capacitância e indutância para linhas de transmissão

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Cálculo da Capacitância e Indutância para Linhas de Transmissão

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  • Prof.: Adriano Alber de Frana Mendes Carneiro - EESC - USP SEL 365 Transmisso e Distribuio de Energia Eltrica

    35

    I.2 Capacitncia, Reatncia Capacitiva das Linhas de Transmisso a) Introduo: Condutores das linhas de transmisso (entre si e entre condutores e terra) CAPACITORES Capacitncia entre condutores de uma dada linha: constante (s depende da distncia entre os cabos) Capacitncia = f ( rea, meio e distncia entre placas) Efeito capacitivo: influ muito pouco para linhas at uns 50 km e

    tenso no muito elevada ( linhas de distribuio por ex.) desprezado.

    Corrente capacitiva: existe mesmo com a linha em vazio afeta:

    queda de tenso rendimento, fator de potncia da linha e at a estabilidade do sistema de que faz parte.

    Condutores de uma linha de transmisso

    Diferena de potencial

    Placas de um capacitor

    Mesmo comportamento

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    36

    b) campo eltrico em um condutor longo e reto: Densidade de fluxo na superfcie cilndrica: o fluxo que emana do condutor (numericamente igual carga em coulombs), por unidade de comprimento (1 metro), dividido pela rea da superfcie em um comprimento de 1m.

    x2qD = coulombs/m

    2

    q carga do condutor em coulombs por metro x distncia em metros Intensidade de campo eltrico ( ou (-) gradiente de potencial) a densidade de fluxo dividida pela permitividade do meio

    kD=

    0k permitividade do vcuo (8,831x 10

    -12 F/m)

    0r k

    kk =

    xk2q= volts/m

    x + + + +

    + + +

    Linhas de fluxo de campo eltrico em um condutor com carga positiva uniformemente distribuda em sua superfcie equipotencial a distncia x.

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    c) Diferena de potencial entre 2 pontos devido carga Diferena de potencial (volts) = trabalho

    coulombjoules necessrios para

    mover uma carga de um coulomb entre 2 pontos. Intensidade de campo eltrico (volts/m) = fora (N/coulomb) sobre uma carga de um coulomb no ponto considerado. Trabalho realizado para levar a carga de um ponto de potencial mais baixo outro de potencial mais alto = integral de linha, entre os dois pontos, da fora que age na carga, ou seja da intensidade do campo.

    Linhas de integrao

    Para se levar uma carga positiva de P2 a P1 dever ser realizado um trabalho, j que P1 tem potencial maior que P2. - Diferena de potencial entre 2 e 1 = trabalho realizado por coulomb de carga transportada.

    +q D1

    P1

    Superfcie equipotencial 1 Superfcie

    equipotencial 2

    P2

    Carga positiva

    D2

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    - Queda de tenso entre 1 e 2 ser o trabalho (ou a energia)

    realizado pelo campo por unidade de carga que se desloca de 1 a 2, independentemente de trajetria seguida.

    Da:

    12

    12 DDln

    k2qdx

    xk2qdxv 2

    D

    1D

    2D

    1D = = = volts (A) q carga instantnea no condutor em coulombs/m de comprimento v12 positiva ou negativa dependendo da carga q(+ ou -) e tambm

    se o clculo de um ponto prximo a um distante (D1> D1) ou vice-versa.

    d) Capacitncia de uma Linha a Dois Condutores

    Capacitncia entre os dois condutores de uma linha a 2 fios vem a ser a carga nos condutores por unidade de diferena de potencial entre eles

    vqc = Farads/m (B)

    q [coulombs] v [volts] Substituindo (A) em (B):

    12

    12

    DDln

    k2

    DDln

    k2q

    qc =

    =

    C depende do meio e das dimenses fsicas

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    39

    Queda de tenso entre (a) e (b) = vab vab pode ser calculada achando-se a queda de tenso devida carga

    qa, do condutor (a), e, em seguida, a queda de tenso devida carga qb, do condutor (b). A soma das duas dar a queda vab.

    Para calcular vab vamos supor, de incio, o condutor (b) sem carga, formando somente uma superfcie imersa no campo criado por qa: Para se evitar a distoro faz-se a integrao ao longo de 2 j que o potencial o mesmo.

    ( )

    aa

    aab rDln

    k2qqv = volts

    Para a carga qb tem-se, analogamente:

    a b

    D

    ra rb Linha a dois condutores

    Linha de integrao a a b

    2

    1 Linha de

    integrao a a b

    Seguindo a trajetria 2, tem-se: D1 = ra D2 = D Para o clculo da queda de tenso devido a q

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    40

    ( )

    Drln

    k2qqv bbbab = volts com a1 rD = e b2 rD =

    a queda de tenso total ser:

    ( ) ( )Drln

    k2q

    rDln

    k2qqvqvv bb

    a

    ababaabab +=+=

    como qqq ba == (linhas monofsicas)

    =

    = ba

    2b

    aab rr

    Dlnk2q

    Drln

    rDln

    k2qv

    Logo a capacitncia ser:

    ==

    ba

    2ab

    rrDln

    k2vqc Farads/metro

    Se:

    =

    ===

    rDln

    k

    rDln2

    k2crrr ba F/m

    com:

    120 1085,8

    =k F/m para o vcuo e ==0

    r kkk permitividade relativa.

    Para o ar tem-se: 121085,81 arr kk F/m

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    41

    =rDln

    0278,0cab F/km (1)

    Caso desejamos a capacitncia entre cada cabo e um ponto

    neutro (por ex. transformador com tap central aterrado: o ponto neutro ser a terra e quer-se a capacitncia entre cada cabo e terra) bastar multiplicar por dois.

    ====rDln

    0556,0c2ccc abbnann F/km (1`)

    para o neutro

    ==rDln

    k2cc bnan

    Considerao feita at aqui: cargas uniformemente distribudas nas superfcies dos condutores no verdade quando outras cargas esto presentes.

    O correto ser considerar os condutores como superfcies equipotenciais e, a partir da, fazer as dedues. Desta forma chega-se ao seguinte valor de capacitncia:

    +=

    1r4D

    r2Dln

    0556,0c

    2

    2n F/km (2)

    Para o neutro Erro quando se usa frmula 1`em vez de 2 muito pequeno,

    principalmente quando for grande a relao D/r (distncia entre condutores/ raio dos condutores) Exemplo:

    cab a capacitncia entre os condutores de uma linha a dois condutores.

    b

    c a

    a b

    c a n c bn

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    42

    D/r Erro (%) (na equao 1`) 10 0,44 100 0,002 200 0,0005

    Normalmente D/r > 50 (D/r = 50 linha compacta)

    Clculo da capacitncia com superfcies equipotenciais: muito complicado para linhas com vrios condutores em paralelo ou linhas trifsicas. Por estas razes adota-se a equao 1`e o mesmo procedimento para as prximas dedues. Observao: na frmula 1`o raio usado o geomtrico, ou seja, o

    verdadeiro e isto vlido tambm para cabos encordoados, com erro desprezvel. Assim usaremos sempre o raio geomtrico verdadeiro.

    Para a reatncia capacitiva tem-se:

    rDln10

    0556,0f21

    fc21x 6

    nc ==

    rDln10

    f8622,2x 6c = x km (*)

    para o neutro * obs.: este valor para 1 km de linha. Como a reatncia capacitiva

    em paralelo ao longo da linha, para a linha toda deve-se dividir este valor pelo comprimento total da linha em km.

    Para 60 Hz:

    rDln100477,0x 6c = x km (*)

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    43

    para o neutro Obs.:

    fc21xc =

    [c] = F/km = kmv

    ckm

    v/c= [f] = Hz = s

    -1

    [ ] 11c cs

    kmv

    kmvcs

    1x =

    = mas A = c/s

    [ ] kmkmAvxc ==

    Aqui tambm pode-se fazer:

    Dln100477,0r1ln100477,0x 66c +=

    A corrente capacitiva na linha ser:

    ababab

    abcab

    cap Vfc2jfc2/1vj

    xvjI

    ab

    === [A] Exerccio: Determinar a susceptncia capactiva de uma linha monofsica a dois cabos, de cobre, em 60 Hz. Os cabos so 1/0, com 7 fios, com 5,49m de distncia entre seus centros. E Diferena de Potencial Entre Dois Condutores de Um Grupo de

    Condutores Carregados

    Reatncia capacitiva para 1 metro de espaamento

    Fator de espaamento

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    44

    Para vrios condutores paralelos pode-se calcular a tenso entre dois condutores quaisquer aplicando-se a equao

    12

    12 DDln

    k2qv = , vrias vezes, uma para cada condutor.

    Seja o grupo de condutores com 0I......III mcba =++++

    DbcDab

    DmcDam

    Dac

    b qb

    cqc

    aqa

    m qm

    Dbm

    Supe-se que: No existncia de cargas nas proximidades; Que o solo esteja suficientemente afastado; Que as distncias entre condutores sejam muito maiores que qualquer dos raios.

    Com isto admite-se que a distribuio de cargas nas superfcies

    dos condutores seja uniforme. Assim:

    ++++= am

    bmm

    ac

    bcc

    ba

    bb

    a

    abaab D

    Dlnq.........DDlnq

    Drlnq

    rDlnq

    k21V (3)

    Escrevendo de outra forma:

    ++++= am

    bmm

    ac

    bcc

    ab

    bbb

    aa

    baaab D

    Dlnq.........DDlnq

    DDlnq

    DDlnq

    k21V

    onde cada termo a queda de tenso entre a e b devida a carga de cada um dos condutores do grupo. Analogamente:

    Numeradores: distncia de b a todos os outros

    Denominadores: distncia de a a todos os outros.

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    45

    ++++= ma

    mcm

    ba

    bcc

    ba

    bcb

    a

    acaac D

    Dlnq.........DDlnq

    DDlnq

    rDlnq

    k21V

    .

    .

    .

    ++++= ma

    rmm

    ca

    cmc

    ba

    bmb

    a

    amaam D

    Dlnq.........DDlnq

    DDlnq

    rDlnq

    k21V

    Tm-se um sistema de equaes que pode ser resolvido, determinando-se as cargas, desde que se conheam as tenses. estas equaes dificilmente sero utilizadas para se determinar cargas, entretanto o raciocnio empregado ser til nas dedues posteriores. F Capacitncia de uma Linha Trifsica com Espaamento

    Eqilateral.

    b

    a c

    D

    D

    D

    Condutores com raios iguais para os quais deseja-se calcular a capacitncia para o neutro.

    Aplicando o procedimento do item anterior:

    ++=

    ++=

    Drlnq

    DDlnq

    rDlnq

    k21V

    DDlnq

    Drlnq

    rDlnq

    k21V

    cbaac

    cbaab

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    3Van

    VabVbc

    Vca = -Vac

    Van3060

    a

    b

    c

    RIm

    | Vab| = | Vac|

    Projetando Vna em Vab:

    anacab

    aban

    aban

    V3VV2

    V23V

    2V

    30cosV

    =====

    Somando:

    ++=+ Drln)qq(

    rDlnq2

    k21VV cbaacab

    mas

    rDln

    k2q3VVqqq aacabacb =+=+

    Pela figura anterior: )30senj30(cosVV abab +=

    +=

    21j

    23V3V anab

    ==

    21j

    23V3VV ancaac

    ananacab V3)3(V3VV ==+ Substituindo:

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    47

    voltsrDln

    k2qV aan =

    mas

    neutroopara,m/F

    rDln

    k2VqCan

    an

    ==

    Logo:

    neutrooparakm/FC

    rDln

    0556,0n =

    - Capacitncia para o neutro em uma linha trifsica com

    espaamento eqilateral (capacitncia por fase). Obs.: esta equao idntica da capacitncia para o neutro de uma linha monofsica (note-se que a mesma semelhana foi verificada no clculo da indutncia). A corrente capacitiva dada por (por fase):

    anancan

    cap VfC2jXVjI

    ana ==

    anncap VfC2jI a =

    G Capacitncia de uma Linha Trifsica com Espaamento

    assimtrico.

    b

    cD31

    D23D122

    3a

    1

    Neste caso, se no houver transposio o clculo ficar complicado

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    48

    Havendo transposio, a capacitncia mdia de cada fase para o neutro ser igual s das outras fases. Nas linhas no transpostas as diferenas so pequenas para as configuraes usuais, o que permite que se faam clculos como se elas fossem transpostas. Concluso: consideram-se todas as linhas como transpostas,

    obtendo-se capacitncia mdia iguais para todas as fases.

    Aplicando-se a eq. (3) para cada posio da transposio, vem: I fase a na posio 1, b na 2 e c na 3:

    voltsDDlnq

    Drlnq

    rDlnq

    k21V

    31

    23c

    12b

    12aab IIII

    ++=

    II fase a na posio 2, b na 3 e c na 1:

    voltsDDlnq

    Drlnq

    rDlnq

    k21V

    12

    31c

    23b

    23aab IIIIIIII

    ++=

    III fase a na posio 3, b na 1 e c na 2:

    voltsDDlnq

    Drlnq

    rDlnq

    k21V

    2312

    c31

    b31

    aab IIIIIIIIIIII

    ++=

    Ao longo da linha teremos: IIIIII ababab VVV == , isto , a tenso Vab se mantm constante IIIIII aaa qqq o que tambm vale para qb e qc.

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    49

    Isto complica bastante o clculo pois tem-se 10 incgnitas (qij, i = a,b,c; j = I,II,III e ainda Vab ) e, embora possa-se conseguir 10 equaes, o clculo no prtico.

    Portanto, sem grande erro, admite-se que a carga por unidade

    de comprimento em um condutor a mesma em qualquer posio do ciclo de transposio. Com isto as tenses IIIIII ababab eVV,V sero diferentemente, devendo-se calcular a mdia aritmtica.

    IIIIII aaa qqq == , idem para qb e qc

    3VVV

    abIIIabIIabIabV

    ++=

    ++= 212212

    212212c

    312312

    3b3

    312212aab DDD

    DDDlnqDDD

    rlnqr

    DDDlnqk61V

    += Deqrlnq3

    rDeqlnq3

    k61V baab

    com 3 312312 DDDDeq =

    analogamente:

    += Deqrlnq

    rDeqlnq

    k21V baac

    mas, j vimos que anacab V3VV =+

    ++= Deqrlnq

    Deqrlnq

    rDeqlnq2

    k21V3 cbaan

    3Deq

    3Deq

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    50

    como acbcba qqq0qqq =+=++

    =

    = rDeqlnq

    rDeqlnq2

    k21

    Deqrlnq

    rDeqlnq2

    k21V3 aaaaan

    volts

    rDeqlnq

    k23V3 aan =

    volts

    rDeqln

    k2qV aan =

    neutroopara,m/F

    rDeqln

    k2VqCana

    n

    == .

    Para .neutroopara,km/F

    rDeqln

    0556,0C1k nr

    ==

    Esta a capacitncia para o neutro, por fase, de uma linha trifsica assimtrica transposta. Esta frmula idntica s anteriores. Exerccio:

    Determinar a capacitncia e a reatncia capacitiva da linha

    abaixo, operando em 60Hz, com fio n2 de cobre duro. Achar a corrente capacitiva sabendo que a linha de 22.000 volts.

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    51

    1,37 m 1,37m

    2,44m

    Tabela mm2

    5532,6r = m66,144,237,137,1Deq 3 ==

    km/F008927,0

    003275,066,1ln

    0556,0Cn =

    =

    para o neutro

    km/F10927,8C 3n = para o neutro

    km10297,010927,8602

    10Xc 636

    == para o neutro ou das tabelas Reatncia capacitiva para 1 metro de espaamento 0,27313 x 106 Fator de espaamento para 1,66m 0,02417 x 106 Reatncia capacitiva 0,29730 x 106 x km

    para o neutro. A corrente capacitiva ser:

    km/A0427,03/220001010927,8602Icap 63 == H Efeito terra na Capacitncia de Uma Linha Trifsica. Terra: afeta o campo eltrico da linha, alterando sua capacitncia. Suposio: A terra um condutor perfeito, plano e de dimenses

    infinitas (suposio sem grandes erros).

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    52

    Para anlise da influncia da terra: vamos considerar uma linha nica com retorno pela terra.

    Ao se energizar, ou carregar, a linha viro cargas da terra para

    a linha diferena de potencial entre linha e terra (linha e terra tero mesma carga com sinais contrrios).

    Considerando-se a terra como um condutor perfeito: fluxo do

    campo eltrico ser perpendicular superfcie da terra (equipotencial).

    h

    h

    + q

    - q

    Imagem

    Condutor

    Linhas de campo

    Imaginemos agora um condutor fictcio, de mesmo tamanho e forma que o existente, situado abaixo da linha, a uma distncia igual ao dobro da distncia linha-terra.

    Retirando-se a terra observa-se

    que tudo se passa, entre o condutor e a imagem, como se passava entre o condutor e a terra.

    Assim, usaremos a imagem do condutor (da linha) para o

    clculo da capacitncia entre linha e terra. Como na figura, a imagem estar a uma distncia 2h (h=altura

    da linha) e carregada com q (q = carga da linha), sendo isto vlido para vrios condutores, cada qual com sua imagem.

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    53

    Exemplo de aplicao:

    Situao na 1 posio do ciclo de transposio. Aplicando-se a equao (3), incluindo a imagem, vem: - Para posio I (a em 1, b em 2 e

    c em 3).

    +

    +

    +

    +

    =

    13

    23

    31

    23c

    122

    12b

    11212

    aab

    HHln

    DDlnq

    HHln

    Drlnq

    HHln

    rDlnq[

    k21V

    Repetindo-se para as posies II e III, e tornando-se a repetir

    para Vac, usando-se qa + qb + qc = 0 e Vab + Vac = 3Vna, chega-se a:

    =

    3 321

    3 312312lnln

    0556,0

    HHHHHH

    rDeq

    Cn F/km para o neutro

    Note-se que a mesma frmula com o denominador subtrado de ( )3 3213 121212 HHH/HHHln . Para H1, H2, H3 muito grandes tem-se: H12 H23 H3 H1 H2 H3 a parcela subtrada praticamente igual a zero. Por esta razo em geral despreza-se o efeito da terra.

    De a para b

    De b para b

    De a para b