Álgebra Linear

Aula 02

Determinantes

Prof. Gabriel Bádue

Motivação

Quando utilizamos determinantes?

Teoria Quais são as permutações que podem ser obtidas com os elementos a,

b, c?

a, b, ca, c, bb, a, cb, c, ac, a, bc, b, a

permutação principal

permutação de classe ímpar

permutação de classe par

Teoria

𝐴 =

𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

Termo principal

𝑎11𝑎22𝑎33⋯𝑎𝑛𝑛

Termo secundário

𝑎1𝑛𝑎2 𝑛−1𝑎3 𝑛−2⋯𝑎𝑛1

TeoriaDeterminante

Chama-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos

produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos

índices do termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se

preceder os produtos do sinal + ou – , conforme a permutação dos

segundos índices seja de classe par ou de classe ímpar.

𝐴 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

𝐴 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

Exemplo 1Calcular os determinantes a seguir:

a)2 −43 5

b)3 2 15 −1 42 6 3

c)

3 2 1 40 1 9 85 6 7 23 1 4 6

TeoriaPropriedades dos Determinantesi) O determinante de qualquer matriz quadrada é igual ao de sua transposta.

ii) Um determinante que possui uma fila nula é NULO.

iii) Um determinante que tem duas linhas paralelas proporcionais é NULO.

iv) Se uma fila é a soma de duas parcelas, o determinante pode ser escrito como a soma de dois

determinantes.

v) O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

vi) Trocando-se duas filas paralelas, o determinante é multiplicado por (– 1).

vii) Ao multiplicar uma fila de um determinante por um escalar k, o determinante é multiplicado por k.

viii) O determinante não se altera ao somar um múltiplo de uma fila em outra paralela.

Exemplo 2

Calcular:

−2 −3 −1 −2−1 0 1 −2−3 −1 −4 1−2 2 −3 −1

Teoria

Matriz Inversa

𝐴𝐴−1 = 𝐴−1𝐴 = 𝐼

𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0, 𝐴 é uma matriz singular e não-inversível.

𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0, 𝐴 é uma matriz não-singular e inversível.

Teoria

Propriedades da Matriz Inversa

i) Se A tem inversa, ela é única.

ii) Se 𝐴 é inversível, A inversa de 𝐴−1 é 𝐴.

iii) I é não-singular e é igual a sua inversa.

iv) Se 𝐴 é inversível, sua transposta também é, e 𝐴𝑇 −1 = 𝐴−1 𝑇.

v) Se 𝐴 e 𝐵 são inversíveis, 𝐴𝐵 −1 = 𝐵−1𝐴−1.

Exemplo 3

Determinar a matriz inversa de A.

𝐴 =2 1 34 2 22 5 3

AplicaçãoResolver o sistema a seguir:

2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 183𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 235𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 27