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Campus de Ilha Solteira

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

“Representação de Linhas de Transmissão, Utilizando Elementos Discretos de Circuitos, no Domínio das Fases.”

RODRIGO CLEBER DA SILVA

Orientador: Prof. Dr. Sérgio Kurokawa

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Automação.

Ilha Solteira – SP

Março/2012

FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.

Silva, Rodrigo Cleber da. S586r Representação de linhas de transmissão, utilizando elementos discretos de circuitos, no domínio das fases / Rodrigo Cleber da Silva. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2012 92 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2012 Orientador: Sérgio Kurokawa Inclui bibliografia

1. Parâmetros discretos. 2. Transitórios eletromagnéticos. 3. Energia elétrica – Transmissão. 4. Linhas de transmissão. 5. Modelos de linhas de transmissão.

UneSp A UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA

FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA

C E R T I F I C A D O D E A P R O V A Ç Ã O

TÍTULO: Representação de Linhas de Transmissão, Utilizando Elementos Discretos de Circuitos,

AUTOR: R O D R I G O C L E B E R DA S ILVA

ORIENTADOR: Prof. Dr. S E R G I O K U R O K A W A

Aprovado como parte das exigências para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Elétrica , Área: AUTOMAÇÃPrPeíaComissão Examinadora:

E ^ r D r . S g ^ G I O KUROKAWA Departamento de Engenharia Elétrica / Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

no Domínio das Fases

JNANDO BOVOLATO Engenharia Elétrica / Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira

Departamento de Tecnologia - DTEC / Universidade Estadual de Feira de Santana

Data da realização: 02 de março de 2012.

Dedico este trabalho primeiramente a Deus, aos meus pais, minhas irmãs, a Fabiana da Silva de Campos, a todos os companheiros de repúblicas e a todos que acreditaram em mim nessa jornada.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente gostaria de agradecer a Deus por todas as oportunidades fornecidas

para realização do curso de pós-graduação em uma universidade conceituada e a saúde

durante todo esse tempo.

Aos meus pais, Olinda Aparecida dos Santos da Silva e Paulo Cleber da Silva, pela a

oportunidade e por acreditarem em mim todos esses anos. As minhas irmãs, Bruna Lidiane da

Silva e Thamara Thaiane da Silva, por torcerem por mim nessa jornada.

Aos companheiros de república, aos todos os outros familiares e todos os amigos em

especial a minha namorada Fabiana da Silva de Campos que me ajudaram em momentos

difíceis.

Ao Prof. Dr. Sérgio Kurokawa pela oportunidade dada para realização deste trabalho.

Por fim, não menos importante, ao CNPq pelo auxílio financeiro para o

desenvolvimento desta pesquisa.

RESUMO

Neste trabalho será mostrado o desenvolvimento de dois modelos de linhas de

transmissão, baseados em elementos discretos de circuitos, que fornecem respostas

diretamente no domínio do tempo e nas fases. Os dois modelos propostos partem da hipótese

de que um pequeno segmento de linha de transmissão pode ser representado por um circuito

. Hipótese esta já validada para linhas monofásicas por diversos autores, e que neste trabalho

será utilizada para representar pequenos segmentos de linhas bifásicas e trifásicas. Deste

modo, tais linhas serão representadas por uma grande quantidade de blocos (constituídos de

elementos discretos de circuitos que representam um pequeno segmento de linha) conectados

em cascata. No primeiro modelo proposto, válido para representar linhas idealmente

transpostas, as fases de cada um dos pequenos segmentos de linha são separados em seus

modos de propagação, e as correntes e tensões são calculadas no domínio modal. No entanto a

conversão fase-modo-fase está inserida nas equações de estado que descrevem as correntes e

tensões ao longo da linha, sendo que não há a necessidade do usuário do modelo conhecer a

teoria de representação de linhas no domínio modal. Uma vez que o modelo não usa

explicitamente o processo de decomposição modal, neste trabalho o mesmo será considerado

como sendo um modelo desenvolvido no domínio das fases sem o uso explícito da teoria de

decomposição modal. Este modelo pode ser utilizado para representar linhas que podem ter

suas fases desacopladas por matrizes reais e invariáveis em relação à frequência. A

representação de pequenos segmentos de linhas por elementos discretos de circuitos também

foi aplicada em linhas bifásicas e trifásicas sem plano de simetria vertical. Neste caso, devido

ao fato de que as matrizes que separam a linha em seus modos de propagação não serem reais

e invariáveis em relação à frequência, o modelo foi desenvolvido diretamente no domínio das

fases sem a utilização de matrizes de decomposição modal.

Palavras-chave: Circuitos π. Transitórios eletromagnéticos. Linhas de transmissão. Modelos

de linha de transmissão.

ABSTRACT

This paper will show the development of two models of transmission lines,

based on discrete circuit elements, which provide answers directly in the time domain

and phase. The two proposed models start from the assumption that a small segment of

transmission line can be represented by a -circuit, this hypothesis has already been

validated for single-phase by several authors and this work will be used to represent

small segments of lines biphasic and triphasic. Thus, these lines will be represented by a

large number of blocks (consisting of discrete circuit elements that represent a small

segment of the line) in cascade. In the first model, valid for ideally transposed lines

represent the phases of each small line segments are separated into their modes of

propagation and the currents and voltages are calculated in the modal domain. However

the conversion phase-mode-phase is inserted into the state equations describing the

currents and voltages along the line being that there is no need for the user the model to

know representation theory of modal lines. Since the model does not explicitly use

modal decomposition process, this paper it will be considered to be a model developed

in the field of the phases without the explicit use of modal decomposition theory. This

model can be used to represent lines that may have decoupled phases for real matrices

and invariant with respect to frequency. The representation of small line segments by

discrete circuit elements has also been applied in biphasic and triphasic lines without

vertical symmetry plane. In this case, due to the fact that the matrices that separate line

in their modes of propagation are not real and invariant with respect to frequency, the

model was developed directly in the field of the phases without the use of modal

decomposition matrices.

Keywords: π-circuits. Electromagnetic transients. Transmission lines. Transmission line

models.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 8

2 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES DE LINHAS DE TRANSMISSÃO

12

2.1 Introdução 12 2.2 Linhas monofásicas 12 2.2.1 Equações de corrente e tensão no domínio do tempo 12 2.2.2 Equações de corrente e tensão no domínio da frequência 15 2.3 Linhas com mais de uma fase 17 2.4 Conclusão 22 3 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO

IDEALMENTE TRANSPOSTAS 24

3.1 Introdução 24 3.2 Representação de linha bifásica que possui plano de simetria

vertical 24

3.3 Representação de linhas trifásicas idealmente transpostas 37 3.4 Validação dos modelos desenvolvidos 51 3.4.1 Validação do modelo para linhas bifásicas com plano de

simetria vertical 51

3.4.2 Validação do modelo para linhas trifásicas idealmente transposta

54

3.5 Conclusão 57 4 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO

COM OU SEM TRANSPOSIÇÃO 58

4.1 Introdução 58 4.2 Algumas considerações a respeito do modelo proposto 58 4.3 Representação de linhas bifásica 60 4.4 Representação de linhas trifásicas 66 4.5 Validação dos modelos desenvolvidos 73 4.5.1 Modelo para linha bifásica 74 4.5.2 Validação do modelo para linhas trifásicas 78 4.6 Conclusão 83 CONCLUSÕES 85 REFERÊNCIAS 87 ANEXO A REPRESENTAÇÃO DE LINHAS TRIFÁSICAS NO

DOMÍNIO MODAL 89

A.1 Introdução 89 A.2 Linha de transmissão idealmente transposta 89 A.3 Linha de transmissão não idealmente transposta com plano

de simetria vertical 91

8

1 INTRODUÇÃO

Sabe-se que uma linha de transmissão de energia elétrica possui uma característica

básica que é o fato de seus parâmetros longitudinais e transversais serem distribuídos ao longo

do comprimento da mesma. Esta característica, juntamente com o fato de que os parâmetros

longitudinais da linha são variáveis em função da frequência, tornam a linha de transmissão

de energia elétrica um elemento com certas particularidades que devem ser levadas em

consideração no momento de sua representação (MARTI, 1982).

A natureza distribuída dos parâmetros longitudinais de uma linha de transmissão

deve ser levada em conta, principalmente, em estudos e simulações de transitórios

eletromagnéticos resultantes de operações de manobras e de descargas atmosféricas que

ocorrem na linha ou próximas à mesma. Nestas situações, as correntes e tensões transitórias

na linha assumem características tais que uma perfeita compreensão das mesmas somente é

possível se tais grandezas forem tratadas como ondas que se propagam ao longo da linha de

transmissão. Esta particularidade faz com que diversos pesquisadores, desde 1960, trabalhem

no desenvolvimento de modelos de linhas de transmissão voltados para análise de transitórios

eletromagnéticos que ocorrem no sistema elétrico devido à distúrbios verificados na linha.

Os parâmetros longitudinais e transversais de uma linha de transmissão de energia

são definidos em função das características geométricas da linha, do meio que envolve seus

condutores (no caso o ar, em se tratando de linhas aéreas) e das características elétricas e

magnéticas dos condutores e do solo sobre o qual a linha foi construída (HOFMANN, 2003).

Todos estes fatores fazem com que os parâmetros longitudinais das linhas aéreas sejam

variáveis em relação à frequência.

Para análise de transitórios eletromagnéticos resultantes de operações de manobras e

de chaveamentos que ocorrem em linhas de transmissão monofásicas, pode-se representar tal

linha por meio de uma cascata de circuitos (MAMIS, 2005).

O modelo de linha, em que a mesma é representada por meio de uma cascata de

circuitos , pode ser utilizado para representar linhas polifásicas. Neste caso, a linha de n

fases acopladas devido às impedâncias mútuas deve ser separada em seus n modos de

propagação que se comportam, no domínio modal, como n linhas monofásicas totalmente

desacopladas. Em seguida, cada modo de propagação pode ser representado por meio de uma

cascata de circuitos (MAMIS, 2005). Uma vez calculadas as correntes e tensões em cada

9

um dos modos de propagação, é possível obter as correntes e tensões nas fases da linha. A

conversão fase-modo-fase dá-se por meio do uso de uma matriz de decomposição modal

adequada (WEDEPHOL, 1996).

A representação de linhas polifásicas por meio do modelo descrito anteriormente

tem como vantagem o fato de ser um modelo desenvolvido diretamente no domínio do tempo,

que pode ser facilmente implementado em programas clássicos utilizados em simulações de

transitórios eletromagnéticos em sistemas de energia elétrica (TAVARES, 1999) (como

exemplo de tais programas, é possível citar o Electromagnetic Transients Program - EMTP

(DOMMEL, 1996)). Este modelo também pode ser descrito na forma de equações de estado e

ser utilizado de modo independente sem a necessidade de se dispor de um programa do tipo

EMTP (COSTA, 2010, 2011; KUROKAWA, 2009, 2010).

Com o intuito de facilitar a transformação fase-modo-fase, neste trabalho foi

desenvolvido um modelo de linha de transmissão bifásica e trifásica, fundamentado na cascata

de circuitos π, que a partir da omissão da matriz de transformação é possível obter as

correntes e tensões em qualquer ponto da linha diretamente no domínio do tempo e das fases,

conforme mostrado na figura 1.

Figura 1 – Diagramas de blocos do modelo clássico modal e do modelo proposto.

Fonte: Produção do próprio autor.

A representação de linhas polifásicas por meio de cascatas de circuitos tem como

desvantagem o fato de que é necessário representar a linha no domínio modal, onde os modos

de propagação comportam-se como linhas monofásicas independentes. Tal representação

depende da utilização de uma matriz de decomposição modal que, exceto em casos bem

(a) (b)

10

específicos, são matrizes pertencentes ao domínio dos números complexos e que não podem

ser diretamente representadas no domínio do tempo.

Somente linhas bifásicas com plano de simetria vertical e linhas trifásicas

idealmente transpostas podem ser separadas em seus modos de propagação a partir de

matrizes reais e independentes da frequência.

Linhas trifásicas não idealmente transpostas, mas que possuem um plano de simetria

vertical também podem, com algumas aproximações, serem representadas no domínio modal.

Assim a representação de linhas de transmissão por meio de cascata de circuitos é,

até o presente momento, um modelo restrito às linhas idealmente transpostas e/ou que

possuem um plano de simetria vertical. No entanto tal restrição deixaria de existir caso a

necessidade de se utilizar a representação modal, para separar a linha de n fases em n linhas

monofásicas, fosse eliminada.

Deste modo, surgiu a idéia de se desenvolver um modelo de linha de transmissão

trifásica utilizando as mesmas hipóteses utilizadas quando se representa uma linha monofásica

por meio de uma cascata de circuitos , que são:

i) Uma linha longa pode ser representada por uma grande quantidade de

pequenos segmentos de linha;

ii) Um pequeno segmento de linha pode ser representado por elementos discretos

de circuitos (elementos R, L, G e C).

Com base nas hipóteses i e ii, pode-se representar cada fase de uma linha trifásica

(ou com mais fases) como sendo uma cascata de circuitos , desde que seja levado em conta o

acoplamento existente entre as fases desta linha. Deste modo, um pequeno segmento de uma

linha bifásica ou trifásica seria representado por um circuito constituído pelas impedâncias

longitudinais próprias e mútuas e pelas condutâncias entre cada uma das fases e o solo e entre

as fases.

Com base na hipótese de que uma linha bifásica ou trifásica pode ser representada

por uma grande quantidade de pequenos segmentos de linha bifásica ou trifásica, é possível

então obter um modelo de linha bifásica e trifásica diretamente no domínio das fases, ou seja,

sem a necessidade de se separar a linha em seus modos de propagação. Neste modelo, as

correntes e tensões ao longo da linha serão escritas, no domínio do tempo, na forma de

equações de estado.

11

O modelo para linha bifásica ou trifásica, proposto neste trabalho, poderá ser

utilizado em simulações de transitórios eletromagnéticos resultantes de operações de

manobras e chaveamentos que ocorrem em sistemas de energia elétrica, tendo como principal

característica o fato de que o mesmo poderá ser utilizado para representar, diretamente no

domínio do tempo, linhas com e/ou sem plano de simetria vertical. Pode-se dizer que, em se

tratando de modelos a parâmetros discretos, o modelo proposto será mais preciso que os

modelos existentes, pois o mesmo não é baseado na teoria de decomposição modal que, na

maioria das vezes, é utilizada de forma aproximada.

Neste trabalho, inicialmente será apresentado uma introdução sobe a teoria de linhas

de transmissão, onde serão mostradas representações de linhas monofásicas e polifásicas. No

capítulo 3 será mostrado o desenvolvimento do modelo proposto I, este modelo baseia-se no

modelo modal clássico, embutindo as transformações fase-modo-fase de modo a obter uma

única equação de estado. Por fim, será desenvolvido um novo modelo de linha de transmissão

polifásica, sendo que este representado diretamente no domínio das fases e do tempo sem o

uso de qualquer matriz de decomposição modal.

12

2 EQUAÇÕES DE CORRENTES E TENSÕES DE LINHAS DE

TRANSMISSÃO

2.1 Introdução

As linhas de transmissão são caracterizadas por sua capacidade de conduzir a energia

eletromagnética, isto ocorre porque as linhas de transmissão apresentam intrinsicamente

elementos resistivos, capacitivos e indutivos (CHIPMAN, 1976).

Nesse capítulo serão mostradas as equações de correntes e tensões ao longo de linhas

de transmissão monofásicas e polifásicas.

2.2 Linhas monofásicas

2.2.1 Equações de corrente e tensão no domínio do tempo

A figura 2 mostra um segmento de linha de comprimento infinitesimal.

Figura 2 – Circuito equivalente de uma linha de transmissão monofásica no domínio do tempo

de comprimento infinitesimal.

Fonte: Chipman, 1976.

No circuito mostrado na figura 2, R e L são, respectivamente, a resistência e a

indutância longitudinal por unidade de comprimento da linha enquanto que C e G são a

capacitância e a condutância transversal da linha por unidade de comprimento. As grandezas

13

i(x,t) e v(x,t) são, respectivamente, a corrente longitudinal e a tensão transversal da linha no

instante t, na posição x ao longo da linha.

Aplicando a 1ª Lei de Kirchhoff (Lei das correntes ou Leis dos nós) no circuito

mostrado na figura 2, obtém-se:

v x x, ti x x, t i x, t G x.v x x, t C x

t

(1)

Aplicando a 2ª Lei de Kirchhoff (Lei das tensões ou Lei das malhas) no circuito

mostrado na figura 2, obtém-se:

i x, tv x x, t v x, t R x.i x, t L x

t

(2)

Dividindo as equações (1) e (2) por Δx e calculando o limite destas equações, para

Δx0, obtém-se:

i x, t v x, tGv x, t C

x t

(3)

v x, t i x, tRi x, t L

x t

(4)

As equações (3) e (4) são as equações diferenciais, de primeira ordem, que descrevem

o comportamento das tensões e correntes em uma posição x da linha, em um instante de

tempo t. As soluções analíticas destas equações somente são conhecidas para o caso de linhas

sem perdas (R=0 e G=0).

Considerando uma linha sem perdas, as equações (3) e (4) passam a ser escritas como

sendo:

i x, t v x, tC

x t

(5)

v x, t i x, tL

x t

(6)

14

Derivando a equação (5) em relação à x obtém-se (NAIDU, 1985):

2

2

i x, t v x, tC

x x t

(7)

2

2

i x, t v x, tC

x t x

(8)

Substituindo a equação (6) na equação (8), obtém-se:

2

2

i x, t i x, tC L

x t t

(9)

2 2

2 2

i x, t i x, tLC

x t

(10)

Derivando a equação (6) em relação à x, obtém-se (NAIDU, 1985):

2

2

v x, t i x, tL

x x t

(11)

2

2

v x, t i x, tL

x t x

(12)

Substituindo a equação (5) na equação (12), obtém-se:

2

2

v x, t v x, tL C

x t t

(13)

2 2

2 2

v x, t v x, tLC

x t

(14)

As equações (10) e (14) mostram que, para o caso de uma linha de transmissão sem

15

perdas, a corrente e a tensão ao longo da mesma comportam-se como ondas (CHIPMAN,

1976).

2.2.2 Equações de corrente e tensão no domínio da frequência

As soluções das equações diferenciais de corrente e tensão para uma linha monofásica

com perdas podem ser obtidas no domínio da frequência. Neste caso, deve-se converter as

equações (3) e (4) para o domínio da frequência, obtendo-se (BUDNER, 1970):

dI x,

G j C V x,dx

(15)

dV x,R j L I x,

dx

(16)

Reescrevendo as equações (15) e (16), têm-se:

dI x,Y( )V x,

dx

(17)

dV x,

Z( )I x,dx

(18)

onde:

Z( ) R j L (19)

Y( ) G j C (20)

Derivando as equações (17) e (18) em relação à x, têm-se:

2

2

d I x, dV x,Y( )

dx dx

(21)

16

2

2

d V x, dI x,Z( )

dx dx

(22)

Substituindo as equações (18) em (21) e (17) em (22), obtêm-se:

2

2

d I x,Z( )Y( )I x,

dx

(23)

2

2

d V x,Z( )Y( )V x,

dx

(24)

Sabe-se que as soluções para as equações (17) e (18) são do tipo (CHIPMAN, 1976):

x xV(x, ) ax bx (25)

x x

C C

1 1I(x, ) ae beZ Z

(26)

Onde, nas equações (25) e (26), γ= Z( )Y( ) é a função de propagação e

CZ( )ZY( )

é a impedância característica da linha (CHIPMAN, 1976; MARTI,1982).

As equações (25) e (26) podem ser aplicadas para calcular as correntes e tensões em

qualquer posição x da linha. Aplicando estas equações para os extremos da linha, cujo

comprimento é d, obtém-se (BUDNER, 1970):

B A C AV (x, ) V (x, ) cos h d Z I (x, )sen h d (27)

B A AC

1I (x, ) V (x, )sen h d I (x, ) cos h dZ

(28)

A figura 3 mostra uma linha de comprimento d cujas correntes e tensões, nos terminais

da mesma, são descritas pelas equações (27) e (28).

17

Figura 3 – Representação das correntes e tensões nos terminais da linha.


2.3 Linhas com mais de uma fase

As equações diferenciais de primeira ordem para uma linha de transmissão com n

fases, pode ser obtida a partir das equações descritas no item 2.2, por meio das equações (17)

e (18).

d[I(x, )] [Y( )][V(x, )]dx

(29)

d[V(x, )] [Z( )][I(x, )]dx

(30)

Nas equações (29) e (30), as matrizes [Z(ω)] e [Y(ω)] são, respectivamente, as

matrizes de impedância longitudinal e de admitância transversal por unidade de comprimento

da linha, e são escritas como sendo:

11 12 1(n 1) 1n

21 22 2(n 1) 2n

(n 1)1 (n 1)2 (n 1)(n 1) (n 1)n

n1 n2 n(n 1) nn

y ( ) y ( ) y ( ) y ( )y ( ) y ( ) y ( ) y ( )

[Y( )]y ( ) y ( ) y ( ) y ( )

y ( ) y ( ) y ( ) y ( )

(31)

11 12 1(n 1) 1n

21 22 2(n 1) 2n

(n 1)1 (n 1)2 (n 1)(n 1) (n 1)n

n1 n2 n(n 1) nn

z ( ) z ( ) z ( ) z ( )z ( ) z ( ) z ( ) z ( )

[Z( )]z ( ) z ( ) z ( ) z ( )

z ( ) z ( ) z ( ) z ( )

(32)

solo

IA(x,ω) x = 0 x = d IB(x,ω)

A B

VA(x,ω) VB=(x,ω)

18

Os vetores [V(x,ω)] e [I(x,ω)] são, respectivamente, os vetores com as tensões e

correntes das fases, e são escritas como sendo:

1

2

n 1

n

V (x, )V (x, )

[V(x, )]V (x, )V (x, )

(33)

1

2

n 1

n

I (x, )I (x, )

[I(x, )]I (x, )I (x, )

(34)

Derivando as equações (29) e (30) com relação a x e fazendo as manipulações

matemáticas necessárias, obtêm-se as equações diferenciais de segunda ordem para uma linha

de transmissão com n fases, escritas no domínio da frequência.

2

2

d [I(x, )] [Y( )][Z( )][I(x, )]dx

(35)

2

2

d [V(x, )] [Z( )][Y( )][V(x, )]dx

(36)

A variável ω corresponde à frequência angular. Assim, as matrizes de impedância

longitudinal e de admitância transversal por unidade de comprimento, juntamente com os

vetores de tensão e corrente, são variáveis em relação à frequência. Por questão de

simplificação, o termo ω será omitido dessas grandezas no restante deste capítulo.

Omitindo a variáveis x e ω, as equações (29)-(30) e (35)-(36) tornam-se:

d[I] [Y][V]dx

(37)

19

d[V] [Z][I]dx

(38)

2

2

d [I] [Y][Z][I]dx

(39)

2

2

d [V] [Z][Y][V]dx

(40)

A matriz [Z] leva em consideração o efeito do solo e o efeito pelicular

(DOMMEL,1969, MARTI,1988).

As equações (35) e (36) estão no domínio das fases e são de difícil resolução, uma vez

que os produtos matriciais [Z][Y] e [Y][Z] são distintos (as matrizes [Z] e [Y] não são

matrizes diagonais).

Tais produtos podem ser transformados em matrizes diagonais a partir da utilização de

uma transformada de similaridade (CHEN, 1984). Nesse caso, os produtos matriciais [Z][Y] e

[Y][Z] resultarão em matrizes diagonais cujos elementos são os autovalores dos produtos

matriciais.

A matriz [λV], que é a matriz com os autovalores de [Z][Y] é calculada por meio da

seguinte relação:

1

V V V[ ] [T ] [Z][Y][T ] (41)

Os autovalores [λI] do produto matricial [Y][Z] são:

1

I I I[ ] [T ] [Y][Z][T ] (42)

Nas equações (41) e (42), as matrizes [TV] e [TI] são, respectivamente, as matrizes

cujas colunas são os autovalores das matrizes [Z][Y] e [Y][Z]. As matrizes [TV], [TI], [λI] e

[λV] são complexas e variáveis em relação à frequência.

Os produtos matriciais [Z][Y] e [Y][Z], de maneira genérica são distintos e, portanto,

as matrizes [TV] e [TI] são diferentes. Mas, mesmo sendo [Z][Y] e [Y][Z] matrizes distintas,

seus determinantes e consequentemente seus autovalores [λV] e [λI] são iguais:

20

V I[ ] [ ] (43)

Denominando os autovalores dos produtos [Z][Y] e [Y][Z] de [λm], obtêm-se:

m V[ ] [ ] (44)

m I[ ] [ ] (45)

Substituindo as equações (44) e (45) nas equações (39) e (40), respectivamente, e

fazendo alguns ajustes, têm-se:

2

1I m I2

d [I] [T ][ ][T ] [I]dx

(46)

2

1V m V2

d [V] [T ][ ][T ] [V]dx

(47)

Multiplicando os dois lados das equações (46) e (47) por [TI]-1 e [TV]-1,

respectivamente, obtêm-se:

2 1

1Im I2

d [T ] [I] [ ][T ] [I]dx

(48)

2 1

1Vm V2

d [T ] [V] [ ][T ] [V]dx

(49)

Nas equações (48) e (49), pode-se definir as correntes e tensões modais [Im] e [Vm],

respectivamente como sendo:

1

m I[I ] [T ] [I] (50)

1

m V[V ] [T ] [V] (51)

21

Substituindo as equações (50) e (51) nas equações (48) e (49), respectivamente,

obtêm-se:

2

mm m2

d [I ] [ ][I ]dx

(52)

2

mm m2

d [V ] [ ][V ]dx

(53)

As expressões (52) e (53) são as equações diferenciais dos modos exatos da linha.

Devido ao fato de [λm] ser uma matriz diagonal, as mesmas são idênticas às equações

diferenciais de n linhas monofásicas independentes.

A partir das equações (50) e (51) obtêm-se:

I m[I] [T ][I ] (54)

V m[V] [T ][V ] (55)

Substituindo as equações (54) e (55) nas equações (29) e (30) obtêm-se:

I mV m

d[T ][I ] [Y][T ][V ]dx

(56)

V mI m

d[T ][V ] [Z][T ][I ]dx

(57)

Multiplicando os dois lados das equações (56) e (57) por [TI]-1 e [TV]-1,

respectivamente, obtêm-se:

1mI V m

d[I ] [T ] [Y][T ][V ]dx

(58)

1mV I m

d[V ] [T ] [Z][T ][I ]dx

(59)

22

As equações (58) e (59) podem ser escritas como sendo:

mm m

d[I ] [Y ][V ]dx

(60)

mm m

d[V ] [Z ][I ]dx

(61)

Nas equações (60) e (61), [Zm] e [Ym] são, respectivamente, as matrizes de

impedâncias longitudinais e de admitâncias transversais modais exatas da linha. Essas

matrizes são escritas como sendo:

1

m I V[Y ] [T ] [Y][T ] (62)

1

m V I[Z ] [T ] [Z][T ] (63)

As matrizes [Zm] e [Ym] são matrizes diagonais (KUROKAWA, 2003). Dessa forma,

têm-se:

2

mm m m2

d [I ] [Z ][Y ][I ]dx

(64)

2

mm m m2

d [V ] [Z ][Y ][V ]dx

(65)

As equações (64) e (65) são as equações diferenciais modais da linha. Uma vez que as

matrizes [Zm] e [Ym] são diagonais, as equações (64) e (65) representam n linhas monofásicas

independentes cujas equações de correntes e tensões foram mostradas no item 2.2.

2.4 Conclusão

Neste capítulo, foram mostradas as equações diferenciais que representam uma linha

de transmissão cujos parâmetros são uniformemente distribuídos ao longo da linha no

domínio do tempo e no domínio da frequência. Também foi mostrado um modelo para linhas

23

com mais de uma fase, a teoria de decomposição modal de linhas de transmissão, em que uma

linha de transmissão de n fases pode ser representada, no domínio modal, por n linhas

monofásicas independentes.

24

3 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO

IDEALMENTE TRANSPOSTAS

3.1 Introdução

Para se obter as tensões e correntes em uma linha de transmissão com mais de uma

fase, pode-se utilizar a teoria de decomposição modal, de modo a eliminar o acoplamento

entre as fases da linha. Quando uma linha com mais de uma fase é representada no domínio

modal, a mesma é representada por seus modos de propagação que se comportam como linhas

monofásicas totalmente desacopladas. Assim as correntes e tensões são inicialmente

calculadas no domínio modal e em seguida, utilizando uma matriz de decomposição modal

adequada, convertidas para o domínio das fases.

Neste capítulo será apresentado um modelo em que as correntes e tensões podem ser

calculadas diretamente no domínio das fases, sem a utilização explícita da transformação

modal, eliminando assim a necessidade de se fazer a conversão fase-modo-fase.

O modelo proposto pode ser utilizado para representar, diretamente no domínio das

fases, linhas de transmissão idealmente transposta.

O modelo foi utilizado para representar uma linha bifásica que possui plano de

simetria vertical (que comporta-se como uma linha bifásica idealmente transposta) e uma

linha trifásica de 440 kV considerada idealmente transposta.

3.2 Representação de linha bifásica que possui plano de simetria vertical

A figura 4 mostra uma linha de transmissão bifásica com plano de simetria vertical,

devido as fases da linha possuirem a mesma altura e apresentar o mesmo tipo de condutor, os

parâmetros por unidade de comprimento são escritos como sendo:

11 12

12 11

R ' R 'R ' /km

R ' R '

(66)

11 12

12 11

L ' L 'L ' H/km

L ' L '

(67)

25

11 12

12 11

C' C 'C ' F/km

C' C '

(68)

Figura 4 – Linha de transmissão bifásica.

Fonte: Yamanaka, 2009

Na equação (66) e (67) as matrizes [R'] e [L'] representam as matrizes de resistências

e indutâncias longitudinais, respectivamente, enquanto que na equação (68), [C'] é a matriz

com as capacitâncias transversais da linha. As condutâncias transversais da linha, por ser

tratar de linhas aéreas, serão desconsideradas (MARTINEZ, 2005).

Considere que o terminal emissor da linha está conectada às fontes de tensões V1 e V2

conforme mostra a figura 5. Figura 5 – Representação dos terminais da linha da figura 4.

Solo

V1(t)

V2(t)

#1

#2


Considere que a linha mostrada na figura 5 pode ser representada por uma grande

quantidade de pequenos segmentos de linha e que cada um destes segmentos possui um

comprimento tal que os mesmos possam ser representados por elementos discretos de

h

d

26

circuitos. Deste modo é possível representar o j-ésimo segmento de linha por meio do circuito

mostrado na figura 6.

Figura 6 – Representação do j-ésimo segmento de linha utilizando elementos discretos de

circuitos.


Na figura 6 V1j(t) e V1(j-1)(t) são as tensões nos terminais do j-ésimo segmento da fase 1

da linha enquanto que V2j(t) e V2(j-1)(t) são as tensões nos terminais do j-ésimo segmento da

fase 2 da linha. As grandezas i1j(t) e i2j(t) são as correntes nas fases A e B, respectivamente, do

segmento de linha. As correntes e tensões descritas anteriormente estão no domínio do tempo.

Na figura 6 R11 é a resistência própria das fases 1 e 2 do segmento de linha, enquanto

que L11 é a indutância própria das fases 1 e 2. Este segmento de linha possui capacitâncias

parciais C12 e C01. Observe que os termos mútuos da resistência e da indutância não são

mostrados na figura 6 mas serão levados em consideração durante o desenvolvimento do

modelo.

Em linhas de transmissão aéreas, o valor da condutâncias é muito pequena, ou seja,

não tendo uma influência significativa na forma de onda da corrente e da tensão ao longo da

linha de transmissão (MARTINEZ, 2005).

Os parâmetros longitudinais e transversais do segmento de linha mostrado na figura 6

podem ser escritos na forma matricial como sendo:

11 12

12 11

R RR

R R

(69)

27

11 12

12 11

L LL H

L L

(70)

11 12

12 11

C CC F

C C

(71)

Nas equações (69)-(71) têm-se:

11 11dR Rn

(72)

12 12dR Rn

(73)

11 11dL Ln

(74)

12 12dL Ln

(75)

11 11dC Cn

(76)

12 12dC Cn

(77)

Nas equações (72)-(77), d é o comprimento da linha de transmissão e n é o número de

segmentos no qual a linha foi dividida, do tipo mostrado na figura 6, utilizados para

representar a linha.

No domínio da frequência é possível escrever as matrizes de impedâncias

longitudinais e de admitâncias transversais do segmento de linha, mostrados na figura 6,

como sendo:

[Z] [R] j [L] (78)

28

[Y] j [C] (79)

No domínio modal as matrizes de impedância e admitâncias do segmento de linha

mostrado na figura 6 são escritas como sendo:

1

m V I[Z ] [T ] [Z][T ] (80)

1

m I V[Y ] [T ] [Y][T ] (81)

Substituindo as equações (78) e (79) em (80) e (81), respectivamente, e manipulando

estas equações, é possível obter:

1 1

m V I V I[Z ] [T ] [R][T ] j [T ] [L][T ] (82)

1

m I V[Y ] j [T ] [C][T ] (83)


m m m[Z ] [R ] j [L ] (84)

m m[Y ] j [C ] (85)

sendo:

1m V IR T R T (86)

1m V IL T L T (87)

1m I VC T C T

(88)

29

As matrizes [Rm], [Lm] e [Cm], mostradas nas equações (86)-(88), são constituídas

pelos parâmetros longitudinais do segmento de linha mostrado na figura 6 quando o mesmo é

representado no domínio modal.

Sabe-se que para uma linha bifásica que possui plano de simetria vertical, as matrizes

[TV] e [TI] podem ser escritas como sendo (YAMANAKA, 2009):

V

1 1T

1 1

(89)

I1 11T1 12

(90)

Substituindo as equações (69)-(70), (89) e (90) nas equações (86)-(88) e fazendo as

devidas operações matemática, obtêm-se:

MAm

MB

R 0R

0 R

(91)

MAm

MB

L 0L H

0 L

(92)

MAm

MB

C 0C F

0 C

(93)

sendo:

11 12MA

R RR2

(94)

11 12MB

R RR2

(95)

11 12MA

L LL2

(96)

30

11 12MB

L LL2

(97)

MA 11 12C 2 C C (98)

MB 11 12C 2 C C (99)

Verifica-se, nas equações (91)-(99), que nas matrizes [Rm], [Lm] e [Cm] os elementos

que não estão na diagonal principal são todos nulos. Isto significa que o segmento de linha

mostrado na figura 6 é representado, no domínio modal, por dois modos de propagação

desacoplados. Cada um destes modos de propagação pode ser representado por um circuito π

conforme mostra a figura 7.

Figura 7 – Representação do segmento de linha no domínio modal.

Modo A Modo B Fonte: Produção do próprio autor.

Aplicando as Leis de Kirchhoff nos circuitos dos modos de propagação A e B,

mostrados na figura 7, têm-se:

MAj MAMAj MAj MA( j 1)

MA MA MA

dI (t) R 1 1I (t) E (t) E (t)dt L L L (100)

MBj MBMBj MBj MB( j 1)

MB MB MB


MAjMAj

MA

dE (t) 2 I (t)dt C

(102)

31

MBjMBj

MB

dE (t) 2 I (t)dt C

(103)

Escrevendo as correntes e tensões dos modos A e B do segmento de linha na forma de

vetores, obtêm-se:

MAjMj

MBj

I (t)[I ]

I (t)

(104)

MAjMj

MBj

E (t)[E ]

E (t)

(105)

MA( j 1)M( j 1)

MB( j 1)

E (t)[E ]

E (t)

(106)

As relações entre as grandezas de fase e de modo são escritas como sendo:

1

Mj I Fj[I ] [T ] [i ] (107)

1

Mj V Fj[E ] [T ] [V ] (108)

onde:

1jFj

2 j

i (t)[i ]

i (t)

(109)

1jFj

2 j

V (t)[V ]

V (t)

(110)

Substituindo as equações (109) e (110) bem como (89) e (90) nas equações (107) e

(108) obtêm-se:

32

1j 2 jMAj

V (t) V (t)E (t)

2

(111)

1j 2 jMBj

V (t) V (t)E (t)

2

(112)

1( j 1) 2( j 1)MA( j 1)

V (t) V (t)E (t)

2

(113)

1( j 1) 2( j 1)MB( j 1)

V (t) V (t)E (t)

2

(114)

MAj 1j 2 jI (t) i (t) i (t) (115)

MBj 1j 2 jI (t) i (t) i (t) (116)

Substituindo as equações (94)-(99) e (111)-(116) nas equações (100)-(103) e fazendo

as devidas manipulações matemáticas, obtém-se:

1j1 1j 2 1j 3 2 j 4 2 j 2 1( j 1) 4 2( j 1)

di (t)a i (t) a V (t) a i (t) a V (t) a V (t) a V (t)

dt (117)

2 j3 1j 4 1j 1 2 j 2 2 j 4 1( j 1) 2 2( j 1)

di (t)a i (t) a V (t) a i (t) a V (t) a V (t) a V (t)

dt (118)

1j5 1j 6 2 j

dV (t)a i (t) a i (t)

dt (119)

2 j6 1j 5 2 j

dV (t)a i (t) a i (t)

dt (120)

sendo:

33

11 12 11 121

11 12 11 12

1 R R R Ra2 L L L L

(121)

211 12 11 12

1 1 1a4 L L L L

(122)

11 12 11 123

11 12 11 12

1 R R R Ra2 L L L L

(123)

411 12 11 12

1 1 1a4 L L L L

(124)

511 12 11 12

1 1a 2C C C C

(125)

611 12 11 12

1 1a 2C C C C

(126)

Escrevendo as equações (117)-(120) na forma de equação de estado, obtêm-se:

[x] [A][x] [B][u(t)] (127)

onde:

1j

1j

2 j

2 j

di (t)dt

dV (t)dtx

di (t)dt

dV (t)dt

(128)

Sendo i1j e i2j as correntes no terminal do segmento de linha, V1j(t) e V2j(t) as tensões

no terminal do segmento de linha, todas no domínio do tempo.

34

O vetor [ x] é o vetor que contém as derivadas do vetor [x].

1 2 3 4

5 6

3 4 1 2

6 5

a a a aa 0 a 0

[A]a a a aa 0 a 0

(129)

2 4

4 2

a a0 0

[B]a a0 0

(130)

1( j 1)

2( j 1)

V (t)[u(t)]

V (t)

(131)

A equação (127) descreve as correntes e tensões no segmento de linha mostrado na

figura 6 diretamente no domínio das fases. A solução da equação (127) pode ser obtida por

meio de métodos numéricos de integração (SILVA, 2010).

A equação (127) foi obtida para um único segmento da linha conforme mostrada na

figura 6. No entanto o mesmo raciocínio pode ser utilizado para obter as equações de corrente

e tensão quando a linha é representada por n segmentos de circuitos, do tipo mostrado na

figura 6, conectados em cascata. Deste modo, mostra-se que as correntes e tensões de fase ao

longo da linha, quando a mesma é representada por uma cascata com n circuitos do tipo

mostrado na figura 6, reescrevendo a equação de estado (127), têm-se:

T

11 1n 11 1n 21 2n 21 2n[x] i (t) i (t) V (t) V (t) i (t) i (t) V (t) V (t) (132)

O vetor [x], na equação (132), possui 4n elementos e é constituído pelas correntes

longitudinais e pelas tensões transversais nas fases da linha representada por uma cascata de n

circuitos do tipo mostrado na figura 6. Deste modo, as grandezas i1j(t) e i2j(t) correspondem às

correntes nas fases 1 e 2, respectivamente, no j-ésimo segmento representado por um circuito

igual ao circuito mostrado na figura 6. De modo análogo, as grandezas V1j(t) e V2j(t)

corresponde às tensões nas fases 1 e 2 no j-ésimo segmento.

35

1 2 3 4

5 7 6 7

3 4 1 2

6 7 5 7

[A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ]

[A][A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ]

(133)

A matriz [A], na equação (133), é uma matriz quadrada de dimensão 4n. Esta matriz é

constituída por 16 submatrizes quadradas, de dimensão n, que obedece às seguintes regra de

formação:

- Submatrizes [A1] e [A3]: estas submatrizes possuem elementos não nulos somente na

diagonal principal e são escritas como sendo:

A equação (134) é válida para p=1 e p=3, sendo que o elemento ap é calculado a partir

das equações (121)-(126).


diagonal principal e na subdiagonal inferior e são escritas como sendo:

p

p p

pp

p

p p

aa a

a[A ]aa a

(135)




diagonal principal e na subdiagonal superior e são escritas como sendo:

p

p

p

p

p

aa

[A ]a

a

(134)

36

p p

p p

p

p p

p

a aa a

1[A ]2 a a

2a

(136)



As submatrizes [A7] restantes são matrizes nulas.

A matriz [B] é de ordem 4n x 2 que é escrita como sendo:

11 12

(2n 1)1 (2n 1)2

b b0 0

0 0[B]

b b0 0

0 0

(137)

sendo:

11 2b a (138)

12 4b a (139)

(n 1)1 4b a (140)

(n 1)2 2b a (141)

Os elementos a2 e a4 são calculados a partir das equações (121)-(126).

E o vetor [u(t)] é escrito como sendo:

1

2

V (t)[u(t)]

V (t)

(142)

Sendo V1(t) e V2(t) as fontes conectada, nas fases 1 e 2, no início da linha.

Observa-se que equação (127) é constituída somente por grandezas e parâmetros que

37

estão no domínio da fase e permite obter, diretamente no domínio do tempo, as correntes e

tensões de fase ao longo do comprimento da mesma.

3.3 Representação de linhas trifásicas idealmente transpostas

A figura 8 mostra uma linha de transmissão trifásica que será considerada idealmente

transposta.

Figura 8 – Linha de transmissão trifásica.

Fonte: Kurokawa, 2003.

Devido ao fato de que a linha mostrada na figura 8 ser considerada idealmente

transposta, as matrizes com os parâmetros desta linha são escritas como sendo:

11 12 12

12 11 12

12 12 11

R ' R ' R '[R '] R ' R ' R ' /km

R ' R ' R '

(143)

11 12 12

12 11 12

12 12 11

L ' L ' L '[L '] L ' L ' L ' H/km

L ' L ' L '

(144)

11 12 12

12 11 12

12 12 11

C' C ' C '[C '] C ' C ' C ' F/km

C' C ' C '

(145)

1

2 3

38

Na equação (143) e (144) as matrizes [R'] e [L'] representam as matrizes de

resistências e indutâncias longitudinais, respectivamente, enquanto que na equação (145), [C']

é a matriz com as capacitâncias transversais da linha. As condutâncias transversais da linha,

por ser tratar de linhas aéreas, serão desconsideradas (MARTINEZ, 2005).

Considere que o terminal emissor da linha está conectado as fontes de tensões V1(t),

V2(t) e V3(t) conforme mostra a figura 9.

Figura 9 – Representação dos terminais da linha da figura 8.


Considere que a linha mostrada na figura 9 pode ser representada por uma grande

quantidade de pequenos segmentos de linha, e que cada um destes segmentos possui um

comprimento tal que os mesmos possam ser representados por elementos discretos de

circuitos. Deste modo é possível representar o j-ésimo segmento de linha por meio do circuito

mostrado na figura 10.

Figura 10 – Representação de um segmento de linha por elementos discretos de circuitos.


39

Na figura 10, V1j(t) e V1(j-1)(t) são as tensões nos terminais do j-ésimo segmento da fase

1 da linha enquanto que V2j(t) e V2(j-1)(t) são as tensões nos terminais do j-ésimo segmento da

fase 2 da linha e V3j(t) e V3(j-1)(t) são as tensões nos terminais do j-ésimo segmento da fase 3 da

linha. As grandezas i1j(t), i2j(t) e i3j(t) são as correntes nas fases 1, 2 e 3, respectivamente, do

segmento de linha.

Na figura 10, R11 é a resistência própria das fases 1, 2 e 3 do segmento de linha,

enquanto que L11 é a indutância própria das fases 1, 2 e 3. Observe que os termos mútuos da

resistência e da indutância são representados por R12 e L12. Este segmento de linha possui

capacitâncias parciais C01 e C12.

Os parâmetros longitudinais e transversais, do segmento de linha mostrado na figura

10, podem ser escritos na forma matricial como sendo:

11 12 12

12 11 12

12 12 11

R R R[R] R R R

R R R

(146)

11 12 12

12 11 12

12 12 11

L L L[L] L L L H

L L L

(147)

11 12 12

12 11 12

12 12 11

C C C[C] C C C F

C C C

(148)

Nas equações (146)-(148) têm-se:

11 11dR Rn

(149)

12 12dR Rn

(150)

11 11dL Ln

(151)

40

12 12dL Ln

(152)

11 11dC Cn

(153)

12 12dC Cn

(154)

Nas equações (149)-(154), d é o comprimento da linha de transmissão e n é o número

de segmentos no qual a linha foi dividida, do tipo mostrado na figura 10, utilizados para

representar a linha.

No domínio da frequência é possível escrever as matrizes de impedâncias

longitudinais e de admitâncias transversais, do segmento de linha mostrados na figura 10,

como sendo:

[Z] [R] j [L] (155)

[Y] j [C] (156)

No domínio modal as matrizes de impedância e admitâncias do segmento de linha

mostrado na figura 10 são escritas como sendo:

1

m V I[Z ] [T ] [Z][T ] (157)

1

m I V[Y ] [T ] [Y][T ] (158)

Substituindo as equações (155) e (156) em (157) e (158), respectivamente, e

manipulando estas equações, é possível obter:

1 1

m V I V I[Z ] [T ] [R][T ] j [T ] [L][T ] (159)

41

1m I V[Y ] j [T ] [C][T ] (160)


m m m[Z ] [R ] j [L ] (161)

m m[Y ] j [C ] (162)

sendo:

1m V IR T R T

(163)

1m V IL T L T (164)

1m I VC T C T

(165)

As matrizes [Rm], [Lm] e [Cm], mostradas nas equações (163)-(165), são constituídas

pelos parâmetros longitudinais do segmento de linha mostrado na figura 10, quando o mesmo

é representado no domínio modal.

Uma vez que a linha é considerada idealmente transposta, é possível considerar [TI]

como sendo a matriz de Clarke, que é escrita como sendo (TAVARES, 1999):

Clar ke

2 106 31 1 1[T ]6 2 3

1 1 16 2 3

(166)

Quando se utiliza a matriz de Clarke como a matriz de transformação, sabe-se que a

matriz [TI] é igual a transposta de [TV].

Substituindo as equações (146)-(148) e (166) nas equações (163)-(165) e fazendo as

devidas operações matemática, obtêm-se:

42

MA

m MB

MC

R 0 0[R ] 0 R 0

0 0 R

(167)

MA

m MB

MC

L 0 0[L ] 0 L 0 H

0 0 L

(168)

MA

m MB

MC

C 0 0[C ] 0 C 0 F

0 0 C

(169)

sendo:

MA 11 12R R R (170)

MB 11 12R R R (171)

MC 11 12R R 2R (172)

MA 11 12L L L (173)

MB 11 12L L L (174)

MC 11 12L L 2L (175)

MA 11 12C C C (176)

MB 11 12C C C (177)

MC 11 12C C 2C (178)

43

Verifica-se, nas equações (167)-(169), que nas matrizes [Rm], [Lm] e [Cm] os

elementos que não estão na diagonal principal são todos nulos. Isto significa que o segmento

de linha mostrado na figura 10 é representado, no domínio modal, por três modos de

propagação desacoplados. Cada um destes modos de propagação pode ser representado por

um circuito π conforme mostra a figura 11.

Figura 11 – Representação do segmento de linha no domínio modal.

2CMB

RMB LMB

2CMB

IMBj(t)

EMB(j-1)(t) EMBj(t)

Modo A Modo B

Modo C


Aplicando as Leis de Kirchhoff no circuito do modo de propagação A, B e C

mostrados na figura 11, têm-se:

MAj MAMAj MAj MA( j 1)

MA MA MA


MBj MBMBj MBj MB( j 1)

MB MB MB


MCj MCMCj MCj MC( j 1)

MC MC MC


MAjMA

MA

dE (t) 2 I (t)dt C

(182)

44

MBjMB

MB

dE (t) 2 I (t)dt C

(183)

MCjMC

MC

dE (t) 2 I (t)dt C

(184)

Escrevendo as correntes e tensões dos modos A, B e C do segmento de linha na forma

de vetores, obtêm-se:

MAj

Mj MBj

MCj

I (t)[I ] I (t)

I (t)

(185)

MAj

Mj MBj

MCj

E (t)[E ] E (t)

E (t)

(186)

MA( j 1)

M( j 1) MB( j 1)

MC( j 1)

E (t)[E ] E (t)

E (t)

(187)

As relações entre as grandezas de fase e de modo são escritas como sendo:

1

Mj I Fj[I ] [T ] [i ] (188)

1

Mj V Fj[E ] [T ] [V ] (189)

onde:

1j

Fj 2 j

3 j

i (t)[i ] i (t)

i (t)

(190)

45

1j

Fj 2 j

3 j

V (t)[V ] V (t)

V (t)

(191)

Substituindo as equações (190) e (191) bem como (166) nas equações (188) e (189)

obtêm-se:

MA 1j 2 j 3 j2 1 1E (t) V (t) V (t) V (t)6 6 6

(192)

MB 2 j 3j1 1E (t) V (t) V (t)2 2

(193)

MC 1j 2 j 3 j1 1 1E (t) V (t) V (t) V (t)3 3 3

(194)

MA 1j 2 j 3 j2 1 1I (t) i (t) i (t) i (t)6 6 6

(195)

MB 2 j 3j1 1I (t) i (t) i (t)2 2

(196)

MC 1j 2 j 3 j1 1 1I (t) i (t) i (t) i (t)3 3 3

(197)

Substituindo as equações (170)-(178) e (192)-(197) nas equações (179)-(184) e

fazendo as devidas manipulações matemáticas, obtêm-se:

1j1 1j 2 1j 3 2 j 4 2j 3 3j 4 3j

2 1( j 1) 4 2( j 1) 4 3( j 1)

di (t)a i (t) a V (t) a i (t) a V (t) a i (t) a V (t)

dt a V (t) a V (t) a V (t)

(198)

2 j3 1j 4 1j 1 2 j 2 2 j 3 3j 4 3j

4 1( j 1) 2 2( j 1) 4 3( j 1)

di (t)a i (t) a V (t) a i (t) a V (t) a i (t) a V (t)


(199)

46

3j3 1j 4 1j 3 2 j 4 2 j 1 3j 2 3j

4 1( j 1) 4 2( j 1) 2 3( j 1)

di (t)a i (t) a V (t) a i (t) a V (t)+a i (t) a V (t)


(200)

1j5 1j 6 2 j 6 3 j

dV (t)a i (t) a i (t) a i (t)

dt (201)

2 j6 1j 5 2 j 5 3 j


dt (202)

3 j6 1j 6 2 j 5 3 j


dt (203)

sendo:

11 12 11 121

11 12 11 12

1 2(R R ) R 2Ra3 L L L 2L

(204)

211 12 11 12

1 2 1a3 L L L 2L

(205)

11 12 11 123

11 12 11 12

1 R R R 2Ra3 L L L 2L

(206)

411 12 11 12

1 1 1a3 L L L 2L

(207)

511 12 11 12

2 2 1a3 C C C 2C

(208)

611 12 11 12

2 1 1a3 C C C 2C

(209)

47

Escrevendo as equações (200)-(203) na forma de equação de estado, obtém-se:

[x] [A][x] [B][u(t)] (210)

onde:

1j

1j

2 j

2 j

3 j

3 j

di (t)dt

dV (t)dt

di (t)dtx

dV (t)dt

di (t)dt

dV (t)dt

(211)

Sendo i1j (t) , i2j (t) e i3j (t) as correntes no terminal do segmento de linha, V1j (t) , V2j (t)

, V3j (t) as tensões no terminal do segmento de linha, todas no domínio do tempo.

O vetor [ x] é o vetor que contém as derivadas do vetor [x].

1 2 3 4 3 4

5 6 6

3 4 1 2 3 4

6 5 6

3 4 3 4 1 2

6 6 5

a a a a a aa 0 a 0 a 0a a a a a a

[A]a 0 a 0 a 0a a a a a aa 0 a 0 a 0

(212)

2 4 4

4 2 4

4 4 2

a a a0 0 0a a a

B0 0 0a a a0 0 0

(213)

48

1( j 1)

2( j 1)

3( j 1)

V (t)V (t)u(t)V (t)

(214)

A equação (210) descreve as correntes e tensões no segmento de linha mostrado na

figura 10 diretamente no domínio das fases. A solução da equação (210) pode ser obtida por

meio de métodos numéricos de integração (SILVA, 2010).

A equação (210) foi obtida para um único segmento da linha conforme mostrada na

figura 10. No entanto o mesmo raciocínio pode ser utilizada para obter as equações de

corrente e tensão quando a linha é representada por n segmentos de circuitos, do tipo

mostrado na figura 10, conectados em cascata. Deste modo, mostra-se que as correntes e

tensões de fase ao longo da linha, quando a mesma é representada por uma cascata com n

circuitos do tipo mostrado na figura 10, reescrevendo a equação de estado (210), têm-se:

T

11 1n 11 1n 21 2n 21

2n 31 3n 31 3n

[x] [i (t) i (t) v (t) v (t) i (t) i (t) v (t) v (t) i (t) i (t) v (t) v (t)]

(215)



circuitos do tipo mostrado na figura 10. Deste modo, as grandezas i1j(t) ,i2j(t) e i3j(t)

correspondem às correntes nas fases 1, 2 e 3, respectivamente, no j-ésimo segmento

representado por um circuito igual ao circuito mostrado na figura 10. De modo análogo, as

grandezas V1j(t), V2j(t) e V3j(t) corresponde às tensões nas fases 1, 2 e 3 no j-ésimo segmento.

1 2 3 4 3 4

5 7 6 7 6 7

3 4 1 2 3 4

6 7 5 7 6 7

3 4 3 4 1 2

6 7 6 7 5 7

[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]

[A][A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]

(216)


constituída por 36 submatrizes quadrada, de dimensão n, que obedece às seguintes regras de

formação:

49

- Submatrizes [A1] e [A3]: estas submatrizes possuem elementos não nulos somente

na diagonal principal e são escritas como sendo



- Submatrizes [A2] e [A4]: estas submatrizes possue elementos não nulos somente na

diagonal principal e na subdiagonal inferior e são escritas como sendo:

p

p p

pp

p

p p

aa a

a[A ]aa a

(218)



- Submatrizes [A5] e [A6]: estas submatrizes possue elementos não nulos somente na

diagonal principal e na subdiagonal superior e são escritas como sendo:

p p

p p

p

p p

p

a aa a

1[A ]2 a a

2a

(219)



p

p

p

p

p

aa

[A ]a

a

(217)

50

As submatrizes [A7] restantes são matrizes nulas.

A matriz [B] é de ordem 6n x 3 que é escrita como sendo:

11 12 13

(2n 1)1 (2n 1)2 (2n 1)3

(4n 1)1 (4n 1)2 (4n 1)3

b b b

0 0 0b b b

B0 0 0

b b b

0 0 0

(220)

sendo:

11 2b a (221)

12 4b a (222)

13 4b a (223)

42n 1 1b a (224)

22n 1 2b a (225)

42n 1 3b a (226)

44n 1 1b a (227)

44n 1 2b a (228)

64n 1 3b a (229)

Os elementos a2 e a4 são calculados a partir das equações (204)-(209).

O vetor [u(t)] é escrito como sendo:

1

2

3

V (t)[u(t)] V (t)

V (t)

(230)

Sendo V1(t), V2(t) e V3(t) as fontes conectada, nas fases 1, 2 e 3, no inicio da linha.

51

Observa-se que na equação (210) é constituída somente por grandezas e parâmetros

que estão no domínio da fase e permite obter, diretamente no domínio do tempo, as correntes

e tensões de fase ao longo do comprimento da mesma.

3.4 Validação dos modelos desenvolvidos 3.4.1 Validação do modelo para linhas bifásicas com plano de simetria vertical Para comprovar a validação do modelo proposto I, os resultados obtidos com o mesmo

foram comparados com os resultados obtidos com outros dois modelos que serão

denominados, neste trabalho, modelo clássico modal e modelo EMTP.

O modelo clássico modal consiste em decompor a linha em seus modos de

propagação. Cada modo de propagação é então representado por uma cascata de circuitos π e,

em seguida, calcula-se as correntes e tensões em cada um dos modos de propagação. Em

seguida obtém-se as correntes e tensões nas fases da linha a partir do uso de uma matriz de

transformação modal adequada (TAVARES, 1999; YAMANAKA, 2009). Este modelo foi

implementado na plataforma do MatLab®.

Quanto ao modelo EMTP, trata-se do modelo de linhas bifásicas existente no software

ATPDraw (PROKLER, 2002). Trata-se também de um modelo a parâmetros discretos.

Os três modelos descritos anteriormente foram utilizados para representar uma

hipotética linha bifásica, que possui plano de simetria vertical, cuja silhueta é mostrada na

figura 12. Figura 12 – Representação da linha de transmissão bifásica.

Fonte: Yamanaka, 2009

52

Considerou-se que cada uma das fases da linha mostrada na figura 12 é constituída de

um condutor com 1cm de raio. Os parâmetros desta linha foram calculados na frequência de

60 Hz, levando em conta os efeitos solo e pelicular. Deste modo, foram obtidos os seguintes

valores para os parâmetros longitudinais e transversais da linha.

0,3947 0,3945R ' /km

0,3945 0,3947

(231)

1,6 0,94746L ' mH/km

0,94746 1,6

(232)

12,56 4,19C ' F/km

4,19 12,56

(233)

Considera-se que a linha de transmissão mostrada na figura 12, com 100 km de

comprimento, teve uma das suas fases energizada por uma fonte de tensão constante de 440

kV enquanto que os terminais receptores da linha foram mantidos abertos. A configuração

descrita anteriormente é mostrada na figura 13.

Figura 13 – Teste de validação do modelo para linha de transmissão bifásica.


O modelo proposto I e os modelos clássico modal e EMTP foram utilizados para

simular as tensões de fase nos terminais da linha mostrada na figura 13.

Nas simulações realizadas com o modelo proposto I a linha foi representada por 100

circuitos do tipo mostrado na figura 6 conectadas em cascata. Quando se utilizou o modelo

clássico modal cada modo da linha foi representado por uma cascata de 100 circuitos π. No

ATPDraw a linha foi representada também por 100 circuitos discretos (cada um

53

representando um pequeno segmento de linha) conectados em cascata.

As figura 14 e 15 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1 e 2 da

linha. A curva a mostra resultados obtidos com o modelo proposto I, enquanto que as curva b

e c mostram os resultados obtidos com os modelos clássico modal e EMTP, respectivamente.

Figura 14 – Tensão no terminal da linha na fase 1: modelo proposto I (curva a), modelo

clássico modal (curva b) e modelo EMTP (curva c).





As figura 14 e 15 mostram que não há diferença entre os resultados obtidos com os

três modelos. Deste modo é possível afirmar que as considerações feitas durante o

desenvolvimento do modelo proposto estão corretas. É importante destacar que o modelo

proposto I possibilita obter os resultados diretamente no domínio das fases, enquanto que os

modelos clássico modal e EMTP utilizam matrizes de decomposição modal.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-200

0

200

400

600

800

1000

Tempo [ms]

Ten

são

[kV

]

(a)

(c)(b)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-600

-400

-200

0

200

400

600

Tempo [ms]

Ten

são

[kV

]

(a)

(c)(b)

54

3.4.2 Validação do modelo para linhas trifásicas idealmente transposta

De forma análoga desenvolvida para linha bifásica, para comprovar a validação do

modelo proposto I, os resultados obtidos com o mesmo foram comparados com os resultados

obtidos com outros dois modelos que serão denominado, neste trabalho, modelos clássico

modal e modelo EMTP.

Novamente, o modelo clássico modal consiste em decompor a linha em seus modos de


em seguida, calcula-se as correntes e tensões em cada um dos modos de propagação. Em

seguida obtém-se as correntes e tensões nas fases da linha a partir do uso de uma matriz de



Quanto ao modelo EMTP, trata-se do modelo de linhas trifásicas existente no software

ATPDraw (PROKLER, 2002). Trata-se também de um modelo a parâmetros discretos.


hipotética linha trifásica com as linhas idealmente transpostas, conforme silhueta é mostrada

na figura 16.

Figura 16 – Representação da linha de transmissão trifásica.

1

2 3

4 5

(9.27; 24.4)

(7.51; 36)

3.6

m




60 Hz, levando a conta os efeitos solo e pelicular. Deste modo, foram obtidos os seguintes


55

0,6667 0,4667 0,4667

R ' 0,4667 0,6667 0,4667 /km0,4667 0,4667 0,6667

(234)

1,5 0,5167 0,5167

L ' 0,5167 1,5 0,5167 mH/km0,5167 0,5167 1,5

(235)

0,0075 -0,0018 -0,0018

C ' -0,0018 0,0075 -0,0018 F/km-0,0018 -0,0018 0,0075

(236)





Figura 17 – Teste de validação do modelo para linha de transmissão trifásica


O modelo proposto I e os modelos clássimo modal e EMTP foram utilizados para


Nas simulações realizadas com o modelo proposto I, a linha foi representada por 100

circuitos do tipo mostrado na figura 10 conectados em cascata. Quando se utilizou o modelo

clássico modal cada modo da linha foi representado por uma cascata de 100 circuitos π. No



As figura 18, 19 e 20 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1, 2 e

3 da linha. A curva a mostra resultados obtidos com o modelo proposto I, enquanto que as

curva b e c mostram os resultados obtidos com os modelos clássico modal e EMTP,

56

respectivamente.










0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

200

400

600

800

1000

Tempo [ms]

Tens

ão [k

V] (a)

(b)(c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tempo [ms]

Tens

ão [k

V] (a)

(b)(c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tempo [ms]

Tens

ão [k

V] (a)

(b)(c)

57

As figura 18, 19 e 20 mostram que não há diferença entre os resultados obtidos com os

três modelos. Deste modo é possível afirmar que as consideração feitas durante o

desenvolvimento do modelo proposto I estão corretas. É importante destacar que o modelo

proposto I possibilita obter os resultados diretamente no domínio das fases, enquanto que os


3.5 Conclusão

Nesse capítulo foi mostrado o desenvolvimento de um novo modelo para linhas de

transmissão bifásicas com plano de simetria vertical e linhas trifásicas idealmente transposta.

O modelo permite calcular as correntes e tensões de fase ao longo da linha, diretamente no

domínio do tempo e sem o uso de matrizes de decomposição modal explicitamente.

As correntes e tensões de fase da linha são escritas na forma de equações de estado,

sendo que as matrizes de estado [A] e [B] possuem apenas parâmetros da linha no domínio

das fases.

Os resultados obtidos com o modelo proposto I mostraram-se idênticos aos

resultados obtidos com outros dois modelos já existentes e bem conhecidos, confirmando

assim que o modelo proposto foi desenvolvido corretamente.

58

4 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO COM

OU SEM TRANSPOSIÇÃO

4.1 Introdução No Capítulo 3 foi apresentado um modelo para linhas de transmissão que permite

obter as correntes e tensões diretamente no domínio das fases. O modelo é baseado na

representação da linha no domínio modal, mas as transformações fase-modo-fase estão

inseridas nas equações de estado que descrevem as correntes e tensões ao longo da linha,

fazendo com que tais equações estejam escritas no domínio das fases.

O modelo descrito anteriormente parte da hipótese de que a matriz que desacopla a

linha em seus modos de propagação são reais e invariáveis em relação à frequência. No

entanto, esta hipótese só é satisfeita quando se trata de linhas bifásicas com plano de simetria

vertical e linhas trifásicas idealmente transpostas. Deste modo, o modelo proposto no Capítulo

3 não pode ser utilizado para representar a maioria das linhas trifásicas existentes.

Para contornar esta limitação do modelo, neste capítulo será mostrado o

desenvolvimento de um modelo de linha em que as equações de estado, que descrevem as

correntes e tensões de fase da mesma, serão escritas diretamente no domínio das fases, sem a

utilização da transformação modal. O mesmo pode ser utilizado para representar qualquer

linha, independentemente da geometria da mesma, sendo que, neste trabalho será mostrado o

desenvolvimento do modelo para linhas bifásicas e trifásicas.

Em linhas de transmissão aéreas, o valor das condutâncias é muito pequeno, ou seja,

não tendo uma influência significativa na forma de onda da corrente e da tensão ao longo da

linha de transmissão (MARTINEZ, 2005) sendo desconsiderada no equacionamento do

modelo.

4.2 Algumas considerações a respeito do modelo proposto Sabe-se que os parâmetros longitudinais de uma linha de transmissão são classificados

em parâmetros próprios e mútuos.

Os parâmetros próprios são a resistência e a indutância, sendo que os elementos

próprios são uma resistência e uma indutância própria em cada uma das fases. Quanto aos

parâmetros mútuos, deve-se levar em conta que o fato da linha ser construída sobre um solo

que não pode ser considerado ideal (do ponto de vista de suas características elétricas) faz

59

com que além da indutância mútua, exista também um outro elemento que comporta-se como

uma resistência e que diversos autores denominam de resistência mútua (DOMMEL, 1996).

A queda de tensão em um condutor devido à indutância mútua existente entre o

mesmo e um outro é bastante conhecida e pode ser determinada por meio da lei de Lenz

(HAYT, 2003). Quanto ao efeito de uma resistência mútua, pouca informação foi encontrada

a respeito da mesma.

A dificuldade em se levar em conta o acoplamento existente entre as fases de uma

linha de transmissão geralmente é eliminada quando a mesma é representada no domínio

modal. Neste domínio uma linha de transmissão de n fases é representada no domínio modal

por seus n modos de propagação, que são totalmente desacoplados uns dos outros e são

representados por n linhas monofásicas independentes. No domínio modal, os parâmetros

mútuos da linha são distribuídos entre os modos da mesma na forma de parâmetros

longitudinais próprios e esta característica dos modos de propagação permite equacionar as

correntes e tensões ao longo dos modos de propagação da linha sem que seja levada em conta,

nestas equações, os parâmetros mútuos da linha. Deste modo quando é necessário calcular

correntes e tensões nas fases de uma linha de transmissão, é bastante usual converter esta

linha para o domínio modal, calcular as correntes e tensões em cada um dos modos de

propagação e em seguida converter tais tensões e correntes para o domínio das fases por meio

da utilização de uma matriz de transformação fase-modo adequada.

Recentemente, Schulze (SCHULZE, 2010) propôs um modelo para considerar o efeito

da resistência. No modelo proposto, considerou-se que o efeito de uma resistência mútua

obedece a lei Ohm, ou seja, a resistência mútua entre dois condutores j e k faz com que o

condutor j tenha uma queda de tensão devido à corrente no condutor k e esta queda de tensão

pode ser mensurada por meio de lei de Ohm.

A figura 21 mostra dois condutores j e k acoplados por uma resistência mútua Rm.

Figura 21 – Representação da resistência mútua.


condutor j

condutor k

Rm

vj(t)

vk(t)

ij(t)

ik(t)

60

Na figura 21 os condutores j e k são alimentados pelas fontes de tensão vj(t) e vk(t),

respectivamente, estão acoplados devido à presença da resistência mútua Rm e são percorridos

pelas correntes ij(t) e ik(t). De acordo com Schulze (SCHULZE, 2010), é possível escrever as

seguintes equações para os condutores:

v (t)−R i (t) = 0 (237)

v (t) −R i (t) = 0 (238)

Nas equações (237) e (238) verifica-se que, devido à resistência mútua, o condutor j

sofre uma queda de tensão que é função da corrente no condutor k. O mesmo ocorre com o

condutor k em relação ao condutor j. Verifica-se também que a queda de tensão devido à

resistência mútua obedece à lei de Ohm.

Schulze utilizou o modelo para resistência mútua descrito anteriormente para

descrever as equações de correntes e tensões em uma linha de transmissão trifásica

representada por um único circuito (SCHULZE, 2010). No entanto, por utilizar somente um

circuito , o modelo proposto por Schulze pode ser utilizado somente para representar linhas

curtas e não permite a visualização da propagação das ondas de correntes ao longo da linha.

Neste capítulo o modelo de resistência mútua proposto por Schulze será extendido

para situações em que linhas bifásicas e trifásicas sem transposição, com geometria genérica,

sejam representadas por uma grande quantidade de circuitos conectados em cascata, ou seja,

será deduzido um modelo para linhas de transmissão bifásicas e trifásicas de qualquer

comprimento que pode ser utilizado para representar estas linhas em situações em que deve-se

levar em conta que as correntes e tensões ao longo da linha comportem-se como ondas.

4.3 Representação de linhas bifásica Considere uma linha bifásica genérica, conforme mostra a figura 22. Figura 22 – Linha de transmissão bifásica genérica.


61

Na figura 22, as fases A e B da linha possuem alturas hA e hB, respectivamente, em

relação ao solo.

Considerando que um pequeno segmento de linha pode ser representado por elementos

discretos de circuito, é possível representar um pequeno segmento de linha mostrada na

figura 22, pelo circuito mostrado na figura 23.

Figura 23 – Representação de um pequeno segmento de linha bifásica por elementos discretos

de circuitos.


Na figura 23 vAj(t) e vA(j-1)(t) são as tensões de fase, na fase A, nos extremos do

segmento de linha enquanto que vBj(t) e vB(j-1)(t) são as tensões de fase, na fase B, no mesmo

segmento. As grandezas iAj(t) e iBj(t) são as correntes, nas fases A e B respectivamente, no

segmento de linha. As grandezas RA e RB são, respectivamente, as resistências longitudinais

nas fases A e B do segmento de linha enquanto que LA e LB são as indutâncias longitudinais

das fases A e B, respectivamente. Ainda, no circuito mostrado na figura 23, será levado em

consideração a resistência e a indutância mútuas que, devido à dificuldade de representação,

não são mostradas na figura 23. O segmento de linha possui também as capacitâncias

transversais parciais CAB, CPA e CPB.

A partir do circuito mostrado na figura 23 é possível obter as seguintes equações:

Aj11 Aj 13 Bj 12 Aj 14 Bj 12 A( j 1) 14 B( j 1)

di (t)a i (t) a i (t) a v (t) a v (t) a v (t) a v (t)

dt (239)

Aj21 Aj 23 Bj

dv (t)a i (t) a i (t)

dt (240)

62

Bj31 Aj 33 Bj 32 Aj 34 Bj 32 A( j 1) 34 B( j 1)

di (t)a i (t) a i (t) a v (t) a v (t) a v (t) a v (t)

dt (241)

Bj41 Aj 43 Bj

dv (t)a i (t) a i (t)

dt (242)

sendo:

A B AB AB11 2

A B AB

R L R LaL L L

(243)

B12 2

A B AB

La =L L L

(244)

AB B B AB13 2

A B AB

R L R LaL L L

(245)

AB14 2

A B AB

LaL L L

(246)

PB21 2

PA PB AB

Ca 2C C C

(247)

AB23 2

PA PB AB

Ca 2C C C

(248)

AB A A AB31 2

A B AB

R L R LaL L L

(249)

AB32 2

A B AB

LaL L L

(250)

B A AB AB33 2

A B AB

R L R LaL L L

(251)

A34 2

A B AB

LaL L L

(252)

AB41 2

PA PB AB

CaC C C

(253)

63

PA43 2

PA PB AB

CaC C C

(254)

Escrevendo a equação (239)-(242) na forma de equação de estado obtém-se:

[x] [A][x] [B][u(t)] (255)

sendo:

11 12 13 14

21 23

31 32 33 34

41 43

a a a aa 0 a 0

Aa a a aa 0 a 0

(256)

12 14

32 34

a a0 0

[B]a a0 0

(257)

Aj Aj Bj BjT di (t) dv (t) di (t) dv (t)[x]

dt dt dt dt

(258)

TA( j 1) B( j 1)[u(t)] V V (259)

Na equação (258), T[ x ] é o vetor [ x ] transposto e na equação (259), [u(t)]T é o

vetor [u(t)] transposto.

A equação (255) permite calcular as correntes e tensões de fase nos terminais de um

pequeno segmento da linha, mostrada na figura 23, diretamente no domínio das fases

independentemente da geometria da linha.

Considerando agora que a linha é representada por n segmentos, do tipo mostrado na

figura 23, é possível reescrever a equação (255) como sendo:

T

A1 An A1 An B1 Bn B1 Bn[x] i (t) i (t) V (t) V (t) i (t) i (t) V (t) V (t) (260)


longitudinais e pelas tensões transversais nas fases da linha, representada por uma cascata de

64

n circuitos do tipo mostrado na figura 23. Deste modo, as grandezas iAj(t) e iBj(t)

correspondem às correntes nas fases A e B, respectivamente, no j-ésimo segmento


grandezas vAj(t) e vBj(t) corresponde às tensões nas fases A e B no j-ésimo segmento.

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

[A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ]

[A][A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ]

(261)



formação:

- Submatrizes [A11], [A13], [A31] e [A33]: estas submatrizes possuem elementos não nulos

somente na diagonal principal e são escritas como sendo:

A equação (262) é válida para p = 1, 3 e q = 1, 3, sendo que o elemento apq é

calculado a partir das equações (243)-(254).


somente na diagonal principal e na subdiagonal inferior e são escritas como sendo:

pq

pq pq

pqpq

pq

pq pq

aa a

a[A ]aa a

(263)



pq

pq

pq

pq

pq

aa

[A ]a

a

(262)

65


somente na diagonal principal e na subdiagonal superior e são escritas como sendo:

pq pq

pq pq

pq

pq pq

pq

a aa a

1[A ]2 a a

2a

(264)



As submatrizes [Apq] restantes são matrizes nulas.

Na equação (255), [B] é uma matriz de ordem 4n x 2 que é escrita como sendo:

11 12

(2n 1)1 (2n 1)2

b b0 0

0 0[B]

b b0 0

0 0

(265)

sendo:

11 12b a (266)

12 14b a (267)

(n 1)1 32b a (268)

(n 1)2 34b a (269)

Os elementos a12, a14, a32 e a34 são calculados a partir das equações (243)-(254).

Na equação (255) o vetor [u(t)] é escrito como sendo:

A

B

v (t)[u(t)]

v (t)

(270)

66

Sendo vA(t) e vB(t) as fontes conectadas, nas fases A e B, no início da linha.

Observa-se que equação (255) é constituída somente por grandezas de fase da linha e

permite obter, diretamente no domínio do tempo, as correntes e tensões de fase ao longo do

comprimento da linha, sem a necessidade de aplicar qualquer matriz de transformação.

4.4 Representação de linhas trifásicas

Considere uma linha trifásica genérica, conforme mostra a figura 24. Figura 24 – Linha de transmissão trifásica genérica.


Na figura 24, as fases A, B e C da linha possuem alturas hA, hB e hC respectivamente,

em relação ao solo.

Considerando que um pequeno segmento de linha pode ser representado por elementos

discretos de circuito, é possível representar um pequeno segmento de linha mostrada na

figura 24 pelo circuito mostrado na figura 25.

Figura 25 – Representação de um pequeno segmento de linha bifásica por elementos discretos

de circuitos.

67


Na figura 25 vAj(t) e vA(j-1)(t) são as tensões de fase, na fase A, nos extremos do

segmento de linha enquanto que vBj(t) e vB(j-1)(t) são as tensões de fase, na fase B, no mesmo

segmento e vCj(t) e vC(j-1)(t) são as tensões de fase, na fase C, do segmento mostrado. As

grandezas iAj(t), iBj(t) e iCj(t) são as correntes, nas fases A, B e C respectivamente, no

segmento de linha. As grandezas RA, RB e RC são, respectivamente, as resistências

longitudinais faz fases A, B e C do segmento de linha enquanto que LA, LB e LC são as

indutâncias longitudinais das fases A, B e C, respectivamente. Ainda, no circuito mostrado na

figura 25, será levado em consideração as resistências e as indutâncias mútuas que, devido à

dificuldade de representação, não são mostradas na figura 25. O segmento de linha possui

também as capacitâncias transversais parciais CAB, CBC, CAC, C0A, C0B e C0C.

A partir do circuito mostrado na figura 25 é possível obter as seguintes equações:

AjAj 11 Bj 13 Cj 15 Aj 12 Bj 14 Cj 16

A( j 1) 12 B( j 1) 14 C( j 1) 16

di (t)i (t)a i (t)a i (t)a v (t)a v (t)a v (t)a

dt v (t)( a ) v (t)( a ) v (t)( a )

(271)

AjAj 21 Bj 23 Cj 25

dv (t)i (t)a i (t)a i (t)a

dt (272)

BjAj 31 Bj 33 Cj 35 Aj 32 Bj 34 Cj 36

A( j 1) 32 B( j 1) 34 C( j 1) 36


dt v (t)( a ) v (t)( a ) v (t)( a )

(273)

BjAj 41 Bj 43 Cj 45


dt (274)

CjAj 51 Bj 53 Cj 55 Aj 52 Bj 54 Cj 56

A( j 1) 52 B( j 1) 54 C( j 1) 56


dt v (t)( a ) v (t)( a ) v (t)( a )

(275)

CjAj 61 Bj 63 Cj 65


dt (276)

sendo:

68

2A BC B C AB C AB AC BC AC B AC AB BC

11 2 2 2A B C A BC B AC C AB AB AC BC

R L L L R L L L L R L L L La

L L L L L L L L L 2L L L

(277)

2BC B C


L L LaL L L L L L L L L 2L L L

(278)

2AB BC B C B C AB AC BC BC B AC AB BC




(279)

C AB AC BC14 2 2 2

A B C A BC B AC C AB AB AC BC

L L L LaL L L L L L L L L 2L L L

(280)

2AC BC B C BC C AB AC BC C B AC AB BC




(281)

B AC AB BC16 2 2 2



(282)

20B AB BC 0C AC BC BC

21

C C C C C C Ca 2

(283)

AB 0C AC BC AC BC23

C C C C C Ca 2

(284)

AC 0B AB BC AB BC25

C C C C C Ca 2

(285)

2A C AB AC BC AB AC A C AC A BC AB AC


R L L L L R L L L R L L L La


(286)

C AB AC BC32 2 2 2



(287)

2AB C AB AC BC B AC A C BC A BC AB AC




(288)

2AC A C



(289)

2AC C AB AC BC BC AC A C C A BC AB AC




(290)

69

A BC AB AC36 2 2 2



(291)

AB 0C AC BC AC BC41

C C C C C Ca 2

(292)

20A AB AC 0C AC BC AC

43

C C C C C C Ca 2

(293)

BC 0A AB AC AC AB45

C C C C C Ca 2

(294)

2A B AC AB BC AB A BC AB AC AC AB A B


R L L L L R L L L L R L L La


(295)

B AC AB BC52 2 2 2



(296)

2AB B AC AB BC B A BC AB AC BC AB A B




(297)

A BC AB AC54 2 2 2



(298)

2AC B AC AB BC BC A BC AB AC C AB A B




(299)

2AB A B



(300)

AC 0B AB BC AB BC61

C C C C C Ca 2

(301)

BC 0A AB AC AB AC63

C C C C C Ca 2

(302)

20A AB AC 0B AB BC AB

65

C C C C C C Ca 2

(303)

onde:

0A AB AC 0B AB BC 0C AC BC

2 20A AB AC BC 0B AB BC AC

20C AC BC AB AB BC AC

C C C C C C C C C

C C C C C C C C

C C C C 2C C C

(304)

70

Escrevendo a equação (271)-(276) na forma de equação de estado obtém-se:

[x] [A][x] [B][u(t)] (305)

sendo:

11 12 13 14 15 16

21 23 25

31 32 33 34 35 36

41 43 43

51 52 53 54 55 56

61 63 65

a a a a a aa 0 a 0 a 0a a a a a a

[A]a 0 a 0 a 0a a a a a aa 0 a 0 a 0

(306)

12 14 14

32 34 36

32 36 34

a a a0 0 0a a a

B0 0 0a a a0 0 0

(307)

T Aj Aj Bj Bj Cj Cjdi (t) dv (t) di (t) dv (t) di (t) dv (t)x

dt dt dt dt dt dt

(308)

T A( j 1) B( j 1) C( j 1)u(t) V (t) V (t) V (t) (309)

Na equação (308), T[ x ] é o vetor [ x ] transposto e na equação (309), [u(t)]T é o

vetor [u(t)] transposto.

A equação (305) permite calcular as correntes e tensões de fase nos terminais de um

pequeno segmento da linha mostrada na figura 25 diretamente no domínio das fases

independentemente da geometria da linha.

Considerando agora que a linha é representada por n segmentos do tipo mostrado na

figura 25 é possível reescrever a equação (305) como sendo:

TA1 An A1 An B1 Bn B1

Bn C1 Cn C1 Cn

[x] [i (t) i (t) v (t) v (t) i (t) i (t) v (t) v (t) i (t) i (t) v (t) v (t)]

(310)



71

circuitos do tipo mostrado na figura 25. Deste modo, as grandezas iAj(t), iBj(t) e iCj(t)

correspondem às correntes nas fases A, B e C, respectivamente, no j-ésimo segmento


grandezas vAj(t), vBj(t) e vCj(t) corresponde às tensões nas fases A, B e C no j-ésimo segmento.

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

[A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]

[A][A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ][A ] [A ] [A ] [A ] [A ] [A ]

(311)



formação:

- Submatrizes [A11], [A13], [A15], [A31], [A33], [A35], [A51], [A53] e [A55]: estas submatrizes

possuem elementos não nulos somente na diagonal principal e são escritas como sendo:

A equação (312) é válida para p = 1, 3, 5 e q = 1, 3, 5, sendo que o elemento apq é



possuem elementos não nulos somente na diagonal principal e na subdiagonal inferior e são

escritas como sendo:

pq

pq pq

pqpq

pq

pq pq

aa a

a[A ]aa a

(313)

pq

pq

pq

pq

pq

aa

[A ]a

a

(312)

72




possue elementos não nulos somente na diagonal principal e na subdiagonal superior e são

escritas como sendo:

pq pq

pq pq

pq

pq pq

pq

a aa a

1[A ]2 a a

2a

(314)



As submatrizes [Ap,q] restantes são matrizes nulas.

Na equação (305), [B] é uma matriz de ordem 6n x 3 que é escrita como sendo:

11 12 13

(2n 1)1 (2n 1)2 (2n 1)3

(4n 1)1 (4n 1)2 (4n 1)3

b b b

0 0 0b b b

B0 0 0

b b b

0 0 0

(315)

sendo:

11 12b a (316)

12 14b a (317)

13 14b a (318)

322n 1 1b a (319)

342n 1 2b a (320)

73

362n 1 3b a (321)

524n 1 1b a (322)

544n 1 2b a (323)

564n 1 3b a (324)

Os elementos a12, a14, a16, a32, a34, a36, a52, a54 e a56 são calculados a partir das

equações (277)-(303).

Na equação (305) o vetor [u(t)] é escrito como sendo:

TA B C[u(t)] v (t) v (t) v (t) (325)

Sendo vA(t), vB(t) e vC(t) as fontes conectada, nas fases A, B e C, no inicio da linha.

Observa-se que equação (305) é constituída somente por grandezas de fase da linha e

permite obter, diretamente no domínio do tempo, as correntes e tensões de fase ao longo do

comprimento da linha, sem a necessidade de aplicar qualquer matriz de transformação.

4.5 Validação dos modelos desenvolvidos

Para comprovar a validação do modelo proposto II, os resultados obtidos com o

mesmo foram comparados com os resultados obtidos com outros dois modelos que serão

denominados, neste trabalho, modelo clássico modal e modelo EMTP.

O modelo clássico modal consiste em decompor a linha em seus modos de


em seguida, calculam-se as correntes e tensões em cada um dos modos de propagação. Em

seguida obtêm-se as correntes e tensões nas fases da linha a partir do uso de uma matriz de



Quanto ao modelo EMTP, trata-se do modelo de linhas bifásicas e trifásica existente

no software ATPDraw (PROKLER, 2002). Trata-se também de um modelo a parâmetros

discretos.


hipotética linha bifásica e uma linha trifásica.

74

4.5.1 Modelo para linha bifásica

Situação 1

Seja uma linha de transmissão bifásica conforme mostra a figura 26:

Figura 26 – Representação espacial da linha de transmissão bifásica com plano de simetria.

Fonte: Yamanaka, 2009.





0,3947 0,3945R ' /km

0,3945 0,3947

(326)

1,6 0,94746L ' mH/km

0,94746 1,6

(327)

12,56 4,19C' F/km

4,19 12,56

(328)

As capacitâncias parciais são dadas por: CPA=CPB= 8,35 ηF/km e CAB= 4,19 ηF/km.


75




Figura 27 – Teste de validação do modelo para linha de transmissão bifásica: situação1.


O modelo proposto II e os modelos clássico modal e EMTP foram utilizados para


Nas simulações realizadas com o modelo proposto II a linha foi representada por 100

circuitos do tipo mostrado na figura 23 conectada em cascata. Quando se utilizou o modelo I

cada modo da linha foi representada por uma cascata de 100 circuitos π. No ATPDraw a linha

foi representada também por 100 circuitos discretos (cada um representando um pequeno

segmento de linha) conectados em cascata.

As figura 28 e 29 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1 e 2 da

linha. A curva a mostra resultados obtidos com o modelo proposto II, enquanto que as curva b

e c mostram os resultados obtidos com os modelos clássico modal e EMTP, respectivamente.

Figura 28 – Tensão no terminal da linha na fase 1: modelos proposto II (curva a), modelo



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-200

0

200

400

600

800

1000

Tempos [ms]

Ten

são

[kV

]

(a)(b)

(c)

76

Figura 29 – Tensão no terminal da linha na fase 2: modelo proposto II (curva a), modelo



As figuras 28 e 29 mostram que não há diferença entre os resultados obtidos

com os três modelos. Deste modo é possível afirmar que a consideração feita durante o

desenvolvimento do modelo proposto II está correta. É importante destacar que o modelo

proposto possibilita obter os resultados diretamente no domínio das fases, enquanto que os


Situação 2

Seja uma linha de transmissão bifásica conforme mostra a figura 30:

Figura 30 – Representação espacial da linha de transmissão bifásica sem plano de simetria.






0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-600

-400

-200

0

200

400

600

Tempos [ms]

Ten

são

[kV

](b)

(c)(a)

77

0,1392 0,05795R ' /km

0,05795 0,1395

(329)

2,55 0,9943L ' mH/km

0,9943 2,549

(330)

6,5174 0,8468C ' F/km

0,8468 6,6894

(331)

As capacitâncias parciais são dadas por: CPA= 5,6706 ηF/km, CPB= 5,8426 ηF/km e

CAB= 0.8468 ηF/km.



kV enquanto que os terminais receptores da linha foram mantidos em aberto. A configuração


Figura 31 – Teste de validação do modelo para linha de transmissão bifásica: situação 2.


O modelo proposto II e o modelo EMTP foram utilizados para simular as tensões de

fase nos terminais da linha mostrada na figura 31. O motivo de não utilizar o modelo clássico

modal é que quando os condutores estão em alturas distintas a matriz de transformação modal

passa a ser uma matriz complexa.

Nas simulações realizadas com o modelo proposto a linha foi representada por 100

circuitos, do tipo mostrado na figura 23, conectada em cascata. No ATPDraw a linha foi

representada também por 100 circuitos discretos (cada um representando um pequeno

segmento de linha) conectada em cascata.

As figuras 32 e 33 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1 e 2 da

linha. A curva a mostra resultados obtidos com o modelo proposto II, enquanto que a curva b

78

mostram os resultados obtidos com o modelo EMTP.

Figura 32 – Tensão no terminal da linha na fase 1: modelos proposto II (curva a) e modelo

EMTP (curva b).


Figura 33 – Tensão no terminal da linha na fase 2: modelo proposto II (curva a) e modelo

EMTP (curva b).


As figuras 32 e 33 mostram que não há diferença entre os resultados obtidos

com os dois modelos. Deste modo é possível afirmar que a consideração feita durante o

desenvolvimento do modelo proposto II está correta. É importante destacar que o modelo

proposto II possibilita obter os resultados diretamente no domínio das fases, enquanto que o

modelo EMTP utiliza matriz de decomposição modal.

4.5.2 Validação do modelo para linhas trifásicas

Situação 1

Seja uma linha de transmissão trifásica idealmente transposta, conforme mostra a

figura 34:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-200

0

200

400

600

800

1000

1200

Tempos [ms]

Ten

são

[kV

]

(b)(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-600

-400

-200

0

200

400

600

Tempos [ms]

Ten

são

[kV

] (a)(b)

79

Figura 34 – Representação da linha de transmissão trifásica.

1

2 3

4 5

(9.27; 24.4)

(7.51; 36)

3.6

m




60 Hz, levando a conta os efeitos solo e pelicular. Deste modo, foram obtidos os seguintes


0,6667 0,4667 0,4667

R ' 0,4667 0,6667 0,4667 /km0,4667 0,4667 0,6667

(332)

1,5 0,5167 0,5167

L ' 0,5167 1,5 0,5167 mH/km0,5167 0,5167 1,5

(333)

0,0075 -0,0018 -0,0018

C ' -0,0018 0,0075 -0,0018 F/km-0,0018 -0,0018 0,0075

(334)

As capacitâncias parciais são dadas por: C0A=C0B=C0C= 0,0075 ηF/km e

CAB=CAC=CBC= 0.0018 ηF/km.

Considerando-se que a linha de transmissão mostrada na figura 34, com 100 km de




80

Figura 35 – Teste de validação do modelo para linha de transmissão trifásica




Nas simulações realizadas com o modelo proposto II a linha foi representada por 100

circuitos do tipo mostrado na figura 25 conectada em cascata. Quando se utilizou o modelo

clássico modal cada modo da linha foi representada por uma cascata de 100 circuitos π. No



As figuras 36, 37 e 38 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1, 2

e 3 da linha. A curva a mostra resultados obtidos com o modelo proposto II, enquanto que as


respectivamente.




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

200

400

600

800

1000

Tempos [ms]

Ten

são

[kV

] (a)(b)

(c)

81







As figuras 36, 37 e 38 mostram que não há diferença entre os resultados obtidos com

os três modelos. Deste modo é possível afirmar que as considerações feitas, durante o

desenvolvimento do modelo proposto, estão corretas. É importante destacar que o modelo

proposto II possibilita obter os resultados diretamente no domínio das fases sem o uso de

qualquer matriz de transformação real, enquanto que os modelos clássico modal e EMTP

utilizam matrizes de decomposição modal.

Situação 2

Na situação 2 será considera a mesma linha representada na figura 34, entretanto, a

linha de transmissão não terá transposição entre as fases.

Com isso, a linha mostrada na Figura 34, com 100 km de comprimento, terá os novos

seguintes parâmetros longitudinais e transversais:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tempos [ms]

Ten

são

[kV

] (a)(b)

(c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tempos [ms]

Ten

são

[kV

] (a)(b)

(c)

82

0.8 0.5 0.5

R ' 0.5 0.6 0.4 /km0.5 0.4 0.6

(335)

1.44 0.56 0.56

L ' 0.56 1.47 0.43 mH/km0.56 0.43 1.47

(336)

0,0063 -0,0024 -0,0024

C ' -0,0024 0,0081 -0,0006 F/km-0,0024 -0,0006 0,0081

(337)

As capacitâncias parciais são dadas por: C0A= 0,0063 ηF/km, C0B=C0C= 0,0081

ηF/km, CAB=CAC= 0,0024 ηF/km e CBC= 0.0006 ηF/km.



kV enquanto que os terminais receptores da linha foram mantidos em aberto.



Nas simulações, realizadas com o modelo proposto, a linha foi representada por 100

circuitos do tipo mostrado na figura 25 conectado em cascata. Quando se utilizou o modelo I

cada modo da linha foi representada por uma cascata de 100 circuitos π. No ATPDraw a linha

foi representada também por 100 circuitos discretos (cada um representando um pequeno

segmento de linha) conectados em cascata.

As figuras 39, 40 e 41 mostram, respectivamente, as tensões no receptor das fases 1, 2

e 3 da linha. A curva a mostra resultados obtidos com o modelo proposto II, enquanto que as


respectivamente. Figura 39 – Tensão no terminal da linha na fase 1: modelo proposto II (curva a), modelo



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

200

400

600

800

1000

Tempos [ms]

Ten

são

[kV

]

(b)

(a) (c)

83







As figuras 39, 40 e 41 mostram que entre as curvas a e c não há diferença entre os

resultados obtidos. Entretanto, em relação do modelo proposto II com o modelo clássico

modal existiu uma diferença no módulo da tensão; isto ocorre devido à aproximação da matriz

de composição modal (Anexo A), já que, para o caso de linhas não transposta o

desacoplamento das fases é feito de forma aproximada. Deste modo é possível afirmar que as

considerações feitas durante o desenvolvimento do modelo proposto II estão corretas. É

importante destacar que o modelo proposto II possibilita obter os resultados diretamente no

domínio das fases sem o uso de qualquer matriz de transformação real, enquanto que os

modelos I e II utilizam matrizes de decomposição modal.

4.6 Conclusão

Neste capítulo foi apresentado um novo modelo de linhas de transmissão bifásica e

trifásica que determinam as correntes e tensões em todos os pontos da linha.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tempos [ms]

Ten

são

[kV

](b)

(a) (c)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Tempos [ms]

Ten

são

[kV

]

(b)

(a) (c)

84

Este modelo foi validado a partir de outros dois modelos de linha já existente na

literatura. O primeiro é um método matemático que desacopla a linha, omitindo os valores de

resistências, indutâncias e capacitâncias mútuas, facilitando a resolução dos problemas. O

segundo método é um software computacional bastante conhecido para a resolução de

problemas em sistemas de potência.

No caso de linhas bifásicas, foram comparados os métodos em duas situações. A

primeira considerou-se uma linha com plano de simetria vertical, cujas respostas foram

satisfatórias. A segunda situação considerou uma linha sem plano de simetria vertical, com a

qual o modelo proposto foi apenas comparado com o modelo EMTP e as respostas foram

idênticas.

No caso de linhas trifásicas, foram comparados os métodos em duas situações. A

primeira considerou-se a linha idealmente transposta, cujas respostas de todos os modelos

foram iguais. Na segunda situação, o modelo clássico modal apresentou uma variação em

relação aos demais métodos, entretanto o modelo proposto estudado foi similar ao modelo

EMTP utilizado como base em estudos de sistemas de potência.

A partir da análise feita é possível validar os modelos desenvolvidos neste capítulo.

85

CONCLUSÕES

Uma representação clássica de linhas de transmissão, diretamente no domínio do

tempo, consiste em separar a linha em seus modos de propagação e representar cada um

destes modos por meio de elementos discretos de circuitos. Neste modelo, a cada instante de

tempo é necessário representar a linha no domínio modal, calcular as correntes e tensões em

cada um dos modos de propagação da linha e, em seguida, converter os valores calculados

para o domínio das fases (modelo clássico modal).

Com o objetivo de se obter um modelo diretamente no domínio do tempo e das fases,

neste trabalho foi proposto desenvolver dois modelos de linha de transmissão. O primeiro

modelo (modelo proposto I) criado foi uma evolução do modelo clássico que utiliza uma

matriz de decomposição modal. Este modelo, em vez de fazer a transformação fase-modo-

fase a cada instante de tempo, omite a matriz de decomposição modal e o resultado é dado

diretamente no domínio do tempo e nas fases.

O modelo proposto I tem a necessidade de utilizar de forma implícita uma matriz de

decomposição. Com isso, para obter bons resultados há a necessidade da linha de transmissão

ser idealmente transposta e/ou possuir um plano de simetria vertical. Para demais

configurações de linha este modelo não é recomendado devido a matriz de decomposição

modal ser complexa.

De forma a eliminar está dificuldade, o segundo modelo (modelo proposto II) foi

desenvolvido sem a utilização de qualquer matriz de decomposição. Este novo modelo se

baseia em representar um segmento de linha por elementos discretos de circuito. Com a

utilização das leis de circuitos foi possível obter uma equação de estado contendo as

impedâncias e admitâncias sem introduzir nenhuma aproximação.

Os dois modelos foram desenvolvido para uma linha de transmissão bifásica e

trifásica.

Para a validação do modelo proposto I, utilizou-se como base o modelo clássico que

utiliza a transformada modal (modelo clássico modal) e o software de simulação ATPDraw

(modelo EMTP). No caso do modelo proposto I, foi utilizado para simular a energização de

uma linha de transmissão bifásica, com plano de simetria vertical, e trifásica, onde se utilizou

a matriz de Clarke para a decomposição modal. Os resultados obtidos foram satisfatórios

mostrando que o modelo foi desenvolvido de maneira correta.

A principal vantagem do modelo proposto I está no fato de que não há a necessidade

86

de se converter a linha, a cada instante de tempo, para o domínio modal. Deste modo, o

mesmo pode ser mais facilmente utilizado por usuários que não tenham familiaridade com a

teoria de decomposição modal.

Para a validação do modelo proposto II, utilizou-se como base o modelo clássico que

utiliza a transformada modal (modelo clássico modal) e o software de simulação ATPDraw

(modelo EMTP). No caso da linha bifásica, em todas as situações simuladas obteve solução

satisfatória.

Já no caso de uma linha trifásica, na situação 1 obteve-se resultado satisfatório.

Entretanto, na situação 2 ocorreu uma pequena diferença entre os resultados gerados. Na

situação 2, a linha de transmissão considerada não foi idealmente transposta, ou seja, a

utilização de Clarke como sendo a matriz de decomposição modal, como provado no Anexo

A, por tratar-se de um método que possui algumas aproximações, houve variações na resposta

do modelo proposto II e com a resposta obtida no software ATPDraw. Ao comparar o modelo

proposto II com o modelo do software ATPDraw, o resultado foi muito satisfatório, apenas

existindo uma pequena variação na transição no período da forma de onda.

Porém, a partir da análise feita é possível validar o novo método desenvolvido. A

grande vantagem deste método é que este modelo pode ser aplicado para qualquer

configuração de linha polifásicas. Ressaltando que o modelo não utiliza nenhum tipo de

matriz de decomposição modal.

87

REFERÊNCIAS

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88

MARTÍ, J. R. Accurate modelling of frequency-dependent transmission lines in electromagnetic transient simulations. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Piscataway, v. PAS-101, n. 1, p. 147-155, 1982. MARTÍ, L. Simulation of transients in underground cables with frequency-dependent modal transformation matrices. IEEE Transactions on Power Delivery, Piscataway, v. 3, n. 3, p. 1099-1110, 1988. MARTINEZ, J. A.; GUSTAVSEN, B.; DURBAK D. Parameter determination for modeling system transients—part I: overhead lines. IEEE Transactions on Power Delivery, Piscataway, v. 20, n. 3, p. 2038-2044, jul. 2005. NAIDU, S. R. Transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência. Campina-Grande: Grafset, 1985. PROKLER, L.; HOIDALEN, H. K. ATPDraw: users’ manual. [S.l.: s.n.], out. 2002. SILVA, R., C.; KUROKAWA, S. Integration methods used in numerical simulations of electromagnetic transients. IEEE Latin America Transactions, Piscataway, v. 9, n. 7, p. 1060-1065, dez. 2011. SCHULZE, R.; SCHEGNER, P.; ZIVANOVIC, R. Parameter identification of unsymmetrical transmission lines using fault records obtained from protective relays. IEEE Transactions on Power Delivery, Piscataway, v. 26, n. 2, p. 1265-1272, dez. 2010. TAVARES, M. C.; PISSOLATO, J.; PORTELA, C. M. Mode domain multiphase transmission line model: use in transient studies. IEEE Transactions on Power Delivery, Piscataway, v. 14, n. 4, p. 1533-1544, out. 1999. WEDEPHOL, L. M.; NGUYEN, H. V.; IRWIN, G. D. Frequency-dependent transformation matrices for untransposed transmission lines using Newton-Raphson Method. IEEE Transactions on Power Systems, Piscataway, v. 11, n. 3, p. 1538-1546, ago. 1996. YAMANAKA, F. N. R. Inclusão do efeito da frequência nas equações de estado de linhas bifásicas: análise no domínio do tempo. 2009. 108 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) – Faculdade de Engenharia Elétrica de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2009.

89

ANEXO A

REPRESENTAÇÃO DE LINHAS TRIFÁSICAS NO

DOMÍNIO MODAL

A.1 Introdução

Uma forma de determinar as correntes e tensões no estudo de linha de polifásica é

representar a linha em seus modos de propagação. Este modelo se baseia em representar uma

linha de n fases em n linhas monofásicas (conhecida como modo de propagação). Sabe-se que

linhas trifásicas idealmente transpostas podem ser representadas em seus modos de

propagação a partir da matriz de Clarke como sendo uma matriz de decomposição modal.

No caso de linhas trifásicas que não podem ser consideradas idealmente transpostas

mas que possui um plano de simetria vertical, a matriz de Clarke pode ser considerada de

maneira aproximada, e algumas situações, como sendo uma matriz de decomposição modal.

A matriz de Clarke é real e independente da frequência e é escrita como sendo:

Ck

2 106 31 1 1T6 2 3

1 1 16 2 3

(338)

A.2 Linha de transmissão idealmente transposta

A figura 42 mostra a disposição dos condutores de uma linha de transmissão trifásica

idealmente transposta.

Para esta configuração de linha tem-se a seguinte matriz de impedância da linha:

A B B

Z B C D /kmB D C

(339)

90

Figura 42 – Linha de transmissão trifásica.


Considerando que a linha mostrada na figura 42 é idealmente transposta, pode-se

reescrever a equação (339) como sendo:

X W W

Z W X W /kmW W X

(340)

onde:

A C CX3

(341)

B B DW3

(342)

A matriz de impedância longitudinal, no domínio modal é escrita como sendo:

TM I IZ T Z T (343)

Considerando que a matriz de Clarke é a matriz de decomposição modal tem-se:

1M Ck CkZ T Z T (344)

Substituindo as equações (338) e (340) na equação (344) obtém-se:

d

y

h

1

2 3

91

M

X W 0 0Z 0 X W 0

0 0 X 2W

(345)

A partir do resultado obtido na equação (345), nota-se que para uma linha idealmente

transposta a matriz de Clarke desacopla a linha trifásica perfeitamente.

A.3 Linha de transmissão não idealmente transposta com plano de simetria vertical

A equação (338) mostra os parâmetros da linha para uma linha sem transposição, com

configuração apresentada na figura 42. Da mesma forma do caso anterior, substituindo as

equações (338) e (339) em (344), tem-se:

M

2 1 1 2 106 6 6 6 3A B B

1 1 1 1 1Z 0 B C D2 2 6 2 3B D C

1 1 1 1 1 13 3 3 6 2 3

(346)

Desenvolvendo-se a equação (346), tem-se:

0

M

0 0

z 0 zZ 0 z 0

z 0 z

(347)

onde:

1z 2A C 4B D3 (348)

z C D (349)

01z A 2C 4B 2D3

(350)

92

02z A C B D

3 (351)

0 0z z (352)

A partir do resultado obtido na equação (347), nota-se que para uma linha não

transposta, a matriz de Clarke não desacopla a linha trifásica perfeitamente. Ou seja, quando

utiliza-se este método para determinar tensão e corrente da linha, este método acaba não

sendo exato mas apresentando, em algumas situações, uma boa aproximação.

“representação de linhas de transmissão, utilizando elementos …€¦ · linhas de...

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