)Is

VF_LTB = cosh(ΓvℓB)Vr + Zcsenh(ΓvℓB)Ir

FFASE3 = |ℜVF_LTA − ℜVF_LTB| + |ℑVF_LTA − ℑVF_LTB| (5.3)

4. Erro obtido a partir da diferença das segundas equações de (3.19) e (3.20):

IB_LTA = −Yc senh(ΓvℓA)Vs + Yccosh(ΓvℓA)ZcIs − IFF

IB_LTB = Yc senh(ΓvℓA)Vr + Yccosh(ΓvℓA)ZcIr

FFASE4 = |ℜVF_LTA − ℜVF_LTB| + |ℑVF_LTA − ℑVF_LTB| (5.4)

O resultado de (5.1) a (5.4) são vetores colunas de três linhas. Assim sendo, para

se obter um único valor a partir de cada expressão, somou-se os erros das três linhas.


52

5. Erro modal utilizando o método de curto ao longo da extensão da linha para sequência

zero e dados do circuito puro de falta:

VF0_LTA = cosh(γ0ℓA)Vs0 − Zc0senh(γ0ℓA)Is0

VF0_LTB = cosh(γ0ℓB)Vr0 + Zc0senh(γ0ℓB)Ir0

fm0 = |ℜVF0_LTA − ℜVF0_LTB| + |ℑVF0_LTA − ℑVF0_LTB| (5.5)

6. Erro modal utilizando o método de curto ao longo da extensão da linha para o modo

1 e dados do circuito puro de falta:




7. Erro modal utilizando o método de curto ao longo da extensão da linha para o modo

2 e dados do circuito puro de falta:




Para as equações de erro dos modos aéreos, (5.6) e (5.7), poderiam ter sido

utilizadas grandezas medidas e equações no período de regime permanente. Contudo,

optou-se por utilizar dados do circuito puro de falta com o intuito de utilizar todas as

informações contidas nas grandezas disponíveis.

5.6.2 Relações Complementares

Além das equações apresentadas no item anterior, também foram obtidas duas

relações secundárias que podem ser utilizadas para a avaliação dos indivíduos. A primeira

delas, nomeada de 𝜟𝑰𝑭𝟎, consiste na comparação entre as diferentes formas de se calcular

a corrente de falta (IF) obtidas a partir da equação (3.26):

IF_IFm0 =IFm0Tv11

IF_IFm1 =IFm1Tv12

IF_IFm2 =IFm2Tv13


53

ΔIF0 = |ℜIF_IFm0 − ℜIF_IFm1| + |ℑIF_IFm0 − ℑIF_IFm1|

+ |ℜIF_IFm1 − ℜIF_IFm2| + |ℑIF_IFm1 − ℑIF_IFm2|

(5.8)

A segunda relação, nomeada de 𝛥𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑 , consiste na diferença entre os

parâmetros de cada indivíduo da população e os parâmetros obtidos a partir da

parametrização direta apresentada no item 3.4.

A lógica de 𝛥𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑 se baseia no fato de que se os parâmetros do indivíduo

estiverem suficientemente próximos aos corretos, é possível calcular e aplicar matrizes

de transformação que desacoplam as grandezas do sistema e os valores obtidos pela

aplicação do método direto, quando transformados novamente para o domínio das fases,

devem ser próximos aos corretos. Dessa forma, a utilização do fator 𝛥𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑 fornece

uma boa medida da proximidade da resposta.

As etapas para o cálculo de 𝛥𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑 são apresentadas na Figura 5.4.

Figura 5.4 - Etapas de cálculo da relação 𝛥𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑. Fonte: autora.

Na Figura 5.4, a partir dos parâmetros de um indivíduo, calculam-se as matrizes

de transformação (Tv e Ti), que são usadas para determinar as tensões e correntes modais

de regime permanente para cada indivíduo. Utilizam-se então estes valores para calcular

Obtenção dos parâmetros no

domínio das fases

𝚫𝑴𝒆𝒕𝒐𝒅 do

indivíduo

Cálculo de

Tv e Ti

Parâmetros de um

indivíduo no

domínio das Fases

Cálculo da tensão e

corrente modais de RPS

Aplicação do Método Direto 𝓵𝑳𝒊𝒏𝒉𝒂, 𝑳𝑨, 𝑳𝑩

e Frequência

Cálculo dos

erros


54

um novo conjunto de parâmetros modais utilizando o método direto e aplica-se

transformação modal inversa. A partir dos parâmetros no domínio das fases obtidos,

calcula-se o erro através de:

εi = Pi_direto − Pi_ind

Pi_ind (5.9)

em que 휀𝑖 é o erro do i-ésimo elemento, 𝑃𝑖_𝑖𝑛𝑑 é o valor do i-ésimo parâmetro do

indivíduo segundo a estrutura da Figura 5.2 e 𝑃𝑖_𝑑𝑖𝑟𝑒𝑡𝑜 é o valor do i-ésimo parâmetro

obtido pelo método direto.

Para se obter um único valor de erro, calculou-se a média aritmética dos módulos

dos erros obtidos na equação (5.9):

ΔMetod =1

n ∑|εi|

n

i=1

(5.10)

em que n é o número de variáveis do indivíduo e i varia de 1 até n.

Verificou-se a possibilidade de utilizar somente 𝛥𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑 para a função Objetivo,

porém isto não é aplicável, porque este fator é praticamente constante para a maioria dos

indivíduos espalhados no espaço de busca e tem um valor pequeno para pontos muito

específicos. Assim, algoritmos que partem da premissa da melhora progressiva da

população seriam ineficientes para solução deste problema.

5.6.3 Composição da Função Objetivo

A composição da função Objetivo foi determinada empiricamente através da

execução do algoritmo diversas vezes experimentando diferentes combinações das

funções (5.1) a (5.7) , (5.8) e (5.10). Observou-se que:

• As funções 𝐹𝐴𝑆𝐸1 e 𝐹𝐴𝑆𝐸3 apresentam erros pequenos para todos os

estudos de caso (da ordem de 10-7);

• As equações que envolvem corrente de fase (𝐹𝐴𝑆𝐸2 e 𝐹𝐴𝑆𝐸4) apresentam

erros maiores do que as de tensão (𝐹𝐴𝑆𝐸1 e 𝐹𝐴𝑆𝐸3);


55

• As funções de erro modais (𝑓𝑚0 , 𝑓𝑚1 e 𝑓𝑚2) produzem bons resultados

para a maioria dos estudos de caso;

• O fator 𝛥𝐼𝐹0 auxilia na convergência e precisão dos parâmetros

capacitivos, porém interfere negativamente na convergência dos demais;

• O fator 𝛥𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑 possui valor elevado em relação às outras funções ao

longo da convergência e por isso o seu peso foi definido de forma a ajustar

esta diferença de ordem de grandeza ao longo da convergência;

• O fator 𝛥𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑 é ótimo para evitar mínimos locais distantes da região

correta, mas pode induzir a falsos mínimos locais próximos ao mínimo

global, uma vez que é definido como a média da somatória dos erros.

• A equação 𝐹𝐴𝑆𝐸4 não produz resultados significativos para a

convergência.

Observa-se que as funções e fatores obtidos influenciam de maneiras diferentes o

comportamento do algoritmo ao longo das gerações e afetam a precisão e exatidão do

resultado. Dessa forma, verificou-se empiricamente que a melhor estratégia para se obter

um bom desempenho do algoritmo é utilizar duas funções objetivos diferentes. A primeira

atua do início da convergência até a 700ª geração e permite o direcionamento da

população para a região correta e é definida por:

FO1 =a ∙ fm0 + b ∙ fm1 + c ∙ fm2 + d ∙ FFASE1 + e ∙ FFASE3 + f ∙ ΔIF0 + g ∙ ΔMetod

a + b + c + d + e + f + g (5.11)

em que os pesos foram definidos empiricamente como 𝑎 = 0,1, 𝑏 = 𝑐 = 𝑒 = 𝑓 = 1,

𝑑 = 2 e 𝑔 = 0,01 e todas as grandezas envolvidas se encontram em PU, cujas bases são

100 MVA e a tensão nominal da linha.

A segunda função objetivo atua a partir da 700ª geração até que o critério de

parada seja atingido e permite a obtenção de resultados mais próximos aos esperados.

Esta função é definida por:

𝐹𝑂2 =𝑎 ∙ 𝑓𝑚0 + 𝑏 ∙ 𝑓𝑚1 + 𝑐 ∙ 𝑓𝑚2 + 𝑑 ∙ 𝐹𝐴𝑆𝐸1 + ℎ ∙ 𝛥𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + ℎ

(5.12)

em que o peso ℎ = 0,1.


56

Verificou-se que o critério 𝛥𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑 atrapalha a exatidão de linhas equilibradas,

desta forma, implementou-se uma lógica dentro do algoritmo em que, caso o indivíduo

seja considerado equilibrado, os pesos deste fator são definidos como 𝑔 = ℎ = 0.

5.6.4 Critérios de Penalidade

Como mencionado anteriormente, foram definidas penalidades para as soluções

candidatas:

1. Quanto à forma das matrizes: Observa-se que a estrutura típica de uma matriz de

linha consiste em valores positivos para os parâmetros resistência, indutância e a

diagonal principal da capacitância. Os outros elementos da capacitância são

negativos.

2. Quanto à velocidade modal: Esta deve possuir valor inferior à velocidade da luz

para todos os modos.

Em uma solução candidata, cada violação dos critérios descritos é penalizada com

o valor de 0,25 somado à função objetivo do indivíduo. Optou-se pela abordagem de

penalização dos indivíduos ao invés da eliminação imediata da solução porque estes

indivíduos, apesar de não serem factíveis, podem estar próximos aos valores desejados e

auxiliar a convergência da população para região correta.

5.6.5 Rotina de Cálculo da Função Objetivo

O pseudocódigo da Figura 5.5 apresenta o passo a passo do cálculo e

implementação da função Objetivo para a avaliação das soluções candidatas.


57

Figura 5.5 - Pseudocódigo da rotina de Função Objetivo

5.6.6 Verificação da Posição do Modo de Terra nas matrizes de

transformação

A rotina da função objetivo calcula os autovalores e autovetores para cada

indivíduo da população e realiza a decomposição modal das grandezas de entrada.

INÍCIO

Repita Npop vezes

Cálculo das Grandezas de fase: 𝒁, 𝒀, 𝚪, 𝒀𝒄 𝑒 𝐙𝐜.

Cálculo de funções no domínio das fases: 𝑭𝑨𝑺𝑬𝟏, 𝑭𝑨𝑺𝑬𝟐 e 𝑭𝑨𝑺𝑬𝟑

TV = autovalores𝑍 ∙ 𝑌

Verifica-se se o modo 0 se encontra na primeira posição do vetor

Troca, se necessário, a posição do modo zero em TV

Se GLT > 0,001 faça

𝑻𝒊 = (𝑇𝑣 ′)−1

Senão

𝑻𝒊 = 𝑇𝑣

Fim se

Cálculo das funções de erros modais: 𝑭𝒎𝟎, 𝑭𝒎𝟏 e 𝑭𝒎𝟐

Cálculo das Grandezas de fase: 𝒁𝒎, 𝒀𝒎, 𝜸𝒎, 𝒀𝒄𝒎 𝑒 𝐙𝐜𝐦.

Determinação das Correntes de Curto modais: 𝑰𝑭𝒎𝟎, 𝑰𝑭𝒎𝟏 e 𝑰𝑭𝒎𝟐

Determinação do fator 𝚫𝑰𝑭𝟎

Determinação do Fator 𝚫𝑴𝒆𝒕𝒐𝒅

Se Geração < 700 faça

Cálculo da função Fitness segundo a equação (5.11)

Senão

Cálculo da função Fitness segundo a equação (5.12)

Fim se

Verificação dos critérios de Penalidade

Fim Repita

Acrescenta o vetor de notas à População

FIM


58

Contudo, a ordem dos autovetores na matriz de transformação não é predeterminada como

ocorre nas transformações sequenciais e de Clarke. Dessa forma, é necessário identificar

o modo de terra em cada matriz de transformação viabilizando assim a utilização das

grandezas corretas nas equações implementadas.

A verificação da posição do modo de terra implementada neste trabalho parte do

princípio de que, em regime permanente senoidal, as grandezas de terra possuem valores

inferiores aos dos modos aéreos. Portanto, implementou-se uma lógica para verificar a

posição do modo que apresenta o menor valor nos vetores de correntes modais do emissor

e do receptor e, caso este valor não esteja na primeira posição do vetor, troca-se a posição

com um dos modos aéreos. O pseudocódigo desta lógica é apresentado na Figura 5.6

Figura 5.6 - Pseudocódigo da lógica de identificação e troca de posição do modo de Terra

5.7 Operadores Evolutivos

Neste algoritmo foram aplicados 3 operadores evolutivos, a citar: cruzamento,

mutação polinomial e a mutação do Diferential Evolution. A probabilidade de cada

operador ser selecionado, apresentada esquematicamente na Figura 5.7, foi ajustada

empiricamente e definida como:

• Probabilidade de o indivíduo não sofrer ação de nenhum operador: 5%

• Probabilidade de se aplicar um operador ao indivíduo: 95%, sendo que:

o Aplicação da mutação DE: 50%.

o Aplicação do cruzamento: 25%.

o Aplicação da mutação polinomial: 20%.

INÍCIO

Cálculo da corrente modal do emissor e do receptor em RPS

Identificação da posição do valor mínimo obtido em 𝑰𝒓 e 𝑰𝒔 (PosMinIs e PosMinIr)

Se PosMinIs = PosMinIr E PosMinIs ≠ 1faça

Troca a primeira coluna por de PosMinIs

Fim se

FIM


59

Figura 5.7 – Probabilidade dos operadores evolutivos. Fonte: autora

O operador mutação diferencial foi escolhido por ser um operador auto adaptativo

que permite tanto a exploração de novas áreas quanto o refinamento do espaço de busca.

O operador de mutação polinomial, juntamente com o DE, atua no sentido de explorar o

espaço de busca e, verifica-se que, nesta aplicação, este operador gera indivíduos com

uma probabilidade alta de substituírem os pais. Já o cruzamento simples foi escolhido por

realizar uma busca local em torno dos indivíduos pais, auxiliando o processo de

convergência da população.

Para todos os operadores implementados, caso uma ou mais das variáveis do filho

estejam fora dos valores permitidos no espaço de busca, esta variável é substituída pela

respectiva variável do pai. Nos subitens a seguir, encontra-se detalhado cada um dos

operadores implementados.

5.7.1 Operador de Cruzamento Simples

O operador de cruzamento simples, cujo funcionamento é esquematizado na

Figura 5.8, combina as variáveis de dois pais escolhidos aleatoriamente na população de

forma que exista uma probabilidade razoável de que os novos indivíduos produzidos

sejam melhores que os pais e, dessa forma, substituam estes na população.


60

Figura 5.8 – Cruzamento Implementado. Fonte: autora

A probabilidade de troca de cada variável é definida pelo parâmetro “PC” que foi

empiricamente definido como 0,05, ou seja, cada variável dos pais tem 5% de chance de

ser trocado. O valor de PC deve ser ajustado com cautela, pois, se for alto, a probabilidade

de troca é grande e os filhos gerados se encontrarão distante dos pais, o que poderia levar

o algoritmo a uma busca aleatória e se ela for pequena, a busca local ao redor da região

dos pais será ineficiente.

5.7.2 Operador de Mutação do Differencial Evolution

A lógica da mutação do Differencial Evolution, apresentada na Figura 5.9,

consiste em gerar novos indivíduos (filhos) através da adição da diferença ponderada

entre dois indivíduos aleatórios da população a um terceiro indivíduo denominado target

(Oliveira & Saramago, 2005). O parâmetro de ponderação da diferença (F), também

conhecido como fator de mutação, controla a amplitude da variação vetorial e, com isso,

determina o quão distante o filho estará do target. Neste trabalho, o operador de mutação

é definido aleatoriamente entre o intervalo de 0,2 e 0,5 a cada iteração, pois verifica-se

empiricamente que estes valores produzem indivíduos com boa probabilidade de

substituírem os pais.


61

Figura 5.9 – Lógica de funcionamento da mutação do Differential Evolution para F = 0,7. Fonte: autora

A implementação da mutação DE é interessante neste trabalho por ser um

operador autoadaptativo e permitir tanto a exploração quanto o refinamento do espaço de

busca. Além disso, é um operador adequado para resolução de problemas de variáveis

contínuas e contribui para tornar o algoritmo robusto a mínimos locais.

5.7.3 Operador de Mutação Polinomial

Segundo (Deb & Goyal, 1996) , a mutação polinomial é um operador de mutação

desenvolvido para codificação real e é muito utilizado em problemas com grande espaço

de busca. Para implementação deste método, primeiramente define-se a probabilidade de

cada variável do indivíduo ser modificada através de uma constante 𝑚𝑟. Cada variável

modificada do filho é gerada segundo uma distribuição de probabilidade polinomial, com

valor médio igual ao valor do pai e a variância como uma função do índice de distribuição

𝜂𝑚. O valor de 𝜂𝑚 é fundamental para o funcionamento do método. Quanto maior o valor

de 𝜂𝑚 , menor a variância da distribuição, consequentemente, menor a perturbação

esperada para a variável e mais próximo o indivíduo mutado está do pai (Lima, 2011).

Seu valor foi determinado empiricamente para 𝜂𝑚 = 10.

Cada variável mutada é definida como:

𝑥𝑖𝑚 = 𝑥𝑖 + 𝛿 ∙ ∆𝑚𝑎𝑥 (5.11)


62

em que 𝑥𝑖𝑚 é a variável mutada de posição i, 𝑥𝑖 é a variável i do pai, ∆𝑚𝑎𝑥 é uma

quantidade fixa que representa o máximo valor permitido para perturbação; este valor foi

definido a partir da diferença entre os valores extremos (máximo e mínimo) de cada

variável na população em cada geração.

O valor de 𝛿 é definido para cada variável como:

𝛿 = (2𝑢)

1𝜂𝑚+1 𝑠𝑒 𝑢 < 0.5

1 − [2(1 − 𝑢)]1

𝜂𝑚+1 𝑠𝑒 𝑢 > 0.5

(5.12)

em que u é uma variável cujo valor está entre 0 e 1 e é obtida aleatoriamente a partir de

uma distribuição de probabilidade uniforme.

O pseudocódigo da mutação polinomial é apresentado na Figura 5.10.

Figura 5.10 - Pseudocódigo da mutação Polinomial

5.8 Indivíduos inseridos na população

Ao final de cada geração são criados cinco indivíduos que substituem os piores da

população. Estes indivíduos foram gerados a partir de uma subpopulação composta pelos

Npop/3 melhores indivíduos seguindo os critérios:

INÍCIO

Para i = 1 até Nº Total de Variáveis faça

Gera número aleatório 𝑈1

Se 𝑈1 <= mr faça

Gera número aleatório 𝑈2

Se 𝑈2 < 0,5

Calcula 𝛿 usando a primeira equação de (5.12)

Senão

Calcula 𝛿 usando a segunda equação de (5.12)

Fim se

Fim se

𝐹𝑖𝑙ℎ𝑜(𝑖) = 𝑃𝑎𝑖(𝑖) + 𝛿 ∙ Δ𝑚𝑎𝑥

Se 𝐹𝑖𝑙ℎ𝑜(𝑖) fora dos limites da variável faça

𝐹𝑖𝑙ℎ𝑜(𝑖) = 𝑃𝑎𝑖(𝑖) Fim Se

Fim Para

FIM


63

• Indivíduos 1 e 2: Geração com critérios apresentados no item 5.4

utilizando como referência a média aritmética dos parâmetros da

subpopulação;

• Indivíduo 3: Média aritmética dos parâmetros da subpopulação;

• Indivíduo 4: Escolhe um indivíduo aleatório na subpopulação e realiza-se

alterações aleatórias de até 20% em seus valores.

• Indivíduo 5: Escolhe um indivíduo aleatório na subpopulação e cria-se um

novo indivíduo com as matrizes equilibradas, ou seja:

𝑋𝑖𝑖_𝑛𝑜𝑣𝑜 =1

3∙∑𝑋𝑖𝑖

3

𝑖=1

𝑋𝑖𝑗_𝑛𝑜𝑣𝑜 =1

3∙∑∑𝑋𝑖𝑗

3

𝑗=1

3

𝑖=1

, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 > 𝑗

(5.13)

em que X representa os parâmetros R, L e C.

O objetivo da inserção dos dois primeiros é incluir variedade genética na

população, evitar convergência prematura e estagnação em mínimos locais durante todo

o processo de cálculo dos parâmetros.

Os demais indivíduos têm como finalidade direcionar e acelerar a convergência

do algoritmo. A inserção destes indivíduos diminui substancialmente o número de

gerações necessárias para a convergência durante as primeiras gerações do processo.

5.9 Critérios de Parada

Geralmente, um algoritmo evolutivo deve encerrar a sua execução quando ocorrer

a convergência da População; após isso, não existe variação significativa do resultado

mesmo que a execução continue. A identificação deste ponto varia significativamente de

acordo com o problema e com a forma de implementação do algoritmo.

Neste trabalho, utiliza-se uma medida estatística denominada Coeficiente de

Variação Percentual (c.v.) para identificação deste ponto:


64

𝑐. 𝑣. (%) =𝑆

∙ 100 (5.14)

em que S e são, respectivamente, o desvio padrão e a média de cada variável de cada

indivíduo da população.

O c.v. é uma medida de dispersão relativa utilizada para comparar a dispersão dos

elementos de um conjunto em termos relativos a seu valor médio sem levar em

consideração a ordem de grandeza das variáveis. Esta característica permite utilizar o

mesmo critério de convergência para a resistência, a indutância e a capacitância.

Neste trabalho, considera-se que uma variável convergiu quando os valores das

variáveis de todos os indivíduos da população possuem um valor de c.v. inferior à

unidade. Definiu-se também um número mínimo de gerações igual a 800 para considerar

que o algoritmo convergiu. Esta estratégia foi adotada para evitar que convergências em

mínimos locais parem o algoritmo prematuramente.

Dessa forma, a convergência deste AG ocorre quando os c.v. de todas as variáveis

forem menores que a unidade e o número de iterações for maior que 800. Utilizou-se

também um número máximo de iterações igual a 1500 para o caso de o primeiro critério

de parada não ser atingido.

5.10 Apresentação dos Resultados do Algoritmo

Para a apresentação dos resultados de saída do programa, foi implementada a

interface apresentada na Figura 5.11 em Matlab®. Na coluna da esquerda são

apresentados os valores médios obtidos para os parâmetros e para resistência de falta em

PU, SI ou em erro percentual. Também é possível analisar a convergência da população

de cada execução separadamente através da variação da barra de rolagem na parte inferior

na tela ou inserindo o número da geração no campo superior direito. À medida que as

gerações são selecionadas, os campos de resultados da coluna esquerda são atualizados

para refletir os dados do melhor indivíduo de cada geração.


65

Figura 5.11 - Interface de saída do programa de cálculo de parâmetros utilizando algoritmo evolutivo. Fonte: autora

Os gráficos gerados apresentam os valores de 𝑅11𝑥𝑅12, 𝑅22𝑥𝑅13, 𝑅33𝑥𝑅23 e

assim sucessivamente para as 18 variáveis que compõem o indivíduo. Apesar de estas

variáveis não apresentarem relação de causalidade entre si, utilizou-se esta representação

para permitir a análise da convergência da população e depuração do algoritmo.

6 Estudos de Caso e

Resultados


Os resultados deste capítulo foram organizados em três itens: aplicação da

metodologia de Newton-Raphson para o cálculo de parâmetros com as matrizes de

transformação exatas e não exatas. Neste trabalho, nomeou-se como matrizes exatas as

matrizes obtidas a partir dos parâmetros da linha que se deseja calcular. Para tal,

considera-se que os parâmetros foram calculados previamente por outro método e o

cálculo utilizando a metodologia proposta servirá para aferição dos resultados obtidos

anteriormente. Já as matrizes não exatas, como mencionado anteriormente, são aquelas

que pertencem a outra linha de mesma geometria e são, portanto, similares às da linha

cujos parâmetros se deseja calcular.

No segundo item são apresentados os resultados da aplicação do algoritmo

evolutivo para o cálculo de parâmetros de linhas de transmissão de qualquer geometria

sem a necessidade do conhecimento prévio das matrizes de transformação da linha.

No último item, é apresentado um estudo do impacto da precisão da localização

de falta no cálculo dos parâmetros da linha para ambos os métodos.

Para o método de Newton-Raphson, os resultados foram apresentados em termos

dos erros modais e dos erros de cada elemento da matriz de parâmetros, pois as grandezas

de cada modo são calculadas separadamente e, em seguida, é realizada a transformada

inversa da transformação utilizada.

É necessário fazer uma ressalva quanto ao cálculo de parâmetros com matrizes

não exatas. Não se deve comparar resultados modais obtidos a partir de duas matrizes de

transformações diferentes, ainda que pertençam a linhas de mesma geometria. Pequenas

variações nos parâmetros podem gerar grandes diferenças modais uma vez que estão

representadas espaços matemáticos diferentes. Dessa forma, utilizou-se a matriz não

CAPÍTULO 6 – ESTUDOS DE CASO E RESULTADOS

67

exata para o cálculo tanto dos parâmetros modais quanto para a determinação dos valores

de referência modais a partir das matrizes de parâmetros no domínio das fases.

Para a metodologia de AE, apesar de as equações modais serem usadas

internamente, a formulação do problema é feita no domínio das fases e, portanto, optou-

se por representar somente os resultados dos erros no domínio das fases.

Avalia-se também se os parâmetros obtidos obedecem às limitações físicas, tais

como velocidade modal da onda na linha ser menor do que a velocidade da luz. Além

disso, verifica-se que a velocidade de propagação modal terrestre é inferior à velocidade

dos modos aéreos.

6.2 Estudos de casos desenvolvidos

Para validar as metodologias propostas, foram simuladas linhas equilibradas e

desequilibradas utilizando os softwares: cálculo de curto-circuito a partir de parâmetros

no domínio das fases (CCCF), desenvolvido em MATLAB no PROTLAB/UFMG e o

software ATP versão 6.0p7. As principais características dessas linhas, modelos

utilizados e outras informações relevantes são apresentadas no subitem 6.2 e, com

maiores detalhes, no anexo A.

O CCCF permite simular curtos-circuitos em sistemas elétricos trifásicos

compostos de fontes e de linhas de transmissão. Para tal, o programa representa o sistema

elétrico através de duas fontes, uma em cada extremidade da linha, que são equivalentes

ao sistema em cada ponto e os dados de entrada são, portanto, a tensão e o ângulo de cada

fase destas fontes. Além disso, o programa considera que o curto divide a linha a ser

simulada em dois segmentos, dessa forma, deve ser fornecido os parâmetros π de cada

segmento no domínio das fases. As informações fornecidas na saída do CCCF são os

fasores das grandezas elétricas no domínio das fases em cada ramo do sistema para as

situações de pré-falta, pós-falta e circuito puro de falta.

Já o Alternative Transient Program – ATP é um software para simulação de

transitórios de sistemas elétricos comumente utilizado. Ele oferece diversos modelos para

simulação de linhas de transmissão, tais como: LineZT, Bergeron, PI, JMarti, Semlyen e

Noda. Neste trabalho utilizou-se os modelos PI e Bergeron.


68

O modelo PI do ATP é uma aproximação para linhas curtas utilizando parâmetros

concentrados. Caso seja necessário a simulação de linhas longas neste modelo, é

necessário utilizar uma cascata de modelos PI. O modelo de Bergeron é utilizado para a

simulação de linhas médias e longas. Este modelo, decompõe-se a linha trifásica em três

linhas monofásicas com os parâmetros R e L calculadas em uma frequência específica de

escolha do usuário. A propagação dos modos em cada uma das linhas, mostrada na Figura

6.1, é calculada a partir de sua representação em dois trechos de linha sem perdas e da

consideração de três resistores em pontos distintos da linha.

Figura 6.1 – Representação Modelo de Bergeron. Fonte: (De Conti, 2017)

Os parâmetros inseridos nesses dois modelos no ATP são: extensão da linha,

posição e resistividade dos cabos de fases e para-raios, tamanho médio da flecha,

resistividade do solo e frequência de operação da linha.

As linhas simuladas, cujas características são apresentadas na Tabela 2 e as

geometrias mostradas na Figura 6.2, são baseadas em dados de linhas já existentes

retiradas de (LaForest, 1981). Observa-se que os casos gerados variam a geometria,

comprimento das linhas, níveis de tensão, resistividades do solo, localização do curto-

circuito e resistências de falta, de forma a validar a metodologia para todas estas

variações.

𝑅2⁄

𝑅4⁄ 𝑅

4⁄ LT sem perdas com

comprimento ℓ/2

LT sem perdas com

comprimento ℓ/2

Solo condutor Perfeito

𝐼𝑠 𝐼𝑟

𝑉𝑠 𝑉𝑟


69

Tabela 2 - Principais características dos estudos de casos realizados.

LT Estrut.

Nível

tensão

(kV)

Geomet. Extensão

(km)

Ponto

falta*

(km)

Resist.

falta

(Ω)

Resistividade

do solo (Ωm)

Prog.

simulação

(a) LT (g)

transposta 345 Equilibrada 35,08 20 150 1000

ATP -

Bergeron

(b) LT (e)

transposta 345 Equilibrada 122,31 40,77 10 500 CCCF

(c) 5L6 500 Horizontal 381,415 81,42 10 500 CCCF

(d) 5H1 500 Horizontal 28,3589 3,359 5 10 ATP –

Bergeron

(e) 3L1 345 Triangular

Horizontal 122,31 40,77 2 500 CCCF

(f) 3P1 345 Triangular

Vertical 35,08 20 2 500 ATP - π

(g) 5P1 500 Vertical 17,94419 5 75 1500 ATP - π

(h) 3L7 345 Vertical 241,4 150 7 100 ATP –

Bergeron

*distância do terminal considerado emissor

Figura 6.2 – Geometria das linhas desequilibradas implementadas. Fonte: modificada de (LaForest, 1981)

Na Figura 6.2 foram apresentadas somente as geometrias das linhas

desequilibradas, pois as linhas equilibradas (a) e (b) foram obtidas através da transposição

das linhas (f) e (e), respectivamente. Apesar de a linha (h) possuir circuito duplo, ela foi

implementada com apenas um dos circuitos operando. Utilizar somente um circuito de

uma linha de circuito duplo é uma prática comum, uma vez que o circuito inoperante pode

ser implementado e energizado em expansões futuras da linha.


70

Os parâmetros de referência para as linhas simuladas foram obtidos a partir da

rotina LINE CONSTANTS do ATP. Para avaliar a precisão das metodologias, calcula-se

o valor do erro em relação aos parâmetros de referência através de:

εi (%) = (Pi_est − Pi_ref

Pi_ref) ∗ 100 (6.1)

em que 휀𝑖 é o erro do i-ésimo parâmetro e 𝑃𝑖_𝑒𝑠𝑡 e 𝑃𝑖_𝑟𝑒𝑓 são, respectivamente, os i-ésimos

parâmetros estimado e de referência/corretos.

6.3 Resultados do método de Newton-Raphson

6.3.1 Cálculo de Parâmetros com Matrizes Exatas

Para as LTs (a) e (b), a metodologia de cálculo dos parâmetros utilizando o método

de Newton-Raphson apresentou fatores de desequilíbrio iguais a 1,16 ∙ 10−7 e

4,16 ∙ 10−6 . Consequentemente, o algoritmo identificou-as corretamente como linhas

equilibradas e aplicou a transformação de Clarke para o desacoplamento dos modos. A

convergência do método de Newton-Raphson em 3 ou 4 iterações para todos os

parâmetros e os resultados modais obtidos são apresentados na Tabela 3.

Tabela 3 - Resultados modais das LTs (a) e (b) utilizando Newton-Raphson.

LT (a)

Obtido Esperado Erro (%)

LT (b)


𝑹𝟎 (Ω/km) 0,35200 0,3514 0,00190 0,42639 0,4263 0,00020

𝑹𝜶 , 𝑹𝜷 (Ω/km) 0,02570 0,0257 0,00001 0,05710 0,05711 -0,00002

𝑳𝟎 (mH/km) 4,25014 4,2553 -0,00120 3,81265 3,81275 -0,0003

𝑳𝜶 , 𝑳𝜷 (mH/km) 0,89004 0,89004 0,00001 0,97751 0,97751 0,00001

𝑪𝟎 (nF/km) 6,58450 6,56234 0,00340 7,58390 7,5847 -0,0001

𝑪𝜶 , 𝑪𝜷 (nF/km) 12,8956 12,8955 0,00001 11,9204 11,9205 0,00005

𝒗𝟎 (∙ 𝟏𝟎𝟓km/s) 1,88 - - 1,84 - -

𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 (∙ 𝟏𝟎𝟓km/s) 2,95 - - 2,92 - -

𝝀𝟎 (∙ 𝟏𝟎𝟑 km) 3,13 - - 3,07 - -

𝝀𝟏 , 𝝀𝟐 (∙ 𝟏𝟎𝟑km) 4,92 - - 4,87 - -

𝑹𝑭 (Ω)* 150,00 150,00 0,00 9,9993 10,00 0,007

*O RF apresentado se encontra no domínio das fases


71

Verifica-se que todos os parâmetros das linhas e a resistência de falta

apresentaram erros modais baixos. O comprimento de onda modal foi inferior a 5000 km

e as velocidades modais dos modos aéreos são ligeiramente inferiores à velocidade da

luz. A velocidade de modo zero, como esperado, é ligeiramente maior que a metade do

valor da velocidade dos modos aéreos.

Observa-se ainda que o modo terrestre apresenta erros maiores que os aéreos em

uma ou duas ordens de grandeza para todos os parâmetros. Estes erros são esperados, pois

os parâmetros de sequência zero utilizam variáveis calculadas para outras sequências e,

com isso, ocorre a propagação de erros. Em linhas reais, estes parâmetros levam em

consideração todas as particularidades da composição do solo ao longo de toda a extensão

da LT, bem como regime de chuvas e estações do ano, o que, por sua vez, gera variações

consideráveis em relação aos valores calculados pelos métodos numéricos. Os erros

obtidos no domínio das fases estas linhas são inferiores a 0,5% e são apresentados na

Figura 6.3.

A execução da metodologia para as LTs horizontais, (c) e (d), apresentou fatores

de desequilíbrio iguais a 0,009567 e 0,06239. Portanto, o algoritmo identificou-as como

linhas desequilibradas e selecionou a transformação modal para o desacoplamento dos

modos. A metodologia convergiu com 4 a 6 iterações para todas as variáveis em um

tempo médio de 2,23 ms. O erro obtido para os parâmetros modais é inferior a 0,2% em

todas as variáveis e para a resistência de falta. As velocidades e comprimentos de onda

modais são apresentados na Tabela 4.

Tabela 4 - Resultados modais das LTs (c) e (d) utilizando Newton-Raphson com matrizes exatas.

Velocidade modal (∙ 𝟏𝟎𝟓 km/s) Comprimento de onda (∙ 𝟏𝟎𝟑km)

𝒗𝟎 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝝀𝟎 𝝀𝟏 𝝀𝟐

Linha (c) 2,52 2,97 2,98 4,21 4,95 4,97

Linha (d) 1,90 2,88 2,95 3,17 4,79 4,92

O valor encontrado para velocidade do modo de terra é inferior ao dos modos

aéreos e todos os valores de velocidade de propagação modais respeitam a limitação do

valor da velocidade da luz. Verifica-se também que o comprimento de onda modal foi

inferior ao limite físico de 5000 km. Os resultados obtidos no domínio das fases para estas

linhas apresentaram a mesma precisão dos modais e são apresentados na Figura 6.3.


72

Os parâmetros estimados para as linhas triangular horizontal (e) e triangular

vertical (f) foram igualmente satisfatórios. Os fatores de desequilíbrio foram,

respectivamente, 0,036 e 0,0014 e o número de iterações para convergência do método

de Newton-Raphson variou entre 3 e 5. Todos os erros modais e de parâmetros no

domínio das fases foram inferiores a 0,1% e as velocidades modais, assim como os

comprimentos de ondas modais, estão dentro dos limites físicos admissíveis. Os erros

obtidos no domínio das fases estas linhas são inferiores a 0,5% e são apresentados na

Figura 6.3.

Figura 6.3 - Erros percentuais obtidos nos parâmetros estimados no domínio das fases para as LTs (a), (b), (c), (d), (e)

e (f) no método de Newton-Raphson. Fonte: autora

Para as LTs (g) e (h), a metodologia de cálculo dos parâmetros utilizando o

método de Newton-Raphson apresentou fatores de desequilíbrio iguais a 0,0065 e

0,0390, sendo, portanto, classificadas como linhas desequilibradas pelo algoritmo. O

número de iterações para a convergência variou entre 3 e 6 iterações. A Tabela 5 apresenta

os resultados modais obtidos.


73

Tabela 5 - Resultados modais das LTs (g) e (h) utilizando Newton-Raphson com matrizes exatas

LT (g)


LT (h)


𝑹𝟎 (Ω/km) 0,18105 0,18062 0,2400 0,38792 0,38087 1,9000

𝑹𝟏 (Ω/km) -0,00474 -0,00474 0,0160 0,13856 0,13872 -0,1200

𝑹𝟐 (Ω/km) 0,01476 0,01476 0,0054 0,13235 0,13250 -0,1200

𝑳𝟎 (mH/km) 3,3388 3,34111 -0,0690 3,49341 3,4636 0,8600

𝑳𝟏 (𝒎𝑯/𝑲𝒎) 1,07745 1,07751 -0,0053 1,48683 1,48682 0,00029

𝑳𝟐 (mH/km) 0,89660 0,89657 0,0034 1,29379 1,29379 0,00046

𝑪𝟎 (nF/km) 6,02201 5,92127 1,7000 5,80105 5,7623 0,67

𝑪𝟏 (nF/km) 10,9479 10,6843 2,4700 7,82677 7,75976 0,86

𝑪𝟐 (nF/km) 13,0154 12,7294 2,2500 8,79771 8,76551 0,37

𝒗𝟎 (∙ 𝟏𝟎𝟓 km/s) 2,24 - - 1,84 - -

𝒗𝟏 (∙ 𝟏𝟎𝟓 km/s) 2,95 - - 2,92 - -

𝒗𝟐 (∙ 𝟏𝟎𝟓 km/s) 2,96 - - - -

𝝀𝟎 (∙ 𝟏𝟎𝟑km) 3,74 - - 4,16 - -

𝝀𝟏 (∙ 𝟏𝟎𝟑km) 4,91 - - 4,95 - -

𝝀𝟐 (∙ 𝟏𝟎𝟑km) 4,93 - - 4,97 - -

𝑹𝑭 (Ω)* 1,9994 2,00 -0.025 6,8233 7,00 -2,52

*O RF apresentado se encontra no domínio das Fases

Verifica-se que os erros obtidos para linhas verticais com matrizes exatas, apesar

de maiores, são satisfatórios limitando-se a 2,47% para a capacitância da linha (g) e os

valores de velocidade e comprimento de onda na linha estão dentro dos limites físicos. A

Figura 6.4 exibe os erros obtidos no domínio das fases para as LTs (g) e (h).


74

Figura 6.4 – Erros percentuais obtidos nos parâmetros estimados no domínio das fases para as LTs (g) e (h) no

método de Newton-Raphson. Fonte: autora

A partir da figura, verifica-se que o erro máximo é de 1,26% para elementos da

diagonal principal e de 3,07% fora dela para os parâmetros resistivos da linha (h). O fato

de a capacitância apresentar erros mais elevados para linhas verticais pode estar

relacionado ao grau de assimetria da linha, pois as distâncias ao solo variam de maneira

significativa para cada fase do sistema.

A partir dos resultados apresentados neste tópico, pode-se afirmar que o método

de Newton-Raphson Multivariável com matrizes exatas estimou com sucesso os

parâmetros das linhas de transmissão implementadas nesse trabalho. Verifica-se também

que estes resultados foram alcançados com um número baixo de iterações do método de

Newton-Raphson para todos os parâmetros modais e o tempo médio de execução foi de

2 ms.

6.3.2 Cálculo de Parâmetros com Matrizes Não Exatas

Para avaliar o efeito do cálculo de parâmetros utilizando matrizes não exatas,

implementou-se o algoritmo para uma linha de cada geometria. Dessa forma, nas linhas

horizontais, utilizou-se a matriz de transformação de (d) para o cálculo dos parâmetros de

(c). Nas linhas verticais, a matriz da LT (h) foi utilizada para o cálculo dos parâmetros de


75

(g). Como as geometrias das linhas triangulares não podem ser consideradas próximas

uma vez que são linhas triangulares horizontal e vertical, foi modelada uma nova linha de

geometria triangular vertical para o cálculo dos parâmetros da linha (f).

Como exposto anteriormente, não se deve comparar resultados modais obtidos a

partir de duas matrizes de transformações diferentes. Dessa forma, aplicou-se a matriz

não exata para o cálculo dos parâmetros e para a determinação dos valores de referência

modais utilizados no cálculo de erro. As Tabelas 6, 7 e 8 apresentam os valores obtidos

para os parâmetros de referência das linhas (c), (f) e (h), respectivamente, utilizando

matrizes de transformação não exatas.

Tabela 6 - Parâmetros de Referência Modais obtidos para a LT (c) utilizando uma matriz não exata

Resistência (Ω) Indutância (mH) Capacitância (nF)

0,36778 0,00073 0,00156 3,14115 0,00856 0,01568 8,57425 -0,0408 -0,0658

0,00073 0,00872 0,00001 0,00856 1,09912 -0,0002 -0,0408 11,0057 -0,0027

0,00156 0,00001 0,00823 0,01568 -0,0002 0,91451 -0,0658 -0,0027 12,5562

Tabela 7 - Parâmetros de Referência Modais obtidos para a LT (f) utilizando uma matriz não exata


0,31391 -0,0112 -0,0035 4,08755 0,01226 0,04555 31,6715 -2,0198 -2,1618

-0,0112 0,02425 0,00025 0,01226 0,90056 -0,0002 -2,0198 24,6632 -2,2911

-0,0035 0,00025 0,02157 0,04555 -0,0002 0,88223 -2,1618 -2,2911 56,8789

Tabela 8 - Parâmetros de Referência Modais obtidos para a LT (h) utilizando uma matriz não exata


0,28085 0,0099 -0,0005 3,17775 0,14343 0,0278 6,04786 0,23251 -0,1866

0,0099 0,01513 0,0001 0,14343 1,07867 -0,0025 0,23251 10,9298 0,02425

-0,0005 0,0001 0,01386 0,0278 -0,0025 0,87688 -0,1866 0,02425 13,0213

Pelas tabelas, verifica-se que a diferença entre os elementos da diagonal principal

e os elementos fora da diagonal principal é de duas ou mais ordens de grandeza para linha

horizontal e de uma ordem de grandeza nas linhas triangulares. Já na linha vertical,

verifica-se que os elementos fora da diagonal principal chegam a ter a mesma ordem de

grandeza dos elementos da diagonal principal. Isto evidencia que, à medida que a

assimetria da linha aumenta, a capacidade de a matriz não exata desacoplar as matrizes

de parâmetros de referência da linha a ser calculada diminui. Consequentemente, a


76

precisão da estimação dos parâmetros utilizando matrizes não exatas, também deve

diminuir.

A Tabela 9 apresenta o resultado obtido para o cálculo de parâmetros das linhas

(c), (g) e (h) com matrizes não exatas.

Tabela 9 - Resultados modais médios para as LTs (c), (f) e (g) utilizando Newton-Raphson com matrizes não exatas

LT (c)

Obtido Erro (%)

LT (f)

Obtido Erro (%)

LT (g)

Obtido Erro (%)

𝑹𝟎 (Ω/km) 0,32095 -0,127 0,37193 -1,400 0,25349 -9,740

𝑹𝟏 (Ω/km) 0,00883 0,0124 0,018130 0,390 0,01570 3,770

𝑹𝟐 (Ω/km) 0,008153 -0,009 0,025330 -0,200 0,01206 -13,00

𝑳𝟎 (mH/km) 3,162051 0,006 4,05047 -4,070 3,0647 -3,560

𝑳𝟏 (𝒎𝑯/𝑲𝒎) 1,099141 0,00002 0,90269 0,100 1,0663 -1,150

𝑳𝟐 (mH/km) 0,914354 -0,0002 0,88068 -0,095 0,87635 -0,060

𝑪𝟎 (nF/km) 8,437458 -0,016 6,56007 -6,900 6,04874 0,014

𝑪𝟏 (nF/km) 11,00572 -0,0000 12,82394 -0,050 10,8887 -0,380

𝑪𝟐 (nF/km) 12,5588 0,00020 12,93667 -0,046 13,0332 0,0920

𝒗𝟎 (∙ 𝟏𝟎𝟓 km/s) 1,92 - 2,04 - 2,31 -

𝒗𝟏 (∙ 𝟏𝟎𝟓 km/s) 2,88 - 2,94 - 2,93 -

𝒗𝟐 (∙ 𝟏𝟎𝟓 km/s) 2,95 - 2,96 - 2,98 -

𝝀𝟎 (∙ 𝟏𝟎𝟑km) 3,20 - 3,40 - 3,86 -

𝝀𝟏 (∙ 𝟏𝟎𝟑km) 4,79 - 4,90 - 4,89 -

𝝀𝟐 (∙ 𝟏𝟎𝟑km) 4,92 - 4,93 - 4,93 -

𝑹𝑭 (Ω)* 10,993 9,928 2,2198 11,00 2,012 0,6100

*O RF apresentado se encontra no domínio das fases

Observa-se que os resultados modais obtidos para as LTs com matrizes não exatas

são maiores que os obtidos com as matrizes exatas, principalmente para a linha de

geometria vertical. Além disso, as velocidades e os comprimentos de onda modais se

encontram dentro dos limites físicos. Os erros obtidos ao se comparar as matrizes

originais àquelas obtidas no domínio das fases são apresentados na Figura 6.5.


77

Figura 6.5 – Erros percentuais médios obtidos nos parâmetros estimados no domínio das fases para as LTs (c), (g) e

(h) no método de Newton-Raphson com matrizes não-exatas. Fonte: autora

Verifica-se que os erros obtidos para os parâmetros foram consideravelmente

maiores do que os obtidos nos parâmetros modais. Isto se deve ao fato de que a

metodologia parte do pressuposto que as matrizes de transformação utilizadas conseguem

desacoplar perfeitamente a linha. Consequentemente, os elementos fora da diagonal

principal nas tabelas 6, 7 e 8 são considerados nulos e, portanto, não são estimados. Dessa

forma, apesar de os parâmetros modais apresentarem erros inferiores a 13%, os erros nos

parâmetros no domínio das fases chegam a 18,63% para os elementos próprios e 15,2%

para os mútuos.

Verifica-se que apesar de o cálculo de parâmetros com matrizes não-exatas

apresentar resultados aceitáveis para as linhas analisadas, é necessária cautela. A exatidão

deste método depende do grau de assimetria da linha e da semelhança entre a linha a ser

parametrizada e a LT escolhida para gerar a matriz não exata, de forma a minimizar os

termos espúrios fora da diagonal principal.


78

6.4 Resultados Obtidos Utilizando Algoritmo Evolutivo

As análises neste tópico são divididas em três partes: a primeira consiste na análise

dos erros médios e máximos obtidos no cálculo dos parâmetros utilizando o algoritmo

evolutivo implementado. A segunda é a aborda a convergência do algoritmo para as

execuções bem-sucedidas e a terceira examina a convergência para as execuções que não

convergiram.

De forma a comprovar a exatidão e a precisão do método, o algoritmo evolutivo

apresentado neste trabalho foi executado 25 vezes para cada linha implementada com os

ajustes apresentados na Tabela 10.

Tabela 10 - Ajustes do Algoritmo Genético Implementado.

Nome/Descrição Variável Valor

Tamanho da População Npop 150

Nº Máximo de Gerações Ngen 1500

Número de Repetições Nrepeat 25

Número de Variáveis Nvar 18

Probabilidade do operador de Seleção por Torneio ProbSel 0,75

Probabilidade do Cruzamento ProbCruz 0,2

Probabilidade da Mutação DE ProbDE 0,5

Probabilidade da Mutação Polinomial ProbMut 0,25

Probabilidade de troca de variáveis do cruzamento PC 0,05

Índice de distribuição da mutação Polinomial Etam 10

probabilidade de mutação de cada variável sujeita à

mutação polinomial mr 0,028

Nº de indivíduos inseridos no final de cada geração D 5

Tamanho da subpopulação utilizada para a criação dos

indivíduos inseridos FIn 𝑁𝑝𝑜𝑝

3⁄

Pesos da função Objetivo:

𝒂 = 𝟎, 𝟏, 𝒃 = 𝒄 = 𝒆 = 𝒇 = 𝟏, 𝒅 = 𝟐, 𝒈 = 𝟎, 𝟎𝟏 𝒆 𝒉 = 𝟎, 𝟏

Critérios de Parada: (c.v. = 1 E geração > 800) OU geração = Ngen


79

Todos os valores de tempo de execução relatados neste trabalho foram gerados

em um computador Intel® Core™ i7-8550U CPU @ 1.8 GHz com 8GB de memória e

sistema operacional Windowns 10 64 bits. A versão utilizada do Matlab® foi a R2016b.

6.4.1 Análise dos Erros nos Parâmetros Obtidos

Os erros médios obtidos no cálculo dos parâmetros das linhas equilibradas, (a) e

(b), no domínio das fases foram satisfatórios e inferiores a 0,5%. Os erros máximos

obtidos no cálculo dos parâmetros destas linhas também são aceitáveis e apresentam valor

máximo de 2,16%. Os erros obtidos para as linhas equilibradas, (a) e (b), são

apresentados na Figura 6.6.

Figura 6.6 - Erros médios e máximos obtidos na estimação dos parâmetros da linha (a) e (b) no domínio das fases em

25 execuções do algoritmo. Fonte: autora

Os erros obtidos para as linhas (c) e (d), cujas geometrias são horizontais e níveis

de tensão iguais a 500kV, são apresentados na Figura 6.7.


80

,

Figura 6.7 - Erros médios e máximos obtidos na estimação dos parâmetros das linhas (c) e (d) no domínio das fases

em 25 execuções do algoritmo. Fonte: autora

A partir da figura, verifica-se que a linha (c) apresentou erros médios e máximos

inferiores a 1%. Para linha (d), observa-se que os erros médios ficaram limitados a 2,23%

para a resistência própria e 4,2% para a resistência mútua. Já os erros máximos são

menores que 1,4% para a indutância e a capacitância próprias e mútuas. Quanto à

resistência, o erro observado é de 4,5% para os termos próprios e 5,9% para os mútuos.

Os erros obtidos para as linhas (e) e (f) são apresentados na Figura 6.8. Para a

linha triangular horizontal de 345 kV (e), obteve-se erros menores que 1,0% para todos

os parâmetros e para resistência de falta. A linha (f) apresenta erros médios e máximos

limitados a 4,01%.


81

Figura 6.8 - Erros médios e máximos obtidos na estimação dos parâmetros das linhas (e) e (f) no domínio das fases

em 25 execuções do algoritmo. Fonte: autora

Os erros obtidos no cálculo de parâmetros para as linhas verticais em 23 execuções

da linha (g) e 25, da linha (h) são apresentados na Figura 6.9.

Figura 6.9 - Erros médios e máximos obtidos na estimação dos parâmetros das linhas (g) e (h) no domínio das fases

para todas as execuções. Fonte: autora


82

Verifica-se que os erros médios dos elementos próprios e mútuos da capacitância

e da indutância em ambas as linhas são baixos e apresentam valor máximo limitado a

1,1% para os termos próprios e 3,4% para os mútuos em todas as execuções. A resistência,

por sua vez, apresenta valores de erro mais elevados, porém aceitáveis, sendo 2,37% e

10,56% nos valores médios e 5,82% e 13,22% nos valores máximos respectivamente para

as linhas (g) e (h). Assim como constatado no método de Newton-Raphson, os erros

apresentados pelas linhas verticais foram maiores do que para as geometrias anteriores.

Através dos resultados apresentados, observa-se que as linhas modeladas

utilizando o Bergeron apresentaram erros maiores no parâmetro de resistência. Uma

parcela deste erro pode ser atribuída à representação utilizada para a resistência no modelo

de Bergeron.

Verifica-se ainda que duas das 25 execuções implementadas para a linha (g) não

convergiram corretamente, atingiram o número máximo de iterações e apresentaram erros

altos para os elementos R32 (85%), R33 (50%) e R22 (30%). Para os demais elementos,

os erros foram inferiores a 10%. Optou-se por apresentá-las separadamente, pois mesmo

se este fosse um caso em que os resultados corretos não fossem conhecidos, seria possível

discernir estes resultados dos demais através da diferença entre os valores obtidos em

várias execuções do algoritmo e pela análise da convergência do método, como será

explicitado no próximo tópico.

A Figura 6.10 apresenta os erros médios obtidos para os elementos das matrizes

de parâmetros em todas as linhas.


83

Figura 6.10 - Módulo dos erros médios nos parâmetros em 25 execuções do Algoritmo Genético. Fonte: autora

Verifica-se que os elementos relacionados à fase que sofreu a falta, R11, R12, L11,

L12, L32, L33, C11, C12, C32 e C33 foram os que apresentaram menores erros para todas as

linhas analisadas, estando limitados a 2% para os valores médios e máximos. Os

elementos R22, R31, L22, L31, C22 e C31 também apresentaram erros limitados a 3,7%. Já os

temos R32, R33, apresentaram erros superiores e limitados a 10,6%. Verifica-se também

esta tendência durante a convergência, pois estes parâmetros foram os últimos a

convergirem.

De maneira geral, verifica-se que os maiores erros encontradas em todas as linhas

foram para os elementos da resistência, especialmente, nas linhas simuladas utilizando o

modelo de Bergeron. Os elementos da matriz de indutância apresentaram erros médios

inferiores a 1,5% em todas as linhas. Os elementos da capacitância apresentaram erros

médios inferiores a 1,0% em todas as linhas.


84

6.4.2 Análise do Comportamento do Método para Situações de

Convergência Bem-Sucedidas

A Figura 6.12 apresenta a população inicial para uma execução do algoritmo

aplicado ao cálculo dos parâmetros da linha (c).

Figura 6.11 - População Inicial do algoritmo evolutivo implementado para a LT (c). (Fonte: autora)

A partir da figura, verifica-se que os elementos se encontram dispersos pelo

espaço de busca de cada variável. Devido ao uso de dois critérios para criação da

população inicial, descrito no item 5.4, têm-se que uma parcela dos indivíduos se

concentram na região em que se encontra a resposta correta, que por sua vez, é indicada

na com um símbolo X em vermelho. Os valores considerados como corretos são aqueles

usados para a geração das linhas simuladas. Observa-se que o indivíduo que possui a

melhor avaliação na população, assinalado por um círculo rosa, não está próximo ao


85

resultado esperado para nenhuma das variáveis, o que indica a existência de mínimos

locais nessas regiões do espaço de busca.

Observou-se que o comportamento da população para todas as configurações de

linhas pode ser dividido em 3 etapas distintas: localização da macrorregião da resposta

esperada, convergência para microrregião da resposta e refinamento. Verifica-se que a

primeira etapa dura entre 50 e 100 gerações dependendo da configuração da linha. A

localização da microrregião de convergência perdura, em média, até a 600ª geração. O

refinamento da resposta, por sua vez, é a etapa que apresenta maior variação no número

de gerações entre as configurações de linha, durando entre 200 e 600 gerações.

A Figura 6.12 permite a visualização destas etapas através da análise da

convergência da população para o elemento R11 em 6 momentos diferentes: População

inicial, 30ª, 50ª, 200ª, 500ª e 800ª geração.

Figura 6.12 - Convergência do parâmetro R11 [a] População inicial [b] População na 30ª [c] População na 50ª

geração [d] População na 200ª geração [e] População na 500ª geração [f] População na 800ª geração. Fonte: autora

Na população inicial, apresentada em [a], tem-se que os indivíduos se distribuem

por todo o espaço de busca e o c.v. inicial é de 125,08 indicando o espalhamento dos

dados. Para 30ª geração, apresentada em [b], verifica-se que a população se encontra no

[a] [b] [c]

[d] [e] [f]


86

processo deslocamento para a macrorregião da resposta correta e de eliminação dos

indivíduos afastados, estando assim na primeira etapa. Observa-se que o indivíduo que

possui a melhor avaliação já se encontra na macrorregião da resposta e o valor de c.v.

aumentou para 635,08. A variação de c.v. ao longo da convergência é realizada

detalhadamente nesta seção.

Em [c], toda a população se encontra concentrada na macrorregião e, portanto, a

população se encontra no processo de localização da microrregião da resposta esperada.

Na figura [d] verifica-se que a população convergiu para esta região e o c.v. variou de

69,74 para 28,23 entre [c] e [d]. Entre [d] e [e] ocorre o processo de refinamento dos

parâmetros em que os indivíduos exploram a microrregião de convergência em busca do

mínimo global. Em [f] têm-se que os indivíduos convergiram para o mínimo global e toda

a população se encontra suficientemente concentrada. Verifica-se que o critério de

convergência de c.v. = 1 foi atingido a partir da 622ª geração, contudo o algoritmo

continua convergindo uma vez que o número mínimo de gerações (800) não foi atingido

e o valor de c.v. para última geração é de 0,5266.

A Figura 6.13 apresenta o gráfico do número de filhos gerados que substituem

os pais ao longo das gerações pelos operadores evolutivos.

Figura 6.13 - Número de filhos gerados pelos operadores evolutivos ao longo da convergência para uma execução do

método para linha (c). Fonte: autora

A quantidade de indivíduos gerados por cruzamento é equiparável às outras,

pois, apesar de a sua média de valores ser inferior no gráfico, a probabilidade de


87

cruzamento é de apenas de 0,2. Verifica-se que as mutações DE e Polinomial produzem

em média a mesma quantidade de indivíduos. Verifica-se ainda que o número de

indivíduos gerados por cada operador é, em média, constante para todas as gerações do

algoritmo, o que, por sua vez, é um indício de que foram ajustados corretamente.

A Figura 6.14 apresenta o gráfico da avaliação dos Npop indivíduos da

população ao longo da convergência em uma única execução do método para a linha (c).

Figura 6.14 – Função Objetivo dos indivíduos da população ao longo das gerações para uma única execução do

método. (Fonte: a autora)

Observa-se que, apesar de existirem indivíduos com notas inferiores a 2, a maioria

da população apresenta notas altas. Isto ocorre devido ao fato de que muitos indivíduos

da população inicial apresentam valores de parâmetros que, apesar de possíveis, fazem

com que as funções hiperbólicas apresentem valores infinitos de função objetivo. Estes

valores são limitados em 106 pelo programa. Ao longo das gerações observa-se que os

indivíduos menos aptos são eliminados e a população é refinada até que se atinjam os

critérios de parada. Observa-se ainda que os indivíduos inseridos ao final de cada geração,

apresentam notas da mesma ordem de grandeza do restante da população, pois não

existem aumentos significativos no valor da função objetivo de nenhum indivíduo ao

longo das gerações.


88

A Figura 6.15 apresenta os gráficos da avaliação do melhor indivíduo da

população ao longo das gerações para cada uma das execuções do algoritmo no cálculo

dos parâmetros da linha (c).

Figura 6.15 – [a] Valor da função objetivo do melhor indivíduo da população ao longo da convergência para todas as

execuções da linha (c) [b] Zoom próximo a região final de convergência. Fonte: a autora

Verifica-se que o comportamento de convergência da população é semelhante em

todas as execuções do algoritmo. Existem pequenos intervalos de estagnação, no entanto

estes não afetam de maneira significativa o desempenho. As quedas abruptas nas

avaliações ao longo da convergência indicam que, na geração em que isto ocorre, os

operadores evolutivos criaram um ou mais indivíduos filhos com avaliações

significativamente melhores, que substituíram os melhores indivíduos da geração

anterior. O segundo gráfico apresenta um zoom das últimas gerações do algoritmo.

Observa-se que, em todas as execuções, o programa atinge o critério de c.v. = 1 antes da

740ª geração e encerra assim que atinge o critério mínimo de gerações. A queda abrupta

no valor da Objetivo após a 700ª geração se deve à mudança da estrutura de cálculo da

avaliação do indivíduo e verifica-se que, após esta, a diferença de nota entre a execução

de menor valor e a de maior, diminui substancialmente.

A nota média obtida ao final do algoritmo para todas as execuções é de

8,294 ∙ 10−06, ao passo que o valor da função objetivo para os parâmetros de referência

foi de 1,93 ∙ 10−05. A obtenção de avaliações menores do que a referência pode ocorrer

em um algoritmo devido às limitações numéricas do processo durante as fases de

[a] [b]


89

simulação da linha, estimação fasorial e execução do algoritmo evolutivo. Dessa forma,

verifica-se que, quando as notas dos indivíduos atingem a ordem de grandeza dos erros

numéricos, o algoritmo tem a tendência de perder a pressão seletiva. Contudo, quando

isto ocorre, o resultado já se encontra satisfatoriamente próximo dos parâmetros de

referência e os erros encontrados podem ser considerados pequenos.

A Figura 6.16 apresenta o gráfico do coeficiente de variação percentual da população ao

longo das gerações para as Nrepet execuções do método.

Figura 6.16 –[a] Coeficiente de variação percentual da população ao longo da convergência para todas as execuções

da linha (c). [b] Zoom próximo a região final de convergência. (Fonte: a autora)

Verifica-se que o comportamento do coeficiente de variação percentual ao longo

das gerações é semelhante para todas as execuções do algoritmo. Inicialmente tem-se um

valor alto de c.v. que aumenta exponencialmente devido à redução da média da população

nas 100 primeiras gerações sem que haja redução significativa no valor do desvio padrão.

Em seguida, o valor de c.v. diminui abruptamente a partir do momento em que toda a

população adentrou a macrorregião de convergência. A partir deste ponto, o c.v. da

população foi diminuindo gradualmente à medida que ela foi se concentrando na

microrregião dos valores de referência. Após as 100 primeiras gerações, não houve

aumento significativo de c.v., o que junto com o fato de o algoritmo ter atingido um

resultado satisfatório, indica que não houve convergência para mínimos locais.

No segundo gráfico, observa-se que o critério c.v. = 1 foi atingido antes da 640ª

geração em algumas execuções, enquanto em outras, isto ocorreu para valores próximos

da 800ª. Isto demonstra o caráter probabilístico do algoritmo uma vez que, nas execuções

[a] [b]


90

em que a convergência ocorreu rapidamente, as operações foram aleatoriamente

favorecidas, enquanto nas demais não.

As figuras a seguir apresentam a convergência da população através dos gráficos

do logaritmo da função objetivo ao longo das gerações para as linhas implementadas neste

trabalho.

Figura 6.17 - Função objetivo do melhor indivíduo ao longo da convergência para 25 execuções da linha (a), linha

(b), linha (c) e linha (d), respectivamente. (Fonte: a autora)

LT (a) LT (b)

LT (c) LT (d)


91

Figura 6.18 - Função objetivo do melhor indivíduo ao longo da convergência para todas as execuções das linhas (e),

(f), (g) e (h), respectivamente. (Fonte: a autora)

Através dos gráficos apresentados, observa-se que mesmo que a geração e o

refinamento da população sejam processos probabilísticos, a convergência da nota do

melhor indivíduo para várias execuções do método entre linhas de mesma geometria é

similar. Para as linhas triangulares, houve maior distanciamento entre os

comportamentos, contudo, isto pode ser explicado pelo fato de o grau de assimetria mudar

bastante entre linhas triangulares escolhidas.

Os gráficos da Figura 6.19 e da Figura 6.20 apresentam o comportamento do

coeficiente de variação em função das gerações para as linhas implementadas neste

trabalho e para as 25 execuções.

LT (e) LT (f)

LT (g) LT (h)


92

Figura 6.19 - Coeficiente de variação percentual da população ao longo da convergência para 25 execuções da

linha (a), linha (b), linha (c) e linha (d), respectivamente. (Fonte: a autora)

LT (a) LT (b)

LT (c) LT (d)

LT (e) LT (f)


93

Figura 6.20 - Coeficiente de variação percentual da população ao longo da convergência para 25 execuções da

linha (g) e linha (h), respectivamente. (Fonte: a autora)

Observa-se que os gráficos do coeficiente de variação ao longo das gerações

apresentam aspecto turbulento com trechos de aumento no valor de c.v. seguidos de

quedas abruptas neste. Isto indica que, antes de c.v. aumentar, o algoritmo convergia para

um determinado mínimo local, porém, os operadores evolutivos localizaram outro

mínimo de valor inferior ao primeiro. Dessa forma, durante o processo de deslocamento

da população para este novo mínimo, a dispersão da população aumenta. Quando o

processo se completa e toda a população se encontra na região do novo mínimo, o valor

de c.v. volta a cair indicando que a população está convergindo no novo mínimo.

Consequentemente, pode-se afirmar que quanto maior o número de elevações nos valores

de c.v., maior o número de mínimos locais encontrados durante o processo de

convergência.

A partir desta análise, tem-se que o comportamento de c.v. das linhas equilibradas

e horizontais apresentam baixa turbulência ao longo da convergência, o que indica que a

população encontrou poucos mínimos locais ao longo de sua convergência. As linhas

triangulares apresentaram turbulência significativa para as gerações iniciais que se

estabiliza próximo à convergência, o que, aliado ao fato de o erro encontrado ser baixo,

denota que a população convergiu para o mínimo global. Já as linhas verticais são as que

apresentaram maiores turbulências, o que está de acordo com os resultados anteriores em

que se verificou que linhas verticais são as que apresentam maiores erros.

LT (g) LT (h)


94

Nesta aplicação, o tempo de execução não é um fator crítico, contudo, sua análise

é um indicador da qualidade do algoritmo e, portanto, é interessante. Os fatores relevantes

para a análise do tempo de execução são o número de gerações e o número de avaliações

realizadas pelo algoritmo em uma execução. O número de chamadas da rotina de

avaliação é importante para avaliar o desempenho do algoritmo porque, neste trabalho, a

rotina de avaliação de soluções consome cerca de 90% do tempo de execução.

Tabela 11 – Tempo médio de execução para cada uma das linhas implementadas.

Linhas Nº médio de

gerações

Nº de chamadas da

Função Objetivo

Tempo

médio (s)

Equilibradas LT (a) 800 141.881,4 91,2

LT (b) 800 142.023,4 99,3

Horizontais LT (c) 800 142.098,6 110,63

LT (d) 984,7 172.305,0 158,72

Triangulares LT (e) 800 141.916,4 180,3

LT (f) 800,3 141.973,4 132,39

Verticais LT (g) 949,6 178.583,2 250,39

LT (h) 1151,6 223.377,8 311,66

Como esperado, o número de acessos à função objetivo está relacionado à

quantidade de gerações necessárias à convergência. As linhas verticais foram as

necessitaram de maior tempo para a convergência, pois são as que apresentam o maior

número médio de gerações. As linhas equilibradas apresentaram tempos menores de

execução mesmo possuindo número de gerações próximos devido ao fato de a rotina de

cálculo direto de parâmetros não ser implementada para indivíduos aproximadamente

equilibrados. As linhas que apresentam baixa assimetria podem possuir indivíduos

aproximadamente equilibrados e isso pode diminuir de maneira significativa o número

final de execuções desta rotina. Como a rotina de cálculo de parâmetros pelo método

direto é responsável por cerca de 5% do tempo de execução, a diferença final no tempo é

significativa.

Verificou-se que os algoritmos aqui implementados apresentaram boa

convergência dentro do número máximo de gerações estabelecido. Todas as execuções


95

que convergiram apresentaram velocidades de convergência aceitáveis, sem longos

períodos de estagnação, a precisão é adequada e a exatidão dos resultados foi satisfatória.

Todos os resultados apresentados neste tópico atestam que, apesar de o algoritmo

evolutivo proposto ser uma técnica probabilística, a obtenção do resultado não ocorre de

maneira aleatória. O comportamento do algoritmo é similar em todas as execuções que

convergiram para uma mesma geometria de linha e entre as geometrias também existem

semelhanças.

6.4.3 Análise do Comportamento do Método para Situações de Não-

Convergência

Para a LT (d), a convergência média da população foi semelhante à linha (c),

contudo, na 17ª execução, a convergência não foi atingida e o método parou pelo número

máximo de iterações, como mostra a Figura 6.21.

Figura 6.21 – Nota dos melhores indivíduos da população ao longo das gerações para a linha (d) em todas as

execuções do método. (Fonte: a autora)

Pelo gráfico, verifica-se que antes da mudança no cálculo da função objetivo, a

17ª execução apresentava resultados na mesma ordem de grandeza das demais. Para o

restante das gerações, esta execução exibe longos períodos de estagnação seguidos de


96

pequenas quedas nos valores. Isto indica que a população adentrou uma região de mínimo

local e precisou de um número maior de gerações para encontrar a microrregião de

convergência. Apesar da quantidade de gerações demandada, a nota final da população

na 17ª execução e o valor médio das demais são próximos e iguais a, 4,689 ∙ 10−05e

3,691∙ 10−05, respectivamente.

De forma a analisar detalhadamente a convergência para esta situação, a Figura

6.22 apresenta o gráfico do valor do coeficiente de variação percentual ao longo das

gerações para todas as execuções do algoritmo.

Figura 6.22 - Coeficiente de variação percentual da população ao longo da convergência para todas as execuções da

linha (d). (Fonte: a autora)

A partir do gráfico verifica-se que o c.v. da população da 17ª execução aumentou

para as últimas gerações. Isto indica que o algoritmo tinha caído em um mínimo local e

ao sair deste, a dispersão da população aumentou, até que toda a população migrasse para

o novo mínimo encontrado. Observa-se também que, próximo às gerações finais, o valor

do coeficiente de variação diminui, indicando assim, que população começou a convergir

novamente. Contudo, o critério de parada do número máximo de gerações foi atingido

antes que o algoritmo conseguisse acabar de convergir. Desta forma, o valor final de c.v.

foi igual a 6,78.

Os erros finais obtidos para os parâmetros no domínio das fases para a 17ª

execução da linha (d) são apresentados na Figura 6.23.


97

Figura 6.23 - Erros encontradas na execução nº 17 do algoritmo para linha (d) . (Fonte: a autora)

Verifica-se que os erros podem ser considerados baixos e estão na mesma ordem

de grandeza dos demais erros obtidos na linha, conclui-se então que a população achou o

mínimo correto e que o melhor indivíduo estava próximo da resposta, contudo, não restou

gerações suficientes a convergência do restante da população.

A Figura 6.24 apresenta a nota dos melhores indivíduos da população ao longo

das gerações para a linha (g). Como mencionado no item anterior, das 25 execuções

implementadas para a linha, duas não convergiram.


98

Figura 6.24 - [a] Valor da função objetivo do melhor indivíduo da população ao longo da convergência para todas as

execuções da linha (g). [b] Zoom do gráfico anterior próximo a região final de convergência. [c] Valor da função

objetivo da 12ª execução do método para a linha (g). [d] Zoom do gráfico anterior próximo a região final de

convergência. (Fonte: a autora)

Verifica-se na Figura 6.24 [b] que a convergência da população para a LT (g)

apresenta comportamento similar em todas as execuções, exceto para a reta horizontal

laranja, que por sua vez, é composta pelos traços das execuções 5ª e 12ª sobrepostas. O

fato de o valor da função objetivo estagnar para um valor alto de função objetivo indica

que a população convergiu para um mínimo local e não conseguiu se deslocar para o

mínimo global.

A Figura 6.24 [c] e Figura 6.24 [d], apresentam a convergência da população para

a 12ª execução. Verifica-se que o melhor indivíduo da população inicial apresenta uma

boa avaliação em comparação com as demais execuções. A população parece convergir

[a] [b]

[c] [d]


99

normalmente até por volta da 600ª geração em que ocorre a estagnação do valor da função

objetivo em 1,053 ∙ 10−05.

A Figura 6.25 apresenta o gráfico do coeficiente de variação percentual da

população ao longo das gerações para as 25 execuções e para a 12ª execução do método.

Figura 6.25 – [a] Coeficiente de variação percentual da população ao longo da convergência para todas as execuções

da linha (h). [b] Coeficiente de variação percentual da população para a 12ª execução do método para a linha (g).

[c] Zoom próximo à região final. Fonte: autora

O comportamento da LT (g) ao longo da convergência é bastante turbulento para

diversas execuções. Constata-se que possivelmente o algoritmo cai diversas vezes em

mínimos locais ao longo da convergência, mas, na maioria dos casos, consegue migrar

para outra região com sucesso. O número médio de gerações necessárias à convergência

foi de 949,6, contudo esta quantidade variou entre 899 e 1357, nos casos em que houve

convergência.

[a]

[b] [c]


100

Para a 12ª geração, verifica-se que o comportamento de c.v. até a 600ª geração foi

similar ao apresentado nas outras execuções e, após este ponto, ocorre a estagnação dos

valores de c.v. e da função objetivo. Este fato indica que não existe mais variações

significativas na população e, portanto, os operadores evolutivos são incapazes de

produzir indivíduos melhores, como é verificado no gráfico da Figura 6.26.

Figura 6.26 – Número de filhos gerados pelos operadores evolutivos ao longo da convergência. Fonte: autora

A Figura 6.27 apresenta o gráfico da localização da população no espaço de

buscas das variáveis R32 e R33 para as gerações 100, 500 e 700.

Figura 6.27 - Convergência dos Parâmetros R32 e R33 para [a] População na 100ª geração. [b] População na 500ª

geração [c] População na 700ª geração. Fonte: autora

A partir das evidências apresentadas, conclui-se que na 12ª execução, a

convergência inicial da população é similar às demais e a localização da macrorregião de

[a] [b] [c]


101

convergência ocorreu com sucesso. Contudo, durante o processo de localização da

microrregião de convergência, o algoritmo foi incapaz de localizar o mínimo global, pois

adentrou e permaneceu em uma região de mínimo local.

Apesar da não convergência das execuções apresentadas neste item, verificou-se

que é possível diferenciar estas execuções daquelas que calcularam os parâmetros

corretamente, através da observação dos valores médios obtidos em diversas execuções e

da análise da convergência dessas execuções. Dessa forma, considera-se que o algoritmo

evolutivo proposto neste item consegue calcular com sucesso os parâmetros das linhas de

transmissão implementadas.

6.5 Análise da influência da variação do local de falta para os

métodos

Os métodos propostos neste trabalho partem do pressuposto que local de falta é

conhecido com exatidão. Dessa forma, é necessário a realização de um estudo para

verificar o impacto que um erro na localização da falta gera no cálculo dos parâmetros. O

erro na localização da falta é gerado através da multiplicação da distância entre o emissor

e o ponto de falta por um fator que varia entre 0,95 e 1,05, obtendo-se, portanto, erros

entre -5% e +5% na localização do ponto de falta.

As Figuras 6.34 e 6.35 apresentam os gráficos do módulo dos erros obtidos em

uma linha equilibrada e outra desequilibrada para diferentes valores de erro na localização

da falta no método de Newton-Raphson. Estes erros foram obtidos utilizando-se a

equação (6.1).


102

Figura 6.28 – Módulo do erro da estimação dos parâmetros de acordo com a precisão da localização de falta para LT

(a) no método de Newton-Raphson. Fonte: autora

Figura 6.29 - Módulo do erro da estimação dos parâmetros de acordo com a precisão da localização de falta para LT

(e) no método de Newton-Raphson. Fonte: autora

Como esperado, à medida que o erro da localização da falta aumenta, os erros dos

parâmetros obtidos aumentam e verifica-se existência de uma relação aproximadamente

linear entre eles. Verifica-se ainda uma tendência assimétrica, em que erros obtidos ao

deslocar o local de falta para mais próximo do receptor são maiores do que ao deslocá-lo

no sentido oposto. Para os termos capacitivos da linha equilibrada, os erros foram

limitados a 1% para os termos próprios e 8% para os mútuos, se o ponto de falta possuir

um erro de até 5%. Já na linha desequilibrada, os erros foram mais significativos,

chegando a 30% para o termo C31.


103

Ao contrário do que se esperava, os erros máximos na resistência e na indutância

para os termos da linha equilibrada foram maiores do que os erros para a linha

desequilibrada. Isso indica que nível de assimetria da linha não pode ser relacionado a

maiores erros caso a localização da falta não seja precisa.

A Figura 6.30 e a Figura 6.31 apresentam o módulo dos erros obtidos ao se

deslocar o local de falta em 1% para, respectivamente, mais próximo ao emissor ou ao

receptor.

Figura 6.30 - Módulo dos erros médios nos parâmetros ao se deslocar o local de falta para mais próximo do emissor

em 1% para todas as LTs no método de Newton-Rapshon. Fonte: autora

Figura 6.31 – Módulo dos erros médios nos parâmetros ao se deslocar o local de falta para mais próximo do receptor

em 1% para todas as LTs no método de Newton-Rapshon. Fonte: autora

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

R11 R21 R22 R31 R32 R33 L11 L21 L22 L31 L32 L33 C11 C21 C22 C31 C32 C33

Mó

du

lo d

os

erro

s (%

)

LT (a) LT (b) LT (c) LT (d) LT (e) LT (f) LT (g) LT (h)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


Erro

s (%

)



104

Observa-se que, aplicando-se um erro de 1% na localização da falta, os erros

apresentados pelo método de Newton-Raphson foram da ordem de 10% para as linhas

equilibradas, horizontais e triangulares. Para as linhas verticais, verifica-se que o

algoritmo apresenta erros aceitáveis no cálculo da linha (g), contudo, foi incapaz de

calcular os parâmetros da linha (h).

A Figura 6.32 apresenta o módulo dos erros obtidos para uma linha desequilibrada

variando-se o erro de localização da falta para o método de Algoritmo Genético.

Figura 6.32 - Módulo do erro médio da estimação dos parâmetros de acordo com a precisão da localização de falta

para LT (e) em 10 execuções do algoritmo evolutivo. Fonte: autora

Verifica-se que a estimação dos parâmetros de uma linha desequilibrada

utilizando Algoritmo Genético, apresentou erros maiores do que os apresentados pelo

método de Newton-Raphson. Além disso, houve a inversão da tendência assimétrica dos

erros observada nos gráficos anteriores. Nesta metodologia, locais de faltas deslocados

para o lado do emissor apresentam valores consideravelmente maiores que erros na

localização de falta no sentido oposto.

A Figura 6.33 e a Figura 6.34 apresentam o módulo dos erros obtidos em ambas

as metodologias ao se deslocar o local de falta em 1% para, respectivamente, mais

próximo ao emissor ou ao receptor.


105

Figura 6.33 - Módulo dos erros médios nos parâmetros ao se deslocar o local de falta para mais próximo do emissor

em 1% para todas as LTs em 5 execuções do algoritmo evolutivo. Fonte: autora

Figura 6.34 - Módulo dos erros médios nos parâmetros ao se deslocar o local de falta para mais próximo do receptor

em 1% para todas as LTs em 5 execuções do algoritmo evolutivo. Fonte: autora

Observa-se que os erros aumentaram de maneira significativa em relação aos erros

obtidos pelo método de Newton-Raphson.

Nos resultados obtidos no método de Newton-Raphson, era possível observar

semelhança entre os erros obtidos nos elementos para todas as linhas. Contudo, este fato

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100




106

não se verifica nos resultados obtidos pelo algoritmo evolutivo. Verifica-se também que

as linhas assimétricas são as mais sensíveis ao erro de localização.

A partir das análises deste tópico, constata-se que os resultados das metodologias

utilizando Newton-Raphson e Algoritmo Evolutivo são fortemente influenciados pela

exatidão do local da falta. Os erros encontrados na maioria das linhas para a variação de

1% no local da falta chegaram a 20%. Para as linhas de geometria vertical, o erro chegou

a 50% para a linha (g) e, na linha (h), os parâmetros não foram estimados com sucesso

pelas duas metodologias implementadas.

Dessa forma, para o funcionamento adequado das metodologias propostas neste

trabalho, é necessário garantir previamente a precisão da localização da falta. Isto pode

ser feito através das informações fornecidas nos relatórios das equipes de manutenção ou

através da implementação de um algoritmo de refinamento do local de falta em uma etapa

anterior ou concomitantemente ao cálculo dos parâmetros.

7 Conclusões e Propostas de

Continuidade

7.1 Conclusões

Os parâmetros das linhas de transmissão são de importância primária para o

funcionamento e qualidade da energia do sistema elétrico, uma vez que influenciam em

diversos fenômenos. Dessa forma, o conhecimento preciso destes parâmetros permite o

gerenciamento eficiente e ajuste correto da proteção dos ativos presentes no sistema.

Neste contexto, essa dissertação apresenta duas metodologias para o cálculo dos

parâmetros de linhas de transmissões de diferentes geometrias a partir de medições sem

a necessidade de desligamento da linha.

Os dados de entradas de ambas as metodologias consistem das informações

básicas da linha, do ponto de falta e medições dos períodos pré-falta e durante a falta para

curtos-circuitos. Neste trabalho, limitou-se o estudo à eventos monofásicos, contudo, as

metodologias obtidas podem ser estendidas para os demais tipos de curtos a partir da

adaptação dos cálculos das correntes de falta modais do algoritmo e, possivelmente, de

um reajuste dos parâmetros no caso do algoritmo evolutivo.

Verifica-se que o método de Newton-Raphson com matrizes exatas apresentou

bons resultados para todas as linhas simuladas, apresentando erro máximo de 3% para

linhas verticais. Além disso, a convergência foi rápida para todas as linhas implementadas

(3 a 6 iterações) e as velocidades modais e comprimentos de ondas respeitam os limites

físicos. Contudo, devido à necessidade do conhecimento prévio dos parâmetros da linha

para obtenção das matrizes de transformação exatas, este método é mais adequado para o

cálculo de parâmetros de linhas equilibradas ou para aferição dos parâmetros obtidos

anteriormente por outros métodos.

O método de Newton-Raphson com matrizes não exatas apresentou resultados

aceitáveis para o cálculo dos parâmetros. Contudo, este método é fortemente influenciado

CAPÍTULO 7 – CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE CONTINUIDADE

108

pela escolha das matrizes de transformação. Quanto mais próxima as características da

linha que gerou a matriz não exata forem das características da linha cujos parâmetros são

calculados, mais precisa será a estimação.

De forma a superar as limitações presentes nos métodos de Newton-Raphson com

matrizes exatas e não exatas, optou-se por implementar um algoritmo evolutivo. Este

método é capaz de calcular os parâmetros de uma linha de transmissão de geometria

desconhecida utilizando como dados de entrada as grandezas medidas, o ponto de falta e

as características básicas da linha como extensão e nível de tensão.

Os resultados obtidos pelo algoritmo evolutivo foram satisfatórios. As linhas

equilibradas apresentaram erros médios inferiores a 1% em todos os parâmetros. A

exatidão do método para as linhas horizontais e triangulares também foi satisfatória,

apresentando erros médios inferiores a 4,5% para elementos próprios e mútuos. Para

linhas verticais desequilibradas os erros foram maiores, mas aceitáveis, sendo o erro

médio dos parâmetros limitados a 5% nos parâmetros próprios e de 10,6% nos mútuos.

Os maiores erros encontrados foram, assim como na metodologia de Newton-Raphson,

no cálculo de parâmetros de linhas verticais. Possivelmente, um algoritmo evolutivo

ajustado e utilizado somente para linhas desta geometria ofereceria resultados mais

precisos.

Nos estudos de casos, existiram execuções em que o algoritmo não convergiu,

contudo, estes podem ser diferenciados dos que apresentaram bons resultados mesmo sem

os parâmetros corretos através da análise dos resultados médios obtidos em diversas

execuções e através da análise de convergência.

Todos os resultados apresentados atestam que, apesar de o algoritmo evolutivo

ser uma técnica probabilística, a obtenção do resultado não ocorre de maneira aleatória.

O comportamento do algoritmo é similar em todas as execuções para uma mesma linha e

entre linhas de mesma geometria.

Verifica-se que o cálculo dos parâmetros de linhas é fortemente influenciado pela

exatidão do ponto de falta fornecido ao programa. A maioria dos casos apresentou erros

moderados para a variação de 1% na exatidão do ponto de falta, porém, para as linhas

verticais, os parâmetros não foram calculados com sucesso. Nos estudos realizados, um

erro de 5% inviabiliza a estimação para a maioria dos casos. Dessa forma, é necessário

garantir a precisão da localização da falta através de relatórios das equipes de manutenção

CAPÍTULO 7 – CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE CONTINUIDADE

109

ou implementar um algoritmo de refinamento do ponto de falta juntamente com o cálculo

dos parâmetros.

As metodologias desenvolvidas neste trabalho podem ser adaptadas a outros tipos

de equipamentos, tais como cabos instalados em bandejas nas indústrias ou cabos

subterrâneos. Especialmente, a metodologia utilizando algoritmo evolutivo uma vez que

esta não necessita de matrizes de transformação previamente conhecidas. A obtenção de

parâmetros precisos para estes equipamentos permite o dimensionamento correto dos

circuitos de alimentação, realização de estudos de sobrecarga, curto-circuito, nível de

aquecimento dos equipamentos, entre outros. O cálculo dos parâmetros poderá ser

utilizado também para verificar o estado dos equipamentos ao longo da vida útil destes

identificando, por exemplo, falhas de isolamento.

7.2 Propostas de Continuidade

Para a continuidade deste trabalho sugere-se:

• Realização de estudos de caso com oscilografias de curtos reais;

• Implementação de um algoritmo evolutivo auto-adaptativo;

• Ajuste individual do algoritmo de acordo com a geometria da linha,

especialmente para as linhas verticais;

• Implementação de uma metodologia de refinamento do local de falta para

garantir a precisão desta informação e

• Determinação de uma linha equilibrada equivalente para as linhas

desequilibradas de forma minimizar os erros nos principais estudos

elétricos comumente realizados.

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Problemas com Variáveis Contínuas e Altamente Restritos. Ilha Solteira, SP.

Anexos

Anexo A: Dados das Linhas Implementadas

As linhas implementadas neste trabalho são baseadas em dados de linhas já

existentes retiradas de (LaForest, 1981). Este anexo apresenta as informações necessárias

para a simulação destas linhas. Para as linhas desequilibradas apresenta-se a silhueta das

torres, características construtivas e parâmetros calculados pela sub-rotina Line Constants

do ATP. Para as linhas equilibradas, apresenta-se as matrizes de parâmetros calculados

pela sub-rotina do ATP e a linha cuja diagonalização gerou os dados da linha

implementada.

A Tabela 12 apresenta as matrizes de parâmetros da LT (a), obtidos através da

diagonalização da linha (g).

Tabela 12 - Parâmetros corretos para a LT (a)

Parâmetros Corretos Linha (a)

Resistência (Ω) Indutância(mH) Capacitância (nF)

0,13427 0,10855 0,10855 2,01181 1,12176 1,12176 10,7845 -2,11108 -2,11108

0,10855 0,13427 0,10855 1,12176 2,01181 1,12176 -2,11108 10,7845 -2,11108

0,10855 0,10855 0,13427 1,12176 1,12176 2,01181 -2,11108 -2,11108 10,7845

A Tabela 13 apresenta as matrizes de parâmetros da LT (a), obtidos através da

diagonalização da linha (e).

Tabela 13 - Parâmetros corretos para a LT (b)

Parâmetros Corretos Linha (b)


0,18018 0,12307 0,12307 1,92259 0,94508 0,94508 10,47525 -1,44527 -1,44527

0,12307 0,18018 0,12307 0,94508 1,92259 0,94508 -1,44527 10,47525 -1,44527

0,12307 0,12307 0,18018 0,94508 0,94508 1,92259 -1,44527 -1,44527 10,47525

A Figura A.1 presenta a silhueta da torre típica da LT (c) cuja geometria é

horizontal. Os dados construtivos e os parâmetros de referência são apresentados na

Tabela 14 e na Tabela 15.

ANEXOS

114

Figura A.1 – Silhueta da LT (c) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

Tabela 14 – Dados construtivos da LT (c) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

GERAIS

1. Nome: Mc Cullough-Toluca

2. Tensão Nominal: 500 kV

3. Comprimento: 381,415 km

CONDUTORES FASE

4. Tipo: ACSR

5. Nome: Mc Cullough-Toluca

6. Raio externo: 2,28854 cm

Raio Core: 0,51689 cm

7. RMG: 0,0181356 m

8. RAC(100ºC): 0,01640 Ω/km

RDC(25ºC): 0,01230 Ω/km

9. Flecha máxima: 13,716 m

10. No de condutores por fase: 2

11. Espaçamento: 0,4572 m

12. Vão médio: -

CADEIA DE ISOLADORES

13. Tamanho isolador: 5 3/4 “ = 0,14605 m

14. No. de isoladores: 18

15. Tamanho cadeia: 18×0,14605 = 2,6289m

CONDUTORES PÁRA-RAIOS

16. Número: 2

17. Tipo: EHS Steel – classe A


Diâmetro externo: 0,012573

Raio interno: 0,13335 cm

19. RMG: 0,0045551979

20. RAC(baixas correntes): 1,4167 Ω/km


ESTRUTURA

22. Tipo: 5L6

ANEXOS

115

Tabela 15 - Parâmetros corretos para a LT (c)

Parâmetros Corretos Linha (c)


0,12720 0,12073 0,11848 1,72485 0,75755 0,62572 10,64043 -1,42959 -0,36501

0,12073 0,13098 0,12073 0,75755 1,71199 0,75755 -1,42959 10,85989 -1,42959

0,11848 0,12073 0,12720 0,62572 0,75755 1,72485 -0,36501 -1,42959 10,64043

A Figura A.2 apresenta a silhueta da torre típica da LT (d) cuja geometria é

horizontal. Os dados construtivos e os parâmetros de referência são apresentados na

Tabela 16 e na Tabela 17.

Figura A.2 – Silhueta da LT (d) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

ANEXOS

116

Tabela 16 – Dados construtivos da LT (d) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

GERAIS

1. Nome da LT: Calv't CI'fs-Chalk F


3. Comprimento: 28,3588

CONDUTORES FASE

4. Tipo: ACSR

5. Nome: Lapwing

6. Diâmetro externo: 0,0382016m 45/7

Diâmetro interno: 0,0095504m

7. RMG: 0,2261796761 ohms/km

8. RAC(100ºC): 0,0490884462 ohms/km

RDC(25ºC): 0,036660991 ohms/km

9. Flecha máxima: 17,0688


11. Espaçamento: 0,4572

12. Vão médio:


13. Tamanho isolador: 0,14605 m


15. Tamanho cadeia: 3,94335 m


16. Número: 2

17. Tipo: Alumoweld– 19 no. 9

18. Diâmetro externo: 0,0145288

19. RMG: 0,2072356 m

20. RAC(baixas correntes): 0,6946947

Ω/km

21. Flecha máxima: 7,9248

ESTRUTURA

22. Tipo: 5H1

Tabela 17 - Parâmetros corretos para a LT (d)

Parâmetros Corretos Linha (d)


0,069760 0,057110 0,056130 2,00388 0,57072 0,43474 6,78628 -1,07006 -0,46394

0,057110 0,070660 0,056780 0,57072 1,98379 0,56261 -1,07006 6,97371 -1,04699

0,056130 0,056780 0,069170 0,43474 0,56261 1,98925 -0,46394 -1,04699 6,8254

A Figura A.3 apresenta a silhueta da torre típica da LT (e) cuja geometria é

triangular horizontal. Os dados construtivos e os parâmetros de referência são

apresentados na Tabela 18 e na Tabela 19.

ANEXOS

117

Figura A.3 – Silhueta da LT (e) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

Tabela 18 – Dados construtivos da LT (e) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

GERAIS

1. Nome da LT: Hills-Red Rock



CONDUTORES FASE

4. Tipo: ACSR

5. Nome: Gannet

6. Diâmetro externo: 0,0257556 m

√𝑫𝒆𝒙𝒕 ∙ 𝑺 = 0,1085147930929235 m

Core: 0,0094996 m

7. RMG: 0,01045464 m

√𝑹𝑴𝑮 ∙ 𝑺 = 0,0691365417706151 m

8. RAC(100ºC): 0,113835 Ω/km

RAC(100ºC)/2: 0,0569175 Ω/km

RDC(25ºC): 0,08755141859 Ω/km




12. Vão médio: 338,81 m


13. Tamanho isolador: 5 3/4 “ = 0,14605

m


15. Tamanho cadeia: 18× 0,14605 =

2,6289 m


16. Número: 2

17. Tipo: EHS Steel – classe C


Diâmetro interno: 0,003048 m

19. RMG: 0,33128712 cm


Ω/km


ESTRUTURA

22. Tipo: 3L1

ANEXOS

118

Tabela 19 - Parâmetros corretos para a LT (e)

Parâmetros Corretos Linha (e)


0,17818 0,12412 0,12098 1,92574 0,98912 0,85701 10,36028 -1,87876 -0,57828

0,12412 0,18418 0,12412 0,98912 1,91629 0,98912 -1,87876 10,70518 -1,87876

0,12098 0,12412 0,17818 0,85701 0,98912 1,92574 -0,57828 -1,87876 10,36028

A Figura A.4 apresenta a silhueta da torre típica da LT (f) cuja geometria é

triangular vertical. Os dados construtivos e os parâmetros de referência são apresentados

na Tabela 20 e na Tabela 21.

Figura A.4 – Silhueta da LT (f) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

ANEXOS

119

Tabela 20 - Dados construtivos da LT (f) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

GERAIS

1. Nome da LT: Six Mile-Seven Mile



CONDUTORES FASE

4. Tipo: ACAR

5. Nome: Curlew



7. RMG: 0,01216152 m

8. RAC(100ºC): 0,066238337 Ω/km

RDC(100ºC): 0,0497098 Ω/km




12. Vão médio: 349,85652 m




15. Tamanho cadeia: 2,6289


16. Número: 1

17. Tipo: EHS Steel – classe C



19. RMG: 0,33128712 m



ESTRUTURA

22. Tipo: 3P1

Tabela 21 - Parâmetros corretos para a LT (f)

Parâmetros Corretos Linha (f)


0,13679 0,10638 0,10290 1,94207 1,06228 1,0508 10,90353 -2,11926 -2,0265

0,10638 0,12720 0,098680 1,06228 1,95259 1,07088 -2,11926 10,71763 -2,18747

0,10290 0,098680 0,12114 1,0508 1,07088 1,95946 -2,0265 -2,18747 10,73234

A Figura A.5 apresenta a silhueta da torre típica da LT (g) cuja geometria é

vertical (linha de circuito duplo em que só se utilizou um dos circuitos). Os dados

construtivos e os parâmetros de referência são apresentados na Tabela 22 e na Tabela 23.

ANEXOS

120

Figura A.5 – Silhueta da LT (g) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

Tabela 22 – Dados construtivos da LT (g) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

GERAIS

1. Nome: Millw’d-Plsnt. Valley



CONDUTORES FASE

4. Tipo: ACSR

5. Nome: Kiwi 72/7


Raio Core: 0,44069 cm

7. RMG: -

8. RAC(100ºC): 0,036598 Ω/km

RDC(25ºC): 0,26346204 Ω/km




12. Vão médio: -




15. Tamanho cadeia: 18× 0,14605 = 2,6289 m


16. Número: 2

17. Tipo: Allumoweld


Raio interno: -

19. RMG: -



ESTRUTURA

22. Tipo: 3L7

ANEXOS

121

Tabela 23 - Parâmetros corretos para a LT (g)

Parâmetros Corretos Linha (g)


0,11536 0,094930 0,090940 1,68888 0,79832 0,68011 9,77193 -2,54464 -1,07668

0,094930 0,10317 0,085900 0,79832 1,74701 0,84252 -2,54464 10,23165 -2,44268

0,090940 0,085900 0,096730 0,68011 0,84252 1,77921 -1,07668 -2,44268 9,97501

A Figura A.6 apresenta a silhueta da torre típica da LT (h) cuja geometria é

vertical. Os dados construtivos e os parâmetros de referência são apresentados na Tabela

24 e na Tabela 25.

Figura A.6 – Silhueta da LT (h) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

ANEXOS

122

Tabela 24 – Dados construtivos da LT (h) de geometria horizontal. Fonte: (LaForest, 1981)

GERAIS

1. Nome da LT: New Freedom-Deans



CONDUTORES FASE

4. Tipo: ACAR

5. Nome: 2300 84/19



7. RMG: 0,01789176 m

8. RAC(100ºC): 0,03461046 Ω/km

RDC(25ºC): 0,0240471249 Ω/km




12. Vão médio: 321,868 m


13. Tamanho isolador: 5 3/4 “ = 0,14605

m


15. Tamanho cadeia:


16. Número: 1

17. Tipo: Alumoweld – 19 no. 9


19. RMG: 0,2072356 m


Ω/km


ESTRUTURA

22. Tipo: 5P1

Tabela 25 - Parâmetros corretos para a LT h)

Parâmetros Corretos Linha (h)


0,22168 0,088880 0,078090 2,11096 0,76328 0,61454 7,78858 -1,00974 -0,44103

0,088880 0,22151 0,081530 0,76328 2,0836 0,73578 -1,00974 7,4503 -1,25086

0,078090 0,081530 0,20890 0,61454 0,73578 2,04964 -0,44103 -1,25086 7,21868

estimaÇÃo dos parÂmetros de linhas de transmissÃo …

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